1. No category

FORKURSSTART
Prosent- og renteregning
p prosent av K beregnes som
p⋅K
100
5⋅64000
=5⋅640=3200
100
Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir
Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra
p⋅64000
=9600
100
9600 960 3⋅32⋅10
=
=
=15 prosent
640
64
2⋅32
Vi ser også lett at 9600 er 3 ganger 3200 fra tidligere eksempel (15 prosent er jo tre ganger
mer enn 5 prosent.
Vi får
p⋅640=9600
p=
og
Eksempel 3: Hvis 64000 øker med 5 prosent fås 64000+3200=67200
Hvis vi skriver beregningene i Eksempel 3 på en annen måte får vi
64000
5⋅64000
5
=640001
=64000⋅1.05=67200
100
100
Når vi øker et beløp med gitt prosent kan vi på denne måte multiplisere med
et tall. Hvis vi øker med 5 prosent multipliserer vi med 1.05, hvis vi øker med
8 prosent multipliserer vi med 1.08 og hvis vi øker med 10 prosent multipliserer vi
med 1.1 og for andre kan vi fortsette på denne måte.
Vi ønsker kanskje en enkel formel vi kan bruke hurtigt på mange ulike fall.
Hvis vi regner får vi generelt hvis vi øker beløp K med p prosent:
K
pK
p
=K 1
=Ka
100
100
hvor
a=1
p
100
Da har vi en formel vi kan bruke får å øke K med p prosent:
Nyt beløp er
K 1=Ka hvor
a=1
p
=10.01p
100
Vi kan bruke samme formel for å minke med gitt prosent hvis vi lar p være negativ.
F eks, hvis vi minker med 2 prosent multipliserer vi med 1-0.02=0.98
1
Vi kan også bruke formel for å finne opprinnelig kapital hvis vi vet nåverdi.
Eksempel 4. Et beløp på 200 har øket med 25 prosent. Hva er opprinnelig beløp?
Med hvor mange prosent må minkes for å komme tilbake til opprinnelig beløp.
Vi har K 1=200 og a=1.25 og 1.25K=200 hvorfra vi løser K=160.
For å komme tilbake til K må vi minke med 40 hvilket er 20 prosent av 200.
Oppgave 1. Kylling i Sverige koster 30 og i Norge 50. Hvor mange prosent dyrere
er en kylling i Norge og hvor mange prosent billigere er en kylling en Sverige.
Oppgave 2. En god mattelærer i Haparanda får 20000 i lønn og en i Finnmark 35000.
Hvor mange prosent mer er lønn i Finnmark og hvor mange prosent mindre er
lønn i Haparanda?
Oppgave 3. En IKEA-arbeider får øket lønn fra 17500 til 18000. Hvor mange prosent
øket lønn?
Oppgave 4. Selger har betalt 100 for en vare han selger til deg for 150 hvor du må
legge til 25 prosent moms på det pris selger selv får fra deg. Hvor mange prosent
gevinst får selger?
(Selger får et beløp mer enn 100 av deg, men du må betale mer dersom på
dette beløp skal vi legge til 25 prosent moms)
Et beløp kan selvfølgelig øke eller minke flere ganger. Da må vi hver gang
multiplisere med en faktor.
Eksempel 5: Hvis 64000 øker to ganger med 5 procent hvor mye blir det da?
Første gang får vi nyt beløp til
64000⋅1.05
Andre gang må vi igjen multiplisere med 1.05 vi får
64000⋅1.05⋅1.05=64000⋅1.052=64000⋅1.1025=70560
64000 har økt med 10.25 prosent.
Eksempel 6. Hvis 64000 minker tre ganger med 5 prosent hvor mye blir det så?
Vi må multiplisere 3 ganger med 0.95 og får 64000⋅0.95⋅0.95⋅0.95=64000⋅0.953=54872
2
Eksempel 7: Hvis 64000 først øker med 5 prosent og så minker med 5 prosent hvor mye blir det?
Vi multipliserer først med 1.05 og deretter med 0.95 og
