1. No category

ADDISJON
FRA A TIL Å
VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE
EMNER
1
2
3
4
5
Innledning til addisjon
Grunnleggende om addisjon
Ulike tenkemåter
Hjelpemidler i addisjoner
4.1 Bruk av tegninger og illustrasjoner
4.2 Bruk av figurer
4.3 Bruk av tallinjen
Flere måter å gjøre det på
5.1 Bruke posisjonsystemet
5.2 Bruke posisjonsystemet med minnetall
5.3 Enere og tiere for seg
5.4 Fyll opp tierne
5.5 Opp-og-ned-metoden
Side
2
3
4
9
10
10
11
12
13
15
17
19
23
Matematikk FRA A TIL Å
Innledning
til
addisjon
1
INNLEDNING TIL ADDISJON
Å addere (legge sammen, summere eller plusse) er en av de mest
grunnleggende regneoperasjonene vi bruker. Sammen med subtraksjon (trekke
fra), multiplikasjon (gange) og divisjon (dele) hører addisjon med blant de fire
grunnleggende regneartene, eller regnemåtene.
Vi adderer hele dagen, nesten uten stopp, og ofte uten å tenke på det. Når vi
skjærer brødskiver (tre til far og to til datteren….) – på supermarkedet når vi
handler (hvor mange karbonader trenger vi til middag) – på kino når vi skal
betale for ett barn og en voksen.
De fleste klarer å legge sammen to tall i hodet. Vanskeligere blir det jo når det
blir flere tall som skal adderes, eller når det kommer til tall med komma
(desimaltall), brøker eller store tall med mange siffer. Da trenger vi å ha en
plan eller følge bestemte regler – en strategi for hva vi gjør. Det er det dette
kapitlet handler om.
Mange tror at det finnes bare én måte som må brukes når de skal legge sammen
to eller flere tall. Det er ikke riktig. Det finnes mange måter å gjøre det på. Det
er dette vi kaller for strategier eller algoritmer. Hvilken strategi du har er
mindre viktig. Det viktigste er at du forstår hva du gjør, slik at du er rimelig
sikker på at du regner riktig. I tillegg er det viktig at du forstår på riktig måte.
Det er fort gjort å lage seg strategier eller algoritmer som bare kan brukes i
noen sammenhenger, men som viser seg å ikke kunne brukes i andre
sammenhenger. Dette kalles misoppfatninger, og de må vi forsøke å unngå.
Derfor må du velge en strategi som kan fungere alltid. De algoritmene som
presenteres i dette kapitlet (Kapittel 4) kan alltid brukes.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-2
Matematikk FRA A TIL Å
2
GRUNNLEGGENDE OM ADDISJON
Å addere kalles også å summere. Når vi adderer
finner vi summen av to eller flere tall. Svaret i
et addisjonsstykke kalles da også sum.
Svaret i en addisjon
kalles sum.
Mange er gode til å legge sammen i hodet, men får det ikke til når det samme
regnestykket skal skrives. Det kommer som regel av en av to årsaker:
1. Man har utviklet en god regnestrategi, men har ikke lært seg å forklare
hvordan man tenker. Når man må forklare, må man tenke nøye gjennom
hvordan man tenkte og strategien blir derfor både tydeligere og riktigere.
2. Man har blitt vant til å bare skrive svaret. Dermed mister man to viktige
forutsetninger for å lykkes i matematikk: For det første har man
oppmerksomheten rettet bare mot svaret, og ikke mot fremgangsmåten, og
for det andre øver man ikke opp evnen til å ”skrive med matematikkens
eget språk”.
Et eksempel kan vise dette:
En gutt skal fortelle om hvor mange leker han har. Han har 9 bamser og 7
biler.
Han forteller at han har 16 leker. Så blir han spurt om hvordan han tenkte for å
finne ut det. Han svarer:
”Ni er nesten ti, så hvis jeg kaller en av bilene for bamse, så blir det ti.
Og så har jeg 6 biler til. Da blir det 16.”
Denne gutten brukte en av de vanligste hoderegningsstrategiene for addisjon,
nemlig å fylle opp hele tiere.
Forklaringen hans er god. Den viser at han har en grunnleggende forståelse for
prinsippene bak addisjon.
