‫קיץ תשע"א‬
‫עבודת קיץ במתמטיקה לבוגרי כיתה ח'‬
‫תלמידים יקרים‪,‬‬
‫כמידי סוף שנה אנו מציידים אתכם בעבודת קיץ במתמטיקה לחזרה וריענון בנושאים השונים שנלמדו‬
‫השנה‪.‬‬
‫בתחילת שנת הלימודים תשע"ב ייערך מבחן במתמטיקה שייכלול את הנושאים המופיעים בעבודה זו‪:‬‬
‫ יחס‪ ,‬פרופורציה וקנה מידה‬‫ פונקציה קוית‬‫ דימיון משולשים‬‫ משוואות‪ ,‬אי שיוויונות ובעיות מילוליות‬‫ אחוזים‬‫ סטטיסטיקה והסתברות‬‫ משפט פיתגורס‬‫ מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬‫ טכניקה אלגברית )חוק הפילוג המורחב‪ ,‬הוצאת גורם משותף‪ ,‬צמצום שברים אלגבריים(‬‫ גיאומטריה )חפיפת משולשים‪ ,‬ישרים מקבילים‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬שטחים והיקפים(‬‫אנו מקווים שתדעו לנצל את החופשה היטב‪ ,‬תהנו ‪ ,‬תנוחו ותאזרו כוחות לקראת השנה הבאה‪.‬‬
‫בברכת חופשה נעימה‪,‬‬
‫צוות המתמטיקה‬
‫‪1‬‬
‫יחס‪ ,‬פרופורציה וקנה מידה‬
‫‪ .1‬בשרטוט שלפניך נתון מלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬מה היחס בין אורך הצלע הארוכה לאורך הצלע הקצרה של המלבן?‬
‫ב‪ .‬מה היחס בין אורך הצלע הארוכה של המלבן לבין היקפו?‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫ג‪ .‬האריכו כל צלע של המלבן פי ‪.3‬‬
‫האם השתנה היחס בין אורכי צלעותיו?‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫אם כן – רשום את היחס החדש‪ .‬אם לא – נמק‪.‬‬
‫ד‪ .‬האריכו כל צלע של המלבן ב‪ 3 -‬ס"מ‪.‬‬
‫האם היחס בין אורך הצלע הארוכה לאורך הצלע הקצרה השתנה?‬
‫אם כן – רשום את היחס החדש‪ .‬אם לא – נמק‪.‬‬
‫ה‪ .‬ממה נובע ההבדל בין סעיף )ג( לבין סעיף )ד(? הסבר‪.‬‬
‫‪ .2‬במבחן במתמטיקה שנערך בכיתות ח'‪ 1‬ו‪ -‬ח'‪ ,2‬היחס בין מספר הנכשלים לבין מספר העוברים‬
‫הוא ‪ 2:7‬בכל אחת מהכיתות‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי ‪ 8‬תלמידים בכיתה ח'‪ 1‬נכשלו במבחן‪ .‬כמה תלמידים עברו את המבחן?‬
‫ב‪ .‬כמה התלמידים לומדים בכיתה ח'‪?1‬‬
‫ג‪ .‬בכיתה ח'‪ 2‬עברו את המבחן ‪ 21‬תלמידים‪ .‬כמה תלמידים נכשלו?‬
‫ד‪ .‬כמה תלמידים לומדים בכיתה ח'‪?2‬‬
‫ה‪ .‬האם ייתכן שבכיתה ח'‪ 1‬נכשלו ‪ 9‬תלמידים? נמק‪.‬‬
‫‪ .3‬בכיתה י"א ובכיתה י"ב יש תלמידים המתנדבים במגן דוד אדום‪.‬‬
‫בכיתה י"א היחס בין מספר התלממידים המתנדבים במד"א לבין מספר התלמידים‬
‫שאינם מתנדבים הוא ‪.1:5‬‬
‫בכיתה י"ב היחס בין מספר התלממידים המתנדבים במד"א לבין מספר התלמידים‬
‫שאינם מתנדבים הוא ‪.1:6‬‬
‫בכל אחת מהכיתות ‪ 6‬תלמידים מתנדבים במגן דוד אדום‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה תלמידים יש בסך הכל בכל כיתה? נמקו את תשובתכם במילים או בעזרת תרגיל‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באופן אקראי תלמיד אחד מכלל התלמידים שבשתי הכיתות‪.‬‬
‫מהי ההסתברות שתלמיד זה מתנדב במד"א?‬
‫‪ .4‬ידוע כי‬
‫היחס בין הזוויות ‪ β , α‬ו‪ γ -‬הוא ‪.2:3:4‬‬
‫מצא את גודלה של כל זווית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬חילקו ‪ 35‬קלפי משחק בין דרור ועידו ביחס של ‪.2:5‬‬
‫אילו מההיגדים הבאים מתאים לתיאור החלוקה?‬
‫א‪ .‬על כל ‪ 2‬קלפים שקיבל דרור‪ ,‬עידו קיבל ‪ 5‬קלפים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫ב‪ .‬לעידו יש‬
‫‪7‬‬
‫מכלל הקלפים שחולקו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מכל ‪ 7‬קלפים‪ ,‬עידו קיבל ‪ 2‬קלפים ודרור קיבל ‪ 5‬קלפים‪.‬‬
