‫מבוא למעגלים א'‬
‫מעגלים א'‬
‫מבוא‬
‫מעגל‬
‫מעגל‪ :‬אוסף נקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה‪ .‬נקודה זו נקראת מרכז המעגל‬
‫ומסומנת באות האנגלית ‪.O‬‬
‫רדיוס‪ :‬הקו המחבר בין נקודה על היקף המעגל לבין מרכז המעגל‪.‬‬
‫כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה‪.‬‬
‫כל המעגלים בעולם דומים זה לזה‪ .‬מה שיוצר את ההבדל בין מעגל אחד למשנהו הוא‬
‫אורך הרדיוס‪.‬‬
‫מיתר‪ :‬קו ישר המחבר שתי נקודות על היקף מעגל‪ .‬ככל שמיתר מתקרב למרכז המעגל הוא גדל‪.‬‬
‫קוטר‪ :‬מיתר העובר דרך מרכז המעגל‪ .‬הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר במעגל ואורכו‬
‫שווה לשני רדיוסים‪.‬‬
‫קשת‪ :‬חלק מהיקף המעגל‪( .‬הקו המודגש)‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫בשרטוט לפנייך מעגל שמרכזו ‪ .O‬נתון‪ 2=OB ,AB=AO :‬ס"מ‪ .‬מה שטחו של משולש ‪?AOB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫משום ש‪ BO -‬ו‪ AO -‬הם רדיוסים של מעגל‪ ,‬הם שווים זה לזה‪ .‬ולפי נתוני השאלה גם ‪AB‬‬
‫שווה להם‪ ,‬ולכן מדובר במשולש שווה צלעות‪ .‬נציב בנוסחא לחישוב שטח משולש שווה‬
‫צלעות בעזרת אורך הצלע‪:‬‬
‫‪a2√3 22√3‬‬
‫‪4√3‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪=√3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫תרגילים‬
‫‪ .1‬בשרטוט לפנייך מעגל שמרכזו ‪ 12 =AO .O‬ס"מ‪ .‬מה אורך קוטר המעגל?‬
‫‪ | 2‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מעגלים א'‬
‫‪ .2‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬נתון‪ABO=40° :‬‬
‫‪ .‬מה גודלה של זווית ‪AOB‬‬
‫‪ .3‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬נתון‪ 5=AB :‬ס"מ‪AOB=60° .‬‬
‫?‬
‫‪.‬מה אורכו של קוטר המעגל?‬
‫‪ .4‬נתון מעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫על פי הנתונים והשרטוט‪ ,‬איזו מהתשובות היא הגדולה ביותר?‬
‫(‪AB )1‬‬
‫(‪CD )2‬‬
‫(‪ )3‬תשובות ‪ 1‬ו‪ 2-‬שוות‬
‫(‪ )4‬לא ניתן לדעת‬
‫‪ .5‬נתון מעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫‪OD<OE‬‬
‫על פי הנתונים והשרטוט‪ ,‬איזו מהתשובות היא הגדולה ביותר?‬
‫(‪AB )1‬‬
‫(‪AC )2‬‬
‫(‪ )3‬תשובות ‪ 1‬ו‪ 2-‬שוות‬
‫(‪ )4‬לא ניתן לדעת‬
‫‪ .6‬נתון מעגל שמרכזו ‪.O‬‬
‫האנכים המחברים את המיתרים למרכז המעגל שווים ל‪ 1-‬ס"מ‪.‬‬
‫על פי הנתונים והשרטוט‪ ,‬איזו מהתשובות היא הגדולה ביותר?‬
‫(‪AB )1‬‬
‫(‪CD )2‬‬
‫(‪ )3‬תשובות ‪ 1‬ו‪ 2-‬שוות‬
‫(‪ )4‬לא ניתן לדעת‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪3‬‬
‫זווית היקפית‪ :‬זווית שקודקודה נמצא על היקף המעגל‪ ,‬ושוקיה הם מיתרים במעגל‪.‬‬
‫• כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫זווית ‪ α‬היא זווית היקפית הנשענת על הקשת ‪ .AB‬גם זווית ‪ β‬היא זווית היקפית‬
‫הנשענת על הקשת ‪ .AB‬לכן ניתן להסיק ש‪α=β -‬‬
‫זווית מרכזית‪ :‬זווית שקוקודה במרכז המעגל‪ ,‬ושוקיה הם רדיוסים במעגל‪.‬‬
‫• זווית מרכזית גדולה פי ‪ 2‬מזווית היקפית המשקיפה על אותה קשת‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫זווית ‪ α‬היא זווית מרכזית במעגל‪ ,‬ונשענת על קשת ‪ .AB‬זווית ‪ β‬היא זווית היקפית‬