får 64000⋅1.05⋅0.95=63840
Det blir j160 mindre og detter betyr 0.25 prosent mindre.
Oppgave 5. Et beløp på 300 øker først 10 prosent og minker deretter med 10 prosent.
Hvilket beløp har vi da? Hvilket beløp får vi hvis vi først minker med 10 prosent
og deretter øker med samme prosent? Med hvor mange prosent har opprinneligt
beløp øket eller minket? Samme spørsmål for et beløp på 500.
Oppgave 6. Et beløp 200 øker to ganger med 10 prosent. Med hvor mange prosent har
beløp økt? Samme spørsmål for et beløp på 400. Samme spørsmål hvis vi øker
beløp tre ganger. Hvor mange ganger må vi øke for å minst fordobble beløpene?
Vi har sett at når vi øker et beløp flere ganger kan vi bruke potenser for å regne ut nyt beløp.
Vi er nå kanskje litt motiverte til å bruke potenser?
Potenser
Hvis man vil regne rente på rente fire ganger fås en produkt av typ a⋅a⋅a⋅a⋅K
p
 (se tekst om renteregning).
hvor a=1
100
For å skrive det enklere bruker man potense så at man får a 4 K
Hvis renten har lagts på n ganger får man et produkt av n stykke a og man skriver a n K
Som allmæn definisjon gis
a n er et produkt hvor man har multiplisert n ganger tallet a med seg selv
Hvis man først multiplisert a med seg selv m ganger og deretter multiplisert med a n ganger er det
samme som om man multiplisert m+n ganger a med seg selv.
(1)
Eksempel
a m⋅a n=a mn
a 2 a 3=a⋅a ⋅a⋅a⋅a=a⋅a⋅a⋅a⋅a=a 5=a 23
3
Vi vet jo at hvis man øker et beløp med samme prosent først to ganger og deretter
tre ganger er det jo detsamme som å øke fem ganger fra opprinnelig.
am
Hvis m>n er
et brøk hvor man har man har a i teller m ganger og i nevner n ganger. Man
an
kan da forkorte med n stykken a og får
am
=a m−n
n
a
(2)
Eksempel
a 5 a⋅a⋅a⋅a⋅a
=
=a⋅a⋅a=a 3=a5−2
2
a⋅a
a
Hvis vi først øker et beløp fem ganger med samme prosent og deretter er intressert i hva beløp var
to ganger tidligere må vi først multiplisere fem ganger med samme faktor og
for å komme tilbake dividerer vi to ganger med denne faktor. Det er samme som
å finne beløp hvor vi øket tre ganger
Hvis m=n fås m-n=0 og vensterled i (2) er 1. Vi definierer
a 0=1
(0)
For økonomer er det ikke tvil om at hvis man øker et beløp null ganger
så endres det ikke hvilket er samme som å multiplisere med 1.
Eksempel.
a3
=1=a 0
3
a
Det forutsetter likevel at a ikke er null.
For regel (2) å gjelde for m<n definierer vi
(3)
a−n=
1
an
Hvis vi vet kapitalet Q etter renten lagts på n ganger fås opprinnelig kapital av a−n Q
Hvis a m opphøyes i n betyr det at vi tar
vi tok a mn ganger seg selv. Vi får
(4)
a m n ganger seg selv hvilket er detsamme som om
a m n=a mn
4
Eksempel
a 32=a⋅a⋅a a⋅a⋅a =a 6=a 3⋅2
Hvis vi legger renten på tre ganger på ett år så har vi et beløp etter to år som
er samme som når vi legger på renten seks ganger.
Fordi den kommutative lov ( a⋅b=b⋅a ) sier at rekkefølge kan endres i et produkt betyr det at
hvis vi multipliserer a⋅b n ganger med seg selv er det detsamme som om vi multipliserer a
n ganger med seg selv og deretter multipliserer med b n ganger. Vi får
a⋅bn=a n⋅bn
(5)
Eksempel a⋅b3=a⋅b⋅a⋅b⋅ a⋅b=a⋅a⋅a⋅b⋅b⋅b=a 3 b 3
Liknende gjelder for brøk
(6)
m

