להורדת מבוא חינם לנושא זה
מבוא למעגלים א' מעגלים א' מבוא מעגל מעגל :אוסף נקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה .נקודה זו נקראת מרכז המעגל ומסומנת באות האנגלית .O רדיוס :הקו המחבר בין נקודה על היקף המעגל לבין מרכז המעגל. כל הרדיוסים במעגל שווים זה לזה. כל המעגלים בעולם דומים זה לזה .מה שיוצר את ההבדל בין מעגל אחד למשנהו הוא אורך הרדיוס. מיתר :קו ישר המחבר שתי נקודות על היקף מעגל .ככל שמיתר מתקרב למרכז המעגל הוא גדל. קוטר :מיתר העובר דרך מרכז המעגל .הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר במעגל ואורכו שווה לשני רדיוסים. קשת :חלק מהיקף המעגל( .הקו המודגש) דוגמא: בשרטוט לפנייך מעגל שמרכזו .Oנתון 2=OB ,AB=AO :ס"מ .מה שטחו של משולש ?AOB תשובה: משום ש BO -ו AO -הם רדיוסים של מעגל ,הם שווים זה לזה .ולפי נתוני השאלה גם AB שווה להם ,ולכן מדובר במשולש שווה צלעות .נציב בנוסחא לחישוב שטח משולש שווה צלעות בעזרת אורך הצלע: a2√3 22√3 4√3 = = =√3 4 4 4 תרגילים .1בשרטוט לפנייך מעגל שמרכזו 12 =AO .Oס"מ .מה אורך קוטר המעגל? | 2גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מעגלים א' .2בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .OנתוןABO=40° : .מה גודלה של זווית AOB .3בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oנתון 5=AB :ס"מAOB=60° . ? .מה אורכו של קוטר המעגל? .4נתון מעגל שמרכזו .O על פי הנתונים והשרטוט ,איזו מהתשובות היא הגדולה ביותר? (AB )1 (CD )2 ( )3תשובות 1ו 2-שוות ( )4לא ניתן לדעת .5נתון מעגל שמרכזו .O OD<OE על פי הנתונים והשרטוט ,איזו מהתשובות היא הגדולה ביותר? (AB )1 (AC )2 ( )3תשובות 1ו 2-שוות ( )4לא ניתן לדעת .6נתון מעגל שמרכזו .O האנכים המחברים את המיתרים למרכז המעגל שווים ל 1-ס"מ. על פי הנתונים והשרטוט ,איזו מהתשובות היא הגדולה ביותר? (AB )1 (CD )2 ( )3תשובות 1ו 2-שוות ( )4לא ניתן לדעת כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 3 זווית היקפית :זווית שקודקודה נמצא על היקף המעגל ,ושוקיה הם מיתרים במעגל. • כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. לדוגמא: זווית αהיא זווית היקפית הנשענת על הקשת .ABגם זווית βהיא זווית היקפית הנשענת על הקשת .ABלכן ניתן להסיק שα=β - זווית מרכזית :זווית שקוקודה במרכז המעגל ,ושוקיה הם רדיוסים במעגל. • זווית מרכזית גדולה פי 2מזווית היקפית המשקיפה על אותה קשת. לדוגמא: זווית αהיא זווית מרכזית במעגל ,ונשענת על קשת .ABזווית βהיא זווית היקפית במעגל ,ונשענת על קשת .ABלכן ניתן להסיק שα=2β - .7לפי נתוני השרטוט?=α , .8לפי נתוני השרטוט?=α+β , .9בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oלפי נתוני השרטוט?=α , | 4גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מעגלים א' .10בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oלפי נתוני השרטוט?=α , .11בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oלפי נתוני השרטוט?=α+β , • זווית היקפית הנשענת על הקוטר שווה .90° דוגמא: בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oאורך רדיוס המעגל שווה 13ס"מ. 10=BCס"מ .