1. No category

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter I
Inneh˚
all
Skal¨
arprodukt och ON-baser - en repetition
Arean av en parallellogram
Orientering av vektorer
Vektorprodukt
 november 
2(24)
Skal¨arprodukt och ON-baser - en repetition
Skal¨
arprodukt. Om u och v ¨
ar tv˚
a vektorer, b˚
ada skilda
fr˚
an nollvektorn, s˚
a definieras skal¨
arprodukten av u
och v som det reella talet
u · v = |u | |v | cos α,
d¨ar α ¨ar vinkeln mellan u och v . Om n˚
agon av u
eller v ¨ar nollvektorn, s˚
a s¨
atter vi u · v = 0.
Ortogonala vektorer. Tv˚
a vektorer kallas ortogonala, om
deras skal¨
arprodukt ¨
ar noll.
ON-bas. En ortonormerad bas (ON-bas) e 1 , e 2 , e 3 f¨or
rummets vektorer ¨
ar en bas s˚
adan att e i · e j = 0 om
i 6= j , samt |e i | = 1 f¨
or alla i. (Basvektorerna ¨ar parvis
ortogonala och har alla l¨
angden 1.) Om u = (x1 , x2 , x3 )
och v = (y1 , y2 , y3 ) ¨
ar tv˚
a vektorer, med koordinaterna
givna i en ON-bas, s˚
a¨
ar
q
u · v = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 och |u| = x12 + x22 + x32 .
 november 
3(24)
Exempel
L˚
at u 6= 0 vara en vektor i planet. Antag att w
ar en vektor som ¨ar
¨
• ortogonal mot u (d.v.s. u · w = 0)
• lika l˚
ang som u (d.v.s. |u| = |w |).
w1
u
Det kan bara finnas tv˚
a alternativ p˚
a hur w
kan se ut; antingen ¨ar w = w 1 eller w = w 2 i
figuren till h¨oger. Av figuren ser vi dessutom
att w 1 = −w 2 .
w2
Antag nu att u = (x1 , x2 ) i en given ON-bas. D˚
aa
¨r w 1 = (x2 , −x1 ) en
vektor som
• ¨
ar ortogonal mot u , ty
u · w 1 = (x1 , x2 ) · (x2 , −x1 ) = x1 x2 + x2 (−x1 ) = x1 x2 − x1 x2 = 0
• har samma l¨
angd som u , ty
|w 1 | =
 november 
q
q
x22 + (−x1 )2 = x12 + x22 = |u|.
4(24)
w 1 = (−1, 2)
u = (2, 1)
w 2 = (1, −2)
Allts˚
aa
a vektorer som a¨r ortogonal mot
¨r w 1 = (x2 , −x1 ) en av de tv˚
u = (x1 , x2 ). Den andra vektorn a
r
d¨
¨ armed
w 2 = −w 1 = −(x2 , −x1 ) = (−x2 , x1 ).
S˚
a om t.ex. u = (2, 1), s˚
a¨
ar w 1 = (−1, 2) och w 2 = (1, −2) de tv˚
a
vektorer som b˚
ade ¨ar ortogonala mot u och har samma l¨angd som u.
 november 
5(24)
Arean av en parallellogram
Antag att u = (x1 , x2 ) och v = (y1 , y2 ) i en ON-bas f¨or planet. Om u
och v inte ¨ar parallella, s˚
a sp¨
anner de upp en parallellogram (”sned
rektangel”). Vi ska ber¨akna arean av denna parallellogram.
Fr˚
an geometrin vet vi att arean av en
parallellogram ¨
ar lika med basen g˚
anger h¨
ojden. I v˚
ar parallellogram kan vi
se det som om basen ges av |u|, men
w
v
hur uttrycker vi h¨
ojden med hj¨alp av
vektorer? L˚
at w vara en vektor som ¨ar
vw
ortogonal mot u, och som har samma
u
l¨
angd som u. Som vi s˚
ag i f¨oreg˚
aende
exempel finns det tv˚
a alternativ f¨or w .
w
 november 
L˚
at v w vara den ortogonala projektionen av v p˚
a w . D˚
a ges parallellogrammens h¨
ojd av |v w |. I figuren ¨ar w vald
s˚
a att och v w och w ¨
ar lika riktade; vi
m˚
aste dock inte v¨
alja w p˚
a detta vis.