a
b
m
=
a
bm
Vi bruker disse regler for å forenkle uttrykk med potenser
−12n=−12n =1n=1 dvs like potens av -1 er +1
Eksempel 1.
−12n1=−12n⋅−1=−1 dvs odde potens av -1 er -1.
−3
Eksempel 2. −2 =
Eksempel 3.
Eksempel 4.

1
1 −1
= =
3
−2 −8 8
Brukt (3).
−1 −3
1
1
1
 =
=
=
=−8
3
3
2
−1
−1 −1


8
2
23
Brukt (3) og (6).
a 3 b2 2 a 32⋅b 22 a 6 b 4 a 6 b 4
6−3 4−4
3 0
3
=
= 3 4 = 3 4 =a b =a b =a
3 4
3 4
a b
a b
a b a b
Først har vi brukt (5) på
a 3 b 2 2 deretter to ganger (4) på
5
a 32 ,b 22 deretter (2) på
a6 b4
,
a3 b4
og sist har vi brukt (0) på b0
Eksempel 5.
Oppgave 1.

a 2 3 −2 a 2 3 −2 a6 −2 a 6 a−2 a 4
 a = 3 3a = 9a = 9 = 9
b3
b 
b
b
b
Brukt (6) deretter (4) og sist (1).
Forenkle
5
4 2
a)  x 
b)
k
e)
n n
2
3 5
5
2
2 a 
c) n n
nk
f) 2
n
g) n 2 k
n
d) 2
n
Oppgave 2. Forenkle
a)
2 3
b)
a a 
3
4
5 3
e) m m 
f)
2
c)
x x
 a2 10
a 15
d)  y3 4 y 4
5

x7
2
x
Oppgave 3. Forenkle
a) −10a 3 3
e)
b) −6c3 2
c) 3x⋅2x 3
−yz 2⋅2yz3⋅0.5z
Oppgave 4. Forenkle
a)
d)
2ab2
4ab3
24x 4 y 3
2xy3
b)
e)
−81b 6 c 3
3b 2 c 4
2 a 2 c5 2
−4a 2 c 2 3
−9 a 2 c3 3
c)
3a³ c 2 3
 x 2 3  y 22
 x 3 y 3 3
f)
Oppgave 5. Beregne
6
d) a² b2⋅ab 2 3
40
a)
Oppgave 6.
0.25 ⋅4
103

1
2 ⋅
2
100
b)
c)
50
49
 
3
4
4
3
Hvilke er større
310⋅58
a)
Oppgave 7.
159
eller
520 eller
b)
5510
Forenkle
4
−3
2
Oppgave 8.
b)
2
a
a 3n−1
d)
8 −2
18 u v w v s
4 5
2
6 v w ⋅4 s
2n1
5 a 3 a
−2
3
3b
5b
c)
2 3
a 5 c−4 2 5
b c
c
a)
3
42
−x3
e)
2x1
b
b
3−x 5x−2
b b
f)
u
u2
  
