מבוא לטופולוגיה 80516

‫מבוא לטופולוגיה ‪80516‬‬
‫אור דגמי‪[email protected] ,‬‬
‫‪ 13‬ביולי ‪2012‬‬
‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org :‬‬
‫סיכום הרצאות של פרופ׳ רון ליבנה בשנת לימודים ‪2012‬‬
‫הספר שילווה את הקורס הוא הספר ‪Munkres - Topology a First Course‬‬
‫התרגילים יהיו כ‪ 10%‬מציון הקורס והבחינה כ‪ .90%‬ציון תרגילים יהיה ‪ 70%‬אחוז מהתרגילים הטובים ביותר אבל‬
‫הגשת כל התרגילים היא חובה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫מרחבים מטריים‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫מבוא למרחבים מטריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מטריקות שקולות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1.3‬‬
‫מטריקות על מרחבי מכפלה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪6‬‬
‫מרחב טופולוגי‬
‫‪2.1‬‬
‫‪2.2‬‬
‫הגדרת המרחב הטופולוגי וטופולוגיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחבים טופולוגיים הנוצרים ממטריקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪2.4‬‬
‫טופולוגיה מצומצמת לתת מרחב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫בסיס של טופולוגיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2.5‬‬
‫טופולוגיית הסדר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪11‬‬
‫‪2.6‬‬
‫קבוצות סגורות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪12‬‬
‫העתקות בין מרחבים טופולוגים‬
‫‪7‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3.1‬‬
‫רציפות ורציפות נקודתית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.1.1‬רציפות ורציפות נקודתית במרחבים מטריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪3.2‬‬
‫הומיאומורפיזם ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪18‬‬
‫‪20‬‬
‫מכפלה של מרחב טופולוגי‬
‫מכפלה של יותר משני מרחבים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מכפלה אינסופית של מרחבים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫הפרדה‬
‫‪ 5.1‬ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫דוגמאות למרחבים נורמליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪28‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4.1‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪35‬‬
‫קשירות‬
‫‪6.1‬‬
‫תכונות בסיסיות של קשירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪36‬‬
‫‪6.2‬‬
‫קומפקטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪40‬‬
‫הכללה של מושגים מאינפי‬
‫‪7.1‬‬
‫‪7.2‬‬
‫‪44‬‬
‫רציפות במידה שווה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפטי ויירשטראס ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44‬‬
‫‪7.3‬‬
‫‪ 7.2.1‬קומפקטיות מקומית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מרחבי מנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪46‬‬
‫‪47‬‬
‫‪7.4‬‬
‫‪7.5‬‬
‫קבוצת קנטור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫העקום של פיאנו ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪49‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪8‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪51‬‬
‫החבורה היסודית‬
‫‪8.1‬‬
‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪51‬‬
‫‪8.2‬‬
‫הכנות לקראת בניית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π1‬‬
‫‪52‬‬
‫‪3‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫מרחבים מטריים‬
‫‪1.1‬‬
‫מבוא למרחבים מטריים‬
‫אוסף הדוגמאות החשוב ביותר בקורס זה הוא ״מרחבים מטריים״‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1.1‬מרחב מטרי‪ :‬קבוצה )‪ (X, d‬כאשר ‪ X‬קבוצה ו־ ‪ d : X × X → R‬פונקציה ״מטריקה״ המקיימת את התכונות‪:‬‬
‫‪ d (x, y) ≥ 0 .1‬ומתקיים ‪x = y ⇐⇒ d (x, y) = 0‬‬
‫‪d (x, y) = d (y, x) .2‬‬
‫‪) d (x, y) + d (y, z) ≥ d (x, z) .3‬״אי שיוויון המשולש״(‬
‫הערה ‪ 1.1.2‬אינטואיציה לאי שיוויון המשולש‪ .‬תארו לעצמכם משולש עם קודקודים ‪ x, y, z‬אזי המרחק בין ‪ x‬ל‪ z‬קטן או שווה למרחק‬
‫בין ‪ x‬ל‪ + y‬המרחק בין ‪ y‬ל ‪.z‬‬
‫דוגמה ‪ X = Rn 1.1.3‬ו‪:‬‬
‫(‬
‫) ‪~x = (x1 , . . . , xn‬‬
‫) ‪~y = (y1 , . . . , yn‬‬
‫נגדיר על ‪ X‬שלוש מטריקות‪.‬‬
‫| ‪= |y1 − x1 | + |y2 − x2 | + . . . + |yn − xn‬‬
‫‪1/2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫) ‪(y1 − x1 ) + (y2 − x2 ) + . . . + (yn − xn‬‬
‫| ‪max |yi − xi‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫✩‬
‫)‪dL1 (x, y‬‬
‫)‪dL2 (x, y‬‬
‫)‪dL∞ (x, y‬‬
‫=‬
‫מטריקת ‪ ,L1‬המטריקה האוקלידית ) ‪ ,L2‬מטריקת מכפלה פנימית( ומטריקת ∞‪.L‬‬
‫תרגיל‪ :‬להראות כי אלה אכן מטריקות‪ .‬החלק היחידי שאינו טריוויאלי הוא אי שיוויון המשולש ל ‪.dL2‬‬
‫כלומר להראות כי אם גם ) ‪ ~z = (z1 , . . . , zn‬אז‪:‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ ) ‪(zi − xi‬‬
‫‪(zi − yi ) +‬‬
‫) ‪(yi − xi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫✬‬
‫‪i‬‬
‫ומוכיחים ע״י אי שיוויון קושי שוורץ‪.‬‬
‫✫‬
‫✪‬
‫‪n‬‬
‫המטריקות האלה כולן באות מנורמות על המרחב הויקטורי ‪ .R‬אנו יודעים כי ‪ kxk ≥ 0 ,kx + yk ≤ kxk+kyk‬ושיוויון ⇒⇐ ‪.x = 0‬‬
‫וגם‪ .α ∈ R kαxk = |α| kxk :‬מטריקת ‪ L2‬באה ממכפלה פנימית‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .1.2‬מטריקות שקולות‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים מטריים‬
‫הערה ‪ 1.1.4‬הוכחה של מטריקת ‪ dL2‬בעזרת קושי שוורץ‪.‬‬
‫‪yi − xi = ai‬‬
‫נחזור להתבונן במקרה של ‪ Rn‬לנוחות נסמן‬
‫‪zi − yi‬‬
‫‪= bi‬‬
‫(‬
‫ואז ‪ zi − xi = ai + bi‬ועלינו להראות‪:‬‬
‫)) ‪dL2 ((x1 , . . . , xn ) , (y1 , . . . , yn )) + d ((y1 , . . . , yn ) , (z1 , . . . , zn )) ≥ d ((x1 , . . . , xn ) , (z1 , . . . , zn‬‬
‫כלומר אנו רוצים להראות כי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(ai + bi‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪i‬‬
‫≥ ‪b2i‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪a2i +‬‬
‫‪i‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪i‬‬
‫יספיק לבדוק אחרי העלאה בריבוע‪:‬‬
‫‪ai b i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪b2i + 2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a2i +‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪(ai + bi‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫≥ ‪b2i‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪b2i + 2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a2i +‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫כלומר נשאר להראות‬
‫‪2‬‬
‫‪ai b i‬‬
‫‪X‬‬
‫≥ ‪b2i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫⇒ ‪ai b i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫≥ ‪b2i‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪i‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪sX‬‬
‫‪i‬‬
‫אי שיוויון קושי שוורץ מאלגברה לינארית‪ .‬ולכן סיימנו‪.‬‬
‫תזכורת ‪ 1.1.5‬תזכורת להוכחה‪:‬‬
‫‪a2i = λ2 A + λB + C‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ai b i +‬‬
‫‪X‬‬
‫‪b2i − 2λ‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(ai − λbi )2 = λ2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i‬‬
‫≤‪0‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫כאשר ‪ B = −2 ai bi ,A = b2i‬ו ‪.C = ai‬‬
‫ומכיוון ש ‪ .0 ≤ Aλ2 + Bλ + C‬הדיסקרימיננטה שלו ≥ ‪) 0‬אחרת יש שני שורשים ולן תקום בו שלילי(‪ .‬נקבל ‪.B 2 − 4AC ≤ 0‬‬
‫‪B 2 ≤ 4AC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X‬‬
‫ ‪X X‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ai b i ≤ 4‬‬
‫‪a2i‬‬
‫‪b2i‬‬
‫דוגמה ‪ 1.1.6‬תהי ‪ X‬קבוצה כלשהי‪ ,‬המטריקה הדיסקרטית על ‪ X‬היא‪:‬‬
‫(‬
‫‪1 x 6= y‬‬
‫= )‪ddis (x, y‬‬
‫‪0 x=y‬‬
‫הוכחה טריוויאלית‪.‬‬
‫‪1.2‬‬
‫מטריקות שקולות‬
‫הגדרה ‪ 1.2.1‬מטריקות שקולות‪ :‬שתי מטריקות ‪ d, d′‬על אותה קבוצה ‪ ,X‬נקראות שקולות אם קיימים קבועים ‪ A, B > 0‬כך שלכל‬
‫‪ d (x, y) ≤ Ad′ (x, y) ,x, y ∈ X‬וגם‪.d′ (x, y) ≤ Bd (x, y) :‬‬
‫הערה ‪) 1.2.2‬שלי(‬
‫זה כמובן שקול ל‪:‬‬
‫)‪˜ ′ (x, y) ≤ d (x, y) ≤ Ad′ (x, y‬‬
‫‪Bd‬‬
‫עבור‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫=˜‬
‫‪B‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .1.3‬מטריקות על מרחבי מכפלה‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים מטריים‬
‫על ‪ Rn‬המטריקות ∞‪dL1 , dL2 , dL‬שקולות‪.‬‬
‫)‪ndL∞ (x, y‬‬
‫≤‬
‫}‪|{z‬‬
‫≤‬
‫}‪|{z‬‬
‫)‪dL1 (x, y‬‬
‫הקבוע הוא ‪n‬‬
‫✠‬
‫הקבוע הוא ‪1‬‬
‫הקבוע הוא ‪1‬‬
‫אבל אינן שקולות ל ‪ ddis‬על ‪) Rn‬כאשר כמובן ‪(n ≥ 1‬‬
‫✟‬
‫)‪dL2 (x, y‬‬
‫≤‬
‫}‪|{z‬‬
‫)‪dL∞ (x, y‬‬
‫הערה ‪ 1.2.3‬חסר כאן את ‪ dL2‬שוב‪ ,‬אבל בתכלס שקילות מטריקות זה יחס שקילות אז זה לא באמת קריטי‪ .‬כי זה כן מראה ששניהן‬
‫שקולות ל ∞‪.dL‬‬
‫תרגיל‪ :‬לא מיידי אבל מומלץ‪:‬‬
‫כל המטריקה על ‪ Rn‬המתקבלת מנורמות‪ ,‬שקולות‪) .‬נניח ל‬
‫☛‬
‫✡‬
‫∞‪(dL‬‬
‫טענה ‪1.2.4‬‬
‫יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי ‪ Y ⊂ X‬תת קבוצה אזי ניתן למצם את ‪ d‬למטריקה ‪ dY‬על ‪ dY (y1 , y2 ) = d (y1 , y2 ) .Y‬לכל ‪.y1 , y2 ∈ Y‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי שזו מטריקה‪.‬‬
‫נאמר כי ) ‪ (Y, dY‬הוא תת מרחב מטרי של )‪.(X, d‬‬
‫‪1.3‬‬
‫מטריקות על מרחבי מכפלה‬
‫יהיו ) ‪ (X, dX‬ו ) ‪ (Y, dY‬מרחבים מטריים‪ .‬נגדיר על קבוצת המכפלה ‪X × Y‬‬
‫= )) ‪d1 ((x, y) , (x′ , y ′‬‬
‫) ‪dX (x, x′ ) + dY (y, y ′‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)) ‪(dX (x, x′ )) + (dY (y, y ′‬‬
‫= )) ‪d2 ((x, y) , (x′ , y ′‬‬
‫= )) ‪d∞ ((x, y) , (x′ , y ′‬‬
‫)) ‪max (dX (x, x′ ) , dY (y, y ′‬‬
‫אלה אכן מטריקות‪ .‬אי־שוויון המשולש ל ‪ d2‬נובע מקושי שוורץ‪ .‬מאוד דומה למקרה של מטריקה אוקלידית‪.‬‬
‫אפשר כמובן להכפיל כל מספר סופי של גרומים ואף ניתן להכפיל מספר בן מנייה של מרחבים מטריים‬
‫המכפלה‪:‬‬
‫∞}) ‪{(Xi , di‬‬
‫‪i=1‬‬
‫∞‬
‫} ‪Xi = {(xi )i=1 | x ∈ Xi‬‬
‫∞‬
‫‪Y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ניתן להגדיר מטריקה ע״י‪:‬‬
‫) ‪di (xi , yi‬‬
‫) ‪1 + di (xi + yi‬‬
‫= ) ‪ρi (xi , yi‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫) ‪2−i ρi (xi , yi‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫= ) ‪d ((xi )i=1 , (yi )i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫טור של מספרים ≤ ‪≤2−i ,0‬המחובר ה‪ 0 ≤i‬ולכן הטור מתכנס‪.‬‬
‫סימטריה מיידית‪ ≥ 0 .‬מיידי‪ = 0 ,‬אמ״מ ‪ xi = yi‬לכל ‪ i‬מיידי‪.‬‬
‫את אי שיוויון המשולש נוכיח בשני שלבים‪:‬‬
‫שלב א׳‪:‬‬
‫למה ‪1.3.1‬‬
‫יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי ונגדיר ‪ ρ : X × X → R‬ע״י‬
‫)‪d(x,y‬‬
‫)‪1+d(x,y‬‬
‫= )‪ ρ (x, y‬אזי ‪ ρ‬מטריקה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫על קבוצת‬
‫פרק ‪ .1‬מרחבים מטריים‬
‫‪ .1.3‬מטריקות על מרחבי מכפלה‬
‫הוכחה‪ :‬רק אי שוויון המשולש אינו מיידי‪.‬‬
‫יהיו ‪ ,x, y, z ∈ X‬נסמן‪:‬‬
‫)‪d (x, y‬‬
‫)‪d (y, z‬‬
‫= ‪a‬‬
‫= ‪b‬‬
‫)‪d (x, z‬‬
‫= ‪c‬‬
‫צריך להוכיח כי‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+‬‬
‫≥‬
‫‪1+a 1+b‬‬
‫‪1+c‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪t‬‬
‫‪1+t‬‬
‫→‪ t 7‬היא מונוטונית כי‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=1−‬‬
‫‪1+t‬‬
‫‪1+t‬‬
‫וברור כי זה מונוטוני עולה‪ ,‬ומאי שיוויון המשולש עבור המטריקה ‪ d‬אנו יודעים כי ‪ a + b ≥ c‬ולכן יספיק להראות‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a+b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+‬‬
‫≥‬
‫‪1+a 1+b‬‬
‫‪1+a+b‬‬
‫נכפיל במכנה המשותף ונקבל‪:‬‬
‫?‬
‫)‪a (1 + b) (1 + a + b) + b (1 + a) (1 + a + b) ≥ (a + b) (1 + a) (1 + b‬‬
‫נבחין כי האגף השמאלי הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(a + b) + (a + b) + 2ab (1 + a + b‬‬
‫ואילו הימני‪:‬‬
‫)‪(a + b) + (a + b)2 + ab (a + b‬‬
‫כלומר קיבלנו כי האי שיוויון נכון אם‪:‬‬
‫‪2 (1 + a + b) ≥ a + b‬‬
‫וזה בבירור נכון‪.‬‬
‫השלב השני‪ :‬כעת מיידי ש ) ‪2−i ρ (xi , yi‬‬
‫∞‬
‫‪P‬‬
‫אכן מגדיר מטריקה על ‪Xi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫∞‬
‫‪Q‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הערה ‪ 1.3.2‬מכיוון שהמטריקה ‪ ρ‬חסומה )ע״י ‪ (1‬היא לא שקולה למטריקה המקורית ‪ d‬למשל עובר )‪(R, L‬‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫מרחב טופולוגי‬
‫‪2.1‬‬
‫הגדרת המרחב הטופולוגי וטופולוגיה‬
‫ההגדרות המרכזיות של הקורס‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.1‬טופולוגיה ‪ U‬על קבוצה ‪ X‬היא אוסף ‪ U = {Uα }α∈I‬של תתי קבוצות ‪ Uα‬של ‪ I) X‬קבוצת אינקס(‪ .‬הקבוצות ‪Uα‬‬
‫נקראות הקבוצות הפתוחות של הטופולוגיה ‪) U‬או של המרחב הטופולוגי( והן נדרשות לקיים את התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ X .1‬ו∅ שייכות ל‪) U‬כלומר נחשבות לפתוחות(‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .2‬איחוד ‪Uβ‬‬
‫של פתוחות הוא פתוח )אם כל ‪ U ∋ Uβ‬אזי גם ‪( Uβ ∈ U‬‬
‫‪β∈J‬‬
‫‪ .3‬חיתוך של שתי פתוחות גם הוא פתוח )ולכן באינדוקציה חיתוך סופי של פתוחות של פתוח(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.2‬מרחב טופולוגי הוא זוג )‪ (X, U‬כאשר ‪ X‬קבוצה ו ‪ U‬טופולוגי על ‪X‬‬
‫דוגמה ‪ 2.1.3‬כל הקבוצות ‪ X‬יש שתי טופולוגיות שבאות בחינם‪:‬‬
‫‪ .1‬הטופולוגיה הטריוויאלית }‪Utriv = {∅, X‬‬
‫‪ .2‬הטופולוגיה הדיסקרטית‪) Udis = P (X) :‬כל תתי הקבוצות של ‪ ,X‬קבוצת החזקה של ‪(X‬‬
‫כל טופולוגיה חייבת להיות בניהן‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.4‬יהיו ‪ U1 , U2‬שתי טופווגיות על קבוצה ‪ X‬אם ‪ U1 ⊂ U2‬נאמר ש ‪ U1‬חלשה יותר מ ‪) U2‬טריוויאלית הכי חלשה(‬
‫‪ U2‬חזקה יותר מ ‪) U1‬דיסקרטית הכי חזקה(‬
‫‪2.2‬‬
‫מרחבים טופולוגיים הנוצרים ממטריקה‬
‫מקרה חשוב מאוד של מרחבים טופולוגיים‪ :‬מרחב הנוצר ממטריקה‬
‫הגדרה ‪ 2.2.1‬כדור פתוח‪ :‬הכדור הפתוח ברידוס ‪) r‬הגדול מאפס( סביב ‪ X) x ∈ X‬מטרי‪ d ,‬המטריקה( הוא‪:‬‬
‫}‪Br (x) = {y ∈ X | d (y, x) < r‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.2‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ ,‬תת קבוצה ‪ U ⊂ X‬תקרא פתוחה אם היא איחוד כלשהו של כדורים פתוחים‬
‫דוגמה ‪2.2.3‬‬
‫‪ ∅ .1‬האיחוד על קבוצת האינקדסים ריקה של כדורים = פתוחה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫פרק ‪ .2‬מרחב טופולוגי‬
‫‪ .2.2‬מרחבים טופולוגיים הנוצרים ממטריקה‬
‫‪: X .2‬‬
‫)‪Br (x‬‬
‫[‬
‫= )‪B1 (x‬‬
‫[‬
‫‪x∈X‬‬
‫‪0<r.x∈X‬‬
‫פתוח‪.‬‬
‫ברור כי איחוד של פתוחות הוא פתוח‪.‬‬
‫למה ‪2.2.4‬‬
‫קבוצה ‪ U‬במרחב מטרי ‪ X‬היא פתוחה ⇒⇐ לכל ‪ x ∈ U‬קיים ‪ r > 0‬כך ש ‪Br (x) ⊂ U‬‬
‫הוכחה‪ ⇒ :‬מאוד פשוט‪ .‬לכל ‪ x ∈ U‬נבחר ‪ 0 < r‬כך ש )‪ U ⊃ Brx (x‬אזי‪:‬‬
‫[‬
‫[‬
‫=‪U‬‬
‫⊆ }‪{x‬‬
‫‪Brx (x) ⊆ U‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫‪S‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫ולכן ‪ U‬היא איחוד של כדורים‪Brx (x) :‬‬
‫‪S‬‬
‫⇐‪ :‬תהי ) ‪Brα (uα‬‬
‫= ‪ U‬איחוד של כדורים פתוחים‪ .‬ותהי ‪ u ∈ U‬אזי קיים ‪ α‬כך ש ) ‪ u ∈ Brα (uα‬אם״ם ‪δ = d (u, uα ) < rα‬‬
‫=‪.U‬‬
‫‪x∈U‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫אזי נסמן ‪ ε = rα − δ‬חיובי ממש‪ .‬ונטען‪:‬‬
‫) ‪Bε (u) ⊂ Brα (uα‬‬
‫אם נוכיח זאת סיימנו כי אז בוודאי ‪ .Bε (u) ⊂ U‬תהי )‪ y ∈ Bε (u‬אזי‪ d (y, u) < ε :‬ולכן‪:‬‬
‫‪d (y, uα ) ≤ d (y, u) + d (u, uα ) < ε + δ = rα‬‬
‫ולכן ) ‪ y ∈ Brα (uα‬כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪2.2.5‬‬
‫חיתוך של סופי של פתוחות ‪ U1 ∩ . . . ∩ Un‬הוא פתוח‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ y ∈ U1 ∩ . . . ∩ Un‬קיימים כדורים ‪ Bri (y) ⊂ Ui‬לכל ‪ i‬ואז אם ) ‪ r = min (ri‬בוודאי ‪Ui‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫קיבלנו על כל מרחב מטרי טופולוגיה הנקראת הטופולוגיה המטרית‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪i=1‬‬
‫⊂ )‪ Br (y‬כנדרש‬
‫הגדרה ‪S2.2.6‬הטופולוגיה המטרית על המרחב‪ :‬בהינתן מרחב מטרי )‪ ,(X, d‬הטופולוגיה המטרית על המרחב היא } ‪ {Ui‬כאשר = ‪U0‬‬
‫) ‪Brβ (xβ‬‬
‫כאשר ‪.xβ ∈ X , rβ > 0‬‬
‫‪β∈J‬‬
‫זאת אומרת‪ U0 ,‬הוא איחוד של כדורים פתוחים אם״ם לכל ‪ x ∈ U0‬קיים כדור פתוח )‪ Br (x‬כך ש ‪Br (x) ⊂ U0‬‬
‫הערה ‪ 2.2.7‬כדור פתוח הוא תמיד קבוצה פתוחה‬
‫הגדרה ‪ 2.2.8‬מרחב טופולוגי‪ :‬קבוצה ‪ X‬עם טופולוגיה ‪ U‬עליה )‪ (X, U‬נקרת מרחב טופולוגי‪.‬‬
‫מוטיב מרכזי בקורס‬
‫נתבונן בתכונות של מרחבים מטריים מוכרים מהמקרה של ‪ Rn‬וננסה להעביר אותן למרחבים טופולוגיים‪.‬‬
‫למה ‪2.2.9‬‬
‫אם ‪ d1‬ו‪ d2 :‬מטריקות שקולות על ‪ X‬אזי הן מגדירות את אותה טופולוגיה‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ d2 ≤ Cd1‬אז לכל ‪ x, y‬מתקיים‪ .d2 (x, y) ≤ Cd1 (x, y) :‬הכדור ) ‪(U‬‬
‫) ‪(d1‬‬
‫) ‪(d‬‬
‫‪ BCr2 (U ) ⊃ Br‬וכמו כן‪ ,‬בכיוון השני‪.‬‬
‫בפרט הטופולוגיה ב ‪ Rn‬שבאה מנורמה כלשהיא )נורמה על מרחב וקטורי( אינה תלויה בנורמה )ז״א‪ ,‬לכל נורמה יש את אותה‬
‫הטופולוגיה(‪.‬‬
‫☞‬
‫✎‬
‫‪d‬‬
‫‪ ρ = 1+d‬גם מטריקה על ‪ X‬למרות שלא שקולה לה‪ .‬אבל היא בכל זאת מגדירה את אותה טופולוגיה כי הפונקציה‬
‫תרגיל‪ :‬ראינו כי‬
‫‪t‬‬
‫‪ t 7→ 1+t‬רציפה עם הפוך רציף‪.‬‬
‫✍‬
‫✌‬
‫‪9‬‬
‫פרק ‪ .2‬מרחב טופולוגי‬
‫‪ .2.3‬טופולוגיה מצומצמת לתת מרחב‬
‫הערה ‪ 2.2.10‬המטריקה הדיסקרטית על קבוצה ‪ X‬מגדירה את הטופולוגיה הדיסקרטית‪ :‬כל תת קבוצה היא פתוחה }‪.B 12 (x) = {x‬‬
‫בטופולוגיה הרגילה על ‪ Rn‬הקבוצה }‪ {x‬אינה פתוחה‪.‬‬
‫אם ב ‪ X‬יש לפחות שתי נקודות אזי הטופולוגיה הטריוויאלית }‪ {∅, X‬אינה באה משום מטריקה כי ‪ x 6= y‬נסמן ב )‪.r = d (x, y‬‬
‫אזי הכדור ‪ x ∈ Br/2 (x) 6∋ y‬אינו שייך לטופולוגיה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 2.2.11‬בטופולוגיה הרגילה על ‪ R‬הקטע ]‪ [0, 1‬אינו פתוח כי אין שום קטע פתוח )‪ (−ε, ε‬סביב ‪ 0‬המוכל בו‪.‬‬
‫‪ 2.3‬טופולוגיה מצומצמת לתת מרחב‬
‫הגדרה ‪ 2.3.1‬יהי )‪ (X, U‬מרחב טופולוגי‪ ,‬תהי ‪ Y ⊂ X‬תת קבוצה‪ .‬נגדיר על ‪ Y‬את הצמצום של ‪. U |Y = {U ∩ Y }U∈U :U‬‬
‫טענה ‪2.3.2‬‬
‫זו טופולוגיה‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪X ∩ Y = Y ,∅ ∩ Y = ∅ .1‬‬
‫!‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Uβ ∩ Y .2‬‬
‫= ) ‪(Uβ ∩ Y‬‬
‫‪β∈J‬‬
‫‪∩ Y .3‬‬
‫‬
‫‪Ui‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫‪β∈J‬‬
‫= ) ‪(U1 ∩ Y ) ∩ (U2 ∩ Y ) ∩ . . . ∩ (Un ∩ Y‬‬
‫מההגדרה ברור כי הטופולוגיה מ ‪ = d |Y‬צמצום הטופולוגיה על ‪ (X, d) Y‬מרחב מטרי ‪.Y ⊂ X‬‬
‫)‪(X, d) −→ (X, U‬‬
