מדריך למורה – ודמיון מצולעים משולשים דמיון מצלמים את משכן הכנסת

‫–‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫רך‬
‫‪–1‬‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫ר‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫‪)2‬‬
‫"‬
‫?‬
‫"‬
‫‪.)1‬‬
‫‪) (:‬‬
‫‪/‬‬
‫‪) (,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,1‬‬
‫‪. " 6× " 3 :‬‬
‫‪. " 6 × " 1.5 :‬‬
‫‪. " 3× " 3 :‬‬
‫' ‪- 242‬‬
‫‪" 5 × " 2.5 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫(‪.)2‬‬
‫‪2‬‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫–‬
‫(‪)90°‬‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫?‬
‫‪–2‬‬
‫" "‬
‫"‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪/‬‬
‫‪,‬‬
‫"‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‬‫‪.‬‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫" "‬
‫‪,‬‬
‫)‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫ץ‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫"‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫‪/‬‬
‫(‬
‫‪,‬‬
‫?‬
‫" "‪.‬‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪,‬‬
‫" "‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫"‪,‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪324‬‬
‫" "‬
‫‪.‬‬
– 243 '
3
.
(
,
.)
...
3
.
‫ץ‬
.
.
. " 1
.
.
.
,
.
.
,
.
,
.
,AC
DF
.
.
3
244 '
.
,
3:
5
(
.)
.
,
:
?
.1
.248 '
325
,5
,
‫‪-‬‬
‫' ‪244‬‬
‫?‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫≅‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫∼‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫ץ‬
‫‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫' ‪– 245‬‬
‫ק‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‬‫‪.‬‬
‫‪" 8‬‬
‫‪,‬‬
‫‪" 4-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫(‬
‫‪.)70°‬‬
‫‬‫‪.‬‬
‫‪326‬‬
‫‪.‬‬
,
6
-
246 '
.
247 - 246 '
‫ר‬
.1 246 '‫עמ‬
.
.) "
(
.
.
7
N
D
2.8
N
ΔARN ∼ ΔBPM
.
B
R
6
2
9
A
3
B
2.5
S
10
ΔNFD ∼ ΔSBP
10
7
2.5
5
4
F
.
M
5
9
P
A
B
6.3
-
P
ΔARN ∼ ΔBMP
3
S
A
.
K
4
2
10
6
3
Q
R
5
6
12
Y
4
N
V
C
ΔQVR ∼ ΔBDA,
3
T
8
F D
ΔANT ∼ ΔSKY
2
A
45
45
2
.2 246 '‫עמ‬
.
.
x
2
C
. "
F
4
4
B
45
D
.
45
2x
C
F, A 
D, B 
E
C
F, A 
E, B 
D
.
E
2
‫ק‬
.
‫ק‬
3
.
ΔACB ∼ ΔEFD
‫ר‬
ΔACB ∼ ΔFDE .
.
.k  2 .
.
.
ΔABC ∼ ΔGHK :
.3
.GH = " 9 , HK = " 12 ,AC = " 18 ,∡K = 40°
:
∡C = 40° ?
∡C = 40°
∡B = 40°
9
9
12
,
:
18
12
18
.
?
327
∡A = 40°
.
.
.
, "
.
.
.4 247 '‫עמ‬
.
.
.
w - r
3
5
6
2

   .
4.5 7.5 9
3
.
w
6
9
y
x
4.5
5
3
x
z
r
y
10.3
9
4.5
2.5
y
z
3
x
1.5
y
z
7.5
.
. " 1
.
A
D
.5
.
.
A
G :‫ר‬
D
G, B 
E
H, C 
F
K
.
ΔGLO≅ΔDMZ≅ΔABC
M
L
Z
O
P
Y
X
W
)
( AB = DM = GL
)
( AC=DZ =GO
)
( BC =EZ=LO
. .
V
ΔGLO≅ΔDMZ≅ΔABC

A
ΔPHW ≅ΔMEY≅ΔABC :
B
E
H :
ΔXKV≅ΔYFZ≅ΔABC :
C
F
K :
328
D
G
247 '‫עמ‬
.
ABC - DEF .2
( " 1
( " 2
:‫ר‬
AB
)
DE
.)
.
ABC - GHK .3
( " 1
.)
:‫ר‬
AC
( " 3
.
3
 1.5 .
2
:‫ר‬
AB
)
GH
?DF
.
GK
.DF
.
.
.
GK
?
.
.
?
–
– 248 '
5
.
:
5
.
‫טר‬
.
,
.
,
.
.1
:
.
.
-
.
.
329
.
.
. :
249 - 248 ’
‫ר‬
.6 248 '‫עמ‬
.
,
.
. "
.
.
P
x
T
.
L
30
Q
x
5
13.5
4.5
21
L
8
40
B
30
8
C
7
x
D
K
120
S
15
R
x
.
ΔBCD ∼ ΔLMK
40
. .
, ΔPTL ∼ ΔSQR
1=
.
.
.
-
-
–
.
(
-
.
.
-
.
,
.
-
.
.
.
60 .8 249 '‫עמ‬
.
10
G
H
.GH ll MK :
4
. "
.∡G = ∡M
20
10
M
.
–
.)
A
.7 249 '‫עמ‬
.
.
8
3=
M
.
.
.
HAG 
25
K
.
KAM
,
.
ΔHAG ∼ ΔKAM
HAG 
KAM ,
G
M, H 
K
.
.
HA AG HG
8
4 10





 0.4
KA AM KM
20 10 25
330
M
K
15
.MB ll KC ,MA ll KB :
11
8.25
) "
?
A
12
(
ΔKCB - ΔMBA
.
C
9
B
.9 249 '‫עמ‬
ΔKCB - ΔMBA
11.25
A
,
C  MBA
M K
KBC,
,
1
15
12
11
K 1 


3
11.25
9
8.25
249 '
.
–
,
.
,
.
4
3
2
‫ץ‬
1
,
8
7
6
.
5
‫ר‬
.
,
.
5
1
4
331
8
‫ט‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪7- 6‬‬
‫‪.‬‬
‫’ ‪251 – 250‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫ק‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫ק‬
‫' ‪– 250‬‬
‫‪6‬‬
‫–‬
‫)‬
‫(‬
‫(‬
‫‪7‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫' ‪,251‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫' ‪ – 251‬קר‪:‬‬
‫ק‬
‫ר‬
‫‪7‬‬
‫‪.‬‬
‫ץ‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪,‬‬
‫‪6‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪332‬‬
-
,QS - QR
,
(
,
.)SR
A
"
E
.6
Q
:
B
.ΔSQR ∼ ΔSAB ∼ΔQDS ∼ΔREF
R
S
C
ΔQCD , ΔERF ,ΔABS
.
:
F
D
‫ר‬
:
.
‫ק‬
‫– ר‬
.252 - 251 '

.
.
,
.
"
"
.
"
.
,
.
.
333
"
.
‫ר‬
.
,
,
‫ר‬
x 20

5 25
1(
2( 7  21
x
3
3(
x 10

4 8
4( 72  36
x
15
5(
1
x

14 42
6( 84  12
x
:
10 x

8 10
7(
:
8( 6  5
18
21
; 4 )1
; 5 )3
; 3 )5
;12.5 )7
;1 )2
30 )4 ;126 )6
; 17.5 )8
x
253 - 252 ’
.
68
40
.
)
70
70
55
68
. .10 252 '‫עמ‬
,
)2(
)3(
)4(
55
50
20
40
65
70
15
25
)1(
115
70
70
?
‫ר‬
,
115
15
50
.
0
70 -
(. . .
334
)3(
. "
.11 253 '‫עמ‬
.
.
,
,
:
.
.
.
.
.
?
60
60
.
–
,
–
60
60
: ‫ר‬
.180°
60
60
4
110
55
8
110
3
4
40
2
15
4
,
40
40
20
100
30
60
50
80
10
60
60
100
55
12
25
35
35
15
8
1.5
335
,
55
‫‪12‬‬
‫‪.‬‬
‫' ‪254‬‬
‫‪.‬‬
‫"‬
‫(‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫"‬
‫‪,‬‬
‫")‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪254‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪,‬‬
‫(‬
‫)‪.‬‬
‫ק?‬
‫?‬
‫ף‬
‫‪.‬‬
‫ר ‪:‬‬
‫‪...‬‬
‫‪,180‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫ף‬
‫‪.‬‬
‫‪336‬‬
‫‪.‬‬
.13 254 '‫עמ‬
.
J
.
.
T
P
B
K
C
D
F
R
F
D
JF
JC
FC


BF BD
FD
PT
KD

TR
DF

PR
KF
.
66°
A
.
B
D
M
R
H
63°
32°
A
24°
D
85°
63°
G
L
C
AB
AM
BM


CD
CM
DM
AH
AG
GH


LR
LD
DR
R
.
.14 255 '‫עמ‬
,
T
.
ΔREK ∼ ΔLET
59°
59°
K
E
L
A
D
B
.
E
?
ΔACD ∼ ΔABE
C
337
ΔACD - ΔABE
.15 255 '‫עמ‬
A
:
E
ΔCEG - ΔBAG
?
.
?
.
ΔABG ∼ ΔHCG .
H
B
,
.
,
G
C
) "
(
.
ABC  DEF :
.
30
6
4.5
B
D
A
D AC  DF
B
E AB  DE
C
F BC  EF
.
E
9
.17 255 '‫עמ‬
.
A
C
.16 255 '‫עמ‬
-
.
B  80, D  30, F  C  70
80
9
 1.5 ?ABC
6
DEF
.
.
6.75 .
F
.ΔDEF
EF  4.5  1.5 
:
ABC  EFG
.
338
"
) "
. "
(
ABC  DEC :
.
.18 256 '‫עמ‬
.
E
.
.
D
C
8
55
" 2.5 .EC
4
.
40
A
.
.
.
.
?ED
. " 3y
5
.
.
ED - AB
.
AB = 2y ; ED = y ?
B
.FA ll MR .
.
A
F
.19 256 '‫עמ‬
– FARM :
– E
.
.
ΔFEA ∼ ΔREM :
:
.
E
M
,
E
R
.MR =
.1:4
FA =
" 9 :
.
AM
" 36 .
.FA
.20 256 '‫עמ‬
.
a
x
60
.
.
40
x
a
40

,
15 60
15
a  10
P
O
.
R
.PL ll OB , MP ll EO
.
M
E
.21 256 '‫עמ‬
B , L , E , M
L
B
.
ΔMPL ∼ ΔEOB ,ΔMPL ∼ ΔERL ,ΔEOB ∼ ΔERL
?
.
.
3
.
ER RL EL


:
EO OB EB
339
.
,
.22 257 '‫עמ‬
:
.
.
A
T
.
.
H
B
O
40
G
D
B
R
A
.
Y
.
B
A
40
60
L
R
E
K
E
) "
(
.ABC ,DEF
.23 257 '‫עמ‬
A
F
.
ΔABC ∼ ΔFED .
2
48
5
4 B 70
D
62
62
ABC
.
" 2.5 .AC
.
?DE
.
.
E
A
2 1

.DEF
4 2
C
70
K
48
.DE
‫ץ‬
.
A1
–
–
3
24 257 '‫עמ‬
..24
K
ΔEDG - ΔABC
.
C
.BC IIDG ; AC II ED ; AB II GE :
.ΔEDG
B
C1
ΔABC
,
,
B1
.K
2
340
K -
A1 , B1, C1
"
KA = , KC = CC1 ,KB = BB1 ( A , B, C
.)AA1
:2
.ΔKBA ∼KB1A1 ,ΔKCA ∼ ΔKC1A1 ,ΔKBC ∼ KB1C1
.A1B1 = 2AB ,A1C1 = 2AC ,B1C1 = 2BC :
.
,
:
.AU ll HL -
ΔATU - ΔHTL
,
3
H
12
A
.25 258 '‫עמ‬
ΔHTL
,AU
.
ΔATU ∼ ΔHTL .
T
.TL - HL
6.4
.
TL = " 10 ,HL = " 8 .1.25
8
U
L
ΔABC
.DE ll AC :
A
.26
.
.
80
ΔBAC ∼ ΔBDE
6
.AC
.
AC = " 12 .3 :
D
?BC
4
3
B
258 '‫עמ‬
.
.
60
,
C
E
‫ר ק‬
.
,
.
.
.27 258 '‫עמ‬
:
.
.
1.8
,
.
2
(
0.5
,
1.8
,
:)
.
"
0.5
"
"
"
.
,
?

2
.
. -
:

.
1.8 0.5

h
h
2
341
" 7.2
ΔGBD - ΔABC
D
E
53
B
CDEF .28 259 '‫עמ‬
,
.∡B = 90° ,
G
-
∡GDB = ∡ACB = 53
A
:
∡FCE = 37
.
53
37
.
.
F
C
.
ΔEDC ∼ ΔABC ,ΔEFC ∼ ΔCBA ,ΔDBG ∼ ΔCBA ,ΔDBG ∼ ΔEFC :
.
' 7
.29 259 '‫עמ‬
. " 90
,
?
' 5
.
y
" 90
x .)?
' 5
' 7
:
(
.x
.
y
75

 y  2.16
0.90
5
.30 259 '‫עמ‬
‫ץ‬
.' 20
.
.
A
" :‫ץ‬
.‫ץ‬
,' 1.5
."‫ץ‬
,‫ץ‬
.
?
D
' 1.5
' 28
E ' 2
B
.
C
.‫ץ‬
.
. ‫טק‬
‫ץ‬
‫ץ‬
‫טר‬
‫ר‬
.
342
‫ט‬
-x :
x
1.5

 x = ' 22.5
30
2
30 – 29
‫ר‬
‫ר‬
‫ר‬
D
.
.31 260 '‫עמ‬
.
' 500
.
.
.
B
' 1.62
-
C
' 3
A
' 500
.
E
.x :
1.62
3

 x  270
x
500
A
.32 260 '‫עמ‬
.
E
.
B
C
G
.∡G = ∡B -
.
.∡A = ∡E -
.
?
F
A
E
.
B
C
G
F
?
,∡A = ∡G -
?
.
.
A
17 40

.
.33 260 '‫עמ‬
.
43
-
ΔABC
.
D
' 4
' 9
.
C
B
E
CE - ,AE ,DB ,AD
-
.
.
ΔDAB ∼ ΔAEC .
.
.
,
,
-
.
x -
DB AB
4 x

   x2  36  x  ' 6
AC EC
x 9
343
.
A
,BC
ΔABC
– AZ :
.AC
- BY
.
Y
M
261 '‫עמ‬
.
ΔAMY ∼ ΔBMZ ,ΔAZC ∼ ΔAYM ,ΔBYC ∼ ΔBZM
.
B
!
C
Z
."

.34
.
AM MY AY
,


BM MZ BZ
,
.
"
.
34
.35 261 '‫עמ‬
:
R
.)∡R = 90(
L
-
ΔPRQ
.
M
KLMS
.
.
.
.
30
K
S
ΔPKL ∼ ΔLRM ∼ ΔMSQ ∼ ΔPRQ
.
.
,
?
.
" 6
!
.PQ
PK KL
10.4
6



 SQ  3.46
MS SQ
6
SQ
.
PQ = 10.4 + 6 + 3.46 = " 19.86
.GHK
DEF
.DEF
ABC
.36 261 '‫עמ‬
?GHK - ABC
ΔABC ∼ ΔGHK .
261 '
–
.
.
.
,
.
.
?
.
?
.
,
.
,
.
.
.
.7
?
?
?
.
.
?
.
-
.
?
–
.
.
,
,
344
.
–
‫ט‬
‫‪10 ,9 ,8‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪16‬‬
‫)‪.‬‬
‫(‪16‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫' ‪262‬‬
‫‪-‬‬
‫‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ץ‬
‫‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫ר‬
‫רך‬
‫‪.‬‬
‫‬‫‪:‬‬
‫‪10 - 8‬‬
‫–‬
‫רך ‪:‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫רך ‪:‬‬
‫(‬
‫‪,‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫רך ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪345‬‬
‫‪8-10‬‬
‫‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫‪16‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫‪8‬‬
‫' ‪– 262‬‬
‫ר‬
‫ך‬
‫‪,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10 - 9‬‬
‫ץ‬
‫(‬
‫"‬
‫"‬
‫‪4-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫קט‬
‫‪?8‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫–‪(2‬‬
‫)‬
‫–‪(4‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.180‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫ר‬
‫ר‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪346‬‬
?‫רט ט‬
:
)

(
,
,
6 :
10 "
.)
4
.
(
.ΔADF ∼ ΔABC :
:8
.4 :
.2 :
– 263
.
8
5
-
'
9
‫קט‬
9-
.
9
.
9-
:8

ΔADF
.8
.9
.9
ΔADF

ΔAGL
3
.
:
4
2
8
9
3
9
16
4
10
.
.
– 263 '
.
16 -
10
10
.
2
8
.)
2-
.
(2
9
,
.9
2-
(
.4
9
.
.)5 -
347
2
,6 -
,264 '
10 - 8
.
9
,
ΔADF
8
ΔAGL
.9
.)
9
-
2
3
(
ΔADF
4.ΔAGL
4
.
9
2
4
2
.  
:
3
9
 
.
:9
.ΔAGL ∼ ΔABC
.9 :
3 :
6
. :10
. .ΔAXY
. 4:
.
. 16 :
‫ק‬
–
– 264 '
.
‫ק‬
11
.
a, -
11
9–8
.
,
.
b, c
.
10 – 8
:
.
:
‫ק‬
‫קף‬
ΔAXY
.10
a+b+c
ΔABC
PΔADF
2
PΔABC
ΔADF
2
ΔABC
2a+2b+2c = 2(a+b+c)
ΔADF
PΔAGL
3
PΔABC
ΔAGL
3
ΔABC
3a+3b+3c = 3(a+b+c)
ΔAGL
PΔAXY
4
PΔABC
ΔADF
4
ΔABC
4a+4b+4c = 4(a+b+c)
ΔAXY
348
:
?k
:
3
.
2
.2
3.
2.
:11
‫ר‬
265 '‫עמ‬
:
,
.
,
ΔABC
,
:
,)
( AB
.
270 – 266
.
-
,
.
,
.
"
38 - 37
270 - 266 ’
S
.
7
B
50
C
35
–
.37 266 '‫עמ‬
.
–
?
.
.
ΔTSR ∼ ΔABC
21
T
‫ר‬
A
. "
95
90
ΔSTR
.
?ΔBAC
SBAC = "
35
R
349
10
. "
.
.38 266 '‫עמ‬
.
M
ΔPQR ∼ ΔKML .
3
P
.
ΔKML
.
?ΔPQR
2.25
50
K
2
40
. " 5
L
R
Q
SPQR =
.
ML
ΔPQR
.
7.5

2.25
"
3
35
1
, SKML 
= "
2
3
1
QR  3 , SPQR 
3
7.5 :
1
3 = 31 :
2
3
23
.39 266 '‫עמ‬
.
P
.PT = PL ;SR = SQ
120
T
. "
8
.
Q
4
ΔQSR ∼ ΔTPL .
L
30
. "
R
S
"
.
7
28 .
-
?
.
ΔQSR
.
?ΔTPL
10 - 9 ,8
.40 266 '‫עמ‬
:
,
.
,
-
?
-
.
.
DE
"
A
ΔABC
.41 267 '‫עמ‬
.DE ⊥ AC -
6
ΔCDE - ΔABC
.
.
D
4
.
.4
B
E
5
C
350
‫ט‬
.
"
N
9
R 3
.
.
A
.
2
9
3
 4   16 .
 
‫ץ‬
C
9
.SΔKPG =
4
P
.42 267 '‫עמ‬
ΔCRF - ΔCAN
,
.
. FR ⊥ AC -
5
C
ΔCAN
FR
F
F
.ΔCBF
B
6
.ΔKPG
15
.
PG = "
"
K
G
.43 267 '‫עמ‬
" 10 :
6
2
,GK = " 10
3
3.6 .SΔCBF
.
.
.1.4 :
ΔHAT
ΔRED
.SΔHAT =
"
R
.
?ΔRED - ΔHAT
.
E
H
5
.44 267 '‫עמ‬
15 :
RE = " 7 ,HA = " 7
9.8
A
-
.
RD
"
T
D
351
TA .
29.4 .ΔEDR
.
.
"
.ΔKOS -
.45 268 '‫עמ‬
ΔCUP
1.25 .
C
. " 36 :
O
" 45 .
.
ΔKOS
.
?ΔCUP
.
.
OS = " 10.4 ,OK = " 12 ,CU = " 15
17
U
.ΔKOS
K
13.6
13
.SΔCUP = "
S
102 .
SΔKOS = "
65.28
.
P
D
.46 268 '‫עמ‬
. " 34
ΔMRG
. " 68
ΔDAG
.MR ll DA
ΔDAG
.MR = " 8.5 ,GE = " 12 :
M
G
E
.
R
.
.ΔDAG
SΔDAG = "
A
E
204 ,SΔMRG = "
. " 84
K
N
28
51
ΔRAZ ∼ ΔBEN :
.
A
33.6
.
ΔRAZ
" 70 .ΔBEN
.
.ZK = " 18 :
.ΔBEN
R
Z
SΔBEN = "
B
352
.47 268 '‫עמ‬
210 ,SΔRAZ = "
302.4
.
268 '
-
.ΔAXY , ΔAGL , ΔADF , ΔABC :10 ,9 ,8
?ΔAXY -
.
?
:
.
‫ר‬
10 – 8
--
1
3
4
5
9
7
16
:
.
2-
.
1) 1=1
-
.
2) 1+3=4
.
3) 1+3+5=9
,
,
-
.
-
4) 1+3+5+7+9=25
1  3  5  ...  2n  1  n2 :
5) 1+3+5+7+9+11=36
B
,DF ,AD
D
.DF ll BC
7.4
ΔADF
.48 269 '‫עמ‬
. "
A
BC
ΔADF ∼ ΔABC .
8
12
.
" 11.1
.ΔABC
.AB
.
.SΔADF = "
29 :
.SΔABC = "
65.25
F
.
F
C
.49 269 '‫עמ‬
.DEF ∼ ABC
A
.FE
D
15
H
B
DH .BC
. "
6
G
10
ΔDEF
.
1.5 .ΔABC -
C
2.25 ?
"
E
AG
" 9.
.
.
67.5 .ΔDEF
.
.DH
.
,
353
. " 1
.
.50 269 '‫עמ‬
.
.
.
.
A
G, B 
E
H, C 
F
K
ΔDEF ∼ ΔABC .2
.
ΔGHF ∼ ΔABC .3
.
2
.
3
.SΔHGK = "
.
D
9 ,SΔEDF = "
?DF
4 ,SΔABC = "
S
S
SΔGHK 9
S

, ΔGHK  9 , ΔDEF  4 . ΔGHK
SΔABC
SΔDEF
4
SΔABC
S ΔDEF
,
.
GK
1.
.
S ΔGHK
S
, ΔDEF :
S ΔABC
S ΔABC
.


A



D





G





B

C













E



F


















K
H
.
,
:
( "
ΔABC
0.5
" "
. "
.
,
1
,
. "
ΔABC
1
,)
.ΔGHK
-
.)ΔDEF
. "
(
9
, "


A



D





G





B

C













E



F



















K
H 
354
4.5
.C
.
ΔECD - ΔABC
-
D
. "
6
12
A
.51 270 '‫עמ‬
BD - AE
.
.
BC 1
 ?
CD 2
E
C
.BC = " 4 ,CD = " 8 .CD -
3
B
. "
.4
.
BC
5 ?AC
?ΔABC
.
.CE = " 10 :
ΔEDC
.
.
.
D
.5
A
M
G
T
.52 270 '‫עמ‬
ΔDGM - ΔATR
,
.5
?ΔDGM
ΔATR
.
.25
?ΔDGM
ΔATR
.
R
‫ר‬
-
.
‫ק‬
- 270 '
12
-
‫טר‬
:
.
‫ץ‬
‫להחליף לכידה בגלל טעות הקלדה‬
,
.
.
.
.
.
-
,
"
.)
ΔBHC(
"
.
.
-
.)
-
,
,
(
355
.
‫' ‪– 271‬‬
‫‪13‬‬
‫ר‪-‬‬
‫ר‬
‫‪-‬‬
‫‪,‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪13‬‬
‫‪,‬‬
‫(‬
‫)‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫עמ' ‪272‬‬
‫ר‬
‫‬‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪)14‬‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫–‬
‫‪.‬‬
‫‪356‬‬
273 ’
.ΔKLM
‫ר‬
.53 273 '‫עמ‬
-
L
L
.AK
– PM
.PK = " 25 ,LP = " 9
:
M
P
.
.PM
.LM
.
.KM
.
.
K
Q
13
T
.ΔQSR
-
ST .54 273 '‫עמ‬
QR
5
. "
.ST - RT ,QT :
x
‫ר‬
.
R
12
S
.
‫ר‬
‫ר‬
,
‫ר‬
.
. ‫ר‬
‫ט‬
‫ר‬
‫רך‬
.
:ΔSTQ ∼ ΔSQR
..
STQ 
Q
SR ST
12 4.615



 QT  1.923
QS QT
5
QT
;
: ‫רך‬
QSR  900
QR SQ
13
5
5  12



 ST 
 4.615 :
SR ST
12 ST
13
RT  QR  QT  13  1.923  11.077 ,
:ΔSTR ∼ ΔSQR
..
R
STR 
: ‫רך‬
QSR  900
SR RT
12
RT
QR RS
13 12
12  5



 RT  11.076 ;



 ST 
 4.615 :
QS ST
5
4.615
QS ST
5 ST
13
QT  QR  TR  13  11.076  1.924 ,
.
‫ט‬
SQ  SR 5  12

 30 :
2
2
357
ST
ΔSQR
‫רך‬
: ‫רך‬
:ST
ΔSQR
ST  QR
ST  13
 30 
 30  ST  13  60  ST  4.615
2
2
.
,
RT ,QT :
-
-‫ר‬
-
.DB - AD :
‫ר‬
– 273 '
-‫ר‬
‫ר‬
– 14
.)∡C = 90°( ΔABC
,CD
14
-
A
‫ק‬
ΔADC ∼ ΔCDB :
32
.
:
AD
D
18
1
8
8
.
=
=
.DB - AD
CD –
.
B
C
.)
( BD = " 18
AD = " 32 :
.
.
‫ק‬
A
ΔABC ∼ ΔACD :
.
:
.
50
AB
40
=
=
D
. AB  CD = AC  CB
C
( AC = " 40 AC = " 40 AB = " 50 :
.
.)
B
30
.
.
-
:
. CD  AD  BD :
.
.
-
:
:
: ‫ר‬
.
358
.
‫ר‬
263 '
M
.
‫ר‬
MR ..55
55 274 '‫עמ‬
,
,MK - ML ,
10
,
.
24
KL .90
.
L
.
K
R
26
.
10
26

 MR = " 9.23 :
MR 24
: ‫רך‬
:ΔMLK
: ‫רך‬
10  24
MR  LK
MR  26
 120 
 120 
 120  MR  9.23
2
2
2
.RK - RL
,
R–
.
RK = " 22.15 ,RL = " 3.85
.
A
56
.
B
..56
56 274 '‫עמ‬
.
,
,
ABCD
,
10
6
.
.
.
?
8
D
C
?
. . .
A
B
:
– ∡BAC = ∡DCA(
,
∡ABE = ∡DFC ,
x
F
10
.
–DC =AB
)
-
6
10-x E
D
8
.
.FC = 10 – x ,AF = x :
.ADC ~ DFC
AD DC AC
6
8
10






DF FC DC
DF 10  x
8
10 10  x   64  x  3.6 ; 10  x  6.4
C
DF  3.6  6.4  4.8
, "
30.72
, "
3.6  4.8
 8.64
2
6.4  4.8
 15.36
2
. " 17.28
. "
359
.B
.
). "
.47
.57 274 '‫עמ‬
( .
,
A
).
,B
(
.
8
P
Q
.
6.4
.
,Q
.
,Q
?
B
R
C
10
,
‫ק‬
‫רך‬
.
‫ר‬
ABC - APQ
)BR ‫ך קט‬
APQ ~ :
∡BACPQ II BR ,
BC
,
( APQ 
)
‫ק‬
a-
( PQ II BC
PBR ,
( PQA 
)
QCR
:
,ABC
AP PQ
8a a



