הגליון המלא להדפסה - מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך העל יסודי
יצא לאור ככתב עת אלקטרוני באתר מרכז המוריםhttp://highmath.haifa.ac.il : לפרטים נוספים :המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי ,טלפון04-8288351 : מייל[email protected] : יצא לאור במימון האגף לתכנון ופיתוח תכניות לימודים במשרד החינוך ומנהלת המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט © כל הזכויות שמורות למשרד החינוך " " מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المركز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين االعدادية والثانوية עורכות ד"ר גילה רון ,ד"ר ורדה טלמון ק וראים יקרים, בפתח הגיליון מציגים בפנינו פרופ' רוזה לייקין ,ראש ועדת מערכת ד"ר גילה רון ,ד"ר ורדה טלמון ,גאולה סבר, לילך בר ,תמי בוכבינדר המקצוע מתמטיקה ,ופרופ' רון ליבנה ,ראש ועדת תוכנית הלימודים במתמיקה בחטיבה העליונה את המיבנה והעקרונות של תוכנית הלימודים החדשה לחטיבה עיצוב והבאה לדפוס עדי ניצן עריכת הלשון נגה ואן דורמולן-אברהמי העליונה. הצגת פתרונות מגוונים לבעייה אחת אביטל אלבוים-כהן וג'ייסון קופר מציגים פתרונות אחדים לבעיית הספק אחת, ומלווים את הפתרונות בדיון בפוטנציאל של הפתרונות כריכה לקשר בין תחומים בתוך המתמטיקה ובין המתמטיקה ציור – דלתוני ריצוף לנושאים אחרים. עיצוב -גאולה סבר השאלה "מה אני זוכרת מלימודיי ,אילו שיעורים השאירו בי את חותמם?" מניעה את יערה פלד ,מורה בראשית דרכה ,לשלב אתר מתוקשב בשיעור המבוא לנושא "קריאת גרפים" בכתה ז' ,גרפים http://highmath.haifa.ac.il מגוונים המתארים מסע בג'ונגלים של בוליביה ,על-פי ספרו של יוסי גינסברג "בחזרה מטואיצ'י". כתובת המערכת המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל-יסודי הפקולטה לחינוך אוניברסיטת חיפה הר הכרמל חיפה31905 , טל ,04-8288351 .פקס04-8240757 : דוא"ל[email protected]: ד"ר פיטר סמובול ונתן שטיינברג ,מורים בעלי ניסיון רב במשיכת תלמידים רבים להשתתף לאורך שנים בחוגי העשרה במתמטיקה ,ואף לכתוב עבודות גמר שרבות מהן זכו בפרסים ,מתייחסים לאותה סוגייה של חוויות מטביעות חותם .בגיליון זה הם מתארים ומנתחים שיעור משולב פרדוקסים ,כדוגמה לשיעור שמושך תלמידים להתעניין במתמטיקה. אתם מוזמנים להמשיך ולשלוח אלינו מאמרים ,תגובות ורעיונות לפירסום בגיליונות הבאים של עלה. אנא מלאו את דף המשוב המצורף .חשוב לנו שכתב העת יהיה מעניין ורלוונטי עבורכם. גיליון ,51ניסן תשע"ה ,מרץ 2015 קריאה נעימה וגלישה מהנה מערכת על"ה וצוות המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל -יסודי אוניברסיטת חיפה להפעלת הקישורים והיישומים הדינמיים מומלץ להשתמש בגרסאות האחרונות של adobe acrobat readerו .Java תוכן העניינים -גי ליון מס' 5 1 ת כנית לימודים חדשה תכנית הלימודים במתמטיקה לחט"ע -מבנה ועקרונות 5 ......................................................................................................... רוזה לייקין ורון ליבנה אפשר גם אחרת פתרונות שונים לבעיות הספק באמצעים גרפיים 14 .............................................................................................................. אביטל אלבוים-כהן וג'ייסון קופר מהכיתה לג'ונגלים של בוליביה -שיעור על קריאת נתונים מתוך גרפים 20 ................................................................................. יערה פלד משולחנו של מורה שילוב פרדוקסים בהוראת מתמטיקה כאמצעי לפיתוח סקרנות 28 ............................................................................................. פיטר סמובול ונתן שטיינברג רוזה לייקין רון ליבנה רציונאל להסברים ,להנמקות ולבחירת אסטרטגיה .לימודי המתמטיקה אינם מפתחים מיומנויות למידה עצמאית .הם מכוונים להצלחה במבחני הבגרות: ברמה של 3יח"ל המוטיבציה היא הרצון לזכאות לבגרות .ברמות 4ו 5 -יח"ל המוטיבציה היא בונוס ללימודי המשך. א .ועדת המקצוע מתמטיקה רואה את המימוש המקסימלי של הפוטנציאל המתמטי של כל לומד כאחת המטרות הבסיסיות של מערכת החינוך. פוטנציאל מתמטי מורכב מיכולת ,מוטיבציה ,אמונה אישית ,והזדמנויות לימודיות. ראשית המאה העשרים ואחת מתאפיינת בשינויים חברתיים ,כלכליים ,פוליטיים ותרבותיים דינמיים ועמוקים הקשורים לגלובליזציה .בעידן זה המתמטיקה היא הבסיס המשותף למדעים, לטכנולוגיה ,להנדסה ולמדעי החברה .הכניסה המסיבית של הענקיות סין והודו לקבוצת המדינות המפותחות חידדה מאוד את הפער בין הערך הכלכלי של טכנולוגיה שגרתית לטכנולוגיה מתקדמת. מבנה ועקרונות של התכנית החדשה מדינת ישראל תלויה ביטחונית וכלכלית ביודעי מתמטיקה ברמה גבוהה .מימוש פוטנציאל מתמטי גבוה של התלמידים המתאימים לכך חיוני להכשרת דור חדש של מדענים ,אנשי פיתוח והנדסת הי-טק, ביו-טק ,וננו-טכנולוגיות מתקדמות ,שיהיו יצירתיים ובכך יתרמו להתפתחות החברה ,המדע והטכנולוגיה. המתמטיקה הנה בעלת ערך לכל אזרח בחברה מודרנית .אולם הפוטנציאל המתמטי והצרכים המתמטיים שונים מאוד מאדם לאדם .מימוש הפוטנציאל של התלמידים בכל הרמות ,צריך לענות על הצרכים האישיים והחברתיים של התלמידים ,לגרום להם סיפוק אישי ,ולאפשר להם לממש את סקרנותם והתעניינותם. ב. המצב הנוכחי בהוראת המתמטיקה בחט"ע בארץ דורש התייחסות דחופה של המערכת. אין תכנית לימודים במתמטיקה בחט"ע ,במקומה יש תכנית היבחנות ,הקובעת אילו שאלות יישאלו בבחינה. אין ספרי לימוד במתמטיקה ,במקומם תרגילים לשאלונים השונים. יש ספרי כתוצאה פוטנציאל הלומדים אינו יכול להתממש במלואו .אין למידה אמיתית אלא רק הכנה לבחינות .הלימודים אינם כוללים חינוך להבנה, בנוסף החוגים עתירי המתמטיקה באוניברסיטאות מדווחים כי בגרות של 5יחידות אינה מכינה כראוי ללימודים אצלם ,ובטכניון שוקלים לחייב תלמידי 4 יחידות למכינה של שנה במתמטיקה. מבנה התכנית המוצע התכנית החדשה תכלול 4רמות לימוד: 3יח"ל התכנית מיועדת לתלמידים שלא ירצו ללמוד מתמטיקה ברמה גבוהה יותר ,מכיוון שהם מכוונים בהמשך דרכם למקצועות שאינם דורשים מתמטיקה ,למשל לימודי תיאטרון. תכנית 3יח"ל זו תתאים גם לתלמידים מתקשים .היא תהיה מבוססת על אוריינות (ברמה המוכרת למערכת משאלונים 1ו.)2 - 4יח"ל התכנית מיועדת ללימודי המשך ברמה של מדעי החברה באוניברסיטאות ובמכללות. 5יח"ל התכנית מיועדת ללימודי המשך ברמה של מדעי הטבע ,הנדסה ,מדעיים מדויקים. ++5 אוהבי לתלמידים מיועדת התכנית מתמטיקה בעלי פוטנציאל מתמטי גבוה. המסלול יוביל את התלמידים למקצועות עתירי מתמטיקה. הרמות התפלגות התלמידים בין הרמות ++ 5 5יח"ל 4יח"ל 3יח"ל תכנית קיימת לא קיימת רשמית כ10%-- כ30%-- כ60%-- תכנית חדשה כ5% -- כ15%-- כ40%-- כ40%-- טבלה :1התפלגות התלמידים בין הרמות על"ה | 51מרץ 2015 5 תכנית לימודים חדשה תכנית הלימודים ב מתמטיקה ל חט"ע - מבנה ועקרונות עקרונות ויתרונות התכנית א. התכנית תאפשר הנאה והנעה בלימודי המתמטיקה. ב. יותר תלמידים כ( 60% -ראו טבלה ,)1ילמדו מתמטיקה ברמות של 5ו 4 -יח"ל .הדבר יענה טוב יותר על צורכי החברה ,ויתגמל נכון יותר את התלמידים המתעניינים בלימוד מתמטיקה מעבר למינימום הנדרש לבגרות. ג. התכנית תתאים לתלמידים בעלי פוטנציאל מתמטי ברמות השונות ,כולל תלמידים מתקשים ( 3יח"ל) ותלמידים מצטיינים (.)++5 ד. קבוצות הלימוד תהיינה יותר הומוגניות. ה .יחסית לתכנית הקיימת ברמות של 4ו 5 -יחידות, התכנית המוצעת תהיה פחות עמוסה אך תכלול מיומנויות חשיבה ,קומוניקציה ,ולמידה עצמאית בהתאם לכל אחת מהרמות. ו. התכנית תיבנה כך שתאפשר השלמה של חומר ברמה גבוהה יותר ,על בסיס לימודים ברמה נמוכה יותר (ר' איור .) 1ההבדל בין הרמות יהיה במיומנויות )mathematical (capabilities המתמטיות ובתהליכים המתמטיים ()mathematical processes שיכללו בתכנית ברמות השונות. ז. ברמה של ++ 5יח"ל הוראת התכנית תפותח (גם) בגרסה וירטואלית ,לבתי הספר בפריפריה שאין בהם מספיק תלמידים ו/או מורים לרמה זאת .חומרי ההוראה שיפותחו להוראה מרחוק יהיו זמינים לכל המורים .ייתרונות הפיתוח מסוג זה מוכחים על-ידי בית הספר הווירטואלי למתמטיקה ופיזיקה ( 5יח"ל) בפיתוח וניהול של מט"ח ובתמיכתה הנדיבה של קרן טראמפ. איור :1מבנה חדש – תכנית הלימודים במתמטיקה בחטיבה העליונה 6 על"ה | 51מרץ 2015 3יחידות לימוד תכנית זו מיועדת לתלמידים שהצורך שלהם במתמטיקה בכל שנת לימודים נלמדים פרקים מכל האשכולות. הוא בעיקרו יישומי .