4.2 Summor
Aritmetisk summa
Aritmetisk summa
Vi har en talföljd
A: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
Denna aritmetiska talföljd kan beskrivas med den slutna formeln
𝑎𝑛 = 5𝑛 för 𝑛 = 1,2, … , 10.
Vill vi summera de 10 elementen i denna talföljd kan vi göra på följande vis.
𝑠10 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50
𝑠10 = 50 + 45 + 40 + 35 + 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5
Adderar vi dessa två serier får vi följande
2𝑠10 = 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55 + 55
2𝑠10 = 10 × 55
↔ 2𝑠10 = 550 ↔ 𝑠10 =275
Aritmetisk summa
A: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
Vi kan även säga att vi tar medelvärdet av den första och sista
termen i talföljden och multiplicerar med antalet element som
ingår i talföljden. Notera att detta gäller för aritmetiska summor
där talföljdens differens är samma hela tiden.
𝑠10 =
Generellt får vi
10 5 + 50
2
𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑠𝑛 =
2
10
5𝑛
1
Summatecknet är ett annat sätt att
skriva summeringar, användandet av
detta tecken blir vanligare framöver.
Exempel
𝑎) Beräkna 𝑠25 då 𝑎𝑛 = 7 + 3𝑛
𝑏) vilket element har värdet 196
Exempel
Är talföljden aritmetisk
𝑎) 17, 13, 9, 5, 1, ...
𝑏) 5, 10, 20, 40, ...
𝑐) 0, 3, 6, 9, 12, ...
Exempel
Vilket ordningsnummer har talet 256 i den aritmetiska talföljden
4, 8, 12, 16, ...
Dagens uppgifter
1. Beräkna följande summor
𝑎) 𝑠15 då 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2
𝑏) 𝑠27 då 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1
2. Beräkna summan av de 1000 första heltalen.
3. Beräkna summan av de 200 första udda heltalen.
4. Beräkna summan av alla tvåsiffriga tal.
5. Bestäm 𝑛 så att 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 = 561
6. I en aritmetisk talföljd är 𝑎10 = 20 och 𝑎20 = 10, beräkna 𝑎30 .
Du hittar mer uppgifter på s.131