מה אורך המיתר ?AB תשובה: משום שזווית ABCהיא זווית היקפית הנשענת על הקוטר ,היא שווה ל .90° -משולש ABCהוא משולש ישר זווית, ולכן נעזר בפיתגורס על מנת לגלות את אורך .ABאורכו של ACהוא 26ס"מ ,משום שהוא קוטר ושווה לשני רדיוסים .נתון שאורך BCהוא 10ס"מ ,ולכן מדובר בשלשה 5,12,13שהורחבה פי .2לכן ארך ABהוא ( .24הוא ,12שהורחב גם פי .)2 .12בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו ?=α+β .O 1 .13בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oאורך רדיוס המעגל הוא 2ס"מ. 2 3 =ABס"מ .מה שטחו של משולש ?ABC כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 5 .14בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oמה סכום הגדלים של הזוויות המודגשות (BCD ?) BAD+ • חסימה במעגל: צורה החסומה במעגל היא צורה שכל קודקודיה על היקף המעגל. ניתן לחסום במעגל .אך לא כל מרובע. במרובע החסום במעגל סכום שתי זוויות נגדיות הוא 180° α+β=180°וגםγ+δ=180°: דוגמא: מרובע ABCDחסום במעגל .לפי הנתונים שבשרטוטBAD , =? תשובה: משום שסכום זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל הוא ,180°והזווית הנגדית לBAD - היא בת ,75° אז עליה להשלים ל.180° - ⇒ BAD+75°=180° BAD=105° שימו לב! מתוך המרובעים שאנו מכירים יש כאלה שתמיד סכום זוויותיהם הנגדיות יהיה שווה ל.180° - כמו מלבן ,ריבוע וטרפז שווה שוקיים. .15מרובע ABCDחסום במעגל .לפי הנתונים שבשרטוט?=α , .16מרובע ABCDחסום במעגל שמרכזו .Oלפי הנתונים שבשרטוט?=α , | 6גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מעגלים א' .17מרובע ABCDחסום במעגל .לפי הנתונים שבשרטוט?=α , .18מרובע ABCDחסום במעגל .לפי הנתונים שבשרטוט?=α , • משיק למעגל: משיק +רדיוס משיק הוא ישר הנוגע בהיקף המעגל בנקודה אחת( .נותן לו נשיקה). בשרטוט לפניך הישר aמשיק למעגל בנקודה .F • הזווית הנוצרת בין משיק לבין רדיוס שווה ל.90° - דמיינו שהשרטוט לעיל הוא גלגל של אופניים על הכביש. מה היה קורה לרוכב אם הזווית לא הייתה ישרה? • זווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית המשקיפה על המיתר מצדו השני. • משיק +משיק כאשר משיקים נפגשים זה עם זה ,אם נחבר אותם לרדיוסים, ניצור שני משולשים ישרי זווית חופפים. בשרטוט חופפים OBCו AOC -וישרי זווית. כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 7 .19בשרטוט לפניך מעגל שמרכזו .Oהישר ACמשיק למעגל בנקודה .B נתון , BOC=60° :רדיוס המעגל= ?=BC .√3 .20בשרטוט לפניך ישר המשיק למעגל בנקודה .Aלפי נתוני השרטוט?=α+β , .21הישרים בשרטוט משיקים למעגל בנקודות Aו .B -נתוןACB=40° : | 8גיאומטריה ?=α כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מעגלים א' כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 9 פתרונות 1 2 3 4 5 6 24ס"מ 100° 10ס"מ ( CD )2גדול יותר CAגדול יותר ( )3תשובות 1ו 2-נכונות 7 8 9 10 11 12 30° 36° 40° 72° 35° 90° 13 14 15 16 17 18 6סמ"ר 180° 80° 130° 70° 120° 19 20 21 3 100° 70° 24 .1ס"מ הקוטר שווה לשני רדיוסים .