‫מבוא לתלת מימד‬
‫תלת מימד‬
‫מבוא‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫• מקצוע הוא קו בתלת מימד‪.‬‬
‫לדוגמא‪ :‬הקו המודגש בשרטוט הוא מקצוע‬
‫• פאה היא משטח בתלת מימד‪.‬‬
‫לדוגמא‪ :‬המשטחים המושחרים בשרטוטים הם פאות‪.‬‬
‫• שטח פנים (כל מה שנוגע באוויר)‪ -‬סכום שטחי כל פאות הגוף התלת מימדי (בסיסיו ופאותיו הצדדיות)‪.‬‬
‫• שטח מעטפת (האצה בסושי)‪ -‬סכום שטחי הפאות הצדדיות‪ ,‬בעצם שטח הפנים לא כולל הבסיסים‪.‬‬
‫• נפח (כמה ליטרים מים יכול הגוף להכיל)‪ -‬חלל הצורה התלת מימדית‬
‫מנסרות‬
‫גוף תלת מימדי שבסיסיו הם מצולעים חופפים במישורים שונים‪.‬‬
‫או בעברית‪ :‬מצולע שמתחו אותו מדו מימד לתלת מימד‪.‬‬
‫המנסרה תקרא ע"ש בסיסיה‪.‬‬
‫• לדוגמא‪ :‬בשרטוט לפניכם מנסרה משולשת (טובלרון)‪.‬‬
‫נפח מנסרה תמיד אפשר לחשב בכפל שטח הבסיס בגובה‪.‬‬
‫שטח מעטפת מנסרה תמיד אפשר לחשב בכפל היקף הבסיס בגובה‪.‬‬
‫הגופים הנפוצים‬
‫קוביה מוכרת לכולנו ממשחקי הלוח‪,‬‬
‫זהו גוף שכל פאותיו הינם ריבועים חופפים‪.‬‬
‫והוא שווה בכל שלושת מימדיו‪ :‬אורך‪ ,‬רוחב וגובה‪.‬‬
‫• נפח קוביה‪:‬‬
‫מכיוון שכל מימדיו שווים חישוב השטח יבוצע באמצעות הנוסחא‪:‬‬
‫נפח קוביה = ‪3‬מקצוע‬
‫‪3‬‬
‫לדוגמא‪ :‬נפחה של קוביה שאורך מקצועה ‪ 2‬ס"מ יהיה‪ 8=2⋅2⋅2=2 ⇐ :‬סמ"ק‬
‫‪ | 2‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫תרגילים‬
‫תלת מימד‬
‫‪ .1‬מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 3‬ס"מ?‬
‫‪ .2‬מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 4‬ס"מ?‬
‫‪ .3‬מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 5‬ס"מ?‬
‫‪ .4‬מהו נפחה של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 1‬ס"מ?‬
‫• שטח פנים של קוביה‪:‬‬
‫לקוביה ‪ 6‬פאות (כפי שכולנו כבר מכירים מקוביית המשחק)‪ ,‬וכל פאה היא ריבוע‪.‬לכן חישוב שטח‬
‫הפנים יהיה ‪ 6‬פעמים שטח הפאה‪/‬הריבוע (שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע)‪:‬‬
‫או בעברית‪ :‬שטח פני קוביה= ‪2‬מקצוע ·‪6‬‬
‫לדוגמא‪ :‬שטח פנים של קוביה שאורך מקצועה ‪ 2‬ס"מ הוא‪ 24=6⋅2⋅2=6⋅22 ⇐ :‬סמ"ר‬
‫‪ .5‬מהו שטח פניה של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 3‬ס"מ?‬
‫‪ .6‬מהו שטח פניה של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 1‬ס"מ?‬
‫• שטח מעטפת הקוביה‪:‬‬
‫לקוביה יש ‪ 4‬פאות צדדיות (לא כולל הבסיסים וזו הרי מעטפת) וכל פאה היא ריבוע‪.‬‬
‫לכן חישוב שטח המעטפת יהיה ‪ 4‬פעמים שטח הפאה‪/‬הריבוע (שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע)‪:‬‬
