Uvod v teorijo mnoˇzic, moˇc mnoˇzice, konˇcne in neskonˇcne mnoˇzice, ˇstevne mnoˇzive ℵ0 in neˇstevne mnoˇzice Walter Auber Znanstveni licej ”France Preˇseren” Trst, februarja 2010 Povzetek Opredelili bomo pojem mnoˇzice in izpostavili protislovje, ki ga dobimo, ko gledamo preveˇc naivno na skupine neskonˇcno mnogih predmetov. Opredelili bomo tudi kardinalnost oziroma moˇc mnoˇzice, ki meri velikost mnoˇzic; definicija je ˇse posebej zanimiva za neskonˇcne mnoˇzice. Govorili bomo o ˇstevnih in neˇstevnih mnoˇzicah. Nazadnje bomo opredelili ˇse Cantorjevo mnoˇzico, ki je fraktal. 1 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber Kazalo 1 Mnoˇ zice 1.1 Opredelitev in lastnosti mnoˇzic . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Russeljeva antinomija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 2 Konˇ cne in neskonˇ cne mnoˇ zice 2.1 Kardinalnost oziroma moˇc mnoˇzice 2.2 Moˇc potenˇcne mnoˇzice . . . . . . . ˇ 2.3 Stevne mnoˇzice ℵ0 . . . . . . . . . 2.4 Q je ˇstevna mnoˇzica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 7 8 3 Pojem zveznosti 3.1 Mnoˇzica realnih ˇstevil . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 3.1.1 Stevilo π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Neperjevo ˇctevilo e . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost 3.3 Cantor-Bernstein-Schroederjev izrek . . . . . . . . . 3.4 Hipoteza o zveznosti @A : ℵ0 < |A| < c . . . . . . . . 3.5 Mnoˇzice s kardinalnostjo c . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 3.6 Stevila beth i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 12 14 17 18 18 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Cantorjeva mnoˇ zica 19 4.1 Cantorjeva mnoˇzica je neˇstevna . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 Dimenzija samopodobnih geometrijskih predmetov . . . . . . 21 1 1.1 Mnoˇ zice Opredelitev in lastnosti mnoˇ zic Teorija mnoˇzic je osnovna matematiˇcna panoga, ki definira in preuˇcuje ˇ lastnosti mnoˇzic in na kateri je zgrajena veˇcina sodobne matematike. Stevilne matematiˇcne discipline kot so algebra, analiza, teorija mere, stohastika ali topologija, so zgrajene na teoriji mnoˇzic. Vrh tega je teorija mnoˇzic bistveno povezana tudi s predikatno logiko. Opredelitev mnoˇzice ni tako enostavna in neoporeˇcna zadeva, kot se na prvi pogled zdi. Podobno kot pri definiciji ˇstevila, tako tudi pri definiciji mnoˇzice so doloˇcene teˇzave, ki so jih skuˇsali matematiki v stoletjih preuˇcevanja reˇsiti. Za utemeljitelja teorije mnoˇzic velja Georg Ferdinand Cantor (18451918). Po njegovi definiciji iz leta 1877 je mnoˇzica ”zdruˇzitev doloˇcenih, po videzu ali razmisleku dobro razloˇcljivih, objektov ki jim pravimo elementi mnoˇzice v eno celoto”. Teorijo mnoˇzic na podlagi te definicije so pozneje oznaˇcili za naivno, saj vodi v protislovja; ˇse posebej tam, kjer so uvedli KAZALO 2 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber mnoˇzice, ki bi kot element morale vsebovati same sebe. Najbolj znana je Russlova antinomija. Poglejmo sedaj sledeˇco definicijo. Definicija 1.1. Mnoˇzica je skupek elementov, ki imajo neko toˇcno doloˇceno lastnost, oziroma za katere je toˇcno in