‫ד‪ .‬היחס בין מספר הקלפים שדרור קיבל לבין מספר הקלפים שעידו קיבל הוא ‪.6:15‬‬
‫ה‪ .‬היחס בין מספר הקלפים שעידו קיבל לבין מספר הקלפים הכולל הוא ‪.5:7‬‬
‫‪ .6‬אייל וארז קנו ביחד חבילה אחת של סוכריות‪.‬‬
‫אייל שילם ‪ 15‬ש"ח וארז שילם ‪ 20‬ש"ח‪.‬‬
‫א‪ .‬מה היחס בין הסכום ששילם אייל לבין הסכום ששילם ארז?‬
‫ב‪ .‬בחבילה היו ‪ 28‬סוכריות והן חולקו בהתאם ליחס בין הסכומים ששילמו אייל וארז‪.‬‬
‫כמה סוכריות קיבל כל אחד מהם?‬
‫‪ .7‬היקף מלבן הוא ‪ 64‬ס"מ‪ .‬היחס בין צלעותיו הוא ‪ .3:5‬מהם אורכי צלעות המלבן?‬
‫‪ .8‬בכל סעיף‪ ,‬אם מתקיימת פרופורציה‪ ,‬רשום את הסימן = בין שני היחסים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪[ ] 63‬‬
‫‪81‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫][‬
‫‪a‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫][‬
‫‪8‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .9‬בכל סעיף נתונה פרופורציה‪ .‬חשב את ערכו של ‪. x‬‬
‫‪70 x‬‬
‫א‪.‬‬
‫=‬
‫‪98 21‬‬
‫‪x+2 x+3‬‬
‫ג‪.‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪25 125‬‬
‫ב‪.‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪30‬‬
‫‪ .10‬הדפסת ‪ 20‬כרטיסי ברכה עולה ‪ 28‬ש"ח‪ .‬כמה נשלם עבור הדפסת ‪ 36‬כרטיסי ברכה?‬
‫‪ .11‬נתון משולש ישר זווית שאורכי ניצביו הם ‪ 7‬ס"מ ו‪ 10 -‬ס"מ‪.‬‬
‫הקטינו את אורכי הניצבים בצורה פרופורציונלית‪,‬‬
‫וקיבלו משולש ישר זווית‪ ,‬שאחד מניצביו הוא‬
‫‪ 7‬ס"מ‬
‫‪ 3.5‬ס"מ‬
‫‪ 3.5‬ס"מ )ראה שרטוט(‪ .‬חשבו את שטח המשולש החדש‪.‬‬
‫‪ .12‬אמא של רותי אפתה עוגיות‪ .‬היא קישטה כל עוגייה ב‪ 4 -‬דובדבנים‪.‬‬
‫א‪ .‬אמא של רותי השתמשה ב‪ 48 -‬דובדבנים‪ .‬כמה עוגיות היא קישטה?‬
‫ב‪ .‬השלם ‪ :‬בין מספר העוגיות למספר הדובדבנים קיים יחס _________ )ישר ‪ /‬הפוך(‬
‫‪3‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ .13‬רוכב אופניים נסע מעיר א' לעיר ב' במהירות קבועה במשך ‪ 6‬שעות‪.‬‬
‫בדרכו חזרה מעיר ב' לעיר א' נסע רוכב האופניים במהירות הגדולה פי ‪ 3‬ממהירותו בהלוך‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה זמן בסך הכל ארכה נסיעתו של רוכב האופניים הלוך וחזור?‬
‫ב‪ .‬השלם ‪ :‬בין מהירות רוכב האופניים לבין משך זמן נסיעתו קיים יחס _______ )ישר ‪ /‬הפוך(‬
‫‪ .14‬לפניך תרשים של דירה ) ‪.( ABCD‬‬
‫התרשים משורטט בקנה מידה של ‪.1:250‬‬
‫א‪ .‬מהן מידותיו של חדר המגורים במציאות?‬
‫ב‪ .‬מהו שטח חדר המגורים במציאות?‬
‫ג‪ .‬מהו שטח הדירה במציאות?‬
‫ד‪ .‬מהו היחס בין שטח חדר המגורים לשטח הדירה כולה?‬
‫ה‪ .‬מהו אורך הטפט לו ההורים זקוקים‪ ,‬אם הם רוצים לתלות אותו מסביב לכל חדר המשחקים?‬
‫‪ .15‬לצורך פרסום של חברה מסוימת בשלטי חוצות צולמה כוס‪ ,‬שגובהה ‪ 7‬ס"מ‪ ,‬בקנה מידה ‪.20:1‬‬
‫א‪ .‬מהי המשמעות של קנה המידה ‪?20:1‬‬
‫ב‪ .‬מהו גובה הכוס שבתמונה בשלטי החוצות?‬
‫פונקציה קוית‬
‫‪ .1‬א‪ .‬התאם כל פונקציה קווית לגרף המתאים לה משמאל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x (i‬‬
‫‪4‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪y = 2 x (ii‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x (iii‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y = − x (iiii‬‬
