1. No category

‫חוברת עזר לקורס פיסיקה ‪ ,1‬מכללת סמי שמעון‬
‫פרק א'‪ :‬וקטורים‬
‫מאפיינים של ווקטור‬
‫‪-‬‬
‫גודל וכיוון‬
‫‪-‬‬
‫חוק החיבור‬
‫חיבור ווקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ‪ A‬ו‪ . B -‬הווקטורים מיוצגים גרפית על ידי חץ שאורכו פרופורציוני לגודל הווקטור‬
‫וכיוונו הוא כיוון הווקטור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫על מנת לחבר את הווקטור ‪ B‬לווקטור ‪ , A‬ניקח את הווקטור ‪ B‬ונצמיד את ראשו לזנב של הווקטור ‪. A‬‬
‫‪ ‬‬
‫מתקבל ווקטור חדש ‪) A  B‬הווקטור האדום(‪.‬‬
‫מינוס של ווקטור‬
‫‪‬‬
‫נתון הווקטור ‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הווקטור ‪  A‬הוא ווקטור שכאשר נחבר אותו ל ‪ A‬נקבל אפס‪ .‬על פי חוק החיבור הווקטור ‪  A‬הוא‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫אם כן‪ ,‬ווקטור שגודלו זהה לזה של הווקטור ‪ A‬וכיוונו הפוך‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫חיסור של שני ווקטורים‬
‫‪ ‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ‪ A‬ו‪B -‬‬
‫נחבר את הווקטור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,  B‬לווקטור ‪) A‬כלומר‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪( A  B  A  ( B‬‬
‫‪ ‬‬
‫אפשר לקבל את הווקטור ‪ A  B‬גם על ידי שרטוט הווקטורים כאשר שניהם יוצאים מאותה נקודה‪,‬‬
‫וחיבור זנבם‪:‬‬
‫)קיבלנו בשתי הדרכים ווקטור זהה בגודלו ובכיוונו(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬ווקטורים יוצרים משולש אם סכום )או הפרש( ווקטורי של שניים מהם שווה לשלישי‪.‬‬
‫כפל בסקלר‬
‫‪‬‬
‫כפל של ווקטור ‪ A‬בסקלר חיובי ‪ a‬שומר על כיוון הווקטור ומשנה את אורך הווקטור פי ‪.a‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫אם למשל ‪ a=2‬אז מתקיים ‪, a A  2 A  A  A‬‬
‫‪‬‬
‫מתקבל ווקטור חדש בכיוון זהה של הווקטור ‪ , A‬ואורכו כפול‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫אם הסקלר שלילי אז בנוסף לשינוי הגודל‪ ,‬הווקטור גם הופך את כיוונו‪:‬‬
‫הצגה של ווקטור‬
‫הצגה פולרית )גודל וכיוון בשני מימדים(‬
‫כדי לתאר ווקטור בשני מימדים )למשל מישור הדף( ניתן לציין את גודלו ואת כיוונו ביחס לציר שבחרנו‬
‫)נהוג לבחור את ציר ‪.(x‬‬
‫‪‬‬
‫גודל הווקטור מסומן ‪ A‬או פשוט ‪) A‬בלי חץ‬
‫‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫למעלה(‪ .‬והכיוון במקרה זה נקבע על ידי הזווית ‪.α‬‬
‫הצגה קרטזית ‪ -‬פירוק לרכיבים‬
‫‪‬‬
‫כתוצאה מחוק החיבור ניתן להחליף את הווקטור ‪ A‬בשני ווקטורים מאונכים זה לזה‪ ,‬בכיוון המסומנים ‪ x‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,y‬ווקטורים אלו נקראים רכיבי ‪ x‬ו‪ y-‬של הווקטור‬
‫‪A‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫מתקיים ‪ , A  Ax  Ay‬ניתן גם לרשום ) ‪. A  ( Ax , Ay‬‬
‫הקשר בין ההצגות )שני מימדים(‬
‫כאשר ידועה הצגה אחת ניתן בעזרת פונקציות טריגונומריות ‪ sin, cos, tg‬לקבל את ההצגה האחרת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אם ידועים ‪ A‬ו‪ , α-‬הגודל והכיוון של הווקטור ‪ A‬אז הרכיבים מתקבלים על ידי‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Ax  A cos ‬‬
‫‪Ay  A sin ‬‬
‫)מעבר מהצגה פולרית לקרטזית(‬
‫אם ידועים הרכיבים של הווקטור אז גודלו וכיוונו מתקבלים על ידי‪:‬‬
‫‪A2  Ax 2  Ay 2‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪Ax‬‬
‫‪tg ‬‬
‫)מעבר מהצגה קרטזית לפולרית(‬
‫המשואה הראשונה ידועה בשם "משפט פיתגורס"‪.‬‬
‫הצגה קרטזית בשלושה מימדים‬
‫‪z‬‬
‫את הרעיון של פירוק ווקטור לרכיביו ניתן ליישם גם‬
‫‪‬‬
‫לשלושה מימדים‪ .‬בתרשים מוראה הווקטור ‪ A‬שרכיביו‬
‫) ‪ ( Ax , Ay , Az‬הם בהתאמה )‪ – (2,4,5‬כל חץ אדום‬
‫הוא באורך יחידה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ווקטור יחידה‬
‫‪‬‬
‫ווקטור יחידה הוא ווקטור שגודלו שווה ל‪ .1-‬בהינתן ווקטור ‪ A‬ניתן להגדיר ווקטור יחידה ˆ‪" A) A‬כובע"(‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שהוא ווקטור שכוונו זהה לכיוון הווקטור ‪ A‬וגודלו שווה ל‪ .1-‬פשוט מחלקים את הווקטור ‪ A‬בגודל שלו‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫עצמו‪. Aˆ  :‬‬
‫‪A‬‬
‫ווקטורי יחידה מיוחדים הם הווקטורים ˆ‪) iˆ, ˆj , k‬הנקראים גם ˆ‪ ( xˆ , yˆ , z‬שהם ווקטורי יחידה בכיוון‬
‫‪ x,y,z‬בהתאמה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בעזרת ווקטורי היחידה ניתן לרשום כל ווקטור ב‪ 3-‬מימדים בצורה ˆ‪. A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az k‬‬
‫הווקטור שהוזכר בדוגמה לעיל ייכתב בסימון זה ˆ‪. 2 iˆ  4 ˆj  5 k‬‬
‫‪4‬‬
‫חיבור‪ ,‬חיסור וכפל בסקלר בעזרת פירוק ווקטור לרכיביו‬
‫בעזרת הפירוק לרכיבים חיבור וחיסור ווקטורי נעשה פשוט‪ :‬כל רכיב מתחבר )או מתחסר( באופן רגיל‪ .‬אם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים הווקטורים ˆ‪ A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az k‬ו‪ , B  Bx iˆ  B y ˆj  Bz kˆ -‬אז‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ‪A  B  ( Ax  Bx ) iˆ  ( Ay  By ) ˆj  ( Az  Bz ) k‬‬
‫ובאופן דומה‬
‫‪ ‬‬
‫ˆ‪. A  B  ( Ax  Bx ) iˆ  ( Ay  By ) ˆj  ( Az  Bz ) k‬‬
‫‪‬‬
‫בהכפלה של סקלר ‪ s‬בווקטור ‪ , A‬כל רכיב של הווקטור מוכפל בסקלר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪s A  s A iˆ  s A ˆj  s A k‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫מכפלה סקלרית‬
‫מכפלה סקלרית היא פעולה בין שני ווקטורים שתוצאתה סקלר )לא מדובר בכפל בסקלר!(‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫מסמנים את המכפלה ‪("A dot B") A  B‬‬
‫יש שתי דרכים לחישוב מכפלה סקלרית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫דרך א' ‪ -‬כשידועים רכיבי הווקטור‪A  B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz :‬‬
‫דרך ב' ‪ -‬כשידועים גדלי הווקטורים‪ A ,‬ו‪ ,B-‬והזווית ביניהם ‪: ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  A B cos ‬‬
‫אחד מהשימושים במכפלה סקלרית הוא למציאת זווית בין שני ווקטורים שרכיביהם ידועים‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪, A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz  A B cos ‬‬
‫כאשר ‪Ax 2  Ay 2  Az 2‬‬
‫‪. B  Bx 2  B y 2  Bz 2 , A ‬‬
‫‪5‬‬
‫מכפלה ווקטורית‬
‫‪ ‬‬
‫מכפלה וקטורית היא פעולה בין שני ווקטורים שתוצאתה ווקטור‪ .‬מסמנים את המכפלה ‪(A cross B) A  B‬‬
‫יש שתי דרכים לחישוב מכפלה ווקטורית‪.‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫דרך א' ‪ -‬כשידועים רכיבי הווקטור‪Az :‬‬
‫‪Ay‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  Ax‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪Bz‬‬
‫‪By‬‬
‫‪Bx‬‬
‫דרך ב' ‪ -‬כשידועים גדלי הווקטורים‪ A ,‬ו‪ ,B-‬והזווית ביניהם ‪: ‬‬
‫‪ ‬‬
‫הגודל של המכפלה הוקטורית ניתן על ידי ‪A  B  A B sin ‬‬
‫והכיוון הוא ניצב למישור שיוצרים שני הווקטורים‪ ,‬ומקיים את כלל יד ימין‪:‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(1.1‬‬
‫נתון ווקטור דו ממדי‬
‫‪‬‬
‫‪A  2 iˆ  2 3 ˆj‬‬
‫א‪ .‬הצג‪/‬י את הווקטור בצורה פולארית )גודל ‪ +‬כיוון(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את ווקטור היחידה ˆ‪. A‬‬
‫)‪(1.2‬‬
‫‪‬‬
‫נתון ווקטור דו ממדי ‪. B  8 iˆ  6 ˆj‬‬
‫א‪ .‬הצג‪/‬י את הווקטור בצורה פולארית )גודל ‪ +‬כיוון(‪..‬‬
‫ב‪ .‬מהו וקטור היחידה ˆ‪? B‬‬
‫)‪(1.3‬‬
‫הוכח ‪ :‬אם סכום של שני ווקטורים מאונך להפרשם אזי אורכם שווה‪ .‬רמז‪ :‬מהי המכפלה הסקלרית‬
‫של שני ווקטורים מאונכים?‬
‫)‪(1.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ˆ‪ V1  6iˆ  2k‬ו‪ . V2  iˆ  4 ˆj  3kˆ -‬מצא‪/‬י את גודלו של‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬ווקטור ‪ V3‬המקיים ‪[ 90 ] . V1  V2  V3  0 :‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬ווקטור ‪ V4‬המקיים ‪[ 42 ] V1  V2  V4  0 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.5‬נתונים שני ווקטורים )‪A  (3, 4) , B  (6, 8‬‬
‫‪ ‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את המכפלה הסקלרית ‪ . A  B‬מהי הזווית בין הווקטורים? ]‪[106.30‬‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את המכפלה הווקטורית ‪ A  B‬בשתי דרכים‪[ 48 zˆ ] .‬‬
‫)‪(1.6‬‬
‫)‪(1.7‬‬
‫)‪(1.8‬‬
‫)‪(1.9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים‪ . B  ( Bx , B y ,0) , A  (3,1, 4) :‬מצא‪/‬י רכיבים ‪ Bx‬ו‪ By -‬כך ש‪ B -‬יהיה‬
‫‪‬‬
‫ניצב ל ‪ A‬ואורכו יהיה ‪ 90‬יחידות‪[  ( 3 iˆ  9 ˆj ) ] .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים שני ווקטורים ˆ‪ . B  xˆ  yˆ  zˆ , A  3 xˆ  yˆ  4 z‬מצא‪/‬י ווקטור שאורכו ‪ 10‬יחידות אשר‬
‫‪ ‬‬
‫ניצב למישור המוגדר על ידי ‪ A‬ו‪[ 2 / 7 ( 15 iˆ  5 ˆj  10 kˆ ) ] . B -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪. B   ˆi  3 ˆj  2 kˆ , A  ˆj  4 kˆ :‬‬
‫‪  ‬‬
‫א‪ .‬רשמו את הווקטור ‪[  ˆi  4 ˆj  6 kˆ ] . C  A  B‬‬
‫‪  ‬‬
‫ב‪ .‬רשמו את הווקטור ‪[ ˆi - 2 ˆj  2 kˆ ] . D  A  B‬‬
‫‪  ‬‬
‫ג‪ .‬רשמו את הווקטור ‪[ -iˆ  2 ˆj-2 kˆ ] . K  B  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתון‪ . B  6 ˆi  5 ˆj  kˆ , A  2 ˆi  3 ˆj  4 kˆ :‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫אורכו של כל אחד מהווקטורים‪[ 62 , 29 ] .‬‬
‫‪ ‬‬
‫אורכו של סכומם‪[ 137 ] . A  B ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫אורכו של הפרשם‪[ 45 ] . A  B ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הזווית בין ‪ A‬ו‪[ 57.15 ] . B -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.10‬נתון‪ . B  6 ˆi  4 ˆj  kˆ , A  2 ˆi  3 ˆj  8 kˆ :‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫אורכו של כל אחד מהווקטורים‪[ 53 , 77 ] .‬‬
‫‪ ‬‬
‫המכפלה הסקלארית ‪[  32 ] . A  B‬‬
‫‪ ‬‬
‫המכפלה הוקטורית ‪[ -29 iˆ  46 ˆj  10 kˆ ] . A  B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הזווית בין ‪ A‬ו‪[ 120.06 ] . B -‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.11‬מצאו ‪ a‬ו ‪ b‬כך שהוקטורים‪ B  a ˆi  3 ˆj :‬ו ‪ C  2 ˆi  b ˆj‬יהיו מאונכים לווקטור‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ . A  5 ˆi  6 ˆj‬הוכיחו כי ‪ B‬ו ‪ C‬מקבילים‪, a  - ] .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪[b  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.12‬הראו כי שלושת הוקטורים‪ B  6 ˆi  12 ˆj  4 kˆ , A  2 ˆi  13 ˆj  7 kˆ :‬ו‪, C  4 ˆi  ˆj  3kˆ -‬‬
‫יוצרים צלעות של משולש ישר זווית‪ .‬מהן זוויות המשולש? חשבו את אורך היתר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.13‬נתונים‪ . B  ˆi  3 ˆj  5 kˆ , A  - ˆi  2 ˆj  kˆ :‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫אורכו של כל אחד מהווקטורים‪[ 6, 35 ] .‬‬
‫‪ ‬‬
‫המכפלה הסקלארית‪[-12]. A  B ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫המכפלה הוקטורית‪[ 7 iˆ  4 ˆj  kˆ ] . A  B ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫הזווית בין ‪ A‬ו ‪[ 145.9 o ] . B‬‬
‫ווקטורי היחידה ˆ‪ A‬ו‪ , iˆ  3 ˆj  5kˆ ] . Bˆ -‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ iˆ  2 ˆj  k‬‬
‫‪35‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.14‬על גוף נקודתי פועלים שני כוחות‪F 1  - ˆi  2 ˆj  kˆ :‬‬
‫[‬
‫‪‬‬
‫‪ . F2  ˆi  2 ˆj  3kˆ ,‬מצאו את‪:‬‬
‫א‪ .‬הכוח השקול )כלומר הסכום הווקטורי של שני וקטורי הכוחות(‪[ 2kˆ ] .‬‬
‫ב‪ .‬גודל הכוח השקול‪[2] .‬‬
‫ג‪ .‬הזווית בין הכוח השקול וכל אחד מהצירים ‪ 90 ,90 ,0] .x, y, z‬מעלות[‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.15‬נתונים ‪ 2‬וקטורים‪A  ( A X , AY , AZ ) :‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪B    A X ‬‬
‫‪AY iˆ   ‬‬
‫‪A X  AY  ˆj‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצאו את התנאי שעבורו יתקיים‪. A  B :‬‬
‫] ‪ AZ  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬בהנחה שסעיף א' מתקיים הראו כי‪. A  B  B :‬‬
‫ג‪ .‬מהי הזוית בין הוקטורים? ] ‪[ 120o‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪AX  AY  AZ  Ax  AY‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[ A ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.16‬הראו כי שלושת הוקטורים‪, C  4 iˆ  3 ˆj  5 kˆ , B  4 iˆ  3 ˆj  5 kˆ , A  3 iˆ  4 ˆj :‬‬
‫ניצבים זה לזה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (1.17‬נתונים שני הוקטורים‪ A  3 ˆi  4 ˆj :‬ו ‪ . B  -6 ˆi  5 ˆj‬נתון כי מישור ‪ XY‬הוא מישור הדף‪.‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫מגדירים את הווקטור ‪ . C  A  B‬מצאו את גודלו וכיוונו של ‪ C‬בשתי שיטות‪:‬‬
‫א‪ .‬ע"י שימוש בנוסחה‪:‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪Az‬‬
‫‪Bz‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪By‬‬
‫‪ˆi‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  Ax‬‬
‫‪Bx‬‬
‫‪ ‬‬
‫ב‪ .‬ע"י שימוש ב‪ A  B  ABsinθ :‬ובחוק יד ימין )כלל הבורג(‪ .‬שים לב שבמערכת ימנית תיקנית‬
‫ברגע שנבחרו הצירים ‪ x‬ו‪ ,y -‬נבחר גם ציר ‪.z‬‬
‫]תשובה‪ :‬גודלו ‪ 39‬וכיוונו = הכיוון החיובי של ציר ‪[z‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪v  2 iˆ  4 ˆj  6 k‬‬
‫‪) ‬ביחידות‬
‫)‪ (1.18‬נתונים וקטור מהירות ווקטור תאוצה של גוף ברגע מסוים‪:‬‬
‫ˆ‪a  10 iˆ  5 ˆj  20 k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .(SI‬נהוג לרשום את ווקטור התאוצה באופן הבא‪ aT , a  a N  aT :‬נקראת ווקטור התאוצה‬
‫המשיקית‪ ,‬והוא ההיטל של ווקטור התאוצה בכיוון המהירות )הנקרא כיוון משיקי‪ ,‬כיוון שהוא משיק‬
‫‪‬‬
‫למסלול התנועה של הגוף(‪ aN .‬נקרא ווקטור התאוצה הנורמלית וכיוונו ניצב לכיוון המהירות‪.‬‬
‫‪60 ˆ 90 ˆ ‬‬
‫‪ 30‬‬
‫‪[  iˆ ‬‬
‫א‪ .‬מצאו את וקטור התאוצה המשיקית‪j  k  m / s 2 ] .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪95 ˆ 50 ˆ ‬‬
‫‪ 40‬‬
‫‪[  iˆ ‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את וקטור התאוצה הנורמלית‪j  k  m / s 2 ] .‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫פרק ב'‪ :‬קינמטיקה‬
‫ווקטור מיקום‬
‫‪‬‬
‫ווקטור המתאר את מיקומו של גוף )נקודתי( ביחס לראשית הצירים‪ .‬סימון מקובל‪. r :‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר הגוף זז ווקטור המיקום משתנה‪ ,‬כלומר‪ ,‬ווקטור המיקום תלוי בזמן ‪ . r (t ) :‬הקצה של ווקטור המיקום‬
‫"מצייר" את מסלול התנועה של הגוף‪.‬‬
‫מיקום הגוף בזמן ‪t2‬‬
‫מיקום הגוף בזמן ‪t1‬‬
‫מסלול התנועה‬
‫ראשית הצירים‬
‫משוואת המסלול היא משוואה המתארת את הקשר בין ‪ x‬ו‪) y-‬ובשלושה מימדים גם ‪.(z‬‬
‫ווקטור העתק‬
‫‪‬‬
‫ווקטור העתק ‪ r‬הוא ווקטור המתאר את התזוזה של הגוף מנקודה אחת לאחרת‪ .‬הווקטור מצביע מהנקודה‬
‫הראשונה לנקודה השנייה‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫) ‪(1‬‬
‫)‪(2.1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪. r  r2  r1‬‬
‫‪‬‬
‫נתון וקטור מיקום של גוף )ביחידות ‪ SI‬ועבור ‪r (t )  10 t iˆ  (20  15t  4.9t 2 ) ˆj ( t  0‬‬
‫א‪ .‬חשב את ווקטור המיקום של הגוף בזמנים ‪ t=1sec‬ו‪.t=3sec -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪r (3)  30 iˆ  20.9 ˆj , r (1)  10 iˆ  30.1 ˆj [m‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬חשב את ווקטור ההעתק בין הזמנים ‪ t=1sec‬ועד ‪r  20 iˆ  9.2 ˆj [m ] .t=3sec‬‬
‫ג‪ .‬מה מרחק הגוף מהראשית לאחר ‪ 3‬שניות? ]‪ 36.56‬מ'[ כמה התרחק מנקודת המוצא לאחר ‪ 3‬שניות?‬
‫]‪ 30.01‬מ'[‬
‫ד‪ .‬מתי הגוף מגיע ל‪ 4.07] ?y=0-‬שניות[‬
‫ה‪ .‬מתי‪ ,‬בין זמן ההתחלה לזמן ‪ ,t=3sec‬נמצא הגוף הכי רחוק מהראשית? )רמז‪ :‬מציאת מקסימום של‬
‫פונקציה‪ ,‬שימו לב‪ :‬אמורים לקבל משוואה מסדר שלישי אותה אפשר לפתור אנליטית אבל גם נומרית‪,‬‬
‫אפילו בעזרת מחשבון(‬
‫ו‪.‬‬
‫]‪ 2.435‬שניות‪ ,‬מרחקו מהראשית ‪ 36.71‬מ'[‬
‫מהי משוואת המסלול של הגוף? ] ‪ , y  20  1.5 x  0.049 x‬משוואת פרבולה[‬
‫‪2‬‬
‫ז‪ .‬האם יש בעיה המוכרת לך מקורס מבוא לפיסיקה המתאימה לבעיה זו?‬
‫‪10‬‬
‫ווקטור מהירות‬
‫מהירות ממוצעת של גוף היא היחס בין ההעתק של הגוף )כמה הגוף זז( לזמן שעבר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫) ‪(2‬‬
‫‪vaverage ‬‬
‫‪t‬‬
‫המהירות היא ווקטור! כיוון המהירות הוא כיוון ווקטור ההעתק‪ .‬יחידות מדידה‪.m/s :‬‬
‫המהירות של גוף ברגע ספציפי נקראת מהירות רגעית ומתקבלת על ידי הסתכלות על פרק זמן ‪ t‬קצר‬
‫) ‪f (t  t )  f (t‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪t 0 t‬‬
‫‪t‬‬
‫מאוד )שואף לאפס(‪ .‬כאן נכנסת לתמונה הגדרת הנגזרת )‬
‫)‪( 3‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪t 0‬‬
‫‪( df‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dr‬‬
‫‪v‬‬
‫‪dt‬‬
‫כיוון ווקטור המהירות בכל רגע ‪ -‬משיק למסלול התנועה של הגוף‪.‬‬
‫המהירות היא קצב השינוי )נגזרת( של ווקטור המיקום‪.‬‬
‫ווקטור תאוצה‬
‫תאוצה ממוצעת של גוף בין שתי נקודות היא היחס בין שינוי המהירות של הגוף לזמן שעבר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪aaverage ‬‬
‫‪t‬‬
‫התאוצה היא ווקטור! יחידות מדידה‪.m/s2 :‬‬
‫התאוצה של גוף ברגע ספציפי נקראת תאוצה רגעית ומתקבלת על ידי הסתכלות על שינוי המהירות בפרק זמן‬
‫‪ t‬קצר מאוד‪ .‬שוב נכנסת לתמונה הנגזרת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dv‬‬
‫‪a‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪(5‬‬
‫התאוצה היא קצב השינוי )נגזרת( של ווקטור המהירות‪.‬‬
‫המשך תרגיל )‪(2.1‬‬
‫ח‪ .‬מצא את ווקטור המהירות של הגוף כתלות בזמן‪[m / s ] .‬‬
‫‪‬‬
‫‪v ( t )  10 iˆ  (15  9.8 t ) ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫ט‪ .‬מצא את ווקטור התאוצה כתלות בזמן‪a (t )  (9.8m / s 2 ) ˆj .‬‬
‫‪11‬‬
‫)‪(2.2‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נתון ווקטור מיקום של גוף‪r (t )  At 3 iˆ  B e  t ˆj :‬‬
‫מהן היחידות של ‪ A   m / s3 ,  B  m,    1 / s ] ? A, B, α‬‬
‫[‬
‫נתון כי‪) A  1, B  1000,   1 :‬ביחידות המתאימות ב‪(SI-‬‬
‫ב‪ .‬מהו מיקום הגוף ברגע ההתחלתי ‪ ?t=0‬מהו מיקומו ב‪?t=3sec-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪r (0)  1000 ˆj , r (3)  27 iˆ  49.79 ˆj [m‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותו ההתחלתית של הגוף? מהי מהירות הגוף ברגע ‪?t=3sec‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪v (0)   1000 ˆj, v (3)  27 iˆ  49.79 ˆj [m / s‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬מהי תאוצת הגוף ברגע ‪a (3)  18 iˆ  49.79 ˆj [m / s 2 ] ?t=3sec‬‬
‫ה‪ .‬מהי הזווית בין ווקטור המהירות ווקטור התאוצה בזמן ‪ ?t=3sec‬האם מהירות בזמן זה גדֵ לה או‬
‫ק ֵטנה? ]‪ ,1320‬ק ֵטנה[‬
‫‪ ‬‬
‫ו‪ .‬מצא את ‪ a  v‬ברגע ‪[m 2 / s 3 ] .t=3sec‬‬
‫ˆ‪-2240.55 k‬‬
‫ז‪ .‬מהי המהירות הממוצעת של הגוף בין הזמנים ‪ t=1sec‬ו‪?t=3sec-‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪vavrage  13 iˆ  159 ˆj [m / s‬‬
‫קבלת המהירות והמיקום על ידי אינטגרציה‬
‫‪t‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv   a dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪dr   v dt‬‬
‫) ‪r(t‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪(7‬‬
‫‪t0‬‬
‫)‪(2.3‬‬
‫) ‪v(t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v (t )  v0   a dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r (t )  r0   v dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ . a (t )  (4  t 2 ) i‬בזמן ההתחלתי‪ ,t=0 ,‬הגוף נמצא‬
‫תאוצתו של גוף נתונה בנוסחה‪ m / s 2  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בנקודה ‪ . r0  5 iˆ  m‬מהירותו של הגוף באותו רגע הייתה‪. v0  (10 iˆ  2 ˆj )  m / s  :‬‬
‫א‪ .‬מהו ווקטור המהירות של הגוף כפונקציה של הזמן?‬
‫‪m / s‬‬
‫‪‬‬
‫‪v (t )  (10  4t  t 3 / 3) iˆ  2 ˆj‬‬
‫ב‪ .‬מהו ווקטור המיקום של הגוף כפונקציה של הזמן?‬
‫‪‬‬
‫‪r (t )  (5  10 t  2t 2  t 4 / 12) iˆ  2t ˆj  m ‬‬
‫ג‪ .‬מתי גודל מהירות הגוף מקסימאלי? מהו גודל זה? )מקסימום מקומי בזמן ‪ ,t=2sec‬גודל המהירות אז‬
‫‪ .15.46m/s‬מ‪ t=4.3475sec-‬המהירות הולכת וגדלה ושואפת לאינסוף(‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫תי‬
‫של גוף נקודת‬
‫אורך מסלול ש‬
‫חישוב א‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ידוע ווקטור המהירות של גוף אזי ‪. L   dr   dx 2  dy 2  dz 2   v x 2  v y 2  vz 2 dt‬‬
‫אם ע‬
‫נקודות ‪ 1‬ו‪ 2-‬הן שתי נקודות זמן שונות כלשהן‪.‬‬
‫את אורך המסלוול באופן הבא‪ :‬נניח שנתון )‪ y(xx‬אזי‬
‫שוואת המסלולל נוח לחשב ת‬
‫בבעיות בהן ידועה מש‬
‫‪ dy  y ' dx‬ולכן‪:‬‬
‫‪1   y '  dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L   dr   dx 2  dy 2 ‬‬
‫תנועה ביחס ללמערכות ייחוס שונות‬
‫תיאור ת‬
‫של גוף‪ ,‬התיאורר תמיד נעשה ביחס למערכת מסוימת‪ .‬אם אומרים שגוף נמצאא על פי כדור האארץ‬
‫כאשר מתתארים מיקום ש‬
‫במנוחה‪ ,‬הכוונה היא לככך שהגוף במנוחחה ביחס לנקודהה נייחת על כדורר הארץ‪ .‬אבל יחחסית לצופה הנמצא על הירח גגוף‬
‫של גוף נקודתי‪ ,‬צריך לבחור בייחס לאיזו נקודהה )או בתיאור קקרטזי‬
‫רוצים לתאר מיקום ש‬
‫ם‬
‫זה אינו בבמנוחה‪ .‬בכל בעעיה שבה‬
‫ביחס לאאיזו מערכת ציריים( מתוארת התתנועה‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫איש נמצצא על רכבת והולך בתוכה בבמהירות ‪ 10‬קקמ"ש בכיוון יממין‪ .‬מהירות זוו היא ביחס לררכבת‪ .‬נסמנה‬
‫של‬
‫‪ = relative) vrelative‬יחסי(‪ .‬הרכבתת נוסעת ימינה במהירות ‪ 1100‬קמ"ש )יחסיית לקרקע(‪ .‬מההי המהירות ש‬
‫האיש ביחס לקרקע? ההיגיון אומר ‪ 110‬קמ"ש‪.‬‬
‫‪v1  v2  vrelativee  100  10  110 km / hour‬‬
‫מיקום‪ ,‬מהירות ותאוצצה יחסיים‬
‫גווף ‪2‬‬
‫נתונים ווקטורי המיקוום של שני גופפים‪ 1 ,‬ו‪ ,2-‬בייחס‬
‫גוף ‪1‬‬
‫למערכתת צירים מסויממת‪:‬‬
‫ראשית ציירים‬
‫‪13‬‬
‫ווקטור המיקום של גוף ‪ 2‬ביחס לגוף ‪ ,1‬הוא ווקטור היוצא מגוף ‪ 1‬לגוף ‪ .2‬לפי מה שלמדנו בחשבון ווקטורי‬
‫‪ ‬‬
‫זהו בדיוק הווקטור ‪ . r2  r1‬כלומר ניתן לרשום‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪r relative  r2  r1‬‬
‫)‪(18‬‬
‫‪ ‬‬
‫כמובן שהמיקום של גוף ‪ 1‬ביחס לגוף ‪ 2‬הוא הווקטור ‪ , r1  r2‬שגודלו זהה וכיוונו הפוך‪.‬‬
‫מווקטור המיקום היחסי בין הגופים ניתן לקבל את ווקטור המהירות היחסית )של גוף ‪ 2‬ביחס לגוף ‪ ,(1‬פשוט‬
‫גוזרים‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪relative  v2  v1‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪relative  a2  a1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫וגם את ווקטור התאוצה היחסית )עוד גזירה(‬
‫)‪(20‬‬
‫איך כל זה קשור לרכבת ולאדם מההקדמה? ַבּדוגמה‪ ,‬גוף ‪ 1‬זו הרכבת‪ ,‬שמהירותה ביחס לקרקע‬
‫‪ . v2  100km / h‬מהירות האדם ביחס לקרקע איננה ידועה ) ? ‪ .( v1 ‬המהירות היחסית של גוף ‪ 2‬ביחס‬