10(8  a)  8a  a  4.44
AB BC
8
10
4.44  4 
AQ PQ
b
4.44
4.44  6.4



b 
 2.84 :
AC BC
6.4
10
10
‫ק‬
"‫ ק‬17.77 :
.AQ
‫רך‬
‫רך‬
. "‫ ק‬10.84 = 2.84 + 10 :
. "‫ ק‬13.56 = 3.56 + 10 :
‫רק‬
360
, 6.4  b  6.4  2.84 
b,
" 3.56
275 '
.
‫רק‬
‫ף‬
‫ר‬
,
28
,‫ץ‬
.58 275 '‫עמ‬
7
.
?
.
2.5
‫ץ‬
h
28

 h = ' 10
2.5
7
-
.59 275 '‫עמ‬
.
.
.
-
1.6
2
.
. " 80
h = ' 1.44 ?
.
.
.60 275 '‫עמ‬
7
3
‫ץ‬
3
.‫ץ‬
7
.
' 10.5 ?
.
4.5 ‫ץ‬
.
A
8
.61 275 '‫עמ‬
10
14
∡ADE = ∡ACB = x . "
12
D x
.
E
.
ΔADE ∼ ΔACB
b
B
x
a
,BC
,
.
C
.EC
8
12
2
2

 12  b  14  b  2
12  b 22
3
3
10 12
1

 a  18
a
22
3
?
.62
.
.
,
2-
.
,
.
-
361
,
,
.63 275 '‫עמ‬
.2 : 5
?
. " 30
.
?
.
?
.
,
– 276 '
15
,
.
:
.
.
,
18
,
.
,
,
,
.
.
"
,
"
.
.
.
.
,
:‫ק‬
‫ר‬
.
http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_content&task=view&id=2679
:
‫ר‬
.
http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_content&task=view&id =1948
.
.
,
.
.
,
362


‫– קר‬
‫ט‬
‫"‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.5‬‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫?‬
‫?‬
‫?‬
‫‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪363‬‬
‫‪8‬‬
279 - 277 ’
5
.) "
2
(
‫ר‬
,
.
3
5
.64 277 '‫עמ‬
10
4
7.5
12.5
2.5
6
2.5
1
3
4
.
.
?
-
.
–
?
.
?
?
. "
90
. "
.
.
.
.65 277 '‫עמ‬
.
.
,
.
"
"
3
2
1.5
2
1.5
0.75
1
0.5
0
90 .
, .
a
b
.66 278 '‫עמ‬
?
,b
a
,b
a
. ?
b2 -
2
a
.
364
a2
a
 
2
b
b
2
8
A
. "
B
.67 278 '‫עמ‬
ABCD
KLMN
3
.KLMN
. "
.
D
12
?
C
,3/8
" 12
,8/3
" 12
. " 32
. " 4.5
" 12
:
. " 32
" 12
:
:
. " 4.5








































































































































































.
,
.68 278 '‫עמ‬
.
.
.
.
,
. " 1
.
-
69
. "
.
.69 278 '‫עמ‬
.
.
D
,
.
x
E
x
5.4
A
.
2.7
y
5
y
4
H
3
3
Q
x
2.7
2.5
y
T
1.5
B
5
C
F
2.5
G
365
R
2.5
S
70
A
B
,ABCD
.
. "
12
.70
.70 279 '‫עמ‬
AB
,
.ABCD
?BC
D
. " 18
C
.AB
AB
, " 7.5
BC
,BC
.
,
.
,
.
.
AB
?
,
,BC
.
AB
?
?
,
.
A
3
3
3
3
?
.BC
B
.x -
" 12
.x -
,ABCD
x
ABCD
x-
,ABCD ,
" 3
, " 12
,AB
,
,
BC
BC
.
D
. " 6
,)
(
.ABCD
. " 9
BC
,
,
:
,2
. " 18
,
" 3
12 x
  x2  36  x  6 :
x 3
C
.2
: ‫ר‬
.)
,
,
.
(
,
BC
AB
2
. " 12
.
366
.71
.71 279 '‫עמ‬
.
-
.
.72 279 '‫עמ‬
).
A
.
G
2.5
(
GF - AH ,ED
,
10.7
E
)C ,F ,H ,D ,B
7.5
.' 7 -
2.5
B
(
x
1 D
H
C
F
?
11.8
2.5
1

 DH  ' 2
5
DH
11.8 10.7
CFG :

 FC  " 6.8
7.5
FC
BAH
CAB
BED :

,
.)
,
(

,
.

.
.
-

‫ט‬
,
‫ר‬
,

.
.
.
(

,
.)

,
.
.

‫ט‬
.
:
‫ר‬
(
.
.)
.
367
280 '‫עמ‬
248 ’
5
‫ף‬
?‫ק ר‬
.
"
–
"
"
.
B
F
E
P
S
H
A
C
E
G
K
Δ______ ∼ Δ_______
D
Δ_______ ≅Δ_______
:
:
:
:
:
:
?
.
?
.
?
.
?
.
?
368
.
250 ’
.‫רך‬
6
‫ קר‬-
‫ ף‬‫ק‬
‫ר‬
–6
. " 1
.
ΔQSR








C


























A

















D












B























S











Q
R
. ΔCSD - ΔASB
ΔQSR
SR - SQ
.
.ΔASB - ΔQSR :
.ΔASB
.
ΔQSR
)1
.
? ΔQSR
ΔASB
.
AB
 ___
QR
)2
SB
 ___
SR
,
.
?
SA
 ___
SQ
,
:
ΔASB - ΔQSR
)3
.ΔASB - ΔQSR :
.
?ΔCSD
.
ΔQSR
? ΔQSR
)1
ΔCSD
.
CD
 ___
QR
,
.
369
)2
SD
 ___
SR
?
,
CS
 ___
SQ
ΔCSD - ΔQSR
:
)3
251 ’
.
7
‫ קר‬-
‫ ף‬‫ק‬
‫ר‬
-7
.∆QRS
,
.
.
,
?∆QRS
.
.
.
?∆QRS
.
.
,
.
?
.
?
.
.
6






















































