‫ב‪ .‬רשום פונקציה קוית שתתאים לגרף המקוקו‪ .‬הסבר‪.‬‬
‫האם הפונקציה שרשמת היא פונקציה עולה או פונקציה יורדת?‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬אחד הישרים שבשרטוט הוא גרף הפונקציה ‪. y = − x − 2‬‬
‫‪2‬‬
‫הישר השני הוא הישר המקביל לו‪.‬‬
‫א‪ .‬מי מבין הגרפים ) ‪ ( I‬או ) ‪ ( II‬מתאים לפונקציה הנתונה? הסבר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מי מבין המשוואות הבאות יכולה להתאים לישר השני? נמק‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = −2 x + 3 , y = − x + 1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = − x − 3 , y = x + 1.5 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪II‬‬
‫‪y = 2x − 2 ,‬‬
‫ג‪ .‬רשום משוואת ישר המקביל לשני הגרפים שבשרטוט ועובר דרך ראשית הצירים‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ 5‬ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר ‪ y = 4 x + 10‬עם ציר ‪. y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ -3‬ועובר דרך הנקודה )‪.(-3 ; 8‬‬
‫ב‪ .‬אילו מבין הנקודות הבאות נמצאות על הישר מסעיף )א(‪(-1 ; 2), (-4 ; 5) ,(-2 ; 1), (1 ; -4) :‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬חשב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות )‪ (1 ; 7‬ו‪.(-1 ; 13) -‬‬
‫ב‪ .‬חשב את משוואת הישר המקביל לישר מסעיף )א( ועובר דרך הנקודה )‪.(2 ; -2‬‬
‫ג‪ .‬מצא נקודה נוספת הנמצאת על הישר מסעיף )ב(‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬נתונות הפונקציות הבאות‪g ( x) = −2 x + 8 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x) = − x − 4‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬התאם לכל פונקציה את הגרף שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C ,B ,A‬ו‪. D -‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי ‪. S1 = S 2‬‬
‫ד‪ .‬חשב את משוואת הישר ‪. BD‬‬
‫ה‪ .‬האם הישר ‪ AC‬מקביל לישר ‪ ? BD‬נמק‪.‬‬
‫‪ .7‬לפניך שני גרפים המתארים פונקציות קוויות‪.‬‬
‫א‪ .‬השלם ‪ :‬גרף )‪ f (x‬מתאר פונקציה _________ )עולה ‪ /‬יורדת(‬
‫גרף )‪ g (x‬מתאר פונקציה __________ )עולה ‪ /‬יורדת(‬
‫ב‪ .‬מהי נקודת החיתוך של גרף )‪ f (x‬עם ציר ‪? x‬‬
‫מהי נקודת החיתוך של גרף ) ‪ g (x‬עם ציר ‪? x‬‬
‫ג‪ .‬מהו תחום החיוביות ומהו תחום השליליות של הפונקציה המתוארת על ידי גרף )‪? f (x‬‬
‫ד‪ .‬מהו תחום החיוביות ומהו תחום השליליות של הפונקציה המתוארת על ידי גרף ) ‪? g (x‬‬
‫ה‪ .‬מהי נקודת החיתוך של כל אחת מהגרפים עם ציר ‪? y‬‬
‫ו‪ .‬מהו התחום עבורו )‪? g ( x) > f ( x‬‬
‫‪ .8‬חברת טלויזיה מציעה שני מסלולי תשלום עבור שירותי הטלויזיה שלה‪.‬‬
‫התשלום מורכב מדמי מנוי חודשיים ומתשלום עבור משך הצפייה בערוצי החברה‪.‬‬
‫לפניכם משוואות שני המסלולים‪ :‬מסלול ‪y = 5 x + 120 : I‬‬
‫מסלול ‪y = 10 x + 100 : II‬‬
‫) ‪ x‬מייצג את זמן הצפייה בשעות(‬
‫א‪ .‬מה מייצגים על פי הסיפור המספרים ‪ 10 ,120 ,5‬ו‪ 100 -‬בכל אחד מהמסלולים?‬
‫ב‪ .‬התאם בין כל מסלול לגרף המתאים לו בשרטוט‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬דני אומר כי בשני המסלולים משפחתו תשלם את אותו הסכום‪.‬‬
‫כמה שעות צופה משפחתו של דני בטלויזיה?‬
‫ד‪ .‬באיזה מסלול כדאי למשפחה הצופה בטלויזיה במשך ‪ 7‬שעות לבחור?‬
