מבוא למרובעים א' מרובעים א' מבוא מרובע הוא מצולע בעל 4קודקודים 4 ,צלעות ו 4 -זוויות. מרובעים לדוגמא: זוויות במרובע בכל מצולע סכום הזוויות מחושב על פי הנוסחא ) n( 180(n-2הוא מספר הצלעות בצורה) ובמרובע על פי הנוסחא סכום הזוויות הוא. 180(n-2)=180(4-2)=180∙2=360°: חישוב זוויות במרובע: סכום זוויות במרובע הוא 360° ולכן: α+β+γ+δ=360° לדוגמא: תחילה נחשב את כל הזוויות שניתן בתוך המרובע ,זווית βמשלימה ל180° - ולכן: β=180-160=20° כעת נחשב את הזווית αע"פ סכום זוויות במרובע: ⇒ α+100+130+20=360° ⇒ α+250=360 ⇒ α=360-250 α=110 | 2גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ תרגילים מרובעים א' .1על פי נתוני השרטוט ,לכמה שווה זווית ?=α .2על פי נתוני השרטוט ,לכמה שווה זווית ?=α .3על פי נתוני השרטוט ,לכמה שווה זווית ?=α .4על פי נתוני השרטוט ,לכמה שווה זווית ?=α .5על פי נתוני השרטוט ,לכמה שווה זווית ?=α .6על פי נתוני השרטוט ,לכמה שווה הביטוי ?α+β כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 3 פתרונות 1 2 3 4 5 6 50° 140° 140° 110° 90° 220° | 4גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מרובעים א' טרפזים מרובע ובו שתי צלעות מקבילות נקרא טרפז. הצלעות המקבילות נקראות בסיסים. ושתי הצלעות האחרות נקראות שוקיים. סכום הזוויות בכל שוק של הטרפז .180º (אבל את זה אתם כבר יודעים מקווים מקבילים) לדוגמא x+y=180º , a+b=180º : כל תכונותיו של הטרפז נובעות משני הבסיסים המקבילים, מכיוון שכך ניתן להשתמש בידע שרכשנו בזוויות בין מקבילים בגילוי זוויות בטרפז. חישוב זוויות בטרפז: ידוע לנו שסכום הזוויות על שוק אחת הוא 180° נציב ונחשב: α=140° ⇐ α+40=180° תרגילים ABCD .1הוא טרפז ,AB || CDכמה שווה זווית ?α הקודמת ,כמה שווה זווית ?β ֿ .2בהמשך לנתוני השאלה ABCD .3הוא טרפז ,AB || CDכמה שווה זווית ?α .4בהמשך לנתוני השאלה הקודמת ,כמה שווה זווית ?β כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 5 ABCD .5הוא טרפז ,AB || CDכמה שווה זווית ?α .6בהמשך לנתוני השאלה הקודמת ,כמה שווה זווית ?β ABCD .7הוא טרפז ,AB || CDכמה שווה הביטוי ?α+β צלעות הטרפז במבוא לזוויות במקבילים ,קווים מקבילים הוגדרו כקווים שלעולם לא ייפגשו (אפילו לא בבית כנסת) והמרחק ביניהם תמיד זהה בשל כך ,המרחק הזה הוא ...גובה הטרפז!!! לדוגמא: טרפז ישר זווית הינו טרפז שאחת מזוויותיו ישרה .מפאת תכונתו של הטרפז שזוויות על אותו שוק משלימות ל ,180° -גם הזווית האחרת על אותה שוק תהיה ישרה .שימו לב :גובה הטרפז שווה לאותה שוק!!! לדוגמא: טרפז שווה שוקיים הינו טרפז שהשוקיים שלו שוות .הוא יוצר סימטריה שמקלה עלינו בחישוב צלעות וזוויות. לדוגמא: | 6גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מרובעים א' בשרטוט ניתן לראות שהשוקיים שוות והזוויות על אותו בסיס גם כן שוות גם האלכסונים שווים ,אף על פי שאינם מצוינים בשרטוט. מציאת שוקי טרפז שווה שוקיים באמצעות משפט פיתגורס: 5 13 בכדי לחשב את שוקי הטרפז נתחיל בהורדת שני גבהים ,שייצרו מלבן שיאפשר לנו לחלק את הבסיס הגדול. (טרפז שווה שוקיים הוא סימטרי) עתה נותר לנו לחשב ע"פ משפט פיתגורס את השוק ,או במקרה הזה להבחין בשלשה הפיתגורית 3:4:5ולדעת שהשוק שווה 5ס"מ. חשוב מאוד :חישוב שוקי טרפז שאינו שווה שוקיים( :הסבר מפורט מהמדריך בכיתה) מכיוון שאין סימטריה ,גילוי שכזה מצריך ,משולשים ישרי זווית מיוחדים ,דוגמת משולש "סמי" או משולש "דוגמנית". תרגילים ABCD .8הוא טרפז ,AB || CDע"פ נתוני השרטוט ,כמה שווה ?x ABCD .9הוא טרפז ,AB || CDע"פ נתוני השרטוט ,כמה שווה ?x כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 7 ABCD .10הוא טרפז ,AB || CDע"פ נתוני השרטוט ,כמה שווה ?x שטח הטרפז )סכום הבסיסים( xגובה שטח טרפז = 2 לדוגמא: בכדי לחשב את שטח הטרפז נציב בנוסחת השטח ונחשב: (4+8)∙6 12∙6 = =12∙3=36 2 2 תרגילים .11בשרטוט שלפניך טרפז .)AB || DC( ABCDמהו שטחו (בסמ"ר)? .12בשרטוט שלפניך טרפז .)AB || CD ( ABCDמהו שטחו (בסמ"ר)? .13בשרטוט שלפניך טרפז .)AB || CD ( ABCDמהו שטחו (בסמ"ר)? | 8גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ פיתרונות מרובעים א' 1 2 3 4 5 6 7 150° 50° 45° 120° 60° 25° 300° 8 9 10 11 12 13 13 17 10 8 9 48 כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 9 דלתון אם אי פעם שיחקתם או אפילו ראיתם עפיפון ,אתם כבר יודעים הכל על דלתון. דלתון הוא מרובע בעל שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. הדלתון הוא בעצם חיבור של שני משולשים שווי שוקיים בבסיס משותף. • מעתה נקרא לאלכסון שמהווה את הבסיס המשותף “אלכסון משותף“ (הקו המקווקו) זווית הדלתון מכיוון שהדלתון ניתן לפירוק לשני משולשים שווי שוקיים, הזוויות המורכבות מזוויות הבסיס של המשולשים שוות. או בעברית :על פי השרטוט B= D | 10גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מרובעים א' חישוב זוויות בדלתון: בשרטוט נתון דלתון ?=α ,ABCD אנו יודעים שזוויות BוD - ושסכום זוויות במרובע הוא .360° נציב ונחשב: ⇒ α+α+110+50=360 ⇒ 2α=360-160=200 ⇒ 2α=200 α=100° שוות תרגילים .1בשרטוט נתון דלתון ?=α .ABCD .2בשרטוט נתון דלתון ?=α .ABCD "כל מה שרציתם לדעת על…" אלכסוני הדלתון: כל הכללים הקיימים באלכסוני הדלתון נובעים מהכלל של "אוהל סיירים" שלמדתם במשולשים שווי שוקיים, מכיוון שמדובר בעצם בחיבור של שני משולשים שווי שוקיים עם בסיס משותף. האלכסונים: • מאונכים זה לזה. • האלכסון הרגיל חוצה את "האלכסון המשותף". • האלכסון הרגיל חוצה את הזוויות . • יוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית (ייפי פיתגורס) כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 11 חישוב צלעות ואלכסונים בדלתון: בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי: DB=16ו ,AC=21 -כמה שווה היקפו של הדלתון? במצבים כאלו משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים 4משולשים ישרי זווית. אם "האלכסון המשותף" שווה 16חציו שווה ל ,8 -וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה הפיתגורית 3:4:5בהרחבה ל 6:8:10 -וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט) עתה נותר לחשב את צלע CBע"פ השלשה הפיתגורית 8:15:17 כלומר .CB=17 ,מכיוון ש AB=AD -וCD=CB - יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא ⇐ 54=10+10+17+17 תרגילים .3בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי DB=30 :ו ,AC=28 -כמה שווה היקפו של הדלתון? .4בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי DB=24 :ו ,AC=14 -כמה שווה היקפו של הדלתון? .5בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי DB=24 :ו ,AC=21 -כמה שווה היקפו של הדלתון? .6בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי DB=6 :ו ,AC=4+3√3 -כמה שווה היקפו של הדלתון? | 12גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מרובעים א' .7בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי: DB=6ו ,AC=7 -כמה שווה היקפו של הדלתון? שטח דלתון כמרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה: אלכסון xאלכסון שטח דלתון = 2 חישוב שטח דלתון: בשרטוט שלפניך