S













































































































Q
R
370
‫ ף‬‫‪11‬‬
‫ר‬
‫’ ‪,253‬‬
‫‪12‬‬
‫(‬
‫ק?‬
‫?‬
‫ף‬
‫‪371‬‬
‫’ ‪254‬‬
‫‪,‬‬
‫)‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ -‬ף‬
‫‪372‬‬
‫’ ‪262‬‬
‫משפט פיתגורס‬
‫במהלך פרק זה התלמידים יכירו את משפט פיתגורס ואת יישומיו בשני גופים מרחביים‪ :‬תיבה וגליל‪ .‬כמו כן‪ ,‬התלמידים יכירו‬
‫משפט חפיפה‪ :‬אם יתר ואחד הניצבים במשולש ישר‪-‬זווית אחד‪ ,‬שווים ליתר ולניצב במשולש ישר‪-‬זווית שני‪ ,‬אז המשולשים‬
‫חופפים‪ .‬הפרק עשיר בתרגילים ומאפשר בחירה רבה‪ .‬אין צורך לפתור את כל התרגילים‪.‬‬
‫משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים היפים והמפורסמים ביותר בגאומטריה‪ .‬אומנם המשפט עוסק במצולעים מוכרים לתלמידים‪:‬‬
‫משולש ישר‪-‬זווית וריבועים‪ ,‬אך הקשרים ביניהם‪ ,‬כפי שהם באים לידי ביטוי במשפט פיתגורס אינם מובנים מאליהם ומפתיעים‪.‬‬
‫הפרק בנוי באופן שמאפשר לתלמידים לחוות את ההפתעה ולהתנסות בתהליך הגילוי של משפט פיתגורס‪ :‬תחילה במשמעותו‬
‫הגאומטרית כקשר בין שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים ועל היתר של משולש ישר‪-‬זווית ובהמשך במשמעותו האלגברית‪,‬‬
‫כקשר בין אורכי הניצבים והיתר במשולש ישר‪-‬זווית‪ .‬להלן תמצית הפעילויות‪:‬‬
‫פעילויות ‪ 1‬ו‪ :2 -‬מרובע חסום בתוך ריבוע‪ :‬לומדים להסביר מדוע המרובע הוא ריבוע (במקרים בהם זה אכן כך) ומכירים גם‬
‫מצבים בהם המרובע איננו בהכרח ריבוע‪ .‬בפעילות ‪ 2‬לומדים לחשב את שטחו של הריבוע‪ .‬שתי פעילויות אלו הן פעילויות‬
‫מקדימות אשר יכולות להפחית מהעומס הלימודי בעת הצגת פעילויות ‪ 3‬ו‪.4 -‬‬
‫פעילות ‪ :3‬על סריג משבצות מסורטט משולש ישר‪-‬זווית שעל צלעותיו בנויים ריבועים‪ .‬על פי חקירה של מספר מקרים מגלים‬
‫שסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח של ריבוע הבנוי על היתר‪ .‬הגילוי נעשה באופן אמפירי‪.‬‬
‫פעילות ‪ :4‬הצדקה של משפט פיתגורס‪ :‬בתוך שני ריבועים זהים "מניחים" ‪ 4‬משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים בשתי צורות שונות‬
‫ומתבוננים בשטח הנותר‪ .‬במקרה האחד – שטח זה הוא שטח של ריבוע הבנוי על היתר‪ ,‬ובמקרה אחר זהו שטח של שני‬
‫ריבועיים הבנויים על הניצבים‪ .‬משוויון השטחים בשני המקרים ניתן להסיק את משפט פיתגורס‪.‬‬
‫כעת נפרט על כל אחת מהפעילויות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פעילות ‪ 1‬עמ' ‪ – 281‬מרובע מיוחד בתוך ריבוע‬
‫לפעילות זו יישומון באתר‬
‫משולש‪.‬‬
‫נתון ריבוע ובתוכו חסום מרובע (כחול)‪.‬‬
‫כל הקטעים האדומים שווים באורכם וכל הקטעים הירוקים‬
‫שווים באורכם‪ .‬מטרת הפעילות היא לחקור את תכונות‬
‫המרובע הפנימי ולהגיע למסקנה שמרובע זה הוא ריבוע‪.‬‬
‫בחלק הראשון של הפעילות התלמידים חוקרים את אורכי‬
‫הצלעות של המרובע ומגיעים למסקנה שהם שווים זה לזה‪.‬‬
‫מסקנה זו נובעת מחפיפה של ארבעת המשולשים ישרי‪-‬‬
‫זווית הנמצאים "בפינות" הריבוע‪.‬‬
‫אורך היתר של כל משולש הוא אורך הצלע של המרובע‬
‫הפנימי‪.‬‬
‫בחלקה השני של הפעילות התלמידים חוקרים את זוויות‬
‫המרובע הפנימי‪ .‬סכום הזווית האדומה והזווית הירוקה שווה‬
‫ל‪ 90° -‬כסכום הזוויות החדות במשולש ישר‪-‬זווית‪ .‬נשתמש‬
‫בחפיפה של ארבעת המשולשים כדי לסמן את שאר הזוויות‬
‫השוות זו לזו ונתמקד בזוויות סביב אחד הקדקודים (סרטוט‬
‫ב)‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪373‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫סכום הזוויות‪ ,‬הזווית האדומה‪ ,‬הזווית הצהובה והזווית הירוקה הוא ‪( 180°‬השלמה לזווית שטוחה)‪ .‬מכאן ניתן להסיק שמידת‬
‫הזוויות הצהובה היא ‪ 90°‬ולמעשה כל זוויות המרובע הכחול הן ישרות‪ .‬קיבלנו שבמרובע הכחול כל הזוויות שוות (‪ )90°‬וכל‬
‫הצלעות שוות ולכן מרובע זה הוא ריבוע‪.‬‬
‫סעיף ה של הפעילות נועד לחדד את הנקודה שהמקרה שחקרנו הוא מיוחד ולא כל מרובע שחסום בתוך ריבוע הוא ריבוע ‪ .‬על‬
‫אף הדמיון בין שלושת המקרים א‪ ,‬ב‪ ,‬ג רק במקרה ב המרובע הפנימי שמתקבל הוא ריבוע‪.‬‬
‫פעילות ‪ 2‬עמ' ‪ – 282‬איך מחשבים שטח של מרובע בתוך ריבוע?‬
‫גם בפעילות זו נתון מרובע בתוך ריבוע‪ .‬התלמידים‬
‫מתבקשים לנמק מדוע המרובע הוא ריבוע על פי הנתונים‬
‫שבסרטוט‪ .‬המוקד של הפעילות הוא חישוב שטח הריבוע‬
‫הפנימי‪ ,‬על ידי החסרת שטחם של ארבעת המשולשים‬
‫הישרי‪-‬זווית והחופפים‪ ,‬משטח הריבוע החיצוני‪.‬‬
‫התלמידים מכירים שיטת חישוב שטחים זו מלימודי‬
‫גאומטריה קודמים (בכיתה ז)‪ ,‬ולכן פעילות זו היא בגדר‬
‫תזכורת עבורם‪.‬‬
‫בסעיפים ד ו‪ -‬ה חוזרים על החישוב של שטח הריבוע‬
‫עבור שני מקרים נוספים (מידות אחרות)‪ .‬ניתן לחלק את‬
‫התלמידים לקבוצות ולבקש מכל קבוצה לבצע מקרה שונה‬
‫או להשתמש בסעיפים אלו כתרגול חוזר‪.‬‬
‫פעילויות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬מהוות הכנה לקראת פעילויות ‪ 3‬ו‪ ,4 -‬לכן‬
‫מומלץ לבצע את שתיהן‪ .‬סיכום הפעילויות מופיע בעמוד‬
‫נפרד‪ ,‬לכן ניתן לבצע את שתי הפעילויות עם ספר פתוח‪.‬‬
‫בפעילויות ‪ 1‬ו‪ 2 -‬יצאנו מריבוע‪ ,‬חילקנו את צלעותיו כך‬
‫שבפינות הריבוע נוצרו ארבע משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים זה לזה‪ .‬ראינו‪ ,‬שבאופן זה מתקבל מרובע פנימי שהוא ריבוע וניתן‬
‫לחשב את שטחו על ידי חיסור סכום שטחי ארבעת המשולשים הישרי‪-‬זווית משטח הריבוע החיצוני‪.‬‬
‫תרגילים ‪ 4‬ו‪ 5 -‬בעמ’ ‪ 289 - 288‬מתאימים לפעילויות ‪ 1‬ו‪.2 -‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪374‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫‪‬‬
‫פעילות ‪ 3‬עמ' ‪ – 283‬משולש ישר‪-‬זווית וריבועים הבנויים על צלעותיו‬
‫מטרת הפעילות היא לגלות את משפט פיתגורס‪ :‬סכום‬
‫לפעילות זו יישומון באתר‬
‫משולש‪.‬‬
‫שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע‬
‫הבנוי על היתר‪ .‬התלמידים מגלים את משפט כהכללה‬
‫בעקבות חקירה של מקרים פרטיים‪.‬‬
‫בתחילת הפעילות התלמידים רואים סרטוט של מרובע‬
‫בתוך ריבוע‪ ,‬הדומה למה שראו בפעילויות ‪ 1‬ו‪ ,2 -‬כשהוא‬
‫מסורטט על סריג של משבצות‪.‬‬
‫להחליף היו תיקונים‬
‫בסעיף א התלמידים מתבקשים למצוא את שטח הריבוע‬
‫הכחול בדרכים שונות‪ .‬ניתן להשתמש בשיטת החסרת‬
‫השטחים אותה יישמו בפעילויות ‪ 1‬ו‪ ,2 -‬אולם ניתן גם‬
‫להשתמש במשבצות הסריג לשם כך‪.‬‬
‫בסעיף ב אנחנו משנים את נקודת המבט ומתמקדים‬
‫באחד המשולשים ישרי‪-‬זווית המקיפים את הריבוע‬
‫הפנימי‪ .‬הריבוע הכחול בנוי על היתר של משולש ישר‪-‬‬
‫זווית‪ .‬אורך צלע הריבוע הוא אורך היתר במשולש‪.‬‬
‫מרחיבים את הסריג ובונים ריבועים גם על הניצבים של‬
‫המשולש הישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫מומלץ להבהיר לתלמידים מה המשמעות של המושג‬
‫"ריבוע בנוי על צלע של משולש"‪.‬‬
‫בסעיפים ג – ד התלמידים חוקרים שלושה מקרים של‬
‫משולשים ישרי‪-‬זווית ומתבקשים למצוא את השטחים של‬
‫הריבועים הבנויים על הניצבים ועל היתר בכל אחד‬
‫מהמקרים‪ .‬את תוצאות החקירה מסכמים בטבלה‪ .‬מומלץ‬
‫לבקש מהתלמידים להציע מקרה אחד נוסף משלהם‪.‬‬
‫מומלץ לבצע פעילות זו על פי דף עבודה המיועד לכך באתר הספר‪ .‬בנוסף‪ ,‬ניתן להיעזר ביישומון משפט פיתגורס – פעילות ‪,3‬‬
‫אשר מאפשר לשנות את ממדי המשולש הישר‪-‬זווית וממחיש את התעדכנות שטחי הריבועים בהתאם‪ .‬היישומון מאפשר לגלות‬
‫מקרים נוספים ומחזק את תחושת הכלליות כי החוקיות נשמרת תמיד‪.‬‬
‫שטח הריבוע הבנוי על ניצב אחד‬
‫‪ -‬הריבוע הירוק (בסמ"ר)‬
‫שטח הריבוע הבנוי על ניצב שני –‬
‫הריבוע האדום (בסמ"ר)‬
‫שטח הריבוע הבנוי על היתר –‬
‫הריבוע הכחול (בסמ"ר)‬
‫סרטוט ג‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫סרטוט ד‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪13‬‬
‫סרטוט ה‬
‫‪25‬‬
‫‪4‬‬
‫‪29‬‬
‫סרטוט שלכם‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪375‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫סיכום הפעילות מופיע בעמ’ ‪ 284‬ומציין שמסקנות החקירה‬
‫אינן מקריות אלא נובעות ממשפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר‪-‬‬
‫זווית שטח הריבוע הבנוי על היתר שווה לסכום שטחי‬
‫הריבועים הבנויים על הניצבים שלו‪ .‬או בצורתו‬
‫האלגברית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.a +b = c‬‬
‫חשוב לשים לב לכך שנכונות המשפט אינה נובעת‬
‫מהחקירה האמפירית שבצענו‪ ,‬אלא התוצאות האמפיריות‬
‫התקבלו כפי שהן בגלל שהן מקרה פרטי של משפט‬
‫פיתגורס‪ .‬למשפט זה יש הוכחות רבות ואחת מהן מופיעה‬
‫בפעילות ‪ 4‬עמ’ ‪.285‬‬
‫פעילות ‪ 3‬מתאימה לכלל התלמידים‪ ,‬אך במיוחד לתלמידים‬
‫ברמה נמוכה שזקוקים להדרגתיות בתהליך הלמידה‪.‬‬
‫תלמידים ברמה גבוהה יכולים לעבור לפעילות ‪ 4‬ישירות‬
‫ללא פעילות ‪.3‬‬
‫להחליף סדר‬
‫פעילות ‪ 4‬עמ' ‪ – 285‬נרצף ריבוע במשולשים‬
‫‪‬‬
‫ישרי‪-‬זווית‬
‫פעילות ‪ 4‬בנויה בצורה כזאת שתלמידים שלא בצעו את‬
‫פעילות ‪ 3‬וטרם הגיעו לניסוח של משפט פיתגורס יכולים‪,‬‬
‫בעקבות חקירה אמפירית‪ ,‬לגלות את המשפט מתוך פעילות‬
‫‪ 4‬ישירות‪.‬‬
‫בתחילת הפעילות בונים ארבע משולשים ישרי‪-‬זווית‬
‫חופפים זה לזה‪ ,‬שאורכי הניצבים שלהם הם ‪ 3‬ס"מ‬
‫ו‪ 7 -‬ס"מ וריבוע שאורך צלעו ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬כסכום אורכי‬
‫הניצבים של המשולש הישר‪-‬זווית‪ .‬בתוך ריבוע זה "מניחים"‬
‫את ארבעת המשולשים הישרי‪-‬זווית בשתי דרכים שונות‪,‬‬
‫כמתואר בסרטוטים א ו‪ -‬ב‪ .‬הערה‪ :‬הסרטוטים נועדו להציג‬
‫שני סידורים שונים של משולשים בתוך אותו הריבוע‪.‬‬
‫בחירת צבעי המשולשים נועדה לעזור לתלמידים לראות את‬
‫מיקומם בשני הסרטוטים השונים‪ .‬בסרטוט א ו‪-‬ב‬
‫המשולשים מונחים באותו מצג‪ ,‬אך "הוזזו" למקומות שונים‬
‫להחליף לכידה‬
‫בריבוע‪ ,‬כך שהם יוצרים "מבנים" שונים‪ .‬ניתן להיעזר‬
‫במצגת הדגמה הנמצאת באתר‪ ,‬בה יש אנימציה הממחישה‬
‫את המעבר מסידור א לסידור ב‪.‬‬
‫החלק הלבן בסרטוט א הוא ריבוע (על סמך מה שגילינו‬
‫בפעילות ‪ ,)1‬שאורך צלעו שווה לאורך היתר במשולש‬
‫הישר‪-‬זווית ושטחו ‪ 58‬סמ"ר (כפי שלמדנו לחשב בפעילות‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪376‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫‪ .)2‬החלק הלבן בסרטוט ב הוא שני ריבועים‪ :‬ריבוע‬
‫אחד‪ ,‬אורך צלעו כאורך אחד הנצבים (במקרה זה‪3 :‬‬
‫ס"מ) וריבוע שני‪ ,‬אורך צלעו הוא כאורך הניצב השני‬
‫(במקרה זה‪ 7 :‬ס"מ)‪.‬‬
‫למעשה אין צורך לחשב את השטחים של הריבועים‬
‫הלבנים‪ ,‬כי מיד רואים שבשני המקרים‪ ,‬המשולשים‬
‫תופסים את אותו שטח מתוך הריבוע החיצוני הגדול‪,‬‬
‫ולכן שטח הריבוע‪ ,‬שנותר בסרטוט א‪ ,‬שווה בשטחו‬
‫לסכום שטחי הריבועים הלבנים שבסרטוט ב‪.‬‬
‫לצורך המחשה ניתן להשתמש במספר עזרים‪:‬‬
‫‪ )1‬מצגת "משפט פיתגורס‪ -‬הצדקה מתמטית" באתר הספר‪ .‬מצגת זו מכילה אנימציה המראה באופן דינאמי את שתי דרכי‬
‫הארגון של המשולשים הישרי‪-‬זווית הצבעוניים בתוך ריבוע גדול‪.‬‬
‫‪ )2‬מומלץ להכין ערכת שקפים הכוללת ריבוע גדול וארבעה משולשים ישרי‪-‬זווית‪ ,‬על פי דפי גזירה המצורפים למדריך‪ .‬ערכה זו‬
‫יכולה לשמש להמחשה בעת הוראת המשפט בכיתה‪ .‬היתרון של שקפים במקרה זה‪ ,‬הוא היכולת לסדר את המשולשים באופן‬
‫פיסי בתוך הריבוע בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫‪ )3‬ניתן לתת לתלמידים להתנסות בעצמ ם בסידור המשולשים‪ .‬לשם כך אפשר לחלק את הכיתה לקבוצות ולהכין ערכה לכל‬
‫קבוצה (בעזרת דפי גזירה)‪.‬‬
‫כל מורה מוזמן לבחור באחד מסוגי העזרים או לשלב ביניהם‪.‬‬
‫בסעיפים א – ז של הפעילות‪ ,‬התלמידים מגלים את שוויון השטחים של הריבועים הלבנים‪ .‬לתלמידים שהתנסו בפעילות ‪ 3‬אפשר‪,‬‬
‫בשלב זה‪ ,‬להציג שאלה‪ :‬כיצד מה שעשינו בפעילות ‪ 4‬עד כה מצדיק באופן מתמטי את משפט פיתגורס? עבור תלמידים שלא‬
‫התנסו בפעילות ‪ ,3‬פעילות ‪ 4‬מספקת הזדמנות לגלות את משפט פיתגורס תוך כדי חשיפה לרעיון ההוכחה שלו‪ .‬כלומר‪ ,‬גם‬
‫לגלות את המשפט עצמו וגם להבין מדוע המשפט נכון‪.‬‬
‫הדוגמה הפרטית של משולש שניצביו ‪ 3‬ס"מ ו‪ 7 -‬ס"מ מהווה דוגמה ג'נרית שניתנת להכללה מידית‪ ,‬המופיעה מיד אחרי‬
‫הפעילות‪.‬‬
‫סעיף ח של הפעילות מסייע בקישור בין תהליך ארגון המשולשים שבוצע בשתי דרכים שונות לבין משפט פיתגורס‪ .‬בסעיף זה‬
‫מוצג סרטוט שבו שני הריבועים מונחים חלקית אחד על השני באופן שמאפשר לראות את הריבועים הלבנים כבנויים על היתר ועל‬
‫הניצבים של המשולש הישר‪-‬זווית (הירוק)‪ .‬התהליך שבצענו בסעיפים הקודמים מוביל למסקנה שסכום שטחי הריבועים הבנויים‬
‫על הניצבים של המשולש הישר‪-‬זווית שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר – משפט פיתגורס‪.‬‬
‫חשוב לחדד שנכונותו של משפט פיתגורס אינה נובעת מבדיקה של מקרים פרטיים אלא מתהליך ההנמקה שבצענו בפעילות ‪.5‬‬
‫סעיף ח‪ .3.‬של פעילות ‪ 5‬מדגיש זאת במפורש‪.‬‬
‫סעיף זה מציב שאלה למחשבה‪ :‬האם היינו זקוקים לאורכי הצלעות על מנת להסיק את הקשר בין סכום שטחי הריבועים הבנויים‬
‫על הניצבים לבין שטח הריבוע הבנוי על היתר? האם הקשר יישמר אם נסמן את אורכי הניצבים ב‪a -‬‬
‫וב‪ ,b -‬ואת אורך היתר ב‪?c -‬‬
‫שאלה זו נועדה לכוון את התלמידים לראות את הכלליות של ההוכחה שביצעו עבור המקרה של משולש ישר‪-‬זווית עם ניצבים ‪3‬‬
‫ס"מ ו‪ 7 -‬ס"מ‪ .‬למעשה‪ ,‬תהליך ההוכחה אינו תלוי במספרים ספציפיים ויכולנו לבצע זאת עבור משולש ישר‪-‬זווית כלשהו‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪377‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫הצעה לפעילות נוספת‪:‬‬
‫יש אומרים כי מקור ההשראה שהובילה את פיתגורס לגלות את המשפט המפורסם הוא רצפת‬
‫אריחים דומים לדגם שבסרטוט‪ .‬בסרטוט ריצוף קרמיקה המורכב מ‪ 4 -‬ריבועים צמודים שכל אחד‬
‫מהם מחולק על ידי האלכסון לשני משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫א‪ .‬ארבעת המשולשים הישרי‪-‬זווית יוצרים את המרובע הכהה‪ .‬מהו מרובע זה ?‬
‫ב‪ .‬מהו שטח המרובע הכהה?‬
‫ג‪ .‬חשבו את אורך הצלע של המרובע הפנימי בשתי דרכים‪:‬‬
‫דרך א‪ :‬באמצעות משפט פיתגורס‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬חשבו תחילה את צלע המרובע באמצעות שטחו‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬המרובע הפנימי הוא ריבוע‪ .‬כל צלעותיו שוות וכל זוויותיו מורכבות משתי זוויות בנות ‪45‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטח המרובע הכהה הוא מחצית שטח הריבוע החיצוני‪ 2 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬דרך א לפי משפט פיתגורס‪ 2 :‬ס"מ‪ .‬דרך ב‪ :‬אם שטח הריבוע ‪ 2‬סמ"ר אז אורך הצלע ‪2‬‬
‫בפעילות ‪ 4‬הצדקנו באופן מתמטי את משפט פיתגורס‪.‬‬
‫למשפט פיתגורס מוכרות יותר הוכחות מאשר לכל משפט מתמטי אחר‪ .‬כיום ידועות למעלה מ‪ 400 -‬הוכחות שונות‪,‬‬
‫המבוססות על תחומים שונים של המתמטיקה‪ ,‬ביניהן כאלה שניתנו על‪-‬ידי המתמטיקאי אויקלידס‪ ,‬הצייר והפסל‬
‫ליאונרדו דה‪-‬וינצ'י‪ ,‬וכן נשיאה ה‪ 20 -‬של ארה"ב ג'יימס גרפילד‪.‬‬
‫נסו למצוא באינטרנט מידע על משפט פיתגורס ושלל ההוכחות שלו‪.‬‬
‫מיד אחרי פעילות ‪ 4‬מופיע סיכום של ההוכחה של משפט פיתגורס עם פרמטרים‪ .‬סיכום זה כולל גם חזרה על הניסוח הגאומטרי‬
‫של משפט פיתגורס (בין היתר‪ ,‬עבור תלמידים שלא בצעו פעילות ‪ )3‬וגם הניסוח האלגברי של המשפט‪ :‬במשולש ישר‪-‬זווית‪,‬‬
‫סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪ .‬ניסוח זה מציג פן אחר של משפט פיתגורס‪ :‬במקום להתמקד בקשר בין שטחי‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הריבועים הבנויים על הצלעות‪ ,‬מתמקדים בקשר בין אורכי הניצבים והיתר במשולש ישר‪-‬זווית‪ .a +b =c :‬קשר זה מאפשר‬
‫למצוא אורך של אחת מצלעות של משולש ישר‪-‬זווית כאשר נתונים האורכים של שתי הצלעות אחרות‪.‬‬
‫מציאת אורכי צלעות של משולש ישר‪-‬זווית‬
‫הניסוח האלגברי של משפט פיתגורס‪ a2 + b2 = c2 :‬מקשר בין אורכי הצלעות של משולש ישר‪-‬זווית‪:‬‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית‪ ,‬סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא אורך של אחת הצלעות במשולש ישר‪-‬זווית כאשר נתונים האורכים‬
‫של שתי הצלעות האחרות‪ .‬נראה זאת בדוגמה הבאה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪378‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫דוגמאות עמ' ‪287‬‬
‫עמ’ ‪ 287‬מכיל שתי דוגמאות פתורות של יישום משפט פיתגורס למציאת אורכי צלעות במשולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫דוגמה א‪ :‬מציאת אורך היתר‪ ,‬כאשר נתונים אורכי הניצבים (שימוש ישיר במשפט פיתגורס)‪.‬‬
‫דוגמה ב‪ :‬מציאת אורך אחד הניצבים‪ ,‬כאשר נתון אורך היתר ואורך הניצב השני‪.‬‬
‫מומלץ להפנות את תשומת ליבם של‬
‫התלמידים לדוגמאות הפתורות ככלי עזר‬
‫בפתרון תרגילים‪.‬‬
‫הצעה לפעילות נוספת‪:‬‬
‫למשפט פיתגורס הוכחות רבות ומגוונות‪ ,‬יותר‬
‫מכל משפט מתמטי אחר‪ .‬ההוכחה המוצעת‬
‫בפעילות ‪ 4‬היא אחת מבין יותר‬
‫מ‪ 400 -‬הוכחות המוכרות היום‪.‬‬
‫מומלץ להציע לתלמידים לחפש באינטרנט‬
‫הוכחות נוספות‪ ,‬בפרט כאלה המלוות‬
‫בהמחשות דינאמיות‪.‬‬
‫אחד האתרים האפשריים הוא האתר‬
‫‪ ,cut-the-knot‬המכיל אוסף של ‪ 99‬הוכחות‬
‫של משפט פיתגורס‪.‬‬
‫אומנם האתר הוא באנגלית‪ ,‬אך הוכחות רבות‬
‫המופיעות בו הן הוכחות "ללא מילים" ויכולות להתאים לתלמידי כיתה ח‪.‬‬
‫להלן הקישור לאתר‪http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml :‬‬
‫בויקיפדיה מצויות הוכחות בעברית וחלקן גם דינמיות וכוללות המחשה טובה‪:‬‬
‫‪http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A4%D7%99%D7%AA%‬‬
‫‪D7%92%D7%95%D7%A8%D7%A1‬‬
‫קישור נוסף אליו ניתן להפנות תלמידים מתעניינים הוא ליישומון הבא‪ ,‬המציג הצדקה נוספת למשפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪http://highmath.haifa.ac.il/smart%20board/pythagoras_proof.html‬‬
‫מכאן שניתן להשתמש באתרים אלו בשלושה אופנים שונים‪ :‬א‪ .‬ככלי עזר בהוראה ב‪ .‬להפנות את התלמידים להוכחות ספציפיות‬
‫באתרים השונים ג‪ .‬לתת לתלמידים לחפש בעצמם הוכחות שונות‪.‬‬
‫התרגילים בעמ’ ‪ 297 -288‬עוסקים ביישומים של משפט פיתגורס לבעיות חישוב של אורכי הצלעות במשולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫התרגילים משלבים ידע מנושאים שונים בג אומטריה שנלמדו עד כה‪ .‬התרגילים מכילים גם בעיות אורייניות‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪379‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫תרגילים עמ' ‪297 – 288‬‬
‫עמ' ‪288‬‬
‫עמ' ‪288‬‬
‫‪ .1‬חשבו את השורשים הבאים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪100 = 10‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪256 = 16‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪0= 0‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪441 = 21‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪225 = 15‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪1= 1‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪81 = 9‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪900 = 30‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪25 = 5‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪729 = 27‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪400 = 20‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪2,025 = 45‬‬
‫‪ .2‬בין אי לו שני מספרים שלמים נמצא כל אחד מהשורשים הבאים‪:‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪4  17  5‬‬
‫רמז‪5  25 , 4  16 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪11 < 140 < 12‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3< 15 < 4‬‬
‫‪9  15  16‬‬
‫‪121  140  144‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1< 3<2‬‬
‫‪4 < 24 < 5‬‬
‫‪16  24  25‬‬
‫‪1 3  4‬‬
‫עמ' ‪288‬‬
‫‪.3‬‬
‫עמ' ‪288‬‬
‫‪ .4‬נתונים שלושה ריבועים ובתוכם מרובע ירוק‪ .‬אורך צלע כל ריבוע הוא ‪ 11‬ס"מ‪ .‬בכל סרטוט‬
‫בכל סעיף סדרו את המספרים לפי הסדר מהקטן אל הגדול‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.2 , 6 ,4 , 18 , 2‬‬
‫‪1‬‬
‫תשובה‪, 1, 9 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.0 ,1 , 9 ,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0,‬‬
‫תשובה‪2 , 2 , 6 , 4 , 18 :‬‬
‫רשומים אורכי הקטעים המחלקים את צלעות הריבוע‪.‬‬
‫באילו מהסרטוטים אפשר לדעת בוודאות שהמרובע החום הוא ריבוע‪ ,‬מבלי למדוד‬
‫כל הסרטוטים המוקטנים‬
‫ואורכי הקטעים נתונים בס"מ‪.‬‬
‫הסרטוטים אינם מדויקים!‬
‫את הצלעות והזוויות? הסבירו‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫ריבוע‬
‫‪4‬‬
‫אינו ריבוע‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫מלבן שאינו ריבוע‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪380‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .5 289‬בכל אחד מהסרטוטים המוקטנים שלפניכם נתון משולש ישר‪-‬זווית‪ ,‬שעל צלעותיו בנויים ריבועים‪.‬‬
‫בכל סרטוט נתונים השטחים של שניים מהריבועים (בסמ"ר)‪ .‬עליכם למצוא את השטח של הריבוע השלישי‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 25‬סמ"ר‬
‫‪ 72‬סמ"ר‬
‫‪ 36‬סמ"ר‬
‫‪ 9‬סמ"ר‬
‫‪ 36‬סמ"ר‬
‫‪ 34‬סמ"ר‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 5.25‬סמ"ר‬
‫‪ 1‬סמ"ר‬
‫‪ 30.25‬סמ"ר‬
‫‪ 19.36‬סמ"ר‬
‫‪ 6.25‬סמ"ר‬
‫‪ 10.89‬סמ"ר‬
‫אפשר להשאיר את התשובה עם סימן השורש‪.‬‬
‫לרוב עושים זאת‪ ,‬כאשר השורש אינו מספר שלם‪.‬‬
‫לדוגמה‪x  5 :‬‬
‫עמ' ‪ .6 289‬בסרטו טים שלפניכם נתונים משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫חשבו את אורך היתר בכל אחד מהמשולשים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪24‬‬
‫‪x‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 25‬ס"מ‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2.5‬ס"מ‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪381‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪290‬‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫‪ .7‬בסרטו טים שלפניכם נתונים משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫בכל אחד מהמשולשים מצאו את אורכו של הניצב השני‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪15.6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪29‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ 20‬ס"מ‬
‫‪ 14.4‬ס"מ‬
‫עמ' ‪290‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1.5‬ס"מ‬
‫‪ .8‬בכל אחד מהמשולשים הישרי‪-‬זווית שלפניכם חשבו את אורך הצלע החסרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪11.25‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪17‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪ 13‬ס"מ‬
‫‪ 12.75‬ס"מ‬
‫‪8‬‬
‫‪ 15‬ס"מ‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫‪2.25‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫ח‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪85‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 77‬ס"מ‬
‫עמ' ‪290‬‬
‫‪ 10.25‬ס"מ‬
‫‪ 1.41‬ס"מ‬
‫‪ 4.24‬ס"מ‬
‫‪ .9‬בטבלה שלהלן נתונים האורכים בס"מ של צלעות במשולשים ישרי‪-‬זווית‪ .‬השלימו את האורכים החסרים‪.‬‬
