Download Report

‫חוברת עזר לקורס פיסיקה ‪ ,1‬מכללת סמי שמעון‬
‫פרק א'‪ :‬וקטורים‬
‫מאפיינים של ווקטור‬
‫‪-‬‬
‫גודל וכיוון‬
‫‪-‬‬
‫חוק החיבור‬
‫חיבור ווקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ‪ A‬ו‪ . B -‬הווקטורים מיוצגים גרפית על ידי חץ שאורכו פרופורציוני לגודל הווקטור‬
‫וכיוונו הוא כיוון הווקטור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫על מנת לחבר את הווקטור ‪ B‬לווקטור ‪ , A‬ניקח את הווקטור ‪ B‬ונצמיד את ראשו לזנב של הווקטור ‪. A‬‬
‫‪ ‬‬
‫מתקבל ווקטור חדש ‪) A  B‬הווקטור האדום(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫מינוס של ווקטור‬
‫‪‬‬
‫נתון הווקטור ‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הווקטור ) ‪ (- A‬הוא ווקטור שכאשר נחבר אותו ל ‪ A‬נקבל אפס‪ .‬על פי חוק החיבור הווקטור ) ‪ ( - A‬הוא‪,‬‬
‫‪‬‬
‫אם כן‪ ,‬ווקטור שגודלו זהה לזה של הווקטור ‪ A‬וכיוונו הפוך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪1‬‬
‫חיסור של שני ווקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נחבר את הווקטור ) ‪ ,( - B‬לווקטור ‪A‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪( A  B  A  (B‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫)כלומר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪ ‬‬
‫אפשר לקבל את הווקטור ‪ A  B‬גם על ידי שרטוט הווקטורים כאשר שניהם יוצאים מאותה נקודה‪,‬‬
‫וחיבור זנבם‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫קיבלנו בשתי הדרכים ווקטור זהה בגודלו ובכיוונו‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ווקטורים יוצרים משולש אם סכום )או הפרש( ווקטורי של שניים מהם שווה לשלישי‪.‬‬
‫כפל בסקלר‬
‫‪‬‬
‫כפל של ווקטור ‪ A‬בסקלר חיובי ‪ a‬שומר על כיוון הווקטור ומשנה את אורך הווקטור פי ‪.a‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫אם למשל ‪ a=2‬אז מתקיים ‪, a A  2 A  A  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪2A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫מתקבל ווקטור חדש בכיוון זהה של הווקטור ‪ , A‬ואורכו כפול‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אם הסקלר שלילי אז בנוסף לשינוי הגודל‪ ,‬הווקטור גם הופך את כיוונו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪( 2) A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫הצגה של ווקטור‬
‫הצגה פולרית )גודל וכיוון בשני מימדים(‬
‫כדי לתאר ווקטור בשני מימדים )למשל מישור הדף( ניתן לציין את גודלו ואת כיוונו ביחס לציר שבחרנו‬
‫)נהוג לבחור את ציר ‪.(x‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫גודל הווקטור מסומן ‪ A‬או פשוט ‪) A‬בלי חץ‬
‫‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫למעלה(‪ .‬והכיוון במקרה זה נקבע על ידי הזווית ‪.α‬‬
‫הצגה קרטזית ‪ -‬פירוק לרכיבים‬
‫‪‬‬
‫כתוצאה מחוק החיבור ניתן להחליף את הווקטור ‪ A‬בשני ווקטורים מאונכים זה לזה‪ ,‬בכיוון המסומנים ‪ x‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,y‬ווקטורים אלו נקראים רכיבי ‪ x‬ו‪ y-‬של הווקטור‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫מתקיים ‪ , A  A x  A y‬ניתן גם לרשום ) ‪. A  (A x , A y‬‬
‫הקשר בין ההצגות )שני מימדים(‬
‫כאשר ידועה הצגה אחת ניתן בעזרת פונקציות טריגונומריות ‪ sin, cos, tg‬לקבל את ההצגה האחרת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ידועים ‪ A‬ו‪ , α-‬הגודל והכיוון של הוקטור ‪ A‬אז הרכיבים מתקבלים על ידי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A x  A cos ‬‬
‫‪A y  A sin ‬‬
‫)מעבר מהצגה פולרית לקרטזית(‬
‫אם ידועים הרכיבים של הווקטור אז גודלו וכיוונו מתקבלים על ידי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A2  Ax  Ay‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪tg ‬‬
‫)מעבר מהצגה קרטזית לפולרית(‬
‫המשואה הראשונה ידועה בשם "משפט פיתגורס"‪.‬‬
‫הצגה קרטזית בשלושה מימדים‬
‫‪z‬‬
‫את הרעיון של פירוק ווקטור לרכיביו ניתן ליישם גם‬
‫‪‬‬
‫לשלושה מימדים‪ .‬בתרשים מוראה הווקטור ‪ A‬שרכיביו‬
‫) ‪ ( Ax , Ay , Az‬הם בהתאמה )‪ – (2,4,5‬כל חץ אדום‬
‫הוא באורך יחידה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ווקטור יחידה‬
‫‪‬‬
‫ווקטור יחידה הוא ווקטור שגודלו שווה ל‪ .1-‬בהינתן ווקטור ‪ A‬ניתן להגדיר ווקטור יחידה ̂‪" A) A‬כובע"(‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שהוא ווקטור שכוונו זהה לכיוון הווקטור ‪ A‬וגודלו שווה ל‪ .1-‬פשוט מחלקים את הווקטור ‪ A‬בגודל שלו‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪. Â ‬‬
‫עצמו‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫ווקטורי יחידה מיוחדים הם הווקטורים ̂‪) î, ĵ , k‬הנקראים גם ̂‪ ( x̂ , ŷ , z‬שהם ווקטורי יחידה בכיוון ‪x,y,z‬‬
‫בהתאמה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בעזרת ווקטורי היחידה ניתן לרשום כל ווקטור ב‪ 3-‬מימדים בצורה ̂‪. A  A x î  A y ĵ  A z k‬‬
‫הווקטור שהוזכר בדוגמה לעיל ייכתב בסימון זה ̂‪. 2 î  4 ĵ  5 k‬‬
‫‪4‬‬
‫חיבור‪ ,‬חיסור וכפל בסקלר בעזרת פירוק ווקטור לרכיביו‬
‫בעזרת הפירוק לרכיבים חיבור וחיסור ווקטורי נעשה פשוט‪ :‬כל רכיב מתחבר )או מתחסר( באופן רגיל‪ .‬אם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים הווקטורים ˆ‪ A  A x ˆi  A y ˆj  A z k‬ו‪ , B  Bx î  By ĵ  Bz k̂ -‬אז‬
‫‪ ‬‬
‫̂‪A  B  (A x  Bx ) î  ( A y  By ) ĵ  ( A z  Bz ) k‬‬
‫ובאופן דומה‬
‫‪ ‬‬
‫̂‪. A  B  (A x  Bx ) î  ( A y  By ) ĵ  ( A z  Bz ) k‬‬
‫‪‬‬
‫בהכפלה של סקלר ‪ s‬בווקטור ‪ , A‬כל רכיב של הווקטור מוכפל בסקלר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪s A  s A x î  s A y ĵ  s A z k‬‬
‫מכפלה סקלרית‬
‫מכפלה סקלרית היא פעולה בין שני ווקטורים שתוצאתה סקלר )לא מדובר בכפל בסקלר!(‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫מסמנים את המכפלה ‪("A dot B") A  B‬‬
‫יש שתי דרכים לחישוב מכפלה סקלרית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫דרך א' ‪ -‬כשידועים רכיבי הווקטור‪A  B  A x Bx  A y By  A z Bz :‬‬
‫‪ ‬‬
‫דרך ב' ‪ -‬כשידועים גדלי הווקטורים‪ A ,‬ו‪ ,B-‬והזווית ביניהם ‪A  B  A B cos  : ‬‬
‫אחד מהשימושים במכפלה סקלרית הוא למציאת זווית בין שני ווקטורים שרכיביהם ידועים‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪, A  B  A x Bx  A y By  A z Bz  A B cos ‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪, A  A x 2  A y 2  A z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. B  B x 2  B y 2  Bz‬‬
‫‪5‬‬
‫מכפלה ווקטורית‬
‫‪ ‬‬
‫מכפלה וקטורית היא פעולה בין שני ווקטורים שתוצאתה ווקטור‪ .‬מסמנים את המכפלה ‪(A cross B) A  B‬‬
‫יש שתי דרכים לחישוב מכפלה ווקטורית‪.‬‬
‫̂‪k‬‬
‫דרך א' ‪ -‬כשידועים רכיבי הווקטור‪A z :‬‬
‫‪Bz‬‬
‫̂‪j‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪By‬‬
‫̂‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  Ax‬‬
‫‪Bx‬‬
‫דרך ב' ‪ -‬כשידועים גדלי הווקטורים‪ A ,‬ו‪ ,B-‬והזווית ביניהם ‪: ‬‬
‫‪ ‬‬
‫הגודל של המכפלה הוקטורית ניתן על ידי ‪A  B  A B sin ‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫והכיוון הוא ניצב למישור שיוצרים שני הווקטורים‪ ,‬ומקיים את כלל יד ימין‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪AB‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(1.1‬‬
‫נתון ווקטור דו ממדי‬
‫‪‬‬
‫̂‪A  2 î  2 3 j‬‬
‫א‪ .‬הצג‪/‬י את הווקטור בצורה פולארית )גודל ‪ +‬כיוון(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את ווקטור היחידה ̂‪. A‬‬
‫)‪(1.2‬‬
‫‪‬‬
‫נתון ווקטור דו ממדי ̂‪. B  8 î  6 j‬‬
‫א‪ .‬הצג‪/‬י את הווקטור בצורה פולארית )גודל ‪ +‬כיוון(‪..‬‬
‫ב‪ .‬מהו וקטור היחידה ̂‪? B‬‬
‫)‪(1.3‬‬
‫הוכח ‪ :‬אם סכום של שני ווקטורים מאונך להפרשם אזי אורכם שווה‪ .‬רמז‪ :‬מהי המכפלה הסקלרית‬
‫של שני ווקטורים מאונכים?‬
‫)‪(1.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ̂‪ V1  6î  2k‬ו‪ . V2  î  4 ĵ  3k̂ -‬מצא‪/‬י את גודלו של‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬ווקטור ‪ V3‬המקיים ‪[ 90 ] . V1  V2  V3  0 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬ווקטור ‪ V4‬המקיים ‪[ 42 ] V1  V2  V4  0 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.5‬נתונים שני ווקטורים )‪A  (3, 4) , B  (6, 8‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את המכפלה הסקלרית ‪ . A  B‬מהי הזווית בין הווקטורים? ]‪[106.30‬‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את המכפלה הווקטורית ‪ A  B‬בשתי דרכים‪[  48 ẑ ] .‬‬
‫)‪(1.6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים‪ . B  (Bx , B y ,0) , A  (3,1,4) :‬מצא‪/‬י רכיבים ‪ Bx‬ו‪ By -‬כך ש‪ B -‬יהיה‬
‫‪‬‬
‫ניצב ל ‪ A‬ואורכו יהיה ‪90‬‬
‫)‪(1.7‬‬
‫)‪(1.8‬‬
‫)‪(1.9‬‬
‫יחידות‪[  (3 î  9 ˆj) ] .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ̂‪ . B  x̂  ŷ  ẑ , A  3x̂  ŷ  4z‬מצא‪/‬י ווקטור שאורכו ‪ 10‬יחידות אשר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ניצב למישור המוגדר על ידי ‪ A‬ו‪[ 2 / 7 (15 î  5 ĵ  10 k̂ ) ] . B -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪. B   ˆi  3 ˆj  2 kˆ , A  ˆj  4 kˆ :‬‬
‫‪  ‬‬
‫א‪ .‬רשמו את הווקטור ‪[  ˆi  4 ˆj  6 kˆ ] . C  A  B‬‬
‫‪  ‬‬
‫ב‪ .‬רשמו את הווקטור ‪[ ˆi - 2 ˆj  2 kˆ ] . D  A  B‬‬
‫‪  ‬‬
‫ג‪ .‬רשמו את הווקטור ‪[ -iˆ  2 ˆj-2 kˆ ] . K  B  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪ . B  6 ˆi  5 ˆj  kˆ , A  2 ˆi  3 ˆj  4 kˆ :‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫אורכו של כל אחד מהווקטורים‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫אורכו של סכומם‪. A  B ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫אורכו של הפרשם‪. A  B ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הזווית בין ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.10‬נתון‪ . B  6 ˆi  4 ˆj  kˆ , A  2 ˆi  3 ˆj  8 kˆ :‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪ .‬אורכו של כל אחד מהווקטורים‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪ .‬המכפלה הסקלארית ‪ A  B‬והמכפלה הוקטורית ‪. A  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬הזווית בין ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.11‬מצאו ‪ a‬ו ‪ b‬כך שהוקטורים‪ B  a ˆi  3 ˆj :‬ו ‪ C  2 ˆi  b ˆj‬יהיו מאונכים לווקטור‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ . A  5 ˆi  6 ˆj‬הוכיחו כי ‪ B‬ו ‪ C‬מקבילים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.12‬הראו כי שלושת הוקטורים‪ B  6 ˆi  12 ˆj  4 kˆ , A  2 ˆi  13 ˆj  7 kˆ :‬ו‪, C  4 ˆi  ˆj  3kˆ -‬‬
‫יוצרים צלעות של משולש ישר זווית‪ .‬מהן זוויות המשולש? חשבו את אורך היתר‪.‬‬
‫)‪ (1.13‬נתונים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ . B  ˆi  3 ˆj  5kˆ , A  - ˆi  2 ˆj  k‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫אורכו של כל אחד מהווקטורים‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫המכפלה הסקלארית‪. A  B ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫המכפלה הוקטורית‪. A  B ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫הזווית בין ‪ A‬ו ‪. B‬‬
‫ה‪ .‬ווקטורי היחידה ̂‪ A‬ו‪. B̂ -‬‬
‫)‪ (1.14‬על גוף נקודתי פועלים שני כוחות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ . F2  ˆi  2 ˆj  3kˆ , F 1  - ˆi  2 ˆj  k‬מצאו את‪:‬‬
‫א‪ .‬הכוח השקול )כלומר הסכום הווקטורי של שני וקטורי הכוחות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬גודל הכוח השקול‪.‬‬
‫ג‪ .‬הזווית בין הכוח השקול וכל אחד מהצירים ‪.x, y, z‬‬
‫‪8‬‬
‫פרק ב'‪ :‬קינמטיקה‬
‫ווקטור מיקום‬
‫‪‬‬
‫ווקטור המתאר את מיקומו של גוף )נקודתי( ביחס לראשית הצירים‪ .‬סימון מקובל‪. r :‬‬
‫כאשר הגוף זז ווקטור המיקום משתנה‪ ,‬כלומר‪ ,‬ווקטור המיקום תלוי בזמן ‪ .t‬הקצה של ווקטור המיקום‬
‫"מצייר" את מסלול התנועה של הגוף‪.‬‬
‫מיקום הגוף בזמן ‪t1‬‬
‫מיקום הגוף בזמן ‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r1‬‬
‫מסלול התנועה‬
‫ראשית הצירים‬
‫משוואת המסלול היא‬
‫משוואה המתארת את הקשר בין ‪ x‬ו‪) y-‬ובשלושה מימדים גם ‪.(z‬‬
‫ווקטור העתק‬
‫‪‬‬
‫ווקטור העתק ‪ r‬הוא ווקטור המתאר את התזוזה של הגוף מנקודה אחת לאחרת‪ .‬הווקטור מצביע מהנקודה‬
‫הראשונה לנקודה השנייה‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪(1‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪.  r  r2  r1‬‬
‫‪‬‬
‫נתון וקטור מיקום של גוף )ביחידות ‪ SI‬ועבור ‪r(t)  10 t ˆi  (20  15t  4.9t 2 ) ˆj ( t  0‬‬
‫א‪ .‬חשב את ווקטור המיקום של הגוף בזמנים ‪ t=1sec‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r (3)  30 ˆi  20.9 ˆj, r (1)  10 ˆi  30.1 ˆj [m] .t=3sec‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ווקטור ההעתק בין הזמנים ‪ t=1sec‬ועד ‪.t=3sec‬‬
‫‪‬‬
‫]‪ r  20 ˆi  9.2 ˆj [m‬‬
‫ג‪ .‬מה מרחק הגוף מהראשית לאחר ‪ 3‬שניות? ]‪ 36.56‬מ'[ כמה התרחק מנקודת המוצא לאחר ‪ 3‬שניות?‬
‫]‪ 30.01‬מ'[‬
‫ד‪ .‬מתי הגוף מגיע ל‪ 4.07] ?y=0-‬שניות[‬
‫ה‪ .‬מתי‪ ,‬בין זמן ההתחלה לזמן ‪ ,t=3sec‬נמצא הגוף הכי רחוק מהראשית? )רמז‪ :‬מציאת מקסימום של‬
‫פונקציה‪ ,‬שימו לב‪ :‬אמורים לקבל משוואה מסדר שלישי אותה אפשר לפתור אנליטית אבל גם נומרית‪,‬‬
‫אפילו בעזרת מחשבון(‬
‫]‪ 2.435‬שניות‪ ,‬מרחקו מהראשית ‪ 36.71‬מ'[‬
‫ו‪ .‬האם יש בעיה המוכרת לך מקורס מבוא )אם למדת אותו( המתאימה לבעיה זו?‬
‫ז‪.‬‬
‫מהי משוואת המסלול של הגוף? ] ‪ , y  20  1.5x  0.049x 2‬משוואת פרבולה[‬
‫‪9‬‬
‫ווקטור מהירות‬
‫מהירות ממוצעת של גוף היא היחס בין ההעתק של הגוף )כמה הגוף זז( לזמן שעבר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪(2‬‬
‫‪v average ‬‬
‫‪t‬‬
‫המהירות היא ווקטור! כיוון המהירות הוא כיוון ווקטור ההעתק‪ .‬יחידות מדידה‪.m/s :‬‬
‫המהירות של גוף ברגע ספציפי נקראת מהירות רגעית ומתקבלת על ידי הסתכלות על פרק זמן ‪ t‬קצר‬
‫מאוד‪ .‬כאן נכנסת לתמונה הגדרת הנגזרת‪.‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dr‬‬
‫‪v‬‬
‫‪dt‬‬
‫כיוון ווקטור המהירות בכל רגע ‪ -‬משיק למסלול התנועה של הגוף‪.‬‬
‫המהירות היא קצב השינוי )נגזרת( של ווקטור המיקום‪.‬‬
‫ווקטור תאוצה‬
‫תאוצה ממוצעת של גוף בין שתי נקודות היא היחס בין שינוי המהירות של הגוף לזמן שעבר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫) ‪(4‬‬
‫‪a average ‬‬
‫‪t‬‬
‫התאוצה היא ווקטור! יחידות מדידה‪.m/s2 :‬‬
‫התאוצה של גוף ברגע ספציפי נקראת תאוצה רגעית ומתקבלת על ידי הסתכלות על שינוי המהירות בפרק זמן‬
‫‪ t‬קצר מאוד‪ .‬שוב נכנסת לתמונה הנגזרת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dv‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪(5‬‬
‫התאוצה היא קצב השינוי )נגזרת( של ווקטור המהירות‪.‬‬
‫)‪(2.2‬‬
‫‪‬‬
‫נתון ווקטור מיקום של גוף‪r ( t )  A t 3 î  B e  t ĵ :‬‬
‫א‪ .‬מהן היחידות של ‪? A, B, α‬‬
‫] ‪[  A   m / s 3 ,  B  m,    1 / s‬‬
‫נתון כי‪) A  1, B  1000,   1 :‬ביחידות המתאימות ב‪(SI-‬‬
‫ב‪ .‬מהו מיקום הגוף ברגע ההתחלתי ‪ ?t=0‬מהו מיקומו ב‪?t=3sec-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫]‪r (0) 1000 ˆj, r (3)  27 iˆ  49.79 ˆj [m‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותו ההתחלתית של הגוף? מהי מהירות הגוף ברגע ‪?t=3sec‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪v (0)   1000 ˆj , v (3)  27 iˆ  49.79 ˆj [m / s‬‬
‫‪10‬‬
‫ד‪ .‬מהי תאוצת הגוף ברגע‬
‫‪‬‬
‫‪a (3)  18 iˆ  49.79 ˆj [ m / s 2 ] ?t=3sec‬‬
‫ה‪ .‬מהי הזווית בין ווקטור המהירות ווקטור התאוצה בזמן ‪ ?t=3sec‬האם מהירות בזמן זה גדֵ לה או‬
‫ק ֵטנה? ]‪ ,1320‬ק ֵטנה[‬
‫‪ ‬‬
‫ו‪ .‬מצא את ‪ a  v‬ברגע ‪.t=3sec‬‬
‫ˆ‪-2240.55 k‬‬
‫] ‪[m2 / s 3‬‬
‫ז‪ .‬מהי המהירות הממוצעת של הגוף בין הזמנים ‪ t=1sec‬ו‪?t=3sec-‬‬
‫]‪[m / s‬‬
‫‪‬‬
‫‪vavrage  13 iˆ  159 ˆj‬‬
‫קבלת המהירות והמיקום על ידי אינטגרציה‬
‫) ‪(6‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪ d r   v dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫תאוצתו של גוף נתונה בנוסחה‪m / s  :‬‬
‫‪2‬‬
‫בנקודה‬
‫א‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫)‪r(t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪r ( t )  r0   v dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dv   a dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫)‪(2.3‬‬
‫) ‪v(t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v( t )  v 0   a dt‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪ . a ( t )  (4  t 2 ) i‬בזמן ההתחלתי‪ ,t=0 ,‬הגוף נמצא‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪ . r0  5 i‬מהירותו של הגוף באותו רגע הייתה‪. v0 = (10 iˆ + 2 ˆj ) [ m / s ] :‬‬
‫מהו ווקטור המהירות של הגוף כפונקציה של הזמן? ‪ m / s‬‬
‫ב‪ .‬מהו ווקטור המיקום של הגוף כפונקציה של הזמן? ‪ m‬‬
‫‪‬‬
‫‪v (t )  (10  4t  t 3 / 3) iˆ  2 ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫‪r (t )  (5  10 t  2t 2  t 4 /12) iˆ  2t ˆj‬‬
‫ג‪ .‬מתי גודל מהירות הגוף מקסימאלי? מהו גודל זה? )מקסימום מקומי בזמן ‪,t=2sec‬גודל המהירות אז‬
‫‪ .15.46m/s‬מ‪ t=4.3475sec-‬המהירות הולכת וגדלה ושואפת לאינסוף(‪.‬‬
‫חישוב אורך מסלול של גוף נקודתי‬
‫אם ידוע ווקטור המהירות של גוף אזי‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. L   dr   dx 2  dy 2  dz 2   vx 2  v y 2  vz 2 dt‬‬
‫נקודות ‪ 1‬ו‪ 2-‬הן שתי נקודות זמן שונות כלשהן‪.‬‬
‫בבעיות בהן ידועה משוואת המסלול נוח לחשב את אורך המסלול באופן הבא‪ :‬נניח שנתון )‪ y(x‬אזי‬
‫‪ dy  y ' dx‬ולכן‪:‬‬
‫‪1   y '  dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L   dr   dx 2  dy 2 ‬‬
‫‪11‬‬
‫תיאור תנועה ביחס למערכות ייחוס שונות‬
‫כאשר מתארים מיקום של גוף‪ ,‬התיאור תמיד נעשה ביחס למערכת מסוימת‪ .‬גוף נמצא על פי כדור הארץ במנוחה‪ ,‬הוא‬
‫במנוחה ביחס לנקודה נייחת על כדור הארץ‪ .‬אבל יחסית לצופה הנמצא על הירח גוף זה נמצא בתנועה‪ .‬בכל בעיה שבה‬
‫רוצים לתאר מיקום של גוף‪ ,‬צריך לבחור ביחס לאיזו נקודה )או בתיאור קרטזי ביחס לאיזו מערכת צירים( מתוארת‬
‫התנועה‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫איש נמצא על רכבת והולך בתוכה במהירות ‪ 10‬קמ"ש בכיוון ימין‪ .‬מהירות זו היא ביחס לרכבת‪ .‬נסמנה‬
‫‪ = relative) vrelative‬יחסי(‪ .‬הרכבת נוסעת ימינה במהירות ‪ 100‬קמ"ש )יחסית לקרקע(‪ .‬מהי המהירות של‬
‫האיש ביחס לקרקע? ההיגיון אומר ‪ 110‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪v1  v2  vrelative  100  10  110 km / hour‬‬
‫מיקום‪ ,‬מהירות ותאוצה יחסיים‬
‫נתונים וקטורי המיקום של שני גופים‪ 1 ,‬ו‪ ,2-‬ביחס למערכת צירים מסוימת‪:‬‬
‫ווקטור המיקום של גוף ‪ 2‬ביחס לגוף ‪ ,1‬הוא ווקטור היוצא‬
‫מגוף ‪ 1‬לגוף ‪ .2‬לפי מה שלמדנו בחשבון ווקטורי זהו בדיוק‬
‫‪ ‬‬
‫הווקטור ‪ . r2  r1‬כלומר ניתן לרשום‬
‫)‪(18‬‬
‫גוף ‪1‬‬
‫גוף ‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪r relative r2  r1‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫כמובן שהמיקום של גוף ‪ 1‬ביחס לגוף ‪ 2‬הוא הווקטור‬
‫‪ ‬‬
‫‪ , r1  r2‬שגודלו זהה וכיוונו הפוך‪.‬‬
‫מווקטור המיקום היחסי בין הגופים ניתן לקבל את ווקטור המהירות היחסית )של גוף ‪ 2‬ביחס לגוף ‪ ,(1‬פשוט‬
‫גוזרים‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪vrelative v2  v1‬‬
‫וגם את ווקטור התאוצה היחסית )עוד גזירה(‬
‫)‪(20‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a relative a 2  a1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪r1‬‬
‫ראשית צירים‬
‫איך כל זה קשור לרכבת ולאדם מההקדמה? ַבּדוגמה‪ ,‬גוף ‪ 1‬זו הרכבת‪ ,‬שמהירותה ביחס לקרקע‬
‫‪ . v 2  100 km / h‬מהירות האדם ביחס לקרקע איננה ידועה ) ? ‪ .( v1 ‬המהירות היחסית של גוף ‪ 2‬ביחס‬
‫לגוף ‪) 1‬האדם ביחס לרכבת(‪ ,‬נתונה ‪ vrelative 10 km / h‬ומכאן‬
‫‪  ‬‬
‫‪ v1  v2  v relative  v1  110km / h‬‬
‫)‪(2.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪v relative  v2  v1‬‬
‫מטוס טס בכיוון דרום‪-‬מזרח במהירות שגודלה ‪ 360‬קמ"ש‪ .‬רכבת נוסעת בכיוון צפון במהירות‬
‫שגודלה ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬המהירויות נתונות ביחס לקרקע‪ .‬מהי מהירות המטוס ביחס לצופה נייח היושב‬
‫ברכבת?‬
‫)‪(2.5‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים ווקטורי המיקום של שני גופים )ביחס לאותה מערכת צירים(‪, r1 ( t )  3 î  4 t ĵ  5t 2 k̂ :‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪. r2 ( t )  2 t 3 î  (2  t ) ĵ  k‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות גוף ‪ 2‬ביחס לגוף ‪?1‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת גוף ‪ 1‬ביחס לגוף ‪?2‬‬
‫תנועה מעגלית‬
‫מיקום‪ :‬מתואר על ידי זווית )‪") (t‬מיקום זוויתי"(‪ .‬נהוג למדוד את הזווית ברדיאנים‪.‬‬
‫מהירות זוויתית‪ :‬קצב שינוי הזווית – כמה זווית )ברדיאנים( הגוף עובר בזמן )בשנייה(‪ .‬סימון‪ :‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪‬‬
‫תאוצה זוויתית‪ :‬קצב שינוי המהירות הזוויתית‪ .‬יחידות‪ :‬רדיאנים\שניה‪ .2‬סימון‪α :‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪‬‬