‫‪5‬‬
‫דימיון משולשים‬
‫‪ .1‬קבע עבור כל סעיף האם‪ :‬המשולשים דומים ‪ /‬אינם דומים ‪ /‬אי אפשר לדעת‪ .‬נמק תשובתך‪.‬‬
‫‪ .2‬לפניך שני משולשים‪.‬‬
‫א‪ .‬האם המשולשים דומים?‬
‫אם לא – נמק‬
‫אם כן – השלם ‪:‬‬
‫ב‪ .‬מהו יחס הדימיון?‬
‫ג‪ .‬ידוע כי ‪ . FE=12‬חשב את הצלע המתאימה לה במשולש ‪. ΔABC‬‬
‫ד‪ .‬ידוע ששטח ‪ ΔABC‬הוא ‪ 192‬סמ"ר‪ .‬מהו שטח ‪ ? ΔDEF‬הסבר חישוביך‪.‬‬
‫‪ .3‬בשרטוט שלפניך נתון כי ‪DE‬‬
‫‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע המשולשים שבשרטוט דומים וכתוב את הדימיון בכתיב אלגברי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו יחס הדימיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬
‫ג‪ .‬חשב על פי הנתונים שבשרטוט את אורכי הצלעות ‪ DE‬ו‪. CE -‬‬
‫ד‪ .‬מהו יחס השטחים בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬
‫ה‪ .‬מהו יחס ההיקפים בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬
‫‪6‬‬
‫‪ ΔFEG .4‬הוא משולש שווה שוקיים ) ‪ ( EF = EG‬שזוויות הבסיס שלו‬
‫הן בנות ‪ 50 ο‬כל אחת‪ ABCD .‬הוא מלבן‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזוויות ‪ γ , β , α‬ו‪ . δ -‬הסבר‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ‪ ΔAEB‬הוא משולש שווה שוקיים? נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם ‪ ? ΔEAB ~ ΔBCG‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ד‪ .‬האם ‪ ? ΔAEB ~ ΔFEG‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ה‪ .‬האם ‪ ? ΔADF ≅ ΔBCG‬נמק את תשובתך‪.‬‬
‫משוואות‪ ,‬אי שיוויונות ושאלות מילוליות‬
‫‪ .1‬פתור את המשוואות הבאות‪ ,‬רשום קבוצת הצבה במשוואות המתאימות ובדוק את תשובתך‪.‬‬
‫‪5 x − 6 3x − 6‬‬
‫‪−‬‬
‫א‪= 0 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6 3 4 1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪− = −‬‬
‫‪x 4 x 12‬‬
‫‪3x + 6‬‬
‫ה‪= 3 .‬‬
‫‪x+2‬‬
‫‪3 x − 1 11x + 1 5 x − 11‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪−‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪20 25‬‬
‫ד‪.‬‬
‫=‬
‫‪x −1 x‬‬
‫‪4x −1‬‬
‫‪7‬‬
‫ו‪.‬‬
‫=‪+5‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪ .2‬פתור את אי השיוויונות הבאים‪ ,‬שרטט את הפיתרון על ציר המספרים‪.‬‬
‫א‪− 3(3x + 1) ≤ −7 x + 5 .‬‬
‫ב‪− 3(5 + x ) − (4 x − 3) ≥ −47 .‬‬
‫‪2x − 9‬‬
‫ג‪< 5 .‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪x − 3 4 x − 12‬‬
‫‪−‬‬
‫ד‪< 0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪−2− x‬‬
‫‪ .3‬נתון אי השיוויון‪> 0 :‬‬
‫‪6‬‬
‫א‪ .‬פתור את אי השיוויון )סמן את הפיתרון על ציר המספרים(‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא מספר שלילי שאינו פיתרון של אי השיוויון‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא מספר שלילי שהוא פיתרון של אי השיוויון‪.‬‬
‫ד‪ .‬השלם מספר ב‪[ ] -‬‬
‫כך שהפיתרון של אי השיוויון‪ 2 x − [ ] < −10 :‬יהיה זהה לפיתרון של‬
‫אי השיוויון הנתון‪.‬‬
‫‪ .4‬בית ספר הזמין ‪ 10‬אוטובוסים לטיול של שכבת ח'‪ .‬התכנון היה שבכל אוטובוס יהיה מספר שווה‬
‫של תלמידים‪ .‬בפועל הגיעו לבית הספר רק ‪ 7‬אוטובוסים‪ ,‬ולכן בכל אוטובוס נכנסו ‪ 12‬תלמידים‬