דלתון ,נתון כי: DB=6ו ,AC=7 -כמה שווה שטחו של הדלתון? נציב בנוסחא ונחשב: =3∙7=21 6∙7 2 תרגילים .8נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא 3ס"מ ו 4 -ס"מ ,מה שטחו (בסמ"ר)? .9נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא 3ס"מ ו 8 -ס"מ ,מה שטחו (בסמ"ר)? .10נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא 5ס"מ ו 4 -ס"מ ,מה שטחו (בסמ"ר)? .11נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא 10ס"מ ו 6 -ס"מ ,מה שטחו (בסמ"ר)? .12נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא 10ס"מ ו 4 -ס"מ ,מה שטחו (בסמ"ר)? .13נתון דלתון שאורך אלכסוניו הוא 3ס"מ ו 5 -ס"מ ,מה שטחו (בסמ"ר)? כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 13 פתרונות 1 2 3 4 5 6 7 110° 80° 84 56 66 22 10+6√2 8 9 10 11 12 13 6 12 10 30 20 7.5 הסברים לשאלות :3-7 .3במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים 4משולשים ישרי זווית. אם "האלכסון המשותף" שווה 30חציו שווה ל ,15 -וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה הפיתגורית 8:15:17וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט) .עתה נותר לחשב את צלע CBע"פ השלשה הפיתגורית 3:4:5או במקרה הזה הרחבתה ל15:20:25 - כלומר.CB=25 , מכיוון ש AB=AD :ו CD=CB -יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא: ⇐ 84=25+25+17+17 .4במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים 4משולשים ישרי זווית. אם "האלכסון המשותף" שווה 24חציו שווה ל ,12 -וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה הפיתגורית 5:12:13וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט) עתה נותר לחשב את צלע CBע"פ השלשה הפיתגורית 3:4:5בהרחבה ל9:12:15 - כלומר .CB=15 ,מכיוון ש AB=AD :וCD=CB -יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא56=15+15+13+13 ⇐ : .5במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים 4משולשים ישרי זווית. אם "האלכסון המשותף" שווה 24חציו שווה ל ,12 -וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה הפיתגורית 5:12:13וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט) עתה נותר לחשב את צלע CBע"פ השלשה הפיתגורית 3:4:5בהרחבה ל12:16:20 - כלומר .CB=20 ,מכיוון ש AB=AD :ו CD=CB -יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא66=20+20+13+13 ⇐ : .6במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים 4משולשים ישרי זווית. אם "האלכסון המשותף" שווה 6חציו שווה ל ,3 -וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה הפיתגורית 3:4:5וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט) עתה נותר לחשב את צלע CBויש לנו כאן רמז √3הרומז על משולש "דוגמנית", אם כך CBהוא היתר במשולש דוגמנית ולכן גדול פי 2מ .OB -כלומר.CB=6 , מכיוון ש AB=AD :ו CD=CB -יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא22=5+5+6+6 ⇐ : .7במצבים כאלה משפט פיתגורס יבוא לעזרנו מכיוון שנוצרים 4משולשים ישרי זווית. אם "האלכסון המשותף" שווה 6חציו שווה ל ,3 -וגילינו במשולש ישר הזווית את השלשה הפיתגורית 3:4:5וגילינו מהחישוב הזה את חלוקת האלכסון הרגיל (ראה שרטוט) עתה נותר לחשב את צלע CBואנו מזהים שנוצר לנו משולש "סמי" בו CBהוא יתר ולכן גדול פי √2מהניצב .כלומר .CB=3√2 ,מכיוון ש AB=AD :ו CD=CB -יש לנו את כל הצלעות ונותר רק לחבר אותן ולגלות כי ההיקף הוא10+6√2=5+5+3√2+3√2 ⇐ : | 14גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ
© Copyright 2024