FAKTA Algebra Algebra er bokstavregning. Det er et verkty som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles som tall. Variabel En variabel er en bokstav som symboliserer et vilkrlig tall. a og b er eksempler p variabler. Konstant En konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler p konstanter. — trekke sammen — trekke sammen er forenkle et uttrykk ved sl sammen ledd av samme type. a2 + a + 2a2 = 3a2 + a Fortegn Minustegn foran et bokstavledd betyr at dette leddet skal trekkes fra. Fr vi et negativt fortegn i svaret, betyr det at uttrykket er negativt. I bb = 0 II b 2b = b III 3b 2a 4b = 2a b Pluss- eller minustegnet foran leddet flger alltid leddet. — regne med parenteser Er det plusstegn foran parentesen, kan vi ta bort parentesen og s trekke sammen. For alle tall a, b og c har vi: a + ðb + cÞ = a + b + c a + ðb cÞ = a + b c Dersom det er minustegn foran en parentes, m alle leddene inne i parentesen skifte fortegn nr vi fjerner parentesen. For alle tall a, b og c har vi: a ðb + cÞ = a b c a ðb cÞ = a b + c 98 EMNE 5 – ALGEBRA 2 — multiplisere bokstaver FAKTA Nr vi multipliserer bokstaver eller bokstaver og tall, dropper vi som regel multiplikasjonstegnet mellom bokstavene og mellom bokstavene og tallene.Vi multipliserer tallene og setter bokstavene i alfabetisk rekkeflge. 5 a b = 5ab Bokstaver i en potens Potenser kan ha bokstaver som grunntall. Potensen a3 leser vi ’’a i tredje’’. Det betyr at a skal multipliseres med seg selv 3 ganger. a3 = a a a Dersom grunntallet er et produkt av et tall og e¤n eller £ere bokstaver, m vi sette parentes rundt hele grunntallet for markere at det er hele grunntallet som skal opphyes i eksponenten. ð3aÞ3 = 3a 3a 3a = 27a3 — multiplisere potenser Skal du multiplisere potenser med likt grunntall, beholder du grunntallet og adderer eksponentene. a2 a3 = a2 + 3 = a5 Skal du multiplisere faktorer som bestr av tall og potenser med ulikt grunntall, multipliserer du frst tallene, og s adderer du eksponentene til de potensene som har samme grunntall. Produktet ordner du slik at tallene kommer frst, og deretter kommer bokstavene i alfabetisk rekkeflge. 6a3 2b 2a4 b2 = 6 2 2 a3 a4 b b2 = 6 2 2 a3 +4 b1+ 2 = 24a7 b3 99 EMNE 5 – ALGEBRA 2 — dividere potenser FAKTA Skal du dividere potenser med samme grunntall, beholder du grunntallet og subtraherer eksponentene. x5 : x3 = x53 = x2 Skal du dividere uttrykk med bde tall og potenser, dividerer du frst tallene og s subtraherer du eksponentene i de potensene som har samme grunntall. 15x3 y : 3x2 = 5x32 y = 5xy — addere og subtrahere potenser Det er bare ledd av samme type som kan adderes og subtraheres. Ledd av samme type kan for eksempel vre potenser med like grunntall og eksponenter. x3 + x2 + 2x3 2x2 = 3x3 x2 — multiplisere en faktor med en parentes Nr vi skal multiplisere et tall eller en bokstav med en parentes, multipliserer vi tallet eller bokstaven med hvert ledd i parentesen. I II III IV — multiplisere to parenteser aðb + cÞ = a ðb + cÞ = a b + a c = ab + ac ða + bÞ c = a c + b c = ac + bc aðb + cÞ = ða b + a cÞ = ab ac aðb cÞ = ða b a cÞ = ab + ac Nr vi skal multiplisere to parenteser, lser vi opp den frste parentesen, og s multipliserer vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. ða + bÞðc + dÞ = a ðc + dÞ + b ðc + dÞ = a c + a d + b c + b d = a c + ad + b c + b d Frste kvadratsetning 100 ða + bÞ2 = a2 + 2ab + b2 EMNE 5 – ALGEBRA 2 FAKTA Andre kvadratsetning ða bÞ2 = a2 2ab + b2 Konjugatsetningen ða + bÞða bÞ = a2 b2 Verdien av et uttrykk Ved sette inn tallverdier for bokstavene i et algebraisk uttrykk, kan vi regne ut en verdi for uttrykket. Dersom a = 2 og b = 3, kan vi regne ut a + b. a+b=2+3=5 Brk med bokstaver En brk kan ha bokstaver bde i teller og nevner.Vi kan ogs ha brkuttrykk med £ere ledd i teller og nevner. x Bokstav i teller 2 3 Bokstav i nevner y 2x 1 Flere ledd i teller 3 Fellesnevner Skal vi addere og subtrahere brker med bokstaver, m brkene ha samme nevner. Skal vi utvide et brkuttrykk for f felles nevner, multipliserer vi teller og nevner med den samme faktoren. — subtrahere brkuttrykk Skal vi subtrahere brker med £ere ledd i telleren, m leddene i brkuttrykket etter minustegnet skifte fortegn. 2a + 2b a + b 2a + 2b a b a + b = = c c c c — faktorisere — faktorisere et uttrykk er skrive et uttrykk som et produkt av to eller £ere faktorer, alts skrive det som et multiplikasjonsstykke. Faktorisering er helt ndvendig for kunne behandle og forenkle uttrykk. Produkt a2 b = = faktor a faktor a faktor b 101 EMNE 5 – ALGEBRA 2 — forkorte et brkuttrykk FAKTA — forkorte et brkuttrykk betyr dividere teller og nevner med samme tall eller bokstav. For kunne forkorte et brkuttrykk med £ere ledd, m vi faktorisere det frst. 1 a2 b 6 a a b = = ab a 6a 1 1 2a 2b 2 a 2 b 6 2 ða bÞ =ab = = 2 2 62 1 — multiplisere brkuttrykk Vi multipliserer brkuttrykk med bokstaver p samme mte som tallbrker ^ teller med teller og nevner med nevner. a c ac = b d bd — dividere brkuttrykk Skal du dividere to brker med hverandre, multipliserer du den frste brken med den inverse av den andre brken. a c a d ad : = = b d b c bc 102