neoporeˇcno doloˇceno, ˇce so del skupka ali pa ne. 1.2 Russeljeva antinomija Filozof in matematik Bertrand Arthur William Russel (18721970) je izpostavil sledeˇci paradoks, ki zavrˇze naivno definicijo mnoˇzice. Obstajajo mnoˇzice dveh vrst: tiste, ki imajo same sebe kot element in tiste, ki nimajo same sebe kot element. Na primer mnoˇzica vseh zajcev ni zajec, zato ne vsebuje same sebe kot element; nasprotno mnoˇzica vseh ne-zajcev pa je ne-zajec zato je tudi sama svoj element. Argument ni bil nov, saj je ˇze nastopil v obliki nekoliko razliˇcni obliki. Obstajata dve vrsti knjig: tiste, ki se avto-citirajo in tiste, ki se ne avtocitirajo. Nedvomno lahko poskusimo napisati knjigo, ki ima seznam vseh knjig, ki se avto-citirajo. Poskusimo pa napisati knjigo, ki vsebuje seznam vseh knjig, ki se ne avto-citirajo: tu nastopi teˇzava. Ali bomo v novo knjigo vnesli naslov nove knjige: ˇce ga vnesemo, se knjiga avto-citira in zato v njo ne spada; ˇce ga ne vnesemo, pa se knjiga ne avto-citira in zato v samo knjigo spada. Priˇsli smo do nereˇsljivega paradoksa. Pomislimo sedaj na mnoˇzico vseh mnoˇzic, ki nimajo same sebe kot element. Podobno kot s knjigami lahko zakljuˇcimo s paradoksom, saj ˇce ta mnoˇzica nima same sebe kot elementa, potem ima samo sebe kot element in obratno. Takih skupin elementov, ki so preobˇsirni in neoporeˇcno opredeljeni ne imenujemo mnoˇzica. Russell je leta 1903 skupaj z Whiteheadom reˇsil protislovja naivne definicija mnoˇzice s tako imenovano teorijo tipov. Po njej mora imeti mnoˇzica vedno viˇsji tip kot njeni elementi. Izjav, kot je ”ta mnoˇzica vsebuje sebe kot element”, se v tej teoriji sploh ne da izraziti. Teorija tipov je bila pozneje nadgrajena v aksiomatiˇcno teorijo mnoˇzic. Za to teorijo se da dokazati, da je neprotislovna, a ˇzal njen jezikovni besednjak ni dovolj moˇcan, da bi z njim lahko zgradili vso matematiko. Matematik ne opredeli nov pojem direktno, kot se ponavadi dogaja filozofu, ampak definira raje lastnosti novega predmeta; to pomeni da pove, kdaj sta dva pojma med sabo enaka, kako se seˇstevata, mnoˇzita, delita in podobno. Skupek lastnosti opredeli, oziroma ustvari nov pojem. Lahko razmiˇsljamo ˇse bolj abstraktno in formalno: matematik izbere mnoˇzico novih znakov in pove, katera so pravila, ki urejajo interakcijo med znaki; matematik torej samovoljno ustvari novo matematiˇcno bitje in pri tem delu mu je edina spona doslednost edina spona.” L.Couturat, Dell’Infinito Matematico, 1896 Russeljeva antinomija 3 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber Zgornji citat ni zadnja beseda, ki zadeva osnove matematiˇcnih pojmov, saj obstajajo zelo razliˇcne pozicije glede tega kaj je matematika in kaj so matematiˇcni predmeti. 