בסיס ומימד בנושא דף עבודה

‫דף עבודה בנושא בסיס ומימד‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫לפניך שני תתי מרחבים של ‪) R6‬אין צורך להוכיח שאלו אכן תתי מרחבים(‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a , b, c  R ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ W‬הוא המרחב הנפרש ע"י הוקטורים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪U  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a  b ‬‬
‫‪ a  c ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫א‪ .‬מצא בסיס לתתי המרחבים ‪ W‬ו‪.U -‬‬
‫ב‪ .‬מצא בסיס ל‪. W  U -‬‬
‫ג‪ .‬מצא בסיס ל‪. W U -‬‬
‫ד‪ .‬מצא בסיס לתת מרחב ‪ U1‬של ‪ R6‬כך שיתקיים השוויון‪. W  U  U1  (U  W ) :‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫יהיו ‪ U‬ו‪ W -‬תתי מרחבים של מרחב וקטורי ‪ .V‬נתון כי ‪ v1 , v2 ‬הוא בסיס ל‪ v1 , v2 , u1 , U W -‬הוא בסיס ל‪ U -‬ו‪-‬‬
‫‪ v1 , v2 , w1 , w2 ‬הוא בסיס ל‪ .W -‬מצא בסיס ל‪ U  W -‬והוכח שזהו בסיס‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫לפניך שתי טענות‪ .‬עבור כל אחת מהן עליך לקבוע אם היא נכונה או לא‪ .‬אם לדעתך הטענה נכונה‪ ,‬יש להוכיח אותה‪ .‬אם‬
‫לדעתך הטענה אינה נכונה‪ ,‬עליך להביא דוגמא נגדית‪.‬‬
‫א‪ .‬יהא ‪ V‬מרחב וקטורי ו‪ U -‬ו‪ W -‬שני תתי מרחבים של ‪ .V‬נתון כי ‪ . V  U  W‬יהא ‪ B1‬בסיס ל‪ U -‬ויהא ‪ B2‬בסיס‬
‫ל‪ .W -‬אז ‪ B1  B2‬הוא בסיס ל‪.V -‬‬
‫ב‪ .‬מרחב וקטורי הנפרש ע"י מטריצות מאותו הסדר שדרגת כל אחת מהן קטנה ממש מ‪ n -‬מכיל רק מטריצות‬
‫מדרגה קטנה ממש מ‪.n -‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫יהא ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד ‪ n‬ויהיו ‪ U‬ו‪ W -‬שני תתי מרחבים שונים שהמימד של כל אחד מהם הוא ‪ . n  1‬מצא את‬
‫המימד של ‪) U W‬הוכח שזה אכן המימד(‪.‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫א( הוכח‪ :‬לכל שתי מטריצות ‪ A‬ו‪ B -‬מתקיים‪. rank ( AB)  min rank ( A) , rank ( B) :‬‬
‫)רמז‪ :‬הראה שמרחב העמודות של ‪ AB‬מוכל במרחב העמודות של ‪ A‬ושמרחב השורות של ‪ AB‬מוכל במרחב השורות של ‪.( B‬‬
‫ב( השתמש בעובדה שדרגת מטריצה שווה למימד מרחב השורות )או העמודות( שלה כדי להוכיח שלכל שתי מטריצות ‪ A‬ו‪-‬‬
‫‪ B‬מאותו הסדר מתקיים ) ‪. rank ( A  B )  rank ( A)  rank ( B‬‬