‫מתכונת ‪806‬‬
‫בס"ד‬
‫מנחם זגורי ©‬
‫תלמיד יקר!‬
‫מתכונת זו שהוכנה עבורך הינה מתכונת המותאמת לתוכנית הלימודים החדשה על פי הוראת המפמ"ר לשנת הלימודים‬
‫הנוכחית ולשנת הלימודים הבאה ה‪-‬תשע"ד‪-‬תשע"ה (‪ 4102-4102‬למניינם)‪.‬‬
‫אנא שים לב להוראות בכל שאלה וענה במתינות ועל פי הזמן הדרוש לך‪ 24( .‬דק' לכל שאלה)‪.‬‬
‫הבחינה מורכבת משלושה פרקים‪.‬‬
‫פרק א'‪:‬‬
‫‬‫‬‫‪-‬‬
‫בעיות מילוליות‪ :‬בעיות תנועה ו‪/‬או בעיות הספק‪.‬‬
‫סדרות‪ :‬חשבונית‪ ,‬הנדסית‪ ,‬אינסופית (כל החומר)‪.‬‬
‫הסתברות‪.‬‬
‫פרק ב'‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫הנדסת המישור‪ :‬גאומטריה במישור וטריגונומטריה‪ ,‬משולשים‪ ,‬מעגל‪ ,‬הוכחות ומשפטים שונים‪.‬‬
‫פרק ג'‪:‬‬
‫‬‫‪-‬‬
‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‪.‬‬
‫בעיות קיצון במישור וכחלק אינטגרלי מחדוו"א‪.‬‬
‫נ‪.‬ב‬
‫הפתרונות למתכונת זו נמצאים בדפים האחרונים‪.‬‬
‫נכתב ונערך ע"י מנחם זגורי‪ .‬טל'‪250-5093625 7‬‬
‫עמוד ‪1‬‬
‫בס"ד‬
‫מנחם זגורי ©‬
‫מתכונת ‪806‬‬
‫חלק ראשון‪ :‬ענה על שתיים מתוך שלוש השאלות שלפנייך‪.‬‬
‫‪ .1‬שני פועלים מתכוננים לבצע עבודת גימור לאצטדיון חדש‪ .‬הספקי הפועלים קבוע‪.‬‬
‫ידוע כי אם עובד א' יעבוד לבדו במשך ‪ 3‬שעות ואז עובד ב' יחליפו ויעבוד במשך שעות‪ ,‬סך הכול יבצעו‬
‫מהעבודה כולה‪.‬‬
‫השניים‬
‫יום אחד‪ ,‬עבד פועל א' במשך שעתיים ופועל ב' החליפו ועבד במשך זמן מסוים‪ ,‬כך שבאותו היום הספיק‬
‫לבצע פי חלקי עבודה מעובד א'‪ .‬ביום זה ביצעו השניים סך הכול עבודה שלימה‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את הזמן בו יכול כל פועל לסיים העבודה לבדו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזמן שעבד פועל ב' ביום בו הספיקו השניים לגמור את העבודה כולה‪.‬‬
‫לאחר גמר ביצוע עבודתם התברר כי יש צורך בעבודת גימור נוספת‪ .‬לשם כך נתבקשו שני הפועלים לבצע‬
‫שעות יותר מאשר עובד ב'‪ .‬ביום השני עבדו השניים‬
‫את העבודה בשני ימים‪ .‬ביום הראשון‪ ,‬עבד פועל א'‬
‫שעות כך שבסך הכול ביום הראשון הספיקו לבצע פי‬
‫הוכח כי הפרמטר‬
‫אינו תלוי במספר השעות שעבד פועל ב' ביום הראשון ומצא אותו‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה סדרה הנדסית‬
‫סכום האיברים הראשונים קטן פי‬
‫‪.‬‬
‫מסכום‬
‫האיברים הבאים אחריהם‪.‬‬
‫‪ .‬מנת הסדרה היא ‪.‬‬
‫בסדרה זו מתקיים‪:‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות‬
‫חלקי עבודה מאשר ביום השני‪.‬‬
‫את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא כמה איברים יש בסדרה אם ידוע כי‬
‫ג‪ .‬מגדירים סדרה נוספת המוגדרת ע"י הכלל‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫(‬
‫( ‪ -‬פרמטר)‪.‬‬
‫(‪ :)I‬הוכח כי הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫(‪ :)II‬מצא כמה איברים יש בסדרה אם ידוע כי היחס בין הפרש הסדרה הנוספת לבין מנת הסדרה הנתונה‬
‫‪.‬‬
‫והאיבר האחרון בסדרה זו הוא‬
‫הוא‬
‫‪ .3‬בעיר אשדוד‬
‫מהנערים עובדים בחופש הגדול‪ .‬ידוע כי‬
‫מהנערים שעובדים בחופש הגדול הם‬
‫בוגרי תיכון‪ .‬כמו כן‪ ,‬ההסתברות לבחור באקראי נער שעובד בחופש הגדול או שהוא בוגר תיכון היא ‪.‬‬
