תרגילים ופתרונות

‫הנקודה במערכת צירים‬
‫‪ .1‬בשרטוט שלפניך משורטטת מערכת צירים כך‬
‫שאורך כל משבצת = ‪ 1‬יחידה‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודות שבשרטוט‪.‬‬
‫) ‪A( ,‬‬
‫) ‪H( ,‬‬
‫) ‪B( ,‬‬
‫) ‪K( ,‬‬
‫) ‪C( ,‬‬
‫) ‪O( ,‬‬
‫) ‪D( ,‬‬
‫) ‪R( ,‬‬
‫) ‪E( ,‬‬
‫) ‪S( ,‬‬
‫) ‪F( ,‬‬
‫) ‪T( ,‬‬
‫) ‪G( ,‬‬
‫‪F‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪x‬‬
‫‪R‬‬
‫‪E‬‬
‫‪O‬‬
‫‪C‬‬
‫‪T‬‬
‫‪S‬‬
‫‪K‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט שלפניך משורטטת מערכת צירים כך‬
‫שאורך כל משבצת = ‪ 1‬יחידה‪.‬‬
‫סמן את הנקודות הבאות בשרטוט‪.‬‬
‫) ‪A( 1 , 7‬‬
‫)‪H(5,5‬‬
‫) ‪B( 3 , −7‬‬
‫) ‪K ( − 2 ,1‬‬
‫) ‪C( 5 , −3‬‬
‫) ‪O(1 , − 2‬‬
‫) ‪D( 4 ,0‬‬
‫) ‪R( 0 , 0‬‬
‫) ‪E ( − 4 ,6‬‬
‫) ‪S ( − 4 , −1‬‬
‫) ‪F (0 , 7‬‬
‫) ‪T (2 , − 6‬‬
‫) ‪G( 0 , −3‬‬
‫‪G‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬מצא את אורכי הקטעים שבין כל זוג נקודות בסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)‪A(1 , 5‬‬
‫)‪B(4 , 5‬‬
‫א‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫) ‪E ( −1 , 9‬‬
‫) ‪F ( −1 , 5‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫)‪H ( 0, − 1‬‬
‫)‪B (3 , 0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫) ‪N (1 , 5‬‬
‫)‪M (1 , − 3‬‬
‫ח‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫) ‪D ( −10 , 4‬‬
‫) ‪C ( −6 , 4‬‬
‫) ‪R ( −2 , 0‬‬
‫ט‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫) ‪K ( −4 , − 8‬‬
‫)‪P ( −4 , −1‬‬
‫) ‪M ( −3, 7‬‬
‫‪4‬יח' =‪CD‬‬
‫‪8‬יח'=‪MN‬‬
‫‪4‬יח'=‪EF‬‬
‫תשובות‪ 3 :‬יח'= ‪AB‬‬
‫‪4‬יח'=‪8 QR‬יח'=‪LM‬‬
‫‪15‬יח' = ‪CB‬‬
‫‪7‬יח'=‪PK‬‬
‫) ‪G ( 0 , − 10‬‬
‫) ‪C ( −12 , 0‬‬
‫) ‪Q ( −2 , 4‬‬
‫) ‪L (5 , 7‬‬
‫‪9‬יח' = ‪HG‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬בשרטוט נתון משולש ‪ABC‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪.‬‬
‫רשום את שיעורי הנקודות ‪C ,B ,A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורכי הצלעות‪CB ,AC :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪.ABC‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪A ( 2 , 6 ) B ( 5 , 1) C ( 2 , 1) .‬‬
‫ב‪4 .‬יח' = ‪AC‬‬
‫‪3‬יח'=‪CB‬‬
‫ג ‪ 6‬יח"ר‬
‫‪ .5‬בשרטוט נתון משולש ‪ABC‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬רשום את שיעורי הנקודות ‪C ,B ,A‬‬
‫ב‪ .‬מצא את אורכי הצלעות ‪CB ,AC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש ‪ABC‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫א‪A ( −2,5 ) B ( 4, − 2 ) C ( −2, − 2 ) .‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ 7 .‬יח'=‪ 6 AC‬יח'=‪CB‬‬
‫ג‪ 21 .‬יח"ר‬
‫‪y‬‬
‫‪ .6‬בשרטוט שממול מצא‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬שטח משולש ‪ABC‬‬
‫ב‪ .‬שטח משולש ‪AOC‬‬
‫ג‪.‬‬
‫שטח משולש ‪ABO‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫א‪ 27.5 .‬יח"ר‬
‫ב‪ 12.5 .‬יח"ר‬
‫ג‪ 15 .‬יח"ר‬
‫‪x‬‬
‫‪C‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.7‬‬
‫בתרגילים הבאים מצא את שטחי המשולשים שבשרטוט‬
‫א‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪H‬‬
‫‪A‬‬
