הורדה
מבוא לטופולוגיה 2ביולי 2014 . מבוסס על הרצאות פרופ' תמי ציגלר בקורס "מבוא לטופולוגיה" )(80516 האוניברסיטה העברית ,סמסטר ב' 2014 להערות[email protected] : נחי תודה לכל מי ששלח הערות ותיקונים ,ובמיוחד ל: נריה גושן ,עודד הייננמן ,רון מור ,אוריאל עצמון ,רון קסטל ,דוד רייטבלט וקרן שרייבר 1 תוכן עניינים I מרחבים מטריים 1 2 3 4 מרחב מטרי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מרחבי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rn 1.1 מרחבי )]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C ([a, b 1.2 מכפלת מרחבים מטריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פתיחות במרחב מטרי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIמרחבים טופולוגיים 4 5 6 7 7 טופולוגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . בסיס טופולוגי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 מרחבים טופולוגיים מיוחדים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . צמצום של מרחב טופולוגי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 מכפלת מרחבים טופולוגיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 סגירות במרחב טופולוגי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סגור ,פנים ושפה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 רציפות במרחב טופולוגי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגדרות שקולות לרציפות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 הומאומורפיזם . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 IIIהפרדה 8 9 10 11 אקסיומות הפרדה הלמה של אוריסון אקסיומות המניה משפט המטריזציה . . . . . . של . . . . . . . . . . . . . . . אוריסון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 22 24 25 27 קשירות של איחוד ומכפלה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קשירות מקומית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . קשירות מסילתית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vקומפקטיות 15 16 17 18 19 20 7 8 9 9 10 11 13 14 14 17 18 IVקשירות 12 13 14 4 4 5 6 6 28 30 31 34 קומפקטיות במרחבים מטריים . . . . קומפקטיות ורציפות בממשיים . . . . משפט טיכונוף . . . . . . . . . . . . . קומפקטיות במרחבי פונקציות רציפות קומפקטיות במרחבי האוסדורף . . . . קומפקטיפיקציה . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 39 40 43 43 44 VIדלילות )(nowhere dense 21משפט הקטגוריה של בייר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 VIIמרחבי מנה 48 VIIIהחבורה היסודית 22 23 24 25 26 27 46 51 הומוטופיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שרשור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החבורה היסודית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . החבורות היסודיות של מרחבים הומאומורפיים . . . . . . . . . . . 24.1 מרחבי כיסוי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הרמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1 החבורה היסודית של המעגל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מסקנה :המשפט היסודי של האלגברה . . . . . . . . . . . . . . . 26.1 מסקנה :משפט נקודת השבת של בראואר . . . . . . . . . . . . . 26.2 ∼. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R2 6 26.3 מסקנה= R3 : משפט זייפרד -ואן־קמפן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 51 53 54 57 58 59 61 62 62 63 63 חלק I מרחבים מטריים מרחב מטרי 1 הגדרה :תהי Xקבוצה .נאמר שהפונקציה d : X × X → Rהיא מטריקה או פונקציית מרחק מעל ,Xאם לכל x, y, z ∈ Xמתקיימים שלושת התנאים הבאים: .1סימטריהd (x, y) = d (y, x) : .2חיוביות ,x 6= y =⇒ d (x, y) > 0 :וגם d (x, x) = 0 .3אי־שוויון המשולשd (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) : הגדרה :הזוג ) (X, dנקרא מרחב מטרי ,כאשר Xקבוצה ו d-מטריקה. הערה :אם ) (X, dמרחב מטרי וכן ,Y ⊂ Xמתקבל תת־מרחב מטרי ) ,(X, dYכאשר dY = d : Y × Y → Rהיא הצמצום של dל.Y - מטרי הוא קבוצה Xכלשהי עם המטריקה הדיסקרטית, דוגמה :דוגמה בסיסית למרחב ( 1 x 6= y = ) .d (x, yקל לוודא שזו אכן מטריקה. המוגדרת 0 x=y 1.1 מרחבי Rn n ניתן להגדיר את Rכמרחב מטרי ,למשל באמצעות אחת משלוש המטריקות הבאות: )מסמנים x, y ∈ Rnעל־ידי ) (y = (y1 , ..., yn ) ,x = (x1 , ..., xn .1מטריקת |xi − yi | :L1 n X = )dL1 (x, y i=1 ! 21 .2מטריקת :L2 2 | |xi − yi n X = )dL2 (x, y i=1 .3מטריקת ∞dL∞ (x, y) = max |xi − yi | :L 1≤i≤n תרגיל :להוכיח שהפונקציות ∞ L1 , L2 , Lהנ"ל הן אכן מטריקות) .יש להשתמש באי־שוויון קושי שוורץ במקרה של .(L2 הערה :ניתן להגדיר באופן דומה מטריקת Lpלכל .1 ≤ p הערה" :כדור היחידה" הוא אוסף הנקודות ב Rn -שמרחקן מהנקודה ) (0, 0הוא .1מושג המרחק שונה בין שלוש המטריקות שהגדרנו ,ולכן כדור היחידה משתנה בהתאם למטריקה. נתבונן למשל בכדור היחידה במרחב :R2 • תחת L1כדור היחידה הוא הווקטורים ) (x, yהמקיימים .|x| + |y| < 1 4 – במערכת צירים קרטזית הגרף של שפת הכדור יהיה ריבוע 1 × 1סביב הראשית ,שקודקודיו על הצירים )♦(. 2 2 • תחת L2כדור היחידה הוא הווקטורים ) (x, yהמקיימים .|x| + |y| < 1 – במערכת צירים קרטזית הגרף של שפת הכדור יהיה מעגל ברדיוס 1סביב הראשית )⊕(. • תחת ∞ Lכדור היחידה הוא הווקטורים ) (x, yהמקיימים .max {|x| , |y|} < 1 – במערכת צירים קרטזית הגרף של שפת הכדור יהיה ריבוע 1 × 1סביב הראשית ,שאמצעי צלעותיו על הצירים )(. הגדרה :בהינתן קבוצה Xומטריקות d1 , d2עליה ,אומרים כי המטריקות הללו שקולות ,אם קיימים קבועים A, B ∈ Rכך שלכל x, y ∈ Xמתקיים )d1 (x, y) ≤ A · d2 (x, y וכן ).d2 (x, y) ≤ B · d1 (x, y תרגיל: .1להוכיח שכל הנורמות במרחב סוף־ממדי Vהן שקולות. 1 .2להסיק שהמטריקות ∞ L1 , L2 , Lבמרחב Rnשקולות ,על־ידי כך שהן מושרות בהתאמה מהנורמות: ! 12 | kvk∞ = max |vi 2 1≤i≤n i=1 במרחב .Rn 1.2 | |vi n X = kvk2 | |vi n X = kvk1 i=1 2 מרחבי )]C ([a, b הגדרה C ([a, b]) :הוא מרחב הפונקציות הרציפות מהצורה .a, b ∈ R ,f : [a, b] → R גם מרחב זה יכול להיות מוגדר כמרחב נורמי ,וממילא גם כמרחב מטרי ,למשל על־ידי אחת הנורמות הבאות: ˆb = kf k1 |f (x)| dx .1 a b 21 ˆ 2 kf k2 = |f (x)| .2 a kf k∞ = max |f (x)| .3 ]x∈[a,b תרגיל :להוכיח שאלו אכן נורמות) .יש להשתמש באי־שוויון המשולש של המכפלה הפנימית ´b hf, gi = a f (x) g (x) dxבמקרה של .(k·k2 1כאשר שקילות של נורמות מוגדרת באופן אנלוגי לגמרי לשקילות של מטריקות. 2כל נורמה k·kבמרחב וקטורי Vמשרה גם מטריקה במרחב ,על־ידי .∀x,y∈V d (x, y) =: kx − yk 5 2 מכפלת מרחבים מטריים הגדרה :יהיו ) (Y, dY ) ,(X, dXמרחבים מטריים .ניתן לקבל מהם מרחב מטרי חדש ) ,(X × Y, ρכאשר מגדירים מטריקה ρ : (X × Y ) × (X × Y ) → Rלהיות: ) ρ ((x, y) , (x0 , y 0 )) = d (x, x0 ) + d (y, y 0 Qn n הגדרה :יהיו {(Xi , di )}i=1מרחבים מטריים .נסמן Xi =: X1 × X2 × ... × Xn )כקבוצה(. Qn Qn Qמטרי חדש ) ,( i=1 Xi , ρכאשר מגדירים מטריקה ×) ρ : ( i=1 Xi ניתן לקבל מרחב n ( i=1 Xi ) → Rלהיות: i=1 n 0 X 0 0 ρ (x1 , ..., xn ) , x1 , ..., xn = di xi , xi i=1 הערה :הגדרנו כאן "מטריקת ,"1אולם ניתן גם להגדיר "מטריקת "2או "מטריקת ∞" בקבוצה זו ברוח המטריקות השקולות Lשהגדרנו לעיל ,וגם כאן כולן יהיו שקולות. ∞ ניתן לקבל מהם מרחב מטרי הגדרה :יהיו )}i=1 בסימון הקודםQ∞ , {(Xi , diQמרחבים מטרייםQ∞ . ∞ ) ,( i=1 Xi , ρעם מטריקה ρ : ( i=1 Xi ) × ( i=1 Xi ) → Rהמוגדרת: ∞ X ) di (xi , yi 1 · = )ρ (x, y ) i 1 + d (x , y 2 i i i i=1 כאשר מסמנים ).y = (y1 , y2 , ...) ,x = (x1 , x2 , ... נשים לב כי ≤ 1 ) di (xi ,yi ) 1+di (xi ,yi תמיד ולכן הביטוי שהגדרנו הוא טור ממשי מתכנס. תרגיל :להוכיח שההגדרה האחרונה אכן מגדירה מטריקה. דוגמה :ניקח את הקבוצה } {0, 1עם המטריקה הדיסקרטית .dאז עבור הקבוצה × }{0, 1 ∞P ).ρ (x, y) = i=1 d(x,y {0, 1} × ...ניתן להגדיר מטריקה ρלמשל על־ידי 2i תחת מטריקה זו ,זוג נקודות בקבוצת המכפלה יהיו יותר קרובות ככל שיהיו להן רישאות זהות ארוכות יותר. 3 פתיחות במרחב מטרי הגדרה :יהי ) (X, dמרחב מטרי ,תהי x ∈ Xויהי .0 < r ∈ Rכדור פתוח סביב xברדיוס rהוא הקבוצה }.Br (x) =: {y ∈ X|d (x, y) < r הגדרה :יהי ) (X, dמרחב מטרי .אומרים כי U ⊂ Xהיא קבוצה פתוחה ,אם היא איחוד כלשהו של כדורים פתוחים. טענה :איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה .חיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה. 6 חלק II מרחבים טופולוגיים 4 טופולוגיה הגדרה :תהי Xקבוצה כלשהי ותהי ) 3 ,T ⊂ P (xכלומר Tהיא אוסף כלשהו של תתי־ קבוצות של .X אומרים כי Tהיא טופולוגיה על ,Xאם מתקיימות כל התכונות הבאות: ∅ ∈ T .1וכן .X ∈ T .2אם {Uα }α∈Iל I-קבוצת אינדקסים כלשהי ,מקיימת ,Uα ∈ Tאזי גם [ . Uα ∈ T α∈I n .3אם {Ui }i=1סופית ,מקיימת ,Ui ∈ Tאזי גם Ui ∈ T n \ . i=1 בהינתן קבוצה Xוטופולוגיה עליה ,Tאומרים כי הזוג ) (X, Tהוא מרחב טופולוגי. הערה :המוטיבציה להגדיר מרחבים טופולוגיים הגיעה מהתובנה שלתכונות חשובות של מרחבים מטריים לא נדרשת מטריקה ולעתים מספיקה טופולוגיה .כלומר מרחב טופולוגי הוא מושג כללי יותר ממרחב מטרי ,כפי שנראה מיד .לצורך הגדרת המושגים, נשכח בינתיים את ההגדרה של "פתיחות" במרחב מטרי ,ונכנה את הקבוצות של טופולוגיה Tעל קבוצה Xבשם "קבוצות פתוחות" .כלומר ,נתרגם את העובדה ש U ∈ T -לכך ש U -פתוחה ב X-תחת הטופולוגיה .T הגדרה :תהי Xקבוצה ויהיו T1 , T2טופולוגיות עליה .אומרים כי T1חזקה יותר מ T2 -וכי T2חלשה יותר מ ,T1 -אם מתקיים .T2 ⊂ T1 דוגמאות: .1לכל קבוצה Xקיימות שתי טופולוגיות יסודיות: • הטופולוגיה הטריוויאליתT = {∅, X} : • הטופולוגיה הדיסקרטית .T = P (X) :דהיינו כל תתי הקבוצות של .X נשים לב שמבין כל הטופולוגיות האפשריות על קבוצה כלשהי ,Xהטופולוגיה הטריוויאלית היא הטופולוגיה החלשה ביותר ,והטופולוגיה הדיסקרטית היא הטופולוגיה החזקה ביותר. .2טופולוגיה המושרית ממטריקה :בהינתן מרחב מטרי ) ,(X, dהמטריקה d מגדירה מהי קבוצה פתוחה ב :X-כל איחוד כלשהו של כדורים פתוחים. נגדיר טופולוגיה Tעל Xלהיות אוסף כל הקבוצות הפתוחות ב X-תחת המטריקה .d מתקיים כי Tהיא אכן טופולוגיה מהתכונות שהראינו לעיל עבור קבוצות פתוחות במרחבים מטריים. 3נהוג לסמן ב P (X)-את קבוצת החזקה של .Xכלומר ) P (Xהיא קבוצת כל תתי הקבוצות של .X 7 הערה :קל לראות שהטופולוגיה הדיסקרטית מושרית מהמטריקה הדיסקרטית, שכן כל נקודה היא קבוצה פתוחה תחת מטריקה זו. הערה :הראינו שכל מטריקה משרה טופולוגיה ,אולם קיימות הרבה טופולוגיות שאינן מושרות ממטריקות והן המוטיבציה העיקרית לעיסוק בטופולוגיה. דוגמה :נציג טופולוגיה שאינה מושרית ממטריקה .ניקח } X = {a, bונגדיר עליה טופולוגיה } .T = {∅, {a} , Xקל לוודא שזו טופולוגיה. לו הייתה מטריקה dשתחתיה } {aהייתה קבוצה פתוחה ,אז בהכרח מכיוון ש a 6= b-נובע שיש 0 < rהמקיים d (a, b) = rולכן גם } {bצריכה להיות קבוצה פתוחה ,שכן } ,{b} = Br (b) = {x ∈ X|d (b, x) < rכלומר היה צריך להתקיים ,{b} ∈ Tבעוד שזה לא המצב. טענה :אם d1 , d2מטריקות שקולות על קבוצה ,Xאזי הן משרות את אותה הטופולוגיה. מסקנה :הראינו שבמרחב Rnכל הנורמות שקולות ,ולכן יש טופולוגיה יחידה ב- Rnהמושרית ממטריקה שמושרית מנורמה .טופולוגיה זו מכונה הטופולוגיה הסטנדרטית של .Rn הערה :קיימות מטריקות שאינן שקולות ,ושעדיין ישרו את אותה הטופולוגיה. .3טופולוגיית המשלים הסופי :בהינתן קבוצה ,Xנגדיר את Tלהיות כל הקבוצות ) U ⊂ Xכולל ∅( המקיימות כי X − Uקבוצה סופית. נשים לב שבמקרה של Xקבוצה סופית ,טופולוגיית המשלים הסופי היא הטופולוגיה הדיסקרטית. 4.1 בסיס טופולוגי הגדרה :תהי Xקבוצה כלשהי ותהי ) .B ⊂ P (Xאומרים כי Bהיא בסיס על ,Xאם מתקיימות שתי התכונות הבאות: B .1היא כיסוי .כלומר לכל x ∈ Xקיימת B ∈ Bכך ש.x ∈ B- .2לכל ,B1 , B2 ∈ Bלכל x ∈ B1 ∩ B2קיימת B3 ∈ Bכך שx ∈ B3 ⊂- 4 .B1 ∩ B2 לקבוצות B ∈ Bקוראים קבוצות בסיס. דוגמאות: .1אם Tטופולוגיה על Xאז היא בסיס. קל לראות ש T -היא כיסוי של Xכי .X ∈ Tהתנאי השני מתקיים גם הוא ,כי חיתוך סופי של קבוצות ב T -שייך ל.T - .2בהינתן ) (X, dמרחב מטרי ,אזי אוסף הכדורים הפתוחים ב X-תחת המטריקה ,dהוא בסיס לטופולוגיה שמושרית מהמטריקה .d טענה :בהינתן קבוצה Xובסיס Bעליה ,אזי אוסף כל האיחודים של קבוצות־בסיס בB- )כולל ∅( הוא טופולוגיה ,והיא מכונה הטופולוגיה הנוצרת על־ידי Bעל .X 4המוטיבציה להגדרה זו מגיעה מכדורים פתוחים במרחב מטרי :כל נקודה שנמצאת בחיתוך של שני כדורים פתוחים ,מוכלת בכדור פתוח שלישי שכולו מוכל בשני הכדורים הפתוחים גם יחד. 8 הוכחה :נסמן את האוסף הנ"ל ב .T -קל לראות כי ,∅, X ∈ Tוכן כל איחוד של איברי Tהוא איחוד של איברי Bולכן גם הוא ב .T -נוודא באינדוקציה שמתקיים התנאי השלישי. יהיו ,U1 , U2 ∈ Tנראה כי .U1 ∩ U2 ∈ Tאם החיתוך ריק סיימנו כי ,∅ ∈ Tלכן נניח שלא ותהי .x ∈ U1 ∩ U2 Bכיסוי ,ולכן ל U1 , U2 ∈ T -קיימות B1 , B2 ∈ Bבהתאמה ,כך ש,x ∈ B1 ⊂ U1 - .x ∈ B2 ⊂ U2 Bבסיס ולכן מהתנאי השני נובע שלפי הנתון x ∈ B1 ∩ B2קיימת Bx ⊂ B1 ∩ B2 כך שמתקיים .x ∈ Bx [ נסיק כי Bx = U1 ∩ U2כאשר ,Bx ∈ Bולכן מההגדרה .U1 ∩ U2 ∈ T x∈U1 ∩U2 באינדוקציה הטענה נובעת לכל חיתוך סופי של קבוצות . דוגמה :ניקח את X = Rונציג לה שני בסיסים שונים: }B1 = {(a, b) |a, b ∈ R} , B2 = {[a, b) |a, b ∈ R הטופולוגיות הנוצרות על־ידי בסיסים אלו הן שונות .נסמנן בהתאמה T1 , T2ונשים לב ∞ [ כי T2חזקה יותר מ ,T1 -שכן כל קטע (a, b) ∈ T1מקיים a + n1 , b = )(a, b n=1 ולכן הוא מוכל ב.T2 - טענה: .1יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ויהי B ⊂ Tבסיס .אם לכל U ∈ Tולכל x ∈ U קיימת B ∈ Bכך ש ,x ∈ B ⊂ U -אזי Tנוצרת על־ידי .B .2יהיו T , T 0טופולוגיות על ,Xויהיו B, B0בסיסים יוצרים מתאימים .אם כל קבוצת בסיס של B0שייכת גם ל ,B-אזי Tחזקה יותר מ.T 0 - הגדרה :תהי Xקבוצה .תת־בסיס של Xהוא אוסף של תתי־קבוצות המקיים את תכונת הכיסוי .כלומר Cהיא תת־בסיס אם לכל x ∈ Xקיימת C ∈ Cכך ש.x ∈ C- הגדרה :הטופולוגיה הנוצרת על־ידי תת־בסיס ,Cהיא אוסף כל האיחודים של חיתוכים סופיים של איברי .C )ההוכחה שזו אכן טופולוגיה מושארת כתרגיל(. 5 5.1 מרחבים טופולוגיים מיוחדים צמצום של מרחב טופולוגי נראה שמכל מרחב טופולוגי ניתן לקבל טופולוגיה חדשה על תת־קבוצה. הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ותהי .Y ⊂ Xנגדיר את הטופולוגיה המושרית מX- על Yלהיות } .TY = {U ∩ Y |U ∈ T )ההוכחה שזו אכן טופולוגיה מושארת כתרגיל .נשים לב כי .(Y = X ∩ Y ∈ TY 9 הערה :לא כל קבוצה ששייכת ל TY -גם שייכת ל .T -כלומר תכונת הפתיחות לא בהכרח נשמרת לאחר צמצום. דוגמה פשוטה לכך היא כל מקרה של Y ⊂ Xכאשר Yאינה פתוחה ב ,X-שכן Y בכל מקרה פתוחה ביחס לצמצום של הטופולוגיה לעצמה. נוספת היא המרחב X = Rעם הטופולוגיה הסטנדרטית ,וכן ).Y = [0, 1 דוגמה הקבוצה 0, 12פתוחה ב Y -אך אינה פתוחה ב.X- 5.2 מכפלת מרחבים טופולוגיים נראה שמכל אוסף סופי או בן־מניה של מרחבים טופולוגיים ניתן לקבל מרחב טופולוגי חדש, על קבוצת המכפלה שלהם. נתחיל במכפלה של שני מרחבים טופולוגיים ,נכליל למספר סופי כלשהו של מ"ט ,ולבסוף נכליל לקבוצה כלשהי של מ"ט. הערה :בפרק זה כדאי לשים לב מתי עוסקים ביצירה של טופולוגיה על־ידי בסיס לבין יצירה שלה על־ידי תת־בסיס. • מכפלת שני מרחבים יהיו ) (Y, TY ) ,(X, TXמרחבים טופולוגיים .נגדיר את טופולוגיית המכפלה שלהם על הקבוצה X×Yלהיות הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס } .B = {U × V |U ∈ TX , V ∈ TY תרגיל :להראות שזו אכן טופולוגיה ,כלומר יש להראות כי Bאכן בסיס .נשים לב לצורך כך כי ) .(U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 טענה :אם BX , BYבסיסים לטופולוגיות TX , TYבהתאמה ,אזי קיים בסיס לטופולוגיית המכפלה שהגדרנו ,והוא: } BX × BY = {B1 × B2 |B1 ∈ BX , B2 ∈ BY הוכחה :נשתמש בטענה שהזכרנו לעיל ,שבסיס Bיוצר טופולוגיה Tאם לכל ,U ∈ T לכל x ∈ Uקיימת B ∈ Bכך ש.x ∈ B ⊂ U - תהי Wקבוצה פתוחה ב X × Y -ויהי .