‫מההסתברות לבחור באקראי נער‬
‫א‪ .‬הוכח כי ההסתברות לבחור באקראי נער שעובד בחופש גדולה פי‬
‫שהוא בוגר תיכון אך אינו עובד‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי שלושה מבין הנערים שהם בוגרי תיכון‪ .‬מצא את ההסתברות כי לכל היותר שניים‬
‫מתוכם עובדים בחופש הגדול‪.‬‬
‫לרגל פתיחת שנת הלימודים‪ ,‬העירייה החליטה כי כל בוגר תיכון שעבד בחופש הגדול יזכה לקבל חופשה‬
‫מתנה‪ .‬התברר כי‬
‫מבוגרי התיכון הצהירו נכונה והשאר שיקרו (רק מי שהוא בוגר תיכון הצהיר)‪.‬‬
‫ג‪ .‬בוחרים באקראי שני נערים מבין אלו שהצהירו כי הם מתאימים לדרישות העירייה‪ .‬מצא את ההסתברות כי‬
‫לכל הפחות אחד שיקר‪.‬‬
‫נכתב ונערך ע"י מנחם זגורי‪ .‬טל'‪250-5093625 7‬‬
‫עמוד ‪2‬‬
‫מתכונת ‪806‬‬
‫בס"ד‬
‫מנחם זגורי ©‬
‫חלק שני‪ :‬ענה על אחת מתוך שתי השאלות שלפנייך‪.‬‬
‫‪ .4‬נתון מעגל שמרכזו בנקודה ‪ .‬מעבירים שני משיקים‬
‫למעגל בנקודות ו‪ . -‬ישר היוצא מנקודה חותך‬
‫ו‪. -‬‬
‫את המעגל בנקודות‬
‫מנקודה‬
‫שעל המשיק מעבירים ישר החותך את המעגל‬
‫ו‪ -‬כמתואר בציור כך ש‪-‬‬
‫בנקודות‬
‫נסמן‪:‬‬
‫רדיוס המעגל הנתון הוא‬
‫א‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע‬
‫ג‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫סמ‬
‫הוא דלתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע את היחס‬
‫סמ‬
‫‪.‬‬
‫באמצעות ‪.‬‬
‫√‬
‫ואת ‪.‬‬
‫‪ .‬מצא את‬
‫לשטח‬
‫ד‪ .‬מצא את היחס בין שטח המשולש‬
‫‪ .‬ואת היחס בין שטח משולש‬
‫המשולש‬
‫נמק!‬
‫לשטח המשולש‬
‫?‬
‫ה‪ .‬האם ניתן לחסום במעגל את המרובע‬
‫הסבר‪.‬‬
‫הוא תיכון לצלע ‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .5‬במשולש‬
‫בנקודה ‪.‬‬
‫חותך את הצלע‬
‫חוצה זווית‬
‫בנקודה‬
‫מנקודה מורידים אנך החותך את צלע‬
‫‪.‬‬
‫∢‪.‬‬
‫∢‪,‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫א‪ .‬הבע את היחס בין שטח המשולש‬
‫באמצעות ו‪. -‬‬
‫המשולש‬
‫ב‪ .‬מצא את תחום הערכים של ‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון‪:‬‬
‫סמ‬
‫‪,‬‬
‫לשטח‬
‫‪.‬‬
‫(‪ :)I‬מצא את אורך הצלע‬
‫הגאומטרית של תוצאה זו‪.‬‬
‫(‪ :)II‬חשב את שטח המשולש‬
‫ומצא את המשמעות‬
‫המשך בעמוד הבא‬
‫נכתב ונערך ע"י מנחם זגורי‪ .‬טל'‪250-5093625 7‬‬
‫עמוד ‪3‬‬
‫בס"ד‬
‫מנחם זגורי ©‬
‫מתכונת ‪806‬‬
‫חלק שלישי‪ :‬ענה על שתיים מתוך שלוש השאלות שלפנייך‪.‬‬
‫√‬
‫‪ .6‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫) ( ‪.‬‬
‫הוא פרמטר‪.‬‬
‫משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫מצא את הפרמטר ‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪| ( )| :‬‬
‫) ( ‪.‬‬
‫ו‪ :)I( .‬מצא את תחום ההגדרה של ) ( וסרטט סקיצה שלה‪.‬‬
‫(‪ :)II‬השטח המוגבל ע"י הפונקציה ) ( ‪,‬על ידי ציר ה‪ -‬ועל ידי הישרים‬
‫הוא‪:‬‬
‫√‬
‫ו‪-‬‬
‫(‬
‫(‬
‫‪ .‬מצא את ‪.a‬‬
‫‪ .7‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫( (‬
‫))‬
‫))‬
‫) (‬
‫( (‬
‫בתחום‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫) ( וענה על הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫(‬
