‫דף עבודה בנושא בסיס ומימד‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫לפניך שני תתי מרחבים של ‪) R6‬אין צורך להוכיח שאלו אכן תתי מרחבים(‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a , b, c  R ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ W‬הוא המרחב הנפרש ע"י הוקטורים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪U  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a  b ‬‬ ‫‪ a  c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫א‪ .‬מצא בסיס לתתי המרחבים ‪ W‬ו‪.U -‬‬ ‫ב‪ .‬מצא בסיס ל‪. W  U -‬‬ ‫ג‪ .‬מצא בסיס ל‪. W U -‬‬ ‫ד‪ .‬מצא בסיס לתת מרחב ‪ U1‬של ‪ R6‬כך שיתקיים השוויון‪. W  U  U1  (U  W ) :‬‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫יהיו ‪ U‬ו‪ W -‬תתי מרחבים של מרחב וקטורי ‪ .V‬נתון כי ‪ v1 , v2 ‬הוא בסיס ל‪ v1 , v2 , u1 , U W -‬הוא בסיס ל‪ U -‬ו‪-‬‬ ‫‪ v1 , v2 , w1 , w2 ‬הוא בסיס ל‪ .W -‬מצא בסיס ל‪ U  W -‬והוכח שזהו בסיס‪.‬‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫לפניך שתי טענות‪ .‬עבור כל אחת מהן עליך לקבוע אם היא נכונה או לא‪ .‬אם לדעתך הטענה נכונה‪ ,‬יש להוכיח אותה‪ .‬אם‬ ‫לדעתך הטענה אינה נכונה‪ ,‬עליך להביא דוגמא נגדית‪.‬‬ ‫א‪ .‬יהא ‪ V‬מרחב וקטורי ו‪ U -‬ו‪ W -‬שני תתי מרחבים של ‪ .V‬נתון כי ‪ . V  U  W‬יהא ‪ B1‬בסיס ל‪ U -‬ויהא ‪ B2‬בסיס‬ ‫ל‪ .W -‬אז ‪ B1  B2‬הוא בסיס ל‪.V -‬‬ ‫ב‪ .‬מרחב וקטורי הנפרש ע"י מטריצות מאותו הסדר שדרגת כל אחת מהן קטנה ממש מ‪ n -‬מכיל רק מטריצות‬ ‫מדרגה קטנה ממש מ‪.n -‬‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫יהא ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד ‪ n‬ויהיו ‪ U‬ו‪ W -‬שני תתי מרחבים שונים שהמימד של כל אחד מהם הוא ‪ . n  1‬מצא את‬ ‫המימד של ‪) U W‬הוכח שזה אכן המימד(‪.‬‬ ‫תרגיל ‪5‬‬ ‫א( הוכח‪ :‬לכל שתי מטריצות ‪ A‬ו‪ B -‬מתקיים‪. rank ( AB)  min rank ( A) , rank ( B) :‬‬ ‫)רמז‪ :‬הראה שמרחב העמודות של ‪ AB‬מוכל במרחב העמודות של ‪ A‬ושמרחב השורות של ‪ AB‬מוכל במרחב השורות של ‪.( B‬‬ ‫ב( השתמש בעובדה שדרגת מטריצה שווה למימד מרחב השורות )או העמודות( שלה כדי להוכיח שלכל שתי מטריצות ‪ A‬ו‪-‬‬ ‫‪ B‬מאותו הסדר מתקיים ) ‪. rank ( A  B )  rank ( A)  rank ( B‬‬