‫מבוא למרובעים א'‬
‫מרובעים א'‬
‫מבוא‬
‫מרובע הוא מצולע בעל ‪ 4‬קודקודים‪ 4 ,‬צלעות ו‪ 4 -‬זוויות‪.‬‬
‫מרובעים לדוגמא‪:‬‬
‫זוויות במרובע‬
‫בכל מצולע סכום הזוויות מחושב על פי הנוסחא )‪ n( 180(n-2‬הוא מספר הצלעות בצורה)‬
‫ובמרובע על פי הנוסחא סכום הזוויות הוא‪. 180(n-2)=180(4-2)=180∙2=360°:‬‬
‫חישוב זוויות במרובע‪:‬‬
‫סכום זוויות במרובע הוא ‪360°‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪α+β+γ+δ=360°‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫תחילה נחשב את כל הזוויות שניתן בתוך המרובע‪ ,‬זווית ‪ β‬משלימה ל‪180° -‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪β=180-160=20°‬‬
‫כעת נחשב את הזווית ‪ α‬ע"פ סכום זוויות במרובע‪:‬‬
‫⇒ ‪α+100+130+20=360°‬‬
‫⇒ ‪α+250=360‬‬
‫⇒ ‪α=360-250‬‬
‫‪α=110‬‬
‫‪ | 2‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫תרגילים‬
‫מרובעים א'‬
‫‪ .1‬על פי נתוני השרטוט‪ ,‬לכמה שווה זווית ‪?=α‬‬
‫‪ .2‬על פי נתוני השרטוט‪ ,‬לכמה שווה זווית ‪?=α‬‬
‫‪ .3‬על פי נתוני השרטוט‪ ,‬לכמה שווה זווית ‪?=α‬‬
‫‪ .4‬על פי נתוני השרטוט‪ ,‬לכמה שווה זווית ‪?=α‬‬
‫‪ .5‬על פי נתוני השרטוט‪ ,‬לכמה שווה זווית ‪?=α‬‬
‫‪ .6‬על פי נתוני השרטוט‪ ,‬לכמה שווה הביטוי ‪?α+β‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪3‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪50°‬‬
‫‪140°‬‬
‫‪140°‬‬
‫‪110°‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪220°‬‬
‫‪ | 4‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מרובעים א'‬
‫טרפזים‬
‫מרובע ובו שתי צלעות מקבילות נקרא טרפז‪.‬‬
‫הצלעות המקבילות נקראות בסיסים‪.‬‬
‫ושתי הצלעות האחרות נקראות שוקיים‪.‬‬
‫סכום הזוויות בכל שוק של הטרפז ‪.180º‬‬
‫(אבל את זה אתם כבר יודעים מקווים מקבילים)‬
‫לדוגמא ‪x+y=180º , a+b=180º :‬‬
‫כל תכונותיו של הטרפז נובעות משני הבסיסים המקבילים‪,‬‬
‫מכיוון שכך ניתן להשתמש בידע שרכשנו בזוויות בין מקבילים בגילוי זוויות בטרפז‪.‬‬
‫חישוב זוויות בטרפז‪:‬‬
‫ידוע לנו שסכום הזוויות על שוק אחת הוא ‪180°‬‬
‫נציב ונחשב‪:‬‬
‫‪α=140° ⇐ α+40=180°‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ ABCD .1‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬כמה שווה זווית ‪?α‬‬
‫הקודמת‪ ,‬כמה שווה זווית ‪?β‬‬
‫ֿ‬
‫‪ .2‬בהמשך לנתוני השאלה‬
‫‪ ABCD .3‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬כמה שווה זווית ‪?α‬‬
‫‪ .4‬בהמשך לנתוני השאלה הקודמת‪ ,‬כמה שווה זווית ‪?β‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪5‬‬
‫‪ ABCD .5‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬כמה שווה זווית ‪?α‬‬
‫‪ .6‬בהמשך לנתוני השאלה הקודמת‪ ,‬כמה שווה זווית ‪?β‬‬
‫‪ ABCD .7‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬כמה שווה הביטוי ‪?α+β‬‬
‫צלעות הטרפז‬
‫במבוא לזוויות במקבילים‪ ,‬קווים מקבילים הוגדרו כקווים שלעולם לא ייפגשו (אפילו לא בבית כנסת) והמרחק ביניהם תמיד‬
‫זהה בשל כך‪ ,‬המרחק הזה הוא‪ ...‬גובה הטרפז!!!‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫טרפז ישר זווית‬
‫הינו טרפז שאחת מזוויותיו ישרה‪ .‬מפאת תכונתו של הטרפז שזוויות על אותו שוק משלימות ל‪ ,180° -‬גם הזווית האחרת על‬
‫אותה שוק תהיה ישרה‪ .‬שימו לב‪ :‬גובה הטרפז שווה לאותה שוק!!!‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫טרפז שווה שוקיים‬