‫קשר בין גדלים זוויתיים וגדלים משיקיים בתנועה מעגלית◌ׁ)רדיוס ‪ R‬קבוע(‬
‫)‪ T‬מסמן משיקי‪(tangential ,‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪ , x T   R‬מסומן גם באות ‪) s‬קשר זה נובע מהגדרת הרדיאן(‪.‬‬
‫‪dx T d‬‬
‫‪‬‬
‫)‪R (11‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v  vT ‬‬
‫‪dv T d‬‬
‫‪‬‬
‫)‪R (12‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪aT ‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫‪v  R‬‬
‫‪‬‬
‫‪aT   R‬‬
‫תיאור קרטזי של תנועה מעגלית‬
‫נבחר את ראשית הצירים במרכז המעגל ונסמן ב‪ (t) -‬את המיקום הזוויתי של הגוף‪ ,‬כאשר הזווית נמדדת‬
‫מציר ‪) x‬וגדלה נגד כיוון השעון‪ ,‬כמו באיור(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫גודלו של ווקטור המיקום של הגוף שווה לרדיוס המעגל ‪.R‬‬
‫הגוף‬
‫הווקטור עצמו )כתלות בזמן( נתון על ידי‬
‫)‪(13‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪. r ( t )  R cos  î  R sin  j‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪x‬‬
‫על מנת לקבל את מהירות הגוף נגזור את ווקטור המיקום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪. v( t )   R sin ‬‬
‫‪î  R cos ‬‬
‫̂‪j‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d‬‬
‫שימו לב לנגזרת הפנימית‬
‫‪dt‬‬
‫שהיא בעצם המהירות הזוויתית של הגוף‪.‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪. v( t )  R  sin  î  R  cos  j‬‬
‫תרגילון‪ :‬הראו שגודל ווקטור המהירות נתון‪ ,‬כצפוי‪ ,‬על ידי‪.v = R :‬‬
‫כדי לקבל את התאוצה צריך לגזור את ווקטור המהירות‪ .‬זה לא נורא אבל צריך לקחת בחשבון שבמקרה‬
‫הכללי גם ‪ ‬וגם ‪ ‬תלויים בזמן ולכן בגזירה צריך לגזור את שניהם )נגזרת של מכפלה(‪.‬‬
‫לשם פשטות נסתכל על המקרה הפרטי של תנועה קצובה‪ :‬תנועה במהירות זוויתית ‪ ‬קבועה )כלומר ‪.(α=0‬‬
‫במקרה זה גודל מהירות הגוף נשמר )כמו אוטו הנוסע בסיבוב כאשר הספידומטר מראה כל הזמן על אותו‬
‫‪‬‬
‫מספר(‪ .‬מגזירה של נוסחה )‪ (14‬מקבלים את התאוצה ‪. a ( t )  R cos  2 î  R sin  2 ˆj‬‬
‫שימו לב לנגזרת הפנימית‪ .‬ניתן לרשום נוסחה זו באופן קומפקטי יותר על ידי שימוש בנוסחה )‪(13‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪. a ( t )  2 (R cos  î  R sin  ĵ)  2 r (15‬‬
‫מכאן רואים מיד שגודל התאוצה הוא ‪ ,2R‬וכיוונה מנוגד לכיוון ווקטור המיקום‪ ,‬כלומר‪ ,‬כלפי מרכז המעגל‪.‬‬
‫קיבלנו את התאוצה הרדיאלית )או מרכזית‪ ,‬או צנטריפטלית( המתארת את שינוי כיוון המהירות‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫בבעיה כללית יותר גם גודל המהירות משתנה‪ ,‬קיימת בנוסף לתאוצה הרדיאלית גם תאוצה משיקית הקשורה‬
‫לשינוי גודל המהירות‪ :‬מסמנים את הרכיב המשיקי של התאוצה ‪) aT‬כאמור‪ :‬התאוצה המשיקית קשורה‬
‫‪dv‬‬
‫לשינוי גודל המהירות(‪ .‬כבר ראינו שמתקיים ‪  R‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪. aT ‬‬
‫התאוצה הרדיאלית מכוונת כלפי מרכז המעגל‪ .‬התאוצה המשיקית מכוונת לאורך קו המשיק למעגל )ולכן‬
‫מאונכת לתאוצה הרדיאלית(‪ .‬אם רוצים לקבל את התאוצה השקולה של הגוף משתמשים בחשבון ווקטורי‪:‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪, a  aR  aT‬‬
‫‪‬‬
‫והזווית בין וקטור התאוצה השקולה ‪ a‬והכיוון המשיקי נתונה ע"י‬
‫)‪(17‬‬
‫‪aR‬‬
‫‪.‬‬
‫‪aT‬‬
‫‪aR‬‬
‫‪tg ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬היא בעצם הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור התאוצה‪.‬‬
‫)‪(2.6‬‬
‫‪a‬‬
‫‪aT‬‬
‫המהירות הזוויתית של גלגל בעל רדיוס ‪ 0.5m‬נתונה במשוואה ‪)  ( t )  4 e 0.2 t‬הזווית נמדדת‬
‫ברדיאנים והזמן בשניות(‪ .‬בתחילת התנועה )‪ (t = 0‬הזווית שווה ל‪ 15-‬רדיאנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את משוואת התנועה של הגלגל ) ‪ .  ( t‬מהי הזווית לאחר ‪ 3‬שניות?‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות המשיקית של נקודה הנמצאת על היקף הגלגל כתלות בזמן וכן לאחר ‪ 3‬שניות?‬
‫ג‪ .‬מהן התאוצה הרדיאלית והתאוצה המשיקית של אותה נקודה כתלות בזמן?‬
‫ד‪ .‬מהי גודל התאוצה השקולה של הנקודה הנ"ל לאחר ‪ 5‬שניות?‬
‫ה‪ .‬מהי הזווית בין ווקטור התאוצה השקולה לבין ווקטור המהירות של הגוף לאחר ‪ 5‬שניות?‬
‫)‪(2.7‬‬
‫‪‬‬
‫נתון ווקטור המיקום של גוף שמסתו ‪, r ( t )  10 cos( 2t 2   ) î  10 sin( 2t 2   ) ˆj :m=1kg‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫כאשר המרחק נמדד במטרים והזמן בשניות‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי משוואת המסלול של הגוף? ] ‪[ x2  y 2  102‬‬
‫ב‪ .‬תוך כמה זמן )מרגע ‪ (t=0‬ישלים הגוף הקפה מלאה? ]‪ 1‬שניה[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותו ברגע שבו השלים הקפה מלאה?‬
‫] ‪3 iˆ  20 ˆj‬‬
‫‪[ v  20‬‬
‫ד‪ .‬מצא‪/‬י את הגדלים של התאוצות – המשיקית‪ ,‬הרדיאלית והשקולה‪ ,‬ברגע בו משלים הגוף הקפה‬
‫מלאה‪ .‬מהי הזווית בין ווקטור התאוצה השקולה של הגוף לבין ווקטור מהירותו ברגע זה? ]‬
‫‪[ 40 m / s 2 , 160 2 m / s 2 , 1584 m / s 2 , 85.450‬‬
‫‪15‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.8‬חלקיק נע במישור ‪ xy‬במהירות ‪ v (t )  v x (t )iˆ  v y (t ) ˆj‬ובתאוצה ̂‪. a ( t )  a x ( t )î  a y ( t ) j‬‬
‫הראה כי גודל המהירות קבוע רק אם מתקיים הקשר ‪ . a x v x  a y v y  0‬מה המשמעות של תנאי‬
‫זה?‬
‫)‪(2.9‬‬
‫הדרכה‪ :‬גזור את גודלה של המהירות‪.‬‬
‫מסוק ממריא משדה התעופה ברגע ‪ . t  0‬מיקומו ביחס למגדל הפיקוח נתון על ידי וקטור המיקום‬
‫‪‬‬
‫הבא‪ . r (t )  (50  0.02t 3 )iˆ  (70  2.5t ) ˆj  0.08t 2 kˆ :‬כל הגדלים במשוואה זו הם במערכת‬
‫‪.[mks]SI‬‬
‫א‪ .‬בכמה יתרחק המסוק מנקודת ההמראה תוך ‪ 10‬שניות ? )‪ 33‬מ'(‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות המסוק לאחר ‪ 10‬שניות ? ) ˆ‪( 6 iˆ  2.5 ˆj  1.6 k‬‬
‫ג‪ .‬מה תהיה הזווית ‪ ‬בין מהירות המסוק לבין תאוצתו לאחר ‪ 10‬שניות? )‪ (23.060‬מהי‬
‫התאוצה המשיקית של המסוק? )‪ (1.114 m/s2‬הערה‪ :‬התאוצה המשיקית של המטוס היא‬
‫הרכיב של התאוצה שכיוונו ככיוון המהירות‪ ,‬כלומר ‪.aT = a cos :‬‬
‫)‪ (2.10‬חלקיק נקודתי נע במישור לפי המשוואות הפרמטריות הבאות‪:‬‬
‫‪x  R sin(t )   Rt‬‬
‫‪y  R cos(t )  R‬‬
‫‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪  , R‬הם קבועים‪ .‬המסלול המתואר ע"י שתי המשוואות נקרא ציקלואידה והוא מתאר את תנועתה‬
‫של נקודה על היקפו של גלגל המתגלגל ללא החלקה כשמרכזו נע במהירות קבועה‪.‬‬
‫א‪ .‬צייר את מסלול התנועה )בחר ‪.( R  1m,  1rad / s‬‬
‫‪‬‬
‫‪v  ( R cos(t )   R) iˆ   R sin(t ) ˆj‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הביטויים למהירות ולתאוצה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪a   2 R sin(t ) iˆ   2 R cos(t ) ˆj‬‬
‫ג‪ .‬חשב את המהירות והתאוצה כאשר החלקיק נמצא בנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v 0‬‬
‫ˆ‪v  2 R i‬‬
‫‪.( ‬‬
‫‪ , ‬ובנמוכה ביותר‬
‫)בגבוהה ביותר ‪ ,y=2R‬ואז‪:‬‬
‫‪a   2 R ˆj‬‬
‫‪a   2 R ˆj‬‬
‫‪16‬‬
‫)‪ (2.11‬ברגע ‪ t  0‬נמצאת מכונית ‪ B‬בצומת ונעה במהירות‬
‫‪ vB  40m / s‬מזרחה‪ .‬מכונית ‪ A‬הנמצאת ‪ 100m‬דרומית‬
‫לצומת נעה במהירות ‪ vA  30m / s‬צפונה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬כעבור כמה זמן יהיה המרחק בין המכוניות מינימלי?‬
‫מהו המרחק המינימלי? ]‪ 1.2‬שניה‪ 80 ,‬מ'[ הדרכה‪:‬‬
‫‪vB‬‬
‫קבל ביטוי למרחק כתלות בזמן ומצא אקסטרימום‪.‬‬
‫‪vA‬‬
‫ב‪ .‬רשום את ווקטור המיקום של מכונית ‪ B‬ביחס למכונית‬
‫‪) A‬כתלות בזמן(‪ .‬מהי המהירות היחסית של גוף ‪B‬‬
‫ביחס ל‪? A-‬‬
‫ג‪ .‬הראה שבזמן שמצאת בסעיף א' )הוא הזמן בו המרחק‬
‫בין הגופים מינימלי( ווקטור המיקום היחסי מאונך‬
‫לווקטור המהירות היחסית‪ .‬נסו להבין למה זה כך‪ .‬נסו להוכיח כי כאשר גוף נמצא במרחק‬
‫אקסטרימלי מגוף אחר אז ווקטור המיקום והמהירות היחסי מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫)‪ (2.12‬טורבינה שמסתובבת בתדירות של ‪ 180‬סל"ד )סיבובים לדקה(‪ ,‬מתחילה להאט בתאוטה זוויתית קבועה‬
‫‪2‬‬
‫של ‪. 3rad sec‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירותה הזוויתית ההתחלתית ? מהי המהירות הזוויתית כתלות בזמן?‬
‫ב‪ .‬לאחר כמה זמן תעצור הטורבינה?‬
‫ג‪ .‬כמה סיבובים תעשה עד לעצירתה?‬
‫)‪ (2.13‬גלגל בעל רדיוס של ‪ 50‬ס"מ‪ ,‬מסתובב בתדר של ‪ 4‬סיבובים לשניה‪ .‬הגלגל מתחיל להאט בתאוצה‬
‫זוויתית‪. α  4t :‬‬
‫א‪ .‬לאחר כמה זמן נעצר הגלגל?‬
‫ב‪ .‬כמה סיבובים משלים הגלגל עד לעצירה?‬
‫)‪ (2.14‬חשבו פי כמה גדולה תאוצה רדיאלית של נקודת הקצה של גלגל מסתובב מתאוצתה המשיקית‪ ,‬אם ידוע‬
‫שהזווית בין התאוצה השקולה לבין המהירות הקווית שווה ל‪. 30  -‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.15‬גוף נע בתנועה מעגלית לפי משוואת התנועה ‪.(SI) r  4cos 3πt ˆi  4sin 3πt ˆj‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את וקטור המהירות כפונקציה של הזמן‪] v  12  sin 3πt ˆi  12  cos  3πt ˆj [ .‬‬
‫‪17‬‬
‫‪100m‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את וקטור התאוצה כפונקציה של הזמן‪] a  36  2 cos 3πt ˆi  36  2 sin  3πt ˆj [.‬‬
‫[ ‪ y 2  16‬‬
‫ג‪ .‬תאר‪/‬י את תנועת הגוף‪ .‬מהי משוואת המסלול?‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬הראה‪/‬י שווקטור המהירות מאונך לווקטור ‪ r‬בכל ‪.t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪]x‬‬
‫החל מרגע מסוים )אפשר לקחת רגע זה כ‪ ,(t=0-‬מתחיל הגוף להאיץ בתאוצה זוויתית קבועה‪ .‬ידוע כי‬
‫מהירותו הזוויתית גדלה פי ‪ 2‬תוך ‪ 3‬שניות‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב‪/‬י את התאוצה הזוויתית של הגוף‪.‬‬
‫] ‪rad / s 2‬‬
‫‪[‬‬
‫ו‪ .‬מהו גודל התאוצה השקולה של הגוף‪ 2 ,‬שניות לאחר תחילת ההאצה? ]‪[987m/s2‬‬
‫‪‬‬
‫ז‪ .‬חשב‪/‬י את ‪ , a‬וקטור התאוצה השקולה של הגוף‪ 2 ,‬שניות לאחר תחילת ההאצה‪,‬אם ידוע שהגוף‬
‫‪‬‬
‫החל האיץ מהנקודה ˆ‪[ a  4(5 )2 ˆi  4 ˆj ] . r  4i‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.16‬מיקום הגוף נתון לפי המשוואה ‪) r  5sin  t ˆi+4 cos  t ˆj :‬מרחק במטרים‪ ,‬זמן בשניות(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו מסלול התנועה של הגוף‪ 5).‬נקודות(‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את רגעי הזמן שבהם המהירות ורדיוס‪-‬ווקטור מאונכים‪ 7).‬נקודות(‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את תאוצת התנועה והראה שהיא מכוונת כלפי ראשית הצירים ומצא באיזה רגעי זמן גודלה‬
‫‪2‬‬
‫הוא‪ 7). v r -‬נקודות(‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשבו את המרחק המינימאלי של הגוף מראשית הצירים‪ .‬כמה פעמים במשך מחזור תנועה אחד‬
‫מגיעה הנקודה למרחק המינימאלי מהראשית )‪ 6‬נקודות(‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את וקטור היחידה ̂‪. r‬‬
‫ו‪.‬‬
‫רשום את הווקטור בהצגה פולרית )בעזרת הוקטורים ̂‪ r‬ו‪( ˆ -‬‬
‫)‪ (2.17‬גלגל מסתובב לפי משוואת התנועה ‪)   A  t  t 2  t 3‬הזווית נמדדת ברדיאנים‪ ,‬הזמן בשניות‪A ,‬‬
‫קבוע(‪ .‬ידוע שבזמן ‪ t  2sec‬התאוצה הרדיאלית של נקודה הנמצאת בקצה הגלגל שווה ל‪.346m/s2 -‬‬
‫א‪ .‬מה המשמעות של הקבוע ‪) ?A‬זווית התחלתית(‬
‫ב‪ .‬מהו רדיוס הגלגל? ]‪ 1.197‬מ'[‬
‫ג‪ .‬חשב‪/‬י את גודל התאוצה )השקולה( בזמן ‪ 346.4] . t  2sec‬מ\ש‪[2‬‬
‫)‪ (2.18‬נקודה מסתובבת במסלול בעל רדיוס ‪ 2‬ס"מ‪ .‬המרחק שהנקודה עוברת במסלול זה )על קשת המעגל( נתון‬
‫ע"י ‪ . s  0.1t 3‬מצאו את התאוצה המשיקית‪ ,‬את התאוצה הרדיאלית ואת התאוצה השקולה של הנקודה‪,‬‬
‫ברגע בו מהירות הנקודה שווה ל‪. 0.3 m / s -‬‬
‫‪18‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.19‬מיקום של גוף נתון לפי‪) r  6(cos 2  t )iˆ  4(cos  t ) ˆj :‬המרחק נמדד במטרים‪ ,‬הזמן בשניות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מסלול התנועה של הגוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הביטוי למהירות הגוף‪ .‬באיזה רגעי זמן המהירות היא בכיוון ציר ‪? y‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תאוצת הגוף‪ .‬מהו גודלה ברגעים בהם המהירות מתאפסת ?‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.20‬נתון מיקומו של גוף‪) r  (4t  2t 2 )iˆ  (3t  1.5t 2 ) ˆj :‬המרחק‪-‬במטרים‪ ,‬הזמן‪-‬בשניות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת התנועה של הגוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מהירות הגוף‪ .‬מהו גודל המהירות בזמן ‪? t  2sec‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תאוצת הגוף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.21‬מהירות הגוף בעל מסה ‪ 2 kg‬נתונה לפי המשוואה‪) v  3e 3t iˆ  30t 2 ˆj -‬מרחק נמדד במטרים וזמן‬
‫‪‬‬
‫בשניות(‪ .‬בתחילת התנועה ) ‪ ( t  0‬הגוף נמצא בנקודה ‪. r0  iˆ  3 ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת התנועה של הגוף )כלומר מיקומו כתלות בזמן(‪r  e3t iˆ  (3  10t 3 ) ˆj .‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המסלול‪(ln x )3 ] .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ y  3 ‬אפשר גם‪:‬‬
‫‪( y 30)/10‬‬
‫‪3‬‬
‫*‪3‬‬
‫‪[xe‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן ואת גודלה בתום השנייה הראשונה ) ‪] .( t  1sec‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪[ a (1sec)  18.77 iˆ  60 ˆj [m / s 2 ] , a (t )  9e3t iˆ  60tj‬‬
‫)‪ (2.22‬המיקום של חלקיק לאורך ציר ה‪ x-‬תלוי בזמן לפי המשוואה הבאה‪ x) x  At 2  Bt 3 :‬במטרים ו‪t -‬‬
‫בשניות(‪ .‬תחילת התנועה הוא הרגע ‪. t  0‬‬
‫א‪ .‬מהן היחידות של ‪ A‬ו ‪?B‬‬
‫עבור הסעיפים הבאים הערכים המספריים של ‪ A‬ו‪ B-‬הם ‪ 3‬ו‪ 1-‬בהתאם )ביחידות המתאימות ב‪.(SI-‬‬
‫ב‪ .‬באיזה זמן מגיע החלקיק למיקומו המקסימלי לאורך ציר ה‪? x-‬‬
‫ג‪ .‬מה אורך המסלול שהחלקיק עושה ב‪ 4-‬השניות הראשונות?‬
‫ד‪ .‬מהו העתק הגוף ב‪ 4-‬שניות אלו?‬
‫ה‪ .‬מהי מהירות החלקיק ותאוצתו בסוף ‪ 4‬השניות הראשונות?‬
‫ו‪ .‬מהי המהירות הממוצעת של החלקיק בין ‪ t=2‬לבין ‪? t=4‬‬
‫‪19‬‬
‫)‪ (2.23‬פגז נורה מתותח העומד למרגלות הר בעל שיפוע קבוע ‪) β = 450‬יחסית לאופק(‪ .‬הפגז נע בנפילה‬
‫חופשית )כלומר תאוצתו ‪ g‬כלפי מטה(‪ .‬מהירותו ההתחלתית של הפגז ‪. v0‬‬
‫א‪ .‬רשום את ווקטור המיקום של הפגז )בחר את ראשית הצירים בנקודת היציאה שלו(‪ ,‬כתלות בזמן‪,‬‬
‫בזווית ‪ α‬ובפרמטרים האחרים בבעיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא ביטוי למרחק של נקודת הפגיעה מנקודת המוצא של הפגז )בהנחה שגודל המהירות אינו מספיק‬
‫כדי לעקוף את ההר(‪ ,‬כתלות בזווית ‪ α‬ובפרמטרים האחרים בבעיה‪.‬‬
‫רמז‪ :‬אם בחרתם מערכת צירים ‪ xy‬כמוראה‬
‫‪y‬‬
‫באיור‪ ,‬בנקודת הפגיעה מתקיים ‪ tg ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫מכאן מקבלים גם שהמרחק המקסימלי נתון ע"י‬
‫‪v0‬‬
‫‪. L  x 2  y 2  x 2  ( x tg ) 2  x / cos 2 ‬‬
‫ג‪ .‬באיזו זווית ‪) α‬יחסית לאופק( יש לירות את‬
‫הפגז כדי שפגיעתו בהר תהיה הרחוקה ביותר?‬
‫‪β‬‬
‫‪x‬‬
‫הדרכה‪ :‬מצאו את המינימום של הפונקציה שמצאתם בסעיף הקודם‪ .‬ניתן להיעזר בזהות‪:‬‬
‫‪ . cos(2 )  cos 2   sin 2 ‬תשובה‪.   67.5 0 :‬‬
‫הערה‪ :‬במקרה של ‪ β‬כלשהי התשובה תהיה ‪. (β  90 0 ) / 2‬‬
‫)‪ (2.24‬שתי סירות יוצאות מנמל משתי נקודות שונות שהמרחק ביניהן הוא ‪ 500‬מטרים‪ .‬סירה ‪ A‬מתחילה‬
‫מתנועה במהירות קבועה בקו ישר‪ ,‬כמשורטט‪ .‬וגם סירה ‪ B‬מתחילה מתנועה בקו ישר‪ ,‬כמשורטט‪.‬‬
‫נתונים‪. v B = 2 m / s , v A  15 m sec :‬‬
‫א‪ .‬רשום את וקטור מיקום הגופים ביחס למערכת צירים ‪ xy‬סטנדרטית הנמצאת במיקום ההתחלתי של‬
‫סירה ‪.B‬‬
‫‪ö‬‬
‫ˆ ‪15 2‬‬
‫‪t ÷÷÷ ⋅ iˆ +‬‬
‫] ‪t j [m‬‬
‫‪÷ø‬‬
‫‪2‬‬
‫‪æ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪15 2‬‬
‫ ‪rB (t ) = 3 t iˆ + t ˆj [ m ] rA (t ) = ççç500‬‬‫‪çè‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬מתי המרחק בין שתי הסירות מינימאלי ? ‪t = 25.2 sec‬‬
‫‪vA‬‬
‫ג‪ .‬מהו המרחק המינימאלי בין שתי הסירות ? ‪285.7 m‬‬
‫ד‪ .‬מהי המהירות היחסית בין שתי הסירות כפונקציה של הזמן ?‬
‫‪(12.3 iˆ - 9.6 ˆj ) m / s‬‬
‫ה‪ .‬הראו שהמהירות היחסית ניצבת לווקטור המיקום היחסי בין‬
‫שתי הסירות ברגע בו המרחק ביניהן מינימאלי‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪‬‬
‫‪45‬‬
‫‪vB‬‬
‫‪‬‬
‫‪30‬‬
‫פרק ג'‪ :‬חוקי ניוטון‬
‫חוק ‪ :I‬חוק ההתמדה )שנוסח לראשונה על ידי גליליאו(‪ .‬גוף שעליו לא פועלים כוחות )או שהכוח השקול‬
‫עליו שווה לאפס( יתמיד במצבו‪ :‬אם נייח יישאר נח )הגיוני!( ואם נע במהירות ימשיך לנוע באותה‬
‫מהירות כווקטור )בתוספת הזו לחוק מתחילה המהפכה המחשבתית בהבנת תנועת גופים(‪.‬‬
‫חוק ‪ :II‬סכום הכוחות על גוף פרופורציוני לתאוצת הגוף‪ .‬מקדם הפרופורציה הוא מסת הגוף‪ ,‬המתארת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כמה קשה לשנות את מצבו של הגוף )כלומר להאיצו(‪ .‬ובנוסחה‪.  F  m a :‬‬
‫חוק ‪ :III‬חוק הפעולה והתגובה‪ ,‬חוק ה"קונטרה"‪ ,‬כוחות באים בצמדים שווי גודל והפוכי סימן‪ :‬אם גוף‬
‫א' מפעיל כוח ‪ F‬על גוף ב'‪ ,‬אז גוף ב' מפעיל על גוף א' כוח השווה בגודלו ומנוגד לכיוונו )‪.(-F‬‬
‫טיפול בבעיות עם כוחות‬
‫מקרה א'‪ :‬כוח התלוי בזמן‪ .‬במקרה זה נקבל מהחוק השני של ניוטון כי התאוצה תלויה בזמן‪ .‬מווקטור‬
‫התאוצה ניתן לקבל את וקטור המהירות על ידי אינטגרציה‪ .‬ע"י אינטגרציה נוספת נקבל את ווקטור המיקום‬
‫של הגוף‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫)‪(3.1‬‬
‫זריקה עם כוח נוסף‪ :‬גוף בעל מסה של ‪ 0.2 kg‬נזרק בכיוון אופקי במהירות ‪ 10 m s‬מנקודה‬
‫‪‬‬
‫הנמצאת בגובה ‪ 60 m‬מהקרקע‪ .‬בזמן תנועתו הרוח מפעילה על הגוף כוח ‪ F‬אשר תלוי בזמן לפי‬
‫‪‬‬
‫המשוואה ‪ . F  1.2t î - 0.4 ˆj‬בתשובות נלקחה תאוצת כובד ‪ .g=10m/s2‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬משוואת התנועה של הגוף‪ ,‬כלומר‪ ,‬וקטור המיקום שלו‪r t   t 3  10t î   6 t 2  60 ĵ .‬‬
‫ב‪ .‬משוואת המסלול של תנועת הגוף‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10 10  ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪32‬‬
‫‪( x  10  y ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מתי הגוף יפגע בקרקע ובאיזה מרחק מהמצב ההתחלתי? ) ‪( t  10 sec , 87.2 m‬‬
‫)‪(3.2‬‬
‫גוף הנע על מישור‪ :‬גוף שמסתו ‪ 2kg‬נע על מישור אופקי ‪) xy‬המישור אופקי משמע שכוח הכובד‬
‫‪‬‬
‫מאונך למישור ומאוזן על ידי הכוח הנורמל(‪ .‬נתונים מהירות הגוף ומיקומו בזמן ‪, v 0  5 î : t=0‬‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪ . r0  î  3 j‬נתון גם הכוח השקול הפועל על הגוף ̂‪) 2 e t î  6t 2 j‬הזמן ב‪ sec -‬והכוח ב‪.(N -‬‬
‫מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫מהירות הגוף כתלות זמן‪( v t   e t  4î  t 3 ĵ ) .‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫וקטור המיקום של הגוף כתלות בזמן‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪‬‬
‫̂‪ 4  3 j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ 4 4 4y  12‬‬
‫‪( r t   e t  4t î   t‬‬
‫ג‪.‬‬
‫משוואת המסלול של הגוף?‬
‫ד‪.‬‬
‫הזווית בין וקטור המהירות של הגוף לבין ווקטור התאוצה שלו ב‪. t=3sec-‬‬
‫)‪(3.3‬‬
‫גוף הנע לאורך קו ישר עם כוח נטוי בזווית התלוי בזמן‪ :‬הגוף שבציור‪ ,‬מסתו ‪ 300gr‬והוא מונח על‬
‫‪4y 12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(x  e‬‬
‫הרצפה‪ .‬בזמן ‪ t = 0‬מתחיל לפעול על הגוף כוח שגודלו ‪) F  2t‬הזמן בשניות והכוח בניוטונים(‪.‬‬
‫הכוח פועל בזווית ‪ α=370‬יחסית לציר התנועה )ציר ‪.(x‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון כי מקדם החיכוך )הסטטי והקינטי( בין הגוף והרצפה הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫לפשטות החישוב קחו‪. g = 10m/s2, sinα = 0.6, cosα = 0.8:‬‬
‫א‪ .‬מתי יתחיל הגוף לנוע? ]‪[0.5 sec‬‬
‫‪α‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף לאחר ‪ 2‬שניות? ] ‪[ 7.5 m / s‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה המרחק שהתקדם הגוף עד לניתוקו מהקרקע ? ] ‪ 80 / 9  8.9‬מטרים[‬
‫)‪(3.4‬‬
‫גופים התלויים על חוט עם גלגלת‪ :‬שני גופים ‪ A‬ו– ‪ B‬שמסותיהם ‪ mA=3kg, mB=2kg‬קשורים זה‬
‫לזה באמצעות חוט הכרוך סביב גלגלת‪ .‬ניתן להזניח את מסת החוט ואת כל כוחות‬
‫החיכוך‪.‬‬
‫החל מרגע ‪ t=0‬ועד לרגע ‪ t=2s‬אדם מחזיק בגוף ‪ ,B‬כך ששני הגופים נמצאים במנוחה‬
‫בגובה ‪ 3.5m‬מעל לרצפה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המתיחות בחוט במצב שבו שני הגופים נמצאים במנוחה ? מהו הכוח )גודל‬
‫וכיוון( שמפעילה יד האדם על הגוף ‪ B‬במקרה המתואר בסעיף קודם ?‬
‫] ‪30 N‬‬
‫‪A‬‬
‫‪[ 10 N ,‬‬
‫מרגע ‪ t=2s‬ואילך האדם מפעיל על גוף ‪ B‬כוח שכיוונו כלפי מטה וגודלו משתנה לפי ‪) F  10  t‬הכוח‬
‫בניוטון והזמן בשניות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו גודל תאוצת הגופים מרגע ‪ ?t=2s‬מהי המתיחות בחוט )כתלות בזמן( בפרק זמן זה ?‬
‫] ‪[ a  t / 5, T  3t / 5  30‬‬
‫‪22‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים כתלות בזמן )כל עוד הבעיה אפשרית‪ ,‬כלומר החוטים לא מסתבכים‬
‫בגלגלת(?‬
‫] ‪/ 10  0.4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[t‬‬
‫מקרה ב'‪ :‬כוח התלוי במהירות‪ .‬כאשר הכוח השקול תלוי במהירות הגוף‪ ,‬התאוצה תהיה אף היא תלויה‬
‫במהירות )החוק השני(‪ .‬אי אפשר לקבל את המהירות על ידי אינטרציה של התאוצה לפי הזמן )כי לא יודעים‬
‫את התלות הישירה של התאוצה בזמן(‪ .‬במקרה זה משתמשים בשיטה לפתרון הנקראת "הפרדת משתנים"‪.‬‬