‫לגוף ‪) 1‬האדם ביחס לרכבת(‪ ,‬נתונה ‪ v relative  10 km / h‬ומכאן‬
‫‪  ‬‬
‫‪ v1  v2  v relative  v1  110 km / h‬‬
‫)‪(2.4‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ v2  v1‬‬
‫‪relative‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫מטוס טס בכיוון דרום‪-‬מזרח במהירות שגודלה ‪ 360‬קמ"ש‪ .‬רכבת נוסעת בכיוון צפון במהירות‬
‫שגודלה ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬המהירויות נתונות ביחס לקרקע‪ .‬מהו גודל המהירות של המטוס ביחס לצופה‬
‫נייח היושב ברכבת?‬
‫)‪(2.5‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים ווקטורי המיקום של שני גופים )ביחס לאותה מערכת צירים(‪, r1 (t )  3 iˆ  4 t ˆj  5t 2 kˆ :‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪. r2 (t )  2 t 3 iˆ  (2  t ) ˆj  k‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות גוף ‪ 2‬ביחס לגוף ‪?1‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת גוף ‪ 1‬ביחס לגוף ‪?2‬‬
‫‪14‬‬
‫תנועה מעגלית‬
‫מיקום‪ :‬מתואר על ידי זווית )‪") (t‬מיקום זוויתי"(‪ .‬נהוג למדוד את הזווית ברדיאנים‪.‬‬
‫מהירות זוויתית‪ :‬קצב שינוי הזווית – כמה זווית )ברדיאנים( הגוף עובר בזמן )בשנייה(‪ .‬סימון‪ :‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪‬‬
‫תאוצה זוויתית‪ :‬קצב שינוי המהירות הזוויתית‪ .‬יחידות‪ :‬רדיאנים\שניה‪ .2‬סימון‪α :‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪‬‬
‫קשר בין גדלים זוויתיים וגדלים משיקיים בתנועה מעגלית◌ׁ)רדיוס ‪ R‬קבוע(‬
‫)‪ T‬מסמן משיקי‪(tangential ,‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪ , xT   R‬מסומן גם באות ‪) s‬קשר זה נובע מהגדרת הרדיאן(‪.‬‬
‫‪dxT d‬‬
‫)‪R (11‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v  vT ‬‬
‫‪‬‬
‫‪v R‬‬
‫‪dvT d ‬‬
‫)‪R (12‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪aT ‬‬
‫‪‬‬
‫‪aT   R‬‬
‫תיאור קרטזי של תנועה מעגלית‬
‫נבחר את ראשית הצירים במרכז המעגל ונסמן ב‪ (t) -‬את המיקום הזוויתי של הגוף‪ ,‬כאשר הזווית נמדדת‬
‫מציר ‪) x‬וגדלה נגד כיוון השעון‪ ,‬כמו באיור(‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫גודלו של ווקטור המיקום של הגוף שווה לרדיוס המעגל ‪.R‬‬
‫הגוף‬
‫הווקטור עצמו )כתלות בזמן( נתון על ידי‬
‫)‪(13‬‬
‫‪‬‬
‫‪. r (t )  R cos  iˆ  R sin  ˆj‬‬
‫על מנת לקבל את מהירות הגוף נגזור את ווקטור המיקום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ ‪d‬‬
‫ˆ ‪d‬‬
‫‪. v (t )   R sin ‬‬
‫‪i  R cos ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪d‬‬
‫שימו לב לנגזרת הפנימית‬
‫‪dt‬‬
‫שהיא בעצם המהירות הזוויתית של הגוף‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪(14‬‬
‫‪‬‬
‫‪. v (t )   R  ssin  iˆ  R  cos  ˆj‬‬
‫‪.v = ‬‬
‫תרגילון‪ :‬הראו שגודלל ווקטור המהיררות נתון‪ ,‬כצפפוי‪ ,‬על ידי‪R :‬‬
‫כדי לקבבל את התאוצהה צריך לגזור אאת ווקטור המהירות‪ .‬זה לא נורא אבל צרייך לקחת בחשבבון שבמקרה‬
‫של מכפלה(‪.‬‬
‫הכללי גגם ‪ ‬וגם ‪ ‬תללויים בזמן ולככן בגזירה צריךך לגזור את שנניהם )נגזרת ש‬
‫‪.(α‬‬
‫שטות נסתכל עעל המקרה הפררטי של תנועה קצובה‪ :‬תנועהה במהירות זווויתית ‪ ‬קבועהה )כלומר ‪α=0‬‬
‫לשם פש‬
‫במקרה זה גודל מהירוות הגוף נשמרר )כמו אוטו הננוסע בסיבוב ככאשר הספידוממטר מראה כל הזמן על אותו‬
‫‪‬‬
‫מספר(‪ .‬מגזירה של נוסחה )‪ (14‬מקקבלים את התאאוצה ‪. a (t )   R cos   2 iˆ  R sin   2 ˆj‬‬
‫שום נוסחה זו בבאופן קומפקטטי יותר על ידי שימוש בנוסחחה )‪(13‬‬
‫שימו לבב לנגזרת הפנימית‪ .‬ניתן לרש‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. a (t )   2 ( R coss  iˆ  R sin  ˆj )   2 r‬‬
‫)‪(15‬‬
‫מכאן רוואים מיד שגודדל התאוצה הואא ‪ ,2R‬וכיווננה מנוגד לכיוון ווקטור המיקקום‪ ,‬כלומר‪ ,‬כללפי מרכז המעעגל‪.‬‬
‫מהירות‪.‬‬
‫שינוי כיוון המ‬
‫הרדיאלית )אוו מרכזית‪ ,‬או צצנטריפטלית( ההמתארת את ש‬
‫קיבלנו אאת התאוצה ה‬
‫בבעיה ככללית יותר גם גודל המהירות משתנה‪ ,‬קייימת בנוסף לתאאוצה הרדיאליית גם תאוצה ממשיקית הקשורה‬
‫שיקית קשורה‬
‫לשינוי גגודל המהירות‪ :‬מסמנים את ההרכיב המשיקי של התאוצה ‪) aT‬כאמור‪ :‬התאוצה המש‬
‫‪dv‬‬
‫לשינוי גודל המהירות(‪ .‬כבר ראינו שמתקיים ‪  R‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪. aT ‬‬
‫שיקית מכוונת לאורך קו הממשיק למעגל ))ולכן‬
‫התאוצה הרדיאלית ממכוונת כלפי ממרכז המעגל‪ .‬התאוצה המש‬
‫ה‬
‫מאונכת לתאוצה הרדייאלית(‪ .‬אם רווצים לקבל אתת התאוצה השקקולה של הגוף משתמשים בחחשבון ווקטוריי‪:‬‬
‫)‪(16‬‬
‫‪, a  aR 2  aT 2‬‬
‫‪‬‬
‫השקולה ‪ a‬והכיוון הממשיקי נתונה עע"י‬
‫ה‬
‫והזווית בין וקטור התאאוצה‬
‫)‪(17‬‬
‫‪aR‬‬
‫‪aT‬‬
‫‪. tg  ‬‬
‫‪aR‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬היא בבעצם הזווית בבין ווקטור המההירות לווקטורר התאוצה‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪aT‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪(2.6‬‬
‫המהירות הזוויתית של גלגל בעל רדיוס ‪ 0.5m‬נתונה במשוואה ‪)  (t )  4 e0.2 t‬הזווית נמדדת‬
‫ברדיאנים והזמן בשניות(‪ .‬בתחילת התנועה )‪ (t = 0‬הזווית שווה ל‪ 15-‬רדיאנים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את המיקום הזוויתי של הגלגל ) ‪ .  ( t‬מהי הזווית לאחר ‪ 3‬שניות?‬
‫] ‪[  (t )  20 e0.2 t  16,  (3)  20.44rad‬‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות המשיקית של נקודה הנמצאת על היקף הגלגל כתלות בזמן וכן לאחר ‪ 3‬שניות?‬
‫] ‪[ v (t )  2 e0.2 t , v (3)  3.64 m / s‬‬
‫ג‪ .‬מהן התאוצה הרדיאלית והתאוצה המשיקית של אותה נקודה כתלות בזמן?‬
‫] ‪[ a R  8 e0.4 t , aT  0.4 e0.2 t‬‬
‫ד‪ .‬מהי גודל התאוצה השקולה של הנקודה הנ"ל לאחר ‪ 5‬שניות? ] ‪[ 59.1 m / s 2‬‬
‫ה‪ .‬מהי הזווית בין ווקטור התאוצה השקולה לבין ווקטור המהירות של הגוף לאחר ‪ 5‬שניות?‬
‫] ‪[ 1.053o‬‬
‫)‪(2.7‬‬
‫נתון ווקטור המיקום של גוף שמסתו ‪:m=1kg‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , r (t )  10 cos(2 t 2  ) iˆ  10sin(2 t 2  ) ˆj‬כאשר המרחק נמדד במטרים והזמן‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫בשניות‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי משוואת המסלול של הגוף? ] ‪[ x 2  y 2  102‬‬
‫ב‪ .‬תוך כמה זמן )מרגע ‪ (t=0‬ישלים הגוף הקפה מלאה? ]‪ 1‬שניה[‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותו ברגע שבו השלים הקפה מלאה? ] ‪[ v  20 3 iˆ  20 ˆj‬‬
‫ד‪ .‬מצא‪/‬י את הגדלים של התאוצות – המשיקית‪ ,‬הרדיאלית והשקולה‪ ,‬ברגע בו משלים הגוף הקפה‬
‫מלאה‪ .‬מהי הזווית בין ווקטור התאוצה השקולה של הגוף לבין ווקטור מהירותו ברגע זה? ]‬
‫‪[ 40 m / s 2 , 160 2 m / s 2 , 1584 m / s 2 , 85.450‬‬
‫‪17‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.8‬חלקיק נע במישור ‪ xy‬במהירות ‪ v (t )  v x (t )iˆ  v y (t ) ˆj‬ובתאוצה ‪. a (t )  a x (t )iˆ  a y (t ) ˆj‬‬
‫הראה כי גודל המהירות קבוע רק אם מתקיים הקשר ‪ . a x v x  a y v y  0‬מה המשמעות של תנאי‬
‫זה?‬
‫)‪(2.9‬‬
‫הדרכה‪ :‬גזור את גודלה של המהירות‪.‬‬
‫מסוק ממריא משדה התעופה ברגע ‪ . t  0‬מיקומו ביחס למגדל הפיקוח נתון על ידי וקטור המיקום‬
‫‪‬‬
‫הבא‪ . r (t )  (50  0.02t 3 )iˆ  (70  2.5t ) ˆj  0.08t 2 kˆ :‬כל הגדלים במשוואה זו הם במערכת‬
‫‪.[mks]SI‬‬
‫א‪ .‬בכמה יתרחק המסוק מנקודת ההמראה תוך ‪ 10‬שניות ? )‪ 33‬מ'(‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות המסוק לאחר ‪ 10‬שניות ? ) ˆ‪( 6 iˆ  2.5 ˆj  1.6 k‬‬
‫ג‪ .‬מה תהיה הזווית ‪ ‬בין מהירות המסוק לבין תאוצתו לאחר ‪ 10‬שניות? )‪ (23.060‬מהי‬
‫התאוצה המשיקית של המסוק? )‪ (1.114 m/s2‬הערה‪ :‬התאוצה המשיקית של המטוס היא‬
‫הרכיב של התאוצה שכיוונו ככיוון המהירות‪ ,‬כלומר ‪.aT = a cos :‬‬
‫)‪ (2.10‬חלקיק נקודתי נע במישור לפי המשוואות הפרמטריות הבאות‪:‬‬
‫‪x  R sin(t )   Rt‬‬
‫‪y  R cos(t )  R‬‬
‫‪,‬‬
‫כאשר‬
‫‪  , R‬הם קבועים‪ .‬המסלול המתואר ע"י שתי המשוואות נקרא ציקלואידה והוא מתאר את תנועתה‬
‫של נקודה על היקפו של גלגל המתגלגל ללא החלקה כשמרכזו נע במהירות קבועה‪.‬‬
‫א‪ .‬צייר את מסלול התנועה )בחר ‪.( R  1m,   1rad / s‬‬
‫‪‬‬
‫‪v  ( R cos(t )   R ) iˆ   R sin(t ) ˆj‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הביטויים למהירות ולתאוצה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪a   2 R sin(t ) iˆ   2 R cos(t ) ˆj‬‬
‫ג‪ .‬חשב את המהירות והתאוצה כאשר החלקיק נמצא בנקודה הנמוכה ביותר והגבוהה ביותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v 0‬‬
‫ˆ‪v  2 R i‬‬
‫‪ , ‬ובנמוכה ביותר‬
‫)בגבוהה ביותר ‪ ,y=2R‬ואז‪:‬‬
‫‪.( ‬‬
‫‪a   2 R ˆj‬‬
‫‪a   2 R ˆj‬‬
‫‪18‬‬
‫)‪ (2.11‬ברגע ‪ t  0‬נמצאת מכוניתת ‪ B‬בצומת ונעה במהירות‬
‫‪ vB  40m / s‬מזרחה‪ .‬מכונית ‪ A‬הנמצצאת ‪ 100m‬דרומית‬
‫לצומת נעה בבמהירות ‪ v A  30m / s‬צפפונה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬כעבור ככמה זמן יהיה ההמרחק בין הממכוניות מינימללי?‬
‫מהו המררחק המינימלי?? ]‪ 1.2‬שניה‪ 80 ,‬מ'[ הדרכהה‪:‬‬
‫קבל ביטטוי למרחק כתלות בזמן ומצאא אקסטרימום‪.‬‬
‫ב‪ .‬רשום את ווקטור המייקום של מכוניית ‪ B‬ביחס לממכונית‬
‫‪) A‬כתתלות בזמן(‪ .‬ממהי המהירות ההיחסית של גוף ‪B‬‬
‫ביחס ל‪? A-‬‬
‫ת‬
‫שבזמן‬
‫ג‪ .‬הראה ש‬
‫שמצאת בסעיף א' )ההוא הזמן בו ההמרחק‬
‫בין הגוופים מינימלי(( ווקטור המיקום היחסי מאונך‬
‫לווקטור המהירות היחסית‪ .‬נסו לההבין למה זה כך‪ .‬נסו להוככיח כי כאשר גוף נמצא בממרחק‬
‫ר‬
‫אקסטריימלי מגוף אחרר אז ווקטור הממיקום והמהירות היחסי מאוננכים זה לזה‪.‬‬
‫)‪ (2.12‬טוררבינה שמסתובבבת בתדירות של ‪ 180‬סל""ד )סיבובים ללדקה(‪ ,‬מתחילהה להאט בתאווטה זוויתית קבבועה‬
‫של ‪. 3rad sec2‬‬
‫המהירות הזוויתית כתתלות בזמן?‬
‫ת‬
‫א‪ .‬מהי מהירותתה הזוויתית הההתחלתית ? מהי‬
‫] ‪ 6 rad sec‬‬
‫‪, 0‬‬
‫‪[  t   6  3t‬‬
‫ב‪ .‬לאחר כמה זממן תעצור הטוורבינה? ] ‪[ t  2 sec‬‬
‫ג‪ .‬כמה סיבובים‬
‫ם תעשה עד לעעצירתה? ] ‪[  rounds‬‬
‫)‪ (2.13‬גלגגל בעל רדיוס של ‪ 50‬ס"ממ‪ ,‬מסתובב בתתדר של ‪ 4‬סייבובים לשניהה‪ .‬הגלגל מתחחיל להאט בתאאוצה‬
‫זווייתית‪. α  4t :‬‬
‫א‪ .‬לאחר כמה זממן נעצר הגלגלל? ] ‪[ t  2 π sec‬‬
‫‪16  π‬‬
‫ם משלים הגלגגל עד לעצירה?? ]‬
‫ב‪ .‬כמה סיבובים‬
‫‪3‬‬
‫ססיבובים[‬
‫של נקודת הקצהה של גלגל מססתובב מתאוצתתה הרדיאלית‪ ,‬אם‬
‫שבו פי כמה גדדולה התאוצה המשיקית ל‬
‫)‪ (2.14‬חש‬
‫שווה ל‪] . 30 -‬פי ‪[ 3‬‬
‫ידועע שהזווית בין התאוצה השקקולה לבין המההירות הקווית ש‬
‫‪19‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.15‬גוף נע בתנועה מעגלית לפי משוואת התנועה ‪.(SI) r  4cos 3πt ˆi  4sin  3πt ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את וקטור המהירות כפונקציה של הזמן‪[ v  12  sin  3πt ˆi  12  cos  3πt ˆj ] .‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את וקטור התאוצה כפונקציה של הזמן‪[ a  36  2 cos 3πt ˆi  36  2 sin  3πt ˆj ].‬‬
‫ג‪ .‬תאר‪/‬י את תנועת הגוף‪ .‬מהי משוואת המסלול? ] ‪[ x 2  y 2  16‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬הראה‪/‬י שווקטור המהירות מאונך לווקטור ‪ r‬בכל ‪.t‬‬
‫החל מרגע מסוים )אפשר לקחת רגע זה כ‪ ,(t=0-‬מתחיל הגוף להאיץ בתאוצה זוויתית קבועה‪ .‬ידוע כי‬
‫מהירותו הזוויתית גדלה פי ‪ 2‬תוך ‪ 3‬שניות‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב‪/‬י את התאוצה הזוויתית של הגוף‪[  rad / s 2 ] .‬‬
‫ו‪ .‬מהו גודל התאוצה השקולה של הגוף‪ 2 ,‬שניות לאחר תחילת ההאצה? ]‪[987m/s2‬‬
‫‪‬‬
‫ז‪ .‬חשב‪/‬י את ‪ , a‬וקטור התאוצה השקולה של הגוף‪ 2 ,‬שניות לאחר תחילת ההאצה‪,‬אם ידוע שהגוף‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫החל האיץ מהנקודה ˆ‪[ a  4(5 ) 2 ˆi  4 ˆj ] . r  4i‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.16‬מיקום של גוף נקודתי נתון במשוואה ‪) r  5sin  t ˆi+4 cos  t ˆj :‬המיקום במטרים‪ ,‬הזמן בשניות(‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את משוואת המסלול של הגוף?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את רגעי הזמן שבהם המהירות ורדיוס‪-‬ווקטור מאונכים‪[ t  n sec ] .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את תאוצת התנועה והראה שהיא מכוונת כלפי ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪[x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y2‬‬
‫]‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25 16‬‬
‫‪2‬‬
‫] ‪[ at   5 2 sinπ t iˆ  4 2 cosπ t  ˆj‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא באיזה רגעי זמן גודל התאוצה הוא ‪[ t  0.25  n sec ] . v 2 r‬‬
‫ה‪.‬‬
‫חשבו את המרחק המינימאלי של הגוף מראשית הצירים‪ .‬כמה פעמים‪ ,‬במשך מחזור תנועה אחד‪,‬‬
‫מגיע הגוף למרחק המינימאלי מהראשית? ] ‪ , 4 m‬פעמיים[‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את וקטור היחידה ˆ‪] . r‬‬
‫‪5 sin π t iˆ  4 cosπ t  ˆj‬‬
‫‪5 sin π t   4 cosπ t ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪rˆ ‬‬
‫[‬
‫)‪ (2.17‬גלגל מסתובב לפי משוואת התנועה ‪)   A  t  t 2  t 3‬הזווית נמדדת ברדיאנים‪ ,‬הזמן בשניות‪A ,‬‬
‫קבוע(‪ .‬ידוע שבזמן ‪ t  2sec‬התאוצה הרדיאלית של נקודה הנמצאת בקצה הגלגל שווה ל‪.346m/s2 -‬‬
‫א‪ .‬מה המשמעות של הקבוע ‪) ?A‬זווית התחלתית(‬
‫ב‪ .‬מהו רדיוס הגלגל? ]‪ 1.197‬מ'[‬
‫ג‪ .‬חשב‪/‬י את גודל התאוצה )השקולה( בזמן ‪ 346.4] . t  2sec‬מ\ש‪[2‬‬
‫‪20‬‬
‫)‪ (2.18‬נקודה מסתובבת במסלול בעל רדיוס ‪ 2‬ס"מ‪ .‬המרחק שהנקודה עוברת במסלול זה )על קשת המעגל( נתון‬
‫ע"י ‪ . s  0.1t 3‬מצאו את התאוצה המשיקית‪ ,‬את התאוצה הרדיאלית ואת התאוצה השקולה של הנקודה‪,‬‬
‫ברגע בו מהירות הנקודה שווה ל‪ 4.54 ,4.5 ,0.6] . 0.3 m / s -‬מ\ש‪[2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.19‬מיקום של גוף נתון לפי‪) r t   5 cos 2 π t iˆ  4 cosπ t  ˆj :‬המרחק נמדד במטרים‪ ,‬הזמן בשניות(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את מסלול התנועה של הגוף‪[ x  5 y ] .‬‬
‫‪16‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הביטוי למהירות הגוף‪ .‬באיזה רגעי זמן המהירות היא בכיוון ציר ‪? y‬‬
‫] ‪, -5π sin 2π t  iˆ  4π sin π t  ˆj‬‬
‫‪ m , t   m‬הוא שלם חיובי[‬
‫‪0.5  m‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תאוצת הגוף‪ .‬מהו גודלה ברגעים בהם המהירות מתאפסת ?‬
‫] ‪ 10π 2 , 116π 2 , 116π 2 , 100π 4 cos 2 2π t   16π 4 cos 2 π t ‬הכל ב‪ -‬מ\ש‪[2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.20‬נתון מיקומו של גוף‪) r  (4t  2t 2 )iˆ  (3t  1.5t 2 ) ˆj :‬המרחק‪-‬במטרים‪ ,‬הזמן‪-‬בשניות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת התנועה של הגוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מהירות הגוף‪ .‬מהו גודל המהירות בזמן ‪? t  2sec‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תאוצת הגוף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.21‬נתון מיקומו של גוף‪) r  3e3t iˆ  30t 2 ˆj :‬המרחק במטרים‪ ,‬הזמן בשניות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את משוואת המסלול של הגוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪/‬י את מהירות הגוף‪ .‬מה גודל מהירות הגוף ב ‪? t  2 sec‬‬
‫ג‪ .‬מצא‪/‬י את תאוצת הגוף‪.‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (2.22‬נתונה מהירותו של גוף‪) v  3e 3t iˆ  30t 2 ˆj :‬המהירות נמדדת במטרים והזמן בשניות(‪ .‬בתחילת‬
‫‪‬‬
‫התנועה ) ‪ ( t  0‬הגוף נמצא בנקודה ‪. r0  iˆ  3 ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת התנועה של הגוף )כלומר מיקומו כתלות בזמן(‪[ r  e3tiˆ  (3  10t 3 ) ˆj ] .‬‬
‫ב‪ .‬מצא את משוואת המסלול‪ y  3  10 (ln x )3 ] .‬אפשר גם‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪( y 30)/10‬‬
‫‪3‬‬
‫* ‪[ x  e3‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תאוצת הגוף כפונקציה של הזמן ואת גודלה בתום השנייה הראשונה ) ‪.( t  1sec‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫] ˆ‪[ a (1sec)  18.77 iˆ  60 ˆj [m / s 2 ] , a (t )  9e3t iˆ  60tj‬‬
‫‪21‬‬
‫)‪ (2.23‬המיקום של חלקיק לאורך ציר ה‪ x-‬תלוי בזמן לפי המשוואה הבאה‪ x) x  At 2  Bt 3 :‬במטרים ו‪t -‬‬
‫בשניות(‪ .‬תחילת התנועה הוא הרגע ‪. t  0‬‬
‫א‪ .‬מהן היחידות של ‪ A‬ו ‪[ m / s 3 , m / s 2 ] ?B‬‬
‫עבור הסעיפים הבאים הערכים המספריים של ‪ A‬ו‪ B-‬הם ‪ 3‬ו‪ 1-‬בהתאם )ביחידות המתאימות ב‪.(SI-‬‬
‫ב‪ .‬באיזה זמן מגיע החלקיק למיקומו המקסימלי לאורך ציר ה‪[ t  0.222 sec ] ? x-‬‬
‫ג‪ .‬מה אורך המסלול שהחלקיק עושה ב‪ 4-‬השניות הראשונות? ] ‪[ 176.016 m‬‬
‫ד‪ .‬מהו העתק הגוף ב‪ 4-‬שניות אלו? ] ‪[  176 m‬‬
‫ה‪ .‬מהי מהירות החלקיק ותאוצתו בסוף ‪ 4‬השניות הראשונות? ] ‪[  70 m s 2 ,  136 m s‬‬
‫ו‪ .‬מהי המהירות הממוצעת של החלקיק בין ‪ t=2‬לבין ‪[  78 m s ] ? t=4‬‬
‫)‪ (2.24‬פגז נורה מתותח העומד למרגלות הר בעל שיפוע קבוע ‪) β  450‬יחסית לאופק(‪ .‬הפגז נע בנפילה‬
‫חופשית )כלומר תאוצתו ‪ g‬כלפי מטה(‪ .‬מהירותו ההתחלתית של הפגז ‪. v0‬‬
‫א‪ .‬רשום את ווקטור המיקום של הפגז )בחר את ראשית הצירים בנקודת היציאה שלו(‪ ,‬כתלות בזמן‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫בזווית ‪ α‬ובפרמטרים האחרים בבעיה‪[ r t   v0 cos   iˆ   v0 sin   gt   ˆj ] .‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מצא ביטוי למרחק של נקודת הפגיעה מנקודת המוצא של הפגז )בהנחה שגודל המהירות אינו מספיק‬
‫כדי לעקוף את ההר(‪ ,‬כתלות בזווית ‪ α‬ובפרמטרים האחרים בבעיה‪.‬‬
‫‪2v02  sin 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪ tan   cos 2  ‬‬
‫‪g  cos   2‬‬
‫‪‬‬
‫‪[ L  ‬‬
‫רמז‪ :‬אם בחרתם מערכת צירים ‪ xy‬כמוראה‬
‫‪y‬‬
‫באיור‪ ,‬בנקודת הפגיעה מתקיים ‪ tg ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.‬‬
‫מכאן מקבלים גם שהמרחק המקסימלי נתון ע"י‬
‫‪L  x 2  y 2  x 2  ( x tg  ) 2  x / cos 2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬באיזו זווית ‪) α‬יחסית לאופק( יש לירות את‬
‫‪x‬‬
‫הפגז כדי שפגיעתו בהר תהיה הרחוקה ביותר?‬
‫הדרכה‪ :‬מצאו את המינימום של הפונקציה שמצאתם בסעיף הקודם‪ .‬ניתן להיעזר בזהות‪:‬‬
‫‪ . cos(2 )  cos2   sin 2 ‬תשובה‪.   67.50 :‬‬
‫הערה‪ :‬במקרה של ‪ β‬כלשהי התשובה תהיה ‪. (β  900 ) / 2‬‬
‫‪22‬‬
‫)‪ (2.25‬שתי סירות יוצאות מנמל משתי נקודות שונות שהמרחק ביניהן הוא ‪ 500‬מטרים‪ .‬סירה ‪ A‬מתחילה‬
‫מתנועה במהירות קבועה בקו ישר‪ ,‬כמשורטט‪ .‬וגם סירה ‪ B‬מתחילה מתנועה בקו ישר‪ ,‬כמשורטט‪.‬‬
‫נתונים‪. v B  2 m / s , v A  15 m sec :‬‬
‫א‪ .‬רשום את וקטור מיקום הגופים ביחס למערכת צירים ‪ xy‬סטנדרטית הנמצאת במיקום ההתחלתי של‬
‫סירה ‪.B‬‬
‫‪‬‬
‫] ‪rB t   2  cos 30  t  iˆ  2  sin 30  t  ˆj m‬‬
‫‪[ rA t   500  15  cos 45  t   iˆ  15  sin 45  t   ˆj m‬‬
‫ב‪ .‬מתי המרחק בין שתי הסירות מינימאלי ? ] ‪[ t  25.2 sec‬‬
‫ג‪ .‬מהו המרחק המינימאלי בין שתי הסירות ? ] ‪[ 285.7 m‬‬
‫ד‪ .‬מהי המהירות היחסית בין שתי הסירות כפונקציה של הזמן ?‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫] ‪[ (12.3 i  9.6 j ) m / s‬‬
‫ה‪ .‬הראו שברגע בו המרחק ביניהן מינימאלי‪ ,‬המהירות היחסית ניצבת לווקטור המיקום היחסי‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫פרק ג'‪ :‬חוקי ניוטון‬
‫חוק ‪ :I‬חוק ההתמדה )שנוסח לראשונה על ידי גליליאו(‪ .‬גוף שעליו לא פועלים כוחות )או שהכוח השקול‬
‫עליו שווה לאפס( יתמיד במצבו‪ :‬אם נייח יישאר נח )הגיוני!( ואם נע במהירות ימשיך לנוע באותה‬
‫מהירות כווקטור )בתוספת הזו לחוק מתחילה המהפכה המחשבתית בהבנת תנועת גופים(‪.‬‬
‫חוק ‪ :II‬סכום הכוחות על גוף פרופורציוני לתאוצת הגוף‪ .‬מקדם הפרופורציה הוא מסת הגוף‪ ,‬המתארת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כמה קשה לשנות את מצבו של הגוף )כלומר להאיצו(‪ .‬ובנוסחה‪.  F  m a :‬‬
‫חוק ‪ :III‬חוק הפעולה והתגובה‪ ,‬חוק ה"קונטרה"‪ ,‬כוחות באים בצמדים שווי גודל והפוכי סימן‪ :‬אם גוף‬
‫א' מפעיל כוח ‪ F‬על גוף ב'‪ ,‬אז גוף ב' מפעיל על גוף א' כוח השווה בגודלו ומנוגד לכיוונו )‪.(-F‬‬
‫טיפול בבעיות עם כוחות‪ :‬נטפל בקורס במספר מקרים פרטיים‪:‬‬
‫מקרה א'‪ :‬כוח התלוי בזמן‪ .‬במקרה זה נקבל מהחוק השני של ניוטון כי התאוצה תלויה בזמן‪ .‬מווקטור‬
‫התאוצה ניתן לקבל את וקטור המהירות על ידי אינטגרציה‪ .‬ע"י אינטגרציה נוספת נקבל את ווקטור המיקום‬
‫של הגוף‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫)‪(3.1‬‬
‫זריקה עם כוח נוסף‪ :‬גוף בעל מסה של ‪ 0.2 kg‬נזרק בכיוון אופקי במהירות ‪ 10 m s‬מנקודה‬
‫‪‬‬
‫הנמצאת בגובה ‪ 60 m‬מהקרקע‪ .‬בזמן תנועתו הרוח מפעילה על הגוף כוח ‪ F‬אשר תלוי בזמן לפי‬
‫‪‬‬
‫המשוואה ‪ . F  1.2t ˆi-0.4 ˆj‬בתשובות נלקחה תאוצת כובד ‪ .g=10m/s2‬מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪ .‬משוואת התנועה של הגוף‪ ,‬כלומר‪ ,‬וקטור המיקום שלו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪r  t    t 3  10t  ˆi   6 t 2  60  ˆj‬‬
‫‪12‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬משוואת המסלול של תנועת הגוף‪ 10  10   .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪32‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪( x   10  ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מתי הגוף יפגע בקרקע ובאיזה מרחק מהמצב ההתחלתי? ) ‪( t  10 sec , 87.2 m‬‬
‫‪24‬‬
‫)‪(3.2‬‬
‫גוף הנע על ממישור‪ :‬גוף שממסתו ‪ 2kg‬נע על מישור אופפקי ‪) xy‬המיש‬
‫שור אופקי משממע שכוח הכובבד‬
‫‪‬‬
‫מאונך למישוור ומאוזן על יידי הכוח הנורמל(‪ .‬נתונים ממהירות הגוף וממיקומו בזמן ‪, v 0  5iˆ : t=0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . r0  ˆi  3 ˆj‬נתון גם הכוחח השקול הפועעל על הגוף ‪)) 2 e t ˆi  6t 2 ˆj‬הזמן ב‪ sec -‬והכוח ב‪.(N -‬‬
‫מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מהירות הגוףף כתלות זמן‪( v  t    e t  4  ˆi  t 3 ˆj ) .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ t4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫ˆ‬
‫וקטור המיקוום של הגוף כתתלות בזמן‪( r  t    e  4t  i    3  ˆj ) .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪4y 12‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(x  e‬‬
‫ג‪.‬‬
‫משוואת המססלול של הגוף?? ) ‪ 4 4 4y  12‬‬
‫ד‪.‬‬
‫המהירות של הגוף לבין ווקטור התאוצה שלו ב‪. t=3seec-‬‬
‫ת‬
‫הזווית בין וקקטור‬
‫)‪(3.3‬‬
‫מונח על‬
‫ם כוח נטוי בזוווית התלוי בזמן‪ :‬הגוף שבצייור‪ ,‬מסתו ‪ 3000gr‬והוא ח‬
‫גוף הנע לאוררך קו ישר עם‬
‫ם(‪.‬‬
‫הרצפה‪ .‬בזמןן ‪ t = 0‬מתחילל לפעול על הגגוף כוח שגודללו ‪) F  2t‬הזמן בשניות וההכוח בניוטונים‬
‫הכוח פועל בבזווית ‪ α=370‬יחסית לציר ההתנועה )ציר ‪.(x‬‬
‫‪1‬‬
‫נתון כי מקדם החיכוך )הסטטי ווהקינטי( בין ההגוף והרצפה ההוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫שטות החישוב קחו‪α = 0.6, cosα = 0.8:‬‬
