‫‪1‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35802‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפרבולה שמשוואתה ‪. y   x 2  4 x  7‬‬ ‫נציב ‪ , x  0‬על מנת למצוא את שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה‪: y -‬‬ ‫‪ , y  02  4  0  7  7‬ובהתאם‪. (0, - 7) :‬‬ ‫נציב ‪ y  0‬במשוואת הפרבולה‪ ,‬על מנת למצוא את שיעורי נקודות החיתוך עם ציר ה‪. x -‬‬ ‫‪0   x2  4x  7‬‬ ‫)‪4  42  4  (1)  (7‬‬ ‫)‪2  (1‬‬ ‫‪x1,2 ‬‬ ‫‪4  12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x1,2 ‬‬ ‫המספר שבתוך השורש שלילי ולכן אין פתרון‪.‬‬ ‫אין נקודות חיתוך עם ציר ה‪ , x -‬כפי שניתן לראות בסרטוט‪.‬‬ ‫תשובה‪. (0, - 7) :‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציה שלילית לכל ‪) x‬הפרבולה מתחת לציר ה‪.( x -‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ג‪ .‬נמצא את שיעורי קדקוד הפרבולה‪ ,‬על פי הנוסחה‪:‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2  (1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ (2,  3‬‬ ‫‪ 22  4  2  7  3‬‬ ‫‪. xkodkod  ‬‬ ‫‪xkodkod ‬‬ ‫‪xkodkod‬‬ ‫תשובה‪ :‬שיעורי קדקוד הפרבולה הם )‪. (2,  3‬‬ ‫ד‪ .‬הפרבולה עולה עד לקדקוד‪ ,‬כלומר עבור ‪- x‬ים קטנים מ‪. 2 -‬‬ ‫תשובה‪. x  2 :‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪2‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35802‬‬ ‫א‪ .‬נתונים כל המספרים הדו‪ -‬ספרתיים‪. 10, 11, 12,...,99 :‬‬ ‫אם נוריד את ‪ 9‬המספרים החד‪-‬ספרתיים ) ‪ ( 1, 2, 3,...,9‬מ‪ 99 -‬המספרים ‪, 1, 2, 3,...,99‬‬ ‫אז קל לראות שיש ‪ 90‬מספרים דו‪ -‬ספרתיים‪.‬‬ ‫דרך פתרון אחרת‪:‬‬ ‫‪99  10  (n  1) 1‬‬ ‫‪99  10  n  1‬‬ ‫‪99  9  n‬‬ ‫‪90  n‬‬ ‫תשובה‪ :‬יש ‪ 90‬מספרים דו‪-‬ספרתיים‪.‬‬ ‫ב‪ (1) .‬המספר הדו‪ -‬ספרתי הקטן ביותר שמחלק ב‪) 5 -‬בלי שארית( הוא ‪. 10‬‬ ‫)‪ (2‬המספר הדו‪ -‬ספרתי הגדול ביותר שמחלק ב‪) 5 -‬בלי שארית( הוא ‪. 95‬‬ ‫)‪ (3‬סדרת המספרים הדו‪ -‬ספרתיים‪ ,‬המחלקים ב‪) 5 -‬בלי שארית( היא סדרה חשבונית‪ ,‬שבה ‪. d  5‬‬ ‫נמצא את מספר איברי הסדרה‪ ,‬כאשר ‪. d  5 an  95 , , a1  10 ,‬‬ ‫בסיוע נוסחת האיבר הכללי‪an  a1  (n  1)d :‬‬ ‫‪an  a1  (n  1)d‬‬ ‫‪95  10  ( n  1)  5‬‬ ‫‪95  10  5n  5‬‬ ‫‪95  5  5n‬‬ ‫‪90  5n‬‬ ‫‪n  18‬‬ ‫תשובה‪ 18 :‬מספרים דו‪ -‬ספרתיים מתחלקים ב‪ 5 -‬בלי שארית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬יש ‪ 90‬מספרים דו‪ -‬ספרתיים‪.‬‬ ‫מתוכם ‪ 18‬מספרים דו‪ -‬ספרתיים מתחלקים ב‪ 5 -‬בלי שארית‪.‬‬ ‫לכן ‪ 90  18  72‬מספרים דו‪-‬ספרתיים אינם מתחלקים ב‪ 5 -‬בלי שארית‪.‬‬ ‫תשובה‪ 72 :‬מספרים דו‪-‬ספרתיים אינם מתחלקים ב‪ 5 -‬בלי שארית‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪3‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35802‬‬ ‫האוכלוסייה בעיר גדֵ לה באופן מעריכי‪.‬‬ ‫הגרף שלפנינו מתאר את גידול האוכלוסייה‬ ‫מתחילת שנת ‪ 1980‬עד תחילת שנת ‪.1983‬‬ ‫א‪ (1) .‬מספר התושבים בעיר‪ ,‬בתחילת ‪ , 1980‬היה ‪ 40, 000‬על פי נקודת החיתוך של הגרף עם הציר האנכי‪.‬‬ ‫)‪ (2‬מספר התושבים בעיר‪ ,‬בתחילת ‪ , 1983‬היה ‪ 69,120‬על פי הנקודה הימנית בגרף‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נחשב בכמה אחוזים ג ְֵדלה אוכלוסיית העיר מדי שנה‪.