Når han skal skrive oppgaven kan han selvfølgelig skrive denne forklaringen,
men det er ikke særlig god matematikk. I det matematiske språket er alle
unødvendige ord tatt bort, og symboler har erstattet alle begreper om tall og
operasjoner.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-3
Grunnleggende
om
addisjon
Matematikk FRA A TIL Å
Han bør derfor klare å skrive:
9 + 7 = 16
Hvis han bare skriver svaret, har han ikke vist hvordan han har tenkt for å
komme frem til svaret, og i en opplæring er det viktig å vise hvordan man
tenker. Særlig dersom det skulle vise seg at han har tenkt feil. Da vil det kunne
få avgjørende betydning senere.
Hvis vår venn skal skrive fremgangsmåten sin matematisk, kan det bli:
9 + 7 = 9 + 1 + 6 = 16
Vi skal derfor gå litt grundigere inn på ulike teknikker, og tenkemåter for
addisjon.
Ulike
tenkemåter
3
ULIKE TENKEMÅTER
De fleste har hørt om gangetabellen. Ikke fullt så mange har hørt om
addisjonstabellen.
Det kan være nyttig å øve litt på addisjonstabellen. Ikke for å trene på svarene,
men først og fremst for å finne de mange kodene som ligger gjemt her. Koder
som det kan være greit å vite om når du skal forklare hvordan du tenker når du
adderer. For de fleste fremgangsmåtene du bruker ligger gjemt i hvilke
systemer du kan finne i addisjonstabellen.
Vi skal prøve å avsløre noen av hemmelighetene:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-4
Matematikk FRA A TIL Å
Slik ser addisjonstabellen ut, for tallene fra 0 til 10:
+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Det aller første vi skal legge merke til er at tallet 0 (null) ikke forandrer noen
ting. Vi sier at det er et nøytralt tall. Det gjelder ikke i multiplikasjon og
divisjon, men i addisjon og subtraksjon er null nøytralt.
Vi skal se nærmere på det som kalles tiervenner, og tenkemåter som ”en mer”,
”to like” ”to nesten like” og ”hel femmer”. Når man blir bedre kjent med
addisjonstabellen kan man selv finne flere slike tenkemåter som kan gjøre det
lettere å addere.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-5
Matematikk FRA A TIL Å
Tiervenner
Tiervenner: To tall som
til sammen er 10.
Et av de første hjelpemidlene kaller vi tier-venner:
Hvilke to tall blir ti når vi legger dem sammen?
+
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Her har jeg merket av alle tierne i tabellen. Tiervenner er de to tallene som til
sammen blir 10.
Ser du godt etter vil du finne 6 par tiervenner:
0 og 10
1 og 9
2 og 8
3 og 7
4 og 6
5 og 5
Dersom du vet at for eksempel 3 er venn med 7, så vet du samtidig at 7 er venn
med 3.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-6
Matematikk FRA A TIL Å
En mer
En mer betyr ganske enkelt at et tall er en mer enn det forrige tallet. 8 er 1 mer
enn 7 (8 = 7 + 1). For de fleste er dette ganske opplagt, men det er ikke så
mange som bruker denne kunnskapen når de skal legge sammen. Se på
eksemplet med gutten og lekene: Han tenkte at 10 er 1 mer enn 9, og dermed
hadde han en tenkemåte som han kunne forklare.
To like
Mange barn synes det er greit å forholde seg til like verdier (for eksempel 6 +
6). De kobler som regel dette sammen med ”dobbelt så mye” og dermed har de
en klar forestilling av hvordan de tenker.
Nesten like
Tar du tallene 5 og 6, så er de nesten like. Skal du legge dem sammen, kan det
være greit å begynne med å legge sammen 5 + 5, fordi 6 er nesten 5. Siden 6 er
en mer enn 5, blir svaret 5 + 5 + 1 = 11.
Hel femmer
Femmere er veldig greit å forholde seg til av tre grunner. For det første har vi 5
fingre på hver hånd, så det er lett å telle (og regne) med femmere. For det andre
bruker pengesystemet vårt enere, femmere (5, 50 og 500) og tiere (10, 100 og
1000). Derfor har vi to muligheter for å konkretisere femmere som de fleste
forstår og forholder seg til stort sett daglig. For det tredje er fem halvparten av
ti og ti er grunnlaget for hele tallsystemet vårt.
