x - אוניברסיטת בר-אילן

‫המחלקה למתמטיקה‬
‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫‪-‬‬
‫טופולוגיה – ‪ – 88 - 222 - 10/10‬סמסטר ב' תשע"ד‬
‫מבחן מועד א'‬
‫יום ב'‪ ,‬כ"ג בתמוז תשע"ד‪207.704 ,‬‬
‫מרצים‪ :‬מיכאל מגרל‪ ,‬טל נוביק‪ 7‬מתרגלים‪ :‬לואי פולב‪ ,‬מני שלוסברג‪7‬‬
‫הנחיות‪:‬‬
‫א‪ 7‬אין להשתמש בכל חומר עזר‪7‬‬
‫ב‪ 7‬עליך לענות על ‪ 4‬מתוך ‪ 0‬השאלות הבאות‪ 7‬אם ענית על כל ‪ 0‬השאלות‪ ,‬עליך לבטל אחת מהן בצורה‬
‫ברורה‪ ,‬אחרת ייבדקו ‪ 4‬השאלות הראשונות המופיעות במחברת‪7‬‬
‫ג‪ 7‬הניקוד על שאלת הבונוס הוא ‪ 0‬נקודות‪ ,‬אך הציון הסופי לא יעבור את ‪7011‬‬
‫ד‪ 7‬אנא רשום בפינה השמאלית העליונה של כריכת המחברת‪ ,‬מעל המילים "מדור בחינות"‪ ,‬את מספרי‬
‫השאלות שבחרת‪7‬‬
‫ה‪ 7‬משך הבחינה שעתיים וחצי‪ 7‬מותר לקחת דף זה בסוף המבחן‪7‬‬
‫שים לב‪ :‬בזמן המבחן אסור שיהיה ברשותך טלפון נייד!‬
‫‪ 70‬יהיו ) ‪ (M , d ) , ( N , ‬שני מרחבים מטריים‪ ,‬ותהי ‪f : M  N‬‬
‫‪7‬‬
‫הראה ששתי ההגדרות הבאות לרציפות ‪ f‬שקולות‪:‬‬
‫א‪ 7‬לכל ‪ a  M‬ולכל ‪ ,   0‬יש ‪  0‬‬
‫כך שלכל ‪ x  M‬המקיים ‪ d ( x, a)  ‬מתקיים‬
‫‪7  ( f ( x), f (a))  ‬‬
‫ב‪ 7‬לכל ‪ U  N‬פתוחה ב ‪ , N‬מתקיים ש ) ‪(U‬‬
‫‪ 72‬א‪ 7‬יהי ‪X‬‬
‫מרחב טופולוגי האוסדורף‪ ,‬ותהי‬
‫‪1‬‬
‫‪ f‬פתוחה ב ‪7 M‬‬
‫‪En n‬‬
‫סדרה של תתי מרחבים קומפקטיים לא ריקים‬
‫של ‪ X‬המקיימים ‪ En1  En‬לכל ‪ 7 n‬הראה ש ‪En  ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n‬‬
‫ב‪ 7‬תן דוגמה שבה ‪ En‬סגורות אך לא קומפקטיות‪ ,‬והמסקנה לא מתקיימת‪7‬‬
‫‪ 73‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ ,‬ויהיו ‪ A, B  X‬שתי תתי קבוצות סגורות‪ 7‬הראה שאם ‪ A  B‬ו ‪A  B‬‬
‫קשירים‪ ,‬אז גם ‪ A‬ו ‪B‬‬
‫קשירים‪7‬‬
‫‪ 74‬יהיו ‪ X1, , X n‬מרחבים טופולוגיים‪ ,‬ונסמן ב ‪ X n  X k‬‬
‫יהי ‪ Y‬מרחב טופולוגי ותהי ‪ X n‬‬
‫‪pk : X1 ‬‬
‫את ההטלות‪7‬‬
‫‪ f : Y  X1 ‬פונקציה המקיימת ש ‪f‬‬
‫‪pk‬‬
‫רציפה לכל‬
‫‪ 71  k  n‬הראה ש ‪ f‬רציפה‪7‬‬
‫‪ 70‬יהי ‪ X‬מרחב המנה של ‪: x 2  y 2  z 2  1‬‬
‫הבא‪( x2 , y2 , z2 ) :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ S  ( x, y, z ) ‬המתקבל מיחס השקילות‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ ( x1, y1, z1‬אם ) ‪7 ( x1 , y1 )  ( x2 , y2‬‬
‫הראה ש ‪ X‬הומאומורפי ל ‪: x 2  y 2  1‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלת בונוס (‪ 5‬נקודות)‪ :‬מצא מרחבים טופולוגיים ‪X ,Y‬‬
‫‪‬‬
‫‪7 D  ( x, y) ‬‬
‫שאינם הומאומורפיים זה לזה‪ ,‬אך קיימת פונקציה‬
