‫פתרון שאלה ‪ 4‬ממבחן‪ :‬מועד ‪2015 – 87‬א ‪20109 -‬‬ ‫סעיף א'‬ ‫נתון כי הדרגה של 𝐴 היא ‪ ,4‬ולכן ‪ .𝑑𝑖𝑚𝐾𝑒𝑟 0 ∙ 𝐼 − 𝐴 = 𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑘𝐴 = 3‬כלומר מימד המרחב העצמי השייך לערך‬ ‫העצמי ‪ 𝑡1 = 0‬הוא ‪.3‬‬ ‫הפולינום ‪ 𝑞 𝑡 = 𝑡 4 − 7𝑡 2 + 10‬מחלק את הפולינום האופייני של 𝐴‪ ,‬ולכן כל שורש של הפולינום 𝑡 𝑞 הוא שורש של‬ ‫הפולינום האופייני של 𝐴‪.‬נחשב שורשים של 𝑡 𝑞 ונקבל‪2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5 :‬‬ ‫קיבלנו כי ‪2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5‬‬ ‫= ‪. 𝑡5 = − 2 ,𝑡4‬‬ ‫= ‪ 𝑡5 = − 2 ,𝑡4‬שורשים של הפולינום האופייני של 𝐴 ‪.‬‬ ‫מכיוון שסכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של 𝐴 הוא ‪ ,7‬נקבל כי ‪ 𝑡1 = 0‬ערך עצמי עם ריבוי אלגברי ‪. 3‬‬ ‫פולינום אופייני של 𝐴 ‪:‬‬ ‫‪𝑡− 2 𝑡+ 2 𝑡− 5 𝑡+ 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑡 = 𝑡 𝐴𝑝‬ ‫סעיף ב'‬ ‫קיבלנו ערך עצמי ‪ 𝑡1 = 0‬ערך עצמי עם ריבוי אלגברי ‪ 3‬וריבוי גיאומטרי ‪. 3‬‬ ‫קיבלנו ערכים עצמיים ‪2 ,𝑡3 = − 5 ,𝑡2 = 5‬‬ ‫= ‪ 𝑡5 = − 2 ,𝑡4‬עם ריבי אלגברי ‪ 1‬וריבוי גיאומטרי ‪. 1‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לכל ערך עצמי של 𝐴 הריבוי האלגברי שווה לריבוי הגיאומטרי ולכן המטריצה 𝐴 לכסינה‪.‬‬ ‫מטריצה אלכסונית הדומה ל‪: 𝐴 -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 − 5‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪054-881-0530‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=𝐷‬ ‫‪[email protected]‬‬ ‫סעיף ב'‬ ‫המטריצות 𝐴 ו‪ 𝐷 -‬דומות ולכן גם המטריצות ‪ 𝐴2‬ו‪ 𝐷2 -‬דומות‪.‬‬ ‫שתי מטריצות שומות הן בעלות אותה עקבה‪ ,‬כלומר ‪. 𝑡𝑟𝐴2 = 𝑡𝑟𝐷2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− 5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪− 2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪𝐷2‬‬ ‫קיבלנו ‪𝑡𝑟𝐷2 = 14‬‬ ‫© באומן אלון – שיעורים פרטיים ומרתונים‬ ‫‪054-881-0530‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪[email protected]‬‬