‫לפש‬
‫‪. g = 10m/s2, sinα‬‬
‫א‪ .‬מתי יתחיל ההגוף לנוע? ]‪[0.5 seec‬‬
‫‪α‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף לאחר ‪ 2‬שניות? ] ‪[ 7.5 m / s‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מה המרחק ש‬
‫שהתקדם הגוף עד לניתוקו ממהקרקע ? ] ‪ 80 / 9  8.9‬ממטרים[‬
‫)‪(3.4‬‬
‫ם גלגלת‪ :‬שני גגופים ‪ A‬ו– ‪ B‬שמסותיהם ‪ mA=33kg, mB=2kgg‬קשוריים זה‬
‫גופים התלוייים על חוט עם‬
‫לזה באמצעות חוט הכרוך סביב גלגלת‪ .‬ניתן להזניח אאת מסת החוט ואת כל כוחותת‬
‫החיכוך‪.‬‬
‫החל מררגע ‪ t=0‬ועד לרגע ‪ t=2s‬אדדם מחזיק בגוף ‪ ,B‬כך ששני הגופים נמצאיים במנוחה‬
‫‪ 3.5m‬מעל לרצצפה‪.‬‬
‫בגובה ‪m‬‬
‫נמצאים במנוחה ? מההו הכוח )גודל‬
‫ם‬
‫א‪ .‬מהי המתייחות בחוט במצצב שבו שני ההגופים‬
‫שמפעילה יד ההאדם על הגוף ‪ B‬במקרה המתואר בסעיף קקודם ?‬
‫וכיוון( ש‬
‫] ‪[ 10 N , 30N‬‬
‫‪25‬‬
‫מרגע ‪ t=2s‬ואילך האדם מפעיל על גוף ‪ B‬כוח שכיוונו כלפי מטה וגודלו משתנה לפי ‪) F  10  t‬הכוח‬
‫בניוטון והזמן בשניות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו גודל תאוצת הגופים מרגע ‪ ?t=2s‬מהי המתיחות בחוט )כתלות בזמן( בפרק זמן זה ?‬
‫] ‪[ a  t / 5, T  3t / 5  30‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים כתלות בזמן )כל עוד הבעיה אפשרית‪ ,‬כלומר החוטים לא מסתבכים‬
‫בגלגלת(? ] ‪[ t 2 / 10  0.4‬‬
‫מקרה ב'‪ :‬כוח התלוי במהירות‪ .‬כאשר הכוח השקול תלוי במהירות הגוף‪ ,‬התאוצה תהיה אף היא תלויה‬
‫במהירות )החוק השני(‪ .‬אי אפשר לקבל את המהירות על ידי אינטרציה של התאוצה לפי הזמן )כי לא יודעים‬
‫את התלות הישירה של התאוצה בזמן(‪ .‬במקרה זה משתמשים בשיטה לפתרון הנקראת "הפרדת משתנים"‪.‬‬
‫‪F ( v )  ma‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪F (v )  m‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫) ‪F (v‬‬
‫‪) dt  m‬לא משנה באיזה צד של המשוואה‬
‫נרשום את ‪ .(m‬הפרדנו את כל מה שתלוי ב‪) v-‬בעצם הכל(‪ ,‬ממה שתלוי בזמן‪ .‬ועכשיו ניתן לבצע‬
‫אינטגרציה על שני אגפי המשוואה‪:‬‬
‫‪dv‬‬
‫) ‪v(t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪t0‬‬
‫)‪ dt   m F (v‬‬
‫ממשוואה זו אפשר לחלץ את מהירת הגוף‪ .‬לאחר שיש בידינו את המהירות כתלות בזמן‪ ,‬ניתן לקבל את‬
‫מיקום הגוף כתלות בזמן )על ידי אינטגרציה( ואת תאוצתו כתלות בזמן )על ידי גזירה או‪ ,‬לחילופין‪,‬‬
‫שימוש בחוק השני של ניוטון עם הצבת המהירות שמצאנו(‪.‬‬
‫תרגילים לדוגמה‬
‫)‪(3.5‬‬
‫צנחן שמסתו ‪ m‬צונח ממנוחה ממסוק המרחף באוויר )כלומר מהירותו ההתחלתית ‪ (0‬ומגובה ‪ .H‬על‬
‫‪‬‬
‫הצנחן פועל כוח ריסון הגדל לינארית עם מהירותו‪ , f   bv vˆ :‬כאשר ‪ b‬הינו מקדם ריסון קבוע‪.‬‬
‫‪bt‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪mg ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הצנחן כתלות בזמן? ) ‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫כלפי מטה(‬
‫‪  btm‬‬
‫‪‬‬
‫‪mg ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪t‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬באיזה גובה מעל הקרקע נמצא הצנחן )כתלות בזמן(? ‪e  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מהי תאוצת הצנחן כתלות בזמן? ]‬
‫‪bt‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ge‬כלפי מטה[‬
‫‪26‬‬
‫‪H‬‬
‫ד‪ .‬מי יגיע קודם לקרקע‪ ,‬צנחן קל או צנחן כבד? הניחו שמקדם הריסון ‪ b‬זהה עבור שני‬
‫הצנחנים‪ .‬נמק‪/‬י את תשובתך‪] .‬כבד[‬
‫)‪(3.6‬‬
‫זריקת גוף עם חיכוך הפרופורציוני למהירות‪ :‬גוף נזרק באוויר בזווית ‪ α‬יחסית לאופק ובמהירות‬
‫התחלתית ‪ .v0‬בנוסף לכוח הכובד פועל על הגוף כוח ההתנגדות של האוויר )כוח גרר( הנתון על ידי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הקשר ‪ . f  bv‬כאשר ‪ b‬הוא קבוע חיובי‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את )‪ x(t‬ו‪.y(t)-‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪mV0 cos  ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪mg  ‬‬
‫‪mg 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ 1  e  , y (t )  Vo sin  ‬‬
‫‪ 1  e  ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪x (t ) ‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪/‬י את משוואת המסלול )‪.y(t‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪mg ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪m2 g ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y ( x )  V0 sin  ‬‬
‫‪ln  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b  V0 cos ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ mV0 cos ‬‬
‫ג‪ .‬הראה‪/‬י כי בגבול בו כוח החיכוך ניתן להזנחה ביחס לכוח הכובד מתקבלת משוואת המסלול‬
‫‪g‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 v0 cos ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. y  x tg ‬‬
‫‪z2‬‬
‫הדרכה‪ :‬השתמש בקירוב‬
‫‪2‬‬
‫‪bx‬‬
‫הקטן‬
‫‪m v0 cos ‬‬
‫)‪(3.7‬‬
‫‪) ln(1  z )   z ‬טור מקלורן עד הסדר השני( כאשר הפרמטר‬
‫‪ z ‬ניתן להזנחה ביחס ל ‪.1‬‬
‫סירה שמסתה ‪ 100‬ק"ג החלה את תנועתה במהירות ‪ 3‬מ\ש ומואטת על ידי כוח חיכוך )הוא הכוח‬
‫‪‬‬
‫השקול( הנתון בנוסחה‪) F   2 e 0.4v vˆ :‬יחידות המדידה‪ = v .(mks :‬מהירות הגוף‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן יעבור עד לעצירת הסירה? ]‪ 87.35‬שניות[‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף בחצי מהזמן הנ"ל? ]‪[1.075m/s‬‬
‫מקרה ג'‪ :‬כוח שתלוי במיקום )כמו למשל כוח קפיץ(‪ .‬נרחיב על מקרה זה כאשר נדבר על עבודה ואנרגיה וכן‬
‫בפרק על תנועה הרמונית‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪(3.8‬‬
‫גוף בעל מסה של ‪ 0.2kg‬נזרק באופן אופקי במהירות ‪ 10 m / s‬מנקודה הנמצאת בגובה ‪ 60m‬מעל‬
‫‪‬‬
‫הקרקע‪ .‬בזמן תנועתו רוח מפעילה על הגוף כוח המשתנה עם זמן לפי המשוואה ‪f  1.2tiˆ  0.4 ˆj‬‬
‫)הזמן נמדד בשניות והכוח בניוטונים(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מהו ווקטור המיקום של הגוף? ] ‪[ 0.5t 4  10t  iˆ  60  6t 2  ˆj‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ .‬מהי משוואת המסלול של הגוף ? ] ‪[ x y   0.5   60  y   10  60  y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬מתי הגוף יפגע בקרקע ובאיזה מרחק מהמצב ההתחלתי ? ] ‪[ 87.17 m , 10 sec‬‬
‫)‪(3.9‬‬
‫כוח חיכוך‪ :‬כוח אופקי שגודלו ‪) F=2t‬כאשר הזמן ‪ t‬נתון בשניות והכוח ‪ F‬בניוטונים( פועל על גוף‬
‫שמסתו ‪ 2kg‬הנמצא במנוחה על משטח אופקי‪ .‬מקדמי החיכוך בין הגוף למשטח ‪, k  0.15‬‬
‫‪ .  s  0.2‬מצא‪/‬י את‬
‫א‪.‬‬
‫זמן תחילת התנועה‪ 2] .‬שניות[‬
‫ב‪.‬‬
‫כוח החיכוך בזמן ‪ 1] .t=0.5 sec‬ניוטון[‬
‫ג‪.‬‬
‫תאוצת הגוף כפונקציה של זמן‪] .‬עד ‪ 2‬שניות אפס‪ ,‬מזמן ‪ 2‬שניות‪a  t  1.5 [m / s 2 ] :‬‬
‫[‬
‫ד‪.‬‬
‫מהירות הגוף לאחר ‪ 4‬שניות‪ 3] .‬מ‪/‬ש[‬
‫ה‪.‬‬
‫מיקום הגוף לאחר ‪ 4‬שניות‪ 7.3] .‬מ'[‬
‫)‪ (3.10‬צוללת שמסתה ‪ 30‬טון שטה בכיוון אופקי במהירות ‪ 10‬מ\ש‪ .‬ברגע מסוים הצוללת מכבה את מנועה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מרגע זה פועל על הצוללת כוח עצירה הנתון בביטוי ˆ‪ . F = -(b v 2 ) v‬זהו הכוח היחידי הפועל על‬
‫הצוללת )הניחו כי בכיוון האנכי אין תנועה(‪ .‬נתון כי ‪ 5‬דקות לאחר כיבוי המנוע מהירות הצוללת‬
‫קטנה פי ‪.4‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הצוללת כפונקציה של הזמן? ]‬
‫‪0.1  0.001 t‬‬
‫‪[ v (t ) ‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את הקבוע ‪[ 30 kg / m ] b  .b‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו המרחק שעברה הצוללת בחמש הדקות מרגע כיבוי המנוע? ]‪ 1386.2‬מ'[‬
‫‪28‬‬
‫)‪ (3.11‬כדור שמסתו ‪ 10‬ק"ג נזרק אנכית כלפי מעלה מהקרקע במהירות התחלתית ‪ .100 m/s‬במהלך‬
‫‪‬‬
‫העלייה‪ ,‬בנוסף לכוח כבידה‪ ,‬משפיע על הגוף כוח התנגדות האוויר‪) F = -(b v 2 ) vˆ :‬המהירות‬
‫נמדדת ב‪ m/s-‬והכוח בניוטונים(‪.‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ arctan  ,  tan  x  dx   ln  cos x , g  10m / s 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו הכוח השקול שפעל על הכדור מיד אחרי הזריקה? ]‪ 2100‬ניוטון כלפי מטה[‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נמשכת עליית הכדור? ] ‪arctan(100 / 500)  3.02sec‬‬
‫‪5‬‬
‫[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף כתלות בזמן?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v (t )  500 tan arctan(100 / 500 )  5 t / 5  22.36 *tan 1.35  0.447 t ‬‬
‫ד‪ .‬מהו הגובה המקסימלי אליו מגיע הכדור? ]‪ 76‬מ'[‬
‫ה‪ .‬מהי תאוצתו בנקודה זו? ]‪ g‬כלפי מטה[‬
‫ו‪ .‬אם על הכדור לא ישפיע כוח התנגדות האוויר‪ ,‬עד לאיזה גובה מקסימלי הוא יגיע? ]‪ 500‬מ'[‬
‫)‪ (3.12‬גוף שמסתו ‪ 1‬ק"ג נזרק מהקרקע במהירות תחילית של ‪ 50‬מטר לשנייה‪ ,‬בזווית של ‪ 30‬מעל‬
‫‪‬‬
‫האופק‪ .‬נתון כי שקול הכוחות על הגוף במהלך שהותו באוויר הוא‪. F  t   3t ˆi  10 ˆj :‬‬
‫א‪ .‬מהי משוואת התנועה של הגוף )הכוונה היא לווקטור המיקום(?‬
‫‪‬‬
‫‪  t3‬‬
‫] ]‪[ r    43.3t  iˆ   5 t 2  25t  ˆj [m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מתי הגוף יפגע חזרה בקרקע? ]‪ 5‬שניות[‬
‫ג‪ .‬באיזה מרחק ביחס לנקודת המוצא שלו יפגע הגוף בקרקע? ]‪ 279‬מ'[‬
‫)‪ (3.13‬גוף בעל מסה של ‪ 5‬ק"ג מונח על פני רצפה חסרת חיכוך בראשית הצירים‪ .‬הרצפה היא המישור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .z=0‬ברגע מסוים מפעילים על הגוף שני כוחות אופקיים‪ F1  3i  cos(2t ) j :‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪) F2  2t 2i  2 sin 2 (t ) j‬הכוחות נמדדים בניוטונים והזמן בשניות(‪ .‬כל הסעיפים הבאים‬
‫מתייחסים לזמן של ‪ 2‬שניות לאחר הפעלת הכוחות‪ .‬זהויות טריגונומטריות עשויות לעזור‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת הגוף )גודל וכיוון(? ]‪[2.2 m/s2‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף )גודל וכיוון(? ]‪ 2.3‬מ‪/‬ש[‬
‫ג‪ .‬מהו מרחק הגוף מראשית הצירים? ]‪ 1.78‬מ'[‬
‫‪29‬‬
‫ד‪ .‬מהי הזווית בין שני הכוחות? ]‪ 24‬מעלות[‬
‫)‪ (3.14‬גוף שמסתו ‪ m‬נמצא במנוחה על מישור אופקי‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬מתחיל לפעול על הגוף כוח‬
‫אופקי )‪ b) F=2bsin(t‬הינו קבוע‪ = t ,‬זמן בשניות‪ ,‬הארגומנט של ה‪ sin -‬ברדיאנים(‪.‬‬
‫מקדם החיכוך הסטטי והקינטי בין הגוף והמישור הוא )‪.μ=b/(mg‬‬
‫א‪ .‬באיזה רגע הגוף מתחיל את תנועתו? ] ‪[  / 6  sec‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות הגוף ‪ t‬שניות לאחר רגע ‪ t=0‬ןעד שייעצר?‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫] ‪-2cos(t) -t  3   / 6‬‬
‫‪m‬‬
‫‪[ v (t ) ‬‬
‫ג‪ .‬מהו מיקום הגוף )ביחס לנקודת מוצאו( ‪ ‬שניות לאחר תחילת תנועתו? ] ‪[ 2.1  b/m ‬‬
‫)‪ (3.15‬כוח ‪ F‬מושך גלגלת חסרת מסה‪ .‬על הגלגלת תלויות )חוט חסר מסה וללא חיכוך( שתי‬
‫מסות כמוראה בציור‪ .‬לפני תחילת פעולת הכוח המסות מונחות על הרצפה‪m1=1kg, .‬‬
‫‪20 t 2‬‬
‫‪) F ‬הכוח בניוטון והזמן בשניות‪ ,‬תחילת‬
‫‪ .m2=4kg‬הכוח משתנה לפי‬
‫‪9‬‬
‫התרגיל ‪.(t=0‬‬
‫א‪ .‬באיזה זמן הגוף הקל מתחיל לזוז? נסמן זמן זה ב‪ 3] .t1-‬שניות[‬
‫‪F‬‬
‫‪m2‬‬
‫ב‪ .‬מהם הכוחות הנורמאליים הפועלים על כל גוף כתלות בזמן‪ ,‬עד ל‪? t1 -‬‬
‫] )‪[ 10(1-t 2 / 9), 10(4  t 2 / 9‬‬
‫ג‪ .‬באיזה זמן מתחילים שני הגופים לזוז? נסמן זמן זה ב‪ 6] .t2-‬שניות[‬
‫ד‪ .‬מהי‬
‫תאוצת‬
‫הגופים‬
‫כתלות‬
‫בזמן?‬
‫]מרגע‬
‫שהתחילו‬
‫לנוע‪:‬‬
‫] ‪[ 10(t 2 / 9  1), (5t 2 / 18  10) [m / s 2‬‬
‫ה‪ .‬מהי מהירות ‪ m1‬ברגע ‪ 200] ? t1+t2‬מ‪/‬ש‪ ,‬בהנחה שהחוטים ממש ארוכים‪[...‬‬
‫)‪ (3.16‬גוף שמסתו ‪ , m  1 kg‬נמצא על קו ישר‪ .‬ברגע ‪ , t  0‬מתחיל לפעול על הגוף כוח‬
‫‪) F  10  sin  t ‬הכוח בניוטון‪ ,‬זמן בשניות‪ ,‬הארגומנט של ה‪ sin -‬ברדיאנים( בכיוון הקו הישר‪.‬‬
‫מקדם החיכוך ) הסטטי והקינטי( בין הגוף והקו הוא ‪. μ  0.5‬‬
‫א‪ .‬מתי מתחיל הגוף לנוע? ] ‪  /6‬שניות[‬
‫ב‪ .‬הראו כי הגוף עוצר לאחר ‪ 3.8168‬שניות )בקירוב( מרגע הפעלת הכוח‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫‪m1‬‬
‫)‪ (3.17‬בלוק בעל מסה ‪ m‬מונח על מישור משופע החופשי לנוע על משטח אופקי חסר חיכוך‪ .‬מסת המישור‬
‫המשופע היא ‪ M‬וזווית השיפוע ‪. ‬‬
‫א‪ .‬איזה תאוצה ‪ a‬צריכה להיות ל‪ M-‬יחסית לרצפה על מנת שהבלוק יישאר במנוחה יחסית למישור‪.‬‬
‫הניחו כי אין חיכוך בין הבלוק ומישור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬איזה כוח ‪ F‬צריך להפעיל על המערכת כדי לקבל תאוצה כזו?‬
‫‪‬‬
‫ג‪* .‬הנח שהכוח ‪ F‬אינו מופעל על המערכת ושאין חיכוך בין הגופים‪ .‬תאר את התנועה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫)‪ (3.18‬מטוס אשר טס במהירות אופקית קבועה ‪ v0 = 100 m/s‬מטיל פצצה‪ .‬הפצצה מגיעה לקרקע כעבור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 8‬שניות‪ .‬במהלך הנפילה משפיע על הפצצה כוח התנגדות האוויר ‪ . F  10V‬מסת הפצצה היא‬
‫‪) .80 kg‬פתור בנפרד את משוואות התנועה עבור שני צירים ‪ x‬ו‪(y-‬‬
‫א‪ .‬מצא את הגובה שממנו שוחררה הפצצה‪ 70.4] .‬מ'[‬
‫ב‪ .‬מצא את המרחק האופקי אשר עוברת הפצצה במהלך הנפילה יחסית למקום שחרורה‪ 80] .‬מ'[‬
‫ג‪ .‬מצא את מהירות הפצצה )גודל וכיוון( בעת פגיעתה בקרקע‪ 8] .‬מ‪/‬ש בזווית ‪ 89.967‬מעלות[‬
‫)‪ (3.19‬גוף ‪ A‬שמסתו ‪ 4 kg‬נמצא במנוחה על מישור אופקי חלק‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫הגוף קשור לקצה חוט העובר דרך גלגלת חסרת חיכוך‬
‫למשקולת ‪ B‬בת ‪ 3 kg‬שתלויה בקצה השני של החוט‪ .‬מרגע‬
‫‪ t=0‬מופעל על גוף ‪ A‬כוח אופקי ‪ F‬המשתנה כתלות בזמן לפי‬
‫‪) F  t   20 t‬במערכת יחידות ‪.(SI‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪ .‬חשבו את תאוצת המערכת כפונקציה של הזמן‪ (30-20t)/7] .‬ביחידות ‪ ,SI‬כיוון חיובי ‪ -‬ימין[‬
‫ב‪ .‬מהו המרחק המקסימאלי ימינה שאליו יגיע גוף ‪ A‬יחסית למיקומו ההתחלתי? ]‪ 45/7‬מ'[‬
‫ג‪ .‬כמה זמן יחסית לזמן תחילת פעולת הכוח עובר עד שגוף ‪ A‬חוזר למיקומו ההתחלתי? ]‪[4.5sec‬‬
‫‪31‬‬
‫)‪ (3.20‬גוף שמסתו ‪ m‬הקשור בחחוט אופקי שאוורכו ‪ , L‬מסתוובב סביב נקודדה קבועה על ממשטח אופקי בבעל‬
‫ם(‪ .‬מהירותו הההתחלתית שלל הגוף ‪) v0‬ב‪ .(t=00-‬הביעו‬
‫מקדם חיכוך קינטי ‪) k‬כממוראה בתרשים‬
‫תשובותיכם ע"י‪. g , v0 , k , L , m :‬‬
‫של הזמן‪[ v0   k gt ] .‬‬
‫א‪ .‬מצאו את גודדל מהירות הגווף כפונקציה ש‬
‫ב‪ .‬מצאו את הממתיחות בחוט ככפונקציה של ההזמן‪] .‬‬
‫‪  k gt ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[ m  v‬‬
‫‪2‬‬
‫ל הזמן‪g   ].‬‬
‫‪[  g 2   v0   k gt‬‬
‫הגוף כפונקציה של‬
‫ג‪ .‬מצאו את גודדל תאוצת ף‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ .‬נתונים‪ . v0  15 m s , k  00.15 , L  0..5 m , m  2 kg :‬כממה סיבובים יעבבור הגוף עד‬
‫לעצירה?] ‪ 1.59‬סיבובים[‬
‫)‪ (3.21‬נתונה המערככת שבשרטוט‪ ,,‬המסות הן ‪ . m2  5 kkg , m1  3 kg‬עלל מסה ‪ m2‬פועעל כוח אופקי‬
‫)כמשורטט( התלוי בזמן ‪ . F  0.25t 2‬בבין שתי המסותת קיים כוח חיכוך בעל מקדממי החיכוך הבאאים‪:‬‬
‫‪ . s  0.3 , k  0.2‬הממשטח עליו מוונחת מסה ‪ m2‬חסר חיכוך‪.‬‬
‫א‪ .‬מתי מתחילהה מסה ‪ m1‬לנועע?] ‪[ 6 sec‬‬
‫ב‪ .‬מהי המתיחותת בחוט המחברר את מסה ‪ m2‬לקיר‪ ,‬כפונקציה של‬
‫הזמן? ] ‪0  t  6 sec‬‬
‫‪t  6 sec‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[ T  0.25t‬‬
‫‪6‬‬
‫ג‪ .‬מהו מיקום ממסה ‪ m1‬כפונקקציה של הזמן??‬
‫]‬
‫‪0  t  6‬‬
‫‪0  t  6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3t 2  18t  27 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪[ xt    1  0.25t 4‬‬
‫‪ 5   12‬‬
‫‪ ‬‬
‫שארת על ‪ m1‬בלי ליפול‪.‬‬
‫הניחו כיי המסה ‪ m2‬נש‬
‫‪32‬‬
‫)‪ (3.22‬שני גופים ‪3‬ק"ג=‪ m1‬ו‪2 -‬ק"ג=‪ m2‬נמצאים על משטח‪ .‬מקדם החיכוך בין הגופים ‪) μ=0.2‬מקדם‬
‫החיכוך הסטטי שווה לקינטי(‪ .‬בין הגוף ‪ m1‬למשטח אין חיכוך‪ .‬ב‪ t=0-‬מתחיל לפעול על גוף ‪ m1‬כוח‬
‫אופקי ‪ F‬הגדל לינארית עם ‪ t‬לפי‪) F=2t :‬הזמן בשניות והכוח מתקבל בניוטון(‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬מהי התאוצה המכסימלית שבה הגופים עדיין ינועו יחד? ] ‪[ 0.2 g  2 m / s 2‬‬
‫ב‪ .‬באיזה זמן מתקבלת תאוצה זו? ]‪ 5‬שניות[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים בזמן זה? ] ‪[ 12.5 m / s‬‬
‫‪2t  4‬‬
‫ד‪ .‬מהן תאוצות הגופים לאחר הזמן שמצאת בסעיף ג'? ] ‪, 0.2 g  2 m / s 2‬‬
‫‪3‬‬
‫ה‪ .‬מהי מהירות גוף ‪ m1‬ביחס לגוף ‪ m2‬בזמן ‪? t=10sec‬‬
‫‪33‬‬
‫[‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪μ‬‬
‫פרק ד'‪ :‬עבודה ואנרגיה‬
‫אנרגיה‬
‫קשה להגיד מה היא אנרגיה‪ ,‬אבל קל לתאר בעיות רבות בעזרת המושג‪.‬‬
‫ניתן לומר כי אנרגיה היא גודל הנשמר במערכת סגורה‪ ,‬כלומר בתהליך הקורה במערכת סגורה האנרגיה‬
‫הכוללת נשמרת‪ .‬זהו "חוק שימור האנרגיה"‪ .‬ברקטה הנעה בחלל‪ ,‬למשל‪ ,‬האנרגיה הכימית האצורה בחומר‬
‫הדלק הופכת לאנרגיה של תנועה‪ ,‬ולאנרגיית חום‪ .‬בקורס נתמקד באנרגיה קינטית ובאנרגיה פוטנציאלית של‬
‫כוח משמר )יוסבר להלן(‪.‬‬
‫לפני כן נגדיר עבודה של כוח‪ .‬נדבר על חוק שימור האנרגיה המכנית והקשר שלו למשפט עבודה‪-‬אנרגיה‬
‫קינטית‪.‬‬
‫עבודה‬
‫עבודה של כוח קבוע‪ :‬עבודה של כוח שווה למכפלת הכוח בהעתק‪ .‬מדובר רק על רכיב הכוח המשפיע ישירות‬
‫על תנועת הגוף‪ .‬אם הכוח עוזר לגוף להתקדם לאורך מסלולו נקבל כי עבודת הכוח חיובית‪ ,‬ולהיפך – אם‬
‫הכוח מפריע לגוף להתקדם לאורך מסלולו העבודה של הכוח היא שלילית‪ .‬זה נכון גם כאשר הכוח איננו‬
‫קבוע‪.‬‬
‫בקורס מבוא לומדים את הנוסחה ‪ , W  F x cos ‬כאשר ‪ F‬הוא גודל הכוח‪ x ,‬הוא ההעתק של הגוף‬
‫)כאשר הוא נע לאורך ציר ‪ ,(x‬ו‪ -‬היא הזווית בין הכוח לבין כיוון ההתקדמות של הגוף‪.‬‬
‫ניתן לרשום את הנוסחה לחישוב עבודה של כוח קבוע ברישום קומפקטי יותר‪ ,‬שגם נותן לנו דרך נוספת‬
‫לחישוב‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪, W  F  r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ F‬הוא הכוח‪ r ,‬הוא ווקטור ההעתק‪ .‬והעבודה היא המכפלה הסקלרית בין שני הוקטורים הללו‪.‬‬
‫מעצם הגדרתה העבודה היא גודל סקלרי ‪ -‬חסר כיוון )אבל יכול להיות חיובי או שלילי(‪ ,‬שאינו תלוי בבחירת‬
‫מערכת הצירים‪.‬‬
‫באופן מפורש‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪W  F  r  F r cos   Fx x  Fy y  Fz z‬‬
‫)זוכרים את שתי אופני החישוב למכפלה סקלרית?(‬
‫‪34‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪F (t‬‬
‫חישוב עבודה של כוח כללי לאורך מסלול כללי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫)‪W   F  dr (1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫העבודה תמיד מחושבת בין שתי נקודות בהן נמצא הגוף )באיור‪ ,‬נקודות ‪ 1‬ו‪ dr .(2-‬הוא אלמנט אורך‬
‫דיפרנציאלי המכוון לאורך מסלול התנועה של הגוף בין שתי הנקודות‪ .‬העבודה מחושבת עבור מסלול ספציפי‬
‫ויכולה להשתנות ממסלול אחד לאחר )אפילו אם נקודות הקצה נשארות זהות(‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר גוררים גוף בין‬
‫שתי נקודות )גוררים מקרר מהמטבח לסלון( אז כוח החיכוך עושה עבודה )שלילית במקרה זה‪ ,‬כיוון שהוא‬
‫מפריע לתנועה(‪ .‬אם נעביר את הגוף במסלול ארוך יותר כוח החיכוך יפריע יותר ונקבל עבודה שונה‪.‬‬
‫קיימים כוחות מיוחדים שעבורם העבודה הנעשית בין שתי נקודות‪ ,‬אינה תלויה במסלול הספציפי שהוביל את‬
‫הגוף בין שתי הנקודות‪ .‬כוחות אלו נקראים כוחות משמרים‪ ,‬וביניהם כוח הכובד‪ ,‬כוח אלסטי )קפיץ אידיאלי(‬
‫והכוח החשמלי )האלקטרו‪-‬סטטי(‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫במקרה של כוח קבוע נוסחה )‪ (1‬תיתן ‪. W  F  r‬‬
‫עבודה כוללת ואנרגיה קינטית‬
‫מהחוק השני של ניוטון מתקבל קשר בין ‪ , Wtotal‬העבודה הכוללת הנעשית על גוף‪ ,‬לבין השינוי באנרגיה‬
‫הקינטית של הגוף‪:‬‬
‫‪(2) Wtotal  Ek‬‬
‫‪mv 2‬‬
‫‪. Ek ‬‬
‫כאשר‬
‫‪2‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(4.1‬‬
‫תרגיל מבוא‪ :‬גוף בעל מסה ‪ m‬נמצא על משטח אופקי‪ .‬על הגוף פועל כוח ‪ F‬בזווית ‪ α‬ביחס למישור‪.‬‬
‫מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והמשטח הוא ‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת כל הכוחות בבעיה זו כאשר הגוף מתקדם מרחק ‪, F cos  D ] ?D‬‬
‫‪[0,0 ,   ( mg  F sin  ) D‬‬
‫ב‪ .‬מצא‪ ,‬משיקולי עבודה ואנרגיה‪ ,‬את מהירות הגוף‪ .‬ידוע שהגוף התחיל את תנועתו ממהירות‬
‫‪1‬‬
‫נתונה ‪ . v0‬כמו כן נתונים‪[ ට38 v0 ] . F  mg / 2,   0.2, D  v0 2 / g :‬‬
‫‪5‬‬
‫‪35‬‬
‫)‪(4.2‬‬
‫תנועה מעגלית‪ :‬גוף בעל מסה ‪ m‬קשור לתקרה בחוט חסר מסה בעל אורך ‪ .L‬מפעילים על הגוף כוח‬
‫‪0‬‬
‫אופקי קבוע שגודלו ‪ F‬והוא מגיע לנקודה ‪ A‬בה החוט יוצר זווית של ‪ 60‬עם האנך‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת הכוח האופקי מהמצב ההתחלתי ועד שהגיע הגוף לנקודה ‪[ 3 FL / 2 ] ?A‬‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה שעושה כוח הכובד לאורך אותו המסלול? ]‪[-mgL/2‬‬
‫‪( 3 F  mg ) L‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף בנקודה ‪ ? A‬הגוף התחיל ממנוחה! ]‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,‬שימו לב שע"מ‬
‫שהגוף אכן יגיע לנקודה הרלוונטית חייב להתקיים ‪[ F  mg / 3‬‬
‫)‪(4.3‬‬
‫מסתו של קליע של רובה היא ‪ .5gr‬הקליע נע בתוך קנה הרובה מנקודה ‪ x=0‬ועד לנקודה ‪x=1m‬‬
‫)=אורך הקנה(‪ .‬במשך תנועתו בקנה פועל על הקליע כוח שקול הנתון בנוסחה ‪.F(x) = 3 - 2 x2‬‬
‫א‪ .‬מהי העבודה של הכוח השקול הפועל על הקליע בתנועתו ברובה? ]‪ 2‬ושליש ג'אול[‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הקליע ביציאתו מהקנה? ]‪ 30.55‬מ\ש[‬
‫)‪(4.4‬‬
‫כדור קטן שמסתו ‪ m=0.5kg‬נע בתוך מסילה חסרת חיכוך בצורת ר' הפוכה מנקודה ‪ ,A‬דרך ‪,B‬‬
‫‪‬‬
‫לנקודה ‪) C‬ראה‪/‬י איור(‪ .‬המסילה נתונה בשדה הכובד ‪ F   mg ˆj‬ביחד עם שדה כוח הנתון‬
‫‪‬‬
‫בנוסחה ‪.(MKS) F  2 x iˆ  6 xy ˆj‬‬
‫]‪y [m‬‬
‫א‪ .‬חשב את עבודת הכוח הנתון בתנועת הגוף‬
‫מ‪ A-‬ל‪[WF=24J] .C-‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬חשב את עבודת כוח הכובד בתנועת הגוף‬
‫‪B‬‬
‫‪y=2‬‬
‫מ‪ A-‬ל‪[Wmg= -5 J] .C-‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף בנקודות ‪ B‬ו‪?C-‬‬
‫] ‪76 m / s , 4 m / s‬‬
‫[‬
‫‪A‬‬
‫ד‪ .‬חשב את עבודת הכוח הנתון בתנועת גוף‬
‫מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ C‬במסלול ישיר )קו‬
‫ישר המחבר את הנקודות(‪ 39] .‬ג'אול‪,‬‬
‫משמע – הכוח לא משמר )ראה‪/‬י להלן([‬
‫‪36‬‬
‫]‪x [m‬‬
‫‪x=4‬‬
‫‪x=1‬‬
‫‪y=1‬‬
‫כוח משמר‬
‫כאשר מחשבים עבודה בין שתי נקודות‪ ,‬התוצאה עשויה להיות תלויה במסלול הספציפי שלאורכו הגוף‬
‫התקדם בין הנקודות‪ .‬כוחות שהעבודה שהם עושים בין שתי נקודות כלשהן אינה תלויה במסלול נקראים‬
‫כוחות משמרים‪.‬‬
‫הגדרות שקולות לכוח משמר‬
‫א‪.‬‬