x
y
y
x
y 2  x 3−1
Sett inn a=-1, b=2 og c=-3 og regn ut
ab c−b c
4
3
3
a b −8 ac
3
Ved renteregning har vi sett at vi trenger til å regne med uttrykk med parenteser.
Dette er også aktuell ved beregning av kostnader og inntekt. Før vi begynner med
parentesregning og algebra er det kanskje godt å gjenta litt fra aritmetikk og
rekkefølge på beregninger.
Rekkefølgen av operasjoner.
Der er konvensjon å først regne ut parenteser før man gjør andre operasjoner.
Men det er også konvensjon å beregne multiplikation og divisjon før man
gjør addisjon eller subtraksjon. Ikke for å plage studenter. For å ikke
skrive onødig mange parenteser og gjøre formler vansklige.
ab⋅c
a
b
c
betyr egentlig
betyr egentlig
som også betyr
ab⋅c
som jo er forskjellig fra ab⋅c
b
a  som jo er forskjellig fra
c
ab
c
7
ab
c
Det er forskjell mellom 83⋅6 og 83⋅6
I det første tar man først 3 gang 6 og deretter adderer til 8 og får 26.
I det andre beregner man først 8+3=11 og tar deretter gang 6 og får 66.
Du kan tenke deg at hvis du først skal betale en fast konstnad 8 kroner og deretter
for 6 kroner får hver vare skal du først betale 8 kroner og deretter legge til 18.
Du ønsker jo ikke å betale 66 kroner?
I brøk må vi først beregne faktorene i tellene og nevnene. Vi se på
83
Vi beregner først teller til 11, deretter nevner till 11 og får 1.
65
83
Vi beregner som om det var
65
Man kan på denne måte kun forkorte hele faktorer og hele parenteser ikke deler.
Hvis du skal betale x kroner for en vare og du har faste kostnader k og ønsker å kjøpe 200
varer skal du betale k+200x hvilket ikke er (k+200)x
Generelt regner man først potenser deretter multiplikasjon og divisjon og sist
addisjon og subtraksjon.
Eksempel.
-5-(-1)(-2) = -5-2=-7
5⋅8−6⋅6=40−36=4
10 3−12 
−
=5−3−3=59=14
2
4
−152 −32=−152⋅9=−1518=3
3 −2 −−3−2 2
3−2−−3 4
−612
6
−1
=
=
=
=
3
−5−2  −36 −4−5 −5−8−36−4 −5 −12060 −60 10
Oppgave 1.
Beregne og skriv ut alle trinn
a)
78⋅9
3
d)
b)
3⋅45⋅6
3
−2−3 −−1 −6 −9
e)
102
4 −5
10
f)
2010
20−5
8
3⋅54⋅233
c)
2⋅613
Parentesregning
Man kan bruke funksjonsuttrykk for å beskrive kostnader for produksjon.
K  x =1002x0.01x 20.0002 x 3
F eks kan produksjonskostnader gis av uttrykk
hvor x er produksjonsmengde (x kan f eks måles i flere tusen enheter slik at x=1 betyr
en stor mengde).
Vi kan da beregne kostnad for produksjonsmengde 10 ved å sette in x=10.
K 100=1002⋅100.01⋅10 20.0002⋅103 200.01⋅1000.0002⋅1000
som er lik
1002010.2=121.2
Oppgave 1. Beregne kostnad for produksjonsmengde 50 og 100 hvis kostnad
er gitt av funksjon oven.
Hvis vi har to kostnader må de adderes for å beregne totalkostnader.
Eksempel 1. Hvis den ene kostnad er som oven og den andre er gitt ved
2
3
kan vi beregne total kostnadene gjennom
503x0.005 x 0.0001 x
å addere hvor da ledd av samme type adderes.
2
3
2
3
2
503x0.005 x 0.0001 x 1002x0.01 x 0.0002 x =1505x0.015 x 0.0003 x
Oppgave 2. Beregn totale kostnader hvis delekostnadene er
100050x
x2
x4