‫↓‬
‫↓‬
‫צמצום ל־ ‪Y‬‬
‫) ‪(Y, d|Y ) ⇆ (x, U |U‬‬
‫צמצום ל־ ‪Y‬‬
‫נקבל את אותה התוצאה אם הטופולוגיה מתקבלת ממטריקה ואז מצמצמים או אם מצמצמים את המטריקה ואז לוקחים את‬
‫הטופולוגיה‪.‬‬
‫אם ‪ Y‬קבוצה פתוחה ב )‪ (X, U‬אזי הקבוצות הפתוחות ב ‪ Y‬בטופולוגיה המושרית ) ‪ U ∩ Y‬גאשר ‪ Y‬פתוחה ב ‪ (X‬הן בדיוק הקבוצות‬
‫הפתוחות של ‪ X‬שהן מוכלות ב ‪.Y‬‬
‫הערה ‪ 2.3.3‬אם ‪ Y‬אינה פתוחה זה לא נכון‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 2.3.4‬לטופולוגיה לא מטרית‪ :‬מרחב ה־‪ X = {x, y} : 2‬שתי נקודות שונות‪U = {∅, X, {x}} .‬‬
‫‪2.4‬‬
‫בסיס של טופולוגיה‬
‫הגדרה ‪ 2.4.1‬בסיס של טופולוגיה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה‪ ,‬בסיס על ‪ X‬הוא אוסף ‪ B‬של תתי קבוצות המקיים‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ x ∈ X‬אז קיים ‪ B ∈ B‬כך ש‪) .x ∈ B :‬שקול ל‪Bj :‬‬
‫= ‪(X‬‬
‫‪j∈J‬‬
‫‪ x ∈ A ∩ B A, B ∈ B .2‬אז קיים ‪ C‬כך ש‪.x ∈ C ⊂ (A ∩ B) :‬‬
‫משפט ‪2.4.2‬‬
‫‪ .1‬הכדורים הפתוחים במרחב המטרי מהווים בסיס‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫‪ .2‬תהי ‪ X‬קבוצה עם בסיס ‪ B‬ונגדיר‪Bα | Bα ∈ B :‬‬
‫∈‪U= U‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫אזי ‪ U‬טופולוגיה ו ‪ B ∈ B‬פתוחה בה‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫פרק ‪ .2‬מרחב טופולוגי‬
‫‪ .2.5‬טופולוגיית הסדר‬
‫טענה ‪2.4.3‬‬
‫האוסף ‪ {Uα } = U‬של קבוצות של איחודים ‪Bj‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ Uα‬מקיים את הטופולוגיה‪.‬‬
‫‪j∈Jα‬‬
‫הוכחה‪) ∅ ∈ U :‬לוקחים את האיחוד הריק ∅ = ‪(Jα‬‬
‫‪. Jα = J X ∈ U‬‬
‫איחודים של אברי ‪ U‬הם ב ‪) U‬ברור(‬
‫חיתוך של שני איברים ב‪) U‬ולכן חיתוכים סופיים‪ ,‬באינדוקציה( הם ב ‪.U‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫מתכונת הבסיס ‪ 2‬נקבל ‪Bj‬‬
‫= ‪Bj ,U1‬‬
‫= ‪ U2‬אז‪:‬‬
‫‪j∈J1‬‬
‫‪j∈J2‬‬
‫‪(Bi ∩ Bj ) = U1 ∩ U2‬‬
‫[‬
‫= ‪Bk‬‬
‫[‬
‫} ‪{∃i∈J1 ∃j∈J2 | Bk ⊂Bi ∩Bj‬‬
‫‪i ∈ J1‬‬
‫‪j ∈ J2‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫למרחבים מטריי הכדורים הפתוחים מקיימים את התחכונות של בסיס )הטופולוגיה שהם מגדירים )הפתוחות הן בדיוק האיחודים של‬
‫כדורים פתוחים( היא הטופולוגיה המטרית‪.‬‬
‫‪ 2.5‬טופולוגיית הסדר‬
‫הגדרה ‪ 2.5.1‬תהי ‪ X‬קבוצה סדורה בסדר מלא )> ‪(X,‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ X ∋ x, y‬מתקיימת בדיוק אחת האפשרויות‪ x < y :‬או ‪ y < x‬או ‪.x = y‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ x > y‬וגם ‪ y > z‬אז ‪x > z‬‬
‫סימונים סטנדרטיים‪ x = y ⇐⇒ x ≥ y , y < x ⇐⇒ x > y :‬או ‪.x > y‬‬
‫דוגמה ‪2.5.2‬‬
‫‪R .1‬‬
‫‪ .2‬קבוצה חלקית לקבוצה בסדר מלא כמו ‪Z, N, Q‬‬
‫הגדרה ‪ 2.5.3‬אינטרבל‪ :‬תהי ‪ X‬סדורה בסדר מלא‪ .‬אינטרבל ב ‪ X‬היא קבוצה מהצורה }‪ (a, b) = {x | a < x < b‬או‪:‬‬
‫}‪ (a, ∞) {x | a < x‬או‪ (−∞, b) = {x | x < b} :‬או ‪ X‬כולה‪.‬‬
‫טענה ‪2.5.4‬‬
‫תהי )> ‪ (X,‬קבוצה סדורה בסדר מלא אזי האינטרבלים מקיימים את תכונות הבסיס‬
‫הוכחה‪ X :‬בעצמה אינטרבל‪ ,‬לכן התכונה הראשונה היא טריוויאלית‪.‬‬
‫התכונה השניה‪ :‬נבחין כי אם )‪ x ∈ (a, b) ∩ (c, d‬אזי‪.max (a, c) < x < min (b, d) :‬‬
‫באופן דומה לכל האפשרי האפשרויות האחרות‪.X = (−∞, ∞) ,min (a, ∞) = a ,max (a, −∞) = a :‬‬
‫הטופולוגיה המתקבלת נקראת ״טופולוגיית הסדר״‪.‬‬
‫על )> ‪ (R,‬היט הטופולוגיה המטרית כי זה אותו בסיס‪.‬‬
‫יש כאן הרבה למות טריוויאליות שלא נוכיח כגון‪:‬‬
‫למה ‪2.5.5‬‬
‫שתי טופולוגיות ‪ U‬ו ‪ V‬על אותו מרחב ‪ X‬אזי ‪ B‬בסיס ל‪ U‬אם כל ‪ B ∈ B‬פתוחה ב ‪ V‬אזי ‪ V ⊃ U‬כלומר ‪ U‬חלשה יותר‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .2.6‬קבוצות סגורות‬
‫‪2.6‬‬
‫פרק ‪ .2‬מרחב טופולוגי‬
‫קבוצות סגורות‬
‫הגדרה ‪ 2.6.1‬קבוצה סגורה‪ :‬יהי )‪ (X, U‬מרחב טופולוגי‪ .‬תת קבוצה ‪ A‬של ‪ X‬תקרא סגורה אם המשלים שלה ‪ X\A‬פתוחה )כלומר‬
‫ב‪(U‬‬
‫נבחין כי כל הדברים שעבדו על קבוצות פתוחות ניתן כעת להפעיל על קבוצות סגורות בעזרת דה־מורגן‪.‬‬
‫כל תכונה טופולוגית אפשר לנסח בשימוש בקבוצות סגורות‪.‬‬
‫עקרון כללי‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪ X, ∅ .1‬פתוחות ⇒⇐ ∅ ‪ X,‬סגורות‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Uα .2‬‬
‫פתוח כאשר ‪ Uα‬פתוחות ⇒⇐‬
‫‪Aα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫הוכחה‪(X\Aα ) :‬‬
‫‪T‬‬
‫= ‪Aα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪S‬‬
‫\‪X‬‬
‫‪T‬‬
‫של סגורות סגור‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪ U1 ∩ U2 .3‬חיתוך שתי קבוצות פתוחות פתוח ⇒⇐ איחוד ‪ A1 ∪ A2‬שתי סגורות סגור )מספר סופי באינדוקציה(‬
‫טענה ‪2.6.2‬‬
‫במרחב מטרי )‪ (X, d‬תת קבוצה ‪ X ⊃ A‬סגורה ⇒⇐ לכל סדרה } ‪ A ⊃ {an‬כך ש ‪ (x ∈ X) an −→ x‬מתקיים בהכרח ‪.x ∈ A‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫)״קבוצה היא סגורה אם״ם היא מכילה את נקודות הגבול שלה״(‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬סגורה‪ an −→ x , an ∈ A ,‬צ״ל כי ‪.x ∈ A‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫∈ ‪ x‬אזי ‪ x ∈ A\X‬שהיא פתוחה‪ .‬ולכן יש ‪ r > 0‬כך ש )‪ .X\A ⊃ Br (x‬ולכן אם ‪ a ∈ A‬אזי‪ d (a, x) ≥ r :‬כיוון‬
‫נניח בשלילה ‪/ A‬‬
‫שאם הוא קטן‪ a ,‬יושב בכדור ברדיוס ‪ r‬ואז הוא בהכרח במשלים! לכן סתירה כיוון שלא ייתכן ש ‪ an −→ x‬מכיוון שעבור ‪ε = r‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫לא קיים ‪ n0‬כך שלכל ‪.d (an , x) < ε = r n > n0‬‬
‫כיוון שני‪:‬‬
‫נניח ש ‪ A‬מכילה את כל נקודות הגבול שלה נרצה להראות כי היא סגורה‪.‬‬
‫על מנת לעשות זאת נוכיח שהמשלים שלה פתוחה‪ .‬נניח בשלילה כי ‪ X\A‬אינה פתוחה‪ ,‬לכן קיימת ‪ X ∈ X\A‬כך ששום כדור )‪Br (x‬‬
‫אינו מוכל ב ‪ X\A‬אזי לכל ‪ n ∈ N‬הכדור ∅ =‪ .B1/n (x) ∩ A 6‬נבחר ‪ an ∈ B1/n (x) ∩ A‬ונקבל סדרה ‪ an‬כך ש ‪ d (an , x) < n1‬אז‬
‫∈ ‪ .A ∋ an −→ x‬וזו סתירה לנתון‪.‬‬
‫‪/A‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הערה ‪ 2.6.3‬יש ספרים שבהם זה מנוסח כך שבמרחב מטרי סגירות של תת קבוצה היא שקולה לסגירות סדרתית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.4‬כדור סגור‪ (X, d) :‬מרחב מטרי‪ ,‬כדור סגור יסומן }‪ Br (x) = {y ∈ X | d (x, y) ≤ r‬כאשר ‪ x ∈ X‬ו ‪.r > 0‬‬
‫טענה ‪2.6.5‬‬
‫כדור סוגר הוא קבוצה סגורה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אפשר להוכיח את הטענה ב‪ 2‬דרכים שונות‬
‫☎‬
‫✆‬
‫הוכחה א נראה כי המשלים פתוח‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬השלמה כתרגיל‪ .‬ניסיתי לגרום לרון לעשות את זה‪ ,‬אך הוא סרב‪.‬‬
‫✞‬
‫✝‬
‫הוכחה ב׳ מראים סגירות סדרתית‪.‬‬
‫נניח כי )‪ an ∈ Br (x‬אז ‪ an −→ y ∈ X‬אזי )‪ .d (y, x) ≤ d (y, an ) + d (an , x‬יהי ‪ ε > 0‬אם ‪ n‬מספיק גדול אז ‪d (y, an ) < ε‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫‪d (y, x) ≤ d (y, an ) + d (an , x) ≤ ε + r‬‬
‫ולכן ‪ d (y, x) ≤ r‬כי זה נכון לכל ‪ 0 < ε‬כלשהו‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪ .2‬מרחב טופולוגי‬
‫‪ .2.6‬קבוצות סגורות‬
‫הערה ‪ 2.6.6‬ב‪= (0, 1) R‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−‬‬
‫ ∞‬
‫‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n, 1‬‬
‫‪n=2‬‬
‫∈‪0‬‬
‫אינה קבוצה סגורה‪ .‬כיוון שהסדרה )‪/ (0, 1‬‬
‫‪1‬‬
‫→‪−‬‬
‫∞→‪n n‬‬
‫∋ )‪.(0, 1‬‬
‫באותו אופן חיתוך אינסופי של פתוחות לא חייב להיות פתוח )עוברים למשלימים(‪.‬‬
‫הערה ‪ A ⊂ X 2.6.7‬כאשר ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ ,‬אז הטופולוגיה המושרית )מ‪ X‬על ‪ (A‬הסגורות הן חיותכים ‪ Y .A ∩ Y‬סגורה ב ‪X‬‬
‫אם ‪ A‬סגורה ב‪ X‬הן סגורום גם ב ‪ .X‬אחרת ‪ A‬סגורה ב ‪ A‬אך לא ב‪.X‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.8‬סגור‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .A ⊂ X ,‬הסגור של ‪ A‬ב‪ X‬תהיה הקבוצה הסגורה המינימלית ב ‪ X‬המכילה את ‪ A‬והיא‬
‫תסומן ב ‪.A‬‬
‫\‬
‫=‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬סגורה ב ‪X‬‬
‫‪C‬מכילה את ‪A‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.9‬פנים‪ :‬הפנים של קבוצה ‪ A ⊂ X‬היא הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב ‪.A‬‬
‫[‬
‫= ◦‪int (A) = A‬‬
‫‪U‬‬
‫‪U‬פתוחה ב ‪X‬‬
‫‪A‬מכילה את ‪U‬‬
‫מיידי מההגדרה‪:‬‬
‫◦‪X − A‬‬
‫‪X −A‬‬
‫||‬
‫\‬
‫‪X− C‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.10‬קבוצה צפופה‪:‬‬
‫= ‪X −A‬‬
‫=‬
‫=‬
‫◦‬
‫)‪(X − A‬‬
‫||‬
‫[‬
‫)‪(X − C‬‬
‫‪ X‬מרחב טופולוגי‪ A ⊂ X ,‬תת קבוצה‪ .‬נאמר כי ‪ A‬צפופה ב‪ X‬אם ‪.A = X‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.11‬סביבה‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ‪ U ,x ∈ X‬תת קבוצה כלשהי ב ‪ X‬היא סביבה של ‪ x‬אם קיימת קבוצה פתוחה ‪ V‬כך‬
‫ש ‪) x ∈ V ⊂ U‬אם״ם ◦ ‪.(x ∈ U‬‬
‫טענה ‪2.6.12‬‬
‫במרחב טופולוגי ‪ A ∪ B = A ∪ B‬לכל ‪ A, B‬תתי קבוצות של ‪.X‬‬
‫הוכחה‪ ⊆ :‬מיידי‪ A ⊆ A ∪ B .‬וגם ‪. B ⊆ A ∪ B‬‬
‫נראה ⊇‪ A ∪ B .‬היא סגורה כאיחוד ‪ 2‬סגורות המכילה את ‪ A ∪ B‬ולכן היא מכילה את הסגור‪ .‬כלומר ‪.A ∪ B ⊇ A ∪ B‬‬
‫הערה ‪ A ∩ B ⊃ A ∩ B 2.6.13‬אבל ‪ Q = R‬אבל גם ‪ .R − Q = R‬לכן ∅ = )‪ Q ∩ (R − Q‬אבל‪R = Q ∩ R − Q ) :‬‬
‫∅ = )‪Q ∩ (R − Q‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6.14‬שפה‪:‬‬
‫‪ X‬מרחב טופולוגי‪ A ⊂ X ,‬תת קבוצה‪ .‬השפה של ‪ A‬היא ◦‪ A − A‬ותסומן‪.∂A :‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪∂ (X − A) = ∂A .1‬‬
‫‪∂A = A ∩ (X − A) .2‬‬
‫נבחין כי ‪ 1 ⇐ 2‬משיקולי סימטריה‪.‬‬
‫נשאלת השאלה‪ ,‬האם )‪ Br (x) = Br (x‬האם )‪ Br (x) = Br (x‬לכל מרחב מטרי ‪ r > 0 .X‬ו ‪.x ∈ X‬‬
‫התשובה היא לא‪ .‬במטריקה הדיסקרטית‪ ,‬אם ניקח את הכדור הסגור ברדיוס ‪ 1‬הוא כל המרחב‪ ,‬ואילו הכדור הפתוח הוא רק נקודה‪.‬‬
‫◦‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪ .2‬מרחב טופולוגי‬
‫‪ .2.6‬קבוצות סגורות‬
‫טענה ‪2.6.15‬‬
‫במרחב מטרי )‪ (X, d‬הסגור של ‪ A ⊂ X‬הוא אוסף נקודות הגבול של סדרות מתכנסות ‪ an −→ x‬כאשר ‪ an ∈ A‬ו ‪.x ∈ X‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח כי ‪ A‬הוא אוסף נקודות הגבול הנ״ל ע״י הכלה בשני כיוונים‪.‬‬
‫נניח כי ‪ an ∈ A‬וכי ‪ ,an −→ x ∈ X‬צריך להראות כי ‪ .x ∈ A‬תהי ‪ V‬סגורה המכילה את ‪ .A‬מסגירות סדרתית ‪ x ∈ V‬ולכן‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪V‬‬
‫∈ ‪.x‬‬
‫‪V‬סגורה המכילה את ‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫אנו רוצים להראות כיוון שני‪ ,‬נתבונן באוסף נקודות הגבול‪ .Y = x ∈ X | ∃an −→ x ,‬נבחין כי ‪ A ⊂ Y‬כי עבור כל ‪a ∈ A‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫נקח את הסדרה הקבועה ‪ an = a‬והיא כמובן מתכנסת ל‪.a‬‬
‫בנוסף‪ ,‬אנו יכולים להגיד כי ‪ Y‬סגורה אם ‪ yn ∈ Y‬ו ‪ yn → y ∈ X‬אז קיימת ‪ an ∈ A‬כך ש ) ‪. n1 > d (an , yn‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪d (y, an ) < d (y, yn ) + d (yn , an ) −→ 0 + 0 = 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ולכן ‪ y ∈ Y‬הראינו ‪ Y‬סגורה ו ‪ A ⊂ Y‬לכן ‪ A ⊆ Y‬מש״ל‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫העתקות בין מרחבים טופולוגים‬
‫‪3.1‬‬
‫רציפות ורציפות נקודתית‬
‫הגדרה ‪ 3.1.1‬העתקה ‪ f : X → Y‬בין מרחבים טופולוגיים היא פונקציה מהקבוצה ‪ X‬לקבוצה ‪.Y‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.2‬העתקה פתוחה‪ :‬נאמר שהעתקה ‪ f‬היא פתוחה‪ ,‬אם ) ‪ f (U‬פתוחה ב ‪ Y‬לכל ‪ U‬פתוחה ב‪X‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.3‬העתקה סגורה‪ :‬נאמר שהעתקה ‪ f‬היא סגורה אם ) ‪ f (V‬סגורה ב ‪ Y‬לכל ‪ V‬סגורה ב‪.X‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.4‬העתקה רציפה‪ :‬נאמר שהעתקה ‪ f‬היא רציפה אם ) ‪ f −1 (W‬פתוחה ב ‪ X‬לכל ‪ W‬פתוחה ב ‪.Y‬‬
‫הערה ‪ f 3.1.5‬רציפה אם״ם )‪ f −1 (Z‬סגורה ב ‪ X‬לכל ‪ Z‬סגורה ב ‪ Y‬כי‪:‬‬
‫)‪f −1 (Y − Z‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫=‬
‫‪⇐⇒ f (x)∈Z‬‬
‫⇒⇐ ‪/‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪X = f −1 (Z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪x‬‬
‫לעומת זאת ‪ f‬סגורה לא גורר כי ‪ f‬פתוחה ולהפך‪.‬‬
‫זו אחת הסיבות לכך שמושג הפונקציות הרציפות שימושי יותר ממושג הפונקציה הפתוחה\סגורה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 3.1.6‬השיכון ‪ (0, 1) → R‬כאשר העתקה מעבירה כל נקודה לעצמה‪.‬‬
‫הפונקציה היא רציפה מפני ש‪ U ⊂ R :‬פתוחה אזי‪ U ∩ (0, 1) :‬פתוחה ב)‪.(0, 1‬‬
‫הפונקציה פתוחה מפני ש‪ :‬אם )‪ U ⊂ (0, 1‬פתוחה‪ ,‬אזי קיימת ‪ B ⊂ R‬כך ש )‪ U = B ∩ (0, 1‬ואז ב ‪ R‬נקבל כי ‪ U‬גם פתוחה )כי‬
‫היא חיתוך סופי של פתוחות ו)‪ (0, 1‬פתוח ב‪(R‬‬
‫דוגמה ‪ 3.1.7‬השיכון ‪.[0, 1) → R‬‬
‫הפונקציה רציפה מפני ש‪ U ⊆ R‬פתוחה א )‪ U ∩ [0, 1‬פתוחה ב ]‪ (0, 1‬מהגדרת טופולוגיה מושרית‪.‬‬
‫הפונקציה לא פוחה או סגורה מפני ש )‪ [0, 1‬פתוחה וסגורה ב )‪ [0, 1‬אבל לא ב ‪.R‬‬
‫דוגמה ‪[0, 1] → R 3.1.8‬‬
‫הפונקציה רציפה גם כן‪ ,‬כמו בדוגמאות הקודמות‪.‬‬
‫הפונקציה סגורה ולא פתוחה‬
‫הטיעונים שהשתמשנו בהם נכונים לכל העתקת תת מרחב למרחב עצמו כאשר התת קבוצה סגורה‪/‬פתוחה‪/‬לא וזה ולא זה‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.1.9‬על כל מרחב טופולוגיה העתקת הזהות ממנו לעצמו היא גם רציפה‪ ,‬סגורה‪ ,‬ופתוחה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1.10‬רציפה בנקודה‪:‬‬
‫של ‪x ∈ X‬‬
‫‪ f : X → Y‬רציפה בנקודה ‪ x ∈ X‬אם לכל סביבה ‪ V‬של )‪ f (x‬ב ‪ Y‬מתקיים ש ) ‪ f −1 (V‬סביבה‬
‫‪15‬‬
‫פרק ‪ .3‬העתקות בין מרחבים טופולוגים‬
‫‪ .3.1‬רציפות ורציפות נקודתית‬
‫טענה ‪3.1.11‬‬
‫התנאים הבאים שקולים לרציפות ‪f : X → Y‬‬
‫‪ f −1 (B) .1‬פתוחה לכל ‪ B ,B ∈ B‬בסיס ל ‪.Y‬‬
‫‪ f .2‬רציפה נקודתית בכל ‪x ∈ X‬‬
‫הוכחה‪ ⇐ 1 :‬רציפות‪ :‬נניח ‪ U‬פתוחה ב ‪ Y‬אזי ‪Bα‬‬
‫‪S‬‬
‫‪α‬‬
‫= ‪ U‬כאשר ‪: Bα ∈ B‬‬
‫‪f‬רציפה → פתוחה כאיחוד פתוחות → ) ‪f −1 (Bα‬‬
‫[‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫!‬
‫‪Bα‬‬
‫[‬
‫‪−1‬‬
‫‪(U ) = f‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪α‬‬
‫רציפות⇐‪ :2‬תהי ‪ V‬סביבה של )‪ f (x‬אזי‪ f (x) ∈ U ⊂ V :‬כאשר ‪ U‬פתוחה ב ‪ f −1 (U ) .x ∈ f −1 (U ) ⊂ f −1 (V ) .Y‬פתוחה ב‬
‫‪ f −1 (V ) ⇐ X‬סביבה של ‪.X‬‬
‫‪ ⇐ 2‬רציפות‪ :‬תהי ‪ V‬פתוחה ב ‪ Y‬צריך להוכיח כי ) ‪ f −1 (V‬פתוחה ב‪ X‬לכל ) ‪ x ∈ f −1 (V‬מתקיים כי ‪ V‬היא סביבה של )‪f (x‬‬
‫)פתוחה המכילה את‪ .f (x)S‬לכל ) ‪ f −1 (V‬היא סביבה של ‪ Ux ⊂ f −1 (v)⇐X‬פתוחה ב ‪ X‬כאשר ‪ x ∈ X‬ו ‪ Ux‬תלויה ב ‪ .x‬אזי‬
‫) ‪Ux = f −1 (V‬‬
‫ולכן פתוחה כאיחוד פתוחות‪.‬‬
‫) ‪x∈f −1 (V‬‬
‫‪3.1.1‬‬
‫רציפות ורציפות נקודתית במרחבים מטריים‬
‫טענה ‪3.1.12‬‬
‫יהיו ) ‪ (X, dX‬ו‪ (Y, dY ) :‬מרחבים מטריים‪.f : X → Y .‬‬
‫‪ f .1‬רציפה נקודתית ב‪ x ∈ X‬אם״ם לכל ‪ xn → x‬מתקיים ‪f (xn ) → x‬‬
‫‪ f .2‬רציפה נקודתית ב ‪ x ∈ X‬אם״ם לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ δ > 0‬כך ש אם‬
‫לכל ‪ dX (x, x′ ) < δ‬אז ‪dY (f (x) , f (x′ )) < ε‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח את ‪2‬‬
‫‬
‫) ‪(dX‬‬
‫‪(f (x)) ⊃ Bδ‬‬
‫רציפות נקודתית ⇒⇐ נקח כדור ברדיוס < ‪ ε‬סביב )‪ f (x‬אזי קיים ‪ δ > 0‬כך ש )‪(x‬‬
‫) ‪(d‬‬
‫‪Bε Y‬‬
‫✁ תרגיל‪ :‬להשלים את הפרטים‬
‫✟‬
‫✠‬
‫הערה ‪ 3.1.13‬אם ) ‪ f −1 (V‬פתוחה ב ‪ X‬לכל ‪ V‬בבסיס של הטופולוגיה של ‪ Y‬אזי ‪ f‬רציפה )וכמובן גם ההפך(‬
‫תרגיל‪ :‬לנסח את הטענה המקבילה נקודתית‪.‬‬
‫לכל ‪ V‬בבסיס ל ‪ Y‬המכילה את )‪ f −1 (V ) ,f (x‬סביבה של ‪ x‬או מכילה קבוצה ‪ A‬ש‪ x ∈ A‬בבסיס של ‪.X‬‬
‫למה ‪3.1.14‬‬
‫הרכבת פונקציות רציפות היא רציפה‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪f‬‬
‫הוכחה‪ :‬די ברור כי‪ X → Y → Z :‬ל ‪ W‬פתוחה ב ‪,Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‬
‫) ‪g −1 (W‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫פתוחה ב ‪Y‬מרציפות ‪g‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪W = f −1 ‬‬
‫פתוחה ב ‪X‬מרציפות ‪f‬‬
‫|‬
‫ולכן הנדרש‪.‬‬
‫טענה ‪3.1.15‬‬
‫תהי ‪ f : X → Y‬העתקה בין מרחבים טופולוגיים אזי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪−1‬‬
‫) ‪(gf‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪.f‬‬
‫✄‬
‫✂‬
‫☛‬
‫✡‬
‫‪ .3.1‬רציפות ורציפות נקודתית‬
‫פרק ‪ .3‬העתקות בין מרחבים טופולוגים‬
‫‪ f .1‬רציפה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .2‬לכל כיסוי פתוח ‪ {Uα }α‬ל‪) X‬כלומר ‪ Uα‬פתוחה‪ ( Uα = X ,‬כך ש‬
‫‪α‬‬
‫‪ f |Uα‬רציפה‪.‬‬
‫‪ .3‬לכל כיסוי סופי בסגורות ‪ V1 , . . . , Vn‬ל ‪) X‬כלומר ‪ Vi‬פתוחה ו‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ ( Vi X‬כך ש ‪ f |V1‬רציפה לכל ‪.i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‪ f A ⊂ f (A) .4‬לכל ‪.A ⊂ X‬‬
‫ועוד הרבה תנאים שראינו‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.1.16‬קיים ל‪ X‬כיסוי בפתוחות ‪ X = X‬פתוחה וזה גם כיסוי סגור סופי‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪X → Y‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה ‪:2 ⇐ 1‬‬
‫‪↑ ր‬‬
‫‪Uα‬‬
‫הרכבת ‪ f‬בשיכון רציפה‪ .‬כלומר ‪ f |Uα‬רציפה כנדרש כי ראינו ששיכון היא תמיד רציפה‪.‬‬
‫‪ :1 ⇐ 2‬נסמן ‪ fα = f |Uα‬ותהי ‪ V‬פתוחה ב ‪ .Y‬עלינו להראות כי ) ‪ f −1 (V‬פתוחה ב‪.X‬‬
‫[‬
‫‪ [ −1‬‬
‫= ‪f −1 (V ) ∩ Uα‬‬
‫) ‪fα (V‬‬
‫= ) ‪f −1 (V‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫פתוחה כאיחוד פתוחות ב ‪ Uα‬ולכן גם ב‪ X‬כי ‪ Uα‬פתוחה בו‪.‬‬
‫‪ :3 ⇐ 1‬אותה הוכחה כמו ‪.2 ⇐ 1‬‬
‫‪ :1 ⇐ 3‬לכל ‪ W‬סגורה ב ‪ Y‬נרצה להראות כי‬
‫סגור ב ‪ = X‬סגורות ב ‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ) ‪(f |Vi ) (W‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫סגורה ב ‪Vi‬מרציפות ‪f |Vi‬ולכן סגורה ב ‪ X‬כי ‪Vi‬סגורה ב‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪f −1 (W ) ∩ Vi‬‬
‫‪n‬‬
‫[‬
‫= ) ‪f −1 (W‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‪ :4 ⇐ 1‬תהי ‪ .A ⊂ X‬מספיק להראות כי ‪ f A ⊂ W‬לכל ‪ W‬סגורה ב ‪ Y‬המכילה את )‪ f (A‬מתקיים ‪ f −1 (W ) ⊃ A‬לכל ‪W‬‬
‫סגורה ב ‪ Y‬המכילה את )‪ .f (A‬בודאי שעבור ‪ W‬כזו ) ‪ .A ⊂ f −1 (W‬אבל ) ‪ f −1 (W‬גם סגורה ולכן מכילה את ‪ A‬כנדרש‪.‬‬
‫‬
‫‪ :1 ⇐ 4‬אנו יודעים כי )‪f A ⊂ f (A‬‬
‫‪ ? :4 ⇐ 1‬רון לא הצליח להחליט אם היא הטענה נכונה או לא‪ .‬היא כן‪ .‬יש אותה בסיכומים אחרים‪ .‬יושלם כאן‪ .‬אולי‪.‬‬
‫טענה ‪3.1.17‬‬
‫יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי ‪ f, g : X → R‬רציפות אזי ‪ g · g ,f + g‬רציפות‪ .‬אם ‪ f (x) 6= 0‬אזי‬
