גזים קוונטיים

‫גזים קוונטיים‬
‫‪11.6.15‬‬
‫הקדמה‬
‫‪1‬‬
‫המכניקה הסטטיסטית נותנת לנו כלים שמאפשרים להתחיל מתכונות מיקרוסקופיות של מערכת‪ ,‬ולקבל מהם את‬
‫התכונות התרמודינמיות המקרוסקופיות שלה‪ .‬בחלק זה של הקורס נעסוק במערכות שבהן החוקים המיקרוסקופיים‬
‫נקבעים על ידי תורת הקוונטים‪ .‬ספציפית‪ ,‬נעסוק במערכות של גז אידיאלי )ללא אינטראקציות( שבהן אפקטים‬
‫‪V‬‬
‫קוונטיים חשובים ) ‪≤ λdT‬‬
‫‪.( N‬‬
‫‪1.1‬‬
‫תכונות מערכת קוונטית‬
‫נעסוק במערכות ללא אינטראקציות‪Hi :‬‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ .H‬לכן התכונות המיקרוסקופיות של המערכת נקבעים על ידי‬
‫‪i‬‬
‫פתרון הבעיה הקוונטית החד חלקיקית‪ ,‬כלומר על ידי פתרון משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן ‪ˆ = Eψ‬‬
‫‪.Hψ‬‬
‫פתרונות המשוואה הם סט הערכים העצמיים ‪ En‬שהם האנרגיות האפשריות במערכת‪ ,‬וסט של פונקציות עצמיות‬
‫‪.ψn‬‬
‫‪1.2‬‬
‫סטטיסטיקה של חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה‬
‫עתה נחשוב על שני חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה‪ .‬פונקצית הגל המתארת את מצב המערכת היא ) ‪.ψ(x1 , x2‬‬
‫המשמעות של פונקצית הגל היא‪ ,‬שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק הראשון בנקודה ‪ x1‬ואת השני בנקודה‬
‫‪ x2‬היא ‪ .|ψ(x1 , x2 )|2‬שימו לב שלצורך פשטות נחשוב כאן על ‪ x1 , x2‬כמיקום‪ ,‬אך ניתן להחליפם בתכונה‬
‫אחרת של החלקיק‪ ,‬למשל תנע‪ .‬מכיוון שהחלקיקים זהים‪ ,‬ברור ש־ ‪ .|ψ(x1 , x2 )|2 = |ψ(x2 , x1 )|2‬מכאן‪ ,‬ש־‬
‫) ‪ .ψ(x1 , x2 ) = eiϕ ψ(x2 , x1‬ניתן להראות שעבור חלקיקים בשלושה מימדים‪ ,‬הפאזה ‪ ϕ‬יכול לקבל אחד משני‬
‫ערכים בלבד‪ 0 :‬או ‪ .π‬כלומר‪ ,‬חלקיקים זהים בשלושה מימדים ניתנים לסיווג לשני סוגים אפשריים‪:‬‬
‫‪ .1‬בוזונים‪ ,‬המקייימים ש־) ‪ .ψ(x1 , x2 ) = ψ(x2 , x1‬חלקיקים כאלה מאופיינים על ידי ספין שלם‪.0, 1, 2, ... :‬‬
‫דוגמאות לבוזונים‪ :‬פוטונים‪ ,‬פונונים‪.‬‬
‫‪ .2‬פרמיונים‪ ,‬המקיימים ש־) ‪ .ψ(x1 , x2 ) = −ψ(x2 , x1‬חלקיקים כאלה מאופיינים על ידי ספין חצי־שלם‪:‬‬
‫‪ . 12 , 23 , ...‬דוגמאות לפרמיונים‪ :‬אלקטרונים‪ ,‬ניוטרונים‪ ,‬פרוטונים‪.‬‬
‫נשים לב שהפרמיונים מקיימים את התכונה הבאה‪ :‬אם נשאל מה ההסתברות למצוא שני פרמיונים באותו מצב‪,‬‬