‫‪F( v)  ma‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪F( v )  m‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫)‪F( v‬‬
‫‪) dt  m‬לא משנה באיזה צד של המשוואה‬
‫נרשום את ‪ .(m‬הפרדנו את כל מה שתלוי ב‪) v-‬בעצם הכל(‪ ,‬ממה שתלוי בזמן‪ .‬ועכשיו ניתן לבצע‬
‫אינטגרציה על שני אגפי המשוואה‪:‬‬
‫) ‪v(t‬‬
‫‪dv‬‬
‫)‪F( v‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ dt ‬‬
‫‪t0‬‬
‫ממשוואה זו אפשר לחלץ את מהירת הגוף‪ .‬לאחר שיש בידינו את המהירות כתלות בזמן‪ ,‬ניתן לקבל את‬
‫מיקום הגוף כתלות בזמן )על ידי אינטגרציה( ואת תאוצתו כתלות בזמן )על ידי גזירה או‪ ,‬לחילופין‪,‬‬
‫שימוש בחוק השני של ניוטון עם הצבת המהירות שמצאנו(‪.‬‬
‫תרגילים לדוגמה‬
‫)‪(3.5‬‬
‫צנחן שמסתו ‪ m‬צונח ממנוחה ממסוק המרחף באוויר )כלומר מהירותו ההתחלתית ‪ (0‬ומגובה ‪ .H‬על‬
‫‪‬‬
‫הצנחן פועל כוח ריסון הגדל לינארית עם מהירותו‪ , f  bv vˆ :‬כאשר ‪ b‬הינו מקדם ריסון קבוע‪.‬‬
‫‪bt‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הצנחן כתלות בזמן? ) ‪ mg 1  e m ‬כלפי מטה(‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬באיזה גובה מעל הקרקע נמצא הצנחן )כתלות בזמן(?‬
‫‪bt‬‬
‫‪  bt  ‬‬
‫‪mg ‬‬
‫‪ bt  m  e m  1 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מהי תאוצת הצנחן כתלות בזמן? ] ‪ ge m‬כלפי מטה[‬
‫ד‪ .‬מי יגיע קודם לקרקע‪ ,‬צנחן קל או צנחן כבד? הניחו שמקדם הריסון ‪ b‬זהה עבור שני‬
‫הצנחנים‪ .‬נמק‪/‬י את תשובתך‪] .‬כבד[‬
‫‪23‬‬
‫)‪(3.6‬‬
‫זריקת גוף עם חיכוך הפרופורציוני למהירות‪ :‬גוף נזרק באוויר בזווית ‪ α‬יחסית לאופק ובמהירות‬
‫התחלתית ‪ .v0‬בנוסף לכוח הכובד פועל על הגוף כוח ההתנגדות של האוויר )כוח גרר( הנתון על ידי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הקשר ‪ . f   bv‬כאשר ‪ b‬הוא קבוע חיובי‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את )‪ x(t‬ו‪. x(t )  mV0 cos  1  e m t  , y (t )  m  Vo sin   mg  1  e m t   mg t 2 .y(t)-‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪/‬י את משוואת המסלול )‪.y(t‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪mg ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m2 g ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ln 1 ‬‬
‫‪y ( x)   V0 sin  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪V‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪mV‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬הראה‪/‬י כי בגבול בו כוח החיכוך ניתן להזנחה ביחס לכוח הכובד מתקבלת משוואת המסלול‬
‫‪g‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 v 0 cos 2 ‬‬
‫השני( כאשר הפרמטר הקטן‬
‫)‪(3.7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ . y  x tg ‬הדרכה‪ :‬השתמש בקירוב ‪) ln(1  z)  z  z‬טור מקלורן עד הסדר‬
‫‪2‬‬
‫‪bx‬‬
‫‪m v 0 cos ‬‬
‫‪ z ‬ניתן להזנחה ביחס ל ‪.1‬‬
‫סירה שמסתה ‪ 100‬ק"ג החלה את תנועתה במהירות ‪ 3‬מ\ש ומואטת על ידי כוח חיכוך )הוא הכוח‬
‫‪‬‬
‫השקול( הנתון בנוסחה‪) F   2 e0.4v vˆ :‬יחידות המדידה‪ = v .(mks :‬מהירות הגוף‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן יעבור עד לעצירת הסירה? ]‪ 87.35‬שניות[‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף בחצי מהזמן הנ"ל? ]‪[1.075m/s‬‬
‫מקרה ג'‪ :‬כוח שתלוי במיקום )כמו למשל כוח קפיץ(‪ .‬נרחיב על מקרה זה כאשר נדבר על עבודה ואנרגיה וכן‬
‫בפרק על תנועה הרמונית‪.‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪(3.8‬‬
‫גוף בעל מסה של ‪ 0.2kg‬נזרק באופן אופקי במהירות ‪ 10 m / s‬מנקודה הנמצאת בגובה ‪60m‬‬
‫מעל הקרקע‪ .‬בזמן תנועתו רוח מפעילה על הגוף כוח המשתנה עם זמן לפי המשוואה‬
‫‪‬‬
‫‪) f  1.2tiˆ  0.4 ˆj‬הזמן נמדד בשניות והכוח בניוטונים(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו ווקטור המיקום של הגוף?‬
‫ב‪ .‬מהי משוואת המסלול שלאורכו הגוף נע ?‬
‫ג‪ .‬מתי הגוף יפגע בקרקע ובאיזה מרחק מהמצב ההתחלתי ?‬
‫‪24‬‬
‫)‪(3.9‬‬
‫כוח חיכוך‪ :‬כוח אופקי שגודלו ‪) F=2t‬כאשר הזמן ‪ t‬נתון בשניות והכוח ‪ F‬בניוטונים( פועל על גוף‬
‫שמסתו ‪ 2kg‬הנמצא במנוחה על משטח אופקי‪ .‬מקדמי החיכוך בין הגוף למשטח ‪, k  0.15‬‬
‫‪ . s  0.2‬מצא‪/‬י את‬
‫א‪.‬‬
‫זמן תחילת התנועה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כוח החיכוך בזמן ‪.t=0.5 sec‬‬
‫ג‪.‬‬
‫תאוצת הגוף כפונקציה של זמן‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מהירות הגוף כתלות לאחר ‪ 4‬שניות‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מיקום הגוף לאחר ‪ 4‬שניות‪.‬‬
‫)‪ (3.10‬צוללת שמסתה ‪ 30‬טון שטה בכיוון אופקי במהירות ‪ 10‬מ\ש‪ .‬ברגע מסוים הצוללת מכבה את מנועה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מרגע זה פועל על הצוללת כוח עצירה הנתון בביטוי ˆ‪ . F = -(b v 2 ) v‬זהו הכוח היחידי הפועל על‬
‫הצוללת )הניחו כי בכיוון האנכי אין תנועה(‪ .‬נתון כי ‪ 5‬דקות לאחר כיבוי המנוע מהירות הצוללת‬
‫קטנה פי ‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הצוללת כפונקציה של הזמן? ]‬
‫‪0.1  0.001t‬‬
‫‪[ v (t ) ‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את הקבוע ‪[ 30 kg / m ] b  .b‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו המרחק שעברה הצוללת בחמש הדקות מרגע כיבוי המנוע? ]‪ 1386.2‬מ'[‬
‫)‪ (3.11‬כדור שמסתו ‪ 10‬ק"ג נזרק אנכית כלפי מעלה מהקרקע במהירות התחלתית ‪ .100 m/s‬במהלך‬
‫‪‬‬
‫העלייה‪ ,‬בנוסף לכוח כבידה‪ ,‬משפיע על הגוף כוח התנגדות האוויר‪) F = -(b v 2 ) vˆ :‬המהירות‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫נמדדת ב‪ m/s-‬והכוח בניוטונים(‪ arctan  ,  tan  x  dx   ln  cos x , g  10m / s 2 .‬‬
‫‪ a2 a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו הכוח השקול שפעל על הכדור מיד אחרי הזריקה? ]‪ 2100‬ניוטון כלפי מטה[‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נמשכת עליית הכדור? ] ‪arctan(100 / 500)  3.02sec‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף כתלות בזמן?‬
‫‪‬‬
‫[‬
‫‪‬‬
‫‪v(t )  500 tan arctan(100 / 500 )  5 t / 5  22.36*tan 1.35  0.447 t ‬‬
‫ד‪ .‬מהו הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור? ]‪ 76‬מ'[‬
‫ה‪ .‬מהי תאוצתו בנקודה זו? ]‪ g‬כלפי מטה[‬
‫ו‪ .‬אם על הכדור לא ישפיע כוח התנגדות האוויר‪ ,‬עד לאיזה גובה מקסימלי הוא יגיע? ]‪ 500‬מ'[‬
‫‪25‬‬
‫)‪ (3.12‬גוף שמסתו ‪ 1‬ק"ג נזרק מהקרקע במהירות תחילית של ‪ 50‬מטר לשנייה‪ ,‬בזווית של ‪ 30 ‬מעל‬
‫‪‬‬
‫האופק‪ .‬נתון כי שקול הכוחות על הגוף במהלך שהותו באוויר הוא‪. Ft   3t î  10 ĵ :‬‬
‫א‪ .‬מהי משוואת התנועה של הגוף?‬
‫ב‪ .‬מתי הגוף יפגע חזרה בקרקע?‬
‫ג‪ .‬באיזה מרחק ביחס לנקודת המוצא שלו יפגע הגוף בקרקע?‬
‫)‪ (3.13‬גוף בעל מסה של ‪ 5‬ק"ג מונח על פני רצפה חסרת חיכוך בראשית הצירים‪ .‬הרצפה היא המישור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .z=0‬ברגע מסוים מפעילים על הגוף שני כוחות אופקיים‪ F1  3i  cos(2t ) j :‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪) F2  2t 2 i  2sin 2 (t ) j‬הכוחות נמדדים בניוטונים והזמן בשניות(‪ .‬כל הסעיפים הבאים‬
‫מתייחסים לזמן של ‪ 2‬שניות לאחר הפעלת הכוחות‪ .‬זהויות טריגונומטריות עשויות לעזור‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת הגוף )גודל וכיוון(? ]‪[2.2 m/s2‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף )גודל וכיוון(?‬
‫ג‪ .‬באיזה מרחק מראשית הצירים יהיה הגוף?‬
‫ד‪ .‬מהי הזווית בין שני הכוחות?‬
‫)‪ (3.14‬גוף שמסתו ‪ m‬נמצא במנוחה על מישור אופקי‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬מתחיל לפעול על הגוף כוח‬
‫אופקי )‪ b) F=2bsin(t‬הינו קבוע‪ = t ,‬זמן בשניות‪ ,‬הארגומנט של ה‪ sin -‬ברדיאנים(‪.‬‬
‫מקדם החיכוך הסטטי והקינטי בין הגוף והמישור הוא )‪.μ=b/(mg‬‬
‫א‪ .‬באיזה רגע הגוף מתחיל את תנועתו?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות הגוף ‪ t‬שניות לאחר רגע ‪?t=0‬‬
‫ג‪ .‬מהו מיקום הגוף )ביחס לנקודת מוצאו( שנייה אחת לאחר תחילת תנועתו?‬
‫)‪ (3.15‬כוח ‪ F‬מושך גלגלת חסרת מסה‪ .‬על הגלגלת תלויות )חוט חסר מסה וללא‬
‫חיכוך( שתי מסות כמוראה בציור‪ .‬לפני תחילת פעולת הכוח המסות מונחות‬
‫‪F‬‬
‫על הרצפה‪ .m1=2kg, m2=3kg .‬הכוח משתנה לפי ‪) F = t^2‬הכוח בניוטון‬
‫והזמן בשניות‪ ,‬תחילת התרגיל ‪.(t=0‬‬
‫א‪ .‬באיזה זמן הגוף הקל מתחיל לזוז? נסמן זמן זה ב‪ .t1-‬מהם הכוחות‬
‫הנורמאליים הפועלים על כל גוף כתלות בזמן‪ ,‬עד ל‪? t1 -‬‬
‫ב‪ .‬באיזה זמן מתחילים שני הגופים לזוז? נסמן זמן זה ב‪.t2-‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות כל גוף ברגע ‪? t1+t2‬‬
‫‪26‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫)‪ (3.16‬גוף שמסתו ‪ , m  1 kg‬נמצא על קו ישר‪ .‬ברגע ‪ , t  0‬מתחיל לפעול על הגוף כוח‬
‫‪ , F  10  sin t ‬בכיוון הקו הישר‪ .‬מקדם החיכוך ) הסטטי והקינטי( בין הגוף והקו הוא ‪. μ  0.5‬‬
‫א‪ .‬מתי מתחיל הגוף לנוע?‬
‫ב‪ .‬הראו כי הגוף עוצר לאחר ‪ 3.8168‬שניות )בקירוב( מרגע הפעלת הכוח‪.‬‬
‫)‪ (3.17‬בלוק בעל מסה ‪ m‬מונח על מישור משופע החופשי לנוע על משטח אופקי חסר חיכוך‪ .‬מסת המישור‬
‫המשופע היא ‪ M‬וזווית השיפוע ‪. ‬‬
‫א‪ .‬איזה תאוצה ‪ a‬צריכה להיות ל‪ M-‬יחסית לרצפה על מנת שהבלוק יישאר במנוחה יחסית למישור‪.‬‬
‫הניחו כי אין חיכוך בין הבלוק ומישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬איזה כוח ‪ F‬צריך להפעיל על המערכת כדי לקבל‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪m‬‬
‫תאוצה כזו?‬
‫‪‬‬
‫ג‪* .‬הנח שהכוח ‪ F‬אינו מופעל על המערכת ושאין‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫חיכוך בין הגופים‪ .‬תאר את התנועה‪.‬‬
‫)‪ (3.18‬מטוס אשר טס במהירות אופקית קבועה ‪ v0 = 100 m/s‬מטיל פצצה‪ .‬הפצצה מגיעה לקרקע כעבור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8‬שניות‪ .‬במהלך הנפילה משפיע על הפצצה כוח התנגדות האוויר ‪ . F  10V‬מסת הפצצה היא‬
‫‪) .80 kg‬פתור בנפרד את משוואות התנועה עבור שני צירים ‪ x‬ו‪(y-‬‬
‫א‪ .‬מצא את הגובה שממנו שוחררה הפצצה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המרחק האופקי אשר עוברת הפצצה במהלך הנפילה יחסית למקום שחרורה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מהירות הפצצה )גודל וכיוון( בעת פגיעתה בקרקע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫)‪ (3.19‬גוף ‪ A‬שמסתו ‪ 4 kg‬נמצא במנוחה על מישור אופקי חלק‪.‬‬
‫הגוף קשור לקצה חוט העובר דרך גלגלת חסרת חיכוך‬
‫למשקולת ‪ B‬בת ‪ 3 kg‬שתלויה בקצה השני של החוט‪ .‬מרגע‬
‫‪ t=0‬מופעל על גוף ‪ A‬כוח אופקי ‪ F‬המשתנה כתלות בזמן לפי‬
‫‪) F  t   20 t‬במערכת יחידות ‪.(SI‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬חשבו את תאוצת המערכת כפונקציה של הזמן‪ (30-20t)/7] .‬ביחידות ‪ ,SI‬כיוון חיובי ‪ -‬ימין[‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק המקסימאלי ימינה שאליו יגיע גוף ‪ A‬יחסית למיקומו ההתחלתי? ]‪ 45/7‬מ'[‬
‫ג‪ .‬כמה זמן יחסית לזמן תחילת פעולת הכוח עובר עד שגוף ‪ A‬חוזר למיקומו ההתחלתי? ]‪[4.5sec‬‬
‫‪27‬‬
‫‪F‬‬
‫)‪ (3.20‬גוף שמסתו ‪ m‬הקשור בחוט אופקי שאורכו ‪ , L‬מסתובב סביב נקודה קבועה על משטח אופקי בעל‬
‫מקדם חיכוך קינטי ‪)  k‬כמוראה בתרשים(‪ .‬מהירותו ההתחלתית של הגוף ‪) v 0‬ב‪ .(t=0-‬הביעו‬
‫תשובותיכם ע"י‪. g , v 0 ,  k , L , m :‬‬
‫‪m‬‬
‫א‪ .‬מצאו את גודל מהירות הגוף כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את המתיחות בחוט כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את גודל תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫ד‪ .‬נתונים‪ . v0  10 m s ,  k  0.15 , L  1.5 m , m  2 kg :‬כמה סיבובים יעבור הגוף עד‬
‫לעצירה?‬
‫)‪ (3.21‬נתונה המערכת שבשרטוט‪ ,‬המסות הן ‪ . m 2  5 kg , m1  3 kg‬על מסה ‪ m 2‬פועל כוח אופקי‬
‫)כמשורטט( התלוי בזמן ‪ . F  0.25t 2‬בין שתי המסות קיים כוח חיכוך בעל מקדמי החיכוך הבאים‪:‬‬
‫‪ .  s  0.3 ,  k  0.2‬המשטח עליו מונחת מסה ‪ m 2‬חסר חיכוך‪.‬‬
‫א‪ .‬מתי מתחילה מסה ‪ m 2‬לנוע?‬
‫ב‪ .‬מהי המתיחות בחוט המחבר את מסה ‪ m1‬לקיר כפונקציה של הזמן?‬
‫‪m1‬‬
‫‪F t ‬‬
‫ג‪ .‬מהו מיקום מסה ‪ m 2‬כפונקציה של הזמן?‬
‫הניחו כי המסה ‪ m1‬נשארת על ‪ m 2‬בלי ליפול‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪m2‬‬
‫פרק ד'‪ :‬עבודה ואנרגיה‬
‫אנרגיה‬
‫קשה להגיד מה היא אנרגיה‪ ,‬אבל קל לתאר בעיות רבות בעזרת המושג‪.‬‬
‫ניתן לומר כי אנרגיה היא גודל הנשמר במערכת סגורה‪ ,‬כלומר בתהליך הקורה במערכת סגורה האנרגיה‬
‫הכוללת נשמרת‪ .‬זהו "חוק שימור האנרגיה"‪ .‬ברקטה הנעה בחלל‪ ,‬למשל‪ ,‬האנרגיה הכימית האצורה בחומר‬
‫הדלק הופכת לאנרגיה של תנועה‪ ,‬ולאנרגיית חום‪ .‬בקורס נתמקד באנרגיה קינטית ובאנרגיה פוטנציאלית של‬
‫כוח משמר )יוסבר להלן(‪.‬‬
‫לפני כן נגדיר עבודה של כוח‪ .‬נדבר על חוק שימור האנרגיה המכנית והקשר שלו למשפט עבודה‪-‬אנרגיה‬
‫קינטית‪.‬‬
‫עבודה‬
‫עבודה של כוח קבוע‪ :‬עבודה של כוח שווה למכפלת הכוח בהעתק‪ .‬מדובר רק על רכיב הכוח המשפיע ישירות‬
‫על תנועת הגוף‪ .‬אם הכוח עוזר לגוף להתקדם לאורך מסלולו נקבל כי עבודת הכוח חיובית‪ ,‬ולהיפך – אם‬
‫הכוח מפריע לגוף להתקדם לאורך מסלולו העבודה של הכוח היא שלילית‪ .‬זה נכון גם כאשר הכוח איננו‬
‫קבוע‪.‬‬
‫בקורס מבוא לומדים את הנוסחה ‪ , W  F x cos ‬כאשר ‪ F‬הוא גודל הכוח‪ x ,‬הוא ההעתק של הגוף‬
‫)כאשר הוא נע לאורך ציר ‪ ,(x‬ו‪ -‬היא זווית בין הכוח לבין כיוון ההתקדמות של הגוף‪.‬‬
‫ניתן לרשום את הנוסחה לחישוב עבודה של כוח קבוע ברישום קומפקטי יותר‪ ,‬שגם נותן לנו דרך נוספת‬
‫לחישוב‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪, W  F  r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ F‬הוא הכוח‪ r ,‬הוא ווקטור ההעתק‪ .‬והעבודה היא המכפלה הסקלרית בין שני הוקטורים הללו‪.‬‬
‫מעצם הגדרתה העבודה היא גודל סקלרי‪ ,‬חסר כיוון )אבל יכול להיות חיובי או שלילי(‪ ,‬שאינו תלוי בבחירת‬
‫מערכת הצירים‪.‬‬
‫באופן מפורש‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪W  F   r  F r cos   Fx x  Fy y  Fz z‬‬
‫)זוכרים את שתי אופני החישוב למכפלה סקלרית?!(‬
‫‪29‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫חישוב עבודה של כוח כללי לאורך מסלול כללי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪W   F  d r (1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫העבודה תמיד מחושבת בין שתי נקודות בהן נמצא הגוף )באיור‪ ,‬נקודות ‪ 1‬ו‪ dr .(2-‬הוא אלמנט אורך‬
‫דיפרנציאלי המכוון לאורך מסלול התנועה של הגוף בין שתי הנקודות‪ .‬העבודה מחושבת עבור מסלול ספציפי‬
‫ויכולה להשתנות ממסלול אחד לאחר )אפילו אם נקודות הקצה נשארות זהות(‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר גוררים גוף בין‬
‫שתי נקודות )גוררים מקרר מהמטבח לסלון( אז כוח החיכוך עושה עבודה )שלילית‪ ,‬כיוון שהוא מפריע‬
‫לתנועה(‪ .‬אם נעביר את הגוף במסלול ארוך יותר כוח החיכוך יפריע יותר ונקבל עבודה שונה‪ .‬קיימים כוחות‬
‫מיוחדים שעבורם העבודה אינה תלויה במסלול‪ .‬כוחות אלו נקראים כוחות משמרים‪ ,‬וביניהם כוח הכובד‪ ,‬כוח‬
‫אלסטי )קפיץ( והכוח החשמלי )האלקטרו‪-‬סטטי(‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫במקרה של כוח קבוע נוסחה )‪ (1‬תיתן ‪. W  F   r‬‬
‫עבודה כוללת ואנרגיה קינטית‬
‫מהחוק השני של ניוטון מתקבל קשר בין ‪ = Wtotal‬העבודה הכוללת הנעשית על גוף לבין השינוי באנרגיה‬
‫הקינטית של הגוף‪:‬‬
‫‪(2) Wtotal  Ek‬‬
‫‪mv2‬‬
‫כאשר‬
‫‪2‬‬
‫‪. Ek ‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(4.1‬‬
‫תרגיל מבוא‪ :‬גוף בעל מסה ‪ m‬נמצא על משטח אופקי‪ .‬על הגוף פועל כוח ‪ F‬בזווית ‪ α‬ביחס למישור‪.‬‬
‫מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והמשטח הוא ‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת כל הכוחות בבעיה זו כאשר הגוף מתקדם מרחק ‪?D‬‬
‫ב‪ .‬מצא משיקולי עבודה ואנרגיה את מהירות הגוף אם נתון שהתחיל את תנועתו ממהירות ‪.v0‬‬
‫)‪(4.2‬‬
‫תנועה מעגלית‪ :‬גוף בעל מסה ‪ m‬קשור לתקרה בחוט חסר מסה בעל אורך ‪ .L‬מפעילים על הגוף כוח‬
‫‪0‬‬
‫אופקי קבוע שגודלו ‪ F‬והוא מגיע לנקודה ‪ A‬בה החוט יוצר זווית של ‪ 60‬עם האנך‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת הכוח האופקי מהמצב ההתחלתי ועד שהגיע הגוף לנקודה ‪[ 3 FL / 2 ] ?A‬‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה שעושה כוח הכובד לאורך אותו המסלול? ]‪[-mgL/2‬‬
‫‪( 3 F  mg ) L‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף בנקודה ‪ ? A‬הגוף התחיל ממנוחה! ]‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,‬שימו לב שע"מ‬
‫שהגוף אכן יגיע לנקודה הרלוונטית חייב להתקיים ‪[ F  mg / 3‬‬
‫)‪(4.3‬‬
‫מסתו של קליע של רובה היא ‪ .5gr‬הקליע נע בתוך קנה הרובה מנקודה ‪ x=0‬ועד לנקודה ‪x=1m‬‬
‫)=אורך הקנה(‪ .‬במשך תנועתו בקנה פועל על הקליע כוח שקול הנתון בנוסחה ‪.F(x) = 3 - 2 x2‬‬
‫א‪ .‬מהי העבודה של הכוח השקול הפועל על הקליע בתנועתו ברובה? ]‪ 2‬ושליש ג'אול[‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הקליע ביציאתו מהקנה? ]‪ 30.55‬מ\ש[‬
‫)‪(4.4‬‬
‫כדור קטן שמסתו ‪ m=0.5kg‬נע בתוך מסילה חסרת חיכוך בצורת ר' הפוכה מנקודה ‪ ,A‬דרך ‪,B‬‬
‫‪‬‬
‫לנקודה ‪) C‬ראה‪/‬י איור(‪ .‬המסילה נתונה בשדה הכובד ‪ F  mg ˆj‬ביחד עם שדה כוח הנתון‬
‫‪‬‬
‫בנוסחה ‪.(MKS) F  2x ˆi  6xy ˆj‬‬
‫א‪ .‬חשב את עבודת הכוח הנתון בתנועת הגוף‬
‫‪C‬‬
‫מ‪ A-‬ל‪[WF=24J] .C-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪y=2‬‬
‫ב‪ .‬חשב את עבודת כוח הכובד בתנועת הגוף‬
‫מ‪ A-‬ל‪[Wmg= -5 J] .C-‬‬
‫‪g‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף בנקודות ‪ B‬ו‪] ?C-‬‬
‫‪76 m / s , 4 m / s‬‬
‫‪A‬‬
‫[‬
‫ד‪ .‬חשב את עבודת הכוח הנתון בתנועת גוף‬
‫מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ B‬במסלול ישיר )קו‬
‫‪X‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪x=1‬‬
‫ישר המחבר את הנקודות(‪ 39] .‬ג'אול‪ ,‬משמע – הכוח לא משמר )ראה‪/‬י להלן([‬
‫כוח משמר‬
‫כאשר מחשבים עבודה בין שתי נקודות‪ ,‬התוצאה עשויה להיות תלויה במסלול הספציפי שלאורכו הגוף‬
‫התקדם בין הנקודות‪ .‬כוחות שהעבודה שהם עושים בין שתי נקודות כלשהן אינה תלויה במסלו נקראים כוחות‬
‫משמרים‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪y=1‬‬
‫הגדרות שקולות לכוח משמר‬
‫א‪.‬‬
‫כוח משמר הוא כוח העבודה שהוא עושה בין שתי נקודות כלשהן איננה תלויה במסלול הספציפי של‬
‫הגוף )אלא רק בנקודות הקצה – ההתחלה והסוף(‪.‬‬
‫ב‪ .‬כוח משמר הוא כוח שהעבודה שהוא עושה לאורך כל מסלול סגור היא אפס‪.‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬אם כוח משמר אזי מתקיים ‪ ,   F  0‬כאשר‬
‫‪z‬‬
‫‪Fy‬‬
‫)‪(4.5‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   F  rotF ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Fx‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Fy‬‬
‫גוף נע לאורך היקפו של ריבוע בעל אורך צלע ‪ 2‬מ' ואשר מרכזו בראשית הצירים מן הקודקוד‬
‫הימני העליון )הנקודה )‪ ,((1,1‬נגד כיוון השעון‪ ,‬ובחזרה לאותה נקודה‪ .‬בזמן תנועתו פועל על הגוף‬
‫‪‬‬
‫כוח הנתון ע"י‪) F  x, y    x ˆi  y ˆj :‬ביחידות ‪.(SI‬‬
‫א‪ .‬מהי העבודה המתבצעת ע"י הכוח בזמן תנועת הגוף לאורך היקף הריבוע? ]אפס[‬
‫ב‪ .‬האם הכוח משמר? נמק‪/‬י‪] .‬זה שבסעיף א' יצא אפס לא בהכרח אומר שהכוח משמר‪ .‬כוח משמר הוא כזה שהעבודה שהוא‬
‫‪‬‬
‫עושה לאורך כל מסלול סגור היא אפס‪ .‬כדי לבדוק אם כוח משמר ניתן לחשב את ‪ . rotF‬אם זה יוצא אפס‪ ,‬אזי הכוח משמר‪ .‬זה‬
‫המקרה כאן[‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬חזור על סעיפים א' ו‪-‬ב' עבור הכוח ‪) F  x, y   xy2ˆi  yx ˆj‬אותו מסלול( ]העבודה יוצאת אפס‪ ,‬אבל‬
‫‪‬‬
‫הכוח אינו משמר כי ‪ rotF‬שונה מאפס[‬
‫כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית‬
‫אם העבודה של כוח איננה תלויה במסלול אז ניתן לרשום‬
‫)‪W12  U (3‬‬
‫נוסחה זו למעשה מגדירה את האנרגיה הפוטנציאלית הקשורה לכוח המשמר הנידון‪.‬‬
‫מנוסחה זו ניתן לקבל נוסחה לאנרגיה הפוטנציאלית על ידי בחירת נקודת ייחוס לאנרגיה הפוטנציאלית‪ ,‬היא‬
‫נקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס )והיא נקודה הניתנת לבחירה!(‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬‬
‫)‪F  dr (4‬‬
‫‪‬‬
‫‪refference point‬‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪U(r)  ‬‬
‫דוגמאות‬
‫א‪ .‬כוח הכובד‪ .‬נקודת הייחוס נבחרת ב‪) y=0 -‬ציר ‪y‬מכוון כלפי מעלה( ועל סמך נוסחה )‪:(4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ (mg) dy  mgy‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr  ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Fy dy  ‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪U(y)  ‬‬
‫‪refference point‬‬
‫ב‪ .‬כוח אלסטי‪ .‬נקודת הייחוס נבחרת בנקודת הרפיון של הקפיץ ‪,x=0‬‬
‫‪kx 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪(  kx) dy ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Fx dy  ‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr  ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪U(x)  ‬‬
‫‪refference point‬‬
‫ג‪ .‬כוח קולון‪ .‬נקודת הייחוס נבחרת באינסוף )כאשר המטענים רחוקים זה מזה ולא מרגישים זה את‬
‫זה(‪.‬‬
‫‪kq1q 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kq q‬‬