‫רציפה בה(‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫רציפה ב‪) x‬וגם קיימת סביבה ב‪ X‬ש ‪f‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‪ :‬יספיק להראות רציפות נקודתית בכל נקודה‪ .‬יהי ‪ .a ∈ X‬יהי ‪ .ε > 0‬ומרציפות ‪ f‬ב‪ f −1  Bε/2 (f (a))  a‬סביבה‬
‫} ‪| {z‬‬
‫קטע פתוח ב ‪R‬באורך ‪ε‬‬
‫‬
‫פתוחה של ‪ .a‬ומסיבה דומה ))‪ g −1 Bε/2 (g (a‬היא סביבה פתוחה של ‪.a‬‬
‫אם ‪ x‬בחיתוך של הסביבות הנ״ל‪ .‬אזי ‪ |f (x) − f (a)| < 2ε‬וגם ‪ |g (x) − g (a)| < 2ε‬ולכן‪:‬‬
‫‪ε ε‬‬
‫‪+ =ε‬‬
‫‪2 2‬‬
‫< |)‪|(f + g) (x) − (f + g) (a‬‬
‫לגבי כפל‪:‬‬
‫שוב נראה רציפות נקודתית ב‪ .a ∈ X‬יהי ‪ .ε > 0‬נסמן )‪ M = max (|f (a)| + 1, |g (a)| + 1‬יהי‬
‫)))‪ f −1 (Bδ (f (a))) ∩ g −1 (Bδ (g (a‬היא פתוחה ב‪ x‬המכילה את ‪ .a‬לכל ‪:x ∈ U‬‬
‫‪|f (x) − f (a)| < δ‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪2M‬‬
‫= ‪ δ‬אזי = ‪U‬‬
‫פרק ‪ .3‬העתקות בין מרחבים טופולוגים‬
‫‪ .3.2‬הומיאומורפיזם‬
‫ולכן‪:‬‬
‫≤ |)‪|f (x) g (x) − f (a) g (a)| ≤ |f (x)| |g (x) − g (a)| + |g (a)| |f (x) − f (a‬‬
‫≤ ‪|f (x)| δ + |g (a)| δ ≤ |f (a)| δ + |f (a) − f (x)| δ + |g (a)| δ‬‬
‫‪(M − 1) δ + δ 2 + (M − 1) δ = δ (2M − 2 + δ) < 2M δ < ε‬‬
‫אם אנו דורשים גם ‪) δ ≤ 1‬ולכן בהגדרה נדרוש גם זאת(‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.1.18‬הוכחה נוספת לשני המקרים יחדיו‪:‬‬
‫למה ‪3.1.19‬‬
‫אם ‪ f : X → R‬רציפה וגם ‪ g : X → R‬רציפה אזי‪ (f, g) (x) = (f (x) , g (x)) ,(f, g) : X → R :‬רציפה‪.‬‬
‫))‪(Bε (a) × Bε (a)) = f −1 (Bε (a)) ∩ g −1 (Bε (a‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪(f, g‬‬
‫פתוחה כחיתוך פתוחות ומכילה את ‪) a‬כאשר )‪ Bε (a) × Bε (a‬כדור פתוח בנורמת ∞‪ L‬שהיא נותנת את אותה טופולוגיה(‪.‬‬
‫כעת נשתמש בהוכחה מאינפי כך ש ‪ R × R → R‬עם פעולת החיבור והכפל הן רציפות‪ .‬וע״י הרכבה‪:‬‬
‫)‪(f,g‬‬
‫חיבור‬
‫‪X → R×R → R‬‬
‫שההרכבה רציפה אבל ההרכבה היא ‪.f + g‬‬
‫ההוכחה לכפל אנלוגית‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫}‪ = U → R − {0} → R − {0‬סביבה של ‪a‬ב‪X‬שבה ‪f 6= 0‬‬
‫‪x→1/x‬‬
‫מרציפות‬
‫שפתוחה(‬
‫‪3.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫על }‪ R − {0‬ההרכבה רציפה‪ .‬לכן ‪ f |U‬רציפה נקודתית ב ‪ a‬ולכן ‪ f‬רציפה נקודתית ב ‪ U ) a‬סביבה של ‪ a‬ניתן להניח‬
‫הומיאומורפיזם‬
‫הגדרה ‪ 3.2.1‬הומיאומורפיזם‪ :‬הומיאומורפיזם בין מרחבים טופולוגיים היא העתקה ‪ f : X → Y‬כאשר ‪ X, Y‬הם מרחבים טופולוגיים‬
‫שהיא חח״ע‪ ,‬על ורציפה עם הפוך רציף‪.‬‬
‫הערה ‪ f : X → Y 3.2.2‬חח״ע‪ ,‬על ורציפה יכולה להיות עם הפוך שאינו רציף‪.‬‬
‫לדוגמה ‪ X‬עם שתי נקודות לפחות וטופולוגיה דיסקרטית‪ .‬ואילו ‪ Y‬אותה קבוצה עם הטופולוגיה הטריוויאלית‪ .‬ואז‪Id : X → Y :‬‬
‫היא רציפה אבל‪) Id : Y → X :‬ההפוך של העתקה הקודמת( אינה רציפה כי לכל נקודה‪ Id−1 ({x}) = {x} ,x ∈ X‬אינה פתוחה‬
‫בטופולוגיה הטריוויאלית‪ .‬בעוד }‪ {x‬פתוחה בטופולוגיה הדיסקרטית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2.3‬מרחבים הומיאומורפים‪ :‬מרחבים טופולוגיים ‪ X‬ו ‪ Y‬יקראו הומיאומורפיים אם קיים הומיאומורפיזם ‪f : X → Y‬‬
‫הערה ‪ 3.2.4‬היה צריך לאמר ‪ X‬הומיאומורפים ל ‪ Y‬ולהוכיח סימטריה אבל‪....‬‬
‫למה ‪3.2.5‬‬
‫הומיאומורפיזם הוא יחס שקילות )בפרט סימטרי(‬
‫‪Id‬‬
‫הוכחה‪ X → X :‬רפלקסיבי‪.‬‬
‫‪f −1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ Y → X ,X → Y‬־ סימטריה‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g◦f‬‬
‫‪ ,X → Y → Z‬אז ‪ X → Z‬טרנזטיביות‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.2.6‬מרחבים טופולוגיים הומיאומורפיים הם ״אותו דבר״ טופולוגית‪ .‬פרט לשינוי שמות האיברים אין כלל הבדל(‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .3.2‬הומיאומורפיזם‬
‫✔‬
‫✕‬
‫פרק ‪ .3‬העתקות בין מרחבים טופולוגים‬
‫תרגיל‪ :‬תהיינה ‪ A, B‬פתוחות וקמורות ב ‪(∅ 6=) Rn‬‬
‫)לכל ‪ y, x ∈ A‬הקטע ‪ xy‬מוכל ב ‪ A‬וכן ב ‪ = B‬קימורות(‬
‫אזי ‪ B, A‬הומאומורפיזם בטופולוגיה המושרית )בפרט קוביה פתוחה וכדור פתוח הם ״אותו הדבר״ טופולוגית )הומאומורפיים(‪.‬‬
‫מספיק להניח שדמויות ככב סביב ‪) b0 ∈ B ,a0 ∈ A‬קטע ‪ a0 a‬מוכל ב ‪ A‬לכל ‪(a ∈ A‬‬
‫דוגמה ‪ 3.2.7‬הקטע )‪ R ,(a, ∞) ,(a, b‬כולם הומאומורפיזמים‪.‬‬
‫✗‬
‫✖‬
‫יש המון דוגמאות שראינו אלפי פעמים אז לא נחזרות עליהן‪ .‬לעומת זאת‪ [0, 1] ,‬אינה הומאומורפית ל )‪) (0, 1‬למרות שיש בניהן‬
‫העתקה חח״ע ועל כקבוצות(‪ .‬לכל העתקה רציפה ב ]‪ [0, 1‬ל ‪ R‬התמונה חסומה ממשפט ויירשטראס )אפשר להשתמש בו כי ראינו‬
‫שבמרחב מטרי ההגדרה שלנו לרציפות שקולה לרציפות רגילה( אבל ב)‪ (0, 1‬התמונה לא בהכרח חסומה‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫מכפלה של מרחב טופולוגי‬
‫יהיו ‪ Y, X‬מרחבים טופולוגיים‪ .‬נגדיר טופולוגיה על קבוצת המכפלה ‪ X × Y‬שתיקרא טופולוגיית המכפלה‪ .‬היא תוגדר ע״י בסיס‪:‬‬
‫} ‪U‬פתוחה ב ‪V ,X‬פתוחה ב ‪B = {U × V | Y‬‬
‫‪ B‬איננו סגור תחת איחודים בד״כ אך מקיים את תכונות הבסיס‪.‬‬
‫‪B .1‬‬
‫‪S‬‬
‫‪B∈B‬‬
‫= ‪ X × Y‬כי היא נמצאת בבסיס‪.‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ U ′ × V ′ ,U × V‬בסיסיות ) ‪ .(x, y) ⊂ (U × V ) ∩ (U ′ × V ′‬נגדיר ‪ .V ′′ = V ∩ V ′ ,Ui′′ = U ∩ U ′‬אזי ‪ U ′‬ו ‪ V ′‬פתוחות‬
‫וגם‪:‬‬
‫)) ‪(x, y) ∈ (U ′′ , V ′′ ) ⊂ ((U × V ) ∩ (U ′ × V ′‬‬
‫התכונה הכי חשובה של טופולוגיית המכפלה היא‪:‬‬
‫משפט ‪4.0.8‬‬
‫יהיו ‪ X1 , X2‬ו ‪ Y‬מרחבים טופולוגיים אזי‪ f : Y → X1 × X2 :‬רציפה אם״ם שתי ה״קואורדינטות״ שלה רציפות‪ .‬זאת אומרת‪:‬‬
‫‪f1 : Y‬‬
‫‪→ X1‬‬
‫‪f2 : Y‬‬
‫‪→ X2‬‬
‫רציפות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ) ‪.f (y) = (f1 (y) , f2 (y)) .f = (f1 , f2‬‬
‫נניח ‪ f1 , f2‬רציפות‪ .‬תהי ‪ U1 × U2‬פתוחה בבסיסים ב ‪ .X1 , X2‬אזי‪:‬‬
‫פתוחה = ) ‪f −1 (U1 × U2 ) = {y ∈ Y | (f1 (y) , f2 (y)) ∈ U1 × U2 } = f1−1 (U1 ) ∩ f2−1 (U2‬‬
‫על מנת להוכיח את הכיוון השני‪ ,‬נוכיח תחילה את הלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪4.0.9‬‬
‫ההטלות ‪ πi : X1 × X2 → Xi‬כאשר }‪ i ∈ {1, 2‬רציפות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בה״כ ‪ U ∈ X‬מתקיים ) ‪ B ∋ U × X2 = π1−1 (U‬ובפרט פתוחה‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫פרק ‪ .4‬מכפלה של מרחב טופולוגי‬
‫‪ .4.1‬מכפלה של יותר משני מרחבים‬
‫הטלות פתוחות? סגורות?‬
‫הערה ‪ 4.0.10‬הם ‪S‬‬
‫תהי ) ‪ α (U1α × U2α‬פתוחה כללית נבחין כי‪:‬‬
‫פתוחה = ‪U1α‬‬
‫[‬
‫‪α‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪U1α × U2α‬‬
‫[‬
‫‪π1‬‬
‫‪α‬‬
‫ולכן היא אכן פתוחה‪ .‬האם סגורה? כתרגיל‪.‬‬
‫כעת‪ ,‬נניח כי ‪ f‬רציפה‪ .‬מכאן ‪ , f1 = f ◦ π1‬ולכן ‪ g1‬רציפה כהרכבת רציפות וכן ‪.f2‬‬
‫טענה ‪4.0.11‬‬
‫‬
‫‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים‪ f : X → Y .‬רציפה אם״ם )‪ f A ⊂ f (A‬לכל ‪.A ⊂ X‬‬
‫‬
‫‬
‫הוכחה‪ ⇐ :‬תהי ‪ A ⊂ X‬כלשהי אזי )‪ f (A‬סגורה ב ‪ .Y‬מרציפות ‪ f −1 f (A) :f‬סגורה ב ‪ .X‬בוודאי מכילה את ‪ ,A‬לכן מכילה‬
‫‬
‫את ‪) A‬קבוצה סגורה המכילה את ‪ A‬בהכרח מכילה את ‪ .(A‬וזה בדיוק אומר כי‪.f A ⊂ f (A) :‬‬
‫נראה את ⇒‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫נרצה להראות ש ‪ f‬היא רציפה‪ .‬תהי ‪ B ⊂ Y‬סגורה‪ ,‬נרצה להראות כי )‪ A = f (B‬סגורה ב ‪ .X‬כלומר ‪ ,A = A‬יספיק‬
‫להראות ‪ A ⊆ A‬כיוון שהכלה בכיוון השני היא מהגדרת הסגור‪ .‬מהנתון )‪ .f A ⊂ f (A‬אבל ‪ f (A) ⊆ B‬ו‪ B‬סגורה‪ ,‬אזי גם‬
‫‬
‫‪ A ⊆ f −1 (B) = A⇐ f A ⊂ f (A) ⊆ B‬כנדרש‪.‬‬
‫נחזור לדון בהטלהת האם היא סגורה?‬
‫נכון השארנו זאת כתרגיל‪ ,‬אבל בואו נפתור אותו‪.‬‬
‫נתבונן במרחבים ‪ X = Y = R‬ולכן ‪ .X × Y = R2‬הטופולוגיה המוכרת על ‪ R2‬מזדהה עם טופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫הבסיס לטופלוגיית ∞‪ L‬על ‪ R2‬היא המלבנים הפתוחים‪ .‬הבסיס לטופולוגיית המכפלה מכיל אותם‪ .‬מצד שני כל קבוצת בסיס‬
‫בטופולוגיית המכפלה היא ‪ U × V‬כאשר ‪ U, V‬בפתוחות ב ‪ ⇐⇒ R‬איחוד קטעים פתוחים לכן הטופולוגיות מתלכדות‪.‬‬
‫נתבונן בהיפרבולה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪H = (x, y) ∈ R2 | xy = 1‬‬
‫נחשוב על הקבוצה הזו ועל ההטלה שלה ל‪ .R‬הדוגמה הזו תראה כי הן אינן סגורות‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.0.12‬בכל מקרה‪ ,‬לפונקציה ‪) f : X → Y‬גם רציפה( לא בהכרח מתקיים‪:‬‬
‫)‪Y − f (A) 6= f (X − A‬‬
‫‪A⊂X‬‬
‫‪ 4.1‬מכפלה של יותר משני מרחבים‬
‫נתבונן בשלושה מרחבים ‪ X, Y, Z‬אנו יכולים לכפול באופן הבא‪ (X × Y ) × Z :‬או‪.X × (Y × Z) :‬‬
‫הקבוצות הבסיסיות ‪ .U × V × W‬הבסיסים על ‪ X × Y × Z‬שונים אבל מגדירים את אותה טופולוגיה‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫!‬
‫[‬
‫[‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫×‪U‬‬
‫‪(Vβ × Wβ ) ,‬‬
‫‪(Uα × Vα ) × W‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫הם לא אותם בסיסים‪ .‬אבל כן מדובר באותה טופולוגיה‪.‬‬
‫באינדוקציה על ‪ X1 × . . . × Xn‬מרחבים טופולוגיים‪ .‬טופולוגיית המכפלה מוגדרת דרך בסיס ‪ U1 × . . . × Un‬כאשר ‪ Ui‬פתוחה ב ‪.Xi‬‬
‫‪ X = X1 × . . . × Xn‬מרחב‪ .‬אם‪ U1 × . . . × Un :‬ו־ ‪ V1 × . . . × Vn‬בסיסיות ו ) ‪ (x1 , . . . , xn‬בחיתוך אזי‪:‬‬
‫) ‪(x1 , . . . , xn ) ∈ (U1 ∩ V1 ) × . . . × (Un ∩ Vn‬‬
‫פתוחה בסיסית המוכלת בחיתוך‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫פרק ‪ .4‬מכפלה של מרחב טופולוגי‬
‫‪ .4.2‬מכפלה אינסופית של מרחבים‬
‫משפט ‪4.1.1‬‬
‫יהיו ‪ Y, X1 , . . . , Xn‬מרחבים מטריים אזי הפונקציה‪ f : Y → X1 × . . . × Xn :‬רציפה אם״ם כל פונקציות הקואורדינטות שלה רציפות‪.‬‬
‫‪fi = πi ◦ f : Y → xi‬‬
‫הערה ‪ 4.1.2‬סימון‪f = (f1 , . . . , fn ) :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y‬‬
‫הוכחה‪ πi :‬רציפה כי ) ‪)  Xj  × Ui = πi−1 (Ui‬כאשר ‪ Ui‬פתוחה( פתוחה בסיסית ולכן פתוחה‪.‬‬
‫‪j6=i‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫עם הסדר הנכון‬
‫|‬
‫לכן אם ‪ f‬רציפה בוודאי ‪ fi = πi ◦ f‬רציפה כהרכבת רציפות‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬אם כל ‪ fi‬רציפה אזי לפתוחה בסיסית ‪ Ui ) U1 × . . . × Un‬פתוחה ב ‪( Xi‬‬
‫) ‪fi−1 (Ui‬‬
‫‪n‬‬
‫\‬
‫‪i=1‬‬
‫✘‬
‫= } ‪fi (y) ∈ Ui‬‬
‫| ‪f (y) ∈ U1 × . . . × Un } = {y ∈ Y‬‬
‫| ‪f −1 (U1 × . . . × Un ) = {y ∈ Y‬‬
‫פתוחה כאיחוד של פתוחות ⇐ ‪ f‬רציפה כנדרש‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬יהיו ‪ X1 , . . . , Xn‬ו‪ Y1 , . . . , Yn :‬מרחבים טופולוגיים‪ fi : Xi → Yi .‬פונקציות אזי‪:‬‬
‫‪f = fi × . . . × fn : X1 × . . . × Xn → Y1 × . . . × Yn‬‬
‫רציפה ⇒⇐ כל ‪ fi‬רציפה‪.‬‬
‫✙‬
‫נרצה להתשמש במשפט שהראינו‪ f : X → Y1 × . . . × Yn :‬רציפה ⇒⇐ כל ‪ fi‬רציפה‪.‬‬
‫האם מותר לנו? האם מותר להפריד משתנים?‬
‫נקח ‪X = X1 × . . . × Xn‬‬
‫✛‬
‫✚‬
‫‪X −→ Yi‬‬
‫‪πi ◦f‬‬
‫אם אלה רציפות גם ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫הוכחה אלטרנטיבית‪ ,‬ישירות מהגדרת הטופולוגיה‪.‬‬
‫תהי ‪ V1 × . . . × Vn‬פתוחה בסיסית ב ‪ Vi .Y1 × . . . × Yn‬פתוחה ב ‪ Yi‬המקור‬
‫) ‪f −1 (V1 × . . . × Vn ) = f1−1 (V1 ) × . . . × fn−1 (Vn‬‬
‫פתוח אם כל ) ‪ fi−1 (Vi‬פתוח‪ .‬וגם ההפך ברור‪.‬‬
‫כתרגיל לסיים בתי הדרכים‪.‬‬
‫‪ 4.2‬מכפלה אינסופית של מרחבים‬
‫תהי ‪ I‬קבוצה ‪ Xα‬מרחב טופולוגי לכל ‪ α ∈ I‬נרצה להגדיר את המכפלה ‪Xα‬‬
‫‪S‬‬
‫כקבוצה זה ידוע‪ :‬פונקציות ‪ f (α) ∈ Xα ,f : I → Xβ‬לכל ‪. α ∈ I‬‬
‫‪Q‬‬
‫)‪ I‬תושמט מהסימון לעיתים קרובות(‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪β‬‬
‫על מרחב המכפלה נגדיר טופולוגיה )ע״י בסיס(‬
‫‪Q‬‬
‫פתוחה בסיסית‪Uα :‬‬
‫‪ .‬כאשר ‪ Uα‬פתוחה ב ‪ Xα‬לכל ‪.α ∈ I‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫הטופולוגיה המתקבלת היא טופולוגיית המכפלה במקרה ש‪ I‬סופית‪ .‬אבל במקרה הכללי טופולוגיה זו נקראת‪ :‬טופולוגיית התיבות‬
‫)כיוון שהבסיס הוא ״תיבות״(‪.‬‬
‫למה לא טופולוגיית המכפלה?‬
‫בגלל התופעה הבאה‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק ‪ .4‬מכפלה של מרחב טופולוגי‬
‫‪ .4.2‬מכפלה אינסופית של מרחבים‬
‫דוגמה ‪ I = N 4.2.1‬ו‪ Xi = R :‬לכל ‪ i ∈ N‬אז המכפלה היא‪R :‬‬
‫∞‬
‫‪Q‬‬
‫‪i=1‬‬
‫∞‬
‫= ‪ X‬סדרות כלשהן ‪ {xi }i=1‬של ממשיים‪ .‬כלומר‪.X = RN :‬‬
‫באופן הבא‪ .∆ (x) = (x, x, x, . . .) :‬כלומר כל קואורדינטה היא פונקציית הזהות‬
‫העתקת האלכסון ‪ ∆ : R → Rn‬אשר‬
‫‬
‫מוגדרת ∞ ‬
‫‬
‫‪Q‬‬
‫‪fi‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ Ui = −1‬קטע פתוח‪.‬‬
‫‪ R → R .fi (x) = x‬בוודאי רציפה אבל‪Ui :‬‬
‫∆ כאשר ‪i , i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נבחין כי‪:‬‬
‫‬
‫\ ‬
‫‬
‫ ∞‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪− ,‬‬
‫‪− ,‬‬
‫=‬
‫}‪= {0‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫∈‪x∈R| x‬‬
‫‬
‫=‬
‫!‬
‫‪Ui‬‬
‫∞‬
‫‪Y‬‬
‫‪∆−1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אינה פתוחה! כלומר‪ ,‬העתקה זו איננה רציפה על אף שכל קואורדינטה שלה רציפה! המקור של פתוחה אינו פתוח‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫→ ‪ f : Y‬רציפה ⇒⇐ כל קואורדינטה היא רציפה אינו נכון )על פי רוב(‬
‫כלומר המשפט מהמקרה הסופי האומר כי‪Xα :‬‬
‫‪α‬‬
‫למכפלות אינסופיות עם טופולוגיית התיבות‪.‬‬
‫אבל אנו כן רוצים שהתכונה הזו תתקיים‪ ,‬לכן אנחנו נשנה את הטופולוגיה כך שזה כן יתקיים‪ .‬נבנה טופולוגיה אחרת על ‪Xα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪Q‬‬
‫שעבורה יתקיים כי ‪ f : Y → Xα‬רציפה אם״ם כל קואורדינטה רציפה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫לצורך כך נגדיר‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2.2‬תיבה פתוחה גדולה‪ :‬תיבה ‪Uα‬‬
‫‪Q‬‬
‫תקרא פתוחה ״גדולה״ אם כל ‪ Uα = Xα‬פרט למספר סופי של ‪.α‬‬
‫‪α‬‬
‫טענה ‪4.2.3‬‬
‫לכל אוסף ‪ {Xα }α‬של מרחבים טופולוגיים‪ ,‬התיבות הפתוחות הגדולות מהוות בסיס‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫הוכחה‪ Xα :‬תיבה פתוחה גדולה ולכן בבסיס‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫בנוסף לשתי תיבות פתוחות גדולות ‪ Uα‬ו‪ Vα :‬אזי ‪.(Xα )α ∈ (Uα ∩ Vα ) ,{Xα }α ∈ Uα ∩ Vα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫והמכפלה‪ (Uα ∩ Vα ) :‬הוא תיבה פתוחה גדולה )פתוחה בסיסית בטופולוגיית התיבות‪ ,‬בנוסף גם גדולה(‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫כעת האפיון לרציפות )עם ההוכחה( מתקיים כמו במקרה הסופי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2.4‬טופולוגיית המכפלה על ‪Xα‬‬
‫הפתוחות הגדולות‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫)מכפלת מרחבים טופולוגים( היא הטופולוגייה הנוצרת על ידי הבסיס של התיבות‬
‫‪α‬‬
‫משפט ‪4.2.5‬‬
‫יהיו ‪ Y ,(Xα )α∈I‬מרחבים טופולוגיים אזי הפונצקיה ‪Xα‬‬
‫קואורדינטה רציפה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית ההטלה‪Xβ → Xα :‬‬
‫‪β‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫→ ‪ f : Y‬רציפה )עבור טופולוגיית המכפלה על ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫( ⇒⇐ כל‬
‫‪ pα :‬הן רציפות כי ל ‪ Uα‬פתוחה ב ‪:Xα‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪‬‬
‫‪p−1‬‬
‫‪Xβ  × U α‬‬
‫= ) ‪α (Uα‬‬
‫‪β6=α‬‬
‫וזו תיבה גדולה‪ .‬לכן‪ ,‬אם ‪ f‬רציפה‪ ,‬אזי ההרכבה ‪ pα f = fα‬שהיא הקואורדינטה ה‪ α‬היא רציפה‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬אם כל פונקציית קואורדינטות ‪ fα‬רציפה‪ ,‬אזי לפתוחה בסיסית בטופולוגיית המכפלה‪Uα :‬‬
‫נקבל‬
‫) ‪fα−1 (Uα‬‬
‫\‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪ U‬כאשר התיבה גדולה‬
‫‪α‬‬
‫= }‪f −1 (U ) = {y ∈ Y | f (y) ∈ U } = {y ∈ Y | fα (y) ∈ Uα ∀α‬‬
‫חיתוך סופי של פתוחות‪ ,‬כי אם ‪ Xα = Uα‬אזי ) ‪ U = fα−1 (Uα‬אפשר להשמיט את האינדקס ה‪ α‬בחיתוך‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬טופולוגיית המכפלה נקראת כך כי היא מקיימת את משפט הרציפות הנבחנת בקואורדינטות‪ .‬זה אינו נכון לטופולוגיית‬
‫התיבות שהיא חזקה יותר )במקרה האינסופי‪ ,‬על פי רוב(‪ .‬למכפלות סופיות טופולוגיית התיבות מתלכדת עם טופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫פרק ‪ .4‬מכפלה של מרחב טופולוגי‬
‫‪ .4.2‬מכפלה אינסופית של מרחבים‬
‫משפט ‪4.2.6‬‬
‫כמרחב טופולוגי ‪) C‬קבוצת קנטור( הומאומורפית לקבוצה }‪{01‬‬
‫על ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫∞‬
‫‪Q‬‬
‫‪i=1‬‬
‫עם טופולוגיית המכפלה על }‪ {0, 1‬היא הטופולוגיה הדיסקרטית‪.‬‬
‫הגדרנו ‪ 2‬טופולוגיות‪:‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪ .1‬טופולוגיית התיבות‪ :‬בסיס של תיבות פתוחות ‪Uα‬‬
‫‪Q‬‬
‫כאשר ‪ Uα‬היא פתוחה ב ‪.Xα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪ .2‬טופולוגיית המכפלה‪ :‬והבסיס הוא התיבות הפתוחות הגדולות‪.‬‬
‫במקרה השני מתקיים ‪Xα :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫→ ‪ f : Y‬רציפה ⇒⇐ לכל פונקציות הקואורדינטות ‪ fα = π0 ◦ f‬רציפה לכל ‪.α‬‬
‫הערה ‪ 4.2.7‬אם ‪ I‬סופית שתי הטופולוגיות מתלכדות‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.2.8‬הקבוצה ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫ריקה ⇒⇐ קיים ‪ α‬שעבורו ‪ Xα‬ריקה‪ ⇒) .‬טריוויאלי‪ ⇐ .‬אקסיומת הבחירה(‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫הפרדה‬
‫יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי אזי כל נקודה בה סגורה )קל להראות מהסדרות בקבוצה‪ ,‬הסדרה היחידה היא הקבועה והיא מתכנסת‬
‫לנקודה שבקבוצה(‪.‬‬
‫⇐ המשלים לכל נקודה פתוח‪.‬‬
‫יהיו ‪ Q, P‬נקודות שונות אז ) ‪ 0 6= d (Q, P‬נבחר ) ‪ r = d (Q, P‬אזי ) ‪.∅ = Br (Q) ∩ Br (P‬‬
‫במרחב מטרי לכל ‪ Q, P‬שונים קיימת סביבות פתוחות שאינם נחתכות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.0.9‬תהיינה ‪ B, A‬קבוצה קבוצות במרחב טופולוגי ‪ X‬שהן זרות‪ .‬נאמר שניתן להפריד אותן זו מזו אם קיימות פתוחות זרות‬
‫‪ A ⊆ U ,V, U‬ו ‪.B ⊆ V‬‬
‫טענה ‪5.0.10‬‬
‫במרחב מטרי ניתן להפריד כל קבוצה סגורה‪.‬‬
‫ההוכחה תינתן בהמשך‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.0.11‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‬
‫‪ .1‬נאמר ש ‪ X‬מקיים את תכונת ההפרדה ‪ .T1‬אם לכל ‪ {x} ,x ∈ X‬סגורה ב ‪) X‬כל נקודה היא סגורה(‬
‫‪ .2‬נאמר כי ‪ X‬מקיים תכונת ההפרדה ‪) T2‬״‪ X‬מרחב האוסדורף״( אם לכל ‪ x, y ∈ X‬שונים קיימות פתוחות זרות ‪ V, U‬כך ש‪:‬‬
‫‪ x ∈ U‬ו ‪.y ∈ V‬‬
‫∈ ‪) x‬שם‬
‫‪ X .3‬מקיים תכונת הפרדה ‪ T3‬אם ‪ X‬מקיים ‪ T1‬וגם כל נקודה ‪ x‬ניתנת להפרדה מכל קבוצה סגורה ‪ A‬שמקיימת ‪/ A‬‬
‫נוסף‪ X :‬מרחב רגולרי(‬
‫‪ X .4‬מקיימת תכונת הפרדה ‪) T4‬שם אחר ״‪ X‬מרחב נורמלי‪ (:‬אם ‪ X‬מקיים ‪ T1‬וכל שתי סגורות זרות ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫טענה ‪5.0.12‬‬