6(24)
Arean av en parallellogram
w
v
vw
u
α
Vi har allts˚
a att parallellogrammens area A ges av
A = |u | |v w | = |w | |v w |,
d¨
ar vi i sista likheten har utnyttjat att u och w har samma l¨angd.
a¨
ar |v w | = |v | cos α, d¨ar α ¨ar vinkeln
Om w och v w ¨ar lika riktade, s˚
mellan v och w . D¨armed blir
A = |w | |v w | = |w | |v | cos α,
vilket vi k¨anner igen som skal¨
arprodukten av w och v .
 november 
7(24)
I det fall d˚
a w och v w ist¨allet ¨ar motsatt
riktade, s˚
a blir
A = |u| |v w | = |w | |v | cos β,
v
vw
u
β
α
d¨
ar β ¨
ar vinkeln mellan v och v w .
Om α som tidigare betecknar vinkeln
mellan v och w , s˚
a ¨
ar β = π − α och
d¨
armed cos β = cos(π − α) = − cos α.
Vi f˚
ar
A = −|w | |v | cos α,
vilket ¨
ar skal¨
arprodukten av v och w ,
fast med omv¨
ant tecken.
I informella ordalag f˚
ar vi allts˚
a arean av parallellogrammen genom
att ber¨
akna en viss skal¨
arprodukt, och justera tecknet s˚
a att
resultatet blir ett positivt tal (eftersom det ju a
r
en
area
vi ber¨aknar).
¨
w
Hur kommer d˚
a formeln f¨
or arean av den parallellogram se ut i termer
av koordinaterna f¨or de vektorer u = (x1 , x2 ) och v = (y1 , y2 ) som
sp¨
anner upp den?
 november 
8(24)
Fr˚
an det tidigare exemplet fann vi att om u = (x1 , x2 ) s˚
a har en
vektor w , som ¨ar ortogonal mot och av samma l¨
angd som u, antingen
koordinaterna (−x2 , x1 ) eller (x2 , −x1 ). Med hj¨
alp av formeln f¨or
skal¨
arprodukt f˚
ar vi d¨armed att vi antingen har
v · w = (y1 , y2 ) · (−x2 , x1 ) = y1 (−x2 ) + y2 x1 = x1 y2 − x2 y1
eller
v · w = (y1 , y2 ) · (x2 , −x1 ) = y1 x2 + y2 (−x1 ) = −(x1 y2 − x2 y1 )
Vi f˚
ar f¨oljande resultat:
Sats
Om u = (x1 , x2 ) och v = (y1 , y2 ) i en ON-bas f¨
or planet, s˚
a ges arean
av den parallellogram som sp¨
anns upp av u och v av
|x1 y2 − x2 y1 |.
Vi ber¨
aknar allts˚
a x1 y2 − x2 y1 och tar absolutbeloppet av detta tal,
d.v.s. byter tecken p˚
a det, om det skulle r˚
aka vara negativt.
 november 
9(24)
Exempel
Ber¨
akna arean av den parallellogram i planet som sp¨anns upp av
vektorerna u = (2, 1) och v = (7, 3). Koordinaterna ¨ar givna i en
ON-bas.
L¨osning.
Med beteckningarna u = (x1 , x2 ) och v = (y1 , y2 ) s˚
a blir
x1 y2 − x2 y1 = 2 · 3 − 1 · 7 = −1.
Allts˚
a ges den s¨okta arean av |−1| = 1.
 november 
10(24)
Exempel
En triangel i planet har sina h¨
orn i punkterna A = (−1, 1), B = (2, 0)
och C = (1, 2). Vi ska best¨
amma arean av denna triangel.
(Koordinatsystemet ¨ar ortonormerat.)