‫‪kq q‬‬
‫‪r  Fr dr  r  ( r12 2 ) dr  r1 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr  ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪U(r)  ‬‬
‫‪refference point‬‬
‫שימו לב‪ :‬התוצאות הסופיות אמורות להיות מוכרות מקורסי המבוא‪.‬‬
‫חוק שימור האנרגיה‬
‫כאשר משלבים את נוסחאות )‪ (2‬ו)‪ (3‬מקבלים כי כאשר הכוח היחיד הפועל על הגוף הוא כוח משמר אז‬
‫האנרגיה הכוללת )פוטנציאלית וקינטית ביחד( נשמרת‪U  Wconservative force  Wtotal  E k :‬‬
‫ומכאן ‪ , Ek  U  0‬כלומר‬
‫‪.(5)   E k  U   0‬‬
‫במקרה שיש כוחות נוספים לכוחות המשמרים שעבורם חישבנו אנרגיה פוטנציאלית‪ ,‬נוסיף את השפעת‬
‫הכוחות האחרים דרך חישוב עבודתם ‪: Wother‬‬
‫‪.(6)   E k  U   Wother‬‬
‫ניתן לרשום את הנוסחה הזו גם בצורה‬
‫')‪E2  E1  Wother (6‬‬
‫כאשר ‪ E  Ek  U‬היא האנרגיה הכוללת )קינטית‪+‬פוטנציאלית( של הגוף‪ ,‬ומחושבת בהתחלה ) ‪( E1‬‬
‫ובסוף ) ‪.( E2‬‬
‫‪33‬‬
‫)‪(4.5‬‬
‫גוף שמסתו ‪ m=10 kg‬מתחיל לנוע במעלה מישור משופע ששיפועו ‪) 300‬כלומר ‪π/6‬‬
‫רדיאנים(‪ ,‬מהנקודה ‪ x = 0‬שבה מהירות הגוף ‪ 10‬מ'\ש'‪ .‬על הגוף פועל כוח שגודלו‬
‫קבוע ‪ , F  100 3 N‬אך זווית נטייתו יחסית למישור המשופע משתנה בהתאם‬
‫לנוסחה ‪) α = π x / 12‬הזווית כאן נתונה ברדיאנים(‪ .‬החיכוך בין הגוף והמישור‬
‫המשופע ‪ -‬זניח‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה ‪ x‬יתנתק הגוף מהמישור? ]‪ 2‬מ'[‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה שנעשתה על ידי הכוח ‪ F‬עד לנקודת ההתנתקות? ]‪ 330.8‬ג'[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף ברגע ההתנתקות? ]‪ 12.09‬מ\ש[‬
‫חישוב עבודה של כוח התלוי בזמן‪ ,‬הספק‬
‫‪  t2  ‬‬
‫‪W   F  dr   F  v dt‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( 7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t1‬‬
‫ההספק ממוצע בפרק זמן נתון ‪ ,t‬מוגדר כעבודה הנעשית בזמן זה )‪ ,(w‬ליחידת זמן‪ .‬כלומר ‪ .w/t‬הספק‬
‫רגעי מוגדר כקצב עשיית עבודה‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫) ‪(8‬‬
‫‪dW‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪.P ‬‬
‫ממשואה )‪ (7‬רואים שהספק של כוח מכני ניתן לחישוב על ידי‬
‫‪ ‬‬
‫)‪P  F  v (9‬‬
‫)‪(4.6‬‬
‫כוח אופקי של ‪) F=2t‬כאשר הזמן ‪ t‬נתון בשניות והכוח ‪ F‬בניוטונים( פועל על גוף שמסתו ‪2kg‬‬
‫הנמצא במנוחה על משטח אופקי‪ .‬מקדמי החיכוך בין הגוף למשטח ‪. s  0.2 , k  0.15‬‬
‫א‪ .‬מצא את הזמן שבו הגוף מתחיל לנוע? ]‪ 2‬שניות[‬
‫ב‪ .‬מצא את תאוצת הגוף כפונקציה של זמן‪[a = t-3/2 or 0] .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את עבודת הכוח החיצוני במשך ‪ 5‬השניות הראשונות‪[56.25J] .‬‬
‫ד‪ .‬חשב את ההספק הממוצע* של הכוח החיצוני במשך ‪ 5‬השניות הראשונות‪[11.25W] .‬‬
‫ה‪ .‬מהי עבודת כוח החיכוך במשך ‪ 5‬השניות הנ"ל )חיכוך קינטי וסטטי( ]‪[-20.25J‬‬
‫‪34‬‬
‫‪F‬‬
‫‪α‬‬
‫‪300‬‬
‫גרדיאנט‬
‫הקשר ההפוך למשוואה )‪:(4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ U ˆ U ˆ U ˆ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  U(r)   ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪k‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪ x‬‬
‫)‪(5‬‬
‫שיווי משקל יציב‪/‬רופף‪/‬אדיש‬
‫נהוג להבדיל בין ‪ 3‬מצבים של שיווי משקל‪ :‬יציב‪ ,‬רופף ואדיש‪ .‬כאשר גוף נמצא בהשפעת כוח משמר‪ ,‬בכל‬
‫‪dU‬‬
‫המקרים של שיווי משקל )בבעיה חד ממדית( מתקיים ‪ 0‬‬
‫‪dx‬‬
‫)וכמובן הכוח שווה לאפס(‪.‬‬
‫שיווי משקל יציב – כאשר בהסטה קטנה משיווי המשקל מופעל כוח שמכוון חזרה אל נקודת שיווי המשקל‪.‬‬
‫למשל גולה הנמצאת בקערה‪ .‬מדובר בנקודת מינימום של האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫שיווי משקל רופף ‪ -‬כאשר בהסטה קטנה משיווי משקל מופעל כוח שמרחיק את הגוף מנקודת שיווי המשקל‪.‬‬
‫למשל גולה בקערה הפוכה‪ .‬מדובר בנקודת מקסימום של האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫שיווי משקל אדיש – כאשר הסטה קטנה משיווי משקל משאירה את הגוף בשיווי משקל חדש‪ .‬למשל גולה על‬
‫מישור אופקי נייח‪ .‬במקרה זה האנרגיה הפוטנציאלית קבועה‪.‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪(4.7‬‬
‫גוף קטן שמסתו ‪ m‬מונח על ריצפה חסרת חיכוך‪ ,‬וקשור לקפיץ בעל קבוע קפיץ ‪) k‬כמוראה בציור(‪.‬‬
‫במצב ההתחלתי הגוף נמצא במנוחה בנקודת שיווי המשקל ‪ .x = 0‬מפעילים על הגוף כוח המשתנה‬
‫לפי החוק‪:‬‬
‫) ‪ A , Fx  5 k ( A  2 x‬הינו קבוע חיובי‪.‬‬
‫מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪k‬‬
‫א‪ .‬המרחק המקסימלי ‪ xmax‬אליו מגיע הגוף‪[ 10 A /11 ].‬‬
‫ב‪ .‬מהירות הגוף ב ‪[ A 50k / (22m) ] .xmax/2 -‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬העבודה שעושה הקפיץ על הגוף מהמצב ההתחלתי ועד שהגוף הגיע ל‪[ 50kA2 / 121 ] . xmax-‬‬
‫)‪(4.8‬‬
‫אחד מהכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬הנע על מישור אופקי ‪ xy‬משתנה לפי‬
‫‪‬‬
‫̂‪) F  e y î  6x sin(x 2 ) j‬המרחק במטרים והכוח בניוטון(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת הכוח כאשר הגוף נע לאורך קו ישר מנקודה )‪ (0,0‬לנקודה )‪ ? (1,1‬האם הכוח משמר?‬
‫‪35‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬וקטור המיקום של הגוף הינו ̂‪) r  t î  t cos(t ) j‬המרחק במטרים והזמן בשניות(‪ .‬מהו הכוח‬
‫השקול הפועל על הגוף?‬
‫ג‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של הגוף בנקודה )‪[1J] ?(2,-2‬‬
‫)‪(4.9‬‬
‫גוף שמסתו ‪ m1  2 kg‬מונח במצב שיווי משקל )נקודה ‪ (A‬על מישור משופע חסר חיכוך ששיפועו‬
‫‪ . a = 35o‬הגוף מחובר על ידי חוט אידיאלי העובר על גלגלת וקשור בקצהו האחר אל גוף שמסתו‬
‫‪ . m 2  3 kg‬הגוף ‪ m2‬מחובר בצידו השני לקפיץ בעל‬
‫קבוע קפיץ ‪ . k  150 N/m‬מנקודת שיווי המשקל‬
‫מופעל על הגוף ‪ m1‬כוח שגודלו ‪ 30N‬וכיוונו מקביל‬
‫למישור המשופע כלפי מטה‪ .‬הגוף יורד ועובר בנקודה‬
‫‪m1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪ B‬הנמצאת במרחק של ‪ 0.3m‬מנקודה ‪.A‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגוף בנקודה ‪?B‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת הגוף בנקודה ‪?B‬‬
‫‪α‬‬
‫)‪ (4.10‬מטוס מואץ לאורך מסלול ההמראה ע"י כוח ‪ F‬שגודלו משתנה כפונקצית מיקום המטוס ביחס‬
‫‪2‬‬
‫לתחילת המסלול בהתאם למשוואה ‪ F  kx‬וכיוונו יוצר זווית ‪ α‬עם האופק‪ .‬מסת המטוס היא ‪. m‬‬
‫א‪ .‬איזה מרחק עבר המטוס עד לניתוק מפני הקרקע?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירותו בעת ההמראה?‬
‫ג‪ .‬חזרו על הסעיפים א' ו‪-‬ב' בהנחה כי במהלך התנועה המטוס מושפע גם ע"י כוח ההתנגדות‬
‫‪ , μN‬כאשר ‪ N‬הוא הכוח הנורמלי‪.‬‬
‫)‪ (4.11‬אחד הכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬אשר נע במישור אופקי‪ ,‬משתנה לפי‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ . Fy  2 e t , Fx  t 3  6t‬משוואת התנועה של הגוף היא‪. x  t, y  e :‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת הכוח במשך ‪ 5‬השניות הראשונות?‬
‫ב‪ .‬מהו שקול הכוחות הפועלים על הגוף?‬
‫ג‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כאשר הוא נמצא במרחק ‪e 2  1‬‬
‫)הדרכה לסעיף ג'‪ :‬כדאי להשתמש בנוסחה של מרחק הגוף מהראשית בזמן ‪x 2  t   y 2  t  :t‬‬
‫את הזמן שבו המרחק מהראשית הוא המרחק הנתון(‬
‫‪36‬‬
‫מראשית הצירים?‬
‫‪ . r  t  ‬ולחפש ע"י ניחוש‬
‫‪‬‬
‫)‪ (4.12‬סירת מנוע שמסתה ‪ 800 kg‬שטה במים שקטים במהירות ‪ 15 m / s‬בהשפעת כוח מנועה ‪ F1‬וכוח‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫התנגדות המים ‪ , F2‬אשר תלוי במהירות הסירה לפי‪) F2  200V :‬הכוחות נמדדים בניוטונים‪,‬‬
‫המהירות ב‪-‬מ'\ש'(‪ .‬מנוע הסירה מסוגל לפתח הספק מכסימלי של ‪. 80 kW‬‬
‫א‪ .‬מהו כוח המנוע ‪ F1‬ואיזה הספק הוא מפתח‪ ,‬כאשר הסירה שטה במהירות קבועה של ‪? 15 m / s‬‬
‫]‪ 3000‬ניוטון‪[45KW ,‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬לאיזו מהירות מכסימלית יכולה הסירה להגיע‪ ,‬ואיזה כוח ‪ F1‬צריך לשם זה? ]‪4000 ,20m/s‬‬
‫ניוטון[‬
‫ברגע מסוים )‪ (t  0‬נהג הסירה פתאום מגדיל את הספק מנועה עד ‪80 kW‬‬
‫ג‪ .‬איך תשתנה עם הזמן ‪ t‬מהירות הסירה? ]‪[ 2 100  43.75 e  t / 2 SI units‬‬
‫ד‪ .‬איך ישתנה עם הזמן ‪ t‬מיקום הסירה יחסית לנקודה בה הייתה ברגע ‪? t  0‬‬
‫]‪[ 17.8364  8 100.  43.75 e 0.5t  80 ArcTanh[0.1 100.  43.75 e 0.5t ] SI units‬‬
‫ה‪ .‬מה תהיה מהירות הסירה כעבר ‪ , 10 sec‬ואיזה מרחק היא תעבור בזמן זה? ] ‪19.97 m / s‬‬
‫‪ 190.7 ,‬מ'[‬
‫ו‪ .‬תוך כמה זמן מהירות הסירה תגיע ל‪ , 19 .97 m / s -‬ואיזה מרחק היא תעבור בזמן זה? ]ראה‬
‫סעיף ה'[‬
‫‪N‬‬
‫)‪ (4.13‬בלוק בעל מסה ‪ m  263 kg‬נופל על קפיץ אֲ נָכִי בעל קבוע‬
‫‪cm‬‬
‫‪ . k  2.52‬הבלוק נדבק‬
‫לקפיץ‪ ,‬וההתכווצות המקסימלית של הקפיץ היא ‪.11.8cm‬‬
‫א‪ .‬מהי העבודה שנעשית ע"י כוח הכובד והקפיץ במהלך ההתכווצות?‬
‫ב‪ .‬מה הייתה מהירות הבלוק בדיוק ממש לפני פגיעתו בקפיץ?‬
‫ג‪ .‬אם המהירות ההתחלתית של הבלוק מוכפלת פי ‪ ,2‬מהו הכיווץ המקסימאלי של הקפיץ?‬
‫הזנח חיכוך‪.‬‬
‫)‪ (4.14‬מיקומו של חלקיק בעל מסה ‪ m  2.80 kg‬נתון ע"י‪ x) x  3t  4t 2  t 3 :‬במטרים ו‪ t-‬בשניות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת הכוח השקול הפועל על החלקיק ב‪ 4-‬השניות הראשונות?‬
‫ב‪ .‬מהו הספק הכוח בזמן ‪? t  3.0s‬‬
‫‪37‬‬
‫)‪ (4.15‬גוף נע לאורך מעגל שמסלולו שרדיוסו ‪ 1‬מ' ומרכזו בראשית הצירים מן הנקודה ‪ 1, 0 ‬נגד כיוון‬
‫‪‬‬
‫השעון ובחזרה לאותה נקודה‪ .‬בזמן תנועתו פועל על הגוף כוח הנתון ע"י‪. F  x, y   x ˆi  y ˆj :‬‬
‫מהי העבודה המתבצעת ע"י הכוח בזמן תנועת הגוף לאורך המעגל?‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3xP  3‬‬
‫‪, v‬‬
‫)‪ (4.16‬הראה שהמהירות ‪ v‬שאליה מגיעה מכונית הנוסעת בהספק קבוע ‪ P‬נתונה ע"י‪ :‬‬
‫‪ m ‬‬
‫כאשר ‪ x‬הוא מרחק הנסיעה ממנוחה‪.‬‬
‫)‪ (4.17‬אבן שמשקלה ‪ w‬נזרקת באוויר כלפי מעלה במהירות התחלתית ‪ . v0‬על האבן פועל כוח החיכוך‬
‫קבוע עם האוויר שגודלו ‪.f‬‬
‫‪v0 2‬‬
‫א‪ .‬הראה שהגובה המקסימאלי שאליו מגיעה האבן הוא‪:‬‬
‫‪f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 g 1  ‬‬
‫‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪.h ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ w  f 2‬‬
‫‪. v  v 0 ‬‬
‫ב‪ .‬הראה שמהירות האבן בזמן פגיעתה ברצפה היא‪ :‬‬
‫‪w f ‬‬
‫)‪ (4.18‬אחד הכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו ‪ 1‬ק"ג ‪ ,‬משתנה לפי‪ .Fy = sin(t) , Fx  e t :‬הגוף נע‬
‫על מישור ‪ ,xy‬מיקומו הינו‪) .y(t)=cos(t) , x(t)  5t :‬הקואוורדינטה נמדדת במטרים‪ ,‬הזמן‬
‫בשניות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו שקול הכוחות הפועלים על הגוף?‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כעבור ‪ 4‬השניות הראשונות?‬
‫ג‪ .‬מהי עבודת הכוח הנתון במשך ‪ 4‬השניות הראשונות?‬
‫ד‪ .‬מהי עבודת שקול הכוחות במשך ‪ 4‬השניות הראשונות?‬
‫‪‬‬
‫)‪ (4.19‬חשב את העבודה שמבצע הכוח ˆ‪ F  3xy ˆi  5z ˆj  10x k‬כאשר הוא מניע גוף שמסתו ‪ m‬על‬
‫המסילה‪ x = t2 + 1; y = 2t2 ; z = t3 :‬מהנקודה )‪ A(1,0,0‬לנקודה )‪.B(2,2,1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (4.20‬חשב את העבודה שמבצע הכוח‪ F  xz ˆi  3x ˆj  2 y kˆ :‬כאשר הוא מניע גוף שמסתו ‪ m‬על‬
‫המסלול‪, x = t3; y = 2t2 + 1; z = t2 :‬מנקודה )‪ A(0,1,0‬לנקודה )‪. B(1,3,1‬‬
‫‪38‬‬
‫פרק ה'‪ :‬מתקף ותנע‪ ,‬כולל מסה משתנה‬
‫מתקף של כוח‪ ,‬בין זמנים‬
‫‪t1‬‬
‫ו‪: t 2 -‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪. J  F  t  dt‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪t1‬‬
‫תנע קווי של גוף נקודתי‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p  mv‬‬
‫משפט מתקף ‪ -‬תנע קווי )צורה אינטגרלית לחוק השני של ניוטון(‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪Jtotal  P (4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ = J total  J F  J‬שקול המומנטים הפועלים על הגוף‪ p  p final  pinitial ,‬הוא השינוי בתנע‬
‫של הגוף‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(5.1‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 1.6‬ק"ג נע על מישור אופקי‪ .‬ברגע ‪ t  0‬הוא עובר דרך ראשית צירים במהירות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫̂‪ (m/s) v 0  2 i‬ומתחיל לפעול עליו כוח המשתנה עם הזמן לפי‪ .(SI) F   5t  ˆi :‬הכוח פועל‬
‫על הגוף במשך ‪ 8‬שניות‪ .‬מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והמישור הוא ‪ ,0.2‬ותאוצת הכובד‬
‫‪‬‬
‫] ‪. g  10 ˆj [m / s 2‬‬
‫א‪ .‬מהו המתקף שמפעיל הכוח במשך ‪ 8‬השניות של פעולת הכוח? ]‪160 ˆi [Ns‬‬
‫ב‪ .‬מהו המתקף שמפעיל כוח החיכוך במשך ‪ 8‬השניות של פעולת הכוח? ]‪25.6 ˆi [Ns‬‬
‫ג‪ .‬מהו המתקף הכולל הפועל על הגוף? ]‪134.4 ˆi [Ns‬‬
‫ד‪ .‬מהי מהירות הגוף לאחר ‪ 8‬השניות? השתמש‪/‬י במשפט מתקף‪-‬תנע‪86 ˆi [m/s] .‬‬
‫)‪(5.2‬‬
‫‪‬‬
‫כדור בייסבול שמסתו ‪ 150‬גרם נע לעבר חובט‪ .‬מהירות הכדור לפני המכה היא ‪v 0  5 ˆi - ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ .(m/s‬המתקף שפעל על הכדור מצד המחבט הוא ‪.(Ns) J  3.6 ˆi  4.2 ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬בהנחה כי המתקף שהמחבט הפעיל על הכדור הוא המתקף היחיד‪ ,‬מה תהיה מהירות הכדור ‪ v‬לאחר‬
‫‪‬‬
‫המכה? ) ]‪( v  19 ˆi + 27 ˆj [m/s‬‬
‫‪39‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪ .‬מה המתקף שהפעיל הכדור על המחבט במשך החבטה? ) ‪( J  3.6 ˆi  4.2 ˆj‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי זמן החבטה הוא ‪ 0.01‬שניה‪ .‬מהו המתקף שפעל על הכדור במשך זמן‬
‫‪‬‬
‫החבטה על ידי כוח הכובד? האם ההנחה של סעיף א' מוצדקת? ) ‪, Jmg  0.015 ˆj‬‬
‫‪v0‬‬
‫מוצדקת למדי(‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (5.3‬גוף שמסתו ‪ 1‬ק"ג עובר את הנקודה ‪ 0,7 ‬במהירות ̂‪ . v 0  3 î  15 j‬ברגע זה מתחיל לפעול על‬
‫‪‬‬
‫הגוף כוח ̂‪) F  12t î  60t j‬הוא הכוח היחיד הפועל על הגוף(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מהו מתקף הכוח על הגוף במשך ‪ 2‬שניות פעולתו? ) ]‪( J F  24 ˆi  120 ˆj [Ns‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף ‪ 2‬שניות מרגע הפעלת הכוח? פתרו בשתי דרכים‪( v  27 ˆi  135 ˆj [m/s] ) .‬‬
‫ג‪ .‬מהי עבודת הכוח בשתי שניות פעולתו ? ) ‪( 9360 J‬‬
‫ד‪ .‬מהו מסלול התנועה של הגוף? ) ‪( yx   5 x  7‬‬
‫חוק שימור התנע הקווי‬
‫מתוך )‪ (4‬והחוק השלישי של ניוטון מקבלים עבור מערכת של גופים שמתקיים‬
‫)‪(5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪J F‬‬
‫‪ext‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ =  Fext‬שקול הכוחות החיצוניים הפועלים על המערכת )כל הכוחות‪ ,‬ללא הכוחות פועלים בין גופים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫במערכת(‪ P   p ,‬הוא התנע הכולל של הגופים המרכיבים את המערכת‪.‬‬
‫אם שקול הכוחות החיצוניים על מערכת של גופים שווה לאפס‪ ,‬אזי התנע הכולל של המערכת נשמר‪.‬‬
‫התנגשויות‬
‫כאשר שני גופים )או יותר( מתנגשים‪ ,‬הכוחות המשמעותיים )ובבעיות מסוימות‪ ,‬הכוחות היחידים( הפועלים‬
‫על הגופים הם כוחות פנימיים – שגוף אחד מפעיל על האחר והאחר מחזיר )בהתאמה לחוק השלישי של‬
‫ניוטון(‪ .‬השפעת הכוחות החיצוניים‪ ,‬אם קיימים‪ ,‬זניחה לגמרי במשך זמן ההתנגשות הקצר‪ .‬מכאן שבבעיה‬
‫של התנגשות התנע של המערכת יישמר‪.‬‬
‫התנגשות אלסטית‪ ,‬אי‪-‬אלסטית ופלסטית‪ :‬בהתנגשות אלסטית )לחלוטין( בנוסף לחוק שימור התנע מתקיים‬
‫גם שימור האנרגיה הקינטית של המערכת‪ .‬התנגשות בין אטומים היא דוגמה להתנגשות אלסטית‪ .‬התנגשות‬
‫אי‪-‬אלסטית היא כזו שבה האנרגיה הקינטית של הגופים המתנגשים אינה נשמרת )ובעצם האנרגיה עוברת‬
‫‪40‬‬
‫לצורת אנרגיה אחרת(‪ .‬כאשר שני גופים מתנגשים הם בד"כ מתחממים )אנרגיה תרמית( ומשמיעים קול‬
‫)אנרגית קול( ומכאן שסכום האנרגיות הקינטיות שלהם קטן כתוצאה מההתנגשות‪.‬‬
‫מקרה מיוחד של התנגשות אי‪-‬אלסטית הוא מקרה של התנגשות פלסטית‪ ,‬התנגשות שלאחריה הגופים‬
‫נשארים צמודים זה לזה )"נדבקים"(‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫קליע שמסתו ‪ m  0.01kg‬נע במהירות ‪ 300‬מ\ש ונתקע בגוף ‪ M‬שמסתו ‪4‬ק"ג‪ .‬הגוף ‪ M‬קשור לקפיץ‬
‫)‪(5.4‬‬
‫שקבועו ‪ 100‬ניוטון\מטר ונמצא במצב ההתחלתי במנוחה בנקודת הרפיון של הקפיץ ‪ .O‬מקדם החיכוך‬
‫בין הגוף ‪ M‬והשולחן ‪ .μk=0.3‬מהו הכיווץ המכסימלי של הקפיץ? ]‪ 0.073‬מ'[‬
‫‪v‬‬
‫‪M‬‬
‫‪m‬‬
‫‪O‬‬
‫כדור ‪ M‬שמסתו ‪ 1kg‬נע במהירות ‪ v1 = 30m/s‬בכיוון ‪) α1 = 250‬ראה איור(‪ .‬קליע ‪ m‬שמסתו‬
‫)‪(5.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0.01kg‬נע במהירות ‪ v2 = 700m/s‬בכיוון ‪ .α2=40‬הקליע פוגע בכדור ויוצא ממנו‪ ,‬בלי לשנות את‬
‫הכיוון‪ ,‬במהירות ‪.v2' = 300m/s‬‬
‫‪0‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהם גודל וכיוון מהירות הכדור לאחר ההתנגשות? ] ‪ 28.5 ,32.3‬מ\ש[‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו איבוד האנרגיה הקינטית בהתנגשות? ]‪ 2044‬ג'אול[‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו המתקף שהפעיל הקליע על הכדור? ] ‪[ (-3.06, 2.57) N sec‬‬
‫'‬
‫‪v2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪250‬‬
‫‪M‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪400‬‬
‫‪m‬‬
‫)‪(5.6‬‬
‫‪y‬‬
‫מסה ‪ 10=M‬ק"ג הנמצאת במנוחה מתפוצצת לשלושה חלקים הנעים כולם על מישור‬
‫‪ : xy‬המסה ‪2=m1‬ק"ג נעה במהירות ‪4‬מ\ש=‪ v1‬בכיוון ציר ‪ ,x‬מסה ‪3‬ק"ג=‪ m2‬הנעה‬
‫במהירות ‪3 = v2‬מ\ש בזווית של ‪ 300‬יחסית לציר ‪ x‬ומסה שלישית שיש למצוא את‬
‫‪x‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪30‬‬
‫‪v1‬‬
‫מהירותה )גודל וכיוון(‪ 3.29 ,195.90] .‬מ\ש[‬
‫‪41‬‬
‫)‪(5.7‬‬
‫על קרונית שמסתה ‪ 10‬ק"ג ואורכה ‪ 12‬מטר מונח במרכז גוף‪ .‬מרכז המסה של כל המערכת נמצא במרכז‬
‫הקרונית‪ .‬כל כוחות החיכוך זניחים‪ .‬ברגע מסוים מתפוצץ הגוף לשני גופים בעלי מסות של ‪ 1‬ק"ג ו ‪4‬‬
‫ק"ג‪ .‬לאחר שתי שניות הגוף המהיר יותר מתנגש בדופן הקרונית התנגשות אלסטית לחלוטין‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של כל גוף ואת מהירות הקרונית מיד לאחר ההתפוצצות‪[0 ,-0.75m/s ,3m/s] .‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות הקרונית מיד לאחר ההתנגשות האלסטית ? ]‪ 60/11‬מ‪/‬ש[‬
‫ג‪ .‬לאחר כמה זמן מתנגש הגוף השני בקרונית? ]‪ 0.725‬שניות מרגע ההתנגשות[‬
‫)‪(5.8‬‬
‫קוביה קטנה שמסתה ‪ m 2‬מונחת על עגלה שמסתה ‪ m1‬היכולה לנוע ללא חיכוך על משטח אופקי‬
‫)ראה‪/‬י שרטוט(‪ .‬מעניקים לקוביה מהירות ‪ . v 0‬נתונים‪. m1 , m 2 ,v0 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪m1 vo 2‬‬
‫מהו הגובה המינימלי ‪ h‬של העגלה שימנע את מעבר הקוביה לצידה השני?]‬
‫‪2 g  m1  m2 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם גובה העגלה גדול מ ‪ h‬שחושב בסעיף א'‪ ,‬מהן מהירויות העגלה והקוביה כאשר הקוביה חוזרת‬
‫‪2m2 v0 ( m2  m1 )v0‬‬
‫לתחתית העגלה? ]‬
‫‪,‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫‪m1  m2‬‬
‫[‬
‫[‬
‫‪h‬‬
‫‪v0‬‬
‫)‪(5.9‬‬
‫מסה ‪ m1‬של ‪ 2‬ק"ג נעה במהירות ‪ 6‬מ' לשנייה ופוגעת בגוף שני הנמצא המנוחה שמסתו ‪ m 2‬היא ‪4‬‬
‫ק"ג‪ .‬ההתנגשות מתווכת ע"י קפיץ בעל קבוע של ‪ 100‬ניוטון למטר‪ .‬ידוע כי אין חיכוך בין הגופים‬
‫והמשטח עליו הם נמצאים‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? ]‪ 0.693‬מ'[‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגופים ברגע זה? ]‪ 2‬מ\ש[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים לאחר שנפרדו )והקפיץ שוב רפוי(? ] ‪[ 2m / s, 4m / s‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫מרכז מסה‬
‫מרכז מסה של מערכת גופים הוא הממוצע המשוקלל של מיקומי הגופים המרכיבים את המערכת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1r1  m2 r2  ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪. rcm ‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫מהירות מרכז המסה מתקבלת ע"י גזירת משוואה )‪:(8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1v1  m2 v2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. vcm ‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫ניתן לראות שבבעיה בה התנע נשמר )למשל בהתנגשות(‪ ,‬מהירות מרכז המסה אינה משתנה‪.‬‬
‫תאוצת מרכז המסה מתקבלת מגזירת משוואה )‪:(9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m a  m2 a2  ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪. acm  1 1‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫)‪ (5.10‬איש בעל מסה ‪ M‬עומד על סירה שמסתה ‪ m‬ואורכה ‪ .L‬האיש עומד בקצה השמאלי ומתחיל לנוע לקצה‬
‫הימני‪ .‬הזניחו את חיכוך הסירה והמים ואת הגלים )בקיצור –אין כוחות חיצוניים(‪.‬‬
‫א‪ .‬ברגע שמהירות האיש ‪ v‬לימין‪ ,‬מהי מהירות הסירה?‬
‫ב‪ .‬בכמה זזה הסירה כאשר האיש נעמד בקצה הימני של הסירה?‬
‫)‪ (5.11‬מצא‪/‬י את מרכז המסה של הגופים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬חצי כדור מלא ואחיד‪ ,‬בעל רדיוס ‪ R‬וצפיפות מסה נפחית ‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫ב‪ .‬דיסקה בעלת רדיוס ‪ 2R‬ובה חור מעגלי בעל רדיוס ‪. R‬‬
‫‪2R‬‬
‫מרכז החור נמצא במרחק ‪ R‬ממרכז הדיסקה‪ .‬צפיפות המסה‬
‫המשטחית של הדיסקה המחוררת אחידה‪.‬‬