2 2.1 Konˇ cne in neskonˇ cne mnoˇ zice Kardinalnost oziroma moˇ c mnoˇ zice Kardinalnost mnoˇzice Konˇcne mnoˇzice lahko opredelimo z naˇstevanjem, za neskonˇcne pa moramo uporabljati neko lastnost, ki je znaˇcilna za elemente mnoˇzice, oziroma trditev, ki je resniˇcna za elemente mnoˇzice in je laˇzna za vse ostale. x ∈ M ⇔ P (x) je resniˇcna Poglejmo sedaj, kako lahko primerjamo velikosti mnoˇzic. Pomemben je pojem ekvipotenˇcnosti. Definicija 2.1. Mnoˇzici A in B sta ekvipotenˇcni, ˇce in samo ˇce obstaja bijektivna preslikava f med njima, oziroma f : A −→ B Ekvipotenˇcnost je relacija med mnoˇzicami, ki zadoˇsˇca refleksivni, simetriˇcni in tranzitivni lastnosti, zato opredeli particijo mnoˇzic, to pomeni, da razdeli vse mnoˇzice na skupine, tako da so v vsaki skupini le mnoˇzice, ki so med sabo ekvipotenˇcne. Vsaki skupini particije pravimo moˇc ali kardinalnost. Kardinalnost konˇcnih mnoˇzic predstavlja cela ˇstevila, kaj pa predstavlja kardinalnost neskonˇcnih mnoˇzic? Definicija 2.2. Pravimo, da je mnoˇzica A neskonˇcna, ˇce in samo ˇce obstaja prava podmnoˇzica B mnoˇzice A, to pomeni B ⊂ A in B 6= A, ki je ekvipotenˇcna mnoˇzici A. Na primer mnoˇzica naravnih ˇstevil N je ekvipotenˇcna mnoˇzici vseh sodih ˇstevil S saj je sledeˇca preslikava med njima bijektivna: f : N −−−−−→ S n −−−→ 2n Ker je S ⊂ N, je mnoˇzica naravnih ˇstevil neskonˇcna. 2.2 Moˇ c potenˇ cne mnoˇ zice Potenˇcna mnoˇzica P(A) neke mnoˇzice A je mnoˇzica vseh podmnoˇzic mnoˇzice A, torej x ∈ P(A) ⇔ x ⊆ A Na primer, ˇce je A = {1, 2, 3} potem P(A) = {∅, {1}, {2}, {2}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A} ˇne in neskonc ˇne mnoˇ Konc zice 4 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber n! ˇ vemo, da predstavljajo kombinacije C k = n = Ze stevilo podmnoˇzic n k (n−k)!k! ˇ 1 ˇ s k elementi v mnoˇzici z n elementi. Ce v binomski izrek vstavimo a = b = 1, dobimo da n n n n n n 2 = (1 + 1) = (a + b) = + + ··· + 0 1 n kar pomeni, da ima mnoˇzica vseh podmnoˇzic mnoˇzice z n elementi natanko 2n elementov. Ugotovitev lahko strnimo v izrek ˇ je A konˇcna mnoˇzica, potem Izrek 2.3. Ce |P(A)| = 2|A| 2.3 ˇ Stevne mnoˇ zice ℵ0 Definicija 2.4. Pravimo, da je neka mnoˇzica A ˇstevna, ˇce in samo ˇce je ekvipotenˇcna mnoˇzici naravnih ˇstevil. ˇ Stevne so vse mnoˇzice, katerih elemente lahko postavimo v zaporedje. Z lahkoto dokaˇzemo, da je Z ˇstevna. Moˇc ˇstevnih mnoˇzic oznaˇcimo s ˇcrko ℵ0 in napiˇsemo m(Z) = |Z| = ℵ0 . 2.4 Q je ˇ stevna mnoˇ zica Tudi mnoˇzica racionalnih ˇstevil je ˇstevna. Dokaz je zanimiv in pravi, da lahko elemente mnoˇzice racionalnih ˇstevil uredimo v neko zaporedje. Vsako racionalno ˇstevilo sestavljata dve naravni ˇstevili. Vsa racionalna ˇstevila lahko napiˇsemo s pomoˇcjo tabele 1 2 3 4 .. . 1 (a + b)n = n 0 a n b0 + ˇ Stevne mnoˇ zice ℵ0 n 1 1 2 3 1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 .. . .. . an−1 b1 + · · · + .. . n n 4 ... 1 4 ... 2 4 ... 3 4 ... 4 4 ... .. . . . . a 0 bn 5 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber (1/1) (1/2) (1/3) (1/4) (1/5) ... (2/1) (2/2) (2/3) (2/4) (2/5) ... (3/1) (3/2) (3/3) (3/4) (3/5) ... (4/1) (4/2) (4/3) (4/4) (4/5) ... Elemente tabele, ki predstavljajo vsa racionalna ˇstevila lahko postavimo v zaporedje s tako imenovano diagonalno metodo 11 , 12 , 12 , 31 , 22 , 13 , 14 , . . . Smo nedvomno dokazali, da obstaja surijektivna preslikava f : N −→ Q, zato je moˇc mnoˇzice naravnih ˇstevil veˇcja ali enaka moˇci mnoˇzice racionalnih ˇstevil, ampak ker velja nedvomno tudi obratno, saj je mnoˇzica naravnih ˇstevil podmnoˇzica mnoˇzice racionalnih, zakljuˇcimo, da sta mnoˇzici ekvipotenˇcni. Smo ugotovili, da so vse neskonˇcne mnoˇzice mnoˇzice racionalnih ˇstevil ˇstevne, oziroma, da |N| = |Z| = |Q| = ℵ0 . 