Beräkningsvetenskap I/KF
Sept 2015
Laboration: Integraler
Inledning
Integraler är ofta av karaktären att de överhuvudtaget inte kan lösas analytisk. Det kan bero på
att det är mycket svårt att hitta en sådan lösning, men ibland även därför att det inte finns
någon (känd) analytisk lösning. Det är därför ofta numeriska metoder som används.
Kort introduktion
1. Principen vid numerisk integrering är att intervallet delas in i delintervall och på varje
sådant delintervall approximeras integranden med en enklare funktion. Den enklare
funktionen är sådan att den kan integreras exakt med ett formeluttryck. Integralens värde
approximeras då med summan av delintervallens integraler.
2. Det finns flera olika metoder för integrering. Två enkla metoder heter Trapetsmetoden
respektive Simpsons metod. Vi ska här med två demoprogram titta på hur dessa två
metoder fungerar principiellt.
Att göra sedan du läst introduktionen ovan
1. Demo av Trapetsmetoden och Simpsons metod
Ladda ner Matlab-filerna quaddemo.m från kurshemsidan. Ladda dessutom ner func1.m.
Funktionen quaddemo innehåller ett demoprogram för Trapetsmetoden och Simpsons metod,
och func1 är Matlab-funktioner som definierar integranden f(x) = cos(2x)+sin(x)
a) Lös med quaddemo integralen
2π
∫ cos(2x) + sin(x) dx
−π
Observera att integranden finns definierad i func1 och att denna funktion ska vara
inparameter till quaddemo. Använd inte för många intervall utan testa med t ex 10, 20
och 30 intervall.
För att veta hur quaddemo ska anropas läser du hjälptexten (help quaddemo).
Observera att du inte ska ändra, editera några filer. Du ska enbart använda filerna.
b) Funktionen func1 kan även beräkna f(x) = cos(p1·x)+sin(p2·x) för olika värden på p1
och p2. Testa att beräkna integralen av f(x) med olika värden på p1 och p2. Läs
hjälptexten för hur man gör.
Var uppmärksam på:
>
>
>
>
Hur antalet intervall är kopplat till hur noggrann lösningen verkar bli
Hur man i grafiken kan se diskretiseringsfelet
Hur val av metod (Trapets eller Simpson) verkar påverka noggrannheten
Hur de båda metoderna verkar fungera principiellt. Försök ”härleda”
metoderna utgående från grafiken (åtminstone för Trapetsmetoden är det
möjligt).
Beräkningsvetenskap I/KF
Sept 2015
2. Demo av Simpsons metod med adaptivitet
I quaddemo ovan var du tvungen att ange hur många intervall området skulle delas in i, dvs
vilken diskretisering som skulle användas. I MATLABs inbyggda funktioner för integrering
behöver man inte ange antalet intervall. Istället hittar funktionerna själva intervall som gör att
lösningens noggrannhet uppfyller en viss tolerans. Sådana metoder kallas adaptiva och du ska
nu titta på hur Simpsons metod fungerar när man lagt till sådan adaptivitet.
Ladda ner MATLAB-funktionen adaptsimp.m från kurshemsidan. Denna innehåller en
demoversion av adaptiv Simpsons metod.
c) Lös samma integraler som i deluppgift 1 ovan (använd func1). Observera att man här
inte kan variera antal intervall utan man varierar noggrannheten. Testa med lite olika val
av noggrannhet och se vad som händer. Testa även olika värden på p1 och p2 på samma
sätt som i uppgift b).
Var uppmärksam på:
Ø Hur steglängden ”ser ut” här i jämförelse med metoderna utan adaptivitet
(principiell skillnad)
Ø Hur integrandens ”utseende” påverkar steglängden