‫אוניברסיטת תל‪-‬אביב‬ ‫בית הספר למדעי המתמטיקה‬ ‫פרופ' בנו ארבל‬ ‫מבחן ‪A‬‬ ‫משך המבחן – ‪ 5.2‬שעות‪.‬‬ ‫ענה על השאלות הבאות‪.‬‬ ‫‪ .1‬תייר מעוניין לטייל במדינה מסוימת כאשר נקודת ההתחלה שלו היא עיר הבירה אותה‬ ‫נסמן ב‪ . A -‬מעיר הבירה ‪ A‬הוא טס לעיר ‪ B‬הרחוקה ביותר מהבירה‪ ,‬מכל ערי אותה‬ ‫ארץ‪ .‬מהעיר ‪ B‬הוא טס לעיר הרחוקה ביותר מהעיר ‪ B‬ומתברר שהיא שונה מעיר‬ ‫הבירה ‪ . A‬בצורה זו הוא ממשיך את סיורו‪ .‬האם יכול להיות מצב שבו הוא יחזור‬ ‫לעיר הבירה ‪ A‬אם הוא נוקט בכל המקרים אותה מדיניות? נמק‪.‬‬ ‫‪ .5‬על הלוח רושמים את המספר ‪ .1‬את המספר הרשום על הלוח כופלים בעצמו או‬ ‫כופלים אותו ב‪ ,5-‬על פי בחירה‪ .‬מהם המהלכים שיש לנקוט כדי שב‪ 11-‬צעדים בדיוק‬ ‫אפשר יהיה להגיע ל‪( ? 245 -‬מספר הצעדים אינו כולל את ה‪ 1-‬הרשום על הלוח‬ ‫בתחילה)‪.‬‬ ‫‪ .3‬ללא שימוש במחשבון יש לקבוע בעזרת טיעונים מתמטיים איזה מהמספרים ‪ 3111‬או‬ ‫‪ 1714‬גדול יותר‪.‬‬ ‫‪ .4‬מצא ללא מחשבון את השורש הריבועי של המספר‬ ‫‪2000  2001 2002  2003  1‬‬ ‫‪ .2‬בתוך ריבוע בוחרים נקודה כלשהי ‪ . P‬דרך ‪ P‬מעבירים מקבילים לצלעות הריבוע‬ ‫ולאלכסוני הריבוע‪ .‬בצורה זו הריבוע חולק ל‪ 8-‬אזורים‪ .‬נסמן את האזורים הללו‬ ‫לסירוגין ב‪ 1-‬ו‪ .5-‬הוכח שסכום שטחי האזורים המסומנים ב‪ 1-‬שווה לסכום שטחי‬ ‫האזורים המסומנים ב‪.5-‬‬ ‫‪ .6‬לרשותך עומדות שלוש תיבות זהות וסרגל מדידה (מספיק ארוך)‪ .‬הנך מתבקש למדוד‬ ‫בעזרת הסרגל את אלכסון התיבה במדידה אחת בלבד‪ .‬כיצד תבצע זאת ? נמק‪.‬‬ ‫‪ .7‬במשולש נתון שאורכי שניים מהגבהים הם ‪ 15‬ו‪ 51-‬יחידות אורך בהתאמה‪ .‬הוכח‬ ‫שאורך הגובה השלישי חייב להימצא בין ‪ 7.2‬ו‪ 31-‬יחידות אורך‪.‬‬ ‫בהצלחה‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫מבחן ‪B‬‬ ‫משך המבחן – ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫ענה על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬יהיו ‪ p , q‬מספרים ממשיים ‪ . q  0‬הוכח שבין כל שורש של המשוואה‬ ‫‪ x2  px  q  0‬וכל שורש של המשוואה ‪ x2  px  q  0‬נמצא שורש של המשוואה‬ ‫‪ . x2  2 px  2q  0‬נתון כמובן ששלוש המשוואות יש שורשים ממשיים‪.‬‬ ‫‪ .5‬במשולש שווה שוקיים ‪ ABC‬שאורך בסיסו ‪ BC‬הוא ‪ 15‬יחידות אורך חסום‬ ‫מעגל המשיק לצלע ‪ AB‬בנקודה ‪ . P‬הקטע ‪ PC‬פוגש את המעגל בנקודה שנייה ‪. Q‬‬ ‫אורך הקטע ‪ PQ‬הוא יחידת אורך אחת‪ .‬מצא את הגובה מ‪ A -‬לבסיס ‪ BC‬של‬ ‫המשולש הנתון‪.‬‬ ‫‪ .3‬במשושה ‪ ABCDEF‬כל אחד מהאלכסונים ‪ AD, BE, CF‬מחלק אותו לשתי צורות‬ ‫שוות שטח‪ .‬הוכח ששלושת האלכסונים הללו חייבים להיפגש בנקודה אחת‪.‬‬ ‫‪ .4‬בסדרה ‪4,12,32,80,192,...‬‬ ‫א‪ .‬מצא ביטוי לאיבר הכללי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את הממוצע החשבוני של ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬ ‫‪ .2‬במרובע ‪ ABCD‬הוכח ש‪ CAD  CBD -‬אם ורק אם ‪. ABC  ADC  1800‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ .6‬במשולש ‪ ABC‬הנקודה ‪ I‬היא מרכז המעגל החסום והנקודות ‪ K , L, M‬הן נקודות ההשקה‬ ‫של המעגל עם הצלעות ‪ AB, BC, CA‬בהתאמה‪ .‬דרך הקדקוד ‪ B‬מעבירים ישר המקביל ל‪-‬‬ ‫‪ KL‬והפוגש את ‪ MK‬ו‪ ML -‬בנקודות ‪ R‬ו‪ S -‬בהתאמה‪ .