‫‪K‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Cx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S‬‬
‫‪E‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪F‬‬
‫‪Q‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪M‬‬
‫‪y‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪T‬‬
‫‪G‬‬
‫‪x‬‬
‫‪P‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫א‪ 30 .‬יח"ר‬
‫ה‪ 13.5 .‬יח"ר‬
‫ב‪ 13.5 .‬יח"ר‬
‫ו‪ 14 .‬יח"ר‬
‫ג‪ 22 .‬יח"ר‬
‫ז‪ 15 .‬יח"ר‬
‫ד‪ 12 .‬יח"ר‬
‫ח‪ 16 .‬יח"ר‬
‫ט‪ 17.5 .‬יח"ר‬
‫‪3‬‬
‫הקו הישר – מתבנית לגרף‬
‫‪ .1‬בשרטוט ממול משורטט הישר ‪. y = 2 x + 4‬‬
‫א‪ .‬התבונן בשרטוט ובדוק אילו מהנקודות הבאות‬
‫נמצאת על הישר שבשרטוט‪.‬‬
‫)‪A(1, 6‬‬
‫)‪B(2 , 5‬‬
‫)‪C (− 1, 2‬‬
‫)‪D ( −1,1‬‬
‫)‪E (− 1, 3‬‬
‫) ‪F ( −1, 2‬‬
‫) ‪G (5 , 4‬‬
‫) ‪H (− 2 , 0‬‬
‫)‪K (0 , 5‬‬
‫)‪L(0 ,4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬הצב את הנקודות מסעיף קודם במשוואת הישר הנתונה‬
‫‪ , y = 2 x + 4‬ומצא אילו מהנקודות מקיימות את משוואת‬
‫הישר הנתונה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מה הקשר בין תשובותיך לסעיפים א' וב'?‬
‫תשובות‪ :‬א‪L ,H ,F ,C ,A .‬‬
‫ב‪L ,H ,F ,C , .‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט גרף הפונקציה ‪. y = −2 x + 1‬‬
‫א‪ .‬כל הנקודות הרשומות למטה נמצאות על הישר‪,‬‬
‫התבונן בשרטוט והשלם את השיעורים החסרים‪:‬‬
‫) ___ ‪B(− 2 ,‬‬
‫)‪D( ___ , 3‬‬
‫) ___ ‪F (3 ,‬‬
‫) ‪H (___, − 5‬‬
‫) ‪M (___,1‬‬
‫‪y‬‬
‫) ___ ‪A(0 ,‬‬
‫) ___ ‪C (3 ,‬‬
‫) ‪E ( ___ , 7‬‬
‫) ‪G (___, 5‬‬
‫) __ ‪K (4 ,‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬פתור את סעיף א' בדרך אלגברית‪ ,‬ע"י הצבה בתבנית‬
‫‪y = −2 x + 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .3‬נתונה משוואת הישר‪y = −2 x + 3 :‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא שלוש נקודות כלשהן על הישר‪.‬‬
‫ב‪ .‬על סמך תשובתך לסעיף קודם שרטט גרף‬
‫הישר הנתון ‪. y = −2 x + 3‬‬
‫ג‪ .‬שרטט באותה מערכת צירים גרף המתאים‬
‫לישר ‪. y = − x + 1‬‬
‫ד‪ .‬באיזו נקודה נפגשים שני הגרפים ששרטטת?‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬פתור את מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ y = −2 x + 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = −x +1‬‬
‫ו‪ .‬מה הקשר בין התשובות שקיבלת בסעיפים ד'‪ ,‬ה'?‬
‫)‪( 2 , − 1‬‬
‫תשובה ד'‪:‬‬
‫‪ .4‬נתונים הישרים‪y = − x + 4 :‬‬
‫; ‪y = 2x − 5‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬שרטט את שני הישרים באותה מערכת צירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיזו נקודה בשרטוט נפגשים שני הישרים ששרטטת?‬
‫ג‪ .‬בדוק תשובתך ע"י פתרון מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ y = 2x − 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y = −x + 4‬‬
‫‪ .5‬נתונים הישרים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y = x+3‬‬
‫; ‪y = 3x − 5‬‬
‫א‪ .‬שרטט במחברתך את שני הישרים באותה מערכת צירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬באיזו נקודה בשרטוט נפגשים שני הישרים הנ"ל?‬
‫ג‪ .‬בדוק תשובתך לסעיף קודם ע"י פתרון מערכת המשוואות‪:‬‬