‫הינו טרפז שהשוקיים שלו שוות‪ .‬הוא יוצר סימטריה שמקלה עלינו בחישוב צלעות וזוויות‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫‪ | 6‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מרובעים א'‬
‫בשרטוט ניתן לראות שהשוקיים שוות והזוויות על אותו בסיס גם כן שוות גם האלכסונים שווים‪ ,‬אף על פי שאינם‬
‫מצוינים בשרטוט‪.‬‬
‫מציאת שוקי טרפז שווה שוקיים באמצעות משפט פיתגורס‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪13‬‬
‫בכדי לחשב את שוקי הטרפז נתחיל בהורדת שני גבהים‪ ,‬שייצרו מלבן שיאפשר לנו לחלק את הבסיס הגדול‪.‬‬
‫(טרפז שווה שוקיים הוא סימטרי)‬
‫עתה נותר לנו לחשב ע"פ משפט פיתגורס את השוק‪ ,‬או במקרה הזה להבחין בשלשה הפיתגורית ‪ 3:4:5‬ולדעת שהשוק‬
‫שווה ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫חשוב מאוד‪ :‬חישוב שוקי טרפז שאינו שווה שוקיים‪( :‬הסבר מפורט מהמדריך בכיתה)‬
‫מכיוון שאין סימטריה‪ ,‬גילוי שכזה מצריך‪ ,‬משולשים ישרי זווית מיוחדים‪ ,‬דוגמת משולש "סמי" או משולש "דוגמנית"‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ ABCD .8‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬ע"פ נתוני השרטוט‪ ,‬כמה שווה ‪?x‬‬
‫‪ ABCD .9‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬ע"פ נתוני השרטוט‪ ,‬כמה שווה ‪?x‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪7‬‬
‫‪ ABCD .10‬הוא טרפז ‪ ,AB || CD‬ע"פ נתוני השרטוט‪ ,‬כמה שווה ‪?x‬‬
‫שטח הטרפז‬
‫)סכום הבסיסים( ‪ x‬גובה‬
‫שטח טרפז =‬
‫‪2‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫בכדי לחשב את שטח הטרפז נציב בנוסחת השטח ונחשב‪:‬‬
‫‪(4+8)∙6‬‬
‫‪12∙6‬‬
‫=‬
‫‪=12∙3=36‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .11‬בשרטוט שלפניך טרפז ‪ .)AB || DC( ABCD‬מהו שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .12‬בשרטוט שלפניך טרפז ‪ .)AB || CD ( ABCD‬מהו שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .13‬בשרטוט שלפניך טרפז ‪ .)AB || CD ( ABCD‬מהו שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ | 8‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫פיתרונות‬
‫מרובעים א'‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪150°‬‬
‫‪50°‬‬
‫‪45°‬‬
‫‪120°‬‬
‫‪60°‬‬
‫‪25°‬‬
‫‪300°‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪17‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪48‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪9‬‬
‫דלתון‬
‫אם אי פעם שיחקתם או אפילו ראיתם עפיפון‪ ,‬אתם כבר יודעים הכל על דלתון‪.‬‬
‫דלתון הוא מרובע בעל שני זוגות של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫הדלתון הוא בעצם חיבור של שני משולשים שווי שוקיים‬
‫בבסיס משותף‪.‬‬
‫• מעתה נקרא לאלכסון שמהווה את הבסיס המשותף “אלכסון משותף“ (הקו המקווקו)‬
‫זווית הדלתון‬
‫מכיוון שהדלתון ניתן לפירוק לשני משולשים שווי שוקיים‪,‬‬
‫הזוויות המורכבות מזוויות הבסיס של המשולשים שוות‪.‬‬
‫או בעברית‪ :‬על פי השרטוט ‪B= D‬‬
‫‪ | 10‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מרובעים א'‬
‫חישוב זוויות בדלתון‪:‬‬
‫בשרטוט נתון דלתון ‪?=α ,ABCD‬‬
‫אנו יודעים שזוויות ‪ B‬ו‪D -‬‬
‫ושסכום זוויות במרובע הוא ‪.360°‬‬
‫נציב ונחשב‪:‬‬
‫⇒ ‪α+α+110+50=360‬‬
‫⇒ ‪2α=360-160=200‬‬
‫⇒ ‪2α=200‬‬
‫‪α=100°‬‬
‫שוות‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬בשרטוט נתון דלתון ‪?=α .ABCD‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט נתון דלתון ‪?=α .ABCD‬‬