3 3.1 Pojem zveznosti Mnoˇ zica realnih ˇ stevil ˇ vemo, kako se aksiomatsko opredelijo mnoˇzica naravnih ˇstevil N, Ze mnoˇzica celih ˇstevil Z in mnoˇzica racionalnih ˇstevil Q. Vemo tudi, da so te mnoˇzice med seboj ekvipotenˇcne oziroma enako velike. Mnoˇzica realnih ˇstevil R pa se bistveno razlikuje od zgornjih mnoˇzic. Zelo preprosto bi lahko opredelili realna ˇstevila kot limite vseh zaporedij, katerih elementi so racionalna ˇstevila, oziroma ( a ∈ R ⇔ ∃(an ) zaporedje, kjer an ∈ Q, tako, da lim an = a n→∞ Nekoliko drugaˇce, a povsem ekvivalentno, lahko opredelimo realna ˇstevila s pomoˇcjo zaporedja odprtih intervalov racionalnih ˇstevil In = (an , bn ), kjer an , bn ∈ Q in za katere velja, da je vsak sledeˇci interval podmnoˇzica prejˇsnjega intervala, oziroma In+1 ⊆ In za vsak n ∈ N in da je limita ˇsirine intervala niˇc, torej ( In+1 ⊆ In ∀n ∈ N lim (bn − an ) = 0 n→∞ Z razmiˇsljanjem po absurdu lahko takoj pokaˇzemo, da obstajat ena in samo ena toˇcka, ki pripada vsem intervalom. Tej toˇcki pravimo realno ˇstevilo. Pojem zveznosti 6 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber ˇ Stevilo π 3.1.1 Se lahko dokaˇze, da je π 2 ,razmerje med obsegom kroˇznice in njenim premerom iracionalno in transcendentno ˇstevilo, to pomeni, da ne spada v mnoˇzico racionalnih ˇstevil, ga je torej nemogoˇce napisati kot ulomek dveh naravnih ˇstevil, in ni niˇcla nobenega polinoma z racionalnimi koeficienti. Ker je π realno ˇstevilo, ga lahko opredelimo kot limito nekega zaporedja. Prvi, ki je razmiˇsljal o aproksimaciji ˇstevila π je bil Arhimed (287-212 p.n.ˇs.), ki se je dolˇzini polkroga s polmerom ena pribliˇzal s pomoˇcjo vˇcrtane enakostraniˇcne poligonale. a4 a2 a4 a2 Slika 1: Poligonala kot aproksimacija polkroga Naj bo an dolˇzina stranice enakostraniˇcne poligonale ob n − tem koraku√in ln = n an√skupna dolˇzina poligonale. Za n = 2 dobimo seveda a2 = 2 in l2 = 2 2. Ob vsakem koraku podvojimo ˇstevilo stranic poligonale in odkrijemo, da velja sledeˇca rekurzivna enakost: p a22n = 2 − 4 − a2n in l2n = 2n a2n = 2n q 2− p 4 − a2n Sedaj lahko dobimo ˇclene rekurzivno definiranega zaporedja l2 , l4 , l8 , . . . , l2n , . . . ; na primer r r q q q √ √ 2 2 l4 = 4a4 = 4 2 − 4 − a2 = 4 2 − 4 − ( 2) = 4 2 − 2 S pomoˇcjo Taylorjeve neskonˇcne vrste lahko dobimo tudi druga zaporedja ˇstevilo, ki se pribliˇzujejo ˇstevilu π. Vzemimo funkcijo f (x) = arctan x. Vemo, da je arctan 1 = π4 in da velja sledeˇca Taylorjeva vrsta n-te stoplje: 1 1 1 1 arctan(x) = x − x3 + x5 − x7 + ... + (−1)n xn 3 5 7 n 2 πρ` ιµτ ρoς iz Grˇsˇcine peri-metros, kar pomeni okrog in dolˇzina, oziroma obseg kroga Mnoˇ zica realnih ˇ stevil 7 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber Vrsta je konvergentna, zato π 1 1 1 n1 = lim 1 − + − + ... + (−1) n→∞ 3 5 7 n 4 Poznamo zelo veliko zaporedij in vrst, ki imajo limito π. Na primer Leibnizova formula iz leta, katero smo ˇze dokazali, 4 =1+ π 3+ 1 4 5+ 7+ 9+ 9 16 25 36 11+ 13+... oziroma Vietova formula iz leta 1593: 2 2 2√ p √ q 2 2+ 2 2 ... = π p √ 2+ 2+ 2 Vredno omembe je delo slovenskega matematika Jurij Vega, ki je leta 1789 izraˇcunal 140 decimalk ˇstevila π izmed katerih je bilo 137 pravilnih; Vega je obdrˇzal rekord do leta 1841, ko je fizik William Rutherford doloˇcil 208 decimalk izmed katerih je bilo 152 pravilnih. 