1. No category

‫מבחן בגרות מספר ‪7‬‬
‫קיץ תשע"א‪ ,2011 ,‬מועד א‬
‫פרק ראשון – אלגברה‪ ,‬גיאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 3-1‬‬
‫‪.1‬‬
‫ממקום ‪ A‬יצאה מכונית א'‪ ,‬וכעבור ‪ 1‬שעה יצאה מאותו מקום‬
‫‪2‬‬
‫ובאותו כיוון מכונית ב'‪.‬‬
‫המהירות של מכונית ב' גדולה ב‪ 25% -‬מהמהירות של מכונית א'‪.‬‬
‫כעבור כמה שעות מרגע היציאה של מכונית א' ייפגשו שתי המכוניות?‬
‫)המהירויות של המכוניות אינן משתנות(‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪y‬‬
‫דרך נקודה ‪ K‬עוברים שני ישרים‬
‫החותכים את צ יר ה‪ y -‬בנקודות ‪ A‬ו‪, B -‬‬
‫כמתואר בציור‪ .‬אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪. 17‬‬
‫משוואת הישר ‪ BK‬היא ‪. y  4x  14‬‬
‫‪K‬‬
‫‪A‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪. A‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי שטח המשולש ‪ AKB‬הוא ‪. 34‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪. K‬‬
‫ג‪ ( 1 ) .‬הראה כי הקטע ‪ AB‬הוא קוטר במעגל‬
‫‪B‬‬
‫החוסם את המשולש ‪. AKB‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש ‪. AKB‬‬
‫‪.3‬‬
‫מטילים שתי קוביות משחק מאוזנות‪ :‬קובייה ‪ A‬וקובייה ‪. B‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתבר ות שבקובייה ‪ A‬יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪6‬‬
‫וגם בקובייה ‪ B‬יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪? 6‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות שלפחות באחת מהקוביות יתקבל מספר ‪4‬‬
‫או מספר ‪? 6‬‬
‫ג‪ .‬מטילים שש פעמים את שתי הקוביות ‪ A‬ו‪. B -‬‬
‫מהי ההסתברות שבדיוק בשלוש הטלות יתקבל מספר ‪ 4‬או מספר ‪6‬‬
‫לפחות באחת מהקוביות?‬
‫‪25‬‬
‫פרק שני – גיאומטריה וטריגונומטריה במישור‬
‫ענה על אחת מבין השאלות ‪. 5-4‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪F‬‬
‫לשני מעגלים יש משיק משותף ‪, FG‬‬
‫המשיק לשניהם בנקודה ‪. E‬‬
‫‪C‬‬
‫נקודות ‪ C‬ו‪ D -‬נמצאות על מעגל אחד‬
‫‪A‬‬
‫ונקודות ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאות על המעגל‬
‫‪E‬‬
‫האחר כך שהקטעים ‪ AD‬ו‪CB -‬‬
‫נפגשים בנקודה ‪) E‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. ABE  GED‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי ‪AE  BE‬‬
‫‪DE CE‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬נמק מדוע אורך הגובה לצלע ‪ CD‬במשולש ‪ BCD‬שווה לאורך הגובה‬
‫לצל ע ‪ CD‬במשולש ‪. ACD‬‬
‫‪G‬‬
‫‪.5‬‬
‫על הצלע ‪ BC‬של משולש ‪ ABC‬בנו ריבוע ‪. BCGF‬‬
‫על הצלע ‪ AB‬של המשולש בנו ריבוע ‪. ABDE‬‬
‫‪C‬‬
‫אלכסוני הריבוע ‪ BCGF‬נפגשים בנקודה ‪, M‬‬
‫ואלכסוני הריבוע ‪ ABDE‬נפגשים בנקודה ‪P‬‬
‫‪40‬‬
‫‪A‬‬
‫)ראה ציור(‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪B‬‬
‫נתון‪ 5 , BAC  40 :‬ס"מ ‪, AC ‬‬
‫‪ 8‬ס"מ ‪. AB ‬‬
‫‪P‬‬
‫א‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. CBA‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גודל הזווית ‪. MBP‬‬
‫ג‪ .‬מצא את אורכי הצלעות במשולש ‪. BMP‬‬
‫‪26‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪F‬‬
‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬
