‫מבוא לאותיות‬ ‫אותיות‬ ‫מבוא‬ ‫מסקר שנערך עולה שנשים נמשכות לגברים שפותרים את החידות שנמצאות בסוף העיתון (סודוקו קל והציור השבועי לילד‬ ‫אינם נחשבים)‪ .‬לפעמים יש בסוף העיתון שאלות אותיות‪ .‬אז אם אתה גבר רווק‪ ,‬כדאי לדעת לפתור‪...‬‬ ‫פרק‪ :‬חשיבה כמותית‪.‬‬ ‫יש לכל היותר שאלה אחת בפרק‪.‬‬ ‫זמן לשאלה‪ 1 :‬דק’‬ ‫זמן במבחן ממוחשב‪ 4 :‬דק’‬ ‫בשאלות האלה אותיות מחליפות את הספרות‪ .‬ספרות הן היחידות המרכיבות את המספרים כלומר ‪ 0‬עד ‪( 9‬מה שיש לנו בטלפון)‪.‬‬ ‫לדוגמא‪ ,‬במקום לכתוב ‪ ,225‬יכתבו לנו ‪ .AAB‬כך שבמקום הספרה ‪ 2‬יש לנו את ‪ A‬ובמקום הספרה ‪ 5‬יש לנו את ‪ .B‬השאלות‬ ‫תמיד נפתחות במשפט “בשאלה לפניך אותיות המייצגות ספרות בין ‪ 0‬ל‪.”9-‬‬ ‫עכשיו לכמה כללים חשובים בפתרון אותיות‬ ‫לפעמים יוסיפו את המילה שונות ‪“ -‬בשאלה לפניך אותיות המייצגות ספרות שונות בין ‪ 0‬ל‪ ”9-‬ואז כל ספרה תייצג אות אחת וכל‬ ‫אות תייצג ספרה אחת‪ .‬אפשר לחשוב על זה כמו על מסיבת תחפושות‪ ,‬בה אם אני אפגוש את דודו (נגיד האות ‪ )D‬והוא התחפש‬ ‫לזורו (נגיד הספרה ‪ ,)2‬אז כל דודו שנפגוש יהיה זורו וכל זורו שנפגוש יהיה דודו‪.‬‬ ‫האות השמאלית ביותר לא יכולה להיות ‪ .0‬אם יש לנו מספר כמו ‪ ,ABB‬אז האות ‪ A‬לא יכולה להיות ‪ .0‬כי בשאלות האלה אין‬ ‫מספרים כמו ג’יימס בונד (‪...)007‬‬ ‫מומלץ לרשום תרגילים של חיבור בצורה אנכית‪ .‬במקום ‪CD‬‬ ‫= ‪ AB + AC‬נרשום‪-‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪CD‬‬ ‫בצורת כתיבה כזו נוכל לראות את הטורים של האחדות‪ ,‬העשרות‪ ,‬המאות‪....‬‬ ‫מספר עקרונות מובילים לפתרון השאלות‬ ‫מי שלא משפיע הוא אפס‬ ‫כאשר מחברים שני מספרים‪ ,‬נבדוק את האחדות‪.‬‬ ‫אם חיברנו שתי ספרות‪ ,‬ואחת מהם לא השפיעה‪ ,‬אז היא ‪.0‬‬ ‫בטור האחדות חיברנו את ‪ B‬ואת ‪ ,C‬וקיבלנו את ‪ .B‬ולכן ‪C‬‬ ‫בכלל לא השפיע! יש לי ‪ B‬שקלים בכיס האוניברסיטה נתנה‬ ‫לי מענק של ‪ C‬שקלים ועדיין יש לי ‪ B‬שקלים‪.‬‬ ‫לכן ניתן להסיק ש‪-‬‬ ‫‪ | 2‬אלגברה‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אותיות‬ ‫אין מעלי אף‪1-‬‬ ‫אם חיברנו שני מספרים‪ ,‬ובתוצאה יש אות שאין מעליה אף אחד‪ ,‬אז היא ‪.1‬‬ ‫מעל האות ‪ C‬אין אף מספר ולכן ניתן להסיק ש‪C = 1 -‬‬ ‫שימו לב‪ -‬גם אם נחבר את ‪ 99‬עם ‪ 99‬נקבל את ‪.198‬‬ ‫המספר הכי שמאלי חייב להיות ‪.1‬‬ ‫הצבה‬ ‫כל מה שנותר לעשות בשאלות האלה הוא פשוט לחפש את אחת האותיות‪,‬‬ ‫ולהציב במקומה איזו ספרה‪ .