‫משולש‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫יתר‬
‫משולש‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫יתר‬
‫א‪.‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7.5‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3.75‬‬
‫‪4.25‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7.5‬‬
‫‪8.5‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪3.3‬‬
‫‪4.4‬‬
‫‪5.5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪22.5‬‬
‫‪25.5‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12.5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪4.8‬‬
‫‪5‬‬
‫י‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10.5‬‬
‫‪14.5‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5.25‬‬
‫‪7.25‬‬
‫יא‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪1.75‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6.25‬‬
‫יב‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪29‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪382‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .10 291‬לפי תשובותיכם בתרגיל הקודם‪ ,‬מיינו את המשולשים לקבוצות של משולשים דומים ומצאו את יחס הדמיון בין כל שני‬
‫ב‪ ,‬ג‪ ,‬ז – יחס הדמיון ‪;1.875‬‬
‫משולשים דומים‪ .‬א‪ ,‬ח‪ ,‬יא – יחס הדמיון ‪;1.333‬‬
‫ה‪ ,‬י‪ ,‬יב – יחס הדמיון ‪;1.05‬‬
‫עמ' ‪ .11 291‬לפניכם תכנון של אזור מסחרי בעיר "נקודותיים"‪ .‬במציאות המרחק בין כל שתי נקודות סמוכות על אותו קו אופקי או אנכי‬
‫הוא ‪ 100‬מטר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דואר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סופרמרקט‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גלידריה‬
‫‪‬‬
‫אולם קולנוע‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫חומרי בניין‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מרכז ספורט‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עגלו למספר שלם של מטרים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את המרחק במציאות בין המקומות הבאים‪:‬‬
‫‪ )1‬המרחק בין מרכז הספורט לאולם הקולנוע‪.‬‬
‫‪20 = 4.47‬‬
‫‪ 447‬מ'‬
‫‪ )2‬המרחק בין מרכז הסופרמרקט לגלידריה‪.‬‬
‫‪41 = 6.4‬‬
‫‪ 640‬מ'‬
‫‪ )3‬המרחק בין בניין הדואר לחנות לחומרי בניין‪.‬‬
‫‪18 = 4.24‬‬
‫‪ 424‬מ'‬
‫ב‪ .‬אילו מבנים נמצאים במרחק שווה מבניין הדואר? נמקו‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חנות לחומרי בניין וסופרמרקט ‪ 424‬מ'‬
‫קרן צריכה להגיע מהסופרמרקט לבניין הדואר‪ .‬היא מתלבטת בין שתי אפשרויות‪ :‬לעבור דרך הגלידריה או לעבור‬
‫דרך אולם הקולנוע‪ .‬מבין האפשרויות האלה ‪ -‬מהי הדרך הקצרה ביותר? הסבירו‪.‬‬
‫דרך הגלידריה‪ 446 , 12  22  22  12  4.46 :‬מ' ;‬
‫דרך הגלידריה‪.‬‬
‫דרך אולם הקולנוע‪ 516 , 12  32  2  5.16 :‬מ'‬
‫ד‪ .‬קרן החליטה ללכת מהסופרמרקט לדואר בקו ישר‪ .‬בכמה התקצרה דרכה לעומת כל אחת מהאפשרויות בסעיף ג?‬
‫בקו ישר‪ 424 :‬מ' ‪ 32  32  4.24‬הדרך תתקצר ב‪ 22 -‬מ' ללא הגלידריה; וב‪ 92 -‬מ' ללא אולם הקולנוע‪.‬‬
‫עמ' ‪.12 291‬‬
‫‪ AT‬הוא גובה במשולש ‪.ΔSAR‬‬
‫הסרטוט מוקטן ואורכי‬
‫הקטעים נתונים בס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫על פי הנתונים בסרטוט חשבו‪:‬‬
‫א‪ .‬אורך הגובה ‪.AT‬‬
‫ב‪ .‬אורך הצלע ‪.AR‬‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 17‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬היקף המשולש ‪ ΔSAR‬ושטחו‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫היקף‪ 48 :‬ס"מ‪ ,‬שטח‪ 84 :‬סמ"ר‬
‫‪15‬‬
‫‪T‬‬
‫‪6‬‬
‫‪S‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪383‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .13 292‬הצלע ‪ UT‬משותפת לשני המשולשים הישרי‪-‬זווית‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ ΔUST‬ו‪.ΔMTU -‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אורך ‪.UT‬‬
‫‪ 5‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורך ‪.MU‬‬
‫‪ 13‬ס"מ‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S‬‬
‫‪3‬‬
‫‪T‬‬
‫‪M‬‬
‫‪12‬‬
‫עמ' ‪ .14 292‬המרובע ‪ ABCD‬מורכב משני המשולשים‬
‫‪8‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫הישרי‪-‬זווית ‪ ΔABD‬ו‪.ΔBDC -‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אורך ‪.DC‬‬
‫‪ 20‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬מצאו את היקף המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪ 70‬ס"מ‬
‫ג‪.‬‬
‫מצאו את שטח המרובע ‪.ABCD‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ 210‬סמ"ר‬
‫‪C‬‬
‫‪17‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫עמ' ‪ .15 292‬האלכסון ‪ LB‬מחלק את המרובע ‪ CLUB‬לשני משולשים ישרי‪-‬‬
‫‪U‬‬
‫זווית ‪ ΔCLB‬ו‪.ΔBUL -‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אורך הצלע ‪.LU‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬מצאו את היקף המרובע ‪.CLUB‬‬
‫‪ 46‬ס"מ‬
‫ג‪.‬‬
‫מצאו את שטח המרובע ‪.CLUB‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 114‬סמ"ר‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪17‬‬
‫עמ' ‪ .16 292‬במשולש שווה‪ -‬שוקיים ‪ (AB = AC) ΔABC‬אורך השוק הוא ‪ 13‬ס"מ ואורך הבסיס הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את אורך הגובה לבסיס המשולש‪.‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬חשבו את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ 60‬סמ"ר‬
‫ג‪.‬‬
‫חשבו את אורך הגובה לשוק‪.‬‬
‫סרטטו סרטוט מתאים לבעיה‬
‫ופתרו אותה‪.‬‬
‫‪ 9.23‬ס"מ‬
‫ד‪ BD .‬תיכון לשוק‪ .‬מה שטח המשולש ‪ 30 ?ΔABD‬סמ"ר התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫רמז‪ :‬איזו תכונה של תיכון‬
‫במשולש קשורה לשטח?‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪384‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫הסרטוטים בתרגילים ‪18 ,17‬‬
‫מוקטנים ואורכי הצלעות הם במטר‪.‬‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ .17 293‬במלבן ‪ ABCD‬נתון‪ 24 :‬מ' = ‪.DC‬‬
‫‪B‬‬
‫שטח המלבן‪ 240 :‬מ"ר‪ .‬מהו היקף המשולש ‪.ΔADC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 60‬ס"מ‬
‫‪C‬‬
‫עמ' ‪ .18 293‬שטחו של מלבן ‪ PAGE‬הוא ‪ 960‬מ"ר‪ 60 .‬מ' = ‪.EG‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 24‬מ'‬
‫‪D‬‬
‫‪K‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ K‬ו‪ M -‬הן אמצעי הצלעות ‪ PA‬ו‪ EG -‬בהתאמה‪.‬‬
‫מצאו את היקף המשולש השווה‪-‬שוקיים ‪.ΔEKG‬‬
‫‪ 128‬ס"מ‬
‫תזכורת‪ :‬במשולש שווה‪-‬שוקיים‪,‬‬
‫הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫עמ' ‪ .19 293‬למסך טלוויזיה יש צורה של מלבן‪ .‬כאשר אומרים שמסך הטלוויזיה הוא בגודל ‪10‬‬
‫אינץ'‪ ,‬הכוונה היא שאורך אלכסון המלבן הוא ‪ 10‬אינץ'‪.‬‬
‫א‪ .‬מידותיו של מסך טלוויזיה הן‪ :‬אורך ‪ 32‬אינץ'‪ ,‬רוחב ‪ 24‬אינץ'‪.‬‬
‫‪ 40‬אינץ'‬
‫כיצד יגדיר המוכר בחנות את גודלה של הטלוויזיה בעזרת אינצ'ים?‬
‫ב‪ .‬אורך המסך של מחשב נייד גדול פי ‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫על המחשב כתוב שגודל המסך הוא ‪ 15‬אינץ'‪.‬‬
‫‪ 1‬מרוחבו‪.‬‬
‫מהן המידות של מסך המחשב באינצ'ים? ‪ 9‬אינץ' ו‪ 12 -‬אינץ'‬
‫אינץ' הוא יחידה למדידת אורך‪,‬‬
‫המשמשת למדידות במדינות כמו אנגליה‬
‫וארה"ב‪ ,‬ובכמה מדינות נוספות‪.‬‬
‫אינץ' אחד שווה ל‪ 2.54 -‬ס"מ‪.‬‬
‫מטרת האתנחתא היא לאפשר לתלמידים לזהות תבניות שאינן שגרתיות‪.‬‬
‫עמ' ‪ 293‬אתנחתא‬
‫בממלכה "חשבונייה" קיימת מתמטיקה שונה מזו שלנו‪ ,‬למרות שמשתמשים שם בסימנים דומים לאלה שאנחנו מכירים‪ .‬לפניכם‬
‫פתרונות של תרגילים משיעור מתמטיקה בממלכה זו‪:‬‬
‫‪2 + 4 = 12 ; 3 + 5 = 24 ; 2 + 7 = 18 ; 4 + 6 = 40 ; 8 + 3 = 88‬‬
‫האם תוכלו לשער כיצד פתרו תלמידי "חשבונייה" את התרגילים‪? 3 + 9 ; 5 + 7 ; 4 + 1 :‬‬
‫האם בהתאם לחוקים של ממלכת "חשבונייה" פעולת החיבור היא פעולה חילופית? הסבירו‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪4+1= 4*(4+1)=20 ; 5+7=5*(5+7)=60 ; 3+9=3*(3+9)=36‬‬
‫הפעולה איננה חילופית‪ ,‬שכן בפעולה זו כופלים את סכום המחוברים במחובר הראשון‪.‬‬
‫אם המחוברים שונים‪ ,‬מכפלת הסכום שלהם במחובר השני תיתן תוצאה שונה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪385‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .20 294‬בכל אחד מהסרטוטים חשבו את אורך הצלע המסומנת ב‪.x -‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪18‬‬
‫‪20‬‬
‫‪12.5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪8‬‬
‫‪30‬‬
‫‪x‬‬
‫‪12‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫האם ניתן למצוא את ‪ x‬ישירות מתוך‬
‫המשולש ‪ ?ΔACE‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 19.5‬ס"מ‬
‫‪ 26‬ס"מ‪ .‬משפט פיתגורס מתקיים רק במשולש ישר‪-‬זווית‪,‬‬
‫לא ניתן למצוא את ‪ x‬ישירות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪17‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫האם ניתן למצוא את ‪ x‬ישירות מתוך‬
‫המשולש ‪ ?ΔACB‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 15.52‬ס"מ‪ .‬משפט פיתגורס מתקיים רק במשולש ישר‪-‬זווית‪,‬‬
‫לא ניתן למצוא את ‪ x‬ישירות‬
‫‪ 8.94‬ס"מ‬
‫‪M‬‬
‫עמ' ‪ .21 294‬לפניכם זוג משולשים ישרי‪-‬זווית‪ .‬נתון‪.TG ll MR :‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מדוע המשולשים דומים זה לזה ורשמו את הדמיון‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫‪ΔRSM ∼ ΔTSG‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את אורך ‪.MR‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 20‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬הראו על‪-‬ידי חישוב שיחס ההיקפים של שני המשולשים‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2y‬‬
‫שווה ליחס הדמיון‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫יחס הדמיון‪ .2 :‬יחס היקפים‪.48:24 = 2 :‬‬
‫‪G‬‬
‫עמ' ‪ .22 294‬מצמרת העץ שגובהו ‪ 20‬מ' מתחו שני סרטים‪ ,‬אדום וצהוב‪ .‬אורכו של‬
‫אחד הסרטים ‪ 25‬מ' ואורך הסרט השני הוא ‪ 29‬מ'‪.‬‬
‫א‪ .‬קצה של איזה סרט נמצא רחוק יותר מבסיסו של העץ‪ :‬של הסרט‬
‫האדום או של הסרט הצהוב? הסבירו‪.‬‬
‫קצה של סרט אדום נמצא רחוק יותר מהעץ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק בין קצות שני הסרטים? המרחק הזה מסומן‬
‫בסרטוט ב‪.d -‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ 6‬מ'‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪386‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .23 295‬קבוצה של חיילים יצאה למסע בשעה ‪ 6:00‬בבוקר‪.‬‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫תחילה צעדו מערבה למרחק של ‪ 24‬ק"מ‪ .‬לאחר הפסקה קצרה‪,‬‬
‫צעדו דרומה למרחק של ‪ 7‬ק"מ‪ ,‬ומיד חזרו בקו ישר לנקודת המוצא‪.‬‬
‫מה היה אורך המסלול שאותו עברו החיילים?‬
‫‪ 22.96‬מ'‬
‫צפון‬
‫מזרח‬
‫התחלה‬
‫מערב‬
‫דרום‬
‫‪K‬‬
‫עמ' ‪ .24 295‬שטחו של המשולש ‪ ΔKLM‬בסרטוט הוא ‪ 12‬סמ"ר‪.‬‬
‫אורך הניצב ‪ KL‬הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ KR‬הוא תיכון לניצב ‪.LM‬‬
‫חשבו את אורך ‪ 5 .KR‬ס"מ‬
‫‪M‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R‬‬
‫בתרגיל ‪ 25‬נתונים שני סרטוטים ועליהם מסומנים אורכים של קטעים אחדים וידוע שנפלה שגיאה באחד הנתונים‪ .‬על‬
‫התלמידים לגלות את מקור השגיאה ולהציע דרך לתקן אותה‪.‬‬
‫עמ' ‪ .25 295‬מצאו את השגיאה‪ .‬בכל אחד מהסרטוטים שלפניכם נפלה שגיאה באחד הנתונים‪ .‬מצאו אותה והציעו דרך לתקן אותה‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬ייתכנו מספר תשובות נכונות‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪20‬‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪P‬‬
‫‪7‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬שגיאה אפשרית‪ :‬במשולש ‪ ΔLAN‬היתר יותר‬
‫קצר מאחד הניצבים‪.‬‬
‫הצעה לתיקון‪ :‬נמצא את ‪.LN‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫שגיאה אפשרית‪ :‬אורך הגובה ליתר לא יכול להיות‬
‫‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫הסבר‪ KM  152  202  25 :‬לפי פיתגורס‪.‬‬
‫‪. SΔMAK   20  15  / 2  150‬‬
‫‪AN  12  7  5 , AP  132  52  12‬‬
‫‪150  2‬‬
‫לכן ‪ 37.5‬‬
‫‪. KM ‬‬
‫‪8‬‬
‫הצעה לתיקון‪ :‬נמצא את ‪.AD‬‬
‫‪AD  150  2  / 25  12‬‬
‫‪LN  5 2‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪387‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .26 295‬לקראת יום העצמאות הניחו אנשי העירייה מתקן לתאורה כמו בסרטוט‪.‬‬
‫המתקן מורכב מעמודים מקבילים עמוד ירוק באורך ‪ 12‬מ' ועמוד כחול‬
‫באורך ‪ 21‬מ'‪.‬‬
‫בין העמודים תלוי חבל אדום באורך ‪ 15‬מ' ועליו התאורה‪.‬‬
‫מה צריך להיות המרחק בין העמודים (הכחול והירוק) כדי שהחבל האדום‬
‫יהיה מתוח?‬
‫המרחק בין‬
‫שני ישרים מקבילים הוא קבוע‪.‬‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫עמ' ‪ .27 296‬בחצר של בית ספר "אורנים" הוקם תורן שגובהו ‪ 6‬מ' ועליו דגל המדינה‪ .‬כדי לייצב‬
‫את התורן‪ ,‬קושרים אותו בעזרת חבלים שאורכם ‪ 7.5‬מ' למוטות כבדים המונחים על‬
‫הרצפה במאונך לבסיס התורן‪( .‬ראו סרטוט)‪.‬‬
‫‪ 4.5‬מ'‬
‫א‪ .‬מהו אורכו של כל מוט בבסיס התורן?‬
‫ב‪ .‬ליד בניין העירייה הציבו תורן דומה אך גבוה יותר‪ .‬לצורך חיזוקו השתמשו‬
‫באותם המוטות לבסיס ובחבלים שאורכם כפול מאורך החבלים שבדגל בחצר‬
‫‪ 14.31‬מ'‬
‫ביה"ס‪ .‬מהו גובה התורן ברחבת העירייה?‬
‫הסרטוט בתרגיל ‪ 27‬מוקטן‪.‬‬
‫האורכים נתונים במ'‪.‬‬
‫עמ' ‪296‬‬
‫‪ .28‬אורך אחת מצלעות המלבן הוא ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬ואורך אלכסון המלבן הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫שטח המלבן‪ 48 :‬סמ"ר‪ ,‬היקף המלבן‪ 28 :‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את שטח המלבן ואת היקפו‪.‬‬
‫ב‪ .‬בנו את המלבן על פי המידות שמצאתם‪.‬‬
‫עמ' ‪ .29 296‬שטחו של משולש ישר‪ -‬זווית הוא ‪ 60‬סמ"ר‪ .‬אורך אחד מהניצבים שלו הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אורך היתר‪.‬‬
‫‪ 17‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬בנו את המשולש‪.‬‬
‫עמ' ‪296‬‬
‫‪ .30‬שטחו של ריבוע הוא ‪ 49‬סמ"ר‪ .‬מהו אורך אלכסון הריבוע? ‪ 9.89‬ס"מ‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪388‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .31 296‬שחר ועופר גרים באותו בניין‪ :‬שחר בקומה ראשונה ועופר בקומה‬
‫חמישית‪ .‬כפיר גר בבית הסמוך בקומה שלישית‪ .‬המרחק בין‬
‫הבניינים ‪ 8‬מ'‪ .‬הבנים החליטו לדבר ביניהם ב"טלפון" שבנו‬
‫‪3‬‬
‫מכוסות פלסטיק וחוט‪.‬‬
‫א‪ .‬אדן החלון של הקומה הראשונה נמצא בגובה ‪ 2‬מ' מעל פני הקרקע‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫ושל הקומה החמישית בגובה ‪ 14‬מ' מעל הקרקע‪ .‬מצאו את האורך‬
‫הכולל של החוט הדרוש לבנים להקמת "הטלפון" שלהם‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 20‬מ'‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬כפיר עלה לדירתו של סבא‪ ,‬שגר קומה אחת מעליו (החלון הצהוב‬
‫בסרטוט)‪ .‬האם אורך חוט ה"טלפון" יספיק?‬
‫אורך החבל הדרוש הוא ‪ 20.58‬מ'‬
‫‪3‬‬
‫ולכן החוט באורך ‪ 20‬מ' לא יספיק‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫הסרטוט המתאים לבעיה‪:‬‬
‫הסרטוט בתרגיל ‪ 31‬מוקטן‪.‬‬
‫האורכים נתונים במ'‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫עמ' ‪ .32 297‬נתונה הפונקציה ‪.f(x) = 3x + 6‬‬
‫א‪ .‬סרטטו את גרף הפונקציה )‪ f(x‬במערכת צירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים וסמנו אותם ב‪ A -‬ו‪.B -‬‬
‫ג‪ .‬סמנו ב‪ O -‬את ראשית הצירים‪ .‬מהו סוג המשולש ‪?ΔAOB‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את שטח המשולש ‪. ΔAOB‬‬
‫‪ 6‬יחידות שטח‬
‫ה‪ .‬מצאו את אורך הקטע ‪.AB‬‬
‫‪ 6.32‬יחידות אורך‬
‫)‪A(-2 , 0) , B(0 , 6‬‬
‫ישר‪-‬זווית‬
‫‪y‬‬
‫שאלה ‪ 33‬משלבת בין הנושאים פונקציה קווית ומשפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫עמ' ‪ .33 297‬בסרטוט שלפניכם נתונים גרפים של שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪f(x) = 2x + 10‬‬
‫‪F‬‬
‫‪g(x) = -x + 4‬‬
‫‪E‬‬
‫‪h(x) = x – 4‬‬
‫א‪ .‬התאימו כל אחת מהפונקציות לתיאור הגרפי שלה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫)‪.DC – h(x) , EC – g(x) , AB - f(x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪O‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ E ,D ,C ,B ,A .‬הן נקודות חיתוך של הישרים עם‬
‫הצירים‪ .‬מצאו את שיעורי הנקודות הללו‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪.A(0 , 10) , B(-5 , 0) , C(4 , 0) , D(0 , -4) , E(0 , 4‬‬
‫ג‪ F .‬היא נקודת חיתוך של שני ישרים‪ .‬מצאו את שיעורי‬
‫הנקודה‪.‬‬
‫)‪F(-2 , 6‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את אורכי הקטעים‪.AB , CD , AF , FC :‬‬
‫‪AB = 11.18 , CD = 5.66‬‬
‫‪6  62 = 8.48‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪= 4.47 FC‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AF =AB – BF = 11.18 -‬‬
‫ה‪ .‬חשבו את שטחי המשולשים‪ EDC , AFE :‬ו‪. BFC -‬‬
‫‪ 27‬יח"ר = ‪ 16 , SΔBFC‬יח"ר = ‪ 6 , SΔEDC‬יח"ר = ‪SΔAFE‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪389‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ 297‬אתנחתא‪ :‬לתקשר עם חבר מכוכב אחר‪...‬‬
‫האם קיימים יצורים חיים מחוץ לכדור הארץ שלנו? אם קיימים חיים כאלה‪ ,‬האם החושים שלהם דומים‬
‫לשלנו? איך נוכל לזהות אותם ולתקשר עמם? האם אף הם מחפשים אחר חיים מחוץ לכדור שלהם?‬
‫קרל פרידריך גאוס‪ ,) 1855 - 1777( ,‬פיזיקאי ואסטרונום‪ ,‬מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים‪ ,‬האמין שיש‬
‫ישויות תבוניות מחוץ לכדור הארץ‪ ,‬וחיפש דרך להעביר להן מסר‪.‬‬
‫גאוס שיער שמשפט פיתגורס‪ ,‬אשר התגלה באופן בלתי תלוי בתרבויות שונות‪ ,‬התגלה גם על‪-‬ידי‬
‫יצורים מכוכב אחר‪ ,‬ולכן יכול לשמש להם מסר שגם כאן‪ ,‬על הכדור שלנו‪ ,‬יש חיים תבוניים‪.‬‬
‫לכן הציע לטעת במדבר סהרה‪ ,‬על שטח של מאות קמ"ר‪ ,‬אזור ירוק שצורתו מבטאת את משפט‬
‫פיתגורס‪ ,‬בדומה לסרטוט‪.‬‬
‫פעילות ‪ 5‬עמ' ‪ – 299 – 298‬יישומי משפט‬
‫פיתגורס לחפיפת משולשים‬
‫אחד היישומים של משפט פיתגורס הוא בהרחבת אוסף‬
‫משפטי חפיפה המוכרים לתלמידים‪ .‬המטרה של‬
‫פעילות ‪ 5‬היא להוביל את התלמידים לגילוי של משפט‬
‫חפיפה נוסף‪ :‬אם יתר וניצב במשולש ישר‪-‬זווית אחד‪,‬‬
‫שווים ליתר ולניצב במשולש ישר‪-‬זווית שני‪ ,‬אז‬
‫המשולשים חופפים‪.‬‬
‫הפעילות מציגה את המשפט כדיון בין שני בנים‪ :‬בן ורז‪.‬‬
‫הבנים מצמידים שני סולמות בעלי אורך שווה לגזע של‬
‫עץ הצומח במאונך לקרקע‪ .‬עקבי הסולמות נמצאים‬
‫במרחק שווה מהעץ‪.‬‬
‫באופן אינטואיטיבי (אולי מתוך התנסויות בחיי היום‪-‬יום‬
‫במצבים דומים) התלמידים יכולים לנחש שהסולמות‬
‫יגיעו לאותו גובה‪ .‬הדיון בין בן ורז מתמקד באופן‬
‫ההצדקה של תוצאה זו‪.‬‬
‫בן טוען שלא ניתן לדעת בוודאות שהסולמות יגיעו לאותו‬
‫גובה כי אין משפט חפיפה שמבטיח זאת (שתי צלעות‬
‫וזווית שאינה ביניהן)‪ ,‬ולכן יש לבצע מדידה כדי להוכיח‬
‫את השוויון בין הגבהים‪.‬‬
‫רז‪ ,‬לעומת זאת טוען שבעזרת משפט פיתגורס ניתן לחשב את הגובה‪ .‬מכאן (א) אין צורך במדידה‪( ,‬ב) ניתן להכליל ולומר שבכל‬
‫מקרה שבו נתונים שני משולשים ישרי‪-‬זווית שלהם יתר ב אורך שווה וניצב אחד באורך שווה‪ ,‬אז הניצב השני שווה גם כן‪ ,‬וניתן‬
‫להראות שהמשולשים חופפים‪.‬‬
‫בסעיף ה של הפעילות (עמ' ‪ )299‬התלמידים מתבקשים להצדיק את התוצאה‪ .‬מומלץ לעודד את התלמידים לחפש יותר מדרך‬
‫אחת לעשות זאת‪ ,‬למשל בעזרת משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬או בעזרת משפט חפיפה צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪390‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פעילות ‪ 6‬עמ' ‪ – 299‬ומה אם המשולשים‬
‫אינם ישרי‪-‬זווית? פעילות ‪ 6‬נועדה לחדד את העובדה‬
‫שמשפט החפיפה שגילינו‪ ,‬תקף במשולש ישר‪-‬זווית‬
‫בלבד‪ .‬למעשה‪ ,‬משפט זה הוא מקרה פרטי של משפט‬
‫חפיפה כללי יותר‪ :‬צלע‪-‬צלע וזווית מול הצלע הגדולה‪,‬‬
‫אותו התלמידים טרם למדו‪.‬‬
‫פתרון האתנחתא בעמ’ ‪:299‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ 1‬שקל‬
‫דרך א‬
‫‪ 5‬שקלים‬
‫‪ 2‬שקלים‬
‫‪ 10‬שקלים‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫דרך ב‬
‫‪2‬‬
‫דרך ג‬
‫‪1‬‬
‫דרך ד‬
‫דרך ה‬
‫‪1‬‬
‫דרך ו‬
‫‪5‬‬
‫דרך ז‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫דרך ח‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫דרך ט‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫דרך י‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬יש ‪ 6‬מספרים תלת‪-‬ספרתיים שסכום הספרות שלהם הוא ‪:3‬‬
‫‪111 ,300 , 102, 201, 210, 120‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪391‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫תרגילים עמ' ‪301 – 300‬‬
‫עמ' ‪300‬‬
‫‪ .34‬נתונים שני משולשים ישרי‪-‬זווית‪ .‬לכל משולש ניצב אחד באורך ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬ואורכו של היתר הוא ‪ 9‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מדוע המשולשים חופפים‪.‬‬
‫ב‪ .‬סרטטו את המשולשים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫עמ' ‪ .35 300‬נתון‪.∡A = ∡C = 90° ,AB = BC :‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מדוע ‪.ΔABD ≅ ΔCBD‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬רשמו זוג נוסף של צלעות שוות וזוג נוסף של זוויות שוות‬
‫‪D‬‬
‫במשולשים אלה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.CD = AD , ∡BDC = ∡BDA‬‬
‫‪O‬‬
‫‪R‬‬
‫עמ' ‪ .36 300‬במרובע ‪ WORK‬האלכסון ‪ OK‬מאונך לצלעות ‪ OR‬ו‪-‬‬
‫‪ .WK‬כמו כן נתון‪.WO = RK :‬‬
‫הסבירו מדוע ‪.∡W = ∡R‬‬
‫זוויות מתאימות במשולשים חופפים (‪ )ΔWOK ≅ ΔROK‬שוות‪.‬‬
‫‪W‬‬
‫‪K‬‬
‫‪G‬‬
‫עמ' ‪ .37 300‬הקטע ‪ GD‬חוצה את הקטע ‪ MK‬ומאונך לו‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪.MG = DK‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫הסבירו מדוע ‪.ΔMRG ≅ ΔKRD‬‬
‫‪D‬‬
‫עמ' ‪ .38 300‬א‪ .‬סולם נשען על הקיר‪ .‬רגליו נמצאות במרחק ‪ 50‬ס"מ‬
‫‪ 1.58‬מ'‬
‫מהקיר‪ ,‬וראשו בגובה ‪ 1.5‬מ'‪ .‬מה אורך הסולם?‬
‫ב‪ .‬הסולם החליק ומרחקו מהקיר הוא עתה ‪ 60‬ס"מ‪ .‬לאיזה גובה הגיע הסולם?‬
‫‪ 1.46‬מ'‬
‫יש לשים לב להתאמת יחידות המידה בתרגיל זה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪392‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .39 301‬בכל אחד מהסעיפים שלפניכם נתון זוג של משולשים‪ .‬לפי הנתונים בסרטוט קבעו האם המשולשים חופפים‪ ,‬או אין מספיק‬
‫מידע לקבוע האם הם חופפים או לא‪ .‬נמקו את קביעתכם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪T‬‬
‫חופפים לפי צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪L‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫משולשים ישרי‪-‬זווית חופפים לפי הניצב והיתר‬