C
Triangelns area ges av halva arean av den parallellogram som
−→
sp¨
anns upp av vektorerna AB
−−→
och AC . Vi har
A
B
−→
AB = (2, 0) − (−1, 1) = (3, −1) och
−−→
AC = (1, 2) − (−1, 1) = (2, 1).
D¨
armed ges triangelns area av
|3 · 1 − (−1) · 2|
5
= .
2
2
 november 
11(24)
Talet x1 y2 − x2 y1 , som f¨
orekommer i formeln f¨
or hur man ber¨aknar
arean av den parallellogram som sp¨
anns upp av vektorerna
u = (x1 , x2 ) och v = (y1 , y2 ), dyker upp i m˚
anga andra sammanhang
an i det geometriska problem vi har studerat ovan.
¨
Eftersom detta tal d¨armed ¨
ar s˚
a pass viktigt, har man tilldelat det ett
speciellt namn:
Definition (Determinant av 2 × 2-matris)
Givet en 2 × 2-matris
x
A= 1
x2
y1
y2
s˚
a kallas talet x1 y2 − y1 x2 f¨
or determinanten av matrisen A och
betecknas det A. En alternativ beteckning f¨
or determinanten a¨r
x y1 .
det A = 1
x2 y2 Anm¨arkning
Notera att matrisen A ovan har koordinaterna f¨
or u = (x1 , x2 ) och
v = (y1 , y2 ) som sina kolonner.
 november 
12(24)
Exempel
L˚
at
A=
4
5
2
,
1
B=
−1 0
10 3
och C =
−2
1
.
4 −2
D˚
a¨
ar
4 2
= 4 · 1 − 2 · 5 = −6,
det A = 5 1
−1 0
= (−1) · 3 − 0 · 10 = −3 och
det B = 10 3
−2
1
det C = = (−2) · (−2) − 1 · 4 = 0.
4 −2
Det g˚
ar att generalisera begreppet determinant till att inte enbart
omfatta 2 × 2-matriser. Senare i kursen ska vi se att v¨ardet av en
determinant f¨or en kvadratisk matris avsl¨
ojar ifall matrisen ¨ar
inverterbar eller inte.
 november 
13(24)
Orientering av vektorer
Vi ska inom kort inf¨ora ¨
annu ett s¨
att att multiplicera vektorer med
varandra, vid sidan av skal¨
arprodukt. Denna nya typ av produkt, s.k.
vektorprodukt, kan dock endast definieras f¨
or vektorer i rummet.
Innan vi definierar vad som menas med vektorprodukt, beh¨over vi
inf¨
ora ett s¨att att kunna skilja p˚
a h¨
oger och v¨
anster (s˚
a att s¨aga).
Definition (Orientering av vektorer)
L˚
at u , v och w vara tre vektorer i rummet, som inte alla ligger i ett
och samma plan (d.v.s. u, v , w ¨
ar linj¨
art oberoende). Vi s¨ager att
(u , v , w ) utg¨or ett positivt orienterat system, om den minsta vridning
av u, som g¨or att denna vektor kommer att peka i samma riktning
som v , sker moturs om man betraktar u och v fr˚
an spetsen av w .
Om vridningen av u ist¨
allet sker medurs, s¨
ager man att systemet
(u , v , w ) ¨ar negativt orienterat.
 november 
14(24)
Exempel
w
v
u
I figuren ovan ¨ar systemet (u , v , w ) positivt orienterat. Systemet
(v , u, w ) ¨ar dock negativt orienterat (sett fr˚
an spetsen w s˚
a kommer
den minsta vridning av v , som g¨
or att den pekar i samma riktning
som u , att ske medurs). Systemet (w , v , u) a
a negativt
¨r ocks˚
orienterat, ty sett fr˚
an spetsen av u, m˚
aste w vridas medurs f¨or att
peka i samma riktning som v .