‫ב‪ .‬הראה כי מתקיים‪) :‬‬
‫(‪ 7)I‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬
‫(‪ 7)II‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫(‪ 7)III‬מצא את נקודות הפיתול של הפונקציה ורשום את תחומי הקערות כלפי מעלה‬
‫וקערות כלפי מטה‪.‬‬
‫(‪ 7)IV‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת‪ ,‬על ידי הישר המאונך לציר ה‪ -‬והעובר דרך‬
‫נקודת הפיתול של הפונקציה הסמוכה לציר ה‪ -‬ועל ידי ציר ה‪. -‬‬
‫‪ .8‬נתון משולש שווה שוקיים‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫שטח המשולש‬
‫(‪.‬‬
‫)‬
‫∢‪.‬‬
‫הוא ‪.‬‬
‫א‪ .‬הראה כי לא קיים‬
‫מקסימלי‪ /‬מינימלי‪.‬‬
‫עבורו שטח המשולש הוא‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הפונקציה‬
‫חיובית בתחום‪:‬‬
‫הבע באמצעות‬
‫על ידי הישרים‬
‫‪.‬‬
‫השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‬
‫וציר ה‪. -‬‬
‫נכתב ונערך ע"י מנחם זגורי‪ .‬טל'‪250-5093625 7‬‬
‫עמוד ‪4‬‬
‫בס"ד‬
‫מנחם זגורי ©‬
‫מתכונת ‪806‬‬
‫תשובות סופיות‪:‬‬
‫‪ .1‬א‪ .‬פועל א'‪-‬‬
‫‪ .2‬א‪.‬‬
‫√‬
‫שעות‪ .‬פועל ב'‪-‬‬
‫שעות‪ .‬ב‪.‬‬
‫(‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬פי ‪ .‬ב‪.‬‬
‫√‬
‫‪ .4‬א‪ .‬הוכחה‪ .‬ב‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ .6‬א‪.‬‬
‫‪ .‬ב‪.‬‬
‫√‬
‫איברים)‪ .‬ג‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ .‬ג‪.‬‬
‫שעות‪ .‬ג‪.‬‬
‫ביחידות שעה (‬
‫דקות)‪.‬‬
‫איברים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫סמ‬
‫סמ‬
‫‪ .‬ג‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .‬ד‪.‬‬
‫√‬
‫‪ .‬ד‪ .‬הוכחה‪.‬‬
‫המשמעות‪ :‬המשולש‬
‫סמ‬
‫הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫(יח"ר)‪.‬‬
‫(‬
‫‪ .‬ב‪) .‬‬
‫( ג‪√ .‬‬
‫)‬
‫‪ .‬ד‪.‬‬
‫)‬
‫√‬
‫(‪.‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה ) (‬
‫ו‪) :)I( .‬‬
‫סקיצה ‪( ) :‬‬
‫(‪7)II‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫נכתב ונערך ע"י מנחם זגורי‪ .‬טל'‪250-5093625 7‬‬
‫המשך בעמוד הבא‬
‫עמוד ‪5‬‬
‫בס"ד‬
‫מנחם זגורי ©‬
‫מתכונת ‪806‬‬
‫המשך‪:‬‬
‫‪ .7‬א‪ .‬בתחום הנתון‪:‬‬
‫‪ .‬ב‪ .‬הוכחה‪ :)I( .‬אנכיות‪:‬‬
‫)‬
‫(‪:)II‬‬
‫)‬
‫(‬
‫√‬
‫(‪) :)III‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫( )‬
‫(‬
‫‪.‬‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫√‬
‫(‬
‫(‬
‫(‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫(‪ 7)IV‬סקיצה‪:‬‬
‫ג‪ * .‬פתרון מלא לדוגמה‪:‬‬
‫הרעיון הכללי הוא למצוא את ערך הפונקציה בנקודת הפיתול והקיצון שלה ולהסיק לגבי השטח המבוקש‪ .‬ערכי‬
‫הפונקציה בנקודת הפיתול הקרובה ביותר לציר ה‪ -‬והערך של הפונקציה בנקודת הקיצון השנייה נתונות לנו וכל‬
‫שנותר הוא להחסיר את ערך הפונקציה בנקודת הפיתול שלה מהערך של הפונקציה בנקודת הקיצון השנייה‪.‬‬
‫נראה זאת‪:‬‬
‫‪( )+‬‬
‫) ( *‬
‫) (‬
‫) (‬
‫∫‬
‫יח ש‬
‫‪ .8‬א‪ .‬הוכחה‪ .‬פונקציית השטח היא‪:‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נכתב ונערך ע"י מנחם זגורי‪ .‬טל'‪250-5093625 7‬‬
‫עמוד ‪6‬‬