300 200000
og
110040x
x2
x4

200 200000
Vi kan også beregne kostnader for flere varer og får da flere variabler, f eks x og y.
Eksempel 2.
Hvis vi adderer kostnadene
2
2
3
2
10002x4y0.01x 0.02 xy0.005 y 0.00001 y 0.00002 y x
15005x3y0.005x 20.01 xy0.00001 x 2 y0.00002 y 2 x
2
2
3
og
får vi
2
2
25007x7y0.015x 0.03xy0.005 y 0.00001y 0.00004 xy 0.00001x y
9
3
Oppgave 3.
Addere kostnadene
1003x2y0.001x 20.002 xy 0.0000001 x 3
2
og
2
2005xy0.001x −0.003 xy0.0000001 x y
Vi trenger kanskje litt øvelse på å addere uttrykk?
Oppgave 4. Forenkle
a)
3a 2−2a −a2 3a 
b) 6c2 −2cd 10c 218cd 
c) 14mn−15m −15mn−14m
Vi kan også være intresserte i forskjell mellom kostnader.
Vi må da endre tegn på alle leddene hvis vi har minus foran parentes.
Eksempel 3.
2
3
2
3
503x0.005 x 0.0001 x −1002x0.01 x 0.0002 x 
blir
503x0.005x 20.0001 x 3−100−2x−0.01x2 −0.0002x3 =−50 x−0.005 x 2 −0.0001 x 3
Eksempel 4.
Forskjell mellom kostnadene i oppgave 3 beregnes
2
3
2
2
1003x2y0.001x 0.002 xy0.0000001 x −200−5x−y−0.001 x 0.003xy−0.0000001 x y
Vi trekker sammen til
−100−2xy0.005 xy0.0000001 x 3−0.0000001 x 2 y
Oppgave 5. Beregne uttrykk for forskjell i kostnader i oppgave 2.
x2
x2
og for bedrift B er inntekt 50x−
2
3
Beregn forskjell i inntekt for bedrift A og B.
Oppgave 5A. Inntekt for bedrift A er 100x−
x2
x2
Oppgave 5B. Inntekt for bedrift A er 150x−
og for bedrift B er inntekt 50x−
4
3
Beregn forskjell i inntekt for bedrift A og B.
Oppgave 5C. Profitt for bedrift A er 100x−5000−0.01x 2 og for bedrift B er profitt
2
87x−4300−0.002x
Beregn forskjell i profitt for bedrift A og B.
10
Vi trenger kanskje litt mer øvelse.
Oppgave 6. Forenkle
a) 10a−2b5c−−5a20b−c  b) 16m−11n−7mn−6mn−10n16m
c) c 23cd−d 2 −4cd5d2 −6c 2
Oppgave 7. Hvor skal vi legge parentes for å få
a)
x 2 −3x1−x 2 −3x−1=2
c)
x 2−3x1−x 2 −3x−1=0
b)
x 2−3x1−x 2 −3x−1=−2
Vi ønsker nå repetere hvordan man multipliserer et algebraiskt uttrykk med en faktor.
Man må da multiplisere alle leddene med samme faktor for å få bort parentes.
Vi husker da også at minus ganger minus blir pluss.
Eksempel.
3x 2x35=3x⋅2x33x⋅5=6x 415x
Eksempel.
−5a 2 3a 3−a4=−5a 2⋅3a 3−5a 2 −a−5a 2⋅4=−15a 55a 3−20a 2
Vi kan bruke denne teknikk for å beregne inntekt.
Eksempel. Prisen for en vare er avhengig av produksjonmengde og er gitt
ved 200−x−0.01x 2 ved produksjon av mindre enn 100 enheter. (Hvorfor?)
Da er inntekt gitt ved x  200− x−0.01x 2=200x−x 2−0.01 x 3
Hvis kostnadene er 1000100x0.01x2 0.00001 x 3 kan profitt beregnes
som forskjell 100x−1000−1.01x 2−0.01001 x 3
Oppgave 8. Hva er inntekt hvis prisen er gitt ved 200−0.01 x−0.0000001 x 2
og hva er profitt hvis kostnad er gitt ved 50040x0.02x2
Oppgave 9. En bedrift produserer to varer, produksjonsmengdene måles i x (vare A) og y
(vare B).
Prisen for vare A er 100-0.01x-0.001y og for vare B 50-0.002x-0.02y.
Beregne inntekt.
Beregne profitt hvis kostnadene er 10010x0.01x2 og 10020y0.01y 2
Vi trenger kanskje litt mer algebraisk øvelse?