(x, y) ∈ Wמהגדרת טופולוגיית המכפלה נובע שקיימות U, Vפתוחות כך ש.(x, y) ∈ U × V ⊂ W - אבל מהיות BX , BYבסיסים נובע שקיימות B1 , B2פתוחות בהתאמה כך ש- ,(x, y) ∈ B1 × B2 ⊆ U × V ⊆ Wולכן מתקיים התנאי שהזכרנו . הגדרה :יהיו ) (X1 , T1 ) ,(X2 , T2מרחבים טופולוגיים .נגדיר שתי העתקות באופן הבא: π1 : X1 × X2 → X1 , π1 (x1 , x2 ) = x1 π2 : X1 × X2 → X2 , π2 (x1 , x2 ) = x2 העתקות אלו נקראות הטלות של X1 × X2על X1 , X2בהתאמה. נשים לב כי π1−1 (U ) = U × X2ל U ∈ T1 -ובדומה (V ) = X1 × V ל.V ∈ T2 - 10 π2−1 −1 טענה :הקבוצה π1 (U ) |U ∈ T1 ∪ π2−1 (V ) |V ∈ T2 שיוצר את טופולוגיית המכפלה. = Cהיא תת־בסיס • מכפלת מספר סופי של מרחבים n יהי {(Xi , Ti )}i=1ל n-טבעי כלשהו ,אוסף של מרחבים טופולוגיים .נגדיר את טופולוגיית המכפלה שלהם על הקבוצה X1 × X2 × ... × Xnלהיות הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס } .B = {U1 × U2 × ... × Un |Ui ∈ Ti הערה :גם במקרה זה ניתן להגדיר באופן שקול את טופולוגיית המכפלה להיות זו הנוצרת על־ידי התת־בסיס: C = π1−1 (U1 ) |U1 ∈ T1 ∪ π2−1 (U2 ) |U2 ∈ T2 ∪...∪ πn−1 (Un ) |Un ∈ Tn • מכפלה כלשהי של מרחבים יהי {(Xα , Tα )}α∈Iלקבוצת אינדקסים Iכלשהי ,אוסף של מרחבים טופולוגיים. Y נגדיר שתי טופולוגיות שונות על קבוצת המכפלה . Xα α∈I .1טופולוגיית המכפלה :מסומנת .Tproductנגדיר ,Sα = πα−1 (Uα ) |Uα ∈ Tα את טופולוגיית המכפלה להיות זו שנוצרת על־ידי התת־בסיס = S ונגדיר S . α∈I Sα Q . .2טופולוגיית הקופסה :מסומנת .Tboxנוצרת על־ידי הבסיס α∈I Uα |Uα ∈ Tα נשים לב שבמקרים של מכפלה סופית ההגדרות המקבילות היו שקולות ,אך באופן כללי הן עלולות להיות שונות ,וטופולוגיית הקופסה חזקה יותר מטופולוגיית המכפלה. Q Q דוגמה :ניקח את המכפלה ] α∈I [−1, 1ונתבונן בקבוצה .U = α∈I − 21 , 12אם Iלא סופית ,אז Uפתוחה בטופולוגיית הקופסה ,כי כל אחת מקבוצות המכפלה פתוחה ב ,[−1, 1]-אבל Uלא פתוחה בטופולוגיית המכפלה. הערה :בהינתן מרחבים {Xα }α∈Iוהעתקות מתאימות ,{πα }α∈Iטופולוגיית המכפלה היא הטופולוגיה החלשה ביותר על מכפלת המרחבים שתחתיה ההטלות πα רציפות .למעשה ,ניתן להגדיר מראש את טופולוגיית המכפלה להיות החלשה ביותר שתחתיה ההטלות רציפות. הערה :ידוע כי פונקציה f : R → Rnרציפה בטופולוגיה הסטנדרטית אם ורק אם היא רציפה בכל קואורדינטה שלה בטווח. טופולוגיית המכפלה של מכפלה כלשהי היא הטופולוגיה שבה באופן דומהQ , פונקציה f : Y → α Xαהיא רציפה ,אם ורק אם היא רציפה בכל אחת מהקואורדינטות .כלומר אם הפונקציות πα ◦ fרציפות כולן. 6 סגירות במרחב טופולוגי הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי .אומרים כי C ⊂ Xקבוצה סגורה ,אם X − Cהיא קבוצה פתוחה. 11 הערות: .1נסמן ב C-את אוסף הקבוצות הסגורות ב .X-קל לראות כי .∅, X ∈ C .2באופן הפוך לקבוצות הפתוחות ,איחוד סופי של סגורות הוא קבוצה סגורה, וחיתוך אינסופי של סגורות הוא קבוצה סגורה. T C גם אז כלשהי, אינדקסים כלומר ,אם {Cα }α∈Iסגורות ל I-קבוצת α∈I α Sn n סגורה .וכן אם {Ci }i=1ל n-טבעי כלשהו ,אז גם i=1 Ciסגורה. .3נשים לב שאוסף הקבוצות הסגורות מגדיר בדיוק את אוסף הקבוצות הפתוחות, ולכן ניתן היה להגדיר טופולוגיה באמצעות אוסף הקבוצות הסגורות ,כלומר כל אוסף קבוצות המקיים את שתי התכונות הנ"ל. דוגמאות: .1במרחב טופולוגי דיסקרטי כל קבוצה היא סגורה ,כי כל קבוצה בו פתוחה. .2אם ) (X, dמרחב מטרי ,אז הכדורים מהצורה } {y|d (x, y) ≤ rלx ∈ X- ו 0 ≤ r ∈ R-כלשהם ,הם קבוצה סגורה. הטופולוגיה של פורסטנברג ואינסופיות הראשוניים נראה הוכחה יפה בכלים טופולוגיים שקיימים אינסוף ראשוניים. הגדרה :נתבונן בקבוצת כל הסדרות החשבוניות ) B = {aZ + b|a, b ∈ Z} ⊂ P (Zכבסיס, ונגדיר על Zאת הטופולוגיה הנוצרת על־ידי בסיס זה. הערה :קל לראות ש B-כיסוי של ,Zולכן כדי להראות שקבוצה זו היא בסיס נותר להראות את תכונת החיתוך. יהיו A1 = a1 Z + b1 , A2 = a2 Z + b2שתי סדרות חשבוניות .אם חיתוכן ריק סיימנו ,לכן נניח כי ,x ∈ A1 ∩ A2ונרצה למצוא סדרה חשבונית שמכילה את xומוכלת בחיתוך ,אבל נשים לב כי הסדרה x + a1 a2 Zמקיימת את הדרוש. טענה :כל סדרה חשבונית היא גם קבוצה סגורה. הוכחה :המשלימה של aZ + bכלשהי היא הקבוצה: [ = )Z − (aZ + b ]) [aZ + (b + bi bi =1,...,|a|−1 כלומר היא איחוד של |a| − 1סדרות חשבוניות ,ולכן היא איחוד של קבוצות פתוחות בטופולוגיה שהגדרנו ומכאן שהמשלים הנ"ל קבוצה פתוחה .לכן aZ + bסגורה . מסקנה :קיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחה :ידוע שלכל מספר שלם יש פירוק סופי לראשוניים .לכן אם ) a = p1 ·...·pnנניח[לצורך , הפשטות שייתכנו חזרות( אז ברור שלמשל .a ∈ p1 Zמכאן כי }pZ = Z − {±1 is prime p כי ל ±1-אין פירוק לראשוניים. אם בשלילה היה רק מספר סופי של ראשוניים אז הקבוצה } Z − {±1הייתה סגורה ,כי היא איחוד סופי של סדרות חשבוניות שהן קבוצות סגורות .כלומר המשלימה שלה,{±1} , הייתה קבוצה פתוחה .אבל זה בבירור שגוי כי } {±1אינה סדרה חשבונית . 12 6.1 סגור ,פנים ושפה הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ותהי A ⊆ Xכלשהי .הסגור של Aהוא הקבוצה הסגורה המינימלית שמכילה את ,Aוהיא מסומנת ב.A- באפן שקול ,הסגור של Aהוא חיתוך כל הקבוצות הסגורות שמכילות את ) .Aחיתוך כלשהו של סגורות הוא קבוצה סגורה(. דוגמה :ניקח } X = {a, bוטופולוגיה } .T = {∅, {a} , Xאז {a} = Xוכן }.{b} = {b הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ותהי .x ∈ Xסביבה של xהיא קבוצה E ⊂ Xכך שקיימת פתוחה U ⊂ Eכך ש.x ∈ U - דוגמה :ב R-עם הטופולוגיה הסטנדרטית [0, 1] ,היא סביבה של , 21כי ]. 21 ∈ 13 , 23 ⊂ [0, 1 טענה :בהינתן מרחב טופולוגי ) (X, Tוקבוצה ,Aמתקיים כי x ∈ Aאם ורק אם לכל סביבה Eשל xמתקיים ∅ =.E ∩ A 6 מסקנה :הסגור Aהוא אוסף כל ה ,x ∈ X-כך שלכל סביבה Eשל xמתקיים ∅ =.E ∩ A 6 ∈ xאם ורק הוכחה :נראה כי השלילות של שתי התכונות הללו שקולות .כלומר נראה כי / A אם קיימת סביבה Eשל xכך שמתקיים ∅ = .E ∩ A ∈ .xהקבוצה X − Aהיא פתוחה ,ובפרט היא סביבה של )כיוון ראשון( נניח כי / A xהמקיימת ∅ = . X − A ∩ A )כיוון שני( נניח שקיימת סביבה Eשל xכך שמתקיים ∅ = .E ∩ Aמהיות Eסביבה נובע שקיימת קבוצה פתוחה U ⊂ Eכך ש ,x ∈ U -ובפרט גם ∅ = .U ∩ A Uפתוחה ולכן X − Uסגורה המקיימת .A ⊂ X − Uמהגדרת הסגור נובע כי ∈ .x .A ⊂ X − Uאבל x ∈ Uולכן בהכרח / A למה: ) A ∪ B = A ∪ B .1ובאינדוקציה הטענה נכונה לכל איחוד סופי(. A ∩ B ⊂ A ∩ B .2 דוגמה להכלה ממש A = Q ,B = R − Q :עם הטופולוגיה הסטנדרטית. מתקיים ∅ = ∅ = A ∩ Bומצד שני .A ∩ B = R ∩ R = R הגדרה :אם ) (X, Tמרחב טופולוגי ו .A ⊂ X-אומרים כי Aצפופה ב X-אם .A = X הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ותהי A ⊂ Xכלשהי .הפנים של Aהוא הקבוצה הפתוחה המקסימלית שמוכלת ב ,A-והיא מסומנת ◦.A באופן שקול ,הפנים של Aהוא איחוד הקבוצות הפתוחות שמוכלות ב) .A-איחוד כלשהו של פתוחות הוא קבוצה פתוחה(. הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ותהי A ⊆ Xכלשהי .השפה של Aהיא הקבוצה ◦.∂A =: A − A הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי ויהיו x ∈ X ,A ⊆ Xכלשהן .אומרים כי xהיא נקודת הצטברות של ,Aאם כל סביבה של xמכילה נקודה ב ,A-השונה מ.x- 13 טענה :בהינתן מרחב טופולוגי ) (X, Tוקבוצה ,A ⊂ Xנסמן ב A0 -את כל נקודות ההצטברות של .Aאזי מתקיים .A = A ∪ A0 הוכחה :נראה את השוויון באמצעות הכלות הדדיות. נראה כי :A ∪ A0 ⊂ Aאם ,x ∈ A ∪ A0אז מההגדרות מתקיים כי x ∈ Aאו ∈ xוקיימת בכל סביבה שלה נקודה מ A-שונה ממנה. ש/ A- ∈ xנקודת ברור כי אם x ∈ Aאז .x ∈ A ⊂ Aנראה שבמקרה השני ,אם / A הצטברות ,אז גם .x ∈ Aאבל הראינו שהסגור הוא אוסף הנקודות שכל סביבה שלהם נחתכת עם Aבאופן לא ריק ,וקל לראות כי כל נקודת הצטברות מקיימת את התנאי הזה מהגדרתה ,ולכן .x ∈ A נראה כי :A ⊂ A ∪ A0אם ,x ∈ Aאז מאיפיון שקול לסגור שהראינו נובע שכל סביבה Eשל xמקיימת ∅ =.E ∩ A 6 תהי סביבה Eותהי .y ∈ E ∩ Aאם y = xאז x ∈ Aוסיימנו ,ואם y 6= xאז y ∈ Eוגם ,y ∈ Aכלומר בסביבה השרירותית Eקיימת ,y 6= xולכן xנקודת הצטברות ,כלומר .x ∈ A0 רציפות במרחב טופולוגי 7 הגדרה :יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ותהי העתקה .f : X → Yאומרים כי fהעתקה 5 רציפה ,אם לכל Uפתוחה ב Y -מתקיים כי ) f −1 (Uפתוחה ב.X- → ,f : Xניתן הערה :בהינתן קבוצה Xכלשהי ,מרחב טופולוגי ) (Y, TYוהעתקה Y להגדיר טופולוגיה על Xעל־ידי התת־בסיס . f −1 (U ) |U ∈ TY ברור ש f -רציפה תחת טופולוגיה זו ,ויותר מכך :זוהי הטופולוגיה החלשה ביותר שעבורה fהנתונה רציפה. f :X באופן דומה ,בהינתן קבוצה Yכלשהי ,מרחב טופולוגי ) (X, TXוהעתקה → ,Yניתן להגדיר טופולוגיה על Yעל־ידי התת־בסיס . U ⊂ Y |f −1 (U ) ∈ TX ברור ש f -רציפה תחת טופולוגיה זו ,ויותר מכך :זוהי הטופולוגיה החזקה ביותר שעבורה fהנתונה רציפה. 7.1 הגדרות שקולות לרציפות יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ותהי העתקה .f : X → Yאזי כל התנאים הבאים שקולים: f .1רציפה )במובן שהגדרנו(. .2לכל קבוצה סגורה Cב ,Y -הקבוצה ) f −1 (Cסגורה ב.X- .3אם Bבסיס לטופולוגיה של ,Yאז לכל B ∈ Bהקבוצה ) f −1 (Bפתוחה ב.X- 5מגדירים f −1 (U ) =: {x ∈ X|∃u∈U f (x) = u} ⊂ X 6למעשה מספיק גם לטעון זאת על תת־בסיס ,בגלל שתמונה הפוכה משמרת איחוד וחיתוך .כלומר: ! ! [ [ \ \ −1 −1 −1 f = Uα f ) (Uα f = Uα ) f −1 (Uα α α α 14 α 6 .4לכל ,x ∈ Xלכל סביבה W ⊂ Yשל ) f (xמתקיים כי f −1 (W ) ⊂ Xהיא סביבה של .x הערה טרמינולוגית :אם תנאי 4מתקיים ל x ∈ X-מסויימת אז fרציפה בנקודה זו. כשתנאי זה מתקיים לכל ,x ∈ Xהוא שקול לרציפות במובן הכללי שהגדרנו. .5קיים ל X-כיסוי פתוח כלשהו 7 ,{Uα }α∈Iכך שלכל α ∈ Iהפונקציה המצומצמת 8 fα =: f |Uαרציפה. n .6קיים ל X-כיסוי סגור סופי ,{Ci }i=1כך שלכל 1 ≤ i ≤ nהפונקציה המצומצמת fi =: f |Ciרציפה. .7לכל A ⊂ Xמתקיים כי ).f A ⊂ f (A הוכחה: • ) (2 ⇐⇒ 1מהזהות הכללית ) f −1 (Y − C) = X − f −1 (Cקל לראות את השקילות. • ) (3 ⇐⇒ 1נובע מההגדרת בסיס. • )(4 ⇐= 1 יהי x ∈ Xותהי W ⊂ Yסביבה של ) .f (xלכן יש קבוצה פתוחה ∈ )f (x .U ⊂ Wמרציפות fנובע כי ) f −1 (Uפתוחה ב X-וקל לראות כי ∈ x ) .f −1 (U ) ⊂ f −1 (W • )(1 ⇐= 4 תהי U ⊆ Yקבוצה פתוחה ,נרצה להראות כי ) f (Uפתוחה .תהי ∈ x ) ,f −1 (Uאז f (x) ∈ Uולכן מההנחה נובע כי ) f −1 (Uסביבה של .xכלומר יש קבוצה פתוחה ) Ux ⊂ f −1 (Uהמכילה את .x [ = ) f −1 (Uולכן היא איחוד של קבוצות כעת קל לראות כי Ux −1 ) x∈f −1 (U פתוחות ,ומכאן כי היא פתוחה. • ) (5 ⇐⇒ 1נובע בקלות מהגדרת הרציפות. • ) (6 ⇐⇒ 5נובע מהגדרת קבוצות פתוחות וסגורות ,ומזהויות יסודיות של איחוד וחיתוך תחת תמונה הפוכה. • )(7 ⇐= 1 יהי .x ∈ A ⊂ Xנראה כי ) ,f (x) ∈ f (Aכלומר שכל סביבה של )f (x נחתכת עם ) .f (Aתהי Uסביבה של ) .f (xמרציפות fנובע כי ) f −1 (U סביבה פתוחה של .xאבל x ∈ Aולכן קיימת נקודה .y ∈ f −1 (U ) ∩ Aמכאן כי ).f (y) ∈ U ∩ f (A 7 Sשקבוצה {Uα }α∈I ⊆ Tל I-קבוצת אינדקסים כלשהי היא הגדרה :בהינתן מרחב טופולוגי ) ,(X, Tאומרים כיסוי פתוח של ,Xאם מתקיים .X ⊆ α∈I Uα 8כפי שהזכרנו לעיל ,כל Uα ⊆ Xהיא מרחב טופולוגי תחת הטופולוגיה המושרית מ.X- 15 • )(2 ⇐= 7 תהי C ⊆ Yקבוצה סגורה ,נראה כי (C) ⊆ X להראות כי ).f −1 (C) = f −1 (C −1 fסגורה .לשם כך מספיק מהנתון נובע שמתקיים ) f f −1 (C) ⊂ f (f −1 (C)) ⊂ C = Cכי Cסגורה( ולכן ).f −1 (C) ⊂ f −1 (C אבל מצד שני מהגדרת סגור ברור כי ) ,f −1 (C) ⊂ f −1 (Cומההכלות ההדדיות נסיק ) ,f −1 (C) = f −1 (Cכנדרש . דוגמאות: .1כל פונקציה קבועה בין מרחבים טופולוגיים היא רציפה. .2אם Xמרחב טופולוגי ו ,E ⊂ X-אז "העתקת ההכלה" המוגדרת iE : E → X המעתיקה ) x 7→ xשזו למעשה צמצום של העתקת הזהות לתת־מרחב ,(Eהיא רציפה. הערה :ניתן היה להגדיר את הצמצום של טופולוגיה לתת־קבוצה כלשהי ,על־ידי הטופולוגיה החלשה ביותר כך ש iE -רציפה. g f .3אם X, Y, Zמרחבים טופולוגיים ונתונות ההעתקות ,X −→ Y −→ Zקל לראות מהגדרת הרציפות שההרכבה g ◦ f : X → Zהיא העתקה רציפה. .4אם f : X → Yהעתקה רציפה בין מרחבים טופולוגיים ,אז → f |E : E ⊆ X Yגם היא רציפה .ניתן לראות זאת מצירוף שתי הדוגמאות האחרונות ,שכן .f |E = f ◦ iE .5יהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח של מרחב טופולוגי .Xנניח שלכל α ∈ Iמוגדרת העתקה רציפה fα : Uα ⊂ X → Yוכן גם מתקיים ,fα |Uα ∩Uβ = fβ |Uα ∩Uβ אזי ניתן לבנות העתקה רציפה f : X → Yבאופן הבא: לכל x ∈ Xקיים ) α (xכך ש .x ∈ Uα(x) -נגדיר ).f (x) = fα(x) (x .6אם f, g : X → Rהעתקות רציפות ,אז ,f · g ,f ± g העתקות רציפות. f g )אם g 6= 0תמיד( .7נניח כי Q{Xα }α∈Iקבוצה כלשהי של מרחבים טופולוגיים .נתבונן בקבוצת = Xועל Qההטלות πβ : X → Xβשכפי שהגדרנו המכפלה α∈I Xα לעיל מעתיקות . α∈I xα 7→ xβכלומר πβמעתיקה כל ווקטור באורך I לקואורדינטה ה β-שלו(. נראה שההטלות המתאימות {πα }α∈Iהן העתקות רציפות תחת טופולוגיית המכפלה ,Tproductומזה גם ינבע כי הן העתקות רציפות תחת טופולוגיית הקופסה ,Tboxכי האחרונה חזקה יותר מהראשונה. נשים לב שכדי להראות רציפות של העתקה מספיק להראות רציפות על קבוצות של תת־בסיס שלה .אבל הגדרנו את תת הבסיס שיוצר את Tproductלהיות האוסף ) πα−1 (Uαל Uα -פתוחות ב ,Xα -ולכן קל לראות כי הן רציפות. → .tניתן להראות 7 .8נגדיר העתקה ∞ f : R → Rעל־ידי )(t, t, ..., t, ... שהעתקה זו רציפה תחת טופולוגיית המכפלה Tproductולא רציפה תחת טופולוגיית הקופסה .Tbox 16 שהיא לא רציפה תחת טופולוגיית הקופסה נובע מכך שהקבוצה = B זה∞ −1 1 פתוחה בטופולוגיה זו ,אבל מתקיים } ,f −1 (B) = {0וזו , n n n=1 קבוצה סגורה .לעומת זאת בטופולוגיית המכפלה רציפות שקולה לרציפות בכל קואורדינטה ,ובמקרה זה fבכל קואורדינטה היא הזהות ,ולפיכך רציפה. 7.2 הומאומורפיזם הגדרה :יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ותהי .f : X → Yאומרים כי fהיא הומאומורפיזם, אם מתקיימים כל התנאים הבאים: f .1העתקה חד־חד־ערכית ועל Y f : X → Y .2העתקה רציפה f −1 : Y → X .3העתקה רציפה אם קיימת fכנ"ל אומרים כי המרחבים הטופולוגיים X, Yהם הומאומורפיים. דוגמאות: .1המרחבים (−1, 1) , Rעם הטופולוגיה הסטנדרטית הם הומאומורפיים על־ידי x .x 7→ 1−x f : (−1, 1) → Rשמעתיקה 2 .2נגדיר את "הספרה הn-־ממדית" כקבוצה הבאה: S n = x = (x1 , ..., xn , xn+1 ) ⊂ Rn+1 |d (x, 0) = 1 ⊂ Rn+1 כלומר אוסף כל הנקודות שמרחקן מ 0 = (0, ..., 0)-הוא .1למשל הספירה החד־ממדית היא מעגל היחידה ,והספירה הדו־ממדית היא כדור היחידה. נגדיר העתקה f : S 2 − {(0, 0, 1)} → R2להיות "ההטלה הסטריאוגרפית". כלומר ההעתקה לוקחת כל נקודה ,s ∈ S 2ומעתיקה אותה לנקודה על המישור שנחתכת עם הישר היחיד שעובר ב s-וב .(0, 0, 1)-העתקה זו היא הומאומורפיזם בין R2לבין }).S 2 − {(0, 0, 1 .3אנטי־דוגמה :נגדיר העתקה ) f : [0, 2π] → S 1דהיינו אל מעגל היחידה( על ידי )) .t 7→ (cos (t) , sin (tקל לראות שהעתקה זו חח"ע ועל וכי היא רציפה, אבל ] f −1 : S 1 → [0, 2πאינה רציפה .כך למשל f −1הקבוצה הפתוחה )[0, 1 מתקבלת על־ידי f −1מקבוצה לא־פתוחה ב) S 1 -קשת כלשהי על המעגל(. 17 חלק III הפרדה הגדרות :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי. .1יהיו A, B ⊂ Xתתי־קבוצות זרות .נאמר כי A, Bניתנות להפרדה על־ידי קבוצות פתוחות ,אם קיימות U, Vפתוחות כך שמתקיים B ⊂ V ,A ⊂ Uוגם ∅ = .U ∩ V .2יהיו x, y ∈ Xזוג נקודות שונות .נאמר כי x, yניתנות להפרדה אם הקבוצות הזרות } {x} , {yניתנות להפרדה במובן של קבוצות. ∈ .xנאמר כי x, Aניתנות .3יהיו A ⊂ X ,x ∈ Xנקודה ותת־קבוצה כך ש/ A- להפרדה אם הקבוצות הזרות {x} , Aניתנות להפרדה במובן של קבוצות. 8 אקסיומות הפרדה הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי .נגדיר כמה תכונות שייתכן ומתקיימות במרחב: .1אקסיומת ההפרדה :T0לכל זוג נקודות שונות קיימת פתוחה שמכילה אחת מהן ולא את השנייה. .2אקסיומת ההפרדה :T1לכל זוג נקודות שונות קיימת פתוחה שמכילה אחת מהם ולא את השנייה ,וקיימת פתוחה שמכילה את השנייה ולא את הראשונה .באופן 9 שקול :כל יחידון הוא קבוצה סגורה. .3אקסיומת ההפרדה ) T2האוסדורף( :כל זוג נקודות שונות ניתנות להפרדה. .4אקסיומת ההפרדה :T3מתקיימת T1וגם מתקיימת רגולריות; כלומר גם כל נקודה וקבוצה סגורה )שלא מכילה את הנקודה( ניתנות להפרדה. .5אקסיומת ההפרדה :T4מתקיימת T1וגם מתקיימת נורמליות; כלומר גם כל זוג קבוצות זרות וסגורות ניתנות להפרדה. 9נראה את השקילות :בכיוון ראשון ,אם כל יחידון הוא סגור אז לכל x, y ∈ Xשונים הקבוצה }X − {x פתוחה ומקיימת את הנדרש. יהי .x ∈ Xלכל } y ∈ X − {xיש Uyפתוחה המכילה את yולא את .xלכן = }X − {x בכיוון שניS , y∈X−{x} Uyוזה איחוד של קבוצות פתוחות ולכן זו קבוצה פתוחה .מכאן כי } {xסגורה. 18 המחשה )מוויקיפדיה(: א אנקודה שחורה היא נקודה במרחב; ריבוע אדום הוא קבוצה סגורה; ויריעה כחולה היא קבוצה פתוחה. הערהT4 =⇒ T3 =⇒ T2 =⇒ T1 =⇒ T0 : :T4 =⇒ T3אם ניתן להפריד כל זוג קבוצות זרות וסגורות ,אז ניתן להפריד גם קבוצה סגורה ונקודה ,כי מהנחת T1כל יחידון הוא קבוצה סגורה. :T3 =⇒ T2מתקבל כמקרה פרטי. :T2 =⇒ T1נובע מהאיפיון השקול שהראינו ל.T1 - :T1 =⇒ T0מתקבל כמקרה פרטי. טענה :מרחב טופולוגי הוא רגולרי אם ורק אם לכל ,x ∈ Xלכל פתוחה Uשמכילה את x קיימת פתוחה Vשמכילה את xכך שמתקיים .x ∈ V ⊂ V ⊂ U טענה :מרחב טופולוגי הוא נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה ,Aלכל פתוחה Uשמכילה את Aקיימת פתוחה Vשמכילה את Aכך שמתקיים .A ⊂ V ⊂ V ⊂ U הוכחה) :כיוון ראשון( נניח כי Xמרחב טופולוגי נורמלי .תהי Aקבוצה סגורה ותהי U פתוחה שמכילה את .Aלכן X − Uסגורה וזרה ל.A- מהנחת הנורמליות קיימות V, Wפתוחות וזרות שעבורן ,X − U ⊂ W ,A ⊂ V ומכאן: A⊂V ⊂V ⊂X −W ⊂U כאשר ההכלה השלישית נובעת מכך ש V , W -קבוצות זרות ,שכן V, Wפתוחות 10 וזרות. )כיוון שני( נניח את התנאי המצוין בטענה ,ויהיו A, Bסגורות וזרות .מתקיים כי A ⊂ X − Bו X − B-פתוחה ולכן היא פתוחה שמכילה את .A מההנחה נובע שקיימת Vפתוחה כך שמתקיים .A ⊂ V ⊂ V ⊂ X − Bאבל ,B ⊂ X − Vולכן הקבוצות V, X − Vפתוחות וזרות שמפרידות את .A, B טענה :מרחב טופולוגי Xהוא האוסדורף ) (T2אם ורק אם ⊂ }4 =: {(x, x) |x ∈ X X × Xהיא קבוצה סגורה בטופולוגיית המכפלה על המרחב .X × X 10כי X − Wסגורה וכן V ⊆ X − Wמזרותן .מהגדרת הסגור נובע V ⊆ X − Wומכאן כי V , Wזרות. 19 הוכחה) :כיוון ראשון( c c נניח כי Xמרחב האוסדורף ונוכיח כי 4קבוצה פתוחה .תהי ,(x, y) ∈ 4כלומר .x 6= yמהיות Xהאוסדורף נובע שניתן להפריד את x, yעל־ידי זוג קבוצות פתוחות וזרות U, Vבהתאמה .מכאן כי (x, y) ∈ U × V ⊂ X × Xומתקיים U × V ⊂ 4c מזרות. )כיוון שני( c אם 4קבוצה סגורה ב X × X-עם טופולוגיית המכפלה אז 4פתוחה .לכן לכל x, y ∈ Xשונות קיימת קבוצה פתוחה Wכך שמתקיים .(x, y) ∈ Wאבל קבוצה פתוחה בטופולוגיית המכפלה היא מהצורה W = U × Vכאשר U, Vפתוחות ב,X- ולכן (x, y) ∈ U × Vכך ש .y ∈ V ,x ∈ U -נשים לב ש U, V -זרות כי אם היה t ∈ U ∩ Vאז ,(t, t) ∈ U × Vבסתירה לכך ש .U × V ⊂ 4c - טענה :עבור ,T1 , T2 , T3אם Xהוא מרחב טופולוגי ,Tiאז גם כל תת־מרחב שלו הוא .Ti 11 הוכחה :נוכיח ל .T1 , T3 -יהי Xמרחב טופולוגי ,T3כלומר Xהוא T1ורגולרי ,ויהי E ⊂ X תת־מרחב עם הטופולוגיה המושרית. נראה ש E-הוא :T1תהי .x ∈ Eמתקיים כי } {xסגורה ב X-מהנחת ,T1ולכן } X − {xפתוחה ב .X-נשים לב כי )} ,E − {x} = E ∩ (X − {xולכן זו קבוצה פתוחה בטופולוגיה המושרית ,ומכאן כי } {xסגורה ב.E- ∈ .xמהגדרת נראה ש E-הוא :T3תהי x ∈ Eותהי A ⊂ Eסגורה ב E-כך ש/ A- 12 ∈ .x הטופולוגיה המושרית נובע שקיימת Cסגורה ב X-כך ש A = E ∩ C-וכן / C מכך ש X-הוא T3נובע שניתן להפריד את x, Cעל־ידי U, Vפתוחות וזרות כלשהן בהתאמה ,ומכאן ,A ⊂ E∩V ,x ∈ E∩Uשאלו קבוצות פתוחות מהגדרת הטופולוגיה המושרית . טענה :עבור ,T1 , T2 , T3אם X, Yהם מרחבים טופולוגיים ,Tiאז גם X × Yהוא Ti 13 בטופולוגיית המכפלה. הוכחה :נוכיח ל .T3 -יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ,T3נוכיח שמתקיים את התנאי השקול לרגולריות שהראינו לעיל. תהי Aסגורה ותהי Wסביבה של .(x, y) ∈ X × Yמהיות Wסביבה נובע שקיימות V1 , V2פתוחות כך ש.(x, y) ∈ V1 × V2 ⊂ W - מרגולריות X, Yנובע שקיימות U1 , U2כך שמתקיים: x ∈ U1 ⊂ U1 ⊂ V1 y ∈ U2 ⊂ U2 ⊂ V 2 ומכאן כי: (x, y) ∈ U1 × U2 ⊂ U1 × U2 = U1 × U2 ⊂ V1 × V2 כאשר את השוויון לא קשה להראות בטופולוגיית המכפלה. 14 11נשים לב שזה לא נכון ל .T4 -נציין מדוע במהלך ההוכחה. 12בשלב זה ההוכחה לא תעבוד ל .T4 -כי בהינתן A, Bסגורות וזרות ב E-זה לא אומר שהן גם זרות ב.X- לכן אפילו אם Xהוא T4ייתכן שהן חופפות ב X-ולכן לא ניתנות להפרדה. 13גם זה לא נכון ל ,T4 -מסיבה דומה. 14הוא לא בהכרח נכון בטופולוגיית הקופסה של מכפלה אינסופית. 20 טענה :כל מרחב מטרי הוא ) .T4וממילא גם .(T1 , T2 , T3 הוכחה :יהיו A, Bקבוצות סגורות וזרות במרחב מטרי .Xראשית קל לראות שלכל x ∈ X היחידון } {xסגור ,כי } .{x} = {y ∈ X|d (y, x) ≤ 0נראה שמתקיימת נורמליות. הגדרה :בהינתן נקודה t ∈ Xוקבוצה ,E ⊂ Xנגדיר }.d (t, E) =: inf e∈E d {t, e נשים לב שלכל x ∈ Aמתקיים d (x, B) > 0ממש ,כי אחרת x ∈ B = Bבסתירה לזרות .A, Bובאופן דומה גם ל.x ∈ B- אם כך לכל a ∈ Aנסמן ,d (a, B) = ra,B > 0וכן לכל b ∈ Bנסמן = )d (b, A .rb,A > 0 כעת נשים לב שמתקיים: [ )B rb,A (b B ⊂ V =: 2 )B ra,B (a 2 b∈B [ A ⊂ U =: a∈A אם כך מספיק להראות ש U, V -הנ"ל זרות ,ובזאת נפריד את .A, B נניח בשלילה כי .x ∈ U ∩ Vלכן יש b0 ∈ B ,a0 ∈ Aכך שx ∈ B ra0 ,B (a0 ) ∩- 2 ) .B rb0 ,A (b0נקבל מאי־שוויון המשולש: 2 ) = d (a0 , b0 ) d(a0 ,b0 2 + ) d(a0 ,b0 2 ≤ )d(b0 ,A 2 + )d(a0 ,B 2 < ) d (a0 , b0 ) ≤ d (a0 , x) + d (x, b0 וזו סתירה . דוגמאות :ראינו שמתקיים .T4 =⇒ T3 =⇒ T2 =⇒ T1 =⇒ T0נראה דוגמה נגדית לכל אחת מהגרירות ההפוכות. .1דוגמה למרחב שאינו :T0כל מרחב עם לפחות שתי נקודות שונות והטופולוגיה הטריוויאלית. .2דוגמה למרחב T0שאינו :T1ניקח את הקבוצה } X = {a, bעם הטופולוגיה }.T = {∅, {a} , X 15 .3דוגמה למרחב T1ולא :T2כל מרחב אינסופי עם טופולוגיית המשלים הסופי. קל לראות שכל נקודה היא סגורה ,אבל לא ניתן להפריד נקודות כי כלל לא קיימות זוג קבוצות פתוחות וזרות. .4דוגמה למרחב T2ולא :T3נגדיר את המרחב הטופולוגי R N1להיות הקבוצה R עם הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס: 1 \ ){(a, b) |a, b ∈ R} ∪ (a, b |a, b ∈ R n n∈N קל לראות כי R N1הוא ,T2כי הטופולוגיה עליו חזקה יותר מהטופולוגיה הסטנדרטית שבה כל זוג נקודות ניתנות להפרדה .נראה שהוא אינו .T3 S ראשית נשים לב כי N1סגורה ,כי .R N1 − N1 = a,b∈R (a, b) \ N1נראה שלא ניתן להפריד את הנקודה 0מהקבוצה הסגורה . N1 15כלומר הקבוצות הפתוחות הן אלו שהמשלימות שלהן סופיות. 21 נניח כי U, Vפתוחות המקיימות . N1 ⊂ V ,0 ∈ Uמהיות Uפתוחה נובע שהיא מכילה קבוצת בסיס כלשהי סביב ,0ולכן היא בהכרח מהצורה (a0 , b0 ) \ N1 1 ל 16 .a0 < 0 < b0 -כלומר עבור mמספיק גדול מתקיים \ N1 ⊂ U 0 ∈ a0 , m ל.a0 < 0- 1 1 1 נתבונן בנקודה . 2m ∈ Nמהנתון N ⊂ Vנובע שקיימת קבוצת בסיס שמכילה 1 1 2mל c, d-כלשהם .אבל ) (c, dו\ N1 - אותה ,כלומר ∈ (c, d) ⊂ V a0 , m בבירור אינן זרות ,ולכן U, Vבהכרח אינן זרות .כלומר לא קיימות U, V פתוחות וזרות שמפרידות את 0ו. N1 - .5דוגמה למרחב T3ולא :T4נסמן ב Rl -את הקבוצה Rעם הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס } .{[a, b) |a, b ∈ Rזה מרחב ) T4תרגיל( .בפרט אמנם זה מרחב T3ולכן גם Rl × Rlהוא ,T3אך נראה ש Rl × Rl -אינו .T4מרחב זה יהווה גם דוגמה לכך שמכפלת מרחבי T4אינה בהכרח .T4 )א( נתבונן בקבוצה ,4 =: {(x, −x) |x ∈ R} ⊂ Rl × Rlעם טופולוגיית המכפלה המושרית מ .Rl × Rl -נסמן ב A-את אוסף הנקודות הרציונליות שב 4-וב B-את אוסף הנקודות האי רציונליות שב .4-נראה כי A, B קבוצות סגורות בטופולוגיית המכפלה המושרית מ ,Rl × Rl -ולבסוף נראה שהן לא ניתנות להפרדה ,כלומר Rl × Rlאינו .T4 )ב( A, Bסגורות :נשים לב ש Ac -כוללת את הנקודות שמחוץ ל 4-ואת הנקודות האי־רציונליות שב .4-ניתן לבטא זאת: [ Ac = }[r, ∞) × [−r, ∞) ∪ {(x, y) |x < −y r∈R\Q כלומר Acפתוחה ולכן Aסגורה .באופן דומה ניתן לראות גם כי Bסגורה. )ג( A, Bלא ניתנות להפרדה :נניח בשלילה שקיימות U, Vפתוחות וזרות קבוצה נגדיר ב ,Rl × Rl -והן מפרידות את A, B טבעי בהתאמה .לכל n ה r ∈ R\Q-שמקיימים . r, r + n1 × −r, −r + n1 ⊂SV ,Inלהיות כל S מתקיים ,R = Q ∪ n∈N Inכי n∈N Inכוללת את כל האי־רציונליים. נתייחס כעת ל R-כמרחב עם הטופולוגיה הסטנדרטית .ממשפט שנוכיח בהמשך )משפט בייר( ינבע שלא ניתן להציג את הישר הממשי כאיחוד בן־מניה של קבוצות סגורות וזרות ובעלות פנים ריק .אבל נשים לב שכל הנקודות ב Q-הן קבוצות סגורות וזרות ובעלות פנים ריק בטופולוגיה הסטנדרטית ,ולכן מהשוויון הנ"ל בהכרח קיים mטבעי כך ש Im -בעלת כלומר היא מכילה קטע ממשי פתוח שנסמן ).(a, b פנים שאינו ריק. 1 מכאן נובע כי ⊂ V . (x, −x + ε) |a < x < b, 0 < ε < mלכן כל ) (q, −qל q ∈ (a, b)-היא נקודת גבול של אי רציונליים מ .Im -אבל באופן כללי (q, −q) ∈ Uוכן הנחנו כי U, Vפתוחות ,ולכן ,(−q, q) ∈ U ∩ V בסתירה להנחה כי U, Vזרות. 9 הלמה של אוריסון משפט :יהי Xמרחב ,T4אזי לכל C, D ⊂ Xסגורות ,לא ריקות וזרות ,קיימת פונקציה רציפה ] ,f : X → [0, 1כך שמתקיים .f |C = 0, f |D = 1 1 , nואז U, Vלא היו זרות. 16אם היא הייתה מהצורה ) (a, bל ,a < 0 < b-היא הייתה מכילה איזושהי נקודה 22 הוכחה :הראינו לעיל שנורמליות שקולה לכך שלכל סגורה Aולכל פתוחה Uהמכילה את ,Aקיימת פתוחה Vוסגורה ) Zניתן לבחור אותה להיות (Vכך שמתקיים ⊂ A ⊂ V .Z ⊂ U .1בהינתן מרחב נורמלי Xוקבוצות C, Dסגורות ,לא ריקות וזרות ,נשתמש באיפיון הנ"ל כדי להגדיר אינדוקטיבית סדרה אינסופית ועולה ביחס להכלה של קבוצות פתוחות וסגורות לסירוגין. נשים לב שהקבוצות C, Dהנתונות הן סגורות וזרות ולפיכך V1 =: X − Dפתוחה המכילה את C0 =: Cהסגורה .כלומר השלב הראשון בהגדרה האינדוקטיבית .C0 ⊂ V1 מהאיפיון שהזכרנו נובע שקיימות סגורה C 21ופתוחה V 12כך שמתקיים: C0 ⊂ V 21 ⊂ C 12 ⊂ V1 מהאיפיון שהזכרנו נובע שוב שקיימות שתי סגורות C 14 , C 34ושתי פתוחות V 14 , V 43כך שמתקיים: C0 ⊂ V 14 ⊂ C 14 ⊂ V 21 ⊂ C 12 ⊂ V 34 ⊂ C 43 ⊂ V1 ובאופן אינדוקטיבי ,לכל kטבעי נקבל בשלב ה k-סדרה מהצורה: ⊂ ... ⊂ V 2k −1 ⊂ C 2k −1 ⊂ V1 2k 2k 1 2k ⊂C 1 2k C0 ⊂ V כאשר Cjכולן סגורות ו Vj -כולן פתוחות. .2נגדיר פונקציה ] f : X → [0, 1על־ידי: ∃t x ∈ Vt otherwise } inf {t x∈Vt = )f (x 1 נוכיח כי fרציפה ומקיימת .f |C = 0, f |D = 1 ∈ .xאבל כל Vt ⊂ V1 )א( :f |D = 1לכל x ∈ Dמתקיים / X − D = V1 ∈ xלכל tומכאן .f (x) = 1 ולכן / Vt )ב( :f |C = 0נשים לב כי C = C0 ⊂ V 1kלכל kטבעי .לכן לכל x ∈ C 2 מתקיים x ∈ V 1kלכל kטבעי ,ומכאן .f (x) = 0 2 )ג( fרציפה :לשם כך מספיק להראות כי fרציפה לקבוצות תת־בסיס כלשהו של הטופולוגיה הסטנדרטית של ] .[0, 1אז ניקח את התת־בסיס } {[0, b) |0 ≤ b ≤ 1}∪{(b, 1] |0 ≤ b ≤ 1ונראה כי )]f −1 ([0, b)) , f −1 ((b, 1 פתוחות לכל .0 ≤ b ≤ 1 ש f −1 ([0, b))-פתוחה .לשם כך די להראות כי = ))f −1 ([0, b .iנראה S , t<b Vtשכן Vtפתוחה לכל .t מצד אחד ,אם )) x ∈ f −1 ([0, bאז מההגדרה ,f (x) < b ≤S1ולכן .f (x) < tSכלומר .x ∈ Vt0 ⊂ t<b Vt קיים t0המקיים 0 < b מצד שני ,אם x ∈ t<b Vtאז יש t0 < bכך ש .x ∈ Vt0 -כלומר f (x) ≤ t0 < bמהגדרת הפונקציה ,ולכן )).x ∈ f −1 ([0, b 23 .iiנראה ש f −1 ((b,T1])-פתוחה .לשם כך די להראות כי המשלימה שלה היא ,f −1 ([0, b]) = b<t Ctשכן Ctסגורה לכל .t במקרה b = 1מתקיים ∅ = )] f −1 ((b, 1וזו קבוצה סגורה .לכן נניח 0 ≤ b < 1ונראה את השוויון הנ"ל. מצד אחד ,אם )] x ∈ f −1 ([0, bאז ,f (x) ≤ b < 1ולכן x ∈ Vt .b Tאבל תמיד Vt ⊂ Ctולכן x ∈ Ctלכל ,b < tכלומר לכל < t .x ∈ b<t Ct ∈ xאז ) ,b < f (xולכן קיימים t1 , t2 מצד שני ,אם )]/ f −1 ([0, b tTנובע כי כך ש .b < t1 < t2 < f (x)-אבל מכך ש2 < f (x)- ∈ .x ∈ ,xומכך שגם b < t1נוכל להסיק כי / b<t Ct / Vt2 ⊂ Ct1 10 אקסיומות המניה הגדרות :יהי Xמרחב טופולוגי ותהי .x ∈ X • אוסף של פתוחות {Ui }i∈Iהמכילות את xהוא בסיס לפתוחות של ,xאם לכל קבוצה פתוחה Vהמכילה את ,xקיים iכך ש.x ∈ Ui ⊂ V - • Xמקיים את אקסיומת המניה הראשונה אם לכל x ∈ Xקיים בסיס בן־מניה לפתוחות שלו. • Xמקיים את אקסיומת המניה השנייה אם לטופולוגיה שלו קיים בסיס בן־מניה. • Xנקרא לינדלוף ) (Lindelöfאם לכל כיסוי פתוח של המרחב קיים תת־כיסוי בן־מניה. • Xנקרא ספרבילי אם קיימת בו קבוצה צפופה שהיא בת־מניה. טענה :מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השניה ,הוא נורמלי. הוכחה :יהי Xמרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המניה השנייה .נניח כי Bבסיס בן מניה לטופולוגיה על ,Xויהיו A, B ⊂ Xקבוצות סגורות וזרות. ∈ .aלכן X − Bסביבה פתוחה של ,aומאיפיון שקול לכל a ∈ Aמתקיים / B לרגולריות יש קבוצה פתוחה Ua ∈ Bהמקיימת .a ∈ Ua ⊂ Ua ⊂ X − Bנשים לב שהאוסף {Ua }a∈Aהוא בן מניה כי הקבוצות בו נלקחו רק מתוך .Bלכן קיימת ∞ ∞ סדרה {an }n=1 ⊂ Aכך ש {Uan }n=1 -כיסוי פתוח של ,Aוכל Uanלא נחתכת עם .B ∞ ∞ באותו אופן קיימת סדרה {bm }m=1 ⊂ Bכך ש {Vbm }m=1 -כיסוי פתוח של ,Bוכל Vbmלא נחתכת עם .A Sk Sk לכל kטבעי נגדיר Sk = Uk − i=1 Viוכן .Tk = Vk − j=1 Ujקל לראות ∞S ∞S שאלו קבוצות פתוחות .נסמן .O = k=1 Sk , P = k=1 Tkאלו קבוצות פתוחות, ונראה שהן מפרידות את .A, B ∞S נשים לב כי A ⊂ n=1 Uanוכן ∅ = A ∩ Vbmלכל ,mולכן .A ⊂ Oבאותו אופן ניתן לראות כי .B ⊂ Pההוכחה כי ∅ = O ∩ Pמושארת כתרגיל 17 . 17אם בשלילה היה t ∈ O ∩ Pאז היו אינדקסים n, mכך ש.t ∈ Sn ∩ Tm - 24 11 משפט המטריזציה של אוריסון הגדרה :מרחב טופולוגי Xנקרא מטריזבילי ,אם קיימת מטריקה על Xשמשרה את הטופולוגיה הנתונה. הערה :אם Xמרחב טופולוגי מטריזבילי ,אז כל תת־מרחב מושרה שלו גם הוא מטריזבילי. N הערה :המרחב } {0, 1הוא המכפלה בת המניה של המרחב הדיסקרטי } {0, 1עם טופולוגיית המכפלה .מרחב זה מטריזבילי ,כי הטופולוגיה שלו מושרית מהמטריקה: ∞ X ) di (xi , yi 2i d ((x1 , x2 , ...) , (y1 , y2 , ...)) =: i=1 כאשר diהמטריקה הדיסקרטית על } .{0, 1ההוכחה מושארת כתרגיל. N הוכחה דומה תראה כי המרחב ] [0, 1כמכפלה בת־מניה של הקטעים ] [0, 1עם הטופולוגיה הסטנדרטית ,גם הוא מטריזבילי. משפט :אם Xמרחב טופולוגי T3המקיים גם את אקסיומת המניה השנייה ,ולפיכך בפרט גם נורמלי כפי שהראינו ,אז הוא מטריזבילי. N הוכחה :נראה שבתנאים אלו Xהומאומורפי לתת־קבוצה כלשהי Eשל ] ,[0, 1שהיא מטריזבילית כתת־מרחב של מרחב מטריזבילי 18 .מכאן ברור שאם f : X → E הומאומורפיזם וכן Eמטריזבילי על־ידי המטריקה ,dאז המטריקה ρ (x, y) =: )) d (f (x) , f (yמשרה את הטופולוגיה על .X X .1מקיים את אקסיומת המניה השנייה ,אז יהי Bבסיס בן־מניה של .X לכל זוג קבוצות בסיס U, Vלא ריקות המקיימות ,U ⊂ Vהקבוצות U , X − V סגורות וזרות .לכן מהלמה של אוריסון קיימת פונקציה רציפה ]f : X → [0, 1 כך שמתקיים .f |U = 0, f |X−V = 1עבור כל קבוצות הבסיס Bנקבל אוסף לכל היותר בן־מניה של פונקציות כנ"ל ,שנסמן .{fn }n∈N .2למה :לכל x ∈ Xולכל C ⊂ Xסגורה שאינה מכילה את ,xקיים nטבעי כך שמתקיים .fn (x) = 0, fn |C = 1 הוכחת הלמה :מהנתון נובע .x ∈ X − Cהנחנו כי Xהוא ,T3ובהתאם לאיפיון שקול שהראינו לרגולריות נובע שקיימת פתוחה ,Vללא הגבלת הכלליות 19 ,V ∈ Bכך שמתקיים .x ∈ V ⊂ V ⊂ X − Cנשים לב כי V , Cסגורות וזרות ,ולכן מהלמה של אוריסון קיים nטבעי כך ש fn : X → [0, 1]-רציפה ומקיימת .fn |V = 0, fn |C = 1אבל x ∈ Vוכן ,C ⊂ X − Vומכאן הטענה. N .3נגדיר העתקה ] F : X → [0, 1על־ידי ) ,x 7→ (f1 (x) , f2 (x) , ...