‫‪43‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪ (5.12‬בול שמסתו ‪ m2‬מונח על רצפה אופקית חלקה ועליו בול שני שמסתו ‪ . m1‬בין הבולים קיים‬
‫חיכוך‪ .‬מקדם הקינטי הוא ‪ . k‬מעניקים לבול העליון מהירות התחלתית ‪ .V0‬בהנחה שמקדם‬
‫החיכוך הסטטי בין הגופים מספיק גדול )או שהגוף התחתון ארוך מספיק(‪ ,‬החל מרגע מסוים‬
‫ואילך הגוף העליון נעצר ביחס לתחתון‪ ,‬ובמילים אחרות‪ :‬הגופים נעים ביחד‪ .‬נסמן את הזמן‬
‫מתחילת התנועה ועד לרגע בו הגופים נעים יחד ב‪.T-‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות המשותפת של שני הגופים?‬
‫ב‪ .‬נסו למצוא משיקולי מתקף ותנע – מהו ‪ ?T‬שימו לב כי כוח החיכוך הקינטי הוא כוח קבוע‪ .‬זה עוזר‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכמה זז מרכז המסה מרגע ההתחלה ועד ל‪?T-‬‬
‫ד‪* .‬איזו דרך ‪ S‬יעבור הבול ‪ m1‬ביחס ל‪ ,m2 -‬עד לזמן ‪?T‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫)‪ (5.13‬קרון אטום מונח על משקל תקין‪ .‬המשקל מראה "‪."100‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת הקרון? )‪ 100‬ק"ג(‬
‫ב‪ .‬בתוך הקרון יש חסידה שמסתה ‪ .m=10kg‬החסידה עומדת על רצפת הקרון‪ .‬מה יראה‬
‫המשקל? )‪(110‬‬
‫ג‪ .‬לאחר כמה דקות החסידה מרחפת )נמצאת מעל אותה נקודה ביחס לרצפת הקרון(‪ .‬מה‬
‫יראה המשקל? )‪(110‬‬
‫ד‪ .‬תוך כדי מעופה‪ ,‬החסידה נרדמת‪ .‬מה יראה המשקל בזמן נפילתה בתאוצה ‪) g‬כלפי‬
‫מטה(? )‪(100‬‬
‫ה‪ .‬קצת לפני שהחסידה נמחצה היא מתעוררת‪ ,‬וכדי לא לפגוע ברצפת הקרון מאיצה‬
‫בתאוצה ‪ 3g‬כלפי מעלה‪ .‬מה יראה המשקל כעת? )‪(140‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪ (5.14‬גוף שמסתו ‪ m‬מאוזן על השפיץ של הצורה המתוארת באיור )מעין כובע קשיח סמטרי(‪ .‬מסת הכובע ‪,M‬‬
‫גובהו ‪ ,H‬רוחב בסיסו ‪ ,2L‬והוא נמצא במנוחה‪ .‬השוליים של הכובע אופקיים )ללא שיפוע(‪ .‬בין הכובע‬
‫לגוף ובינו לרצפה אין חיכוך‪ .‬ברגע מסויים שיווי המשקל מופר והגוף ‪ m‬מחליק ממנוחה ימינה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהם חוקי השימור בבעיה?‬
‫ב‪ .‬מהו ההעתק האופקי של הכובע כאשר הגוף ‪ m‬הגיעה לתחתיתו?‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותם של הגוף ושל הכובע במצב זה?‬
‫‪44‬‬
‫נקודת‬
‫התחלה‬
‫‪m‬‬
‫‪g‬‬
‫‪H‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2L‬‬
‫)‪ (5.15‬גוף שמסתו ‪ m‬קשור לחוט שאורכו ‪ L‬הגוף משוחרר ממנוחה‬
‫כאשר החוט מתוח ויוצר זווית בת ‪ 60‬מעלות עם האנך‪.‬‬
‫‪60o‬‬
‫בנקודה התחתונה של המסלול הגוף מתנגש אלסטית לחלוטין‬
‫‪L‬‬
‫עם גוף בעל מסה כפולה המונח על שולחן חסר חיכוך‪ .‬עקב‬
‫ההתנגשות‪ ,‬הגוף השני ניתז ממקומו במהירות ‪. V0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪V0‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגוף רגע לפני ההתנגשות? ] ‪[ gL‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪2m‬‬
‫ב‪ .‬מה גודלה של המהירות ‪ V0‬ומה גודלה של מהירות הגוף‬
‫הפוגע מייד לאחר ההתנגשות?‬
‫‪2 gL‬‬
‫‪gL‬‬
‫]‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪F‬‬
‫[‬
‫‪Fmax‬‬
‫מדדו את גודלו של הכוח שהפעיל הגוף הראשון על השני‬
‫בזמן ההתנגשות כפונקציה של הזמן‪ .‬צורתה של עקומת הכוח‬
‫היא משולש שווה שוקיים )ראה גרף(‪ .‬רוחב הבסיס הוא ‪.T‬‬
‫ג‪ .‬על פי עקומת הכוח קבע את הגודל המקסימאלי של הכוח‬
‫שפעל בין הגופים בזמן ההתנגשות? הדרכה‪ :‬השתמשו‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫בקשר בין מתקף והשינוי בתנע‪ ,‬ובכך שהמתקף שפעל‬
‫‪t0  T‬‬
‫על הגוף בכיוון התנועה )ימין( הוא ‪F dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪8m gL‬‬
‫]‬
‫‪3T‬‬
‫[‬
‫‪45‬‬
‫‪ ,‬כמשמעותו הגרפית ‪ ---‬השטח מתחת לגרף‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (5.16‬חלקיק שמסתו ‪ 10‬גרם נע במהירות ˆ‪) v1  10i‬מהירות נמדדת במ'\ש'(‪ .‬חלקיק שני‪ ,‬בעל אותה מסה‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נע במהירות ˆ‪ . v 2  10i‬לאחר ההתנגשות מהירות החלקיק הראשון היא ˆ‪. u 1  5i‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהי מהירות החלקיק השני לאחר ההתנגשות?‬
‫ב‪.‬‬
‫האם ההתנגשות היא אלסטית לחלוטין? אם לא‪ ,‬מהו איבוד האנרגיה במהלך ההתנגשות?‬
‫)‪ (5.17‬אב ובנו עומדים יחדיו בקצה סירה שאורכה ‪ L‬העומדת במים שקטים‪ .‬הם מתחילים לנוע האחד לעבר‬
‫השני‪ .‬הבן מגיע לאמצע הסירה ונעצר בעוד האב ממשיך עד לקצה השני‪ .‬נתון כי מסת הסירה היא ‪M‬‬
‫‪2m1  m2‬‬
‫מסת האב ‪ m1‬ומסת הבן היא ‪ . m2‬מצא איזה מרחק נעה הסירה‪L ) .‬‬
‫) ‪2(m1  m2  M‬‬
‫‪(x‬‬
‫)‪ (5.18‬ילד שמסתו ‪ 20kg‬עומד על רפסודה שמסתה ‪ 12kg‬הצפה במנוחה באגם‪ .‬הילד זורק אבן בכיוון מקביל‬
‫לאגם במהירות ‪ ,8m/sec‬כתוצאה מכך נעה הרפסודה והילד עליה‪ .‬עוצמת כוח התנגדות של המים‬
‫לרפסודה היא ‪ , F=0.6v‬כאשר ‪ v‬היא מהירות הרפסודה‪ .‬מה צריכה להיות המסה ‪ m‬של האבן הנזרקת על‬
‫מנת שמהירות הרפסודה )והילד עליה( לא תעלה על ‪ 1m/sec‬לאחר ‪.(m≤4.82kg) ? 10sec‬‬
‫)‪ (5.19‬גוף בעל מסה של ‪ 5‬ק"ג נע על משטח "מחוספס" לאורך ציר ‪ x‬ועובר בראשית הצירים )‪(x=0‬‬
‫כשמהירותו ‪ 2‬מ\ש )בכיוון החיובי(‪ .‬במשך זמן קצר מאוד מופעל על הגוף כוח אופקי אשר מספק לו‬
‫מתקף ‪ J  10 N  sec‬בכיוון ציר ‪ .x‬לאחר מכן הגוף נע בהשפעת כוח ‪ Fx   x‬עד לעצירה‪ .‬מקדם‬
‫החיכוך הקינטי בין הגוף למישור הינו ‪.0.2‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגוף לאחר פעולת הכוח הקצר?‬
‫ב‪ .‬מצאו את המרחק שעבר הגוף עד לעצירה‪.‬‬
‫)‪ (5.20‬ילד שמסתו ‪ 30‬ק"ג נמצא בתוך עגלה אשר נוסעת בקו ישר במהירות קבועה של ‪ 10‬מ'\ש'‪ .‬מסת העגלה‬
‫גדולה פי ‪ 2‬ממסת הילד‪ .‬לפני העגלה הנ"ל נוסעת עוד עגלה ריקה‪ ,‬באותה מהירות ובאותו כיוון‪ .‬בשלב‬
‫מסוים קופץ הילד מעגלה הראשונה לשנייה במהירות ‪ 5‬מ'\ש' ביחס לעגלה בה הוא נמצא‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות העגלה הראשונה לאחר שהילד עזב אותה?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות העגלה השנייה לאחר שהילד נחת בה?‬
‫ג‪ .‬מהו השינוי באנרגיה הקינטית של המערכת )שתי עגלות‪+‬ילד( לפני ואחרי קפיצת הילד? מה גרם‬
‫לשינוי הזה?‬
‫‪46‬‬
‫בעיות עם מסה משתנה‬
‫כאשר מסה של גוף משתנה באפן רציף )למשל טיל הפולט גזים בקצב ידוע‪ ,‬או קרונית המתמלאת בגשם(‬
‫כניתן לעבוד עם החוק השני של ניוטון הישן והטוב רק שצריך להוסיף עוד כוח‪ :‬הוא הכוח הפועל על הגוף‬
‫כתוצאה משינוי מסתו )במקרה של הטיל הכוח הפועל על ידי גזי הפליטה‪ ,‬במקרה של הקרונית – הכוח הפועל‬
‫‪dm‬‬
‫על הקרונית על ידי המים הנכנסים אליה(‪ .‬כוח זה שווה ל‪-‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ,  v‬כאשר ‪ v‬מתאר את השינוי במהירות‬
‫ה"טיפות" ביחס לגוף )המרכאות כאן מסמנות שזה לא חייב להיות טיפות – זה יכול להיות גם גזים הנפלטים‬
‫מהטיל‪ ,‬או חול הנשפך על מסוע(‪.‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪dv‬‬
‫אפשר לרשום את החוק השני מחדש‬
‫‪m‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪.  Fregular  v‬‬
‫לא לשכוח שהמסה ‪ m‬שמופיעה בנוסחה זו היא )‪.m(t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m0‬‬
‫ניתן לקבל את המסה כתלות בזמן על ידי אינטגרציה‪.  dm    dt  dm   dt :‬‬
‫לפעמים ניתן לעקוף סיבוכים אם משתמשים בחוקי שימור‪ ,‬כמו חוק שימור התנע‪.‬‬
‫להלן נוסחה המתאימה לבעיות עם מסה המשתנה באופן רציף בדומה לבעיה הנ"ל‪:‬‬
‫‪ dm‬‬
‫‪‬‬
‫‪ vrel‬‬
‫‪ ma‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪regular‬‬
‫כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪ vrel‬היא מהירות חלקיקי המסה המשתנה )המים הנכנסים לקרונית‪ ,‬או גזים הנפלטים מטיל( ביחס לגוף‬
‫המתואר בבעיה )הקרונית‪ ,‬הטיל וכדומה(‪.‬‬
‫) ‪ , m  m(t‬היא מסת הגוף‪ .‬שימו לב שבנוסחה יש להציב את המסה עם התלות שלה בזמן‪.‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪dt‬‬
‫מתאר את קצב שינוי המסה‪ .‬קצב זה הוא חיובי כאשר המסה של הגוף גדלה )כמו במקרה של קרונית‬
‫המתמלאת במים( או שלילי )כמו במקרה של טיל הפולט גזים‪ .‬במקרה כזה המסה קטנה עם הזמן ולכן קצת‬
‫השינוי הוא שלילי‪.‬‬
‫‪ dm‬‬
‫‪" vrel‬כוח הדחף"‪ ,‬זהו הכוח הפועל על הגוף כתוצאה מפליטת‪/‬קליטת המסה )ושינוי התנע שלה(‪.‬‬
‫‪dt‬‬
‫תרגילים‬
‫‪47‬‬
‫)‪ (5.21‬אוטו שמסתו ‪ 1000‬ק"ג )כולל הנהג( נוסע על משטח חסר חיכוך במהירות קבועה ‪ 20‬מ'\שנ'‪ .‬ברגע‬
‫‪dm‬‬
‫‪ t  0‬מתחיל לרדת גשם אנכי והאוטו מתחיל להתמלא במים בקצב קבוע ‪ 0.5kg / sec‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ 2 .‬דקות‬
‫אחרי שהגשם התחיל לרדת נהג האוטו סוגר את הגג‬
‫והגשם מפסיק להיכנס פנימה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת הגשם שנכנסה לאוטו עד שנסגר הגג?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות האוטו כתלות בזמן?‬
‫ג‪ .‬איזה מרחק עבר האוטו במשך ‪ 2‬הדקות?‬
‫ד‪ .‬באיזה כוח צריך היה למשוך את המכונית על‬
‫מנת לשמור את מהירותה קבועה?‬
‫)‪ (5.22‬מכלית מים שמסתה הכוללת ‪ 2000kg‬ומסתה ריקה ‪ 800kg‬עומדת במנוחה על משטח אופקי וחלק‪.‬‬
‫משאבה מותקנת על המיכלית וברגע מסוים היא מתחילה לפלוט מים אחורה בכיוון אופקי במהירות‬
‫‪ 200m/sec‬יחסית למיכלית ובקצב של ‪.50 kg/sec‬‬
‫א‪ .‬חשב את התאוצה של המיכלית כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את תאוצתה המכסימלית‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את המהירות המכסימלית של המיכלית‪.‬‬
‫)‪ (5.23‬טיל שמסתו ללא דלק ‪ 200‬ק"ג נושא ‪ 200‬ק"ג נוספים של דלק‪ .‬ב‪ t = 0 -‬הטיל משוגר אנכית ממנוחה‬
‫מפני הקרקע )‪ .(y = 0‬קצב בעירת הדלק הינו ‪ 25‬ק"ג לשניה‪ .‬מהירות הפליטה של הגזים ביחס לטיל היא‬
‫‪ 300‬מטר\שניה כלפי מטה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הטיל כפונקציה של הזמן כאשר הדלק בוער?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירותו בתום בעירת הדלק?‬
‫ג‪ .‬מהי התאוצה המקסימאלית של הטיל?‬
‫)‪ (5.24‬טיל מרחף באוויר בגובה מסוים קרוב לפני כדור הארץ )הוא לא יורד ולא עולה(‪ .‬הדבר אפשרי ע"י‬
‫פליטת גזים כלפי מטה‪ .‬מהירות הגזים יחסית לטיל קבועה‪ ,‬וגודלה ‪ .u‬המסה הסופית של הטיל )כאשר‬
‫הדלק נגמר( היא ‪ , M 0‬כאשר ‪ M 0‬היא מסתו ההתחלתית‪ ,‬ברגע ‪ .(   1 ) t=0‬נתונים‪,u, g , :‬‬
‫‪. M0‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת הטיל כתלות בזמן? ] ‪[ M 0e gt / u‬‬
‫‪48‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נשאר הטיל במצב הריחוף? ] ) ‪[  (u / g ) ln(‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪ u=600m/s‬וכן שהמסה הסופית של הטיל היא ‪ 5%‬ממסתו ההחלתית‪ .‬כמה זמן נשאר הטיל‬
‫במצב הריחוף? ]‪ 178‬שניות[‬
‫‪dm‬‬
‫)‪ (5.25‬חול נשפך ממשפך קבוע‪ ,‬בקצב ‪ kt 2‬‬
‫‪dt‬‬
‫על סרט נע שמהירותו ביחס למשפך היא ‪. v‬‬
‫א‪.‬‬
‫איזה כוח ‪ F‬צריך להפעיל על הסרט הנע כדי לשמור על מהירותו הקבועה ‪?v‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי עבודה הנעשתה על‪-‬ידי‬
‫‪v‬‬
‫כוח ‪ F‬בין ‪ t=0‬ו‪t=T -‬‬
‫ומהו שינוי באנרגיה קינטית‬
‫‪F‬‬
‫של הסרט בזמן הזה ?‬
‫)‪ (5.26‬רקטה פולטת בכל שניה שני אחוזים ממסתה ההתחלתית במהירות יחסית של ‪ .1.2 Km/sec‬הרקטה‬
‫מתחילה לנוע ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי התאוצה ההתחלתית של הרקטה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי מהירות הרקטה ומהי תאוצתה כעבור ‪?20 sec‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות של גזי הפליטה יחסית לארץ כעבור ‪ 20 sec‬ההתחלה?‬
‫)‪ (5.27‬מתקן ניקיון מורכב ממיכל ובו ‪ 500‬ק"ג מים‪ .‬מסת המתקן כאשר המיכל ריק היא ‪ 2,000‬ק"ג‪ .‬המים‬
‫נפלטים אחורה בקצב ‪ 300‬ק"ג לדקה ובמהירות ‪ 12‬מ'\שנ' יחסית למתקן‪ ,‬והמתקן נע אך ורק בהשפעת‬
‫כוח הדחף הנוצר מפליטת המים‪ .‬אין חיכוך בין‬
‫המתקן למשטח‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת המתקן בתחילת פליטת המים‪ ,‬ומהי‬
‫בתום פליטת המים?‬
‫ב‪ .‬איזה כוח )גודל וכיוון( יפעל על המתקן תוך כדי‬
‫פליטת סילון המים?‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות המתקן כפונקציה של הזמן‪ ,‬אם מהירותו ההתחלתית‪ ,‬ברגע הוא התחיל לפלוט מים‪10 ,‬‬
‫מ\שניה?‬
‫ד‪ .‬לאיזו מהירות יגיע המתקן בתום פליטת המים‪ ,‬וכעבור כמה זמן זה יקרה?‬
‫‪49‬‬
‫)‪ (5.28‬קרונית בעלת מסה ‪ M‬נוסעת על פסים אופקיים ישרים וחלקים‪ .‬מהירותה בנקודה ‪ A‬היא ‪.VA‬‬
‫הקרונית עוברת בנקודה ‪ B‬כעבור ‪ T‬שניות‪ .‬במשך כל זמן הנסיעה ירד גשם בקצב קבוע ומי‪-‬גשם‬
‫שמסתם ‪ m‬נקוו בתוך קרונית‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬מהירות הקרונית ‪ t‬שניות אחרי שעזבה את נקודה ‪.(0<t<T) A‬‬
‫ב‪ .‬תאוצת הקרונית ‪ t‬שניות אחרי שעזבה את נקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק ו'‪ :‬גוף קשיח‬
‫גודל פיסיקלי‬
‫תנועה קווית )מימד אחד(‬
‫מיקום || מיקום זוויתי‬
‫תנועה סיבובית )ציר קבוע(‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ or‬‬
‫מהירות || מהירות זוויתית‬
‫‪dx‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫תאוצה || תאוצה זוויתית‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫החוק השני‬
‫סטטיקה‬
‫‪ F  ma‬‬
‫‪  I‬‬
‫‪F  0‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪I‬‬
‫‪m v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסה || מומנט התמד‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫עבודה‬
‫‪P=mv‬‬
‫חוק שני כללי‬
‫‪dP‬‬
‫‪dt‬‬
‫מתקף || מתקף זוויתי‬
‫חוק שימור התנע || חשת"ז‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  d‬‬
‫‪ Fx dx‬‬
‫תנע || תנע זוויתי )ת"ז(‬
‫מתקף ותנע‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪  dt‬‬
‫‪ F dt‬‬
‫המתקף הכולל הפועל על גוף =‬
‫המתקף הזוויתי הכולל = שינוי‬
‫שינוי התנע הקווי של הגוף‬
‫בת"ז‬
‫אם סכום הכוחות החיצוניים על‬
‫אם סכום המונטים החיצוניים על‬
‫מערכת מתאפס אז התנע הקווי‬
‫מערכת מתאפס אז התנע הזוויתי‬
‫נשמר‬
‫נשמר‬
‫קבוע = ‪m1v1  m 2 v 2  ‬‬
‫חישוב מומנט כוח‪  r F sin  :‬‬
‫‪L= I ω‬‬
‫‪,‬‬
‫קבוע = ‪L1  L 2  ‬‬
‫כוח כפול זרוע ‪ ‬‬
‫חישוב תנע זוויתי‪L  r P sin   r m v sin  :‬‬
‫תנע כפול זרוע = ‪L‬‬
‫‪,‬‬
‫‪51‬‬
‫‪     ‬‬
‫למעשה‪ ,‬גם מומנט כוח וגם תנע זוויתי הם גדלים ווקטוריים‪ , L  r  P ,   r  F .‬קיימים מקרים‬
‫שחייבים לקחת בחשבון את האופי הווקטורי של גדלים אלו‪ ,‬למשל‪ ,‬בתיאור תנועה של סביבון‪ .‬בקורס אנחנו‬
‫נסתפק בהסתכלות על גודל הווקטור‪ ,‬ואת הכיוון נגדיר בהתאם לכיוון הסיבוב – עם או נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫מומנט התמד‪:‬‬
‫מומנט התמד‬
‫גוף‬
‫)הציר עובר במרכז המסה של‬
‫הגוף(‬
‫חישוב מומט התמד כללי ‪, I   m i ri‬‬
‫‪2‬‬
‫גליל מלא )דיסקה(‬
‫‪MR 2 / 2‬‬
‫חלול דק )חישוק‪ ,‬טבעת(‬
‫‪MR 2‬‬
‫כדור מלא‬
‫‪(2 / 5)MR2‬‬
‫מוט ישר דק‬
‫‪ML2 / 12‬‬
‫משפט שטיינר ‪I  I CM  Md 2‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(6.1‬‬
‫המערכת הבאה מורכבת מגלגלת )מלאה ואחידה( שרדיוסה ‪ ,R‬מסתה ‪ 4=M‬ק"ג‪,‬‬
‫ומ‪ 2 -‬מסות ‪ m2=2kg ,m1=1kg‬הקשורות בחוט‪ .‬החוט לא מחליק על הגלגלת‬
‫ואין חיכוך בציר הסיבוב‪ .‬מהי מהירות ‪ m1‬ו‪ m2 -‬לאחר תזוזה של ‪ 2‬מ' ממנוחה?‬
‫‪m2‬‬
‫מומנט התמד של הגלגלת נתון בנוסחה ‪[ 8 m / s ] . MR 2 / 2‬‬
‫כדאי למצוא את התאוצה )‪ 2‬מ\ש‪ (2‬וממנה לחשב את המהירות ) ‪( v 2  v 0  2 a y‬‬
‫‪2‬‬
‫אבל הכי פשוט – שיקולי אנרגיה‪.‬‬
‫)‪(6.2‬‬
‫כוח משיקי קבוע של ‪ 100‬ניוטון פועל על גלגלת אחידה בעלת רדיוס ‪ 0.2‬מ'‪,‬‬
‫כמתואר בציור‪ .‬בעת סיבוב הגלגלת )סביב ציר הקבוע למקומו( פועל עליה כוח‬
‫‪52‬‬
‫‪F‬‬
‫‪m1‬‬
‫חיכוך כזה שגודל מומנט‪-‬הכוח שלו ‪ . 5 Nm‬הגלגלת מסתובבת בתאוצה זוויתית קבועה של ‪100‬‬
‫רדיאן\שניה‪.2‬‬
‫)‪(6.3‬‬
‫‪2‬‬
‫מהו מומנט ההתמד של הגלגלת? ] ‪[ 0.15 kg m‬‬
‫)‪(6.4‬‬
‫מהי מסת הגלגלת? ]‪ 3.75‬ק"ג[‬
‫)‪(6.3‬‬
‫מוט אחיד באורך ‪ L‬ובעל מסה ‪ M‬תלוי אופקית כשהוא מחובר בצידו האחד לציר הקבוע בקיר‬
‫ובצידו האחר קשור לחוט אנכי חסר מסה‪ .‬נתון מומנט ההתמד של המוט ביחס לציר ‪. ML2 / 3 :‬‬
‫הזניחו חיכוך עם הציר‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המתיחות בחוט? מהו הכוח שהמוט מפעיל על הציר?‬
‫] ‪[ mg / 2‬‬
‫סעיף א'‬
‫ב‪ .‬החוט נקרע‪ .‬מהי תאוצתו הזוויתית של המוט ברגע הראשון‬
‫‪g‬‬
‫)כלומר בזווית ‪[ 3 g / 2 L ] (θ = 0‬‬
‫ג‪ .‬מהי תאוצת מרכז המסה ברגע הראשון? ] ‪[ 3 g / 4‬‬
‫ד‪ .‬מהי תאוצת נקודת קצה המוט ברגע הראשון? ] ‪[ 3 g / 2‬‬
‫ה‪ .‬מהי המהירות הזוויתית המקסימלית של המוט )‪] ? (θ =900‬‬
‫סעיפים ב' ו‪-‬ג'‬
‫‪[ 3g / L‬‬
‫ו‪ .‬מהו הכוח שהציר מפעיל על המוט כאשר המוט במצב אנכי‬
‫)‪ ?(θ =900‬רמז‪ :‬מרכז המסה מבצע תנועה מעגלית ברדיוס‬
‫‪θ‬‬
‫‪[5mg/2] .L/2‬‬
‫)‪(6.4‬‬
‫על ציר גלגלת שרדיוסה החיצוני ‪ r = 1 m‬ומסתה ‪ 2‬ק"ג מופעל מומנט סיבובי ע"י מנוע חשמלי‬
‫‪ .   20 Nm‬סביב הגלגלת מלופף חוט בו תלויה משקולת שמסתה ‪ .1kg‬המנוע מסובב את‬
‫הגלגלת והמשקולת עולה‪ .‬הגלגלת מתחילה להסתובב ממנוחה‪ .‬ניתן להזניח את השפעת החיכוך‬
‫בציר הגלגלת‪ .‬הגלגלת – דסקה אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת המשקולת? ]‪ 5‬מ\ש‪[2‬‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הגלגלת לאחר ‪ 2‬סיבובים שלמים? מהי האנרגיה הקינטית שלה?‬
‫] ‪ 31.4 , 11.2 rad / sec‬ג'אול[‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬פתור את אותה שאלה כאשר עבור מומנט סיבובי של המנוע התלוי בזמן לפי ‪.   20  0.5t‬‬
‫] ] ‪[SI‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[ 7.685 rad / sec , 5  0.25t‬‬
‫‪53‬‬
‫)‪(6.5‬‬
‫משפט שטיינר‬
‫א‪ .‬חשב את מומנט ההתמד של מוט המסתובב סביב ציר העובר בקצהו )ראה שאלה ‪.(2‬‬
‫השתמש במשפט שטיינר ובנוסחה למומנט התמד של מוט יחסית לציר העובר במרכזו ‪:‬‬
‫‪ML2 / 12‬‬
‫ב‪ .‬מהו מומנט ההתמד של המוט אם הציר עובר במרחק ‪L/4‬‬
‫מקצה המוט?‬
‫ג‪ .‬חשב את מומנט ההתמד של גוף המורכב ממוט שאורכו ‪L‬‬
‫ומסתו ‪ ,M‬ובקצהו מחוברת דיסקה שרדיוסה ‪ R‬ומסתה ‪.M‬‬
‫נתון כי הציר נמצא במרחק ‪ L/4=R‬מקצה המוט‬
‫)‪(6.6‬‬
‫חישוב מומנט אינרציה על ידי אינטגרציה‪:‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את מומנט ההתמד של דיסקה בעלת רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ M‬סביב ציר העובר במרכזה ומאונך‬
‫למשטחה‪ .‬הדרכה‪ (1) :‬ניקח אלמנט מסה ‪ dm‬בצורת טבעת ברדיוס ‪ r‬ועובי ‪ . dr‬נחשב את‬
‫אלמנט המסה ‪ . dm‬יש לבטא אותו בעזרת ‪ ,M‬המסה הכללית של הדיסקה‪ (2) .‬נבטא את מומנט‬
‫ההתמד ‪ dI‬של טבעת זו )‪ (3‬נבצע אינטגרל על התוצאה שקיבלת בסעיף הקודם על מנת למצוא‬
‫את סה"כ מומנט ההתמד של הדיסקה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מוט באורך ‪ L‬שצפיפותו ליחידת אורך ‪ λ‬משתנה לפי‪ k ) λ x   kx :‬הוא קבוע נתון(‬
‫מסתובב סביב ציר המאונך לו ועובר דרך קצהו‪ ,‬הנמצא ב ‪ . x  0‬חשב את מומנט ההתמד של‬
‫‪kL4‬‬
‫הגוף סביב ציר זה‪) .‬תשובה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(I ‬‬
‫גלגול ללא החלקה‬
‫מצב של גלגול ללא החלקה הוא מצב שבו נקודת המגע של הגוף עם‬
‫המשטח לא מחליקה ביחס למשטח עליה היא נמצאת )מהירותה‬
‫הרגעית היא אפס(‪ .‬במקרה זה אפשר למצוא קשר בין התנועה הסיבובית של הגוף לבין תנועתו הקווית‪ .‬אם‬
‫הגוף נע על משטח ישר אז כאשר הוא מבצע סיבוב שלם )‪ 2π‬רד'( מרכז המסה יזוז מרחק של ‪ ,2πR‬כאשר‬
‫‪ R‬הוא הרדיוס שסביבו מסתובב הגוף‪ .‬מכאן ש‪-‬‬
‫‪a cm  R  vcm  R  x cm  R‬‬
‫‪54‬‬
‫‪L/4‬‬
‫קשר זה מתקיים גם כאשר הגוף נע ללא החלקה על משטח עקום )כמו מסילה מעגלית(‪.‬‬
‫בפתרון בעיות של גלגול ללא החלקה נשתמש ב‬
‫) ‪(1‬‬
‫) ‪(2‬‬
‫‪ F  ma‬‬
‫‪  I‬‬
‫‪cm‬‬
‫)‪a cm  R (3‬‬
‫כוח החיכוך הפועל על הגוף )בנקודת המגע( הוא כוח חיכוך סטטי‪ .‬כוח זה לא מבצע עבודה על הגוף ולכן ניתן‬
‫להשתמש בחוק שימור האנרגיה באופן המוכר‪.‬‬
‫האנרגיה הקינטית של הגוף ניתנת לכתיבה כסכום של שני ביטויים‪ :‬אחד המתאר את תנועת מרכז המסה של‬
‫‪I cm  2‬‬
‫‪M vcm 2‬‬
‫הגוף )‬
‫(‪ ,‬כלומר‬
‫( והשני המתאר את תנועתו הסיבובית של הגוף סביב מרכז המסה )‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M v cm 2 I cm  2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ek ‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(6.7‬‬
‫חוט קשור למרכז גלגל ונמשך בכוח ‪ .F‬הגלגל מבצע גלגול ללא החלקה‪ .‬נתונים‪) M :‬מסת הגלגל(‪I ,‬‬
‫)מומנט ההתמד של הגלגל(‪) R ,‬רדיוסו(‪.F ,‬‬
‫א‪ .‬מהו כיוון כוח החיכוך הפועל על הגלגל?‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת מרכז המסה של הגלגל?‬
‫ג‪ .‬מהו גודל כוח החיכוך?‬
‫)‪(6.8‬‬
‫גליל מלא מתגלגל ללא החלקה במורד מדרון ששיפועו ‪.β‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגליל לאחר שירד גובה ‪ H‬ממצב של מנוחה‪ .‬יש לפתור בשתי דרכים‪:‬‬
‫‪ I‬על ידי חישוב תאוצת מרכז המסה ושימוש בנוסחאות קינמטיקה‪.‬‬
‫‪ II‬על ידי שימוש בחוק שימור האנרגיה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה שכדי שיתקיים גלגול ללא החלקה על המישור מתחייב שמקדם החיכוך‬
‫‪1‬‬
‫הסטטי בין המישור לגליל גדול מ‪tan  -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪55‬‬
‫)‪(6.9‬‬
‫גלגל בעל מסה ‪ M‬מורכב משני גלילים‪ ,‬אחד שרדיוסו ‪ R‬והשני שרדיוסו ‪ .R1 = R / 2‬הגלילים‬
‫מודבקים כך שמרכזם מתלכד‪ .‬מלפפים חוט מסביב לגלגל שרדיוסו ‪ ,R1‬ובזמן ‪ t = 0‬מתחילים‬
‫למשוך בחוט בכוח הגדל כתלות בזמן ‪ b) F = bt‬הוא קבוע חיובי ו‪ t-‬הזמן(‪ .‬הגלגל מתגלגל ללא‬