המתמטיקה חיונית גם בחיי היום-יום נבנים בהדרגה ובהתאם הנושאים המתמטיים ובמגעים החברתיים והכלכליים בחברה המודרנית, לצרכים האורייניים – הן בתוך כל אשכול והן בין ולתלמידים אלה צרכים מתמטיים ניכרים ,שתכנית זו האשכולות .כך ,בכל יחידה באשכול מופיעים תכנים מתמטיים חדשים. מכוונת לפתח אצלם. מבנה התכנית התכנית בנויה משלושה אשכולות המייצגים תחומים כלליים בהם למתמטיקה תפקיד מרכזי )1( :האשכול הפיננסי-כלכלי; () 2 האשכול החברתי-מדעי; ה אשכול של התמצאות במישור ובמרחב. ( )3 תכנים מתמטיים רבים משותפים ליותר מאשכול אחד .מאפיין חשוב זה נובע מכוחה של המתמטיקה לאחד תופעות מתחומים שונים ,הנראות במבט ראשון כחסרות כל קשר .לכן ,תכנים מתמטיים שהוצגו בהקשר אורייני אחד (למשל פונקציות מעריכיות) חוזרים אחר כך באשכולות אחרים. על"ה | 51מרץ 2015 7 4יחידות לימוד אוכלוסיית יעד פיתוח חשיבה לוגית ,ההכרחית להבנת התופעות החברתיות והכלכליות ,הכוללת ביקורתיות ,דיוק, ודבקות במטרה .רכישת כלים שישפרו את יכולת האבחנה והשיפוט של התלמידים כאזרחים ,באשר לאיכות המידע והפרשנויות הנלוות לו. הענקת כלים שיאפשרו לתלמידים להתקבל ולהצליח בלימודי המשך ,ויעניקו להם אופק אקדמי. פיתוח יכולות טכניות בסיסיות בתחומי האנליזה, האלגברה ,הגאומטריה ,והסטטיסטיקה. פיתוח מיומנויות של אוריינות ושל תקשורת מתמטית :קריאה וכתיבה ביקורתית של טיעון, הוכחת טיעון. פיתוח הרגלי למידה ותרגול מתמטיים ברמות קושי עולות. התכנית ברמה של 4יחידות לימוד מתאימה במיוחד לתלמידים אשר ימשיכו את לימודיהם במדעי הרוח, במדעי החברה ,במדעי הבריאות והרפואה ,ובמגוון נוסף של מקצועות אקדמיים ולא אקדמיים .בשונה מבעבר, התכנית איננה תכנית 5יחידות מצומצמת או מוחלשת, אלא תכנית ייחודית שנכתבה במיוחד עבור תלמידים אלה .עובדה זו באה לידי ביטוי מיוחד בנושא הסטטיסטיקה ,שהוא עכשיו מרכיב משמעותי מאוד בתכנית .יחד עם זאת רוב תוכני המתמטיקה הבסיסיים משותפים לתכנית זו ולתכנית של 5יח"ל ,אולם היקף התכנים ורמת ההעמקה שונים. התכנית מתחשבת בצורך לאפשר למידה משמעותית עקרונות טיפוח חשיבה רציונלית וביקורתית :התכנית נועדה להקנות לתלמיד דרך חשיבה רציונלית המבוססת על הבנת המגבלות של מודל מתמטי ,ומסייעת לו לקבל החלטות על סמך עיבוד מתמטי של מידע. גישה אוריינית :טיפוח אוריינות מתמטית הכוללת שימוש ויכולת ביטוי באמצעות ייצוגים חזותיים, כמותיים ומילוליים וכן שילוב ביניהם ,כדרך לפיתוח יכולות של עיבוד מידע וקבלת החלטות מושכלות. רלוונטיות לתלמידים ולאזרחים לעתיד :אחת המטרות החשובות של התכנית היא ליצור בקרב התלמידים מודעות לכך שלתובנות מתמטיות ערך חשוב בהבנת העולם הסובב אותם ,ולציידם בכלים מתאימים להבין עולם זה ולתפקד בו ביעילות. הדגשת הרלוונטיות הופכת את הלמידה לאפקטיבית עבור התלמידים ,ועשויה לסייע ביצירת עניין ובהעלאת המוטיבציה ללמידה. גישה ספירלית :עולם המושגים והנושאים נבנה בהדרגה .במהלך ההוראה-למידה שבים ועוסקים במושגי היסוד לצורך הרחבה והעמקת הדיון בהם בהקשֵ רים שונים .בתהליך הבניית הידע ,לימוד חומר חדש מבוסס על חומר קודם ומתווספים לו היבטים שונים והבנה חדשה לעומק ולרוחב. עידוד השיח המתמטי :לשיח המתמטי תרומה חשובה בהבנת התכנים המתמטיים הנלמדים ,ולכן חשוב לאפשר פעילויות ודרכים לעידוד השיח :שיח כיתתי בהנחיית המורה ,או שיח בקבוצות באמצעות פעילויות מתאימות. טיפוח היכולת לראייה רחבה ורב-ממדית :פיתוח יכולת לאינטגרציה בין נושאי הלימוד השונים. וביטחון ביכולת המתמטית ,גם לתלמידים שהישגיהם בחטיבת הביניים היו ממוצעים ומטה .לכן ,כלולים בתכנית תכנים מחטיבת הביניים ,ברמה גבוהה יותר, במטרה לחזור על תכנים אלה ולהעמיק בהם. תכנית הלימודים מציגה בפני התלמידים את המתמטיקה כמקצוע עיוני דיסציפלינה מדעית .בתכנית קיים איזון בין מספר נושאי הלימוד ,לבין רמת ההעמקה בהם. תקופתנו מתאפיינת בקצב שינויים מהיר בתחומים שונים, ולכן חשוב מאוד לטפח אוריינות מתמטית ומיומנויות למידה וחשיבה אשר יאפשרו ללומדים ללמוד באופן עצמאי. מטרות העל של התכנית הכרת תפקידה של מתמטיקה בחיי היום-יום, החברה ,הכלכלה והמדעים. עיצוב תפיסת המתמטיקה כשפה אוניברסאלית שבאמצעותה ניתן לתאר תהליכים כלכליים וחברתיים ,כאמצעי לבניית מודלים המתארים תופעות בתחומי חיים שונים של האזרח. בפרט ,הבנה שאלגברה וגאומטריה הם כלים להסקת מסקנות. 8 על"ה | 51מרץ 2015 על"ה | 51מרץ 2015 9 5יחידות לימוד אוכלוסיית יעד פיתוח חשיבה מתמטית: המסלול המדעי מיועד לאותם תלמידים אשר מסוגלים o חשיבה לוגית ,מדויקת ,מדעית וביקורתית. לפתח חשיבה מתמטית-מדעית ורואים עצמם ממשיכים o חשיבה אלגוריתמית. ללימודים אקדמיים במקצועות עתירי מתמטיקה (מדעים, o הבנת מושגי הבסיס ,כגון :הגדרה ,טענה, משפט ,משפט הפוך ,הוכחה (להבדיל מהסבר או דוגמה). o הוכחות מסוגים שונים בתחומי תוכן שונים: הוכחה ישירה ,הוכחה קונסטרוקטיבית ,הוכחה אינדוקטיבית ,הוכחה בדרך השלילה. o מ ושג ההיפוך במגוון נושאים מתמטיים (פעולה הפוכה ,פונקציה הפוכה ,נגזרת-פונקציה קדומה). o ודוגמאות הנדסה) ,או במקצועות תחרותיים הדורשים הצטיינות יתירה במתמטיקה (רפואה ,עריכת דין ,ארכיטקטורה, וטרינריה ועוד). מטרות העל של התכנית קידום יכולות החשיבה של התלמידים והידע שלהם לרמה שבה יוכלו להצליח בחייהם האזרחיים בעולם הטכנולוגי שבו אנו חיים תוך הכרת תפקידה של מתמטיקה בחיי היום-יום – במדע ,בטכנולוגיה, בפרסום וצרכנות ,במחשוב ובכלכלה הביתית. הענקת כלים לתלמידים שישפרו את יכולת האבחנה והשיפוט שלהם כאזרחים ,באשר לאיכות המידע ולפרשנויות הנלוות לו. הענקת כלים שיאפשרו לתלמידים להתקבל ולהצליח בלימודים אקדמיים במקצועות עתירי מתימטיקה. עיצוב תפיסת המתמטיקה כחלק מהתרבות האנושית ,כשפה אוניברסאלית שבאמצעותה מתארים ומפשטים תהליכים כלכליים וחברתיים, ,ובדומה מפשטים ,מתארים ומפתחים את המדע והטכנולוגיה. ריבוי ייצוגים ומעבר ביניהם. פיתוח יכולות טכניות בסיסיות בתחומי האנליזה, האלגברה והגאומטריה ,תוך דגש על פיתוח הטכניקה בתוך הקשר. היכרות בסיסית בשימוש בטכנולוגיות עזר לפתרון בעיות מתמטיות. פיתוח הרגלי למידה ותרגול מתמטיים ברמות קושי עולות. פיתוח אוריינות מתמטית :לימוד הרלוונטיות של המתמטיקה לתחומים שונים בהקשר המדעי, הטכנולוגי העכשווי וההיסטורי .אוריינות כוללת מידול של תופעות במדעים שונים ,כגון :פיזיקה, ביולוגיה ,רפואה ,תמונה ממוחשבת ומדעי החברה, וכן הבנת התוצאות המתמטיות של המודל בהקשר הנתון (תוך הטמעת החשיבה הביקורתית בהקשר זה) .אוריינות כוללת גם את היכולת להבין את משמעות התוצאות המתמטיות ללא קשר למודלים (למשל הבנה של השלכות משפט בגאומטריה על מקרים פרטיים). פיתוח קישוריות בין ענפי המתמטיקה השונים, וקישוריות בין תחומי מדע שונים דרך המתמטיקה. פיתוח יצירתיות :יצירת מודלים ,מציאת פתרונות שונים לאותה בעיה ,העלאת השערות ,יצירת הוכחות שונות לאותה טענה. פיתוח מיומנויות תקשורת מתמטית :קריאה וכתיבת ביקורת על טיעון ,הגנה על טיעון (ארגומנטציה), וכמובן גם תקשורת בעל-פה תוך ניהול שיח מתמטי. פיתוח מיומנויות ללימוד עצמי ותרגול באמצעים טכנולוגים. בפרט ,השאיפה היא כי התכנית תעזור לפיתוח המיומנויות הבאות: יכולת התמודדות עם שאלות סבוכות ,תוך שימוש בכלים ובשפה המתמטית לניתוחן ופתרונן. חשיבה מתמטית-לוגית הכוללת ביקורתיות ודיוק, תוך בקרת תהליך פתרון בעיות. היכולת לבחירה ושימוש באמצעים טכנולוגים לפתרון בעיות מתמטיות. מיומנויות מתמ טיות ברמה הטכנית הדרושה להבנת והטמעת החומר הנלמד. דגשים עיקריים של התכנית נושאי הלימוד בתכנית זו יהיו בעיקרם דומים לנושאים שנלמדו בעבר (במסלול 5היחידות) ,כאשר השאיפה היא שההדגשים בתכנית הלימוד יהיו כדלקמן: 10 על"ה | 51מרץ 2015 שימוש נגדיות. בדוגמאות, אי-דוגמאות על"ה | 51מרץ 2015 11 5יחידות מורחב ()++5 אוכלוסיית היעד: מבנה התכנית התכנית מיועדת לתלמידים אוהבי מתמטיקה בעלי התכנית המורחבת כוללת את כל התכנים של תכנית פוטנציאל מתמטי גבוה .המסלול יוביל את התלמידים 5יח"ל בשילוב תכנים מיוחדים משלושה סוגים: למקצועות מתמטיקה עתירי המכינים מהנדסים, העמקה מתכנתים ומדענים ברמה גבוהה. המתייחסת להוראה ולמידה של נושאים הכלולים בתכנית 5יח"ל עקרונות מנחים: ברמה גבוהה יותר. קישורים בין תחומים שונים, הוכחות ופתרונות בדרכים שונות, נושאים הקשורים לתכנית הלימודים חידות אתגר, 5יח"ל. רקע היסטורי, משימות חקר וגילוי, הלימודים 5יח"ל ומוצעים להוראה קריאת טקסטים, ולמידה לפי בחירת המורים. לימוד חומר לקראת השיעור, שימושיות. הרחבה בחירה המתייחסת להוראה ולמידה של הכוללת נושאים שלא נכללו בתכנית דוגמה לשילוב התכנים המיוחדים של תכנית ++ 5בתכני הלימוד של תכנית 5יח"ל – כיתה יוד שעות נושא I שעות נושא II יסודות הרחבה :לוגיקה. 