ונראה כי Fהומאומורפיזם של Xעל תמונתה. )א( Fחח"ע :בהינתן x, y ∈ Xכך ש ,x 6= y-הקבוצה } {yסגורה )הנחנו ,(T3ולכן קיים mטבעי כך ש .fm (x) = 0, fm (y) = 1-מכאן שבגלל הקואורדינטה ה m-מתקיים ).F (x) 6= F (y 18זו אחת הסיבות שדרשנו ש X-יקיים את אקסיומת המניה השנייה .כי אם לא ,נוכל לכל היותר להראות שהוא הומאומורפי לתת־קבוצה של [0, 1]Aל A-כלשהי ,ומרחב זה אינו מטריזבילי בהכרח .הסיבה השנייה היא כדי שהמרחב יהיה נורמלי ולפיכך נוכל להשתמש בלמה של אוריסון ,כפי שיפורט בהמשך ההוכחה. V 19היא איחוד של קבוצות בסיס ,נבחר את קבוצת הבסיס ש x-מוכל בה. 25 )ב( Fרציפה :לכל ,iהפונקציה fiרציפה לפי הלמה של אוריסון ,ובטופולוגיית המכפלה רציפות קואורדינטה־קואורדינטה שקולה לרציפות. )ג( F −1רציפה :נשים לב כי ,F −1 : F (X) → Xלכן צריך להראות שבהינתן U ⊂ Xפתוחה ,גם ) F (U ) ⊂ F (Xפתוחה .כלומר ,מהגדרת תת־מרחב N טופולוגי יש להראות שקיימת קבוצה פתוחה ] V ⊂ [0, 1כך שמתקיים ).F (U ) = V ∩ F (X תהי Uפתוחה ויהי .x ∈ Uמהלמה ב 2-נובע שקיים ) k (xטבעי מתאים כך שמתקיים .fk(x) (x) = 0, fk(x) |X−U = 1 −1 ) .fk(xכמו־כן נשים לב שאם πiהיא נשים לב שמתקיים ([0, 1)) ⊂ U −1 −1 −1 ההטלה על הקואורדינטה ה i-אז ,fi = πi ◦ Fולכן .fi = F ◦ πi מכאן נסיק: [ [ −1 −1 =U )fk(x = ))([0, 1 )F −1 ◦ πk(x ))([0, 1 x∈U x∈U ⇓ −1 )πk(x )([0, 1)) ∩ F (X [ = ) F (U x∈U 20אבל טופולוגיית המכפלה מוגדרת על־ידי התת־בסיס שקבוצותיו הן ,π −1 ולכן ) F (Uפתוחה . 20כי באופן כללי אם ) f : X → f (Xו ,A ⊂ f (X)-אז ).f −1 (f (A)) = A ∩ f (X 26 חלק IV קשירות הגדרה :מרחב טופולוגי Xנקרא קשיר ,אם לא קיימת הצגה מהצורה X = U ∪ VלU, V - כלשהן פתוחות ,זרות ולא ריקות. באופן טבעי ,תת קבוצה נקראת קשירה אם היא מהווה תת־מרחב קשיר בטופולוגיה המושרית. הערה :באופן שקול ניתן להגדיר מרחב טופולוגי Xכקשיר ,אם לא קיימת הצגה מהצורה X = C ∪ Dל C, D-סגורות ,זרות ולא ריקות. טענה :מרחב טופולוגי Xשהוא T4הוא קשיר אם ורק אם לא קיימת פונקציה רציפה } ,f : X → {0, 1שהיא על .כלומר כל פונקציה מהצורה הנ"ל היא קבועה. הוכחה :בכיוון אחד ,אם Xלא קשיר אז ,X = U ∪ Vולכן מהלמה של אוריסון קיימת פונקציה כזאת. בכיוון שני ,שעבורו לא צריך את ,T4אם קיימת פונקציה כנ"ל אז נפריד = X ) .f −1 (0) ∪ f −1 (1 דוגמאות: .1כל מרחב מהצורה ] [a, b] ∪ [c, dל a < b < c < d ∈ R-הוא לא קשיר מהגדרתו. √ √ ∪ .Q = −∞, 2 Q .2בטופולוגיה הסטנדרטית אינו קשיר ,כי ∞ 2, 2 .3מרחב המטריצות ההפיכות ) GLn (Rבטופולוגיה המושרית מ Rn -אינו קשיר. לעומת זאת המרחב ) GLn (Cהוא קשיר. 21 טענה :קשירות היא תכונה טופולוגית .כלומר היא נשמרת תחת הומאומורפיזם. הוכחה :מספיק להראות שאם f : X → Yרציפה ו X-קשיר ,אז גם Yקשיר .שכן בהינתן הומאומורפיזם נוכל להסיק זאת לשני הכיוונים .אבל אם Yאינו קשיר ,כלומר ,Y = U ∪ Vאז ) X = f −1 (U ) ∪ f −1 (Vשכן fרציפה ,ולכן Xאינו קשיר . טענה :תת־קבוצה של Rבטופולוגיה הסטנדרטית היא קשירה אם ורק אם היא קטע. הוכחה) :כיוון ראשון( תהי A ⊂ Rתת־קבוצה קשירה .לכל ,a, b ∈ Aלכל a < c < bמתקיים כי ,c ∈ A כי אחרת היה ] A = [(−∞, c) ∩ A] ∪ [(c, ∞) ∩ Aבסתירה לקשירות .Aמכאן קל להסיק כי Aהוא קטע שקצותיו הם }) inf a∈A {a} , supa∈A {aקטע פתוח/סגור/חצי בהתאם לשאלה האם ה inf / sup-מתקבלים(. )כיוון שני( 21כי ניתן להציג אותו כאיחוד זר של אוסף המטריצות המקיימות det < 0ואוסף המטריצות המקיימות .det > 0 קבוצות אלו פתוחות בטופולוגיה הסטנדרטית על ) ,GLn (Rכי פונקציית הדטרמיננטה היא פולינומיאלית ולכן רציפה ,ומכאן שהתמונה ההפוכה של הפתוחות R≥0 , R≤0תחת detפתוחה גם היא. 27 נוכיח שכל קטע מהצורה ] [a, bהוא קשיר .נניח בשלילה כי [a, b] = U ∪ VלU, V - פתוחות ,ונניח ללא הגבלת הכלליות .a ∈ U נתבונן בקבוצה } ,S =: {x|a ≤ x ≤ b, [a, x] ⊂ Uונסמן ) .m =: sup (Sודאי ∈ ,mכי אם ,a < mכי אם לא אז } U = {aבסתירה לפתיחותה .כמו־כן / U ,m ∈ Uכדי לשמור על Uפתוחה בהכרח ,m = bואז ∅ = ,Vבסתירה להגדרת קשירות .לכן בהכרח .m ∈ Vאבל מההגדרה ) m = sup (Sנובע שבכל סביבה של m ∈ Vקיים משמאל איבר שאינו ב ,V -בסתירה לפתיחות .Vלכן בהכרח קטע מהצורה ] [a, bהוא קשיר. כעת בהינתן קטע כללי ,Iאם בשלילה I = U ∪ Vאז נבחר זוג .a ∈ U, b ∈ V נקבל כי )] ,[a, b] = (U ∩ [a, b]) ∪ (V ∩ [a, bסתירה . משפט ערך הביניים :תהי f : X → Rפונקציה רציפה ל X-מרחב טופולוגי קשיר .יהיו x, y ∈ Xכך ש ,f (x) < f (y)-אזי לכל ) f (x) < t < f (yקיים z ∈ Xכך שמתקיים .f (z) = t הוכחה :משפט ערך הביניים קובע במילים אחרות שתמונה של פונקציה רציפה על תחום קשיר היא קטע .אבל ראינו שב R-קבוצה קשירה היא מילה נרדפת לקטע . למה :אם Xמרחב טופולוגי לא קשיר כך ש ,X = U ∪ V -וכן A ⊂ Xתת־קבוצה קשירה, אז A ⊂ Uאו .A ⊂ V הוכחה :לו בשלילה Aנחתכת עם Uו V -יחד ,אז ) ,A = (U ∩ A) ∪ (V ∩ Aבסתירה לקשירות .A 12 קשירות של איחוד ומכפלה טענה: .1אם Xמרחב קשיר ו f : X → Y -פונקציה רציפה ,אז ) f (Xקשירה. .2אם A ⊂ Xקשירה אזי גם Aקשירה. שקיים β ∈ Iכך .3למת "כוכב" :אם {Aα }α∈Iאוסף של קבוצות קשירות ,ונניח S שמתקיים ∅ = Aα ∩ Aβ 6לכל ,α ∈ Iאזי גם האיחוד α∈I Aαקבוצה קשירה. .4מכפלה כלשהי של מרחבים היא קשירה אם ורק אם כל אחד מהמרחבים קשיר. 22 הוכחה :במהלך ההוכחה נשתמש בכך שאם Xמרחב קשיר אז כל פונקציה רציפה → X } {0, 1היא קבועה. .1תהי } g : f (X) → {0, 1פונקציה רציפה ,ונניח בשלילה שהיא על .לכן ההרכבה } g ◦ f : X → {0, 1רציפה ועל ,בסתירה לקשירות .X פונקציה רציפה ,ונניח בשלילה שהיא לא קבועה. .2תהי }g : A → {0, 1 מהרציפות נובע כי ) .{0, 1} = g A ⊂ g (Aמכאן כי }g (A) = {0, 1 כי בטופולוגיה הדיסקרטית כל קבוצה היא סגורה ,בסתירה לקשירות .A 22מדובר במרחב המכפלה עם טופולוגיית המכפלה .הטענה אינה נכונה בהכרח בטופולוגיית הקופסה. 28 S .3תהי } g : α∈I Aα → {0, 1פונקציה רציפה .מקשירות כל Aαנובע כי g|Aα קבועה ובפרט גם g|Aβקבועה .נניח ללא הגבלת הכלליות .g|SAβ = 0אבל כל חיתוך Aα ∩ Aβאינו ריק ולכן g = 0תמיד ,ומכאן כי α∈I Aαקבוצה קשירה. Q .4יהי {Xα }α∈Iאוסף של מרחבים ויהי α∈I Xαמרחב המכפלה שלהם עם טופולוגיית המכפלה. כיוון ראשון :אם קיים β ∈ Iכך שהמרחב Xβאינו קשיר ,אז ניתן להפריד Xβ = U ∪Vל U, V -פתוחות ב .Xβ -נשים לב שבטופולוגיית המכפלה הקבוצות ) πβ−1 (U ) , πβ−1 (Vפתוחות .כמו כן בגלל הקואורדינטה ה β-במכפלה הן גם Q זרות ,וכן קל לראות ש . α∈I Xα = πβ−1 (U ) ∪ πβ−1 (V )-כלומר מרחב המכפלה אינו קשיר. כיוון שני :ההוכחה שאם כל Xαקשיר אז גם המכפלה קשירה מורכבת יותר, ונעשה אותה בשלבים .תחילה נראה את הטענה למכפלות סופיות ואז נכליל. )א( נוכיח את הטענה למכפלה של שני מרחבים קשירים: יהיו X, Yמרחבים קשירים ונניח בשלילה כי X × Yאינו קשיר .לכן קיימת פונקציה רציפה } f : X ×Y → {0, 1שאינה קבועה .כלומר קיימות הנקודות ) (x0 , y0 ) , (x1 , y1כך שמתקיים = ) f (x0 , y0 ) = 0, f (x1 , y1 .1 ∼ ,X 0 נסמן } .Y 0 =: {x0 } × Y ,X 0 =: X × {y1קל לראות כי = X ∼ Y 0על־ידי ההעתקות ) .y 7→ (x0 , y) ,x 7→ (x, y1מכאן שגם = Y X 0 , Y 0מרחבים קשירים ,ולכן כל פונקציה רציפה מהם ל {0, 1}-היא קבועה .נשים לב ,אם כך ,שמכיוון ש y0 ∈ Y ,x1 ∈ X-ניתן להסיק כי: f |X 0 = f (X, y1 ) = 1 , f |Y 0 = f (y0 , Y ) = 0 אבל מתקיים כי ,(x0 , y1 ) ∈ X 0 ∩ Y 0כלומר חיתוכם אינו ריק ,ולכן מלמת כוכב נובע כי X 0 ∪ Y 0מרחב קשיר .לכן לא תיתכן פונקציה רציפה שאינה קבועה במרחב זה ,סתירה. )ב( קל להסיק את הטענה באינדוקציה לכל מכפלה סופית של מרחבים קשירים. קשירים: )ג( נכליל את הטענה למכפלה כלשהי של מרחבים Q 23 מאקסיומת הבחירה המכפלה לא ריקה ,יהי .x =: (xα )α∈I ∈ α∈I Xα לכל J ⊂ Iקבוצת אינדקסים סופית נגדיר: Y Y = XJ × Xα } {xα α∈I−J α∈J הוא קבוע בקואורדינטות ה I − J-ולכן הומאומורפי כל XJקשיר כי Q למכפלה α∈J Xαוהראינו שמכפלות סופיות של מרחבים קשירים הן קשירות. \ כי x ∈ XJ נתבונן באוסף .{XJ }J isf initeמתקיים ∅ =XJ 6 לכל .Jלכן מלמת כוכב נובע שהאיחוד XJ [ is nite is nite 23כלומר xהוא וקטור באורך ,Iשהרכיב ה α-שלו הוא .xα 29 J קשיר. J [וקשירה אז נשים לב שבאופן כללי מטענה 2נובע שאם Aצפופה בB- צפופה גם Bקשירה ,כי .A = Bלכן מספיק להראות כי XJ is nite J Q במכפלה . α∈I Xα אבל קבוצת בסיס בטופולוגיית המכפלה היא מהצורה × α∈I−K Xα Q α∈K Vαל K ⊂ I-קבוצה סופית כלשהי של אינדקסים ,ול Vα -פתוחה ב Xα -ל .α ∈ K-לכן קל לראות שהאיחוד נחתך עם קבוצה זו על־ידי בחירת Kהאינדקסים המתאימים בווקטור xשהגדרנו . Q 13 קשירות מקומית הגדרות: • יהי Xמרחב טופולוגי ותהי .x ∈ Xאומרים כי Xקשיר מקומית ב ,x-אם לכל סביבה Wשל xקיימת Vפתוחה וקשירה המקיימת .x ∈ V ⊂ W • אומרים כי Xקשיר מקומית אם הוא קשיר מקומית בכל .x ∈ X • יהי Xמרחב טופולוגי ותהי .x ∈ Xמרכיב הקשירות של xהוא איחוד כל הקבוצות הקשירות המכילות את .x הערות: .1מלמת כוכב נובע שאיחוד זה עצמו הוא קשיר ,ולכן מרכיב הקשירות של xהוא הקבוצה הקשירה המקסימלית המכילה את .x .2אוסף מרכיבי הקשירות על מרחב טופולוגי Xמגדירים יחס שקילות על .X כלומר x1 ∼ x2אם ורק אם הם באותו מרכיב קשירות. דוגמאות: .1במרחב Qעם הטופולוגיה הסטנדרטית כל יחידון מהווה מרכיב קשירות. 2 .2במרחב ) GLn (Rבטופולוגיה המושרית מ Rn -יש שני מרכיבי קשירות :אוסף המטריצות עם דטרמיננטה חיובית ,ואוסף המטריצות עם דטרמיננטה שלילית. הערה :לא ניתן ללמוד על קשירות מקשירות מקומית ,וגם לא להפך .נראה דוגמאות לכך: .1מרחב קשיר מקומית אבל לא קשיר X = {a, b} :עם הטופולוגיה הדיסקרטית. המרחב אינו קשיר כי } ,X = {a} ∪ {bאבל הוא קשיר מקומית כי לכל סביבה של x ∈ Xניתן לבחור }.V = {x מקומית" :מרחב המסרק" הוא המרחב ∪)]({0} × [0, 1 .2מרחב קשיר אבל לא קשיר 24 )}: n1 × [0, 1] ∪ ([0, 1] × {0 24כפי שניתן לראות באיור הבא ,במערכת צירים זה הקטע ] [0, 1בציר ה ,x-הקטע ] [0, 1בציר ה ,y-ועוד N 1 .n העמודות המקבילות לציר ה y-בגובה ] ,[0, 1שמרחק כל אחת מציר ה y-הוא 30 )מוויקיפדיה( כאשר הטופולוגיה בו היא זו המושרית מ .R2 -כל ישר מ 2 + N-הישרים במרחב הוא קשיר כי הוא קטע ,וכן כל הישרים הללו נחתכים עם הישר },[0, 1] × {0 ולכן מלמת כוכב המרחב כולו קשיר. שבאיור. מקומית בנקודה במרכז העיגול האדום לעומת זאת המרחב אינו קשיר כך למשל כל סביבה של הנקודה 0, 12מכילה קבוצת בסיס מהצורה × 0, n1 ) 12 − n1 , 21 + n1חתוכה עם המסרק( ל n-מספיק גדול ,ולכן ניתן להציג אותה כאיחוד די פשוט של שתי פתוחות זרות. 14 קשירות מסילתית הגדרות: • יהי Xמרחב טופולוגי .פונקציה רציפה α : [a, b] → Xל,a < b ,a, b ∈ R- נקראת מסילה. • יהי Xמרחב טופולוגי ויהיו .p, q ∈ Xנאמר כי מסילה α : [a, b] → Xמחברת את ,p, qאם .α (a) = p, α (b) = q • מרחב טופולוגי Xנקרא קשיר מסילתית ,אם לכל זוג נקודות בו קיימת מסילה המחברת אותן. • ניתן להגדיר יחס שקילות על מרחב טופולוגי ,על־ידי x ∼ yאם ורק אם יש מסילה המחברת ביניהן .למחלקות השקילות של יחס זה נקרא מרכיבי קשירות מסילתית. • יהי Xמרחב טופולוגי ותהי .x ∈ Xאומרים כי Xקשיר מסילתית מקומית ב ,x-אם לכל סביבה Wשל xקיימת Vפתוחה וקשירה מסילתית המקיימת .x ∈ V ⊂ W • אומרים כי Xקשיר מסילתית מקומית ,אם הוא כזה בכל .x ∈ X טענה: 31 .1אם Xקשיר מסילתית אז Xקשיר. .2אם Xקשיר מסילתית ו f : X → Y -רציפה ,אז ) f (Xקשירה מסילתית. .3מכפלה כלשהי של מרחבים היא קשירה מסילתית אם ורק אם כל אחד מהמרחבים 25 קשיר מסילתית. .4אם Xקשיר וקשיר מסילתית מקומית ,אז הוא קשיר מסילתית. הוכחה: .1נניח כי Xקשיר מסילתית ונניח בשלילה שהוא אינו קשיר .מההנחה שהוא אינו קשיר נובע שקיימת פונקציה } f : X → {0, 1רציפה ועל .לכן קיימים x, y ∈ Xכך ש .f (x) = 0, f (y) = 1-מההנחה ש X-קשיר מסילתית נובע שקיימת מסילה α : [0, 1] → Xכך ש.α (0) = x, α (1) = y- נתבונן בהרכבה } .f ◦ α : [0, 1] → {0, 1מההנחות נובע שהיא רציפה ועל, כלומר המרחב ] [0, 1אינו קשיר ,בסתירה להיותו קטע. .2יהיו ) .f (p) , f (q) ∈ f (Xמהנתון כי Xקשיר מסילתית נובע שיש מסילה α : [0, 1] → Xהמקיימת .α (0) = p, α (1) = qמכאן כי → ]f ◦ α : [0, 1 ) f (Xהיא מסילה המחברת את ).f (p) , f (q Q .3יהי {Xα }α∈Iאוסף של מרחבים ויהי α∈I Xαמרחב המכפלה שלהם עם טופולוגיית המכפלה. נניח שמרחב המכפלה קשיר מסילתית .לכל β ∈ Iההטלה כיוון ראשוןQ : πβ : α∈I Xα → Xβרציפה ,ומכאן שבהינתן זוג נקודות ב Xβ -כלשהו ,נוכל להרכיב את ההטלה על המסילה שמוגדרת במרחב המכפלה ולקבל את המסילה הדרושה ל.Xβ - כיוון שני :נניח שכל Xαקשיר מסילתית ויהיו (pα )α∈I , (qα )α∈Iאיברים במכפלה .לכל α ∈ Iיש מסילה gβ : [0, 1] → Xβהמחברת את הקואורדינטות ,pβ , qβכלומר .gβ (0) = pβ , gβ (1) = qβ Q נגדיר פונקציה g : [0, 1] → α∈I Xαעל־ידי .t 7→ (gα (t))α∈Iהיא רציפה בכל קואורדינטה ולכן רציפה ,וברור כי .g (0) = (pα )α∈I , g (1) = (qα )α∈I .4בהתאם לקשירות המסילתית המקומית ,לכל x ∈ Xנסמן את הסביבה הקשירה־ מסילתית ב .Ux -תהי .y ∈ Xנגדיר את Aלהיות רכיב הקשירות המסילתית של .yלכל a ∈ Aיש סביבה קשירה מסילתית ,Uaולכן Aפתוחה. S נשים לב כי ,X − A = x∈X−A Uxולכן ) X = A ∪ (X − Aכאיחוד זר של פתוחות ,ולכן בהכרח אחת מהן ריקה .אבל y ∈ Aולכן ∅ = ,X − Aכלומר .A = X הערה :ראינו שקשירות מסילתית גוררת קשירות .אולם ההפך לא נכון .גם קשירות מסילתית מקומית לא גוררת קשירות מסילתית ,וגם לא להפך .נראה דוגמאות לכך. נגדיר את המרחב קשיר אבל לאקשיר מסילתית : .1מרחב 26 כאשר .Γ sin x1 =: x, sin x1 |0 < x < 1 1 x ,X = Γ sin 25 הטענה אינה נכונה בהכרח בטופולוגיית הקופסה. מדובר במרחב המכפלה עם טופולוגיית המכפלה . 26כפי שניתן לראות באיור ,הסגור של גרף הפונקציה ,sin x1הוא הגרף יחד עם הקטע ] [−1, 1בציר ה.y- 32 • Xקשיר :הגרף Γ sin x1קשיר ,כי בשתי הקואורדינטות שלו הוא פונקציה רציפה -בקואורדינטה הראשונה תחת קשירה קבוצה תמונה של זו הזהות ובקואורדינטה השניה זו ,sin x1ובאופן כללי מכפלת מרחבים קשירים היא קשירה .באופן כללי סגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה ,ולכן X = Γ sin x1קשיר. • Xאינו קשיר מסילתית :נראה שלא קיימת מסילה המחברת בין )(0, 0 ל . π1 , sin (π) = π1 , 0 -נניח בשלילה כי α : [0, 1] → Xמסילה המקיימת .α (0) = (0, 0) , α (1) = π1 , 0נסמן את שתי הקואורדינטות שלה )).α (t) = (β (t) , γ (t ∞ מרציפות αנובע ממשפט ערך הביניים שקיימת סדרה ,(tn )n=1כך שעליה ∞ 2 2 2 . 3πכלומר (tn )n=1סדרה , 5π , ..., (2n+1)π βתקבל את ערכי הביניים , ... 2 חיובית יורדת ,כך שמתקיים .β (tn ) = (2n+1)πהסדרה tnיורדת וחסומה שגם הסדרה ) γ (tnצריכה להתכנס .אולם נשים לב ולכן מתכנסת ,ומכאן n כי )= (−1 (2n+1)π 2 ,γ (tn ) = sinבסתירה לרציפות .γ .2מרחב קשיר מסילתית מקומית אבל לא קשיר מסילתית :זוג קטעים ממשיים זרים. .3מרחב קשיר מסילתית אבל לא קשיר מסילתית מקומית :מרחב המסרק שהגדרנו לעיל. מסקנה :לכל ,1 < nהמרחבים Rn ,Rאינם הומאומורפיים. הוכחה :נניח בשלילה שקיים הומאומורפיזם .f : Rn → Rנתבונן בצמצום f |Rn \{0} : }) .Rn \ {0} → R\ {f (0צמצום של פונקציה רציפה הוא פונקציה רציפה ,ולכן אם התחום קשיר גם הטווח צריך להיות קשיר .אבל ברור כי } Rn \ {0קשיר ל,1 < n- בעוד }) R\ {f (0אינו קשיר . 33 V חלק קומפקטיות הגדרות: • יהי Xמרחב טופולוגי ,תהי {xn }n∈N ⊂ Xסדרה ויהי .x ∈ Xאומרים כי {xn }n∈Nמתכנסת ל ,x-אם כל סביבה של xמכילה את כל {xn }n∈Nלמעט, אולי ,מספר סופי של מקרים. • מרחב טופולוגי Xנקרא קומפקטי סדרתית ,אם לכל סדרה {xn }n∈Nקיימת תת־סדרה מתכנסת. קבוצות פתוחות ב .X-אומרים • יהי Xמרחב טופולוגי ויהי {Uα }α∈Iאוסף S שאוסף זה הוא כיסוי פתוח של ,Xאם .X = α∈I Uα • מרחב טופולוגי Xנקרא קומפקטי ,אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת־כיסוי סופי. • יהי Xמרחב טופולוגי ויהי {Vα }α∈Iאוסף קבוצות סגורות ב .X-אומרים שמתקיימת תכונת החיתוך הסופי לאוסף ,אם חיתוך כל תת־אוסף סופי לא ריק. טענה: .1מרחב טופולוגי Xהוא קומפקטי אם ורק אם כל אוסף של קבוצות סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי ,מקיים גם שהחיתוך של האוסף כולו לא ריק. .2יהי Xמרחב טופולוגי קומפקטי ותהי f : X → Yרציפה ,אזי גם )f (X קומפקטי. מטענה זו נובע שקומפקטיות היא תכונה טופולוגית ,כלומר נשמרת תחת הומאומורפיזם. .3קבוצה סגורה במרחב קומפקטי ,היא קומפקטית בטופולוגיה המושרית עליה. .4קבוצה קומפקטית במרחב האוסדורף ,היא סגורה. {Xα }α∈I Qאוסף של מרחבים קומפקטיים ,אזי גם מרחב .5משפט טיכונוף :אם המכפלה α∈I Xαבטופולוגיית המכפלה הוא מרחב קומפקטי. זה משפט קשה ,ואת ההוכחה שלו ניתן בהמשך. הוכחה: .1כיוון ראשון :נניח כי Xקומפקטי וכי {Vα }α∈Iאוסף של סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי .נניח בשלילה שהחיתוך של האוסף כולו הוא ריק. מההנחה בשלילה נובע שהאוסף {X − Vα }α∈Iמהווה כיסוי פתוח של ,Xכי מתקיים: [ \ X − Vα = X − Vα = X − ∅ = X α∈I α∈I מקומפקטיות Xקיים תת־כיסוי סופי ,שנסמן .{X − Vi }i=1,...,nמכאן שמתקיים: ∅ = Vi \ i=1,...,n \ ⇒= Vi i=1,...,n 34 X − Vi = X − [ i=1,...,n =X בסתירה לתכונת החיתוך הסופי. כיוון שני :נניח שכל אוסף של סגורות שמקיים את תכונת החיתוך הסופי ,החיתוך של האוסף כולו אינו ריק .יהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח של ,Xונניח בשלילה שאין לו תת־כיסוי סופי. מההנחה בשלילה נובע שאוסף הסגורות {X − Uα }α∈Iמקיים את תכונת החיתוך הסופי ,כי לכל nטבעי מתקיים: \ [ X − Ui = X − ∅ =Ui 6 i=1,...,n i=1,...,n נובע שהחיתוך של כל האוסף {X − Uα }α∈Iאינו ריק .אבל לכן מההנחה S מתקיים ,X = α∈I Uαולכן: [ \ ∅=X− = Uα X − Uα α∈I α∈I וזו סתירה. .2יהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח של ) .f (Xמהיות ) f (Xתת־מרחב של Yנובע שקבוצה פתוחה בו היא מהצורה ) W ∩ f (Xל W -פתוחה ב .Y -יהי לפיכך {Wα}α∈Iאוסףהפתוחות המקיימות ) .Uα = Wα ∩ f (Xמכאן כי האוסף f −1 (Wα ) α∈Iהוא כיסוי פתוח של ,Xכי לכל x ∈ Xקיים f (x) ∈ Y שעבורו קיימת f (x) ∈ Wαולכן ) ,x ∈ f −1 (Wαוכן מרציפות fנובע שכל ) f −1 (Wαפתוחה .מקומפקטיות Xנובע שקיים תת־כיסוי סופי של Xמהצורה k k .i ∈ I , f −1 (Wi ) i=1מכאן נובע שהאוסף {Ui }i=1כיסוי פתוח של ).f (X .3תהי Aסגורה במרחב קומפקטי ,Xויהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח של .Aכבהוכחה של ,2יהי {Wα }α∈Iאוסף מתאים של פתוחות ב .X-מכאן כי האוסף } {Wα }α∈I ∪ {X − Aהוא כיסוי פתוח של ,Xומקומפקטיות Xקיים תת־ k k כיסוי סופי מהצורה } ,i ∈ I ,{Wi }i=1 ∪ {X − Aומכאן שהאוסף {Ui }i=1 תת־כיסוי סופי של .A .4נוכיח כי X − Aפתוחה .תהי ,x ∈ X − Aונמצא סביבה פתוחה של xשמוכלת ב.X − A- מהיות Xהאוסדורף נובע שלכל a ∈ Aקיימות פתוחות Ua , Vaזרות ולא ריקות שמפרידות .a ∈ Va ,x ∈ Uaלכן האוסף {Va ∩ A}a∈Aהוא כיסוי פתוח של k ,Aומקומפקטיות Aנובע שקיים תת כיסוי סופי .{Vi ∩ A}i=1 Tk כעת נקבל כי U = i=1 Uiהיא סביבה פתוחה של xשמוכלת ב ,X − A-וזאת כי היא חיתוך סופי של פתוחות ולכן פתוחה ,והיא לא נחתכת עם Aכי כל Ui זרה ל .Vi - מסקנה :יהי Xמרחב קומפקטי ויהי Yמרחב האוסדורף ,אזי כל העתקה רציפה f : X → Y שהיא חח"ע ועל ,היא הומאומורפיזם. הוכחה :הכל נתון למעט העובדה ש f −1 : Y → X-רציפה .נראה את הטענה השקולה שf - היא העתקה סגורה .כלומר לכל A ⊂ Xסגורה f (A) ⊂ Y ,סגורה. 2 3 Xקומפקטי =⇐ A ⊂ Xסגורה ולכן גם קומפקטית =⇐ fרציפה ולכן )f (X 4 קומפקטית =⇐ Yהאוסדורף ולכן f (X) ⊂ Yסגורה . 35 דוגמה :כל תת־קבוצה במרחב } X = {a, bעם הטופולוגיה הטריוויאלית ,היא דוגמה 27 לקבוצה קומפקטית ולא סגורה במרחב קומפקטי. 15 קומפקטיות במרחבים מטריים הגדרות: ∞ • יהי ) (X, dמרחב מטרי .סדרה (xn )n=1 ⊂ Xנקראת סדרת קושי ,אם לכל 0 < εקיים Nטבעי ,כך שלכל N < n, mמתקיים .d (xn , xm ) < ε • מרחב מטרי נקרא שלם ,אם לכל סדרת קושי קיים גבול במרחב. • מרחב מטרי נקרא חסום לחלוטין ,אם לכל 0 < εקיים למרחב כיסוי סופי של כדורים ברדיוס .ε טענה :יהי ) (X, dמרחב מטרי ,אז התנאים הבאים שקולים: X .1קומפקטי. X .2קומפקטי סדרתית. X .3שלם וחסום לחלוטין. הערה :מהאיפיון השלישי נובע שכל קבוצה סגורה וחסומה ב Rn -כלשהו 28 ,היא קומפקטית. הוכחה(2 ⇐= 1) : ∞ {xn }n=1 סדרה ,ונניח בשלילה שלא קיימת לה תת־סדרה מתכנסת .נוסיף תהי ⊂ X 29 ללא הגבלת הכלליות את ההנחה שכל האיברים שונים זה מזה. לכל nטבעי קיימת קבוצה פתוחה Unכך ש .xn ∈ Un -מהיות Xמרחב מטרי נוכל להניח שמדובר בקבוצה בעלת רדיוס מספיק קטן ,כך שלכל k 6= nמתקיים ∈ 30 .xkכי אם לא הייתה קבוצה כזאת עבור xnכלשהו ,אז xnהייתה נקודת / Un הצטברות של הסדרה ,כלומר xnהייתה גבול של תת־סדרה כלשהי ,בניגוד להנחה שאין תת־סדרה מתכנסת. ∞ ∞ נגדיר .U0 = X − {xn }n=1זו קבוצה פתוחה כי אם היה y ∈ X − {xn }n=1שכל סביבה שלו מכילה xnכלשהו ,אז yהייתה נקודת הצטברות של הסדרה ,בניגד להנחה שאין תת־סדרה מתכנסת. ∞ מכאן שהאוסף } {Un }n=1 ∪ {U0הוא כיסוי פתוח של ,Xומקומפקטיות Xנובע שיש m תת־כיסוי סופי מהצורה .{Ui }i=1אבל תת־כיסוי זה לא מכיל את כל איברי הסדרה m אלא רק את {xi }i=1המתאימים ,ולכן לא ייתכן שזה תת־כיסוי ל .X-סתירה. )(3 ⇐= 2 ∞ {xn }n=1 סדרת קושי .מקומפקטיות סדרתית תחילה נראה שהמרחב שלם :תהי ⊂ X ∞ נובע בפרט שקיימת תת־סדרה {xnk }k=1מתכנסת ל x0 ∈ X-כלשהו .אבל מהיותה 27המרחב קומפקטי כי כל מרחב טופולוגי סופי הוא קומפקטי. 28קבוצה חסומה במרחב מטרי היא קבוצה שמוכלת בכדור פתוח. 29כי ניתן לקחת נציג מכל קבוצת איברים שווים ולקבל סדרה חדשה שבה כל האיברים שונים .לו היה רק מספר סופי של כאלה ,קל לוודא שיש תת־סדרה מתכנסת בניגוד להנחה בשלילה. 30במרחב טופולוגי כללי לא ניתן להניח כך .למשל מרחב טופולוגי אינסופי עם הטופולוגיה הטריוויאלית. 36 סדרת קושי נובע שגבול של תת־סדרה הוא גבול של הסדרה כולה ,ולכן קיים לסדרה גבול ,כלומר המרחב שלם. כעת נראה שהמרחב חסום לחלוטין :נניח בשלילה שהמרחב אינו חסום לחלוטין, כלומר קיים 0 < εשעבורו לא ניתן לכסות את Xבמספר סופי של כדורים ברדיוס .εנבנה סדרה שאין לה תת־סדרה מתכנסת ,ובכך נגיע לסתירה. נקבע x1 ∈ Xונבנה סדרה .נבחר ) x2 ∈ X − Bε (x1וכן הלאה .כלומר באופן Sk−1 כללי נבחר ) .xk ∈ X − i=1 Bε (xiנשים לב שקיים xkכזה לכל kמתוך ההנחה שכל אוסף סופי של כדורים ברדיוס εאינו מכסה את המרחב .אם כך נקבל סדרה ∞ ,{xk }k=1שקל לראות שהמרחק בין כל זוג איברים שונים בה הוא לפחות εולכן לא יכולה להיות לה תת־סדרה מתכנסת ,בסתירה לקומפקטיות הסדרתית של .X ∞ ) (2 ⇐= 3תהי {xn }n=1 ⊂ Xסדרה .מהיות Xחסום לחלוטין נובע שעבור ε = 1קיים אוסף סופי של כדורים פתוחים ברדיוס 1המהווה כיסוי של .Xברור כדור פתוח B1המכיל אינסוף איברי הסדרה ,כלומר יש תת־סדרה איזשהו שקיים ∞ . x1n n=1 ⊂ B1מהיות Xחסום לחלוטין נובע שגם עבור ε = 21קיים ל X-כיסוי של כדורים פתוחים ברדיוס , 21ולכן קיים כדור B 12שנחתך עם ,B1כך שיש תת־ ∞ סדרה )של התת־סדרה( המקיימת . x2n n=1 ⊂ B1 ∩ B 21באופן איטרטיבי ,לכל k ∞ Tk−1 טבעי קיים כדור B k1כך שמתקיים . xkn n=1 ⊂ i=1 B 1נשים לב שהקוטר של i Tk−1 31 2 כל קבוצה מהצורה i=1 B 1הוא לכל היותר . k i ∞ k k לכל כדור B k1נבחר נציג xnונקבל סדרה מהצורה ) xn k=1סדרה ב .(k-קל לראות שזו סדרת קושי ,ולכן מההנחה ש X-שלם נובע שיש לתת־סדרה זו גבול במרחב .מכאן ש X-קומפקטי סדרתית. ) (1 ⇐= 2לצורך ההוכחה הזו נגדיר מונח חדש. הגדרה :יהי Xמרחב מטרי ויהי Uכיסוי פתוח כלשהו של .Xנאמר כי 0 < εכלשהו נקרא מספר לבג של ,Uאם לכל כדור ברדיוס εב X-קיימת פתוחה U ∈ U המכילה את הכדור כולו. למה :אם Xמרחב מטרי קומפקטי סדרתית ,אז לכל כיסוי פתוח שלו יש מספר לבג. הוכחה :יהי Xמרחב מטרי קומפקטי סדרתית ויהי Uכיסוי פתוח שלו .נניח בשלילה שאין לו מספר לבג .לכן לכל nטבעי קיימת נקודה xn ∈ Xוכדור פתוח ) B n1 (xnשאינו מוכל כולו באף אחד מאיברי הכיסוי. ∞ נתבונן בסדרה .{xn }n=1מקומפקטיות סדרתית של Xנובע שקיימת תת־ ∞ סדרה מתכנסת .{xnk }k=1 −→ x0 ∈ Xמהיות Uכיסוי נובע שקיימת ∞→k פתוחה U ∈ Uהמכילה את .x0מהיות Uפתוחה נובע שקיים 0 < rכך שמתקיים .x0 ∈ Br (x0 ) ⊂ U 1 r r כעת נבחר kטבעי מספיק גדול כך שמתקיים גם d (x0 , xnk ) < 2וגם nk < 2 ונקבל כי ,B 1 (xn ) ⊂ Br (x0 ) ⊂ U ∈ Uוזו סתירה . k n k נשתמש בתוצאה זו כדי להשלים את הוכחת .1 ⇐= 2יהי {Uα }α∈Iכיסוי פתוח של Xקומפקטי סדרתית .יהי εמספר לבג של הכיסוי. 31קוטר הוא סופרימום המרחקים בין זוגות כלשהם של נקודות בקבוצה. 37 נתבונן בקבוצה } ,B = {Bε (x) |x ∈ Xשהיא כמובן כיסוי פתוח של המרחב. מהגדרת מספר לבג נובע שלכל x ∈ Xקיימת Uαכך שמתקיים .Bε (x) ⊂ Uα לכן מספיק למצוא תת־כיסוי סופי של .B Sונגדיר איטרטיבית, נניח בשלילה שלא קיים תת־כיסוי סופי ל .B-נקבע x1 ∈ X k−1 כמו בחלק קודם של ההוכחה ,לכל kטבעי את ) ,xk ∈ X − i=1 Bε (xiונקבל ∞ ε סדרה {xk }k=1שהמרחק בין כל שני איברים שונים בה גדול מ , 2 -ולכן לא תיתכן לה תת־סדרה מתכנסת ,סתירה . הערה :הראינו שבמרחב מטרי קומפקטיות שקולה לקומפקטיות סדרתית .אולם במרחב טופולוגי כללי לא ניתן ללמוד מקומפקטיות על קומפקטיות סדרתית ,ולא להיפך. נראה דוגמאות לכך. .1מרחב טופולוגי קומפקטי שאינו קומפקטי סדרתית :נסמן ] I = [0, 1ונגדיר את המרחב .X = I Iכלומר זו מרחב מכפלה של I־ים מאורך ,Iעם טופולוגיית המכפלה. בהמשך נוכיח את משפט טיכונוף שממנו ינבע כי Xהוא קומפקטי ,כמכפלה של מרחבים קומפקטיים .נראה כי Xאינו קומפקטי סדרתית. נתייחס למרחב Xכאל אוסף הפונקציות } .{f : I → Iזהו מרחב ולכן מוגדרת בו התכנסות של סדרת פונקציות .נשאיר כתרגיל להוכיח שמתקיים כי סדרה ∞ {fn }n=1מתכנסת ל ,f -אם ורק אם לכל t ∈ Iמתקיים ).fn (t) → f (t לכל t ∈ Iנתבונן בפיתוח הבינארי שלו ,כלומר נציג אותו t = 0.t1 t2 ...ל- } .ti ∈ {0, 1נגדיר לכל nטבעי העתקה ,fn (t) = tnונראה שלסדרה זו אין תת־סדרה מתכנסת. ∞ תהי {nk }k=1תת־סדרת אינדקסים כלשהי .כפי שהזכרנו ,כדי להראות שהתת־ ∞ סדרה המתאימה {fnk }k=1אינה מתכנסת ,די להראות שקיים t0 ∈ Iשעבורו }) {fnk (t0אינה מתכנסת. נגדיר t0 = 0.t1 t2 ...כאשר לכל kזוגי tnk = 0ולכל kאי־זוגי .tnk = 1בשאר ∞ המקומות נבחר tiשרירותי .נבחין כי הסדרה {fnk (t0 )}k=1היא 0, 1, 0, 1, ... ולכן לא יכולה להתכנס. .2מרחב טופולוגי קומפקטי סדרתית שאינו קומפקטי :נסמן ] I = [0, 1ונתבונן I במרחב } X = {0, 1כאשר } {0, 1מרחב דיסקרטי .המרחב Xהוא קומפקטי, כפי שנובע ממשפט טיכונוף שנוכיח בהמשך .נתבונן בתת־מרחב שלו Yשכולל את כל ה x =: (xα )α∈[0,1] ∈ X-שעבורם מתקיים xα = 1לכל היותר במספר בן־מניה של מקרים. • נראה כי Yאינו קומפקטי :לכל ] α ∈ [0, 1נסמן }.Uα = {x ∈ Y |xα = 0 כלומר הx-־ים שעבורם xαנמצא מחוץ לקבוצה בת המניה הנ"ל. נשים לב שלכל ] α ∈ [0, 1מתקיים כי )} ,Uα = Y ∩ πα−1 ({0ולכן היא פתוחה .כמו־כן הקבוצה ] {Uα }α∈[0,1היא כיסוי פתוח ל ,Y -כי לכל x ∈ Yיש קבוצה בת־מניה לכל היותר של אינדקסים שבהם הוא ,1ולכן קיים ] β ∈ [0, 1כלשהו )כי ] [0, 1אינו בן־מניה( שעבורו xβ = 0ומכאן כי .x ∈ Uβאבל ברור מאליו שלכיסוי זה אין תת־כיסוי סופי ,ולכן Yאינו קומפקטי. ∞ • נראה כי Yקומפקטי סדרתית :תהי {xn }n=1 ⊂ Yסדרה כלשהי .לכל xnבסדרה יש קבוצה לכל היותר בת־מניה של אינדקסים בהם הוא ,1 38 נגדיר את Jלהיות איחוד כל הקבוצות הללו על כל איברי הסדרהJ . קבוצות בנות־מניה ולכן היא בת־מניה .נתבונן במרחב איחוד בן־מניה של Q המכפלה . α∈J {0, 1}αממשפט טיכונוף שנוכיח בהמשך נובע כי זה מרחב קומפקטי ,ומהיות Jבת־מניה נובע כי מרחב זה מטריזבילי 32 .לכן מהקומפקטיות נובעת גם קומפקטיות סדרתית. 16 קומפקטיות ורציפות בממשיים משפט :יהי Xמרחב טופולוגי קומפקטי ותהי f : X → Rהעתקה רציפה .אזי מתקיים: f .1חסומה בR- f .2מקבלת מקסימום ומינימום .3אם Xמטריזבילי ,אז fרציפה במידה־שווה ביחס למטריקה המשרה. 33 הוכחה: .1קל לראות כי הקבוצה {(−n, n)}n∈Nהיא כיסוי פתוח של .R מרציפות fנובע כי f −1 ((−n, n)) n∈Nכיסוי פתוח של .Xמקומפקטיות X k נובע שקיים תת־כיסוי סופי מהצורה . f −1 ((−ni , ni )) i=1כלומר מתקיים Sk )) ,X = i=1 f −1 ((−ni , niומכאן כי ) ) f (X) ⊂ (−nk , nkכאשר nkהוא הקטע המקסימלי( ולכן fחסומה. להראות כי M .2נסמן |) .M = supx∈X |f (xהראינו כי ∞ < ,Mכעת יש מתקבל כערך של .fנתבונן באוסף . f −1 ([M − ε, M ]) ε∈Rמרציפות f נובע שקבוצות אלו סגורות ,וקל לראות שמתקיימת לגביהן תכונת החיתוך הסופי. שגם החיתוך כולו אינו ריק ,משמע קיים x ∈ Xהמקיים מקומפקטיות Xנסיק T )] ,x ∈ ε∈R f −1 ([M − ε, Mולכן בהכרח .f (x) = Mבאותו אופן ניתן לראות כי fמקבלת גם מינימום. את הטופולוגיה שלו .יהי .0 < εנתבונן .3תהי d מטריקה על Xשמשרה באוסף , f −1 t − 2ε , t + 2εשמרציפות fנובע שהוא כיסוי פתוח של t∈R .Xמקומפקטיות Xנובע שקיים לכיסוי זה מספר לבג ,נבחר את δלהיות מספר לבג זה .מתכונת מספרלבג נובע שלכל x, y ∈ Xהמקיימים ) y ∈ Bδ (xקיים t ∈ Rכך שמתקיים ,Bδ (x) ⊂ f −1 t − 2ε , t + 2εמשמע ⊂ ))f (Bδ (x t − 2ε , t + 2εולכן .d (f (x) , f (y)) < ε P −i 32 ∞ .d (x, y) =: על־ידי המטריקה ) i=0 2 di (xi , yi 33הגדרה :בהינתן מרחבים מטריים ) (X, d) ,(Y, ρוהעתקה ,f : X → Yאומרים כי fרציפה במידה־שווה אם לכל 0 < εקיים ,0 < δכך שלכל x1 , x2 ∈ Xאם d (x1 , x2 ) < δאז .ρ (f (x1 ) , f (x2 )) < ε 39 17 משפט טיכונוף משפט :מכפלה כלשהי של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים ,היא קומפקטית בטופולוגיית המכפלה. הערה :משפט זה שקול לאקסיומת הבחירה. 34 באקסיומת הבחירה. במהלך ההוכחה נציין את השימוש סקירת ההוכחה :נוכיח את המשפט על דרך השלילה .נניח בשלילה שמרחב המכפלה אינו קומפקטי ,לכן יש כיסוי פתוח Oשאין לו תת־כיסוי סופי. נבנה איבר xבמכפלה שמקיים תכונה משונה למדי :כל קבוצת בסיס של טופולוגיית המכפלה שמכילה את ,xאינה ניתנת לכיסוי על־ידי מספר סופי של איברי .O זו תכונה לגמרי לא הגיונית ,כי מהיות Oכיסוי נובע שיש קבוצת בסיס O ∈ O שמכילה את .xלכן Oהיא סביבה של xשמכוסה על־ידי עצמה ,מן הסתם ,וזו סתירה לתכונה של .x את הקיום של xהנ"ל נבנה באינדוקציה .תחילה אינדוקציה סטנדרטית ,עבור אוספים סופיים ובני־מניה ,ולבסוף נשלים את ההוכחה למקרה הכללי באינדוקציה טרנספיניטית )ובמקרה הכללי נשתמש באסיומת הבחירה(. טענה :1יהיו X1 , X2מרחבים טופולוגיים ונניח כי X1קומפקטי ,ויהי Oכיסוי פתוח של .X1 × X2 אזי קיימת ,x1 ∈ X1כך שלכל סביבה פתוחה U ⊂ X1של ,x1הקבוצה U × X2 אינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O הוכחה :נניח בשלילה שאין x1כנ"ל .לכן לכל x ∈ X1קיימת סביבה פתוחה Uxשל ,xכך שהקבוצה Ux × X2מכוסה סופית על־ידי איברי .O האוסף {Ux }x∈X1הוא כיסוי פתוח של ,X1ומקומפקטיות X1יש לו תת־כיסוי סופי Sn n מהצורה 35 .{Uxi }i=1נשים לב שמתקיים .X1 × X2 = i=1 Uxi × X2 מההנחה בשלילה שבראשית הוכחה זו נובע שכל Uxi × X2מכוסה סופית על־ידי איברי ,Oולכן X1 × X2מכוסה סופית על־ידי איברי ,Oבסתירה להנחה בשלילה הכללית של O-אין תת־כיסוי סופי . טענה :2יהיו X1 , X2מרחבים טופולוגיים ונניח כי שניהם קומפקטיים ,ויהי Oכיסוי פתוח של .X1 × X2 נשים לב שבפרט X1קומפקטי .לכן אנו עומדים בתנאי הטענה הקודמת וקיימת x1 ∈ X1כנ"ל. אזי קיימת גם ,x2 ∈ X2כך שלכל סביבה פתוחה V ⊂ X2של x2ולכל סביבה פתוחה U ⊂ X1של ,x1הקבוצה U × Vאינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O הוכחה :נניח בשלילה שאין x2כנ"ל .לכן לכל y ∈ X2קיימת סביבה פתוחה Vyשל y וסביבה פתוחה Uyשל x1המתאימה ל ,y-כך שהקבוצה Uy × Vyמכוסה סופית על־ידי איברי .O 34בערך Tychono's theoremבוויקיפדיה מצויה הוכחה של אקסיומת הבחירה מתוך משפט טיכונוף. 35הסימון פה לא מושלם כי x1כאן אינו x1מתחילת ההוכחה ,אבל זה לא יפריע. 40 האוסף {Vy }y∈X2הוא כיסוי פתוח של ,X2ומקומפקטיות X2יש לו תת־כיסוי סופי m מהצורה . Vyj j=1 Sm Sm Tm נגדיר .U = j=1 Uyjמתקיים .U × X2 = j=1 U × Vyj ⊂ j=1 Uyj × Vyj מההנחה בשלילה שבהוכחה זו נובע שכל Uyj × Vyjמכוסה סופית על־ידי איברי ,O ולכן U × X2מכוסה סופית על־ידי איברי ,Oסתירה לטענה .1 • מסקנת ביניים -משפט טיכונוף למכפלות סופיות :מכפלה סופית של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים ,היא קומפקטית בטופולוגיית המכפלה. הערה :עקרונית אין צורך להוכיח את המסקנה הזו בנפרד ,כי מיד נוכיח את המשפט באופן כללי .