‫כוח משמר הוא כוח העבודה שהוא עושה בין שתי נקודות כלשהן איננה תלויה במסלול הספציפי של‬
‫הגוף )אלא רק בנקודות הקצה – ההתחלה והסוף(‪.‬‬
‫ב‪ .‬כוח משמר הוא כוח שהעבודה שהוא עושה לאורך כל מסלול סגור היא אפס‪.‬‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬אם כוח משמר אזי מתקיים ‪ ,   F  0‬כאשר‬
‫‪z‬‬
‫‪Fy‬‬
‫)‪(4.5‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Fy‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   F  rotF ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Fx‬‬
‫גוף נע לאורך היקפו של ריבוע בעל אורך צלע ‪ 2‬מ' ואשר מרכזו בראשית הצירים מן הקודקוד‬
‫הימני העליון )הנקודה )‪ ,((1,1‬נגד כיוון השעון‪ ,‬ובחזרה לאותה נקודה‪ .‬בזמן תנועתו פועל על הגוף‬
‫‪‬‬
‫כוח הנתון ע"י‪) F  x, y    x ˆi  y ˆj :‬ביחידות ‪.(SI‬‬
‫א‪ .‬מהי העבודה המתבצעת ע"י הכוח בזמן תנועת הגוף לאורך היקף הריבוע? ]אפס[‬
‫ב‪ .‬האם הכוח משמר? נמק‪/‬י‪] .‬זה שבסעיף א' יצא אפס לא בהכרח אומר שהכוח משמר‪ .‬כוח משמר הוא כזה שהעבודה שהוא‬
‫‪‬‬
‫עושה לאורך כל מסלול סגור היא אפס‪ .‬כדי לבדוק אם כוח משמר ניתן לחשב את ‪ . rotF‬אם זה יוצא אפס‪ ,‬אזי הכוח משמר‪ .‬זה‬
‫המקרה כאן[‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬חזור על סעיפים א' ו‪-‬ב' עבור הכוח ‪) F  x, y    xy 2ˆi  yx ˆj‬אותו מסלול( ]העבודה יוצאת אפס‪ ,‬אבל‬
‫‪‬‬
‫הכוח אינו משמר כי ‪ rotF‬שונה מאפס‪ ,‬משמע שיש מסלול‪/‬ים סגור‪/‬ים שהעבודה הנעשית לאורכו‪/‬ם איננה‬
‫אפס![‬
‫כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית‬
‫אם העבודה של כוח איננה תלויה במסלול אז ניתן לרשום‬
‫‪(3) W12  U‬‬
‫נוסחה זו למעשה מגדירה את האנרגיה הפוטנציאלית הקשורה לכוח המשמר הנידון‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫מנוסחה זו ניתן לקבל נוסחה לאנרגיה הפוטנציאלית על ידי בחירת נקודת ייחוס לאנרגיה הפוטנציאלית‪ ,‬היא‬
‫נקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית שווה לאפס )והיא נקודה הניתנת לבחירה!(‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr‬‬
‫‪‬‬
‫‪U (r )  ‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪refference point‬‬
‫דוגמאות‬
‫א‪ .‬כוח הכובד‪ .‬נקודת הייחוס נבחרת ב‪) y=0 -‬ציר ‪y‬מכוון כלפי מעלה( ועל סמך נוסחה )‪:(4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ ( mg ) dy  mgy‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Fy dy  ‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr  ‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪U ( y)  ‬‬
‫‪refference point‬‬
‫ב‪ .‬כוח אלסטי‪ .‬נקודת הייחוס נבחרת בנקודת הרפיון של הקפיץ ‪,x=0‬‬
‫‪kx 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪( kx ) dy ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Fx dy  ‬‬
‫‪y 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr  ‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪U ( x)  ‬‬
‫‪refference point‬‬
‫ג‪ .‬כוח קולון‪ .‬נקודת הייחוס נבחרת באינסוף )כאשר המטענים רחוקים זה מזה ולא מרגישים זה את‬
‫זה(‪.‬‬
‫‪kq1q2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kq q‬‬
‫‪kq q‬‬
‫‪r  Fr dr   r  ( r12 2 ) dr  r1 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪F  dr  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪U (r)  ‬‬
‫‪refference point‬‬
‫שימו לב‪ :‬התוצאות הסופיות אמורות להיות מוכרות מקורסי המבוא‪.‬‬
‫חוק שימור האנרגיה‬
‫כאשר משלבים את נוסחאות )‪ (2‬ו)‪ (3‬מקבלים כי כאשר הכוח היחיד הפועל על הגוף הוא כוח משמר אז‬
‫האנרגיה הכוללת )פוטנציאלית וקינטית ביחד( נשמרת‪ Wtotal  Ek :‬‬
‫‪force‬‬
‫‪U  Wconservative‬‬
‫ומכאן ‪ , Ek  U  0‬כלומר‬
‫‪.(5)   Ek  U   0‬‬
‫במקרה שיש כוחות נוספים לכוחות המשמרים שעבורם חישבנו אנרגיה פוטנציאלית‪ ,‬נוסיף את השפעת‬
‫הכוחות האחרים דרך חישוב עבודתם ‪: Wother‬‬
‫‪.(6)   Ek  U   Wother‬‬
‫ניתן לרשום את הנוסחה הזו גם בצורה‬
‫‪E2  E1  Wother‬‬
‫‪38‬‬
‫')‪(6‬‬
‫כאשר ‪ E  Ek  U‬היא האנרגיה הכוללת )קינטית‪+‬פוטנציאלית( של הגוף‪ ,‬ומחושבת בהתחלה ) ‪( E1‬‬
‫ובסוף ) ‪.( E2‬‬
‫)‪(4.6‬‬
‫גוף שמסתו ‪ m=10 kg‬מתחיל לנוע במעלה מישור משופע ששיפועו‬
‫‪0‬‬
‫‪)30‬כלומר ‪ π/6‬רדיאנים(‪ ,‬מהנקודה ‪ x = 0‬שבה מהירות הגוף ‪ 10‬מ'\ש'‪ .‬על‬
‫הגוף פועל כוח שגודלו קבוע ‪ , F  100 3 N‬אך זווית נטייתו יחסית למישור‬
‫המשופע משתנה בהתאם לנוסחה ‪) α = π x / 12‬הזווית כאן נתונה ברדיאנים(‪.‬‬
‫החיכוך בין הגוף והמישור המשופע ‪ -‬זניח‪.‬‬
‫א‪ .‬באיזה ‪ x‬יתנתק הגוף מהמישור? ]‪ 2‬מ'[‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה שנעשתה על ידי הכוח ‪ F‬עד לנקודת ההתנתקות? ]‪ 330.8‬ג'[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגוף ברגע ההתנתקות? ]‪ 12.09‬מ\ש[‬
‫חישוב עבודה של כוח התלוי בזמן‪ ,‬הספק‬
‫‪  t2  ‬‬
‫‪W   F  dr   F  v dt‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( 7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t1‬‬
‫ההספק ממוצע בפרק זמן נתון ‪ ,t‬מוגדר כעבודה הנעשית בזמן זה )‪ ,(w‬ליחידת זמן‪ .‬כלומר ‪ .w/t‬הספק‬
‫רגעי מוגדר כקצב עשיית עבודה‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪dW‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪.P ‬‬
‫ממשואה )‪ (7‬רואים שהספק של כוח מכני ניתן לחישוב על ידי‬
‫‪ ‬‬
‫)‪P  F  v (9‬‬
‫)‪(4.7‬‬
‫כוח אופקי של ‪) F=2t‬כאשר הזמן ‪ t‬נתון בשניות והכוח ‪ F‬בניוטונים( פועל על גוף שמסתו ‪2kg‬‬
‫הנמצא במנוחה על משטח אופקי‪ .‬מקדמי החיכוך בין הגוף למשטח ‪.  s  0.2 , k  0.15‬‬
‫א‪ .‬מצא את הזמן שבו הגוף מתחיל לנוע? ]‪ 2‬שניות[‬
‫ב‪ .‬מצא את תאוצת הגוף כפונקציה של זמן‪[a = t-3/2 or 0] .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את עבודת הכוח החיצוני במשך ‪ 5‬השניות הראשונות‪[56.25J] .‬‬
‫ד‪ .‬חשב את ההספק הממוצע* של הכוח החיצוני במשך ‪ 5‬השניות הראשונות‪[11.25W] .‬‬
‫ה‪ .‬מצא את ההספק הרגעי כתלות בזמן‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫מהי עבודת כוח החיכוך במשך ‪ 5‬השניות הנ"ל )חיכוך קינטי וסטטי( ]‪[-20.25J‬‬
‫‪39‬‬
‫‪α‬‬
‫גרדיאנטט‬
‫הקשר הההפוך למשוואאה )‪:(4‬‬
‫‪‬‬
‫‪kˆ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ U ˆ U ˆ U‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪F  U ( r )   ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ x‬‬
‫)‪(5‬‬
‫שקל יציב‪/‬רופף‪/‬אדיש‬
‫שיווי מש‬
‫נהוג להבדיל בין ‪ 3‬מצצבים של שיוויי משקל‪ :‬יציב‪ ,,‬רופף ואדיש‪ .‬כאשר גוף נמצא בהשפעת ככוח משמר‪ ,‬בככל‬
‫‪ddU‬‬
‫שקל )בבעיה חדד ממדית( מתקקיים ‪ 0‬‬
‫ם של שיווי מש‬
‫המקרים‬
‫‪dx‬‬
‫)וכמובן הכוח שווה לאפס((‪.‬‬
‫נקודת שיווי המשקלל‪.‬‬
‫ת‬
‫שקל יציב – כאשר בהסטה קקטנה משיווי ההמשקל מופעל כוח שמכוון חחזרה אל‬
‫שיווי מש‬
‫למשל גולה הנמצאת בבקערה‪ .‬מדוברר בנקודת מיניממום של האנרגגיה הפוטנציאללית‪.‬‬
‫שקל רופף ‪ -‬כאשר בהסטה קקטנה משיווי ממשקל מופעל ככוח שמרחיק אאת הגוף מנקודדת שיווי המשקקל‪.‬‬
‫שיווי מש‬
‫למשל גולה בקערה הפפוכה‪ .‬מדובר בבנקודת מקסיממום של האנרגיה הפוטנציאללית‪.‬‬
‫ש‪ .‬למשל גולהה על‬
‫שקל אדיש – ככאשר הסטה קקטנה משיווי ממשקל משאירהה את הגוף בשייווי משקל חדש‬
‫שיווי מש‬
‫מישור אאופקי נייח‪ .‬בממקרה זה האנררגיה הפוטנציאלית קבועה‪.‬‬
‫ם נוספים‬
‫תרגילים‬
‫)‪(4.8‬‬
‫גוף קטן שמססתו ‪ m‬מונח עעל ריצפה חסרת חיכוך‪ ,‬וקשור לקפיץ בעלל קבוע קפיץ ‪) k‬כמוראה בציור(‪.‬‬
‫במצב ההתחלתי הגוף נמצא במנוחה בנקקודת שיווי הממשקל ‪ .x = 0‬מפעילים על הגוף כוח המש‬
‫שתנה‬
‫לפי החוק‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ A , F  5 k ( A  2 x ))i‬הינו קבוע חיובי‪.‬‬
‫מצא‪/‬י את‪:‬‬
‫א‪ .‬המרחק המקסימלי ‪ xmax‬אלליו מגיע הגוף‪[ 10 A / 11 ].‬‬
‫מהירות הגוף ב ‪[ A 50k / ((22m) ] .xmaax/2 -‬‬
‫ת‬
‫ב‪ .‬גודל‬
‫‪x‬‬
‫על הגוף מהמצב ההתחלתי ועדד שהגוף הגיע ל‪[ 50kA2 / 1221 ] . xmax-‬‬
‫ג‪ .‬העבודה שעוושה הקפיץ ל‬
‫)‪(4.9‬‬
‫שתנה לפי‬
‫שמסתו ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬הנע על מישורר אופקי ‪ xy‬מש‬
‫אחד מהכוחות הפועלים עלל גוף נקודתי ש‬
‫‪‬‬
‫‪) F  e y iˆ  6 x sin( x 2 ) ˆj‬המרחק במטרים והכוח בניוטון(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת ההכוח כאשר הגגוף נע לאורך קקו ישר מנקודהה )‪ (0,0‬לנקודדה )‪ ? (1,1‬האאם הכוח משמרר?‬
‫‪40‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬וקטור המיקום של הגוף הינו ‪) r  t iˆ  t cos( t ) ˆj‬המרחק במטרים והזמן בשניות(‪ .‬מהו הכוח‬
‫‪‬‬
‫השקול הפועל על הגוף? ‪F   2t cos( t )  2 sin( t )  ˆj in Newtons‬‬
‫ג‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של הגוף בנקודה )‪[1J] ?(2,-2‬‬
‫)‪ (4.10‬גוף שמסתו ‪ m1  2 kg‬מונח במצב שיווי משקל )נקודה ‪ (A‬על מישור משופע חסר חיכוך‬
‫ששיפועו ‪ .  ‬הגוף מחובר על ידי חוט אידיאלי העובר על גלגלת וקשור בקצהו האחר אל גוף‬
‫שמסתו ‪ . m 2  3kg‬הגוף ‪ m 2‬מחובר בצידו השני‬
‫לקפיץ בעל קבוע קפיץ‬
‫‪ . k  150 N/m‬מנקודת‬
‫שיווי המשקל מופעל על הגוף ‪ m1‬כוח שגודלו ‪30N‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪A‬‬
‫וכיוונו מקביל למישור המשופע כלפי מטה‪ .‬הגוף יורד‬
‫‪F‬‬
‫‪m2‬‬
‫ועובר בנקודה ‪ B‬הנמצאת במרחק של ‪ 0.3m‬מנקודה‬
‫‪.A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪k‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגוף בנקודה ‪ 0.948] ?B‬מ\ש[‬
‫‪α‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת הגוף בנקודה ‪[ 3 m s ] ?B‬‬
‫)‪ (4.11‬מטוס מואץ לאורך מסלול ההמראה ע"י כוח ‪ F‬שגודלו משתנה כפונקצית מיקום המטוס ביחס‬
‫לתחילת המסלול בהתאם למשוואה ‪ F  kx 2‬וכיוונו יוצר זווית ‪ α‬עם האופק‪ .‬מסת המטוס היא ‪. m‬‬
‫‪mg‬‬
‫א‪ .‬איזה מרחק עבר המטוס עד לניתוק מפני הקרקע?‬
‫‪ksinα‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2kcosα  4 mg ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירותו בעת ההמראה? ‪‬‬
‫‪3m  ksinα ‬‬
‫ג‪ .‬חזרו על הסעיפים א' ו‪-‬ב' בהנחה כי במהלך התנועה המטוס מושפע גם ע"י כוח ההתנגדות‬
‫‪mg‬‬
‫‪ , μN‬כאשר ‪ N‬הוא הכוח הנורמלי‪.‬‬
‫‪ksinα‬‬
‫‪, x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2  k  cosα  μsinα   mg ‬‬
‫‪mg ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  μmg‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ksinα ‬‬
‫‪ksinα ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪41‬‬
‫‪v‬‬
‫)‪ (4.12‬אחד הכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו ‪ 1‬ק"ג‪ ,‬אשר נע במישור אופקי‪ ,‬משתנה לפי‪:‬‬
‫‪ . Fy  2 et , Fx  t 3  6t‬משוואת התנועה של הגוף היא‪. x  t , y  et :‬‬
‫א‪ .‬מהי עבודת הכוח במשך ‪ 5‬השניות הראשונות? ]‪ 21794‬ג'[‬
‫ב‪ .‬מהו שקול הכוחות הפועלים על הגוף? ] ‪[ e t ˆj‬‬
‫ג‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כאשר הוא נמצא במרחק ‪e2  1‬‬
‫מראשית הצירים?‬
‫]‪ 4.19‬ג'[‬
‫)הדרכה לסעיף ג'‪ :‬כדאי להשתמש בנוסחה של מרחק הגוף מהראשית בזמן ‪ . r  t   x 2  t   y 2  t  :t‬ולחפש ע"י ניחוש‬
‫את הזמן שבו המרחק מהראשית הוא המרחק הנתון(‬
‫‪‬‬
‫)‪ (4.13‬סירת מנוע שמסתה ‪ 800 kg‬שטה במים שקטים במהירות ‪ 15 m / s‬בהשפעת כוח מנועה ‪ F1‬וכוח‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫התנגדות המים ‪ , F2‬אשר תלוי במהירות הסירה לפי‪) F2  200V :‬הכוחות נמדדים בניוטונים‪,‬‬
‫המהירות ב‪-‬מ'\ש'(‪ .‬מנוע הסירה מסוגל לפתח הספק מכסימלי של ‪. 80 kW‬‬
‫א‪ .‬מהו כוח המנוע ‪ F1‬ואיזה הספק הוא מפתח‪ ,‬כאשר הסירה שטה במהירות קבועה של ‪? 15 m / s‬‬
‫]‪ 3000‬ניוטון‪[45KW ,‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬לאיזו מהירות מכסימלית יכולה הסירה להגיע‪ ,‬ואיזה כוח ‪ F1‬צריך לשם זה? ]‪4000 ,20m/s‬‬
‫ניוטון[‬
‫ברגע מסוים )‪ (t  0‬נהג הסירה פתאום מגדיל את הספק מנועה עד ‪80 kW‬‬
‫ג‪ .‬איך תשתנה עם הזמן ‪ t‬מהירות הסירה? ] ‪[ SI units 2 100  43.75 e  t /2‬‬
‫ד‪ .‬איך ישתנה עם הזמן ‪ t‬מיקום הסירה יחסית לנקודה בה הייתה ברגע ‪? t  0‬‬
‫] ‪[ SI units 17.8364  8 100.  43.75 e 0.5t  80 ArcTanh[0.1 100.  43.75 e 0.5t‬‬
‫ה‪ .‬מה תהיה מהירות הסירה כעבר ‪ , 10 sec‬ואיזה מרחק היא תעבור בזמן זה?‬
‫] ‪ 190.7 , 19.97 m / s‬מ'[‬
‫ו‪ .‬תוך כמה זמן מהירות הסירה תגיע ל‪ , 19.97 m / s -‬ואיזה מרחק היא תעבור בזמן זה?‬
‫]ראה סעיף ה'[‬
‫‪42‬‬
‫‪N‬‬
‫)‪ (4.14‬בלוק בעל מססה ‪ m  0.5 kg‬נופל על קקפיץ ֲאנָכִי בעלל קבוע )שימו לב ליחידות(‬
‫‪cm‬‬
‫‪. k  2.5‬‬
‫מסה(‪ ,‬וההתכווצותת‬
‫(‬
‫נדבק לקפיץ )הממשטח המחובבר לקפיץ‪ ,‬וההקפיץ עצמו‪ ,‬חסרי‬
‫ק‬
‫הבלוק‬
‫המקסימלית של הקפיץ היאא ‪ .12cm‬הזנחח חיכוך‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי העבבודה שנעשית ע"י כוח הכובבד והקפיץ במההלך ההתכווצות?] ‪[ 0.6 J ,  1.8 J‬‬
‫ש לפני פגיעתוו בקפיץ? ] ‪[ 2.19m‬‬
‫ב‪ .‬מה הייתתה מהירות הבללוק בדיוק ממש‬
‫)‪ (4.15‬נתון חלקיקק בעל מסה ‪ . m  2.80kg‬החלקיק נע לאורך ציר ‪ .x‬ממיקומו נתון ע"י‪:‬‬
‫‪ x) x  3t  4t 2  t 3‬במטטרים ו‪ t-‬בשנייות(‪ .‬תחילת התנועה‪.t=0 :‬‬
‫א‪ .‬מהי מהיירותו ההתחלתתית של הגוף? ]‪[3m/s‬‬
‫ב‪ .‬מהי עבוודת הכוח השקקול הפועל על החלקיק ב‪ 4-‬ההשניות הראשונות? ]‬
‫‪ 492.8‬ג'[‬
‫‪4‬‬
‫ג‪ .‬מהו הספפק הכוח השקוול בזמן ‪[1168W] ? t  3.0s‬‬
‫הצירים מן הנקודה ‪ 1,0‬נגד כיווון‬
‫ם‬
‫)‪ (4.16‬גוף נע לאורךך מעגל שמסלולו שרדיוסו ‪ 1‬מ' ומרכזו ברראשית‬
‫‪‬‬
‫השעון ובחזררה לאותה נקודדה‪ .‬בזמן תנועתו פועל על הגגוף כוח הנתון ע"י‪. F  x, y    x ˆi  y ˆj :‬‬
‫מהי העבודה המתבצעת ע""י הכוח בזמן תתנועת הגוף לאאורך המעגל?‬
‫‪1‬‬
‫‪ 3xP  3‬‬
‫‪, v‬‬
‫)‪ (4.17‬הראה שהמההירות ‪ v‬שאלליה מגיעה מככונית הנוסעת בהספק קבועע ‪ P‬נתונה ע"י‪ :‬‬
‫‪ m ‬‬
‫הוא מרחק הנסיעהה ממנוחה‪.‬‬
‫כאשר ‪ x‬א‬
‫משקלה ‪ w‬נזרקת באוויר כלפי מעלה במהירוות התחלתית ‪ . v0‬על האבן פועל כוח החחיכוך‬
‫ל‬
‫)‪ (4.18‬אבן ש‬
‫קבוע עם האוויר שגודלו ‪.f‬‬
‫‪v0 2‬‬
‫שהגובה המקסיימאלי שאליו ממגיעה האבן הווא‪:‬‬
‫א‪ .‬הראה ש‬
‫‪f ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 g 1  ‬‬
‫‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.h ‬‬
‫‪ w  f 2‬‬
‫‪. v  v0 ‬‬
‫ב‪ .‬הראה ש‬
‫שמהירות האבן בזמן פגיעתה ברצפה היא‪ :‬‬
‫‪w f ‬‬
‫‪43‬‬
‫)‪ (4.19‬אחד הכוחות הפועלים על גוף נקודתי שמסתו ‪ 1‬ק"ג ‪ ,‬משתנה לפי‪ .Fy = sin(t) , Fx  et :‬הגוף נע‬
‫על מישור ‪ ,xy‬מיקומו הינו‪) .y(t)=cos(t) , x(t)  5t :‬המיקום נמדד במטרים‪ ,‬הזמן בשניות(‪.‬‬
‫תחילת התנועה ‪.t=0‬‬
‫א‪ .‬מהו שקול הכוחות הפועל על הגוף?‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של הגוף כעבור ‪ 4‬שניות?‬
‫ג‪ .‬מהי עבודת הכוח הנתון במשך ‪ 4‬השניות הראשונות?‬
‫ד‪ .‬מהי עבודת שקול הכוחות במשך ‪ 4‬השניות הראשונות?‬
‫‪‬‬
‫)‪ (4.20‬חשב את העבודה שמבצע הכוח ˆ‪ F  3xy ˆi  5z ˆj  10x k‬כאשר הוא מניע גוף שמסתו ‪m‬‬
‫לאורך המסילה‪ , x = t2 + 1; y = 2t2 ; z = t3 :‬מהנקודה )‪ A(1,0,0‬לנקודה )‪[] .B(2,2,1‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (4.21‬חשב את העבודה שמבצע הכוח‪ F  xz ˆi  3x ˆj  2 y kˆ :‬כאשר הוא מניע גוף שמסתו ‪m‬‬
‫לאורך המסלול‪ , x = t3; y = 2t2 + 1; z = t2 :‬מנקודה )‪ A(0,1,0‬לנקודה )‪. B(1,3,1‬‬
‫‪44‬‬
‫פרק ה'‪ :‬מתקף ותנע‪ ,‬כולל מסה משתנה‬
‫מתקף של כוח‪ ,‬בין זמנים‬
‫‪t1‬‬
‫ו‪: t 2 -‬‬
‫‪ t2 ‬‬
‫‪. J   F  t  dt‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪t1‬‬
‫תנע קווי של גוף נקודתי‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p  mv‬‬
‫משפט מתקף ‪ -‬תנע קווי )צורה אינטגרלית לחוק השני של ניוטון(‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪J total  P (4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ = J total  J F  J‬שקול המומנטים הפועלים על הגוף‪,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p  p final  pinitial‬הוא השינוי בתנע‬
‫של הגוף‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(5.1‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 1.6‬ק"ג נע על מישור אופקי‪ .‬ברגע ‪ t  0‬הוא עובר דרך ראשית צירים במהירות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (m/s) v 0  2 ˆi‬ומתחיל לפעול עליו כוח המשתנה עם הזמן לפי‪ .(SI) F   5t  ˆi :‬הכוח פועל‬
‫על הגוף במשך ‪ 8‬שניות‪ .‬מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והמישור הוא ‪ ,0.2‬ותאוצת הכובד‬
‫‪‬‬
‫] ‪. g  10 ˆj [m / s 2‬‬
‫א‪ .‬מהו המתקף שמפעיל הכוח במשך ‪ 8‬השניות של פעולת הכוח? ]‪160 ˆi [Ns‬‬
‫ב‪ .‬מהו המתקף שמפעיל כוח החיכוך במשך ‪ 8‬השניות של פעולת הכוח? ]‪25.6 ˆi [Ns‬‬
‫ג‪ .‬מהו המתקף הכולל הפועל על הגוף? ]‪134.4 ˆi [Ns‬‬
‫ד‪ .‬מהי מהירות הגוף לאחר ‪ 8‬השניות? השתמש‪/‬י במשפט מתקף‪-‬תנע‪86 ˆi [m/s] .‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (5.2‬כדור בייסבול שמסתו ‪ 150‬גרם נע לעבר חובט‪ .‬מהירות הכדור לפני המכה היא ‪v 0  5iˆ - ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ .(m/s‬המתקף שפעל על הכדור מצד המחבט הוא ‪.(Ns) J  3.6 ˆi  4.2 ˆj‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬בהנחה כי המתקף שהמחבט הפעיל על הכדור הוא המתקף היחיד‪ ,‬מה תהיה מהירות הכדור ‪ v‬לאחר‬
‫‪‬‬
‫המכה? ) ]‪( v  19 ˆi + 27 ˆj [m/s‬‬
‫‪45‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מה המתקף שהפעיל הכדור על המחבט במשך החבטה? ) ‪( J  3.6 ˆi  4.2 ˆj‬‬
‫ג‪ .‬ידוע כי זמן החבטה הוא ‪ 0.01‬שניה‪ .‬מהו המתקף שפעל על הכדור במשך זמן‬
‫החבטה על ידי כוח הכובד?‬
‫‪‬‬
‫האם ההנחה של סעיף א' מוצדקת? ) ‪ , J mg  0.015 ˆj‬מוצדקת למדי(‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (5.3‬גוף שמסתו ‪ 1‬ק"ג עובר את הנקודה ‪  0,7 ‬במהירות ‪ . v 0  3iˆ  15 ˆj‬ברגע זה מתחיל לפעול על‬
‫‪‬‬
‫הגוף כוח ‪) F  12t ˆi  60t ˆj‬הוא הכוח היחיד הפועל על הגוף(‪.‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מהו מתקף הכוח על הגוף במשך ‪ 2‬שניות פעולתו? ) ]‪( J F  24 ˆi  120 ˆj [Ns‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף ‪ 2‬שניות מרגע הפעלת הכוח? פתרו בשתי דרכים‪( v  27 ˆi  135 ˆj [m/s] ) .‬‬
‫ג‪ .‬מהי עבודת הכוח בשתי שניות פעולתו ? ) ‪( 9360 J‬‬
‫ד‪ .‬מהו מסלול התנועה של הגוף? ) ‪( y  x   5 x  7‬‬
‫חוק שימור התנע הקווי‬
‫מתוך )‪ (4‬והחוק השלישי של ניוטון מקבלים עבור מערכת של גופים שמתקיים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪J F  P (5‬‬
‫‪ext‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר ‪ = Fext‬שקול הכוחות החיצוניים הפועלים על המערכת )כל הכוחות‪ ,‬ללא הכוחות פועלים בין גופים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫במערכת(‪ P   p ,‬הוא התנע הכולל של הגופים המרכיבים את המערכת‪.‬‬
‫אם שקול הכוחות החיצוניים על מערכת של גופים שווה לאפס‪ ,‬אזי התנע הכולל של המערכת נשמר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪Fext  0  P  0 (6‬‬
‫התנגשויות‬
‫כאשר שני גופים )או יותר( מתנגשים‪ ,‬הכוחות המשמעותיים )ובבעיות מסוימות‪ ,‬הכוחות היחידים( הפועלים‬
‫על הגופים הם כוחות פנימיים – שגוף אחד מפעיל על האחר והאחר מחזיר )בהתאמה לחוק השלישי של‬
‫ניוטון(‪ .‬השפעת הכוחות החיצוניים‪ ,‬אם קיימים‪ ,‬זניחה לגמרי במשך זמן ההתנגשות הקצר‪ .‬מכאן שבבעיה‬
‫של התנגשות התנע של המערכת יישמר‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫התנגשות אלסטית‪ ,‬אי‪-‬אלסטית ופלססטית‪ :‬בהתנגש‬
‫שות אלסטית ))לחלוטין( בנוססף לחוק שימור התנע מתקייים‬
‫שות‬
‫המערכת‪ .‬התננגשות בין אטומים היא דוגמהה להתנגשות אאלסטית‪ .‬התנגש‬
‫הקינטית של ה‬
‫מור האנרגיה ה‬
‫גם שימ‬
‫שים אינה נשמרת )ובעצם האאנרגיה עוברתת‬
‫שבה האנרגיה ההקינטית של ההגופים המתנגש‬
‫אי‪-‬אלסטטית היא כזו ש‬
‫ם הם בד"כ מתתחממים )אנרגיה תרמית( ומשמיעים קול‬
‫לצורת אאנרגיה אחרת((‪ .‬כאשר שני גגופים מתנגשים‬
‫שסכום האנרגייות הקינטיות ש‬
‫)אנרגיתת קול( ומכאן ש‬
‫שלהם קטן כתתוצאה מההתנגשות‪.‬‬
‫מקרה ממיוחד של התנגגשות אי‪-‬אלסטטית הוא מקרה של התנגשות פלסטית‪ ,‬התננגשות שלאחרריה הגופים‬
‫נשארים צמודים זה לזזה )"נדבקים"((‪ .‬התנגשות פללסטית נקראת גם התנגשות אי‪-‬אלסטית לחחלוטין‪.‬‬
‫ם‬
‫ם‬
‫תרגילים‬
‫‪x‬קלליע שמסתו ‪ m  0.01kgg‬נע במהירות ‪ 300‬מ\ש ונתתקע בגוף ‪ . M  44kg‬הגוףף ‪ M‬קשור לקקפיץ‬
‫)‪(5.4‬‬
‫שקבועו ‪ 100‬ניוטון\מטר ונמצא במצב ההתחחלתי במנוחה בנקודת הרפייון של הקפיץ ‪ .O‬מקדם החחיכוך‬
‫בין הגוף ‪ M‬והשוולחן ‪ .μk=0.3‬מהו הכיווץ ההמכסימלי של הקפיץ? ]‪ 0.0073‬מ'[‬
‫‪v0‬‬
‫‪O‬‬
‫‪M‬‬
‫כדוור ‪ M‬שמסתו ‪ 1kg‬נע במהיירות ‪ v1 = 30m/s‬בכיוון ‪) α1 = 2550‬ראהה איור(‪ .‬קליעע ‪ m  0.01kg‬נע‬
‫)‪(5.5‬‬
‫במההירות ‪ v2 = 7000m/s‬בכייוון ‪ .α2=400‬הקליע פוגע בכדור ויוצאא ממנו‪ ,‬בלי ללשנות את הככיוון‪,‬‬
‫במההירות ‪.v2' = 300m/s‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהם גודל וכיוון מהירותת הכדור לאחר ההתנגשות? ]‪ 28.5 ,32.30‬מ\ש[‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו איבודד האנרגיה הקינטית בהתנגשוות? ]‪ 2044‬ג'אאול[‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו המתקקף שהפעיל הקקליע על הכדורר? ] ‪[ (-3.06, 2.557) N sec‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪250‬‬
‫‪v2 m‬‬
‫)‪(5.6‬‬
‫‪v'2‬‬
‫‪400‬‬
‫ק"ג הנמצאת במננוחה מתפוצצתת לשלושה חלקקים הנעים כוללם על מישורר‬
‫מסהה ‪ 10=M‬ג‬
‫‪x‬‬
‫‪ : xy‬המסה ‪2=m1‬ק"ג נעה בממהירות ‪4‬מ\ש=‪ v1‬בכיוון צייר ‪ ,x‬מסה ‪3‬קק"ג=‪ m2‬הנעהה‬
‫‪v2‬‬
‫שיש למצוא אתת‬
‫של ‪ 300‬יחסיתת לציר ‪ x‬ומססה שלישית ש‬
‫במההירות ‪3 = v2‬מ\ש בזווית ש‬
‫‪y‬‬
‫מהיירותה )גודל וככיוון(‪ 3.29 ,1995.90] .‬מ\ש[‬
‫‪47‬‬
‫‪v1‬‬
‫)‪(5.7‬‬
‫על קרונית שמסתה ‪ 10‬ק"ג ואורכה ‪ 12‬מטר מונח במרכז גוף‪ .‬מרכז המסה של כל המערכת נמצא במרכז‬
‫הקרונית‪ .‬כל כוחות החיכוך זניחים‪ .‬ברגע מסוים מתפוצץ הגוף לשני גופים בעלי מסות של ‪ 1‬ק"ג ו ‪4‬‬
‫ק"ג‪ .‬לאחר שתי שניות הגוף המהיר יותר מתנגש בדופן הקרונית התנגשות אלסטית לחלוטין‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את המהירות של כל גוף ואת מהירות הקרונית מיד לאחר ההתפוצצות‪[0 ,-0.75m/s ,3m/s] .‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות הקרונית מיד לאחר ההתנגשות האלסטית ? ]‪ 60/11‬מ‪/‬ש[‬
‫ג‪ .‬לאחר כמה זמן מתנגש הגוף השני בקרונית? ]‪ 0.725‬שניות מרגע ההתנגשות[‬
‫)‪(5.8‬‬
‫קוביה קטנה שמסתה ‪ m‬מונחת על עגלה שמסתה ‪ M‬היכולה לנוע ללא חיכוך על משטח אופקי )ראה‪/‬י‬
‫שרטוט(‪ .‬מעניקים לקוביה מהירות ‪ . v 0‬נתונים‪. M , m ,v0 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪M vo 2‬‬
‫מהו הגובה המינימלי ‪ h‬של העגלה שימנע את מעבר הקוביה לצידה השני? ]‬