‫למשל את שניהם במיקום ‪ ,x1‬נקבל שההסתברות היא אפס‪.ψ(x1 , x1 ) = −ψ(x1 , x1 ) ⇒ ψ(x1 , x1 ) = 0 :‬‬
‫התכונה הזו נקראת עקרון האיסור של פאולי‪ ,‬ומשמעותה היא ששני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי‪.‬‬
‫סיווג חלקיק לבוזון או פרמיון נקרא גם הסטטיסטיקה של החלקיק‪ ,‬מיד נבין מדוע‪.‬‬
‫פיסיקה סטטיסטית של מערכת בוזונים \ פרמיונים‬
‫‪2‬‬
‫נרצה לחשב תכונות תרמודינמיות של מערכת קוונטית‪ .‬נסמן ב־ ‪ i‬את רמות האנרגיה של המערכת‪ ,‬אותן קיבלנו‬
‫מפתרון משוואת שרדינגר‪ .‬נוח לעבוד בצבר הגרנד קנוני‪ ,‬כך ניתן להתיחס לכל רמת אנרגיה לחוד‪ ,‬כמערכת נפרדת‬
‫שיכולה להחליף חלקיקים עם הרמות האחרות‪ .‬נסמן ב־ ‪ ni‬את האכלוס של רמת האנרגיה ‪ .i‬עבור פרמיונים‪,‬‬
‫הערכים האפשריים הם ‪ ni = 0, 1‬מכיוון שלא ניתן לאכלס יותר מפרמיון אחד באותו מצב קוונטי ‪ .i‬עבור בוזונים‪,‬‬
‫אין את המגבלה הזו ולכן ברמת אנרגיה יחידה ‪ i‬יכול להתאכלס כל מספר חלקיקים‪.ni = 0, 1, 2, ... :‬‬
‫‪2.1‬‬
‫חישוב האכלוס הממוצע ‪hni i‬‬
‫‪ .1‬עבור פרמיונים‪ :‬פונקצית החלוקה הגרנד קנונית של המצב ה־‪eβ(µ−i )ni = 1 + eβ(µ−i ) :i‬‬
‫‪P‬‬
‫=‪L‬‬
‫‪ni =0,1‬‬
‫מכאן שהאכלוס הממוצע של מצב זה הוא‪:‬‬
‫פרמי־דיראק ומסומנת ) ‪.nF D (i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪eβ(i −µ) +1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪log L‬‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪β ∂µ‬‬
‫= ‪ .hni i‬התפלגות זו נקראת התפלגות‬
‫איור ‪ :1‬המצבים המותרים עבור מערכת דו מימדית‬
‫‪ .2‬עבור בוזונים‪ :‬פונקצית החלוקה הגרנד קנונית של המצב ה־‪:i‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪1−eβ(µ−i‬‬
‫= ‪eβ(µ−i )ni‬‬
‫∞‬
‫‪P‬‬
‫= ‪ .L‬שימו‬
‫‪ni =0‬‬
‫לב שכדי שהטור יתכנס‪ ,‬צריך ש־‪ ,eβ(µ−i ) < 1‬כלומר ש־ ‪ .µ < i‬תנאי זה צריך להתקיים לכל רמות‬
‫האנרגיה ובפרט לרמת היסוד ‪ 0‬שאותה נהוג לבחור להיות אפס‪ ,‬כלומר הפוטנציאל הכימי של בוזונים‬
‫שלילי‪.‬‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫‪ .hni i = β1 ∂µ‬התפלגות זו נקראת התפלגות‬
‫)‪log L = eβ(i −µ‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫זה‬
‫מצב‬
‫של‬
‫הממוצע‬
‫שהאכלוס‬
‫מכאן‬
‫‪−1‬‬
‫בוזה־איינשטיין ומסומנת ) ‪.nBE (i‬‬
‫‪2.2‬‬
‫חישוב צפיפות המצבים )(‪g‬‬
‫בשביל לפתור בעיות בפיסיקה סטטיסטית קוונטית נצטרך להגדיר גודל נוסף‪ ,‬הנקרא צפיפות המצבים ומסומן‬