‫‪ T4‬גורר ‪ T3‬גודד ‪ T2‬גורר ‪.T1‬‬
‫∈ ‪ x‬אזי }‪ {x‬ו ‪ A‬ניתנות להפרדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ T4 :T3 ⇐ T4 :‬מקיים ‪ .T1‬כל נקודה }‪ {x‬היא סגורה ולכן מההגדרה אם ‪/ A‬‬
‫∈ ‪ x‬ולכן הם ניתנון להפרדה‪.‬‬
‫‪ :T2 ⇐ T3‬יהיו ‪ x, y‬שונים אזי מזה ש ‪ T3‬הוא גם ‪ {x} T1‬ו }‪ {y‬סגורות וגם }‪/ {y‬‬
‫∈ ‪ X‬ואז‪:‬‬
‫‪ :T1 ⇐ T2‬תהי ‪ x ∈ X‬נראה ש }‪ X\ {x‬פתוחה‪ .‬לכל }‪ y ∈ X\ {x‬קיימת פתוחה ‪ Vy‬כך ש ‪/ {x} ⊃ Vy ∋ y‬‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫[‬
‫⊂ ‪Vu‬‬
‫= }‪X\ {x} = X\ {X‬‬
‫}‪Vy = X\ {x‬‬
‫⊂ }‪{y‬‬
‫= }‪X\ {x‬‬
‫‪y6=x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪c‬‬
‫פתוחה‪ .‬ולכן‪ (X\ {x}) = {x} :‬סגורה‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫}‪y∈X\{x‬‬
‫}‪y∈X\{x‬‬
‫‪ .5.1‬ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה‬
‫‪5.1‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה‬
‫משפט ‪5.1.1‬‬
‫∈ ‪.y‬‬
‫‪ X .1‬הוא ‪ T1‬אם״ם לכל ‪ x 6= y‬קיימת פתוחה ‪ U‬כך ש ‪ x ∈ U‬ו ‪/ U‬‬
‫‪ X .2‬הוא ‪ T2‬אם״ם לכל ‪ x 6= y‬ב ‪ X‬קיימת ‪ U‬פתוחה כך ש ‪ x ∈ U‬ו‪:‬‬
‫∈ ‪.y‬‬
‫‪/U‬‬
‫‪ X .3‬הוא ‪ T3‬אם״ם ‪ X‬הוא ‪ T1‬וגם לכל ‪ A ⊆ X‬סגורה ‪ x ∈ AC‬קיימת‬
‫∈ ‪ x‬ו‪.A ⊂ U :‬‬
‫‪ U‬פתוחה כך ש ‪/ U‬‬
‫‪ X .4‬הוא ‪ T4‬אם״ם ‪ X‬הוא ‪ T1‬וגם לכל ‪ A, B ⊂ X‬זרות קיימת פתוחה‬
‫‪ U‬כך ש ‪ A ⊂ U‬ו‪.U ∩ B = ∅ :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ :⇐ .1‬ל ‪ x 6= y‬נקיח }‪ U U = {y‬פתוחה ו ‪.x ∈ U‬‬
‫‪c‬‬
‫⇒‪ :‬לכל }‪ x ∈ {y‬קיימת פתוחה‪ x ∈ Ux ,‬כך ש }‪ Ux ⊂ {y‬וכמו קודם‪Ux :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪S‬‬
‫‪x6=y‬‬
‫‪c‬‬
‫= }‪ {y‬פתוחה‪.‬‬
‫‪ :⇐ .2‬יהיו ‪ x 6= y‬ב ‪ X‬ונפריד בפתוחות זרות ‪ V‬ו ‪ U‬כך ש ‪ x ∈ V‬ו ‪ V c .y ∈ U‬סגורה ומכילה את ‪ U‬ולכן את ‪.U‬‬
‫∈ ‪.y ∈ V ⇒ y‬‬
‫‪/ U .V ⊂ X\U ⇐V = X\V c‬‬
‫‪c‬‬
‫⇒‪ :‬ניקח ‪ U‬כמו בתנאי ‪ V = U‬פתוחה‪. ∅ = V ∩ U ,y ∈ V ,x ∈ U .‬‬
‫∈ ‪ x‬מכאן התכונה‪.‬‬
‫‪ :⇐ .3‬תהי ‪ U ⊃ A‬פתוחה‪ V ∋ x ,‬פתוחה ‪ U, V‬זרות אזי ‪/ X\V ⊃ U‬‬
‫⇒‪ :‬נגדיר ‪ V = X\U‬ואז ‪ V, U‬פתוחות זרות המפרידות את ‪ A‬מ }‪.{x‬‬
‫‪ .4‬הוכחת השקילות כמו עבור ‪ T3‬ו ‪.T2‬‬
‫הערה ‪ 5.1.2‬לקבוצה ‪ X ⊃ C‬ונקודה ‪ x ∈ X‬נגדיר )‪d (x, C) = inf d (x, y‬‬
‫‪y∈C‬‬
‫אזי ‪∃yn ∈ C ⇐ d (x, C) ≥ 0‬‬
‫⇐‪.0 = inf (x, y) ,d (x, yn ) → 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫< ) ‪ d (x, yn‬ואז ‪ yn → c‬ולכן‪ .x ∈ C :‬להפך‪ x ∈ C ,‬אז ‪ ∃yn ∈ C‬כך ש ‪yn → x‬‬
‫‪y∈C‬‬
‫משפט ‪5.1.3‬‬
‫מרחב מטרי הוא ‪.T4‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ .‬לצורך שקיפות ההוכחה נראה תחילה )למרות שמיותר( ש ‪ X‬הוא ‪ Y .T3‬סגורה ב ‪ x ∈ X ,X‬ו‬
‫∈ ‪ .x‬המשלים ל ‪ Y‬פתוח ולכן יש כדור )‪ Br (x‬כך ש ‪ r > 0‬שאינו חותך את ‪.Y‬‬
‫‪/Y‬‬
‫‪S‬‬
‫אזי )‪Br/2 (y‬‬
‫= ‪ V‬פתוחה המכילה את ‪ U = Br/2 (x) .Y‬פתוחה המכילה את }‪ {x‬ומתקיים ‪ ∅ = U ∩ V‬כי אם ‪z ∈ U ∩ V‬‬
‫‪y∈Y‬‬
‫אזי )‪ z ∈ Br/2 (y‬לאיזשהו ‪ y ∈ Y‬אז‪:‬‬
‫‪d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) < r/2 + r/2 = r‬‬
‫וזו סתירה )כי ∅ = )‪.(y ∈ V ∩ Br (x‬‬
‫בקרה שלנו‪ Z, Y ,‬סגורות זרות לכן‪ 0 < d (y, Z) :‬לכל ‪.y ∈ Y‬‬
‫)‪Bd(y,Z)/2 (y‬‬
‫[‬
‫=‪U‬‬
‫‪y∈Y‬‬
‫)‪Bd(z,Y )/2 (z‬‬
‫[‬
‫= ‪V‬‬
‫‪z∈Z‬‬
‫ברור כי ‪ V, U‬פתוחותץ ‪ Y ⊂ U‬ו ‪ .Z ⊂ V‬נראה שהן זרות וסיימנו‪.‬‬
‫אם לא קיימת ‪ y ∈ Y‬ו ‪ z ∈ Z‬כך ש )‪ .x ∈ Bd(y,Z)/z (y) ∩ Bd(z,Y )/z(z‬זה לא ייתכן‪ .‬למשל בה״כ ) ‪d (y, Z) ≥ d (z, Y‬‬
‫‪26‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫‪ .5.1‬ניסוחים שקולים לתכונת ההפרדה‬
‫ואז‪:‬‬
‫) ‪d (y, z) d (z, Y‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪> d (y, x) + d (z, x) ≥ d (y, z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫≥ )‪d (y, z) ≥ d (y, Z‬‬
‫וזו סתירה‪.‬‬
‫טענה ‪5.1.4‬‬
‫הצכטנה הבאה שקולה ל ‪ T2‬עבור מרחב טופולוגי ‪ .X‬האלכסון }‪ ∆ = {(x, x) ∈ X × X | x ∈ X‬היא סגורה ב ‪X × X‬ץ‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ X‬האוסדורף נראה כי המשלים ∆\‪ X × X‬פתוחה‪.‬‬
‫אם )‪ X × X\∆ ∋ (x, y‬אזי ‪ y 6= x‬ולכן הם ניתנים להפרדה בפתוחות זרות‪ y ∈ V ,x ∈ U ,V, U .‬ואז ‪ U × V‬פתוחה ב ‪X × X‬‬
‫אבל ‪ ∆ ∩ U × V‬ריקה‪ .‬ולכן‪ X × X\∆ :‬קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫)‪∋(x,y‬‬
‫∈ )‪ (x, y‬ולכן המשלים ∆\‪ X × X‬פתוחה ויש פתוחה בסיסית ‪U ) U × V‬‬
‫להפך‪ ,‬אם ∆ סגור ב ‪ X × X‬יהיו ‪ y 6= x‬ב ‪ X‬אזי ∆ ‪/‬‬
‫פתוחה ב ‪ X‬ו ‪ V‬פתוחה ב ‪ (X‬המוכלת במשלים ומכילה את )‪ (x, y‬אז ‪ V, U‬פתוחות המפרידות את ‪ x‬מ ‪.y‬‬
‫משפט ‪5.1.5‬‬
‫‪T1‬‬
‫‪T1‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי שהוא ‪ T2‬אזי כל תת מרחב שלו הוא ‪T2‬‬
‫‪T3‬‬
‫‪T3‬‬
‫‪T1‬‬
‫‪T1‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ X, Y‬מרחב טופולוגיים שהם ‪ T2‬אזי ‪ X × Y‬הוא ‪T2‬‬
‫‪T3‬‬
‫‪T3‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נראה ‪:T1‬‬
‫יהי ‪ Y ⊂ X‬אם ‪ X‬הוא ‪ T1‬כל נקודה ב ‪ Y‬סגורה אפילו ב ‪ X‬ומהגדרת טופולוגיות תת מרחב סגורה גם ב ‪.Y‬‬
‫נראה ‪:T2‬‬
‫‪ y1 , y2 ∈ Y ⊂ X‬נתונות להפרדה בפתוחות זרות ‪ U, V‬ואז ‪ U ∩ U‬ו ‪ U ∩ Y‬פתוחות זרות ב ‪ Y‬ומפרידות את ‪ y1‬מ ‪.y2‬‬
‫נראה ‪:T3‬‬
‫∈ ‪ y‬ואז ניתן להפריד את ‪ y‬מ‪B‬‬
‫אם ‪ A ,Y ⊂ X‬סגורה ב ‪ Y‬ו ‪ A 6∋ y ∈ Y‬אזי ‪ A = Y ∩ B‬כש ‪ B‬סגורה ב ‪ .‬בהכרח ‪/ B‬‬
‫מפתוחות זרות ‪ U, V‬ב‪ X‬ואז ‪ V ∩ Y ,U ∩ Y‬פתוחות ב ‪ Y‬המפרידות את ‪ y‬מ ‪.‬‬
‫‪ .2‬נראה ‪:T1‬‬
‫בהינתן ‪ X, Y‬הם ‪ T1‬יהיו ‪ x ∈ X‬ו ‪ y ∈ Y‬צריך להוכיח })‪{(x, y‬סגורה‪.‬‬
‫למה ‪5.1.6‬‬
‫למה אם ‪ B ⊂ Y ,A ⊂ X‬סגורות‪ .‬אזי ‪ A × B‬סגורה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪X × Y \A × B = (X\A) × Y ∪ X × (Y \B‬‬
‫פתוחות בסיסיות‪.‬‬
‫נראה ‪:T2‬‬
‫‪ X, Y‬הם ‪ ,T2‬נרצה להראות כי )‪ (x′ , y ′ ) 6= (x, y‬ב ‪ X, Y‬ניתנות להפרדה בפתוחות זרות‪.‬‬
‫לא קשה‪ ,‬אבל צריך להפריד למקרים‪ .‬במקום זה נשתמש בקריטריון האלכסון‪:‬‬
‫∼‬
‫‪∆X×Y‬‬
‫‪= ∆X × ∆Y ⊆ X × X × Y × Y‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫∩‬
‫) ‪(X × Y ) × (X × Y‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫לפי הלמה‪ ,‬מכפלת סגורות סגורה‪ .‬הומאומורפיזם פשוט‪:‬‬
‫) ‪(x, y, x′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, x′ , y, y ′‬‬
‫ומכיוון ש ‪ Y, X‬הם ‪ T2‬אזי ‪ ∆X‬ו ‪ ∆Y‬סגורות‪ .‬ולכן ‪ ∆X × ∆Y‬סגורה ואז מהלמה ‪ ∆X×Y‬סגורה ומקרטריון האלכסון‬
‫‪ X × Y‬האוסדורף‪.‬‬
‫נראה ‪:T3‬‬
‫∈ )‪ X × Y ∋ (x, y‬נרצה להפריד‪ .‬המשלים ל ‪ A‬פתוחה‪(x, y) ∈ X × Y \A ,‬‬
‫אם ‪ X, Y‬הם ‪ ,T3‬תהי ‪ A ⊂ X × Y‬סגורה‪/ A ,‬‬
‫ולכן יש פתוחה בסיסית ‪ (x, y) ∈ U × V‬כאשר ‪ U‬פתוחה ב ‪ X‬ו ‪ V‬פתוחה ב ‪ Y‬אבל ‪.U × V ⊂ X × Y \A‬‬
‫מכיוון ש ‪ X‬רגולרי ניתן להפריד את ‪ X‬מ ‪ X\U‬בפתוחות זרות או לפי הקריטריון השקול יש פתוחה ‪ U0‬ב ‪ X‬כך ש ‪,x ∈ U0‬‬
‫‪.U ⊃ U0‬‬
‫אותו דבר ל ‪ .Y‬מרגולריות ‪ Y‬קיימת פתוחה ‪ V0‬ב ‪ Y‬כך ש ‪ y ∈ V0 ⊂ V0 ⊂ V‬אזי ‪ U0 × V0‬סביבה פתוחה של )‪ (x, y‬ב‬
‫‪ X × Y‬אבל‪:‬‬
‫‪U0 × V0 = U0 × V0 ⊂ U × V ⊂ X × Y \A‬‬
‫ולכן מתקיים הקריטריון השקול ל ‪.T3‬‬
‫הערה ‪ 5.1.7‬המעבר ‪ U0 × V0 = U0 × V0‬הוא מסקנה מהלמה‪ .‬הוכחה כתרגיל‪.‬‬
‫‪5.2‬‬
‫דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫משפט ‪5.2.1‬‬
‫קבוצה סדורה היטב ‪ X‬עם טופולוגיית הסדר היא מרחב טופולוגי נורמלי‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.2‬בקבוצה סדורה היטה‪ ,‬אינטרבל ]‪ (a, b‬הוא קבוצה פתוחה‪ .‬כי אם ‪ b‬איבר אחרון‪ ,‬זה מתלכס עם )∞ ‪{a < x} (a,‬‬
‫אחרת יש ל ‪ b‬עוקב ‪ b′‬ואז זו ] ‪(a, b′ ) = (a, b′‬‬
‫הוכחה‪ :‬כל }‪ {a‬כאשר ‪ a ∈ X‬היא סגורה בתור המשלים לפתוחה )∞ ‪ (−∞, a) ∪ (a,‬פתוחות בסיסיות‪ .‬לכן ‪ X‬הוא ‪.T1‬‬
‫כעת תהיינה ‪ A, B‬זרות וסגורות‪ .‬אנו רוצים להפריד בפתוחות זרות‪.‬‬
‫לנוחות נניח קודם כל כי האיבר המינימלי ‪ x0‬של ‪ X‬אינו ב ‪ A‬ואינו ב ‪ B‬אזי לכל ‪ a ∈ A‬קיים פתוחה בסיסית ]‪ (xa , a‬זרה ל‪ B‬וכן‬
‫]‪ (yb , b‬זרה ל‪ A‬לכל ‪.b ∈ B‬‬
‫האיחודים‪:‬‬
‫[‬
‫= ‪U‬‬
‫]‪(xa , a‬‬
‫‪a∈A‬‬
‫]‪(yb , b‬‬
‫[‬
‫=‬
‫‪V‬‬
‫‪b∈B‬‬
‫הן פתוחות זרות המפרידות את ‪ A‬מ‪.B‬‬
‫נניח בשלילה כי הן אינן זרות‪ ,‬כך ש־∅ =‪ ,(xa , a] ∩ (yb , b] 6‬ונניח בה״כ ‪ .a < b‬בנוגע ל־ ‪ ,yb‬קיימות שתי אפשרויות‪:‬‬
‫‪ ,a ≤ yb .1‬ואז בהכרח האינטרוולים זרים‪.‬‬
‫∈ ‪ ,a‬בסתירה‪.‬‬
‫‪ ,a > yb .2‬ואז )‪ ,a ∈ (yb , b‬אבל )‪/ B ⊃ (yb , b‬‬
‫כעת‪ ,‬נניח כי ‪ ,x0 ∈ A‬ונבחין כי } ‪ {x0‬גם סגורה וגם פתוחה‪ :‬אם ‪ {x0 } = X‬זה ברור‪ ,‬ואחרת‪ ,‬יהי ‪ x1‬העוקב שלו‪ ,‬ואז‬
‫‪c‬‬
‫) ‪ {x0 } = (−∞, x1‬וכן )∞ ‪.{x0 } = (x0 ,‬‬
‫אם כך‪ A\ {x0 } , B ,‬סגורות וזרות וניתנות להפרדה בפתוחות זרות‪ .A\ {x0 } ⊂ U, B ⊂ V ,‬אך אז } ‪ U ∪ {x0‬פתוחה שמכילה את‬
‫‪ ,A‬ו־} ‪.B ⊂ V \ {x0‬‬
‫‪28‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫הגדרה ‪ 5.2.3‬קבוצה סדורה היטב )≥ ‪ (X,‬היא קבוצה כך שלכל ‪ X ⊃ Y‬שאינה ריקה קיים איבר מינמלי‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.4‬סדר טוב הוא מלא‪ ,‬לכל }‪ X ⊃ {x, y‬גם קיים מינימלי‪ ,‬נניח ‪ ,x‬אז ‪.x ≤ y‬‬
‫דוגמה ‪ Z, R 5.2.5‬עם הסדר הרגיל אינן סדורות היטב‪ .‬אבל ‪ N‬סדורה היטב‪.‬‬
‫הקבוצה }‪ N ∪ {ω‬כך ש ‪ n < ω‬לכל ‪ n ∈ N‬היא סדורה היטב‪ .‬כך גם‪:‬‬
‫‪0, 1, . . . , ω, . . . , 2ω, ω + 1, . . . , ω 2 , ω 2 + 1, . . .‬‬
‫בניות‬
‫‪ .1‬לכל סדורה היטב אפשר להוסיף איבר בסוף‬
‫‪ .2‬לכל שרשרת עולה של סדורות היטב ‪ {Aα }α∈I‬שבה אם ‪ α > β‬אזי ‪ Aβ‬היא רישא של ‪ Aα‬וגם ‪Aα‬‬
‫למה ‪5.2.6‬‬
‫‪S‬‬
‫סדורה היטב‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫לכל שתי קבוצות סדורות היטב יש דרך יחידה לתאר אחת כרישא של השניה‪ .‬ז״א שאם ‪ A ≤ B‬או ‪.B ≤ A‬‬
‫∼ ‪ ⇐⇒ A‬ל‪ A‬ול‪ B‬יש את אותו טיפוס סדר‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.7‬אם שתי האפשרויות מתקיימות ביחד ⇒⇐ ‪= B‬‬
‫הערה ‪ 5.2.8‬על קבוצה סופית יש רק טיפוס סדר טוב יחיד )‪.(0 < 1 < . . . < n‬‬
‫על קבוצה בת מניה יש הרבה טיפוסי סדר טוב )אקסיומת הבחירה ⇒⇐ לכל קבוצה יש סדר טוב(‪.‬‬
‫נתבונן על כל טיפוסי הסדר על קבוצה בת מנייה )למשל ‪.(N‬‬
‫נסדר אותם לפי סדר יחס הרישא‪0 < 1 < . . . < ω < ω + 1 < . . . < ω 2 < . . . :‬‬
‫ניקח את האיחוד העולה ונקבל קבוצה סדורה היטב ‪.Ω‬‬
‫‪ Ω‬אינה בת מניה כי אחרת הייתה מתקבלת כרישא ממש של עצמה אבל כל רישא ממש שלה היא בת מנייה‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.9‬צריך להראות גם )∞ ‪ T1 = (−∞, x) ∪ (x,‬פתוחה ולכן המשלים שלו סגור‪ .‬אבל המשלים הוא }‪ {x‬משל‪.‬‬
‫הערה ‪ {x} 5.2.10‬פתוחה ⇒⇐ ‪ x‬עוקב או איבר ראשון‬
‫דוגמה ‪ 5.2.11‬דוגמה למרחב ‪ T1‬שאינו ‪:T2‬‬
‫‪c‬‬
‫תהי ‪ X‬קבוצה אינסופית‪ .‬נגדיר את טופולוגית המשלימים הסופיים )‪ u ⊂ X (COF‬היא פתוחה אםם ‪ u‬סופית או ∅‪.‬‬
‫ברור כי כל }‪ {x‬ו }‪ {y‬סגורים‪.‬‬
‫ברור גם שאין הפרדה בין הפתוחות ולכן ‪ X‬אינה ‪.T2‬‬
‫דוגמה ‪ 5.2.12‬דוגמה למרחב ‪ Y‬שהוא ‪ T2‬ואינו ‪:T3‬‬
‫כקבוצה‪ Y = R :‬אבל עם טופולוגיה שונה מהרגילה‪.‬‬
‫נסמן‪:‬‬
‫∞ ‬
‫‪1‬‬
‫‪⊂R‬‬
‫‪n n=1‬‬
‫‪Y −A‬‬
‫= ‪A‬‬
‫=‬
‫‪X‬‬
‫עם הטופולוגיה המושרית מ‪.R‬‬
‫נגדיר טופולוגיה חדשה על ‪ Y‬באופן הבא‪ U ⊂ Y :‬תקרא פתוחה אם״ם ‪ U ∩ X‬פתוחה ב ‪ X‬וגם )}‪ U ∩ (R − {0‬פתוחה ב }‪R − {0‬‬
‫)עם הטופולוגיה הרגילה(‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫טענה ‪5.2.13‬‬
‫זו אכן טופולוגיה‪ ,‬וגם‪ ,‬היא חזקה יותר )מכילה את( מהטופולוגיה הרגילה על ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ :‬החלק הראשון )שזו אכן טופולוגיה( היא מקרה פרטי של עובדה כללית יותר‪:‬‬
‫אם ‪ X‬קבוצה ו‪ {Yα } :‬מרחבים טופולוגים‪ ,‬נתונות ‪ fα : Yα → X‬ומגדירים טופולוגיה על ‪ X‬ע״י ‪ U ⊂ X‬נקראת פתוחה אם‬
‫) ‪ fα−1 (U‬פתוחה ב ‪ Yα‬לכל ‪.α‬‬
‫נבחין כי‪ ∅⇐ ∅ = fα−1 (∅) :‬בטופולוגיה‪.‬‬
‫)‪ X ⇐ Yα = fα−1 (X‬בטופולוגיה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Ui‬‬
‫‪ fα−1 (Ui ) = fα‬וגם‪Ui :‬‬
‫‪ . fα−1 (Ui ) = fα−1‬וזה מסיים את ההוכחה‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫הערה ‪ 5.2.14‬הפכנו כאן סימנים‪ .‬צריך לשים לב לזה‪ X = R .‬אצלנו ואילו ‪ Yα‬הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ R −‬כאשר ‪.α ∈ N‬‬
‫גם החלק השני מיידי‪ .‬כי ‪ fα‬אצלנו הן הכלות ולכן המקורות הם חיתוך עם }‪ .R − {0‬וכם ‪ R − A‬מכיוון שהטופולוגיה מעליהם היא‬
‫זו של תת־מרחב החיתוך של פתוחה מ ‪ R‬פתןוחה בהם‪.‬‬
‫לכן אם ‪ U‬פתוחה ב ‪ R‬בטופולוגיה הרגילה‪ ,‬היא פתוחה בטופולוגייה החדשה‪.‬‬
‫מסקנה ‪5.2.15‬‬
‫‪ Y‬הוא ‪ .T2‬כל שתי נקודות שונות נתונות להפרדה בפתוחות רגילות זרות ובפרט בפתוחות זרות בטופולוגיה החדשה‪.‬‬
‫∈ ‪.0‬‬
‫לעומת זאת‪ Y ,‬איננו ‪ ,T3‬את הקבוצה ‪ A‬לא ניתן להפריד מ }‪ {0‬למרות שהן זרות וסגורות‪ .‬ו ‪/ A‬‬
‫הנקודה }‪ {0‬סגורה כי המרחב ‪ Y‬הוא ‪) T1‬כי הוא ‪.(T2‬‬
‫הקבוצה ‪ A‬סגורה כי המשלים ‪ R − A = X‬פתוחה וזאת מהגדרת הטופולוגיה‪.‬‬
‫נבחין כי‪ R − A = X ∩ (R − A) :‬פתוחה ב ‪.R − A‬‬
‫‪1‬‬
‫וגם‪ R − (A ∪ {0}) = X ∩ (R − {0}) :‬פתוחה כיו }‪ A ∪ {0‬סגורה כי כוללת את הגבול }‪ {0‬של ‪ . n‬פתוחה ב ‪ R‬ובפרט פתוחה‬
‫ב }‪.R − {0‬‬
‫כלומר‪ ,‬הקבוצה ‪ A‬כן סגורה בטופולוגיה החדשה )למרות שהיא לא בטופולוגיה הרגילה(‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.16‬ברור שלא ניתן להפריד את ‪ A‬מ}‪ {0‬בטופולוגיה הרגילה‪ .‬כי ‪ 0 ∈ A‬בטופולוגיה הרגילה‪ .‬ולכן‪ ,‬כל סביבה של ‪ 0‬תחתוך‬
‫את ‪.A‬‬
‫אנו נוכיח כי כל סביבה של ‪ 0‬ב ‪ Y‬חותכת כל סביבה של ‪ A‬ב ‪ Y‬ובכך נסיים‪.‬‬
‫תהי ‪ U‬סביבה פתוחה של ‪ 0‬ב ‪ Y‬אזי )‪ U ∩ (R − A‬פתוחה ב ‪ R − A‬פתוחה ב ‪ .R − A‬ולכן‪ 0 ∈ U − A = (R − A) ∩ V :‬כש ‪V‬‬
‫פתוחה ב ‪ R‬ולכן ‪ V‬מכילה קטע )‪ (−ε, ε‬פתוח סביב ‪ .0‬ולכן‪:‬‬
‫‪U − A ⊃ (−ε, ε) − A‬‬
‫‬
‫אבל כל סביבה של ‪ A‬תכיל סביבה של כל נקודה ב ‪ A‬כלומר תכל קטע פתוח סביב כל נקודה ב‪ − n1 − εn , n1 εn A‬כאשר ‪.εn > 0‬‬
‫זה כבר חותך את ‪ (−ε, ε) − A‬וזה מראה את הנדרש‪ .‬לכן ‪ Y‬אינו ‪.T3‬‬
‫למה ‪5.2.17‬‬
‫ל ‪ 0 6= x ∈ Y = R‬כל סביבה של ‪ x‬מכילה קטע פתוח )‪.(x − ε, x + ε‬‬
‫הוכחה‪ :‬קבוצה ‪ W‬המכילה את ‪ x‬היא פתוחה אם״ם ‪ W − A‬פתוחה ב ‪ R − A‬ו‪ W − 0 :‬פתוחה ב ‪ .R − 0‬ל ‪ x 6= 0‬התנאי השני‬
‫ריק‪ .‬כלומר נחתוך את ‪ W‬עם }‪ R − {0‬זו פתוחה ב }‪ R − {0‬ולכן ב ‪ R‬ולכן מכילה קטע סביב ‪x‬‬
‫דוגמה ‪ 5.2.18‬למרחב ‪ T3‬שאינו ‪:T4‬‬
‫דוגמה אחת ניתנה בתרגול ‪ 4‬־ ‪ Ω‬הקבוצה הסדורה היטב ״הקטנה ביותר״ שאינה בת מנייה‪.‬‬
‫מוסיפים לה עוד איבר שגדול מכל האחרים‪ .‬בתורת הקבוצות מסורתי לקחת את האיבר הזה בתור הקבוצה ‪ Ω‬כאיבר‪ .‬ונקבל‪:‬‬
‫}‪) Ω = Ω ∪ {Ω‬סימון פחות מבלבל‪ :‬סמל ∞ שאינו ב ‪ Ω‬ו‪.(Ω = Ω ∪ {∞} :‬‬
‫בתרגול הוכח כי הוא ‪ T3‬אבל לא ‪.T4‬‬
‫‪30‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫הערה ‪5.2.19‬‬
‫‪ Ω .1‬ו ‪ Ω‬סדורות היטב עם טופולוגיית הסדר ולכן נורמליות כמרחבים טופולוגים‪.‬‬
‫‪ .2‬מכפלת ‪ T3 × T3‬היא ‪ T3‬ולכן המכפלה שלנו היא ‪T3‬‬
‫ולכן קיבלנו מכפלה של ‪ T4‬שהיא אינה ‪.T4‬‬
‫‪ .3‬כנשלמד את מושג הקומפקטיות נראה כי מרחב ‪ T3‬קומפקטי הוא ‪ T4‬וכי ‪ Ω‬קומפקטי‪ .‬לכן ‪ Ω×Ω‬קומפקטי)מכפלת קומפקטיים‬
‫היא קומפקטית( ו ‪ T3‬ולכן ‪ .T4‬ולכן ‪ Ω × Ω‬הוא תת מרחב של מרחב נורמלי אבל אינו נורמלי‪.‬‬
‫ניתן כעת דוגמה שונה למרחב ‪ T3‬שאינו ‪.T4‬‬
‫תהי ‪ N‬כרגיל הטבעיים עם הטופולוגיה הדיסקרטית‪.‬‬
‫תהי ‪ J‬קבוצה )תשמש כאינדקסים( שאינה בת מנייה‪ .‬יהי }‪ X = N = {f : J → N‬עם טופולוגיית המכפלה‪.‬‬
‫‪J‬‬
‫הקבוצות הבסיסיות בטופולוגיית המכפלה הן בעצמן איחודים של קבוצות מהצורה‪:‬‬
‫‪{f : J → N | f (j1 ) = n1 , f (j2 ) = n2 , . . . , f (jn ) = nn } = X‬‬
‫בהנתן ‪ f : J → N‬וקבוצה סופית ‪ .B ⊂ J‬נבנה ממנה את הקבוצה הבסיסית‪:‬‬
‫}‪X (f |B , B) X (f, B) = {g : J → N | f (j) = f (j) ∀j ∈ B‬‬
‫הערה ‪ 5.2.20‬משתמשים פה רק ב ‪.f |B‬‬
‫והקבוצות האלה עדין מהוות בסיס לטופולוגיית הכפלה‪.‬‬
‫כי היחידונים בסיס לטופולוגיה הדיסקרטית על ‪.N‬‬
‫נראה שהוא לא ‪ .T4‬נגדיר ‪ 2‬קבוצות סגורות ‪ P1 , P2‬ב ‪.X‬‬
‫}כל ערך ב ‪N‬פרט ל‪ 1‬מתקבל לכל היותר פעם אחת | ‪{f : J → N‬‬
‫}כל ערך ב‪N‬שאינו ‪ 2‬מתקבל לכל היותר פעם אחת | ‪{f : J → N‬‬
‫=‬
‫‪P1‬‬
‫=‬
‫‪P2‬‬
‫מכיוון ש ‪ J‬איננה בת מנייה‪ ,‬כל ‪ f ∈ P1‬לוקח ערכים שונים מ‪ 1‬על קבוצה סופית או בת מנייה ובשאר אברי ‪ x ∈ J‬מתקיים‬
‫‪.f (x) = 1‬‬
‫באותו אופן ל ‪ f (x) = 2 f ∈ P2‬פרט לקבוצה סופית או בת מנייה של אינדקסים ‪.x‬‬
‫נראה כי ‪ P1‬ו ‪ P2‬סגורות זרות ואינן ניתנות להפרדה בפתוחות זרות‪.‬‬
‫מיידי כי ‪ P1 , P2‬הן זרות כי ‪ f ∈ P1‬מקיימת ‪ f (x) = 1‬פרט לקבוצה סופית\בת מנייה של ‪x‬־ים )נסמנה ‪ (A1‬ו‪ f ∈ P2 :‬מקיימת‬
‫‪ f (x) = 2‬פרט לקבוצה דומה ‪ A2‬אבל ‪ ∅ 6= J − A1 − A2‬כי ‪ J‬אינה בת מנייה ולאבר בה ‪ 1 = f (x) = 2‬סתירה‪.‬‬
‫נראה ש ‪ P1‬סגורה )ל ‪ P2‬הוכחה דומה(‪:‬‬
‫נראה כי המשלים ‪ X − P1‬פתוחה = איחוד של קבוצות בסיסיות‪.‬‬
‫‬
‫‪f (j1 ) = n‬‬
‫} ‪, B = {j1 , j2‬‬
‫‪f (j2 ) = n‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫= }קיימים ‪j1 6= j2‬ב‪J‬כך ש ‪X − P1 = {f : J → N | f (j1 ) = f (j2 ) 6= 1‬‬
‫[‬
‫[‬
‫= }‪{f ∈ X | f (j1 ) = f (j2 ) = n‬‬
‫‪j1 ∈ J‬‬
‫‪j2 ∈ J‬‬
‫}‪n ∈ N − {1‬‬
‫‪j1 ∈ J‬‬
‫‪j2 ∈ J‬‬
‫}‪n ∈ N − {1‬‬
‫למה ‪5.2.21‬‬
‫מכפלה של מרחבים טופולוגיים ‪) T3‬גם ‪ (T1 ,T2‬היא ‪.T3‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫הוכחה‪ :‬לא הוכחה‪ ,‬רק הסבר‪.‬‬
‫הוכחנו למכפלה ‪ , X × Y‬ולכן זה נכון גם לכל סופית באינדוקציה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫למכפלה ‪Xα‬‬
‫כאשר ‪ I‬כלשהי‪ T1 ,‬ו ‪ T2‬קלים מאוד ) ‪ :T1‬מכפלת סגורות תמיד סגורה(‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫נרצה להפריד נקודה מסגורה‪ .‬נוח להראות כי אם ‪U‬‬
‫⊂ ‪ U‬פתוחה‪ x ∈ U ,‬אזי קיימת תיבה גדולה )פתוחה בסיסית ‪,V = Vα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫}‪ (x ∈ V ⊂ |{z‬וזה מושאר כתרגיל קל‪.‬‬
‫‪V ⊂U‬‬
‫‪Vα‬‬
‫‪Q‬‬
‫=‬
‫נחזור לדוגמה‪:‬‬
‫דוגמה ‪ J .X = NJ 5.2.22‬איננה בת מנייה‪ N .‬דיסקרטית‪ .‬חושבים על אברי ‪ X‬כפונקציות ‪ .f : J → N‬הטופולוגיה‪ :‬טופולוגיית‬
‫המכפלה‪.‬‬
‫בסיס לטופולוגיה ניתן לתאר כפונקציות שבמספר סופי של קואורדינטות קובעים את הערך שלהן‪.‬‬
‫בסיס זה חלקי לבסיס הרגיל של טופולוגיית המכפלה שבו במספר סופי של קואורדינטות ‪ α‬דורשים ‪ .f (jα ) ⊂ Aα‬מספיק להשתמש‬
‫בו כי הטופולוגיה על ‪ N‬דיסקרטית‪.‬‬
