‫בנית עזר בפתרון בעיות גאומטריות‪.‬‬ ‫בניית עזר‪:‬‬ ‫‪ )1‬אמצע קטע‪ ,‬המשך קטע‪ ,‬המשך קטע באורכו‪ ,‬חוצה הזווית‪.‬‬ ‫‪ )2‬קווים מקבילים‪.‬‬ ‫‪ )3‬אנך לקטע‪.‬‬ ‫‪ )4‬מעגל חסום במשולש וחוסם את המשולש‪.‬‬ ‫גזירה‪:‬‬ ‫זה אחוד של שתי הזזות במישור או במרחב‪ :‬סיבוב והעתקה (שומרי מרחק וזוויות)‪.‬‬ ‫פתרונות‪.‬‬ ‫‪ )1‬נתון מלבן שאורכו גדול פי ‪ 2‬מרוחבו‪ .‬הפרד אותו כך שיהיו ‪ 3‬חלקים והרכב מהם ריבוע‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (2‬הוכח כי שטח של המתומן המשוכלל שווה למכפלה של האלכסון הגדול ביותר והאלכסון הקטן ביותר במתומן‬ ‫הזה‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (3‬על צלעות משולש ישר זווית בנו רבועים ואת קדקודיהם חברו כך‪:‬‬ ‫הוכח ששטחי המשולשים המקווקוים שווים ביניהם‪.‬‬ ‫בנייה נוספת‪MN ⟘ DN :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ABCD (4‬הוא מרובע החסום במעגל שבו ‪ BC < AB‬ו‪ E . CD < AD-‬ו‪ F -‬הן בהתאמה נקודות על ‪ AB‬ו‪AD -‬‬ ‫כך שמתקיים ‪ BC =AE‬ו ‪.AF=CD -‬‬ ‫הוכח‪SAEF =SBCD :‬‬ ‫‪∡𝐴 + ∡𝐶 = 180°‬‬ ‫‪ AK (5‬ו‪ AC-‬משיקים למעגל בנקודות ‪ B‬ו‪ AN .C-‬עובר דרך מרכז המעגל‪ NK .‬חותך את המעגל בנקודה ‪.M‬‬ ‫‪ MC‬חותך את ‪ AN‬בנקודה ‪ .L‬נתון ‪.NK ‖ AC ,AC ⟘AB‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪K‬‬ ‫א) ‪ .1‬נק' ‪ - O‬מרכז המעגל‬ ‫‪ - OB ,OC‬רדיוסים‬ ‫‪ –OBAC‬ריבוע‬ ‫‪OC=OB=BA=AC=R‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ .2‬קשת ‪90°=BC‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ :∆NML‬קשת ‪, 135°=NC‬‬ ‫‪,∡𝑁𝑀𝐿 = ∡𝑁𝑀𝐶 = 67.5°‬‬ ‫‪ ∡𝑀𝑁𝐿 = 45°‬כי ‪ ∆OBA‬דומה ‪( ∆NKA‬מקבילות)‪ ,‬ו‪∡𝑁𝐿𝑀 = 67.5° -‬‬ ‫ב) ‪ ∆ACL‬דומה ‪( ∆ MNL‬שתי זוויות)‪ ,‬לכן‪∡ALC=∡ACL=67.5° :‬‬ ‫‪ ,AC=AL‬אבל ‪( AC =R‬ראי א' ‪ .) 1‬לכן ‪ AL=R‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ )6‬הוכח כי מצולע קמור כלשהו נתן לחלק למשולשים שווה ‪-‬שוקים‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪F‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫כל מצולע אפשר לחלק למשולשים‪ ,‬לכן הביעה הנתונה מצטמצמת לבעיה דומה לגבי המשולש כלשהו שצריך‬ ‫לחלק אותו למשלשים שווי‪-‬שוקים‪.‬‬ ‫בכל משולש אפשר לחסום מעגל‪ .‬קטעים של משיקים למעגל מאותה נקודה הם שווים‪ .‬במעגל בונים רדיוסים‬ ‫לנקודות ההשקה‪ .‬מחברים את הנקודות ההשקה‪ .‬קיבלנו ‪ 6‬משולשים שווי‪-‬שוקיים הנדרשים על פי התנאי של‬ ‫הבעיה‪.‬‬ ‫‪ )7‬במשולש שווה שוקיים ‪∡𝐴 = 100° ,)AC=AB( ABC‬‬ ‫‪ BD‬חוצה הזווית‪.‬‬ ‫הוכח כי‪.BC=BD+AD :‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪∡𝐴 = 100°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪∡𝐵 = ∡𝐶 = 40°‬‬ ‫‪∡𝐴𝐵𝐷 = ∡𝐷𝐵𝐶 = 20°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫בניית עזר‪:‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪FD ||BC .1‬‬ ‫‪CK =AD .2‬‬ ‫‪BC=BK+KC‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪K‬‬ ‫כדי להוכיח‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪,BC=BD+AD‬‬ ‫נוכח ‪! BK=BD‬‬ ‫‪∆AFD ,∆KDC .3‬‬ ‫𝐾∡ = 𝐴∡‬ ‫‪ - ∆BFD ← ∡FDB=∡DBC=20° ← FD ||BC‬מש"ש‬ ‫‪ FD=BF=DC‬לכן ‪ ∆KDC‬חופף ל‪ ∆KDC ← ∆AFD -‬גם מש"ש ‪BK=BD ← ∡BKD=∡BDK=80° ← KC=AD ,‬‬ ‫מציבים‪ BC=BD+AD ← BC=BK+KC :‬משל‬ ‫‪ )8‬בתוך הזווית בת ‪ 600‬נתונה נקודה ‪ ,M‬מרוחקת מהצלעות של הזווית ב‪ 2-‬ס"מ וב ‪ 11-‬ס"מ‪ .