גזים קוונטיים
גזים קוונטיים 11.6.15 הקדמה 1 המכניקה הסטטיסטית נותנת לנו כלים שמאפשרים להתחיל מתכונות מיקרוסקופיות של מערכת ,ולקבל מהם את התכונות התרמודינמיות המקרוסקופיות שלה .בחלק זה של הקורס נעסוק במערכות שבהן החוקים המיקרוסקופיים נקבעים על ידי תורת הקוונטים .ספציפית ,נעסוק במערכות של גז אידיאלי )ללא אינטראקציות( שבהן אפקטים V קוונטיים חשובים ) ≤ λdT .( N 1.1 תכונות מערכת קוונטית נעסוק במערכות ללא אינטראקציותHi : P = .Hלכן התכונות המיקרוסקופיות של המערכת נקבעים על ידי i פתרון הבעיה הקוונטית החד חלקיקית ,כלומר על ידי פתרון משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן ˆ = Eψ .Hψ פתרונות המשוואה הם סט הערכים העצמיים Enשהם האנרגיות האפשריות במערכת ,וסט של פונקציות עצמיות .ψn 1.2 סטטיסטיקה של חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה עתה נחשוב על שני חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה .פונקצית הגל המתארת את מצב המערכת היא ) .ψ(x1 , x2 המשמעות של פונקצית הגל היא ,שצפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק הראשון בנקודה x1ואת השני בנקודה x2היא .|ψ(x1 , x2 )|2שימו לב שלצורך פשטות נחשוב כאן על x1 , x2כמיקום ,אך ניתן להחליפם בתכונה אחרת של החלקיק ,למשל תנע .מכיוון שהחלקיקים זהים ,ברור ש־ .|ψ(x1 , x2 )|2 = |ψ(x2 , x1 )|2מכאן ,ש־ ) .ψ(x1 , x2 ) = eiϕ ψ(x2 , x1ניתן להראות שעבור חלקיקים בשלושה מימדים ,הפאזה ϕיכול לקבל אחד משני ערכים בלבד 0 :או .πכלומר ,חלקיקים זהים בשלושה מימדים ניתנים לסיווג לשני סוגים אפשריים: .1בוזונים ,המקייימים ש־) .ψ(x1 , x2 ) = ψ(x2 , x1חלקיקים כאלה מאופיינים על ידי ספין שלם.0, 1, 2, ... : דוגמאות לבוזונים :פוטונים ,פונונים. .2פרמיונים ,המקיימים ש־) .ψ(x1 , x2 ) = −ψ(x2 , x1חלקיקים כאלה מאופיינים על ידי ספין חצי־שלם: . 12 , 23 , ...דוגמאות לפרמיונים :אלקטרונים ,ניוטרונים ,פרוטונים. נשים לב שהפרמיונים מקיימים את התכונה הבאה :אם נשאל מה ההסתברות למצוא שני פרמיונים באותו מצב, למשל את שניהם במיקום ,x1נקבל שההסתברות היא אפס.ψ(x1 , x1 ) = −ψ(x1 , x1 ) ⇒ ψ(x1 , x1 ) = 0 : התכונה הזו נקראת עקרון האיסור של פאולי ,ומשמעותה היא ששני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי. סיווג חלקיק לבוזון או פרמיון נקרא גם הסטטיסטיקה של החלקיק ,מיד נבין מדוע. פיסיקה סטטיסטית של מערכת בוזונים \ פרמיונים 2 נרצה לחשב תכונות תרמודינמיות של מערכת קוונטית .נסמן ב־ iאת רמות האנרגיה של המערכת ,אותן קיבלנו מפתרון משוואת שרדינגר .נוח לעבוד בצבר הגרנד קנוני ,כך ניתן להתיחס לכל רמת אנרגיה לחוד ,כמערכת נפרדת שיכולה להחליף חלקיקים עם הרמות האחרות .נסמן ב־ niאת האכלוס של רמת האנרגיה .iעבור פרמיונים, הערכים האפשריים הם ni = 0, 1מכיוון שלא ניתן לאכלס יותר מפרמיון אחד באותו מצב קוונטי .iעבור בוזונים, אין את המגבלה הזו ולכן ברמת אנרגיה יחידה iיכול להתאכלס כל מספר חלקיקים.ni = 0, 1, 2, ... : 2.1 חישוב האכלוס הממוצע hni i .1עבור פרמיונים :פונקצית החלוקה הגרנד קנונית של המצב ה־eβ(µ−i )ni = 1 + eβ(µ−i ) :i P =L ni =0,1 מכאן שהאכלוס הממוצע של מצב זה הוא: פרמי־דיראק ומסומנת ) .nF D (i 1 eβ(i −µ) +1 1 = log L ∂ 1 β ∂µ = .hni iהתפלגות זו נקראת התפלגות איור :1המצבים המותרים עבור מערכת דו מימדית .2עבור בוזונים :פונקצית החלוקה הגרנד קנונית של המצב ה־:i 1 ) 1−eβ(µ−i = eβ(µ−i )ni ∞ P = .Lשימו ni =0 לב שכדי שהטור יתכנס ,צריך ש־ ,eβ(µ−i ) < 1כלומר ש־ .