Oppgave 10. Skriv uten parenteser
a) 5 a2 −2abb 2
b) 2b 2 b−ab4a 2 
d) −4st 2 3s2 t −s2t−1
11
c) −3c 3 4d3cd−c 2
Oppgave 11.
a)
Forenkle
a ab−b a−b
b) n 2  n−2−n  n2−1
c) 2m 3−m5m 23m1−m5m2 −5m 5m2−m
Vi må klare av å multiplisere to parenteser også
Vi kan da dele opp den første parentes i deler og får
ab  cd =a cd bcd =acad bcbd
2
Eksempel.
2
2
 xy  x−y =xx x −yyx y −y =x − xyxy−y = x −y
2
 xy  xy =x  x yy  x y= xxxy yxyy= x 22xyy 2
2
 x−y  x−y =x  x− y−y  x −y=xx x −y−y xy −y= x −2xyy
Oppgave 12.
Skriv uten parentes
2m12m5
m 23n m2−n
 y−4 3y−4
3y−2v3y−2v3y2v 
2
 y−1 y 2y−1
2t−vst2v−s
Ved renteregning kan vi regne ut formler.
Eksempel. Hvis et beløp K øker med p prosent og deretter minker med p prosent
får vi formel
K 10.01p1−0.01p =K 1−0.0001p2 =K 1−0.01⋅0.01 p2 
Dette betyr at beløp minker med 0.01p 2 prosent
Oppgave 13. Et beløp K øker to ganger med p prosent. Med hvor mange prosent
har beløp økt?
Oppgave 14. Et beløp K øker først med 2p prosent og deretter minker med p prosent.
Hvilken forendring er skjedd i prosent?
Vi kan nå litt gjenta hvordan man regner med parenteser:
For å forenkle algebraiske uttrykk kan brukes
ab=ba
a⋅b=b⋅a
−−a=a
a −b=−ab
−a−b=ab
12
2
a⋅bc=a⋅ba⋅c
De to første kalles kommutative lover og gir mulighet til å endre på rekkefølge i uttrykk.
Den siste kalles distributive lov.
Kombineres disse kan man vise
abcd =acad bcbd
Disse lover kan brukes for å forenkle uttrykk:
Eksempel 1.
Vi beregner −34−56⋅−87−65
Først grupperes uttrykken innenfor parentesene og vi får
46−3−5⋅75−8−6
Deretter beregnes parentesene, hvilket gir 10−8⋅12−14=2⋅−2=−4
Eksempel 2.
Sett inn x=2 og y=-1 i y+2x-(x-y) og regn ut.
Vi forenkler først.
y2x− x− y = y2x−x−−y = y2x− x y=2x− x y y= x2y
Vi setter inn og får 2+2(-1)=2-2=0
Eksempel 3. Sett inn x=-2, y=-3 i -(xy+y) og regn ut. Vi får
− xy y =−xy− y=−−2−3−−3=−63=−3
Eksempel 4. Sett inn x=-2, y=-3, z= -4 i − xyz −xy 2 z  og regn ut.
Vi får
− xyz −xy 2 z =−xyz xy 2 z=−−2−3−4−2−32 −4 hvilket blir
−−2⋅12−2⋅9⋅−4=2⋅129⋅8=2472=96
Eksempel 5. Forenkle 2xy−2 x− xy−−3 xy−x 
13
Vi får
2xy−2x−2 −xy3  xy−x =2xy−2x2xy 3xy−3x=7xy−5x
Eksempel 6.
Sett inn x=-2 og y=-3 i
 x− y  x2y−3x− y x y
Vi forenkler først
 x− y  x2y−3x− y x y= xx− yx x⋅2y− y⋅2y−3xx− yx 3xy− yy 
hvilket gir
x 2− xy2xy−2y 2−3x2 −xy3xy− y 2 =x 2 xy−2y2 −3x 2xy−3xy y 2=−2x 2−xy− y 2
Vi setter inn og får −2−22−−2−3−−32=−2⋅4−6−9=−23
Eksempel 7.
2x y 3x−2y−6x 2−3xy−2y 2 =2x⋅3x2x⋅−2y y⋅3x y⋅−2y−6x2 3xy2y 2
hvilket gir 6x 2−4xy3xy−2y 2−6x 23xy2y 2=2xy
Eksempel 8. Forenkle x  y2−2 x− yz − x− y  x y−2 x 2
Vi regner ut parentesene og får
2
2
xy2x−2x2y−2z− x −xy 2x yx y −2y x
2
Gruppering gir 2x−2x2x2y−2y−2z−x 2 x 2xy− xy yx y 2=2x−2zxy y 2
Oppgave 15.
Skriv uten parenteser
n−1n−2 n−3 n−4
 y−1 y 4y 3y 2y1
4
3
2
n1n −n n −n1
14
Oppgave 16.
Forenkle
x  x −1 x −2−x  x−3 x−4
2
2
2
2
 x −3x1 x −3x5− x −3x2 x −3x−3
n−1n−6 n2−7n−3− n−3 n−4 n2 −7n1
1
1
1
1
 x −1 x −1− x  3 x  −3
x
x
x
x
15