‫החלקה‪ .‬מומנט ההתמד של הגלגל )ביחס למרכזו( הוא ‪ k ,I = k M R2‬הוא קבוע חסר יחידות‪.‬‬
‫נתונים‪.b ,k ,R ,M :‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת מרכז הגלגל כפונקציה‬
‫‪F‬‬
‫‪R1‬‬
‫של הזמן?‬
‫‪R‬‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הגלגל‬
‫כאשר ‪? F=Mg‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪ (6.10‬גוף שמסתו ‪ m=3kg‬קשור לחוט המלופף על גלגלת )גליל מלא ואחיד(‪ .‬מסת הגלגלת ‪M=6kg‬‬
‫‪.‬‬
‫ורדיוסו ‪ .R=0.2m‬הגוף ‪ m‬מתחיל לנוע ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת הגוף ‪[g/2] ?m‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת נקודה ‪ A‬הנמצאת במרחק ‪ 0.15‬מ' ממרכז הדיסקה?‬
‫ג‪ .‬מצא‪/‬י‪ ,‬על סמך חוק שימור האנרגיה‪ ,‬את מהירות הגוף ‪ m‬לאחר שהגליל מבצע סיבוב שלם סביב הציר‪.‬‬
‫]‪ 3.51‬מ\ש[‬
‫)‪ (6.11‬מוט אחיד באורך ‪ L‬ומסה ‪ m‬מחובר לציר בקצהו‪ .‬משחררים את המוט ממנוחה במצב אופקי )‪.(φ=0‬‬
‫א‪ .‬מהי התאוצה הזוויתית של המוט כתלות בזווית ‪[3gcosφ/2L] ?φ‬‬
‫‪φ‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת נקודה בקצה מוט במצב ההתחלתי? ]‪ .3g/2‬גדול מ‪[!g-‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותו הזוויתית כתלות ב‪[ω2=3g sinφ /L] ?φ-‬‬
‫)‪ (6.12‬גוף נקודתי ‪ m=0.2kg‬מודבק לגליל שמסתו ‪ M=0.8kg‬ורדיוסו ‪ .R=0.14m‬המערכת‬
‫מתחילה כך שמסה ‪ m‬נמצאת בנק' ‪ (φ=0) A‬במנוחה‪ .‬מסיטים את המסה ‪ m‬הסטה מזערית‬
‫‪A‬‬
‫ומשחררים‪ .‬מהי התאוצה המשיקית ומהירות הגוף ‪ m‬בזווית ‪) φ=π/4‬נק' ‪2.31] ?(B‬‬
‫‪φ‬‬
‫מ\ש‪ 0.8 ,2‬מ\ש[‬
‫‪M‬‬
‫‪56‬‬
‫‪m‬‬
‫)‪ (6.13‬המערכת בציור מרימה את המסה ‪ .m=1kg‬המערכת מורכבת משתי דיסקות‪ ,‬מסת‬
‫כל אחת ‪ M=0.5kg‬ורדיוס כל דיסקה ‪ ,R2=0.15m‬וכן מגליל שרדיוסו‬
‫‪M‬‬
‫‪ R1=0.08m‬ומסתו ‪ .M/2‬מנוע מפעיל על המערכת מומנט כוח קבוע‪ .‬מה צריך‬
‫להיות מומנט הכוח שמפעיל המנוע על מנת שגוף ‪ m‬יעלה‪:‬‬
‫א‪ .‬במהירות קבועה? ]‪ 0.784‬נ' מ'[‬
‫‪M‬‬
‫‪M/2‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬בתאוצה קבועה ‪ 0.922] ?a=0.6m/s2‬נ' מ'[‬
‫)‪ (6.14‬כוח אנכי ‪ [mks] F=3t‬מושך חוט המגולגל על גלגלת‪ ,‬כמוראה‪ .‬הגלגלת מורכבת משני גלילים‬
‫מלאים ונתון ‪ I0) R1=0.1m, R2=0.2m, I0=0.05kg m2‬הוא מומנט ההתמד סביב מרכז הגלגלת‪,‬‬
‫‪ R1‬ו‪ R2-‬רדיוסי הגלילים(‪ .‬אל חוט המגולגל סביב הגליל הקטן מחוברת מסה ‪ .m=3kg‬נתונים‬
‫מקדמי החיכוך בינה לבין השולחן עליו היא נמצאת ‪ .μs=0.5 ,μk=0.2 :‬ב‪ t=0-‬הגלגלת במנוחה ו‪F-‬‬
‫מתחיל לפעול‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו ‪ F‬המינימלי שיזיז את ‪ ?m‬אחרי כמה‬
‫זמן מושג כוח כזה? ]‪ 7.5‬ניוטון‪ 2.5 ,‬שניות[‬
‫ב‪ .‬מהי התאוצה כתלות בזמן מרגע שהחלה‬
‫‪F‬‬
‫התנועה? ]‪ t ,3(t-1)/4‬בשניות‪ ,‬התאוצה ב‪-‬‬
‫‪m/s2‬‬
‫ג‪ .‬כמה סיבובים הגלגלת מבצעת עד ‪ 134.3] ?t=10sec‬סיבובים‪ ,‬לא לשכוח שהתנועה מתחיל‬
‫מזמן ‪ 2.5‬שניות[‬
‫ד‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת על היקף הגליל הגדול‪ .‬מהי מהירות הנקודה ‪ A‬בזמן הנ"ל? ]‪ 59.1‬מ\ש[‬
‫)‪ (6.15‬גלגל )גליל מלא( מתגלגל ממישור משופע בשיפוע ‪ 300‬ללא החלקה‪ .‬רדיוסו ‪ R‬ומסתו ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצתו? )‪(g/3‬‬
‫ב‪ .‬גליל ריק בעל אותו רדיוס ומסה מתגלגל ללא החלקה מאותו גובה )ומאותה‬
‫מהירות התחלתית(‪ .‬מי יגיע קודם? )מה מלא?(‬
‫)‪ (6.16‬משולש שווה צלעות בנוי מ‪ 3-‬מוטות דקים אחידים‪ .‬מסת כל מוט ‪ m‬ואורכו ‪ .L‬המשולש תלוי‬
‫מקודקודו על ציר )בעל חיכוך זניח(‪.‬‬
‫ציר‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את מרחק מרכז המסה מהציר‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את מומנט ההתמד של המשולש סביב הציר‪.‬‬
‫ג‪) .‬יש לפתור את הסעיף לאחר לימוד תנועה הרמונית פשוטה( מסיטים את המשולש בזווית‬
‫‪57‬‬
‫קטנה ומשחררים ממנוחה‪ .‬תוך כמה זמן מרגע השחרור הגוף יגיע למהירות זוויתית מקסימלית?‬
‫)לסעיף זה יש להשתמש בקירוב של תנועה הרמונית(‬
‫ד‪ .‬מהי המהירות הזוויתית המקסימלית של הגוף?‬
‫)‪ (6.17‬דיסקה תלויה לציר חסר חיכוך הנמצא בקצה הדיסקה‪ .‬הזווית ‪ ‬היא זווית הסטיה של הדיסקה ממצב‬
‫שיווי המשקל‪ .‬מסיטים את הדיסקה ב‪) 900 -‬משיווי משקל‪ ,‬כלומר‪ (0 = 900 ,‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצתה הזוויתית של הדיסקה ברגע השחרור? לאיזו נקודה על הדיסקה יש‪ ,‬ברגע‬
‫השחרור‪ ,‬את התאוצה הגדולה ביותר? מהי תאוצה זו?‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצתה הזוויתית כתלות ב‪? -‬‬
‫ג‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הדיסקה כתלות ב‪ ?-‬באיזו זווית המהירות היא מקסימלית? מהי‬
‫המהירות הזוויתית המקסימלית של הדיסקה?‬
‫‪2‬‬
‫)‪ (6.18‬על גלגלת ‪ A‬בעלת רדיוס של ‪ 0.3‬מ' ומומנט התמד )אינרציה( ‪ I  1 kg  m‬מלופף חוט‪ .‬בקצהו‬
‫השני קשור החוט אל גוף ‪ B‬שמסתו ‪ 0.5‬ק"ג‪ .‬הגוף ‪ B‬קשור לקפיץ בעל קבוע כוח של ‪50 N / m‬‬
‫)ראה תרשים(‪ .‬ציר הסיבוב של הגלגלת והמישור המשופע הם‬
‫‪A‬‬
‫חסרי חיכוך והחוט אינו מחליק על הגלגלת‪ .‬מסובבים את הגלגלת‬
‫‪B‬‬
‫נגד כיוון השעון עד שהקפיץ מתארך בשיעור ‪ 0.2‬מ' יחסית למצבו‬
‫הרפוי‪ ,‬ואז משחררים את המערכת ממצב מנוחה‪.‬‬
‫‪37 ‬‬
‫א‪ .‬מה תהיה המהירות הזוויתית של הגלגלת‪ ,‬ברגע בו הקפיץ יחזור למצבו הרפוי?‬
‫ב‪ .‬מהו סוג התנועה שיבצע הגוף ‪ B‬מרגע שחרור המערכת עד למצב שבו הקפיץ במצב הרפוי‬
‫)כתוב חוק שני של ניוטון עבור גוף ‪. (B‬‬
‫)‪ (6.19‬אל שתי דיסקות צמודות‪ ,‬האחת ברדיוס ‪ 20‬ס"מ ומסה של ‪ 2‬ק"ג‪ ,‬והשנייה ברדיוס של ‪ 10‬ס"מ‬
‫ומסה של ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬מחברים שתי מסות‪ .‬אל הדיסקה הגדולה מחברים מסה של ‪ 2‬ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המסה שיש לחבר אל הדיסקה הקטנה כדי שהמערכת תהיה בשיווי משקל? ]‪ 4‬ק"ג[‬
‫ב‪ .‬מהי התאוצה של כל אחת מהמסות‪ ,‬אם המסה המחוברת גדולה פי ‪ 2‬מהמסה‬
‫שחושבה בסעיף א'?‬
‫ג‪ .‬מהו הכוח שמפעיל בכל אחד מהמקרים ציר החיבור על הדיסקות?‬
‫‪58‬‬
‫‪2 kg‬‬
‫מתקף זוויתי ותנע זוויתי‬
‫תנע זוויתי של גוף נקודתי‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪L  r  p  mr v‬‬
‫תנע זוויתי של גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית ‪ ‬סביב ציר קבוע‬
‫‪L  I‬‬
‫מתקף זוויתי‬
‫‪‬‬
‫‪J    dt‬‬
‫משפט מתקף זוויתי‪-‬תנע זוויתי‪ :‬המתקף הזוויתי הכולל שווה לשינוי בתנע הזוויתי של הגוף‬
‫חוק שימור התנע הזוויתי‪ :‬כאשר המתקף הזוויתי של מערכת מתאפס )משמע שסכום המונטים החיצוניים על מערכת‬
‫מתאפס( התנע הזוויתי הכולל של המערכת נשמר‪.‬‬
‫)‪ (6.20‬ילד שמסתו ‪ 25‬ק"ג יושב בקצה קרוסלה נייחת שרדיוסה ‪1.5‬‬
‫מטר‪ .‬מומנט ההתמד של הקרוסלה )ללא הילד( סביב ציר העובר‬
‫במרכזה הוא ]‪ .120 [kg m2‬הילד תופס כדור שמסתו ‪ 0.5‬ק"ג‬
‫הנזרק אליו מחברו‪ .‬רגע לפני שהכדור נתפס מהירותו היא ‪16‬‬
‫מטר לשניה וכיוונה נוטה בזווית של ‪ 37‬מעלות למשיק לקרוסלה‬
‫‪v0‬‬
‫‪370‬‬
‫)ראה‪/‬י ציור(‪ .‬הניחו כי מימדי הילד זניחים )ילד נקודתי(‪.‬‬
‫א‪ .‬מה המהירות הזוויתית של הקרוסלה לאחר תפיסת הכדור?‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות המשיקית של הילד לאחר תפיסת הכדור?‬
‫ג‪ .‬מהו המתקף הזוויתי הכולל שפעל על הילד? מי הפעיל אותו?‬
‫ד‪ .‬מהו המתקף הזוויתי שהפעיל הכדור על הילד?‬
‫)‪ (6.21‬לכדור ביליארד בעל מסה ‪ m‬ורדיוס ‪ R‬הנמצא במנוחה מוענק מתקף קווי בשיעור ‪ J‬בגובה ‪ h‬מעל שולחן‬
‫הביליארד כמוראה בתרשים‪ .‬נתונים‪. m, J , h, R :‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירותו הקווית של כדור הביליארד לאחר שהוענק המתקף הקווי?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירותו הזוויתית של כדור הביליארד לאחר שהוענק לו המתקף ?‬
‫ג‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ h‬יתחיל כדור הביליארד להתגלגל ללא החלקה ?‬
‫‪59‬‬
‫‪R‬‬
‫‪J‬‬
‫‪h‬‬
‫‪g‬‬
‫)‪ (6.22‬מוט אחיד שמסתו ‪ 3 kg‬ואורכו ‪ 0.5m‬תלוי בקצהו לציר קבוע‬
‫)חיכוך זניח(‪ .‬קליע שמסתו ‪0.01kg‬‬
‫נע אופקית במהירות‬
‫‪ v 0  100 m / sec‬לעבר המוט‪ .‬הקליע פוגע בקצה המוט וניתז‬
‫‪y‬‬
‫ממנו כלפי מטה במהירות השווה למחצית המהירות המקורית‪ .‬זמן‬
‫ההתנגשות קצרצר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהי המהירות הזוויתית של המוט מיד לאחר ההתנגשות?‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי הזווית המכסימלית אליה יגיע המוט?‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו ווקטור המתקף שהפעיל המוט על הקליע?‬
‫‪vo‬‬
‫‪Vo/2‬‬
‫)‪ (6.23‬אדם שמסתו ‪ m‬נמצא במנוחה במרכז דיסקה שרדיוסה ‪ R‬ומסתה ‪ M‬המסתובבת במהירות זוויתית‬
‫‪ .ω0‬האדם מתחיל לנוע לכיוון קצה הדיסקה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הזוויתית של הדיסקה כפונקציה של המרחק ‪ r‬של האדם ממרכז הדיסקה?‬
‫ב‪ .‬מהי כמות העבודה שהשקיע האדם בהתקדמותו‪ ,‬כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז הדיסקה?‬
‫)‪ (6.24‬חרק שמסתו ‪ m‬נמצא במנוחה בקצה תקליט שרדיוסו ‪ R‬ומסתו ‪ M‬המסתובב במהירות זוויתית ‪.‬‬
‫החרק מתחיל לנוע לכיוון מרכז התקליט‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של התקליט כפונקציה של המרחק ‪ r‬של החרק ממרכז התקליט?‬
‫ב‪ .‬מהי כמות העבודה שהשקיע החרק בהתקדמותו‪ ,‬כפונקציה של המרחק שלו ‪ r‬ממרכז‬
‫התקליט?‬
‫)‪ (6.25‬סחרחרה בצורת דיסקה שמסתה ‪ M  100Kg‬ורדיוסה ‪ R  5m‬נמצאת במנוחה‪ .‬סטודנט‬
‫שמסתו ‪ m = 70 Kg‬רץ לאורך קו המשיק לסחרחרה בשפתה החיצונית וקופץ עליה במהירות‬
‫‪.v 2 m/s‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הסטודנט והסחרחרה לאחר נחיתת הסטודנט?‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות הסחרחרה אם הסטודנט יעבור למרכזה?‬
‫)הנחת השאלה היא שסטודנט הוא גוף נקודתי‪(...‬‬
‫‪60‬‬
‫‪x‬‬
‫פרק ז'‪ :‬תנועה הרמונית‬
‫תנועה מחזורית‬
‫תנועה מחזורית מאופיינת על ידי זמן מחזור ‪ .T‬אם נסתכל על הגוף ברגע התחלתי כלשהו‪ ,‬הרי שלאחר זמן ‪T‬‬
‫יחזור לנקודת ההתחלה וישחזר את תנועתו בדיוק‪ .‬תנועת כדוה"א סביב השמש היא תנועה מחזורית עם זמן‬
‫מחזור של שנה אחת‪ .‬כרגע נמצא הכדור בנקודה מסוימת ביחס לשמש‪ ,‬נע במהירות מסוימת מסביב לשמש‪.‬‬
‫בעוד שנה יחזור לאותו המצב בדיוק )מיקום ומהירות( ויתחיל מחדש‪ ,‬כל שנה משחזר בדיוק את תנועתו‬
‫מהשנה שעברה‪.‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‬
‫תנועה הרמונית היא תנועה מחזורית מיוחדת‪ .‬מה שמיוחד בה‪ -‬הגורם לתנועה הוא כוח מחזיר שגודלו‬
‫פרופורציוני למרחק מנקודת שיווי המשקל )תחשבו על קפיץ כדוגמה(‪ .‬במקרה כזה התנועה תתואר על ידי‬
‫פונקציה הרמונית – למשל פונקצית סינוס‪ .‬כך נראית פונקצית סינוס‪:‬‬
‫‪sinq ‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4p‬‬
‫‪7p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-1.0‬‬
‫וכך נראית פונקצית קוסינוס‪:‬‬
‫‪cosq ‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4p‬‬
‫‪7p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪- 0.5‬‬
‫‪- 1.0‬‬
‫נכון שהן נראות אותו הדבר? מה בכל זאת ההבדל? הקוסינוס זז אחורה ב‪ ./2-‬ככה שבזווית אפס הקוסינוס‬
‫שווה לאחד והסינוס שווה לאפס )בדוק!(‪.‬‬
‫‪61‬‬
‫אם אנחנו מתעסקים בתנועה אז הציר האופקי הוא ציר הזמן והציר האנכי מיקום הגוף‪ .‬זמן אפס מציין בדרך‬
‫כלל את הרגע בו התחלנו למדוד את התנועה‪ ,‬אותו רגע בו לחצנו על הסטופר‪ .‬הקוסינוס והסינוס מציינים‪ ,‬אם‬
‫כן‪ ,‬את אותה התנועה‪ .‬רק שבמקרה של קוסינוס לחצנו על הסטופר כאשר הגוף הכי רחוק מנקודת שיווי‬
‫המשקל ובמקרה של הסינוס לחצנו על הסטופר כאשר הגוף בדיוק חלף על פני נקודת שיווי המשקל ‪.x=0‬‬
‫שימו לב שמתקיים ‪ sin(    / 2)  cos ‬שזה אומר שאת שתי הפונקציות למעלה אפשר להציג בעזרת‬
‫פונקצית סינוס אם מוסיפים לה את ה‪) /2-‬לא חייבים את הקוסינוס(‪.‬‬
‫מה אם לחצנו על הסטופר בנקודה אחרת כלשהי‪ ,‬למשל כאשר הגוף בדיוק עבר חצי מהדרך בין נקודת שיווי‬
‫המשקל לבין הנקודה הרחוקה ביותר משיווי משקל?‬
‫אז עדיין מדובר בגרף סינוס רק שהוא לא זז ‪ /2‬אלא פחות‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪6‬‬
‫‪sin q +‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4p‬‬
‫‪7p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪- 0.5‬‬
‫‪- 1.0‬‬
‫בציור רואים את הגרף )‪ . sin(    / 6‬בזווית אפס הערך של הסינוס הוא חצי‪ ,‬בדיוק באמצע בין ‪ 0‬ו‪...1-‬‬
‫קצת יותר פורמלי‪:‬‬
‫תנועה הרמונית היא תנועה בה מתקיים קשר מיוחד בין תאוצת הגוף לבין ההעתק של הגוף )התזוזה מנקודת‬
‫שיווי משקל‪ ,‬שבה תאוצת הגוף היא אפס(‪ .‬זה הקשר‬
‫‪a   2 x‬‬
‫הפתרון הכללי ביותר למשוואה זו של תנועה הרמונית הוא מצורה‬
‫)‪, x ( t )  A sin(  t  ‬‬
‫כאשר ‪ A‬מסמן את האמפליטודה של הגוף )המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת שיווי המשקל(‪  ,‬הוא‬
‫קשורה לזמן המחזור של התנועה לפי ‪ T  2 / ‬ו‪  -‬נקראת זווית מופע )או זווית פאזה( התחלתית‬
‫וקשורה לתנאי התחלה‪ ,‬אותו הזמן בו לחצנו על הסטופר‪.‬‬
‫למשל הנה הגרף )‪x ( t )  3 sin(  t   / 6‬‬
‫‪62‬‬
‫‪x t   m ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tsec‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫שימו לב שזמן המחזור הוא ‪ 2‬שניות )‪ (T=2/=2 sec‬והאמפליטודה ‪ A‬היא ‪ 3‬מ'‪ .‬הזמן ההתחלתי הוא זה‬
‫בו הגוף נמצא בדיוק באמצע בדרך בין ‪ x=0‬ו‪ .x=3m-‬איך אפשר לדעת את זה? קודם כל רואים בגרף‪ .‬חוץ‬
‫מזה – אם נציב ‪ t=0‬בנוסחת המיקום‪.‬נקבל‪. x (0)  3 cos(  / 6)  1.5 m :‬‬
‫לא לשכוח לעבוד ברדיאנים!‬
‫מהי מהירות הגוף? נגזור את הביטוי )‪ x ( t )  A sin(  t  ‬ונקבל‬
‫)‪v( t )   A cos(  t  ‬‬
‫למשל במקרה של הדוגמה )‪ . v ( t )  3  cos(  t   / 6‬מביטוי זה רואים מיד את מהירותו המקסימלית של‬
‫הגוף ‪ , (3 ) m / s‬ובאופן כללי ‪ . v max   A‬ניתן גם לדעת מהי מהירות הגוף ברגע ההתחלתי‪ .‬נציב ‪:t=0‬‬
‫‪) v(t )  3  cos(  / 6)  (3 3  / 2) m / s  8.16 m/s‬רדיאנים!(‪.‬‬
‫כאשר אנחנו יודעים איפה הגוף נמצא ברגע מסוים )בד"כ ‪ (t=0‬ומהי אז מהירותו‪ ,‬אז ניתן למצוא את ‪ ‬וגם‬
‫את האמפליטודה ‪.A‬‬
‫כדי להבין זאת נסתכל על מקרה בו הגוף מתחיל את תנועתו בחצי מהדרך בין נקודת שיווי המשקל למקסימום‬
‫מרחק‪ ,‬כלומר ‪ . x 0  A / 2‬פתרון אחד אפשרי הוא זו שהוצג לעיל – אז הגוף נע ברגע ההתחלתי קדימה –‬
‫למקום רחוק יותר מנקודת שיווי משקל‪ .‬אבל יתכן גם מקרה ובו הגוף נמצא בזמן התחלתי באותה נקודה אבל‬
‫נע "אחורה" לעבר נקודת שיווי המשקל‪ .‬במקרה כזה הגרף יהיה‬
‫‪63‬‬
‫‪x t   m ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tsec‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫זוהי הפונקציה )‪ , x ( t )  3 sin(  t  5 / 6‬כמעט אותו ביטוי‪ ,‬רק עם זווית מופע אחרת‪ ,‬הקשורה לכך‬
‫שתנאי ההתחלה השתנו )קודם הגוף התחיל לנוע קדימה ועכשיו הוא נע אחורה(‪.‬‬
‫בפועל כאמור אנחנו יודעים את תנאי ההתחלה ומקבלים את זווית המופע )וגם את האמפליטודה(‪:‬‬
‫)‪x(t )  A sin( t  )  x 0  A sin(‬‬
‫)‪v(t )   A cos( t  )  v 0   A cos(‬‬
‫שתי משוואות‪ ,‬שני נעלמים )‪.(  ,A‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(7.1‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 0.9M‬קשור לקפיץ בעל קבוע ‪ k‬ומתנדנד בתה"פ שאמפליטודתה שווה ל‪.A0-‬‬
‫נתונים‪1=M:‬ק"ג‪.A0=0.8m ,k=100N/m ,‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן המחזור של התנועה? )מהי ‪(T=0.596sec) (?‬‬
‫קליע שמסתו ‪ m=0.1M‬נע אופקית לעבר המסה ‪ M‬במהירות ‪ u0=60m/s‬ומתנגש בה התנגשות‬
‫פלסטית )זמן ההתנגשות קצר(‪ .‬ההתנגשות מתרחשת בדיוק כאשר המסה ‪ M‬נעצרה רגעית במצב בו‬
‫הקפיץ היה מתוח מקסימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגופים מיד לאחר ההתנגשות? )‪(6m/s‬‬
‫ג‪ .‬מה תהיה האמפליטודה החדשה של התנועה? )‪(1m‬‬
‫ד‪ .‬רשום את )‪ ,x(t‬כאשר הזמן ‪ t‬נמדד מרגע ההתנגשות )כלומר ‪ t=0‬הוא זמן ההתנגשות(‪.‬‬
‫ה‪ .‬היכן הגוף יימצא לאחר ‪ 2‬שניות? )‪(x = -0.22m‬‬
‫ו‪ .‬מה תהיה אז מהירותו? )‪(v = 4.855m/s‬‬
‫‪64‬‬
‫)‪(7.2‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 2‬ק"ג נתון להשפעת כוח ‪ F=-kx‬עם ‪ .k=100N/m‬מסיטים את הגוף ממצב שיווי משקל‬
‫ל‪ x=0.5m-‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מיקום הגוף‪ ,‬מהירותו ותאוצתו כתלות בזמן?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף המכסימלית ובאיזה ‪ x‬היא מושגת?‬
‫ג‪ .‬מהי התאוצה המכסימלית ובאיזה ‪ x‬היא מושגת?‬
‫ד‪ .‬מתי יגיע הגוף בפעם הראשונה ל‪?x=-0.3m-‬‬
‫ה‪ .‬מהי יהיה גודל וכיוון המהירות של הגוף במצב המתואר בסעיף ד'?‬
‫ו‪ .‬מצאו את המהירות )סעיף ה'( משיקולי אנרגיה‪.‬‬
‫)‪(7.3‬‬
‫מסה ‪ m‬מחוברת לקפיץ שקבועו ‪ k‬ונמצאת על מישור חסר חיכוך‪ .‬מזיזים את המסה מנקודת שיווי‬
‫המשקל לעבר הקיר למרחק ‪ A‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן המחזור של התנועה? כתוב‪/‬כתבי את המיקום והמהירות כפונקציה של הזמן )‪.v(t) ,x(t‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬לאחר שליש זמן מחזור ניתקת מצד ימין של ‪ m‬חתיכה שמסתה‬
‫‪3‬‬
‫כך שלקפיץ שנשארת מחוברת מסה‬
‫‪2‬‬
‫שגודלה ‪ . m‬ידוע כי מהירות שני הגופים מיד אחרי ההתפרקות לא משתנה‪ .‬מהי מהירות הגופים ברגע‬
‫‪3‬‬
‫ההתנתקות?‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬כתבו ביטוי המתאר את )‪) x(t‬של המסה ‪ ( m‬מרגע ההתנתקות ואילך‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫ציר ‪x‬‬
‫)‪(7.4‬‬
‫גוף נע בתנועה הרמונית פשוטה‪ .‬זמן המחזור של התנועה ‪ 4‬שניות‪ .‬מצאו את )‪x(t), v(t), a(t‬‬
‫והאמפליטודה במקרים הבאים‪:‬‬
‫א‪. x ( t  0)  2 m , v( t  0)  0 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x ( t  1sec)  0 , v ( t  1sec)    m / s‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪sec)   2 m , v( t  sec) ‬‬
‫‪m/s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. x(t ‬‬
‫ד‪ .‬הסבר‪/‬בירי את התוצאה שקבלת לגבי )‪ x(t‬בכל המקרים‪ .‬איך זה יתכן?‬
‫)‪(7.5‬‬
‫שתי מסות ‪ m‬ו‪ 2m-‬ושני קפיצים ‪ k‬ו‪ 2k-‬מורכבים כמוראה בשירטוט‪ .‬הקפיצים רפויים ומחוברים אל‬
‫המסות אך המסות אינן מחוברות זו לזו‪ .‬מזיזים את המסה השמאלית )‪ (2m‬מרחק ‪ A‬שמאלה מהמצב‬
‫‪65‬‬
‫שתואר )המסה הימנית נשארת במקומה(‪ ,‬ומשחררים אותה ממנוחה‪ .‬הזניחו חיכוך‪ .‬נתון ‪,m=2kg :‬‬
‫‪A=0.3m ,k=50N/m‬‬
‫א‪.‬‬
‫רשום‪/‬רשמי את משוואת התנועה )‪) a(t) ,v(t) ,x(t‬מיקום‪ ,‬מהירות ותאוצה( לפני שהמסות מתנגשות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בהגיעה חזרה לנקודת ההתחלה המסה ‪ 2m‬מתנגשת התנגשות פלסטית במסה ‪ .m‬מהי האמפליטודה לאחר‬
‫ההתנגשות? מהו זמן המחזור?‬
‫ג‪ * .‬רשום‪/‬רשמי את משוואות התנועה )‪ a(t) ,v(t) ,x(t‬מבלי לשנות את פרמטר הזמן )כלומר השעון‬
‫ממשיך לרוץ מההתחלה(‪.‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2m‬‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫משוואת התנועה‪ :‬בבעיה ובה כוח הרמוני ‪ kx‬וכן כוח גרר הפרופורציוני למהירות הגוף ‪ bv‬נקבל מתוך‬
‫החוק השני שלל ניוטון‪:‬‬
‫‪. ma  kx  bv‬‬
‫משימוש בהגדרת המהירות והתאוצה מתקבל‬
‫‪d 2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ b  kx  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪.m‬‬
‫זוהי משוואה דיפרנציאלית מסדר שני‪ .‬אופי הפתרון למשוואה תלוי בקשר בין המקדמים השונים‪ .‬מפרידים‬
‫בין ‪ 3‬מקרים אפשריים‪:‬‬
‫א‪ . 4km  b 2 .‬במקרה זה הפתרון יהיה מחזורי‪-‬דועך‪ ,‬כלומר התנועה היא תנועה הרמונית פשוטה עם‬
‫אמפליטודה שקטנה אקספוננציאלית‪ .‬תדירות התנודות שונה מתדירות כפי שהיא ללא הריסון‪ .‬הפתרון נקרא‬
‫‪.under-dumped‬‬
‫ב‪ . 4km  b 2 .‬במקרה זה הפתרון יהיה דועך )ללא תנודות(‪ .‬הדעיכה אקספוננציאלית‪ .‬פתרון זה נקרא‬
‫‪.over-dumped‬‬
‫ג‪ . 4km  b 2 .‬גם במקרה זה הפתרון יהיה דועך )ללא תנודות( אבל הביטוי המתמטי המתאר את הדעיכה יהיה‬
‫שונה מהביטוי במקרה ב'‪ .‬מקדם שיכוך ‪ b‬במקרה זה נקרא מקדם שיכוך קריטי‪ ,‬כלומר ‪. bcritical  2 k m‬‬
‫פתרן זה נקרא ‪.critically-dumped‬‬
‫‪66‬‬
‫הפתרון המחזורי ‪ -‬דועך של משוואת התנועה‬
‫‪x  t   A0 e   t sin  t   ‬‬
‫כאשר‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 2   2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ , 0 ‬זוהי תדירות התנודות ללא ריסון‪.‬‬
‫‪ ,   2 f ‬זוהי התדירות כפי שהיא בנוכחות הריסון‪.‬‬
‫‪ ,  ‬אם אין ריסון הרי ‪   0‬ואז אין דעיכה )חוזרים לבעיה של תה"פ(‬
‫‪2‬‬
‫‪    x0 ‬‬
‫‪A0  x0   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪0   x0‬‬
‫‪tan  ‬‬
‫זמן הרפיה ‪ (relaxation time) ‬הזמן שלוקח לאמפליטודה לרדת ל‪ 1/ e  0.368 -‬מערכה ההתחלתי‬
‫כלומר ‪.   1 / ‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(7.6‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 100‬גרם מחובר לקפיץ בעל קבוע ‪ 5‬נ'\מ'‪ .‬הגוף מתנדנד בתנועה הרמונית מרוסנת בעלת‬
‫מקדם ריסון ‪ .b=0.2kg/sec‬ברגע ‪ t = 0‬הגוף נמצא במרחק ‪ 3‬ס"מ ממצב שיווי משקל ומהירותו שווה‬
‫לאפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את משוואת התנועה של הגוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת הגוף לאחר מחזור אחד?‬
‫)‪(7.7‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 1gr‬מחובר לקפיץ בעל קבוע כוח ‪ .0.05N/m‬הגוף מתנדנד בתוך מים‪ ,‬שמקדם הריסון‬
‫‪6‬‬
‫שלהם ‪. b  56  10 Kg / sec‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן ההרפיה של האמפליטודה?‬
