Matematik 5 Induktionsbevis Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Centralt innehåll Dagens lektion behandlar följande moment i det centrala innehållet: • Induktionsbevis med konkreta exempel från till exempel talteoriområdet. Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Gauss och den aritmetisksumma Enlig sägen ber Gauss lärare den unge eleven att summera de första 100 talen. 1+2+3+4+5+…+98+99+100 1 n n Hur skriver vi det generellt? S n  2 Hur vet vi att det gäller generellt? Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Induktions bevis Ett induktionsbevis görs i två steg: 1. Visa att formeln gäller för det enklaste fallet då n=1. 2. Visa att det gäller för ett visst värde på n. så gäller den också för nästa värde på n. Vi säger formeln gäller för n=k så måste den också gälla för n=k+1. Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Induktions bevis Vi tittar igen på den aritmetiska tal följden och summan av den. Sn= 1+2+3+…+(n-1)+n 1 n n  n2 Sn  n  2 2 Visa att denna formel är generell för alla tänkbara antal av n. Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Induktions bevis (basfallet) 1. Visa att formeln gäller för det enklaste fallet då n=1. Det enklaste fallet är n=1 Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net 1  12 S1  1 2 Induktions bevis (induktionsantagande) 2. Visa att det gäller för ett visst värde på n. så gäller den också för nästa värde på n. Vi säger formeln gäller för n=k så måste den också gälla för n=k+1. Antagande Vi antar att formeln gäller för n=k och får då Sk= 1+2+3+…+(k-1)+k= 𝑘+𝑘 2 2 Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net (Induktionsantagandet) Induktions bevis (Induktinssteget) Vi ska nu visa att vårt antagande gäller för n=k+1. Sk+1= (𝑘+1)+(𝑘+1)2 2 Sk+1= 1+2+3+…+k+(k+1)=Sk+(k+1) Sk Vi vet enligt antagandet att Sk= Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net 𝑘+𝑘 2 2 Induktions bevis Sk+1= 𝐤+𝐤 𝟐 𝟐 k+k2 2 +(k+1)= = 𝐤+𝐤 𝟐 +𝟐𝐤+𝟐 = 𝟐 = 𝐤+𝟏 +(𝐤+𝟏)𝟐 𝟐 + 𝟐(𝐤+𝟏) = 𝟐 𝐤+𝟏 +(𝐤 𝟐 +𝟐𝐤+𝟏) = 𝟐 Vi har nu visat att formeln gäller för n=k+1 om den gäller för n=k. Efter som vi vet att n=1 stämmer så gäller n=2 osv Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Induktionsbevis (Exempel) 61 = 6, 62 = 36 63 = 216 64 =1296 Vi ser att de fyra första potenserna med basen 6 har entalssiffran 6. Gäller det för 6n? 61 = 6 Visa med induktion att det stämmer a) antag för n=1 b) antag att det gäller för n=k c) visa med n=k+1 Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net 6𝑘 = 10𝑎 + 6 6𝑘+1 = 6 ∙ 6𝑘 = = 6 ∙ 10𝑎 + 6 = = 60𝑎 + 36) = = 60𝑎 + 30 + 6 = = 10(6𝑎 + 3) + 6 = Induktionsbevis (Exempel) Visa med induktion att 11n-4n är delbart med 7 för varje om 𝑛 ∈ ℵ 111 − 41 = 7 a) antag för n=1 b) antag att det gäller för n=k 11𝑘 − 4𝑘 = 7a c) visa med n=k+1 11𝑘+1 4𝑘+1 11𝑘 4𝑘 = (7 + 4) ∙ 11𝑘 −4 ∙ 4𝑘 = − = 11 ∙ −4∙ = 7 ∙ 11𝑘 + 4(11𝑘 −4𝑘 )= 7 ∙ 11𝑘 + 4 ∙ 7𝑎 = 7(11𝑘 + 4𝑘) Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Induktionsbevis för summor (Exempel) a) Hitta ett mönster för nästa tal i summan sn? b) Hitta ett samband mellan n och summan. c) Bevisa att det gäller med hjälp av induktion. 𝑠1 = 1 𝑠2 = 1+3 𝑠3 = 1 + 3 + 5 𝑠𝑛 = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (𝑢𝑡𝑡𝑟𝑦𝑐𝑘) Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Handskakningsproblemet På en fest skakar alla hand med varandra på en gång. Hur många handskakningar blir det om det är n st personer på festen. 1. Börja underöka problemet. 𝑆𝑛 =0+1+2+…(n-1) 2. Ställ upp en talföljd. 3. Ta hjälp av räknare för att hitta en formel 4. Visa med induktion att det stämmer 𝑆𝑛 = 𝑛2 − 𝑛 2 a) antag för n=1 b) antag att det gäller för n=k c) visa med n=k+1 Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net Rekursiv talföljd http://www.youtube.com/watch?v=JeOPf79U GAM http://www.youtube.com/watch?v=wblW_M_H VQ8 http://www.youtube.com/watch?v=3qTJrWCg VwI http://www.youtube.com/watch?annotation_id =annotation_167126&feature=iv&src_vid=3qT Andreas Lindahl www.andreaslindahl.net