To hjelpemidler til
1. Det neste vi skal være oppmerksom på er at en virkelig forståelse av
addisjon kan sette oss i stand til å handtere tallene slik det passer oss, i
stedet for å bli tvunget til å lære systemer som vi kanskje til og med ikke
egentlig forstår. En slik mulighet er at vi kan bytte rekkefølgen på tallene.
Se på eksemplet nedenfor:
5+6=6+5
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-7
Matematikk FRA A TIL Å
2. En annen mulighet vi har er å splitte opp tallene slik at det passer oss bedre.
Når vi for eksempel kjenner til tiervenner, kan vi bruke det for å utvikle vår
egen tenkemåte. Nedenfor er et eksempel på bruk av tiervenner:
8+6=
Siden vi vet at 8 og 2 er tiervenner, kan vi gjøre om 6-tallet til 2 + 4 for å fylle
opp 8-tallet til 10. Slik:
8 + (2 + 4) =
Og så kan vi flytte 2-tallet bort til vennen sin:
(8 + 2) + 4 =
Og da har vi laget en hel tier, og regnestykket blir slik:
10 + 4 = 14
Det er altså ved å avsløre hemmelighetene i addisjonstabellen at vi kan bli
tryggere, og bedre kjent med, de teknikkene vi kan bruke når vi adderer. Hele
poenget er at vi skal bli gode på å forstå hva som foregår. Når vi er gode på det,
kan vi selv ta kontrollen over vår egen tenkemåte, og lage våre egne
fremgangsmåter.
Legg merke til at de hjelpemidlene som er vist her bare er noen få av veldig
mange. Det avgjørende er ikke å kunne disse. Det avgjørende er å forstå at der
er mange hjelpemidler å ta i bruk, og at to mennesker kan velge ulike
tenkemåter. Det er altså ikke noe poeng å trene på at alle gjør tingene på
samme måte. Det alle må trene på, og forsøke å bli gode på, er å forstå hvordan
de selv tenker, slik mat de kan forklare det til andre.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-8
Matematikk FRA A TIL Å
4
HJELPEMIDLER I ADDISJONER
Det er vanlig i all undervisning å følge to hovedregler når man skal lære noe
nytt. Den første regelen er å starte med noe kjent, for så å bevege seg over til
det nye, det ukjente. Derfor er det viktig å vite hva et barn kan, før man kan
forsøke å lære det noe det ikke kan.
Den andre hovedregelen er å begynne med noe konkret, og så gå gradvis over
til det abstrakte – det teoretiske. Det er to nivåer i begge disse gruppene. Dette
kan vises med følgende oversikt:
Konkret
Konkret
Dette kan for
eksempel være
baller
Abstrakt
Halvkonkret
Halvabstrakt
En halvkonkret er
ofte bilder av noe
konkret
Her går man over
til symboler, for
eksempel at en
strek betyr 1 ball
Abstrakt
Det mest
abstrakte nivået
er matematiske
symboler, for
eksempel tall
3
Ved å bruke slike metoder blir det lettere for den som skal lære å følge med fra
starten. Antagelig må man gjennom alle disse nivåene for å oppnå god læring. I
denne boken er det vanskelig å bruke helt konkrete eksempler, siden alt som er
tegnet eller skrevet bare kan bli bilder og symboler.
Kapittel 4 handler om hvordan man kan bruke dette for å forstå addisjon.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B-9
Hjelpemidler i
addisjoner
Matematikk FRA A TIL Å
Bruk av
tegninger,
figurer og
illustrasjoner
4.1
Bruk av tegninger og illustrasjoner
Konkreter
Det er viktig at de konkretene man tar i bruk er hentet fra barnets hverdag. Da
kan alle former for leker, klær, mat, penger o.s.v. være greie å bruke. De er
også klokt å bruke de konkrete tingene i sammenhenger der de hører hjemme.
Man kan godt trene på addisjon ved frokostbordet (da kan matvarer være
hensiktsmessig, mens leker kanskje er mindre hensiktsmessig).
Halvkonkreter
Da kommer man over på bilder og tegninger. Her kan man hente frem
fotominner fra sommerferien, bilder fra barnets ulike aktiviteter og interesser
lage enkle tegninger. Når det kommer til tegninger vil det ofte være klokt å la
barnet tegne selv.
På veien mot halvabstrakt kan også enkle figurer erstatte bilder og tegninger.
Men figurene må visse tallmengdene og de må ligne på bilder av konkreter.