‬יש סך הכל ‪ 10‬ספרות (‪ 0‬עד ‪ ,)9‬ורובן בדרך כלל לא מתאימות‪.‬‬ ‫דוגמא‪-‬‬ ‫נתון כי‪-‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪67‬‬ ‫?=‪B‬‬ ‫אין לנו כאן את שני העוגנים שראינו (מי שווה ל‪ 0-‬או מי שווה ל‪ ,)1-‬אז ננסה להציב‪.‬‬ ‫נביט על ‪ -A‬היא לא יכולה להיות ‪ 0‬כי היא הכי שמאלית‪ .‬היא לא יכולה להיות ‪ 1‬או ‪ 2‬כי זה מספרים קטנים מדי כדי להגיע ל‪.67-‬‬ ‫אם ננסה את ‪ 4‬או ‪ 5‬כבר נראה שזה מספרים גדולים מדי‪ ...‬אז ‪ A‬היא בעצם ‪ .3‬אפשר לגלות את זה גם מטור העשרות בו אנחנו‬ ‫רואים ש‪ A-‬ועוד ‪ A‬שווה ‪.6‬‬ ‫נקבל‪-‬‬ ‫‪3B‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪67‬‬ ‫לכן ‪ B‬שלנו צריך להיות שווה ל‪.4-‬‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אלגברה | ‪3‬‬ ‫כפל‪-‬‬ ‫אין הרבה שאלות אותיות של כפל‪ .‬בכפל צריך לשים לב להתנהגות המוזרה של המספרים ‪ 0‬ו‪.1-‬‬ ‫הרי מספר כפול ‪ 0‬יהיה ‪ ,0‬ומספר כפול ‪ 1‬יהיה עצמו‪ .‬הנה כמה התחכמויות עם המספרים האלה‪-‬‬ ‫= ‪A ⋅ BCC‬‬ ‫נתון כי‪ACC -‬‬ ‫כפלנו מספר‪ ,‬ו‪ C-‬נותרו כמו שהן‪ .‬ואילו במקום ‪ B‬יש לנו בתוצאה את ‪ .A‬זה כמו שכופלים מספר ב‪.100-‬‬ ‫= ‪ 9 ⋅100‬וכן הלאה‪ ...‬לכן ‪ B‬שלנו זה ‪ 1‬ו‪ C-‬שלנו זה ‪.0‬‬ ‫= ‪ 6 ⋅100‬או ‪900‬‬ ‫‪600‬‬ ‫= ‪A ⋅ BBB‬‬ ‫נתון כי‪AAA -‬‬ ‫כפלנו מספר‪ ,‬ובמקום ‪ B‬יש לנו את ‪ .A‬זה כמו שכופלים מספר ב‪.111-‬‬ ‫= ‪ 2 ⋅111‬או ‪333‬‬ ‫= ‪ 3 ⋅111‬וכן הלאה‪ ...‬לכן ניתן להסיק ש‪ B-‬הוא ‪.1‬‬ ‫‪222‬‬ ‫עוד ספרות מוזרות בכפל הן ‪ 5‬ו‪.6-‬‬ ‫אם נכפיל את ‪ 5‬בעצמו מלא פעמים‪ ,‬ספרת האחדות תישאר ‪.5‬‬ ‫= ‪5⋅5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫= ‪5⋅5⋅5‬‬ ‫‪125‬‬ ‫= ‪5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5.....‬‬ ‫‪...........5‬‬ ‫אם נכפיל את ‪ 6‬בעצמו מלא פעמים‪ ,‬ספרת האחדות תישאר ‪.6‬‬ ‫= ‪6⋅6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪6 ⋅ 6 ⋅ 6 =216‬‬ ‫= ‪6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6....‬‬ ‫‪..........6‬‬ ‫לכן אלו ספרות שהאחדות שלהן לא משתנות‪.‬‬ ‫כעת נעבור לתרגול‬ ‫‪ | 4‬אלגברה‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אותיות‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪1‬האותיות בתרגיל לפניך מייצגות ספרות שונות בין ‪ 0‬ל‪ .9-‬ידוע כי ‪ B ,A‬ו‪ C-‬הן ספרות עוקבות ( ‪) A < B < C‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪DED‬‬ ‫?