3.1.2 Neperjevo ˇ ctevilo e ˇ Tudi Neperjevo oziroma Eulerjevo Stevilo e je iracionalno in transcendentno. Dokaz ni banalen. Neperjevo ˇstevilo lahko napiˇsemo kot limito ˇ vemo da je e zaporedij oziroma limito neskonˇcnih vrst na veˇc naˇcinov. Ze limita sledeˇcega zaporedja 1 n e = lim 1 + n→∞ n Ker poznamo Taylerjevo vrsto za funkcijo f (x) = ex , lahko napiˇsemo tudi sledeˇce 1 2 1 3 1 n x e = lim 1 + x + x + x + ... + x n→∞ 2! 3! n! oziroma za x = 1 postane zgornja neskonˇcna vrsta 1 1 1 1 . e = e = lim 1 + 1 + + + ... + n→∞ 2! 3! n! Mnoˇ zica realnih ˇ stevil 8 Znanstveni licej ”France Preˇseren” 3.2 prof. Walter Auber Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost c Cantorjev diagonalni dokaz je matematiˇci dokaz, s katerim je Georg Ferdinand Cantor leta 1877 pokazal, da realnih ˇstevil ni ˇstevno neskonˇcno. To pomeni, da je realnih ˇstevil veˇc kot naravnih, ˇceprav sta obe mnoˇzici neskonˇcni. ˇ Ceprav je najbolj znan, to ni bil prvi Cantorjev dokaz o neˇstevnosti realnih ˇstevil. Njegov tri leta starejˇsi prvi dokaz ni omenjal desetiˇskega zapisa niti drugih ˇstevilskih sistemov. Cantorjev diagonalni dokaz uporablja isti koncept kot diagonalizacija s katero je dokazal, da je racionalnih in naravnih ˇstevil enako mnogo. Zaˇcnimo najprej s kardinalnostjo intervala [0, 1] ⊂ R Izrek 3.1. |[0, 1]| ℵ0 Dokaz: Trditev bomo dokazali po absurdu. Postavimo torej hipotezo, ki zanika trditev izreka in poglejmo, ˇce nas bo to privedlo do laˇzne trditve, to pomeni do protislovja. Privzemimo torej, da je interval [0, 1] ˇstevno neskonˇcen. Potem lahko oˇstevilˇcimo vsa ˇstevila na tem intervalu v zaporedje (r1 , r2 , r3 , . . . ) Vemo, da vsako od teh ˇstevil lahko predstavimo v desetiˇskem zapisu 0, 3456 . . . Vsa ta ˇstevila zberemo v seznam, ni treba, da so v kakˇsnem posebnem vrstnem redu. V primeru ˇstevil, ki imajo po dva desetiˇska zapisa, kot 0, 499 · · · = 0, 500 . . . , vzamemo zapis, ki se konˇcuje z deveticami. Vzemimo, na primer, da so desetiˇski zapisi na zaˇcetku zaporedja takˇsni: r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 = 0, 5105110 . . . = 0, 4132043 . . . = 0, 8245026 . . . = 0, 2330126 . . . . . . = 0, 4107246 . . . = 0, 9937838 . . . = 0, 0105135 . . . Zdaj bomo skonstruirali realno ˇstevilo x z intervala [0,1] tako, da bomo pogledali k-to ˇstevko za desetiˇsko vejico v desetiˇskem zapisu ˇstevila kˇ tega ˇstevila, rk . Stevke, ki jih bomo gledali, so krepke, da nakazujejo Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost c 9 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber zakaj se temu reˇce diagonalni dokaz. r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 = 0, 5 105110 . . . = 0, 4 1 32043 . . . = 0, 82 4 5026 . . . = 0, 233 0 126 . . . = 0, 4107 2 46 . . . = 0, 99378 3 8 . . . = 0, 010513 5 . . . Iz teh ˇstevk definirajmo ˇstevke desetiˇskega zapisa novega ˇstevila x kot sledi: x = 0, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4 . . . ˇce je k-ta ˇstevka ˇstevila rk enaka 5, potem naj bo k-ta ˇstevka ˇstevila x enaka 4, ˇce k-ta ˇstevka ˇstevila rk ni enaka 5, potem naj bo k-ta ˇstevka ˇstevila x enaka 5. ˇ Stevilo x je oˇcitno realno ˇstevilo saj vsak desetiˇski zapis predstavlja neko realno ˇstevilo na intervalu [0,1]. Hipoteza trdi, da je vsako realno ˇstevilo v intervalu [0, 1] element zaporedja (r1 , r2 , r3 , . . . ) Torej mora za neki n veljati rn = x. . Toda, ker smo 4-ke in 5-ke izbrali na posebno ”zloben” naˇcin, se x od vsakega rn razlikuje vsaj na n-tem mestu, za vsak n. To pomeni, da ˇstevila x v zaporedju (r1 , r2 , r3 , . . . ) ni. To zaporedje torej ni oˇstevilˇcenje mnoˇzice vseh realnih ˇstevil z intervala [0, 1]. To je protislovje. Hipoteza, ki smo jo sprejeli po absurdu, je torej laˇzna, torej je njena negacija resniˇcna. Zakljuˇcimo lahko, da interval [0, 1] ⊂ R ni ˇstevna mnoˇzica in da |[0, 1]| ℵ0 . Q.E.D. Ker je |[0, 1]| ⊂ R velja, da je tudi |R| ℵ0 . Moˇc kateregakoli intervala realnih ˇstevil, je enaka moˇci realnih ˇstevil. Dokaz za odprti interval (0, 1) je nekoliko laˇzji. Izrek 3.2. |(0, 1)| = |R| Dokaz: Treba je pokazati, da obstaja bijektivna preslikava med mnoˇzico (0, 1) in mnoˇzico R. Izmed vseh moˇznih preslikav lahko izberemo f : (0, 1) −−−−−→ R x −−−→ f (x) = tg π x − 21 Kantorjeva diagonalna argumentacija in kardinalnost c 10 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber Funkcija f strogo naraˇsˇca, zato je inijektivna; ima lim f (x) = +∞ in x→1− f (x) 4 3 2 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x −1 −2 −3 f (x) = tan π(x − 21 ) −4 −5 Slika 2: Graf funkcije lim f (x) = −∞, zato je surijektivna. x→0+ Q.E.D. Izrek 3.3. Za katerikoli par realnih ˇstevil a b velja, da |(0, 1)| = |(a, b)| in tudi da |[0, 1]| = |[a, b]| Dokaz: Brez teˇzav lahko napiˇsemo linearno funkcijo f : (0, 1) −−−−−→ (a, b) x −−−→ f (x) = mx + n ki je bijektivna. Q.E.D. Dokazati, da sta odprti in zaprti interval realnih ˇstevil ekvipotenˇcna je nekoliko bolj zamudno. Krdinalnosti mnoˇzice realnih ˇstevil pravimo zveznost in napiˇsemo |R| = c. Z diagonalno metodo smo pokazali, da ℵ0 c. 3.3 Cantor-Bernstein-Schroederjev izrek Velja sledeˇci izrek, ki trdi, da je kardinalnost mnoˇzice realnih ˇstevil enaka prav kardinalnosti potenˇcne mnoˇzice mnoˇzice naravnih ˇstevil. Cantor-Bernstein-Schroederjev izrek 11 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber Izrek 3.4. c = |P(N)| = 2N . Dokaz: Pokazati je treba, da obstaja bijektivna preslikava, ki vsakemu realnemu ˇstevilu dodeli podmnoˇzico mnoˇzice naravnih ˇstevil, to pomeni element mnoˇzice P(N). 3.4 Hipoteza o zveznosti @A : ℵ0 < |A| < c Do sedaj poznamo mnoˇzice s konˇcno kardinalnostjo, prvo neskonˇcno kardinalnost ℵ0 in kardinalnost realnih ˇstevil c. Ker je ℵ0 strogo manjˇsi od c, se lahko vpraˇsamo, ˇce obstaja kaka neskonˇcna mnoˇzica A, tako da ℵ0 < |A| < c ali pa ˇce taka mnoˇzica ne obstaja, oziroma, da so realno ˇstevila prva mnoˇzica, ki je bolj ˇstevilna od mnoˇzice naravnih ˇstevil. Trditev Z @A : ℵ0 < |A| < c imenujemo hipoteza o zveznosti. Do sedaj smo se ukvarjali samo z matematiˇcnimi trditvami P, ki so ali resniˇcne3 ali