‬הוכח שמתקיים האי‪-‬שוויון‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. tan RIS ‬‬ ‫‪2 B‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 cos‬‬ ‫‪ .7‬המספרים ‪ x, y‬הם ממשיים חיוביים ומקיימים את האי‪-‬שוויון‬ ‫‪. x3  y 3  x  y‬‬ ‫הוכח שבתנאים אלה מתקיים‬ ‫‪x2  y 2  1‬‬ ‫‪ .8‬שלושה מעגלים ‪ C1 , C2 , C3‬עוברים דרך אותה נקודה ‪ . I‬תהיינה ‪ P, Q, R‬נקודות המפגש‬ ‫הנוספות של זוגות המעגלים ‪  C1 , C2  ,  C2 , C3  ,  C3 , C1 ‬בהתאמה‪ .‬תהי ‪ A‬נקודה על ‪C1‬‬ ‫מחוץ לשני המעגלים האחרים‪ .‬תהי ‪ B‬נקודת המפגש הנוספת של ‪ AP‬עם ‪ C2‬ותהי ‪C‬‬ ‫נקודת המפגש הנוספת של ‪ BQ‬עם ‪ . C3‬הוכח שהנקודות ‪ C, R, A‬על ישר אחד‪.‬‬ ‫‪ .9‬מצא את הערך המספרי של‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪ cos‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ללא מחשבון‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫פתרון‬ ‫פרופ' בנו ארבל‬ ‫בית הספר למדעי המתמטיקה‬ ‫אוניברסיטת תל‪-‬אביב‬ ‫מבחן ‪C‬‬ ‫משך המבחן – ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫ענה על השאלות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬הוכח שלכל ‪ a, b‬ממשיים חיוביים ולכל ‪ k‬שלם‪ ,‬מתקיים האי‪-‬שוויון‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ a  b‬‬ ‫‪k 1‬‬ ‫‪1    1    2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .5‬הנקודה ‪ P‬היא קדקוד של קוביה‪ .‬מישור העובר דרך ‪ P‬חותך את הקוביה על פי‬ ‫מחומש ‪ . PQRST‬ראה תרשים‪.‬‬ ‫הוכח שמתקיים האי‪-‬שוויון‬ ‫‪TP  PQ  QR  RS  ST‬‬ ‫‪ .3‬כתוב את הפולינום‬ ‫‪x  x 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫כמכפלה של שני פולינומים עם מקדמים שלמים‪ .‬הפירוק חייב להתבצע בעזרת תכונות של‬ ‫מספרים מרוכבים‪.‬‬ ‫רמז‪ :‬שימוש בשורשי היחידה מסדר ‪ 3‬מוביל לפתרון‪.‬‬ ‫‪.4‬הוכח שלכל ‪ m, n‬שלמים חיוביים מתקיים האי‪-‬שוויון‬ ‫‪4m  n‬‬ ‫‪3m  13n  1‬‬ ‫‪2m!2n! ‬‬ ‫!‪m!n‬‬ ‫‪ .2‬במשושה ‪ ABCDEF‬הנקודות ‪ P , Q , R , S‬הן מרכזי הכובד של המשולשים‬ ‫‪ ABC , BCD , DEF , EFA‬בהתאמה‪ .‬הוכח באמצעים אנליטיים שהמרובע ‪ PQRS‬הוא‬ ‫מקבילית‪.‬‬ ‫פתרון וקטורי מתקבל בברכה‪.‬‬ ‫‪ .6‬נתבונן ב‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y  xx‬‬ ‫כאשר העלאה בחזקה היא אינסופית‪.‬‬ ‫מצא את הערך המקסימלי החיובי של ‪ x‬עבורו‬ ‫‪y‬‬ ‫רמז‪ :‬יש לשים לב שעל פי הנתון ‪. y  x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫סופי‪.‬‬ ‫‪ .7‬הנך פוגש מכר בחוב ‪ ,‬שלא ראית אותו זמן רב‪ ,‬ומתברר שהוא נשוי ואפילו יש לו‬ ‫שני ילדים‪ .‬הנך שואל אותו האם הבכור היא ילדה והוא עונה שאמנם כך‪ .‬מהי‬ ‫ההסתברות ששני הילדים בנות? נמק‪.‬‬ ‫אם השאלה הייתה "האם לפחות אחד מהם בת?" והתשובה הייתה כמובן כן‪ ,‬מהי‬ ‫ההסתברות ששני הילדים בנות? נמק‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫הסדרה ‪xn n 1‬‬ ‫מוגדרת על ידי‬ ‫‪x1  3 , xn 1  xn2  3xn  4 n  1,2 ,3, ...‬‬ ‫‪ .a‬הוכח שהסדרה עולה ואינה חסומה‬ ‫‪ .b‬הוכח ש‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ... ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪x1  1 x2  1 x3  1‬‬ ‫‪xn  1‬‬ ‫‪xn 1  2‬‬ ‫‪ .9‬חשב את האינטגרל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ dx  arctan x dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫פתרון‬ ‫‪I‬‬ ‫‪yn ‬‬