¨ systemen (w , u, v ), (v , u, w ) respektive (v , w , u ) positivt eller
Ar
negativt orienterade?
 november 
15(24)
Ist¨
allet f¨or att ett system (u, v , w ) ¨
ar positivt orienterat s¨ager man
ogerorienterat. Detta f¨
orklaras av att man kan
ibland att det ¨ar h¨
beskriva ett h¨ogerorienterat system med hj¨
alp av tummen, pekfingret
och l˚
angfingret p˚
a h¨
oger hand, se nedanst˚
aende bild.
Om tummen st˚
ar f¨or vektorn u , pekfingret f¨
or v och l˚
angfingret
f¨
or w , s˚
a m˚
aste u (tummen) vridas moturs f¨
or att peka i samma
riktning som v (pekfingret), om man betraktar det hela fr˚
an spetsen
av w (l˚
angfingret). P˚
a samma vis ¨
ar ett v¨
ansterorienterat system en
synonym till ett negativt orienterat system; man anv¨ander sig d˚
a
ist¨
allet av fingrarna p˚
a v¨
anster hand.
 november 
16(24)
Vektorprodukt
Definition (Vektorprodukt)
L˚
at u och v vara tv˚
a icke-parallella vektorer i rummet. Med
vektorprodukten av u och v menar vi den entydigt best¨amda vektor w
som ¨
ar s˚
adan att
• w ¨
ar ortogonal mot s˚
av¨
al u som v
• |w | ¨
ar lika med arean av den parallellogram som sp¨anns upp av u
och v
• systemet (u , v , w ) a
¨r positivt orienterat.
Om u och v ¨ar parallella, s˚
a definieras vektorprodukten av u och v
som nollvektorn 0. Vektorprodukten av vektorerna u och v
betecknas u × v .
 november 
17(24)
u ×v
Arean av parallellogrammen
= l¨
angden av u × v
v
u
Figuren ovan illustrerar vektorprodukten. Vi har allts˚
a att
• u × v ortogonal mot s˚
av¨
al u som v
• |u × v | ¨
ar lika med arean av den parallellogram som sp¨anns upp
av u och v
• systemet (u , v , u × v ) ¨
ar positivt orienterat.
 november 
18(24)
I f¨
oljande sats presenteras n˚
agra r¨
aknelagar f¨
or vektorprodukten.
Sats
L˚
at u, v och w vara vektorer i rummet, samt λ ett reellt tal. D˚
a¨
ar
(i) u × v = −v × u
(ii) u × (v + w ) = u × v + u × w
(iii) (λu ) × v = u × (λv ) = λ(u × v ).
Exempel
L˚
at (e 1 , e 2 , e 3 ) vara en ON-bas f¨
or rummets vektorer (d.v.s. |e 1 | = |e 2 | = |e 3 | = 1
och e 1 · e 2 = e 1 · e 3 = e 2 · e 3 = 0). Antag
att (e 1 , e 2 , e 3 ) dessutom ¨
ar positivt orienterad. D˚
a har vi situationen i vidst˚
aende
figur. Vi ska ber¨akna e 1 × e 2 .
e3
e2
e1
ar en kvadrat med
Den parallellogram som sp¨
anns upp av e 1 och e 2 ¨
arean 1. Allts˚
a ska |e 1 × e 2 | = 1. Dessutom ska e 1 × e 2 vara
ortogonal mot b˚
ade e 1 och e 2 , s˚
a denna vektorprodukt a¨r antingen
lika med e 3 eller −e 3 . I och med att (e 1 , e 2 , e 1 × e 2 ) ska vara
positivt orienterat, m˚
aste e 1 × e 2 = e 3 .
 november 
19(24)
Med ett liknande resonemang f¨
oljer att
e2 × e3 = e1
e 3 × e 1 = e 2.
Anv¨
ander vi r¨aknelagen u × v = −v × u ,
f˚
ar vi dessutom
e3
e 2 × e 1 = −e 3
e 3 × e 2 = −e 1
e 1 × e 3 = −e 2 .
e2
e1
Fr˚
an definitionen av vektorprodukt f˚
as till sist att
e 1 × e 1 = e 2 × e 2 = e 3 × e 3 = 0.
 november 
20(24)
Antag att u = (x1 , x2 , x3 ) och v = (y1 , y2 , y3 ) har sina koordinater
givna i en positivt orienterad ON-bas. D˚
a blir, till att b¨orja med,
u × v = (x1 e 1 + x2 e 2 + x3 e 3 ) × (y1 e 1 + y2 e 2 + y3 e 3 ).