Eksempel:
Skal du illustrere tallet 5, kan du for eksempel velge å tegne fem trekanter, som
kan minne om stjerner med 3 hjørner. Men de må ikke kalles for trekanter –
kall dem stjerner.
Bruk av
figurer
4.2
Bruk av figurer
Halvabstrakter – nivå 1
I det øyeblikket du lar figurene bare være figurer, har du beveget deg over på et
mer teoretisk plan – du er i gang med halvabstrakter. Vanligst her er streker,
men enkle figurer (trekanter, sirkler, firkanter) gjør den samme nytten.
Det er viktig å ha med seg at figurene her er symboler for ting. Når de brukes
må man derfor få frem at figurene ikke betyr firkant, trekant o.s.v., men at de
betyr hester, legoklosser eller brødeskiver, avhengig av hva de skal være
illustrasjon på.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 10
Matematikk FRA A TIL Å
4.3
Bruk av tallinjen
Bruk av
tallinjen
Halvabstrakter – nivå 2
Før man går over på det helt abstrakte, kan man ta i bruk tallinjen. Da tegner
man tallinjen, og lager linjer som tilsvarer mengden man skal illustrere.
Eksempel:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Skal man vise mengden 7, lager man en linje som går fra 0 til 7, slik:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dette forutsetter selvfølgelig at tallene er kjent, men det er de jo for de fleste i
5. klasse, skulle jeg tro.
Så kan man jo gå videre, ved å legge til en linje som skal bety 2:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Og dermed har man jo vist at 7 + 2 = 9, lenge før man har begynt å regne med
tall! Å regne med figurer er både morsomt og lærerikt.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 11
Matematikk FRA A TIL Å
Men så er vi kommet meget nær det øverste nivået, det mest teoretiske og
abstrakte. Nemlig der ting, bilder og figurer skal erstattes med tall. Vi er
kommet til det skriftelige regnestykket.
Flere
måter å
gjøre det
på
5
FLERE MÅTER Å GJØRE DET PÅ
På det abstrakte nivået er det symboler som gjelder. Tallene er symboler for
mengder og verdier. Tegnene er symboler for regneoperasjoner.
Med vanlig norsk tekst vil det kanskje hete: ”Hvis du legger fem til sju får du
tolv”, eller ”Sju pluss fem er tolv”.
I matematiske symboler vil dette bli:
7 + 5 = 12
Altså – et regnestykke er en tekst som er
skrevet med matematiske symboler.
Et regnestykke er en tekst
som er skrevet med tall og
matematiske symboler.
Men hvilken fremgangsmåte skal man velge? Og er det en metode som er mer
riktig enn andre metoder?
Svaret på det siste spørsmålet er nei. Det er mange metoder, og ingen er ”den
riktige” i forhold til andre metoder.
Svaret på det første spørsmålet må bli: Det kommer an på hvordan man tenker.
Kikk en gang til på kap.3 Ulike tenkemåter. Dersom man klarer å forstå
hvordan man tenker, har man langt på vei laget sin egen fremgangsmåte – sin
egen algoritme.
Her skal jeg vise tre ulike fremgangsmåter – algoritmer. De har i grunnen mye
felles, men de ser helt ulike ut. Jeg har valgt å gi dem navn etter hvordan man
tenker når man bruker de forskjellige metodene.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 12
Matematikk FRA A TIL Å
5.1
Bruke posisjonsystemet
Denne metoden er lett å kjenne igjen, fordi her skrives tallene under hverandre.
Eksempel: 23 + 36 =
Man begynner med å skrive det første tallet…
Eksempel 1: Trinn a
23
…og deretter fører man opp det neste tallet rett under det første:
Eksempel 1: Trinn b
23
36
Man legger inn addisjonstegnet og setter en strek under, for å vise at man nå
har skrevet hele oppgaven og er klar til å regne ut.:
Eksempel 1: Trinn c
23
+ 36
Nå er det viktig å merke seg følgende: Tallet 23 består av 3 enere og 2 tiere.
Tallet 36 består av 6 enere og 3 tiere.
Hva enere og tiere betyr er nærmere forklart i kapitlet ”Posisjonsystemet
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 13
Bruke
posisjonsystemet
Matematikk FRA A TIL Å
Når man bruker denne fremgangsmåten er det avgjørende at enere står rett
under hverandre på enerplassen, og tierne rett under hverandre på tierplassen. I
dette eksemplet er dette ikke noe problem.