‫סימון‪ :‬אם ‪ B ⊂ J ,f ∈ X‬סופית‪ .‬נסמן }‪ X (f, b) = {g : J → N | g (j) = f (j) ∀j ∈ B‬אלה מהוות בסיס‪.‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫}נגדיר לכל ‪x 6= 1‬ב‪N‬המתקבל כ )‪f (j‬לכל היותר ל ‪j‬יחיד | ‪P1 = {f : J → N‬‬
‫הערה ‪ 5.2.23‬כל ‪ f ∈ P‬מקבלת את הערך ‪ f (j) = 1‬פרט ל ‪ j‬בקבוצה סופית או בת מנייה‪.‬‬
‫באותו אופן‪:‬‬
‫}נגדיר לכל ‪x 6= 2‬ב‪N‬המתקבל כ )‪f (j‬לכל היותר ל ‪j‬יחיד | ‪P1 = {f : J → N‬‬
‫ברור כי ‪ ∅ = P2 ∩ P1‬כי ב ‪ Pi‬מתקבל הערך ‪ i‬פרט לכל היותר לקבוצה בת מנייה‪ ,‬ו ‪ J‬אינסופית לא בת מנייה‪.‬‬
‫הראינו שהן סגורות‪ ,‬המשלימים הם‪:‬‬
‫[‬
‫= ‪X − P1‬‬
‫}‪{f ∈ X | f (j1 ) = f (j2 ) = n‬‬
‫‪j1 ∈ J‬‬
‫‪j2 ∈ J‬‬
‫}‪n ∈ N − {1‬‬
‫נבחין‪ ,‬כי זה איחוד של קבוצות בסיסיות פתוחות‪ ,‬ולכן פתוח‪ .‬ולכן ‪ P1‬סגורה‪ .‬באופן דומה ‪ P2‬סגורה‪.‬‬
‫המטרה כעת‪ :‬לא ניתן להפריד את ‪ P1‬מ ‪ P2‬בפתוחות זרות‪.‬‬
‫∞‬
‫∞‬
‫נניח בשלילה ‪ P2 ⊂ V ,P1 ⊂ U‬פתוחות זרות‪ .‬נבנה סדרה ‪ {jn }n=1‬של איברים שונים ב ‪ J‬ופתוחות ‪ {ui }i=1‬מוכלות כולן ב ‪U‬‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫נבנה את ‪ :U1‬קיים ‪ n1‬ואינדקסים ‪ j1 , . . . , jn1‬שונים ב‪ J‬כך שכל פונקציה ‪ f : J → N‬מקיימת‪f (j1 ) = f (j2 ) = . . . = :‬‬
‫‪ f (jn1 ) = 1‬נמצאת ב ‪.U1‬‬
‫סימון‪ :‬תהי ‪ B ⊂ J‬קבוצה סופית‪ ,‬ויהיו ‪ {nb }b∈B‬אוסף איברים ב‪ N‬כך שלכל ‪ b ∈ B‬אזי נסמן‪:‬‬
‫‬
‫}‪Y B, {nb }b∈B = {f : J → N | f (b) = nb ∀b ∈ B‬‬
‫זוהי פתוחה בסיסית‪.‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U1 = Y ({jα }nα=1‬‬
‫)‪, f (jα ) = 1‬‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫מדוע קיימת קבוצה ‪ B‬כזו? )כלומר‪ ,‬שעבורה ‪.(U1 ⊂ U‬‬
‫נקח את הפונקציה הקבוע ‪ .∀j f (j) = 1 ,f : J → N‬ואז קיימת קבוצה סופית ‪ B‬כך ש ‪ X (f, B) ⊂ U‬כי ‪ U ⊃ P1 ∋ f‬ו ‪U‬‬
‫פתוחה לכן מכילה קבוצה בסיסית סביב ‪.f‬‬
‫בניית ‪ U2′‬כעת נגדיר ‪) f‬חדשה( ע״י‪:‬‬
‫(‬
‫‪α 1≤α≤n‬‬
‫= ) ‪f (jα‬‬
‫אחרת ‪1‬‬
‫כעת קיימת קבוצה בסיסית‪:‬‬
‫} ‪B2 = {j1 , . . . , jn , jn+1 , . . . , jn2‬‬
‫) ‪.(n1 < n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (j1 ) = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬אינדקסים קודמים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (j ) = n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪U 2 = Y  B2 ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (jn1 +1 ) = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬אינדקסים חדשים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (j ) = 1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫המוכלת כולה ב ‪.U‬‬
‫נניח כי בנינו ‪ (k ≥ 1) f = fk‬ואינדקסים‬
‫ואינדקסים נוספים )כולם שונים זה מזה(‬
‫‪ , n1 < n2 < . . . < nk−1‬ואינדסקים מתאימים‪ j1 , . . . , jnk−1 :‬ב‪ .J‬בונים ‪nk−1 < nk‬‬
‫‪j1 , . . . , jnk−1 , jnk−1 +1 , . . . , jnk‬‬
‫‪{z‬‬
‫| }‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫הישנים‬
‫החדשים‬
‫‪α 1 ≤ α ≤ nk−1‬‬
‫‪1 nk−1 < α ≤ nk‬‬
‫(‬
‫= ) ‪fk (jα‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (j1 ) = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬אינדקסים קודמים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f j‬‬
‫‪‬‬
‫‪nk−1 = nk−1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪Un = Y B2 ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪f jnk−1 +1 = 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬אינדקסים חדשים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪f (j ) = 1‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪‬‬
‫מוכלת ב ‪.U‬‬
‫מדוע קיימת קבוצה כזאת? כדי להראות שיש סדרה כזו של אינדקסים חדשים‪ ,‬נגדיר את ‪ fk : J → N‬באופן הבא‪:‬‬
‫(‬
‫‪α j = jα , 1 ≤ α ≤ nk−1‬‬
‫= )‪fk (j‬‬
‫אחרת ‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ X (fk , {jα }nα=1‬מוכלת ב ‪ U‬ונותן לכן באינדוקציה עוד אינדקסים ואת‬
‫פונקציה כזו היא בוודאי ב ‪ .P1‬והקבוצה הבסיסית‪) ⊂ U :‬‬
‫‪.fk+1‬‬
‫‪33‬‬
‫פרק ‪ .5‬הפרדה‬
‫‪ .5.2‬דוגמאות למרחבים נורמליים‬
‫בכל סדרת הבנויות האלה‪ ,‬נבחרת קבוצה בת מנייה של אינדקסים‪ .‬ובכל קבוצה ‪ Uk‬כזו האינדקסים האחרים יכולים להיות כל דבר‪,‬‬
‫בפרט ‪ .2‬נתבונן בפונקציה‪:‬‬
‫(‬
‫∞<‪α 1≤α‬‬
‫= ) ‪f (jα‬‬
‫אחרת ‪2‬‬
‫כל ערך =‪ 2 6‬מתקבל פעם אחת ולכן היא ב ‪ P2‬ולכן יש ל‪ g‬סביבה פתוחה בסיסית ‪ W‬המוכלת בפתוחה ‪) V‬אשר מכילה את ‪.(P2‬‬
‫הסביבה הזו תחתוך את ‪Uk‬־ים ממקום מסויים )כי רק מספר סופי נקבעים( נקבעים ב ‪ .W‬אבל ‪ ∅ = V ∩ U ⊃ W ∩ Uk‬סתירה‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.2.24‬הבנייה הזו עדינה מאוד‪ .‬גם הבנייה בתרגול עם ‪ Ω‬היא עדינה‪ .‬ואלו הדוגמאות הפשוטות ביותר הידועים למרחבי ‪T3‬‬
‫שאינם ‪ .T4‬אחת הסיבות מדוע הדוגמאות מסובכות היא כי המרחבים ״סבירים״ הם נורמליים )מטריים‪ ,‬אורדינלים = קבוצות סדורות‬
‫היטב( הנה עוד משפט בכיוון הזה‪:‬‬
‫משפט ‪5.2.25‬‬
‫יהי ‪ X‬רגולרי עם בסיס בן מנייה‪ ,‬אז ‪ X‬נורמלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ A, B‬סגורות זרות נרצה להפריד אותן בפתוחות זרות‪.‬‬
‫לכל ‪ x ∈ B‬ניתן להפריד את ‪ x‬מ‪ A‬בפתוחות זרות ‪ .‬סימטרית כל ‪ x‬ב‪ A‬ניתן להפריד מ‪ B‬בפתוחות זרות אבל צריך משהו עדין‬
‫יותר‪.‬‬
‫ל‪ x ∈ A‬נבחר סביבה פתוחה בסיסית ‪ V‬כך ש ‪ V‬אינה חותכת את ‪.B‬‬
‫∞‬
‫מכיוון ש ‪ V‬בבסיס יש רק מספר בן מנייה ‪V‬־ים מופיעים ־ נסמן ‪ {Vi }i=1‬כל ‪ Vi‬זרה ל ‪Vi ,B‬‬
‫∞} ‪ {Wi‬של פתוחות בסיסיות כך ש ‪Wi‬זר ל‪ A‬ו ‪Wi‬‬
‫באופן סימטרי‪ ,‬יש סדרה ‪i=1‬‬
‫!‬
‫‪Wi‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫∩‬
‫!‬
‫‪Vi‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫∞‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫∞‬
‫‪S‬‬
‫מכסה את ‪.A‬‬
‫‪i=1‬‬
‫⊂ ‪ ,B‬אבל עדיין ייתכן‪:‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אינו ריק‪.‬‬
‫נראה כי ניתן לתקן את ‪ Ui , Vi‬כך שעדיין‬
‫נגדיר לכל ‪Wi ,n ≥ 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫חדש‪Vi‬‬
‫‪S‬‬
‫⊂ ‪ A‬מכסה את ‪Wi ,A‬‬
‫‪ ,Vn′ = Vn −‬ונגדיר‪Vi :‬‬
‫פתוחות זרות המפרידות את ‪ A‬מ‪.B‬‬
‫‪Sn‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i‬‬
‫⊂ ‪ B‬פתוחות זרות‪.‬‬
‫‪ .Wn′ = Wn −‬וכעת נגדיר‪Vn′ :‬‬
‫‪Wn′‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪ V‬ו‪Wn′ :‬‬
‫‪ Vn′‬פתוחה מהגדרתה )הורדה של מספר סופי של סגורות מפתוחה( וכן גם‬
‫‪S‬‬
‫לאיזשהו ‪ Vi‬אבל לא שייך לשום ‪ .Wj‬באופן סמטרי ‪ Wn′‬מכיל את ‪.B‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪m‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S ′‬‬
‫‪S ′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ Wm‬בה״כ ‪= Wm − Vi ,m ≤ n‬‬
‫כי כל איבר חיתוך היא איזשהו ‪∩Vn′‬‬
‫∩ ‪Wn‬‬
‫כמו כן‪Vn = ∅ ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .‬כמו כן‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Vn′‬‬
‫∞‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪x ∈ Wm‬‬
‫סתירה‪⊂ Wn ⊂ Wm .‬‬
‫‪′‬‬
‫דוגמה ‪ 5.2.26‬הבסיס ל ‪ , {B (x, r) , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Qn } ,Rn‬הוא בן מנייה‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ W‬ונראה כי הן‬
‫‪n‬‬
‫מכיל את ‪ A‬כי ‪ a ∈ A‬שייך‬
‫‪′‬‬
‫‪Wi ,Wm‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Vn′ = Vn −‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫קשירות‬
‫הגדרה ‪ 6.0.27‬מרחב טופולוגי ‪ X‬הוא קשיר אם לא ניתן לכתוב אותו כאיחוד זר ‪ X = A ∪ B‬כאשר ‪ A, B‬פתוחות לא ריקות )אפשר‬
‫גם ‪ A, B‬סגורות(‪.‬‬
‫טענה ‪6.0.28‬‬
‫תנאים שקולים לקשירות‪:‬‬
‫‪ .1‬לא קיים פירוק ‪ X = A ∪ B‬כאשר ‪ A, B‬סגורות‪ ,‬זרות ולא ריקות‪.‬‬
‫‪ .2‬לא קיימת העתקה רציפה ועל }‪ f : X → {0, 1‬כש }‪ {0, 1‬עם‬
‫הטופולוגיה הדיסקרטית‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬לוקחים ‪ V = X − B ,U = X − A‬או‪.B = X − V ,A = X − U :‬‬
‫‪ .2‬אם קיים פירוק ‪ X = U ∪ V‬נגדיר‪:‬‬
‫‪0 x∈U‬‬
‫‪1 x∈V‬‬
‫(‬
‫= )‪f (x‬‬
‫ואם קיימת }‪ f : X → {0, 1‬כנ״ל נגדיר )}‪ U = f −1 ({0‬ו‪.V = f −1 ({1}) :‬‬
‫דוגמה ‪ 6.0.29‬מרחב דיסקרטי עם שתי נקודות לפחות אינו קשיר‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 6.0.30‬מרחב עם הטופולוגיה הטריוויאלית קשיר‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 6.0.31‬קטע ב ‪ R‬הוא תמיד קשיר‪ .‬הוכחה‪ :‬שכן את }‪ {0, 1‬ב ‪) R‬טופולוגיית תת־הרחב הזה היא דיסקרטית(‪ .‬אם בשלילה‬
‫}‪) → {0, 1‬קטע( ‪ f :‬היא על‪ ,‬נחשוב על ‪ f‬כפונקצייה ל‪ R‬ונקבל סתירה ממשפט ערך הביניים‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪ .6.1‬תכונות בסיסיות של קשירות‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ 6.1‬תכונות בסיסיות של קשירות‬
‫משפט ‪6.1.1‬‬
‫‪ .1‬תמונה רציפה של מרחב טופולוגי קשיר היא קשירה‪.‬‬
‫‪ .2‬הסגור ‪ A‬של קבוצה קשירה ‪ A‬הוא קשיר‪.‬‬
‫תתי־מרחבים‪S‬של מרחב טופולוגי ‪ .X‬נניח כי כל‬
‫‪ .3‬יהי } ‪ {Aα‬אוסף של ‪T‬‬
‫‪ Aα‬קשיר ו ∅ =‪ Aα 6‬אזי ‪ Aα‬קשיר‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ .4‬מכפלת מרחבים טופולוגיים קשירים היא קשירה ואם מכפלת מרחבים‬
‫טופולוגיים לא ריקים קשירה‪ ,‬כל אחד מהם קשיר‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬בהינתן ‪ f : X → Y‬רציפה‪ X ,‬קשיר נרצה להראות כי )‪ f (x‬קישרה‪ .‬נחליף את ‪ Y‬ב)‪ f (x‬ונניח ש ‪ f‬היא על‪) .‬מותר ־ )‪f (x‬‬
‫עם טופולוגיית תת־המרחב(‪ .‬אם בשלילה )‪ f (X‬אינה קשירה‪ ,‬נכתוב ‪ f (x) = U ∪ V‬כש ‪ U, V‬פתוחות זרות לא ריקות‪ .‬אזי‬
‫) ‪ X = f −1 (U ) ∪ f −1 (V‬ואלה פתוחות זרות ולא ריקות )כי ‪ f‬על(‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח כי ‪ A = B ∪ C‬כש ∅ =‪ B, C 6‬סגורות וזרות אזי‪ A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) :‬וכאן ‪ A ∩ B‬ו ‪ A ∩ C‬סגורות ב ‪ A‬וזרות‪.‬‬
‫מלמה קודמת‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪A∩B ∪ A∩C =A =A∪B‬‬
‫מכיוון ש ‪ B, C‬זרות ו‪ A ∩ B ⊆ B :‬ו‪ A ∩ C ⊆ C :‬אז מתקיים שיוויון ‪ A ∩ B = B‬ו‪ A ∩ C = C :‬בפרט אילו ‪A ∩ B‬‬
‫הייתה ריקה גם ‪ B‬הייתה ריקה‪.‬‬
‫‪ .3‬תהי פונקציה‪:‬‬
‫}‪Aα → {0, 1‬‬
‫רציפה‪ .‬נבחר ‪Aα‬‬
‫‪T‬‬
‫‪α‬‬
‫[‬
‫‪f:‬‬
‫‪α‬‬
‫∈ ‪ x0‬הצמצום ‪ f |Aα‬רצפיה ומקשירות ‪ Aα‬היא קבועה‪ .‬לכן‪:‬‬
‫}‪f |Aα = f (x0 ) ∈ {0, 1‬‬
‫זה נכון לכל ‪ .α‬אם מכן א ) ‪ f ≡ f (x0‬כלומר קבועה‪ .‬בפרט‪ f ,‬לא על‪.‬‬
‫‪ .4‬נתחיל ממקרה של שני מרחבים ‪ X, Y‬קשירים‪ .‬תהי }‪ f : X ×Y → {0, 1‬רציפה‪ ,‬נוכיח שהיא קבועה‪ .‬יהיו ∈ ) ‪(x1 , y1 ) , (x2 , y2‬‬
‫‪ X × Y‬נראה כי‪:‬‬
‫) ‪f (x1 , y1 ) = f (x2 , y2‬‬
‫∼ ‪ X‬לכן מקשירות ‪ X‬גם הוא קשיר ומכן } ‪ f |X×{y1‬קבועה‪ .‬באופו אותן ‪f |{X1 }×Y‬‬
‫נתבונן ב } ‪= X × {y1 } .f |X×{y1‬‬
‫קבועה‪ .‬לכן‪f (x2 , y2 ) = f (x@ , y1 ) = f (x1 , y1 ) :‬‬
‫נוכיח את המקרה הכללי‪:‬‬
‫נוכיח את ⇐‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ Xα‬אינו קשיר אזי‪ ,Xα0 = U ∪ V :‬כאשר ‪ U, V‬פתוחות זרות לא ריקאות ואז‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫) ‪Xα = (U × Y ) ∪ (V × Y‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫כאשר ‪Xα‬‬
‫= ‪ .Y‬זהוא איחוד זר של פתוחות לא ריקות‪ ,‬לכן המכפלה אינה קשירה‪.‬‬
‫‪α6=α0‬‬
‫‪Q‬‬
‫כעת‪ α ,‬סופית‪ ,‬נקבל קשירות ‪ Xα‬באינדוקציה על גודל הקבוצה‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫נניח כעת מכפלה אינסופית‪ ,‬אם ∅ = ‪ Xα‬לאיזשהו ‪ α‬אין מה להוכיח )∅ קשירה(‪ .‬אם כל ∅ =‪ Xα 6‬נבחר ‪ .aα ∈ Xα‬תהי‬
‫‪ {α} = I‬קבוצת האינדקס לכל תת קבוצה סופית ‪ I ⊃ S‬תת המרחב‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫⊂ } ‪{aα‬‬
‫‪Xα‬‬
‫= ‪YS‬‬
‫× ‪Xα‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪α∈I\S‬‬
‫‪36‬‬
‫‪α∈S‬‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ .6.1‬תכונות בסיסיות של קשירות‬
‫הוא קשיר כי הומאומורפי למכפלה סופית של ‪) .Xα‬הומאומורפיזם של הטלה ושיכון(‪.‬‬
‫כל ה ‪ YS‬הם קשירים וכולם נחתכים בנקודה‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Xα ∋ (aα )α∈I‬‬
‫‪α‬‬
‫ממשפט שהראינו‪:‬‬
‫‪YS = Y‬‬
‫[‬
‫‪ S⊂I‬סופית‬
‫‪ Y‬הוא מרחב קשיר של ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫ולכן ‪ Y‬קשיר אבל מהגדרת טופולוגיית המכפלה‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Xα = Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪α‬‬
‫)כל פתוחה בסיסית ב ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫חותכת איזשהו ‪.(YS‬‬
‫‪α‬‬
‫הערה ‪R 6.1.2‬‬
‫∞‬
‫‪Q‬‬
‫אינה קשירה בטופולויית התיבות )יוכח בתרגיל(‪.‬‬
‫‪n=1‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.3‬רכיב קשירות‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ .x ∈ X ,‬רכיח הקשירות של ‪ x‬הוא‪A :‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.‬‬
‫‪x∈A⊂X‬‬
‫‪A‬קשירה‬
‫מהמשפט שצוטט זו קבוצה קשירה ולכן היא הקבוצה הקשירה המקסימלית )קיימת כזו( המכילה את ‪.x‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם ‪ X‬קשיר‪ ,‬אז מרכיב הקשירות של כל נקודה הוא ‪ .X‬מרכיב הקשירות של כל נקודה סגור כי הסגור שלו קשיר )ומכיל‬
‫אותו( לכן שווה לו‪.‬‬
‫נגדיר על ‪ X‬יחס ל‪ . y, x ∈ X :‬הקשירות שלהם נחתכים ) ⇒⇐ מתלכדים( ⇐ זהו יחס שקילות‪.‬‬
‫למה ‪6.1.4‬‬
‫מרכיבי קשירות של שתי נקודות זרים או מתלכדים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם נחתכים האיחוד שווה לכל אחד מהם‪ .‬ולכן ‪Cα‬‬
‫‪α‬‬
‫‪S‬‬
‫= ‪ X‬כאשר ‪ Cα‬מרכיבי הקשירות של נקודות והאיחוד זר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.5‬קשיר מקומית‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬יקרא קשיר מקומית בנקודה ‪ x ∈ X‬אם כל סביבה של ‪ x‬מכילה פתוחה קשירה‬
‫המכילה את ‪.x‬‬
‫דוגמה ‪ 6.1.6‬כל מרחב דיסקרטי הוא קשיר מקומית‪ .‬אבל אם יש בו לפחות ‪ 2‬נקודות אזי הוא לא קשיר‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 6.1.7‬מרחב המסרק ]‪× [0, 1‬‬
‫טענה ‪6.1.8‬‬
‫ ∞‬
‫‪S‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∪ ]‪.R2 ⊃ X = [0, 1] × {0} ∪ {0} × [0, 1‬‬
‫‪ X‬הוא קשיר אבל אינו קשיר מקומית ב )‪.(0, 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכח בתרגול‪.‬‬
‫טענה ‪6.1.9‬‬
‫במרחב קשיר מקומית‪ ,‬מרכיבי הקשירות פתוחים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי מההגדרות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.10‬מרחב טופולוגי ‪ X‬יקרא קשיר מסילתית‪ .‬אם לכל ‪ x, y ∈ X‬קיימת מסילה מ ‪ x‬ל ‪ .y‬כלומר העתקה רציפה‬
‫‪ α : [0, 1] → X‬כך ש ‪.α (1) = y ,α (0) = X‬‬
‫‪37‬‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ .6.1‬תכונות בסיסיות של קשירות‬
‫הערה ‪ 6.1.11‬כמובן שכל קטע טוב באותה מידה כמו ]‪[0, 1‬‬
‫טענה ‪6.1.12‬‬
‫מרחב קשיר מסילתית הוא קשיר‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ X‬קשיר מסילתית‪ .‬נניח בשלילה כי אינו קשיר אז קיימת }‪ f : X → {0, 1‬רציפה ועל‪ .‬נבחר ‪ f −1 (0) ∋ x‬ו‪:‬‬
‫‪ .f −1 (1) ∋ y‬תהי ‪ α‬מסילה מ ‪ x‬ל‪) y‬קיימת מההנחה(‪.‬‬
‫ולכן ההרכבה רציפה ועל מ ]‪ [0, 1‬ל }‪ {0, 1‬וזו סתירה‪.‬‬
‫הערה ‪ 6.1.13‬ההפך אינו נכון‪ .‬נראה דוגמה בקרוב‪.‬‬
‫טענה ‪6.1.14‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ f : X → Y‬רציפה‪ .‬אם ‪ X‬קשיר מסילתית גם התמונה )‪f (X‬‬
‫קשירה מסילתית‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .2‬מכפלה ‪ Xα‬של מרחבים ∅ =‪ Xα 6‬קשירה מסילתית אם״ם כל ‪Xα‬‬
‫‪α‬‬
‫קשיר מסילתית‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬יהיו )‪ y1 , y2 ∈ f (X‬נבחר ‪ x1 , x2 ∈ X‬כך ש ‪ .f (xi ) = yi‬תהי ‪ α‬מסילה ב ‪ X‬מ ‪ x1‬ל ‪ x2‬אזי ‪ f ◦ α‬היא מסילה ב ‪ Y‬מ ‪y1‬‬
‫ל ‪.y2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .2‬נניח כי כל ‪ Xα‬קשיר מסילתית‪ .‬תהיינה ‪ x = (xα )α‬ו‪ y = (yα )α :‬נקודות ב ‪ . Xα‬נבחר מסילה ‪) βα : [0, 1] → Xα‬לכל‬
‫‪α‬‬
‫‪ (α‬המחברת את ‪ xα‬ל ‪.yα‬‬
‫‪βα (1) = yα‬‬
‫אזי‪Xα :‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫‪βα (0) = xα‬‬
‫→ ]‪) β = ×α βα : [0, 1‬כלומר מכפלת הפונקציות( רציפה )כי רציפות לתוך מכפלה‬
‫⇒⇐‬
‫רציפות כל‬
‫הקואורדינטה( ומתקיים ‪ β (1) = y ,β (0) = x‬כנדרש‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬אם המכפלה היא קשירה מסילתית אזי נבחר ‪ Xα ∋ aα‬ואז לכל ‪ α0 ∈ I‬ו‪ xα0 , yα0 ∈ Xα0 :‬נגדיר‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪aα‬‬
‫× ) ‪x = (xα0‬‬
‫‪α6=α0‬‬
‫‪aα‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪α6=α0‬‬
‫× ) ‪= (yα0‬‬
‫‪y‬‬
‫נחבר את ‪ x‬ל‪ y‬במסילה ‪ β‬במכפלה ונטיל אותה על קואורדינטה ‪.α0‬‬
‫✟‬
‫‪Q‬‬
‫תרגיל‪ :‬יהיו ‪ Xα‬מרחבים קשירים מקומית‪ ,‬האם ‪ Xα‬קשירה מקומית?‬
‫‪α‬‬
‫✠‬
‫☛‬
‫דוגמה ‪ 6.1.15‬מרחב הסינוס‪ :‬מרחב הסינוס )הגרסה הלא קשירה( הוא דוגמה למרחב שהוא קשיר אבל אינו קשיר מסילתית‪.‬‬
‫‪ X ⊂ R2‬והוא האיחוד‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪{0} × [−1, 1] ∪ t, sin‬‬
‫‪t‬‬
‫כאשר ]‪.t ∈ [0, 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪A, sin‬‬
‫‪| 0<t≤1‬‬
‫‪t‬‬
‫]‪= {0} × [−1, 1‬‬
‫‪X1‬‬
‫‪X2‬‬
‫כאשר ‪ .X = X1 ∪ X2‬שניהם קשירים‪ ,‬כיוון ש ‪ X1‬הוא תמונת מסילה ]‪ .(0, 1‬ואלו ]‪ [−1, 1‬עבור ‪.X2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫→‪t 7‬‬
‫‪t, sin‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪t 7→ (0, t‬‬
‫‪38‬‬
‫✡‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ .6.1‬תכונות בסיסיות של קשירות‬
‫טענה ‪6.1.16‬‬
‫‪ X‬קשיר‪.‬‬
‫נוכיח זאת בעזרת הלמה הבאה‪:‬‬
‫למה ‪6.1.17‬‬
‫‪.X = X1‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההכלה ‪ X1 ⊂ X‬אם ‪→ (a, b) ∈ R2‬‬
‫‬
‫‪tn , sin t1n‬‬
‫‬
‫אזי ‪ tn → a‬ונפריד בין שני מקרים‪ .‬אם ‪ a 6= 0‬אזי בהכרח‬
‫‪) sin t1n = sin a1‬מרציפות הסינוס(‪ .‬ולכן הגבול ב ‪.X1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫אם ‪ a = 0‬אזי‪ 1 ≥ sin t1n :‬ולכן הגבול ‪.[−1, 1] ∋ lim sin t1n = b‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‬
‫‬
‫ולכן הגבול ‪ .X2 ∋ lim tn , sin t1n‬בכל מקרה הגבול ב ‪.X‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫נוכיח הכלה הפוכה‪ .‬יספיק להראות אם ‪ −1 ≤ b ≤ 1‬אזי קיימים ‪ tn → 0‬כך ש ‪ .sin t1n → b‬נקח את‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪2πn + arcsin (b‬‬
‫= ‪tn‬‬
‫נבחין כי ‪ tn → 0‬וכי‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= sin (2πn + arcsin (b)) = b‬‬
‫‪tn‬‬
‫‪sin‬‬