laˇzne; ˇce je P laˇzna, potem je pP resniˇcna in obratno. Trditev Z pa ni ne resniˇcna ne laˇzna, ampak neodvisna od aksiomov teorije mnoˇzic4 . Torej teorija mnoˇzic ostane dosledna bodisi ˇce velja Z, kot ˇce velja pZ. 3.5 Mnoˇ zice s kardinalnostjo c Se dokaˇze, da |C| = c in da |E | = c. Primer mnoˇzice, ki ima strogo veˇcjo moˇc od mnoˇzice realnih ˇstevil je mnoˇzica vseh funkcij med mnoˇzicama realnih ˇstevil f : R −→ R; nasprotno je mnoˇzica vseh zveznih funkcij med realnimi ˇstevili zvezna. 3.6 ˇ Stevila beth i Poznamo ˇze dve neskonˇcni kardinalni ˇstevili in sicer ℵ0 in c. Cantor je predlagal zaporedje neskonˇcnih kardinalnih ˇstevil, ki jih je imenoval i ˇstevila. In sicer ℵ0 < i1 < i2 < i3 < i4 . . . kjer i1 = |R| = |P(N)| in i2 = P(R)| = P(P(N)). Mnoˇzicam neskonˇcnih ˇstevil ℵ0 , i1 , i2 , i3 , i4 , . . . lahko dodamo ˇse pravila algebre in jih tako seˇstevamo, mnoˇzimo, potenciramo. 3 4 jih imenujemo izreki podobno kot aksiom o vzporednicah v Evklidovi ravnini Hipoteza o zveznosti @A : ℵ0 < |A| < c 12 Znanstveni licej ”France Preˇseren” 4 prof. Walter Auber Cantorjeva mnoˇ zica Cantorjeva mnoˇzica je v matematiki fraktal, v katerem se pojavljajo le realna ˇstevila med 0 in 1. Mnoˇzico je uvedel nemˇski matematik Georg Ferdinand Cantor. Cantorjeva mnoˇzica je doloˇcena z neprestanim odstranjevanjem srednje tretjine daljice. Zaˇcnemo z enotskim intervalom [0, 1] in odstranimo njegovo srednjo tretjino. Ostane [0, 1/3]∪[2/3, 1]. V neskonˇcnem koraku odstranimo vse ”srednje tretjine” preostalih odsekov. Cantorjeva mnoˇzica vsebuje vse toˇcke v intervalu [0, 1], ki jih nismo odstranili v tem neskonˇcnem procesu. Slika 3: Generacija Cantorjeve mnoˇzice ˇ seˇstejemo vse dolˇzine Vpraˇsanje je, kaj ostane, ko je proces konˇcan? Ce odstranjenih odsekov, dobimo: ! ∞ X 1 4 8 2n 1 1 2 =1 + + + + ... = = 3 9 27 81 3n+1 3 1 − 23 n=0 Na podlagi rana smo lahko preseneˇceni, ˇce na koncu ˇse kaj ostane. Navsezadnje je vsota dolˇzin odstranjenih odsekov enaka dolˇzini izvirnega intervala. ˇce pogledamo podrobneje, vidimo, da nekaj ostane, ker z odstranjevanjem ”srednjih tretjin” intervala odstranjujemo odprte mnoˇzice (mnoˇzice, ki ne vsebujejo krajnih toˇck). Pri odstranitvi odseka (1/3, 2/3) iz izvornega intervala [0, 1] ostaneta toˇcki 1/3 in 2/3. Toˇcki bosta vedno v mnoˇzici, in ˇse naprej bodo v njej tudi vse takˇsne toˇcke. Torej Cantorjeva mnoˇzica ni prazna. Cantorjeva mnoˇzica je prototip fraktala. Mnoˇzica je samopodobna, ker je enaka dvema kopijama same sebe, ˇce vsako kopijo skrˇcimo za faktor 1/3 in prestavimo 4.1 Cantorjeva mnoˇ zica je neˇ stevna Lahko se pokaˇze, da v mnoˇzici ostane enako ˇstevilo toc(k kot ˇstevilo odstranjenih toc(k. Pri tem naj si toc(ke v intervalu [0, 1] mislimo zapisane v trojiˇskem sistemu z osnovo 3. Na ta nac(in lahko 1/3 zapiˇsemo kot 0,1 in 2/3 kot 0,2. C(e odstranimo vse med 1/3 in 2/3, je to isto kot c(e bi v trojiˇskem sistemu odstranili vse med 0,1 in 0,2. To pomeni, da vsako trojiˇska Cantorjeva mnoˇ zica 13 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber decimalko, oblike 0,1xxxxxx, odstranimo iz mnoˇzice, razen tiste, kjer je vsak x enak 0 ali vsak x 2 - to sta krajni