‫ב‪ .‬כיצד משפיעה צמיגות המים על זמן המחזור של התנודות?‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר התנודות‪ ,‬שיבצע הגוף‪ ,‬במשך הזמן הדרוש לאמפליטודה לרדת למחצית מערכה‬
‫ההתחלתי‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫)‪(7.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 2‬ק"ג קשור לקפיץ בעל קבוע ‪ .11.2N/m‬על הגוף מופעל כוח ריסון ‪ F  bv‬והגוף‬
‫מבצע תנועה הרמונית מרוסנת‪ .‬נתון כי במשך ‪ 12‬תנודות הגוף מגיע למצב הרפיה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את המקדם ‪.b‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ברגע ההתחלתי הגוף נמצא במרחק ‪ 4‬ס"מ ממצב שיווי משקל )בכיוןן החיובי( ונע במהירות‬
‫‪ 4‬ס"מ\ש'‪ .‬מהי משוואת התנועה של הגוף?‬
‫ג‪ .‬מצא‪/‬י את הזמן בו הגוף עובר את מצב שיווי משקל בפעם הראשונה ובפעם השניה‪.‬‬
‫)‪(7.9‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 1‬ק"ג קשור לקפיץ הנמצא על מישור אופקי‪ .‬נותנים לגוף מכה קצרה כך שהוא מקבל‬
‫מהירות ‪ .1 m/s‬הגוף מתחיל להתנדנד בתדירות של ‪ 1‬הרץ‪ .‬התנודות מרוסנות ע"י כוח חיכוך ‪f  v‬‬
‫) ‪ - v‬מהירות הגוף(‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום את משוואת התנועה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזמן בו האמפליטודה יורדת פי ‪.2‬‬
‫)‪ (7.10‬גוף בעל מסה של ‪ 10‬ק"ג תלוי בקצה הקפיץ‪ .‬קבוע כוח של הקפיץ הוא ‪ 10‬נ'\ס"מ‪ .‬הגוף נע בנוזל אשר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מפעיל על הגוף כוח התנגדות ‪) R  160V‬כאשר ‪ – v‬מהירות(‪ .‬רשום את משוואת התנועה של הגוף‪,‬‬
‫אם ידוע כי ברגע התחלתי הוא נמצא במרחק ‪ 4‬ס"מ מתחת למצב שיווי המשקל ונע מטה במהירות ‪4‬‬
‫ס"מ\שנ'‪.‬‬
‫)‪ (7.11‬למטוטלת מתמטית יש זמן מחזור של ‪ 2 sec‬ואמפליטודה התחלתית של ‪ . 1.50‬לאחר ‪ 10‬תנודות שלמות‬
‫באוויר אמפליטודת התנודה קטנה לזווית של ‪. 1.00‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את זמן ההרפיה של האמפליטודה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כיצד משפיעה צמיגות האוויר על זמן המחזור של התנודה? )ללא שינוי‪ ,‬מקטינה‪ ,‬או מגדילה‪ ,‬פי כמה?(‬
‫)‪ (7.12‬גוף שמסתו ‪ 1gr‬מחובר לקפיץ בעל קבוע כוח ‪ .0.05N/m‬הגוף מתנדנד בתוך מים‪ ,‬שמקדם הריסון‬
‫שלהם התלוי בצמיגות המים ‪.b = 56x10-6Kg/sec‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן ההרפיה של האמפליטודה?‬
‫ב‪ .‬כיצד משפיעה צמיגות המים על זמן המחזור של התנודות?‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר התנודות‪ ,‬שיבצע הגוף‪ ,‬במשך הזמן הדרוש לאמפליטודה לרדת למחצית מערכה‬
‫ההתחלתי‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫)‪ (7.13‬גוף שמסתו ‪ 1Kg‬קשור לקפיץ ומתנדנד ללא ריסון‪ .‬המערכת עושה ‪ 5‬תנודות שלמות תוך ‪ .10 sec‬לאחר‬
‫מכן מכניסים "ריסון" אשר גורם לכוח חיכוך אשר פרופורציוני למהירות התנועה‪ .‬כתוצאה מכך במשך ‪5‬‬
‫תנודות שלמות המשרעת יורדת מי‪ 0.1m-‬עד ‪.0.05m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx d x‬‬
‫‪,‬‬
‫א‪ .‬כתוב משוואת התנועה הדינאמית ובטא מקדמים ליפני איברים‬
‫‪dt dt 2‬‬
‫ו‪ x -‬בצורה‬
‫מספרית )בשיטה ‪.(MKS‬‬
‫ב‪ .‬מצא זמן מחזור של תנועה הרמונית מרוסנת‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את מספר התנודות )החל ממשרעת ‪ (0.1m‬בו תקטן המשרעת עד ‪.0.05m‬‬
‫)‪ (7.14‬גוף נקודתי מבצע תנודות חופשיות מרוסנות עם תדירות ‪ .   25 rad / sec‬ב‪ t = 0 -‬מהירותו‬
‫ההתחלתית של הגוף שווה לאפס והעתקו ממצב שיווי משקל קטן פי ‪ 1.02‬ממשרעתו‪ .‬חשב‪/‬י את מקדם‬
‫הריסון ‪ ‬של המערכת‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫פרק ח'‪ :‬גרביטציה‬
‫חוקי קפלר‬
‫על סמך תצפיות שנאספו על ידי טיכו ברהה‪ ,‬מורו של יוהנס קפלר‪ ,‬מצא קפלר כי בתנועת כוכבי לכת מסביב‬
‫לשמש מתקיימים ‪ 3‬חוקים‪:‬‬
‫‪ (1‬תנועתם היא תנועה סביב השמש‪ ,‬במסלולים אליפטיים שבהם השמש נמצאת באחד ממוקדי‬
‫האליפסה‪.‬‬
‫‪ (2‬וקטור המיקום של כוכב לכת מסוים ביחס לשמש "מטאטא" שטחים שווים בזמנים שווים‪ .‬מכאן‬
‫שכאשר הכוכב מתרחק מהשמש‪ ,‬מהירותו קטֵנה ולהיפך‪.‬‬
‫‪ (3‬אם נסמן ב‪ T-‬את זמן המחזור של כוכב לכת מסוים וב‪ r -‬את רדיוסו )במקרה של תנועה אליפטית ‪,r‬‬
‫יסמן את הרדיוס הממוצע( נקבל כי היחס ‪ T 2 / r 3‬הוא גודל המשותף לכל כוכבי הלכת המקיפים את‬
‫השמש‪.‬‬
‫חוק הגרביטציה של ניוטון‬
‫בהשראת חוקי קפלר מסיק ניוטון את החוק הבא‪ :‬בין כל שתי מסות ביקום פועל כוח משיכה המכוון לאורך‬
‫קו המחבר את הגופים והנתון בנוסחה‬
‫‪‬‬
‫‪m m‬‬
‫)‪F  G 1 2 2 rˆ (1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫גודל הכוח הוא‬
‫‪r2‬‬
‫‪ , G‬כאשר ‪ m1‬ו‪ m 2 -‬הן מסות הגופים‪ r ,‬הוא המרחק בין הגופים‪ ,‬ו‪ G-‬הוא קבוע‬
‫אוניברסלי‪ .‬הקבוע‪ ,‬שנמדד לראשונה על ידי הנרי קוונדיש בשנת ‪ ,1798‬ערכו‬
‫‪m3 / kg s 2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪. G  6.674 10‬‬
‫‪‬‬
‫בכתיבה הווקטורית ‪ r‬הוא ווקטור המיקום של גוף אחד ביחס לשני‪ .‬כיוון הכוח הפועל על הגוף הוא ̂‪,  r‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר הפוך מכיוון ‪ , r‬משמע – כוח משיכה‪.‬‬
‫כאשר הגופים אינם נקודתיים ובעלי סימטריה כדורית )כמו כוכבים רבים(‪ ,‬המרחק ‪ r‬הוא המרחק בין מרכזי‬
‫הכדורים‪.‬‬
‫חוק זה‪ ,‬ביחד עם חוקי ניוטון‪ ,‬מסביר את כל חוקי קפלר‪ ,‬כלומר מתאר את העיקרון של תנועת הכוכבים‬
‫ביקום‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫הקשר בין ‪ G‬ו‪g-‬‬
‫כאשר מסה ‪ m‬נמצאת על פני כדור הארץ‪ ,‬פועל בינה לבין הכדור כוח משיכה בהתאם לנוסחה )‪ ,(1‬עם ‪r‬‬
‫שהוא ‪ , R E‬המרחק בין המסה ומרכז כדור הארץ‪,‬‬
‫‪ME m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪RE‬‬
‫‪ . F  G‬בנוסחה זו ‪ M E‬היא מסת כדור הארץ‪.‬‬
‫כוח זה הוא זה שקראנו לו עד לפרק זה‪ .mg ,‬כלומר מתקיים‬
‫‪ME m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪RE‬‬
‫‪. mg  G‬‬
‫תנועת לווין‬
‫לווין הוא גוף הנע מסביב לגוף אחר בהשפעת כוח הגרביטציה‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר בוחנים את תנועת כדוה"א‬
‫מסביב לשמש‪ ,‬אז כדוה"א הוא הלווין‪ .‬הירח‪ ,‬המסתובב סביב כדור‪-‬הארץ )וכמוהו גם לווינים רגילים(‪ ,‬הוא‬
‫לווין של כדור הארץ‪ .‬בקורס נסתכל רק על מקרים בהם המסלול של הלווין הוא מסלול מעגלי‪ .‬המסלולים‬
‫של רבים מהלוויינים ביקום הם‪ ,‬בקירוב טוב‪ ,‬מסלולים מעגליים‪.1‬‬
‫עבור לווין שמסתו ‪ m‬הנע בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ r‬מסביב לכוכב שמסתו ‪ M‬מתקיים‬
‫‪F  ma‬‬
‫‪M‬‬
‫כלומר ‪ v 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Mm‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪G 2 m‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ . G‬מתוך נוסחה זו והקשרים‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ v   r,  ‬ניתן לקבל‬
‫לווין‬
‫‪Mm‬‬
‫שמסתו ‪F  G 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪T 2 4 2‬‬
‫‪) 3 ‬זהו חוק קפלר מס' ‪ ,3‬עבור מסלולים מעגליים(‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪GM‬‬
‫נתונים מספריים‬
‫מסת כדור הארץ‪5.971024 kg :‬‬
‫מסת השמש‪1.991030 kg :‬‬
‫רדיוס כדור הארץ‪6.38106 m :‬‬
‫רדיוס השמש‪6.95108 m :‬‬
‫מסת הירח‪7.351022 kg :‬‬
‫מרחק כדור הארץ מהשמש‪1.4951011 m :‬‬
‫רדיוס הירח‪1.74106 m :‬‬
‫מרחק הירח מכדור הארץ‪3.84108 m :‬‬
‫‪ 1‬כדור הארץ‪ ,‬למשל‪ ,‬נע סביב לשמש במסלול אליפטי‪ ,‬ומרחקו מהשמש משתנה מ‪ 146 -‬ל‪ 152-‬מיליון ק"מ‪ .‬כלומר בקירוב טוב‬
‫מדובר על מסלול מעגלי עם רדיוס של כ‪ 150-‬מיליון ק"מ‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪M‬‬
‫תרגילים בנושא גרביטציה‬
‫)‪(8.1‬‬
‫נתונות ‪ 4‬מסות שוות‪ 2 ,‬ק"ג כל אחת‪ ,‬המסודרות בקודקודי ריבוע בעל אורך צלע ‪ 0.5‬מ'‪ .‬מהו‬
‫‪9‬‬
‫הכוח הגרביטציוני הפועל על כל מסה? ] ‪ 2.58 10 N‬שכיוונו לאורך אלכסון הריבוע[‬
‫)‪(8.2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪22‬‬
‫חשב את תאוצת הכובד על פני הירח‪ .‬נתונים‪ :‬מסת הירח ‪ 7.3510 kg‬ורדיוסו ‪. 1.7410 m‬‬
‫) ‪g '  1.6 m / s 2‬‬
‫)‪(8.3‬‬
‫‪11‬‬
‫הניחו כי המסלול של כדוה"א מסביב לשמש הוא מסלול מעגלי ברדיוס ‪ . 1.49510 m‬ידוע גם‬
‫זמן המחזור )מהו?(‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת השמש? ) ‪( 1.9910 kg‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות כדוה"א סביב השמש? ]‪ 29.7‬קילומטר בשניה )!([‬
‫)‪(8.4‬‬
‫רוצים להכניס לוויין למסלול מעגלי קבועה סביב כדוה"א כך שיקיף אותו אחת ל‪ 12-‬שעות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו רדיוס המסלול? ]‪ [2.66 107m‬מהו מרחק הלוויין מפני כדור הארץ ?‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי מהירות הלוויין? ]‪[3869 m/s‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית של כוח הגרביטציה הכללי הנ"ל נתונה בנוסחה‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪U (r )    F  d r  G 1 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r ‬‬
‫הנוסחה האחרונה מתאימה למערכת של שתי מסות נקודתיות )או מערכת של שני כוכבים כדוריים‪ ,‬במקרה זה‬
‫‪ r‬יהיה המרחק בין מרכזי הכוכבים‪.‬‬
‫תרגילים )כולל אנרגיה פוטנציאלית(‬
‫)‪(8.5‬‬
‫גוף נופל ממנוחה בגובה ‪ 10‬ק"מ מעל פני כדור הארץ‪ .‬מהי מהירות הפגיעה של הגוף בקרקע?‬
‫הזניחו את השפעת החיכוך עם האוויר‪.‬‬
‫‪72‬‬
‫א‪ .‬יש להשתמש בנוסחה המקורבת ‪ .mgh‬נוסחה זו מזניחה את השינוי בתאוצת הכובד של הגוף‬
‫הנופל‪ ,‬שינוי הנובע מכך שמרחק הגוף ממרכז כדור הארץ איננו גודל קבוע‪[443m/s] .‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף ללא ההזנחה הנ"ל ? ] ‪[ 440.6 m/s‬‬
‫ג‪ .‬חזרו על החישוב למקרה שהגוף נופל מגובה של ‪ 1500‬ק"מ מעל פני כדור הארץ‪.‬‬
‫)‪(8.6‬‬
‫לוויין שמסתו ‪ 750‬ק"ג נע במסלול מעגלי בעל רדיוס של ‪7000‬‬
‫מטאור‬
‫לווין‬
‫ק"מ‪ .‬מטאור שמסתו ‪ 250‬ק"ג נע על קו המשיק למסלול הלוויין‬
‫ומתנגש בו התנגשות פלסטית כך שהגופים נעצרים רגעית )מיד‬
‫לאחר ההתנגשות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הלוויין לפני ההתנגשות? ]‪[7549m/s‬‬
‫כדוה"א‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה האובדת בהתנגשות ? ]‪[8.55 1010J‬‬
‫ג‪ .‬מהי המהירות בה פוגעים הגופים בארץ ? ]‪[3328m/s‬‬
‫)‪(8.7‬‬
‫שני גופים שמסתם ‪ 20‬ק"ג מונחים בטעות בו זמנית כלווינים סביב‬
‫כדוה"א ברדיוס סיבוב של ‪ 107‬מטרים כאשר המרחק בינהם הוא ‪2‬‬
‫‪ 107‬מטרים‪ .‬המהירות ניתנת ללויינים בכיוונים מנוגדים‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫א‪ .‬התנגשות בין הגופים היא אלסטית ומהירה‪ .‬מהו הזמן עד‬
‫להתנגשות הראשונה? מהו הזמן בין כל ‪ 2‬התנגשויות סמוכות?‬
‫ב‪ .‬ההתנגשות בין הגופים היא פלסטית‪ .‬מהי האנרגיה האובדת‬
‫בהתנגשות? מהי המהירות בה פוגעים הגופים בארץ ?‬
‫)‪(8.8‬‬
‫שני כוכבים בעלי מסות ‪ m‬ו‪ M-‬נמצאים במצב נייח כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא ‪ .R‬מנקודה זו‬
‫הם נופלים זה לקראת זה )הכוח היחיד המשפיע עליהם הוא כוח המשיכה ביניהם(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהם חוקי השימור בבעיה?‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת כוכבים זו כתלות ב‪ ,r -‬המרחק בין מרכזי הגופים‬
‫)‪?(r<R‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים כתלות ב‪?r-‬‬
‫ד‪ .‬הניחו שרדיוס הגופים זניח )ביחס ל‪ .(R-‬איזה מרחק יעבור הגוף ‪ M‬עד הפגישה?‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪73‬‬
‫‪M‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪(8.9‬‬
‫כדוה"א מקיף את השמש במסלול מעגלי )בקירוב( שרדיוסו ‪ .149.6 106km‬הירח מקיף את כדוה"א‬
‫‪5‬‬
‫‪22‬‬
‫‪30‬‬
‫במסלול מעגלי שרדיוסו ‪ .3.84 10 km‬מסת השמש ‪ 1.99 10‬ק"ג‪ ,‬ומסת הירח הינה ‪7.17 10‬‬
‫ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו כוח המשיכה החזק ביותר בין השמש לירח?‬
‫ב‪ .‬מהו כוח המשיכה החלש ביותר האפשרי?‬
‫)‪ (8.10‬גוף שמסתו ‪ m‬נמצא על ציר הסימטריה העובר בין שני כוכבים‬
‫‪y‬‬
‫נייחים שמסתם ‪ .M‬הגוף מתחיל את תנועתו מנקודה ‪ y0‬במצב‬
‫מנוחה ומבצע תנועה מחזורית‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪y0‬‬
‫א‪ .‬מהו התנאי שעבורו הגוף יבצע בקירוב תנועה הרמונית?‬
‫ב‪ .‬קבלו את )‪ y(t‬עבור הקירוב של תנועה הרמונית‪ .‬מהו זמן‬
‫המחזור של התנועה?‬
‫ג‪ .‬מהי המהירות המקסימלית של הגוף? פתרו פעם אחת משיקולי‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪a‬‬
‫אנרגיה )ללא הקירוב ההרמוני( ופעם שניה על ידי שימוש‬
‫בתוצאה של סעיף ב'(‪.‬‬
‫)‪ (8.11‬רדיוס של כוכב מספר אחד הוא ‪ R‬ומסתו היא ‪ .M‬הרדיוס של כוכב מספר שתיים הוא ‪ 4R‬ומסתו‬
‫‪ .8M‬נתונים קבוע הכבידה ‪.R ,M ,G‬‬
‫א‪ .‬בהנחה ששני הכוכבים בנויים מחומר בעל צפיפות אחידה ]‪ ρ [Kg/m3‬מהו היחס בין צפיפויות‬
‫‪1‬‬
‫שני הכוכבים‬
‫‪2‬‬
‫?‬
‫‪g1‬‬
‫ב‪ .‬מהו היחס בין תאוצת הכובד על פני הכוכבים‬
‫‪g2‬‬
‫?‬
‫‪V1‬‬
‫ג‪ .‬מהו היחס בין מהירויות המילוט של שני הכוכבים‬
‫‪V2‬‬
‫?‬
‫ד‪ .‬בגובה ‪ R‬מעל פני הכוכב הראשון סובב לווין מספר אחד ובגובה ‪ 4R‬מעל פני הכוכב השני סובב‬
‫‪T1‬‬
‫לווין מספר שתיים‪ .‬מהו יחס זמני המחזור של הלווינים‬
‫‪T2‬‬
‫‪74‬‬
‫?‬
‫‪a‬‬
‫)‪ (8.12‬מוט בעל מסה ‪ M‬ואורך ‪ L‬נמצא בחלל‪ .‬במרחק ‪ D‬ממרכזו יש מסה נקודתית ‪ .m‬מהו כוח‬
‫הגרביטציה שמפעיל המוט על המסה הנקודתית? ידוע כי המוט דק וצפיפות המסה שלו אחידה‪.‬‬
‫)‪ (8.13‬שלושה כוכבים בעלי מסה זהה נעים בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ R‬בהשפעת כוחות‬
‫הגרביטציה שכל גוף מרגיש מצד שני הגופים האחרים‪ .‬בכל רגע הגופים יוצרים‬
‫משלוש שווה צלעות‪.‬‬
‫א‪ .‬אורך הצלע של המשולש?‬
‫ב‪ .‬מהו כוח הגרביטציה שמרגיש כל גוף )כוח רדיאלי(?‬
‫ג‪ .‬באיזו מהירות נעים הכוכבים?‬
‫)‪ (8.14‬שלושה כוכבים בעלי מסה זהה נעים באופן הבא‪ :‬כוכב אחד נמצע במנוחה והשניים‬
‫האחרים נעים בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ .R‬התנועה היא בהשפעת כוחות הגרביטציה‬
‫שכל גוף מרגיש מצד שני הגופים האחרים‪ .‬בכל רגע הגופים נמצאים על קו ישר‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו כוח הגרביטציה שמרגישים הגופים הנעים בתנועה מעגלית?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות נעים הכוכבים?‬
‫‪75‬‬
‫דפי נוסחאות‬
‫אלגברה של ווקטורים‬
‫הצגה קרטזית‬
‫מכפלה סקלרית‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  A B cos  AB  A x B x  A y B y  A z B z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆA  A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫ווקטור יחידה בכיוון של ‪A‬‬
‫מכפלה ווקטורית‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az k‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪A  A  Ax2  Ay2  Az2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ , A  B  A B sin  AB‬הכיוון נקבע על פי כלל יד ימין‬
‫מכפלה וקטורית ברכיבים‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪Az‬‬
‫‪Ay‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  Ax‬‬
‫‪Bz‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Bx‬‬
‫קינמטיקה של גוף נקודתי‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ווקטור מיקום במערכת קרטזית‬
‫ˆ‪r  t   x  t  i  y  t  j  z  t  k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r  r  t2   r  t1 ‬‬
‫העתק‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ r  t   r0  v  t  dt‬‬
‫מיקום ומהירות‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dv‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ v  t   v0  a  t  dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫מהירות ותאוצה‬
‫‪0‬‬
‫תנועה מעגלית‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪  t    0    t  dt‬‬
‫מיקום ומהירות זוויתיים‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪  t   0    t  dt‬‬
‫מהירות ותאוצה זוויתיים‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ar   r ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫תאוצה רדיאלית‬
‫קשר בין גדלים משיקיים וזוויתיים‬
‫) ‪ ‬ברדיאנים(‬
‫‪s R‬‬
‫‪v R‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a  at  ar‬‬
‫תאוצה שקולה‬
‫‪a  at 2  a r 2‬‬
‫גודל תאוצה שקולה‬
‫תנועה יחסית‬
‫מיקום יחסי‬
‫מהירות יחסית‬
‫תאוצה יחסית‬
‫‪76‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪rAB  rA  rB‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪v AB  v A  vB‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪aAB  aA  aB‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪at ‬‬
‫דינמיקה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  ma‬‬
‫החוק השני של ניוטון‬
‫חיכוך קינטי‬
‫‪f k  k N‬‬
‫חיכוך סטטי‬
‫‪f s  s N‬‬
‫חוק הוק )כוח קפיץ(‬
‫‪F  k x‬‬
‫עבודה ואנרגיה‬
‫‪ ‬‬
‫‪WF  A  B    F  dr‬‬
‫‪B‬‬
‫עבודה של כוח‬
‫‪A‬‬
‫הספק ועבודה‬
‫‪t2‬‬
‫‪dW  ‬‬
‫‪ F  v  W   P  t  dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t1‬‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫‪1‬‬
‫‪m v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ek ‬‬
‫משפט עבודה – אנרגיה קינטית‬
‫‪Wtotal  Ek‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית כובדית‬
‫אנרגיה פוטנציאלית אלסטית‬
‫‪U  mgh‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U  k x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ U‬‬
‫עבודת כוחות משמרים‬
‫‪P‬‬
‫‪ Wc‬כאשר ‪ Wc‬היא עבודת הכוח המשמר‬
‫ו‪ U -‬היא האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית‬
‫‪‬‬
‫‪kˆ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ U ˆ U ˆ U‬‬
‫‪F  U   ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ x‬‬
‫אנרגיה מכאנית כוללת‬
‫‪E  Ek  U‬‬
‫משפט עבודה‪-‬אנרגיה מכאנית‬
‫‪E1  Wn.c  E2‬‬
‫כאשר ‪ W n .c‬היא עבודת הכוחות הלא משמרים‪.‬‬
‫מתקף ותנע‬
‫‪‬‬
‫‪ dP‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪J  F dt‬‬
‫הגדרת הכוח כנגזרת התנע‬
‫)החוק השני של ניוטון(‬
‫מתקף של כוח‬
‫‪‬‬
‫‪t1‬‬
‫תנע קווי‬
‫משפט מתקף ‪ -‬תנע קווי‬
‫)החוק השני האינטגרלי(‬
‫תנועת מסה משתנה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p  mv‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪J total  P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m d  Fext  rel dm‬כאשר ‪rel  m m‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫תנועת מרכז המסה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , rcm  m1r1  m2 r2    mi ri‬כאשר ‪M  mi‬‬
‫מיקום מרכז המסה‬
‫‪M‬‬
‫מהירות מרכז המסה‬
‫‪‬‬
‫) ‪ = P‬התנע הכולל של המערכת(‬
‫תאוצת מרכז המסה‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mi vi  pi P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mi‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪v cm‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mi ai Fext‬‬
‫‪‬‬
‫‪acm ‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪77‬‬
‫מכניקה של גוף קשיח‬
‫‪ ‬‬
‫הגדרת מומנט כוח‬
‫‪  r  F ,   r F sin   F r‬‬
‫חוק שני בתנועה סיבובית‬
‫‪   I ‬כאשר ‪ I‬הוא מומנט האינרציה‬
‫הגדרת מומנט האינרציה ) ‪ = r‬מרחק הניצב‬
‫‪I  mi ri 2  r 2 dm‬‬
‫מאלמנט המסה לציר הסיבוב(‬
‫משפט שטיינר‬
‫‪I  I cm  mh2‬‬
‫)משפט הצירים המקבילים(‬
‫כאשר ‪ h‬הוא המרחק בין הצירים המקבילים‪.‬‬
‫אנרגיה קינטית סיבובית‬
‫‪1‬‬
‫‪Ek  I  2‬‬
‫)סיבוב סביב ציר קבוע(‬
‫‪2‬‬
‫אנרגיה קינטית בגלגול‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ek  m v cm‬‬
‫‪ I cm  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬‬
‫תנע זוויתי )תנ"ז(‪ ,‬גוף נקודתי‬
‫‪L  r  P, L  m v r sin   m v r‬‬
‫‪t‬‬
‫מתקף זוויתי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪J   dt‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪J    L‬‬
‫מתקף זוויתי כולל והשינוי בתנ"ז‬
‫מומנטי אינרציה של גופים בעלי התפלגות מסה אחידה‬
‫מוט דק סביב ציר המאונך למוט והעובר במרכזו‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mR 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מוט דק סביב ציר המאונך למוט והעובר בקצה המוט‬
‫דסקה או גליל מלא סביב ציר הסימטריה העובר במרכז הגוף‬
‫טבעת או גליל חלול סביב ציר הסימטריה העובר במרכז הגוף‬
‫‪mR2‬‬
‫כדור מלא סביב ציר העובר במרכז הכדור‬
‫‪2‬‬
‫‪mR 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪m  a 2  b 2  / 12‬‬
‫טבלה מלבנית )ארך צלעות ‪ a‬ו‪ , b -‬הציר עובר במרכז‬
‫המלבן )מפגש אלכסונים( ומאונך לו‬
‫כבידה‬
‫חוק הגרביטציה העולמי‬
‫אנרגיה פוטנציאלית כובדית‬
‫‪‬‬
‫‪G m1m2‬‬
‫‪F ‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪G m1 m2‬‬
‫‪r‬‬
‫קבוע הכבידה העולמי‬
‫‪ U  ‬כאשר ‪U     0‬‬
‫‪G  6.67 1011 N  m2 / kg 2‬‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫משוואת תנועה‬
‫פתרון משוואת התנועה‬
‫‪2‬‬
‫‪d x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ cx  b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ x  t   A0 e   t sin  t   ‬כאשר‪, 0  c / m :‬‬
‫‪m‬‬
‫‪   2 f  2 T  0 2   2‬ו‪  b 2m -‬‬
‫‪78‬‬
    x0 
A0  x0 2   0