‫ד‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫אין מספיק נתונים לקבוע האם משולשים חופפים‬
‫אין מספיק נתונים לקבוע האם משולשים חופפים‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫עמ' ‪ .40 301‬נתונה זווית ‪ .∡ABC‬מהנקודה ‪ D‬שבתוך הזווית מורידים אנכים‬
‫‪ FD‬ו‪ ED -‬לשוקי הזווית‪.‬‬
‫נתון‪.ED =FD :‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫הסבירו מדוע ‪ AD‬הוא החוצה זווית של ‪.∡ABC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫עמ' ‪ ΔMST .41 301‬ו‪ ΔPMQ -‬הם משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪ .∡PMQ = ∡MST = 90º‬נתון‪.PQ = MT ,MQ = ST :‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מדוע ‪ ΔPMS‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ – SM = PM‬צלעות מתאימות במשולשים חופפים‬
‫‪ ΔPMQ ≅ΔMST‬שוות‪.‬‬
‫ב‪ .∡MSP = ∡P1 + ∡M2 .‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫‪ - ∡M2 = ∡MPO‬זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות‪.‬‬
‫‪( ∡MPS = ∡M2 + ∡MPO = ∡MSP‬זוויות בסיס במשולש שווה‪-‬שוקים שוות)‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪393‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫תרגול נוסף לפרק עמ' ‪309 – 302‬‬
‫‪C‬‬
‫עמ' ‪ .42 302‬על‪-‬פי הנתונים בסרטוט מצאו את שטח המשולש ‪.ΔABC‬‬
‫‪17‬‬
‫‪39‬‬
‫‪ 330‬סמ"ר‬
‫‪15‬‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪D‬‬
‫‪a‬‬
‫‪B x‬‬
‫עמ' ‪ .43 302‬בסרטוט שלפניכם שני משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מדוע המשולשים דומים‪ ,‬ורשמו את הדמיון בהתאמה‪ΔACB ∼ΔDBE .‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את יחס הדמיון‪2 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את ‪ BD‬בשתי דרכים שונות‪,‬‬
‫‪E‬‬
‫והשוו בין התוצאות‪.‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫‪B‬‬
‫דרך א‪BD = 0.5AB = 2.69 , AB  29  5.38 :‬‬
‫‪D‬‬
‫דרך ב‪BD  7.25  2.69 ,ED = 0.5AC = 1 :‬‬
‫נסו למצוא את ‪ BD‬על‪-‬פי הנתונים‬
‫ב‪ ΔBED -‬או על‪-‬פי נתוני המשולש‬
‫‪ ΔACB‬ויחס הדמיון‪.‬‬
‫שאלה ‪ 44‬משלבת בין נושא דמיון משולשים ומשפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫עמ' ‪ .44 302‬נתון משולש ישר‪ -‬זווית ‪ ΔBAC‬שבו ‪ AD‬הגובה ליתר‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את האורך של ‪.AD‬‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫‪3.75‬‬
‫ב‪ .‬מצאו בסרטוט שלושה משולשים דומים ורשמו את הדמיון‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫‪ΔBAC ∼ΔBDA ∼ΔADC‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את יחס הדמיון בין כל שני משולשים דומים‪.‬‬
‫‪AC 3.75‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.25 :ΔBAC ∼ΔBDA‬‬
‫‪DA‬‬
‫‪3‬‬
‫‪AC 3.75‬‬
‫‪2‬‬
‫‪DA‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 :ΔBAC ∼ΔADC ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 :ΔBDA ∼ΔADC‬‬
‫‪DC 2.25‬‬
‫‪3‬‬
‫‪CD 2.25‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את אורך הצלע ‪ AB‬בשתי דרכים שונות והשוו בין התוצאות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫דרך א‪ , AB  32  42  5 :‬דרך ב‪, AB  6.252  3.752  5 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪1‬‬
‫⇐ ‪AB  1  AC  5‬‬
‫דרך ג‪ 1 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2.25 D‬‬
‫‪P‬‬
‫עמ' ‪ ΔPQR .45 302‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪ PS .‬הוא גובה לבסיס‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את אורכי הקטעים‪ QS :‬ו‪.RS -‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬חשבו את שטח המשולש ‪.ΔQPR‬‬
‫‪ 48‬סמ"ר‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫ג‪ .‬חזרו על סעיפים א ו‪ -‬ב‪ ,‬אם ידוע שאורך שוק המשולש‬
‫הוא ‪ 15‬ס"מ‪ ,‬ואורך הגובה לבסיס הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫תשובות‪ 9 :‬ס"מ =‪ 108 ; QS =RS‬סמ"ר = ‪S‬‬
‫‪R‬‬
‫‪, RS  QS  152  122  81  9‬‬
‫‪12  9  2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ 108‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Q‬‬
‫איזו תכונה מוכרת של גובה‬
‫לבסיס במשולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫ניתן לראות מסעיף א?‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪394‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .46 303‬במשולש השווה‪-‬שוקיים ‪ ,ΔABC‬אורך כל שוק הוא ‪ 26‬ס"מ‪ ,‬ואורך הגובה לבסיס הוא ‪ 24‬ס"מ‪.‬‬
‫מצאו את אורך בסיס המשולש ואת שטח המשולש‪ .‬בסיס‪ 20 :‬ס"מ‪ ,‬שטח‪ 240 :‬סמ"ר‬
‫עמ' ‪ .47 303‬במשולש השווה‪-‬שוקיים ‪ ,ΔDEF‬אורך כל שוק הוא ‪ 25‬ס"מ‪ ,‬ואורך הגובה לבסיס הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫מצאו את אורך הגובה לשוק המשולש ואת שטח המשולש‪ .‬הגובה לשוק‪ 24 :‬ס"מ‪ ,‬שטח‪ 300 :‬סמ"ר‬
‫עמ' ‪ .48 303‬משולש ‪ ΔSTR‬הוא משולש שווה‪-‬צלעות‪ ,‬בעל אורך צלע של ‪ 20‬ס"מ‪ .‬חשבו את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪10 3  20‬‬
‫גובה לבסיס‪ , 300  10 3 :‬שטח‪ 100 3  173.2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫הדרכה‪ :‬היעזרו בתוצאות‬
‫התרגיל הקודם‪ ,‬בו ‪ 20‬ס"מ = ‪.a‬‬
‫‪T‬‬
‫עמ' ‪ .49 303‬משולש ‪ ΔRTQ‬הוא משולש שווה‪-‬צלעות‪ .‬אורך הצלע הוא ‪ a‬ס"מ‪..‬‬
‫א‪ .‬בטאו באמצעות ‪ a‬את ‪ MQ‬ואת אורך הגובה במשולש השווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪ .‬בטאו באמצעות ‪ a‬את שטחו של המשולש השווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2    ‬‬
‫‪ .MQ = a/2‬גובה ‪:TM‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a2 3‬‬
‫שטח‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫עמ' ‪ ΔABC .50 303‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים ‪.AB = AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ AD‬הוא הגובה לבסיס ‪.BC‬‬
‫שוק‬
‫בכל שורה נתון מידע על חלק מהגדלים במשולש כזה‪.‬‬
‫השלימו את הגדלים החסרים‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫גובה‬
‫לבסיס‬
‫שוק‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫אורך השוק‬
‫אורך הגובה לבסיס‬
‫אורך הבסיס‬
‫בסיס‬
‫שטח המשולש ‪ΔABC‬‬
‫משולש א‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪ 19.59‬ס"מ‬
‫‪ 19.18‬סמ"ר‬
‫משולש ב‬
‫‪ 5‬ס"מ‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫‪ 12‬סמ"ר‬
‫משולש ג‬
‫‪ 13‬ס"מ‬
‫‪ 5‬ס"מ‬
‫‪ 24‬ס"מ‬
‫‪ 60‬סמ"ר‬
‫משולש ד‬
‫‪ 30.26‬ס"מ‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪ 60‬ס"מ‬
‫‪ 120‬סמ"ר‬
‫משולש ה‬
‫‪ 51‬ס"מ‬
‫‪ 45‬ס"מ‬
‫‪ 48‬ס"מ‬
‫‪ 1080‬סמ"ר‬
‫עמ' ‪ .51 304‬מצאו את שטחו של משולש שווה‪-‬צלעות שאורך צלעו ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 27.71‬סמ"ר‬
‫בכל אחד מהתרגילים ‪ 55 – 51‬סרטטו‬
‫סרטוט מתאים ופתרו את הבעיה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪395‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .52 304‬מצאו את היקפו של משולש שווה‪-‬צלעות שגובהו ‪ 147‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 42‬ס"מ‬
‫עמ' ‪ .53 304‬שטחו של משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים הוא ‪ 162‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אורך הניצב ואת אורך היתר‪.‬‬
‫ניצב‪ 18 :‬ס"מ‪ ,‬היתר‪ 25.45 :‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬בנו את המשולש לפי המידות שמצאתם‪.‬‬
‫עמ' ‪ .54 304‬אורך אלכסון של ריבוע הוא ‪242‬‬
‫‪ 44‬ס"מ‬
‫ס"מ‪ .‬מצאו את היקפו ובנו את הריבוע‪.‬‬
‫עמ' ‪ .55 304‬שטחו של משולש שווה‪-‬שוקיים הוא ‪ 120‬סמ"ר‪ .‬אורך הבסיס ‪ 8‬ס"מ‪ .‬מצאו את אורך השוק של המשולש‪.‬‬
‫‪ 30.26‬ס"מ‬
‫עמ' ‪ .56 304‬לפניכם סרטוט סכמתי של גרם מדרגות המוביל לפתח בית מגורים בשכונת "אלמוג"‪ .‬סרטוט א מציג את הגרם המקורי‬
‫בהקטנה‪ .‬בשל שקיעה של האדמה‪ ,‬הוחלט לחזק את המדרגות במוט חיזוק מיוחד שהונח מתחת למדרגות‪ PR -‬ובמוט ‪RT‬‬
‫הניצב לאדמה‪ ,‬כמודגם בסרטוט ב‪.‬‬
‫בין הקצוות ‪ P‬ו‪ T -‬של המוטות הניחו כבל חשמל‪ ,‬כדי לבנות עמודי תאורה משני צידיו גרם המדרגות‪.‬‬
‫הזווית בין המדרגות‬
‫שווה ל‪90º -‬‬
‫‪R‬‬
‫‪1‬מ'‬
‫סרטוט א‬
‫‪1‬מ'‬
‫כבל חשמל‬
‫‪ 20‬סמ'‬
‫‪ 20‬סמ'‬
‫‪90°-α‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪α‬‬
‫‪T‬‬
‫סרטוט ב‬
‫‪ 20‬סמ'‬
‫‪P‬‬
‫א‪ .‬העלות של ‪ 1‬מ' של מוט חיזוק היא ‪ 50‬שקל‪ .‬כמה שילמו דיירי הבית עבור המוטות ‪ PR‬ו‪?RT -‬‬
‫עלות ‪ 40 :RT‬שקלים ‪:PR ,‬‬
‫‪ , PR  0.82  42  4.08‬עלות ‪ 204 :PR‬שקלים‬
‫ב‪ .‬העלות של ‪ 1‬מ' של כבל חשמל היא ‪ 15‬שקל‪ .‬כמה שילמו דיירי הבית עבור כבל החשמל ‪?PT‬‬
‫‪ 60‬שקלים‬
‫ג‪ .‬הסבירו‪ ,‬בעזרת חפיפת משולשים‪ ,‬מדוע ‪ PR‬הוא קו ישר‪.‬‬
‫כל המשולשים ישרי‪-‬זווית (המייצגים מדרגות) חופפים זה לזה לפי צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬מכאן זוויות מתאימות שוות‪ .‬במפגש בין‬
‫שתי מדרגות יש זווית ישרה‪ .‬סכום הזוויות ‪ .α+90°+90°-α=180°‬לכן ‪ PR‬הוא קו ישר‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪396‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .57 305‬בכל אחד מהסעיפים שלפניכם מצאו את ‪ x‬ואת שטח המשולש ‪.ΔABC‬‬
‫‪G‬‬
‫‪M‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪0. 8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫‪18‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪9‬‬
‫‪B‬‬
‫‪24‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 14.4‬ס"מ = ‪ 138.24 ,x‬ס"מ = ‪SΔABC‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ 12‬ס"מ = ‪ 21 , x‬סמ"ר = ‪SΔABC‬‬
‫קסמה של שאלה ‪ 58‬היא בהפתעה שהיא יוצרת אצל התלמידים‪ .‬רבים מהם משערים שהוספת מטר אחד בלבד לשטיח לא‬
‫יוצרת שינוי משמעותי ולכן בסעיף לרוב השערתם שגויה‪ .‬פער זה יוצר את גורם ההפתעה וההנאה מהשאלה‪.‬‬
‫עמ' ‪ .58 305‬בטקס חלוקת פרס נובל לפיזיקה האורחים צועדים על מסלול מעץ בן ‪ 100‬מ'‪ ,‬שמכוסה בשטיח אדום‪.‬‬
‫לאחר שפרסו את השטיח התברר שבטעות נגזר שטיח שאורכו ‪ 101‬מ'‪ .‬אחד המארגנים הציע‪ ,‬במקום לקצר את השטיח‬
‫היקר‪ ,‬הוחלט להציב גשרון תמיכה באמצע המסלול‪ ,‬ולהשעין עליו את המסלול עם השטיח באופן הבא‪:‬‬
‫מוט‬
‫שטיח אדום‬
‫‪100‬מ'‬
‫א‪ .‬מבלי לבצע חישובים ענו מי לדעתכם יוכל לעבור מתחת לשטיח‪:‬‬
‫מנוף שגובהו ‪ 10‬מ'? בן אדם בגובה ממוצע? חתול? עכבר? או יתוש?‬
‫ב‪ .‬חשבו את אורך המוט שיש לבנות‪ ,‬ובדקו האם ניחשתם תשובה נכונה בסעיף א‪.‬‬
‫‪ 7.09‬מ'‬
‫ג‪ .‬האם לדעתכם הפתרון המוצע הוא הגיוני?‬
‫‪E‬‬
‫עמ' ‪ .59 305‬אורכי הניצבים של משולש ‪ ΔBAC‬בסרטוט הם‬
‫‪ 8‬ס"מ ו‪ 1 -‬ס"מ‪ .‬אורך אחד הניצבים של משולש ‪ΔDEF‬‬
‫הוא ‪ 4‬ס"מ‪ .‬כמו כן נתון‪.DF = BC :‬‬
‫‪D‬‬
‫מהו אורך הניצב השני של משולש ‪?ΔDEF‬‬
‫‪ 7‬ס"מ‬
‫עמ' ‪ .60 305‬אורכי הניצבים של משולש ‪ ΔBAC‬הם ‪ 11‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‪ .‬אורך‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫אחד הניצבים של משולש ‪ ΔDEF‬הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫כמו כן נתון‪.DF = BC :‬‬
‫תרגילים ‪61 – 59‬‬
‫מתייחסים לאותו סרטוט‪.‬‬
‫מהו אורך הניצב השני של משולש ‪?ΔDEF‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ .61‬אורכי הניצבים של משולש ‪ ΔBAC‬הם ‪ 11‬ס"מ ו‪ 3 -‬ס"מ‪ .‬אורך אחד הניצבים של משולש ‪ ΔDEF‬הוא ‪ 7‬ס"מ‪ .‬כמו כן‬
‫עמ' ‪61 306‬‬
‫נתון‪ .DF = BC :‬מהו אורך הניצב השני של משולש ‪ 9 ?ΔDEF‬ס"מ‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪397‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .62 306‬איכר מגדל ‪ 9‬ארנבות במגרש דשא שצורתו ריבוע שאורך צלעו ‪ 10‬מ'‪.‬‬
‫האיכר חילק את המגרש באמצעות מחיצות כך שלכל ארנבת יהיה אזור‬
‫משלה‪ .‬תחילה הוא חיבר את אמצעי הצלעות של המגרש הגדול‪ ,‬ואח"כ את‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫אמצעי הצלעות של המגרש הפנימי (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את השטח שקיבלה ארנבת מס' ‪ .3‬אילו ארנבות‬
‫‪ 12.5‬מ"ר‬
‫נוספות קיבלו שטח באותו גודל? נמקו‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ .‬איזה סוג של מרובע הוא המגרש הפנימי הגדול? המגרש‬
‫ריבוע‬
‫הפנימי הקטן? נמקו‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכמה השטח שקיבלה ארנבת מס' ‪ 5‬גדול מהשטח שקיבלה‬
‫ארנבת מס' ‪ ?8‬נמקו‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫ב‪ 18.75 -‬מ"ר‪.‬‬
‫העתיקו את הסרטוט למחברת והוסיפו בו‬
‫את הסימונים הדרושים לכם כדי לענות על‬
‫סעיפי השאלה‪.‬‬
‫‪ 25‬מ"ר = ‪ 6.25 ,S5‬מ"ר = ‪S8‬‬
‫ד‪ .‬מצאו את היקפו של המגרש הפנימי הגדול‪ 28.28 .‬מ' = ‪20 2‬‬
‫‪ 5‬מ'‬
‫ה‪ .‬מצאו את אורך הצלע של המגרש הפנימי הקטן‪.‬‬
‫ו‪ .‬בנו של האיכר‪ ,‬תלמיד בכיתה ח‪ ,‬אומר לאביו‪ :‬אם היית מחלק את המגרש ל‪ 9 -‬ריבועים זהים היית יכול לחסוך באורך‬
‫לצורך הפתרון מספיק לחשב את אורך המחיצות הפנימיות‪ .‬אורך הגדר‬
‫הגדר‪ .‬האם בנו של האיכר צודק? נמקו‪.‬‬
‫כעת‪ 48.28 :‬מ'‪ ,‬אורך הגדר לפי הצעת בנו של האיכר‪ 40 :‬מ'‪ ,‬האורך קצר יותר‪ .‬לכן‪ ,‬בנו של האיכר צודק‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .63‬לפניכם "מניפה" הבנויה ממשולשים ישרי‪-‬זווית‪ .‬בכל אחד מהמשולשים יש‬
‫עמ' ‪ 306‬צלע שאורכה ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬זהו בסרטוט קטעים שהם גם ניצב וגם יתר‪ .‬כמה קטעים‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x3‬‬
‫כאלה מצאתם?‬
‫‪x4‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורך הצלע ‪.x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את אורך הצלע ‪.x6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x5‬‬
‫‪1‬‬
‫כדי למצוא את ‪ x1‬ניעזר במשפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x6‬‬
‫= ‪1 + 1 = x1  2 = x1  x1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ניתן להמחיש בכיתה באמצעות היישומון שורשים של מספרים עוקבים‪.‬‬
‫‪ ΔABC .64‬הוא משולש ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים שאורך כל ניצב שלו הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪64 306‬‬
‫מצאו משולש ישר‪-‬זווית אחר‪ ,ΔDEF ,‬שאורך היתר שלו הוא כאורך היתר של משולש ‪ ,ΔABC‬ואורכי הניצבים שלו הם‬
‫מספרים שלמים‪.‬‬
‫ריבוע של אורך היתר הוא ‪ .50‬נבטא את ‪ 50‬כסכום של שני ריבועים‪ 25 + 25 :‬או ‪ .49 + 1‬הפתרון הראשון הוא המשולש‬
‫הנתון‪ .‬הפתרון השני‪ ,‬הוא המבוקש‪ .‬אורכי הניצבים הם‪ 1 :‬ס"מ ו‪ 7 -‬ס"מ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .65‬במרובע ‪ ABCD‬יש זוג זוויות נגדיות שכל אחת ישרה‪ .‬אורכי הצלעות של המרובע הם מספרים שלמים בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪307‬‬
‫מה יכולים להיות אורכי הצלעות של המרובע? מצאו מרובע אחד‪ .‬האם תוכלו למצוא מרובעים נוספים?‬
‫את תרגיל זה ניתן לפתור בשתי דרכים שונות‪ .‬ניסוי וטעיה או בדרך שיטתית‪ .‬כלומר‪ ,‬להיעזר בגיליון אקסל‪ ,‬כמודגם‬
‫בעמוד הבא‪ .‬בשני המקרים‪ ,‬על התלמידים להבין כי המרובע בנוי משני משולשים ישרי‪-‬זווית שונים שאורך היתר זהה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪398‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫להלן טבלת גיליון האקסל המתקבלת ואופן בנייתה‪.‬‬
‫אופן בניית הטבלה‪ :‬שורה וטור ראשונים – אורכי הצלעות של המרובע; שורה וטור שניים – ריבועיהם‪ ,‬וכל השאר – הסכומים‬
‫שלהם מסודרים בדומה ללוח הכפל‪.‬‬
‫תוצאות אפשריות מתוך גיליון האקסל‪:‬‬
‫עמ' ‪307‬‬
‫ריבוע האלכסון‬
‫זוג ‪1‬‬
‫זוג ‪2‬‬
‫‪50‬‬
‫‪7 1‬‬
‫‪5 5‬‬
‫‪65‬‬
‫‪8 1‬‬
‫‪7 4‬‬
‫‪130‬‬
‫‪9 7‬‬
‫‪11 3‬‬
‫‪170‬‬
‫‪13 1‬‬
‫‪11 7‬‬
‫‪325‬‬
‫‪18 1‬‬
‫‪17 6‬‬
‫‪442‬‬
‫‪21 1‬‬
‫‪19 9‬‬
‫‪730‬‬
‫‪27 1‬‬
‫‪21 17‬‬
‫‪850‬‬
‫‪27 11‬‬
‫‪25 15‬‬
‫‪ .66‬נתון משולש ישר‪-‬זווית שבו אורך היתר הוא ‪ 50‬ס"מ‪ .‬אורך אחד הניצבים הוא כפול מאורך הניצב השני‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫מצאו את שטח המשולש‪ .‬נמקו את צעדיכם‪.‬‬
‫נסמן את הניצבים‪.x , 2x :‬‬
‫דרך א‪ ,x + 4x = 50 :‬לכן‪ , 2x  2 500 , x  500 :‬שטח המשולש‪ 500 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2x  x‬‬
‫דרך ב‪ :‬הנוסחה לחישוב שטח משולש במקרה זה היא‪ x 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , + 4x = 50‬נקבל‪:‬‬
‫‪ S ‬נמצא לכמה שווה ‪ x 2‬לפי משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x2  500‬ולכן‪ ,‬שטח המשולש‪ 500 :‬סמ"ר‪ .‬בדרך ב נמנעים מהוצאת שורש‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪399‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫‪x‬‬
‫‪ .67‬נתון משולש ישר‪-‬זווית שבו אורך היתר הוא ‪ 20‬ס"מ‪ .‬אורך אחד הניצבים הוא פי ‪ 3‬מאורך הניצב השני‪.‬‬
‫עמ' ‪67 307‬‬
‫מהו שטח המשולש? ‪ 60‬סמ"ר‬
‫שאלה ‪ 68‬הינה שאלה מילולית ואינטגרטיבית‬
‫צפון‬
‫‪ .68‬חברה המייצרת מכוניות חשמליות ערכה ניסוי‪ :‬ארבע מכוניות‬
‫עמ' ‪68 307‬‬
‫‪ 40‬קמ"ש‬
‫יצאו בו‪-‬זמנית מחניון החברה‪ ,‬כל אחת לכיוון אחר במהירות‬
‫אחרת‪ .‬הכיוונים והמהירויות מופיעות בסרטוט‪.‬‬
‫א‪ .‬כעבור שעה‪ ,‬מה היה המרחק בין המכונית האדומה לבין ‪ 50‬קמ"ש‬
‫מזרח‬
‫כל אחת מהמכוניות האחרות?‬
‫‪ 60‬קמ"ש‬
‫מערב‬
‫המרחק למכונית הכחולה‪ 72.11 :‬ק"מ‪,‬‬
‫המרחק למכונית הכתומה‪ 110 :‬ק"מ‬
‫המרחק למכונית צבעונית‪ 69.46 :‬ק"מ‬
‫‪ 35‬קמ"ש‬
‫ב‪ .‬כעבור שעה‪ ,‬בין אילו שתי מכוניות היה המרחק הגדול ביותר?‬
‫דרום‬
‫הסבירו‪ .‬בין מכונית האדומה למכונית הכתומה‪ 110 :‬ק"מ‪.‬‬
‫ג‪ .‬כעבור שעה הצטרפה לניסוי מכונית חמישית‪ .‬היא נסעה מנקודה מסוימת בדרום לכיוון חניון החברה‪ .‬המרחק‬
‫ההתחלתי בינה לבין המכונית הכתומה היה ‪ 130‬ק"מ‪.‬‬
‫מהו המרחק בין המכונית החמישית לבין חניון החברה? ‪ 120‬ק"מ =‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪130  50‬‬
‫ד‪ .‬המכונית החמישית נוסעת במהירות של ‪ 80‬קמ"ש‪ .‬כמה זמן ייקח לה להגיע לחניון החברה‪ 1.5 .‬שעה‬
‫‪ .69‬שחיינית שוחה במהירות קבועה בנהר שרוחבו ‪ 300‬מ'‪ .‬בסרטוט שלפניכם מתואר המסלול אותו עברה השחיינית החל‬
‫עמ' ‪69 307‬‬
‫מהנקודה ‪ A‬ועד לנקודה ‪ ,D‬וחזרה מהנקודה ‪ D‬לנקודה ‪ A‬בקו ישר‪.‬‬
‫המרחק מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬הוא ‪ 500‬מ'‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫המרחק מהנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ C‬הוא ‪ 560‬מ'‪.‬‬
‫‪300‬‬
‫המרחק מהנקודה ‪ B‬לנקודה ‪ D‬הוא ‪ 285‬מ'‪.‬‬
‫מה המרחק אותו עברה השחיינית?‬
‫‪ 1912.81‬מ'‬
‫‪C‬‬
‫‪EC  560  400  160 , BE  5002  3002  400‬‬
‫‪A‬‬
‫‪285‬‬
‫‪285 – 160 = 125 , BC  1602  3002  340‬‬
‫‪125 D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪AF  560  125  685 , DC  1252  3002  325‬‬
‫‪300‬‬
‫‪AD  6852  3002  747.81‬‬
‫‪500  340  325  747.81 1912.81‬‬
‫‪325‬‬
‫‪340‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E 160‬‬
‫‪C 125‬‬
‫‪560‬‬
‫‪500‬‬
‫‪400‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ΔKLM .70‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬שבו אורך השוק הוא ‪ 13‬ס"מ‪ ,‬ואורך הבסיס ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪70 308‬‬
‫א‪ .‬חשבו את שטח המשולש‪.‬‬
‫‪ 60‬סמ"ר‬
‫ב‪ .‬מצאו משולש שווה‪-‬שוקיים נוסף‪ ,‬המקיים את‬
‫התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪ )1‬השטח שלו שווה לשטח המשולש ‪;ΔKLM‬‬
‫‪ )2‬אורך השוקיים שלו הם ‪ 13‬ס"מ;‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪400‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫‪ )3‬הבסיס שלו שונה מ‪ 10 -‬ס"מ;‬
‫‪ )4‬אורכי כל צלעותיו מספרים שלמים‪ .‬הבסיס ‪.24‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם קיימים משולשים שווי‪-‬שוקיים נוספים המקיימים את התנאים‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫לא‪ .‬בעזרת הסרטוט בסעיף קודם‪ ,‬ניתן להסביר לתלמידים‪ ,‬כי קיימים רק שני משולשים שיקיימו את התנאים של משפט‬
‫פיתגורס ואת תנאי השאלה‪ ,‬ולכן לא ניתן להציע משולש שווה‪-‬שוקים נוסף שעונה על הדרישות‪.‬‬
‫ד‪ .‬משולש ‪ ΔPRS‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬שאורך שוקו הוא ‪ 20‬ס"מ‪ ,‬ואורך הבסיס שלו ‪ 12‬ס"מ‪ .‬מצאו משולש‬
‫שווה‪-‬שוקיים נוסף‪ ,‬ששטחו כשטח המשולש ‪ ,ΔPRS‬שאורך שוקו הוא ‪ 20‬ס"מ‪ ,‬אך בסיסו אינו באורך של ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫מהו הקשר בין בסיסי המשולשים הללו לבין הגבהים שלהם? הבסיס בשני המשולשים הוא‪ 38.16 :‬ס"מ ורק מחליפים‬
‫בין אורך הגובה וחצי אורך הבסיס‪.‬‬
‫שאלות ‪ 74 -71‬הן שאלות העוסקות בתהליך חקר מתפתח באמצעותו מציגים ריבוי דרכי פתרון ומכללים‪.‬‬
‫‪ ..71‬נתון מלבן הבנוי משני ריבועים חופפים שצמודים זה לזה (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫עמ' ‪71 308‬‬
‫א‪ .‬מה‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬גדול יותר‪ :‬אורך אלכסון המלבן (מסומן באדום) או סכום אורכי שני‬
‫האלכסונים של הריבועים (מסומנים בכחול)? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬היקף המלבן ‪ 120‬ס"מ‪ .‬חשבו את אורך אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון של כל אחד מהריבועים‪ .‬האם‬
‫צדקתם בהשערתכם? אורך האלכסון של אחד הריבועים‪ , 20 2 :‬אורך אלכסון המלבן‪. 20 5 :‬‬
‫סכום אורכי האלכסונים של הריבועים (‪ )56.56‬גדול מאורך אלכסון המלבן (‪.)44.72‬‬
‫‪ ..72‬נתון מלבן אחר הבנוי משלושה ריבועים חופפים שצמודים זה לזה (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫עמ' ‪72 308‬‬
‫א‪ .‬מה‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬גדול יותר‪ :‬אורך אלכסון המלבן (מסומן באדום) או סכום‬
‫אורכי שלושת האלכסונים של הריבועים (מסומנים בכחול)? הסבירו את‬
‫תשובתכם מבלי לבצע חישובים‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪ :‬היקף המלבן ‪ 160‬ס"מ‪ .‬חשבו את אורך אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון‬
‫של כל אחד מהריבועים‪ .‬האם צדקתם בהשערתכם?‬
‫אורך האלכסון של אחד הריבועים‪ , 20 2 :‬אורך אלכסון המלבן‪. 20 10 :‬‬
‫אפשר גם אחרת‬
‫סכום אורכי האלכסונים של הריבועים (‪ )84.85‬גדול מאורך אלכסון המלבן (‪.)63.24‬‬
‫עמ' ‪ .73 308‬יוצרים מלבן משורה של ‪ 4‬ריבועים חופפים הצמודים זה לזה (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫א‪ .‬מה‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬גדול יותר‪ :‬אורך אלכסון המלבן או סכום אורכי‬