‫ולכן הגבול הוא ‪.b‬‬
‫מסקנה ‪6.1.18‬‬
‫‪ X = X 1‬הוא קשיר מכיוון שהוא סגור של קבוצה קשירה‪.‬‬
‫נראה כי ‪ X‬אינו קשיר מסילתית‪ .‬נתבונן במקרה של ‪ (1, sin 1) ∈ X1‬ו‪ (0, 0) ∈ X2 :‬ונראה שלא ניתן לקשר אותן במסילה ב ‪.X‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ α : [0, 1] → X‬רציפה )‪ α (1) = (1, sin 1‬ו‪.α (0) = (0, 0) :‬‬
‫∞‬
‫נכתוב ))‪ .α (t) = (α1 (t) , α2 (t‬ממשפט ערך הביניים עבור ‪ α1‬קיימות ‪) t1 > t2 > t3 > . . .‬סדרה ‪ (tn )n=1‬יורדת מונוטונית( כך‬
‫ש ‪.α1 (tn ) = π 11+n‬‬
‫) ‪(2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫כעת בהכרח‪ .α2 (tn ) = sin α1 (tn ) = sin π 2 + n = (−1) :‬בפרט‪ ,‬כאשר ‪) t → 0‬דרך הסדרה ‪ (tn‬אין ל ‪ α2‬גבול‪ .‬זה‬
‫גורר כי ‪ α‬אינה רציפה ב‪ t = 0‬וזו סתירה להנחה‪.‬‬
‫משפט ‪6.1.19‬‬
‫המרחבים הטופולוגים‪:‬‬
‫‪) (0, 1) .1‬קטע פתוח(‬
‫‪[0, 1] .2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ .3‬מעגל היחידה ‪S 1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1‬‬
‫‪[0, 1) .4‬‬
‫אינם הומאומורפים זה לזה‪.‬‬
‫הוכחה‪ (1 :‬אינו הומאומורפי לאחרים כי כשנוציא מ )‪ (0, 1‬נקודה כלשהי המרחב }‪ (0, 1) \ {x‬אינו קשיר‪ .‬אבל מכל אחד מהאחרים‬
‫ניתן להוציא נקודה )}‪} ,[0, 1] − {0‬נקודה כלשהי{ ‪ ([0, 1) − {0} ,S 1 −‬ולשמור על קשירות‪.‬‬
‫‪ (3 ,(2‬ו ‪ (4‬אינם הומאומורפים כי מ ‪ (2‬אפשר להוציא שתי נקודות בדיוק בלי לנתק את הקשירות‪ ,‬וב ‪ (3‬כל נקודה שנוציא לא תנתק‪,‬‬
‫ואילו ב‪ (4‬יש בדיוק נקודה אחת שאפשר להוציא בלי לנתק‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.20‬קשירות מסילתית מקומית‪ :‬מרחב ‪ X‬יקרא קשיר מסילתית מקומית ב־‪ x ∈ X‬אם כל סביבה של ‪ x‬מכילה סביבה של‬
‫‪ x‬שהיא קשירה מסילתית‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ .6.2‬קומפקטיות‬
‫הערה ‪ 6.1.21‬מרחב טופולוגי קשיר מסילתית מקומית הוא גם קשיר מקומית‪.‬‬
‫יהי ‪ X‬מ״ט‪ ,‬נגדיר עליו יחס ע״י כך שלכל ‪ x, y ∈ X‬מתקיים ‪ x ∼ y‬אם קיימת מסילה המחברת את ‪ x‬ל־‪.y‬‬
‫טענה ‪6.1.22‬‬
‫זהו יחס שקילות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬המסילה הקבועה נותנת רפלקסיביות‪.‬‬
‫ל־‪ ,y‬אז )‪ β (t) = α (1 − t‬מחברת את ‪ y‬ל־‪.x‬‬
‫( ‪ α : [0, 1] → X‬מקשרת את ‪ x‬ל־‪ y‬ו־‪ β : [0, 1] → X‬מקשרת את ‪ y‬ל־‪ ,z‬נגדיר‬
‫פורמלית‪ .‬אם‬
‫)‪α (2t‬‬
‫= )‪.γ (t‬‬
‫)‪β (2t − 1‬‬
‫סימטריה ־ אם ‪ α‬מחברת את ‪x‬‬
‫טרנזיטיביות ־ ברור‪ ,‬אבל נראה‬
‫‬
‫‬
‫‪t ∈ 0, 21‬‬
‫‪ γ : [0, 1] → X‬ע״י ‬
‫‬
‫‪t ∈ 12 , 1‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪ 0, 12 , 12 , 1‬סגורות ב־]‪ [0, 1‬והצמצומים אליהם הן פונקציות רציפות המסכימות בחיתוך‪ ,‬ולכן מטענה שראינו‪ ,‬גם ‪ γ‬רציפה‪ ,‬ולכן‬
‫היא מסילה רציפה שמחברת את ‪ x‬ל־‪.z‬‬
‫הגדרה ‪ 6.1.23‬מחלקת השקילות של יחס זה נקראת רכיב קשירות מסילתית‪.‬‬
‫מההגדרות ברורה הטענה הבאה‪:‬‬
‫טענה ‪6.1.24‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ X‬מ״ט קשיר מסילתית מקומית‪ ,‬אז כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה‪.‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ X‬מ״ט קשיר מסילתית מקומית וקשיר‪ ,‬אז ‪ X‬קשיר מסילתית )בפירוק הזר לרכיבי קשירות מסילתית‪ ,‬כולם פתוחים ולכן‬
‫מקשירות קיים רק רכיב אחד(‪.‬‬
‫‪6.2‬‬
‫קומפקטיות‬
‫תזכורת ‪6.2.1‬‬
‫‪n‬‬
‫∞) ‪ (an‬יש תת־סדרה מתכנסת‪.ank → a ∈ A ,‬‬
‫• תהי ‪ A‬סגורה וחסומה ב־ ‪ ,R‬אז לכל סדרה ‪n=1 ⊂ A‬‬
‫• הלמה של היינה־בורל‪ :‬מכל כיסוי פתוח של קבוצה סגורה וחסומה ניתן להוציא כיסוי סופי‪.‬‬
‫כל אחת משתי התכונות הנ״ל מאפיינת את הקבוצות הסגורות וחסומות ב־ ‪ .Rn‬מושג הקומפקטיות מכליל אותן‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.2‬קומפקטיות‪ ,‬קומפקטיות סדרתית ותכונת החיתוכים הסופיים‪:‬‬
‫∞‬
‫‪ .1‬מרחב טופולוגי ‪ X‬יקרא קומפקטי סדרתית אם לכל סדרה בו יש תת־סדרה מתכנסת‪ ,‬כשנאמר ש־‪ (xn )n=1 ⊂ X‬מתכנסת‬
‫ל־‪ x ∈ X‬אם לכל סביבה ‪ U‬של ‪ x‬קיים ‪ n0‬כך ש־ ‪ xn ∈ U‬לכל ‪.n > n0‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .2‬מרחב טופולוגי יקרא קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח של ‪) {Uα }α∈I ,X‬כך ש־ ‪ Uα‬פתוחה ב־‪ X‬לכל ‪ α ∈ I‬וכן ‪Uα = X‬‬
‫(‪,‬‬
‫קיים תת־כיסוי סופי ‪ Uα1 , . . . , Uαn‬כך ש־‪Uαk = X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k=1‬‬
‫הערה ‪ 6.2.3‬ע״י מעבר למשלימים מקבלים מ־‪ 2‬הגדרה שקולה )בלמה בהמשך(‪.‬‬
‫‪ .3‬אוסף ‪ {Vα }α∈I‬של תתי־קבוצות של קבוצה ‪ X‬ייקרא בעל תכונת החיתוכים הסופיים )‪(FIP - Finite Intersection Property‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫אם כל חיתוך סופי ‪Vαi‬‬
‫אינו ריק‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫דוגמה ‪ X 6.2.4‬קבוצה אינסופית‪ {Vα }α∈I ,‬תת־הקבוצות עם משלים סופי‪ ,‬אזי ל־} ‪ {Vα‬יש את תכונת החיתוכים הסופיים‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ .6.2‬קומפקטיות‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫למה ‪6.2.5‬‬
‫‪ .1‬מ״ט ‪ X‬הוא קומפקטי אם״ם לכל אוסף ‪ {Vα }α∈I‬כך ש־ ‪ Vα‬סגורה ב־‪ X‬ועם ‪ FIP‬מתקיים ∅ =‪Vα 6‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪) .2‬וריאציה( מ״ט ‪ X‬הוא קומפקטי אם״ם לכל אוסף } ‪ {Vα‬של תתי־קבוצות כלשהן עם ‪ FIP‬מתקיים ∅ =‪Vα 6‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪ .3‬תת־מרחב סגור של מ״ט קומפקטי הוא קומפקטי‪.‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ X‬מ״ט קומפקטי והאוסדורף‪ ,‬אז כל תת־מרחב קומפקטי שלו סגור‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫לקומפקטיות ע״י מעבר למשלימים‪ .‬נסמן ‪ .Uα =TX\Vα‬נניח שהמרחב לא קומפקטי‪ .‬אז יש ‪ {Uα }α∈I‬כך ש־‬
‫‪ .1‬שקול‬
‫‪S‬‬
‫‪Uα = X‬‬
‫אבל לא קיים תת־כיסוי סופי=⇐∅ =‪Vα 6‬‬
‫‪ ,‬אבל לכל קבוצה סופית‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫אם נניח ש־‪ 1‬לא מתקיים‪ ,‬אזי יש אוסף קבוצות סגורות } ‪ {Vα‬כך ש־∅ =‪Vαi 6‬‬
‫‪S‬‬
‫אזי ‪ Uα = X‬הוא כיסוי פתוח של ‪ X‬שאין לו תת־כיסוי סופי‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪i=1‬‬
‫לכל } ‪ {α1 , . . . , αn‬סופית‪ ,‬אך ∅ = ‪Vα‬‬
‫‪T‬‬
‫‪.‬‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪α‬‬
‫∞‬
‫הגדרה ‪ 6.2.6‬קומפקטיות סדרתית‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬יקרא קומפקטי סדרתית אם לכל סדרה ‪ (xn )n=1 ⊂ X‬קיימת תת־סדרה‬
‫∞‬
‫מתכנסת‪.(xnk )k=0 :‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.7‬קומפקטיות של נקודות הצטברות‪ :‬מרחב טופולוגי ‪ X‬יקרא בעל תכונת קומפקטיות של נקודות הצטברות לכל קבוצה‬
‫אינסופית ב ‪ X‬יש נקודת הצטברות‪.‬‬
‫נקודת הצטברות של תת קבוצה ‪ A‬במרחב טופולוגיה ‪ X‬היא נקודה ‪ y ∈ X‬כך שכל סביבה שלה מכילה נקודה ‪.y 6= a ∈ A‬‬
‫משפט ‪6.2.8‬‬
‫גם קומפקטיות וגם קומפקטיות סדרתית )כל אחת לחוד( גוררות קומפקטיות של נקודות הצטברות‪.‬‬
‫משפט ‪6.2.9‬‬
‫במרחב מטרי‪ ,‬תכונות אלה שקולות‪.‬‬
‫טענה ‪6.2.10‬‬
‫‪ .1‬תמונה רציפה של מרחב טופולוגי קומפקטי היא קומפקטית‪.‬‬
‫‪ .2‬תת קבוצה סגורה במרחב טופולוגי קומפקטי היא קומפקטית‪.‬‬
‫‪ .3‬תת מרחב קומפקטי של מרחב טופולוגי האוסדורף‪ ,‬סגור בו‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪ f : X → Y‬רציפה‪ X .‬קומפקטי‪ .‬יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח של )‪ .f (X‬מההגדרה‪ Wα ∩ f (X) = Uα :‬כש ‪ Wα‬פתוחה‬
‫ב ‪ Y‬ואז‪:‬‬
‫) ‪f −1 (Uα ) = f −1 (Wα‬‬
‫פתוחות ומכסות את ‪ X‬ולכן יש תת כיסוי סופי ) ‪f −1 (Wαi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ל )‪ f (X‬כנדרש‪.‬‬
‫= ‪ .X‬ואז‪Uαi :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪Wαi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫∩ )‪ f (X‬תת כיסוי סופי‬
‫‪ .2‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי‪ Y ⊂ X .‬סגורה‪ .‬יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי פתוח ל ‪ .Y‬שוב נכתב ‪ Uα = Y ∩ Wα‬כש ‪ Wα‬פתוחות‬
‫ב ‪ X‬אזי‪:‬‬
‫!‬
‫[‬
‫) ‪Wa ∪ (X − Y‬‬
‫‪α‬‬
‫‪41‬‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ .6.2‬קומפקטיות‬
‫הוא כיסוי פתוח של ‪ .X‬נוציא ממנו תת כיסוי סופי ) ‪Wαi ∪ (X − Y‬‬
‫‪Uαi‬‬
‫‪n‬‬
‫[‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫אזי‪Wαi :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪i=1‬‬
‫⊂ ‪ Y‬ולכן‪:‬‬
‫= ) ‪Y = Y ∩ (Wαi‬‬
‫פתוחה‪ .‬תהי ‪ x ∈ X − Y‬לכל ‪ y ∈ Y‬יש‬
‫‪ .3‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי האוסדורף ותהי ‪ Y ⊂ X‬קומפקטית‪ .‬נוכיח ‪S X − Y‬‬
‫פתוחות זרות ‪ Vx,y , Ux,y‬כך ש ‪ x ∈ Ux,y‬ו‪) y ∈ Vx,y :‬בגלל האוסדורף(‪Vx,y .‬‬
‫מכסה את ‪ Y‬והוא כיסוי פתוח שלו‪) .‬אנו‬
‫‪y∈Y‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫מתכוונים ל ) ‪ ( (Vx,y ∩ Y‬לכן‪ ,‬מקומפקטיות ‪ Y‬קיים תת־כיסוי סופי ‪ {Vx,ui }i=1‬אשר מכסה את ‪ .Y‬ואז‪Vx,yi :‬‬
‫‪Ux,yi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ Ux .Ux‬פתוחה וזרה ל ‪ Y‬בסביבה של ‪ x‬ולכן ‪ X − Y‬פתוחה‪ .‬כלומר ‪ Y‬סגורה כנדרש‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫זר ל‬
‫‪i=1‬‬
‫כעת נוכיח את המשפט ממקודם‪:‬‬
‫משפט ‪6.2.11‬‬
‫גם קומפקטיות וגם קומפקטיות סדרתית )כל אחת לחוד( גוררות קומפקטיות של נקודות הצטברות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נראה כי קומפקטיות סדרתית גוררת קומפקטיות של נקודות הצטברות‪.‬‬
‫יהי ‪ X‬קומפקטי סדרתית‪ ,‬ותהי ‪ A ⊂ X‬תת־קבוצה אינסופית‪.‬‬
‫∞‬
‫נבחר סדרה ‪ {an }n=1‬שכל ‪ a ∈ A‬וכולן שונות זו מזו‪ .‬קיימת ל } ‪ {an‬תת סדרה מתכנסת ‪ .ank → x ∈ X‬צריך להוכיח כי בכל‬
‫סביבה ‪ U‬של ‪ x‬יש נקודה של ‪ A‬השונה מ‪ .x‬אבל מהנתון קיים ‪ k0‬כך שלכל ‪.ank ∈ U ,k0 ≤ k‬‬
‫מכיוון ש ‪ ank‬שונות זו מזו מתקיים ‪ ank 6= x‬עבור ‪ k‬מספיק גדול‪ .‬כנדרש‪.‬‬
‫נראה כי קומפקטיות גוררת קומפקטיות של נקודות הצטברות‪.‬‬
‫∞‬
‫יהי ‪ X‬קומפקטי‪ .‬נניח בשלילה כי יש בו קבוצה אינסופית ‪ A‬ללא נקודות הצטברות‪ .‬נוציא סדרה ‪ .{an ∈ A}n=1‬של נקודות שונות‪.‬‬
‫בוודאי של } ‪ {an‬אין נקודות הצטברות‪.‬‬
‫∞‬
‫∈ ‪ b‬אזי מכיוון שאין ל ‪ A0‬נקודות הצטברות‪,‬‬
‫נטען כי הקבוצה ‪ A0 = {an }n=1‬היא סגורה מכיוון שהמשלים שלה פתוח‪ .‬בהינתן ‪/ A0‬‬
‫אזי יש ל ‪ B‬סביבה זרה ל ‪ A0‬אחרת היא נקודת הצטברות של ‪) A0‬בוודאי כל נקודה של ‪ A0‬שונה מ ‪ .(b‬מכיוון ש ‪ A0‬סגורה ב ‪X‬‬
‫שהוא קומפקטי‪ ,‬אז ‪ A0‬קומפקטית‪.‬‬
‫אותה הוכחה ש ‪ A0‬סגורה עובדת גם עבור }‪ A0 − {a‬לכל ‪ .a ∈ A0‬ואז נקבל כיסוי פתוח‪:‬‬
‫[‬
‫[‬
‫= ‪A0‬‬
‫= }‪{a‬‬
‫‪(X − (A0 − {a})) ∩ A0‬‬
‫‪a∈A0‬‬
‫‪a∈A0‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו חותכים קבוצה פתוחה ב ‪ X‬עם ‪ A0‬לכן החיתוך הוא פתוח בטופולוגיה המושרית על ‪) A0‬זה מוכיח כי ‪ A0‬דיסקרטית‪ ,‬כל‬
‫נקודה פתוחה בה(‪ .‬מקומפקטיות יש לכיסוי זה תת כיסוי סופי ⇒⇐ ‪ A0‬עצמה קבוצה סופית‪ .‬סתירה להנחת השלילה כנדרש‪.‬‬
‫המטרה כעת להוכיח כי למרחב מטרי קומפקטיות שקולה לקומפקטיות סדרית ולקומפקטיות נקודות גבול‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.12‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪.‬‬
‫יהי ‪ {Uα }α∈I‬כיסוי ל ‪ X‬נאמר כי ‪ ε > 0‬הוא מספר לבג )‪ (Lebesgue‬עבור הכיסוי אם לכל ‪ x ∈ X‬הכדור )‪ Bε (x‬מוכל באיזשהי‬
‫‪.Uα‬‬
‫הערה ‪ 6.2.13‬אם ‪ 0 < δ < ε‬ו ‪ ε‬מספר לבג לכיסוי‪ ,‬אז גם ‪ δ‬כזה‪.‬‬
‫טענה ‪6.2.14‬‬
‫יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי קומפקטי סדרתית אזי לכל כיסוי פתוח שלו קיים מספר לבג‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ Uα‬כיסוי פתוח של ‪ .X‬נניח בשלילה שאין לו מספר לבג‪.‬‬
‫אזי לכל ‪ n‬טבעי )≤ ‪ (1‬קיימת נקודה ‪ xn ∈ X‬כך ש‪ B n1 (xn ) :‬אינו מוכל בשום ‪.Uα‬‬
‫מההנחה יש ל } ‪ {xn‬תת סדרה מתכנסת ‪ xnk → x‬נבחר ‪ α‬כך ש ‪ .x ∈ Uα‬יש כדור ‪ (ε > 0) Bε (x) ⊂ Uα‬פתוח‪.‬‬
‫ל ‪ k0 < k‬מתאים )‪ xnk ∈ B ε2 (x‬וגם ‪ 2ε < nk‬אם״ם ‪ 2ε > n1k‬וזו סתירה כי‪:‬‬
‫‪B n1 (xnk ) ⊂ B ε2 (xnk ) ⊂ Bε (x) ⊂ Uα‬‬
‫‪k‬‬
‫וזו כמובן סתירה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫פרק ‪ .6‬קשירות‬
‫‪ .6.2‬קומפקטיות‬
‫משפט ‪6.2.15‬‬
‫הטענות הבעות שקולות למרחב מטרי )‪:(X, d‬‬
‫‪ X .1‬קומפקטי‪.‬‬
‫‪ X .2‬קומפקטי של נקודות הצטברות‪.‬‬
‫‪ X .3‬קומפקטי סדרתית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :2 ⇐ 1 :‬הוכח‪ .‬זו עובדה כללית למרחבים טופולוגיים‪.‬‬
‫∞‬
‫נראה ‪ :3 ⇐ 2‬תהי ‪ (xn )n=1‬סדרה ב ‪.X‬‬
‫∞‬
‫מקרה א‪ :‬הקבוצה } ‪ {xn‬היא סופית‪ .‬אז יש תת סדרה ‪ (xnk )k=1‬כך ש ∞ → ‪ nk‬של אינדקסים שונים ‪ . nk‬כך ש ‪ xnk‬סדרה‬
‫קבועה‪.‬‬
‫ובוודאי סדרה קבועה היא מתכנסת )לגבול שהיא עצמה(‪.‬‬
‫∞‬
‫מקרה ב‪ :‬הקבוצה ‪ {xn }n=1‬אינסופית‪ .‬מההנחה יש לה נקודת הצטברות ‪ ⇐a‬לכל שלם ‪ 1 ≤ k‬יש ‪ a 6= xnk‬כך ש ‪.B k1 (a) ∋ xnk‬‬
‫בה״כ נוכל להניח כי ‪ nk‬מונוטונית עולה ממש ואז ‪ xnk −→ a‬וקבלנו תת סדרה מתכנסת כנדרש‪.‬‬
‫∞→‪k‬‬
‫לבסו‪ ,‬נראה ‪:1 ⇐ 3‬‬
‫יהי ‪ X‬מרחב קומפקטי סדרתית‪ .‬נניח בשלילה כי אינו קומפקטי‪ .‬זה אומר כי קיים ל ‪ X‬כיסוי פתוח‬
‫∞‬
‫יהי ‪ ε > 0‬מספר לבג עבור ‪ .{Uα }α∈I‬נבנה באינדוקציה על ‪ n‬סדרה ‪ (xn )n=1‬ב‪ X‬כך ש‪:‬‬
‫‪ {Uα }α∈I‬ללא תת כיסוי סופי‪.‬‬
‫‪d (xn , xm ) ≥ ε‬‬
‫לכל ‪ 1 ≤ m, n‬שונים‪ .‬אם נצליח נסיים‪ .‬כי אז ל ) ‪ (xn‬לא יכולה להיות תת סדרה מתכנסת בסתירה להנחה ש ‪ X‬קומפקטית‬
‫סדרתית‪.‬‬
‫בניית ) ‪ x1 :(xn‬־ נקודה כלשהי ב ‪.X‬‬
‫= ‪) X‬אחרת קיים ל } ‪ {Uα‬תת כיסוי סופי מאוד( לכן נוכן לבחור‬
‫‪ x2‬־ ) ‪ Bε (x1‬מוכל באיזשהי ‪ Yα1‬אבל ‪6 Uα1‬‬
‫‪ .x2 ∈ X − Uαq‬נגיד‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫שבנינו את ‪ ,x1 , . . . , xn‬ונבנה את ‪ .xn+1‬מכך ש ‪ ε‬מספר לבג קיימות‪ Uα1 , . . . , Uαn :‬כך ש ‪ .Bε (xi ) ⊂ Uαi‬אבל ‪Uαi‬‬
‫=‪X 6‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪S‬‬
‫‪ xn+1 ∈ X −‬וקבלנו סתירה כנדרש‪.‬‬
‫אחרת קיים ל } ‪ {Uα‬תת כיסוי סופי‪ .‬נבחר ‪Uαi‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪43‬‬
‫פרק ‪7‬‬
‫הכללה של מושגים מאינפי‬
‫נרצה להכליל מונחים מאינפי )של כמה משתנים(‪.‬‬
‫רציפות במידה שווה‬
‫‪7.1‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.1‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי‪ .‬נאמר כי פונקציה ‪ f : X → R‬היא רצפה במידה שווה אם לכל ‪ ε > 0‬קיים ‪ 0 < δ‬כך שלכל‬
‫‪ x, y ∈ X‬כך ש ‪ d (x, y) < δ‬מתקיים ‪. |f (x) − f (y)| < ε‬‬
‫להגדרה זו אין הכללה טובה למרחבים טופולוגיים )אבל יש הכללה למרחבים אינפורמיים״ של מרחבים מטריים שעבורם יש מושג כזה‪.‬‬
‫‪ 7.2‬משפטי ויירשטראס‬
‫משפט ‪7.2.1‬‬
‫יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי קומפקטי ותהי ‪ f : X → R‬רציפה‪.‬‬
‫‪ .1‬משפט ויירשטראס ראשון‪ f :‬חסומה‪.‬‬
‫‪ .2‬משפט ויירשטראס שני‪ f :‬מקבלת את המקסימום והמינימום שלה‪.‬‬
‫‪ .3‬תהי ‪ d‬מטריקה על ‪ ,X‬אזי ‪ f‬רציפה במידה שווה ביחס אליה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬ל ‪ n ∈ N‬כך ש ‪ .n ≥ 1‬תהי )‪ .R ⊃ Wn = (−n, n‬ולכן ) ‪ f −1 (Wn‬כיסוי פתוח ל ‪ .X‬נוציא תת כיסוי סופי ב‬
‫‪r‬‬
‫‪ f −1 (Wni ) i=1‬ואז ‪ n = max ni‬וחוסם את | ‪.|f‬‬
‫‪i≤r‬‬
‫הוכחה אלטרנטיבית‪ f (X) :‬קומפקטית ב ‪ R‬ובפרט חסומה‪.‬‬
‫‪ .2‬יהי )‪) M = sup f (x‬הוא קיים וסופי מהמשפט הראשון(‪ ,‬נשתמש בתכונת החיתוכים הסופיים‪ :‬נתבונן בקבוצה = ‪Wε‬‬
‫‪x∈X‬‬
‫)] ‪ (ε > 0) f −1 ([M − ε, M‬ה ‪ (Wε )ε>0‬הוא אוסף של קבוצות סגורות ב ‪ X‬ויש לו את תכונת הכיסויים הסופיים ולכן )‪X‬‬
‫קומפקטי( יש לו חיתוך לא ריק לכל ‪ x‬בחיתוך הזה ‪ x ∈ X‬ומקיים ‪ f (x) = M‬וסיימנו‪ .‬הוכחה זהה למינימום‪.‬‬
‫הוכחה אלטרנטיבית‪ f (X) :‬קומפקטים ב ‪ R‬ובפרט סגורה!!!‬
‫‪ .3‬יהי )‪ (X, d‬מרחב מטרי קומפקטי‪ ,‬יהי ‪ ε > 0‬ויהי ‪ δ > 0‬מספר לבג עבור הכיסוי הפתוח‪:‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε o‬‬
‫‪f −1 t − , t +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 t∈R‬‬
‫‪ x,‬מקיימות ‪ d (x, y) < δ‬אזי הן שייכות לאחת מקבוצות הכיסוי ואז |)‪ |f (x) − f (y‬־ מרחב בין שתי נקודות‬
‫אם ‪ y ∈ X‬‬
‫באותו קטע ‪ t − 2ε , t + 2ε‬ולכן מרחקן קטן מ ‪ ε‬וסיימנו‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫פרק ‪ .7‬הכללה של מושגים מאינפי‬
‫‪ .7.2‬משפטי ויירשטראס‬
‫משפט ‪ 7.2.2‬משפט טיכונוף‬
‫מכפלת מ״ט קומפקטיים היא קומפקטית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ {Xα }α∈I‬מ״ט קומפקטיים‪ ,‬ויהי ‪ {Fβ }β‬תת־קבוצות של ‪Xα‬‬
‫ריק‪.‬‬
‫לצורך כך‪ ,‬נחליף את האוסף } ‪ F = {Fβ‬באוסף גדול יותר עם אותה תכונה‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫בעלות ‪ .FIP‬נרצה להראות שחיתוך הסגורים אינו‬
‫‪α∈I‬‬
‫‪ Q‬בכל האוספים המכילים את ‪ F‬ומקיימים ‪ FIP‬־ }‪ .Coll = {F , G, H, . . .‬כל איבר ב־‪ Coll‬הוא אוסף תתי־קבוצות של‬
‫נתבונן‬
‫‪ , Xα‬מכיל את ‪ ,F‬ובעל ‪.FIP‬‬
‫‪α‬‬
‫בתוך ‪ ,Coll‬נאמר כי ‪ G ≤ H‬אם ‪ G‬הוא תת־אוסף של ‪ ,H‬כלומר ‪ .G ⊂ H‬ברור כי זה מגדיר יחס סדר חלקי‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪S‬‬
‫תהי } ‪ {Gγ‬שרשרת לא־ריקה ב־‪ .Coll‬נתבונן ב־ ‪ .G ∗ = Gγ‬זהו בבירור אוסף של תתי־קבוצות של ‪ . Xα‬יש לו את תכונת‬
‫‪α‬‬
‫‪γ‬‬
‫החיתוכים הסופיים ־ אם ∗ ‪ ,F1 , . . . , Fn ∈ G‬אז ‪ ,Fi ∈ Gγi‬ואז עבור ‪ γ = max γi‬יתקיים מתכונת השרשרת ש־ ‪ ,Gγi ⊂ Gγ‬כלומר‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫כל ‪ Fi‬ב־ ‪ ,Gγ‬שיש לו את תכונת החיתוכים הסופיים‪ .‬לכן ‪.G ∗ ∈ Coll‬‬
‫לפיכך‪ ,‬מהלמה של צורן‪ ,‬קיים ב־‪ Coll‬איבר מקסימלי‪ ,‬שנסמנו ב־‪ .G‬המקסימליות גוררת של־‪ G‬התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬תהי ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫⊂ ‪ U‬המכילה איזשהו ‪ ,Gβ ∈ G = {Gβ }β‬אזי גם ‪ U‬ב־‪.G‬‬
‫‪ .2‬חיתוך סופי ‪Gβi‬‬
‫‪ .3‬קבוצה ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪i=1‬‬
‫של ‪ Gβi ∈ G‬הוא גם ב־‪G‬‬
‫⊂ ‪ V‬החותכת כל ‪ Gβ‬היא גם ב־‪ ,G‬כי ∅ =‪6‬‬
‫כעת נסמן ב־ ‪ πα‬את ההטלה ‪Xα′ → Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .πα :‬תהי ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫‪α′‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪Gβi‬‬
‫‬
‫‪i=1‬‬
‫∩ ‪.V‬‬
‫⊂ ‪ ,G‬נתבונן ב־))‪.πα−1 (πα (G‬‬
‫אם ‪ ,G ∈ G‬אזי ))‪ πα−1 (πα (G‬מכילה את ‪ G‬ולכן ב־‪.G‬‬
‫‬
‫‪Q‬‬
‫‪Xα′‬‬
‫× )‪ πα−1 (πα (G)) = πα (G‬היא תיבה גדולה‪ .‬לכן‪ ,‬ל־‪ α‬קבוע יש לאוסף ‪πα−1 (πα (G)) G∈G‬‬
‫‪α′ 6=α‬‬
‫‬
‫את תכונת החיתוכים‬
‫הסופיים )כי לתיבות הגדולות באופן כללי יש תכונה זו(‪ .‬ולכן גם לאוסף ‪) {πα (G)}G∈G‬כש־‪ α‬קבוע( יש את תכונת החיתוכים‬
‫‪T‬‬