‫‪2 g m  M ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם גובה העגלה גדול מ ‪ h‬שחושב בסעיף א'‪ ,‬מהן מהירויות העגלה והקוביה כאשר הקוביה חוזרת‬
‫[‬
‫‪2mv0 ( m  M )v0‬‬
‫לתחתית העגלה? בדוק את תשובתך עבור מקרה הגבול ‪] . m<<M‬‬
‫‪,‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪mM‬‬
‫[‬
‫‪H‬‬
‫‪v0‬‬
‫)‪(5.9‬‬
‫גוף שמסתו ‪ m1‬נע על משטח אופקי חסר חיכוך במהירות שגודלה ‪ 6‬מ' לשנייה‪ .‬הגוף פוגע בגוף שני‬
‫שמסתו ‪ m 2‬והנמצא במנוחה‪ .‬נתונים‪ . m 2  4kg , m1  2kg :‬ההתנגשות מתווכת ע"י קפיץ בעל‬
‫קבוע קפיץ ‪) k  100 N / m‬כלומר בין הגופים יש קפיץ(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ? ]‪ 0.693‬מ'[‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגופים ברגע זה? ]‪ 2‬מ\ש[‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים לאחר שנפרדו )והקפיץ שוב רפוי(? ] ‪[ 2m / s, 4m / s‬‬
‫‪48‬‬
‫מרכז מסה‬
‫מרכז מסה של מערכת גופים הוא הממוצע המשוקלל של מיקומי הגופים המרכיבים את המערכת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1r1  m2 r2  ‬‬
‫‪. rcm ‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫מהירות מרכז המסה מתקבלת ע"י גזירת משוואה )‪:(7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1v1  m2 v2  ‬‬
‫‪. vcm ‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫ניתן לראות שבבעיה בה התנע נשמר )למשל בהתנגשות(‪ ,‬מהירות מרכז המסה אינה משתנה‪.‬‬
‫תאוצת מרכז המסה מתקבלת מגזירת משוואה )‪:(8‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m a  m2 a2  ‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪ 1 1‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. acm‬‬
‫)‪ (5.10‬איש בעל מסה ‪ M‬עומד על סירה שמסתה ‪ m‬ואורכה ‪ .L‬האיש עומד בקצה השמאלי ומתחיל לנוע לקצה‬
‫הימני‪ .‬הזניחו את חיכוך הסירה והמים ואת הגלים )בקיצור –אין כוחות חיצוניים(‪.‬‬
‫א‪ .‬ברגע שמהירות האיש ‪ v‬לימין‪ ,‬מהי מהירות הסירה?‬
‫ב‪ .‬בכמה זזה הסירה כאשר האיש נעמד בקצה הימני של הסירה?‬
‫)‪ (5.11‬מצא‪/‬י את מרכז המסה של הגופים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬חצי כדור מלא ואחיד‪ ,‬בעל רדיוס ‪ R‬וצפיפות מסה נפחית ‪.‬‬
‫] ‪ 3R / 8‬מעל אמצע הבסיס[‬
‫‪R‬‬
‫ב‪ .‬דיסקה בעלת רדיוס ‪ 2R‬ובה חור מעגלי בעל רדיוס ‪. R‬‬
‫מרכז החור נמצא במרחק ‪ R‬ממרכז הדיסקה‪ .‬צפיפות המסה‬
‫‪2R‬‬
‫המשטחית של הדיסקה המחוררת אחידה‪.‬‬
‫] ‪ R / 3‬מעל מרכז הדיסקה הגדולה[‬
‫‪R‬‬
‫‪49‬‬
‫)‪ (5.12‬בול שמסתו ‪ m2‬מונח על רצפה אופקית חלקה ועליו בול שני שמסתו ‪ . m1‬בין הבולים קיים‬
‫חיכוך‪ .‬מקדם הקינטי הוא ‪ . k‬מעניקים לבול העליון מהירות התחלתית ‪ .V0‬בהנחה שהגוף‬
‫התחתון ארוך מספיק‪ ,‬החל מרגע מסוים ואילך הגוף העליון ייעצר ביחס לתחתון‪ ,‬ובמילים‬
‫אחרות‪ :‬הגופים נעים ביחד‪ .‬נסמן את הזמן מתחילת התנועה ועד לרגע בו הגופים נעים יחד ב‪.T-‬‬
‫‪m1 v0‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות המשותפת של שני הגופים? ]‬
‫‪m1  m2‬‬
‫[‬
‫ב‪ .‬נסו למצוא משיקולי מתקף ותנע – מהו ‪ ?T‬שימו לב כי כוח החיכוך הקינטי הוא כוח קבוע‪ .‬זה עוזר‪.‬‬
‫‪m2 v0‬‬
‫]‬
‫‪k g  m1  m2 ‬‬
‫[‬
‫ג‪ .‬בכמה זז מרכז המסה מרגע ההתחלה ועד ל‪] ?T-‬‬
‫‪m1 m2 v0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k g  m1  m2 ‬‬
‫[‬
‫ד‪ .‬איזו דרך ‪ S‬יעבור הבול ‪ m1‬ביחס ל‪ ,m2 -‬עד לזמן ‪?T‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪m1‬‬
‫)‪ (5.13‬קרון אטום מונח על משקל תקין‪ .‬המשקל מראה "‪."100‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת הקרון? )‪ 100‬ק"ג(‬
‫מה יראה המשקל בכל אחד מהמקרים הבאים‪:‬‬
‫ב‪ .‬בתוך הקרון יש חסידה שמסתה ‪ .m=10kg‬החסידה עומדת על רצפת הקרון‪(110) .‬‬
‫ג‪ .‬לאחר כמה דקות החסידה מרחפת )נמצאת מעל אותה נקודה ביחס לרצפת הקרון(‪.‬‬
‫)‪(110‬‬
‫ד‪ .‬תוך כדי מעופה‪ ,‬החסידה נרדמת ונופלת בתאוצה ‪) g‬כלפי מטה(‪(100) .‬‬
‫ה‪ .‬קצת לפני שהחסידה נמחצה היא מתעוררת‪ ,‬וכדי לא לפגוע ברצפת הקרון מאיצה‬
‫בתאוצה ‪ 3g‬כלפי מעלה‪(140) .‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪ (5.14‬גוף שמסתו ‪ m‬מאוזן על השפיץ של הצורה המתוארת באיור )מעין כובע קשיח סמטרי(‪ .‬מסת הכובע ‪,M‬‬
‫גובהו ‪ ,H‬רוחב בסיסו ‪ ,2L‬והוא נמצא במנוחה‪ .‬השוליים של הכובע אופקיים )ללא שיפוע(‪ .‬בין הכובע‬
‫לגוף ובינו לרצפה אין חיכוך‪ .‬ברגע מסויים שיווי המשקל מופר והגוף ‪ m‬מחליק ממנוחה ימינה‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫א‪ .‬מהם חוקי השימור בבעיה? )חוק שימור האנרגיה וחוק שימור התנע בכיוון האופקי(‬
‫ב‪ .‬מהו ההעתק האופקי של הכובע כאשר הגוף ‪ m‬הגיעה לתחתיתו?‬
‫ג‪ .‬מהי מהירותם של הגוף ושל הכובע במצב זה?‬
‫‪m‬‬
‫‪H‬‬
‫‪g‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2L‬‬
‫)‪ (5.15‬גוף שמסתו ‪ m‬קשור לחוט שאורכו ‪ .L‬הגוף משוחרר‬
‫‪60o‬‬
‫ממנוחה כאשר החוט מתוח ויוצר זווית בת ‪ 60o‬עם האנך‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫בנקודה התחתונה של המסלול הגוף מתנגש אלסטית לחלוטין‬
‫‪m‬‬
‫עם גוף בעל מסה כפולה‪ ,‬המונח על שולחן חסר חיכוך‪ .‬עקב‬
‫ההתנגשות‪ ,‬הגוף השני ניתז ממקומו במהירות ‪. V0‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגוף ‪ m‬רגע לפני ההתנגשות? ] ‪[ gL‬‬
‫‪V0‬‬
‫‪2m‬‬
‫ב‪ .‬מה מהירויות הגופים מיד לאחר ההתנגשות?‬
‫‪2 gL‬‬
‫‪gL‬‬
‫]‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪F‬‬
‫[‬
‫‪Fmax‬‬
‫מדדו את גודלו של הכוח שהפעיל הגוף הראשון על השני‬
‫בזמן ההתנגשות כפונקציה של הזמן‪ .‬צורתה של עקומת הכוח‬
‫היא משולש שווה שוקיים )ראה גרף(‪ .‬רוחב הבסיס הוא ‪.T‬‬
‫ג‪ .‬קבע‪ ,‬על פי עקומת הכוח‪ ,‬את הגודל המקסימאלי של‬
‫‪t‬‬
‫‪T‬‬
‫הכוח שפעל בין הגופים בזמן ההתנגשות‪.‬‬
‫הדרכה‪ :‬השתמשו בקשר בין מתקף והשינוי בתנע‪ ,‬ובכך שהמתקף שפעל על הגוף בכיוון התנועה‬
‫‪t0 T‬‬
‫)ימין( הוא ‪F dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪8m gL‬‬
‫‪ ,‬כמשמעותו הגרפית ‪ ---‬השטח מתחת לגרף‪] .‬‬
‫‪3T‬‬
‫‪51‬‬
‫[‬
‫‪g‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ (5.16‬חלקיק שמסתו ‪ 10‬גרם נע במהירות ˆ‪) v1  10i‬מהירות נמדדת במ'\ש'(‪ .‬חלקיק שני‪ ,‬בעל אותה מסה‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נע במהירות ˆ‪ . v 2  10i‬לאחר ההתנגשות מהירות החלקיק הראשון היא ˆ‪. u1  5i‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהי מהירות החלקיק השני לאחר ההתנגשות?‬
‫ב‪.‬‬
‫האם ההתנגשות היא אלסטית לחלוטין? אם לא‪ ,‬מהו איבוד האנרגיה במהלך ההתנגשות?‬
‫)‪ (5.17‬אב ובנו עומדים יחדיו בקצה סירה שאורכה ‪ L‬העומדת במים שקטים‪ .‬הם מתחילים לנוע האחד לעבר‬
‫השני‪ .‬הבן מגיע לאמצע הסירה ונעצר בעוד האב ממשיך עד לקצה השני‪ .‬נתון כי מסת הסירה היא ‪M‬‬
‫‪2m1  m2‬‬
‫מסת האב ‪ m1‬ומסת הבן היא ‪ . m2‬מצא איזה מרחק נעה הסירה‪L ) .‬‬
‫) ‪2( m1  m2  M‬‬
‫‪(x ‬‬
‫)‪ (5.18‬ילד שמסתו ‪ 20kg‬עומד על רפסודה שמסתה ‪ 12kg‬הצפה במנוחה באגם‪ .‬הילד זורק אבן בכיוון מקביל‬
‫לאגם במהירות ‪ ,8m/sec‬כתוצאה מכך נעה הרפסודה והילד עליה‪ .‬עוצמת כוח התנגדות של המים‬
‫לרפסודה היא ‪ , F=0.6v‬כאשר ‪ v‬היא מהירות הרפסודה‪ .‬מה צריכה להיות המסה ‪ m‬של האבן הנזרקת על‬
‫מנת שמהירות הרפסודה )והילד עליה( לא תעלה על ‪ 1m/sec‬לאחר ‪.(m≤4.82kg) ? 10sec‬‬
‫)‪ (5.19‬גוף בעל מסה של ‪ 5‬ק"ג נע על משטח "מחוספס" לאורך ציר ‪ x‬ועובר בראשית הצירים )‪(x=0‬‬
‫כשמהירותו ‪ 2‬מ\ש )בכיוון החיובי(‪ .‬במשך זמן קצר מאוד מופעל על הגוף כוח אופקי אשר מספק לו‬
‫מתקף ‪ J  10 N  sec‬בכיוון ציר ‪ .x‬לאחר מכן הגוף נע בהשפעת כוח ‪ Fx   x‬עד לעצירה‪ .‬מקדם‬
‫החיכוך הקינטי בין הגוף למישור הינו ‪.0.2‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הגוף לאחר פעולת הכוח הקצר?] ‪[ 4 m s‬‬
‫ב‪ .‬מצאו את המרחק שעבר הגוף עד לעצירה‪[ 3.416 m ] .‬‬
‫)‪ (5.20‬ילד שמסתו ‪ 30‬ק"ג נמצא בתוך עגלה אשר נוסעת בקו ישר במהירות קבועה של ‪ 10‬מ'\ש'‪ .‬מסת העגלה‬
‫גדולה פי ‪ 2‬ממסת הילד‪ .‬לפני העגלה הנ"ל נוסעת עוד עגלה ריקה‪ ,‬באותה מהירות ובאותו כיוון‪ .‬בשלב‬
‫מסוים קופץ הילד מעגלה הראשונה לשנייה במהירות ‪ 5‬מ'\ש' ביחס לעגלה בה הוא נמצא‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות העגלה הראשונה לאחר שהילד עזב אותה?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות העגלה השנייה לאחר שהילד נחת בה?‬
‫ג‪ .‬מהו השינוי באנרגיה הקינטית של המערכת )שתי עגלות‪+‬ילד( לפני ואחרי קפיצת הילד? מה גרם‬
‫לשינוי הזה?‬
‫‪52‬‬
‫בעיות עם מסה משתנה‬
‫כאשר מסה של גוף משתנה באפן רציף )למשל טיל הפולט גזים בקצב ידוע‪ ,‬או קרונית המתמלאת בגשם(‬
‫כניתן לעבוד עם החוק השני של ניוטון הישן והטוב רק שצריך להוסיף עוד כוח‪ :‬הוא הכוח הפועל על הגוף‬
‫כתוצאה משינוי מסתו )במקרה של הטיל הכוח הפועל על ידי גזי הפליטה‪ ,‬במקרה של הקרונית – הכוח הפועל‬
‫‪dm‬‬
‫על הקרונית על ידי המים הנכנסים אליה(‪ .‬כוח זה שווה ל‪-‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ,  v‬כאשר ‪ v‬מתאר את השינוי במהירות‬
‫ה"טיפות" ביחס לגוף )המרכאות כאן מסמנות שזה לא חייב להיות טיפות – זה יכול להיות גם גזים הנפלטים‬
‫מהטיל‪ ,‬או חול הנשפך על מסוע(‪.‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪dv‬‬
‫אפשר לרשום את החוק השני מחדש‬
‫‪m‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪.  Fregular  v‬‬
‫לא לשכוח שהמסה ‪ m‬שמופיעה בנוסחה זו היא )‪.m(t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m0‬‬
‫ניתן לקבל את המסה כתלות בזמן על ידי אינטגרציה‪.  dm    dt  dm   dt :‬‬
‫לפעמים ניתן לעקוף סיבוכים אם משתמשים בחוקי שימור‪ ,‬כמו חוק שימור התנע‪.‬‬
‫להלן נוסחה המתאימה לבעיות עם מסה המשתנה באופן רציף בדומה לבעיה הנ"ל‪:‬‬
‫‪ dm‬‬
‫‪‬‬
‫‪ vrel‬‬
‫‪ ma‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪F‬‬
‫‪regular‬‬
‫כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪ vrel‬היא מהירות חלקיקי המסה המשתנה )המים הנכנסים לקרונית‪ ,‬או גזים הנפלטים מטיל( ביחס לגוף‬
‫המתואר בבעיה )הקרונית‪ ,‬הטיל וכדומה(‪.‬‬
‫) ‪ , m  m(t‬היא מסת הגוף‪ .‬שימו לב שבנוסחה יש להציב את המסה עם התלות שלה בזמן‪.‬‬
‫‪dm‬‬
‫‪dt‬‬
‫מתאר את קצב שינוי המסה‪ .‬קצב זה הוא חיובי כאשר המסה של הגוף גדלה )כמו במקרה של קרונית‬
‫המתמלאת במים( או שלילי )כמו במקרה של טיל הפולט גזים‪ .‬במקרה כזה המסה קטנה עם הזמן ולכן קצת‬
‫השינוי הוא שלילי‪.‬‬
‫‪ dm‬‬
‫‪" vrel‬כוח הדחף"‪ ,‬זהו הכוח הפועל על הגוף כתוצאה מפליטת‪/‬קליטת המסה )ושינוי התנע שלה(‪.‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪53‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪ (5.21‬אוטו שמסתו ‪ 1000‬ק"ג )כולל הנהג( נוסע על משטח חסר חיכוך במהירות קבועה ‪ 20‬מ'\שנ'‪ .‬ברגע‬
‫‪dm‬‬
‫‪ t  0‬מתחיל לרדת גשם אנכי והאוטו מתחיל להתמלא במים בקצב קבוע ‪ 0.5kg / sec‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ 2 .‬דקות‬
‫אחרי שהגשם התחיל לרדת נהג האוטו סוגר את הגג‬
‫והגשם מפסיק להיכנס פנימה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת הגשם שנכנסה לאוטו עד שנסגר הגג?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות האוטו כתלות בזמן?‬
‫ג‪ .‬איזה מרחק עבר האוטו במשך ‪ 2‬הדקות?‬
‫ד‪ .‬באיזה כוח צריך היה למשוך את המכונית על‬
‫מנת לשמור את מהירותה קבועה?‬
‫)‪ (5.22‬מכלית מים שמסתה הכוללת ‪ 2000kg‬ומסתה ריקה ‪ 800kg‬עומדת במנוחה על משטח אופקי וחלק‪.‬‬
‫משאבה מותקנת על המיכלית וברגע מסוים היא מתחילה לפלוט מים אחורה בכיוון אופקי במהירות‬
‫‪ 200m/sec‬יחסית למיכלית ובקצב של ‪.50 kg/sec‬‬
‫א‪ .‬חשב את גודל התאוצה של המיכלית כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫] ] ‪[m / s 2‬‬
‫‪[ 10000‬‬
‫‪2000  50t‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הגודל המקסימלי של התאוצה‪[ 12.5 m s2 ] .‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הגודל המכסימלי של מהירות המיכלית‪[ 183.3 m s ] .‬‬
‫)‪ (5.23‬טיל שמסתו ללא דלק ‪ 200‬ק"ג נושא ‪ 200‬ק"ג נוספים של דלק‪ .‬ב‪ t = 0 -‬הטיל משוגר אנכית ממנוחה‬
‫מפני הקרקע )‪ .(y = 0‬קצב בעירת הדלק הינו ‪ 25‬ק"ג לשניה‪ .‬מהירות הפליטה של הגזים ביחס לטיל היא‬
‫‪ 300‬מטר\שניה כלפי מטה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הטיל כפונקציה של הזמן כאשר הדלק בוער?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירותו בתום בעירת הדלק?‬
‫ג‪ .‬מהי התאוצה המקסימאלית של הטיל?‬
‫‪54‬‬
‫)‪ (5.24‬טיל מרחף באוויר בגובה מסוים קרוב לפני כדור הארץ )הוא לא יורד ולא עולה(‪ .‬הדבר אפשרי ע"י‬
‫פליטת גזים כלפי מטה‪ .‬מהירות הגזים יחסית לטיל קבועה‪ ,‬וגודלה ‪ .u‬המסה הסופית של הטיל )כאשר‬
‫הדלק נגמר( היא ‪ ,  M 0‬כאשר ‪ M 0‬היא מסתו ההתחלתית‪ ,‬ברגע ‪ .(   1 ) t=0‬נתונים‪M 0 ,u, g , :‬‬
‫‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת הטיל כתלות בזמן? ] ‪[ M 0e  gt / u‬‬
‫ב‪ .‬כמה זמן נשאר הטיל במצב הריחוף? ] ) ‪[  (u / g ) ln(‬‬
‫ג‪ .‬נתון ‪ u=600m/s‬וכן שהמסה הסופית של הטיל היא ‪ 5%‬ממסתו ההחלתית‪ .‬כמה זמן נשאר הטיל‬
‫במצב הריחוף? ]‪ 178‬שניות[‬
‫‪dm‬‬
‫)‪ (5.25‬חול נשפך ממשפך קבוע‪ ,‬בקצב ‪ kt 2‬‬
‫‪dt‬‬
‫על סרט‬
‫נע שמהירותו ביחס למשפך היא ‪. v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬איזה כוח ‪ F‬צריך להפעיל על הסרט הנע כדי‬
‫לשמור על מהירותו הקבועה ‪?v‬‬
‫ב‪ .‬מהי עבודה הנעשתה על‪-‬ידי הכוח ‪ F‬בין ‪ t=0‬ו‪ .t=T -‬מהו שינוי באנרגיה הקינטית של הסרט בזמן‬
‫זה ?‬
‫)‪ (5.26‬מתקן ניקיון מורכב ממיכל ובו ‪ 500‬ק"ג מים‪ .‬מסת המתקן כאשר המיכל ריק היא ‪ 2,000‬ק"ג‪ .‬המים‬
‫נפלטים אחורה בקצב ‪ 300‬ק"ג לדקה ובמהירות ‪ 12‬מ'\שנ' יחסית למתקן‪ ,‬והמתקן נע אך ורק בהשפעת‬
‫כוח הדחף הנוצר מפליטת המים‪ .‬אין חיכוך בין‬
‫המתקן למשטח‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת המתקן בתחילת פליטת המים‪ ,‬ומהי‬
‫בתום פליטת המים?‬
‫ב‪ .‬איזה כוח )גודל וכיוון( יפעל על המתקן תוך כדי‬
‫פליטת סילון המים?‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות המתקן כפונקציה של הזמן‪ ,‬אם מהירותו ההתחלתית‪ ,‬ברגע הוא התחיל לפלוט מים‪10 ,‬‬
‫מ\שניה?‬
‫ד‪ .‬לאיזו מהירות יגיע המתקן בתום פליטת המים‪ ,‬וכעבור כמה זמן זה יקרה?‬
‫‪55‬‬
‫)‪ (5.27‬רקטה פולטת בכל שניה שני אחוזים ממסתה ההתחלתית במהירות יחסית של ‪ .1.2 Km/sec‬הרקטה‬
‫מתחילה לנוע ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי התאוצה ההתחלתית של הרקטה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי מהירות הרקטה ומהי תאוצתה כעבור ‪?20 sec‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות של גזי הפליטה יחסית לארץ כעבור ‪ 20 sec‬ההתחלה?‬
‫)‪ (5.28‬קרונית בעלת מסה ‪ M‬נוסעת על פסים אופקיים ישרים וחלקים‪ .‬מהירותה בנקודה ‪ A‬היא ‪.VA‬‬
‫הקרונית עוברת בנקודה ‪ B‬כעבור ‪ T‬שניות‪ .‬במשך כל זמן הנסיעה ירד גשם בקצב קבוע ומי‪-‬גשם‬
‫שמסתם ‪ m‬נקוו בתוך קרונית‪ .‬חשב את‪:‬‬
‫א‪ .‬מהירות הקרונית ‪ t‬שניות אחרי שעזבה את נקודה ‪.(0<t<T) A‬‬
‫ב‪ .‬תאוצת הקרונית ‪ t‬שניות אחרי שעזבה את נקודה ‪.A‬‬
‫ג‪ .‬המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪.B-‬‬
‫‪56‬‬
‫פרק ו'‪ :‬גוף קשיח‬
‫גודל פיסיקלי‬
‫תנועה קווית )מימד אחד(‬
‫תנועה סיבובית )ציר קבוע(‬
‫‪ or ‬‬
‫‪x‬‬
‫מיקום || מיקום זוויתי‬
‫מהירות || מהירות זוויתית‬
‫‪dx‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪v‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫תאוצה || תאוצה זוויתית‬
‫‪dv‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫החוק השני‬
‫סטטיקה‬
‫‪ F  ma‬‬
‫‪  I ‬‬
‫‪F  0‬‬
‫‪  0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪I‬‬
‫‪m v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I 2‬‬
‫‪2‬‬
‫מסה || מומנט התמד‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫עבודה‬
‫‪  d‬‬
‫‪P=mv‬‬
‫חוק שני כללי‬
‫‪dP‬‬
‫‪dt‬‬
‫מתקף || מתקף זוויתי‬
‫חוק שימור התנע || חשת"ז‬
‫‪x1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Fx dx‬‬
‫תנע || תנע זוויתי )ת"ז(‬
‫מתקף ותנע‬
‫‪x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L= I ω‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪t1‬‬
‫‪  dt‬‬
‫‪ F dt‬‬
‫המתקף הכולל הפועל על גוף =‬
‫המתקף הזוויתי הכולל = שינוי‬
‫שינוי התנע הקווי של הגוף‬
‫בת"ז‬
‫אם סכום הכוחות החיצוניים על‬
‫אם סכום המונטים החיצוניים על‬
‫מערכת מתאפס אז התנע הקווי‬
‫מערכת מתאפס אז התנע הזוויתי‬
‫נשמר‬
‫נשמר‬
‫קבוע = ‪m1v1  m2 v2  ‬‬
‫חישוב מומנט כוח‪  r F sin  :‬‬
‫‪dL‬‬
‫‪  dt‬‬
‫‪,‬‬
‫קבוע = ‪L1  L2  ‬‬
‫כוח כפול זרוע ‪ ‬‬
‫חישוב תנע זוויתי‪L  r P sin   r m v sin  :‬‬
‫‪,‬‬
‫‪57‬‬
‫תנע כפול זרוע = ‪L‬‬
‫‪     ‬‬
‫למעשה‪ ,,‬גם מומנט כוחח וגם תנע זווייתי הם גדלים ווקטוריים‪ , L  r  P ,   r  F .‬קייימים מקרים‬
‫שחייבים‬
‫ם לקחת בחשבבון את האופי ההווקטורי של גגדלים אלו‪ ,‬לממשל‪ ,‬בתיאור תתנועה של סביבבון‪ .‬בקורס אננחנו‬
‫הסיבוב – עם או נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫ב‬
‫נסתפק בבהסתכלות עלל גודל הווקטורר‪ ,‬ואת הכיוון ננגדיר בהתאם לכיוון‬
‫מומנט ההתמד‪:‬‬
‫מומנט התמד‬
‫גוף‬
‫)הציר עובר במרכזז המסה של‬
‫הגוף(‬
‫חישוב ממומט התמד כלללי ‪, I   mi ri‬‬
‫‪2‬‬
‫גליל מלא )דיססקה(‬
‫‪MR 2 / 2‬‬
‫שוק‪ ,‬טבעת(‬
‫חלול דק )חיש‬
‫‪M‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫כדור מלא‬
‫‪(2 / 5)M‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫מוט ישר דק‬
‫‪ML2 / 12‬‬
‫משפט שטיינר ‪I  I CM  Md 2‬‬
‫ם‬
‫תרגילים‬
‫)‪(6.1‬‬
‫המערכת הבאאה מורכבת מגגלגלת )מלאה ואחידה( שרדדיוסה ‪ ,R‬מסתה ‪ 4=M‬ק"ג‪,,‬‬
‫שורות בחוט‪ .‬ההחוט לא מחלייק על הגלגלתת‬
‫ומ‪ 2 -‬מסות ‪ m2=2kgg ,m1=1kg‬הקש‬
‫ואין חיכוך בבציר הסיבוב‪ .‬מהי מהירות ‪ m1‬ו‪ m2 -‬לאחחר תזוזה של ‪ 2‬מ' ממנוחה??‬
‫מומנט התמדד של הגלגלת נתון בנוסחה ‪[ 8 m / s ] . MR 2 / 2‬‬
‫כדאאי למצוא את התאוצה )‪ 2‬מ\ש‪ (2‬וממנה ללחשב את המההירות ) ‪( v 2  v0 2  2 a y‬‬
‫אבלל הכי פשוט – שיקולי אנרגייה‪.‬‬
‫‪58‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪m2‬‬
‫)‪(6.2‬‬
‫כוח משיקי קבוע של ‪ 100‬ניוטון פועל על גלגלת אחידה בעלת רדיוס ‪ 0.2‬מ'‪,‬‬
‫כמתואר בציור‪ .‬בעת סיבוב הגלגלת )סביב ציר הקבוע למקומו( פועל עליה כוח‬
‫חיכוך כזה שגודל מומנט‪-‬הכוח שלו ‪ . 5 Nm‬הגלגלת מסתובבת בתאוצה זוויתית‬
‫קבועה של ‪ 100‬רדיאן\שניה‪.2‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬מהו מומנט ההתמד של הגלגלת? ] ‪[ 0.15kg m 2‬‬
‫ב‪ .‬מהי מסת הגלגלת? ]‪ 3.75‬ק"ג[‬
‫)‪(6.3‬‬
‫מוט אחיד באורך ‪ L‬ובעל מסה ‪ M‬תלוי אופקית כשהוא מחובר בצידו האחד לציר הקבוע בקיר‬
‫ובצידו האחר קשור לחוט אנכי חסר מסה‪ .‬נתון מומנט ההתמד של המוט ביחס לציר ‪. ML2 / 3 :‬‬
‫הזניחו חיכוך עם הציר‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המתיחות בחוט? מהו הכוח שהמוט מפעיל על‬
‫הציר?‬
‫] ‪[ mg / 2‬‬
‫ב‪ .‬החוט נקרע‪ .‬מהי תאוצתו הזוויתית של המוט ברגע‬
‫הראשון‬
‫)כלומר בזווית ‪[ 3g / 2 L ] (θ = 0‬‬
‫ג‪ .‬מהי תאוצת מרכז המסה ברגע הראשון? ] ‪[ 3g / 4‬‬
‫ד‪ .‬מהי תאוצת נקודת קצה המוט ברגע הראשון? ] ‪[ 3g / 2‬‬
‫‪g‬‬
‫ה‪ .‬מהי המהירות הזוויתית המקסימלית של המוט )‪=900‬‬
‫‪[ 3 g / L ] ? (θ‬‬
‫ו‪ .‬מהו הכוח שהציר מפעיל על המוט כאשר המוט במצב‬
‫אנכי )‪ ?(θ =900‬רמז‪ :‬מרכז המסה מבצע תנועה‬
‫מעגלית ברדיוס ‪[5mg/2] .L/2‬‬
‫)‪(6.4‬‬
‫על ציר גלגלת שרדיוסה החיצוני ‪ r = 1 m‬ומסתה ‪ 2‬ק"ג מופעל מומנט סיבובי ע"י מנוע‬
‫חשמלי ‪ .   20 Nm‬סביב הגלגלת מלופף חוט בו תלויה משקולת שמסתה ‪ .1kg‬המנוע‬
‫מסובב את הגלגלת והמשקולת עולה‪ .‬הגלגלת מתחילה להסתובב ממנוחה‪ .‬ניתן להזניח את‬
‫השפעת החיכוך בציר הגלגלת‪ .‬הגלגלת – דסקה אחידה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת המשקולת? ]‪ 5‬מ\ש‪[2‬‬
‫‪59‬‬
‫‪θ‬‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הגלגלת לאחר ‪ 2‬סיבובים שלמים? מהי האנרגיה הקינטית שלה?‬
‫] ‪ 31.4 , 11.2 rad / sec‬ג'אול[‬
‫ג‪ .‬פתור את אותה שאלה כאשר עבור מומנט סיבובי של המנוע התלוי בזמן לפי ‪.   20  0.5t 2‬‬
‫] ] ‪[ 7.685 rad / sec , 5  0.25t 2 [ SI‬‬
‫)‪(6.5‬‬
‫משפט שטיינר‬
‫א‪.‬‬
‫נתון מוט בעל אורך ‪ L‬ומסה ‪ .M‬נתון מומנט התמד של המוט יחסית לציר העובר במרכזו ‪:‬‬
‫‪ . ML2 / 12‬חשב‪ ,‬על סמך נתון זה ומשפט שטיינר‪ ,‬את מומנט ההתמד של המוט סביב ציר‬
‫העובר בקצהו‪[ ML2 / 3 ] .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו מומנט ההתמד של המוט עבור ציר העובר במרחק ‪ L/4‬מקצה‬
‫‪L/4‬‬
‫המוט?‬
‫סעיף ג'‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את מומנט ההתמד של גוף המורכב ממוט שאורכו ‪ L‬ומסתו‬
‫‪ ,M‬שבקצהו מחוברת דיסקה שרדיוסה ‪ R‬ומסתה ‪ .M‬נתון כי‬
‫הציר נמצא במרחק ‪ L/4=R‬מקצה המוט‪.‬‬
‫)‪(6.6‬‬
‫חישוב מומנט אינרציה על ידי אינטגרציה‪:‬‬
‫ג‪ .‬חשב‪/‬י את מומנט ההתמד של דיסקה בעלת רדיוס ‪ R‬ומסה ‪ M‬סביב ציר העובר במרכזה ומאונך‬
‫למשטחה‪ .‬הדרכה‪ (1) :‬ניקח אלמנט מסה ‪ dm‬בצורת טבעת ברדיוס ‪ r‬ועובי ‪ . dr‬נחשב את‬
‫אלמנט המסה ‪ . dm‬יש לבטא אותו בעזרת ‪ ,M‬המסה הכללית של הדיסקה‪ (2) .‬נבטא את מומנט‬
‫ההתמד ‪ dI‬של טבעת זו )‪ (3‬נבצע אינטגרל על התוצאה שקיבלת בסעיף הקודם על מנת למצוא‬
‫את סה"כ מומנט ההתמד של הדיסקה‪.‬‬
‫ד‪ .‬מוט באורך ‪ L‬שצפיפותו ליחידת אורך ‪ λ‬משתנה לפי‪ k ) λ  x   kx :‬הוא קבוע נתון(‬
‫מסתובב סביב ציר המאונך לו ועובר דרך קצהו‪ ,‬הנמצא ב ‪ . x  0‬חשב את מומנט ההתמד של‬
‫‪kL4‬‬
‫הגוף סביב ציר זה‪) .‬תשובה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(I ‬‬
‫‪60‬‬
‫גלגול ללא החלקה‬
‫מצב של גלגול ללא החלקה הוא מצב שבו נקודת המגע של הגוף‬
‫עם המשטח לא מחליקה ביחס למשטח עליה היא נמצאת‬
‫)מהירותה הרגעית היא אפס(‪ .‬במקרה זה אפשר למצוא קשר בין התנועה הסיבובית של הגוף לבין תנועתו‬
‫הקווית‪ .‬אם הגוף נע על משטח ישר אז כאשר הוא מבצע סיבוב שלם )‪ 2π‬רד'( מרכז המסה יזוז מרחק של‬
‫‪ ,2πR‬כאשר ‪ R‬הוא הרדיוס שסביבו מסתובב הגוף‪ .‬מכאן ש‪-‬‬
‫‪acm   R  vcm   R  xcm   R‬‬
‫קשר זה מתקיים גם כאשר הגוף נע ללא החלקה על משטח עקום )כמו מסילה מעגלית(‪.‬‬
‫בפתרון בעיות של גלגול ללא החלקה נשתמש ב‬
‫) ‪(1‬‬
‫) ‪(2‬‬
‫‪ F  ma‬‬
‫‪  I ‬‬
‫‪cm‬‬
‫)‪acm   R (3‬‬
‫כוח החיכוך הפועל על הגוף )בנקודת המגע( הוא כוח חיכוך סטטי‪ .‬כוח זה לא מבצע עבודה על הגוף ולכן ניתן‬
‫להשתמש בחוק שימור האנרגיה באופן המוכר‪.‬‬
‫האנרגיה הקינטית של הגוף ניתנת לכתיבה כסכום של שני ביטויים‪ :‬אחד המתאר את תנועת מרכז המסה של‬
‫‪I cm  2‬‬
‫‪M v cm 2‬‬
‫הגוף )‬
‫( והשני המתאר את תנועתו הסיבובית של הגוף סביב מרכז המסה )‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M v cm 2 I cm  2‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪ ,‬כלומר‬
‫‪Ek ‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(6.7‬‬