5 בחירה :קבוצות ומספרים מונים. 10 הנדסת המישור 50 סדרות 16 מבוא לאנליזה העמקה: מקומות גאומטריים, 15 העמקה/הרחבה. − : 20-15 10 בעיות ערך קיצון גאומטריות. בחירה: גאומטריה היפרבולית. 10 בחירה: גאומטריות שונות. 10 מבוא להנדסה אנליטית העמקה/הרחבה: חלוקת קטע ביחס נתון ,מפגש תיכונים במשולש ,ריבוי פתרונות. מבוא לפונקציות טריגונומטריות הרחבה: מתמטיקה בדידה - קומבינטוריקה מנייתית. 10 ללא חשבון דיפרנציאלי העמקה: בנושאים נלמדים בחשבון דיפרנציאלי. תוספת שעות תוספת 15 10 בחירה: מתמטיקה בדידה - קומבינטוריקה או מבוא לתורת הגרפים ,או הגרפים. סה"כ 150שעות 60 +שעות (כולל 2מתוך 4נושאי בחירה). 12 ללא שעות קומבינטוריקה ותורת על"ה | 51מרץ 2015 44-39 10 עם הפנים קדימה ניסוי התכנית החדשה בכ 20 -בתי-ספר מתוכנן להתחיל הושלמה כתיבת תכנית לימודים מפורטת לכיתות י. בספטמבר .2016 השנה הקרובה תהיה מוקדשת לכתיבת ספרי לימוד הכוללת דוגמאות למשימות. תכנית הלימודים לכיתות יא-יב כתובה ברמת שלד. התכנית נשלחה לעיון ותגובה לנציגי האוניברסיטאות. ניתן לראות את התכנית המפורטת באתר מרכז המורים בקישור: http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_cont לכיתות י. השלמת הכתיבה המפורטת של התכנית לכיתות יא-יב מתוכננת להסתיים עד דצמבר .2016 על-פי התכנון ,בספטמבר 2017תיכנס התכנית החדשה לכיתות י בכל בתי הספר בארץ. ent&task=view&id=4342 תת-ועדות 3יח"ל 4יח"ל פרופ' רון ליבנה גנאדי ארנוביץ ד"ר רותי רייז ורדה זיגרסון ציפי ברגלס גרגורי שפורין פרופ' אברהם הרכבי פרופ' עזריאל לוי פרופ' רון ליבנה ד"ר מריטה ברבש ד"ר מיכל טבח ד"ר מרק אפלבאום גרגורי שפורין 5יח"ל פרופ' ורד רום-קידר פרופ' טומי דרייפוס ד"ר גילה רון אביטל אלבוים-כהן ציפי ברגלס סלימאן סלאמה גאולה סבר ++5 פרופ' אברהם ברמן פרופ' דוד בלנק ד"ר חמוטל דוד פרופ' רוזה לייקין ויר עדה שרר על"ה | 51מרץ 2015 13 אפשר גם אחרת פתרו נות שונים ל בעיות הספק באמצעים גרפיים אביטל אלבוים-כהן ג'ייסון קופר מבוא בעיות מילוליות מזמינות תלמידים לפתור בעיות פ תרון בעיות הספק לטוויית קשרים מתמטיים "אותנטיות" בעזרת כלים מתמטיים – פתרון משוואות נתבונן בבעייה הבאה (איור )1 ממעלה 1או 2עם נעלם אחד או שניים .מורים רבים מעודדים את תלמידיהם לארגן את הנתונים בטבלה, ונעזרים בטבלה בשלבים שונים של פתרון הבעיה. סיפורנו מתחיל בהשתלמות עדש"ה (עמיתים דנים בשיעורי המתמטיקה) iשבה ,כהקדמה לצפייה בשיעור שעוסק בפתרון בעיות הספק מילוליות ,התבקשו כהזדמנות בעיה כל אחד משני פועלים התבקש לארוז אותו מספר קופסאות. הפועל הראשון החל לעבוד ב 8:00 -בבוקר וסיים את האריזה ב.16:00 - המשתלמים (כותבי מאמר זה בתוכם) לפתור בעיית הפועל השני החל לעבוד לאחר השעה ,10:00 הספק מסוימת .כדי להעצים את האתגר ,התבקשנו וסיים לארוז את כמות הארגזים שלוש שעות לפתור את הבעיה בכלים גרפיים .במאמר זה נציג לפני הפועל הראשון. שלושה פתרונות שלנו לבעיית ההספק שהוצגה באותה שעה לאחר שהפועל השני החל לעבוד ,הוא השתלמות .באופן מפתיע נראה כי דווקא הגבלת סוגי הספיק לארוז כמות ארגזים השווה למספר הפגנת הארגזים שארז הפועל הראשון עד לאותו הפתרונות לתחום הגרפי/ויזואלי אפשרה יצירתיות ,שהניבה שתי גישות שונות מאוד זו מזו .שמחנו על כך שהנחו אותנו לחפש שיטות פתרון מגוונות שאינן סטנדרטיות עבורנו .פתרונות אלה הציפו הזדמנויות להעמיק במתמטיקה ולהרהר על סוגיות פדגוגיות ,ואף להרהר על תפקיד בעיות מילוליות בתכנית הלימודים רגע. בכמה שעות ביצע הפועל השני את עבודתו? הציעו דרכים אחדות לפתרון הבעייה באמצעים גרפיים. בכלל. איור :1בעיית הספק הדיון בריבוי פתרונות לבעייה אחת הוא נושא שמעסיק את קהילת העוסקים בחינוך מתמטי( ,למשל ,לייקין, עוסקים בריבוי פתרונות לבעיות מילוליות ומתמקדים קשרים תוך מתמטיים -פתרונות המבוססים על דמיון משולשים בבעיות תנועה .מאמרנו ממשיך את המגמה ,ומתמקד פתרון א ב בעיית הספק ,תוך דיון בפוטנציאל של פתרונות גרפיים פתרון זה מתחיל בייצוג גרפי של הבעיה ,כאשר ציר הx - לקשר בין תחומי דעת מתמטיים וחוץ מתמטיים שונים. מייצג את משתנה הזמן (שעות שחלפו מהשעה 8:00 ;2006לייקין ,לבב-וינברג ,וולטמן .)2012 ,כץ וכץ ()2013 14 על"ה | 51מרץ 2015 בבוקר) ,וציר ה y -מייצג את חלק העבודה שהושלם. (המספר 1מייצג את מכסת הארגזים של כל אחד מהפועלים). הפועל הראשון מסיים את עבודתו ב 8 -שעות ,ולכן הגרף המייצג את עבודתו הוא קטע (אנחנו מניחים קצב עבודה קבוע) שקצותיו ראשית הצירים והנקודה )A(8,1 מדמיון המשולשים 𝛥CEP~𝛥BDPנקבל את הפרופורציה: 𝐸𝑃 𝐷𝑃 = 𝐸𝐶 𝐷𝐵 ,אשר במקרה שלנו נותנת הגרף המייצג את עבודתו הוא קו ישר בין נקודה )P(x,0 1 מדמיון המשולשים ( 𝛥CEO~𝛥AFOראו איור )3נקבל את הפרופורציה: 𝐸𝑂 𝐹𝑂 = 𝐸𝐶 𝐹𝐴 .נשים לב כי 𝐸𝐷 = 𝑇 − 1ולכן ) 𝑂𝐸 = 𝑂𝐷 − 𝐸𝐷 = 5 − (𝑇 − 1ונקבל : )5−(𝑇−1 (ראו איור .)2הפועל השני מתחיל את עבודתו אחרי השעה 10ומסיים אותה שלוש שעות לפני הראשון. 1 𝑇 = 𝐸𝐶 ,או 1 𝑇 = 𝐸𝐶. 8 = 𝑇1/ 1 , השקול ל.𝑇(6 − 𝑇) = 8 - לנקודה ) ,B(5,1כאשר ידוע ש .x>2 -פירושו של דבר למשוואה הריבועית לעיל שני פתרונות (,(T=4 , T=2 ששיעור ה x -של הנקודה Pיכול ,על פניו ,לקבל כל אשר רק אחד מהם מתאים לתנאי הבעיה ( .)T=2כלומר, ערך בין 2ל.5 - הזמן שעבד הפועל השני שמיוצג על-ידי אורך הקטע PD הנקודה Cמייצגת את השעה שבה שני הפועלים סיימו להשלים את אותו חלק מהעבודה .הנתון האחרון בבעיה הוא שהמרחק האופקי (על ציר הזמן) בין הנקודות PוC - הוא .1מכאן נפתור את הבעיה כבעיית דמיון משולשים. הוא שעתיים ,ושיעורי הנקודה Pהם ) .(3,0מכאן הפועל השני התחיל את עבודתו בשעה .11 דיון בפתרון א הייצוג הגרפי נשען על הצגת העבודה שמשלים כל פועל כפונקציה קווית של הזמן .זהו תרגום של הקשר 𝑡 ∙ 𝑃 = 𝑊 (עבודה היא מכפלה של הספק קבוע בזמן) למושגים של פונקציה. לאחר ייצוג הבעיה במערכת צירים ,המשולש PCEמשך את תשומת הלב (ידוע שהצלע )PE=1וניתב את המשך הפתרון לכיוון של בעיית משלושים .בפרט ,הסתכלות זו כיוונה את בחירת ה"נעלם" בתור אורך הצלע PDשל המשולש ,PDBשהוא גם הגודל שאנחנו מתבקשים למצוא. דמיון משולשים נראה בתחילה כקישור משונה לבעיית הספק ,אבל בהקשר הגרפי הוא מתברר כטבעי למדי. איור :2פתרון בעיית הספק באמצעות דמיון משולשים גישה זו מכוונת אותנו לבחור את אורך הקטע PD כמשתנה (שנסמנו ב ,)T -אשר מייצג את הזמן הנחוץ לפועל השני לסיים את העבודה .נסמן בסרטוט את הנקודה Eכהיטל של הנקודה Cעל ציר ה( .x -ראו איור .)2 ההספק קובע את שיפוע הגרף ,שקובע את הזווית בין הגרף לציר ה .x -נקודה מסוימת בזמן (למשל )t=3באה לידי ביטוי בישר מקביל לציר ה ,y -וכל הישרים האלה מקבילים אלה לאלה .כך מתקבל מגוון של זוויות שוות ושל משולשים דומים. השילוב בין שני תחומים אלה ,אשר איננו מורגלים בו, מציג את המתמטיקה כמארג שבו מושגים וכלים משתלבים ומתקשרים על מנת לפתור בעיה. על"ה | 51מרץ 2015 15 באופן מפתיע נראה כי דווקא הגבלת סוגי הפתרונות לתחום הגרפי/ויזואלי אפשרה הפגנת יצירתיות שהניבה שתי גישות שונות מאוד זו מזו. פתרון ב עבודתו ,הוא הספיק לארוז כמות ארגזים השווה למספר לאחר השלמת הפתרון שמנו לב שבתרשים של פתרון א הארגזים שארז הפועל הראשון עד לרגע זה") .יש לנו אפשר לזהות בקלות זוגות נוספים של משולשים דומים. עוד זוג של משולשים דומים ,𝛥BGC~𝛥PEC :ויחס צדו את עינינו ותהינו אם נוכל הפרופורציה ביניהם גם הוא ,xולכן אורך הקטע BGהוא המשולשים ABCוOPC - למצוא פתרון המבוסס על הדמיון ביניהם. .1/xמסיכום אורכי הקטעים BA ,GB ,PE ,OPנקבל: 1 כץ וכץ ( )2013מתארים פתרון בעיות תנועה ב 8 -דרכים .3𝑥 + 1 + + 3 = 8למשוואה ריבועית זו יש שני 𝑥 1 שונות .אחת מהן (דרך ה) מתבססת על דמיון משולשים. פתרונות: ניתן לראות בעיות תנועה כסוג של בעיות הספק ,ואכן, נתבקשנו למצוא ,מיוצג על-ידי סכום אורכי הקטעים הפתרון הנוכחי שואב השראה מדרך ה במאמר של כץ 𝑥 .𝑃𝐸 + 𝐺𝐵 = 1 + 1/שני הערכים שמצאנו לx - וכץ. מתאימים לשני הפתרונות שמצאנו לעיל בשיטות א ו -ב - להלן הפתרון: 3 = 𝑥 ; .𝑥 = 1זמן העבודה של פועל ב ,אותו 2שעות או 4שעות ,כאשר רק אחת התשובות ( 2שעות) מתאימה לתנאי הבעיה. נתבונן באיור .3כמו באיור ,2גם באיור 3הקטעים OAו- PB הם הגרפים המייצגים את עבודתם של שני הפועלים בפרקי הזמן בהם עבדו .