(1)
Med hj¨alp av r¨aknelagarna f¨
or vektorprodukt och sambanden
e1 × e2 = e3
e 2 × e 1 = −e 3
e1 × e1 = 0
e2 × e3 = e1
e 3 × e 2 = −e 1
e2 × e2 = 0
e3 × e1 = e2
e 1 × e 3 = −e 2
e3 × e3 = 0
kan vi r¨akna vidare p˚
a (1), i avsikten att h¨
arleda en formel f¨or hur
koordinaterna till u × v ser ut i samma bas. Vi f˚
ar
u × v = x1 y1 (e 1 × e 1 ) + x1 y2 (e 1 × e 2 ) + x1 y3 (e 1 × e 3 )
+ x2 y1 (e 2 × e 1 ) + x2 y2 (e 2 × e 2 ) + x2 y3 (e 2 × e 3 )
+ x3 y1 (e 3 × e 1 ) + x3 y2 (e 3 × e 2 ) + x3 y3 (e 3 × e 3 )
= x1 y2 e 3 + x1 y3 (−e 2 ) + x2 y1 (−e 3 )
+ x2 y3 e 1 + x3 y1 e 2 + x3 y2 (−e 1 )
= (x2 y3 − x3 y2 )e 1 + (x3 y1 − x1 y3 )e 2 + (x1 y2 − x2 y1 )e 3 .
 november 
21(24)
Vi har d¨armed bevisat f¨
oljande sats:
Sats
Om u = (x1 , x2 , x3 ) och v = (y1 , y2 , y3 ) i en positivt orienterad
ON-bas, s˚
a g¨
aller att
u × v = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
i samma bas.
Anm¨arkning
Man kan ocks˚
a skriva koordinaterna f¨
or u × v med hj¨alp av
determinanter:
x y2 x3 y3 x1 y1 .
,
,
u × v = 2
x3 y3 x1 y1 x2 y2 S˚
avida ingenting annat uttryckligen s¨
ags, kommer vi i forts¨attningen
att utg˚
a ifr˚
an att koordinaterna f¨
or en vektor i rummet alltid ¨
ar givna
i en positivt orienterad ON-bas.
 november 
22(24)
Minnesregel f¨
or ber¨
akning av vektorprodukt
F¨
oljande uppst¨allning kan underl¨
atta ber¨
aknandet av vektorprodukten u × v , d¨ar u = (x1 , x2 , x3 ) och v = (y1 , y2 , y3 ):
x2
x3
x1
x2
y2
y3
y1
y2
Multiplicera korsvis och anv¨
and plustecken f¨
or de diagonaler
som lutar ned˚
at ˚
at h¨oger och minustecken f¨
or de ¨
ovriga.
Exempel
Vi ber¨
aknar u × v om u = (1, −2, 3) och v = (0, 1, 4), med hj¨alp av
ovanst˚
aende minnesregel:
−2
−2
3
1
1
4
0
1
Vi f˚
ar
u × v = ((−2) · 4 − 3 · 1, 3 · 0 − 1 · 4, 1 · 1 − (−2) · 0) = (−11, −4, 1).
 november 
23(24)
Exempel
De tv˚
a vektorerna u = (1, −2, 3) och v = (0, 1, 4) fr˚
an f¨oreg˚
aende
exempel sp¨anner upp en parallellogram i rummet. Ber¨akna arean av
denna parallellogram.
L¨osning.
Enligt definitionen av vektorprodukt sp¨
anner u och v upp en
parallellogram, vars area ¨
ar lika med |u × v |. Eftersom
u × v = (−11, −4, 1), s˚
a ges d¨
armed den s¨
okta arean av
p
√
|u × v | = (−11)2 + (−4)2 + 12 = 138.
 november 
24(24)