‫חוט קשור למרכז גלגל ונמשך בכוח ‪ .F‬הגלגל מבצע גלגול ללא החלקה‪ .‬נתונים‪) M :‬מסת הגלגל(‪I ,‬‬
‫)מומנט ההתמד של הגלגל(‪) R ,‬רדיוסו(‪.F ,‬‬
‫א‪ .‬מהו כיוון כוח החיכוך הפועל על הגלגל? נמק‪] .‬שמאלה[‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת מרכז המסה של הגלגל?‬
‫ג‪ .‬מהו גודל כוח החיכוך?‬
‫‪61‬‬
‫‪F‬‬
‫)‪(6.8‬‬
‫גליל מלא מתתגלגל ללא החלקה במורד מדדרון ששיפועו ‪.β‬‬
‫א‪ .‬מהי מהיררות הגליל לאחחר שירד גובה ‪ H‬ממצב של מנוחה‪[ 4gh ] .‬‬
‫‪3‬‬
‫שתי דרכים‪:‬‬
‫יש לפתור בש‬
‫‪ I‬על ידדי חישוב תאוצצת מרכז המסהה ושימוש בנוססחאות קינמטיקה‪.‬‬
‫‪ II‬על ידדי שימוש בחוק שימור האנררגיה‪.‬‬
‫שור מתחייב שמקדם החיכוך הסטטי בין‬
‫שכדי שיתקיים גלגול ללא החחלקה על המיש‬
‫ב‪ .‬הראה ש‬
‫‪1‬‬
‫המישור לגליל גדול מ‪tan  -‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(6.9‬‬
‫‪.‬‬
‫גלגל בעל מססה ‪ M‬מורכב ממשני גלילים‪ ,‬בעלי רדיוסים ‪ R1‬ו‪ .R2-‬נתתון כי ‪ . 2 R1  R2  R‬הגליילים‬
‫מודבקים כך שמרכזם מתללכד‪ .‬מלפפים חחוט מסביב לגללגל שרדיוסו ‪ ,R1‬ובזמן ‪ t = 0‬מתחילים‬
‫למשוך ט‬
‫בחוט‪ ,‬בכוח הגדל ככתלות בזמן לפפי ‪ b) F = bt‬הוא קבוע חיובבי ו‪ t-‬הזמן(‪ .‬ההגלגל מתגלגל‬
‫למרכזו( הוא ‪ k ,I = k M R2‬הוא קבוע חסר‬
‫(‬
‫החלקה‪ .‬מומנט ההתמד של הגלגל )בביחס‬
‫‪.‬‬
‫ללא‬
‫יחידות‪ .‬נתונים‪.b ,k ,R ,M :‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצצת מרכז הגלגלל כפונקציה‬
‫של‬
‫הזמן?] ‪3bt‬‬
‫?‬
‫‪m  k  1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪R1‬‬
‫[‬
‫‪R2‬‬
‫ב‪ .‬מהי המהיירות הזוויתית של הגלגל‬
‫‪? F=M‬‬
‫כאשר ‪Mg‬‬
‫] ‪3m  g 2‬‬
‫‪2b  k  1‬‬
‫[‬
‫תרגגילים נוספים‬
‫)‪ (6.10‬גוף שמסתו ‪ m=3kgg‬קשורר לחוט המלופףף על גלגלת )גגליל מלא ואחייד(‪ .‬מסת הגלגגלת ‪M=6kg‬‬
‫ורדיוסו ‪ .R=0..2m‬הגוף ‪ m‬מתחיל לנוע ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצת ההגוף ‪[gg/2] ?m‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת ננקודה ‪ A‬הנמצצאת במרחק ‪ 0.15‬מ' ממרכז הדיסקה?‬
‫ג‪ .‬מצא‪/‬י‪ ,‬על סמך חוק שימורר האנרגיה‪ ,‬אתת מהירות הגוףף ‪ m‬לאחר שההגליל מבצע ססיבוב שלם סבביב הציר‪.‬‬
‫]‪ 3.51‬מ\ש[‬
‫‪62‬‬
‫שחררים את הממוט ממנוחה בבמצב‬
‫)‪ (6.11‬מוט אחיד באאורך ‪ L‬ומסה ‪ m‬מחובר לציר בקצהו‪ .‬מש‬
‫‪.(φ‬‬
‫אופקי )‪φ=0‬‬
‫הזוויתית של המוט כתלות בזווית ‪[3ggcosφ/2L] ?φ‬‬
‫ת‬
‫א‪ .‬מהי התאאוצה‬
‫ב‪ .‬מהי תאווצת נקודה בקצצה מוט במצב ההתחלתי? ]‪ .3g/22‬גדול מ‪[!g-‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהיירותו הזוויתיתת כתלות ב‪[ω2=33g sinφ /L] ?φ-‬‬
‫שמסתו ‪ M=00.8kg‬ורדיוסו ‪.R=0.14m‬‬
‫)‪ (6.12‬גוף נקודתי ‪ m=0.2kg‬ממודבק לגליל ש‬
‫‪φ‬‬
‫נמצאת בנקודה הגבווהה ביותר )‪ (φ=00‬במנוחה‪.‬‬
‫ת‬
‫המערכת מתתחילה כך שמססה ‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪φ‬‬
‫שיקית ומהירותת‬
‫שחררים‪ .‬מהי התאוצה המש‬
‫מסיטים את המסה ‪ m‬הסטטה מזערית ומש‬
‫הגוף ‪ m‬בזווית ‪ 2.31] ?φ=π/4‬מ\ש‪ 0.88 ,2‬מ\ש[‬
‫)‪ (6.13‬המערכת בצציור מרימה אאת המסה ‪ .m=1kkg‬המעררכת מורכבת משתי‬
‫דיסקות‪ ,‬מסת כל אחת ‪ M=0.5kg‬ורדדיוס כל דיסקקה ‪ ,R2=0.15m‬וכן‬
‫‪ .M‬מנוע מפעילל על המערכת מומנט‬
‫מגליל שרדיווסו ‪ R1=0.08m‬ומסתו ‪M/2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M/2‬‬
‫שגוף ‪m‬‬
‫הכוח שמפעיל המננוע על מנת ש‬
‫ח‬
‫להיות מומנט‬
‫ת‬
‫כוח קבוע‪ .‬ממה צריך‬
‫יעלה‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫במהירות קבועה? ]‪ 0.7884‬נ' מ'[‬
‫ת‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 0.9922] ?a=0.6m‬נ' מ'[‬
‫ב‪ .‬בתאוצהה קבועה ‪m/s2‬‬
‫)‪ (6.14‬כוח אנכי ‪ [mks] F=3t‬מושך חוט המגולגל על‬
‫‪m‬‬
‫גלגלת‪ ,‬כמווראה באיור‪ .‬הגלגלת מורכבת משני‬
‫גלילים מלאיים‪ .‬ב‪ t=0-‬הגללגלת במנוחה‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫אל חוט המגגולגל סביב הגגליל הקטן מחחובר‪ ,‬על ידי‬
‫חוט מתוח‪ ,‬גוף שמסתו ‪k‬‬
‫‪. m  3kg‬‬
‫נתונים‪R1  0.1m, R2  0.2m, I 0  00.05kg m 2 , k  0.2, s  0.5 :‬‬
‫)‪ I0‬הוא מומננט ההתמד סבביב מרכז הגלגלת‪ R1 ,‬ו‪ R2-‬רדיוסי הגליליים‪ ,‬ומקדמי החחיכוך הם בין הגוף‬
‫והשולחן(‪.‬‬
‫שג כוח כזה? ]‪ 7.55‬ניוטון‪ 22.5 ,‬שניות[‬
‫שיזיז את ‪ ?m‬אחריי כמה זמן מוש‬
‫ז‬
‫א‪ .‬מהו ‪ F‬ההמינימלי‬
‫ב‪ .‬מהי התאאוצה כתלות בבזמן מרגע שהחחלה התנועה? ]‪ 3(t-1)/4‬ביחידות מ‪.‬ק‪.‬ש[‬
‫‪63‬‬
‫ג‪ .‬כמה סיבובים הגלגלת מבצעת עד ‪ 134.3] ?t=10sec‬סיבובים‪ .‬לא לשכוח שהתנועה מתחיל‬
‫מזמן ‪ 2.5‬שניות[‬
‫ד‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת על היקף הגליל הגדול‪ .‬מהי מהירות הנקודה ‪ A‬בזמן הנ"ל? ]‪ 59.1‬מ\ש[‬
‫)‪ (6.15‬גלגל )גליל מלא( מתגלגל ממישור משופע בשיפוע ‪ 300‬ללא החלקה‪ .‬רדיוסו ‪ R‬ומסתו ‪.M‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצתו? )‪(g/3‬‬
‫ב‪ .‬גליל ריק בעל אותו רדיוס ומסה מתגלגל ללא החלקה מאותו גובה )ומאותה‬
‫מהירות התחלתית(‪ .‬מי יגיע קודם? )מה מלא?‪(:‬‬
‫)‪ (6.16‬משולש שווה צלעות בנוי מ‪ 3-‬מוטות דקים אחידים‪ .‬מסת כל מוט ‪ m‬ואורכו ‪ .L‬המשולש תלוי‬
‫מקודקודו על ציר )בעל חיכוך זניח(‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את מרחק מרכז המסה מהציר‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫ב‪ .‬חשב‪/‬י את מומנט ההתמד של המשולש סביב הציר‪.‬‬
‫ג‪) .‬יש לפתור את הסעיף לאחר לימוד תנועה הרמונית פשוטה( מסיטים את המשולש‬
‫בזווית קטנה ומשחררים ממנוחה‪ .‬תוך כמה זמן מרגע השחרור הגוף יגיע למהירות‬
‫זוויתית מקסימלית? )לסעיף זה יש להשתמש בקירוב של תנועה הרמונית(‬
‫ד‪ .‬מהי המהירות הזוויתית המקסימלית של הגוף?‬
‫)‪ (6.17‬דיסקה תלויה לציר חסר חיכוך הנמצא בקצה הדיסקה‪ .‬הזווית ‪ ‬היא זווית הסטיה של הדיסקה ממצב‬
‫שיווי המשקל‪ .‬מסיטים את הדיסקה ב‪) 900 -‬משיווי משקל‪ ,‬כלומר‪ (0 = 900 ,‬ומשחררים‬
‫ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי תאוצתה הזוויתית של הדיסקה ברגע השחרור? לאיזו נקודה על הדיסקה יש‪ ,‬ברגע‬
‫השחרור‪ ,‬את התאוצה שגודלה ‪ -‬הגדול ביותר? מהי תאוצה זו?‬
‫] ‪3g‬‬
‫‪2R‬‬
‫‪[ a max  3g , α ‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצתה הזוויתית של הדיסקה כתלות ב‪[ α  3gsinβ ] ? -‬‬
‫‪2R‬‬
‫ג‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הדיסקה כתלות ב‪ ?-‬באיזו זווית גודל המהירות מקסימלי? מהי‬
‫המהירות הזוויתית המקסימלית של הדיסקה? ]‬
‫‪64‬‬
‫‪4gsinβ‬‬
‫‪3R‬‬
‫‪[ω ‬‬
‫)‪ (6.18‬על גלגלת ‪ A‬בעלת רדיוס ‪ R  0.3m‬ומומנט התמד ‪ I  1 kg  m 2‬מלופף חוט‪ .‬בקצהו השני‬
‫קשור החוט אל גוף ‪ B‬שמסתו ‪ 0.5‬ק"ג‪ .‬הגוף ‪ B‬קשור לקפיץ בעל קבוע כוח של ‪) 50 N / m‬ראה‬
‫תרשים(‪ .‬ציר הסיבוב של הגלגלת והמישור המשופע הם חסרי חיכוך והחוט אינו מחליק על‬
‫הגלגלת‪ .‬מסובבים את הגלגלת נגד כיוון השעון עד שהקפיץ מתארך בשיעור ‪ 0.2‬מ' יחסית למצבו‬
‫הרפוי‪ ,‬ואז משחררים את המערכת ממצב מנוחה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מה תהיה המהירות הזוויתית של הגלגלת‪ ,‬ברגע בו הקפיץ‬
‫יחזור למצבו הרפוי?‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬מהו סוג התנועה שיבצע הגוף ‪ B‬מרגע שחרור המערכת‬
‫עד למצב שבו הקפיץ במצב הרפוי )רמז‪ :‬כתוב חוק שני‬
‫של ניוטון עבור גוף ‪. (B‬‬
‫)‪ (6.19‬נתונה גלגלת המורכבת משתי דיסקות צמודות‪ .‬דיסקה אחת רדיוסה ‪ 20‬ס"מ ומסתה ‪ 2‬ק"ג‪,‬‬
‫והאחרת רדיוסה ‪ 10‬ס"מ ומסתה ‪ 1‬ק"ג‪ .‬סביב לכל גלגלת מלופף ובקצהו תולים מסה‪ .‬אל החוט‬
‫המחובר לדיסקה הגדולה מחברים מסה של ‪ 2‬ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המסה שיש לחבר אל החוט המחובר לדיסקה הקטנה כדי שהמערכת תהיה בשיווי משקל?‬
‫]‪ 4‬ק"ג[‬
‫ב‪ .‬מהי התאוצה של כל אחת מהמסות‪ ,‬אם יחברו לחוט זה מסה כפולה מזו שמצאת בסעיף א'?‬
‫ג‪ .‬מהו הכוח שמפעיל‪ ,‬בכל אחד מהמקרים‪ ,‬ציר החיבור על הדיסקות?‬
‫מתקף זוויתי ותנע זוויתי‬
‫תנע זוויתי של גוף נקודתי‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪L  r  p  mr v‬‬
‫תנע זוויתי של גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית ‪ ‬סביב ציר קבוע‬
‫‪L  I‬‬
‫מתקף זוויתי‬
‫‪‬‬
‫‪J     dt‬‬
‫‪65‬‬
‫משפט מתקף זוויתי‪-‬תנע זוויתי‪ :‬המתקף הזוויתי הכולל שווה לשינוי בתנע הזוויתי של הגוף‬
‫חוק שימור התנע הזוויתי‪ :‬כאשר המתקף הזוויתי של מערכת מתאפס )משמע שסכום המונטים החיצוניים על מערכת‬
‫מתאפס( התנע הזוויתי הכולל של המערכת נשמר‪.‬‬
‫)‪ (6.20‬ילד שמסתו ‪ 25kg‬יושב בקצה קרוסלה נייחת שרדיוסה‬
‫‪ . 1.5m‬מומנט ההתמד של הקרוסלה )ללא הילד(‪ ,‬סביב‬
‫ציר העובר במרכזה‪ ,‬הוא ‪ . 120 kg m 2‬הילד תופס כדור‬
‫‪v0‬‬
‫‪0‬‬
‫שמסתו ‪ 0.5kg‬הנזרק אליו מחברו‪ .‬רגע לפני שהכדור‬
‫‪37‬‬
‫נתפס מהירותו היא ‪ 16 m / s‬בזווית של ‪ 37o‬למשיק‬
‫לקרוסלה )ראה‪/‬י ציור(‪ .‬הניחו כי ממדי הילד והכדור‬
‫זניחים )ילד נקודתי( וכי הציר אידיאלי‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הקרוסלה לאחר תפיסת הכדור? ] ‪[ 0.054 rad sec‬‬
‫ב‪ .‬מהי המהירות המשיקית של הילד לאחר תפיסת הכדור? ] ‪[ 0.081 m sec‬‬
‫ג‪ .‬מהו המתקף הזוויתי הכולל שפעל על הילד? מי הפעיל אותו? ] ‪[ 3.039 N  m  sec‬‬
‫ד‪ .‬מהו המתקף הזוויתי שהפעיל הכדור על הילד? ] ‪[ 8.976 N  m  sec‬‬
‫)‪ (6.21‬לכדור ביליארד בעל מסה ‪ m‬ורדיוס ‪ R‬הנמצא במנוחה‬
‫מוענק מתקף קווי שגודלו ‪ J‬על ידי הפעלת כוח אופקי‬
‫‪R‬‬
‫בגובה ‪ h‬מעל שולחן הביליארד‪ ,‬כמוראה בתרשים‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫נתונים‪. m, J , h, R :‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות מרכז המסה של כדור הביליארד לאחר שהוענק‬
‫המתקף הקווי? ] ‪[ J‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירותו הזוויתית של כדור הביליארד לאחר שהוענק לו המתקף הנתון? ] )‪[ 5J (h 2R‬‬
‫‪2mR‬‬
‫ג‪ .‬עבור איזה ערך של ‪ h‬יתחיל כדור הביליארד להתגלגל ללא החלקה? ] ‪[ 7 R‬‬
‫‪5‬‬
‫‪66‬‬
‫)‪ (6.22‬מוט אחיד שמסתו ‪ 3 kg‬ואורכו ‪ 0.5m‬תלוי בקצהו לציר קבוע‬
‫‪g‬‬
‫)חיכוך זניח(‪ .‬קליע שמסתו ‪ 0.01kg‬נע אופקית במהירות‬
‫‪ v 0  100 m / sec‬לעבר המוט‪ .‬הקליע פוגע בקצה המוט‬
‫‪x‬‬
‫וניתז ממנו כלפי מטה במהירות שגודלה ‪ . v 0 / 2‬זמן ההתנגשות‬
‫קצרצר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהי המהירות הזוויתית של המוט מיד לאחר‬
‫‪vo‬‬
‫ההתנגשות? ] ‪[ 2 rad sec‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי הזווית המכסימלית אליה יגיע המוט?‬
‫] ‪[ 21.039‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו ווקטור המתקף שהפעיל המוט על הקליע?‬
‫] ‪[  ˆi  0.5jˆ  Ns‬‬
‫)‪ (6.23‬אדם שמסתו ‪ m‬נמצא במנוחה במרכז דיסקה שרדיוסה ‪ R‬ומסתה ‪ M‬המסתובבת במהירות זוויתית‬
‫‪ .ω0‬האדם מתחיל לנוע לכיוון קצה הדיסקה‪ .‬יש להניח שהאדם נקודתי‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הזוויתית של הדיסקה כפונקציה של המרחק ‪ r‬של האדם ממרכז הדיסקה?‬
‫]‬
‫‪MR 2ω0‬‬
‫‪MR 2  2mr 2‬‬
‫‪[ω ‬‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה שהשקיע האדם בהתקדמותו‪ ,‬כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז הדיסקה?‬
‫]‪‬‬
‫‪MR 2‬‬
‫‪ MR 2  2mr 2  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪[ MR 2  ω02 ‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪ (6.24‬חרק שמסתו ‪ m‬נמצא במנוחה בקצה תקליט שרדיוסו ‪ R‬ומסתו ‪ M‬המסתובב במהירות זוויתית ‪.‬‬
‫החרק מתחיל לנוע לכיוון מרכז התקליט‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של התקליט כפונקציה של המרחק ‪ r‬של החרק ממרכז התקליט?‬
‫]‬
‫‪MR 2 ‬‬
‫‪ ω0‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 MR ‬‬
‫‪ mr  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[  mR‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬מהי העבודה שהשקיע החרק בהתקדמותו‪ ,‬כפונקציה של המרחק שלו ‪ r‬ממרכז התקליט?‬
‫‪67‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪ (6.25‬סחרחרה בצורת דיסקה שמסתה ‪ M  100Kg‬ורדיוסה ‪ R  5m‬נמצאת במנוחה‪ .‬סטודנט שמסתו‬
‫‪ m = 70 Kg‬רץ לאורך קו המשיק לסחרחרה בשפתה החיצונית וקופץ עליה במהירות‬
‫‪) . v  2 m / s‬הניחו שסטודנט הוא גוף נקודתי‪(:‬‬
‫א‪ .‬מהי המהירות הזוויתית של הסטודנט והסחרחרה לאחר נחיתת הסטודנט? ] ‪[ 0.233 rad sec‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מהירות הסחרחרה אם הסטודנט יעבור למרכזה? ] ‪[ 0.56 rad sec‬‬
‫‪68‬‬
‫פרק ז'‪ :‬תנועה הרמונית‬
‫תנועה מחזורית‬
‫תנועה מחזורית מאופיינת על ידי זמן מחזור ‪ .T‬אם נסתכל על הגוף ברגע התחלתי כלשהו‪ ,‬הרי שלאחר זמן ‪T‬‬
‫יחזור לנקודת ההתחלה וישחזר את תנועתו בדיוק‪ .‬תנועת כדוה"א סביב השמש היא תנועה מחזורית עם זמן‬
‫מחזור של שנה אחת‪ .‬כרגע נמצא הכדור בנקודה מסוימת ביחס לשמש‪ ,‬נע במהירות מסוימת מסביב לשמש‪.‬‬
‫בעוד שנה יחזור לאותו המצב בדיוק )מיקום ומהירות( ויתחיל מחדש‪ ,‬כל שנה משחזר בדיוק את תנועתו‬
‫מהשנה שעברה‪.‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‬
‫תנועה הרמונית היא תנועה מחזורית מיוחדת‪ .‬מה שמיוחד בה‪ -‬הגורם לתנועה הוא כוח מחזיר שגודלו‬
‫פרופורציוני למרחק מנקודת שיווי המשקל )תחשבו על קפיץ כדוגמה(‪ .‬במקרה כזה התנועה תתואר על ידי‬
‫פונקציה הרמונית – למשל פונקצית סינוס‪ .‬כך נראית פונקצית סינוס‪:‬‬
‫‪sinq ‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4p‬‬
‫‪7p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-1.0‬‬
‫וכך נראית פונקצית קוסינוס‪:‬‬
‫‪cosq ‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4p‬‬
‫‪7p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪- 0.5‬‬
‫‪- 1.0‬‬
‫נכון שהן נראות אותו הדבר? מה בכל זאת ההבדל? הקוסינוס זז אחורה ב‪ ./2-‬ככה שבזווית אפס הקוסינוס‬
‫שווה לאחד והסינוס שווה לאפס )בדוק!(‪.‬‬
‫‪69‬‬
‫אם אנחנו מתעסקים בתנועה אז הציר האופקי הוא ציר הזמן והציר האנכי מיקום הגוף‪ .‬זמן אפס מציין בדרך‬
‫כלל את הרגע בו התחלנו למדוד את התנועה‪ ,‬אותו רגע בו לחצנו על הסטופר‪ .‬הקוסינוס והסינוס מציינים‪ ,‬אם‬
‫כן‪ ,‬את אותה התנועה‪ .‬רק שבמקרה של קוסינוס לחצנו על הסטופר כאשר הגוף הכי רחוק מנקודת שיווי‬
‫המשקל ובמקרה של הסינוס לחצנו על הסטופר כאשר הגוף בדיוק חלף על פני נקודת שיווי המשקל ‪.x=0‬‬
‫שימו לב שמתקיים ‪ sin(   / 2)  cos ‬שזה אומר שאת שתי הפונקציות למעלה אפשר להציג בעזרת‬
‫פונקצית סינוס אם מוסיפים לה את ה‪) /2-‬לא חייבים את הקוסינוס(‪.‬‬
‫מה אם לחצנו על הסטופר בנקודה אחרת כלשהי‪ ,‬למשל כאשר הגוף בדיוק עבר חצי מהדרך בין נקודת שיווי‬
‫המשקל לבין הנקודה הרחוקה ביותר משיווי משקל?‬
‫אז עדיין מדובר בגרף סינוס רק שהוא לא זז ‪ /2‬אלא פחות‪:‬‬
‫‪p‬‬
‫‪6‬‬
‫‪sin q +‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪q‬‬
‫‪4p‬‬
‫‪7p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪5p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2p‬‬
‫‪3p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪- 0.5‬‬
‫‪- 1.0‬‬
‫בציור רואים את הגרף )‪ . sin(   / 6‬בזווית אפס הערך של הסינוס הוא חצי‪ ,‬בדיוק באמצע בין ‪ 0‬ו‪...1-‬‬
‫קצת יותר פורמלי‪:‬‬
‫תנועה הרמונית היא תנועה בה מתקיים קשר מיוחד בין תאוצת הגוף לבין ההעתק של הגוף )התזוזה מנקודת‬
‫שיווי משקל‪ ,‬שבה תאוצת הגוף היא אפס(‪ .‬זה הקשר‬
‫‪a   2 x‬‬
‫הפתרון הכללי ביותר למשוואה זו של תנועה הרמונית הוא מצורה‬
‫) ‪, x (t )  A sin(  t  ‬‬
‫כאשר ‪ A‬מסמן את האמפליטודה של הגוף )המרחק הגדול ביותר של הגוף מנקודת שיווי המשקל(‪  ,‬הוא‬
‫קשורה לזמן המחזור של התנועה לפי ‪ T  2 / ‬ו‪  -‬נקראת זווית מופע )או זווית פאזה( התחלתית‬
‫וקשורה לתנאי התחלה‪ ,‬אותו הזמן בו לחצנו על הסטופר‪.‬‬
‫למשל הנה הגרף )‪x (t )  3 sin(  t   / 6‬‬
‫‪70‬‬
‫‪x t   m ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tsec‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫שימו לב שזמן המחזור הוא ‪ 2‬שניות )‪ (T=2/=2 sec‬והאמפליטודה ‪ A‬היא ‪ 3‬מ'‪ .‬הזמן ההתחלתי הוא זה‬
‫בו הגוף נמצא בדיוק באמצע בדרך בין ‪ x=0‬ו‪ .x=3m-‬איך אפשר לדעת את זה? קודם כל רואים בגרף‪ .‬חוץ‬
‫מזה – אם נציב ‪ t=0‬בנוסחת המיקום‪.‬נקבל‪. x (0)  3 cos(  / 6)  1.5 m :‬‬
‫לא לשכוח לעבוד ברדיאנים!‬
‫מהי מהירות הגוף? נגזור את הביטוי ) ‪ x (t )  A sin(  t  ‬ונקבל‬
‫) ‪v (t )   A cos(  t  ‬‬
‫למשל במקרה של הדוגמה )‪ . v (t )  3 cos(  t   / 6‬מביטוי זה רואים מיד את מהירותו המקסימלית של‬
‫הגוף ‪ , (3 ) m / s‬ובאופן כללי ‪ . vmax   A‬ניתן גם לדעת מהי מהירות הגוף ברגע ההתחלתי‪ .‬נציב ‪:t=0‬‬
‫‪) v (t )  3 cos(  / 6)  (3 3  / 2) m / s  8.16 m/s‬רדיאנים!(‪.‬‬
‫כאשר אנחנו יודעים איפה הגוף נמצא ברגע מסוים )בד"כ ‪ (t=0‬ומהי אז מהירותו‪ ,‬אז ניתן למצוא את ‪ ‬וגם‬
‫את האמפליטודה ‪.A‬‬
‫כדי להבין זאת נסתכל על מקרה בו הגוף מתחיל את תנועתו בחצי מהדרך בין נקודת שיווי המשקל למקסימום‬
‫מרחק‪ ,‬כלומר ‪ . x0  A / 2‬פתרון אחד אפשרי הוא זו שהוצג לעיל – אז הגוף נע ברגע ההתחלתי קדימה –‬
‫למקום רחוק יותר מנקודת שיווי משקל‪ .‬אבל יתכן גם מקרה ובו הגוף נמצא בזמן התחלתי באותה נקודה אבל‬
‫נע "אחורה" לעבר נקודת שיווי המשקל‪ .‬במקרה כזה הגרף יהיה‬
‫‪71‬‬
‫‪x t   m ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tsec‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫זוהי הפונקציה )‪ , x (t )  3 sin(  t  5 / 6‬כמעט אותו ביטוי‪ ,‬רק עם זווית מופע אחרת‪ ,‬הקשורה לכך‬
‫שתנאי ההתחלה השתנו )קודם הגוף התחיל לנוע קדימה ועכשיו הוא נע אחורה(‪.‬‬
‫בפועל כאמור אנחנו יודעים את תנאי ההתחלה ומקבלים את זווית המופע )וגם את האמפליטודה(‪:‬‬
‫) ‪x (t )  A sin( t   )  x0  A sin( ‬‬
‫) ‪v (t )   A cos(  t   )  v0   A cos( ‬‬
‫שתי משוואות‪ ,‬שני נעלמים )‪.(  ,A‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(7.1‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 0.9M‬קשור לקפיץ בעל קבוע ‪ k‬ומתנדנד בתה"פ שאמפליטודתה שווה ל‪.A0-‬‬
‫נתונים‪1=M:‬ק"ג‪.A0=0.8m ,k=100N/m ,‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן המחזור של התנועה? )מהי ‪(T=0.596sec) (?‬‬
‫קליע שמסתו ‪ m=0.1M‬נע אופקית לעבר המסה ‪ M‬במהירות ‪ u0=60m/s‬ומתנגש בה התנגשות‬
‫פלסטית )זמן ההתנגשות קצר(‪ .‬ההתנגשות מתרחשת בדיוק כאשר המסה ‪ M‬נעצרה רגעית במצב בו‬
‫הקפיץ היה מתוח מקסימלית‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגופים מיד לאחר ההתנגשות? )‪(6m/s‬‬
‫ג‪ .‬מה תהיה האמפליטודה החדשה של התנועה? )‪(1m‬‬
‫ד‪ .‬רשום את )‪ ,x(t‬כאשר הזמן ‪ t‬נמדד מרגע ההתנגשות )כלומר ‪ t=0‬הוא זמן ההתנגשות(‪.‬‬
‫ה‪ .‬היכן הגוף יימצא לאחר ‪ 2‬שניות?‬
‫)‪(x = -0.22m‬‬
‫ו‪ .‬מה תהיה אז מהירותו? )‪(v = 4.855m/s‬‬
‫‪72‬‬
‫)‪(7.2‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 2‬ק"ג נתון להשפעת כוח ‪ F=-kx‬עם ‪ .k=100N/m‬מסיטים את הגוף ממצב שיווי משקל‬
‫ל‪ x=0.5m-‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו מיקום הגוף‪ ,‬מהירותו ותאוצתו כתלות בזמן?‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף המכסימלית ובאיזה ‪ x‬היא מושגת?‬
‫ג‪ .‬מהי התאוצה המכסימלית ובאיזה ‪ x‬היא מושגת?‬
‫ד‪ .‬מתי יגיע הגוף בפעם הראשונה ל‪?x=-0.3m-‬‬
‫ה‪ .‬מהי יהיה גודל וכיוון המהירות של הגוף במצב המתואר בסעיף ד'?‬
‫ו‪ .‬מצאו את המהירות )סעיף ה'( משיקולי אנרגיה‪.‬‬
‫)‪(7.3‬‬
‫מסה ‪ m‬מחוברת לקפיץ שקבועו ‪ k‬ונמצאת על מישור חסר חיכוך‪ .‬מזיזים את המסה מנקודת שיווי‬
‫המשקל לעבר הקיר למרחק ‪ A‬ומשחררים ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן המחזור של התנועה? כתוב‪/‬כתבי את המיקום והמהירות כפונקציה של הזמן )‪.v(t) ,x(t‬‬
‫‪m‬‬
‫ב‪ .‬לאחר שליש זמן מחזור ניתקת מצד ימין של ‪ m‬חתיכה שמסתה‬
‫‪3‬‬
‫כך שלקפיץ שנשארת מחוברת מסה‬
‫‪2‬‬
‫שגודלה ‪ . m‬ידוע כי מהירות שני הגופים מיד אחרי ההתפרקות לא משתנה‪ .‬מהי מהירות הגופים ברגע‬
‫‪3‬‬
‫ההתנתקות?‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬כתבו ביטוי המתאר את )‪) x(t‬של המסה ‪ ( m‬מרגע ההתנתקות‬
‫‪3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫ואילך‪.‬‬
‫)‪(7.4‬‬
‫גוף נע בתנועה הרמונית פשוטה‪ .‬זמן המחזור של התנועה ‪ 4‬שניות‪ .‬מצאו את )‪x(t), v(t), a(t‬‬
‫והאמפליטודה במקרים הבאים‪:‬‬
‫א‪. x (t  0)  2m , v (t  0)  0 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x (t  1sec)  0 , v (t  1sec)   m / s‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x (t  sec)   2 m , v (t  sec) ‬‬
‫‪m/s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ד‪ .‬הסבר‪/‬בירי את התוצאה שקבלת לגבי )‪ x(t‬בכל המקרים‪ .‬איך זה יתכן?‬
‫‪73‬‬
‫)‪(7.5‬‬
‫שתי מסות ‪ m‬ו‪ 2m-‬ושני קפיצים ‪ k‬ו‪ 2k-‬מורכבים כמוראה בשרטוט‪ .‬הקפיצים רפויים ומחוברים אל‬
‫המסות אך המסות אינן מחוברות זו לזו‪ .‬מזיזים את המסה השמאלית )‪ (2m‬מרחק ‪ A‬שמאלה מהמצב‬
‫שתואר )המסה הימנית נשארת במקומה(‪ ,‬ומשחררים אותה ממנוחה‪ .‬הזניחו חיכוך‪ .‬נתון ‪,m=2kg :‬‬
‫‪A=0.3m ,k=50N/m‬‬
‫א‪.‬‬
‫רשום‪/‬רשמי את משוואת התנועה )‪) a(t) ,v(t) ,x(t‬מיקום‪ ,‬מהירות ותאוצה( לפני שהמסות מתנגשות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בהגיעה חזרה לנקודת ההתחלה המסה ‪ 2m‬מתנגשת התנגשות פלסטית במסה ‪ .m‬מהי האמפליטודה לאחר‬
‫ההתנגשות? מהו זמן המחזור?‬
‫ג‪ * .‬רשום‪/‬רשמי את משוואות התנועה )‪ a(t) ,v(t) ,x(t‬מבלי לשנות את פרמטר הזמן )כלומר השעון‬
‫ממשיך לרוץ מההתחלה(‪.‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2m‬‬
‫)‪(7.6‬‬
‫נתונה המערכת המתוארת בשרטוט‪ .‬מסת הכדור )כדור מלא( היא ‪ , m‬רדיוס‬
‫הכדור ‪ , R‬מסת המוט ‪ , m‬ואורך המוט ‪ . L  2R‬ציר הסיבוב נמצא במרחק של‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫ממרכז המוט‪ .‬מסיטים את המערכת‪ ,‬כך שהמוט נמצא בזווית התחלתית ‪θ 0‬‬
‫יחסית לאנך‪ .‬משחררים את המערכת ממנוחה‪.‬‬
‫א‪ .‬היכן נמצא מרכז המסה של המערכת‪ ,‬יחסית לציר הסיבוב?] ‪[ 5R‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬מה מומנט ההתמד של המערכת יחסית לציר הסיבוב? ] ‪[ 217mR‬‬
‫‪30‬‬
‫ג‪ .‬מהו תדירות התנודות של המערכת‪ ,‬בקירוב של תנודות קטנות? ]‬
‫‪74‬‬
‫‪75g‬‬
‫‪217R‬‬
‫[‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫משוואת התנועה‪ :‬בבעיה ובה כוח הרמוני ‪  kx‬וכן כוח גרר הפרופורציוני למהירות הגוף ‪ bv‬נקבל מתוך‬
‫החוק השני שלל ניוטון‪:‬‬
‫‪. ma   kx  bv‬‬
‫משימוש בהגדרת המהירות והתאוצה מתקבל‬
‫‪d 2x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ b  kx  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪.m‬‬
‫זוהי משוואה דיפרנציאלית מסדר שני‪ .‬אופי הפתרון למשוואה תלוי בקשר בין המקדמים השונים‪ .‬מפרידים‬
‫בין ‪ 3‬מקרים אפשריים‪:‬‬
‫א‪ . 4km  b2 .‬במקרה זה הפתרון יהיה מחזורי‪-‬דועך‪ ,‬כלומר התנועה היא תנועה הרמונית פשוטה עם‬