Man begynner med å legge sammen enerne. 3 + 6 = 9, og skriver svaret på
enerplassen under streken.
Eksempel 1: Trinn d
23
+ 36
9
Deretter gjør man det samme med tierne:
Eksempel 1: Trinn e
23
+ 36
59
Det er i grunnen hele greia. Man avslutter med å skrive = og sette to streker
under svaret:
Eksempel 1: Trinn f
23
+ 36
= 59
Her har jeg med vilje valgt et regnestykke som er helt fri for vanskeligheter.
For å bruke denne fremgangsmåten er det helt avgjørende at man forstår
posisjonsystemet. Det blir enda tydeligere i det neste eksemplet:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 14
Matematikk FRA A TIL Å
5.2
Bruke posisjonsystemet med minnetall
Det er nemlig ofte slik at addisjonen ikke går fullt så greit. Det er tilfelle i det
neste eksemplet:
Eksempel: 48 + 39 =
Man starter på samme måte – nemlig med å skrive tallene under hverandre:
Eksempel 2: Trinn a
48
+ 39
Men når vi nå legger sammen tallene på enerplass, oppstår det en situasjon:
Eksempel 2: Trinn b
48
+ 39
17
8 + 9 = 17. Fra kapitlet om posisjonsystemet får vi vite at det bare er plass til
ett siffer i hver posisjon. Men tallet 17 har jo to siffer!
I Eksempel 2 trinn b har jeg forsøkt å løse dette dilemmaet ved å plassere 1tallet i 17 på enerplassen, og 7-tallet på en plass for seg selv.
Men det har jeg i grunnen ikke lov til. Jeg kan jo ikke bare opprette en egen
plass for 7-tallet. Hvilken verdi skal i så fall den plassen ha?
Hvis vi ser på tallet 17, ser vi at det består av 1 tier og 7 enere. Det betyr at 7tallet må komme på enerplassen. Men hvor skal vi da gjøre av den ene tieren?
Vel, den hører jo hjemme på tierplassen, siden den jo er en tier! Vi setter den
inn på tierplassen, over de tallene som allerede står der.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 15
Bruke
posisjonsystemet
med
minnetall
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 2: Trinn c
1
48
+ 39
7
Sånn. Ser vi på de to sifrene som er
skrevet med rødt, ser vi at det er 1 tier og
7 enere, altså 17. Når enerne blir større
enn ti når de adderes, fører vi en tier opp
på denne måten. Vi kaller det et minnetall.
Dersom vi har flere tall som skal adderes,
og summen av enerne blir større enn 20,
fører vi opp et 2-tall som minnetall.
Nå kan vi addere tierne. Der sto det
opprinnelig 4 + 3, men med minnetallet
blir det 1 + 4 + 3
Eksempel 2: Trinn d
Minnetall: Når summen av
tallene på enerplass inneholder
tiere, settes tierne som
minnetallover de tallene som
allerede står på tierplassen.
Minnetallet blir med i
addisjonen av tierne.
Det tilsvarende skjer dersom
summen av tiere inneholder
hundrere o.s.v.
1
48
+ 39
87
Og så avslutter vi med = og to streker under svaret.
Eksempel 2: Trinn e
1
48
+ 39
= 87
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 16
Matematikk FRA A TIL Å
Enere og
tiere hver
for seg
5.3
Enere og tiere for seg
For mange er metoder der tallene skal skrives under hverandre vanskelig å
forstå. Mange foretrekker å skrive tallene etter hverandre på en linje. Denne
metoden, som jeg har kalt ”Enere og tiere for seg” gjør nettopp det. For å trene
på denne metoden vil det være viktig å skrive fremgangsmåten. Deet faller
lettere for de fleste, og man unngår mange feil på den måten.
Vi kan velge det samme regnestykket som vi valgte i eksempel 2:
48 + 39 =
Eksempel 3: Trinn a
48 + 39 =
Denne metoden går ut på at enerne legges sammen for seg og tierne legges
sammen for seg. Slik:
Eksempel 3: Trinn b
40 + 30 = 70
48 + 39 =
8 + 9 = 17
Den loddrette streken viser at har valgt en spesiell måte å føre dette på, der
tegnet = ikke kan brukes. Streken erstatter på en måte =.