‫במעגל‪ ,‬ונשענת על קשת ‪ .AB‬לכן ניתן להסיק ש‪α=2β -‬‬
‫‪ .7‬לפי נתוני השרטוט‪?=α ,‬‬
‫‪ .8‬לפי נתוני השרטוט‪?=α+β ,‬‬
‫‪ .9‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬לפי נתוני השרטוט‪?=α ,‬‬
‫‪ | 4‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מעגלים א'‬
‫‪ .10‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬לפי נתוני השרטוט‪?=α ,‬‬
‫‪ .11‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬לפי נתוני השרטוט‪?=α+β ,‬‬
‫• זווית היקפית הנשענת על הקוטר שווה ‪.90°‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬אורך רדיוס המעגל שווה ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 10=BC‬ס"מ‪ .‬מה אורך המיתר ‪?AB‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫משום שזווית ‪ ABC‬היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר‪ ,‬היא שווה ל‪ .90° -‬משולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית‪,‬‬
‫ולכן נעזר בפיתגורס על מנת לגלות את אורך ‪ .AB‬אורכו של ‪ AC‬הוא ‪ 26‬ס"מ‪ ,‬משום שהוא קוטר ושווה לשני רדיוסים‪ .‬נתון‬
‫שאורך ‪ BC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪ ,‬ולכן מדובר בשלשה ‪ 5,12,13‬שהורחבה פי ‪ .2‬לכן ארך ‪ AB‬הוא ‪( .24‬הוא ‪ ,12‬שהורחב גם פי ‪.)2‬‬
‫‪ .12‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪?=α+β .O‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .13‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬אורך רדיוס המעגל הוא ‪ 2‬ס"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3 =AB‬ס"מ‪ .‬מה שטחו של משולש ‪?ABC‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪5‬‬
‫‪ .14‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬מה סכום הגדלים של הזוויות המודגשות‬
‫(‪BCD‬‬
‫‪?) BAD+‬‬
‫• חסימה במעגל‪:‬‬
‫צורה החסומה במעגל היא צורה שכל קודקודיה על היקף המעגל‪.‬‬
‫ניתן לחסום במעגל‪ .‬אך לא כל מרובע‪.‬‬
‫במרובע החסום במעגל סכום שתי זוויות נגדיות הוא ‪180°‬‬
‫‪ α+β=180°‬וגם‪γ+δ=180°:‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬לפי הנתונים שבשרטוט‪BAD ,‬‬
‫=?‬
‫תשובה‪:‬‬
‫משום שסכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא ‪ ,180°‬והזווית הנגדית ל‪BAD -‬‬
‫היא בת ‪,75°‬‬
‫אז עליה להשלים ל‪.180° -‬‬
‫⇒ ‪BAD+75°=180°‬‬
‫‪BAD=105°‬‬
‫שימו לב! מתוך המרובעים שאנו מכירים יש כאלה שתמיד סכום זוויותיהם הנגדיות יהיה שווה ל‪.180° -‬‬
‫כמו מלבן‪ ,‬ריבוע וטרפז שווה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .15‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬לפי הנתונים שבשרטוט‪?=α ,‬‬
‫‪ .16‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל שמרכזו ‪ .O‬לפי הנתונים שבשרטוט‪?=α ,‬‬
‫‪ | 6‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מעגלים א'‬
‫‪ .17‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬לפי הנתונים שבשרטוט‪?=α ,‬‬