‫או בעברית‪ :‬שטח מעטפת קוביה= ‪2‬מקצוע ·‪4‬‬
‫לדוגמא‪ :‬שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה הוא ‪ 2‬הוא‪ 16=4⋅2⋅2=4⋅22 ⇐ :‬סמ"ר‬
‫‪ .7‬מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה ‪ 3‬ס"מ?‬
‫‪ .8‬מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה ‪ 4‬ס"מ?‬
‫‪ .9‬מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה ‪ 5‬ס"מ?‬
‫‪ .10‬מהו שטח המעטפת של קוביה שאורך מקצועה ‪ 1‬ס"מ?‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪3‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪ 27‬סמ"ק‬
‫‪6‬‬
‫‪ 6‬סמ"ר‬
‫‪2‬‬
‫‪ 64‬סמ"ק‬
‫‪7‬‬
‫‪ 36‬סמ"ר‬
‫‪3‬‬
‫‪ 125‬סמ"ק‬
‫‪8‬‬
‫‪ 64‬סמ"ר‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1‬סמ"ק‬
‫‪9‬‬
‫‪ 100‬סמ"ר‬
‫‪5‬‬
‫‪ 54‬סמ"ר‬
‫‪10‬‬
‫‪ 4‬סמ"ר‬
‫• תיבה‬
‫אנחנו מכירים את התיבה בהרבה חפצים בחיי היום יום‪:‬‬
‫קופסת גפרורים‪/‬סיגריות‪ ,‬ארגזים‪ ,‬ארונות וכו’‪.‬‬
‫מדובר במנסרה שבסיסיה ופאותיה מלבנים‪.‬‬
‫• נפח תיבה‬
‫נפח התיבה יחושב בכפל של כל מימדי התיבה‪ :‬נפח תיבה = גובה · רוחב ·אורך‬
‫לדוגמא‪ :‬נפח התיבה בשרטוט הוא‪ 24=2⋅3⋅4 :‬סמ"ק‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬מהו נפח התיבה בשרטוט?‬
‫‪ .2‬מהו נפח התיבה בשרטוט?‬
‫‪ | 4‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫•שטח פני התיבה‬
‫קחו תיבה לידכם (זו יכולה להיות קופסת גפרורים‪ ,‬קופסת סיגריות‪ ,‬ארגז כלשהו)‪ ,‬אתם תגלו‬
‫שלתיבה יש שלושה זוגות של פאות‪.‬‬
‫תלת מימד‬
‫שטח הפאה הראשונה הוא‪a⋅b :‬‬
‫שטח הפאה השנייה הוא‪a⋅c :‬‬
‫ושטח הפאה השלישית הוא‪b⋅c :‬‬
‫מכיוון שכך שטח פניה של התיבה הוא פעמיים סכום כל המכפלות הפנימיות והוא‬
‫יחושב בצורה הבאה‪ 2ab+2ac+2bc :‬או (‪.2)ab+ac+bc‬‬
‫או בעברית‪ :‬שטח פני התיבה= (אורך ‪ x‬רוחב ‪ +‬אורך ‪ x‬גובה ‪ +‬גובה ‪ x‬רוחב)‪2‬‬
‫לדוגמא‪ :‬שטח פניה של התיבה בשרטוט הוא‪:‬‬
‫(‪ 52=2⋅26 ⇐ 2)6+8+12( ⇐ 2)2⋅3+2⋅4+3⋅4‬סמ"ר‬
‫‪ .3‬מהו שטח פניה של התיבה בשרטוט?‬
‫‪ .4‬מהו שטח פניה של התיבה בשרטוט?‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪5‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪ 15‬סמ"ק‬
‫‪2‬‬
‫‪ 60‬סמ"ק‬
‫‪4‬‬
‫‪ 112‬סמ"ר‬
‫‪3‬‬
‫‪ 46‬סמ"ר‬
‫• גליל‬
‫את הגליל אנחנו מכירים מכמה חפצים בחיי היום יום‪:‬‬
‫פחית שתייה‪ ,‬נייר טואלט‪ ,‬עמודים וכו’‪.‬‬
‫הגליל הוא מנסרה שבסיסיה הם מעגלים‪.‬‬
‫• נפח הגליל‬
‫העניין הופך להיות קל אם אנחנו חושבים על הגליל כמארז דיסקים לצריבה‪,‬‬