= ‪E‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪2‬האותיות בתרגיל לפניך מייצגות ספרות שונות בין ‪ 0‬ל‪ .9-‬ידוע כי ‪ B ,A‬ו‪ C-‬הן ספרות עוקבות ( ‪) A < B < C‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫?=‪D‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫= ‪9⋅ B‬‬ ‫‪3‬האותיות בתרגיל לפניך מייצגות ספרות שונות בין ‪ 0‬ל‪ .9-‬ידוע כי ‪AB‬‬ ‫= ‪A⋅ B‬‬ ‫?‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪4‬האותיות בתרגיל לפניך מייצגות ספרות שונות בין ‪ 0‬ל‪ .9-‬ידוע כי‬ ‫‪ABA‬‬ ‫‪= AA‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫?=‪B‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ 5‬האותיות בתרגיל לפניך מייצגות ספרות שונות בין ‪ 0‬ל‪ .9-‬ידוע כי‬ ‫‪AAA‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪BAC‬‬ ‫= ) ‪( B − A) ⋅ ( A − C‬‬ ‫?‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אלגברה | ‪5‬‬ ‫פתרונות‬ ‫‪)0(1.1‬‬ ‫נתון לנו‪-‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪DED‬‬ ‫= ‪ . B + C‬אין לנו כאן עוגן ‪.0‬‬ ‫נבדוק תחילה את טור האחדות‪D -‬‬ ‫נבדוק אם יש כאן את ‪-1‬‬ ‫חיברנו שני מספרים‪ ,‬ומעל ‪ D‬אין אף אחד‪ ,‬ולכן הוא שווה ‪ .1‬נכתוב את התרגיל מחדש‪-‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1E1‬‬ ‫כעת מה שנותר הוא להציב‪ .‬אנחנו יודעים ש‪ C,B,A-‬הם מספרים עוקבים‪ ,‬וכי באחדות חיברנו את ‪ B‬ו‪ C-‬וקיבלנו את ‪.1‬‬ ‫לכן ‪ B = 5‬ו‪ . C = 6 -‬מכאן ניתן לדעת ש‪ , A = 4 -‬כי הם מספרים עוקבים‪ .‬התרגיל הוא‪-‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪56‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪101‬‬ ‫לכן ניתן להסיק ש‪E = 0 -‬‬ ‫‪ | 6‬אלגברה‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אותיות‬ ‫‪)3(2.2‬‬ ‫נתון‪-‬‬ ‫‪CA‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪DC‬‬ ‫= ‪ . A + C‬אז מכיוון ש‪ A -‬לא השפיע‪ ,‬הוא ‪.0‬‬ ‫נבדוק תחילה את טור האחדות‪C -‬‬ ‫כעת אנו יודעים ש‪ B ,A -‬ו‪ C-‬הן ספרות עוקבות ( ‪ ,) A < B < C‬אז הם בעצם‪.0,1,2 -‬‬ ‫נציב בתרגיל ונקבל‪-‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ולכן ‪D = 3‬‬ ‫‪)20(3.3‬‬ ‫זו שאלת כפל‪ ,‬ולכן אין את העוגנים של ‪ 0‬ושל ‪.1‬‬ ‫= ‪9⋅ B‬‬ ‫אנו יודעים כי‪AB -‬‬ ‫נחפש מספר שניתן להציב במקום ‪ ,B‬ולקבל את אותה ספרת אחדות‪ .