Algebra Algebra er bokstavregning. Det er et verktЦy som

FAKTA
Algebra
Algebra er bokstavregning. Det er et verkty som forenkler
regneoperasjonene i forskjellige omrder av matematikken.
Bokstavene er symboler for tall og skal behandles som tall.
Variabel
En variabel er en bokstav som symboliserer et vilkrlig tall. a og b
er eksempler p variabler.
Konstant
En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler
p konstanter.
— trekke
sammen
— trekke sammen er forenkle et uttrykk ved sl sammen
ledd av samme type.
a2 + a + 2a2 = 3a2 + a
Fortegn
Minustegn foran et bokstavledd betyr at dette leddet skal
trekkes fra. Fr vi et negativt fortegn i svaret, betyr det at
uttrykket er negativt.
I
bb = 0
II
b 2b = b
III 3b 2a 4b = 2a b
Pluss- eller minustegnet foran leddet flger alltid leddet.
— regne med
parenteser
Er det plusstegn foran parentesen, kan vi ta bort parentesen og s trekke
sammen. For alle tall a, b og c har vi:
a + ðb + cÞ = a + b + c
a + ðb cÞ = a + b c
Dersom det er minustegn foran en parentes, m alle leddene
inne i parentesen skifte fortegn nr vi fjerner parentesen.
For alle tall a, b og c har vi:
a ðb + cÞ = a b c
a ðb cÞ = a b + c
98
EMNE 5 – ALGEBRA 2
— multiplisere
bokstaver
FAKTA
Nr vi multipliserer bokstaver eller bokstaver og tall, dropper vi som
regel multiplikasjonstegnet mellom bokstavene og mellom bokstavene
og tallene.Vi multipliserer tallene og setter bokstavene i alfabetisk
rekkeflge.
5 a b = 5ab
Bokstaver
i en potens
Potenser kan ha bokstaver som grunntall. Potensen a3 leser vi ’’a i tredje’’.
Det betyr at a skal multipliseres med seg selv 3 ganger.
a3 = a a a
Dersom grunntallet er et produkt av et tall og e¤n eller £ere bokstaver,
m vi sette parentes rundt hele grunntallet for markere at det er hele
grunntallet som skal opphyes i eksponenten.
ð3aÞ3 = 3a 3a 3a = 27a3
— multiplisere
potenser
Skal du multiplisere potenser med likt grunntall, beholder du grunntallet
og adderer eksponentene.
a2 a3 = a2 + 3 = a5
Skal du multiplisere faktorer som bestr av tall og potenser med ulikt
grunntall, multipliserer du frst tallene, og s adderer du eksponentene
til de potensene som har samme grunntall. Produktet ordner du slik at
tallene kommer frst, og deretter kommer bokstavene i alfabetisk
rekkeflge.
6a3 2b 2a4 b2
= 6 2 2 a3 a4 b b2
= 6 2 2 a3 +4 b1+ 2
= 24a7 b3
99
EMNE 5 – ALGEBRA 2
— dividere
potenser
FAKTA
Skal du dividere potenser med samme grunntall, beholder du grunntallet
og subtraherer eksponentene.
x5 : x3 = x53 = x2
Skal du dividere uttrykk med bde tall og potenser, dividerer du frst
tallene og s subtraherer du eksponentene i de potensene som har
samme grunntall.
15x3 y : 3x2 = 5x32 y = 5xy
— addere og
subtrahere
potenser
Det er bare ledd av samme type som kan adderes og subtraheres.
Ledd av samme type kan for eksempel vre potenser med like
grunntall og eksponenter.
x3 + x2 + 2x3 2x2 = 3x3 x2
— multiplisere
en faktor med
en parentes
Nr vi skal multiplisere et tall eller en bokstav med en parentes,
multipliserer vi tallet eller bokstaven med hvert ledd i parentesen.
I
II
III
IV
— multiplisere
to parenteser
aðb + cÞ = a ðb + cÞ = a b + a c = ab + ac
ða + bÞ c = a c + b c = ac + bc
aðb + cÞ = ða b + a cÞ = ab ac
aðb cÞ = ða b a cÞ = ab + ac
Nr vi skal multiplisere to parenteser, lser vi opp den frste parentesen,
og s multipliserer vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd
i den andre parentesen.
ða + bÞðc + dÞ
= a ðc + dÞ + b ðc + dÞ
= a c + a d + b c + b d
= a c + ad + b c + b d
Frste kvadratsetning
100
ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2
EMNE 5 – ALGEBRA 2
FAKTA
Andre kvadratsetning
ða bÞ2 = a2 2ab + b2
Konjugatsetningen
ða + bÞða bÞ = a2 b2
Verdien av
et uttrykk
Ved sette inn tallverdier for bokstavene i et algebraisk uttrykk,
kan vi regne ut en verdi for uttrykket. Dersom a = 2 og b = 3, kan vi
regne ut a + b.
a+b=2+3=5
Brk med
bokstaver
En brk kan ha bokstaver bde i teller og nevner.Vi kan ogs ha
brkuttrykk med £ere ledd i teller og nevner.
x
Bokstav i teller
2
3
Bokstav i nevner
y
2x 1
Flere ledd i teller
3
Fellesnevner
Skal vi addere og subtrahere brker med bokstaver, m brkene ha samme
nevner. Skal vi utvide et brkuttrykk for f felles nevner, multipliserer
vi teller og nevner med den samme faktoren.
— subtrahere
brkuttrykk
Skal vi subtrahere brker med £ere ledd i telleren, m leddene
i brkuttrykket etter minustegnet skifte fortegn.
2a + 2b a + b 2a + 2b a b a + b
=
=
c
c
c
c
— faktorisere
— faktorisere et uttrykk er skrive et uttrykk som et produkt av to eller
£ere faktorer, alts skrive det som et multiplikasjonsstykke. Faktorisering
er helt ndvendig for kunne behandle og forenkle uttrykk.
Produkt
a2 b
=
=
faktor
a
faktor
a
faktor
b
101
EMNE 5 – ALGEBRA 2
— forkorte et
brkuttrykk
FAKTA
— forkorte et brkuttrykk betyr dividere teller og nevner med samme
tall eller bokstav. For kunne forkorte et brkuttrykk med £ere ledd,
m vi faktorisere det frst.
1
a2 b 6 a a b
=
= ab
a
6a
1
1
2a 2b 2 a 2 b 6 2 ða bÞ
=ab
=
=
2
2
62
1
— multiplisere
brkuttrykk
Vi multipliserer brkuttrykk med bokstaver p samme mte som
tallbrker ^ teller med teller og nevner med nevner.
a c ac
=
b d bd
— dividere
brkuttrykk
Skal du dividere to brker med hverandre, multipliserer du den frste
brken med den inverse av den andre brken.
a c a d ad
: = =
b d b c bc
102