‫)(‪ .g‬משמעותו היא ש־‪ g()d‬הוא מספר המצבים עם אנרגיה בקטע ]‪ .[, + d‬ככל שהמערכת גדולה יותר‪,‬‬
‫המרווח בין רמות האנרגיה קטן יותר‪ .‬כמו כן למערכות עם הרבה חלקיקים‪ ,‬המרווח בין רמות האנרגיה קטן ביחס‬
‫לאנרגית המערכת הכוללת‪ .‬לכן נתיחס ל־)(‪ g‬כפונקציה רציפה‪.‬‬
‫כיצד מחשבים את )(‪ ?g‬נדגים זאת עבור גז אידיאלי ב־‪ d‬מימדים הכלוא בקוביה בנפח ‪ V = Ld‬עם תנאי שפה‬
‫מחזוריים‪.‬‬
‫נפתור את הבעיה הקוונטית החד חלקיקית‪ .‬ההמילטוניאן של המערכת הוא ‪ˆ = pˆ2‬‬
‫‪) H‬תזכורת‪ :‬אופרטור התנע‬
‫‪2m‬‬
‫ˆ(‪ .‬כדי למצוא את רמות האנרגיה יש לפתור את משוואת שרדינגר ‪ˆ = Eψ‬‬
‫‪.Hψ‬‬
‫בבסיס המקום‪p = −i~∇ :‬‬
‫תנאי שפה מחזוריים‪) ψ(0) = ψ(L) :‬בכל אחת מהקואורדינטות(‪ .‬המצבים העצמיים של המערכת ) ‪(ψk ∼ eikr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|k|2‬‬
‫‪ .Ek = ~ 2m‬הערכים האפשריים ל־‪) k‬נקבעים‬
‫מאופיינים על ידי וקטור גל ‪ ,k‬והערכים העצמיים המתאימים הם‬
‫‪.k = 2π‬‬
‫ע"י תנאי השפה(‪L (n1 , n2, , ..., nd ) :‬‬
‫כמה מצבים יש עם ‪?|k|2 ≤ K 2‬‬
‫נסמן את מספר המצבים עם ‪ |k|2 ≤ K 2‬ב־)‪ .Σ(K‬המשוואה ‪ |k|2 ≤ K 2‬מגדירה את הפנים של כדור ‪d‬‬
‫‪ , 2π‬לכן ניתן לייחס לכל מצב נפח‬
‫מימדי ברדיוס ‪ .K‬כמו שניתן לראות בציור‪ ,‬המרווח בין מצבים סמוכים הוא ‪L‬‬
‫‪ d‬‬
‫‪ . 2π‬לכן‪:‬‬
‫של‬
‫‪L‬‬
‫‪Ωd K d‬‬
‫‪Ωd K d‬‬
‫‪Σ(K) = d = V‬‬
‫‪(2π)d‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L‬‬
‫כאשר‬
‫‪π d/2‬‬
‫‪Γ( d‬‬
‫)‪2 +1‬‬
‫= ‪.Ωd‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן אפשר למצוא את )(‪ ,Σ‬שהוא מספר המצבים עם אנרגיה שקטנה או שווה ל־‪ .‬מכיוון ש־‬
‫√‬
‫‪:K = 2m‬‬
‫כלומר‬
‫~‬
‫√‬
‫‬
‫ ‪2m‬‬
‫‪Ωd (2m)d/2 d/2‬‬
‫‪=V‬‬
‫‬
‫= ‪Σ() = Σ K‬‬
‫~‬
‫‪(2π~)d‬‬
‫‪~2 K 2‬‬
‫‪2m‬‬
‫= ‪,‬‬
‫נזכור ש־‪ g()d‬הוא מספר המצבים באנרגיה בקטע ]‪ .[, + d‬לכן‬
‫)(‪Σ( + d) − Σ‬‬
‫‪d = Σ0 ()d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪Ωd (2m)d/2 d d/2−1‬‬
‫‪Σ0 () = V‬‬
‫‬
‫‪(2π~)d 2‬‬
‫= )(‪Σ( + d) − Σ‬‬
‫=‬
‫‪g()d‬‬
‫=‬
‫)(‪⇒ g‬‬
‫נשים לב ש‪:‬‬
‫• צפיפות המצבים ∼ ‪ ,V‬כלומר היא גודל אקסטנסיבי‪.‬‬
‫• עבור ‪ ,g() ∼ −1/2 :d = 1‬כלומר ככל שהאנרגיה גבוהה יותר‪ ,‬צפיפות המצבים יורדת‪.‬‬
‫עבור ‪ ,g() ∼ 0 :d = 2‬כלומר לא תלויה ב־‪.‬‬