אם אורך הרדיוס הוא ,12אז אורך הקוטר שווה .24 100° .2 מכיוון ש OA -ו OB -הם רדיוסים במעגל ,אורכם שווה .לכן המשולש AOBהוא משולש שווה שוקיים .לפי הנתונים בשאלה , ABO=40°משום שמדובר בשווה שוקיים אז גם . BAO=40° לפי סכום זווית במשולש ,על זווית AOBלהשלים ל .180° -ולכן היא שווה ל.100° - 40+40+ AOB=180 ⇒ 80+ AOB=180 ⇒ AOB=100 10 .3ס"מ במשולש ABOידוע לנו ש AO -ו BO -שווים ,משום שהם רדיוסים במעגל. משום שזווית אחת במשולש שווה שוקיים שווה ,60°אנו יודעים שהמשולש הוא שווה צלעות .לכן אם AB=5אז גם רדיוס המעגל שווה .5הקוטר שווה לשני רדיוסים ,ולכן שווה .10 CD )2( .4גדול יותר המיתר הארוך ביותר במעגל הוא הקוטר ,ולכן הקוטר CDגדול מהמיתר .AB CA )2( .5גדול יותר הקו ACקרוב יותר למרכז המעגל ,משום שהקו האנכי המחבר בינו לבין נקודה Oקצר יותר. )3( .6תשובות 1ו 2-שוות המרחק של ABושל CDממרכז המעגל זהה ,ולכן הם באורך זהה. | 10גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מעגלים א' 30° .7 זווית αהיא זווית היקפית הנשענת על קשת .ABגם זווית ACBהיא זווית היקפית הנשענת על קשת .AB מכיוון שכל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות ,אז אם נתון ש , ACB=30° -אז גם .α=30° 36° .8 הזוויות αו β -הזן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת .ABלכן הן שוות זו לזו .גם הזווית שגודלה 18°היא זווית היקפית הנשענת על אותה הקשת ,ולכן αו β -שוות כל אחת ל α .18° -ו β -שוות יחד ל.36° - 40° .9 זווית αהיא זווית היקפית הנשענת על קשת .ABזווית AOBהיא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת ( .)ABזווית מרכזית גדולה פי 2מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת .לכן אם גודלה של הזווית המרכזית הוא ,80°אז ההיקפית קטנה ממנה פי ,2ולכן שווה ל.40° - 72° .10 זווית ACBהיא זווית היקפית הנשענת על קשת .ABזווית αהיא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת. זווית מרכזית גדולה פי 2מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת .לכן זווית αגדולה פי 2מ ,36° -ושווה ל.72° - 35° .11 הזוויות αו β -הזן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת ,ABלכן הן שוות זו לזו .הזווית AOBהיא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת ( .)ABמכיוון שזווית מרכזית גדולה פי 2מזווית היקפית הנשענת על אותה הקשת ,אז αשווה לחצי מ35° - וגם βשווה לחצי מ .35° -לכן חצי מ + 35° -חצי מ 35° -שווה .35° 35 35 35+35 70 + = = לא צריך לרוץ ולחלק=35 . 2 2 2 2 90° .12 משום שזווית ABC את סכום αו.β - ⇒ α+β+90°=180° α+β=90° היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר ,היא שווה ל .90° -נעזר בסכום זווית במשולש על מנת לגלות כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 11 6 .13סמ"ר משום שזווית ABCהיא זווית היקפית הנשענת על הקוטר ,היא שווה ל .90° -משולש ABCהוא משולש ישר זווית, וכדי לחשב את שטחו עלינו למצוא את אורך הניצבים .נעזר בפיתגורס על מנת לגלות את אורך .BCאורכו של ACהוא 5 ס"מ ,משום שהוא קוטר ושווה לשני רדיוסים .