באיור 3העברנו אנך לציר הx - דרך הנקודה Cבמקום שני האנכים לציר ה x -שבאיור .2 שילוב קשרים פנים מתמטיים וחוץ מתמטיים -גיוס מושגים מעולם הפיזיקה ומתחום האינטגרלים לטובת הפתרון פתרון ג הפתרון השלישי מקבל השראה מהקשר הפיזיקלי/מתמטי בין המושגים "הספק" ו"עבודה" .מתוך הכורח לחפש פתרון גרפי עלה הקישור בין "עבודה" ל"שטח מתחת לגרף" שמוכר מתחום הפיזיקה .אם נעשית עבודה Wבהספק ) p(tלאורך זמן מ 0 -עד ,Tאזי 𝑇 𝑡𝑑)𝑡(𝑝 . W(T) = ∫0ולכן לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ,העבודה היא השטח שכלוא מתחת לגרף ההספק כפונקציה של הזמן. בבעיה הנתונה ההספקים של הפועלים קבועים ,ולכן הנתון על שוויון בעבודה של שני הפועלים ,המיוצג מתוך הכורח לחפש פתרון גרפי עלה הקישור בין "עבודה" ל"שטח מתחת לגרף" שמוכר מתחום הפיזיקה. כשוויון בין שטחים מתחת לגרף ההספק של שני איור :3פתרון נוסף באמצעות דמיון משולשים הפועלים ,הוא שוויון בין שטחי מלבנים. נתון כי הפועל הראשון השלים את העבודה בשמונה יש לפנינו שני משולשים דומים .𝛥ABC~𝛥OPC :נבחר את שעות .נסמן את הספק הפועל הראשון ב .P1לכן, הנעלם xכמייצג את יחס הדמיון בין המשולשים .ידוע אפשר לייצג את העבודה כולה כ.8 P1 - שאורך הקטע ABהוא ,3ולכן אורך הקטע - OPהצלע נסמן את משך העבודה של הפועל השני ב( t -זהו המתאימה במשולש - OPCהוא .3xמנתוני הבעיה ,אורך הנעלם אותו צריך למצוא בבעיה) וב P2 -את ההספק הקטע PEהוא "( 1שעה לאחר שהפועל השני החל את שלו. 16 על"ה | 51מרץ 2015 נסרטט שני גרפים באותה מערכת צירים ,כך שהשטח שוויון שטחי המלבנים האדומים ACOKו FJLK -באיור 5 מתחת ל כל גרף מייצג את עבודתו של אחד הפועלים. מייצג גם הוא משוואה .נרשום אותה קודם בייצוגה הפועל הראשון עבד שמונה שעות ,והפועל השני עבד t הגאומטרי .FK·KL=AK·KO .על-פי בניית הגרפים ,FK=1 שעות ,כך שסיים את עבודתו כעבור חמש שעות KO=P1וכן .KL=P2 מתחילת העבודה של הפועל הראשון .כמו כן ,לא נתון מועד ראשית העבודה של הפועל השני ,אלא שהתחיל לעבוד אחרי שהפועל הראשון השלים שעתיים של עבודה( .ראו איור .)4 נשאלת השאלה איך נייצג את AKבאמצעות נתוני הבעיה .נסתמך על השוויון .AK+FE=AE+FKלפי הנתונים והסימונים AE=5 ,FE=1ו .FE=t -לכן . AK=5-t+1=6-t לסיכום ,מתוך איור 5אפשר להסיק כי שוויון שטחי המלבנים האדומים מיוצג על-ידי המשוואה P1·(6-t)=P2·1 הספק ביחידות שעה1/ קי בלנו שתי משוואות בשלושה נעלמים .חלוקת המשוואות זו בזו מניבה את המשוואה 1 𝑡 = 𝑡6− 8 . למשוואה שני פתרונות t=2ו t=4 -כאשר רק הראשון מבניהם מתאים לנתוני הבעיה. הספק ביחידות שעה1/ זמן בשעות מתחילת עבודתו של הפועל הראשון איור :4פתרון בעיית ההספק בשילוב מושגי פיזיקה - ייצוג העבודה כולה נשים לב שאנחנו מסרטטים את הגרף אחרי שנתנו את דעתנו על כך שהפועל השני משלים את העבודה בפחות זמן מהפועל הראשון ,לכן הספקו חייב להיות גדול זמן בשעות מתחילת עבודתו של הפועל הראשון מהספקו של הפועל הראשון ) .(P1<P2על-פי הנתון בבעיה ,שטחי המלבנים ABDCו EHJF -שווים זה לזה. איור :5פתרון בעיות הספק בשילוב מושגי פיזיקה - ייצוג כל המשוואות שוויון שטחי המלבנים שבאיור 3מיוצג אלגברית על-ידי המשוואה 8· P1=t· P2 עוד נתון בבעיה כי ב שעה אחת מתחילת עבודתו הצליח הפועל השני להשלים את אותה כמות עבודה אותה השלים הפועל הראשון עד אותו הזמן .מכאן נוכל להוסיף לגרפים עוד שני מלבנים שמלמדים על השוויון השני שנתון בבעיה( .ראו איור ).4 דיון בפתרון ג בעיות מילוליות (בעיות תנועה ,בעיות הספק ,ומעט בעיות מילוליות בנושאים סדרות והסתברות) הן מההזדמנויות המעטות של תלמידים הלומדים במסלול של 5יחידות לימוד בחטיבה העליונה ,להשתמש בכלים מתמטיים למטרות יצירת מודלים .במקרה של בעיות על"ה | 51מרץ 2015 17 יכולות להיות להוראה מטרות נוספות ,מטה- מתמטיות ,כגון הצגת המתמטיקה כמארג קוהרנטי שבו הנושאים והתחומים השונים קשורים אלה באלה, ומשתלבים בשרות של פתרון בעיות. תנועה ובעיות הספק ,הבעיות עבורן בונים מודלים בפתרון ב הייצוג הגרפי מנחה את בחירת לקוחות מתחום הפיזיקה .או מנם ,התלמידים נדרשים הנעלמים ,P1, P2, FEשהם אורכי הצלעות לבנות מודלים ל מצבים שהתוכן הפיזיקלי שלהן מסתכם במלבנים ששטחיהם מייצגים את העבודה. בקשר פשוט בין שלושה משתנים ,והסיבוך של הבעיות נגזר בדרך כלל מאילוצים מלאכותיים ,אבל עדיין, מושגים פיזיקליים משובצים בתוך הבעיות .במקרה דנן, השילוב בין בעיית הספק ודרישה לפתרון גרפי ,הוא שהוליד את השימוש במושג ההספק בפיזיקה ,ובמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי לפתרון הבעיה .כמו בפתרון א גם כאן הדרישה לפתרון גרפי מזמנת את פריצת חומות האלגוריתם הסטנדרטי ,וגיוס כלים אחרים וקישורים אחרים לטובת פתרון הבעיה. .2גם השלב השני בפתרון -בניית המשוואות - נעזר בייצוגים הגרפיים ,ובפרט בהיבטים גאומטריים של ייצוגים אלה .בפתרון א המשוואה נגזרת מדמיון משולשים ,ובפתרון ב המשוואות נגזרות משוויון שטחים .הרכבי ) (Arcavi, 2003רואה בוויזואליזציה "כלי [לפותר בעיה] להיחלץ ממצבים בהם לא ברור כיצד להמשיך( ".עמ' .)224אפשר לראות בייצוגים הגרפיים ששרתו אותנו בבעיה הנ"ל ,הדגמה לאפשרויות הגלומות בשימוש בכלי כזה לפתרון הבעיה הנתונה סיכום ומסקנות במאמר זה. בדרך כלל ,כאשר אנחנו עוסקים בבעיות מילוליות, מטרתנו העיקרית היא שתלמידים יפתחו מיומנויות בפתרון בעיות מילוליות .נראה תחילה כיצד הפתרונות לעיל אשר נעזרים בייצוג גרפי יכולים לתמוך במטרה זו. בכל פתרון של בעיות מילוליות מסוג זה יבואו לידי ביטוי השלבים הבאים: פתרון המשוואות .עם זאת ,אפשר להעלות על הדעת מקרים בהם הייצוג הגרפי של הבעיה יקדם את תהליך הפתרון האלגברי, כפי שתיאר הרכבי ( ,)Arcavi, 1994מקרה שבו "חוש לסמלים אלגבריים" ( symbol .1בחירה של משתנה או משתנים אשר יהוו את הנעלמים של הבעיה. של משוואה או משוואות מתאימות). .4הקשָ ה של פתרון לבעיה מתוך פתרון ובדיקתו .4סרטוט מחדש של הגרפים לאור הפתרון האלגברי ("הפועל השני עבד במשך שעתיים או במשך ארבע שעות") מאפשר .3פתרון המשוואה או המשוואות. לאור )senseנתן השראה לשלב האלגברי של פתרון בעיה. .2בניית מודל אלגברי של הבעיה (בנייה המשוואות, .3לא נראה שהייצוג הגרפי תורם לשלב הנתונים המקוריים. הייצוגים הגרפיים בפתרונות שהוצגו לעיל תומכים בשלושה מתוך ארבעת השלבים של פתרון הבעיה. את בדיקת הפתרון מול נתוני הבעיה המקורית וגילוי שרק תוצאה אחת מבין השתיים מתאימה. עד כאן ראינו את תרומת הייצוג הגרפי לפתרון הבעיה המילולית .זוהי תרומה משמעותית כאשר מטרת ההוראה היא פתרון בעיות .יחד עם זאת יכולות להיות להוראה .1הייצוג הגרפי בפתרון א הנחה את בחירת מטרות נוספות ,מטה-מתמטיות ,כגון הצגת המתמטיקה הנעלם .הגרפים יוצרים משולש ישר-זווית כמארג קוהרנטי שבו הנושאים והתחומים השונים ,PDBואורך הקטע - PDניצב במשולש זה קשורים אלה באלה ,ומשתלבים בשרות של פתרון – הוא מועמד טבעי למשתנה בבעיה .גם בעיות. 18 על"ה | 51מרץ 2015 פתרונות גרפיים כמו אלו שהוצגו לעיל ,מראים שאפשר גם אם מטרתנו אינה להרבות דרכי פתרון ,כדאי לשקול להתייחס לנושא של "בעיות מילוליות" מנקודת מבט של הצגה של פתרון גרפי ,שכן ההתבוננות דרך משקפיים משימות חקר ,אשר מזמנות פתרונות מגוונים ,לא גרפיים עשויה לסייע לתלמידים מסוימים לראות (תרתי סטנדרטיים ,ואף יצירתיים .לגישה כזאת לפתרון בעיות משמע) את התמונה השלמה של מה שמיוצג בבעיה, עשויות להיות השלכות פדגוגיות .המורה לא רק "מלמד" ובשל כך להקל עליהם את בניית המודל האלגברי. כיצד לפתור את הבעיה ,אלא מעודד עושר של פתרונות שונים השואבים מתחומים מגוונים ,אפילו חוץ-מתמטיים (כמו בפתרון ב). מ ק ו ר ות כץ ,י' ,וכץ ,מ' ( .)2013פיתוח חשיבה מתמטית של תלמידים בפתרון בעיות מילוליות .על"ה (,)48 .30-36 לייקין ,ר' ( .) 2006על ארבעה סוגים של קשרים מתמטיים ופתרון בעיות בדרכים שונות .על"ה ( ,)36 .14 – 8 לייקין ,ר' ,לבב-ויינברג,ע' ,וולטמן ,א' ( .)2006על ארבעה סוגים של קשרים מתמטיים ופתרון בעיות בדרכים שונות .