‫ארבעת האלכסונים של הריבועים? הסבירו מבלי לבצע חישובים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו את תשובתכם בסעיף א אם ידוע שאורך הצלע בכל ריבוע הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫אורך האלכסון של אחד הריבועים‪ , 20 2 :‬אורך אלכסון המלבן‪. 20 17 :‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪401‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫סכום אורכי האלכסונים של הריבועים (‪ )113.14‬גדול מאורך אלכסון המלבן (‪.)82.46‬‬
‫‪ ..74‬נתבונן בתוצאות התרגילים ‪.73 – 71‬‬
‫עמ' ‪74 309‬‬
‫א‪ .‬האם תוכלו להכליל את מה שגיליתם עבור מלבן הבנוי ממספר כלשהו של ריבועים חופפים הצמודים זה לזה‪,‬‬
‫כמו בסרטוטים הקודמים?‬
‫ב‪ .‬הסבירו כיצד הסרטוטים הבאים עוזרים להכליל את מה שמצאתם‪:‬‬
‫הכללה‪:‬‬
‫אורך אלכסון הריבוע‪:‬‬
‫‪X 2‬‬
‫אורך ‪ n‬אלכסוני הריבוע‪n  X 2 :‬‬
‫אורך אלכסון המלבן‪:‬‬
‫עמ' ‪ .75 309‬א‪ .‬במשולש ישר‪-‬זווית אורך אחד הניצבים הוא ‪ 15‬ס"מ ואורך הניצב השני הוא ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫מה אורך הגובה ליתר?‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪X 1  n2‬‬
‫היעזרו בחישוב שטח‬
‫משולש‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורך הגובה ליתר בדרך נוספת‪ .‬כדאי להציג לתלמידים דרכים שונות לפתרון השאלה‪ .‬פתרון באמצעות דמיון‬
‫משולשים ובאמצעות חישוב שטח המשולש‪.‬‬
‫אתנחתא – עמ' ‪309‬‬
‫נועה רוצה לבנות קוביות משחק מקרטון‪ .‬נועה סרטטה שישה תרשימים שונים‪ ,‬וגזרה אותם‪.‬‬
‫מאילו מהתרשימים תוכל נועה לבנות קובייה ומאילו מהם לא תוכל לבנות קובייה? הסבירו מדוע‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מטרת האתנחתא היא לפתח את הראייה המרחבית של התלמידים‪ ,‬כהכנה לקראת לימוד הנושא של שימוש במשפט פיתגורס‬
‫במרחב‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים להסביר כיצד הם ניגשים לפתרון הבעיה‪ ,‬ולקיים על כך שיח מתמטי בכיתה‪ .‬במקרה הצורך‪,‬‬
‫התלמידים יכולים להכין פריסות דומות‪ ,‬ולהסביר את פתרונותיהם בעזרת שימוש בפריסות אלה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪402‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫רק ד הוא פריסת קובייה‪.‬‬
‫שאלות העמקה בנושא משפט פיתגורס – עמ' ‪310‬‬
‫אפשר לראות דף משובץ הבנוי ממשבצות‬
‫ריבועיות‪ ,‬כרשת של ישרים ונקודות המפגש‬
‫שלהם‪ .‬לנקודות שהן קודקודי המשבצות‪,‬‬
‫קוראים פינות‪ .‬לישרים קוראים קווי הרשת‪.‬‬
‫אורך הצלע של משבצת הוא ‪ 1‬יחידת אורך‪.‬‬
‫עמ' ‪ .76 310‬מצאו את היקף המצולע שברשת הבאה‪:‬‬
‫נסמן את המשולשים הישרי‪-‬זווית המקיפים את המצולע ונחשב בעזרתם את אורכי הצלעות של המצולע שאינן‬
‫מונחות על קווי הרשת‪ .‬להם נצרף את שני הקטעים המונחים על קווי הרשת ואנו יכולים לחשב את אורכם‪ .‬נקבל ‪:‬‬
‫‪5  42  32  2  152  82  62  82  122  52  52‬‬
‫‪A‬‬
‫עמ' ‪ .77 310‬בדף משובץ מצויר מחומש (לא משוכלל) ‪.ABCDE‬‬
‫‪B‬‬
‫איזה מאלכסוניו הוא הארוך ביותר?‬
‫‪E‬‬
‫האלכסון ‪ AD‬הוא הארוך ביותר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪CE = 29 , BE = 17 , BD = 34 , AD = 36 , AC = 32‬‬
‫את אורכי הקטעים האלה ניתן למצוא לפי משפט פיתגורס בעזרת‬
‫משולשים ישרי‪-‬זווית שהניצבים שלהם נמצאים על קווי הרשת‪,‬‬
‫‪D‬‬
‫כמודגם בסרטוט‪:‬‬
‫אפשר גם אחרת להציע לתלמידים לאתר משולשים ישרי‪-‬זווית אחרים‪.‬‬
‫לדוגמה לאלכסון הסגול‪:‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪403‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫שאלות ‪ 80 - 78‬הן שאלות מאתגרות במיוחד‪ .‬הן מיועדות לתלמידים מצטיינים או לפעילות מודרכת עם המורה להרחבת‬
‫הידע‪ ,‬ולפיתוח חשיבה יצירתית וחשיבה מתמטית‪.‬‬
‫עמ' ‪ .78 310‬האם אפשר לסרטט על דף משובץ משולש ישר‪-‬זווית העונה על שלושת הדרישות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬כל הקדקודים שלו נמצאים על פינות הרשת;‬
‫ב‪ .‬אף אחת מצלעותיו לא נמצאת על קווי הרשת;‬
‫ג‪ .‬האורכים של שלוש הצלעות שלו הם מספרים שלמים‪.‬‬
‫אם אפשר‪ ,‬סרטטו מקרה אחד לפחות והסבירו מדוע הוא עונה על הדרישות‪.‬‬
‫חשוב להצדיק איך יודעים שהמשולש שסרטטתם הוא אמנם משולש ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫אם אי אפשר‪ ,‬הסבירו מדוע‪.‬‬
‫השאלה דורשת סרטוט של משולש ישר זווית המקיים את כל שלושת הדרישות יחד‪.‬‬
‫יש להסב את תשומת לב התלמידים כי השאלה היא שאלת קיום ולכן מספיקה דוגמה אחת כדי להוכיח קיום‪.‬‬
‫אופן הבנייה של המשולש‪:‬‬
‫בונים קטע באורך שלם (מענה לתנאי השלישי)‪ .‬בוחרים לדוגמה את השלשה הפיתגוראית ‪,3,4,5‬‬
‫שתבטיח לנו שהצלע שבנינו היא באורך שלם והקטע לא על קווי הרשת‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ניתן לשאול את התלמידים את שאלות מנחות לדוגמה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫הזווית בין הקטע האדום והקטע הכחול שסרטטנו היא ‪ .90‬כיצד אנו‬
‫יודעים?‬
‫האם המשולש הישר‪-‬זווית שהתקבל מתאים לדרישות? הסבירו מדוע?‬
‫‪B‬‬
‫הרחבה של השלשה הפיתגוראית‪ 5 ,4 ,3 :‬פי ‪ 5‬מאפשרת בניית משולש‬
‫ישר‪-‬זווית שכל אחת מצלעותיו היא יתר במשולש ישר‪-‬זווית אחר‪ .‬כך אנחנו‬
‫‪C‬‬
‫מבטיחים משולש עם שלוש צלעות שאורכן מספרים שלמים‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪25 ,20 ,15‬‬
‫הניצב ‪; 15 ,12 ,9 – AB‬‬
‫הניצב ‪; 20 ,16 ,12 – AC‬‬
‫והיתר ‪.25 ,24 ,7 – BC‬‬
‫‪B‬‬
‫הערה‪ :‬נשים לב‪ ,‬כי סימון המשולשים הישרי‪-‬זווית האדומים המקווקוים‪ ,‬על‬
‫ניצבי המשולש בסרטוט‪ ,‬מאפשרת לנו להוכיח כי אורכי הניצבים הם מספרים‬
‫שלמים (הניצבים בנויים ממספר משולשים ישרי‪-‬זווית ‪ .)3-4-5‬על היתר לא‬
‫‪C‬‬
‫ניתן לראות זאת‪ ,‬אך ניתן לראות כי אלו הן אותן יחידות‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪404‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫עמ' ‪310‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .79‬נתון ריבוע ‪ ABCD‬בעל צלע באורך ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫העבירו מקביל ‪ KM‬לצלע ‪ AD‬ומקביל ‪ LP‬לצלע ‪.AB‬‬
‫‪K‬‬
‫‪M‬‬
‫היקף המשולש ‪ ΔKAL‬הוא ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫מה שטח המשולש ‪?ΔMCP‬‬
‫‪1‬‬
‫שטח המשולש ‪ ΔMPC‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫נשים לב שהיקף המשולש ‪ ΔKAL‬שווה לאורך צלע הריבוע הנתון ‪.ABCD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪c‬‬
‫נתון זה מאפשר לחלק את אורך צלע הריבוע ל‪ 3 -‬קטעים שאורכיהם כאורכי‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪P‬‬
‫‪a L‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪bc‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b ab‬‬
‫‪O‬‬
‫‪K‬‬
‫בנוסף‪ ,‬החישוב מתבסס על הקשר ‪ a +b =c‬שנובע ממשפט פיתגורס‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪a a2‬‬
‫שטח הריבוע הנתון ‪:ABCD‬‬
‫‪c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪bc‬‬
‫‪c ac‬‬
‫צלעות המשולש‪ ,‬ולחלק את הריבוע לתשעה מלבנים כמתואר בציור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ a  b  c    a  b  c   a2  b2  c2  2ab  2bc  2ac  2c2  2ab  2bc  2ac‬‬
‫שטח המלבן ‪:OMCP‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪aP b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪=c‬‬
‫לפי משפט‬
‫פיתגורס‬
‫‪b  c    a  c   ab  bc  ac  c 2‬‬
‫שטח המלבן ‪ OMCP‬שווה למחצית שטח הריבוע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫שטח המשולש המבוקש ‪ ,ΔMPC‬שווה למחצית שטח המלבן ‪ ,OMCP‬ולכן שטחו הוא‬
‫‪4‬‬
‫עמ' ‪310‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .80‬נתון משולש ישר‪-‬זווית (לא שווה‪-‬שוקיים)‪ .‬העבירו את התיכונים במשולש‪.‬‬
‫א‪ .‬מבין שני התיכונים לניצבים‪ ,‬איזהו הארוך יותר ‪ -‬התיכון לניצב הקצר או התיכון לניצב הארוך?‬
‫ב‪ .‬אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬מצאו את סכום הריבועים של שני התיכונים לניצבים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מסמנים את הניצב הקטן ב‪ , a -‬את הניצב הגדול ב‪ b-‬ואת היתר ב‪.c -‬‬
‫דרך א‪:‬‬
‫ריבוע אורך התיכון לניצב הקטן הוא‪ a2   b  a4  b   a4  b4   3b4 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ריבוע אורך התיכון לניצב הארוך הוא‪a   b   a  b   a  b   3a :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  4‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫דרך ב‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ b   3b 3a‬‬
‫= ‪b 2 +   - a 2 +   ‬‬
‫‬‫‪>0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא ‪ 6‬ס"מ‪ ,‬סכום הריבועים של שני התיכונים לניצבים הוא ‪.45‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪b2 5 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ b2  a2 ‬‬
‫סכום ריבועי התיכונים לניצבים הוא‪ (a  b2 )   36  45 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 4‬‬
‫‪4‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪405‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פעילות ‪ – 7‬עמ' ‪ – 311‬פתרון בעיות בדרכים‬
‫שונות‬
‫פעילות ‪ 7‬חוזרת אל תרגילים הקשורים בגובה ליתר‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית‪ .‬מטרת הפעילות היא לפתח אצל‬
‫התלמידים גמישות בבחירת דרך הפתרון הנוחה‪ ,‬בהתאם‬
‫לנתונים‪.‬‬
‫כדאי לבקש מהתלמידים לפתור את התרגילים ביותר‬
‫מדרך אחת‪ ,‬ולערוך דיון בדרכי הפתרון ובנוחיות השימוש‬
‫בהן‪ .‬בפרט‪ ,‬חשוב להסב את תשומת הלב לאפשרות לחשב את שטח המשולש הן באמצעות הניצבים והן באמצעות היתר‬
‫והגובה‪ .‬השוואת השטח המתקבל בשתי הדרכים‪ ,‬מאפשרת למצוא בקלות את הגובה ליתר כשנתונות צלעות המשולש‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬בעמוד זה‬
‫הסרטוטים מוקטנים ואורכי‬
‫הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫תרגילים עמ' ‪312 – 311‬‬
‫עמ' ‪311‬‬
‫‪ ΔPQS .81‬הוא משולש ישר‪-‬זווית‪ – QR .‬גובה ליתר‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫א‪ .‬מצאו בסרטוט שלושה זוגות של משולשים דומים‪ ,‬ורשמו‬
‫אותם‪.ΔPQR ∼ ΔQSR ∼ ΔPSQ .‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורך הניצב ‪ QS‬בדרכים שונות‪ 12.001 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪5.5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S‬‬
‫נחשב תחילה את ‪ PR‬בעזרת משפט פיתגורס ‪ 5.25 .‬ס"מ = ‪.PR‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫את ‪ QS‬נוכל לחשב‪ ,‬בכמה דרכים‪ :‬דרך א‪ :‬באמצעות דמיון המשולשים ‪: ΔPQR ∼ ΔQSR‬‬
‫‪PQ QS‬‬
‫‪5.5‬‬
‫‪QS‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ QS  12.008‬‬
‫‪PR QR‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5.25‬‬
‫דרך ב‪ :‬באמצעות דמיון המשולשים ‪∼ ΔPSQ‬‬
‫‪.ΔPQR‬‬
‫‪QR QS‬‬
‫‪5‬‬
‫‪QS‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ QS  12.008‬‬
‫‪PR QP‬‬
‫‪5.25 5.5‬‬
‫עמ' ‪311‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ ΔBAC .82‬הוא משולש ישר‪-‬זווית‪ – AD .‬גובה ליתר‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו בסרטוט שלושה זוגות של משולשים דומים ורשמו‬
‫אותם‪∼ ΔBAC .‬‬
‫‪.ΔADB ∼ ΔADC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את אורך הקטע ‪ BD‬בדרכים שונות‪ 2 .‬ס"מ‪.‬‬
‫נראה שהמשולש ‪ ΔADC‬ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים‪ ,‬ולכן כל הזוויות‬
‫החדות בנות ‪ .45‬מכאן שגם המשולש ‪ ΔBAC‬שווה‪-‬שוקיים ו‪AD -‬‬
‫‪A‬‬
‫תיכון ליתר‪.‬‬
‫דרכים נוספות‪ :‬אפשר למצוא את ‪ BD‬באמצעות חפיפת משולשים ‪ , .ΔADB ≅ ΔADC‬דמיון משולשים‪:‬‬
‫‪ ΔBAC ∼ ΔADC‬ומשפט פיתגורס‪ :‬במשולש ‪ AC2  AC  2 :ΔADC‬‬
‫‪ 2   2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את אורך הניצב ‪ 2 .AB‬ס"מ‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪406‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫שימו לב‪ ,‬הסרטוט מוקטן‬
‫ואורכי הצלעות נתונים‬
‫בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ KM .83 312‬הוא גובה במשולש ‪.ΔLKP‬‬
‫נתון‪.∡LKM = ∡KPM :‬‬
‫א‪ .‬הסבירו מדוע המשולשים ‪ ΔKML‬ו‪ ΔKMP -‬דומים‪ ,‬ורשמו את‬
‫‪K‬‬
‫הדמיון בהתאמה‪.‬‬
‫נסמן‪.∡LKM = ∡KPM =  :‬‬
‫לפי סכום הזוויות במשולש ‪:ΔKMP‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.∡MKP = 180 - 90 -  = 90 - ‬‬
‫‪P‬‬
‫לפי סכום הזוויות במשולש ‪:ΔKML‬‬
‫‪M‬‬
‫‪4‬‬
‫‪L‬‬
‫‪∡KLM = 180 - 90 -  = 90 - ‬‬
‫למשולשים שלושה זוגות של זוויות שוות‪ :‬זוג זוויות ישרות‪ ,‬זוג זוויות שמידתן ‪ ,‬זוג זוויות שמידתן ‪,90 - ‬‬
‫ומכאן‪ΔKMP ∼ ΔLMK :‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את יחס הדמיון‪1:2 .‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את אורך הצלע ‪ 16 .MP‬ס"מ‪.‬‬
‫הראו שהמשולש ‪ ΔLKP‬ישר‪-‬זווית‪ .‬נסמן‪.∡LKM = ∡KPM =  :‬‬
‫לפי סכום הזוויות במשולש ‪.∡MKP = 180 - 90 -  = 90 -  :ΔKMP‬‬
‫לכן‪.∡LKM = (90 - ) +  = 90 :‬‬
‫ד‪ .‬הראו שהמשולש ‪ ΔLKP‬ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫נראה שהמשולש ‪ ΔLKP‬ישר‪-‬זווית‪:‬‬
‫סימנו‪.∡LKM =  :‬‬
‫מסעיף א ידוע כי‪∡MKP = 90 -  :‬‬
‫לכן‪∡LKM =( 90 - ) + = 90 :‬‬
‫ה‪ .‬מצאו את השטח של משולש ‪ ΔKPM‬בשתי דרכים שונות לפחות‪ 80 .‬סמ"ר‬
‫דרך א‪ :‬לפי מחצית מכפלת הניצבים‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬לפי מחצית מכפלת היתר בגובה ליתר‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪407‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פעילות ‪ – 8‬עמ' ‪ – 312‬הוכחת משפט פיתגורס באמצעות דמיון משולשים‬
‫מטרת פעילות ‪ 8‬היא להציג הוכחה של משפט פיתגורס‬
‫באמצעות דמיון משולשים‪.‬‬
‫סעיף א‪:‬‬
‫לכל משולש זווית ישרה וזווית שמידתה ‪ ,‬ומכאן‪:‬‬
‫‪∼ ΔACD ∼ ABC‬‬
‫‪ΔCBD‬‬
‫סעיף ב‪:‬‬
‫‪BC BD CD‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ BC2  AB  BD‬‬
‫‪AB BC CA‬‬
‫סעיף ג‪:‬‬
‫‪AB BC AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ AC2  AB  DA‬‬
‫‪BC DB CD‬‬
‫‪AB‬‬
‫סעיף ד‪:‬‬
‫‪BC2  AC2  AB  DB  AB  DA  AB(DB  DA)  AB  AB  AB2‬‬
‫‪‬‬
‫לפעילות יישומון דינמי באתר בשם‪ :‬פיתגורס באמצעות דמיון משולשים‬
‫פעילות ‪ – 9‬עמ' ‪ – 313‬כשהישר פגש בריבוע‬
‫מטרת פעילות ‪ 9‬הינה יצירת קשרים בין נושאים הנלמדים בגאומטריה לבין נושאים הנלמדים באלגברה בכיתה ח‪ .‬התלמידים‬
‫במהלך הפעילות אמורים להסיק מסקנות מתוך הידע שלהם על פונקציה קווית ותכונות הריבוע כדי לענות על השאלות‪ .‬משולבים‬
‫בפעילות זו גם נושאים גאומטריים נוספים‪ :‬פיתגורס‪ ,‬דמיון משולשים ומצולעים‪ ,‬חפיפת משולשים‪ ,‬שטחים והיקפים מתחום‬
‫הגאומטריה וכן נושא היחס מתחום האלגברה‪.‬‬
‫בפעילות למרבית הסעיפים יש דרכי הפתרון רבים‪ :‬פתרון אלגברי ומספר פתרונות גאומטריים אפשריים‪ .‬אחת ממטרות הפעילות‬
‫היא להציג את מגוון דרכי הפתרון השונים עבור כל סעיף ולאפשר לתלמידים לאחר שמצאו דרך פתרון אחת לחפש דרכי פתרון‬
‫נוספים‪ .‬ניתן לתת רמזים כגון‪ :‬מצאו דרך פתרון באמצעות שטחים או באמצעות חפיפת משולשים וכדומה‪ .‬בדרך זו אנחנו‬
‫מרעננים ומקשרים לתלמידים בין הנושאים השונים שנלמדו עד כה‪.‬‬
‫פעילות זו מציגה למעשה שאלת מקור המתפתחת אט אט ורמת הקושי של השאלות הולכת ועולה ככל שמתקדמים בפעילות‪.‬‬
‫העובדה שהפעילות מערבת מספר נושאים מתמטיים יחד הופכת אותה לפעילות מאתגרת יותר מהרגיל‪.‬‬
‫האתנחתא בסוף הפעילות קשורה אף היא לפעילות‪ .‬זהו אותו ריבוע שאם נחזיר אותו למערכת הצירים‪ ,‬נוכל להציע פתרון נוסף ‪-‬‬
‫פתרון אלגברי‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪408‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫‪1‬‬
‫סעיף א‪x :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ y ‬היא משוואת הישר העובר‬
‫דרך ראשית הצירים וקדקוד ‪.B‬‬
‫סעיף ב‪ :‬ההבדל בין סעיף א לסעיף ב‪ ,‬שאם לא‬
‫נתון סרטוט לא ידוע האם הריבוע מעל ציר ‪ x‬או‬
‫מתחתיו‪ ,‬ולכן הפתרון הנוסף הוא המקרה בו‬
‫‪1‬‬
‫הריבוע מתחת לציר ‪y   x :x‬‬
‫‪2‬‬
‫סעיף ג‪ :‬היקף המשולש‪ 2.618 :‬ס"מ‪,‬‬
‫היקף הטרפז‪ 3.618 :‬ס"מ‬
‫סעיף ד‪ :‬היחס הוא ‪1:3‬‬
‫דרך א‪ :‬בעזרת חישוב שטחים‪:‬‬
‫שטח הריבוע הוא ‪ 1‬סמ"ר‪ .‬שטח המשולש הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫סמ"ר לכן שטח המרובע שנותר הוא‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬חלוקה למשולשים חופפים‪ .‬כמתואר בסרטוט‬
‫‪x‬‬
‫סעיף ה‪ :‬יחס השטחים הוא‪3:5 :‬‬
‫דרך א‪ :‬באמצעות דמיון וחפיפת משולשים‬
‫‪E‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫הסבר לדרך א‪ :‬נסמן את אמצע צלע ‪ BC‬באות ‪ E‬ואת נקודת החיתוך של הישר עם צלע ‪ AD‬באות ‪.M‬‬
‫יחס הדמיון בין המשולשים ‪ ΔOMD‬ו‪ ΔOEC -‬הוא ‪ 1:2‬ולכן יחס השטחים הוא ‪.1:4‬‬
‫עתה נוכיח כי המשולשים ‪ ΔOMD‬ו‪ ΔEML -‬חופפים באמצעות ז‪.‬צ‪.‬ז (זוויות קדקודיות‪ ,‬זווית ישרה וניצב באורך ‪.)1‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪409‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫דרך ב‪ :‬חישוב שטחי טרפזים‬
‫‪ 1‬‬
‫הסבר לדרך ב‪ :‬ניתן למצוא את נקודה ‪ M  1, ‬בעזרת‬
‫‪ 4‬‬
‫משוואת הישר או בעזרת דמיון משולשים‪ ,‬כפי שהודגם‬
‫בדרך א‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫ידוע שגובה שני הטרפזים שווה ל‪DC=AB=1 .1 -‬‬
‫דרכים נוספות לפתרון סעיף ה‪ :‬חפיפת משולשים‪ ,‬חלוקה לשטחים של מלבן ושטחים של משולשים ועוד‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫סעיף ו‪ :‬משוואת הישר היא‪x :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫דרכי פתרון אפשריות‪:‬‬
‫דרך א‪ :‬מציאת משוואת הישר‬
‫משוואת הישר היא ‪ .y=mx‬לכן‪,‬‬
‫‪E‬‬
‫‪. MD  m  1  m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ . CE  2  m  2m‬עכשיו אפשר לבנות משוואה‪:‬‬
‫‪ m  1 2m‬שמבוססת על ‪ ,BE=MD‬ולהגיע למסקנה‬
‫‪.m=1/3‬‬
‫דרך ב‪ :‬משולשים חופפים‪ :‬חלוקה למשולשים חופפים כמודגם בסרטוט‪ .‬נעזרים בחפיפת המשולשים בזוויות ישרות (מסומנות‬
‫בתכלת) ובזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (מסומנות באדום) ובצלע באורך ‪ .1‬לפי משפט ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫דרך ג‪ :‬חישוב שטחי הטרפזים ניתן להיעזר ביחס הדמיון לקביעת היחס בין בסיסי הטרפזים‪.‬‬
‫סעיף ז‪ :‬אם ידוע שהישר לא עובר דרך ראשית הצירים אז כל ישר העובר דרך מרכז הריבוע‪y=mx−1.5m+0.5 M(1.5,0.5) :‬‬
‫או ‪ x=1.5‬יש אינסוף אפשרויות‪ .‬כדאי להדגיש את הפתרון של פונקציה קבועה העוברת באמצע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫סעיף ח‪x  1 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . y ‬כדי לפתור סעיף זה ללא חישובים מייגעים‪ ,‬חשוב לשים לב כי גם הריבוע וגם נקודת החיתוך עם ציר ה‪y -‬‬
‫‪1‬‬
‫זזו ביחידה אחת כלפי מעלה‪ ,‬לעומת סעיף ו ולכן גם הישר המבוקש הוא הזזה של הישר ‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ y ‬ביחידה אחת כלפי מעלה‪.‬‬
‫סעיף ט‪ . y  x :‬בסעיף זה הישר עובר דרך ראשית הצירים‪ ,‬לכן חלוקת הריבוע משתנה‪ .‬החלוקה איננה לשני טרפזים‪ ,‬אלא‬
‫לשני משולשים חופפים‪ .‬למעשה הישר הינו אלכסון הריבוע ולכן‪ ,‬נקבל את משוואת הישר ‪. y  x‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪410‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫אתנחתא – עמ' ‪313‬‬
‫הנקודה ‪ O‬היא מרכז הריבוע ‪.ABCD‬‬
‫‪B‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.AK=BL=2 ,CD=8‬‬
‫‪O‬‬
‫מה שטח המרובע ‪?AKOL‬‬
‫האתנחתא זו מופיעה בכוונה לאחר פעילות ‪.9‬‬
‫‪D‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫למעשה‪ ,‬שאלה זו שייכת לסדרת השאלות אלא שרק הסרנו את מערכת הצירים מהריבוע‪.‬‬
‫על ידי הסרת מערכת הצירים‪ ,‬לא אפשרנו פתרון באלגברי‪ ,‬מה שהיה אפשרי בכל סעיפי פעילות ‪.9‬‬
‫תשובה‪ :‬שטח המרובע ‪.16‬‬
‫עבור כל הפתרונות כדאי בשלב ראשון להאריך את הקטעים כמתואר בסרטוט הבא‪.‬‬
‫דרך א‪ :‬מוסיפים בניית עזר כמו בסרטוט‪ .‬הורדת אנך מנקודה ‪ O‬לצלע ‪AD‬‬
‫‪M‬‬
‫והורדת אנך מנקודה ‪ O‬לצלע ‪. AB‬‬
‫חפיפת המשולשים שנוצרו ‪ ΔLOM‬ו‪ ΔKOE -‬מוכיחה כי שטח המרובע הוא‬
‫רבע משטח הריבוע‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫דרך ב‪ :‬הוספת בניות עזר (כבסרטוט) והזזה דינמית של הישרים בסיבוב‬
‫עד התלכדות הישרים עם הישרים שבסרטוט ממחישה כי השטח המבוקש‬
‫הוא רבע משטח הריבוע‪.‬‬
‫דרך ג‪ :‬חישוב שטח המשולשים הבאים‪:‬‬
‫‪64‬‬
‫שטח משולש ‪ AOL‬הוא ‪ 12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪24‬‬
‫ושטח משולש ‪ AOK‬הוא ‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫בסיכום הפעילות ניתן להציע לתלמידים למקם מערכת צירים ולפתור את הבעיה כעת בכלים אלגבריים‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪411‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫שימושי משפט פיתגורס במרחב – עמ'‬
‫‪314‬‬
‫תת‪-‬פרק זה עוסק בשימושי משפט פיתגורס במרחב‪ ,‬בפרט‬
‫בתיבה או קובייה ובגליל‪ .‬התלמידים למדו על תיבה וקובייה‬
‫בכיתה ז‪ .‬שם הגדרנו מושגים כמו‪ :‬פאה‪ ,‬צלע (מקצוע) וקדקוד‬
‫של פאה; צלעות סמוכות ונגדיות של פאה‪ .‬כמו כן‪ ,‬נלמדו‬
‫המושגים כמו נפח ושטח פנים של תיבה ולמדו לחשב אותם‪.‬‬
‫להחליף‬
‫מטרת הפרק הנוכחי היא להכיר מושגים נוספים הקשרים‬
‫לתיבה‪ :‬אלכסון של פאה ואלכסון ראשי של תיבה ולחשב‬
‫אותם באמצעות משפט פיתגורס‪.‬‬
‫נושא "הנדסת המרחב" דורש ראיה מרחבית ומסייע בפיתוח‬
‫של ראיה כזו‪ .‬מומלץ להיעזר באמצעי המחשה כדי לפתח אצל‬
‫התלמידים את הראיה המרחבית‪ .‬ניתן לדוגמה‪ ,‬לבקש‬
‫מהתלמידים להביא קופסאות קרטון בצורת תיבות (קופסאות‬
‫דגנים‪ ,‬נעליים‪ ,‬טישו‪ ,‬ועוד)‪ .‬היתרון של קופסאות אלה הוא‬
‫שניתן לסרטט עליהן אלכסוני פאה‪ ,‬לצבוע צלעות אחדות‪,‬‬
‫לראות בבירור זוויות ישרות ועוד‪ .‬אם יש אפשרות‪ ,‬רצוי‬
‫ומומלץ להיעזר בקופסאות שקופות בהן ניתן להמחיש מיהו‬
‫אלכסון ראשי באמצעות קשית‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬עמ' ‪ – 315‬בניית דגם של תיבה‬
‫פעילות ‪ 2‬מציעה דרך לבניית דגם של תיבה מקשיות פלסטיק‬
‫ומנקי מקטרת (תמונת המחשה בעמ' ‪ )315‬או מקיסמים‬
‫ופלסטלינה‪.‬‬
‫היתרון בדגמים אלה הוא באפשרות להוסיף לדגם גם את‬
‫האלכסון הראשי של תיבה ולראות אותו מכל הזוויות‪ .‬דבר זה‬
‫קשה להשיג בתיבה שדפנותיה מחומר אטום‪ .‬החיסרון של דגם‬
‫זה הוא בשבריריות שלו‪.‬‬
‫מומלץ להחזיק בכתה במהלך השיעורים הראשונים ערכת חומרים שכוללת תיבות שונות‪ ,‬שיפודים‪ ,‬קסמי שיניים‪ ,‬פלסטלינה‪,‬‬
‫סרגלים ישרי‪-‬זווית‪ ,‬גי ליונות קשיחים‪ ,‬וחומרים אחרים שמצויים בסביבה‪ ,‬כדי לאפשר לתלמידים שמעוניינים בכך להשוות בין‬
‫הסרטוט למציאות‪ ,‬או לחילופין‪ ,‬לבנות דגמים של הסרטוטים‪ .‬כמן כן‪ ,‬מומלץ מאוד שיהיה ברשותו של המורה דגם של תיבה‬
‫לצורך המחשה‪.‬‬
‫פעילות ‪ 1‬עמ' ‪ – 314‬תיבה וקובייה – חזרה‬
‫מטרת פעילות ‪ 1‬היא לרענן את הידע והמושגים הקשורים בתיבה (קדקוד‪ ,‬פאה‪ ,‬צלע‪ ,‬צלעות סמוכות של תיבה) ולבצע חזרה על‬
‫נוסחאות לחישוב נפח ושטח פנים של תיבה‪ .‬חשוב להפנות את תשומת ליבם של לתלמידים ליחידות המידה של אורכי הצלעות‬
‫(יחידות אורך)‪ ,‬שטח פנים (יחידות ריבועיות) ונפח (יחידות מעוקבות) של תיבה‪ .‬כמו כן חשוב להזכיר את הצורך בהמרת יחידות‪,‬‬