‫‪ .18‬מרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬לפי הנתונים שבשרטוט‪?=α ,‬‬
‫• משיק למעגל‪:‬‬
‫משיק ‪ +‬רדיוס‬
‫משיק הוא ישר הנוגע בהיקף המעגל בנקודה אחת‪( .‬נותן לו נשיקה)‪.‬‬
‫בשרטוט לפניך הישר ‪ a‬משיק למעגל בנקודה ‪.F‬‬
‫• הזווית הנוצרת בין משיק לבין רדיוס שווה ל‪.90° -‬‬
‫דמיינו שהשרטוט לעיל הוא גלגל של אופניים על הכביש‪.‬‬
‫מה היה קורה לרוכב אם הזווית לא הייתה ישרה?‬
‫• זווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית המשקיפה על המיתר מצדו השני‪.‬‬
‫• משיק ‪ +‬משיק‬
‫כאשר משיקים נפגשים זה עם זה‪ ,‬אם נחבר אותם לרדיוסים‪,‬‬
‫ניצור שני משולשים ישרי זווית חופפים‪.‬‬
‫בשרטוט חופפים ‪ OBC‬ו‪ AOC -‬וישרי זווית‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪7‬‬
‫‪ .19‬בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ‪ .O‬הישר ‪ AC‬משיק למעגל בנקודה ‪.B‬‬
‫נתון‪ , BOC=60° :‬רדיוס המעגל= ‪?=BC .√3‬‬
‫‪ .20‬בשרטוט לפניך ישר המשיק למעגל בנקודה ‪ .A‬לפי נתוני השרטוט‪?=α+β ,‬‬
‫‪ .21‬הישרים בשרטוט משיקים למעגל בנקודות ‪ A‬ו‪ .B -‬נתון‪ACB=40° :‬‬
‫‪ | 8‬גיאומטריה‬
‫‪?=α‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מעגלים א'‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪9‬‬
‫פתרונות‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 24‬ס"מ‬
‫‪100°‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫(‪ CD )2‬גדול יותר‬
‫‪ CA‬גדול יותר‬
‫(‪ )3‬תשובות‬
‫‪ 1‬ו‪ 2-‬נכונות‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪30°‬‬
‫‪36°‬‬
‫‪40°‬‬
‫‪72°‬‬
‫‪35°‬‬
‫‪90°‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ 6‬סמ"ר‬
‫‪180°‬‬
‫‪80°‬‬
‫‪130°‬‬
‫‪70°‬‬
‫‪120°‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪3‬‬
‫‪100°‬‬
‫‪70°‬‬
‫‪ 24 .1‬ס"מ‬
‫הקוטר שווה לשני רדיוסים‪ .‬אם אורך הרדיוס הוא ‪ ,12‬אז אורך הקוטר שווה ‪.24‬‬
‫‪100° .2‬‬
‫מכיוון ש‪ OA -‬ו‪ OB -‬הם רדיוסים במעגל‪ ,‬אורכם שווה‪ .‬לכן המשולש ‪ AOB‬הוא משולש שווה שוקיים‪ .‬לפי הנתונים‬
‫בשאלה ‪ , ABO=40°‬משום שמדובר בשווה שוקיים אז גם ‪. BAO=40°‬‬
‫לפי סכום זווית במשולש‪ ,‬על זווית ‪ AOB‬להשלים ל‪ .180° -‬ולכן היא שווה ל‪.100° -‬‬
‫‪40+40+ AOB=180 ⇒ 80+ AOB=180 ⇒ AOB=100‬‬
‫‪ 10 .3‬ס"מ‬
‫במשולש ‪ ABO‬ידוע לנו ש‪ AO -‬ו‪ BO -‬שווים‪ ,‬משום שהם רדיוסים במעגל‪.‬‬
‫משום שזווית אחת במשולש שווה שוקיים שווה ‪ ,60°‬אנו יודעים שהמשולש הוא שווה צלעות‪ .‬לכן אם ‪ AB=5‬אז גם רדיוס‬
‫המעגל שווה ‪ .5‬הקוטר שווה לשני רדיוסים‪ ,‬ולכן שווה ‪.10‬‬
‫‪ CD )2( .4‬גדול יותר‬
‫המיתר הארוך ביותר במעגל הוא הקוטר‪ ,‬ולכן הקוטר ‪ CD‬גדול מהמיתר ‪.AB‬‬
‫‪ CA )2( .5‬גדול יותר‬
‫הקו ‪ AC‬קרוב יותר למרכז המעגל‪ ,‬משום שהקו האנכי המחבר בינו לבין נקודה ‪ O‬קצר יותר‪.‬‬
‫‪ )3( .6‬תשובות ‪ 1‬ו‪ 2-‬שוות‬
‫המרחק של ‪ AB‬ושל ‪ CD‬ממרכז המעגל זהה‪ ,‬ולכן הם באורך זהה‪.‬‬
‫‪ | 10‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מעגלים א'‬
