Lektion 4 Induktionsbevis (pdf)

Matematik 5
Induktionsbevis
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Induktionsbevis med konkreta exempel
från till exempel talteoriområdet.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Gauss och den aritmetisksumma
Enlig sägen ber Gauss lärare den unge eleven att
summera de första 100 talen.
1+2+3+4+5+…+98+99+100
1 n
n
Hur skriver vi det generellt? S n 
2
Hur vet vi att det gäller generellt?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Induktions bevis
Ett induktionsbevis görs i två steg:
1. Visa att formeln gäller för det enklaste fallet
då n=1.
2. Visa att det gäller för ett visst värde på n.
så gäller den också för nästa värde på n.
Vi säger formeln gäller för n=k så måste
den också gälla för n=k+1.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Induktions bevis
Vi tittar igen på den aritmetiska tal följden och
summan av den.
Sn= 1+2+3+…+(n-1)+n
1 n
n  n2
Sn 
n 
2
2
Visa att denna formel är generell för alla
tänkbara antal av n.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Induktions bevis (basfallet)
1. Visa att formeln gäller för det enklaste fallet
då n=1.
Det enklaste fallet är n=1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
1  12
S1 
1
2
Induktions bevis (induktionsantagande)
2. Visa att det gäller för ett visst värde på n.
så gäller den också för nästa värde på n.
Vi säger formeln gäller för n=k så måste
den också gälla för n=k+1.
Antagande
Vi antar att formeln gäller för n=k och får då
Sk= 1+2+3+…+(k-1)+k=
𝑘+𝑘 2
2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
(Induktionsantagandet)
Induktions bevis (Induktinssteget)
Vi ska nu visa att vårt antagande gäller för
n=k+1. Sk+1=
(𝑘+1)+(𝑘+1)2
2
Sk+1= 1+2+3+…+k+(k+1)=Sk+(k+1)
Sk
Vi vet enligt antagandet att Sk=
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
𝑘+𝑘 2
2
Induktions bevis
Sk+1=
𝐤+𝐤 𝟐
𝟐
k+k2
2
+(k+1)=
=
𝐤+𝐤 𝟐 +𝟐𝐤+𝟐
=
𝟐
=
𝐤+𝟏 +(𝐤+𝟏)𝟐
𝟐
+
𝟐(𝐤+𝟏)
=
𝟐
𝐤+𝟏 +(𝐤 𝟐 +𝟐𝐤+𝟏)
=
𝟐
Vi har nu visat att formeln gäller för n=k+1 om den
gäller för n=k.
Efter som vi vet att n=1 stämmer så gäller n=2 osv
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Induktionsbevis (Exempel)
61 = 6,
62 = 36
63 = 216
64 =1296
Vi ser att de fyra första potenserna
med basen 6 har entalssiffran 6.
Gäller det för 6n?
61 = 6
Visa med induktion att det
stämmer
a) antag för n=1
b) antag att det gäller för n=k
c) visa med n=k+1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
6𝑘 = 10𝑎 + 6
6𝑘+1 = 6 ∙ 6𝑘 =
= 6 ∙ 10𝑎 + 6 =
= 60𝑎 + 36) =
= 60𝑎 + 30 + 6 =
= 10(6𝑎 + 3) + 6 =
Induktionsbevis (Exempel)
Visa med induktion att 11n-4n är delbart med 7
för varje om 𝑛 ∈ ℵ
111 − 41 = 7
a) antag för n=1
b) antag att det gäller för n=k
11𝑘 − 4𝑘 = 7a
c) visa med n=k+1
11𝑘+1
4𝑘+1
11𝑘
4𝑘 = (7
+ 4) ∙ 11𝑘 −4 ∙ 4𝑘 =
−
= 11 ∙
−4∙
= 7 ∙ 11𝑘 + 4(11𝑘 −4𝑘 )= 7 ∙ 11𝑘 + 4 ∙ 7𝑎 = 7(11𝑘 + 4𝑘)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Induktionsbevis för summor (Exempel)
a) Hitta ett mönster för nästa tal i summan sn?
b) Hitta ett samband mellan n och summan.
c) Bevisa att det gäller med hjälp av induktion.
𝑠1 = 1
𝑠2 = 1+3
𝑠3 = 1 + 3 + 5
𝑠𝑛 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (𝑢𝑡𝑡𝑟𝑦𝑐𝑘)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Handskakningsproblemet
På en fest skakar alla hand med varandra på
en gång. Hur många handskakningar blir det
om det är n st personer på festen.
1. Börja underöka problemet.
𝑆𝑛 =0+1+2+…(n-1)
2. Ställ upp en talföljd.
3. Ta hjälp av räknare för att hitta en formel
4. Visa med induktion att det stämmer 𝑆𝑛 = 𝑛2 − 𝑛
2
a) antag för n=1
b) antag att det gäller för n=k
c) visa med n=k+1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rekursiv talföljd
http://www.youtube.com/watch?v=JeOPf79U
GAM
http://www.youtube.com/watch?v=wblW_M_H
VQ8
http://www.youtube.com/watch?v=3qTJrWCg
VwI
http://www.youtube.com/watch?annotation_id
=annotation_167126&feature=iv&src_vid=3qT
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net