‫יותר מהתכנון המקורי‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה תלמידים יצאו לטיול?‬
‫ב‪ .‬כמה תלמידים היו אמורים לנסוע בכל אטובוס )לפי התכנון המקורי(‪ ,‬וכמה תלמידים נסעו‬
‫בפועל בכל אוטובוס?‬
‫‪7‬‬
‫‪ .5‬בעל חנות גלידה קנה סוכריות צבעוניות ופתיתי שוקולד לקישוט כדורי הגלידה שנמכרים בחנותו‪.‬‬
‫בסך הכל קנה ‪ 8‬ק"ג‪ .‬מחיר ק"ג אחד של סוכריות צבעוניות הוא ‪ 25‬ש"ח‪ ,‬ומחיר ק"ג אחד של‬
‫פתיתי שוקולד הוא ‪ 35‬ש"ח‪ .‬בסה"כ שילם בעל החנות עבור הקנייה ‪ 220‬ש"ח‪.‬‬
‫כמה ק"ג סוכריות צבעוניות וכמה ק"ג פתיתי שוקולד קנה בעל חנות הגלידה?‬
‫‪ .6‬גילו של נועם גדול פי ‪ 3‬מגילו של סער‪ .‬לפני ‪ 10‬שנים היה גילו של נועם גדול פי ‪ 7‬מגילו של‬
‫סער‪ .‬בני כמה נועם וסער היום?‬
‫‪ .7‬מונית ומשאית יצאו באותו הזמן מעיר א' לעיר ב'‪ .‬מהירות המשאית הייתה ‪ 50‬קמ"ש‪ ,‬ומהירות‬
‫המונית הייתה ‪ 75‬קמ"ש‪ .‬המשאית הגיעה לעיר ב' ‪ 3‬שעות אחרי המונית‪.‬‬
‫חשב את זמן הנסיעה של כל אחד מהרכבים ואת המרחק בין הערים‪.‬‬
‫‪ .8‬משני מקומות שהמרחק בינהם הוא ‪ 200‬ק"מ יצאו זה לקראת זה שני רוכבי אופניים‪.‬‬
‫הראשון יצא בשעה ‪ 7:00‬בבוקר‪ ,‬והשני יצא בשעה ‪ 8:00‬בבוקר‪ .‬הם נפגשו בשעה ‪12:00‬‬
‫בצהריים‪ .‬מהירות רוכב האופניים שיצא בשעה ‪ 7:00‬בבוקר הייתה קטנה ב‪ 5 -‬קמ"ש ממהירות‬
‫רוכב האופניים השני‪ .‬מהי מהירותו של כל רוכב? וכמה ק"מ עבר כל רוכב עד הפגישה?‬
‫‪ .9‬הגובה ‪ KM‬במשולש ‪ ΔKLN‬מקצה על הקטע ‪ LN‬שני קטעים‪.‬‬
‫אורך הקטע האחד הוא ‪ 7‬ס"מ‪ ,‬ואורך הקטע השני הוא ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ ΔKLM‬גדול ב‪ 12 -‬סמ"ר משטח משולש ‪. ΔKMN‬‬
‫מצא את אורך הגובה ‪. KM‬‬
‫אחוזים‬
‫‪ 50% .1‬מ‪ 50 -‬הם כמו ‪ 20%‬מ‪-‬‬
‫א‪100 .‬‬
‫ב‪25 .‬‬
‫ד‪12.5 .‬‬
‫ג‪125 .‬‬
‫‪ .2‬חברה לייבוא מכוניות ייבאה מחו"ל ‪ 800‬כלי רכב‪ 17.5% .‬הן מכוניות מנהלים‪ 24.5% ,‬הן‬
‫מכוניות משפחתיות‪ 16% ,‬הן משאיות‪ ,‬והשאר אופנועים‪ .‬כמה רכבים מכל סוג ייבאה החברה?‬
‫‪ .3‬חברה למערכות קולנוע ביתי מכרה ‪ 25‬מערכות בחודש ינואר‪ .‬בחודש פברואר עלו המכירות‬
‫ב‪ 20% -‬לעומת המכירות בחודש ינואר‪ ,‬ובחודש מרץ ירדו המכירות ב‪ 20% -‬לעומת המכירות‬
‫בחודש פברואר‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה מערכות לקולנוע ביתי נמכרו בחודש פברואר? וכמה נמכרו בחודש מרץ?‬
‫ב‪ .‬האם מספר המערכות לקולנוע ביתי שנמכרו בחודש פברואר היה זהה למספר המערכות‬
‫שנמכרו בחודש מרץ?‬
‫‪8‬‬
‫‪ .4‬נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם ‪ 4‬ס"מ ו‪ 8 -‬ס"מ‪ .‬הגדילו את שתי הצלעות הנגדיות הקצרות של‬
‫המלבן ב‪ ,50% -‬והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הקצרות של המלבן ב‪.50% -‬‬
‫א‪ .‬חשב את השטח וההיקף של המלבן המקורי‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח וההיקף של המלבן החדש‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכמה אחוזים קטן שטח המלבן החדש משטח המלבן המקורי?‬
‫‪ .5‬במפעל גדול מועסקות ‪ 60‬נשים‪ .‬הנשים מהוות ‪ 30%‬מכלל עובדי המפעל‪.‬‬
‫א‪ .‬כמה עובדים יש במפעל?‬
‫ב‪ .‬כמה גברים מועסקים במפכל?‬
‫ג‪ .‬מהו היחס בין מספר הגברים למספר הנשים במפעל?‬
‫‪ .6‬בשקית יש סוכריות חמוצות וסוכריות מתוקות‪ 40% .‬מהסוכריות בשקית הן מתוקות‪ .‬מהו מספר‬
‫הסוכריות החמוצות‪ ,‬אם ידוע שמספר הסוכריות המתוקות הוא ‪?18‬‬
