TENTAMENSSKRIVNING
ENDIMENSIONELL ANALYS
DELKURS B2/A3
2013-01-10 kl. 1419
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.
1. Beräkna följande integraler:
Z
a)
2.
π
0
Z
x sin x dx, (0.3) b)
π
2
0
cos x
dx, (0.3) c)
1 + sin2 x
Z
a) Beräkna med hjälp av Maclaurins formel gränsvärdet
lim
x→0
ln 2
√
ex − 1 dx. (0.4)
0
(0.5)
ex sin x − x(1 + x)
.
x3
b) Formulera analysens huvudsats.
(0.2)
c) Bestäm derivatan av funktionen
(0.3)
Z
f (x) =
2x
√
2
et dt
x
i punkten x = 1.
3. Bestäm den lösning till dierentialekvationen
y 00 + 4y 0 + 3y = (4x − 2)e−3x
som uppfyller begynnelsevillkoren y(0) = 2, y 0 (0) = 0.
4.
a) Beräkna
(0.4)
Ã
√ !20
1+i 3
.
1−i
Svara på rektangulär form.
b) Lös ekvationen
(0.6)
(1 + i)z 2 − 2iz − 9 − 3i = 0.
V.g. vänd!
5.
a) Beräkna volymen av den kropp som uppkommer då ytan
(0.5)
mellan x−axeln och kurvan
y=√
1
, 2≤x≤3
x3 + 4x2 − 5x
roterar runt x−axeln.
b) Ange två olika sätt på vilka integraler kan vara generaliserade.
c) Avgör om den generaliserade integralen
Z
1
√
0
(0.2)
(0.3)
1
dx
x + x3
är konvergent.
6.
a) Lufttrycket y varierar med höjden x över havsytan, så att tryckförändringstakten (med avseende på ändring av höjden) är proportionell mot lufttrycket.
På en viss höjd har man funnit att trycket är 700 hPa. Vilket är då lufttrycket på dubbelt så stor höjd, om man förutsätter att lufttrycket är
1000 hPa vid havsytan?
(0.4)
b) Bestäm alla kontinuerliga lösningar f (x) till integralekvationen
Z
x
3f (x) = 3 +
1
f 3 (t) + t
dt, x ≥ 1.
f 2 (t)
(0.6)
LYCKA TILL!
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
1.
a) π.
b) π/4.
c) 2 − π/2.
2.
a) 1/3.
b) Se boken.
2
√
c) f 0 (x) = 2e(2x) − ex /(2 x),
f 0 (1) = 2e4 − e/2.
3. y(x) = 3e−x − (x2 + 1)e−3x .
√
4.
a) 29 − 29 3ı.
b) 3, −2 + ı.
5.
a) π(14 ln 2 − 6 ln 3 − ln 7)/30.
b) Se boken.
c) Konvergent.
6.
a) 490 hPa.
√
b) f (x) = 3 3ex−1 − x − 1.
Svar
ENDIMENSIONELL ANALYS
DELKURS B2/A3
2013-01-10 kl. 1419