Lösningsförslag till prov mot högre betyg Valbar09 – Algebra och ickelinjära modeller.
1.
2.
3.
Vi kallar den ena sidans längd i meter för x, då kommer således den andra sidan att kunna uttryckas som x – 4.
Arean för en rektangel får vi genom att multiplicera de båda sidorna med varandra, detta skall resultera i en area
2
på 131 m . Detta ger oss en ekvation som om vi löser ger oss rektangelns sidlängder, därifrån blir det
enkelt att få ut rektangelns omkrets.
,
Den negativa lösningen blir föga relevant i detta fall.
ger oss att den andra sidans längd blir
m lång.
2
Vi kontrollerar sidornas längd om de ger oss arean 131m .
Sidornas längd ger oss samma area så sidornas längd verkar stämma.
Omkretsen får vi genom att addera två av de olika sidorna med två av de andra sidorna.
Svar: Omkretsen på denna rektangel är 46,5 m.
4.
a)
Då försöket börjar har det inte gått någon tid alls, alltså är t = 0. Vi beräknar
Svar: Från början finns det 3000 stycken bakterier.
b)
Skall bakterieantalet fyrdubblas så skall det alltså vara
bakterier.
Vi kan ställa upp en ekvation då
Vi använder oss av
formeln för att lösa denna ekvation.
och
Svar: Efter ungefär 17 timmar så har bakteriernas antal fyrdubblats.
5.
cm2
Arean av den inre cirkeln är
Vi kan kalla den radien på den streckade cirkelskivan för . Arean för den streckade cirkelskivan skall
vara lika stor som den inre cirkelns area. Vi kan då ställa upp en ekvation utifrån cirkelns area formel.
och
Svaret skall anges med två decimalers noggrannhet.
Svar: Med radien 2,47 så blir den streckade cirkelskivans area lika stor som den inre cirkelns area.
6.
Att ekvationen har en dubbelrot innebär att två av ekvationens lösningar är identiska, i detta fall då det rör sig om
en andragradsekvation så har vi bara två möjliga lösningar. De två lösningarna vi skall få av denna ekvation skall
alltså vara lika. I detta fall skulle det kunna översättas till att vi inte skall lägga till eller dra ifrån något från vår
femma. Alltså att
.
Vi skulle även kunna kvadratkomplettera uttrycket.
Enda gången denna ekvation ger oss en dubbelrot är när
dubbelroten
.
vilket kommer att ge oss
.
En annan metod kan vara att försöka lösa det hela geometriskt genom att skissa upp grafen till
och försöka lista ut vilket värde på som kommer att ge oss en dubbelrot. I de fall
då vi får en dubbelrot så kommer funktionens graf att tangera x axeln. Värdet på kommer endast
att flytta kurvan upp och ner beroende på dess värde.
Här ser vi att funktionens extrempunkt är
den flyttas upp 25 steg, alltså skall
.
Svar: Då
får ekvationen en dubbelrot i
. För att denna graf skall tangera x axeln behöver
.