נתון שאורך ABהוא 3ס"מ ,ולכן מדובר בשלשה .3,4,5 לכן ארך ABהוא 4ס"מ. AB∙BC 3∙4 70 = נציב על מנת למצוא את שטח המשולש= =6 . 2 2 2 180° .14 זוויות ABC ו ADC -הן זוויות היקפיות הנשענות על הקוטר .לכן כל אחת מהן בת ABCD .90°הוא מרובע ,וניתן לחשב את סכום הזוויות המודגשות בעזרת סכום זוויות במרובע .אם ABCשווה 90°וזווית ADCגם שווה ,90° אז יחד הן שוות .180°על שתי הזווית הנותרות להשלים ל ,360° -ולכן סכומן שווה ל.180° - ⇒ ABC+ ADC+ BAD+ BCD=360° ⇒ 90°+90°+ BAD+ BCD=360° BAD+ BCD=180° 80° .15 המרובע ABCDחסום במעגל .משום שסכום שתי זוויות נגדיות שלו שווה ל ,180° -אנו יודעים כי ABC=180° אם נתון שזווית , ABC=100°אז .α=80° .α+ 130° .16 המרובע ABCDחסום במעגל .משום שסכום שתי זוויות נגדיות שלו שווה ל ,180° -אנו יודעים כי BCD=180° נמצא את גודל זווית . BCD זווית BODהיא זווית מרכזית הנשענת על קשת .ADזווית BCDהיא זווית מרכזית הנשענת על אותה הקשת. לכן היא קטנה ממנה פי .2משום שנתון שזווית , BOD=100°אז זווית . BCD=50° כעת ידוע ש α -צריכה להשלים אותה ל ,180° -ולכן היא שווה ל.130° - α+50°=180° ⇒ α=180°-50° ⇒ α=130° .α+ 70° .17 מכיוון שסכום זוויות נגדיות של מרובע החסום במעגל שווה ל ,180° -אם נמצא את גודלה של זווית BCDנדע כי αמשלימה אותה ל .180° -את זווית BCDניתן למצוא דרך סכום זוויות במשולש. BCD=110° ⇒ 30°+40°+ BCD=180° ⇒ 70°+ BCD=180° אם BCDשווה ,110°אז αשווה ל.70° -דרך יותר "מגניבה" (אם אפשר להגיד בכלל דבר כזה) היא ליצור בניית עזר ,ולראות שזווית αמורכבת משתי זוויות היקפיות ,שאת גודלן אנו כבר יודעים משום שכל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. וCAB=30° - הרי זווית BAC=40° | 12גיאומטריה כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ מעגלים א' 120° .18 משום שזוויות קודקודיות שוות זו לזו ,ניתן "להכניס" את הזוויות לתוך המעגל. שסכום שתי זוויות נגדיות שלו שווה ל ,180° -אנו יודעים כי .α+60°=180°ולכן .α=180°-60°=120° 3 .19 משום ש AC -משיק למעגל ,הזווית הנוצרת בינו לבין הרדיוס היא זווית ישרה ( .)90°יחד עם הנתון ש, BOC=60° - ניתן להסיק שמדובר במשולש דוגמנית .נתון לנו אורך הניצב הקטן של המשולש (הרדיוס) ,√3ואנו רוצים למצוא את אורך הניצב הגדול .לכן עלינו לכפול ב .√3 -נקבל.√3∙√3=3 : 100° .20 משום שזווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית המשקיפה על המיתר מצדו השני, אנו יודעים כי גם זווית . ABC=80° כעת ניתן לראות כי בשל סכום זוויות במשולש ,על αו β -להשלים ל ,180° -ולכן הן שוות יחד ל.100° - דרך נוספת היא לראות שקיימת זווית נוספת שנוצרת בין המשיק למיתר ,והיא שווה ל.β - כעת ניתן לראות כי על αו β -להשלים ל ,180° -משום שהן זוויות על קו ישר, ולכן הן שוות יחד ל.100° - 70° .21 שני המשולשים בשרטוט חופפים וישרי זווית .משום שנתון , ABC=40°אז זווית OCBשווה .20° זווית , OBC=90°משום שהיא זווית הנוצרת בין משיק לרדיוס .לפי סכום זוויות במעגל ,על αלהשלים ל.180° - לכן 20°+90°+α=180° ⇒ α=70° כל הזכויות שמורות © 2012לזינוק בתי ספר בע"מ גיאומטריה | 13
© Copyright 2024