‫מה שיקבע את הנפח יהיה שטח הדיסק (שטח המעגל) ומספר הדיסקים‬
‫במארז (גובה הגליל)‪.‬‬
‫ולכן נפח גליל יהיה ‪( πR2h :‬כאשר ‪ h‬הוא הגובה)‬
‫או בעברית‪ :‬נפח גליל = שטח המעגל ·גובה‬
‫לדוגמא‪ :‬נפח הגליל בשרטוט הוא‪ 20π=π⋅4⋅5 ⇐ π⋅22⋅5 ⇐ :‬סמ"ק‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬מהו נפחו של הגליל בשרטוט?‬
‫‪ .2‬מהו נפחו של הגליל בשרטוט?‬
‫‪10‬‬
‫‪ | 6‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫תלת מימד‬
‫‪ .3‬מהו נפחו של הגליל בשרטוט?‬
‫‪ .4‬מהו נפחו של הגליל בשרטוט?‬
‫• שטח מעטפת הגליל‬
‫המעטפת היא האצה של הסושי‪ ,‬החלק האדום בפחית קוקה קולה‪ ,‬אם נפתח אותם ונפרוש אותם‪,‬‬
‫נגלה שמדובר במלבן (נסו בפעם הבאה שתאכלו סושי‪ ,‬השף היפני ישמח מאוד!)‪.‬‬
‫בכדי לחשב את שטח המעטפת נכפול את היקף בסיס הגליל בגובה הגליל‪.‬‬
‫או בעברית‪ :‬שטח המעטפת = גובה ‪ x‬היקף המעגל‬
‫לדוגמא‪ :‬שטח מעטפת הגליל בשרטוט הוא‪:‬‬
‫‪ 20π-4π⋅5 ⇐ 2⋅π⋅2⋅5 ⇐ 2πR⋅h‬סמ"ר‬
‫‪ .5‬מהו שטח מעטפת הגליל בשרטוט?‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪7‬‬
‫‪ .6‬מהו שטח מעטפת הגליל בשרטוט?‬
‫‪ .7‬מהו שטח מעטפת הגליל בשרטוט?‬
‫‪ .8‬מהו שטח מעטפת הגליל בשרטוט?‬
‫• שטח פני הגליל‬
‫אם תסתכלו על פחית קוקה קולה‪ ,‬תגלו ששטח פניה מורכב משני הבסיסים המעגליים ומהמעטפת‬
‫(החלק האדום בפחית קוקה קולה)‪ .‬לכן חישוב שטח הפנים יהיה סכום שטח שני המעגלים ושטח‬
‫המעטפת‪ ,‬שכפי שכבר הסברנו בתחילת המבוא לתלת מימד יחושב בכפל היקף מעגל הבסיס בגובה‪.‬‬
‫או בעברית‪ :‬שטח פני הגליל = שטח מעגל ·‪ + 2‬היקף המעגל ·גובה‬
‫הנוסחא היא‪ h( 2πR)R+h( ⇐ 2)πRh+πR2( ⇐ 2πR⋅h+2⋅πR2 ⇐ :‬מייצג את הגובה)‬
‫אם כך הנוסחא הסופית בעברית היא‪ :‬שטח פני הגליל = (גובה ‪ +‬רדיוס) היקף המעגל‬
‫לדוגמא‪ :‬שטח פני הגליל בשרטוט הוא‪:‬‬
‫(‪ 28π=4π⋅7 ⇐ 2π⋅2)2+5( ⇐ 2πR)R+h‬סמ"ר‬
‫‪ | 8‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫תלת מימד‬
‫‪ .9‬מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?‬
‫‪ .10‬מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?‬
‫‪ .11‬מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?‬
‫‪.12‬‬
‫מהו שטח הפנים של הגליל בשרטוט?‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪9‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪ 12π‬סמ"ק‬
‫‪7‬‬
‫‪ 30π‬סמ"ר‬
‫‪2‬‬
‫‪ 250π‬סמ"ק‬
‫‪8‬‬
‫‪ 120π‬סמ"ר‬
‫‪3‬‬
‫‪ 45π‬סמ"ק‬
‫‪9‬‬
‫‪ 20π‬סמ"ר‬
‫‪4‬‬
‫‪ 600π‬סמ"ק‬