‫אם המידות אינן נתונות באותן יחידות‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪412‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פעילות ‪ 3‬עמ' ‪ – 315‬מתבוננים בחדר הכיתה‬
‫אחד הדגמים הזמינים ביותר של תיבה הוא חדר הכיתה‬
‫עצמו (ברוב במקרים)‪ .‬זה מאפשר להתבונן בתיבה‬
‫"מפנים" ולזהות בה זוויות ישרות וצלעות מאונכות זו לזו‪.‬‬
‫ההמלצה היא להתמקד בצלע שבין שתי קירות ולבדוק‬
‫לאילו קווים היא מאונכת‪ .‬היא מאונכת הן לצלעות‬
‫התקרה הסמוכות לה והן לצלעות הרצפה הסמוכות לה‪.‬‬
‫עובדה זו תהיה שימושית מאוד בזיהוי של משולשים‬
‫ישרי‪-‬זווית הנוצרים מהעברת אלכסונים של פאה‪.‬‬
‫תלמידים רבים מתקשים לדמיין שהישר המשותף לשני‬
‫קירות‪ ,‬מאונך לאלכסון החדר‪ .‬חלקם משתכנעים בקלות‬
‫על ידי הדגמות שונות כגון‪ :‬הצבת מלבן פוליגל בפינת‬
‫החדר‪ ,‬כשאחת מצלעותיו צמודה לישר החיתוך של הקירות והאחרת מונחת על האלכסון‪ .‬סעיף זה מוביל באופן טבעי להגדרת‬
‫ישר מאונך למישור (הגדרה אותה ילמדו בעתיד‪ ,‬אך ניתן לזרוע זרעים להוראת המושג בפעילות זו)‪.‬‬
‫פעילות ‪ 4‬עמ' ‪ – 316‬כיצד נסרטט קובייה או תיבה?‬
‫מטרת פעילות ‪ 4‬היא ללמד תלמידים לסרטט תיבה במחברת‪ .‬הפעיל ות מתארת את שלבי הסרטוט‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים‬
‫לסרטט תיבות שונות זו מזו ככל שניתן‪ :‬למקם את המלבנים (פאות) קרוב או רחוק יותר אחד מהשני‪ ,‬לסרטט מלבנים "צרים" או‬
‫"רחבים" מאוד וכו'‪.‬‬
‫כאשר מתבוננים בסרטוט של תיבה או מסרטטים‬
‫תיבה‪ ,‬חלק מהזוויות הישרות אינן נראות ישרות‪ .‬לכן‪,‬‬
‫יש חשיבות לשלב פעילות זו עם פעילויות בהן‬
‫התלמידים מחזיקים דגם של תיבה‪ ,‬שבו הזוויות‬
‫הישרות אכן נראות כך‪.‬‬
‫טלפון נייד בשירות לימודי מתמטיקה‪:‬‬
‫אף על פי שבמרבית בתי הספר השימוש בטלפון נייד‬
‫אסור בזמן השיעור‪ ,‬ניתן להשתמש ביתרונות‬
‫הטכנולוגיים שמציע הטלפון החכם ללימוד‬
‫הגיאומטריה‪ .‬אפשר לבקש מהתלמידים לצלם דגמים‬
‫של תיבה (קופסאות או דגמים שבנו) ולראות כיצד‬
‫הזוויות הישרות מתעוותות בצילום‪ .‬המטרה של התנסות מסוג זה‪ ,‬היא ללמוד לזהות זוויות ישרות בתמונות של תיבה‪ ,‬גם כשהן‬
‫לא נראות כך‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪413‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫אתנחתא – עמ' ‪316‬‬
‫את בסיסו של מבנה ‪ 1‬שלפניכם הדביקו לבריסטול‪ ,‬וצבעו באפור את הפאות החשופות‬
‫של הקוביות (חלק מהפאות שנצבעו נראות בסרטוט)‪.‬‬
‫מבנה ‪1‬‬
‫א‪ .‬כמה פאות נצבעו?‬
‫ב‪ .‬במהלך הצביעה זזה אחת הקוביות‪ ,‬והתקבל מבנה ‪ .2‬האם במבנה‬
‫‪ 2‬יש לצבוע יותר פאות מאשר במבנה ‪ ?1‬בכמה? פחות פאות?‬
‫בכמה? או אותו מספר של פאות?‬
‫פתרון‪ :‬א‪ , 34 .‬ב‪ 2 .‬פאות יותר‬
‫מבנה ‪2‬‬
‫דן‪ ,‬גיא‪ ,‬עופר וטל מתבוננים במבנה‪ .‬התאימו לכל אחד מהם את סרטוט המבנה במבט צד‪ ,‬המתאים לכיוון ממנו הוא מתבונן‪.‬‬
‫א‪ .‬גיא ב‪ .‬דן ג‪ .‬עופר ד‪ .‬טל‬
‫גיא‬
‫עופר‬
‫דן‬
‫א‬
‫ב‬
‫ד‬
‫ג‬
‫טל‬
‫פעילות ‪ 5‬עמ' ‪ – 317‬אלכסון של פאה‬
‫מטרת פעילות ‪ ,5‬היא להכיר את המושג "אלכסון של פאה" – קטע המחבר בין שני קדקודים של אותה פאה שאינם סמוכים זה‬
‫לזה‪ .‬בפעילת זו התלמידים לומדים לזהות משולשים ישרי‪-‬זווית שנוצרים מהעברת אלכסון של פאה‪ .‬סרטוט (‪ )2‬בסעיף ב מראה‬
‫ששני אלכסוני פאה לא בהכרח מאונכים זה לזה‪ .‬מומלץ להיעזר באמצעי המחשה בזיהוי של זוויות ישרות וזווית שאינן ישרות‪.‬‬
‫סעיף ד עוסק במניה של אלכסוני פאה בעלי אותו אורך‪ .‬כל פאה היא מלבן‬
‫ולכן לכל פאה יש שני אלכסונים בעלי אותו אורך‪ .‬אם כל ממדי התיבה‬
‫שונים זה מזה‪ ,‬אז יש בתיבה ‪ 6‬פאות שכל שתיים מהן זהות (חופפות)‪.‬‬
‫בתיבה כזאת יש ‪ 4‬אלכסוני פאה בעלי אותו אורך‪ .‬בקובייה‪ 6 ,‬פאות זהות‪,‬‬
‫לכן בקובייה יש ‪ 12‬אלכסוני פאה בעלי אותו אורך‪.‬‬
‫דוגמה פתורה ע"מ ‪317‬‬
‫הדוגמה הפתורה‪ ,‬מופיעה אחרי הפעילות‪ ,‬מדגימה כיצד לחשב את האורך‬
‫של אלכסון הפאה של תיבה בעזרת משפט פיתגורס‪.‬‬
‫ניתן לסרטט מחוץ לתיבה את המשולש הישר‪-‬זווית‪ ,‬שאת היתר שלו‬
‫רוצים לחשב‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪414‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פעילות ‪ 6‬עמ' ‪ – 318‬אלכסון ראשי של תיבה‬
‫מטרת פעילות ‪ ,6‬היא להכיר מושג חדש‪" :‬אלכסון של תיבה"‬
‫או "אלכסון ראשי של תיבה"‪.‬‬
‫אלכסון של תיבה הוא קטע המחבר בין שני קדקודים שאינם על‬
‫אותה פאה‪.‬‬
‫אלכסון זה אינו נמצא במישור של אחת מפאות התיבה‪ .‬ניתן‬
‫להמחיש את האלכסון של התיבה על ידי הוספת קשית או קיסם‬
‫לדגם‪ .‬ניתן להוסיף גיליון שקוף בגודל מתאים ולסרטט עליו את‬
‫אלכסון התיבה‪ .‬ניתן לשאול היכן עובר האלכסון הראשי של‬
‫התיבה שהיא חדר הכיתה‪.‬‬
‫הפעילות מתמקדת בהבחנה בין האלכסון הראשי של התיבה‬
‫לבין האלכסון של הפאה וכן בזיהוי של המשולשים הישרי‪-‬זווית‬
‫הנוצרים מהעברת האלכסון הראשי של התיבה‪ .‬המטרה היא‬
‫להבחין שהאלכסון של התיבה הוא היתר במשולש ישר‪-‬זווית‬
‫שאחד הניצבים שלו הוא האלכסון של הפאה והניצב השני הוא‬
‫הצלע של התיבה‪.‬‬
‫הבחנה זו אינה מידית‪ ,‬כי בדרך כלל יש להוסיף את האלכסון‬
‫של הפאה לסרטוט כדי ליצור משולש כזה‪.‬‬
‫ישנן ‪ 6‬דרכים שונות לעשות זאת‪ ,‬כפי שניתן לראות בסרטוטים‬
‫המופיעים למטה‪ .‬אולם בכיתה ח מספיק לעסוק בשני המקרים הראשונים (מימין)‪.‬‬
‫לתלמידים מתעניינים ניתן להציע תרגיל אתגר – לזהות משולשים ישרי‪-‬זווית רבים ככל האפשר הנוצרים מהעברת האלכסון‬
‫הראשי‪.‬‬
‫סעיף ו מפנה את תשומת ליבם של התלמידים לכפל תפקידים של האלכסון של הפאה‪ :‬הוא יתר במשולש ישר‪-‬זווית שניצביו הן‬
‫הצלעות הסמוכות של פאה; וניצב במשולש ישר‪-‬זווית שהיתר שלו הוא האלכסון הראשי של התיבה‪ .‬לאבחנה זו חשיבות רבה‬
‫במציאת אורך האלכסון הראשי של התיבה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪415‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫דוגמה פתורה בעמ' ‪319‬‬
‫מראה כיצד לחשב את אורך האלכסון הראשי של התיבה‪.‬‬
‫נתונה תיבה שכל מידותיה ידועות ויש לחשב את אורך‬
‫האלכסון הראשי של התיבה‪ .‬תחילה נוסיף לסרטוט את‬
‫האלכסון של הפאה כך שייוצר משולש ישר‪-‬זווית שבו‬
‫האלכסון הראשי של התיבה הוא היתר‪ .‬החישוב של אורך‬
‫האלכסון הראשי מתבצע בשני שלבים בעזרת משפט‬
‫פיתגורס‪ .‬תחילה נחשב את האורך של אלכסון הפאה ולאחר‬
‫מכן נשתמש במידע זה כדי לחשב את אורך האלכסון של‬
‫התיבה‪.‬‬
‫בכל אחד מהשלבים ניתן להיעזר בסרטוט של משולש ישר‪-‬‬
‫זווית מתאים מחוץ לתיבה‪ ,‬אך אין חובה לעשות זאת‪.‬‬
‫אין כוונה בשלב זה לפתח נוסחה למציאת אורך אלכסון‬
‫ראשי של תיבה‪ ,‬אולם התלמידים עשויים להבחין בכך‬
‫‪2‬‬
‫שקיצור תהליך החישוב מוביל לנוסחה‪( :‬אורך אלכסון של‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תיבה) = ‪.a +b +c‬‬
‫תרגילים עמ' ‪325 – 319‬‬
‫עמ' ‪319‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬סרטטו במחברתכם קובייה שאורך הצלע שלה הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬הוסיפו לסרטוט אלכסון של פאה ואלכסון ראשי‪.‬‬
‫אורך אלכסון הפאה‪ 3 2 :‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬מצאו את אורך אלכסון הפאה שסרטטתם‪.‬‬
‫עמ' ‪ .2 319‬נתונה קובייה שהנפח שלה הוא ‪ 64‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו את האורך של הצלע של הקובייה‪ ,‬וסרטטו אותה במחברת‪ 4 .‬ס"מ‬
‫‪ 4 2‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬מצאו את האורך של אלכסוני הפאות של הקובייה‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪416‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫מטרת תרגיל ‪ 3‬היא חזרה על חישוב נפח ושטח פנים של תיבה‪.‬‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ .3 320‬על פי הנתונים בסרטוט מצאו את הנפח ושטח פנים של התיבות שלפניכם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪L‬‬
‫‪K‬‬
‫‪C‬‬
‫‪20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪17‬‬
‫‪J‬‬
‫‪S‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪9‬‬
‫נפח‪ 680 :‬סמ"ק‪ ,‬שטח פנים‪ 522 :‬סמ"ר‬
‫‪G‬‬
‫‪15‬‬
‫נפח‪ 2700 :‬סמ"ק ‪ ,‬שטח פנים‪ 1230 :‬סמ"ר‬
‫‪D‬‬
‫‪14.5‬‬
‫‪T‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪18‬‬
‫‪9‬‬
‫‪F‬‬
‫‪4‬‬
‫‪G‬‬
‫‪6‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪11‬‬
‫‪L‬‬
‫‪P‬‬
‫‪H‬‬
‫נפח‪ 432 :‬סמ"ק ‪ ,‬שטח פנים‪ 408 :‬סמ"ר‬
‫עמ' ‪.4 320‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪H‬‬
‫‪8‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫נפח‪ 1435.5 :‬סמ"ק ‪ ,‬שטח פנים‪ 778 :‬סמ"ר‬
‫לפניכם דגם של קובייה שבנוי מקשיות בו שלושה אלכסוני פאה‬
‫(ראו סרטוט)‪ .‬מהו סוג המשולש המתקבל במקרה זה? הסבירו‪.‬‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות‪ .‬בקובייה כל הפאות חופפות ואלכסוני כל פאה‬
‫שווים זה לזה‪.‬‬
‫עמ' ‪ .5 320‬נתונה תיבה ‪.ABCDEFGH‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ EG‬אלכסון של הפאה ‪.EFGH‬‬
‫א‪ .‬מצאו את אורכו של אלכסון הפאה ‪ 26 .EG‬ס"מ‬
‫ב‪ .‬על‪-‬פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של ‪.EC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ 31.62‬ס"מ = ‪1000‬‬
‫‪E‬‬
‫‪10‬‬
‫כמה אלכסונים כאלה יש?‬
‫יש ‪ 4‬אלכסונים‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫רשמו את כל האלכסונים שאורכם שווה ל‪.EC -‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪EC = HB = GA = FD‬‬
‫‪24‬‬
‫‪H‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪417‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ .6 321‬נתונה תיבה ‪.ABCDEFGH‬‬
‫‪ BG‬אלכסון של הפאה ‪.CBFG‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬על‪-‬פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של ‪.BG‬‬
‫‪ 29‬ס"מ‬
‫‪ 4‬אלכסונים‪BG = CF = AH = DE :‬‬
‫עמ' ‪.7 321‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫שימו לב‪ ,‬לא כל הנתונים נחוצים לצורך החישוב‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את נפח התיבה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪21‬‬
‫ב‪ .‬רשמו את כל אלכסוני הפאה שאורכם שווה ל‪.BG -‬‬
‫כמה אלכסונים כאלה יש?‬
‫‪A‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ 13440‬סמ"ק‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ BE‬הוא אלכסון של הפאה ‪.ABFE‬‬
‫א‪ .‬על‪-‬פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של ‪ 15 .BE‬ס"מ‬
‫‪12‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬רשמו את כל אלכסוני הפאה שאורכם שווה ל‪.BE -‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 4‬אלכסונים‪.BE = AF = DG = CH :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצאו את שטח הפנים של התיבה‪.‬‬
‫‪ 510‬סמ"ר‬
‫‪9‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪7‬‬
‫‪H‬‬
‫‪G‬‬
‫עמ' ‪ .8 321‬בתיבה שלפניכם מסורטטים שלושה אלכסונים של פאה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬על‪-‬פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של כל אחד מהם‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪ 11.66 , EG‬ס"מ ‪ 12.8 , BG = 136 ‬ס"מ ‪BE = 164 ‬‬
‫ב‪ .‬לכל אחד מה אלכסונים של פאה‪ ,‬רשמו אלכסון פאה נוסף השווה לו‬
‫באורכו‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫למשל‪.BE = DG , BG = DE , EG = AC :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫א‪ .‬מצאו את האורכים של אלכסוני הפאה המופיעים בסרטוט‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 8.54‬ס"מ ‪ 6.7 , HF= 73 ‬ס"מ ‪ 10 , HA= 45 ‬ס"מ = ‪.AF‬‬
‫מהו סוג המשולש ‪ ?ΔAHF‬הסבירו‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות נתונים בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ .9 321‬נפח התיבה בסרטוט שלפניכם הוא ‪ 144‬סמ"ק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את היקף המשולש ‪.ΔAHF‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 25.24‬ס"מ‬
‫שונה‪-‬צלעות‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪3‬‬
‫‪G‬‬
‫‪8‬‬
‫‪H‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪418‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .10 322‬גלית הכינה מתנת יום הולדת לחברתה‪.‬‬
‫את המתנה ארזה בתוך קופסה שצורתה תיבה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫גלית רוצה לקנות סרט אדום כדי להדביק על הקופסה‬
‫ולקשט אותה‪ ,‬כמודגם בסרטוט‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫א‪ .‬מהו אורכו של הסרט אותו תצטרך גלית לקנות?‬
‫‪K‬‬
‫‪ 24.5‬ס"מ ‪ .TR= 601 ‬אורך הסרט‪ 130 :‬ס"מ = ‪(24.5 + 8)∙4‬‬
‫ב‪ .‬מהו נפח התיבה?‬
‫‪T‬‬
‫‪J‬‬
‫‪5‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ 960‬סמ"ק‬
‫עמ' ‪ .11 322‬בכל אחת מהתיבות שלפניכם מסורטט אלכסון ראשי אחד‪ .‬לכל תיבה רשמו משולש ישר‪-‬זווית אחד לפחות שבו האלכסון‬
‫הראשי המסומן הוא היתר שלו‪ .‬מטרת התרגיל היא לזהות משולשים ישרי‪-‬זווית בהם אלכסון ראשי הוא היתר‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪X‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪M‬‬
‫‪W‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫למשל‪ΔWYB :‬‬
‫למשל‪ΔKAC :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪R‬‬
‫‪G‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪Q‬‬
‫למשל‪ΔDBF :‬‬
‫‪P‬‬
‫למשל‪ΔCPR :‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪419‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים‬
‫ואורכי הצלעות הם בס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ .12 322‬על‪-‬פי הנתונים בסרטוט מצאו‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬אורך אלכסון של הפאה ‪.EG‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ 17‬ס"מ = ‪152  82  289‬‬
‫‪D‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‪ .‬אורך האלכסון הראשי של התיבה ‪ .AG‬עגלו לשתי ספרות אחרי‬
‫הנקודה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 19.72‬ס"מ ‪102  172  389 ‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪8‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪15‬‬
‫עמ' ‪ .13 323‬נתונה תיבה שאורכי צלעותיה הם ‪ 6‬ס"מ‪ 8 ,‬ס"מ‪ 24 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את אורך האלכסון של הפאה ‪.AC‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪8‬‬
‫‪A‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את אורך האלכסון הראשי של התיבה ‪ 26 .AG‬ס"מ ‪676 ‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את האורך של כל אחד מאלכסוני הפאות של התיבה‪ .‬האם אחד מהאלכסונים‬
‫הללו ארוך יותר מאלכסון התיבה?‬
‫‪ 24.7‬ס"מ = ‪ 25.29 ,BG = 612 ‬ס"מ ‪ 10 , HC = 640 ‬ס"מ = ‪.AC‬‬
‫‪24‬‬
‫אורכי אלכסונים של פאה קטנים מאורך האלכסון המרכזי‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫עמ' ‪ .14 323‬לחבילת דגני בוקר צירפו הפתעה‪ -‬עיפרון ארוך שיכול לכתוב בחמישה צבעים שונים‬
‫ואורכו ‪ 40‬ס"מ‪.‬‬
‫חבילת דגני הבוקר היא בצורת תיבה שאורכי צלעותיה הם‪ 10 :‬ס"מ‪ 25 ,‬ס"מ‪ 30 ,‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬האם העיפרון יכול להיכנס לקופסה? הסבירו‪.‬‬
‫אורך האלכסון הראשי של הקופסה‪ 40.3 :‬ס"מ ‪ , 1625 ‬לכן העיפרון ייכנס לקופסה‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל ‪ 1‬סמ"ק של הקופסה יש ‪ 3‬חתיכות של דגנים‪ .‬כמה חתיכות דגנים יש בקופסה כולה? ‪ 22,500‬חתיכות‬
‫‪ .15‬נתונה תיבה שנפחה ‪ 3600‬סמ"ק‪.‬‬
‫עמ' ‪.15 323‬‬
‫כמו כן נתון‪ 30 :‬ס"מ = ‪ 10 , AB‬ס"מ = ‪.RP‬‬
‫א‪ .‬מצאו את גובה התיבה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬מה תפקידו של כל אחד מהקטעים הצבעוניים בסרטוט?‬
‫(הקטעים‪.)AR ,AC ,RD ,RB :‬‬
‫‪ – RB‬אלכסון פאה ‪ – RD ,CBPR‬אלכסון פאה ‪AC ,DCRQ‬‬
‫– אלכסון פאה ‪ – AR ,ABCD‬אלכסון ראשי‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את אורכי הקטעים הצבעוניים בסרטוט‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ 31.67‬ס"מ ‪ 32.31 ,AC = 1000 ‬ס"מ ‪ 15.62 ,DR = 1044 ‬ס"מ ‪,BR = 244 ‬‬
‫‪ 33.82‬ס"מ ‪.AR= 1144 ‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪420‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .16 323‬נתונה קובייה בעלת נפח של ‪ 1‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‪ .‬חשבו את אורך אלכסון הפאה ואת אורך אלכסון הקובייה‪.‬‬
‫אורך אלכסון הפאה‪ , 2 :‬אורך האלכסון הראשי‪3 :‬‬
‫ב‪ .‬חזרו על סעיף א כאשר נפח הקובייה הוא ‪ 8‬סמ"ק‪.‬‬
‫אורך אלכסון הפאה‪ , 2 2 :‬אורך האלכסון הראשי‪2 3 :‬‬
‫ג‪ .‬חזרו על סעיף א כאשר נפח הקובייה הוא ‪ 27‬סמ"ק‪.‬‬
‫אורך אלכסון הפאה‪ , 3 2 :‬אורך האלכסון הראשי‪3 3 :‬‬
‫ד‪ .‬נתונה קובייה שאורך צלעה ‪ .x‬כתבו ביטוי אלגברי לאורך אלכסון של פאה ולאורך האלכסון הראשי של הקובייה‪ .‬היעזרו‬
‫בתוצאות שקיבלתם בסעיפים א – ג‪ .‬אורך אלכסון הפאה‪ , x 2 :‬אורך האלכסון הראשי‪x 3 :‬‬
‫עמ' ‪ .17 324‬במשחק מחשב לטאה וזבוב נמצאים על הקדקודים ‪ G‬ו‪ A -‬של קובייה‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫שאורכי צלעותיה נתונים בסרטוט‪ .‬כדי לנצח במשחק ולעבור לשלב הבא‪,‬‬
‫‪C‬‬
‫הלטאה צריכה להגיע אל הזבוב בדרך הקצרה ביותר‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫ללטאה מותר ללכת מקדקוד לקדקוד של התיבה לאורך צלע או לאורך‬
‫אלכסון פאה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬מצאו דרכים באורך שונה בהן יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו אורכה של כל אחת מהדרכים שמצאתם? זו קובייה‬
‫‪G‬‬
‫ולכן קיימות מספר דרכים‪ ,‬אך בשני אורכים בלבד‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ 24.14‬ס"מ = ‪ 30 ,GB+AB‬ס"מ = ‪GF+FB+BA‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו אורכה של הדרך הקצרה בה יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב? הביאו דוגמה לדרך כזו‪ .‬כמה דרכים האלה קיימות?‬
‫הדרך הכי קצרה היא על אלכסון הפאה וצלע הקובייה‪ 24.14 :‬ס"מ‪ .‬ישנן שש אפשרויות לדרך כזו‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהו המסלול הקצר ביותר מהלטאה אל הזבוב‪ ,‬אם הלטאה חופשית לבחור כל מסלול שתרצה על פני הקובייה? רשמו‬
‫את כל האפשרויות‪.‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נתבונן בפריסה של קובייה‪.‬‬
‫הלטאה לא חייבת לעבור דרך אחת הצלעות ולכן עליה לעבור בדרך הקצרה ביותר בין שני קדקודים של מלבן המורכב‬
‫משתי פאות של הקובייה ‪ .‬המסלול הקצר ביותר המחבר בין שני קדקודים נגדיים של מלבן הוא אלכסון‪ ,‬במקרה של‬
‫הקובייה‪ ,‬יש אפשרות אחת כי כל הפאות הן ריבועים זהים ולכן האלכסון של המלבן הוא המסלול הקצר ביותר כמודגם‬
‫באיור‪.‬‬
‫החישובים בס"מ‪102  202  22.36 :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪G‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪421‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪324‬‬
‫‪ .18‬בדומה לשאלה ‪ ,17‬הפעם במשחק המחשב לטאה וזבוב נמצאים על‬
‫הקדקודים ‪ G‬ו‪ A -‬של תיבה‪ ,‬שאורכי צלעותיה נתונים בסרטוט‪ .‬כדי לנצח‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫במשחק ולעבור לשלב הבא‪ ,‬הלטאה צריכה להגיע אל הזבוב בדרך‬
‫‪C‬‬
‫הקצרה ביותר‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪12‬‬
‫ללטאה מותר ללכת מקדקוד לקדקוד של התיבה לאורך צלע או לאורך‬
‫אלכסון פאה‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬מצאו דרכים שונות בהן יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪18‬‬
‫‪G‬‬
‫ב‪ .‬מהו אורכה של כל אחת מהדרכים שמצאתם?‬
‫‪H‬‬
‫‪ 32.12‬ס"מ = ‪ 39 , EG+AE‬ס"מ = ‪GF+FB+BA‬‬
‫ג‪ .‬מהו אורכה של הדרך הקצרה בה יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב? הביאו דוגמה לדרך כזו‪ .‬כמה דרכים האלה קיימות?‬
‫הדרך הכי קצרה‪ 32.12 :‬ס"מ‪ .‬ישנן שש אפשרויות לדרך כזו‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהו המסלול הקצר ביותר מהלטאה אל הזבוב‪ ,‬אם הלטאה חופשית לבחור כל מסלול שתרצה על פני התיבה? רשמו‬
‫את כל האפשרויות‪.‬‬
‫כדי לענות על שאלה זו נתבונן בפריסות של התיבה‪.‬‬
‫הלטאה לא חייבת לעבור דרך אחת הצלעות ולכן עליה לעבור בדרך הקצרה ביותר בין שני קדקודים של מלבן גדול‬
‫המורכב משתי פאות של התיבה‪ .‬המסלול הקצר ביותר המחבר בין שני קדקודים נגדיים של מלבן הוא אלכסון‪ ,‬ועל כן‬
‫עלינו לבדוק מיהו הקצר ביותר מבין שלושה אלכסונים אפשריים‪.‬‬
‫בכל שלושת המקרים נחשב את המרחק על פי משפט פיתגורס‪.‬‬
‫כל החישובים בס"מ‪.‬‬
‫מקרה א‪272  122  29.55 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪C‬‬
‫מקרה ב‪302  92  31.32 :‬‬
‫מקרה ג‪182  212  27.66 :‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪G 9 F‬‬
‫‪18‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫‪9‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪9‬‬
‫‪D‬‬
‫ג‬
‫‪A‬‬
‫‪12‬‬
‫א‬
‫‪18‬‬
‫‪B‬‬
‫‪F 18‬‬
‫‪B‬‬
‫‪12‬‬
‫‪G 9 F‬‬
‫‪18‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E‬‬
‫‪9‬‬
‫‪F‬‬
‫‪18‬‬
‫המסלול הקצר ביותר הוא במקרה ג‪ .‬מסלול כזה יכול לעבור דרך הצלע ‪ DC‬או דרך הצלע ‪.EF‬‬
‫עמ' ‪ .19 324‬לפניכם דגם של מבנה המורכב מקוביות שאורך צלען ‪ 1‬מטר‪.‬‬
‫מהו אורכו של המוט הירוק המשמש לחיזוק המבנה?‬
‫‪ 4.58‬מ' ‪21 ‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪422‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫עמ' ‪ .20 324‬נתונה תיבה שאורכי צלעותיה הם ‪ a‬ס"מ‪ b ,‬ס"מ‪ ,‬ו‪ c -‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬רשמו ביטוי אלגברי לכל אחד מאלכסוני הפאה‪.‬‬
‫בסרטוט‪:‬‬
‫אורך האלכסון האדום‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫אורך האלכסון הכחול‪a2  c 2 :‬‬
‫אורך האלכסון הירוק‪b2  c 2 :‬‬
‫‪b‬‬
‫ב‪ .‬רשמו ביטוי אלגברי לאלכסון הראשי של התיבה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫אורך האלכסון הראשי‪a2  b2  c 2 :‬‬
‫עמ' ‪325‬‬
‫‪ ..21‬בני הפסל תכנן פסל‪ ,‬המורכב משלוש תיבות זהות שמידותיהן‪ 9 :‬מטר‪ 12 ,‬מטר ו ‪ 15 -‬מטר‪ ,‬והן עשויות מפלסטיק שקוף‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫בתוך כל תיבה מסגרת בצו רת משולש צבעוני (ראו סרטוט)‪ .‬כל מטר של החומר שממנו עשויות המסגרות עולה ‪ 10‬שקלים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪R‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪S‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪U‬‬
‫‪15‬‬
‫‪G‬‬
‫‪12‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪9‬‬
‫‪H‬‬
‫‪L‬‬
‫‪15‬‬
‫‪V‬‬
‫‪9‬‬
‫‪K‬‬
‫‪T‬‬
‫‪15‬‬
‫‪E‬‬
‫‪J‬‬
‫‪I‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪W‬‬
‫‪Y‬‬
‫תיבה‬
‫א‪ .‬מבלי לבצע תיבה‬
‫שלו ‪2‬הוא הגבוה ביותר? הסבירו‪.‬‬
‫חישוב‪1,‬ענו‪ :‬מהו המשולש שמחיר המסגרת‬
‫‪O‬‬
‫‪12‬‬
‫‪P‬‬
‫תיבה ‪3‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את המחיר של כל אחת משלוש המסגרות‪ ,‬ובדקו את תשובתכם‪.‬‬