‫‪ .7‬במבחן במתמטיקה היו ‪ 30‬שאלות‪ .‬גיל ענה נכון על ‪ 27‬שאלות‪ .‬גיל לא היה מרוצה מהציון‬
‫שקיבל‪ ,‬ולכן ניגש למועד ב'‪ .‬במועד ב' היו ‪ 40‬שאלות‪.‬‬
‫מהו מספר השאלות המינימלי שגיל צריך לענות עליהן נכון כדי לקבל במועד ב' ציון גבוה יותר‬
‫מזה שקיבל במועד א'?‬
‫‪ .8‬בחנות רהיטים יש שולחנות אוכל ושולחנות סלוניים‪ .‬מספר שולחנות האוכל גדול ב‪ 20 -‬ממספר‬
‫השולחנות הסלוניים‪ .‬בשבוע מסויים הוחלט לערוך מבצע הנחות ענק שבמהלכו נמכרו ‪85%‬‬
‫משולחנות האוכל ו‪ 70% -‬מהשולחנות הסלוניים‪ .‬בסך הכל נמכרו ‪ 48‬שולחנות‪.‬‬
‫כמה שולחנות מכל סוג היו לפני המכירה?‬
‫סטטיסטיקה והסתברות‬
‫‪ .1‬במחצית א' ציוניו של איתמר היו‪.72 ,80 ,100 :‬‬
‫א‪ .‬מהו ממוצע הציונים של איתמר?‬
‫ב‪ .‬נתון שממוצע הציונים של דלית היה גבוה ב‪ 10 -‬נקודות ממוצע הציונים של איתמר‪.‬‬
‫מהו הציון הממוצע של דלית?‬
‫ג‪ .‬דלית קיבלה בכל שלושת המבחנים אותו ציון‪ .‬מה היה ציון זה? הסבר‪.‬‬
‫‪ .2‬ציוניה של גלית בלשון בשליש א' הם‪.76 ,63 , 98 :‬‬
‫בשליש ב' התקיימו ‪ 2‬מבחנים וציוניה של גלית היו‪.72 ,65 :‬‬
‫מהו הציון שצריכה גלית לקבל במבחן השלישי בלשון‪ ,‬כדי שממוצע הציונים שלה בשליש ב' יהיה‬
‫זהה לממוצע הציונים שלה בשליש א'? הסבר‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .3‬נתונות שתי סדרות של ציונים‪.‬‬
‫סדרה א'‪.80 ,60 ,90 ,75 ,45 :‬‬
‫סדרה ב'‪.40 ,52 ,62 ,85 ,80 ,95 ,70 ,93 :‬‬
‫הראה שהחציון של שתי הסדרות זהה‪.‬‬
‫‪ .4‬לפניך הציונים במתמטיקה שקיבלו בתעודה תלמידי כיתה ח'‪:‬‬
‫‪.70 ,70 ,70 ,50 ,70 ,70 ,50 ,90 ,80 ,80 ,60 ,90 ,80 ,80 ,100‬‬
‫א‪ .‬השלם את הטבלה הבאה‪:‬‬
‫ציון‬
‫‪50‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪80‬‬
‫שכיחות‬
‫שכיחות יחסית‬
‫ב‪ .‬כמה תלמידים בכיתה?‬
‫ג‪ .‬מהו ממוצע הציונים בכיתה?‬
‫ד‪ .‬מהו הציון החציוני של התלמידים בכיתה?‬
‫ה‪ .‬מהו הציון השכיח של תלמידי הכיתה?‬
‫ו‪ .‬כמה תלמידים קיבלו ציון מעל ‪?80‬‬
‫ז‪ .‬מהי השכיחות היחסית של התלמידים שקיבלו ציון גבוה מ‪?80 -‬‬
‫ח‪ .‬מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון עובר )‪ 60‬ומעלה(?‬
‫ט‪ .‬מהי ההסתברות שתלמיד שנבחר באקראי קיבל את הציון ‪?70‬‬
‫י‪ .‬שרטט דיאגרמת עמודות מתאימה‪.‬‬
‫‪ .5‬במסיבה נמכרו ‪ 300‬כרטיסי הגרלה‪ .‬הפרסים שחולקו בהגרלה הם‪:‬‬
‫‪ 1‬אופניים‪ 3 ,‬מערכות סטריאו‪ 12 ,‬משחקי מחשב‪ ,‬ו‪ 30 -‬תקליטורי מוזיקה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לזכות במערכת סטריאו?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לזכות בתקליטור מוזיקה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לזכות בפרס כלשהו?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות לא לזכות כלל בפרס?‬
‫משפט פיתגורס‬
‫‪ .1‬נתון‪ . ΔABC ~ ΔDEF :‬יחס הדימיון הוא ‪.2‬‬
‫א‪ .‬חשב את ‪. BC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורכי צלעות ‪. ΔDEF‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח ‪. ΔABC‬‬
‫ד‪ .‬ניתן למצוא את שטח ‪ ΔDEF‬בשתי דרכים‪ .‬מהן שתי הדרכים?‬
‫‪10‬‬