‬המספר הוא ‪.5‬‬ ‫=‪, A 4,‬‬ ‫=ו‪A ⋅ B = 4 ⋅ 5 = 20 -‬‬ ‫נקבל‪45 -‬‬ ‫= ‪ . 9 ⋅ 5‬ולכן ‪B 5‬‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אלגברה | ‪7‬‬ ‫‪)2(4.4‬‬ ‫זו שאלת חילוק‪ .‬הרבה פעמים עדיף להפוך חילוק לכפל (כמו שאנחנו מעדיפים להפוך חיסור לחיבור)‪.‬‬ ‫נקבל‪-‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫‪AA‬‬ ‫•‬ ‫‪ABA‬‬ ‫כעת כפלנו ונותרה אותה ספרת אחדות‪ .‬ננסה להציב מספרים‪ .‬נניח ש‪ . A = 1 -‬נקבל‪-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪121‬‬ ‫•‬ ‫זה מתאים לנו‪ ,‬ויוצא ש‪B = 2 -‬‬ ‫‪)1(5.5‬‬ ‫נתון לנו‪-‬‬ ‫‪AAA‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪BAC‬‬ ‫= ) ‪( B − A) ⋅ ( A − C‬‬ ‫ושואלים‪? -‬‬ ‫דרך א’‪ -‬הרגילה‪:‬‬ ‫נבדוק אם יש כאן את ‪-1‬‬ ‫חיברנו מספר תלת ספרתי‪ ,‬עם דו ספרתי‪ ,‬וקיבלנו מספר תלת ספרתי אחר‪.‬‬ ‫נכון שאין כאן את המקרה של “אין מעלי אף ‪ ,”1‬אבל אפשר לראות שההפרש בין שני‬ ‫התלת ספרתיים הוא לא גדול‪ ,‬אז הם פשוט מאה אחרי מאה‪ .‬זאת אומרת ש‪ B-‬גדול מ‪ A-‬ב‪.1-‬‬ ‫(אם זה היה ‪ 8‬מאות אז זה הפך ל‪ ...900-‬או אם זה היה ‪ ,100‬אז זה הפך ל‪.)200-‬‬ ‫‪ | 8‬אלגברה‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אותיות‬ ‫אז ננסה להציב במקום ‪ A‬מספר‪,‬‬ ‫ובמקום ‪ B‬מספר הגדול ממנו ב‪.1-‬‬ ‫נקבל‪-‬‬ ‫=‪. A 1,‬‬ ‫=‬ ‫נניח‪B 2 -‬‬ ‫‪111‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪21C‬‬ ‫אז ‪ C‬אמור להיות ‪ .0‬כי ‪. 111 + 99 = 110 + 100 = 210‬‬ ‫נציב את כולם במה ששאלו‪ .‬נקבל‪-‬‬ ‫‪( B − A) ⋅ ( A − C ) = (2 − 1) ⋅ (1 − 0) = 1 ⋅1 = 1‬‬ ‫דרך ב’‪ -‬הממש מגניבה‪:‬‬ ‫‪AAA‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪BAC‬‬ ‫חיברו למספר עם אותן ספרות‪ ,AAA ,‬את ‪ .99‬מה יקרה? התשובה תהיה גדולה כמעט ב‪ .100-‬אז ‪ B‬גדול ב‪ 1-‬מ‪.A-‬‬ ‫אבל ‪ C‬יהיה קטן ב‪ 1-‬מ‪ ,A-‬כי זה מספר באחדות שחיברו לו ‪( !9‬תחשבו‪)16 = 9 + 7 -‬‬ ‫אז שואלים אותנו מהו‪( B − A) ⋅ ( A − C ) -‬‬ ‫בסוגריים משמאל זה ההפרש בין ‪ B‬ל‪ ,A-‬והוא ‪.1‬‬ ‫בסוגריים הימניים זה ההפרש בין ‪ A‬ל‪ ,C-‬זה גם ‪.1‬‬ ‫= ‪1 ⋅1‬‬ ‫ואז‪1 -‬‬ ‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬ ‫אלגברה | ‪9‬‬