‫‪ y = 3x − 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪y = x +3‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שטח המשולש הנוצר בין הישרים וציר ‪.y‬‬
‫תשובות‪ :‬ב‪.‬‬
‫)‪(4 , 7‬‬
‫ד‪ 16 .‬יח"ר‬
‫‪5‬‬
‫)‪(a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .6‬הישר )‪ (a‬שמשוואותו ‪ y = 4 x + 6‬והישר )‪ (b‬שמשוואתו ‪x − 5‬‬
‫‪3‬‬
‫= ‪ y‬יוצרים עם‬
‫‪y‬‬
‫‪K‬‬
‫ציר ה‪ y -‬משולש ‪.FKG‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪F ,G ,K‬‬
‫ב‪ .‬מצא את המרחק בין שני קודקודי המשולש המונחים על ציר ה‪.y-‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬מהקודקוד ‪ F‬מעבירים אנך לציר ‪ .y‬מצא את אורך האנך בין‬
‫הקודקוד לציר ה – ‪.y‬‬
‫)‪(b‬‬
‫ד‪ .‬מצא את שטח המשולש ‪.KGF‬‬
‫‪G‬‬
‫תשובות‪ :‬א‪k ( 0 , 6 ) G ( 0 , − 5 ) F ( −3, − 6 ) .‬‬
‫‪ .7‬בשרטוט הישרים‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x+6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫)‪(a‬‬
‫ב‪ 11 .‬יח'‬
‫והישר ‪y = x + 3‬‬
‫ג‪ 3 .‬יח'‬
‫)‪(b‬‬
‫ד‪ 16.5 .‬יח"ר‬
‫)‪(b‬‬
‫‪y‬‬
‫‪E‬‬
‫‪K‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות שבשרטוט‬
‫‪D‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח משולש ‪DEK‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח משולש ‪FGK‬‬
‫‪x‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫)‪(a‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫א‪F ( −3, 0 ) G (12, 0 ) k ( 2, 5 ) .‬‬
‫ב‪ 3 .‬יח"ר‬
‫)‪D ( 0,3‬‬
‫) ‪E ( 0, 6‬‬
‫ג‪ 22.5 .‬יח"ר‬
‫‪6‬‬
‫הפרמטרים של משוואת הישר‬
‫‪y = mx + n‬‬
‫השלם את הטבלה הבאה‪:‬‬
‫משוואת ישר‬
‫הפרמטר ‪m‬‬
‫הפרמטר ‪n‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪y = 2x + 4‬‬
‫‪m=2‬‬
‫‪n=4‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪y = −3 x + 6‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x−5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪y = 5x −1‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪y = x+3‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪y = −8 x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪y = −4 x + 2‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪y =8‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x+3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.10‬‬
‫‪y = 12 x − 2‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪y = −x + 2‬‬
‫עולה‪/‬יורדת‪/‬קבועה נק' חיתוך עם‬
‫ציר ‪y‬‬
‫עולה‬
‫) ‪( 0, 4‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪n = −1‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪m=5‬‬
‫‪.13‬‬
‫‪m = −5‬‬
‫‪.14‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.15‬‬
‫‪m =1‬‬
‫‪n=2‬‬
‫‪.16‬‬
‫‪m = −1‬‬
‫‪n=6‬‬
‫‪.17‬‬
‫‪m=7‬‬
‫‪n = −1‬‬
‫)‪( 0, − 3‬‬
‫) ‪( 0, 0‬‬
‫‪m=−‬‬
‫‪7‬‬
‫שרטוט ישר לפי נקודה ושיפוע‬
‫במערכת הצירים שממול שרטט את הישרים הבאים ורשום את משוואת הישר על פי השרטוט‪:‬‬
‫א‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( −2, 0‬ושיפועו ‪m = 1‬‬
‫ב‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( −2, − 3‬ושיפועו ‪m = 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( −1, 4‬ושיפועו ‪m = 3‬‬