µ < iתנאי זה צריך להתקיים לכל רמות האנרגיה ובפרט לרמת היסוד 0שאותה נהוג לבחור להיות אפס ,כלומר הפוטנציאל הכימי של בוזונים שלילי. ∂ 1 .hni i = β1 ∂µהתפלגות זו נקראת התפלגות )log L = eβ(i −µ הוא: זה מצב של הממוצע שהאכלוס מכאן −1 בוזה־איינשטיין ומסומנת ) .nBE (i 2.2 חישוב צפיפות המצבים )(g בשביל לפתור בעיות בפיסיקה סטטיסטית קוונטית נצטרך להגדיר גודל נוסף ,הנקרא צפיפות המצבים ומסומן )( .gמשמעותו היא ש־ g()dהוא מספר המצבים עם אנרגיה בקטע ] .[, + dככל שהמערכת גדולה יותר, המרווח בין רמות האנרגיה קטן יותר .כמו כן למערכות עם הרבה חלקיקים ,המרווח בין רמות האנרגיה קטן ביחס לאנרגית המערכת הכוללת .לכן נתיחס ל־)( gכפונקציה רציפה. כיצד מחשבים את )( ?gנדגים זאת עבור גז אידיאלי ב־ dמימדים הכלוא בקוביה בנפח V = Ldעם תנאי שפה מחזוריים. נפתור את הבעיה הקוונטית החד חלקיקית .ההמילטוניאן של המערכת הוא ˆ = pˆ2 ) Hתזכורת :אופרטור התנע 2m ˆ( .כדי למצוא את רמות האנרגיה יש לפתור את משוואת שרדינגר ˆ = Eψ .Hψ בבסיס המקוםp = −i~∇ : תנאי שפה מחזוריים) ψ(0) = ψ(L) :בכל אחת מהקואורדינטות( .המצבים העצמיים של המערכת ) (ψk ∼ eikr 2 |k|2 .Ek = ~ 2mהערכים האפשריים ל־) kנקבעים מאופיינים על ידי וקטור גל ,kוהערכים העצמיים המתאימים הם .k = 2π ע"י תנאי השפה(L (n1 , n2, , ..., nd ) : כמה מצבים יש עם ?|k|2 ≤ K 2 נסמן את מספר המצבים עם |k|2 ≤ K 2ב־) .Σ(Kהמשוואה |k|2 ≤ K 2מגדירה את הפנים של כדור d , 2πלכן ניתן לייחס לכל מצב נפח מימדי ברדיוס .Kכמו שניתן לראות בציור ,המרווח בין מצבים סמוכים הוא L d . 2πלכן: של L Ωd K d Ωd K d Σ(K) = d = V (2π)d 2π L כאשר π d/2 Γ( d )2 +1 = .Ωd 2 מכאן אפשר למצוא את )( ,Σשהוא מספר המצבים עם אנרגיה שקטנה או שווה ל־ .מכיוון ש־ √ :K = 2m כלומר ~ √ 2m Ωd (2m)d/2 d/2 =V = Σ() = Σ K ~ (2π~)d ~2 K 2 2m = , נזכור ש־ g()dהוא מספר המצבים באנרגיה בקטע ] .[, + dלכן )(Σ( + d) − Σ d = Σ0 ()d d Ωd (2m)d/2 d d/2−1 Σ0 () = V (2π~)d 2 = )(Σ( + d) − Σ = g()d = )(⇒ g נשים לב ש: • צפיפות המצבים ∼ ,Vכלומר היא גודל אקסטנסיבי. • עבור ,g() ∼ −1/2 :d = 1כלומר ככל שהאנרגיה גבוהה יותר ,צפיפות המצבים יורדת. עבור ,g() ∼ 0 :d = 2כלומר לא תלויה ב־. עבור ,g() ∼ 1/2 :d = 3כלומר צפיפות המצבים גדלה עם האנרגיה. • באופן כללי ,אם למצב קוונטי יש ניוון נוסף ,יש להכפיל את צפיפות המצבים בניוון .למשל ,אם לחלקיקים בהם דנו היה ספין ,sאז כל מצב kהיה מנוון 2s + 1פעמים. מעבר מסכום לאינטגרל Pהמצבים הבדידים. במקום סכימה על המצבים צפיפות על אינטגרלים באמצעות במערכת גדלים כעת נרצה לחשב ´ הסכימה על כל המצבים מתחלפת באינטגרציה על צפיפות המצביםf (i) → df ()g() : מספר החלקיקים הכוללdg()n() : אנרגית המערכתdg()n() : ∞´ 0 ∞´ i → ni P i 0 → i n i =N P =E i כאשר )( nהוא התפלגות פרמי־דיראק או בוזה־איינשטיין ,בהתאם לסטטיסטיקת החלקיקים. 2.3 סיכום ־ פתרון בעיות במכניקה סטטיסטית קוונטית: .1פותרים את הבעיה הקוונטית החד חלקיקית ,כלומר את משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן ∧ = Eψ ,Hψ כלומר מוצאים את הערכים העצמיים והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן .מכאן מקבלים את i־ רמות האנרגיה של המערכת )שימו לב שעבור מערכת תחומה ,הן בדידות(. .2עובדים בצבר הגרנד קנוני )מוצאים את Nכפונקציה של .(µ, T, Vכך ניתן להתיחס לכל רמת אנרגיה לחוד, כמערכת נפרדת .חלקיקים יכולים לעבור בין הרמות ולכן הפוטנציאל הכימי שלהם שווה ־ הוא הפוטנציאל הכימי של המערכת כולה. .3בהתאם לסוג החלקיקים במערכת ,משתמשים ב: 1 עבור פרמיונים ־ התפלגות פרמי־דיראק: )nF D = eβ(i −µ +1 1 עבור בוזונים ־ התפלגות בוזה־איינשטייןnBE = eβ(i −µ) −1 : נעזרים בזהויות: P =N מספר החלקיקים הכולל ni i P =E אנרגית המערכת i ni i P ) −P V = Ω = ∓kB Tעבור פרמיונים /בוזונים( הפוטנציאל הגרנד קנוני ) log 1 ± eβ(µ−i i 3 .4אם אפשר לחשב את הסכומים ־ סיימנו .אחרת ,במקום סכום מחשבים אינטגרלdg() : ´ → P i 4
© Copyright 2024