1. No category

Tema – Linjär optimering
Du behöver för detta tema ha goda färdigheter om
• Linjära ekvationer från modul Algebra (sid.37),
• Linjära ekvationssystem från modul Analytisk geometri (sid.13)
Modell ▪ Linjära olikheter med två variabler
Använd programmet Analytisk geometri - Linjär olikhet med två
variabler för att undersöka en olikhet med två variabler. Kombinera de
olika rutorna till vänster med dem till höger för att förstå den
geometriska tolkningen.
(Ovanför, Heldragen)
(Nedanför, Heldragen)
(Ovanför, Streckad)
(Nedanför, Streckad)
Området nedanför den räta linjen, inklusive
den räta linjen
Området ovanför den räta linjen, inklusive
den räta linjen
Området nedanför den räta linjen, exklusive
den räta linjen
Området ovanför den räta linjen, exklusive
den räta linjen
G1
a)
b)
G2
Åskådliggör i olika koordinatsystem det område som svarar mot
olikheterna.
x ≥ -2
c)
x–7>0
d)
y<3
y–6≤0
Vilka områden i figuren nedan satisfieras av följande tre
ekvationssystem:
 y  1,3 x  3,5
a) 
 y x 1
G3
 y  1,3 x  3,5
b) 
 y x 1
 y  1,3 x  3,5
c) 
 y x 1
Vilka områden i figuren nedan satisfieras av följande tre
ekvationssystem:
 y  4 x  3
a) 
 y  x  1
 y  4 x  3
b) 
 y  x  1
 y  4 x  3
c) 
 y  x  1
G4
Åskådliggör i koordinatsystem de områden som svarar mot
följande system av olikheter
 y  4 x
a) 
 y  1
G5
 x  3
b) 
 y  x  1
 y  x  3
c) 
 y  x  2
Åskådliggör i koordinatsystem lösningen till följande system av
 2  2 x
 y 
3


x 16
olikheter  y 
6

 x 8


V6 Koordinatsystemet här
bredvid visar de tre linjerna:
y = 2x + 20
y = -2x + 10
y = -10
Vilket system av olikheter
svarar mot det vita området
V7
Det vita området i figuren har
sina hörn i punkterna (2, 6), (6,
-2) och (-10, -18). Vilket
system av olikheter svarar mot
det vita området?
Modell ▪ Största och minsta värde i ett område
Exempel Bestäm det minsta värde
som funktionen m = -x + 2y antar
i det område som definieras av de
fyra olikheterna
 x  2 y  4

 x  4 y  6

 x  0

 y  0
Lösning Vi ritar det område som begränsas av de fyra olkheterna samt
beräknar den inneslutna polygonens hörn.
Vi konstaterar (beviset finns på nästa sida) att målfunktionens minsta
(eller största) värde får man i polygonens hörn. Vi beräknar dessa värden:
m(0, 0)= 0; m(0, 1,5)= 0 + 2∙1,5 = 3; m(2, 1)= -2 + 2∙1 = 0 och
m(4, 0)= -4 + 2∙0 = -4.
Alltså är målfunktionens största värde 3 och dess minsta värde -4.
Vår målfunktion är som bekant
m = -x + 2y.
Låt oss nu välja olika värden på m för att
därigenom få olika linjer t ex de värden
som ges av tabellen här bredvid.
m
linje
-4
-2
0
2
3
-x + 2y = -4
-x + 2y = -2
-x + 2y = 0
-x + 2y = 2
-x + 2y = 3
Vi kan se att då m växer parallellförskjuts linjen uppåt och tvärtom.
Vi kan av detta dra slutsatsen att vår målfunktion m = -x + 2y får sitt
största och minsta värde när linjen m = -x + 2y lämnar polygonområdet.
Att bestämma största och minsta värde av ett linjärt uttryck (en
målfunktion) m = ax + by +c där punkterna (x, y) tillhör ett
polygonområde kan utföras på följande sätt:
a) Åskådliggör området i ett koordinatsystem.
b) Bestäm koordinaterna för områdets hörn.
c) Beräkna målfunktions värde för hörnens koordinater.
d) Det största eller minsta värdet av dessa värden är målfunktionens
största respektive minsta värde i polygonområdet.
G8 Bestäm det största värde som funktionen m = 2x + 3y antar i det
område som definieras av systemet
2 x  4 y  16

3 x  2 y  12

 x  0

 y  0
G9 I de två gruvorna K och L bryts x resp y ton malm per dygn.
Gruvornas läge och olika brytningsteknik ger följande olikheter
2 x  3 y  10500