 

tan  
‫האמפליטודה‬
2
 x0
0   x0
(‫זווית המופע )פאזה‬
‫אינטגרלים ונגזרות‬
‫אינטגרלים‬
‫נגזרות‬
dx
1
dx
 dx  x
 a f dx  a 
d
df
a f   a
dx
dx
d
df dg
f  x   g  x  


dx
dx dx
d m
x  m x m 1
dx
d
1
ln x 
dx
x
d f  x
df
e
 e f  x
dx
dx
d
sin  x   cos  x 
dx
d
cos  x    sin  x 
dx
d
1
tan  x  
dx
cos2 x
f dx
  f  g  dx   f dx   g dx
x m1
 m  1
m 1
dx
 x  ln x
1 ax  b
ax  b
e  a e
m
 x dx 
 sin  x  dx   cos x
 cos  x   sin  x 
 tan  x  dx   ln  cos x 
x 1
 sin  x   2  4 sin  2 x 
2
x 1
 cos  x   2  4 sin  2 x 
2
1
ax  1 e  ax
2 
a
dx
x
 x 2  a 2 3/2  a 2 x 2  a 2


 xe
 ax

dx
1
x
 arctan  
2
a
a
a
dx
1  xa
 a 2  x 2  2 ln  x  a 
x


2
x
dx  x 2  a 2
x a
dx
 ln x  x 2  a 2
2
2
x a
2
2


79
‫יחידות‬
Joule, J
Joule, J
Joule, J
Watt, W
meter, m
meter, m
Newton, N
meter/second, m/s
radian/second, rad/s
kg m2
Nm
meter, m
Kilogram, kg
Ns
Js
Joule, J
m/s2
rad/s2
Hertz, Hz
Ns
Js
‫סימון‬
E
U
Ek
P

r
r

F

v

I



r
m

J

J
W

a

f

p

L
Energy
potential energy
Kinetic energy
Power
displacement
Torque arm
‫גודל פיסיקלי‬
‫אנרגיה‬
‫אנרגיה פוטנציאלית‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫הספק‬
‫העתק‬
‫זרוע‬
Force
Velocity
angular velocity
moment of Inertia
Torque
position
Mass
impulse
angular impulse
‫כוח‬
‫מהירות‬
‫מהירות זוויתית‬
‫התמד‬-‫מומנט‬
‫כוח‬-‫מומנט‬
‫מיקום‬
‫מסה‬
‫מתקף‬
‫מתקף זוויתי‬
Work
Acceleration
angular accelaration
Frequency
momentum
angular momentum
‫עבודה‬
‫תאוצה‬
‫תאוצה זוויתית‬
‫תדירות‬
‫תנע‬
‫תנע זוויתי‬
80