אבל ההוכחה למכפלות סופיות תיתן אינטואיציה להמשך. הוכחה :נוכיח באינדוקציה על מספר המרחבים .למקרה n = 2מתקיים כי אם Oכיסוי פתוח כלשהו של X1 × X2ל X1 , X2 -קומפקטיים ,ובשלילה אין לו תת־כיסוי סופי ,אז מטענה 2נובע שיש (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2כך שלכל סביבה פתוחה U ⊂ X1של x1ולכל סביבה פתוחה V ⊂ X2של x2הקבוצה U × V אינה מכוסה סופית על־ידי ,Oאבל זה כמובן לא הגיוני כי Oכיסוי של כל .X1 × X2 וכעת קל להסיק את המקרה הסופי הכללי באינדוקציה. טענה :3יהיו X1 , X2 , X3מרחבים טופולוגיים ונניח כי X2קומפקטי ,ויהי Oכיסוי פתוח של .X1 × X2 × X3 נניח עוד שקיים ,x1 ∈ X1כך שלכל סביבה פתוחה U ⊂ X1שמכילה את ,x1 הקבוצה U × X2 × X3אינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O אזי קיימת ,x2 ∈ X2כך שלכל סביבה פתוחה U ⊂ X1 ,V ⊂ X2המכילות את x1 , x2בהתאמה ,הקבוצה U × V × X3אינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O הוכחה :נניח בשלילה שאין x2כנ"ל .לכן לכל y ∈ X2קיימת סביבה פתוחה Vyשל y וסביבה פתוחה Uyשל x1המתאימה ל ,y-כך שהקבוצה Uy × Vy × X3מכוסה סופית על־ידי איברי .O האוסף {Vy }y∈X2הוא כיסוי פתוח של ,X2ומקומפקטיות X2יש לו תת־כיסוי סופי m מהצורה . Vyj j=1 Tm נגדיר .U = j=1 Uyjמתקיים: Uyj × Vyj × X3 m [ ⊂ U × Vyj × X3 j=1 m [ = U × X2 × X3 j=1 מההנחה בשלילה שבהוכחה זו נובע שכל Uyj × Vyj × X3מכוסה סופית על־ידי איברי ,Oולכן U × X2 × X3מכוסה סופית על־ידי איברי ,Oסתירה לטענה .1 בנות־מניה :נראה שאם {Xi }i∈Nאוסף של מרחבים הוכחת משפט טיכונוף למכפלות Q קומפקטיים ,אז המכפלה i∈N Xiהיא מרחב קומפקטי בטופולוגיית המכפלה. יהי Oכיסוי פתוח כלשהו של מרחב המכפלה ,ונניח בשלילה שאין לו תת־כיסוי סופי. 41 Q נבנה באינדוקציה איבר x ∈ i∈N Xiשכל סביבה שלו אינה מכוסה סופית על־ ידי איברי ,Oוברגע שנמצא איבר כזה נקבל סתירה כפי שהוסבר בסקירה בתחילת ההוכחה. Q נסמן באופן כללי את "זנבות" המכפלה .Yk =: k≤i∈N Xiכעת נבנה את האיבר המבוקש ) x =: (x1 , x2 , ...באינדוקציה. :x1נתבונן ב .X1 × Y2 -טענה 1קובעת שיש ,x1 ∈ X1כך שלכל סביבה פתוחה U1 ⊂ X1של ,x1הקבוצה U1 × Y2אינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O :x2נתבונן ב .X1 ×X2 ×Y3 -טענה 3קובעת שיש ,x2 ∈ X2כך שלכל סביבה פתוחה U2 ⊂ X2של x2ולכל סביבה פתוחה U1 ⊂ X1של ,x1הקבוצה U1 × U2 × Y3 אינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O ... :xnנתבונן ב .X1 × X2 × ... × Xn−1 × Xn × Yn+1 -מהנחת האינדוקציה יש נקודה (x1 , x2 , ..., xn−1 ) ∈ X1 × X2 × ... × Xn−1כך שלכל אוסף סביבות פתוחות Qn−1 Ui ⊂ Xiשל i = 1, ..., n − 1 ,xiבהתאמה ,הקבוצה i=1 Ui × Ynאינה מכוסה 36 xn ∈ XQכך שלכל סביבה פתוחה סופית על־ידי איברי .Oטענה 3קובעת שיש n n−1 Un ⊂ Xnשל xnהקבוצה i=1 Ui × Xn × Ynאינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O התכונה הרצויה. אם כך האיבר x =: (xn )n∈Nמוגדר .נראה שהוא אכן מקיים את Q נשים לב שבטופולוגיית המכפלה סביבה של xהיא מהצורה , i∈N Wiכאשר = Wi Xiלכל ,iלמעט מספר סופי של מקרים. שלכל N < nמתקיים ,Wn = Xnונקבל שהקבוצה האינדקס המקיים QN נסמן ב N -את ∞Q הפתוחה i=1 Wi × i=N +1 Xiלא מכוסה סופית על־ידי איברי Oלפי בניית ,x וזו סתירה כפי שהסברנו בסקירה בתחילת ההוכחה . הכללי :נראה שאם {Xα }α∈Iאוסף של מרחבים קומפקטיים ,אז הוכחת משפט טיכונוף Q 37 המכפלה α∈I Xαהיא מרחב קומפקטי בטופולוגיית המכפלה. יהי Oכיסוי פתוח כלשהו של מרחב המכפלה ,ונניח בשלילה שאין לו תת־כיסוי סופי. כעת נניח את אקסיומת הבחירה ,השקולה למשפט הסידור הטוב ,ונניח שקיים סדר טוב על קבוצת האינדקסים .IQמהיות Iסדורה היטב נוכל לבנות באינדוקציה טרנספיניטית איבר x ∈ α∈I XIשכל סביבה שלו אינה מכוסה סופית על־ידי איברי ,Oוברגע שנמצא איבר כזה נקבל סתירה כפי שהוסבר בסקירה בתחילת ההוכחה. יהי .α ∈ Iנניח שלכל β ∈ Iהמקיים β < αהגדרנו את הרכיב ,xβ ∈ Xβכך סביבות פתוחות Uβ ⊂ XβQהמכילות את xβ־ים ,על כל ,β < αהקבוצה שלכל Q β<α Uβ × α≤β Xβאינה מכוסה סופית על־ידי .O Qכך שלכל סביבה פתוחה Uα ⊂ Xαשל xαהקבוצה קובעת שיש xα ∈ Xα טענה Q 3 β<α Uβ × Xα × α<β Xβאינה מכוסה סופית על־ידי איברי .O אם כך האיבר x =: (xα )α∈Iמוגדר ,וכמו במקרה של מכפלות בנות־מניה ניתן לראות שכל סביבה של xלא מכוסה סופית על־ידי ,Oוזו סתירה . 36בסימוני טענה ”X1 ” ,3הוא X1 × ... × Xn−1כאן ”X2 ” ,הוא Xnכאן ,ו ”X3 ”-הוא Yn+1כאן. 37למעט הנחת אקסיומת הבחירה ,לא יהיה הבדל מהותי בין הוכחה זו לבין ההוכחה למכפלות בנות־מניה. 42 דוגמה נגדית למשפט טיכונוף בטופולוגיית הקופסה :המרחב ] [0, 1קומפקטי ,אולם נראה N שבטופולוגיית הקופסה המרחב ] [0, 1אינו קומפקטי ,על־ידי בניית כיסוי פתוח שאין לו תת־כיסוי סופי. נסמן .U1 = 31 , 1 ,U0 = 0, 23קל לראות שאלו קבוצות פתוחות ב ,[0, 1]-וכי שתיהן יחד מהוות כיסוי. N כל ] (xn )n∈N ∈ [0, 1ניתן לייצג כפונקציה .f : N → [0, 1]Qאם כך לכל איבר במכפלה שמיוצג על־ידי fכלשהי ,נגדיר ) .Uf = n∈N Uf (nהאוסף }]{Uf |f : N → [0, 1 N N מהווה כיסוי פתוח של ] .[0, 1מצד שני לא ניתן לקבל את כל איברי ] [0, 1מתוך אף תת־קבוצה סופית של אוסף זה. 18 קומפקטיות במרחבי פונקציות רציפות הגדרות: • יהי ) (X, dמרחב מטרי קומפקטי .נגדיר את הקבוצה },C (X) =: {f : X → C|f is continuous ונגדיר עליה את "מטריקת הסופרימום" |).ρ (f, g) =: supx∈X |f (x) − g (x ניתן להראות שתחת מטריקה זו C (X) ,הוא מרחב מטרי שלם. • ) F ⊂ C (Xנקראת רציפה במידה אחידה ,אם לכל 0 < εקיים 0 < δכך שלכל x, y ∈ Xולכל ,f ∈ Fאם d (x, y) < δאז .|f (x) − f (y)| < ε • ) F ⊂ C (Xנקראת חסומה ,אם קיים M ∈ Rכך שלכל f ∈ Fולכל x ∈ X מתקיים .|f (x)| < M משפט ארזלה־אסקולי :לכל תת־קבוצה ) F ⊂ C (Xשהיא חסומה ורציפה במידה אחידה, קיימת סדרה מתוכה שמתכנסת. מסקנה :תת־קבוצה ) F ⊂ C (Xהיא קומפקטית ,אם ורק אם היא סגורה ,חסומה ורציפה במידה אחידה. משפט זה הוכח בקורס קודם. 19 קומפקטיות במרחבי האוסדורף תזכורת: • מרחב טופולוגי נקרא האוסדורף ,אם כל זוג נקודות שונות ניתנות להפרדה. • מרחב טופולוגי נקרא נורמלי ,אם כל זוג קבוצות סגורות וזרות ניתנות להפרדה. – מרחב טופולוגי הוא נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה ,Aלכל סביבה Uשל Aקיימת Vפתוחה כך שמתקיים .A ⊂ V ⊂ V ⊂ U טענה :מרחב האוסדורף קומפקטי הוא נורמלי. הוכחה :יהי Xמרחב האוסדורף קומפקטי ,ויהיו A, B ⊂ Xסגורות וזרות .נרצה למצוא להן הפרדה. 43 מהיות Xהאוסדורף נובע שלכל זוג b ∈ B ,a ∈ Aקיימות Va,b ,Ua,bפתוחות וזרות, עבורן .b ∈ Va,b ,a ∈ Ua,b לכל ,b ∈ Bהאוסף {Ua,b ∩ A}a∈Aמהווה כיסוי פתוח של .Aהראינו שקבוצה סגורה במרחב קומפקטי היא קומפקטית בטופולוגיה המושרית עליה .לכן Aקיים n תת־כיסוי סופי מהצורה .{Uai ,b ∩ A}i=1 S עבור bהנ"ל נגדיר ˜b = n Ua ,b − B .Uקל לראות שזו קבוצה פתוחה )איחוד של i i=1 T n פתוחות ,פחות סגורה( וזרה ל .B-נגדיר .V˜b = i=1 Vai ,bקל לראות שזו קבוצה פתוחה )חיתוך סופי של פתוחות( ,ומכיוון שכל Vai ,bזרה ל ,Uai ,b -אז גם V˜bזרה .Uאם כך קיבלנו כי ˜b , V˜b ל˜b - Uפתוחות וזרות ,ומפרידות את Aמ.b- n o V˜b ∩ Bמהווה כיסוי פתוח של .B כעת נשחרר את ,bונקבל שהאוסף b∈B ) Bכקבוצה סגורה במרחב קומפקטי( קיים תת־כיסוי סופי מהצורה מקומפקטיות n om . V˜bj ∩ B j=1 ˜ Tm ˜ Sn כעת נגדיר .U = j=1 Ubj ,V = i=1 Vbiהן פתוחות וזרות ,וניתן לראות מהבנייה כי U, Vמפרידות את A, Bבהתאמה . הגדרה :מרחב טופולוגי נקרא קומפקטי מקומית ,אם לכל נקודה בו קיימת קבוצה קומפקטית המכילה סביבה של .x דוגמה Q :אינו קומפקטי מקומית ,כי כל סביבה פתוחה של ,0למשל ,מכילה קטע מהצורה .(−ε, ε) ∩ Qניקח סדרת קושי שיש לה גבול לא רציונלי ,ולא תהיה לה תת־סדרה מתכנסת. טענה :מרחב האוסדורף הוא קומפקטי מקומית אם ורק אם לכל נקודה בו יש סביבה פתוחה בעלת סגור קומפקטי. הוכחה :יהי Xמרחב האוסדורף .בכיוון אחד ,אם לכל נקודה יש קבוצה סגורה קומפקטית שמכילה אותה ,אז בבירור מתקיימת קומפקטיות מקומית .נראה את הכיוון השני. נניח ש X-גם קומפקטי מקומית ותהי .x ∈ Xלכן קיימת סביבה קומפקטית W ⊂ X המכילה את .xמהיות Wסביבה נובע שקיימת פתוחה U ⊂ Wהמכילה את .xמהיות Xהאוסדורף נובע שכל קבוצה קומפקטית בו היא סגורה ,ולכן .x ∈ U ⊂ U ⊂ W קיבלנו ש U -סגורה בקבוצה קומפקטית ,ולכן קומפקטית בעצמה . 20 קומפקטיפיקציה הגדרה :יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים .אומרים כי Yהוא קומפקטיפיקציה של ,Xאם Y קומפקטי) X ⊂ Y ,אולי עד כדי הומאומורפיזם( וכן .X = Y הגדרה :יהי ) (X, Tמרחב טופולוגי .נגדיר את הקומפקטיפיקציה החד־נקודתית של X באופן הבא: ˆ נסמן ב ”∞”-נקודה כלשהי שאינה ב .X-נגדיר קבוצה חדשה }∞{∪ X = Xונגדיר עליה את הטופולוגיה: n o ˆ − C|C ⊂ X is compact Tˆ =: T ∪ X 44 תרגיל :לבדוק שזו אכן טופולוגיה. ב .X-וזאת כי כל פתוחה ˆ הערה :אם Xאינו קומפקטי אז Xצפוף ˆ ב X-המכילה את ∞ ,Xואם Xאינו קומפקטי אז תמיד }∞{ =ˆ − C 6 היא מהצורה ˆ − C Xולכן מכיל נקודה ב.X- טענהˆ Tˆ : X,מרחב קומפקטי. הוכחה :יהי Oכיסוי פתוח כלשהו של ˆ .Xככיסוי O ,צריך להכיל בפרט גם את ∞ ולכן ˆ לפחות קבוצה אחת מהצורה X − Cל C ⊂ X-קומפקטית ב .X-נשים לב יש בו ˆ ˆ שמתקיים .X = C ∪ X − Cאת Cניתן לכסות סופית על־ידי איברי Oכי היא קומפקטית ,וˆ − C- Xפתוחה מהגדרת ˆ Tובחרנו אותה להיות ב ,O-לכן סך הכל מתקבל תת־כיסוי סופי של איברי .O טענה :אם ) (X, Tקומפקטי מקומית והאוסדורף ,אזי ˆˆ T X,האוסדורף. הוכחה :יהיו ˆ .x, y ∈ Xאם x, y ∈ Xאז הן ניתנות להפרדה כי Xהאוסדורף ,לכן נניח .y = ∞ ,x ∈ Xמקומפקטיות מקומית של Xקיימת סביבה קומפקטית U ⊂ X של .xלכן נקבל שהפתוחות ˆ − U U o , Xמפרידות את .x, y 45 חלק VI דלילות )(nowhere dense הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי .קבוצה A ⊂ Xנקראת דלילה אם X − Aצפופה ב.X- במילים אחרות :לכל קבוצה פתוחה ולא ריקה U ⊂ Xמתקיים כי ∅ =. X − A ∩U 6 דוגמה :הקבוצות Z, n1 n∈Nדלילות ב.R- הערה :קל לראות שאם קבוצה A ⊂ Xלא צפופה באף קבוצה פתוחה ) U ⊂ Xבטופולוגיה המושרית( ,אז היא דלילה. הערה :קבוצה A ⊂ Xדלילה אם ורק אם ל A-פנים ריק) .ההוכחה מושארת כתרגיל(. הגדרה :אומרים שקבוצה A ⊂ Xהיא מקטגוריה ראשונה ,אם היא איחוד בן־מניה לכל 38 היותר של קבוצות דלילות .אחרת אומרים שהיא מקטגוריה שנייה. דוגמה :הקבוצה Qאינה דלילה בS,R-כי Q = Rולכן ∅ = .R − Qאולם היא בכל זאת מקטגוריה ראשונה ,כי } Q = q∈Q {qוזה איחוד בן־מניה של קבוצות דלילות. 21 משפט הקטגוריה של בייר מטרי שלם .אזי לכל אוסף משפט :יהי Xמרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף או מרחב S בן־מניה של קבוצות דלילות {An }n∈Nמתקיים כי X − n∈N Anצפופה ב.X- מסקנה :כל מרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף וכל מרחב מטרי שלם הם מקטגוריה שנייה. Sהם היו איחוד בן־מניה של דלילות {An }n∈N כי אם הם היו מקטגוריה ראשונה אז כלשהן ,והיינו מקבלים ∅ = .X − n∈N An הוכחה39 :יהי Xמרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף ,ויהי {An }n∈Nאוסף כלשהו של קבוצות דלילות במרחב .נניח ללא הגבלת הכלליות שכולן סגורות )כי נוכל לקחת את אוסף הסגורים שלהן(. S כדי להראות כי X − n∈N Anצפופה ב X-די להראות שלכל קבוצה פתוחה ולא S ריקה U ⊂ Xמתקיים ∅ =. X − n∈N An ∩ U 6 נשתמש בכך ש X-קומפקטי האוסדורף ,ולכן כפי שהראינו לעיל נובע שהוא נורמלי. 40 נתון כי A1דלילה וסגורה ,ולכן מההגדרה נובע כי ∅ = U1 =: U ∩ (X − A1 ) 6וזו קבוצה פתוחה .תהי .a1 ∈ U1 Xנורמלי ולכן קיימת V1פתוחה המקיימת .a1 ∈ V1 ⊂ V1 ⊂ U1 ⊂ U נשים לב כי ∅ = U1 ∩ A1וכי ,V1 ⊂ U1ולכן ∅ = .V1 ∩ A1 נתון כי A2דלילה וסגורה ,ולכן מההגדרה נובע כי ∅ = U2 =: (X − A2 ) ∩ V1 6וזו קבוצה פתוחה .תהי .a2 ∈ U2 Xנורמלי ולכן קיימת V2פתוחה המקיימת .a2 ∈ V2 ⊂ V2 ⊂ U2 ⊂ V1 ⊂ U 38קטגוריה ראשונה במרחבים טופולוגיים היא המקבילה הטופולוגית למידה אפס במרחבים מטריים. 39נוכיח את הנוסח למרחבים טופולוגיים .ההוכחה למרחבים מטריים בנויה באופן דומה ,בשינויים קטנים. 40בשלב זה בהוכחת הנוסח למרחבים מטריים משתמשים בכך שכל מרחב מטרי הוא נורמלי. 46 נשים לב כי ∅ = ) U2 ∩ (A1 ∪ A2וכי ,V2 ⊂ Uולכן ∅ = ) .V2 ∩ (A1 ∪ A2 n ובאופן כללי ,לאחר nצעדים נקבל אוסף פתוחות {Vj }j=1המקיימות Vj ⊂ Vj−1 S n ∩ .Vn וכן גם ∅ = j=1 Aj לכן Vn n∈Nהוא אוסף של סגורות המקיים את תכונת החיתוך הסופי ,ומקומפקטיות T Xנובע שהחיתוך כולו אינו ריק 41 .תהי .a ∈ n∈N Vn ⊂ U S S ∈ ,aולכן ,a ∈ X − n∈N An ∩ Uכנדרש . נשים לב כי / n∈N An הגדרה :מרחב טופולוגי נקרא מושלם ,אם כל נקודה בו היא נקודת הצטברות. כלומר מרחב טופולוגי Xהוא מושלם אם לכל x ∈ Xולכל U ⊂ Xפתוחה המכילה את xקיים y ∈ Uכך ש.x 6= y- מסקנה :אם Xמרחב טופולוגי קומפקטי האוסדורף וגם מושלם ,אז הוא לא בן־מניה. הוכחה X :מושלם והאוסדורף ולכן כל יחידון } {xהוא קבוצה דלילה ,כי מהיות המרחב o o האוסדורף .{x} = {x} = ∅Sנניח בשלילה כי Xקומפקטי ובן מניה ,אזי מתקיים } X = x∈X {xכאיחוד בן־מניה של קבוצות דלילות ,בסתירה למסקנה ממשפט בייר . 41בשלב זה בהוכחת הנוסח למרחבים מטריים משתמשים בהנחת השלמות. 47 חלק VII מרחבי מנה תזכורת :תהי Xקבוצה .אומרים שקבוצה R ⊂ X × Xהיא יחס שקילות על ,Xאם מתקיימים שלושת התנאים הבאים: .1לכל x ∈ Xמתקיים (x, x) ∈ R .2לכל x, y ∈ Xמתקיים כי אם (x, y) ∈ Rאז גם (y, x) ∈ R .3לכל x, y, z ∈ Xמתקיים כי אם (x, y) ∈ Rוגם (y, z) ∈ Rאז גם (x, z) ∈ R באופן כללי ,אם (x, y) ∈ Rמסמנים .x ∼ y בהינתן קבוצה Xעם יחס שקילות Rעליה ,מחלקת שקילות של איבר x ∈ Xמוגדרת להיות } .[x] =: {y ∈ X|x ∼ yלכל x ∈ Xמתקיים ∅ = ,[x] 6כי ].x ∈ [x בהינתן קבוצה Xעם יחס שקילות Rעליה ,מסמנים את אוסף כל מחלקות השקילות 42 של Xב .X/R-קל לראות שהאוסף X/Rמגדיר חלוקה של .X הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי ויהי Rיחס שקילות עליו .נגדיר העתקה P : X → X/R על־ידי ].x 7→ [x נרצה להפוך את X/Rלמרחב טופולוגי .נעשה זאת על־ידי בחירת הטופולוגיה החזקה ביותר שתחתיה Pרציפה .לשם כך נגדיר קבוצה U ⊂ X/Rלהיות פתוחה אם ורק אם P −1 (U ) ⊂ Xפתוחה. הערה :ההעתקה Pאינה בהכרח העתקה פתוחה. ניקח למשל את המרחב ] [0, 1ונגדיר יחס שקילות }]R = {(x, x) , (0, 1) , (1, 0) |x ∈ [0, 1 הטופולוגי של מחלקות השקילות(. אחת במרחב מזהים 1את הנקודות 0, 1כנקודה )כלומר ,P −1 P 21 , 1וזו קבוצה ,[0,אבל = {0} ∪ 21 , 1 ב1]- פתוחה , 1 הקבוצה 2 שאינה פתוחה ב .[0, 1]-לכן P 12 , 1אינה פתוחה ב.[0,1]/R- למה :יהי Xמרחב טופולוגי ויהי Rיחס שקילות עליו .אזי: .1אם Xקומפקטי אז גם X/Rקומפקטי. .2אם Xקשיר או קשיר מסילתית ,אז גם X/Rקשיר או קשיר מסילתית ,בהתאמה. הוכחה :תכונות אלו הן תכונות טופולוגיות ,כלומר נשמרות תחת העתקה רציפה ,ומתקיים .P (X) = X/Rתחת הטופולוגיה שהגדרנו על X/Rזו העתקה רציפה ,ולכן התמונה משמרת את התכונות הללו . למה :יהיו Xמרחב טופולוגי ,יהי Rיחס שקילות עליו ותהי P : X → X/R =: Xשהגדרנו. יהי Yמרחב טופולוגי נוסף ותהי f : X → Yהעתקה רציפה ,שהיא קבועה על מחלקות השקילות של .Xאזי: .1קיימת העתקה רציפה f : X → Yכך ש.f ◦ P = f - .2אם fהנ"ל חח"ע ועל וגם fהעתקה פתוחה )או סגורה( ,אזי fהיא הומאומורפיזם. 42כלומר אוסף תתי־קבוצות זרות בזוגות שאיחודן מכסה את .X 48 .3אם fהנ"ל חח"ע ועל וגם Xקומפקטי ו Y -האוסדרוף ,אזי fהיא הומאומורפיזם. הוכחה: .1נגדיר את הפונקציה f : X → Yעל־ידי ) .[x] 7→ f (xמההנחה כי fקבועה על מחלקות השקילות נובע כי fמוגדרת היטב .נוודא שזו העתקה רציפה. −1 תהי Aפתוחה ב .Y -צריך להראות כי ) f (Aפתוחה ב .X-כלומר ,לפי −1 הגדרת הטופולוגיה על ,Xצריך להראות כי ) P −1 f (Aפתוחה ב.X- נשים לב שמתקיים: )(A) = {[x] |f (x) ∈ A} = P f −1 (A −1 f מההנחה ש f -קבועה על מחלקות השקילות נובע כי: −1 )f −1 (A) = P −1 P f −1 (A) = P −1 f (A ומההנחה ש f -רציפה נובע כי קבוצה זו פתוחה ב.X- −1 fרציפה ,לשם כך נראה כי fהעתקה פתוחה .