‫"כל מה שרציתם לדעת על…" אלכסוני הדלתון‪:‬‬
‫כל הכללים הקיימים באלכסוני הדלתון נובעים מהכלל של "אוהל סיירים" שלמדתם במשולשים שווי שוקיים‪,‬‬
‫מכיוון שמדובר בעצם בחיבור של שני משולשים שווי שוקיים עם בסיס משותף‪.‬‬
‫האלכסונים‪:‬‬
‫• מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫• האלכסון הרגיל חוצה את "האלכסון המשותף"‪.‬‬
‫• האלכסון הרגיל חוצה את הזוויות ‪.‬‬
‫• יוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית (ייפי פיתגורס)‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪11‬‬
‫חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון‪:‬‬
‫בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ DB=16‬ו‪ ,AC=21 -‬כמה שווה היקפו של הדלתון?‬
‫במצבים כאלו משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים ‪ 4‬משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫אם "האלכסון המשותף" שווה ‪ 16‬חציו שווה ל‪ ,8 -‬וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה‬
‫הפיתגורית ‪ 3:4:5‬בהרחבה ל‪ 6:8:10 -‬וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל‬
‫(ראה שרטוט)‬
‫עתה נותר לחשב את צלע ‪ CB‬ע"פ השלשה הפיתגורית ‪8:15:17‬‬
‫כלומר‪ .CB=17 ,‬מכיוון ש‪ AB=AD -‬ו‪CD=CB -‬‬
‫יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא ⇐ ‪54=10+10+17+17‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .3‬בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪ DB=30 :‬ו‪ ,AC=28 -‬כמה שווה היקפו של הדלתון?‬
‫‪ .4‬בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪ DB=24 :‬ו‪ ,AC=14 -‬כמה שווה היקפו של הדלתון?‬
‫‪ .5‬בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪ DB=24 :‬ו‪ ,AC=21 -‬כמה שווה היקפו של הדלתון?‬
‫‪ .6‬בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪ DB=6 :‬ו‪ ,AC=4+3√3 -‬כמה שווה היקפו של הדלתון?‬
‫‪ | 12‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מרובעים א'‬
‫‪ .7‬בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ DB=6‬ו‪ ,AC=7 -‬כמה שווה היקפו של הדלתון?‬
‫שטח דלתון‬
‫כמרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה‪:‬‬
‫אלכסון ‪ x‬אלכסון‬
‫שטח דלתון =‬
‫‪2‬‬
‫חישוב שטח דלתון‪:‬‬
‫בשרטוט שלפניך דלתון‪ ,‬נתון כי‪:‬‬
‫‪ DB=6‬ו‪ ,AC=7 -‬כמה שווה שטחו של הדלתון?‬
‫נציב בנוסחא ונחשב‪:‬‬
‫‪=3∙7=21‬‬
‫‪6∙7‬‬
‫‪2‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .8‬נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא ‪ 3‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ ,‬מה שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .9‬נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא ‪ 3‬ס"מ ו‪ 8 -‬ס"מ‪ ,‬מה שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .10‬נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא ‪ 5‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ‪ ,‬מה שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .11‬נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא ‪ 10‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ‪ ,‬מה שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .12‬נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא ‪ 10‬ס"מ ו‪ 4 -‬ס"מ ‪ ,‬מה שטחו (בסמ"ר)?‬