על"ה (.36 – 30 ,)46 Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics , 14 (3), 24-35. Arcavi, A. (2003). The role of visusal representations in the learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics , 52, 215-241. מכללת חיל האוויר עדה שרר i מידע נוסף על פרויקט עדש"ה של מכון ויצמן ניתן למצוא בקישור http://stwww.weizmann.ac.il/menu/Teachers_Professional_Development/Development17_he.html על"ה | 51מרץ 2015 19 אפשר גם אחרת מהכ י תה לג'ונגלים של בוליביה - שיעור על קריאת נתונים מתוך גרפים יערה פלד זכרונות מבית הספר ומה עם מתמטיקה? כשסיימתי את כיתה יב לפני 22שנה ,מקצוע ההוראה מה אני זוכרת משיעורי המתמטיקה? זוכרת קושי ,אימה קסם לי בערך כמו לקפוץ ראש לבריכה ריקה .השנים לפני מבחנים ,רגשי נחיתות .ובעצם הרבה לפני מריו חלפו והקשר שלי עם המתמטיקה נשמר פה ושם דרך ליביו שאלתי את השאלה" :האם אלוהים הוא הוראה בשיעורים פרטיים .מדי פעם השתעשעתי ברעיון מתמטיקאי?" רק שלא פרסמתי את הספר .שאלתי את שבו אני מורה בישראל ,אך החיזיון בו אני עומדת מול עצמי אם במתמטיקה זה בכלל אפשרי? האם גם כיתה ומנסה ללמד ,נותר שנים רבות בגדר חיזיון מתמטיקה שמתקשר תעתועים .והנה לפני שלוש שנים ,בשלו התנאים, למציאות? ניתן ללמוד באופן חווייתי השעשוע הפך להסבת אקדמאים להוראה ,והתעתוע היה למציאות. כיום אני עדיין מגששת ,בתחילת דרכי .לקראת ההתנסות בהוראה אני מנסה לשחזר מה אני זוכרת מלימודיי ,אילו שיעורים השאירו בי את חותמם? מה היה בהם שונה? האמת היא שאני לא זוכרת הרבה .אולי הדחקתי ואולי לא היה מספיק מעניין ... אבל אני כן זוכרת מה זה past perfect progressiveכי למדנו את זה דרך השיר של להקת : Foreigner לקראת ההתנסות בהוראה אני מנסה לשחזר מה אני זוכרת מלימודי ,אילו שיעורים השאירו בי את חותמם? מה היה בהם שונה? " ."I have been waiting for a girl like youזה היה בכיתה ט ,בימים שהמורה נשאה עמה את הטייפ והריצה גרפים מספרים סיפור מסע והנה הזדמן לי לפתוח נושא חדש :קריאת גרפים .הפעם החלטתי לנסות לחשוב אחרת ולשלב עניין בחומר החדש -לספר סיפור מהחיים .הקשר שלי לסיפור מתחיל בכיתה ז ,כהשתתפנו בהרצאה מרתקת וסוחפת של יוסי גינסברג" ,בחזרה מטואיצ'י" ,שסחפה אותנו אל סיפור ההישרדות המרתק שלו ,אותו חווה בג'ונגל הבוליביאני לאורך נהר הטואיצ'י .סיפור שתחילתו התרגשות וציפייה לקראת מסע ,שהוא חלומו של כל מוצ'ילר ,וסופו בהיחלצות ממוות בטוח .מסע אליו יצאו ארבעה צעירים. את הקלטת קדימה ואחורה עד שהגיעה לפזמון. החלטתי להכיר לתלמידים את השפה הוויזואלית לייצוג מלחמת האזרחים ונושא העבדות בארצות הברית קיבלו צבע ועניין דרך הסרט "חלף עם הרוח" ,שהקרינו לנו בשיעור היסטוריה .למה אני זוכרת את אלו בעצם? אני מנסה למצוא מכנה משותף ונראה לי שהמוחשיות שיחקה תפקיד בכולם .בעיניים הביקורתיות והחשדניות של התלמיד ,תכנית הלימודים לפתע קיבלה "אחיזה במציאות". 20 על"ה | 51מרץ 2015 נתונים ,שפת הגרפים ,דרך סיפור הישרדותו של יוסי. התלמידים תהו מה הקשר בין סיפור ההישרדות בג'ונגל הבוליביאני לבין קריאת גרפים? האם זהו שיעור מתמטיקה? ואכן זה היה שיעור במתמטיקה ,אבל גם בגיאוגרפיה ,בספורט ,בספרות ,בטבע ובמדעים .לימדתי שיעור בנושא גרפים ,ו בהשראת סיפורו של גינסברג הגרפים היו אמצעי לספר את הסיפור .למרות שהרשיתי לעצמי פה ושם לסטות מהעלילה ,להוסיף ,להשמיט למתמטיקה? השגתי 100%הקשבה מצד הבנים ולהתאים אותה לגרפים ,רוח החוויה לא נפגמה. בקבוצה). תיאור השיעור שאציג מכאן ואילך שזור בסיפור ההישרדות בג'ונגל הבוליביאני ,אותו אפשר לקרוא בלה-פאס פוגשים יוסי ומרקוס את קווין האמריקאי ואת קארל האוסטרי ,שמציג את עצמו כגיאולוג כורה זהב, צייד יגוארים והמאסטר של הג'ונגל הבוליביאני .הוא בספר "בחזרה מטואיצ'י" (גינזברג.)1985 , בתחילת השיעור חילקתי לכל תלמיד מקבץ דפים, עליהם מודפסים גרפים ממסופרים עם הכותרת "בחזרה מטאוצ'י" ,והתחלתי לספר את הסיפור .ללא הכנה מוקדמת סיפרתי להם שכשהייתי אני בכיתה ז לקחו אותנו מבית הספר להרצאה של בחור ישראלי בשם יוסי גינסברג ,שהשתחרר מהצבא ויצא ל"טיול הגדול" .היום עושים את זה אלפי צעירים בשנה ,אבל אז ,בתחילת שנות השמונים ,בודדים עשו את זה .לפני עידן הטלפונים הניידים והאינטרנט ,לטוס לחו"ל היה פרויקט גדול מציע להם תמורת תשלום סמלי ,להדריך אותם לעבר כפר מבודד של אינדיאנים שנמצא באזור נהר הטואיצ'י, אחד מיובליו הרבים של האמזונס .ומה שבעיקר מלהיב אותם זו העובדה שבאזור הכפר נכרו בעבר כמויות של זהב ,וכדי לשכנע אותם הוא אף מוריד במחיר שנקב, בתמורה לזהב אותו יכ רו הם בעצמם במקום .השלושה מבקשים לחוות גם שיט על הנהר ,ונענים בשמחה ובהבטחה כי הוא ,קארל ,כבר שט על הטואיצ'י לכל אורכו. השלושה נסחפים ישר להרפתקה ומצטיידים ברובה, ומורכב. לאחר שביקר במדינות אחדות ,פגש יוסי בפרו בחור שוויצרי בשם מרקוס וביחד הגיעו לבירת בוליביה. סכינים ,כילות ,שקי אורז ,ואפילו במזכרות שיחלקו לבני השבט המבודד .ראשית עליהם להגיע לעיירה הנקראת אפולו ,שצפון מערבה ממנה נמצא נהר הטואיצ'י .אני שאלתי מי מכיר את בירת בוליביה ומה כל כך מיוחד מציגה מפה מגוגל על הלוח (איור .)1המרחק לאפולו בה .סיפרתי שלה-פאס היא עיר הבירה הגבוהה בעולם, מלה-פאס הוא 414ק"מ .כאן אני מספרת להם כי בפני ממוקמת כ 3,600 -מטרים מעל לפני הים .סיפרתי להם החבורה עומדות שתי אפשרויות :לטוס 3שעות עד על השפעת הגובה על מערכת הנשימה ,דלילות החמצן, לעיירה ,או להיטלטל 18שעות באוטובוס ,בדרך לא ועל כך שנבחרות כדורגל מגיעות כמה ימים לפני משחק דרך .ב שלב הזה אני מפנה אותם אל אחד הגרפים בדף כדי להתאקלם ,ורובן מפסידות שם .אפילו ליאו מסי שבידם (איור .)2 הקיא במחצית ,ודי מריה נזקק להנשמה( .מה הקשר איור :1מלה-פס לאפולו על"ה | 51מרץ 2015 21 הפרטים לה-פס -אפולו במקרא, השוני בשנתות בין שני התרשימים והשפעתם על תלילות הגרף. אני ממשיכה בסיפור :החבורה מגיעה לאפולו ומיד מחפשת מקומיים שייקחו אותם צפון מערבה למפגש עם נהר הטואיצ'י .בגלל כמה ימים גשומים שהציפו את הג'ונגל (תוספת שלי לעלילה) ,אף אחד מהמקומיים אינו מוכן זמן בשעות להסתכן בביצות שמזמן להם הג'ונגל .בעצת איור :2מלה-פס לאפולו בטיסה המקומיים הם ממתינים שלושה ימים באפולו עד אני מציגה תחילה את כותרת האיור ,כותרות הצירים שיתייבשו הדרכים. והשנתות ,ושואלת – האם זהו הגרף המתאר את הדרך בשלב הזה אני מבקשת מהתלמידים לזהות בין הגרפים שעשו מלה-פאס לאפולו? האם בחרו בטיסה או בנסיעה שבידם את הגרף המתאר המתנה .עליהם לאתר את באוטובוס? דרך הדיון אנו מגיעים גם למהירות הטיסה התרשים שבאיור :4 בקמ"ש ,ולמסקנה שגרף הוא בעצם אוסף של נקודות על מערכת צירים. זמן בימים לה-פס -אפולו זמן בשעות איור :4המתנה משלימים כותרות לגרף ולציר ה ,x -מגיעים למסקנה שהוא מייצג מרחק שעשתה החבורה ,כלומר 0ק"מ איור :3טיסה מול נסיעה באוטובוס כעת אני מפנה אותם לתרשים שבאיור .3 התלמידים מתבקשים לדון באיור ללא הסבר מוקדם .מה מוכר ,מה חדש ,מה חסר? דרך בשלב הזה אני מבקשת מהתלמידים לזהות בין הגרפים שבידם את הגרף המתאר המתנה. המספרים המוכרים מהאיור הקודם ,מגיעים למסקנה שהגרף האדום מייצג את הנסיעה באוטובוס .המטרה היא להעלות לדיון נושאים כמו :תצוגה של שתי סדרות על מערכת צירים אחת ,היכרות עם מקרא התרשים ,והשלמת 22 על"ה | 51מרץ 2015 בשלושה ימים ,מזהים שהגרף נמצא בעצם על ציר הy - ומייצג שינוי רק במשתנה אחד ,כאשר המשתנה השני נשאר קבוע. אנו דנים גם בספקות ובשאלות העולות בנוגע למסע, האם יצליח מבחינה חברתית? הרי השוני ביניהם כל כך גדול .האם יתמודדו עם הקשיים הפיסיים? מה יהיה אם במהלך המסע ירדו גשמים ויציפו את הג'ונגל? האם הצטיידו מספיק? כשתנאי מזג האוויר מאפשרים הם מתחילים את המסע, כאשר לפי דבריו של קארל ,ההליכה עד לשבט האינדיאני אמורה לקחת בין 6ל 7 -ימים. לקראת הגרף הבא אני מנסה לגבש מתוך העלילה את סדר היום של החבורה ומספרת לתלמידים כי במהלך הימים הראשונים למסע החבורה פועלת על-פי הדפוס הבא: ( )1שנת לילה של 8שעות. ביום. ( )2מנוחה של שעתיים ( 4 )3שעות ביום מוקדשות לאכילה. צועדים בג'ונגל במשך 10 שעות. ( )4הם אני מבקשת מהתלמידים לאתר גרף שמייצג את דפוס הפעילות של החבורה ,ואנו מגיעים לתרשים הבא (איור :)5 איור :6פעילויות לאורך היום בדיאגרמת עמודות פעילות איור :5פעילויות לאורך היום – האם יש משמעות לקטעים המחברים בין הנקודות? איור :7פעילויות לאורך היום בדיאגרמת עוגה אנחנו חוזרים לסיפור ולג'ונגל :לאחר כעשרה ימים אנחנו מזהים את הפעילות על הגרף ,כך שציר xבעצם החבורה מתחילה להטיל ספק בסיפוריו של קארל. מייצג מספר סידורי ולא ערך משתנה .