 x  2 y  6000

Ange målfunktionen om a) malmen från K är
 x  0

 y  0
fyra gånger så lönsam som L, b) malmen från L är två gånger så
lönsam som den i K samt hur mycket skall brytas från vardera
gruvan om lönsamheten skall bli så stor som möjligt.
G10 Emil och Emilia har öppnat en affär som säljer barnvagnar. De har
ett startkapital på 416 000 kr som kan användas för köp av två
sorters barnvagnar av extra hög kvalitet dvs med höj och sänkbart
styre, regnskydd, fempunktsele, stora lufthjul, reflexer,
stötdämpare, lätt och smidig att packa in i bilen. Modellen
Kombi-2011 har en inköpskostnad på 2400 och en vinst vid
försäljning på 1000 kr. Den andra modellen Kombi-2012 har en
inköpskostnad på 4000 kr med vinsten 1200 kr. Utrymmet i
affären tillåter högst att man köper in 150 barnvagnar. Vilken är
den största vinst man göra med det disponibla inköpsbeloppet?
G11 En lantbrukare har 20 ha (hektar) mark som han tänker odla
jordgubbar och tomater på. Han kan avsätta 300 timmar för att
plocka skörden. Det tar 16 timmar att plocka 1 ha jordgubbar och
12 timmar att plocka 1 ha tomater. Vinsten per hektar är 8400 kr
för jordgubbarna och 7200 kr för tomaterna. Hur många hektar
av vardera bör han odla för att maximera vinsten.
G12 En tillverkare av bilar gör två modeller A och B i två fabriker, en
motorfabrik E och en chassifabrik F. Vinsten på en bil av typ A är
1100 euro, på typ B är 1200 euro. Det finns 10100 arbetsenheter i
E och 11000 arbetsenheter i fabriken F varje månad och antalet
arbetsenheter, som behövs för att bygga de olika produkterna finns
i tabellen nedan. Hur får tillverkaren maximal vinst?
Biltyp
A
B
Motor
7
7
Chassi
8
11
G13 I ett lantbruk vill man hålla kor och får. Det finns plats för
maximalt 50 kor och för maximalt 200 får. Vidare finns 360 ha
betesmark. En ko behöver 5 ha och ett får 1 ha.
Man kan avvara 2 000 arbetstimmar per år till djurens skötsel. En
ko fordrar 30 timmar och ett får 5 timmar. Nettovinsten 250 kr
per ko och 45 kr per får. Hur många kor och får bör man ha?
(VÄXJÖ UNIVERSITET Matematisk och systemtekniska Institutionen, Anders Tengstrand)
G14 En bärintresserad företagare kan få ett parti hjortron och åkerbär
billigt men högst 300 kg hjortron och 150 kg åkerbär. Hjortron
för 50 kr/kg och åkerbär för 100 kr/kg. Han tänker hälla upp den
rårörda sylten på burkar som rymmer 500 g för hjortronen och
250 g för åkerbären. Han disponerar över 24 000 kr för inköp av
bär och burkar. Oberoende av storlek kostar burkarna 5 kr/st. Vår
bärintresserade person räknar med att kunna ta 100 kr/burk för
hjortronsylten och 200 kr/burk för åkerbären. (Vi har inte glömt
att ta med sockret som ingrediens. Men vår idoge företagare använder
mycket lite socker och gör dessutom ingen vinst på sockret.)
Facit
G1a
G1b
G1c
G1d
G2a) rött
G4a
b) blått
c) lila
G3a) rött
b) blått
G4b
c) vitt
G4c
G5
V6 y ≤ 2x + 20 och y ≤ -2x + 10 och y ≥ -10
V7 Ekvationerna för de tre linjerna blir enligt t ex enpunktsformeln:
y – 6 = -2(x – 2) Û y = -2x + 10
y + 2 = 1(x – 6) Û y = x – 8
y – 6 = 2(x – 2) Û y = 2x + 2
Alltså blir det vita området: y ≤ -2x + 10 och y ≤ x – 8 och y ≥ 2x + 2
G8
m = 2x + 3y vilket ger
m(0, 4)= 12,
m(2, 3)= 13,
m(4, 0)= 8
och
m(0, 0)= 0
Alltså blir det största
värdet = 13
G9a) målfunktionen är m = 4x + y. m(0, 3000) = 0 + 3000 = 3000;
m(3000, 1500) = 12000 + 1500 = 13500;
m(5250, 0) = 21000 + 0 = 21000
b)
målfunktionen är m = x + 2y. m(0, 3000) = 0 + 6000 = 6000;
m(3000, 1500) = 6000 + 3000 = 9000;
m(5250, 0) = 5250 + 0 = 5250
G10 Antag att de köper x Kombi-2011 och y Kombi-2012.
Målfunktionen är m = 1300x + 1000y
2400 x  4000 y  416000

 x  y  150
Polygonområdet är 
 x  0
 y  0

m (0, 104) = 104000
m(115, 35) = 1000∙115 + 1200∙35 = 157000 (= den största vinsten)
m(150, 0) = 1000∙150 =150 000
G11 Antag att han odlar x ha med jordgubbar och y ha med tomater.
 x  y  20

16 x  12 y  300

 x  0

 y  0
m = 8400x + 7200y
m(0, 20) = 7200∙20 =144000
m(15, 5) = 8400∙15+ 7200∙5 = 162000 (=den maximala vinsten)
m(18,75; 0) = 8400∙18,75 =157500
G12 m = 1100x + 1200y
m(0, 1000)=1200∙1000= 1 200 000
m(1100, 300) = 1000∙1100 + 1200∙300 = 1 460 000 (= maximal vinst)
m (1443, 0)= 1000∙1443 = 1 443 000
G13
5x  y  360

30 x  5 y  2000

0  x  50

0  y  200
m = 250x + 45y
m(32, 200)= 17000
m(40, 160)= 17200
m(50, 100)= 17000
m(50, 0)= 12500
m(0, 200)= 9000
45 kor och 160 får ger den
maximala vinsten 17200 kr
G14 Målfunktionen, m = 200x + 800y – 24000
m(0, 150) = 96000
m(100, 150) = 116000
m(300, 50) = 76000
m(300, 0) = 36000
Den maximal vinsten 116000 kr fås vid köp av 100 kg hjortron och 150 kg
åkerbär.