‬מצא את המרחק‬ ‫מנקודת ‪ M‬עד לקדקוד הזווית‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫נמשיך ‪ AM‬עד חיתוך עם ‪( OB‬נקודה ‪)C‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫קיבלנו משולש ‪ AOC‬ישר‪-‬זווית‪:‬‬ ‫‪∡𝐴 = 90°; ∡𝑂 = 60°; ∡𝐶 = 30°‬‬ ‫במשולש ‪:MBC‬‬ ‫‪∡𝐶 = 30°; ∡𝐵 = 90°‬‬ ‫לכן ‪ 22 =MC‬ס"מ‬ ‫במשולש ‪:AOC‬‬ ‫‪∡𝐶 = 30°; ∡𝐴 = 90°‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ 24 =AC‬ס"מ‬ ‫נסמן ‪ OA=X‬מכאן ‪.2X = OC‬‬ ‫לפי משפט פיתגורס‪x2+242=(2x)2 :‬‬ ‫‪x2=192‬‬ ‫ובסוף‪ :‬במשולש ‪:OAM‬‬ ‫‪𝑂𝐴 = √192; 𝐴𝑀 = 2, ∡𝐴 = 90°‬‬ ‫לכן‪𝑂𝑀 = √192 + 4 :‬‬ ‫‪ 14 =OM‬ס"מ‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪O‬‬ ‫רשימת המשפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בפתרון הבעיות ‪:‬‬ ‫‪ .1‬זוויות צמודות משלימות זו את זו ל‪. 180 -‬‬ ‫‪ .2‬זוויות קדקודיות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‪ .3‬במשולש‪ ,‬מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות‪.‬‬ ‫‪ .4‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬זוויות הבסיס שוות זו לזו‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫במשולש שווה שוקיים ‪ ,‬חוצה זווית הראש‪ ,‬התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים‪.‬‬ ‫‪ .6‬אם במשולש חוצה זווית הוא גובה ‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬ ‫‪ .7‬אם במשולש חוצה זווית הוא תיכון ‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬ ‫‪ .8‬אם במשולש גובה הוא תיכון ‪ ,‬אז המשולש הוא שווה שוקיים‪.‬‬ ‫‪ .9‬סכום הזוויות של משולש הוא ‪. 180‬‬ ‫‪ .11‬משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬ ‫‪ .11‬משפט חפיפה ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .12‬משפט חפיפה צ‪.‬צ‪.‬צ‪.‬‬ ‫‪ .13‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתאימות שוות ‪,‬אז שני הישרים מקבילים‪.‬‬ ‫‪ .14‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם יש זוג זוויות מתחלפות שוות אז שני הישרים מקבילים‪.‬‬ ‫‪ .15‬שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי‪ .‬אם סכום זוג זוויות חד‪-‬צדדיות הוא ‪ 180‬אז שני הישרים מקבילים‪.‬‬ ‫‪ .16‬אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז‪:‬‬ ‫א‪ .‬כל שתי זוויות מתאימות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כל שתי זוויות מתחלפות שוות זו לזו‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫סכום כל זוג זוויות חד‪-‬צדדיות הוא ‪. 180‬‬ ‫‪ .17‬אלכסוני המלבן שווים זה לזה‪.‬‬ ‫‪ .18‬שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת‪ ,‬שהיא מרכז המעגל החסום במשולש‪.‬‬ ‫‪ .19‬בכל משולש אפשר לחסום מעגל‪.‬‬ ‫‪ .21‬כל נקודה הנמצאת במרחקים שווים מקצות קטע‪ ,‬נמצאת על האנך האמצעי לקטע‪.‬‬ ‫‪ .21‬ניתן לחסום מרובע במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות שווה ל‪. 180 -‬‬ ‫‪ .22‬במעגל ‪ ,‬זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת‪.‬‬ ‫‪ .23‬המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה‪.‬‬ ‫‪ .24‬ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל‪.‬‬ ‫‪ .25‬שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה‪.‬‬ ‫‪ .26‬קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה ממנה יוצאים שני משיקים למעגל‪ ,‬חוצה את הזווית‬ ‫‪ .27‬משפט דמיון ז‪.‬ז‪.‬‬ ‫‪ .28‬משפט פיתגורס‪ :‬במשולש ישר זווית ‪ ,‬סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר‪.‬‬ ‫‪ .29‬משפט פיתגורס ההפוך ‪ :‬משולש בו סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית‪.‬‬ ‫‪ .30‬במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ .31‬משולש בו התיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה הוא משולש ישר זווית‪.‬‬ ‫‪ .32‬אם במשולש ישר זוית ‪,‬זוית חדה של ‪ , 30‬אז הניצב מול זוית זו שווה למחצית היתר‪.‬‬ ‫‪8‬‬