אני שואלת אם יש אין שום רמז לא לכפר אינדיאני ולא למכרה זהב, משמעות לנקודות ביניים על הציר? מה אפשר להגיד על הדרך אותה הם עושים נראית להם מוכרת ,והם דרך דיון מגיעים למסקנה מתחילים לחשוד שהם הולכים במעגלים ללא שבמקרים אלו אין משמעות לקטעים המחברים בין מסלול ידוע ,ומקבלים אישור לחששם בהגיעם הנקודות ,ועורכים היכרות עם המושגים – גרף רציף וגרף בפעם השנייה אל אותה חווה מבודדת. הנקודה 1.5בציר ה?x - בדיד .המקובל במקרים אלו ,הוא להציג את הנתונים בדיאגרמת טורים ,או דרך דיאגרמת עוגה כמו באיורים 6 אני מבקשת מהתלמידים לאתר את הגרף המייצג הליכה במעגלים ,ואנו מגיעים לתרשים הבא (איור :)8 ו .7 - על"ה | 51מרץ 2015 23 מרחק מנקודת המוצא מרחק מנקודת המוצא 150 100 ק"מ 50 0 14 10 12 6 8 זמן בימים 2 4 0 איור :8הליכה במסלול מעגלי – מרחק מנקודת המוצא גובה מעל פני הים גובה 1200 1000 800 _________ 600 400 200 0 15 10 ____________ 5 0 איור :9הליכה במסלול מעגלי – גובה מעל פני הים הדרך אותה הם עושים נראית להם מוכרת והם מתחילים לחשוד שהם הולכים במעגלים ללא מסלול ידוע, ומקבלים אישור לחששם בהגיעם בפעם השנייה אל אותה חווה מבודדת. בגרף הזה אנו עוברים מנקודה לנקודה ומגלים בהדרגה תהליך בדיוק כמו הגרף הקודם אך בעצם נראה הפוך כי את הסיפור מאחוריו – מה קורה למרחק מנקודת המוצא במקום מרחק מנקודת מוצא ,אנו מודדים את הגובה מעל ככל שהימים חולפים .ההסבר יכול להיות שהחבורה פני הים בו נמצאת החבורה בכל יום. הולכת במעגלים או פשוט חוזרת על עקבותיה. התסכול ,האכזבה ,הרעב והקשיים מתחילים להשפיע אני מזכירה לתלמידים שהכיוון הכללי של המסלול הוא על כולם ,מרקוס הבחור השוויצרי נחלש ,בגלל הלחות במורד הזרם ומבקשת מהם לאתר גרף נוסף המתאר את הוא מפתח מחלה בכף הרגל ומאט את כולם .חברתית אותה התרחשות של הליכה במעגלים ,ואנו מגיעים אל המצב מאוד קשה ,קארל ומרקוס מתחילים לדבר התרשים שבאיור .9 ביניהם גרמנית ויוסי וקווין האמריקאי מתחילים גם הם אנו משלימים את כותרות הצירים ולומדים כי מאחר והכיוון הכללי הוא במורד הזרם ,הגרף מתאר את אותו 24 על"ה | 51מרץ 2015 ליצור חברות מחוץ לרביעייה .הם מחליטים להפסיק את המסע אך לא לפני שיממשו את התכנית לשוט על הטואיצ'י ,וכך גם יוכלו להגיע לעיירה רורנבאקה ומשם ואכן ב 12:00 -החבורה עוצרת ,אם למנוחה ,אם לטוס חזרה ללה–פאס .הם בונים רפסודה ומתחילים לארוחה ,אם לדיון מה הלאה .התלמידים נעשים לשוט במורד הנהר .היום הראשון של השיט עובר באופן מעורבים רגשית ומעלים השערות :מה קורה בעצירה? רגוע יחסית ,אך כאן מתגלה העובדה שקארל אותו על מה החבורה מדברת? מה הם היו בוחרים לעשות? מאסטר של הג'ונגל אינו יודע לשחות ,ובכל פעם שהנהר ב 14:00 -עולים השייטים בחזרה לרפסודה ומגלים שהם מזעזע את הרפסודה הוא מאבד את עשתונותיו .וזה קורה משייטים בקצב לא שפוי של כ 50 -קילומטר בשעה. תכופות כי הנהר ,כך מסתבר ,אינו מגלה אדיבות ה מסלול מטורף וקוצף ,מלא סלעים ,מעברים צרים כלפיהם יותר מאשר היער .יומו השני של השיט הוא היום ומפלים .ב 17:00 -הם מפסיקים את השיט ויורדים לגדה בו מתקבלת הכרעה אשר תשפיע על חייהם של כל בני רטובים ומבוהלים. החבורה .אני מפנה את התלמידים אל תרשים נוסף (איור .)10 כאן אנו נפרדים מהגרף וחוזרים לעלילה .אני מספרת להם שהחוויה המסעירה על הנהר מטלטלת ומפצלת השיט (ע"פ הגרף באיור )10מתחיל בשמונה בבוקר את החבורה .קארל מספר להם שהם שטים לעבר קניון ומסתיים בחמש אחה"צ .אנו שוב משלימים כותרות הסן פדרו – מפל של 50מטרים ושהוא חושש שהם לא לצירים ומספרים מה קורה בכל שעה .משעה 08:00עד יצליחו לעצור לפניו ויפלו אליו .מרקוס וקארל מחליטים 11:00שטה החבורה במהירות קבועה ורגועה יחסית של לחזור רגלית עד מיקומו המשוער של כפר מסוים ,ומשם כ 10 -קמ"ש .בין 11:00ל 12:00 -חל שינוי בשיפוע של לחזור על פרדות לאפולו .יוסי וקווין מתייעצים ומחליטים הגרף ואנו מזהים שבשעה זו הם עוברים מרחק של כ30 - להמשיך ברפסודה ,הם משערים שמעבר הסן פדרו הוא ק"מ – מהירות השיט גבוהה פי 3מאשר בשעות עוד המצאה של קארל בדיוק כמו השבט וכמו הזהב .הם הקודמות .מה שמזמן הרבה נקודות לדיון :מה הן מעדיפים להמשיך לשוט ולהיפגש עם מרקוס שוב בלה- ההשלכות הטופוגרפיות? הנהר הולך ונעשה תלול .מה פאס .קארל ומרקוס מתחילים לצעוד במעלה הנהר .מה הן ההשלכות הפסיכולוגיות? האם הם מסוגלים שקרה אחר כך לקארל ומרקוס נשאר בגדר תעלומה. להתמודד עם שיט לא צפוי ,מהיר ,עם רפסודה מעשה אף אחד מהשניים לא נראה שוב. ידיהם ,עם חבר אחד פצוע ועוד אחד שאינו יודע לשחות? שיט ברפסודה -היום השני שיט ברפסודה -היום השני מרחק בק"מ מרחק בק"מ 200 200 150 150 _____ 100 _____ 100 50 50 17 17 16 16 15 15 14 14 11 12 13 11 12 13 __________ __________ 10 10 9 9 8 8 0 0 7 7 איור :10שיט ברפסודה – היום השני על"ה | 51מרץ 2015 25 ____________ 600 575 550 525 500 475 450גובה מעל 425 400פני הים 375 350 325 300 275 250 150 0 50 100 מרחק במטרים איור :11נפילה במפל אני מוצאת את עצמי הודפת שאלות ופניות נרגשות מצד לעבר הקניון השואג שחייב להיות מעבר הסן פדרו ,עליו התלמידים ונאבקת לחזור למהלך השיעור ,מבטיחה דיבר קארל .הרפסודה נתקעה על סלע וקווין קפץ ממנה לסיים את הגרף האחרון ולענות על השאלות .אנו פונים והגיע לגדה ,אבל רק כדי לראות את הרפסודה לגרף האחרון ואני מבקשת מהם לשער מה הסיפור משתחררת מהסלע וצוללת במורד המפל .בנס הוא לא שבין הצירים. טבע ,אלא נסחף במשך קילומטרים במורד הנהר עד בעזרת הרמזים המטרימים שפיזרתי התלמידים משערים נכון שזהו סיפור הנפילה במפל ,ולפני שאנו פונים לניתוח הגרף אני מאשרת שאכן ,זוהי כותרת התרשים ושדווקא כאן נמצא קארל דובר אמת .ביקשתי מהם לגייס דמיון ולהסביר כיצד מסתדרים ביניהם הצירים, בתקווה שיצליחו להמחיש כיצד בהתקדמות על ציר ה- , xהנפילה במפל היא אנכית ומייצגת מרחק אפס. ולאחר שעמדו במשימה בכבוד ואף הזכירו את גרף ההמתנה מתחילת השיעור ,עברנו על נקודות מרכזיות בשיעור :מושגים ,כותרות ,צירים, שיפועים ,רציפות, נקודות ביניים .התלמידים כבר נסחפו בעלילה המשנית של יוסי .התנתקנו מה מתמטיקה והמשכתי עבורם את הסיפור: שהוא מצא את עצמו על חוף ,בחיים, ולגמרי לבד. במשך שלושה שבועות שוטט יוסי בג'ונגל לבדו מקפיד להישאר על מסלול הנהר ,בתקווה לחילוץ .במהלך שבועות אלו הוא הצליח לשרוד מדרונות בוציים ,חולות טובעניים ,על וקות וטרמיטים ,נמלי אש ואף מפגש עם נמר .ואז הגיע היום שהזמזום הטורדני במוחו לא היה הזיה של רעב או תשישות אלא מנוע של סירת הצלה, עליה הוא ראה את קווין חברו האמריקאי עם מחלץ מקומי .עם שובם ללה-פאז השניים שומעים כי קארל הוא עבריין מסוכן ומבוקש וכל מי שמכיר אותו מעלה חששות כבדים לגורלו של מרקוס .ואומנם משלחות חיפוש שנשלחו לאזור הטואיצ'י חזרו בידיים ריקות. מחשבות לסיום יוסי וקווין ,האמריקאי ,חזרו לרפסודה והשיקו אותה השיעור המתואר תוכנן אינטואיטיבית ,מתוך רצון לגוון בחזרה לתוך הזרם .העניינים הלכו והשתבשו .הנהר ולעורר עניין .על מנת לגבש מה למדתי אני מהשיעור, נעשה צר ,ובמקום גדות חוליות ושטוחות החלו להופיע אני נעזרת במאמר "תובנות מחדר הכיתה" (גוטרמן, קירות תלולים .והשניים פתאום מצאו את עצמם שועטים .) 2011גוטרמן מציין שלושה תנאים המתקיימים בשיעור 26 על"ה | 51מרץ 2015 וודאות לגבי יעד השיעור ,לאן נרצה תהליך הלמידה התרחש לצד תהליך נוסף בעל השלכות אפקטיבי.1 : להביא את התלמידים בתום השיעור .2 .התנהגות חברתיות :חיזוק הקשר עם התלמידים ,יצירת תחושת ההוראה היא כזו שמעלה את תחושת הביטחון העצמי מעורבות בקבוצה הטרוגנית ,כך שכל תלמיד יכול היה אצל התלמידים ,תוך מתן יחס מכבד ורציני לשאלות להתחבר אל השיעור בהיבט אחר .ההיסחפות של הנשאלות ,ועידוד הלמידה .3 .הפעלה של כלל התלמידים אל תוך הה רפתקה סחפה גם אותי והרגשתי התלמידים בתהליכי הלמידה והחשיבה ,ארגון הלמידה שאני חווה איתם יחד את אותן חוויות. במשימות מורכבות. כמורה שעדיין מגששת את דרכה ,מקצוע ההוראה קסם בשיעור זה התלמידים למדו שפה חדשה ,שפת הגרפים, לי לאחר השיעור הזה .ועדיין אני מגששת ומחפשת אחר ועשו בה שימוש כדי לפענח מידע שעניין אותם .הם הקסם הזה עבור התלמידים ועבורי ,וכדרכו של קסם, למדו לפענח מתוך הגרף מידע אודות הסיטואציה ,וגם הוא לא תמיד ברור ,לא תמיד מצליח ,לא תמיד ניתן לזהות גרף שמתאים לסיטואציה מתוך אוסף גרפים להסבר .אבל כשהוא נמצא ונוכח אתנו בשיעור ,הוא שהוצגו להם .