‫עבור ‪ ,g() ∼ 1/2 :d = 3‬כלומר צפיפות המצבים גדלה עם האנרגיה‪.‬‬
‫• באופן כללי‪ ,‬אם למצב קוונטי יש ניוון נוסף‪ ,‬יש להכפיל את צפיפות המצבים בניוון‪ .‬למשל‪ ,‬אם לחלקיקים‬
‫בהם דנו היה ספין ‪ ,s‬אז כל מצב ‪ k‬היה מנוון ‪ 2s + 1‬פעמים‪.‬‬
‫מעבר מסכום לאינטגרל‬
‫‪ P‬המצבים הבדידים‪.‬‬
‫במקום סכימה על‬
‫המצבים‬
‫צפיפות‬
‫על‬
‫אינטגרלים‬
‫באמצעות‬
‫במערכת‬
‫גדלים‬
‫כעת נרצה לחשב‬
‫´‬
‫הסכימה על כל המצבים מתחלפת באינטגרציה על צפיפות המצבים‪f (i) → df ()g() :‬‬
‫מספר החלקיקים הכולל‪dg()n() :‬‬
‫אנרגית המערכת‪dg()n() :‬‬
‫∞´‬
‫‪0‬‬
‫∞´‬
‫‪i‬‬
‫→ ‪ni‬‬
‫‪P‬‬
‫‪i‬‬
‫‪0‬‬
‫→ ‪i n i‬‬
‫=‪N‬‬
‫‪P‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪i‬‬
‫כאשר )(‪ n‬הוא התפלגות פרמי־דיראק או בוזה־איינשטיין‪ ,‬בהתאם לסטטיסטיקת החלקיקים‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫סיכום ־ פתרון בעיות במכניקה סטטיסטית קוונטית‪:‬‬
‫‪ .1‬פותרים את הבעיה הקוונטית החד חלקיקית‪ ,‬כלומר את משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן ‪∧ = Eψ‬‬
‫‪,Hψ‬‬
‫כלומר מוצאים את הערכים העצמיים והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן‪ .‬מכאן מקבלים את ‪ i‬־ רמות‬
‫האנרגיה של המערכת )שימו לב שעבור מערכת תחומה‪ ,‬הן בדידות(‪.‬‬
‫‪ .2‬עובדים בצבר הגרנד קנוני )מוצאים את ‪ N‬כפונקציה של ‪ .(µ, T, V‬כך ניתן להתיחס לכל רמת אנרגיה לחוד‪,‬‬
‫כמערכת נפרדת‪ .‬חלקיקים יכולים לעבור בין הרמות ולכן הפוטנציאל הכימי שלהם שווה ־ הוא הפוטנציאל‬
‫הכימי של המערכת כולה‪.‬‬
‫‪ .3‬בהתאם לסוג החלקיקים במערכת‪ ,‬משתמשים ב‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור פרמיונים ־ התפלגות פרמי־דיראק‪:‬‬
‫)‪nF D = eβ(i −µ‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור בוזונים ־ התפלגות בוזה־איינשטיין‪nBE = eβ(i −µ) −1 :‬‬
‫נעזרים בזהויות‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫=‪N‬‬
‫מספר החלקיקים הכולל ‪ni‬‬
‫‪i‬‬
‫‪P‬‬
‫=‪E‬‬
‫אנרגית המערכת ‪i ni‬‬
‫‪i‬‬
‫‬
‫‪P‬‬
‫‪) −P V = Ω = ∓kB T‬עבור פרמיונים ‪ /‬בוזונים(‬
‫הפוטנציאל הגרנד קנוני ) ‪log 1 ± eβ(µ−i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .4‬אם אפשר לחשב את הסכומים ־ סיימנו‪ .‬אחרת‪ ,‬במקום סכום מחשבים אינטגרל‪dg() :‬‬
‫´‬
‫→‬
‫‪P‬‬
‫‪i‬‬
‫‪4‬‬