‫אמפליטודה שקטנה אקספוננציאלית‪ .‬תדירות התנודות שונה מתדירות כפי שהיא ללא הריסון‪ .‬הפתרון נקרא‬
‫‪.under-dumped‬‬
‫ב‪ . 4km  b2 .‬במקרה זה הפתרון יהיה דועך )ללא תנודות(‪ .‬הדעיכה אקספוננציאלית‪ .‬פתרון זה נקרא‬
‫‪.over-dumped‬‬
‫ג‪ . 4km  b2 .‬גם במקרה זה הפתרון יהיה דועך )ללא תנודות( אבל הביטוי המתמטי המתאר את הדעיכה‬
‫יהיה שונה מהביטוי במקרה ב'‪ .‬מקדם שיכוך ‪ b‬במקרה זה נקרא מקדם שיכוך קריטי‪ ,‬כלומר‬
‫‪ . bcritical  2 k m‬פתרן זה נקרא ‪.critically-dumped‬‬
‫הפתרון המחזורי ‪ -‬דועך של משוואת התנועה‬
‫‪x  t   A0 e   t sin  t   ‬‬
‫כאשר‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 2   2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ , 0 ‬זוהי תדירות התנודות ללא ריסון‪.‬‬
‫‪ ,   2 f ‬זוהי התדירות כפי שהיא בנוכחות הריסון‪.‬‬
‫‪ ,  ‬אם אין ריסון הרי ‪   0‬ואז אין דעיכה )חוזרים לבעיה של תה"פ(‬
‫‪75‬‬
‫‪2‬‬
‫‪    x0 ‬‬
‫‪A0  x0   0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x0‬‬
‫‪0   x0‬‬
‫‪tan  ‬‬
‫זמן הרפיה ‪ (relaxation time) ‬הזמן שלוקח לאמפליטודה לרדת ל‪ 1 / e  0.368 -‬מערכה ההתחלתי‬
‫כלומר ‪.   1 / ‬‬
‫תרגילים‬
‫)‪(7.7‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 100‬גרם מחובר לקפיץ בעל קבוע ‪ 5‬נ'\מ'‪ .‬הגוף מתנדנד בתנועה הרמונית מרוסנת בעלת‬
‫מקדם ריסון ‪ .b=0.2kg/sec‬ברגע ‪ t = 0‬הגוף נמצא במרחק ‪ 3‬ס"מ ממצב שיווי משקל ומהירותו שווה‬
‫לאפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא‪/‬י את משוואת התנועה של הגוף‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי תאוצת הגוף לאחר מחזור אחד?‬
‫)‪(7.8‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 1gr‬מחובר לקפיץ בעל קבוע כוח ‪ .0.05N/m‬הגוף מתנדנד בתוך מים‪ ,‬שמקדם הריסון‬
‫שלהם ‪. b  56  106 Kg / sec‬‬
‫א‪ .‬מהו זמן ההרפיה של האמפליטודה?‬
‫ב‪ .‬כיצד משפיעה צמיגות המים על זמן המחזור של התנודות?‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר התנודות‪ ,‬שיבצע הגוף‪ ,‬במשך הזמן הדרוש לאמפליטודה לרדת למחצית מערכה‬
‫ההתחלתי‪.‬‬
‫)‪(7.9‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גוף שמסתו ‪ 2‬ק"ג קשור לקפיץ בעל קבוע ‪ .11.2N/m‬על הגוף מופעל כוח ריסון ‪ F  bv‬והגוף‬
‫מבצע תנועה הרמונית מרוסנת‪ .‬נתון כי במשך ‪ 12‬תנודות הגוף מגיע למצב הרפיה‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב‪/‬י את המקדם ‪.b‬‬
‫ב‪ .‬נתון כי ברגע ההתחלתי הגוף נמצא במרחק ‪ 4‬ס"מ ממצב שיווי משקל )בכיוןן החיובי( ונע במהירות‬
‫‪ 4‬ס"מ\ש'‪ .‬מהי משוואת התנועה של הגוף?‬
‫ג‪ .‬מצא‪/‬י את הזמן בו הגוף עובר את מצב שיווי משקל בפעם הראשונה ובפעם השניה‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫)‪ (7.10‬גוף שמסתו ‪ 1‬ק"ג קשור לקפיץ הנמצא על מישור אופקי‪ .‬נותנים לגוף מכה קצרה כך שהוא מקבל‬
‫מהירות ‪ .1 m/s‬הגוף מתחיל להתנדנד בתדירות של ‪ 1‬הרץ‪ .‬התנודות מרוסנות ע"י כוח חיכוך‬
‫‪ - v ) f   v‬מהירות הגוף(‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום את משוואת התנועה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הזמן בו האמפליטודה יורדת פי ‪.2‬‬
‫)‪ (7.11‬גוף בעל מסה של ‪ 10‬ק"ג תלוי בקצה הקפיץ‪ .‬קבוע כוח של הקפיץ הוא ‪ 10‬נ'\ס"מ‪ .‬הגוף נע בנוזל אשר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מפעיל על הגוף כוח התנגדות ‪) R  160V‬כאשר ‪ – v‬מהירות(‪ .‬רשום את משוואת התנועה של הגוף‪,‬‬
‫אם ידוע כי ברגע התחלתי הוא נמצא במרחק ‪ 4‬ס"מ מתחת למצב שיווי המשקל ונע מטה במהירות ‪4‬‬
‫ס"מ\שנ'‪.‬‬
‫)‪ (7.12‬למטוטלת מתמטית יש זמן מחזור של ‪ 2 sec‬ואמפליטודה התחלתית של ‪ . 1.50‬לאחר ‪ 10‬תנודות שלמות‬
‫באוויר אמפליטודת התנודה קטנה לזווית של ‪. 1.00‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את זמן ההרפיה של האמפליטודה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כיצד משפיעה צמיגות האוויר על זמן המחזור של התנודה? )ללא שינוי‪ ,‬מקטינה‪ ,‬או מגדילה‪ ,‬פי כמה?(‬
‫)‪ (7.13‬גוף שמסתו ‪ 1gr‬מחובר לקפיץ בעל קבוע כוח ‪ .0.05N/m‬הגוף מתנדנד בתוך מים‪ ,‬שמקדם הריסון‬
‫שלהם התלוי בצמיגות המים ‪.b = 56x10-6Kg/sec‬‬
‫ד‪ .‬מהו זמן ההרפיה של האמפליטודה?‬
‫ה‪ .‬כיצד משפיעה צמיגות המים על זמן המחזור של התנודות?‬
‫ו‪.‬‬
‫מצא את מספר התנודות‪ ,‬שיבצע הגוף‪ ,‬במשך הזמן הדרוש לאמפליטודה לרדת למחצית מערכה‬
‫ההתחלתי‪.‬‬
‫)‪ (7.14‬גוף שמסתו ‪ 1Kg‬קשור לקפיץ ומתנדנד ללא ריסון‪ .‬המערכת עושה ‪ 5‬תנודות שלמות תוך ‪ .10 sec‬לאחר‬
‫מכן מכניסים "ריסון" אשר גורם לכוח חיכוך אשר פרופורציוני למהירות התנועה‪ .‬כתוצאה מכך במשך ‪5‬‬
‫תנודות שלמות המשרעת יורדת מי‪ 0.1m-‬עד ‪.0.05m‬‬
‫‪dx d 2 x‬‬
‫‪,‬‬
‫א‪ .‬כתוב משוואת התנועה הדינאמית ובטא מקדמים ליפני איברים‬
‫‪dt dt 2‬‬
‫ו‪ x -‬בצורה‬
‫מספרית )בשיטה ‪.(MKS‬‬
‫ב‪ .‬מצא זמן מחזור של תנועה הרמונית מרוסנת‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את מספר התנודות )החל ממשרעת ‪ (0.1m‬בו תקטן המשרעת עד ‪.0.05m‬‬
‫‪77‬‬
‫)‪ (7.15‬גוף נקודתי מבצע תנודות חופשיות מרוסנות עם תדירות ‪ .   25 rad / sec‬ב‪ t = 0 -‬מהירותו‬
‫ההתחלתית של הגוף שווה לאפס והעתקו ממצב שיווי משקל קטן פי ‪ 1.02‬ממשרעתו‪ .‬חשב‪/‬י את מקדם‬
‫הריסון ‪ ‬של המערכת‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ח'‪ :‬גרביטציה‬
‫חוקי קפלר‬
‫על סמך תצפיות שנאספו על ידי טיכו ברהה‪ ,‬מורו של יוהנס קפלר‪ ,‬מצא קפלר כי בתנועת כוכבי לכת מסביב‬
‫לשמש מתקיימים ‪ 3‬חוקים‪:‬‬
‫‪ (1‬תנועתם היא תנועה סביב השמש‪ ,‬במסלולים אליפטיים שבהם השמש נמצאת באחד ממוקדי‬
‫האליפסה‪.‬‬
‫‪ (2‬וקטור המיקום של כוכב לכת מסוים ביחס לשמש "מטאטא" שטחים שווים בזמנים שווים‪ .‬מכאן‬
‫שכאשר הכוכב מתרחק מהשמש‪ ,‬מהירותו קטֵנה ולהיפך‪.‬‬
‫‪ (3‬אם נסמן ב‪ T-‬את זמן המחזור של כוכב לכת מסוים וב‪ r -‬את רדיוסו )במקרה של תנועה אליפטית ‪,r‬‬
‫יסמן את הרדיוס הממוצע( נקבל כי היחס ‪ T 2 / r 3‬הוא גודל המשותף לכל כוכבי הלכת המקיפים‬
‫את השמש‪.‬‬
‫חוק הגרביטציה של ניוטון‬
‫בהשראת חוקי קפלר מסיק ניוטון את החוק הבא‪ :‬בין כל שתי מסות ביקום פועל כוח משיכה המכוון לאורך‬
‫קו המחבר את הגופים והנתון בנוסחה‬
‫‪‬‬
‫‪m m‬‬
‫)‪F  G 1 2 2 rˆ (1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫גודל הכוח הוא‬
‫‪r2‬‬
‫‪ , G‬כאשר ‪ m1‬ו‪ m2 -‬הן מסות הגופים‪ r ,‬הוא המרחק בין הגופים‪ ,‬ו‪ G-‬הוא קבוע‬
‫אוניברסלי‪ .‬הקבוע‪ ,‬שנמדד לראשונה על ידי הנרי קוונדיש בשנת ‪ ,1798‬ערכו‬
‫‪. G  6.674 1011 m 3 / kg s 2‬‬
‫‪‬‬
‫בכתיבה הווקטורית ‪ r‬הוא ווקטור המיקום של גוף אחד ביחס לשני‪ .‬כיוון הכוח הפועל על הגוף הוא ˆ‪,  r‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר הפוך מכיוון ‪ , r‬משמע – כוח משיכה‪.‬‬
‫כאשר הגופים אינם נקודתיים ובעלי סימטריה כדורית )כמו כוכבים רבים(‪ ,‬המרחק ‪ r‬הוא המרחק בין מרכזי‬
‫הכדורים‪.‬‬
‫חוק זה‪ ,‬ביחד עם חוקי ניוטון‪ ,‬מסביר את כל חוקי קפלר‪ ,‬כלומר מתאר את העיקרון של תנועת הכוכבים‬
‫ביקום‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫תאוצת הכובד‪ :‬הקשר בין ‪ G‬ו‪g-‬‬
‫כאשר מסה ‪ m‬נמצאת על פני כדור הארץ‪ ,‬פועל בינה לבין הכדור כוח משיכה בהתאם לנוסחה )‪ ,(1‬עם ‪r‬‬
‫‪ME m‬‬
‫שהוא ‪ , RE‬המרחק בין המסה ומרכז כדור הארץ‪,‬‬
‫‪RE 2‬‬
‫‪ . F  G‬בנוסחה זו ‪ M E‬היא מסת כדור הארץ‪.‬‬
‫‪ME m‬‬
‫כוח זה הוא זה שקראנו לו עד לפרק זה‪ .mg ,‬כלומר מתקיים‬
‫‪RE 2‬‬
‫‪.m g  G‬‬
‫תנועת לווין‬
‫לווין הוא גוף הנע מסביב לגוף אחר בהשפעת כוח הגרביטציה‪ .‬למשל‪ ,‬כאשר בוחנים את תנועת כדוה"א‬
‫מסביב לשמש‪ ,‬אז כדוה"א הוא הלווין‪ .‬הירח‪ ,‬המסתובב סביב כדור‪-‬הארץ )וכמוהו גם לווינים רגילים(‪ ,‬הוא‬
‫לווין של כדור הארץ‪ .‬בקורס נסתכל רק על מקרים בהם המסלול של הלווין הוא מסלול מעגלי‪ .‬המסלולים‬
‫של רבים מהלוויינים ביקום הם‪ ,‬בקירוב טוב‪ ,‬מסלולים מעגליים‪.1‬‬
‫עבור לווין שמסתו ‪ m‬הנע בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ r‬מסביב לכוכב שמסתו ‪ M‬מתקיים‬
‫‪F  ma‬‬
‫‪M‬‬
‫כלומר ‪ v 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪M m‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ . G‬מתוך נוסחה זו והקשרים‬
‫‪T 2 4 2‬‬
‫ניתן לקבל‬
‫‪‬‬
‫‪r3 G M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪G‬‬
‫‪v   r,  ‬‬
‫לווין שמסתו‬
‫‪m‬‬
‫)זהו חוק קפלר מס' ‪ ,3‬עבור מסלולים‬
‫מעגליים(‪.‬‬
‫נתונים מספריים‬
‫מסת כדור הארץ‪5.97 1024 kg :‬‬
‫מסת השמש‪1.99 1030 kg :‬‬
‫רדיוס כדור הארץ‪6.38 106 m :‬‬
‫רדיוס השמש‪6.95 108 m :‬‬
‫מסת הירח‪7.35 1022 kg :‬‬
‫מרחק כדור הארץ מהשמש‪1.495 1011 m :‬‬
‫רדיוס הירח‪1.74 106 m :‬‬
‫מרחק הירח מכדור הארץ‪3.84 108 m :‬‬
‫‪ 1‬כדור הארץ‪ ,‬למשל‪ ,‬נע סביב לשמש במסלול אליפטי‪ ,‬ומרחקו מהשמש משתנה מ‪ 146 -‬ל‪ 152-‬מיליון ק"מ‪ .‬כלומר בקירוב טוב‬
‫מדובר על מסלול מעגלי עם רדיוס של כ‪ 150-‬מיליון ק"מ‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫תרגילים בנושא גרביטציה‬
‫)‪(8.1‬‬
‫נתונות ‪ 4‬מסות שוות‪ 2 ,‬ק"ג כל אחת‪ ,‬המסודרות בקודקודי ריבוע בעל אורך צלע ‪ 0.5‬מ'‪ .‬מהו‬
‫הכוח הגרביטציוני הפועל על כל מסה? ] ‪ 2.58 10 9 N‬שכיוונו לאורך אלכסון הריבוע[‬
‫)‪(8.2‬‬
‫חשב את תאוצת הכובד על פני הירח‪ .‬נתונים‪ :‬מסת הירח ‪ 7.35 1022 kg‬ורדיוסו ‪. 1.74 106 m‬‬
‫) ‪g '  1.6 m / s 2‬‬
‫)‪(8.3‬‬
‫הניחו כי המסלול של כדוה"א מסביב לשמש הוא מסלול מעגלי ברדיוס ‪ . 1.495 1011 m‬ידוע גם‬
‫זמן המחזור )מהו?(‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מסת השמש? ) ‪( 1.99 1030 kg‬‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות כדוה"א סביב השמש? ]‪ 29.7‬קילומטר בשניה )!([‬
‫)‪(8.4‬‬
‫רוצים להכניס לוויין למסלול מעגלי קבועה סביב כדוה"א כך שיקיף אותו אחת ל‪ 12-‬שעות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו רדיוס המסלול? ]‪ [2.66 107m‬מהו מרחק הלוויין מפני כדור הארץ ?‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי מהירות הלוויין? ]‪[3869 m/s‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית של כוח הגרביטציה הכללי הנ"ל נתונה בנוסחה‬
‫‪r‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m m‬‬
‫‪F‬‬
‫‪r  dr  G 1r 2‬‬
‫‪U (r)  ‬‬
‫הנוסחה האחרונה מתאימה למערכת של שתי מסות נקודתיות )או מערכת של שני כוכבים כדוריים‪ ,‬במקרה זה‬
‫‪ r‬יהיה המרחק בין מרכזי הכוכבים‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫ם )כולל אנרגייה פוטנציאליית(‬
‫תרגילים‬
‫)‪(8.5‬‬
‫גוף נופל מממנוחה בגובה ‪ 100‬ק"מ מעל פפני כדור האררץ‪ .‬מהי מהירוות הפגיעה שלל הגוף בקרקעע?‬
‫שפעת החיכוך עם האוויר‪.‬‬
‫הזניחו את הש‬
‫להשתמש בנוסחה המקקורבת ‪ .mgh‬נוסחה זו מזניחה את השיינוי בתאוצת ההכובד של הגוף‬
‫ש‬
‫א‪ .‬יש‬
‫‪[443m‬‬
‫שמרחק הגוף מממרכז כדור האארץ איננו גודלל קבוע‪m/s] .‬‬
‫הנופל‪ ,‬שינויי הנובע מכך ש‬
‫ב‪ .‬מהי מהירות הגוף ללא ההזזנחה הנ"ל ? ] ‪[ 440.6 m/s‬‬
‫ג‪ .‬חזרו על החישוב למקרה ש‬
‫שהגוף נופל מגובה של ‪ 11500‬ק"מ מעל פניי כדור הארץ‪.‬‬
‫)‪(8.6‬‬
‫לוויין שמסתתו ‪ 750‬ק"ג נע מסביב לכדוהה"א במסלול מעגלי בעל‬
‫רדיוס של ‪ 70000‬ק"מ‪ .‬ממטאור שמסתוו ‪ 250‬ק"ג ננע על קו‬
‫לווין‬
‫מטאור‬
‫המשיק למססלול הלוויין ומתנגש בו התנגשות פלססטית כך‬
‫שהגופים נעצצרים רגעית )ממיד לאחר ההתתנגשות(‪.‬‬
‫כדוה"א‬
‫א‪ .‬מהי מהירות הלוויין לפני הההתנגשות? ]‪[7549m/ss‬‬
‫האנרגיה האובדת בהתתנגשות? ]‪[8.55 10010J‬‬
‫ה‬
‫ב‪ .‬מהי‬
‫המהירות בה פוגעים ההגופים בארץ ? ]‪[3328m/s‬‬
‫ת‬
‫ג‪ .‬מהי‬
‫)‪(8.7‬‬
‫שמסתם ‪ 20‬קק"ג מונחים בטטעות‪ ,‬בו זמנית‪ ,‬כלווינים‬
‫שני גופים ש‬
‫סביב כדוה""א‪ ,‬ברדיוס ססיבוב של ‪ 107‬מטרים‪ ,‬כאאשר המרחק‬
‫בינהם הוא ‪ 2 107‬מטררים‪ .‬המהירות ניתנת ללוויננים בכיוונים‬
‫‪v‬‬
‫זהים‪ ,‬כך שההם עומדים להתתנגש )ראה אייור(‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי ההתנגשות בין הגופים היא אאלסטית ומהירה‪ .‬מהו הזמן‬
‫עד להתננגשות הראשוונה? מהו הזממן בין כל ‪ 2‬התנגשויות‬
‫סמוכות?‬
‫ב‪ .‬אם ההתנגשות בין הגופפים היא פלסטית ‪ -‬מהי האנררגיה האובדת‬
‫ם הגופים בארץץ ?‬
‫בהתנגשות? מהי המהיררות בה פוגעים‬
‫)‪(8.8‬‬
‫נמצאים במצב נייח ככאשר המרחק בין מרכזיהם הוא ‪ .R‬מנקודדה זו‬
‫ם‬
‫שני כוכבים בעלי מסות ‪ m‬ו‪M-‬‬
‫שיכה ביניהם(‪.‬‬
‫עליהם הוא כוח המש‬
‫ם‬
‫הם נופלים זהה לקראת זה )הכוח היחיד המשפיע‬
‫א‪ .‬מהם חוקקי השימור בבבעיה? ]חוק שיימור התנע וחוק שימור האנררגיה המכנית[‬
‫‪82‬‬
‫‪v‬‬
‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית של מערכת כוכבים זו כתלות ב‪ ,r -‬המרחק בין מרכזי‬
‫הגופים? ] ‪[ G m M‬‬
‫‪r‬‬
‫ג‪ .‬מהי מהירות הגופים כתלות ב‪?(r<R) r-‬‬
‫ד‪ .‬הניחו שרדיוס הגופים זניח )ביחס ל‪ .(R-‬איזה מרחק יעבור הגוף ‪ M‬עד הפגישה?‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪r‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫)‪(8.9‬‬
‫כדוה"א מקיף את השמש במסלול מעגלי )בקירוב( שרדיוסו ‪ .149.6 106km‬הירח מקיף את כדוה"א‬
‫‪5‬‬
‫‪22‬‬
‫‪30‬‬
‫במסלול מעגלי שרדיוסו ‪ .3.84 10 km‬מסת השמש ‪ 1.99 10‬ק"ג‪ ,‬ומסת הירח הינה ‪7.17 10‬‬
‫ק"ג‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו כוח המשיכה החזק ביותר בין השמש לירח?‬
‫ב‪ .‬מהו כוח המשיכה החלש ביותר האפשרי?‬
‫)‪ (8.10‬גוף שמסתו ‪ m‬נמצא על ציר הסימטריה העובר בין שני כוכבים‬
‫‪y‬‬
‫נייחים שמסתם ‪ .M‬הגוף מתחיל את תנועתו ממנוחה בנקודה‬
‫‪ y  y0‬ומבצע תנועה מחזורית‪ .‬נתון המרחק בין הכוכבים‪.2D :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו התנאי שעבורו הגוף יבצע בקירוב תנועה הרמונית?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצאו את )‪ y(t‬בקירוב של תנועה הרמונית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו זמן המחזור של התנועה?‬
‫ד‪.‬‬
‫מהי המהירות המקסימלית של הגוף? פתרו פעם אחת‬
‫‪m‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫משיקולי אנרגיה )ללא הקירוב ההרמוני( ופעם שניה על ידי‬
‫שימוש בתוצאה של סעיף ב'(‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫‪D‬‬
‫‪M‬‬
‫)‪ (8.11‬נתונים שני כוכבים‪ .‬רדיוס של כוכב מס' ‪ 1‬הוא ‪ R‬ומסתו היא ‪ .M‬הרדיוס של כוכב מס' ‪ 2‬הוא ‪4R‬‬
‫ומסתו ‪ .8M‬נתונים ‪.R ,M ,G :‬‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬הניחו שכל כוכב בנוי מחומר בעל צפיפות אחידה‪ .‬מהו היחס בין צפיפויות שני הכוכבים‬
‫‪2‬‬
‫‪g1‬‬
‫ב‪ .‬מהו היחס בין תאוצת הכובד על פני הכוכבים‬
‫‪g2‬‬
‫?‬
‫?‬
‫‪V1‬‬
‫ג‪ .‬מהו היחס בין מהירויות המילוט משני הכוכבים‬
‫‪V2‬‬
‫?‬
‫ד‪ .‬בגובה ‪ R‬מעל פניו של כוכב מס' ‪ 1‬סובב לווין‪ .‬בגובה ‪ 4R‬מעל פני כוכב מס' ‪ 2‬סובב לווין נוסף‪.‬‬
‫‪T1‬‬
‫מהו יחס זמני המחזור של הלווינים‬
‫‪T2‬‬
‫?‬
‫)‪) (8.12‬בניית אינטגרל( מוט בעל מסה ‪ M‬ואורך ‪ L‬נמצא בחלל‪ .‬במרחק ‪ D‬ממרכזו יש מסה נקודתית ‪.m‬‬
‫מהו כוח הגרביטציה שמפעיל המוט על המסה הנקודתית? ידוע כי המוט דק וצפיפות המסה שלו‬
‫אחידה‪.‬‬
‫)‪ (8.13‬שלושה כוכבים בעלי מסה זהה נעים בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ R‬בהשפעת כוחות‬
‫הגרביטציה שכל גוף מרגיש מצד שני הגופים האחרים‪ .‬בכל רגע הגופים יוצרים‬
‫משלוש שווה צלעות‪.‬‬
‫א‪ .‬אורך הצלע של המשולש?‬
‫ב‪ .‬מהו כוח הגרביטציה שמרגיש כל גוף )כוח רדיאלי(?‬
‫ג‪ .‬באיזו מהירות נעים הכוכבים?‬
‫)‪ (8.14‬שלושה כוכבים בעלי מסה זהה נעים באופן הבא‪ :‬כוכב אחד נמצע במנוחה והשניים‬
‫האחרים נעים בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ .R‬התנועה היא בהשפעת כוחות הגרביטציה‬
‫שכל גוף מרגיש מצד שני הגופים האחרים‪ .‬בכל רגע הגופים נמצאים על קו ישר‪.‬‬
‫א‪ .‬מהו כוח הגרביטציה שמרגישים הגופים הנעים בתנועה מעגלית?‬
‫ב‪ .‬באיזו מהירות נעים הכוכבים?‬
‫‪84‬‬
‫דפי נוסחאות‬
‫אלגברה של ווקטורים‬
‫הצגה קרטזית‬
‫מכפלה סקלרית‬
‫‪‬‬
‫ווקטור יחידה בכיוון של ‪A‬‬
‫מכפלה ווקטורית‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az k‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪A  B  A B cos  AB  A x B x  A y B y  A z B z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Aˆ  A  A  Ax2  Ay2  Az2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ , A  B  A B sin  AB‬הכיוון נקבע על פי כלל יד ימין‬
‫מכפלה וקטורית ברכיבים‬
‫ˆ‪k‬‬
‫‪ˆj‬‬
‫‪Az‬‬
‫‪Bz‬‬
‫‪Ay‬‬
‫‪By‬‬
‫ˆ‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A  B  Ax‬‬
‫‪Bx‬‬
‫קינמטיקה של גוף נקודתי‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ווקטור מיקום במערכת קרטזית‬
‫ˆ‪r  t   x  t  i  y  t  j  z  t  k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪r  r  t2   r  t1 ‬‬
‫העתק‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ dr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ r  t   r0   v  t  dt‬‬
‫מיקום ומהירות‬
‫‪dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ dv‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ v  t   v 0   a  t  dt‬‬
‫מהירות ותאוצה‬
‫‪dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫תנועה מעגלית‬
‫‪t‬‬
‫‪d‬‬
‫‪   t   0     t  dt‬‬
‫‪‬‬
‫מיקום ומהירות זוויתיים‬
‫‪dt‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪   t   0     t  dt‬‬
‫מהירות ותאוצה זוויתיים‬
‫‪t0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v‬‬
‫‪r‬‬
‫תאוצה רדיאלית‬
‫קשר בין גדלים משיקיים וזוויתיים‬
‫) ‪ ‬ברדיאנים(‬
‫‪s R‬‬
‫‪ar   2 r ‬‬
‫‪v R‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a  at  a r‬‬
‫תאוצה שקולה‬
‫‪a  at 2  ar 2‬‬
‫גודל תאוצה שקולה‬
‫תנועה יחסית‬
‫מיקום יחסי‬
‫מהירות יחסית‬
‫תאוצה יחסית‬
‫דינמיקה‬
‫‪85‬‬
‫‪d‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪rAB  rA  rB‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪v AB  v A  v B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a AB  a A  a B‬‬
‫‪‬‬
‫‪dv‬‬
‫‪at ‬‬
‫‪ R‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F  ma‬‬
‫‪f k  k N‬‬
‫החוק השני של ניוטון‬
‫חיכוך קינטי‬
‫‪f s  s N‬‬
‫‪F  k x‬‬
‫חיכוך סטטי‬
‫חוק הוק )כוח קפיץ(‬
‫עבודה ואנרגיה‬
‫‪B‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪WF  A  B    F  dr‬‬
‫עבודה של כוח‬
‫‪A‬‬
‫הספק ועבודה‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dW  ‬‬
‫‪ F  v  W   P  t  dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t1‬‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫‪P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m v2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Wtotal  Ek‬‬
‫‪Ek ‬‬
‫משפט עבודה – אנרגיה קינטית‬
‫‪U  mgh‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U  k x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Wc  U‬כאשר ‪ Wc‬היא עבודת הכוח המשמר‬
‫ו‪ U -‬היא האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ U ˆ U ˆ U ˆ ‬‬
‫‪F  U   ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪k‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪ x‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית כובדית‬
‫אנרגיה פוטנציאלית אלסטית‬
‫עבודת כוחות משמרים‬
‫כוח משמר ואנרגיה פוטנציאלית‬
‫אנרגיה מכאנית כוללת‬
‫‪E  Ek  U‬‬
‫משפט עבודה‪-‬אנרגיה מכאנית‬
‫‪E1  Wn.c  E2‬‬
‫כאשר ‪ Wn .c‬היא עבודת הכוחות הלא משמרים‪.‬‬
‫מתקף ותנע‬
‫הגדרת הכוח כנגזרת התנע‬
‫)החוק השני של ניוטון(‬
‫מתקף של כוח‬
‫‪‬‬
‫‪ dP‬‬
‫‪F ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ t2 ‬‬
‫‪J   F dt‬‬
‫‪t1‬‬
‫תנע קווי‬
‫משפט מתקף ‪ -‬תנע קווי‬
‫)החוק השני האינטגרלי(‬
‫תנועת מסה משתנה‬
‫מיקום מרכז המסה‬
‫מהירות מרכז המסה‬
‫‪‬‬
‫) ‪ = P‬התנע הכולל של המערכת(‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p  mv‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪J total  P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dm‬‬
‫‪d‬‬
‫‪ m‬כאשר ‪ rel   m   m‬‬
‫‪ Fext   rel‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫תנועת מרכז המסה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m r  m2 r2   mi ri‬‬
‫‪ , rcm  1 1‬כאשר ‪M  mi‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1  m2  ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mi v i  pi‬‬
‫‪P‬‬
‫‪v cm ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mi‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪86‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪mi ai Fext‬‬
‫‪‬‬
‫‪acm ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫תאוצת מרכז המסה‬
‫מכניקה של גוף קשיח‬
‫‪ ‬‬
‫הגדרת מומנט כוח‬
‫‪  r  F ,   r F sin   F r‬‬
‫חוק שני בתנועה סיבובית‬
‫‪   I ‬כאשר ‪ I‬הוא מומנט האינרציה‬
‫הניצב‬
‫מרחק‬
‫הגדרת מומנט האינרציה ) ‪= r‬‬
‫‪I  mi ri 2   r 2 dm‬‬
‫מאלמנט המסה לציר הסיבוב(‬
‫משפט שטיינר‬
‫‪I  I cm  m h 2‬‬
‫)משפט הצירים המקבילים(‬
‫כאשר ‪ h‬הוא המרחק בין הצירים המקבילים‪.‬‬
‫אנרגיה קינטית סיבובית‬
‫‪1‬‬
‫‪Ek  I  2‬‬
‫)סיבוב סביב ציר קבוע(‬
‫‪2‬‬
‫אנרגיה קינטית בגלגול‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Ek  m v 2cm  I cm  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  ‬‬
‫תנע זוויתי )תנ"ז(‪ ,‬גוף נקודתי‬
‫‪L  r  P, L  m v r sin   m v r‬‬
‫מתקף זוויתי‬
‫‪ t2 ‬‬
‫‪J    dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪t1‬‬
‫מתקף זוויתי כולל והשינוי בתנ"ז‬
‫‪J    L‬‬
‫מומנטי אינרציה של גופים בעלי התפלגות מסה אחידה‬
‫מוט דק סביב ציר המאונך למוט והעובר במרכזו‬
‫‪1‬‬
‫‪m 2‬‬
‫‪12‬‬
‫מוט דק סביב ציר המאונך למוט והעובר בקצה המוט‬
‫‪1 2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3‬‬
‫דסקה או גליל מלא סביב ציר הסימטריה העובר במרכז הגוף‬
‫‪1‬‬
‫‪mR 2‬‬
‫‪2‬‬
‫טבעת או גליל חלול סביב ציר הסימטריה העובר במרכז הגוף‬
‫‪mR 2‬‬
‫כדור מלא סביב ציר העובר במרכז הכדור‬
‫‪2‬‬
‫‪mR 2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫טבלה מלבנית )ארך צלעות ‪ a‬ו‪ , b -‬הציר עובר במרכז‬
‫‪m  a  b2  / 12‬‬
‫המלבן )מפגש אלכסונים( ומאונך לו‬
‫כבידה‬
‫‪‬‬
‫חוק הגרביטציה העולמי‬
‫‪G m1m2‬‬
‫‪F ‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית כובדית‬
‫‪G m1 m2‬‬
‫‪ U  ‬כאשר ‪U     0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2‬‬
‫קבוע הכבידה העולמי‬
‫‪G  6.67  10 N  m / kg 2‬‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫‪2‬‬
‫משוואת תנועה‬
‫‪d x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪m 2  cx  b‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫פתרון משוואת התנועה‬
‫‪ x  t   A0 e   t sin  t   ‬כאשר‪, 0  c / m :‬‬
‫‪87‬‬
  b 2m -‫ ו‬  2 f  2 T  0 2   2
    x0 
A0  x0   0
 