Når vi har regnet ut enerne og tierne hver for seg, kan vi legge sammen
svarene:
Eksempel 3: Trinn c
40 + 30 = 70
48 + 39 =
= 87
8 + 9 = 17
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 17
Matematikk FRA A TIL Å
Dersom vi har større tall, kan vi bli nødt til å legge sammen hundrere og
tusener for seg. Det blir litt flere linjer, men med litt trening skulle det være
greit å klare det. Et nytt eksempel viser hvordan det vil se ut med tall over
tusen:
Eksempel: 4378 + 5672 =
Eksempel 4: Trinn a
4378 + 5672 =
Først splitter vi opp tallene i enere, tiere, hundrer og tusener:
Eksempel 4: Trinn b
4000 + 5000
= 9000
300 + 600
= 900
70 + 70
= 140
4378 + 5672 =
8+2
=
10
Og så legger vi sammen til slutt:
Eksempel 4: Trinn c
4000 + 5000
= 9000
300 + 600
= 900
70 + 70
= 140
4378 + 5672 =
= 10050
8+2
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
=
10
B - 18
Matematikk FRA A TIL Å
For å unngå at vi regner feil når vi skal summere til slutt, kan vi slå sammen to
eller flere av tallene:
Vi ser at 140 + 10 = 150.
Vi ser også at 900 er 100 mindre enn 1000.
Vi kan begynne med å skrive tallene:
9000 + 900 + 140 + 10 =
Så deler vi opp 140:
9000 + 900 + 140 + 10 = 9000 + 900 + (100 + 40) + 10 =
Deretter slår vi sammen tall som naturlig hører sammen:
9000 + (900 + 100) + (40 + 10) = 9000 + 1000 + 50 =
…og da kan vi summere til slutt:
9000 + 1000 + 50 = 10000 + 50 = 10050
5.4
Fyll opp tierne
Den tredje metoden har jeg kalt for ”Fyll opp tierne”. Den vil fungere godt på
mindre tall, men kan nok kreve en god del trening dersom den skal være
hensiktsmessig for større tall.
La oss se på en enkelt eksempel først. Vi kan bruke de tallene som vi hadde i
eksempel 2: 23 + 36 =
Først må vi skrive oppgaven:
Eksempel 5: Trinn a
48 + 39 =
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 19
Fyll opp
hele tiere
Matematikk FRA A TIL Å
Metoden går i korthet ut på å lage hele tiere av enerne. I dette eksemplet ser vi
at 39 mangler 1 ener på å være 4 tiere. Vi flytter derfor en ener fra 48 over til
39. Slik
Eksempel 5: Trinn b
48 + 39 = (48 – 1) + (39 + 1) =
Når vi ser på tallene igjen, ser vi at vi har:
Eksempel 5: Trinn c
48 + 39 = 47 + 40 =
Og dette er det ganske greit å legge sammen:
Eksempel 5: Trinn d
48 + 39 = 47 + 40 = 87
Bruker vi denne metoden på litt større tall, blir det viktig å vite hva man gjør.
Hvis vi bruker denne metoden på tallene fra eksempel 4, får vi dette:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 20
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 6: Trinn a
4378 + 5672 =
Vi ser at enerne fyller opp en tier helt av seg selv:
Eksempel 6: Trinn b
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
Dette gir oss disse tallene å regne videre med:
Eksempel 6: Trinn c
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
4380 + 5670 =
Da må vi se på tierplassen. Vi har 8 tiere i det ene tallet og 7 tiere i det andre.
Hvordan skal vi fylle opp hele hundrere med disse tierne?
Vel – 80 er bare 20 fra en hel hundrer. Vi kan hente de 20 fra 70…
Eksempel 6: Trinn d
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 – 20) =
Og da har vi fått nye tall å fortsette med:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 21
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 6: Trinn e
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 – 20) =
4400 + 5650 =
Nå nærmer vi oss noe. Nå er det hundrerne vi må se på for å fylle opp på
tusenplassen. Vi ser at det er 4 hundrere i det første tallet, og 6 hundrere i det
andre. Det blir jo en hel tusen til sammen. Vi kan flytte de fire hundrerne over
fra det første tallet til det andre:
Eksempel 6: Trinn f
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 – 20) =
4400 + 5650 = (4400 – 400) + (5650 + 400) =
Dette gir oss følgende tall som vi kan legge sammen:
Eksempel 6: Trinn g
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 – 20) =
4400 + 5650 = (4400 – 400) + (5650 + 400) =
4000 + 6050 =
Og vi ender opp med dette resultatet:
Eksempel 6: Trinn h
4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 – 2) =
4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 – 20) =
4400 + 5650 = (4400 – 400) + (5650 + 400) =
4000 + 6050 = 10050
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 22
Matematikk FRA A TIL Å
5.5
Opp-og-ned-metoden
Den siste metoden jeg vil ta med her har jeg kalt ”Opp-og-ned-metoden”. Den
er en slags videreutvikling av ”Fyll opp tierne”.