‫ד‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( 0, − 7‬ושיפועו ‪m = 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫א‪y = x + 2 .‬‬
‫ב‪y = 2 x + 1 .‬‬
‫ג‪y = 3 x + 7 .‬‬
‫ד‪y = 2 x − 7 .‬‬
‫‪8‬‬
‫ה‪ .‬עובר בנקודה‬
‫) ‪( −1, 2‬‬
‫ושיפועו ‪m = −2‬‬
‫ו‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( −5, 0‬ושיפועו ‪m = −1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫ז‪ .‬עובר בנקודה )‪ (1, − 1‬ושיפועו ‪m = −3‬‬
‫ח‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( 2, − 3‬ושיפועו ‪m = −2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫ה‪y = −2 x .‬‬
‫ו‪y = − x − 5 .‬‬
‫ז‪y = −3 x + 2 .‬‬
‫ח‪y = −2 x + 1 .‬‬
‫‪9‬‬
‫ט‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( −1,5‬ושיפועו ‪m = 0‬‬
‫י‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( 2,3‬ושיפועו ‪m = 0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫י"א‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( 0, − 1‬ושיפועו ‪m = −3‬‬
‫י"ב‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( −2,3‬ושיפועו ‪m = −1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫ט‪y = 5 .‬‬
‫י‪y = 3 .‬‬
‫י"א‪y = −3x − 1 .‬‬
‫י"ב‪y = − x + 1 .‬‬
‫‪10‬‬
‫י"ג‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( 0, 0‬ושיפועו ‪m = −2‬‬
‫י"ד‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( −2,3‬ושיפועו ‪m = −1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ט"ו‪ .‬עובר בנקודה ) ‪ ( −2, 0‬ושיפועו ‪m = 3‬‬
‫ט"ז‪ .‬עובר בנקודה )‪ ( 0, − 3‬ושיפועו ‪m = −2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫י"ג‪y = −2 x .‬‬
‫י"ד‪y = − x + 1 .‬‬
‫ט"ו‪y = 3 x + 6 .‬‬
‫י"ב‪y = −2 x − 3 .‬‬
‫‪11‬‬
‫ישרים מקבילים‬
‫‪ .1‬במערכת הצירים שממול שרטט את הישרים‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪y = 2 x − 5 .‬‬
‫ב‪y = 2 x .‬‬
‫ג‪y = 2 x + 3 .‬‬
‫ד‪y = 2 x − 2 .‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬מה תוכל לומר על הגרפים של הישרים בשרטוט?‬
‫ו‪ .‬מה הקשר בין שיפועי הישרים הנתונים?‬
‫‪ .2‬שרטט במערכת הצרים שממול את הישרים הבאים‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪y = − x + 4 .‬‬
‫ב‪y = − x + 6 .‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪y = −x‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪y = −x − 7‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬מה תוכל לומר על הגרפים של הישרים בשרטוט?‬
‫ו‪ .‬מה הקשר בין שיפועי הישרים הנתונים?‬
‫‪12‬‬
‫‪ .3‬שרטט באותה מערכת צירים את הישרים‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪y = x + 5 .‬‬
‫ב‪y = x − 5 .‬‬
‫ג‪y = − x + 5 .‬‬
‫ד‪y = − x − 5 .‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הישרים‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫) ‪( 0,5) ( 0, − 5) ( 5, 0 ) ( −5, 0‬‬
‫‪ .4‬שרטט באותה מערכת צירים את הישרים‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪y = x + 3 .‬‬
‫ב‪y = x − 3 .‬‬
‫ג‪y = − x + 3 .‬‬
‫ד‪y = − x − 3 .‬‬
‫‪x‬‬
‫ה‪ .‬מצא את שיעורי נקודות החיתוך של הישרים‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫) ‪( 0,3) ( 0, − 3) ( 3, 0 ) ( −3, 0‬‬
‫‪13‬‬