‬‬ ‫גודל האוכלוסייה ההתחלתי הוא ‪ 40, 000‬תושבים וכעבור ‪ 3‬שנים הוא ‪ 69,120‬תושבים‪.‬‬ ‫‪/ : 40, 000‬‬ ‫‪69,120  40, 000  q3‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪M0‬‬ ‫‪Mt‬‬ ‫‪69,120‬‬ ‫‪ q3‬‬ ‫‪40, 000‬‬ ‫‪3‬‬ ‫?‬ ‫‪40, 000‬‬ ‫‪69,120‬‬ ‫‪1.728  q3‬‬ ‫‪q  3 1.728‬‬ ‫‪q  1.2‬‬ ‫‪100  P‬‬ ‫‪/ 100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪120  100  P / 100‬‬ ‫‪1.2 ‬‬ ‫‪P  20%‬‬ ‫תשובה‪ :‬האוכלוסייה ג ְֵדלה מדי שנה ב‪. 20% -‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ג‪ .‬נמצא מה היה מספר התושבים בעיר בתחילת שנת ‪ , 1984‬כלומר ‪ 4‬שנים מתחילת שנת ‪, 1980‬‬ ‫בהנחה שקצב הגידול אינו משתנה‪.‬‬ ‫‪M 4  40, 000 1.24‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪M0‬‬ ‫‪Mt‬‬ ‫‪M 4  82,944‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪40, 000‬‬ ‫?‬ ‫תשובה‪ :‬מספר התושבים בעיר‪ ,‬בתחילת שנת ‪ , 1984‬היה ‪. 82,944‬‬ ‫ד‪ .‬נמצא מה היה בערך מספר התושבים בעיר בתחילת שנת ‪ , 1978‬כלומר ‪ 2‬שנים לפני תחילת שנת ‪. 1980‬‬ ‫בהנחה שקצב הגידול אינו משתנה‪.‬‬ ‫‪/ :1.22‬‬ ‫‪40, 000  M 0 1.22‬‬ ‫‪40, 000‬‬ ‫‪ M0‬‬ ‫‪1.22‬‬ ‫‪M 0  27, 778‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪M0‬‬ ‫‪Mt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫?‬ ‫‪40, 000‬‬ ‫תשובה‪ :‬מספר התושבים בעיר‪ ,‬בתחילת שנת ‪ , 1978‬היה בערך ‪ 27, 778‬תושבים‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪4‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35802‬‬ ‫א‪ .‬נחשב את האורך של האלכסון ‪. BD‬‬ ‫‪DNB‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪BD‬‬ ‫‪BD cos 32 = 9‬‬ ‫= ‪cos 32‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪cos 32‬‬ ‫‪BD ‬‬ ‫‪ 10.61‬ס"מ ‪BD ‬‬ ‫תשובה‪ :‬אורך האלכסון ‪ BD‬הוא ‪ 10.61‬ס"מ‪.‬‬ ‫ב‪NDB  180  90  32  58 (1) .‬‬ ‫תשובה‪. NDB  58 :‬‬ ‫)‪ (2‬צלעות המעוין שוות זו לזו‪ ,‬לכן ‪ CBD‬הוא שווה שוקיים )‪ (CB  CD‬וזוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‪CBD  NDB  58‬‬ ‫‪C  180  58  58  64‬‬ ‫תשובה‪. C  64 , CBD  58 :‬‬ ‫ג‪ .‬נחשב את האורך של צלע המעוין‪.‬‬ ‫‪CNB‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪CBsin 64 = 9‬‬ ‫= ‪sin 64‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪sin 64‬‬ ‫= ‪CB‬‬ ‫‪ 10.01‬ס"מ = ‪CB‬‬ ‫תשובה‪ :‬אורך צלע המעוין הוא ‪ 10.01‬ס"מ‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪5‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35802‬‬ ‫א‪ .‬האלכסון ‪ AC‬של בסיס הפירמידה הריבועית הוא ‪ 329.5‬מטר‪.‬‬ ‫נחשב את צלע הריבוע של בסיס הפירמידה‪ ,‬שנסמנה ב‪, x -‬‬ ‫באמצעות משפט פיתגורס‪.‬‬ ‫‪ABC‬‬ ‫‪(AC) 2  (AB) 2  (BC) 2‬‬ ‫‪329.52  x 2  x 2‬‬ ‫‪329.52  2 x 2‬‬ ‫‪/:2‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪54285  x 2‬‬ ‫‪ 233‬מטר ‪x ‬‬ ‫תשובה‪ :‬המרחק שהתייר עבר‪ ,‬מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪ , B‬הוא ‪ 233‬מטר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כיוון שצלעות הריבוע שוות זו לזו‪,‬‬ ‫הרי שהתייר עבר מרחק של ‪ 932‬מטר ‪. 