‫‪90‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ .2‬מצא את ‪ x‬ו‪ y -‬בשרטוטים הבאים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ .3‬בשרטוט משמאל נתונים מלבן ‪ CBED‬ומשולש ‪. BEA‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 41 , AE‬ס"מ = ‪ 39 , AB‬ס"מ = ‪. AD‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך צלע ‪. BE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך צלע ‪. BC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף מרובע ‪. ABCD‬‬
‫ד‪ .‬חשב את אורך אלכסון ‪ CE‬במלבן ‪. BCDE‬‬
‫‪ .4‬לכבוד יום העצמאות צייר רותם דגל שמידותיו בס"מ נתונות בציור משמאל‪.‬‬
‫נתון‪EF = BC :‬‬
‫א‪ .‬חשב את שטחו של הדגל‪ .‬הסבר‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף הדגל )היקף ‪ .( BCDEF‬הסבר‪.‬‬
‫מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬
‫‪ .1‬פתור את מערכות המשוואות הבאות בשיטה הנוחה לך )הצבה ‪ /‬השוואת מקדמים(‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪⎧x + y = 7‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩ x − y = −1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪⎧ − 2 x + y = −5‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩2 x + 7 y = −19‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪⎧2 x + y = 7‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩7 x − 2 y = 19‬‬
‫‪11‬‬
‫‪⎧5 x + 8 y = −4‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩− x + 7 y = 18‬‬
‫‪ .2‬פתור את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪⎧5( x + 1) + 3( y + 2) = 24‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩2(2 x + 3) + 2(1 + 2 y ) = 20‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪⎧ 2x + y 9 y + 2‬‬
‫=‬
‫⎪‬
‫‪5‬‬
‫‪⎨ 3‬‬
‫‪⎪⎩5 x + 4 y = 33‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪⎧ 2x y‬‬
‫‪⎪⎪ 3 − 2 = −5‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ 5x + 3 y = 4‬‬
‫‪⎪⎩ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎧7 − 2x y + 8‬‬
‫‪⎪⎪ 5 − 10 = 2‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪ x +1 − 4 − 5y = 2‬‬
‫‪⎪⎩ 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬מחירם של ‪ 7‬ק"ג אפרסקים ו‪ 3 -‬ק"ג ענבים הוא ‪ 20‬ש"ח‪.‬‬
‫המחיר של ‪ 5‬ק"ג אפרסקים גבוה ב‪ 6 -‬ש"ח מהמחיר של ‪ 2‬ק"ג ענבים‪.‬‬
‫א‪ .‬סמנו ב‪ x -‬את מחיר ק"ג האפרסקים וב‪ y -‬את מחיר ק"ג הענבים‪ ,‬ורשמו מערכת משוואות‬
‫המתאימה לבעיה זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המחיר של ק"ג אפרסקים? ומהו המחיר של ק"ג ענבים?‬
‫‪ .4‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬אורך השוק ‪ x‬ס"מ ואורך הבסיס ‪ y‬ס"מ‪ .‬היקפו ‪ 13‬ס"מ‪.‬‬
‫אם נגדיל את השוק ב‪ 3 -‬ס"מ ונקטין את הבסיס ב‪ 2 -‬ס"מ‪ ,‬נקבל משולש שווה‬
‫שוקיים חדש שהיקפו גדול ב‪ 4 -‬ס"מ מהיקף המשולש הנתון‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום מערכת משוואות המתאימה לתיאור השאלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהן מידותיו של המשולש הנתון?‬
‫‪ .5‬לפניך גרף‪.‬‬
‫איזה מהמשוואות הבאות מייצג הגרף? הסבר‪.‬‬
‫א‪y = −x − 4 .‬‬
‫ב‪− x = −4 y − 1 .‬‬
‫ג‪y + 4 = −4 x .‬‬
‫‪ .6‬התאם בין הייצוג האלגברי לייצוג הגרפי והסבר‪:‬‬
‫‪⎧6 x + 9 y = 12‬‬
‫א‪.‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩2 x + 3 y = 4‬‬