הם למדו להבחין בין גרפים בדידים משאיר בנו כמיהה לעוד. ורציפים ,הכירו מגוון ייצוגים גרפיים ,ולמדו גם שאותה תופעה ניתנת להצגה באמצעות משתנים שונים. מ ק ו ר ות גוטרמן ,י' ( .)2011תובנות מחדר הכיתה .החינוך וסביבו ,שנתון מכללת סמינר הקיבוצים ל"ג.123 -107 , גינסברג ,י' ( .)1985בחזרה מטואיצ'י .הוצאת זמורה ביתן. Hendrix, S. (1998). Lost and Found. The Washington Post. http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1 מכללת חיל האוויר עדה שרר על"ה | 51מרץ 2015 27 תהליך הלמידה התרחש לצד תהליך נוסף בעל השלכות חברתיות :חיזוק הקשר עם התלמידים, יצירת תחושת מעורבות בקבוצה הטרוגנית ,כך שכל תלמיד יכול היה להתחבר אל השיעור בהיבט אחר. משולחנו של מורה שילוב פרדוקסים בהוראת מתמטיקה כאמצעי לפיתוח סקרנות נתן ש טיינברג פיטר סמובול מבוא הדרכים להטביע חותם חיובי על תלמידים היא לא פעם נשאלנו ,קבוצת מורים למתמטיקה מבית הספר באמצעות שיעורים לא סטנדרטיים. אשל הנשיא ,כיצד אנו מושכים תלמידים רבים להשתתף למרות שלא כל שיעור לא סטנדרטי הוא גם אפקטיבי, לאורך שנים בחוגי העשרה במתמטיקה ,וכיצד אנו מורים רבים רואים את הצורך בעריכת שיעורים מסוג זה. גמר השיעור הלא סטנדרטי שובר את השגרה הבית-ספרית, במתמטיקה ,שרבות מהן זכו בפרסים בארץ ובחו"ל. וטומן בחובו משהו חדש ובלתי צפוי עבור התלמיד ,מעין (סמובול ,קיג'נר וקגלובסקי ,2009 ,סמובול ושטיינברג, אתגר לניסיון האינטלקטואלי שלו . מצליחים להביא תלמידים לכתוב עבודות .)2010 ניתן לצפות, שהודות להשפעה האינטלקטואלית התשובה היא כמובן מורכבת ורחבה. והרגשית על התלמיד ,השיעור הבלתי סטנדרטי אחת התשובות קשורה לחוויות אשר מטביעות את האפקטיבי יוכל לעזור למורה מכמה היבטים: חותמן בתלמיד ומעוררות את סקרנותו ורצונו להתמסר לחקר מתמטי. אחת הדרכים ליצור רגעים כאלה היא באמצעות שילוב פרדוקסים בהוראה ,ובכך נתמקד במאמר זה. פסיכולוגים (למשל, 1998 )Efroimsan, הוכיחו שבהתפתחותו האישית של התלמיד ישנם רגעים לפתח את היכולת האינטלקטואלית של התלמידים. להגביר את המוטיבציה בקרב התלמידים. לחדד את הסקרנות האינטלקטואלית של הלומד. לעזור לתלמיד להבין נושא ספציפי מתוך תכנית הלימודים הכללית. "קריטיים" ,שבמהלכם הסביבה החיצונית משפיעה עליו נדגים את דברינו באמצעות שיעור שקיים אחד ממחברי השיעור הלא מאוד .סוג זה של התרשמויות נקרא הטבעה .את המאמר. סטנדרטי שובר את הרגעים הקריטיים הללו האדם יכול לחוות מספר השגרה הבית- פעמים ,לרוב הם יופיעו במהלך הגיל הרך ,בילדות ספרית ,וטומן ואפילו בשנות הנעורים .לפי מחקריו של Efroimsanניתן בחובו משהו חדש לראות ,שהטבעה יכולה להביא לארגון מחדש של ובלתי צפוי עבור הניסיון המנטלי ,ולהשפיע על רוב מניעיו של האדם התלמיד ,מעין ומטרותיו בחיים. אתגר לניסיון האינטלקטואלי שלו . היכולת לנהל את אותם תהליכי הטבעה אצל הילד הלומד היא אחד האתגרים המורכבים בהוראה ,וכנראה אחד 28 מתחומי המפתח של ההוראה העתידית. על"ה | 51מרץ 2015 אחת פרדוקסים כמקור להפתעות פרדוקס (מהמילה היוונית - Paradoxosבלתי צפוי , מוזר) –,בלתי צפוי ,בלתי רגיל ,יוצא נגד חשיבה מסורתית .תופעה שנדמה שהיא בלתי מציאותית או בלתי צפויה. לפי המתמטקאי הידוע מ .גרדנר "הפרדוקס הוא אמת מסוימת שהועמדה על ראשה" .בהתאם להגדרתו ישנם לא פחות מארבעה סוגי פרדוקסים: הנחה ,שנראית מוטעית ,אבל לאמיתו של דבר היא תיאור מהלך השיעור תמיד נכונה. את השיעור המבוסס על פרדוקסים ,שנתאר כעת ,אני הנחה ,שנראית כנכונה תמיד ,אבל לעתים מובילה מקיים אחרי לימוד הנושא" :שברים". לאי-התאמה לוגית. את נושא השיעור אני מנסח ורושם על הלוח באופן הנחה ,שנראית כנכונה ,אבל לאמיתו של דבר היא הבא " :מי ילך לקנות את הלימונדה?" תמיד מוטעית. הניסוח הבלתי מדעי ,הבלתי מתמטי והמפתיע של נושא הנחה ,שאי-אפשר להוכיח את אמיתותה או את אי- השיעור הוא חשוב ביותר .ראשית התלמיד חש אמיתותה באמצעים מתמטיים . שהמתרחש בשיעור שונה מהמתכונת הרגילה של השיעורים .שנית ,באופן זה המורה יכול באופן טבעי מניסיוננו: ובלתי גלוי לעין ,לתת לתלמידים אפשרות לקשר ביכולתו של הפרדוקס לעורר רשמים חיוביים אצל התלמיד ,ולחדד את חוש סקרנותו הטבעית, שבסופו של דבר ידרוש לבוא על סיפוקו. פרדוקסים עוזרים ללמד את התלמיד לחשוב בצורה ביקורתית .הפרדוקס מהווה מעין אתגר לתפישה הרגשית ולחשיבה של התלמיד ,שהוא יתקשה לא להיענות לו .תפקידו של המורה הוא למצוא "פרדוקסים מתאימים" ,שיצליחו להוות אתגר זה, ולהביאם לפני התלמידים. תחומים מסוימים מניסיונם האישי עם נושאים מתמטיים. וכעת לאחר שכתבתי את נושא השיעור בנוסח כזה ,איני פרדוקסים עוזרים רואה אף ראש מורד ואף מבט אדיש .כל העיניים נשואות ללמד את התלמיד אליי .במלוא הרצינות אני ממשיך :ועכשיו אני אספר לחשוב בצורה לכם על מקרה ,שהתרחש עמי ועם אחייני ,יום אחד ביקורתית. במהלך הקיץ על גדות נהר .באותה עת אחייני רק סיים הפרדוקס מהווה את שנת הלימ ודים והחליט ללמד אותי לדוג .אותו יום מעין אתגר היה לוהט ומחניק וכמות המים המועטה שהייתה לתפישה הרגשית ברשותנו אזלה .ככל שחלף הזמן כך גבר הצמא ,אולם ולחשיבה של שיעור העוסק בפרדוקסים רצוי שייערך בסיומו של החנות ,בה ניתן היה לקנות לימונדה ,נמצאה במרחק רב התלמיד ,שהוא פרק לימוד גדול ,הן מבחינת כמות החומר הכלול מאתנו .כיוון שאף אחד מאתנו לא התנדב ללכת לחנות - יתקשה לא בו והן מבחינת הזמן שהושקע בו ,אחרי שכבר נולדה ההתערבות שלנו" .שמע דימה – אמרתי לאחייני – להיענות לו. שיטות הפתרון של תרגילים ובעיות מסוג מסוים בוא נשחק במשחק" .לקחתי אבן קטנה ואחרי שבדקתי הספיקו להתגבש .גם לתוכן הדידקטי של השאלות שאפשר לכתוב באמצעותה בחול ,הצעתי" :אם אתה הנלמדות יש חשיבות .לדוגמה אם בבסיסו של תגיד שלוש פעמים :לא יכול להיות! (כלומר ,אם אני החומר הנלמד ישנו אלגוריתם קבוע ,שמפתח אצליח להפתיע אותך שלוש פעמים ).אתה תלך לקנות ומחזק אצל התלמיד רפלקס אינטלקטואלי מתאים, לימונדה ואם לא – אלך אני .מסכים?" יש טעם לפתח אצל התלמיד את היכולת לבחון עובדות ,שנראות לכאורה כבלתי ניתנות להפרכה, בצורה ביקורתית ,וללמד אותו לייחד את היוצא מן הכ לל .במהלך תהליך לימוד זה התלמיד ילמד למעשה להשתמש בחוקים מתמטיים באופן חופשי ומדויק יותר, כשהוא נמנע מלבצע טעויות, האופייניות לשימוש אוטומטי בתיאוריות ,שהבנתן היא שטחית. מסכים ! ענה דימה בהיסח דעת . ואז כתבתי על החול : 1 a c ac b d bd ושאלתי :האם זה נכון? כמובן שלא – פרץ דימה בצחוק – ועכשיו לך לחנות ... על"ה | 51מרץ 2015 29 אל תמהר כל כך ,אמרתי לדימה ,מיד נראה איך ה"לא" -מה כאן לא מובן לך ,בוריס? בתרגיל שלך אף פעם לא המלגלג שלך יתמודד עם זה: התקיים מצב של שוויון ,ואילו בתרגיל זה הוא מתקיים 8 9 89 2 2 3 23 לרגע דימה השתתק .יכולתי להבין לפי המבט בעיניו שהוא בודק בדייקנות את התרגיל. בנקודה זו פניתי אל הכיתה" :האם בתרגיל 2הכל נכון?" כנראה ששאלה זו הייתה מיותרת ,מפני שרוב תלמידיי כבר הספיקו לבדוק את השוויון השני ,ונוכחו לראות שהוא נכון! וכאן אני חוזר לסיפורי. זה יצא לך כך בטעות – ניסה להתרעם אחייני – עודתרגילים כאלה אתה לא תוכל להמציא בגלל "שזה לא נכון" ,וחוץ מזה אני עוד יותר צמא מקודם... -אם כך ,נראה איך תתמודד עכשיו? אמרתי.. 3 5 9 59 3 9 39 כמה פעמים. כאן התעורר וויכוח כיצד זה ייתכן שנוסחה "שגויה" תיתן מצב של שוויון? מבלי להיכנס לתיאור מפורט של השיעור ,רק אומר, שאת הוויכוח סיימתי אני ,על-ידי פיתוח רעיונו של אחד התלמידים: a c ac שקר לא תמיד מוביל לשקר! השוויוןb d bd בניסוחו הכללי ,אינו מתקיים לכל ערך שנציב .לשם כך צריך לבחור שברים עם תכונה מיוחדת: 7 a b b 2 c d d רבים מהתלמידים הוכיחו את ( )7באופן עצמאי (ראו דימה הרים את גבותיו בפליאה ...שפתיו נעו אך לא נשמעה מילה ...לבסוף לחש :זה בלתי אפשרי!. מהם המספרים המקיימים לפי הבעת פניהם של תלמידיי אפילו המצטיינים שבהם, הבנתי שהם חווים ברגע זה הלם עמוק. כאשר כתבתי עוד משוואה: 4 24 49 24 49 2 7 27 ולאחר מכן עוד שתיים ... 5 48 98 48 98 2 7 27 6 24 49 24 49 6 21 6 21 נשמע קול נעלב :מדוע אתה ,המורה ,נתת לי ציון נכשל כאשר אני חיסרתי באותה דרך? לא הספקתי עוד לפתוח את פי כדי לענות על השאלה והילה ענתה: מסגרת :1מיהם המספרים עבורם החילוק השגוי מוביל לתוצאה נכונה 30 על"ה | 51מרץ 2015 b מסגרת .)1לפי נוסחה זו ,לכל מספר 1 d a נוכל להתאים בקלות מספר c שנבחר במקרה זה חשוב לבדוק עבור אילו ערכים של a , b , cהשוויון הבא יתקיים: כך שיתקיים השוויון a c ac b d bd aB a c Bc . לדוגמה :אם b 3וגם , d 4נקבל: a 3 c 4 3 15 2 . 