‫הסופיים‪ .‬זהו אוסף של תתי־קבוצות של ‪ ,Xα‬שהוא קומפקטי‪ ,‬ולכן ∅ =‪πα (G) 6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪G∈G‬‬
‫נשתמש באקסיומת הבחירה ־ לכל ‪ ,α‬נבחר )‪πα (G‬‬
‫‪T‬‬
‫‪G∈G‬‬
‫נסמן ‪ ,x = (xα )α∈I‬כך ש־ ‪Xα‬‬
‫כל סביבה של ‪ x‬ב־ ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪α‬‬
‫∈ ‪ .x‬נוכיח ש־‪G‬‬
‫‪T‬‬
‫‪G∈G‬‬
‫∈ ‪ .xα‬כל סביבה של ‪ xα‬ב־ ‪ Xα‬תחתוך את )‪ πα (G‬לכל ‪.G ∈ G‬‬
‫∈ ‪ x‬ונסיים‪.‬‬
‫מכילה תיבה פתוחה גדולה ‪Xα‬‬
‫‪Q‬‬
‫× ‪Uαi‬‬
‫‪α∈{α‬‬
‫} ‪/ 1 ,...,αn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪ B‬ש־‪ X‬שייך אליה‪ .‬מספיק להראות שכל ‪B‬‬
‫‪i=1‬‬
‫חותכת כל ‪ ,G ∈ G‬ואז ‪ x ∈ G‬לכל ‪.G ∈ G‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫× ‪Uαi‬‬
‫‪Xα ‬‬
‫= ‪ ,B‬ולכל ‪ i‬מתקיים ∅ =‪ Bi ) Bi ∩ G 6‬היא סביבה של ‪ x‬לכל ‪,1 ≤ i ≤ n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪α6=αi‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪ Uαi‬היא סביבה של ‪ xαi‬לכל‬
‫|‬
‫‪Bi‬‬
‫‪ ,1 ≤ i ≤ n‬ולכן ∅ =‪ παi (G) ∩ Uαi 6‬לכל ‪ ,G ∈ G‬ולכן ∅ =‪ G ∩ Bi 6‬לכל ‪ ,(G‬ומתנאי ‪ 3‬סיימנו‪.‬‬
‫טענה ‪7.2.3‬‬
‫∞‬
‫‪Q‬‬
‫]‪[0, 1‬‬
‫= ‪ X‬אינו קומפקטי בטופולוגית התיבות‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫הוכחה‪ :‬הקבוצות‬
‫‬
‫מכיוון ש־‬
‫‪1‬‬
‫‪3, 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3, 1‬‬
‫‬
‫‬
‫ו־ ‪ 0, 23‬פתוחות ב־]‪ .[0, 1‬לכל תת־קבוצה ‪ A ⊂ N‬נגדיר‬
‫‬
‫‬
‫‪ 0, 32 ,‬כיסוי פתוח של ]‪ ,[0, 1‬אזי ‪UA‬‬
‫‪S‬‬
‫‪A⊂N‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪3, 1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q 2‬‬
‫× ‪0, 3‬‬
‫‪i∈N\A‬‬
‫= ‪.UA‬‬
‫‪i∈A‬‬
‫= ‪ X‬ו־ ‪ {UA }A⊂N‬כיסוי פתוח בטופולוגית התיבות‪ ,‬אך נראה שאין לו‬
‫כיסוי פתוח בטופולוגית התיבות‪ .‬בהינתן ‪ A1 , . . . , Ar‬אז ‪UAk 6= X‬‬
‫‪45‬‬
‫‪r‬‬
‫‪S‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k=1‬‬
‫פרק ‪ .7‬הכללה של מושגים מאינפי‬
‫‪ .7.2‬משפטי ויירשטראס‬
‫‪n∈A‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫∞‬
‫אם ‪ ,Bi = Aci‬נתבונן בקבוצה ‪ .{0, 1} ⊂ X‬אזי }‪ ,{PAi } = UAi ∩{0, 1‬כאשר ‪ PAi = (XAi ,n )n=1‬עם‬
‫∈‪n‬‬
‫‪/A‬‬
‫‪r‬‬
‫‪S‬‬
‫ולכן ‪UAk‬‬
‫∩ }‪ {0, 1‬יכיל לכל היותר ‪ r‬נקודות‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫= ‪.XAi ,n‬‬
‫‪k=1‬‬
‫משפט ‪7.2.4‬‬
‫מרחב קומפקטי האוסדורף הוא נורמלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬היתה הוכחה בתרגיל ‪ 9‬שאלה ‪ .1‬נתחיל בהוכחת רגולריות‪.‬‬
‫תהי ‪ A ⊂ X‬קבוצה סגורה ו־‪ x ∈ X\A‬נקודה‪ ,‬נפרידן בפתוחות זרות‪ .‬לכל ‪ ,a ∈ A‬נבחר ‪ Va‬פתוחה כך ש־ ‪ ,a ∈ Va‬וכן ‪ Ua‬פתוחה‬
‫כך ש־ ‪ ,x ∈ Ua‬ו־ ‪ Va , Ua‬זרות‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫מההנחות נובע כי ‪ A‬קומפקטית‪ ,‬ולכן מספר סופי של ‪ Va‬יכסו את ‪ ,({Vai }i=1 ) A‬כאשר ‪Vai‬‬
‫= ‪ V‬פתוחה המכילה את ‪ ,A‬וזרה‬
‫לפתוחה ‪Uai‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ U‬המכילה את ‪.x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כעת נוכיח נורמליות ־ תהיינה ‪ A, B‬סגורות זרות ב־‪ .X‬לכל ‪ x ∈ B‬נבחר פתוחות זרות ‪ Ux , Vx‬כך ש־ ‪ .A ⊂ Vx , x ∈ Ux‬מספר‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫סופי ‪ {Uxi }i=1‬מכסות את ‪ .B‬תהיינה ‪Vxi‬‬
‫= ‪Uxi , V‬‬
‫= ‪ .U‬אלו פתוחות זרות כך ש־ ‪.A ⊂ V, B ⊂ U‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫משפט ‪7.2.5‬‬
‫יהי ‪ X‬קומפקטי‪ Y ,‬האוסדורף‪ f : X → Y ,‬חח״ע ורציפה עם טווח צפוף‪ ,‬אז ‪ f‬הומאומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬היה בתרגיל ‪.9‬‬
‫‪7.2.1‬‬
‫קומפקטיות מקומית‬
‫הגדרה ‪ 7.2.6‬מ״ט ‪ X‬קומפקטי מקומית במובן החלש אם לכל נקודה בו קיימת סביבה קומפקטית‪.‬‬
‫מ״ט ‪ X‬קומפקטי מקומית במובן החזק אם לכל ‪ x ∈ X‬וסביבה ‪ U‬של ‪ ,x‬קיימת סביבה קומפקטית ‪ V‬כך ש־ ‪.x ∈ V ⊂ U‬‬
‫ברור כי מתקיים‪:‬‬
‫‪ X .1‬קומפקטי =⇐ ‪ X‬קומפקטי מקומית במובן החלש‪.‬‬
‫‪ X .2‬קומפקטי מקומית במובן החזק =⇐ ‪ X‬קומקפטי מקומית במובן החלש‪.‬‬
‫משפט ‪7.2.7‬‬
‫במ״ט האוסדורף‪ ,‬קומפקטיות מקומית )שנראה שהסוגים שקולים( גוררת שהמרחב רגולרי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A ⊂ X‬סגורה‪ .x ∈ X\A ,‬תהי ‪ C‬סביבה קומפקטית של ‪ .x‬אז ‪ C‬מכילה פתוחה סביב ‪.x‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫ממשפט שהוכחנו‪ C ,‬היא מ״ט נורמלי‪ .‬אז יש קבוצות פתוחות ב־‪ C‬־ ‪ U ′ , V ′‬־ המפרידות את ‪ x‬מ־‪ ,A∩C‬כלומר ‪.x ∈ U , A∩C ⊂ V‬‬
‫נכתוב ‪ V ′ = W ∩ C‬כך ש־ ‪ W‬פתוחה ב־‪ .X‬נבחר פתוחה ‪ U ⊂ X‬כך ש־ ‪ x ∈ U‬ו־ ‪.x ∈ U ⊂ U ′‬‬
‫קיימת ‪ U‬כזו כי ‪ C‬מכילה פתוחה ב־‪ X‬המכילה את ‪) x‬מקומפקטיות מקומית במובן החזק(‪ ,‬ולכן יכולנו לבחור את ‪ U ′‬להיות פתוחה‬
‫ב־‪ X‬ולא רק ב־‪.C‬‬
‫‪′‬‬
‫נתבונן ב־)‪ .W ∪ (X\C‬זו פתוחה ב־‪ ,X‬מכילה את ‪ A‬וחותכת את ‪ C‬ב־ ‪ ,W ∩ C = V‬ובפרט היא זרה ל־ ‪.U‬‬
‫משפט ‪7.2.8‬‬
‫במ״ט האוסדורף‪ ,‬קומפקטיות במובן החלש ⇔ קומפקטיות במובן החזק‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬חזק =⇐ חלש מיידית‪ .‬נוכיח שחלש =⇐חזק‪.‬‬
‫תהי ‪ ,x ∈ X‬תהי ‪ C‬סביבה קומפקטית של ‪ ,x‬ותהי ‪ U‬סביבה של ‪ .x‬מכיוון ש־‪ C‬קומפקטית ו־‪ X‬האוסדורף‪ C ,‬סגורה ב־‪ .X‬בה״כ‬
‫‪ U‬פתוחה ב־‪ ,X‬ולכן ‪ C\U‬סגורה ב־‪.X‬‬
‫הראינו בשבוע שעבר ש־‪ X‬רגולרי‪ ,‬ולכן קיימת סביבה פתוחה ‪ V‬של ‪ x‬כך ש־ ‪ .V ⊂ U‬כעת ‪ C ∩ V‬סגורה בקומפקטית ולכן‬
‫קומפקטית‪ ,‬סביבה של ‪ x‬כחיתוך שתי סביבות‪ ,‬וכמובן מוכלת ב־ ‪.U‬‬
‫‪46‬‬
‫‪ .7.3‬מרחבי מנה‬
‫‪7.3‬‬
‫פרק ‪ .7‬הכללה של מושגים מאינפי‬
‫מרחבי מנה‬
‫הערה מקדימה כללית‪:‬‬
‫הערה ‪ 7.3.1‬תהי ‪ f : X → Y‬העתקה בין קבוצות‪ .‬אזי אם ‪ U‬טופולוגיה על ‪ ,X‬יש טופולוגיה ״טבעית״ על ‪ Y‬המוגדרת ע״י כך‬
‫ש־ ‪ V ⊂ Y‬תיקרא פתוחה ⇔ ) ‪ f −1 (V‬פתוחה ב־‪.X‬‬
‫טופולוגיה זו ״טבעית״ במובן הבא‪:‬‬
‫‪ f .1‬הופכת להיות רציפה‬
‫‪ .2‬רק הקבוצות ההכרחיות לרציפות ‪ f‬שייכות לטופולוגיה זו‪ .‬במילים אחרות‪ ,‬מכל הטופולוגיות האפשריות על ‪ Y‬שעבורן ‪f‬‬
‫רציפה‪ ,‬זו החלשה ביותר‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.2‬טופולוגיה מושרית‪ :‬נאמר כי טופולוגיה זו על ‪ Y‬מושרית מהטופולוגיה ‪ U‬דרך ‪.f‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.3‬טופולוגית המנה‪ :‬המקרה שיעניין אותנו הוא כאשר ‪ f‬היא על ‪ ,Y‬ואז נקרא לטופולוגיה המתקבלת על ‪ Y‬טופולוגיית‬
‫המנה‪.‬‬
‫אז ניתן לחשוב על ‪ Y‬קבוצתית כמנה של ‪ X‬ביחס שקילות ־ ) ‪.x1 ∼ x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2‬‬
‫הערה ‪ 7.3.4‬אם ‪ R‬יחס שקילות על קבוצה ‪ ,X‬קיימת קבוצת המנה ‪) X/R‬אוסף מחלקות השקילות(‪ ,‬ויש העתקה טבעית ‪π : X → X/R‬‬
‫ששולחת נקודה למחלקת השקילות שלה‪.‬‬
‫דוגמה ‪ ,A ⊂ X 7.3.5‬ונגדיר ‪ x1 ∼ x2‬אם )‪.(x1 = x2 ) ∨ (x1 , x2 ∈ A‬‬
‫נאמר כי ‪ Y‬מתקבל מ־‪ X‬ע״י זיהוי ‪ A‬לנקודה ונסמן ‪.Y = X/A‬‬
‫}‪.X = [0, 1] , A = {0, 1‬‬
‫טענה ‪7.3.6‬‬
‫ניתן לזהות את‬
‫‪X/A‬‬
‫‪1‬‬
‫עם המעגל ‪.S‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪) ϕ : [0, 1] → S 1‬כאשר ‪ S 1‬עם הטופולוגיה המושרית מ־ ‪ ,(R2‬כך ש־ ‪.ϕ (t) = e2πit‬‬
‫נסמן ב־}‪ π : [0, 1] → [0,1]/{0,1‬את העתקת המנה ששולחת כל איבר למחלקת השקילות שלו‪ .‬היא רציפה‪ ,‬על וכמעט חח״ע ־‬
‫)‪ ,π (0) = π (1‬ובשאר התחום היא חח״ע‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫]‪[0,1‬‬
‫‪ ψ :‬כך ש־‪.ϕ = ψ ◦ π‬‬
‫מכיוון ש־)‪ ,ϕ (0) = ϕ (1‬ברור כי קיימת העתקה יחידה כקבוצות ‪/{0,1} → S‬‬
‫הומאומורפיזם‪ .‬היא בוודאי חח״ע ועל‪ .‬תהי ‪ U ⊂ S 1‬פתוחה‪ .‬יש להראות כי ) ‪ ψ −1 (U‬פתוחה במרחב המנה‪ .‬זה‬
‫אנו נראה כי ‪ψ‬‬
‫‬
‫שקול לכך ש־) ‪ π −1 ψ −1 (U ) = ϕ−1 (U‬פתוחה ב־]‪ .[0, 1‬זה נכון כי ‪ ϕ‬רציפה‪.‬‬
‫מרחב המנה הוא גם קומפקטי‪:‬‬
‫למה ‪7.3.7‬‬
‫יהי ‪ X‬קומפקטי‪ R ,‬יחס שקילות עליו‪ ,‬אזי ‪ X/R‬קומפקטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬העתקת המנה רציפה‪ ,‬ותמונה רציפה של קומפקטי היא קומפקטית‪.‬‬
‫לכן ‪ ψ‬חח״ע ועל ורציפה ממרחב קומפקטי למרחב האוסדורף‪ ,‬ולכן היא הומאומורפיזם‪.‬‬
‫מסקנה ‪7.3.8‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ X‬מ״ט ו־‪ R‬יחס שקילות‪ ,‬מתקבלת העתקת מנה ‪ π : X → X/R‬שהיא רציפה )מהגדרת טופולוגית המנה(‪ .‬אם ‪ Y‬מ״ט אזי‬
‫‪ ψ : X/R → Y‬רציפה ⇔ ‪ ψ ◦ π‬רציפה‪.‬‬
‫‪ .2‬העתקה רציפה ‪ ϕ : X → Y‬היא מהצורה ‪ ϕ = ψ ◦ π‬עבור ‪ ψ : X/R → Y‬אם ורק אם קיימת ‪ ψ‬כזו כהעתקה בין קבוצות ־‬
‫במילים אחרות‪ ,‬רציפות ‪ ψ‬אוטומאטית מהגדרת טופולוגית המנה‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪ .7‬הכללה של מושגים מאינפי‬
‫‪ .7.3‬מרחבי מנה‬
‫משפט ‪7.3.9‬‬
‫יהי ‪ X‬מ״ט‪ R ,‬יחס שקילות עליו‪ ,‬אזי אם ‪ X‬קומפקטי ‪ /‬קשיר ‪ /‬קשיר מסילתית גם ‪ X/R‬כזה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תמונה רציפה של כל אחת מתכונות אלו שומרת על התכונה‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.3.10‬זה לא נכון לתכונות ההפרדה! למשל מ״ט דיסקרטי הוא האוסדורף‪ ,‬אבל תחת הטופולוגיה הטריוויאלית איננו כזה‪.‬‬
‫משפט ‪7.3.11‬‬
‫יהיו ‪ X, Y‬מ״ט‪ R ,‬יחס שקילות על ‪ π : X → X/R ,X‬העתקת המנה‪ .‬תהי ‪ f : X → Y‬רציפה‪.‬‬
‫‪ .1‬אם לכל ‪ x1 ∼ x2‬מתקיים ) ‪ f (x1 ) = f (x2‬אזי קיימת ‪ φ : X/R → Y‬יחידה כך ש־‪.f = φ ◦ π‬‬
‫‪ .2‬אם באותם תנאים ‪ X‬קומפקטי ו־ ‪ Y‬האוסדורף ו־ ‪ f‬על‪ ,‬וכן ) ‪ ,x1 ∼ x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2‬אזי ‪ φ‬הומאומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההוכחה זהה לדוגמה שראינו ומושארת כתרגיל‪.‬‬
‫דוגמה ‪7.3.12‬‬
‫}‪[0,1]/{0, 1 ,1‬‬
‫‪2‬‬
‫הומאומורפי לצורה של ‪.8‬‬
‫דוגמה ‪ 7.3.13‬יהי }‪ Bn = B = {x ∈ Rn | kxk ≤ 1‬כדור היחידה הסגור )בנורמה אוקלידית(‪ ,‬ו־}‪.S = S n−1 = {x ∈ Rn | kxk = 1‬‬
‫∼ ‪) Bn/S n−1‬אינטואיטיבית‪ ,‬כדאי לחשוב על ‪.(n = 1, 2‬‬
‫אזי ‪= S n‬‬
‫אפשר לעשות זאת באופן ישיר‪ ,‬אך וריאציה נוחה יותר היא להשתמש בבניית עזר‪.‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪B‬‬
‫הומאומורפיזם‬
‫משרה‬
‫יהי ]‪ ,I = [0, 1‬ונביט ב־ ‪ G : S n−1 × I → Bn‬כך ש־‪ .(~x, t) 7→ t~x‬העתקה זו‬
‫∼ }‪G . S ×I/S n−1 ×{0‬‬
‫‪= n‬‬
‫שולחת את }‪ S n−1 × {t‬הומאומורפית על הספירה ברדיוס ‪ t‬עבור ‪ ,t > 0‬וממוטטת את }‪ S n−1 × {0‬לראשית‪ .‬מהמשפט הכללי‬
‫‪n−1‬‬
‫∼ }‪.S ×I/S n−1 ×{0‬‬
‫הקודם‪ ,‬נקבל הומאומורפיזם ‪= Bn‬‬
‫כעת‪ ,‬במקום ‪ 0 ∈ I‬ניתן לקחת כל קטע סגור ‪ J‬ונקודת קצה שלו ‪ a‬־ למשל‪ ,‬ניקח ]‪ [−1, 1‬ואת הנקודה ‪.−1‬‬
‫‪n−1‬‬
‫∼ }‪ .S ×[−1,1]/S n−1 ×{−1‬כעת‪ ,‬אם נמוטט לא רק נקודה נוכל להגדיר הומאומורפיזם מפורש‪.‬‬
‫אזי ‪= Bn‬‬
‫√‬
‫‬
‫‪P 2‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪) F ((x1 , . . . , xn ) , t‬כאשר ‪ .( xi = 1‬אזי‬
‫‪ F : S‬ע״י ‪1 − t (x1 , . . . , xn ) , t‬‬
‫באופן מפורש נגדיר ‪× [−1, 1] → S‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫√ ‪P‬‬
‫‪1 − t2 xi + t2 = 1‬‬
‫)ולכן ההעתקה מוגדרת היטב(‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫∼‬
‫אזי ‪ F‬משרה הומאומורפיזם ‪= S n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫כלומר‪ ,‬המנה של ‪ B n‬ב־ ‪ (B /S n−1 ) S n−1‬מזדהה עם ‪ ,S‬כנדרש‪.‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪.S ×[−1,1]/R‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.14‬יריעה‪ :‬מ״ט ‪ X‬נקרא יריעה ממימד ‪ n‬אם לכל ‪ x ∈ X‬קיימת סביבה פתוחה הומאומורפית ל־ ‪.Rn‬‬
‫מקובל להוסיף עוד שני תנאים טכניים‪:‬‬
‫‪ X .1‬האוסדורף‬
‫‪ .2‬יש לטופולוגיה בסיס עם מספר בן מנייה של פתוחות בסיסיות‪.‬‬
‫דוגמה ‪ Rn 7.3.15‬עם בסיס לטופולוגיה שהוא כדורים פתוחים עם רדיוס ומרכז רציונליים‪.‬‬
‫משפט ‪7.3.16‬‬
‫משפט קשה בטופולוגיה אלגברית ־ המימד ‪ n‬מוגדר באופן יחיד )ראינו עבור ‪ ,n = 1‬נראה בהמשך הקורס עבור ‪.(n = 2‬‬
‫כמה עובדות מיידיות‪:‬‬
‫‪ .1‬קבוצה פתוחה ביריעה ממימד ‪ n‬היא יריעה ממימד ‪n‬‬
‫‪ .2‬מכפלת יריעה ממימד ‪ m‬ביריעה ממימד ‪ n‬היא יריעה ממימד ‪n + m‬‬
‫∼ ‪.(Rn‬‬
‫‪ .3‬הספירה ‪ S n‬היא יריעה ממימד ‪) n‬למשל כי לכל ‪ x ∈ S n‬מתקיים }‪= S n \ {x‬‬
‫עוד כמה משפטים לא קלים‪:‬‬
‫משפט ‪7.3.17‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ .7.4‬קבוצת קנטור‬
‫פרק ‪ .7‬הכללה של מושגים מאינפי‬
‫‪ .1‬יריעה ממימד ‪ 1‬הומאומורפית ל־‪ R‬או ל־ ‪.S 1‬‬
‫‪ .2‬יש מיון מלא )עד כדי הומאומורפיזם( ליריעות דו־מימדיות קומפקטיות‬
‫‪ .3‬במובן מסוים )ומסובך יותר(‪ ,‬גם ליריעות תלת־מימדיות קומפקטיות‪.‬‬
‫דוגמה ‪7.3.18‬‬
‫• כל קבוצה פתוחה ביריעה היא יריעה מאותו מימד‪.‬‬
‫• מכפלת יריעות היא יריעה שמימדה הוא סכום המימדים‪.‬‬
‫• נסמן ]‪ ,I = [0, 1‬ונגדיר יחס שקילות ־ לכל ‪ ,(0, t) ∼ (1, t) ,t‬ולכל ‪ .(δ, 0) ∼ (δ, 1) ,δ‬נסמן יחס זה ב־) ‪.(∼′‬‬
‫קל להשתכנע כי אם נגדיר על ‪ I‬יחס שקילות ‪) 0 ∼ 1‬שנסמנו ב־)” ∼((‪ ,‬אז ”∼‪.δ ′ × δ ′ = I×I/∼′ = I/∼” × I/‬‬
‫• ‪ S n‬יריעה ממימד ‪ .n‬כל חצי ספירה פתוחה ניתן להטיל על הכדור הפתוח ‪ ,Bn‬שהוא הומאומורפי ל־ ‪) Rn‬כל נקודה בספירה‬
‫יושבת על חצי־ספירה פתוחה(‪.‬‬
‫)‪( x tan(kxk‬‬
‫‪x 6= 0‬‬
‫‪kxk‬‬
‫→‪.x 7‬‬
‫– כדור פתוח הומאומורפי ל־ ‪ Rn‬לפי כך שעבור )‪ x ∈ Bn (0‬מתקיים‬
‫‪0‬‬
‫‪x=0‬‬
‫הערה ‪ 7.3.19‬בכל הדוגמאות מתקיימים גם שני התנאי הטכניים שציינו ־ האוסדורף ‪ +‬בסיס בן מנייה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.3.20‬המרחב הפרוייקטיבי‪= RPn :‬‬
‫∼‪S n/‬‬
‫כאשר )‪) x ∼ (−x‬נקודות אנטיפודיות(‪.‬‬
‫המרחב הפרוייקטיבי הוא יריעה ‪ n‬מימדית )הוא האוסדורף כי אפשר לקחת סביבות מספיק קטנות על המעגל(‪.‬‬
‫‪ 7.4‬קבוצת קנטור‬
‫‪ Cn‬הוא איחוד סופי של קטעים סגורים המוכלים ב ]‪.[0, 1‬‬
‫]‪C0 = [0, 1‬‬
‫‪ =Cn+1‬מכל קטע ]‪ [a, b‬ב ‪ Cn‬מויאים את השליל האמצבעי‪:‬‬
‫קבוצת קנטור היא‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪Cn‬‬
‫)‪2(b−a‬‬
‫‪,b‬‬
‫‪3‬‬
‫∞‬
‫\‬
‫‪h‬‬
‫‪∪ a+‬‬
‫‬
‫‪b−a‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪. a, a +‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪n=0‬‬
‫הוכחנו כי‪:‬‬
‫‪ x ∈ [0, 1] .1‬הוא ב ‪ C‬אם״ם בפיתוח שלו לבסיס ‪) 3‬כלומר‬
‫‪an‬‬
‫‪3n‬‬
‫פרט ל ‪ (x = 0‬רק הספרות ‪ 0, 2‬משתתפות‪.‬‬
‫∞‬
‫‪P‬‬
‫‪n=1‬‬
‫= ‪ x‬כאשר }‪ an ∈ {0, 1, 2‬ולא לוקחים פיתוחים סופיים‬
‫‪ C .2‬קומפקטית מעוצמת הרצף‪ .‬כל מרכיב קשירות של ‪ C‬הוא נקודה אחת‪.‬‬
‫משפט ‪7.4.1‬‬
‫‪N‬‬
‫∼‪C‬‬
‫}‪= {0, 1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבנה ‪ ϕ : {0, 1}N → C‬ע״י‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪an‬‬
‫‪en‬‬
‫כאשר‬
‫‪N‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫) ‪(2an‬‬
‫‪3n‬‬
‫∞‬
‫= ) ‪ϕ (a) = ϕ ((an )n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‬
‫}‪ ,a = (an )n=1 ∈ {0, 1‬כלומר }‪.an ∈ {0, 1‬‬
‫‪49‬‬
‫פרק ‪ .7‬הכללה של מושגים מאינפי‬
‫‪ .7.5‬העקום של פיאנו‬
‫ברור כי מתקבלים הפיתוחים של אברי ‪ C‬בבסיס ‪ 3‬וכי העתקה חח״ע )שני פיתוחים עם ספרות ‪ 2, 0‬בלבד אינם יכולים לתת אותו‬
‫מספר ממשי(‪.‬‬
‫בנוסף ‪ ϕ‬רציפה כי אם ‪ n‬הספרות הראשונות קבועות )כלומר אם‬
‫‪N‬‬
‫}‪ a, b ∈ {0, 1‬ומתקיים ‪ ak = bk‬לכל ‪ (n ≥ k‬אזי‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3k‬‬
‫‪k=n+1‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪2‬‬
‫|)‪≥ |ϕ (a) − ϕ (b‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪· 3n+1‬‬
‫‪= 2/3‬‬
‫‪= 31n −→ 0‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1− 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=2 3n+1‬‬
‫·‬
‫לכן‪ ϕ ,‬פונקציה חח״ע ועל ורציפה ממרחב קומפקטי למרחב האוסדורף ולכן הומאומורפיזם‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.4.2‬אפשר לבנות את ‪ .ψ = ϕ−1‬כך ש‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫∞) ‪(ψn‬‬
‫}‪n=1 = ψ : C → {0, 1‬‬
‫נבנה את הפונקציות‪:‬‬
‫}‪ψn : C → {0, 1‬‬
‫באופן של‪:‬‬
‫‪ψn = ψ˜n |C‬‬
‫נבנה את ‪ ψ˜n‬באופן הבא‪:‬‬
‫}‪ψ˜n : Cn+1 → {0, 1‬‬
‫‪x‬בצד השמאלי של הקטע מ ‪Cn‬שחלקנו‬
‫בצד הימני‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫= )‪ψ˜n (x‬‬
‫ברור כי ‪ ψ˜n‬קבועה מקומית על ‪ Cn‬ולכן רציפה‪ .‬לכן גם ‪ ψn = ψ˜n |C‬רציפה מתכונת טופולוגיית המכפלה ‪ ψ = (ψn )n‬רציפה‪.‬‬
‫מהגדרת ‪ C‬כחיתוך נובע כי ‪ ψ‬חח״ע‪ .‬הטווח שלה כחיתוך כל קבוצה בסיסית‬
‫‪N‬‬
‫}‪(a1 , . . . , an ) × {0, 1‬‬
‫ולכן צרוף‪.‬‬
‫כדי לסיים‪:‬‬
‫• או שבודקים ש ‪ ϕ, ψ‬פונקציות הפוכות‪.‬‬
‫• או שמשתמשים במשפט שהוכחנו קודם‪.‬‬
‫‪7.5‬‬
‫העקום של פיאנו‬
‫העקה רציפה ועל ‪ f : [0, 1] → [0, 1]2‬מכוסה בתרגול‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫החבורה היסודית‬
‫‪8.1‬‬
‫מבוא‬
‫תזכורת ‪ 8.1.1‬חבורה היא קבוצה עם פעולה‪:‬‬
‫‪G×G→G‬‬
‫יש לה יחידה‪:‬‬
‫‪g·e= e·g = g‬‬
‫יש לה הופכי‪:‬‬
‫‪g · g −1 = g −1 · g = e‬‬
‫והיא אסוציאטיבית‪:‬‬
‫)‪(xy) z = x (yz‬‬
‫אבל לא בהכרח קומוטטיבית‪ .‬כלומר ייתכן‪.xy 6= yx :‬‬
‫למרחב טופולוגי ‪ X‬ולנקודה ‪ x0 ∈ X‬נבנה את החבורה היסודית של ‪ X‬ב ‪ x0‬שתסומן‪:‬‬
‫) ‪π1 (X, x0‬‬
‫)קבוצת מחלקות שקילות של איזשהו יחס על איזשהי קבוצה(‪.‬‬
‫תזכורת ‪ 8.1.2‬הומומורפיזם של חבורות‪:‬‬
‫‪ H, G‬חבורות‪ .‬פונקציה ‪ f : G → H‬תקרא הומומורפיזם אם‪:‬‬
‫)‪f (xy) = f (x) f (y‬‬
‫לכל ‪ x, y ∈ G‬זה גורר כי‪:‬‬
‫‪eH‬‬
‫‪−1‬‬
‫))‪(f (x‬‬
‫= ) ‪f (eG‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪f x−1‬‬
‫‪51‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫תכונה חשובה מאוד של החבורה היסודית‪ :‬כל העתקה רציפה של מרחב טופולוגי ‪ f : X → Y‬תתן לנו הומומורפיזם של חבורות‪:‬‬
‫) ‪f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0‬‬
‫כאשר )‪.y0 = f (x‬‬
‫‪8.2‬‬
‫הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫יהיו ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגיים ותהיינה ‪ f, g : X → Y‬רציפות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.1‬נאמר כי ‪ f, g‬הומוטופיות אם ״ניתן להזיז את ‪ f‬באופן רציף ל ‪g‬״‪ .‬כלומר‪ :‬קיימת העתקה רציפה‪:‬‬
‫‪F : X × [0, 1] → Y‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫)‪g (x‬‬
‫= )‪F (x, 1‬‬
‫)‪f (x‬‬
‫= )‪F (x, 0‬‬
‫הסיה למינוח הלא פורמלי‪ :‬נגדיר ]‪ y ∈ [0, 1‬ונגדיר‪:‬‬
‫‪→ Y‬‬
‫)‪= F (x, t‬‬
‫‪ft : X‬‬
‫)‪ft (x‬‬
‫הצמצום ‪ F‬לקו גובה מתאים ל ‪ {ft }0≤t≤1 ,t‬משפחה רציפה של פונקציות המתחילה ב ‪ f‬ומסתיימת ב ‪.g‬‬
‫‪= f‬‬
‫‪= g‬‬
‫‪f0‬‬
‫‪f1‬‬
‫סיבוב טכני קטן אבל מועיל‪:‬‬
‫תהי ‪ A‬תת קבוצה של ‪ .X‬אם )‪ F (a, t‬אינה תלוייה ב ‪ t‬לכל ‪ a ∈ A‬נאמר כי ההומוטופיה ‪ F‬היא ״יחסית ל‪A‬״ כדי שזה יקרה חייב‬
‫בפרט להתקיים )‪ .f (a) = F (a, 0) = F (a, 1) = g (a‬כלומר‪:‬‬