תהי A .2צריך להראות כי פתוחה ב ,X-נראהכי ) f (Aפתוחה ב .Y -מההנחה ש f -קבועה על מחלקות מהיות Aפתוחה נובע כי השקילות נובע כי ) .f (A) = f P −1 (Aאבל −1 ) P −1 (Aפתוחה ,ומההנחה כי fהעתקה פתוחה נובע ש f P (A) -פתוחה. .3הראינו לעיל שכל העתקה רציפה X → Yשהיא חח"ע ועל ,ל X-קומפקטי וY - האוסדורף ,היא הומאומורפיזם . דוגמה כללית :יהי Xמרחב טופולוגי ויהיו A, B ⊂ Xעם העתקה f : A → Bכלשהי. נגדיר יחס שקילות על ,Xעל־ידי a ∼ a0אם ורק אם ) .f (a) = f (a0 אם fהיא העתקה על ,אז המרחב X/∼fהוא "הדבקה" של Aל B-במרחב .X דוגמאות: ∼ X = [a, b] ∪ [c, d] .1קטעים ממשיים .f : {b, c} → {c} ,מתקיים = ] .[a, d − c + bכלומר זה הומאומורפי לקטע שאורכו כסכום אורכי שני הקטעים. ∼ .X/∼f .f : {0, 1} → {0} ,X = [0, 1] .2מתקיים = S 1 X/∼f .(0, t) 7→ (1, t) ,f : {0} × [0, 1] → {1} × [0, 1] ,X = [0, 1] × [0, 1] .3מתקיים כי X/∼fהומאומורפי לגליל בגובה 1ובהיקף .1 .4נסמן את דיסק היחידה .D = x ∈ R2 | kxk ≤ 1 ⊂ R2נגדיר עליו יחס שקילות x ∼ yאם ורק אם .x, y ∈ S 1כלומר כל נקודות השפה S 1שקולות. ∼ ∼D/ טענה= S 2 : 1 בגובה .2נגדיר העתקה g : הוכחה :נסמן ] √.X = S × [−1, 1זה הגליל √ X → S 2על־ידי 1 − t2 x1 , 1 − t2 x2 , t → .(x1 , x2 , t) 7העתקה זו מכווצת כל מעגל בגובה tעל הגליל ,למעגל בגובה tעל הספרה. 49 gמגדירה שתי מחלקות שקילות לא טריוויאליות על הגליל: (x1 , x2 , 1) |x1 , x2 ∈ S 1 (x1 , x2 , −1) |x1 , x2 ∈ S 1 כל שאר האיברים בגליל מועתקים לאיבר יחיד ב.S 2 - gרציפה וקבועה על מחלקות השקילות ,ולכן מהלמה נובע שקיימת g : X/∼g → S 2רציפה ,חח"ע ועל X .קומפקטי ו D-האוסדורף ,ולכן מהלמה נובע כי gהיא הומאומורפיזם. t+1 x , x על־ידי f נגדיר העתקה : X → D .(x1 , x2 , t) 7→ t+1 1 2 2 2 העתקה זו מעבירה את הגליל למעגלים על .D מחלקת האחרונה )עבור .(t = 1 fחח"ע בכל מקום ,למעט בנקודה השקילות הלא־טריוויאלית היחידה היא , (x1 , x2 , −1) |x1 , x2 ∈ S 1וכל שאר האיברים בגליל מועתקים לאיבר יחיד על .S 2 לכן כמקודם קיימת f : X/∼f → Dרציפה ,חח"ע ועל ,ומהיות Xקומפקטי ו D-האוסדורף ,נובע כי fהומאומורפיזם. נסיק מכאן: ∼ S2 ∼= D/ ∼ = (X/∼f )/∼g ∼ = X/∼g כאשר המעבר השני נובע מכך שהיחס ∼ fמוכל ביחס ,∼ gוהסימון הוא ליחס השקילות שהגדרנו בראשית הדוגמה . n הערה :בדרך דומה ניתן להראות שכל Dn = {x ∈ R | kxk ≤ 1} ⊂ Rnניתן להדביק באופן שיהיה הומאומורפי ל.S n - ∼D/ הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי .אומרים כי Xהוא יריעה n־ממדית ,אם לכל x ∈ Xקיימת סביבה הומאומורפית ל.Rn - דוגמאות: .1הספרה S nהיא יריעה n־ממדית) .נוכיח בהמשך(. .2תהי Gחבורה ותהי H ≤ Gתת־חבורה .מגדירים את G/Hכאוסף מחלקות השקילות המתקבלות מהיחס .x−1 y ∈ H ⇐⇒ xH = yH ⇐⇒ x ∼ y ∼ ) .R/Zמחלקות השקילות בחבורת המנה הן }.({r + Z|r ∈ R טענה= S 1 : הוכחה :נגדיר העתקה f : R → S 1על־ידי )).t 7→ (cos (2πt) , sin (2πt מתקיים כי fרציפה וקבועה על מחלקות השקילות ,ולכן קיימת העתקה רציפה f : R/Z → S 1שהיא חח"ע ועל .ההעתקה fפתוחה ולכן f הומאומורפיזם . 2 2 R הערה :באופן דומה ,הטורוס )בייגל( הומאומורפי ל. /Z - 50 חלק VIII החבורה היסודית תזכורת :קבוצה Gעם פעולת כפל דו־מקומית ,· : G × G → Gנקראת חבורה ,אם מתקיימות התכונות הבאות: .1אסוציאטיביות :לכל g1 , g2 , g3 ∈ Gמתקיים ) .(g1 · g2 ) · g3 = g1 · (g2 · g3 .2קיום איבר נייטרלי לכפל )או יחידה( :קיים e ∈ Gכך שלכל g ∈ Gמתקיים .e · g = g · e = g .3קיום הופכי :לכל g ∈ Gקיים h ∈ Gכך שמתקיים .g · h = h · g = eנהוג לסמן את ההופכי של gב.g −1 - בהינתן חבורות G, Hוהעתקה ,ϕ : G → Hאומרים כי ϕהיא הומומורפיזם של חבורות ,אם מתקיימות התכונות הבאות: .1לכל g1 , g2 ∈ Gמתקיים ) .ϕ (g1 · g2 ) = ϕ (g1 ) · ϕ (g2 43 .2עבור eGאיבר יחידה של Gו eH -איבר יחידה של ,Hמתקיים .ϕ (eG ) = eH מבוא :כמו בכל בנייה של חבורה ,כדי לבנות את החבורה היסודית נדרשת קבוצה ופעולה דו־מקומית מתאימה. הפרק הבא יוקדש להגדרת הקבוצה באמצעות מושג חדש" ,הומוטופיה" ,והפרק שלאחריו יוקדש לפעולה שנגדיר" ,שרשור". 22 הומוטופיה סימון :נסמן מעתה והלאה }.I =: [0, 1] =: {t ∈ R|0 ≤ t ≤ 1 הגדרה :בהינתן מרחב טופולוגי ,Xמסילה היא העתקה רציפה מהצורה .f : I → X הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי .הומוטופיה היא משפחה של מסילות }]{ft : I → X|t ∈ [0, 1 המקיימת את שני התנאים הבאים: .1קיימים x0 , x1 ∈ Xכך שלכל ] t ∈ [0, 1מתקיים .ft (0) = x0 ,ft (1) = x1 .2ההעתקה F : I × I → Xהמוגדרת על־ידי ) (s, t) 7→ ft (sהעתקה רציפה. הגדרה :אומרים שזוג מסילות f, g : I → Xהן הומוטופיות ,אם קיימת הומוטופיה } {ft 4544 כך שמתקיים כי .f0 = f ,f1 = g 43נשים לב שהכפל שבצד שמאל הוא הכפל המוגדר ב ,G-ואילו הכפל בצד ימין הוא הכפל המוגדר ב.H- 44בפרט הנקודות x0 , x1צריכות להיות ).x0 = f (0) = g (0) ,x1 = f (1) = g (1 45השתמשנו במינוח " f, gהומוטופיות" ,למרות שאין סימטריה בין fל g-בהגדרה .בהמשך נראה שאם f הומוטופית ל g-אז גם gהומוטופית ל.f - 51 בשרטוט )מוויקיפדיה( נראות זוג המסילות γ0 , γ1המקיימות .γi (0) = x ,γi (1) = y המסילות הללו הומוטופיות כי ההעתקה ) H (t, s) = γs (tרציפה .ברור אינטואיטיבית שלו היה "חור" באמצע היריעה ,המסילות γ0 , γ1לא היו הומוטופיות .נוכיח זאת בהמשך. טענה :בכל קבוצה קמורה במרחבי ,Rn הומוטופיות. 46 מסילות בעלות אותה נקודת התחלה וסיום הן הוכחה :יהיו f, g : I → A ⊂ Rnל A-קמורה ,מסילות המתחילות ב x0 -ונגמרות ב.x1 - נגדיר הומוטופיה } {ft : I → Aעל־ידי ) .ft (s) = tg (s) + (1 − t) f (sתמונת ההומוטופיה הזו אכן בתוך Aמהנחת הקמירות .קל לראות כי .f0 = f ,f1 = gכמו כן ברור שההעתקה ) F (s, t) = tg (s) + (1 − t) f (sרציפה כהרכבה של העתקות רציפות . טענה :יהי Xמרחב טופולוגי ויהיו .x0 , x1 ∈ Xנתבונן באוסף כל המסילות המקיימות .f (0) = x0 ,f (1) = x1 נגדיר על קבוצה זו יחס על־ידי הומוטופיה .כלומר f ∼ gאם ורק אם הן הומוטופיות. אזי יחס זה הוא יחס שקילות. הוכחה :צריך להראות שהיחס ∼ מקיים רפלקסיביות ,סימטריות וטרנזיטיביות. • רפלקסיביות :בהינתן מסילה fניקח את ההומוטופיה הקבועה . ft |∀t∈[0,1] ft = f קל לראות שזו הומוטופיה ולכן .f ∼ f • סימטריות :יהיו f, gמסילות ונניח כי f ∼ gעל־ידי ההומוטופיה } .{ftכלומר .f0 = f ,f1 = g נגדיר את ההומוטופיה } {f1−tונקבל את אותה קבוצה ללא כל שינוי ,אלא ש .f0 = g ,f1 = f -כלומר גם .g ∼ f • טרנזיטיביות :יהיו f, g, h : I → Xמסילות .נניח כי f ∼ gעל־ידי ההומוטופיה } ) {ftכלומר (f0 = f ,f1 = gעם ההעתקה F : I × I → Xהנדרשת ,ונניח שגם g ∼ hעל־ידי ההומוטופיה } ) {gtכלומר (g0 = g ,g1 = hעם ההעתקה G : I × I → Xהנדרשת. 46הגדרה :אומרים כי A ⊂ Rnקבוצה קמורה ,אם לכל a, b ∈ Aולכל ] t ∈ [0, 1מתקיים .ta + (1 − t) b ∈ A 52 ( t ∈ 0, 21 = .ht כדי להראות כי f ∼ hנגדיר הומוטופיה } {htעל־ידי g2t−1 t ∈ 12 , 1 הומוטופיה זו מוגדרת היטב בנקודה ,t = 12כי .f1 = g = g0קל לראות כי .h0 = f0 = f ,h1 = g1 = h נותר אם כך להראות שההעתקה ) H (s, t) = ht (sרציפה .נשים לב שמתקיים: f2t )H|t∈[0, 1 ] = F (s, 2t 2 )H|t∈[ 1 ,1] = G (s, 2t − 1 2 וההעתקות F, Gהנ"ל רציפות כהרכבה של העתקות רציפות .הלמה הבאה תסיים את ההוכחה ש H-העתקה רציפה. למה :יהיו β : B ⊂ X → Y ,α : A ⊂ X → Yהעתקות רציפות בין מרחבים טופולוגיים ,ונניח כי A, Bקבוצות סגורות. | ,αאזי ההעתקה γ : A ∪ B ⊂ X → Yהמוגדרת אם מתקיים (A∩B = β|A∩B α (x) x ∈ A = ) ,γ (xגם היא רציפה . על־ידי β (x) x ∈ B הגדרה :בהינתן מרחב טופולוגי Xונקודה ,x0 ∈ Xלולאה היא מסילה f : I → X המתחילה ומסתיימת באותה נקודה .כלומר ).f (0) = f (1 כפי שראינו הומוטופיה מגדירה יחס שקילות על אוסף הלולאות בבסיס .x0 ∈ X נסמן אם כך ב [f ]-את מחלקת השקילות של לולאה .f את אוסף מחלקות השקילות של לולאות ב ,x0 ∈ X-נסמן ) .π1 (X, x0זוהי הקבוצה של החבורה היסודית .כעת נגדיר את הפעולה בה. 23 שרשור הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי ומסילות f, g : I → Xכלשהן המחוברות בקצותיהן .כלומר ) .f (1) = g (0נסמן ב π1 (X, xi , xj )-את אוסף המסילות בין xiל.xj - שרשור הוא פעולה מהצורה ) ,? : π1 (X, x0 , x1 ) × π1 (X, x1 , x2 ) → π1 (X, x0 , x2 המוגדרת על־ידי: ( )f (2s s ∈ 0, 21 f ? g (s) =: g (2s − 1) s ∈ 12 , 1 למה :שרשור שומר על מחלקות הומוטופיה. כלומר :נניח כי f0 ∼ f1וגם .g0 ∼ g1אם f0 , g0מחוברות בקצותיהן )כלומר ) ,(f0 (1) = g0 (0אזי .f0 ? g0 ∼ f1 ? g1 הוכחה :נניח כי f0 ∼ f1על־ידי ההומוטופיה } {ftוכן g0 ∼ g1על־ידי ההומוטופיה } .{gt נגדיר הומוטופיה } ,{ft ? gtונראה שזו ההומוטופיה המבוקשת. 53 צריך להראות שההעתקה H : I × I → Xהמוגדרת על־ידי )H (s, t) = ft ? gt (s רציפה .מההגדרה מתקיים: ( ( )ft (2s s ∈ 0, 12 )F (2s, t s ∈ 0, 21 = )H (s, t) =: ft ?gt (s = gt (2s − 1) s ∈ 12 .1 G (2s − 1, t) s ∈ 12 , 1 ומכאן כי היא רציפה )מנימוק דומה לזה שהזכרנו בהוכחת הטרנזיטיביות לעיל( . הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי ותהי f : I → Xמסילה .רה־פרמטריזציה של fהיא הרכבה ,f ◦ ϕ : I → Xכאשר ϕ : I → Iמסילה המקיימת .ϕ (0) = 0 ,ϕ (1) = 1 טענהf ∼ f ◦ ϕ : הוכחה :נשים לב כי זוג המסילות ϕ, Id : I → Iהומוטופיות על ידי ההומוטופיה = )ϕt (s ) .ts + (1 − t) ϕ (sמכאן שגם f ◦ ϕ ∼ f ◦ I = fעל־ידי } .{f ◦ ϕt 24 החבורה היסודית הגדרה :כפי שהזכרנו לעיל ,בהינתן מרחב טופולוגי Xונקודה ,x0 ∈ Xמוגדר אוסף מחלקות השקילות של לולאות ב x0 -שסימנו ) .π1 (X, x0 נגדיר על קבוצה זו פעולה דו־מקומית ) ? : π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) → π1 (X, x0 47 על־ידי שרשור ].[f ] ? [g] = [f ? g נגדיר את איבר היחידה eלהיות מחלקת השקילות של הלולאה הקבועה .e (s) = x0 נגדיר את האיבר ההופכי ללולאה f : I → Xעל־ידי ).f (s) = f (1 − s נרצה להראות שמתקבלת חבורה -החבורה היסודית. • נראה שהפעולה מוגדרת היטב :צריך להראות שההגדרה ] [f ] ? [g] = [f ? gאינה תלויה בבחירת הנציגים f, gשל מחלקת השקילות. h i h i ˜[ ? ˜f אבל הראינו שאם ˜ f ∼ fוכן ˜ ,g ∼ gאז ˜ .f ? g ∼ f˜ ? gלכן = ˜g ] = f˜ ? g ].[f ? g] = [f ] ? [g • נראה שמתקיימים המאפיינים של חבורה: .1אסוציאטיביות :יהיו f, g, hלולאות .צריך להראות כי = ]([f ] ? [g]) ? [h )] .[f ] ? ([g] ? [hלשם כך נוכיח טענה זו באופן כללי למסילות. טענה :יהיו f, g, hמסילות המקיימות ) f (1) = g (0וכן ) .g (1) = h (0אזי ).(f ? g) ? h ∼ f ? (g ? h הוכחה :נתבונן ברה־פרמטריזציה מהצורה הבאה: 1 s ∈ 0, 21 2s = )ϕ (s s − 14 s ∈ 21 , 34 2s − 1 s ∈ 34 , 1 47במקרה של שרשור מסילות כלליות פעולת השרשור אינה בהכרח דו־מקומית .מכיוון שכאן עוסקים בלולאות זו אכן פעולה דו־מקומית. 54 נוכיח שמתקיים ) ((f ? g) ? h) ◦ ϕ = f ? (g ? hובזאת נסיים ,כי צד שמאל הומוטופי ל) (f ? g) ? h-כפי שהוכחנו לכל רה־פרמטריזציה(. נתבונן היטב בהגדרה של שרשור ונסיק את שני השוויונים הבאים: ( f ? g (2s) s ∈ 0, 21 1 = )(f ? g) ? h (s )(1 by def h (2s − 1) s ∈ 2 , 1 )(2 )f (2s s ∈ 0, 21 g (2s − 1) s ∈ 12 , 1 ( = by def )f ? g (s נציב את שוויון 2בתוך שוויון 1ונקבל: )f (4s s ∈ 0, 14 = )(f ? g) ? h (s g (4s − 1) s ∈ 14 , 12 h (2s − 1) s ∈ 12 , 1 באותו אופן ניתן לראות מההגדרה כי f ?(g ? h)◦ϕמקיימת את אותן משוואות. .2קיום איבר יחידה :נראה שהלולאה הקבועה e (s) = x0היא איבר היחידה. נשים לב שבהינתן מסילה כללית ,f : I → Xאם נגדיר מסילה קבועה C1 : I → Xעל־ידי ) ,C1 (s) = f (1אז מתקיים ,f ? C1 ∼ f ◦ ϕ ∼ fכאשר ϕ היא הרה־פרמטריזציה: ( 2s s ∈ 0, 21 = )ϕ (s 1 s ∈ 12 , 1 באותו אופן אם נגדיר מסילה קבועה C0 : I → Xעל־ידי ) ,C0 (s) = f (0אז מתקיים ,C0 ? f ∼ ϕ ◦ f ∼ fכאשר ϕהיא הרה־פרמטריזציה: ( 0 s ∈ 0, 21 = )ϕ (s 2s s ∈ 12 , 1 לכן כאשר f : I → Xלולאה שבסיסה ב x0 -ומתקיים ,C0 = C1 = eזה אכן איבר יחידה. .3קיום הופכי :תהי fלולאה ,נראה שהלולאה ) f (s) = f (1 − sהיא ההופכית שלה. ( ? ,fבגלל ההומוטופיה } {ft נשים לב שלכל מסילה ,fמתקיים )f ∼ Cf (0 )f (s ]s ∈ [0, t המתקבלת על־ידי ]f (1 − s) s ∈ [t, 1 מתקיים ).f ? f ∼ Cf (1 לכן כאשר f : I → Xלולאה שבסיסה ב , f (0) = f (1) = x0 -זה אכן איבר הופכי. = ).ft (s 48המסילה ה t-בהומוטופיה זו הולכת על fעד ,tואז חוזרת לנקודת המוצא. 55 48 באופן דומה גם משפט :יהי Xמרחב טופולוגי ויהיו x0 , x1 ∈ Xשייכים לאותו רכיב קשירות מסילתית. ∼ ) ) π1 (X, x0איזומורפיות כחבורות(. אזי ) = π (X, x1 הוכחה x0 , x1 :באותו רכיב קשירות מסילתית ולכן יש מסילה h : [0, 1] → Xהמקיימת .h (0) = x0 , h (1) = x1 נגדיר העתקה ) β : π1 (X, x0 ) → π1 (X, x1על־ידי ) [f ] 7→ h ? f ? hכאשר ) ,(h (s) = h (1 − sונראה שהיא האיזומורפיזם המבוקש. .1ראשית נראה שאכן מתקבלת לולאה שבסיסה ב.x1 - שרשור של מסילות נותן מסילה .נותר להראות .h?f ?h (0) = h?f ?h (1) = x1 נסמן ) g (s) = f ? h (sונקבל מהגדרת שרשור: ( )h (2s s ∈ 0, 21 = )h ? g (s g (2s − 1) s ∈ 21 , 1 לכן עבור s = 0אכן מתקיים .h ? g (0) = h (0) = h (1) = x1 נקבל עוד מהגדרת שרשור: ( )f (2s s ∈ 0, 21 = )g (s) = f ? h (s h (2s − 1) s ∈ 12 , 1 ולכן עבור s = 1מתקיים .h ? g (1) = g (1) = h (1) = x1 .2נראה ש β-הומומורפיזם של חבורות: = β ([f ] ? [g]) = β ([f ? g]) = h ? f ? g ? h = = h?f ?h?h?g?h )]= h ? f ? h ? h ? g ? h = β ([f ]) ? β ([g כאשר המעבר השני נובע מהעובדה הכללית למסילות .h ? h ∼ e .3נראה של β-קיימת העתקה הופכית )ביחס להרכבה( ,ומכך נסיק שהיא חח"ע ועל. נגדיר העתקה ) β : π1 (X, x1 ) → π1 (X, x0על־ידי .f 7→ h ? f ? hנרכיב: ] β ◦ β ([f ]) = β h ? f ? h = h ? h ? f ? h ? h = [f מסקנה :החבורה היסודית של כל מרחב )או קבוצה( Xקשיר מסילתית אינה תלויה בבחירת נקודת הבסיס ,עד־כדי איזומורפיזם .לכן במקרה כזה נסמן ).π1 (X הגדרה :יהי Xמרחב טופולוגי .כל לולאה הומוטופית ל e-נקראת נול־הומוטופית. 56 הגדרה :מרחב טופולוגי Xנקרא פשוט־קשר ,אם הוא קשיר מסילתית וגם ) π1 (Xטריוויאלית. כלומר }].π1 (X) = {[e ניתן להגדיר באופן שקול מרחב פשוט־קשר ,על־ידי כך שכל הלולאות בו הן נול־ הומוטופיות. טענה :מרחב הוא פשוט־קשר אם ורק אם כל זוג מסילות בעלות אותן נקודות התחלה וסיום הן הומוטופיות. הוכחה) :כיוון ראשון( נניח כי Xפשוט קשר ,ויהיו f, g : I → Xמסילות בעלות נקודות התחלה וסיום x0 , x1בהתאמה. השרשור f ? g : I → Xהוא לולאה שבסיסה ,x0ומהיות Xפשוט־קשר נובע כי .f ? g ∼ Cx0מכאן נובע f ? Cx0 ∼ f ? (g ? g) = (f ? g) ? g ∼ Cx0 ? gולכן .f ∼ g )כיוון שני( אם f, g : I → Xמסילות בעלות נקודות התחלה וסיום x0 , x1בהתאמה והן לא הומוטופיות ,נקבל כי הלולאות f ? g, g ? fשבסיסיהן x0 , x1אינן הומוטופיות ,ולכן החבורה היסודית אינה טריוויאלית . החבורות היסודיות של מרחבים הומאומורפיים 24.1 מבוא :בפסקה זו נראה כי החבורות היסודיות של מרחבים הומאומורפיים הן איזומורפיות. עובדה זו תשמש כלי נוסף לבדיקת הומאומורפיות של מרחבים. הגדרה :יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ויהיו .x0 ∈ X, y0 ∈ Yתהי גם ϕ : X → Y העתקה רציפה המשמרת .x0 7→ y0 אזי ההעתקה ϕמשרה העתקה חדשה ) ϕ∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0המוגדרת על־ידי ] .ϕ∗ ([f ]) = [ϕ ◦ f הערות: ϕ∗ .1מוגדרת היטב ,כי אם f, g : I → Xלולאות הומוטופיות אז ϕ ◦ f, ϕ ◦ g גם הן הומוטופיות. ϕ∗ .2היא הומומורפיזם של חבורות ,כי ].[ϕ ◦ f ] ? [ϕ ◦ g] = [ϕ ◦ f ? g טענה :נניח כי X, Y, Zמרחבים טופולוגיים ,עם נקודות x0 , y0 , z0בהתאמה. ϕ ψ יהיו גם X −→ Y −→ Zהעתקות רציפות המעתיקות .x0 7→ y0 7→ z0אזי: .(ϕ ◦ ψ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ∗ .1כלומר ללולאה f : I → Xבבסיס x0המועתקת על־ידי ∗ ϕ ◦ ψללולאה מהצורה I → Zבבסיס ,z0מתקיים: )])] (ϕ ◦ ψ∗ ) ([f ]) = ϕ∗ ([ψ∗ ([f .2להעתקת הזהות הטופולוגית ,Id : X → Xההעתקה → ) Id∗ : π1 (X, x0 ) (X, x0היא העתקת הזהות של החבורות. 