4 16 a 15; c 16 כשהביטוי aBפירושו מספר שהספרה השמאלית שלו aושאר הספרות יוצרות את המספר ,Bוהביטוי Bc פירושו מספר שהספרה הימנית שלו היא cושאר הספרות יוצרות את המספר .B מאיר ניגש אל הלוח והחל בחישובים ואני המשכתי את וכו' . סיפורי . ועכשיו – אני אומר לתלמידים – אתם בעצמכם תוכלו להמציא "תרגילי תרמית" מעין אלו. -הקלף המנצח שהיה בידי היה הצמצום: 1 7 5 ,... 1 7 7 5 ולאחר דברים אלו חזרתי לספר את סיפורי. 5 עכשיו תראה – אמרתי לאחייני – כיצד ניתן בקלות לצמצם שברים: () 8 19 1 9 5 5 () 9 16 1 6 4 4 49 4 1 .... 9 8 8 2 ()10 אולם ,הפעם דימה לא התכוון להתייאש ובסופו של דבר מי שהלך לחנות הייתי אני .את ההסבר לצמצומים הבלתי רגילים הללו הצעתי לתלמידים למצוא באופן עצמאי. אחרי הצלצול בכיתה נשאר רק אלכס .ואחרי כמה דקות הוא שם לפניי דף מחברת ,עליו היה כתוב :לכל a ו – , bאחרי צמצום נקבל את השבר b או: ()11 19 9 1 9 9 5 5 19 9 9 9 1 ()12 9 9 9 9 5 5 לא יכול להיות – אמר דימה שוב .באותו רגע אחייני"הדייג המושבע" 1 4 3, 1 4 4 3 3 הפסיק להביט על המצוף ששכב a מפני ש: 1 a b 1 a a b b 1 a b 1 b b a a שיעורי הבית שקיבלו התלמידים מופיעים בניספח .1 במים מבלי לנוע ,והתחיל לבחון את השוויונות בניסיון לתפוס אותי במרמה. -ומה אתם חושבים? – פניתי אל הכיתה – האם יש תרשים מתודי פסיכולוגי של השיעור הסבר כלשהו "לצמצומים הברבריים" הללו? ניבחן את היסודות העיקריים של שיעור הפרדוקס בכיתה השתררה דממה .הראשון שהפר אותה היה מאיר .את מה שאמר נוכל לנסח מתמטית באופן הבא: בעזרת סיכום ,המורכב מהשלבים הבאים. השלבים העיקריים של שיעור הפרדוקס: על"ה | 51מרץ 2015 31 " .1הקפיצה הראשונה הצידה" :נושא השיעור להשאירה כאתגר .במקרה זה התלמידים והתחלת השיעור צריכים לעורר אצל שינסו לפתור את הבעיה באופן עצמאי התלמיד תחושת סקרנות. יוכלו להיאבק עמה בכוחות עצמם ולזקוף לדעתנו ,שיעור מתמטיקה טוב הוא שיעור שבו המורה מקיים ארבעה " .2ניהול דברים :שיתוף פעולה ,רגש של הבנה הדדית, יכולת לשמוח בהצלחת תלמידיו, ורצון ליצור דברים חדשים .את כל האלמנטים האלה ניתן להשיג בעזרת השיעור באופן תיאטרלי": את פתרונה לזכותם. התלמידים מוצאים את עצמם בתור גוף " .7קרש קפיצה או הקלף המנצח" – בשלב שלישי ,צופים מן הצד ואף יועצים .עובדה זה המורה מציג בפני התלמידים בעיה זו מסירה מהם חלק מהאחריות לגבי קשה יותר ,שדרך פתרונה מזכירה את מה התוצאות ומעוררת את דמיונם .בראש שנלמד במהלך השיעור או שהיא מכילה ובראשונה חשובים פרטי העלילה ,אפילו יסודות ממה שנלמד בשיעור ,אך היא בכל אם הם לא אמתיים אך נראים כאמתיים זאת אינה זהה עמה באופן מוחלט .מטרתו לתלמידים .רצוי לערב את התלמידים של שלב זה – לאתגר תלמידים שכבר רגשית במתרחש בעלילה. עסקו קודם לכן בפתרון בעיות קשות. " .3פרדוקס" – הצגת הפרדוקס צריכה לנבוע שילובם של באופן טבעי מהמצב המתואר .בשלב זה שיעורים לא חשוב מאוד לאפשר לתלמיד ליצור תפיסה סטנדרטיים גרפית של הפרדוקס .דבר זה יאפשר בהוראה. למורה למקד את תשומת ליבם של תלמידיו על הבעיה הנלמדת ,מבלי לנסח אותה באופן ברור. בשלב זה רצוי לתת לתלמידים שמות של ספרים ,אתרים באינטרנט ,ומקורות מידע אחרים, שיוכלו לעזור להם בפתרון הבעיה. סיכום לסיכום נציין ששיעור בלתי סטנדרטי כדוגמת השיעור שתואר ,מסייע בידינו ליצור את התנאים הנחוצים ליצירת " .4הקפיצה השנייה הצידה" – זריקת אתגר לכיתה ... רשמים חיוביים אצל האישיות המתפתחת .אולם מידת שביעות הרצון מהתהליך תלויה במספר גורמים. " .5וויכוח ,חילוקי דעות" – בשלב זה המורה לדעתנו ,ככל שמספר התלמידים בעלי נטייה מתמטית ייטיב לעשות אם ייצור את הרושם של גדול יותר ,גדל הצורך בעריכת שיעורים בלתי "אינני יודע ,בואו ננסה יחד לפתור את סטנדרטיים ,וחשיבותם ויעילותם של שיעורים אלה הפרדוקס" ... גדלה .ולהיפך ,בכיתות חלשות יותר קשה יותר לנצל " .6הבלטה ,מיקוד תשומת הלב" – המורה מבליט רעיונות שיכולים לקדם את פתרון הדגם שתואר. הפרדוקס ,ובמידת הצורך עוזר לנסח לדעתנו ,שיעור מתמטיקה טוב הוא שיעור שבו המורה אותם באופן ברור יותר ,בהביאו בכך מקיים ארבעה דברים :שיתוף פעולה ,רגש של הבנה לנסח את הדדית ,יכולת לשמוח בהצלחת תלמידיו ,ורצון ליצור המסקנות שהתקבלו באופן מילולי אלא דברים חדשים .את כל האלמנטים האלה ניתן להשיג להתיחס גם לדרך גילויין ,ולנקודות מפתח בעזרת שילובם של שיעורים לא סטנדרטיים בהוראה. לסיום השיעור .חשוב לא רק שהביאו לפתרון המוצלח של הבעיה .כמו כן לעתים רצוי לא לפתור בעיה אלא 32 יתרונות של שיעורים בלתי סטנדרטיים הבנויים על-פי על"ה | 51מרץ 2015 בעייה לקינוח דן החסכן השתתף לאורך שנה שלמה בקורס לניהול הוצאות המשפחה. במהלך הקורס דן רשם כל חודש בקפדנות רבה את הכנסותיו והוצאותיו הכספיות. במפגש הסיום דן סיפר שבכל חמישה חודשים עוקבים סך הוצאותיו עלה על סך הכנסותיו, ובכל זאת ,בסיכום השנתי עלה סך הכנסותיו על סך הוצאותיו. הייתכן? מ ק ו ר ות סמובול ,פ' ,קיג'נר ,י' וקגלובסקי ,ט' ( .) 2009תלמידים חוקרים בבית הספר :יש דבר כזה! על"ה (.34 – 28 )40 סמובול ,פ' ושטיינברג ,נ' ( .)2010עשייה מדעית במתמטיקה בבית הספר" :עיקרון ההשלמה" .על"ה (.39 – 28 )40 )Efroimsan, V. (1998). PRECONDITIONS of GENIUS, Journal "Human", 1, Januar. (Russian Festinger, L. A. (1957). A Theory of Cognitive Dissonance, Stanford University Press, California. Gardner, M. (2002). Mathematics, Magic and Mystery . Dover Publication, INC, New York. Kleiner, J., & Movshovitz-Hadar, N. (1994). The role of paradoxes in the evolution of mathematics, American Mathematical Monthly, 101(10), 963-974. על"ה | 51מרץ 2015 33 ניספח :1בעיות שניתנו כשיעורי בית מטלה מס' :1היכן הטעות? לפניכם הוכחה ש . 4 3 -מצאו את הטעות שהובילה לתוצאה כה מטופשת. “הוכחה” ניתן לבדוק (למשל בעזרת מחשבון) ש- 2 2 7 7 3 4 2 2 נוציא שורש ריבועי משני אגפים של השוויון ונקבל: 7 7 3 4 2 2 או 4 3 האם ההוכחה נכונה? נמקו מטלה מס' :2היכן הטעות הפעם? לפניכם הוכחה שכל המספרים שווים זה לזה .גלו את הטעות המסתתרת ב"הוכחה". “הוכחה”: נניח שיש שני מספרים a b נתבונן בזהות: a2 2ab b 2 b 2 2ab a2 נפרק לגורמים את שני האגפים: a b2 b a2 ונקבל: a b b a או : 2a 2b מכאן כבר ברור שכל המספרים שווים זה לזה! הייתכן? אם לא – היכן הטעות? 34 על"ה | 51מרץ 2015 מטלה מס' :3עניינים כספיים הפעם נוכיח כי שקל אחד לא שווה בערכו ל 100 -אגורות! "הוכחה": ידוע כי כאשר נתונים שני שוויונים מותר לכפול את אגפיהם בלי לפגוע בשוויון. במילים אחרות :אם a bו c d -אז . ac bd נשתמש בכלל זה עבור שני שוויונים ברורים: 1שקל = 100אגורות. 10שקלים = 1000אגורות. ונכפול את האגפים ונגלה: 10שקלים שווים ל 100000 -אגורות, או: 1שקל = 10000אגורות. דרך טובה להתעשר? אם לא -היכן הטעות? מטלה מס' :4סופיזם של הלימודים The more you study, the more you know. The more you know, the more you forget. The more you forget , the less you know. The less you know, the less you forget. The less you forget , the more you know ?So why study על"ה | 51מרץ 2015 35 ניספח :2רמזים והסברים למטלות שבניספח 1 בעקבות מטלה 1 אנחנו יודעים ש a b a2 b2 -אולם האם גם ההיפך נכון? האם ? a2 b2 a b במקרה זה התשובה שלילית (3)2 32 .למרות ש. (3) 3 - אנחנו פעלנו כאילו a 2 a אולם השוויון הנכון הוא a 2 a . השוויון הנכון מוביל לת וצאה נכונה בהחלט (למרות שהיא לא כל כך מעניינת כמו השוויון .) 4 3 בעקבות מטלה 2 הסבר :הטעות כאן זהה לזאת שעשינו במקרה הקודם: 2 2 מ a b b a -לא נוכל להסיק a b b aאלא רק . a b b a בעקבות מטלה 3 הטעות בסופיזם זה היא בביצוע פעולות חשבון נכונות על ערכים הנמדדים ביחידות שונות. 36 על"ה | 51מרץ 2015 יצא לאור ככתב עת אלקטרוני באתר מרכז המוריםhttp://highmath.haifa.ac.il : לפרטים נוספים :המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי ,טלפון04-8288351 : מייל[email protected] : יצא לאור במימון האגף לתכנון ופיתוח תכניות לימודים במשרד החינוך ומנהלת המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט © כל הזכויות שמורות למשרד החינוך " " מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי المركز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين االعدادية والثانوية
© Copyright 2024