‫‪⎧6 x + 9 y = 4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩2 x + 3 y = 12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪⎧9 x + 3 y = 12‬‬
‫ג‪.‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩− 3 x + 2 y = 8‬‬
‫טכניקה אלגברית‬
‫‪ .1‬השלם את החסר בכל אחד מהמקומות הריקים )השתמש בחוק הפילוג המורחב(‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪(x + 2 )(x + ____ ) = _____ + 3 x + _____ + 6‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪( y + 10)( y − ____ ) = y 2 − _____ + _____ − 50‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪(2b + 4)(b + ____ ) = 2b 2 + _____ + _____ + 28‬‬
‫ד‪.‬‬
‫_____ ‪( ____ + 1)( ____ − 4) = c 2 − 4c + _____ −‬‬
‫ה‪.‬‬
‫_____ ‪( ____ − 6)(x + ____ ) = x 2 + 7 x − _____ −‬‬
‫‪ .2‬נתון ריבוע שאורך צלעו ‪ x‬ס"מ‪.‬‬
‫האריכו את צלעות הריבוע כמתואר בשרטוט וקיבלו מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המלבן שהתקבל גדול ב‪ 47 -‬סמ"ר משטח הריבוע‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום משוואה מתאימה ומצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪ .3‬היקפו של המלבן משמאל הוא ‪ 16‬ס"מ‪.‬‬
‫אם מגדילים את הצלע האחת שלו ב‪ 3 -‬ס"מ ואת הצלע השנייה ב‪ 4 -‬ס"מ‪,‬‬
‫מקבלים מלבן חדש ששטחו גדול ב‪ 41 -‬סמ"ר משטח המלבן המקורי‪.‬‬
‫חשב את צלעות המלבן המקורי‪.‬‬
‫‪ .4‬פרק לגורמים את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫ב‪− 3 x 2 + 9 x .‬‬
‫א‪− 5 x + 15 .‬‬
‫ג‪5 x − x 2 .‬‬
‫ד‪4 x 3 + 16 x .‬‬
‫‪ .5‬פתור את המשוואות הבאות‪ ,‬העזר בפירוק לגורמים‪:‬‬
‫ב‪6 x 2 + 18 x = 0 .‬‬
‫א‪x 2 − 7 x = 0 .‬‬
‫ג‪5 x 2 − 3 x = 4 x 2 − x .‬‬
‫‪ .6‬פתור את המשוואות הבאות )העזר בפירוק לגורמים(‪ ,‬רשום קבוצת הצבה ובדוק את פתרונך‪.‬‬
‫‪x 2 + 4x‬‬
‫ב‪= 0 .‬‬
‫‪3x + 12‬‬
‫‪x2 − 7x‬‬
‫א‪= 0 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪x 2 − 8x‬‬
‫ג‪= 15 + 6 x .‬‬
‫‪x −8‬‬
‫‪x 2 − 6x‬‬
‫ד‪= 2 .‬‬
‫‪3x − 18‬‬
‫א‪ .‬השלם מספרים או ביטויים כך שאפשר יהיה לצמצם את השבר‪.‬‬
‫)‪)( x + 1‬‬
‫‪x − x2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫)‪iii‬‬
‫(‪5 x‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪4x − 4x‬‬
‫)‪ii‬‬
‫ב‪ .‬צמצם את השברים האלגבריים )רשום את קבוצת ההצבה(‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫)‪)( x + 1‬‬
‫‪6 x 2 + 18 x‬‬
‫(‬
‫)‪i‬‬
‫גיאומטריה‬
‫‪ .1‬בדוק בכל סעיף האם המשולשים חופפים‪.‬‬
‫אם הם חופפים‪ ,‬רשום לפי איזה משפט חפיפה‪ .‬אם אינם חופפים‪ ,‬הסבר מדוע‪.‬‬
‫‪ .2‬בשרטוט שלפניך ‪ EL‬ו‪ FK -‬הם חוצי זווית‪) .‬ראה שרטוט(‬
‫נתון‪< F2 = 22 ο :‬‬
‫‪< E1 = 26 ο ,‬‬
‫חשב‪ :‬א‪α = ? .‬‬
‫ב‪< D = ? .‬‬
‫ג‪< L3 = ? .‬‬
‫ד‪< K 4 = ? .‬‬
‫‪ .3‬משולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים ) ‪( AB = AC‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על המשך הצלע ‪. AB‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המשך הצלע ‪. AC‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪BD = CE :‬‬
‫הנקודה ‪ F‬היא אמצע ‪BC‬‬
‫הוכח כי ‪ΔBDF ≅ ΔCEF‬‬
‫)פרט את החפיפה ואת משפט החפיפה בו השתמשת(‬
‫‪.4‬‬
‫‪14‬‬
.5
.6
15
.7
.8
.9
.10
16