‫‪30° .7‬‬
‫זווית ‪ α‬היא זווית היקפית הנשענת על קשת ‪ .AB‬גם זווית ‪ ACB‬היא זווית היקפית הנשענת על קשת ‪.AB‬‬
‫מכיוון שכל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות‪ ,‬אז אם נתון ש‪ , ACB=30° -‬אז גם ‪.α=30°‬‬
‫‪36° .8‬‬
‫הזוויות ‪ α‬ו‪ β -‬הזן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת ‪ .AB‬לכן הן שוות זו לזו‪ .‬גם הזווית שגודלה ‪ 18°‬היא זווית היקפית‬
‫הנשענת על אותה הקשת‪ ,‬ולכן ‪ α‬ו‪ β -‬שוות כל אחת ל‪ α .18° -‬ו‪ β -‬שוות יחד ל‪.36° -‬‬
‫‪40° .9‬‬
‫זווית ‪ α‬היא זווית היקפית הנשענת על קשת ‪ .AB‬זווית ‪ AOB‬היא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת (‪ .)AB‬זווית‬
‫מרכזית גדולה פי ‪ 2‬מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת‪ .‬לכן אם גודלה של הזווית המרכזית הוא ‪ ,80°‬אז ההיקפית‬
‫קטנה ממנה פי ‪ ,2‬ולכן שווה ל‪.40° -‬‬
‫‪72° .10‬‬
‫זווית ‪ ACB‬היא זווית היקפית הנשענת על קשת ‪ .AB‬זווית ‪ α‬היא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת‪.‬‬
‫זווית מרכזית גדולה פי ‪ 2‬מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת‪ .‬לכן זווית ‪ α‬גדולה פי ‪ 2‬מ‪ ,36° -‬ושווה ל‪.72° -‬‬
‫‪35° .11‬‬
‫הזוויות ‪ α‬ו‪ β -‬הזן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת ‪ ,AB‬לכן הן שוות זו לזו‪ .‬הזווית ‪ AOB‬היא זווית מרכזית‬
‫הנשענת על אותה הקשת (‪ .)AB‬מכיוון שזווית מרכזית גדולה פי ‪ 2‬מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת‪ ,‬אז ‪ α‬שווה‬
‫לחצי מ‪35° -‬‬
‫וגם ‪ β‬שווה לחצי מ‪ .35° -‬לכן חצי מ‪ + 35° -‬חצי מ‪ 35° -‬שווה ‪.35°‬‬
‫‪35 35 35+35 70‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫לא צריך לרוץ ולחלק‪=35 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪90° .12‬‬
‫משום שזווית ‪ABC‬‬
‫את סכום ‪ α‬ו‪.β -‬‬
‫⇒ ‪α+β+90°=180°‬‬
‫‪α+β=90°‬‬
‫היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר‪ ,‬היא שווה ל‪ .90° -‬נעזר בסכום זווית במשולש על מנת לגלות‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪11‬‬
‫‪ 6 .13‬סמ"ר‬
‫משום שזווית ‪ ABC‬היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר‪ ,‬היא שווה ל‪ .90° -‬משולש ‪ ABC‬הוא משולש ישר זווית‪,‬‬
‫וכדי לחשב את שטחו עלינו למצוא את אורך הניצבים‪ .‬נעזר בפיתגורס על מנת לגלות את אורך ‪ .BC‬אורכו של ‪ AC‬הוא ‪5‬‬
‫ס"מ‪ ,‬משום שהוא קוטר ושווה לשני רדיוסים‪ .‬נתון שאורך ‪ AB‬הוא ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬ולכן מדובר בשלשה ‪.3,4,5‬‬
‫לכן ארך ‪ AB‬הוא ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫‪AB∙BC 3∙4 70‬‬
‫=‬
‫נציב על מנת למצוא את שטח המשולש‪= =6 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪180° .14‬‬
‫זוויות ‪ABC‬‬
‫ו‪ ADC -‬הן זוויות היקפיות הנשענות על הקוטר‪ .‬לכן כל אחת מהן בת ‪ ABCD .90°‬הוא מרובע‪ ,‬וניתן‬
‫לחשב את סכום הזוויות המודגשות בעזרת סכום זוויות במרובע‪ .‬אם ‪ ABC‬שווה ‪ 90°‬וזווית ‪ ADC‬גם שווה ‪,90°‬‬