 x0
tan  
0   x0
‫האמפליטודה‬
2
2
(‫זווית המופע )פאזה‬
‫אינטגרלים ונגזרות‬
‫אינטגרלים‬
‫נגזרות‬
dx
1
dx
 dx  x
d
df
a f   a
dx
dx
d
df dg
f  x   g  x  


dx
dx dx
d m
x  m x m 1
dx
d
1
ln x 
dx
x
d f x
f x df
e
e  
dx
dx
d
sin  x   cos  x 
dx
d
cos  x    sin  x 
dx
d
1
tan  x  
dx
cos2 x
 a f dx  a  f dx
  f  g  dx   f dx   g dx
x m 1
 m  1
m 1
dx
 x  ln x
1 ax b
ax  b
e  a e
m
 x dx 
 sin  x  dx   cos x
 cos  x   sin  x 
 tan  x  dx   ln  cos x 
x 1
 sin  x   2  4 sin  2 x 
2
x 1
 cos  x   2  4 sin  2 x 
2
1
ax  1 e  ax
2 
a
dx
x
 x 2  a 2 3/2  a 2 x 2  a 2


 xe
 ax

dx
1
x
 arctan  
2
a
a
a
dx
1  xa
 a 2  x 2  2 ln  x  a 
x
2
2
 x 2  a 2 dx  x  a
x
2
88

dx
2

 ln x  x 2  a 2
x a
‫יחידות‬
Joule, J
Joule, J
Joule, J
Watt, W
meter, m
meter, m
2
Newton, N
meter/second, m/s
radian/second, rad/s
kg m2
Nm
meter, m
Kilogram, kg
Ns
Js
Joule, J
m/s2
rad/s2
Hertz, Hz
Ns
Js
‫סימון‬
E
U
Ek
P

r
r

F
v

I


r
m

J

J 
W

a


f

p

L

Energy
potential energy
Kinetic energy
Power
displacement
Torque arm
‫גודל פיסיקלי‬
‫אנרגיה‬
‫אנרגיה פוטנציאלית‬
‫אנרגיה קינטית‬
‫הספק‬
‫העתק‬
‫זרוע‬
Force
Velocity
angular velocity
moment of Inertia
Torque
position
Mass
impulse
angular impulse
‫כוח‬
‫מהירות‬
‫מהירות זוויתית‬
‫התמד‬-‫מומנט‬
‫כוח‬-‫מומנט‬
‫מיקום‬
‫מסה‬
‫מתקף‬
‫מתקף זוויתי‬
Work
Acceleration
angular accelaration
Frequency
momentum
angular momentum
‫עבודה‬
‫תאוצה‬
‫תאוצה זוויתית‬
‫תדירות‬
‫תנע‬
‫תנע זוויתי‬
89