Metoden går i korthet ut på å ta fra det ene tallet og legge til på det andre. Et
par eksempler kan gjøre det klarere. Først et enkelt eksempel:
Eksempel: 38 + 44 =
Eksempel 7: Trinn a
38 + 44 =
Ser vi på tallene, vil vi se at 38 er 2 mindre enn 40. 40 er mye enklere å regne
med, fordi det er hele tiere.
Vi kan øke 38 med 2, men da må vi samtidig redusere 44 med 2. Med andre
ord: Hvis vi går opp på det ene tallet (fra 38 til 40), må vi gå like mye ned på
det andre tallet (fra 44 til 42). Vi kan skrive det slik:
Eksempel 7: Trinn b
38 + 44 = 38 + 2 og 44 – 2 =
Da vil vi ha disse tallene å regne med:
Eksempel 7: Trinn c
38 + 44 =
38 + 2 og 44 – 2
40 + 42 =
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 23
Fyll opp
hele tiere
Matematikk FRA A TIL Å
Og disse tallene er mye lettere å legge sammen:
Eksempel 7: Trinn d
38 + 44 = 38 + 2 og 44 – 2
40 + 42
= 82
Nå var dette et ganske enkelt eksempel. La oss se hvordan dette kan fungere på
litt større og vanskeligere tall, der det ikke er like lett å se svaret:
Eksempel: 457 + 388 =
Eksempel 8: Trinn a
457 + 388 =
Her kan vi velge hvilket tall vi skal starte med. Vi skal se på hva som skjer i
begge tilfellene. Vi begynner med 457. 457 er 7 mer enn 450, og det kan jo
være et greit tall å regne med. Da går vi altså 7 ned, og må derfor gå 7 opp på
det andre tallet.
Eksempel 8: Trinn b1
457 + 388 = 457 – 7 + 388 + 7
Så regner vi ut det som står inne i de nye tallene:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 24
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 8: Trinn c1
457 + 388 = 457 – 7 + 388 + 7
450 + 395
Og til slutt legger vi sammen de to nye tallene:
Eksempel 8: Trinn d1
457 + 388 = 457 – 7 + 388 + 7
450 + 395
= 845
Så skal vi se hva som skjer dersom vi tar utgangspunkt i det andre tallet. Vi kan
for eksempel tenke at 388 er 12 mindre enn 400:
Eksempel 8: Trinn b2
457 + 388 = 457 – 12 + 388 + 12
Når vi regner ut de nye tallene får vi:
Eksempel 8: Trinn c2
457 + 388 = 457 – 12 + 388 + 12
445 + 400
Og når vi regner ut svaret, får vi:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 25
Matematikk FRA A TIL Å
Eksempel 8: Trinn d2
457 + 388 = 457 – 12 + 388 + 12
445 + 400
= 845
Det ble adskillig enklere tall å legge sammen til slutt med versjon 2. Det viser
at det kan være lurt å se litt på tallene før man begynner å regne.
Alle disse metodene jeg har vist har sine fordeler og svakheter. Felles for dem
alle, og grunnleggende for å forstå addisjon, er at man forstår posisjonsystemet.
Posisjonsystemet er forklart i eget kapittel.
Det kan også være lurt å kikke litt på kapitlet som heter tallinjen.
Mange vil antagelig mene at de tre siste metodene er greie å forstå, og med litt
trening kan man bli virkelig god på å bruke disse dem.
Men som oftest velger de fleste etter hvert å gå over til den første metoden, der
man skriver tallene under hverandre. Det som ofte også viser seg er man man
blir mye bedre på å handtere minnetall i ”under-hverandre-metoden”, dersom
man er blitt god på en eller flere av de andre metodene først. Selv om man ofte
velger å gå over til metoden med tallene under hverandre, fortsetter de fleste å
bruke de andre metodene når de skal regne i hodet.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
B - 26