233  4 ‬‬ ‫תשובה‪ :‬סך כל המרחק שהתייר עבר‪ ,‬מנקודה ‪ A‬ועד חזרתו לנקודה ‪ , A‬הוא ‪ 932‬מטר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נחשב את הזווית שבין המקצוע ‪ SC‬לבסיס הפירמידה‪. SCH ,‬‬ ‫הגובה ‪ SH‬של הפירמידה הוא ‪ 329.5‬מטר‪.‬‬ ‫בסיס הפירמידה הוא ריבוע‪ H ,‬היא נקודת מפגש האלכסונים‪ ,‬החוצים זה את זה‪.‬‬ ‫‪AC 329.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 164.75‬מטר ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪CH ‬‬ ‫‪SCH‬‬ ‫‪SH‬‬ ‫‪CH‬‬ ‫‪137‬‬ ‫‪tan SCH ‬‬ ‫‪164.75‬‬ ‫‪SCH  39.75‬‬ ‫‪tan SCH ‬‬ ‫תשובה‪ :‬הזווית בין המקצוע ‪ SC‬לבסיס הפירמידה היא בת ‪. 39.75‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪6‬‬ ‫בגרות עה מאי ‪ 15‬מועד קיץ א שאלון ‪35802‬‬ ‫א‪ .‬בבחינה במתמטיקה בכיתה יב התפלגו הציונים כך‪:‬‬ ‫הציון‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫מספר התלמידים‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מספר התלמידים הכולל הוא סכום השכיחויות‪N  f1  f 2  ...  f n :‬‬ ‫‪N  7  x  11  1‬‬ ‫‪N  19  x‬‬ ‫ממוצע הציונים בכיתה היה ‪. 72.5‬‬ ‫‪x1 f1  x1 f1  ...  xn f n‬‬ ‫נשתמש בנוסחה למציאת ממוצע ‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪60  7  70  x  80 11  90 1‬‬ ‫)‪/ (19  x‬‬ ‫‪19  x‬‬ ‫‪72.5(19  x)  1390  70 x‬‬ ‫‪1377.5  72.5 x  1390  70 x‬‬ ‫‪2.5 x  12.5 / : 2.5‬‬ ‫‪12.5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2.5‬‬ ‫‪x5‬‬ ‫‪72.5 ‬‬ ‫תשובה‪. x  5 :‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ב‪ .‬נעדכן את טבלת השכיחויות‪.‬‬ ‫מספר התלמידים שנבחנו בבחינה הוא ‪. 1  11  5  7  24‬‬ ‫הציון‬ ‫‪60‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪90‬‬ ‫מספר התלמידים‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שכיחות מצטברת‬ ‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪n 24‬‬ ‫‪‬‬ ‫מספר התלמידים הוא זוגי‪ ,‬כאשר‪ 12 :‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫לכן החציון יהיה ממוצע ציוני התלמידים שבמקום ה‪ 12 -‬וה‪, 13 -‬‬ ‫כאשר מסדרים את הציונים בסדר עולה‪.‬‬ ‫‪70  80‬‬ ‫נחשב את החציון‪ 75 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬חציון הציונים הוא ‪. 75‬‬ ‫ג‪ .‬הציון השכיח הוא הציון שהתקבל מספר הפעמים הרב ביותר‪ ,‬כלומר הציון ‪. 80‬‬ ‫תשובה‪ :‬הציון השכיח הוא ‪. 80‬‬ ‫ד‪ .‬מספר התלמידים שקבלו ציון נמוך מהממוצע ) ‪ ( 72.5‬הוא ‪. 7  5  12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ההסתברות‪ ,‬כאשר בוחרים תלמיד באקראי‪ ,‬שהציון יהיה ציון נמוך מהממוצע היא ‪ 0.5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫תשובה‪ :‬ההסתברות היא ‪. 0.5‬‬ ‫ה‪ .‬ציונו של התלמיד החדש‪ ,‬שווה בדיוק לממוצע הקיים‪. 72.5 ,‬‬ ‫לכן‪ ,‬פיזור הנתונים קָ טֵ ן‪ ,‬כי הם מרוכזים יותר סביב הממוצע‪.‬‬ ‫סטיית התקן קְ טֵ נּה‪ ,‬כי היא מדד של פיזור הנתונים‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬סטיית התקן קְ טֵ נּה‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪.‬‬