‫‪10‬‬
‫‪ 150π‬סמ"ר‬
‫‪6‬‬
‫‪ 100π‬סמ"ר‬
‫‪12‬‬
‫‪ 320π‬סמ"ר‬
‫‪5‬‬
‫‪ 12π‬סמ"ר‬
‫‪11‬‬
‫‪ 48π‬סמ"ר‬
‫• גופים עם "שפיץ"‬
‫פירמידה היא גוף תלת מימדי‪ ,‬כאשר מכל קודקודי הבסיס נמשכים מקצועות לקודקוד (“שפיץ”)‬
‫נוסף במישור אחר‪.‬‬
‫או בעברית‪ :‬אתם מכירים כבר פירמידות‪ ,‬הדבר היחיד שחשוב להוסיף‪ ,‬הוא ששמה של הפירמידה‬
‫נקבע ע”פ הבסיס‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫• חרוט הוא פירמידה עגולה‪ ,‬הבסיס עגול והקודקוד (“שפיץ”)‬
‫נמצא בדיוק מעל נקודת המרכז‪.‬‬
‫או בעברית‪ :‬כובע של ליצן‪ ,‬החרוטים הכתומים בכביש וכו’‪ .‬לדוגמא‪:‬‬
‫• נפח צורה עם שפיץ‪:‬‬
‫הכלל לגבי גופים תלת מימדיים עם "שפיץ" הוא שחישוב הנפח יהיה של הצורה המקורית ללא‬
‫ה"שפיץ" (חרוט היה גליל‪ ,‬פירמידה מרובעת הייתה תיבה וכו') חלקי ‪.3‬‬
‫שטח בסיס⋅גובה‬
‫או בעברית‪ :‬נפח צורה עם שפיץ =‬
‫‪3‬‬
‫לדוגמא‪ :‬נפחה של הפירמידה בשרטוט הוא‪:‬‬
‫‪10⋅6⋅4‬‬
‫‪10⋅6⋅4‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫=‪ 80=10⋅2⋅4‬סמ"ק‬
‫נפחו של החרוט בשרטוט הוא‪:‬‬
‫‪πR2h‬‬
‫‪4π⋅6‬‬
‫‪π⋅22⋅6‬‬
‫⇐‬
‫⇐‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ | 10‬גיאומטריה‬
‫‪4π⋅6‬‬
‫⇐‬
‫‪3‬‬
‫⇐‪ 8π=4π⋅2‬סמ"ק‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫תרגילים‬
‫תלת מימד‬
‫‪ .1‬מהו נפחה של הפירמידה בשרטוט בסמ”ר?‬
‫‪ .2‬מהו נפחו של החרוט בשרטוט בסמ”ר?‬
‫‪ .3‬מהו נפחה של הפירמידה בשרטוט בסמ”ר?‬
‫‪ .4‬מהו נפחו של החרוט בשרטוט בסמ”ר?‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪11‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪80‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8π‬‬
‫‪20 .1‬‬
‫פירמידה היא צורה עם "שפיץ"‪ .‬נחשב את נפחה כשטח בסיס כפול גובה חלקי ‪.3‬‬
‫‪3⋅4⋅5‬‬
‫‪=4⋅5=20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15π .2‬‬
‫נפחו של חרוט‪ ,‬צורה עם "שפיץ"‪ ,‬שווה לשטח בסיס כפול גובה חלקי ‪.3‬‬
‫‪π325‬‬
‫‪πr2h‬‬
‫=‬
‫‪=π3⋅5=15π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪80 .3‬‬
‫פירמידה היא צורה עם "שפיץ"‪ .‬נחשב את נפחה כשטח בסיס כפול גובה חלקי ‪.3‬‬
‫‪6⋅4⋅10‬‬
‫‪=2⋅4⋅10=80‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8π .4‬‬
‫את נפח החרוט‪ ,‬צורה עם "שפיץ"‪ ,‬נחשב כשטח הבסיס כפול הגובה חלקי ‪.3‬‬
‫‪πr2h‬‬
‫‪π226‬‬
‫=‬
‫‪=π4⋅2=8π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ | 12‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