‫של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪. 8-6‬‬
‫‪.6‬‬
‫נתונה הפונקציה ‪x  5  b‬‬
‫‪x2  a‬‬
‫‪ a . f (x) ‬ו‪ b -‬הם פרמטרים‪.‬‬
‫תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ‪, x   2‬‬
‫ואחת האסימפטוטות של הפונקציה היא ‪. y  2‬‬
‫א‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬ואת הערך של ‪ . b‬נמק‪.‬‬
‫הצב ‪ a  4‬ו‪ , b  2 -‬וענה על הסעיפים ב‪ -‬ג‪.‬‬
‫ב‪ ( 1 ) .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫) ‪ ( 2‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬
‫בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫) ‪ ( 3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתונה הפונקציה ‪x  5‬‬
‫‪x2  4‬‬
‫נקודות הקיצון של )‪ g(x‬מנקודות הקיצון של )‪ . f (x‬נמק‪.‬‬
‫‪ . g(x) ‬בלי חקירה נוספת קבע במה שונות‬
‫‪.7‬‬
‫נתונה הפו נקציה ‪2  4‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪.y‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה )אם יש כאלה(‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ושני הצירים‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫במלבן ‪ ABCD‬אורך הצלע ‪ AD‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪,‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫ואורך הצלע ‪ AB‬הוא ‪ a‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫הנקודות ‪ H , G , F , E‬נמצאות על צלעות‬
‫המלבן כך ש‪) AE  AH  CF  CG  x -‬ראה ציור(‪.‬‬
‫א‪ ( 1 ) .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪ x -‬את סכום השטחים‬
‫של המשולש ‪ BEF‬והמשולש ‪. AEH‬‬
‫) ‪ ( 2‬הבע באמצעות ‪ a‬את הערך של ‪ x‬שעבורו‬
‫שטח המרובע ‪ EFGH‬הוא מקסימלי‪.‬‬
‫ב‪ .‬כאשר שטח המרובע ‪ EFGH‬הוא מקסימלי‪,‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫אור ך הקטע ‪ DH‬הוא ‪ 6‬ס"מ‪ .‬מצא את הערך של ‪. a‬‬
‫‪27‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫תשובות למבחן בגרות מספר ‪ – 7‬קיץ תשע"א‪ , 2011 ,‬מועד א ‪:‬‬
‫‪ . 1‬שעתיים וחצי‪.‬‬
‫‪ . 2‬א‪ . A(0;3) .‬ב‪ . K(4;2) .‬ג‪. x 2  (y  5.5) 2  72.25 ( 2 ) .‬‬
‫‪ . 3‬א‪ . 1 .‬ב‪. 5 .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫ג‪. 0.301 .‬‬
‫‪ . 4‬ג‪ , AB  CD .‬לכן הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬שעל הי שר ‪ AB‬נמצאות במרחק שווה‬
‫מהישר ‪ , CD‬כלומר אורך האנך מ‪ A -‬לישר ‪ CD‬שווה לאורך האנך‬
‫מ‪ B -‬לישר ‪. CD‬‬
‫‪ . 5‬א‪ . 37.62 .‬ב‪. 127.62 .‬‬
‫ג‪ 3.723 .‬ס"מ ‪ 5.657 , BM ‬ס"מ ‪ 8.46 , BP ‬ס"מ ‪. MP ‬‬
‫‪ . 6‬א‪. b  2 , a  4 .‬‬
‫ב‪. ( 1.5;0) , (1;0) , (0;0.75) ( 1 ) .‬‬
‫) ‪ ( 0.42;0.80) ( 2‬מקסימום‪ ( 9.58;1.95) ,‬מינימום‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪ .‬שיעור ה‪ x -‬נשאר אותו דבר‪ ,‬שיעור ה‪ y -‬קטן ב‪. 2 -‬‬
‫‪ . 7‬א‪. x  1 .‬‬
‫ב‪ .‬עלייה‪ ; x  1 :‬ירידה‪ :‬אין‬
‫‪2‬‬
‫‪ . 8‬א‪2x  10x  ax  10a ( 1 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ . (0; 2) , ( 3 ;0) .‬ד‪. 1 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ . x  2.5  1 a ( 2 ) .‬ב‪. a  6 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪28‬‬