‫נמצא את ההיקף של כל אחד מהמשולשים‪ :‬בתיבה ‪ 36 :1‬מ'‪ ,‬בתיבה ‪ 50.69 :2‬מ'‪ ,‬בתיבה ‪ 55.53 :3‬מ'‪.‬‬
‫מחיר כל מסגרת‪ :‬תיבה ‪ 360 :1‬ש"ח ‪ ,‬בתיבה ‪ 506.9 :2‬ש"ח ‪ ,‬בתיבה ‪ 555.3 :3‬ש"ח‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בני שוקל להכניס לתוך המסגרות שצורתן משולש לוחות משולשים המצופים בחומר מיוחד‪ .‬כל מ"ר של החומר ממנו‬
‫מורכב הציפוי עולה ‪ 100‬שקלים‪ .‬מבלי לבצע חישוב‪ ,‬ענו‪ :‬מיהו המשולש שמחיר ציפוי השטח שלו הוא הגבוה ביותר?‬
‫הסבירו‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשבו את מחיר הציפוי של כל אחד משלושת המשולשים‪ ,‬ובדקו את תשובתכם‪.‬‬
‫שטח של כל אחד המשולשים‪ :‬בתיבה ‪ 54 :1‬מ"ר ‪ ,‬בתיבה ‪ 104.94 :2‬מ"ר‪ ,‬בתיבה ‪ 131.2 :3‬מ"ר‬
‫מחיר הציפוי עבור כל תיבה‪ :‬תיבה ‪ 5,400 :1‬ש"ח ‪ ,‬בתיבה ‪ 10,494 :2‬ש"ח ‪ ,‬בתיבה ‪ 13,120 :3‬ש"ח‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪423‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫ה‪ .‬לצורך בניית הפסל הקציבה העירייה לבני ‪ 55,000‬ש"ח‪ .‬כל מ"ר של פלסטיק שקוף עולה ‪ 20‬שקלים‪.‬‬
‫האם התקציב יספיק לבניית שלוש התיבות והמסגרות שצורתן משולש?‬
‫שטח הפנים של כל תיבה‪ 846 :‬מ"ר‪ .‬מחיר הבנייה לתיבה‪ 16920 :‬ש"ח‪ .‬מחיר הבנייה של שלוש תיבות (ללא‬
‫מסגרות)‪ 50760 :‬שקלים‪ – .‬התקציב לא יספיק‪.‬‬
‫האם הסכום המוקצב יספיק להכנסת שלושת הלוחות המצופים בציפוי מיוחד? לא‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫לאחר שסיים בני את בניית הפסל הוא התבונן בו ותהה האם היה יכול לבנות תיבה רביעית ובה משולש השונה בסוגו‬
‫משלושת המשולשים שבנה‪ ,‬תוך שמירה על התנאי שקודקודי המשולש הם קדקודים של התיבה‪.‬‬
‫מה דעתכם‪ ,‬האם יוכל בני לבנות משולש כזה? אם כן‪ ,‬סרטטו ואם לא‪ ,‬הסבירו‪.‬‬
‫ניתן לבנות משולש אחר העונה על הדרישות‪ .‬לדוגמה ‪.ΔWVT‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪T‬‬
‫‪15‬‬
‫‪U‬‬
‫‪V‬‬
‫‪9‬‬
‫‪W‬‬
‫‪12‬‬
‫‪Y‬‬
‫אתנחתא – עמ' ‪325‬‬
‫המובייל בתמונה שלפניכם נמצא במצב מאוזן‪ .‬משקלו של כל אחד‬
‫מהריבועים האדומים המשובצים הוא ‪ 200‬גרם‪ .‬משקל החץ הצהוב הוא‬
‫‪ 40‬גרם ומשקל מגן דויד הוא ‪ 140‬גרם‪.‬‬
‫מה משקל כדור ורוד ומה משקל המשולש‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬כדור ורוד שוקל ‪ 60‬גרם‬
‫המשולש שוקל ‪ 100‬גרם‬
‫הסבר‪:‬‬
‫נתחיל את הפתרון מהתבוננות בחלק של המובייל במסגרת הירוקה‪:‬‬
‫אם ננטרל את שני העיגולים הורודים‪ ,‬נוכל להסיק שמשקל המשולש‬
‫שווה למשקל הכוכב פחות משקל החץ‪ ,‬כלומר‪ 100 ,‬גרם‪.‬‬
‫נתבונן במסגרת האדומה‪ .‬ממנה נוכל להסיק שמשקל הכדור הורוד הוא‬
‫‪ 60‬גרם‪.‬‬
‫הנתונים אודות הריבועים האדומים אינם דרושים לפתרון אבל מאפשרים‬
‫לבדוק את נכונתו‪.‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪424‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פיתגורס ‪ -‬דף גזירה לפעילות ‪ 4‬עמ’ ‪285‬‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪425‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫פיתגורס ‪ -‬דף עבודה לפעילות ‪ 4‬עמ’ ‪285‬‬
‫נרצף ריבוע במשולשים ישרי‪-‬זווית‬
‫בכל אחד מהריבועים‪ ,‬הניחו את ארבעת המשולשים הישרי‪-‬זווית החופפים בשתי דרכים שונות‬
‫______________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪426‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ד'‬
‫הגליל‬
‫לקראת ההיכרות הפורמלית עם הגליל כדאי להתבונן בחפצים גליליים או דמויי גליל‪ ,‬להבחין במשותף ביניהם‪ ,‬ועל כך לבסס את‬
‫הגדרת הגליל‪ ,‬ואת ההיכרות עם חלקיו‪.‬‬
‫המוקדים העיקריים בפרק הם ההיכרות עם חלקי הגליל‬
‫ועם הפריסה שלו‪ ,‬וחישובים שונים של שטחים והיקפים‪.‬‬
‫יש לדעת לסרטט פריסה של גליל‪.‬‬
‫בין תרגילי החישוב‪ ,‬יש תרגילים רבים שדורשים המרת‬
‫מידות‪ .‬לעתים‪ ,‬המרת המידות דרושה כיוון שהנתונים‬
‫מופיעים ביחידות שונות‪ .‬פעמים אחרות‪ ,‬כדאי לבצע‬
‫המרה בתום תהליך החישוב‪ ,‬אם ניתן‪ ,‬למשל‪ ,‬לרשום את‬
‫התשובה בליטרים במקום בסמ"ק‪.‬‬
‫ניתן לרשום את התשובות ככפולה של ‪ π‬אך כדאי‪,‬‬
‫לפחות בחלק מהתרגילים להגיע לתשובה עשרונית‬
‫מקורבת שמאפשרת להשוות את התוצאה לגדלים‬
‫מוכרים ("כמו שקית וחצי חלב‪.)"...‬‬
‫חשוב לדון בהשתנות שטח פני הגליל כתוצאה משינויים‬
‫באורך הגובה ו‪ /‬או הרדיוס‪.‬‬
‫הפרק משלב בין חישובים עם הגליל לבין נושאים שנלמדו‬
‫בכיתות ז – ח‪ ,‬בפרט המרת מידות‪.‬‬
‫תרגילים אחדים מוקדשים ליישום משפט פיתגורס‬
‫במרחב במקרה של גליל‪ .‬מומלץ להיעזר באמצעי‬
‫המחשה כדי לזהות משולשים ישרי‪-‬זווית‪.‬‬
‫פעילות ‪ 1‬עמ' ‪ – 326‬מה משותף לגופים‬
‫הבאים?‬
‫פעילות ‪ 1‬מציגה את הגליל‪ .‬בחלק הראשון של הפעילות‪,‬‬
‫לקראת הגדרת הגליל‪ ,‬התלמידים מתבקשים לתאר את המשותף לחפצים אחדים שצורתם דמוית גליל‪.‬‬
‫כדאי לבקש מהתלמידים להביא דוגמאות לחפצים גליליים ואף לצלם גלילים שונים בסביבתם‪.‬‬
‫המושג "מעטפת" מופיע בראשית הפרק‪ ,‬עוד לפני ההגדרה שמופיעה בפעילות ‪ .3‬אפשר להמחיש את מעטפת הגליל על ידי‬
‫יצירת גליל באמצעות דף רגיל ששוליו מוצמדים בעזרת מהדק‪ .‬אפשר גם לדחות את הדיון במעטפת לפעילות ‪.3‬‬
‫בעת ההתבוננות בחפצים‪ ,‬כדאי להדגיש את קיומם של גלילים שטוחים מאד‪ ,‬כמו מטבע‪ ,‬וגלילים דקים מאד‪ ,‬כמו ספגטי‪.‬‬
‫מטרת התמונה של שק שינה להדגיש שהגליל אינו חייב "לעמוד על בסיסו"‪.‬‬
‫נוסחת הנפח של הגליל מובאת ל לא הוכחה‪ .‬מומלץ להדגיש את הדמיון בין חישוב הנפח של הגליל לבין חישוב הנפח של תיבה‬
‫ושל מנסרה משולשת‪.‬‬
‫בהשוואה בין הגליל לבין המנסרה המשולשת והתיבה חשוב להדגיש‪ :‬לשלושת הגופים יש שני בסיסים חופפים הנמצאים‬
‫במישורים מקבילים‪ .‬לשלושת הגופים יש מעטפת שהיא מלבן‪ .‬בעוד שלמנסרות יש פאות צדדיות מלבניות‪ ,‬לגליל אין כלל פאות‬
‫צדדיות‪.‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪425‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫הנוסחה לנפח גליל מתקבלת באמצעות אינטגרלים‪ ,‬ולכן אין אפשרות‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬להסביר אותה לתלמידים‪ .‬עם זאת‪ ,‬כדי לתת‬
‫לתלמידים אינטואיציה לנוסחה לנפח גליל ניתן לבקש מהם דרכים לאמוד את הנפח‪ .‬אחת הדרכים שעשויות לעלות היא שקילה‬
‫של אורז לדוגמה‪ ,‬ששופכים וממלאים גליל ואחר כך משווים את התוצאה למשקל אילו היו ממלאים תיבה‪.‬‬
‫תרגילים עמ' ‪327‬‬
‫נזכור‪:‬‬
‫‪ 1,000‬סמ"ק = ‪ 1‬ליטר‬
‫‪ 1,000,000‬סמ"ק = ‪ 1‬מ"ק‬
‫‪ 1000‬ליטר = ‪ 1‬מ"ק‬
‫תרגילים ‪ 7 - 1‬עוסקים בנפח הגליל‪.‬‬
‫עמ' ‪ .1 327‬חשבו את נפח הגליל על פי הנתונים‪:‬‬
‫בסעיפים ד – ו יש לשים לב להמרת מידות‪.‬‬
‫א‪ 3 .‬ס"מ = ‪r‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪h‬‬
‫‪ 90‬סמ"ק‬
‫ג‪ 2 .‬מ' = ‪r‬‬
‫ה‪ 5 .‬מ = ‪r‬‬
‫‪ 8‬מ' = ‪h‬‬
‫‪ 32‬מ"ק (בקירוב ‪ 100.5‬מ"ק)‪.‬‬
‫‪ 15‬ס"מ = ‪.h‬‬
‫‪ 3,750,000‬סמ"ק ( ‪ 3.75‬מ"ק)‬
‫(בקירוב ‪ 282.7‬סמ"ק)‪.‬‬
‫ב‪ 8 .‬ס"מ = ‪r‬‬
‫‪ 2‬ס"מ = ‪h‬‬
‫‪ 128‬סמ"ק (בקירוב ‪ 402.1‬סמ"ק)‪.‬‬
‫ד‪ 30 .‬ס"מ = ‪r‬‬
‫ו‪ 15 .‬ס"מ = ‪r‬‬
‫‪ 2‬מטר = ‪.h‬‬
‫‪ 180,0000‬סמ"ק ( ‪ 180‬ליטרים‬
‫‪ 5‬מ = ‪.h‬‬
‫‪ 112,500‬סמ"ק = ‪ 112.5‬מ"ק‬
‫או בקירוב ‪ 565.5‬ליטרים)‬
‫עמ' ‪ .2 327‬מהו נפח עוגה המורכבת משתי שכבות בצורת גליל כמודגם בציור‪.‬‬
‫רדיוס הבסיס של הגליל האחד הוא ‪ 14‬ס"מ וגובהו ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫רדיוס הבסיס של הגליל השני הוא ‪ 10‬ס"מ וגובהו ‪ 5‬ס"מ‪ 1,480π .‬סמ"ק‬
‫עמ' ‪ .3 327‬מהו נפח המים הממלאים רבע גליל שקוטר בסיסו הוא ‪ 2‬מטרים וגובהו ‪ 8‬מטרים‪ 2π .‬סמ"ק‬
‫עמ' ‪ .4 327‬נתונים שני גלילים‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫קוטר בסיס הגליל האחד הוא ‪ 20‬ס"מ וגובהו ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫קוטר בסיס הגליל השני הוא ‪ 10‬ס"מ וגובהו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫א‪ .‬האם שני הגלילים הם בעלי נפח שווה? לא‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את הנפח של כל אחד מהגלילים‪ .‬א‪ 1,000π .‬סמ"ק‪ .‬ב‪ 500π .‬סמ"ק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו היחס בין הנפחים של שני הגלילים? ‪2:1‬‬
‫ד‪ .‬חגי טוען שהוא יכול לענות על סעיף ג‪ ,‬גם ללא נתונים מספריים‪ .‬לדבריו‪ ,‬אם מגדילים את גובה הגליל פי ‪ 2‬ומקטינים את‬
‫רדיוס הבסיס פי ‪ 2‬הנפח נשאר קבוע‪ .‬האם הוא צודק?‬
‫חגי כמובן טועה‪ .‬הגדלת הגובה פי ‪ 2‬מכפילה את הנפח‪ ,‬אך הקטנת רדיוס הבסיס פי ‪ 2‬מקטינה את שטח הבסיס פי‬
‫‪ .4‬לכן נפח הגליל קטן פי ‪ .2‬אם תלמידים לא מציינים נקודה זו בעצמם‪ ,‬כדאי להעלותה לאחר ביצוע החישובים‪.‬‬
‫עמ' ‪ .5 327‬א‪ .‬פי כמה יגדל נפח של גליל אם נגדיל את גובהו פי ‪ ? m‬הסבירו‪ .‬פי ‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה יגדל נפח של גליל אם נגדיל את הרדיוס פי ‪ ? m‬הסבירו‪ .‬פי ‪m‬‬
‫הפעם לא נתונות מידות ולכן נדרש שיקול כללי‪ .‬בסעיף א‪ ,‬אפשר לבטא את הגובה החדש ‪ mh‬ולבדוק את יחס הנפחים‬
‫בין הנפח המקורי לנפח החדש‪ .‬בסעיף ב‪ ,‬ניתן לבטא את הרדיוס החדש כ‪ rh -‬ולהיעזר בחישוב דומה‪.‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪426‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫עמ' ‪ .6 327‬בחנות למוצרי הכפר מוכרים ריבת פירות מ שובחת בצנצנות בצורת גליל משני סוגים‪ .‬קוטר הבסיס של אחת הצנצנות גדול פי‬
‫‪ 2‬מקוטר הצנצנת השנייה‪ ,‬אולם גובהה קטן פי ‪ 2‬מגובה הצנצנת השנייה‪ .‬מחיר הצנצנת הגבוהה ‪ 10‬שקלים ומחיר הצנצנת‬
‫הרחבה ‪ 15‬שקלים‪.‬‬
‫מה עדיף לקנות‪ ,‬אם השיקול מתבסס על המחיר בלבד? שלוש צנצנות גבוהות או שתיים רחבות?‬
‫נארגן את הנתונים בטבלה‪.‬‬
‫צנצנת רחבה‬
‫צנצנת גבוהה‬
‫של שלוש צנצנות גבוהות‪ ,‬למרות שבשתי‬
‫רדיוס‬
‫‪2r‬‬
‫‪r‬‬
‫צנצנות רחבות יש יותר ריבה‪.‬‬
‫גובה‬
‫‪h‬‬
‫‪2h‬‬
‫לכן עדיף לקנות שתי צנצנות רחבות‪.‬‬
‫נפח‬
‫המחיר של שתי צנצנות רחבות שווה למחירן‬
‫‪2‬‬
‫=‪π (2r) h‬‬
‫‪2‬‬
‫הוא ‪ 1000‬סמ"ר וגובהו ‪ 20‬ס"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4π r h‬‬
‫‪2π r h‬‬
‫נפח שתי צנצנות רחבות‪:‬‬
‫נפח שלוש צנצנות גבוהות‪:‬‬
‫עמ' ‪ .7 327‬נתון כלי בצורת גליל ששטח הבסיס שלו‬
‫השוואה‬
‫‪2‬‬
‫=)‪π r (2h‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מה נפח הכלי?‬
‫‪8π r h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6π r h‬‬
‫‪ 20,000‬סמ"ק = ‪ 20‬ל'‪.‬‬
‫ב‪ .‬ממלאים את הגליל ב‪ 4 -‬ליטרים של מים‪ .‬מה יהיה גובה פני המים לאחר המילוי? ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫על סעיף ב ניתן לענות באמצעות החישוב‪.4000/1000=4 :‬‬
‫כדאי להדגיש את העובדה שגליל ששטחו ‪ 1000‬סמ"ר וגובהו ס"מ אחד נפחו בדיוק ליטר אחד‪ .‬נוכל לפתור את התרגיל‬
‫ללא חישובים אם נביא בחשבון עובדה זו‪.‬‬
‫פעילות ‪ 2‬עמ' ‪ – 328‬פריסה של גליל‬
‫פעילות זו עוסקת בפריסה של גליל‪.‬‬
‫חידוש‪ :‬לראשונה מעטפת מישורית (מלבן) יוצרת מעטפת‬
‫שאינה מורכבת ממלבנים‪.‬‬
‫חשוב לשים לב לדמיון ולשוני בין מעטפת של מנסרה‬
‫ומעטפת של גליל‪ .‬בשני המקרים המעטפת היא מלבן‪ .‬בשני‬
‫המקרים הפריסה מורכבת מהמעטפת ומשני בסיסים‪.‬‬
‫סעיף ג‪ .:‬נתון גליל שהמעטפת שלו היא מלבן שמידותיו ‪9π‬‬
‫ס"מ ‪ 15 ‬ס"מ‪ .‬גובה הגליל ‪ 15‬ס"מ‪.‬‬
‫(‪ )1‬חשבו את רדיוס בסיס הגליל‪ 4.5 .‬ס"מ‬
‫(‪ )2‬חשבו את שטח הפנים של הגליל ‪ 175.5 π‬סמ"ר‬
‫(‪ )3‬חשבו את נפח הגליל ‪ 303.75 π‬סמ"ק‬
‫חשוב לשים לב‪ ,‬שאין צורך לחשב את היקף הבסיס כמו‬
‫בסעיף הקודם‪ .‬כיוון שנתון הגובה‪ ,‬ניתן לדעת שהצלע‬
‫השנייה של מלבן המעטפת היא ששווה באורכה להיקף‬
‫הגליל‪.‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪427‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫בכתות חזקות במיוחד אפשר לבחון איזה גוף נקבל‪ ,‬אם נצמיד זו לזו שתי צלעות נגדיות של מקבילית‪.‬‬
‫התשובה‪ :‬גם במקרה זה נקבל גליל ישר‪.‬‬
‫גובהו יהיה שווה לגובה המקבילית שהוא קטן מאורך הצלעות אותן מצמידים‪ .‬החתך אינו ישר ואינו מאונך לבסיסים‪.‬‬
‫פעילות ‪ 3‬עמ' ‪ – 329‬איזה נפח גדול יותר?‬
‫הגליל הרחב מכיל יותר פופקורן מהגליל הגבוה‪.‬‬
‫כדאי לבצע פעילות זו בעל פה עם ספרים סגורים‪ ,‬ולבקש‬
‫מהתלמידים לשער איזו אריזה תכיל יותר פופקורן‪.‬‬
‫צפוי שלפחות חלק מהתלמידים יחשבו שאם לשני‬
‫הגלילים אותה המעטפת‪ ,‬הם מכילים כמות שווה של‬
‫פופקורן‪.‬‬
‫אפשר לשקול שילוב פעילות זו כפתיח לנושא נפח הגליל‪,‬‬
‫במטרה ליצור סקרנות ועניין‪.‬‬
‫אפשר לערוך משאל בין התלמידים ולרשום את תוצאותיו‪.‬‬
‫מומלץ‪ ,‬בנוסף לחישובים‪ ,‬למלא את הגליל הגבוה לנגד‬
‫עיני התלמידים‪ ,‬לשפוך את התכולה לגליל הרחב ולראות שנשאר מקום‪ .‬השימוש בשקף מאפשר לראות שהגליל הרחב לא‬
‫התמלא לגמרי כש שפכו לתוכו את תכולת הגליל הגבוה‪ .‬במיוחד אם עורכים את ההדגמה באופן הבא‪ :‬יוצרים שני גלילים משני‬
‫שקפים‪ .‬את הגליל הגבוה מניחים בתוך הגליל הרחב‪ .‬ממלאים את הגליל הגבוה עד תום‪ .‬מבקשים את אישור התלמידים ולאחר‬
‫אישורם‪ ,‬שולפים את הגליל כך שהפופקורן ממלא עכשיו את הגליל הרחב בחלקו בלבד‪.‬‬
‫סעיף ד‪ :‬מקרה א‪:‬‬
‫‪ 21‬ס"מ‬
‫‪ 30‬ס"מ‬
‫אנו רואים כי היקף בסיסי הגליל הוא ‪ .30‬לכן‪. 2r  30  r  4.777 ,‬‬
‫נחשב את הנפח‪:‬‬
‫‪ V    4.777   21  V  1504.73‬הנפח הוא‪ 150.73 :‬סמ"ק‬
‫‪2‬‬
‫נחשב את שטח הפנים‪ S  2  4.777   21  2  4.777    773.297 :‬שטח הפנים הוא‪ 773.297 :‬סמ"ר‬
‫‪2‬‬
‫כדאי לשוחח עם התלמידים מדוע‪2  4.777   21  21 30 :‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪428‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫סעיף ד‪ :‬מקרה ב‪:‬‬
‫‪ 30‬ס"מ‬
‫‪ 21‬ס"מ‬
‫אנו רואים כי היקף בסיסי הגליל הוא ‪ .21‬לכן‪. 2r  21  r  3.343 ,‬‬
‫נחשב את הנפח‪ ; V    3.343   30  V  1052.746 :‬הנפח הוא‪ 1052.746 :‬סמ"ק‬
‫‪2‬‬
‫נחשב את שטח הפנים‪ : S  2  3.343   30  2  3.343    700.183 :‬שטח הפנים הוא‪ 700.183 :‬סמ"ר‬
‫‪2‬‬
‫באופן דומה ניתן שוב לבדוק ש‪2  3.343   30  21 30 :‬‬
‫סעיף ה‪ :‬קיימות שתי מנסרות עם בסיס ריבוע‪ ,‬שהמעטפת שלהן היא מלבן שמימדיו ‪ 21‬ס"מ‪ 30‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מנסרה שגובהה ‪ 21‬ס"מ‪ .‬במקרה זה בסיס המנסרה הוא ריבוע שאורך צלעו ‪ 7.5‬ס"מ‪ .‬נפח מנסרה זו ‪ 1181.25‬סמ"ק‪.‬‬
‫ב‪ .‬מנסרה שגובהה ‪ 30‬ס"מ‪ .‬במקרה זה בסיס המנסרה הוא ריבוע שאורך צלעו ‪ 5.25‬ס"מ‪ .‬נפח מנסרה זו ‪ 826.875‬סמ"ק‪.‬‬
‫ניתן לראות‪:‬‬
‫נפח המנסרה הרחבה גדול מנפח המנסרה הגבוהה‪.‬‬
‫אי אפשר להגדיל את כמות הפופקורן על ידי בניית מנסרה עם בסיס ריבוע במקום גליל‪.‬‬
‫תרגילים עמ' ‪332 – 239‬‬
‫עמ' ‪ .8 329‬חשבו את שטח הפנים של הגליל ואת נפח הגליל על פי הנתונים‪:‬‬
‫א‪ 5 .‬ס"מ = ‪r‬‬
‫‪ 12‬ס"מ = ‪h‬‬
‫ב‪ 30 .‬ס"מ = ‪r‬‬
‫ג‪2 .‬מ' = ‪r‬‬
‫‪ 2‬מ' = ‪.h‬‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪.h‬‬
‫שטח פנים‪ 170π :‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח פנים‪ 13,800π :‬סמ"ר‪.‬‬
‫שטח פנים‪ 84,000π :‬סמ"ר‪.‬‬
‫נפח‪ 300π :‬סמ"ק‬
‫נפח‪ 180,000π :‬סמ"ק = ‪ 180π‬ל'‬
‫נפח‪ 400,000π :‬סמ"ק = ‪ 400π‬ל'‬
‫עמ' ‪ .9 329‬הביעו את נפח הגליל באמצעות ‪ m‬על פי הנתונים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬רדיוס הבסיס ‪ m‬ס"מ‪ ,‬וגובהו ‪ 10‬ס"מ‪ 10m π .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬רדיוס הבסיס ‪ m‬ס"מ‪ ,‬וגובהו ‪ 10‬מ'‪ 1,000m π .‬סמ"ק = ‪ m π‬ל'‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ג‪ .‬רדיוס הבסיס ‪ m‬ס"מ‪ ,‬וגובהו גדול פי ‪ 2‬מרוחבו‪ 2m π .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬גובה הגליל ‪ m‬ס"מ‪ ,‬ורדיוס הגליל ארוך פי ‪ 3‬מהגובה‪ 9m π .‬סמ"ק‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪429‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫עמ' ‪ .10 330‬אביזר המטבח שבתמונה הוא מדיד לספגטי‪.‬‬
‫הסבירו‪ :‬מדוע העברת הספגטי בחור המדיד מאפשרת לקבוע את נפח הספגטי?‬
‫כשמצופפים את הספגטי בתוך החור נוצר "גליל" של ספגטי‪ .‬גובה הגליל הוא אורך‬
‫הספגטי שהוא קבוע‪ .‬שטח הבסיס של הגליל הוא שטח החור‪( .‬תכנון המדיד מביא בחשבון‬
‫את המרווח שבין מקלות הספגטי‪).‬‬
‫עמ' ‪ .11 330‬בגן אירועים בנו בריכת דגים עגולה שרדיוסה ‪ 2.5‬מטרים‪ .‬עומק הבריכה ‪ 80‬ס"מ‪.‬‬
‫את דפנות הבריכה הפנימיות‪ ,‬ציפו בחלוקי נחל‪.‬‬
‫מהי עלות הציפוי אם מחיר הציפוי הוא ‪ 85‬שקלים למ"ר? ‪.₪ 2,737.11 = ₪ 871.25π‬‬
‫עמ' ‪ 330‬דוגמה‬
‫‪ LM‬ו‪ SR -‬הם שני קטרים מקבילים של בסיסי הגליל‪ .‬המרובע ‪ LMRS‬הוא מלבן‪.‬‬
‫הצלע ‪ MR‬שווה לגובה המלבן‪.‬‬
‫חשבו את נפח הגליל אם נתון‪ 90 :‬סמ"ר = ‪ SLMRS‬ו‪ 5 -‬ס"מ = ‪.r‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫פתרון‬
‫מהנתון ‪ 5‬ס"מ = ‪ r‬נובע‪ 10 :‬ס"מ = ‪.LM‬‬
‫‪90‬‬
‫גובה המלבן ‪ LS‬הוא צלע סמוכה במלבן ולכן ‪ 9‬ס"מ =‬
‫‪10‬‬
‫= ‪.LS‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫נפח הגליל‪ 225π :‬סמ"ק = ‪V = πr h = π259‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫עמ' ‪ .12 330‬חשבו את נפחי הגלילים על פי הנתונים‪:‬‬
‫א‪90 .‬סמ"ר = ‪10 .SLMSR‬ס"מ = ‪ 202.5π h‬סמ"ק‬
‫ג‪60 .‬סמ"ר = ‪ 15 .SLMSR‬ס"מ = ‪ 60π h‬סמ"ק‬
‫ב‪60 .‬סמ"ר = ‪5 SLMRS‬ס"מ = ‪ 150π r‬סמ"ק‬
‫ד‪600 .‬סמ"ר = ‪ 0.1 .SLMSR‬מ' = ‪ 3,000π r‬סמ"ק (‪ 3π‬ל')‬
‫דוגמה‬
‫שטח המעטפת של גליל הוא ‪ 40π‬סמ"ר‪.‬‬
‫פתרון‬
‫גובה הגליל ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬
‫נציב מספרים בנוסחת מעטפת הגליל‪:‬‬
‫‪S = l  h = 2πrh‬‬
‫חשבו את רדיוס הבסיס ואת נפח הגליל‪.‬‬
‫‪40π = 2πr  10‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫גובה‬
‫‪r‬‬
‫רדיוס הבסיס‪ 2 :‬ס"מ = ‪r‬‬
‫היקף הבסיס‬
‫נציב את ‪ r‬בנוסחת הנפח ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 125.6‬סמ"ק = ‪ 40π‬סמ"ק = ‪V = πr h = π410‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪430‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫עמ' ‪ .13 330‬מצאו את הנפח ואת שטח הפנים של הגלילים על פי הנתונים‪.‬‬
‫א‪ .‬שטח המעטפת‪ 4π :‬מ"ר‪ ,‬גובה הגליל ‪ 0.5‬מ'‬
‫כמה סמ"ר יש‬
‫במ"ר אחד?‬
‫נפח‪ 8π :‬מ"ק‪ .‬שטח פנים‪ 36π :‬מ"ר‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטח המעטפת‪ 24π :‬מ"ר‪ ,‬רדיוס הבסיס ‪ 3‬מ' נפח‪ 36π :‬מ"ק‪ .‬שטח פנים‪ 42π :‬מ"ר‪.‬‬
‫ג‪ .‬שטח המעטפת‪ 300π :‬סמ"ר‪ .‬גובה הגליל ‪ 10‬ס"מ‪ .‬נפח‪ 2,250π :‬סמ"ק (‪ 2.25π‬ל')‪ .‬שטח פנים‪ 750π :‬סמ"ר‪.‬‬
‫ד‪ .‬שטח המעטפת ‪ 5π‬מ"ר‪ .‬רדיוס הבסיס ‪ 5‬ס"מ‪ .‬נפח‪ 125,000π :‬סמ"ק (‪ 125π‬ל')‪ .‬שטח פנים‪ 5.005π :‬מ"ר‪.‬‬
‫עמ' ‪ .14 331‬שטח הפנים של גליל ‪ 24π‬סמ"ר ורדיוס בסיסו ‪ 3‬ס"מ‪ .‬מה גובה הגליל? ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫עמ' ‪ .15 331‬שטח המעטפת של גליל ‪ 24π‬סמ"ר ונפחו ‪ 36π‬סמ"ק‪ .‬מצאו את הרדיוס ואת הגובה של הגליל‪.‬‬
‫רדיוס‪ 3 :‬ס"מ‪ .‬גובה‪ 4 :‬ס"מ‪.‬‬
‫פתרון תרגיל ‪ 16‬דורש זיהוי משולשים ישרי‪-‬זווית במרחב‪ .‬זיהוי המשולשים והזוויות הישרות הוא אינטואיטיבי‪ ,‬ולכן חשוב‬
‫להצטייד בכלים שקופים כאמצעי המחשה‪ .‬כדאי להכין משולשים מקרטון‪ ,‬שמתאימים לממדים של כלים אלה‪.‬‬
‫עמ' ‪ .16 331‬לפניכם ‪ 4‬גלילים שווים‪ .‬רדיוס כל גליל ‪ 30‬ס"מ וגובהו ‪ 40‬ס"מ‪ .‬בתוך כל אחד מן הגלילים מסורטט משולש‪.‬‬
‫מרכזי הבסיסים מסומנים בסרטוט‪ .‬הצלעות המסומנות על מעטפת הגליל מאונכות לבסיסים‪.‬‬
‫א‪ .‬זהו בין המשולשים זוג משולשים חופפים‪ .‬הסבירו‪ .‬א‪ ,‬ג (צ‪.‬ז‪.‬צ)‬
‫ב‪ .‬בכל אחד מן המשולשים מצאו את אורך הצלע המודגשת ואת שטח המשולש‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫ד‬
‫ג‬
‫‪r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪r‬‬
‫צלע‪ 50 :‬סמ"ר‬
‫צלע‪ 50 :‬סמ"ר‬
‫צלע‪ 40 :‬סמ"ר‬
‫שטח‪ :‬משולש ‪ 600‬סמ"ר שטח‪ :‬משולש ‪ 1,200‬סמ"ר שטח‪ :‬משולש ‪ 600‬סמ"ר‬
‫‪r‬‬
‫צלע‪ 5200 :‬סמ"ר‬
‫שטח‪ :‬משולש ‪1,200‬‬
‫סמ"ר‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪431‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫ג‪ .‬נועה אומרת‪ :‬יכולתי לדרג א ת הצלעות המודגשות‪ ,‬על פי אורכן‪ ,‬גם ללא נתונים מספריים‪.‬‬
‫כיצד עשתה זאת?‬
‫לתלמידים חזקים ניתן להציע את ההסבר הבא‪:‬‬
‫הצלע הקצרה ביותר‪ ,a ,‬היא ניצב במשולש הישר‪-‬זווית המופיע בסרטוט ג‪ .‬הצלעות המסומנות ב‪ ,b -‬בסרטוטים א ו‪ -‬ב‬
‫שוות והן גדולות יותר‪ ,‬מ‪ , a -‬כי הן משמשות יתר במשולש בו ‪ a‬ניצב‪ .‬את האי‪-‬שוויון ‪ c > b‬ניתן להסביר באמצעות משפט‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫פיתגורס‪ b =a +r .‬ואילו‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪. c =a +(2r‬‬
‫אתנחתא – עמ' ‪331‬‬
‫המאזניים מאוזנים‪.‬‬
‫כמה כדורים נחוצים כדי לאזן ‪ 9‬גלילים? ‪12‬‬
‫הסבר‪ :‬מהמאזניים הימניים ניתן ללמוד ש‪ 9 -‬גלילים מאזנים ‪ 6‬קוביות‪.‬‬
‫מהמאזניים השמאליים ניתן ללמוד ש‪ 6 -‬קוביות מאזנות ‪ 12‬כדורים‪.‬‬
‫מכאן ש‪ 9 -‬גלילים מאזנים ‪ 12‬כדורים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 17‬עוסק בקצב השינוי של גובה פני המים בכלי‪ .‬כאשר זרימת המים אחידה‪ ,‬ככל שהכלי יותר צר הוא מתמלא יותר‬
‫מהר‪ ,‬דבר שבא לידי ביטוי בשיפוע הגרף‪.‬‬
‫בכתות חזקות כדאי להדגיש גם‪ ,‬שדרוש זמן רב יותר כדי למלא את החלק התחתון של כלי ב‪ ,‬מהזמן הדרוש למלא את‬
‫החלק התחתון של כלי א‪.‬‬
‫עמ' ‪ .17 332‬ממלאים מים בכל אחד מן הכלים שלפניכם בקצב אחיד וברציפות‪.‬‬
‫כל אחד מן הגרפים שלפניכם מתאר את גובה המילוי של המים באחד הכלים‪ ,‬בהתאם לזמן שחלף מרגע שהכלי התחיל‬
‫להתמלא‪.‬‬
‫א‪ .‬התאימו כל גרף לכלי המתאים‪ .‬לאיזה כלי אין גרף מתאים? א‬
‫א‬
‫ג‬
‫ב‬
‫ב‪ .II .‬ג‪ .I .‬ד‪III .‬‬
‫ד‬
‫‪II‬‬
‫‪I‬‬
‫‪III‬‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪432‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬
‫ב‪ .‬הוסיפו את הגרף החסר באופן סכמתי‪.‬‬
‫לפתרון תרגיל ‪ 18‬נדרש שימוש במשפט פיתגורס‬
‫חנות תכשיטים משתמשת באריזות מתנה כפולות‪ .‬מעצב החנות מציע אריזה חדשנית שבה‬
‫עמ' ‪.18 .18 332‬‬
‫‪r‬‬
‫גליל משולב בתוך מנסרה שבסיסה ריבוע‪.‬‬
‫אורך צלע הריבוע ‪ 8‬ס"מ וגובה הגליל והמנסרה ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נפח הגליל ואת נפח המנסרה‪.‬‬
‫נפח הגליל‪ 192π :‬סמ"ק‪ .‬נפח המנסרה‪ 768 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫א‬
‫ב‪ .‬מעצב החנות מציע אריזה נוספת שבה מנסרה עם בסיס ריבוע משולבת בתוך גליל‬
‫(ראו סרטוט ב)‪.‬‬
‫צלעות בסיס המנסרה ‪ 6‬ס"מ ו‪ 8 -‬ס"מ וגובה הגליל והמנסרה‬
‫‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫קוטר בסיס הגליל הוא‬
‫אורך צלע המנסרה‪.‬‬
‫חשבו את נפח הגליל ואת נפח המנסרה‪.‬‬
‫נפח הגליל‪ 300π :‬סמ"ק‪ .‬נפח המנסרה‪ 576 :‬סמ"ק‪.‬‬
‫(אורך הקוטר‪ ,‬על פי משפט פיתגורס‪ 10 ,‬ס"מ‪).‬‬
‫ג‪ .‬המעצב מציע להניח מקלון דקורטיבי לאורך אלכסון המנסרה‪ ,‬עליו יוצגו התכשיטים‪.‬‬
‫מהו אורך המקלון הדקורטיבי?‬
‫‪ 244‬ס"מ‬
‫קוטר בסיס הגליל הוא‬
‫אלכסון בסיס המנסרה‪.‬‬
‫ב‬
‫_____________________________ ________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪433‬‬
‫כיתה ח‪ ,‬חלק ב‬