‫‪ .13‬נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא ‪ 3‬ס"מ ו‪ 5 -‬ס"מ‪ ,‬מה שטחו (בסמ"ר)?‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪13‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪110°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪84‬‬
‫‪56‬‬
‫‪66‬‬
‫‪22‬‬
‫‪10+6√2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪7.5‬‬
‫הסברים לשאלות ‪:3-7‬‬
‫‪ .3‬במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים ‪ 4‬משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫אם "האלכסון המשותף" שווה ‪ 30‬חציו שווה ל‪ ,15 -‬וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה‬
‫הפיתגורית ‪ 8:15:17‬וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט)‪ .‬עתה נותר‬
‫לחשב את צלע ‪ CB‬ע"פ השלשה הפיתגורית ‪ 3:4:5‬או במקרה הזה הרחבתה ל‪15:20:25 -‬‬
‫כלומר‪.CB=25 ,‬‬
‫מכיוון ש‪ AB=AD :‬ו‪ CD=CB -‬יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא‪:‬‬
‫⇐ ‪84=25+25+17+17‬‬
‫‪ .4‬במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים ‪ 4‬משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫אם "האלכסון המשותף" שווה ‪ 24‬חציו שווה ל‪ ,12 -‬וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה‬
‫הפיתגורית ‪ 5:12:13‬וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט)‬
‫עתה נותר לחשב את צלע ‪ CB‬ע"פ השלשה הפיתגורית ‪ 3:4:5‬בהרחבה ל‪9:12:15 -‬‬
‫כלומר‪ .CB=15 ,‬מכיוון ש‪ AB=AD :‬ו‪CD=CB -‬יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר‬
‫אותן ולגלות כי ההיקף הוא‪56=15+15+13+13 ⇐ :‬‬
‫‪ .5‬במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים ‪ 4‬משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫אם "האלכסון המשותף" שווה ‪ 24‬חציו שווה ל‪ ,12 -‬וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה‬
‫הפיתגורית ‪ 5:12:13‬וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט)‬
‫עתה נותר לחשב את צלע ‪ CB‬ע"פ השלשה הפיתגורית ‪ 3:4:5‬בהרחבה ל‪12:16:20 -‬‬
‫כלומר‪ .CB=20 ,‬מכיוון ש‪ AB=AD :‬ו‪ CD=CB -‬יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר‬
‫אותן ולגלות כי ההיקף הוא‪66=20+20+13+13 ⇐ :‬‬
‫‪ .6‬במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים ‪ 4‬משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫אם "האלכסון המשותף" שווה ‪ 6‬חציו שווה ל‪ ,3 -‬וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה‬
‫הפיתגורית ‪ 3:4:5‬וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט)‬
‫עתה נותר לחשב את צלע ‪ CB‬ויש לנו כאן רמז ‪ √3‬הרומז על משולש "דוגמנית"‪,‬‬
‫אם כך ‪ CB‬הוא היתר במשולש דוגמנית ולכן גדול פי ‪ 2‬מ‪ .OB -‬כלומר‪.CB=6 ,‬‬
‫מכיוון ש‪ AB=AD :‬ו‪ CD=CB -‬יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות‬
‫כי ההיקף הוא‪22=5+5+6+6 ⇐ :‬‬
‫‪ .7‬במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים ‪ 4‬משולשים ישרי זווית‪.‬‬
‫אם "האלכסון המשותף" שווה ‪ 6‬חציו שווה ל‪ ,3 -‬וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה‬
‫הפיתגורית ‪ 3:4:5‬וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט)‬
‫עתה נותר לחשב את צלע ‪ CB‬ואנו מזהים שנוצר לנו משולש "סמי" בו ‪ CB‬הוא יתר‬
‫ולכן גדול פי ‪ √2‬מהניצב‪ .‬כלומר‪ .CB=3√2 ,‬מכיוון ש‪ AB=AD :‬ו‪ CD=CB -‬יש לנו את‬
‫כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא‪10+6√2=5+5+3√2+3√2 ⇐ :‬‬
‫‪ | 14‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