57 )ההוכחה מושארת כתרגיל( טענה :יהיו X, Yמרחבים טופולוגיים ויהיו .x0 ∈ X, y0 ∈ Yתהי גם ϕ : X → Y הומאומורפיזם המשמר .x0 7→ y0 אזי ההעתקה המתאימה ) ϕ∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0היא איזומורפיזם של חבורות. )ההוכחה מושארת כתרגיל( מסקנה יסודית :אם החבורות היסודיות של שני מרחבים טופולוגיים אינן איזומורפיות ,אז המרחבים אינם הומאומורפיים. 25 מרחבי כיסוי הגדרה :יהיו E, Xמרחבים טופולוגיים .אומרים שהעתקה רציפה ועל p : E → Xהיא העתקת כיסוי ,אם לכל x ∈ Xקיימת סביבה פתוחה U ⊂ Xהמכילה את ,x כך ש p−1 (U ) ⊂ E-היא איחוד זר של פתוחות ,{Vα }αכך שלכל ,αהצמצום p|Vα : Vα → Uמהווה הומאומורפיזם על .U במקרה שקיימת העתקת כיסוי ,אומרים ש E-הוא מרחב כיסוי של .X דוגמה R :מרחב כיסוי של ,S 1עם העתקת הכיסוי p : R → S 1המוגדרת )).s 7→ (cos (2πs) , sin (2πs האיור הבא ממחיש זאת: קל לראות שלכל ,x0 ∈ S 1נוכל לבחור את U ⊂ S 1להיות למשל קטע פתוח באורך 31סביב x0על המעגל ,ונקבל שהקבוצה p−1 (x0 ) ⊂ Rהיא איחוד הקטעים באורך ˜־ים כל הדרך עד למעלה .כל קטע כזה ב R-הוא איזשהו קטע פתוח סביב 31סביב x0 xכלשהי ,ולכן הומאומורפי ל.U - ˜0 הגדרה :נניח כי p : E → Xהעתקת כיסוי ,ונניח כי Xקשיר מסילתית וכי Eמרחב פשוט קשר .כלומר ) π1 (Eטריוויאלית. אומרים כי Eהוא מרחב כיסוי אוניברסלי של ) Xעד כדי הומאומורפיזם( ,אם לכל העתקת כיסוי p0 : E 0 → Xאחרת ,קיימת העתקת כיסוי q : E → E 0המקיימת .p0 ◦ q = p 58 במילים אחרות ,הדיאגרמה הבאה מתחלפת: / E0 q E p ~ X p0 25.1 הרמה הגדרה :נניח כי מרחב טופולוגי Eהוא מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי Xעל ידי העתקת כיסוי .p : E → Xיהי Yמרחב טופולוגי כלשהו ותהי f : Y → Xהעתקה רציפה. אומרים שהעתקה f˜ : Y → Eהיא הרמה של ,fאם מתקיים .p ◦ f˜ = f במילים אחרות ,הדיאגרמה הבאה מתחלפת: >E p /X ˜f f Y משפט :יהי Eמרחב כיסוי של מרחב Xעל ידי העתקת כיסוי .p : E → Xאזי לכל מסילה ˜ ,קיימת ויחידה הרמה למסילה f : I → Xהמתחילה ב x0 -ולכל ) x0 ∈ p−1 (x0 ˜. f˜ : I → Eהמתחילה בx0 - הוכחה :תהי f : I → Xמסילה שבסיסה .x0 ∈ X ˜( .pמהגדרת העתקת כיסוי ,לכל x ∈ X xהמקיים x0 ) = x0 • קיום :יהי ˜0 ∈ E יש סביבה פתוחה Uxמתאימה .ניקח את האוסף U = {Ux }x∈Xהמהווה כיסוי פתוח של .X ניקח חלוקה של הקטע Iמהצורה ,0 = s0 < s1 < ... < sn = 1ונדאג שהיא תהיה מספיק חזקה כך שכל תת קטע ] [si , si+1יהיה מספיק קטן כך שיתקיים 49 f ([si , si+1 ]) ⊂ Uiלאיזו .Ui ∈ U ˜ כעת נגדיר את ההרמה f˜ : I → Eבתהליך אינדוקטיבי :תחילה נגדיר = )f (0 ˜ .נניח באינדוקציה כי ˜ fמוגדרת על איחוד קטעי החלוקה ] .[0, siמתקיים x0 ,f ([si , si+1 ]) ⊂ Uiומהיות pהעתקת כיסוי נובע שקיים ל p−1 (Ui )-כיסוי {Vβ }βכך שלכל βמתקיים p|Vβ : Vβ → Uiהומאומורפיזם .מתקיים כי −1 f˜ (si ) ∈ V 0לאיזו } ,V 0 ∈ {Vβולכן נוכל להגדיר .f˜|[s ,s ] = (p|V 0 ) ◦ f β i+1 i מהיות p|V 0הומאומורפיזם נובע שההעתקה נותרת רציפה. ברור מההגדרה שאכן מתקיים p ◦ f˜ = fעל כל ,Iשכן שוויון זה מתקיים מקומית לכל s ∈ Iמבניית ˜.f 49נימוק :האוסף f −1 (UX ) x∈Xמהווה כיסוי פתוח של .Iהראינו שלמרחב מטרי קומפקטי סדרתית ,לכל כיסוי פתוח יש מספר לבג .כלומר מספר 0 < εכך שכל כדור פתוח ברדיוס εמוכל בקבוצה כלשהי מהכיסוי. נבחר אם כך חלוקה 0 = s0 < s1 < ... < sn = 1כך שאורך כל אינטרוול הוא , 2εונקבל שלכל iמתקיים s +s ) [si , si+1 ] $ Bε i+12 i ⊂ f −1 (Uiלאיזו .Ui ∈ Uכלומר .f ([si , si+1 ]) ⊂ Ui 59 • יחידות :גם זאת נראה באינדוקציה .נניח כי f˜, f˜0 : I → Eזוג הרמות ˜( ,pכלומר xהמקיים x0 ) = x0 של f : I → Xשבסיס שתיהן הוא ˜0 ∈ E ).f˜ (0) = f˜0 (0 נניח אינדוקטיבית כי f˜ = f˜0על איחוד קטעי החלוקה ] .[0, siבהינתן ⊂ V 0 −1 ) p−1 (Uiבסימוני מקודם ,הגדרנו .f˜|[si ,si+1 ] = (p|V 0 ) ◦ f מההנחה כי f˜0הרמה של fנובע כי p ◦ f˜0 = fבפרט על ] .[si , si+1אבל p|V 0 −1 היא הומאומורפיזם ,ולכן נסיק ˜ .f˜0 = (p|V 0 ) ◦ f = f משפט :יהי Eמרחב כיסוי של מרחב Xעל ידי העתקת כיסוי .p : E → Xאזי לכל ˜ ,קיימת ויחידה הומוטופיה F : I × I → Xהמתחילה ב x0 -ולכל ) x0 ∈ p−1 (x0 ˜. הרמה להומוטופיה F˜ : I × I → Eהמתחילה בx0 - הוכחה :תהי F : I × I → Xהומוטופיה שבסיסה .x0 ∈ Xכלומר .F (0, t) = x0 ˜( .pמהגדרת העתקת כיסוי ,לכל x ∈ X xהמקיים x0 ) = x0 • קיום :יהי ˜0 ∈ E יש סביבה פתוחה Uxמתאימה .ניקח את האוסף U = {Ux }x∈Xהמהווה כיסוי פתוח של .X 0 = s0 < s1 < ... < sm = 1 נתונים שני עותקים של ,Iאז נבחר חלוקות של שניהם 0 = t0 < t1 < ... < tn = 1 כך שאם נסמן ] Ii ×Ji =: [si , si+1 ]×[tj , tj+1מתקיים כי F (Ii × Jj ) ⊂ Uij 50 לאיזו .Uij ∈ U ˜ כעת נגדיר את ההרמה F : I → Eבתהליך אינדוקטיבי ,והפעם האינדוקציה ,F˜ (0, 0) = x תהיה לא על קטעים אלא על ריבועים .כלומר :תחילה נגדיר ˜0 ואז נגדיר את Ii × J1לפי הסדר i = 1, ..., mואז נגדיר את Ii × J2לפי הסדר ,i = 1, ..., mוכן הלאה עד שנגדיר את Ii × Jnלפי הסדר .i = 1, ..., m S נניח באינדוקציה כי ˜ Fמוגדרת על האיחוד . 1≤i≤i −1 Ii × Jjמתקיים כי 0 1≤j≤j0 −1 ,F (Ii0 × Jj0 ) ⊂ Ui0 j0ומהיות pהעתקת כיסוי נובע שקיים לp−1 (Ui0 j0 )- כיסוי {Vβ }βכך שלכל βמתקיים p|Vβ : Vβ → Ui0 j0הומאומורפיזם .מתקיים כי ) F˜ (si0 , tj0 ) ∈ V 0נזכור ] (Ii0 × Jj0 =: [si0 , si0 +1 ] × [tj0 , tj0 +1לאיזו −1 ,V 0 ∈ {Vβ }βולכן נוכל להגדיר .F˜ |Ii0 ×Jj0 = (p|V 0 ) ◦ Fמהיות p|V 0 הומאומורפיזם נובע שההעתקה נותרת רציפה. ובאותו אופן גם כאן קל לראות כי .p ◦ F˜ = F • יחידות :נניח כי F˜ , F˜ 0 : I × I → Eזוג הרמות של .F : I → Xנשים לב שלכל s ∈ Iמתקיים F˜ , F˜ 0 : I × {t} → Eהן מסילות המהוות הרמה של המסילה ,F : I × {t} → Xולכן היחידות נובעת מהמשפט הקודם . מסקנה :נניח כי ) p : (E, e0 ) → (X, x0העתקת כיסוי ,כלומר e0 7→ x0תחת ,pאזי ההעתקה המושרית ) p∗ : π1 (E, e0 ) → π1 (X, x0היא הומומורפיזם חח"ע. הוכחה :ראינו כבר שההעתקה המושרית המתקבלת על ידי f 7→ p ◦ fהיא הומומורפיזם. נראה את החח"ע על ידי כך שנראה כי הגרעין טריוויאלי. נניח כי p ◦ f˜ ∼ Cx0על ידי ההומוטופיה .F : I × I → Xנרים אותה להומוטופיה ,F˜ : I × I → Eומיחידות ההרמה נסיק .f˜ ∼ Ce0 50מאותו נימוק כמקודם ,שכן גם I × Iמרחב מטרי קומפקטי סדרתית. 60 26 החבורה היסודית של המעגל מבוא :המעגל S 1 ⊂ R2קשיר מסילתית ,ולכן החבורה היסודית שלו אינה תלויה בבחירת הנקודה .בפרק זה נרצה לחשב את החבורה במפורש ,בעזרת מרחב הכיסוי Rשל .S 1 נראה שהחבורה הזו איזומורפית לחבורת השלמים .Zכפי שנראה ,המשמעות של זה תהיה שמחלקות ההומוטופיה של לולאות על המעגל נגזרות ממספר הסיבובים סביב המעגל .כלומר כל הלולאות שמסתובבות nפעמים סביב המעגל שייכות למחלקת הומוטופיה אחת ,ורק הן שייכות למחלקה זו. משפט :החבורה היסודית של המעגל איזומורפית לחבורת השלמים. ∼ ).π1 S 1 , (1, 0 הוכחה :נקבע את הנקודה (1, 0) ∈ S 1ונראה כי = Z ראינו כי Rמהווה מרחב כיסוי של S 1 iעל hידי ההעתקה .p (s) = e2πisנגדיר העתקה ) φ : Z → π1 S 1 , (1, 0על ידי ,φ (n) = p ◦ f˜nכאשר f˜n : I → Rהיא מסילה המתחילה ב 0-ומסתיימת ב .n-נשים לב כי φמוגדרת היטב ,שכן אם f˜n , f˜n0 : I → R ˜ 51 מסילות בין 0ל ,n-מהיות Rקמור נובע כי .fn ∼ f˜n0 • φהומומורפיזם :מתקיים: h i h i h i h i )φ (n + m) = p ◦ f˜n+m = p ◦ f˜n ? f˜m = p ◦ f˜n ? p ◦ f˜m = φ (n)?φ (m כל השוויונים ברורים ,למעט השוויון השני .כלומר יש להראות כי ∼ p ◦ f˜n+m .p ◦ f˜n ? f˜m נגדיר משפחה של העתקות .{τk : R → R|τk (x) = x + k}k∈Zנשים לב ˜ נובע כי שהמסילה τm ◦ fn : I → Rהיא מסילה בין mלבין .n+ mלכן f˜m ? τm ◦ f˜n : I → Rמסילה בין 0לבין ,n + mולכן ∼ f˜m ? τm ◦ f˜n .f˜n+mכלומר .p ◦ f˜m ? τm ◦ f˜n ∼ p ◦ f˜n+mאבל נשים לב כי ,p ◦ τm ◦ f˜n ∼ p ◦ f˜nכי האורך של שתיהן הוא .n • φעל :תהי ) .f ∈ π1 S 1 , (1, 0מהיות Rמרחב כיסוי של S 1נובע שקיימת ˜ הרמה יחידה f˜ : I → Rהמתאימה ל .f -אבל = )˜ (1) = f (1 e2πif (1) = p ◦ f h i ) ,(1, 0ולכן .f˜ (1) ∈ Zמכאן נסיק ] .φ f˜ (1) = p ◦ f˜ = [f • φחח"ע :יהיו n, mשלמים שעבורם ) .φ (n) = φ (mצריך להראות .n = m i .נתבונן במסילות .f˜n , f˜m : I → Rמההנחה = )p ◦ f˜n = φ (n) = φ (m h i p ◦ f˜mנובע כי ,p ◦ f˜n ∼ p ◦ f˜mעל ידי הומוטופיה שנסמן ,F : I × I → S 1 כלומר ) .F (0, s) = p ◦ f˜n (s) , F (1, s) = p ◦ f˜m (sאבל מהיות Rמרחב כיסוי של S 1נובע שקיימת הרמה יחידה להומוטופיה F˜ : I × I → Rהמקיימת ,p ◦ F˜ = Fומיחידות ההרמה נובע .f˜n ∼ f˜mכלומר .n = m h 51על ידי ההומוטופיה ).ft (s) = tf˜n (s) + (1 − t) f˜n (s 61 26.1 מסקנה :המשפט היסודי של האלגברה משפט :לכל פולינום ] p ∈ C [xשאינו קבוע קיים שורש ב.C- הוכחה :יהי p (z) = z n + a1 z n−1 + ... + an−1 z + anפולינום כלשהו )ההנחה שהוא מתוקן לא מפריעה( .נראה שאם לא קיים שורש אז pקבוע .כלומר נניח |) 0 < |p (zלכל z ∈ Cונסיק ש.n = 0- סימון :נקצר ונסמן נרמול z kzk z על־ידי . kk .1נגדיר לולאות fr : I → S 1 ⊂ Cעל־ידי )p(re2πis )/p(r kk = ) fr (sלכל .r ∈ C נשים לב ש ,fr (0) = fr (1) = 1-וכן שזוהי הומוטופיה בין ) f0 (s) = 1הלולאה הקבועה (1לבין כל ).fr (s Pn .2יהי r ∈ Cמספיק גדול כך שיתקיים .max {1, i=1 ai } < r נתבונן במעגל ברדיוס ,rכלומר } .{z ∈ C| |z| = rלכל zבמעגל מתקיים: Pn Pn Pn n−i t ≤ ≤ i=1 ai z n−i ≤ i=1 ai rn−i i=1 ai z Pn n ≤ rn−1 |ai < rn−1 · r = rn = |z Pn n−i pt (z) = z n + tעבור ].t ∈ [0, 1 נגדיר את הפולינומים i=1 ai z מאי־שוויון המשולש ומאי השוויון האחרון נובע: Pn P n n−i n−i ≤ |pt (z)| + t |z n | = pt (z) − t i=1 ai z i=1 ai z i=1 ⇓ Pn n−i |pt (z)| ≥ |z n | − t >0 i=1 ai z .3נגדיר )pt (re2πis )/pt (r kk = ) gt (sל .t ∈ [0, 1]-נשים לב כי: p0 (z) = z n =⇒ g0 (s) = e2πisn )p1 (z) = p (z) =⇒ g1 (s) = fr (s לכן זוהי הומוטופיה בין הלולאה הקבועה g0 (s) = e2πisnלבין ).fr (s .4משלב 3נובע ) e2πisn = g0 (s) ∼ fr (sומשלב 1נובע .fr (s) ∼ f0 (s) = 1 כלומר .e2πisn ∼ 1 אבל נשים לב כי הלולאה e2πisnמקיפה nפעמים את מעגל היחידה ,והלולאה 1היא הלולאה הקבועה .הראינו שהחבורה היסודית של המעגל איזומורפית לZ- בהתאם למספר הסיבובים סביב מעגל היחידה ,ולכן .n = 0 26.2 מסקנה :משפט נקודת השבת של בראואר משפט :נסמן את דיסק היחידה } .D = {z ∈ C| |z| ≤ 1לכל העתקה רציפה מהצורה f : D → Dקיימת נקודת שבת .כלומר קיימת z ∈ Dכך ש.f (z) = z- 62 הוכחה :נניח בשלילה כי f (z) 6= zלכל .z ∈ Dמההנחה נובע שלכל זוג )) (z, f (zקיים ישר יחיד שראשיתו ב f (z)-וחוצה את .zאם כך נגדיר העתקה r : D → S 1כך ש r (z)-היא נקודת החיתוך של הישר הנ"ל עם המעגל .S 1בפרט לכל z ∈ S 1 מתקיים .r (z) = zקל להשתכנע גאומטרית ש r-רציפה. תהי f0 : [0, 1] → S 1לולאה שמקיפה את S 1עם בסיס x0 ∈ Dכלשהו. נתבונן בלולאות .ft (s) = (1 − t) f0 (s) + tx0מקמירות Dנובע שזוהי הומוטופיה בין f0לבין הלולאה הקבועה .Cx0 : [0, 1] → {x0 } ∈ D מרציפות rנובע כי }) {r ◦ ft (sהומוטופיה בין r ◦ f0לבין .r ◦ Cx0אבל נשים לב כי f0 (s) ∈ S 1לכל ,sולכן ,r ◦ f0 = f0ומצד שני r ◦ Cx0היא הלולאה הקבועה ) ,r (x0סתירה . 26.3 ∼ R2 מסקנה6= R3 : 3 2 הוכחה :נניח בשלילה שקיים f : R → Rהומאומורפיזם .מכך נקבל שהצמצום מהצורה }) f : R2 \ {(0, 0)} → R3 \ {f (0, 0הומאומורפיזם. נשים לב שכל זוג לולאות ב R3 \ {f (0, 0)}-הומוטופיות ולכן })π1 R3 \ {f (0, 0 היא טריוויאלית. ב ,R2 \ {(0, 0)}-הלולאה שמקיפה את הראשית אינה הומוטופית ללולאה לעומת זאת 52 הקבועה ,ולכן }) π1 R2 \ {(0, 0אינה טריוויאלית. הזכרנו כי אם החבורות היסודיות של זוג מרחבים אינן איזומורפיות אז המרחבים אינם הומאומורפיים ,סתירה . 27 משפט זייפרד -ואן־קמפן הגדרה :תהי G = {Gα }αמשפחה של חבורות .נגדיר את חבורת המכפלה החופשית של G להיות קבוצת ה"מילים" } ,?α Gα =: {(g1 ...gm ) |m ∈ Nכאשר לכל mטבעי ,לכל 1 ≤ i ≤ mבוחרים } gi ∈ Gα \ {eGαכלשהו לאיזו ,Gα ∈ Gוכן לכל 1 ≤ i ≤ m−1 האיברים gi , gi+1אינם באותה חבורה. נסמן ב e-את המילה מאורך .0היא תהיה איבר היחידה של .?α Gα נגדיר על ?α Gαפעולת כפל צעד אחר צעד: • עבור זוג מילים ) (g) , (hשתיהן באורך :1 – אם g, hשייכים לאותה חבורה ,Gαאז נבחן את :g · h ∗ אם g · h = eGαנגדיר ) .(g) · (h) = eמילה באורך .(0 ∗ אם g · h 6= eGαנגדיר )) .(g) · (h) = (g · hמילה באורך .(1 – אם g, hלא שייכים לאותה חבורה ,נגדיר )) .(g) (h) = (ghמילה באורך .(2 • עבור זוג מילים ) (g1 ...gk ) , (h1 ...hlבאורכים כלשהם ,נתחיל לבצע את התהליך שהסברנו לעיל על ,gk , h1וכן הלאה עד שנסיים. 52ניתן להראות שלכל x0 ∈ R2מתקיים } ∼ π1 R2 \ {x0 ∼ .Z = = π1 S 1 63 הערה :קל לראות שקיים איבר יחידה ,וכמו כן ההופכי של איבר ) (g1 ...gmכלשהו הוא −1 . gmכדי לוודא שזו אכן חבורה נותר להראות שפעולה זו אסוציאטיבית. ...g1−1 ניתן לעשות זאת באמצעות התיחסות לכל איבר ) (g1 ...gmכפונקציה כלשהי ,ולהסיק את הנדרש מאסוציאטיביות של הרכבת פונקציות .אבל לא נלמד זאת כאן. דוגמאות: .1החבורה החופשית על שני יוצרים :ניקח זוג חבורות hai , hbiלהיות חבורות החופשית שלהן היא ציקליות אינסופיות ,כלומר שני עותקים של .Zאז המכפלה }hai ? hbi = e, a±1 , b±1 = {e, an1 bm1 ...ank bmk |k ∈ N, ni , mi ∈ Z .2ניקח זוג חבורות } {1, a} , {1, bלהיות שני עותקים של החבורה היחידה מגודל .2אזי }.{0, a} ? {0, b} = {e, a, b, ab, ba, aba, bab, ... סימון :יהיו .H ≤ Gנסמן ב N (H)-את תת החבורה הנורמלית הקטנה ביותר של G המכילה את .H הגדרה :יהיו G1 , G2 , Lחבורות ,ויהיו הומומורפיזמים .ϕ1 : L → G1 , ϕ2 : L → G2 −1 נגדיר יחס שקילות על ϕ1 (L) ? ϕ2 (L) ≤ G1 ? G2על ידי = ))ϕ1 (l) (ϕ2 (l ) e ⇐⇒ ϕ1 (l) ∼ ϕ2 (lלכל .l ∈ Lנסמן את אוסף האיברים הללו ב.H ≤ G1 ?G2 - נגדיר ונסמן את המכפלה החופשית הממוזגת של G1 , G2על ידי: )G1 ?L G2 = G1 ?G2/N (H i1 i2 טענה :בסימוני ההגדרה ,קיימים שיכונים טבעיים .G1 ,→ G1 ?L G2 , G2 ,→ G1 ?L G2 ψ2 ψ1 תהי גם Kחבורה כלשהי ,כך שקיימים גם השיכונים .G1 −→ K, G2 −→ Kאזי הדיאגרמה הבאה היא ”:”pushout diagram / G1 i1 ϕ1 L ϕ2 / G1 ?L G2 i2 G2 כלומר ,אם φ : G1 ?L G2 → Kהומומורפיזם ,אז הדיאגרמה הבאה מתחלפת: / G1 ϕ1 ϕ2 i1 / G1 ?L G2 ψ1 φ K *$ ψ2 64 L i2 G2 ∼ G1 ?L G2וכן ϕ1 , ϕ2הומומורפיזמים טריוויאליים. הערה :אם } ,L = {eאז = G1 ? G2 במקרה זה מתקבל ההומומורפיזם φ : G1 ? G2 → Kעל ידי →(g1 ...gm ) 7 )) ,(ψi (g1 ) ...ψi (gmכאשר לכל ,gjההומומורפיזם ψiהוא המתאים לחבורה Gi המכילה את ,gjכאשר i = 1, 2ו.j = 1, ..., m- הערה pushout diagram :הוא מונח כללי מתורת הקטגוריות ולא נגדיר אותו כאן באופן פורמלי .לצרכים שלנו -בהקשר של מרחבים טופולוגיים וחבורות -קל לנחש מהי pushout diagramלפי הדוגמה שהראינו. משפט :יהיו U, Vזוג קבוצות פתוחות וקשירות מסילתית במרחב טופולוגי כלשהו ,ונניח כי ∅ = U ∩ V 6וגם הוא קשיר מסילתית. iU jU iV jV קיימים השיכונים הטבעיים U ∩ V ,→ U ,→ U ∪ Vו.U ∩ V ,→ V ,→ U ∪ V - נניח שהדיאגרמה הבאה היא :pushout diagram /U jU iU / U ∪V iV U ∩V V jV ∼ ) .π1 (U ) ?π1 (U ∩V ) π1 (V אזי מתקיים כי ) = π1 (U ∪ V כלומר ,הדיאגרמה המתאימה של החבורות היסודיות גם היא :pushout diagram ∗jU ) / π1 (U ∗iU ) π1 (U ∩ V ∗jV ) / π1 (U ∪ V ∗iV ) π1 (V כאשר ההעתקות ∗ הן הומומורפיזמים בין החבורות היסודיות המושרים מהשיכונים. הוכחה חלקית :נתאר את מתווה ההוכחה למקרה הפרטי בו U ∩ Vמרחב פשוט קשר. ∼ ) .π1 (U ) ?{e} π1 (Vכלומר ∼ ) ,π1 (U ∩ Vולכן ) = π1 (U ) ? π1 (V כלומר }= {e π (U ∪ V ) להראות מספיק ∼ ) .π1 (U ) ? π1 (V = 1 נקבע .x0 ∈ U ∩ Vנסמן ב [γ]U ∈ π1 (U, x0 )-וב [γ]V ∈ π1 (V, x0 )-לולאות כלליות .בהתאם ,נשים לב שאיבר כללי ב π1 (U, x0 ) ? π1 (V, x0 )-הוא מילה מהצורה , [γ1 ]J1 [γ2 ]J2 ... [γk ]Jkכאשר Jiהוא Uאו .V נגדיר העתקה ) ,Φ : π1 (U, x0 ) ? π1 (V, x0 ) → π1 (U ∩ V, x0על ידי שרשור לולאות באופן הבא: [γ1 ]J1 [γ2 ]J2 ... [γk ]Jk 7→ [γ]J1 ? [γ]J2 ? ... ? [γ]Jk קל לראות שהתמונה היא לולאה כלשהי ב.π1 (U ∩ V, x0 )- מתברר גם שההעתקה Φהיא הומומורפיזם חח"ע ועל. 65
© Copyright 2024