‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+807 ,185317‬נספח‬ ‫‪-2-‬‬ ‫השאלות‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫פרק ראשון – גאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מספרים מורכבים )‪ 66 3‬נקודות (‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 0-8‬לכל שאלה ‪ 33 3 −‬נקודות )‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪ .0‬נתונה הפרבולה ‪ p ,y 2 = 2px‬הוא פרמטר חיובי‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ .‬בנקודה ‪ A‬שעל הפרבולה העבירו משיק לפרבולה‪.‬‬ ‫המשיק חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫(‪ )0‬הוכח כי ‪xB = −xA‬‬ ‫( ‪ xB‬הוא שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ xA‬הוא שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪.)A‬‬ ‫(‪ )4‬נתון כי משוואת המשיק ‪ AB‬היא ‪.y = x + 2‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודה ‪ A‬ואת משוואת הפרבולה‪.‬‬ ‫ב‪ C .‬היא נקודה על הפרבולה שאת משוואתה מצאת בתת סעיף א (‪)4‬‬ ‫(‪ C‬אינה בראשית הצירים)‪.‬‬ ‫בנקודה ‪ C‬העבירו משיק לפרבולה‪ .‬המשיק חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ‪.D‬‬ ‫הנקודה ‪ F‬היא מוקד הפרבולה‪ .‬הראה כי ‪ FD‬מאונך למשיק הזה‪.‬‬ ‫המשך בעמוד ‪8‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+807 ,185317‬נספח‬ ‫‪-3‬‬‫‪ .4‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות‬ ‫‪D' F‬‬ ‫'‪C‬‬ ‫על המקצועות ‪ AB‬ו‪ D'C' -‬בהתאמה‪.‬‬ ‫‪ EF‬מקביל למישור '‪.AA'D'D‬‬ ‫'‪B‬‬ ‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ ′ = w , AD‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗ ‪⃗⃗⃗⃗⃗ = v ,‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫נסמן‪AB = u :‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪w v‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ‪′ F = t‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪D‬‬ ‫נתון‪D′C′ :‬‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ‪AE = k‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א‪ .‬הראה כי ‪.k = t‬‬ ‫‪ H‬היא נקודה שמקיימת ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪⃗⃗⃗⃗⃗ = t ∙ AC′‬‬ ‫‪.AH‬‬ ‫ב‪ .‬הראה שהנקודה ‪ H‬נמצאת על ‪.EF‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬נתון גם‪ :‬התיבה הנתונה היא קובייה‪ ,‬ו‪.t = -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חשב את הזווית בין ⃗⃗⃗⃗⃗‬ ‫‪ BH‬לבין המישור ‪.ABCD‬‬ ‫‪ .8‬א‪ .‬פתור את המשוואה ‪.z 2 = −8 − 8√3 i‬‬ ‫‪ z‬הוא מספר מורכב‪.‬‬ ‫פתרון המשוואה שנמצא ברביע השני הוא איבר ראשון בסדרה חשבונית‪ ,‬והפתרון האחר‬ ‫גדול פי ‪ 2‬מהפרש הסדרה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראה כי ‪ z = 0‬הוא איבר בסדרה‪ ,‬ומצא את מקומו בסדרה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬כל איברי הסדרה נמצאים על קו ישר‪ .‬מצא את משוואת הקו הישר‪.‬‬ ‫המשך בעמוד ‪2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+807 ,185317‬נספח‬ ‫‪-4‬‬‫פרק שני – גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ 33 3‬נקודות(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.2-5‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחבתך‪.‬‬ ‫‪ .2‬בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת )‪,f′(x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בתחום ‪.−2 ≤ x ≤ 5‬‬ ‫נתון‪, f(−1) = a , f(0) = b , f(2) = c , f(3) = d :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ c , b , a‬ו‪ d -‬הם פרמטרים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫א‪ .‬מצא את‪:‬‬ ‫(‪ )0‬תחומי הקעירות כלפי מעלה‬ ‫של הפונקציה‬ ‫וכלפי מטה‬ ‫בתחום‪ .‬נמק‪.‬‬ ‫‪5 x‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2 −1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫(‪ )4‬משוואת המשיק לפונקציה )‪f(x‬‬ ‫בנקודת הפיתול שלה בתחום (בטא בעזרת פרמטרים מתאימים)‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ f'(x‬ובין ציר ה‪ x -‬בתחום ‪−1 ≤ x ≤ 3‬‬ ‫(בטא בעזרת פרמטרים מתאימים)‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נסמן ב‪ x1 -‬את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום הפנימית של )‪f(x‬‬ ‫וב‪ x2 -‬את שיעור ה‪ x -‬של נקודת הפיתול של )‪ f(x‬בתחום‪.‬‬ ‫בטא בעזרת פרמטרים מתאימים (מהפרמטרים המופיעים בפתיח השאלה) את הערך של‬ ‫‪x2‬‬ ‫האינטגרל‪.∫ f ′ (x)e−f(x) dx :‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫המשך בעמוד ‪5‬‬ ‫‪-5-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+807 ,185317‬נספח‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .5‬נתונות הפונקציות‪, f(x) = lnx :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪. g(x) = ln (x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך עם הצירים (אם יש כאלה) של כל אחד מהגרפים של הפונקציות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מן הפונקציות (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ד‪ .‬סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של הגרפים של הפונקציות‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הישר ‪ (t > 0 , t ≠ 1) x = t‬חותך את הגרפים של הפונקיות בנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫מצא את הערכים של ‪ t‬שעבורם אורך הקטע ‪ AB‬הוא מינימלי‪ .‬מהו האורך המינימלי?‬ ‫בהצלחה !‬