‫אז יחד הן שוות ‪ .180°‬על שתי הזווית הנותרות להשלים ל‪ ,360° -‬ולכן סכומן שווה ל‪.180° -‬‬
‫⇒ ‪ABC+ ADC+ BAD+ BCD=360°‬‬
‫⇒ ‪90°+90°+ BAD+ BCD=360°‬‬
‫‪BAD+ BCD=180°‬‬
‫‪80° .15‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬משום שסכום שתי זוויות נגדיות שלו שווה ל‪ ,180° -‬אנו יודעים כי ‪ABC=180°‬‬
‫אם נתון שזווית ‪, ABC=100°‬אז ‪.α=80°‬‬
‫‪.α+‬‬
‫‪130° .16‬‬
‫המרובע ‪ ABCD‬חסום במעגל‪ .‬משום שסכום שתי זוויות נגדיות שלו שווה ל‪ ,180° -‬אנו יודעים כי ‪BCD=180°‬‬
‫נמצא את גודל זווית ‪. BCD‬‬
‫זווית ‪ BOD‬היא זווית מרכזית הנשענת על קשת ‪ .AD‬זווית ‪ BCD‬היא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת‪.‬‬
‫לכן היא קטנה ממנה פי ‪ .2‬משום שנתון שזווית ‪ , BOD=100°‬אז זווית ‪. BCD=50°‬‬
‫כעת ידוע ש‪ α -‬צריכה להשלים אותה ל‪ ,180° -‬ולכן היא שווה ל‪.130° -‬‬
‫‪α+50°=180° ⇒ α=180°-50° ⇒ α=130°‬‬
‫‪.α+‬‬
‫‪70° .17‬‬
‫מכיוון שסכום זוויות נגדיות של מרובע החסום במעגל שווה ל‪ ,180° -‬אם נמצא את‬
‫גודלה של זווית ‪ BCD‬נדע כי ‪ α‬משלימה אותה ל‪ .180° -‬את זווית ‪ BCD‬ניתן למצוא‬
‫דרך סכום זוויות במשולש‪.‬‬
‫‪BCD=110°‬‬
‫⇒ ‪30°+40°+ BCD=180° ⇒ 70°+ BCD=180°‬‬
‫אם ‪ BCD‬שווה ‪ ,110°‬אז ‪ α‬שווה ל‪.70° -‬דרך יותר "מגניבה" (אם אפשר להגיד בכלל‬
‫דבר כזה) היא ליצור בניית עזר‪ ,‬ולראות שזווית ‪ α‬מורכבת משתי זוויות היקפיות‪ ,‬שאת‬
‫גודלן אנו כבר יודעים משום שכל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות‪.‬‬
‫ו‪CAB=30° -‬‬
‫הרי זווית ‪BAC=40°‬‬
‫‪ | 12‬גיאומטריה‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫מעגלים א'‬
‫‪120° .18‬‬
‫משום שזוויות קודקודיות שוות זו לזו‪ ,‬ניתן "להכניס" את הזוויות לתוך המעגל‪.‬‬
‫שסכום שתי זוויות נגדיות שלו שווה ל‪ ,180° -‬אנו יודעים כי‬
‫‪ .α+60°=180°‬ולכן ‪.α=180°-60°=120°‬‬
‫‪3 .19‬‬
‫משום ש‪ AC -‬משיק למעגל‪ ,‬הזווית הנוצרת בינו לבין הרדיוס היא זווית ישרה (‪ .)90°‬יחד עם הנתון ש‪, BOC=60° -‬‬
‫ניתן להסיק שמדובר במשולש דוגמנית‪ .‬נתון לנו אורך הניצב הקטן של המשולש (הרדיוס) ‪ ,√3‬ואנו רוצים למצוא את אורך‬
‫הניצב הגדול‪ .‬לכן עלינו לכפול ב‪ .√3 -‬נקבל‪.√3∙√3=3 :‬‬
‫‪100° .20‬‬
‫משום שזווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית המשקיפה על המיתר מצדו השני‪,‬‬
‫אנו יודעים כי גם זווית ‪. ABC=80°‬‬
‫כעת ניתן לראות כי בשל סכום זוויות במשולש‪ ,‬על ‪ α‬ו‪ β -‬להשלים ל‪ ,180° -‬ולכן הן‬
‫שוות יחד ל‪.100° -‬‬
‫דרך נוספת היא לראות שקיימת זווית נוספת שנוצרת בין המשיק למיתר‪ ,‬והיא שווה ל‪.β -‬‬
‫כעת ניתן לראות כי על ‪ α‬ו‪ β -‬להשלים ל‪ ,180° -‬משום שהן זוויות על קו ישר‪,‬‬
‫ולכן הן שוות יחד ל‪.100° -‬‬
‫‪70° .21‬‬
‫שני המשולשים בשרטוט חופפים וישרי זווית‪ .‬משום שנתון ‪ , ABC=40°‬אז זווית ‪ OCB‬שווה ‪.20°‬‬
‫זווית ‪ , OBC=90°‬משום שהיא זווית הנוצרת בין משיק לרדיוס‪ .‬לפי סכום זוויות במעגל‪ ,‬על ‪ α‬להשלים ל‪.180° -‬‬
‫לכן ‪20°+90°+α=180° ⇒ α=70°‬‬
‫כל הזכויות שמורות © ‪ 2012‬לזינוק בתי ספר בע"מ‬
‫גיאומטריה | ‪13‬‬