‫קורס‪ 86-115-01 :‬מכניקה‬ ‫מבחן מועד א'‬ ‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬ ‫תשע"א סמסטר א'‬ ‫משך זמן הבחינה‪ :‬שלוש שעות‬ ‫חומר עזר מותר‪ :‬מחשבון כיס‪ ,‬דף הנוסחאות המצורף לבחינה זו‪.‬‬ ‫כל חומר עזר אחר – אסור לשימוש בבחינה‪.‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר אלי סלוצקין‬ ‫‪ .1‬חרוז נע במהירות קבועה ‪ u‬לאורך חישור של אופן‪ .‬בזמן ‪ ,t=0‬האופן מתחיל להסתובב בתאוצה זוויתית‬ ‫קבועה ‪ ,‬ממצב מנוחה‪ .‬בזמן ‪ t=0‬החישור מקביל לציר ה‪ ,x -‬והחרוז נמצא בראשית הצירים‪.‬‬ ‫)‪(20%‬‬ ‫)‪(25%‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את מהירותו ותאוצתו של החרוז בקואורדינאטות פולאריות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את הערך האבסולוטי של המהירות והתאוצה בזמן ‪,t=2 sec‬‬ ‫כאשר נתון‪=0.1 rad/s2 ,u=2 cm/s :‬‬ ‫‪ .2‬מסה )נקודתית( ‪ M‬מחליקה ממנוחה בגובה ‪ ,h‬לאורך השיפוע‪ ,‬בזווית ‪ ‬למישור‪ .‬אחרי זה‪ ,‬המסה ממשיכה‬ ‫להחליק על המשטח הישר‪.‬‬ ‫מקדם החיכוך בין המסה לכל אחד מהמשטחים הוא ‪.‬‬ ‫א‪ .‬היכן‪ ,‬ביחס לסוף השיפוע‪ ,‬המסה תיעצר?‬ ‫ב‪ .‬תנו תשובה מספרית לסע' הקודם‪,‬‬ ‫אם נתון‪.=45o ,=0.5 ,h=1m :‬‬ ‫‪ .3‬במערכת שבציור‪ ,‬שתי המסות זהות‪ .‬הגלגלת והחוטים הם חסרי מסה וחיכוך‪.‬‬ ‫)‪(30%‬‬ ‫א‪ .‬מהו מקדם החיכוך המכסימאלי במשטח האופקי ‪ ,‬שעבורו המערכת תנוע?‬ ‫ב‪ .‬אם המערכת נעה )עבור ‪ ‬נתון כלשהו(‪ ,‬מהי המתיחות בחוט?‬ ‫ג‪ .‬אם החיכוך בשולחן זניח ‪ ,=0‬אך שופכים על המסה הימנית חול מלמעלה‪,‬‬ ‫בקצב של ‪ b‬ק"ג\שנייה‪ ,‬מהי המתיחות בחוט )כפונקציה של הזמן( ?‬ ‫)המערכת משוחררת ממנוחה בזמן ‪ ;t=0‬באותו רגע מתחילים גם לשפוך על המסה‬ ‫הימנית חול(‪.‬‬ ‫רמז לסע' ג'‪ :‬הפתרון של משוואה דיפרנציאלית‪ x  Ax  C  0 :‬הוא‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ , xt    1 exp At   t  B2  0‬כאשר ‪ B1‬ו‪ B2-‬תלויים בתנאיי ההתחלה‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(25%‬‬ ‫‪ .4‬שתי דיסקות‪ ,‬בעלות רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ ,M‬מחוברות במוט חסר מסה‪ ,‬בעל אורך ‪.L‬‬ ‫הדיסקה העליונה תלויה על ציר )חסר‪-‬חיכוך(‪ ,‬העובר דרך מרכזה‪ .‬המערכת מתנדנדת‬ ‫כמטוטלת‪ ,‬כפי שמופיע בציור‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצאו את מומנט ההתמד של המערכת‪ ,‬עבור תנודות סביב הציר הנ"ל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את מחזור התנודות‪ ,‬בקירוב של זוויות ‪ ‬קטנות )כלומר‪.(sin ≈  ,‬‬ ‫תזכורת‪ :‬פתרון משוואה דיפרנציאלית ‪ x   Ax‬הוא‪, x  C1 cos( At   ) :‬‬ ‫כאשר ‪ C1‬ו‪  -‬הם קבועים‪ ,‬התלויים בתנאיי התחלה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו את הפתרון המספרי לסעיף ב'‪ ,‬אם ‪.R=0.2m ,L=1m‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫דף משוואות‬  A 2  B 2  2 AB cos  C2 xˆ   A  B  Ax Bx yˆ :‫משפט קוסינוסים‬ zˆ Ay By :‫מכפלה ווקטורית‬ Az  Bz  Ay B z  B y Az xˆ   Az B x  B z Ax  yˆ  Ax B y  B x A y zˆ rˆ  cos  xˆ  sin  yˆ ˆ   sin  xˆ  cos  yˆ rˆ  ˆ :‫וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬ :‫נגזרות של וקטורי יחידה בקואורדינאטות פולאריות‬ ˆ   rˆ  r  rrˆ  rˆ :‫מהירות בקואורדינאטות פולאריות‬  2 :‫תאוצה בקואורדינאטות פולאריות‬ r  r  r rˆ  2r  r ˆ x (t )  f ( t ) g ( t ) x t   f t g t   f t g t  : ‫כללי גזירה‬ x (t )  f ( g (t )) x t   f  g t g t   Gm1 m2 :‫כוח משיכה‬ G=6.6710-11 Nm2/kg2 F Rˆ12 2 R12      kq q F   12 2 Rˆ12 R12 k=9109 Nm2/C2    dP F  ma  dt dL/dt = :‫שימור תנע‬  = r×F :‫כוח קולון‬ :‫חוק השני של ניוטון‬ L=mr×v :‫תנע זוויתי‬ r0 :‫משוואת האליפסה‬ 1   cos  2 EL2 L2 2 ,  1 :‫בתנועה קפלרית‬ r0    GMm 2 G 2 M 2 m3 =c/a   U U  F   xˆ  yˆ   x  y   ,r0=b2/a .r  b   1 2 1 2 mvb  mv a   F  dr  U (ra )  U (rb ) :‫משפט עבודה אנרגיה‬ 2 2 a