toˇcki. Ker je trojiˇsko 0,1 = 0,02222222..., lahko ˇstevilo predstavimo brez ˇstevila 1 na kateremkoli mestu. Glej Cantorjev diagonalni dokaz. V naslednjem koraku v intervalih [0, 0.1] in [0.2, 1] odstranimo njuni srednji tretjini. V tem primeru odstranimo vse med 0,01 in 0,02 v prvem, in vse med 0,21 in 0,22 v drugem. Ali z drugimi besedami, vse z 1 na drugem mestu takoj za toˇcko. Ko konˇcamo, so ˇstevila, ki preostanejo tista, ki jih trojiˇsko lahko zapiˇsemo brez ’1’ na poljubnem mestu. ˇ povemo ˇse drugaˇce, Cantorjeva mnoˇzica vsebuje vsa ˇstevila med 0 Ce in 1, ki jih trojiˇsko lahko zapiˇsemo s ˇstevilkami 0 in 2. Zato lahko ˇstevila v Cantorjevi mnoˇzici preslikamo v ˇstevila v [0, 1], kjer v trojiˇskem zapisu zamenjamo vsako 2 z 1, in rezultat obravnavamo dvojiˇsko. Zato je v Cantorjevi mnoˇzici toliko toˇck, kolikor jih je v [0, 1] in Cantorjeva mnoˇzica je neˇstevna. Ker je mnoˇzica krajnih toˇck odstranjenih odsekov ˇstevna, mora v Cantorjevi mnoˇzici obstajati ˇstevno mnogo ˇstevil, ki niso krajne toˇcke odsekov. Kakor je zapisano zgoraj, je en primer ˇstevilo 1/4, ki ga lahko trojiˇsko zapiˇsemo kot 0,02020202020. . . . 4.2 Dimenzija samopodobnih geometrijskih predmetov Fraktali so neˇstevne podmnoˇzice Evklidove ravnine, za katere je klasiˇcna definicija mere neprimerna. Poskusimo definirati novo mero, ki deluje v primeru fraktalov. Definicija 4.1. Pravimo, da je podmnoˇzica Evklidove ravnine F ⊂ E (n, k)−samopodobna ˇce in samo ˇce je F zgrajen iz n kopij, ki so zmanjˇsane za faktor k, oziroma ˇce in samo ˇce F = ϕ1 (F 0 ) ∪ ϕ2 (F 0 ) ∪ · · · ∪ ϕn (F 0 ) kjer so ϕk izometrije, kompozicije vrteˇza in vzporednega premika in F 0 = hk (F ), kjer je hk homotetija za faktor k. Sedaj lahko opredelimo tako imenovano dimenzijo samopodobnosti. ˇ je F (n, k) − samopodoben fraktal, potem definiramo Definicija 4.2. Ce njegovo dimenzijo kot realno ˇstevilo D D= log(n) log( a1 ) Tako definirana dimenzija ni vedno celo ˇstevilo in meri zmoˇznost geometrijskega predmeta, da napolni prostor. Na primer Cantorjeva mnoˇzica je enaka dvema kopijama same sebe, ˇce vsako kopijo skrˇcimo za faktor a = 13 log(2) zato je (2, 3) − samopodoben fraktal in je njegova dimenzija log(3) = ln(2) ln(3) = 0.631. Dimenzija samopodobnih geometrijskih predmetov 14 Znanstveni licej ”France Preˇseren” prof. Walter Auber Tudi daljica je samopodoben predmet, saj jo dobimo, ˇce daljico skrˇcimo za faktor a = n1 in ga ponovimo n krat; dimenzija daljice je torej ln(n) ln(n) = 1. 2 Kvadrat dobimo kot unijo n kvadratov, ki so skrˇcena kopija originala za 2) faktor a = n1 , zato je njegova dimenzija ln(n ln(n) = 2. Prav tako dobimo, da je dimenzija kocke tri. Fraktali so predmeti, katerih dimenzija ni celo ˇstevilo: niso ne prazne mnoˇzice ne daljice (Cantorjeva mnoˇzica); ne daljice, ne trikotniki (Sierpinskijev trikotnik); ne kvadrat, ne kocka. Literatura [1] Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Ristampato da Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). [2] Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2. [3] Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9. [4] http://it.wikipedia.org/wiki/Numerocardinale LITERATURA 15