‫רציפה ‪ f : X  Y‬שהיא על‪ ,‬ופונקציה רציפה ‪g : Y  X‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪2‬‬
‫שהיא על‪7‬‬
‫המחלקה למתמטיקה‬
‫אוניברסיטת בר‪-‬אילן‬
‫‪-‬‬
‫טופולוגיה – ‪ – 88 - 222 - 10/10‬סמסטר ב' תשע"ד‬
‫מבחן מועד ב'‬
‫יום ב'‪ ,‬י"ג באלול תשע"ד‪87.704 ,‬‬
‫מרצים‪ :‬מיכאל מגרל‪ ,‬טל נוביק‪ 7‬מתרגלים‪ :‬לואי פולב‪ ,‬מני שלוסברג‪7‬‬
‫הנחיות‪:‬‬
‫א‪7‬‬
‫ב‪7‬‬
‫אין להשתמש בכל חומר עזר‪7‬‬
‫עליך לענות על ‪ 4‬מתוך ‪ 0‬השאלות הבאות‪ 7‬אם ענית על כל ‪ 0‬השאלות‪ ,‬עליך לבטל אחת מהן בצורה‬
‫ברורה‪ ,‬אחרת ייבדקו ‪ 4‬השאלות הראשונות המופיעות במחברת‪7‬‬
‫הניקוד על שאלת הבונוס הוא ‪ 0‬נקודות‪ ,‬אך הציון הסופי לא יעבור את ‪7011‬‬
‫אנא רשום בפינה השמאלית העליונה של כריכת המחברת‪ ,‬מעל המילים "מדור בחינות"‪ ,‬את מספרי‬
‫השאלות שבחרת‪7‬‬
‫משך הבחינה שעתיים וחצי‪ 7‬מותר לקחת דף זה בסוף המבחן‪7‬‬
‫ג‪7‬‬
‫ד‪7‬‬
‫ה‪7‬‬
‫שים לב‪ :‬בזמן המבחן אסור שיהיה ברשותך טלפון נייד!‬
‫‪ 70‬יהי ‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫מרחב מטרי‪ ,‬ותהי ‪ A  M‬תת קבוצה סגורה‪ 7‬הראה שקיימת סדרת קבוצות פתוחות ‪ U n n‬ב‬
‫המקיימת ‪ U n1  U n‬לכל ‪, n‬‬
‫ו ‪Un  A‬‬
‫‪7‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 72‬יהי‬
‫‪ X‬מרחב טופולוגי‪ ,‬ויהיו ‪, Sn  X‬‬
‫‪ Sn  X‬‬
‫‪ 7 S1 ‬יהי‬
‫‪Y‬‬
‫‪ S1 ,‬קבוצות סגורות המכסות את‬
‫מרחב טופולוגי ותהי‬
‫‪f : X Y‬‬
‫‪X‬‬
‫כלומר‬
‫פונקציה המקיימת ש‬
‫‪ f |Si : Si  Y‬רציפה לכל ‪ 71  i  n‬הראה ש ‪ f‬רציפה‪7‬‬
‫‪ 73‬א‪ 7‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קשיר מסילתית ו ‪Y‬‬
‫‪ f : X  Y‬שהיא על ‪ 7 Y‬הראה שגם ‪Y‬‬
‫ב‪ 7‬האם במקרה זה ‪Y‬‬
‫מרחב טופולוגי כלשהו‪ 7‬נניח שקיימת פונקציה רציפה‬
‫קשיר מסילתית‪7‬‬
‫הוא בהכרח קשיר?‬
‫‪ 74‬א‪ 7‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי האוסדורף‪ ,‬ויהיו ‪A, B  X‬‬
‫שקיימות תתי קבוצות ‪ X‬‬
‫שני תתי מרחבים קומפקטיים וזרים‪ 7‬הראה‬
‫‪A U , B V‬‬
‫‪ U ,V‬פתוחות וזרות‪ ,‬כך ש‬
‫‪7‬‬
‫ב‪ 7‬הסק שמרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי הוא ‪7 T4‬‬
‫‪ 70‬יהי ‪X‬‬
‫מרחב המנה של‬
‫המתקבל מזיהוי זו לזו של כל הנקודות‬
‫כלומר‪ ,‬יחס השקילות המגדיר את ‪ X‬הוא ‪y‬‬
‫‪ x‬אם ‪ x  y‬או ‪ x  1‬וגם ‪y  1‬‬
‫הראה ש ‪ X‬הומאומורפי למעגל ‪: x 2  y 2  1‬‬
‫שאלת בונוס (‪ 5‬נקודות)‪ :‬מצא מרחב טופולוגי ‪X‬‬
‫‪ x ‬כך ש ‪x  1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7 S  ( x, y ) ‬‬
‫‪1‬‬
‫ופונקציה רציפה ‪ f :[0, )  X‬כך ש ‪ f‬לא פתוחה‬
‫ולא סגורה‪7‬‬
‫בהצלחה!‬