‫‪f |A = g | A‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.2‬מסילה במרחב טופולוגי ‪ X‬היא העתקה רציפה‪:‬‬
‫‪f : [0, 1] → X‬‬
‫הערה ‪ 8.2.3‬נסמן ]‪ I = [0, 1‬לנוחות‪ .‬הומוטופיה של מסילות היא כמובן‪) F : I × I → X :‬רציפה(‬
‫הומוטופיה של מסילות ביחס לנקודות קצה היא הומוטופיה של מסילות ביחס לקבוצה }‪) {0, 1‬של שתי נקודות הקצה(‪.‬‬
‫מזיזים באופן רציף את המסליה ‪ f‬למסילה ‪ g‬דרך המסילות ‪ .ft‬להגיד שההומוטופיה היא ביחס לנקודות קצה משמעו כי נקודות‬
‫הקצה הולכות לנקודות ב ‪ X‬שאינן תלויות ב ‪.t‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.4‬מסילה במרחב טופולוגי ‪ X‬היא ‪ α : I → X‬רציפה תקרא סגורה אם )‪.α (0) = α (1‬‬
‫‪52‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫הערה ‪ 8.2.5‬הראינו כי‬
‫‪[0,1]/0∼1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫הומאומורפי למעגל ‪ S 1‬ולכן המסילה סגורה מכילה אותו מידע כמו העתקה רציפה‪:‬‬
‫‪α : S1 → X‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.6‬מרחב המסילות‪ :‬יהי ‪ X‬מרחב טופולוגי‪ x0 ∈ X .‬מרחב המסילות )הסגורות ב ‪ (X‬ביחס ל ‪ x0‬הוא‪:‬‬
‫} ‪P (X, x0 ) = {α : I → X | α (0) = α (1) = x0‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.7‬שרשור של מסילות‪ :‬תהיינה ‪ α, β : I → X‬ונניח כי )‪ .α (1) = β (0‬השרשור של ‪ α‬ו ‪ β‬שיסומן ‪ α × β‬היא המסילה‬
‫״‪ α‬ואח״כ ‪β‬״‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫(‬
‫)‪α (2t‬‬
‫‪0 ≤ t ≤ 2t‬‬
‫= )‪α ∗ β (t‬‬
‫‪β (2t − 1) 12 ≤ t ≤ 1‬‬
‫השרשור הוא מסילה )כלומר רציפה( מ )‪ α (0‬ל )‪.β (1‬‬
‫בפרט אם ) ‪ α, β ∈ P (X, x0‬אזי גם‪.α ∗ β ∈ P (X, x0 ) :‬‬
‫וקבלנו ״חוק כפל״ ) ‪.P (X, x0 ) × P (X, x0 ) → P (X, x0‬‬
‫למה ‪8.2.8‬‬
‫הומוטופיה של מסילות ביחס לנקודות קצה הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.2.9‬זה מקרה פרטי של הומוטופיה ביחס לתת קבוצה‪.‬‬
‫טענה ‪8.2.10‬‬
‫יהי ‪ X, Y‬מרחבים טופולוגגים אם ‪ A ⊂ X‬אם ‪ f, g, h : X → Y‬רציפות אזי‪:‬‬
‫‪ f .1‬הומוטופית לעצמה ביחס ל ‪.A‬‬
‫‪ f .2‬הומוטופית ל ‪ g‬ביחס ל ‪ g ⇐A‬הומוטופית ל ‪ f‬ביחס ל ‪.A‬‬
‫‪ f .3‬הומוטופית ל ‪ g‬ו ‪ g‬ל ‪ h‬ביחס ל ‪ A‬אזי ‪ f‬הומוטופית ל ‪ h‬ביחס ל ‪.A‬‬
‫הערה ‪ 8.2.11‬סימון‪.f ∼A g :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ F (x, t) = f (x) .1‬נותן ‪.f ∼A f‬‬
‫‪ .2‬אם )‪ F (x, t‬נותנת ‪ f ∼A g‬אזי )‪ F (x, 1 − t‬נותנת ‪.g ∼A f‬‬
‫‪ f ∼F g ∼G g .3‬אזי ‪.f ∼H h‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫הסכמה בחיתוך‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫≤‪t‬‬
‫≥‪t‬‬
‫)‪F (x, t‬‬
‫)‪G (x, t‬‬
‫(‬
‫= )‪H (x, t‬‬
‫= ‪ t‬נותנת רציפות ‪ .H‬מרציפות ‪.G, F‬‬
‫הערה ‪ 8.2.12‬אם )‪ F (a, t‬קבועה ב ‪ G (a, t) , t‬קבועה ב ‪ t‬אזי‪ H (a, t) :‬קבועה ב ‪ t‬גם היא‪.‬‬
‫כמסקנה נקבל כי יחס ההומוטופיה ביחס לנקודת קצה על ) ‪ P (X, x0‬הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫נסמן את קבוצת מחלקות השקילות‪:‬‬
‫∼‪π (X, x0 ) = P (X,x0 )/‬‬
‫‪53‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫למה ‪8.2.13‬‬
‫אם ‪ α1 ∼ α2‬מסילות‪ β1 ∼ β2 ,‬ב ‪ .X‬הומוטופיה ביחס לנקודות קצה‪ .‬אז‪:‬‬
‫‪α1 ∗ β1 ∼ α2 ∗ β2‬‬
‫כל אלה ב ) ‪ P (X, x0‬אם כי היה מספיק להניח )‪.α1 (1) = β1 (0‬‬
‫בהוכחה נגדיר את‪:‬‬
‫‪H : [0, 1] × [0, 1] → X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪F (2s, t‬‬
‫≤‪s‬‬
‫≥ ‪G (2s − 1, t) s‬‬
‫(‬
‫= )‪H (s, t‬‬
‫‪ H .1‬רציפה כי נתון ש ‪ F, G‬רציפות ובחיתוך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F 2 · , t = F (1, t) = x0 = G (0, t) = G 2 · − 1, t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬אם נסתכל ב ‪ t = 0‬נקבל כי‪:‬‬
‫)‪= (α1 ∗ β1 ) (s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪α (2s‬‬
‫≤‪s‬‬
‫≥ ‪β (2s − 1) s‬‬
‫(‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪F (2s, 0‬‬
‫≤‪s‬‬
‫≥ ‪G (2s − 1, 0) s‬‬
‫(‬
‫= )‪H (s, 0‬‬
‫ובאותו אופן‪:‬‬
‫)‪H (s, 1) = (α2 ∗ β2 ) (s‬‬
‫‪ .3‬כמו כן‪ ,‬כמובן‪:‬‬
‫= )‪H (0, t‬‬
‫= )‪H (1, t‬‬
‫‪const‬‬
‫‪const‬‬
‫מסקנה ‪8.2.14‬‬
‫חוק השרשור על ) ‪ P (X, x0‬משרה חוק שרשור של מחלקות שקילות ) ‪.π (X, x0 ) × π (X, x0 ) → π (X, x0‬‬
‫משפט ‪8.2.15‬‬
‫חוק השרשור על ) ‪ π (X, x0‬נותן לה מבנה של חבורה‪.‬‬
‫איבר היחיסה‪ :‬המסילה הקבועה ‪ p (s) = x0‬לכל ]‪.s ∈ [0, 1‬‬
‫ההפכי למסילה )‪ α (s‬הוא )‪) α (1 − s‬״אותה מסילה בכיוון הנגדי״(‪.‬‬
‫למסילה ) ‪ α ∈ P (X, x0‬נסמן ב ]‪ [α‬את מחלקת השילות של ‪ α‬ב ) ‪.π (X, x0‬‬
‫עלינו להראות‪:‬‬
‫‪ .1‬היחידה‪:‬‬
‫]‪[α ∗ e] = [α] = [e ∗ α‬‬
‫‪54‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫‪ .2‬הופכי‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫]‪α ∗ α−1 = α−1 ∗ α = [e‬‬
‫‪ .3‬אסוציאטיביות‪:‬‬
‫])‪[(α ∗ β) ∗ γ] = [α ∗ (β ∗ γ‬‬
‫לכל ) ‪.α, β, γ ∈ P (X, x0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‬
‫ (‬
‫‪2s‬‬
‫‪α t+1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪s ∈ 0, t+1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪ .F (s, t‬מתקיים ‪= α (1) = x0‬‬
‫‪ ,F‬ולכן זו פונקציה רציפה‪ .‬בנוסף‪,‬‬
‫‬
‫‪ .1‬נגדיר ‬
‫‪x0‬‬
‫‪s ∈ t+1‬‬
‫‪2 ,1‬‬
‫)‪ ,F (s, 0) = (α ∗ e) (s) , F (s, 1) = α (s‬ולכן ‪ F‬נותנת את ההומוטופיה הדרושה בין ‪ α‬ל־‪ ,α ∗ e‬כלומר ]‪.[α] = [α ∗ e‬‬
‫‬
‫‪t+1‬‬
‫‪2 ,t‬‬
‫‪ .2‬מושאר כתרגיל להראות כי אם )‪ ,α (s) = α (1 − s‬אז ‪ .α = α−1‬רמז‪ :‬״צריך לזרוק חבל ולמשוך אותו חזרה״‪.‬‬
‫‪ .3‬נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‪t+1‬‬
‫נותר לבדוק רציפות‪ .‬עבור‬
‫‪t+1‬‬
‫‪4‬‬
‫‬
‫‪s ∈ 0, 4‬‬
‫‬
‫‬
‫‪t+2‬‬
‫‪s ∈ t+1‬‬
‫‪4 , 4‬‬
‫‬
‫‬
‫‪s ∈ t+2‬‬
‫‪4 ,1‬‬
‫‬
‫ ‪‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪α‬‬
‫‪t+1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪s− t+1‬‬
‫‪F (s, t) = β t+2 −4t+1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫ ‪ 4 t+2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪γ s− t+2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1−‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ s‬נקבל )‪ ,α (1) = β (0‬ועבור‬
‫‪t+2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ s‬נקבל )‪.β (1) = γ (0‬‬
‫בפעם הבאה נוכיח שאם ‪ X‬קבוצה קמורה ב־ ‪ Rn‬אזי ) ‪ Π1 (X, x0‬היא החבורה הטריוויאלית‬
‫הערה ‪ 8.2.16‬אם ‪ f : X → Y‬רציפה‪ ,‬אז מסילה ‪ α‬ב־‪ X‬עוברת למסילה ‪ f ◦ α‬ב־ ‪ .Y‬אם ) ‪ α ∈ P (X, x0‬אז )) ‪,f ◦ α ∈ P (Y, f (x0‬‬
‫ואם ) ‪ α, β ∈ P (X, x0‬הומוטופיות ‪ ,α ∼F β‬אז )‪.f (α) ∼f ◦F f (β‬‬
‫בנוסף‪.f ◦ (α ∗ β) = (f ◦ α) ∗ (f ◦ β) ,‬‬
‫מסקנה ‪8.2.17‬‬
‫ההרכבה עם ‪ f‬מוגדרת היטב מ־) ‪ Π1 (X, x0‬ל־)) ‪ Π1 (Y, f (x0‬ונותנת הומומורפיזם של חבורות‪.‬‬
‫טענה ‪8.2.18‬‬
‫∼ ) ‪.P (Y, x0 ) = P (X, x0 ) =⇒ π1 (Y, x0‬‬
‫יהי ‪ Y‬מרכיב הקשירות המסילתית של ‪ x0‬ב־‪ .X‬אז ) ‪= π1 (X, x0‬‬
‫טענה ‪8.2.19‬‬
‫∼‬
‫אם ‪ β : I → X‬מקיימת ‪ ,β (0) = x0 , β (1) = x1‬אז מתקבל איזומורפיזם של חבורות‪ π1 (X, x0 ) = π1 (X, x1 ) :‬לפי →‪[α] 7‬‬
‫‪. β −1 ∗ α ∗ β‬‬
‫כמו כן‪ f : X → Y ,‬רציפה משרה )) ‪ f∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, f (x0‬לפי ]‪.[α] 7→ [f ◦ α‬‬
‫שתי הטענות האחרונות מוכחות בתרגיל ‪.13‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.20‬תחום דמוי כוכב‪ :‬תחום ‪ C ⊂ Rn‬יקרא דמוי כוכב ביחס ל־ ‪ x0 ∈ V‬אם לכל ‪ ,x ∈ V‬כל קטע קשיר ‪ x0 x‬מוכל ב־ ‪.V‬‬
‫דוגמה ‪ 8.2.21‬קבוצה קמורה היא דמוית כוכב ביחס לכל נקודה שלה‪.‬‬
‫טענה ‪8.2.22‬‬
‫תהי ‪ V ⊂ Rn‬דמויית כוכב ביחס ל־ ‪ ,x0 ∈ V‬אז ) ‪ π1 (V, x0‬היא החבורה הטאיוויאלית )ונסמן ‪.(π1 (V, x0 ) = 1‬‬
‫הערה ‪ 8.2.23‬קבוצה דמוית כוכב היא קשירה מסילתית‪ ,‬ולכן ינבע מיידית ש־‪ π1 (V, x) = 1‬לכל ‪.x ∈ V‬‬
‫‪55‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ) ‪ ,α ∈ P (V, x0‬מספיק להראות כי ‪) α ∼ e‬כלומר ‪ α‬הומוטופית למסילה הקבועה ‪ e (t) = x0‬בהומוטופיה השומרת‬
‫נקודות קצה(‪.‬‬
‫נגדיר את ההומוטופיה ‪ F : I × I → V‬ע״י ‪ .F (s, t) = (1 − t) α (s) + t x0‬ברור כי ‪ f‬רציפה עם התכונות הנדרשות‪.‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫)‪e(s‬‬
‫משפט ‪8.2.24‬‬
‫∼‬
‫החבורה היסודית של המעגל מקיימת ‪= Z‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) π1 S , x0‬עבור ‪ x0 ∈ S‬כלשהי(‪.‬‬
‫בהוכחה נבנה את האיזומורפיזם‪ ,‬שנקרא ״הדרגה״ של המסילה‪ .‬אינטואיטיבית‪ ,‬דרגה של מסילה תהיה כמה פעמים המסילה מסתובבת‬
‫סביב המעגל‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.25‬העתקת האקספוננט )ההעתקה המעריכית(‪ exp : R → S 1 :‬מוגדרת כך ש־))‪.exp (t) = e2πit = (cos (2πt) , sin (2πt‬‬
‫הערה ‪ 8.2.26‬תכונות מרכזיות‪:‬‬
‫• ) ‪exp (t1 + t2 ) = exp (t1 ) exp (t2‬‬
‫• ‪ exp‬רציפה‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪exp : t − 21 , t +‬‬
‫• ‪ exp‬פתוחה‪ .‬יותר מזה‪ ,‬היא הומאומורפיזם מקומי‪ .‬ליתר דיוק‪ ,‬לכל ‪ ,z ∈ S 1‬נניח כי )‪ ,z = exp (t‬אז →‬
‫הומאומורפיזם‪.‬‬
‫}‪ S 1 \ {−z‬היא‬
‫‬
‫‬
‫כמובן ש־ ‪ .z = exp t + 21 = exp t − 21‬ההעתקה ההפוכה תסומן ‪ ,log : S 1 \ {−z} → t − 12 , t + 12‬ונשים לב שהיא‬
‫תלויה ב־‪) t‬אפשר לסמן ‪.(logt‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם זורקים נקודה אחת מהמעגל‪ ,‬אז הוא שקול לקטע פתוח‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫• עבור ‪ t‬נתון‪.exp (s) = exp (t) ⇔ s − t ∈ Z ,‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.27‬הרמה של פונקציה‪ :‬יהי ‪ X‬מ״ט‪ f : X → S 1 ,‬רציפה‪ .‬הרמה של ‪ f‬היא פונקציה רציפה ‪ f˜ : X → R‬כך‬
‫ש־˜‪..f = exp ◦f‬‬
‫למה ‪ 8.2.28‬למות ההרמה‬
‫‪) .α‬״למת הרמת‬
‫‪ α‬המקיימת ‪˜ (0) = 0‬‬
‫‪ .1‬לכל מסילה ‪ α : I → S 1‬המקיימת ‪ α (0) = 1 ∈ C‬קיימת הרמה יחידה ‪˜ : I → R‬‬
‫המסילה״(‬
‫‪ .2‬יהיו ‪ α, β : I → S 1‬מסילות המקיימות )‪ ,1 = β (0) = α (0‬ותהי ‪ F : I × I → S 1‬הומוטופיה מ־‪ α‬ל־‪) β‬אין הנחה של שמירת‬
‫‪ α‬כמו בלמת‬
‫‪ α‬כאשר ˜‪˜ , β‬‬
‫נקודות קצה(‪ .‬אז קיימת ל־ ‪ F‬הרמה יחידה ‪ F˜ : I × I → R‬כך ש־)‪˜ (s) = F˜ (s, 0) , β˜ (s) = F˜ (s, 1‬‬
‫הרמת המסילה‪) .‬״למת הרמת ההומוטופיה״(‬
‫הוכחה‪ :‬לשתי הלמות ביחד‪ .‬נסמן ב־‪ K‬את ‪) I‬עבור הלמה הראשונה( ואת ‪ I × I‬עבור הלמה השניה ־ ‪ K‬זה סימון למרחב מטרי‬
‫קומפקטי‪.‬‬
‫ראשית נוכיח יחידות‪ .‬נניח שיש שתי הרמות‪ f˜1 , f˜2 : K → R ,‬של ‪ ,f : K → S 1‬ונניח כי הן מסכימות ב־‪) k0 ∈ K‬קיום ‪ k0‬כזה‬
‫מובטח בהנחות הלמות(‪ .‬ההפרש ‪ f˜1 − f˜2 = ϕ : K → R‬יקיים את התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ϕ (k0 ) = 0 .1‬‬
‫‪= 1 .2‬‬
‫)‪f (k‬‬
‫)‪f (k‬‬
‫=‬
‫)‪exp f˜1 (k‬‬
‫)‪exp f˜2 (k‬‬
‫= )‪ exp ϕ (k‬לכל ‪k ∈ K‬‬
‫לפיכך‪ ,ϕ (k) ∈ Z ,‬אבל ‪ ϕ‬רציפה ומקיימת ‪ ϕ (k0 ) = 0‬ולכן ‪ ,ϕ ≡ 0‬ולכן ‪) f˜1 = f˜2‬נובע מכך ש־‪ K‬מרחב קשיר(‪.‬‬
‫‬
‫להוכחת קיום ההרמות‪ ,‬נסמן ‪ log : S 1 \ {−1} → − 21 , 12‬ההפוכה המתאימה ל־‪ .exp‬נבחר ‪ N ∈ N‬גדול מספיק כך ש־‬
‫‪ |f (k) − f (k ′ )| < 1‬לכל ‪ N .|k − k ′ | ≤ N1‬כזה קיים כי ‪ K‬מטרי קומפקטי ולכן ‪ f‬רציפה במ״ש עליו‪.‬‬
‫‪ j+1‬‬
‫‬
‫ ‪j‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫מה שחשוב הוא ש־ ‪ k, k‬מספיק קרובים‪ ,‬ו־) ‪ f (k) , f (k‬לא אנטיפודיות‪ .‬לכל ‪ 0 ≤ j ≤ N‬ולכל ‪ x ∈ K‬מתקיים = ‪N x − N x‬‬
‫‪NQ‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( j+1 x‬‬
‫‪< 2‬‬
‫‪ , N‬אזי ‪ gj (x) = f Nj x ∈ S 1‬תקיים ‪ gj (x) 6= −1‬ולכן נוכל להרים את )‪gj (k‬‬
‫= )‪ f (k‬ע״י הפונקציה הרציפה‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪N‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪NP‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪log gj (k‬‬
‫= ˜‪.f‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪56‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫למעשה‪ ,‬חילקנו את ‪ f‬להרבה פונקציות קטנות שלא יכולות לקבל נקודות אנטיפודיות‪ .‬כעת‪ ,‬ברור כי )‪ exp f˜ (x) = f (k‬לכל ‪,k ∈ K‬‬
‫ולכן זו אכן הרמה של ‪.f‬‬
‫נראה את התנאים הנוספים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪NP‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪f‬‬
‫)‪(0‬‬
‫בלמה ‪log gj (0) = N · log f (0) = N log 1 = N · 0 = 0 ,1‬‬
‫= )‪ f˜ (0‬כנדרש‪.‬‬
‫‪j=0‬‬
‫‪ ,F˜ (0, 0) = α‬וכנ״ל ל־)‪.β˜ (s) = F˜ (s, 1‬‬
‫בלמה ‪ F˜ (s, 0) ,2‬היא ההרמה של )‪ f (s, 0) = α (s‬שהתקבלה כמו בלמה ‪ ,1‬ולכן ‪˜ (s) = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫נחשב את החבורה היסודית של המעגל‪ .π1 S 1 , 1 ,‬ראשית נגדיר את הדרגה ־ ההעתקה ‪.deg : π1 S 1 , 1 → Z‬‬
‫‬
‫‪.deg α = α‬‬
‫˜‪ .‬נגדיר )‪˜ (1‬‬
‫‪ α‬המקיימת כמו בלמה ‪α (0) = 0‬‬
‫‪ α‬ההרמה שלה ל־‪˜ : I → R‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.29‬למסילה ‪ ,α ∈ P S 1 , 1‬תהי ˜‬
‫‬
‫‪.α 7→ α‬‬
‫˜‪ .‬זה נותן לנו העתקה ‪ P S 1 , 1 → Z‬לפי )‪˜ (1‬‬
‫‪ ,exp α‬ולכן יודעים ש־‪α (1) ∈ exp−1 (1) = Z‬‬
‫יודעים ש־‪˜ (1) = α (1) = 1‬‬
‫טענה ‪8.2.30‬‬
‫‪F‬‬
‫אם ‪) α ∼ β‬הומוטופיה שומרת נקודות קצה( אזי ‪.deg α = deg β‬‬
‫‪ 13‬־ רייצ׳ל‬
‫נעה(‬
‫‬
‫אם נראה זאת‪ ,‬נקבל העתקה מוגדרת היטב ‪ .deg : π1 S 1 , 1 → Z‬הוכחה‪ :‬למת הרמת ההומוטופיה )שמרימה את ההומוטופיה ‪F‬‬
‫‪) α‬להפרש יש ‪.((exp = 1‬‬
‫‪ α‬שמסכימות על ‪ ,0‬ולכן )‪˜ (1) = β˜ (1‬‬
‫להומוטופיה בין ˜‪˜ , β‬‬
‫משפט ‪8.2.31‬‬
‫‬
‫‪ deg : π1 S 1 , 1 → Z‬איזומורפיזם של חבורות‪.‬‬
‫‪ .α (s) = exp α‬אז‬
‫ˆ‪ .‬נגדיר ‪ α : I → S 1‬ע״י )‪ˆ (s‬‬
‫‪ α‬ע״י ‪α (s) = n · s‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראשית‪ ,‬נראה על‪ .‬יהי ‪ n ∈ Z‬ונגדיר מסילה ‪ˆ : I → R‬‬
‫‪.deg α = α‬‬
‫˜‪ ,‬ולכן ‪ˆ (1) = n‬‬
‫‪α=α‬‬
‫‪ α‬הרמה של ‪ α‬המתחילה ב־‪ .0‬מיחידות‪ˆ ,‬‬
‫‪ α ∈ P S 1 , 1‬ו־ ˆ‬
‫‪ α‬ההרמות של ‪,α, β‬‬
‫שנית‪ ,‬נראה חח״ע‪ .‬נניח ‪ ,deg (α) = deg (β) ∈ Z‬צ״ל ‪ α ∼ β‬בהומוטופיה ששומרת נקודות קצה‪ .‬יהיו ˜‪˜ , β‬‬
‫˜‪.‬‬
‫˜‪ ,‬וכן ‪α (0) = β˜ (0) = 0‬‬
‫˜‪ ,‬כך ש־)‪α (1) = deg α = deg β = β˜ (1‬‬
‫‪α, β˜ : I → R‬‬
‫מ־‪˜ α‬‬
‫ל־‪ β‬שומרת נקודות קצה‪ ,‬כאשר )‪˜ (1, t‬‬
‫‪˜ .H‬‬
‫‪˜ (s, t) = (1 − t) α‬‬
‫נגדיר ‪˜ : I × I → R‬‬
‫‪ H‬קבועה‬
‫‪ H‬הומוטופיה ˜‬
‫‪ H‬ע״י )‪˜ (s) + tβ˜ (s‬‬
‫‪1‬‬
‫˜‬
‫כי הדרגות שוות‪ .‬אם נגדיר ‪ H : I × I → S‬ע״י )‪ ,H (s, t) = exp H (s, t‬אז ‪ H‬הומוטופיה שומרת נקודות קצה מ־‪ α‬ל־‪ ,β‬ובפרט‬
‫‪.α ∼ β‬‬
‫‬
‫שלישית‪ ,‬נראה הומומורפיזם‪ .‬תהיינה ‪ α, β ∈ P S 1 , 1‬מסילות‪ .‬נרצה לחשב את ‪ .deg α ∗ β‬נסמן ˜‬
‫‪ α‬את ההרמות של ‪α, β‬‬
‫ב־‪˜ , β‬‬
‫ל־‪ R‬המתחילות ב־‪ .0‬נבנה באמצעותן את ההרמה הרציפה של ‪ α ∗ β‬המתחילה ב־‪ .0‬נגדיר מסילה ‪ γ : I → R‬ע״י‪:‬‬
‫(‬
‫‬
‫‬
‫‪α‬‬
‫)‪˜ (2t‬‬
‫‪t ∈ 0, 12‬‬
‫‬
‫‬
‫˜ = )‪γ (t‬‬
‫‪β (2t − 1) + deg α t ∈ 21 , 1‬‬
‫‪18‬‬
‫˜‪ ,‬ולכן ‪ γ‬רציפה‪ ,‬מתחילה ב־‪ 0‬ומרימה את ‪) α ∗ β‬כי = )‪exp γ (t‬‬
‫‪ γ‬מוגדרת היטב ב־ ‪ t = 12‬כי ‪α (1) = β˜ (0) + deg α‬‬
‫(‬
‫‪ 1‬‬
‫)‪α (2t‬‬
‫‪t‬‬
‫∈‬
‫‪0,‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫(‪ .‬מיחידות ההרמה‪ γ = α ˜∗ β ,‬ולכן = )‪deg (α ∗ β‬‬
‫‪exp β˜ (2t − 1) + Integer = exp β˜ (2t − 1) = β (2t − 1) t ∈ 2 , 1‬‬
‫‪ ,deg α + deg β‬כלומר ‪ deg‬הומומורפיזם‪.‬‬
‫‬
‫∼ ‪ π1 S 1 , 1‬עם העתקת הדרגה ‪. deg‬‬
‫תזכורת ‪ 8.2.32‬הוכחנו כי ‪= Z‬‬
‫יש כמה שימושים לעניין זה‪:‬‬
‫∼ }‪ ,C\ {0} = R2 \ {0, 0‬ע״י כך שעבור ‪ (z, t) ∈ S 1 × R>0‬שולחים ל־}‪ ,tz ∈ C\ {0‬או בכיוון ההפוך‬
‫‪= S 1 × R>0‬‬
‫• ‬
‫‪v‬‬
‫‪.v 7→ kvk , kvk‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪>0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪>0‬‬
‫∼‬
‫∼‬
‫∼ ‪.π1 (C\ {0} , 1) = π1 S × R , (1, 1) = π1 S , 1 × π1 R , 1‬‬
‫לפיכך‪= Z ,‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫| } ‪| {z‬‬
‫∼‬
‫}‪={1‬‬
‫∼‬
‫‪=Z‬‬
‫‬
‫• בתרגיל נראה כי‬
‫∼ ) ‪ π1 (S n , p0‬ואז אותה שיטה מראה כי = · ‪π1 Rn+1 \ {0} ,‬‬
‫לספירה ‪ S n‬עבור ‪ n ≥ 2‬מתקיים }‪= {1‬‬
‫‬
‫}‪.π1 (S n , ·) × π1 R>0 , · = {1} × {1} = {1‬‬
‫‪57‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫מסקנה ‪8.2.33‬‬
‫}·{ \ ‪∼ R2‬‬
‫∼‪.(R 6‬‬
‫=‪ R \ {·} 6‬עבור ‪ ,n ≥ 3‬ולכן גם ‪= R‬‬
‫∼‪ R 6‬ל־‪) n ≥ 3‬וכמובן‪= R ,‬‬
‫∼ ‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫∼ ‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫∼ ‪n‬‬
‫= ‪ ,n‬אבל זה דורש‬
‫בעבר ראינו כי ‪ R 6= R‬ל־‪ ,n 6= 1‬וכעת גם ‪ R 6= R‬ל־‪ .n 6= 2‬נכון גם באופן כללי ש־ ‪ R 6= R‬עבור ‪6 m‬‬
‫טופולוגיה אלגברית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫למה ‪8.2.34‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לא קיימת העתקה רציפה ‪) f : B2 → S‬כאשר }‪ B2 = {z ∈ C | |z| ≤ 1‬עיגול היחידה הסגור( המקיימת ‪ f (z) = z‬לכל ‪.z ∈ S‬‬
‫‪f‬‬
‫‪i‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי קיימת העתקה כזו‪ ,‬ונסמן ב־‪ i‬את העתקת ההכלה )זהות( ‪ ,i : S 1 → B2‬כך שההרכבה ‪S 1 → B2 → S 1‬‬
‫היא העתקת הזהות מ־ ‪ S 1‬לעצמו‪.‬‬
‫העתקות רציפות בין מרחבים משרות הומומורפיזמים של חבורות יסודיות‪ ,‬ולכן נקבל‪:‬‬
‫∗‪ i‬‬
‫‬
‫∗‪f‬‬
‫‪π1 (B2 , 1) → π1 S 1 , 1‬‬
‫→ ‪π1 S 1 , 1‬‬
‫∗‪f‬‬
‫‪i‬‬
‫∗‬
‫‪{1} → Z‬‬
‫→‪Z‬‬
‫ההרכבה ∗‪ f∗ i‬חייבת לכן להיות ההעתקה הטריוויאלית )זהותית ‪ ,(0‬אך מצד שני היא ההעתקה המושרית על ידי הזהות כי ‪IdS 1 = f ◦i‬‬
‫ולכן היא גם הזהות‪ ,‬וזו סתירה כי העתקת האפס על ‪ Z‬והזהות שונות‪.‬‬
‫ניתן להכליל את הלמה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫∼‬
‫אם ‪ α : S 1 → S 1‬העתקה רציפה‪ ,‬היא משרה הומומורפיזם בין החבורות היסודיות ‪π1 S , 1 → π1 S , α (1) = π1 S , 1‬‬
‫)כאשר ההומומורפיזם השני נובע מכך ש־ ‪ S 1‬קשיר מסילתית(‪ ,‬ויש לה דרגה )אינטואיטיבית‪ ,‬מספר הסיבובים שהנקודה בתמונה‬
‫מסתובבת כשהנקודה במקור מסתובבת פעם אחת(‪ .‬הדרגה של ‪ α‬במקרה זה היא ‪ n‬אם ההומומורפיזם המושרה הנ״ל ‪ Z → Z‬הוא‬
‫הכפלה ב־‪.n‬‬
‫למה ‪8.2.35‬‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫אם ל־ ‪ α : S 1 → S 1‬רציפה יש הרחבה רציפה ל־ ‪) f : B2 → S 1‬כלומר ‪ f‬רציפה ומקיימת ‪ ,( f |S 1 = α‬אז בהכרח ‪.deg α = 0‬‬
‫‪deg‬‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪ :‬כמו בלמה‪ ,‬נקבל ‪ α∗ : Z → Z‬אבל זה שווה ל־‪ ,f∗ i∗ : Z → Z‬ולכן ‪.deg α = 0‬‬
‫משפט ‪ 8.2.36‬משפט נקודת השבת של בראואר‬
‫יהי }‪ Bn = {v ∈ Rn | kvk ≤ 1‬כדור היחידה ב־ ‪ .Rn‬אזי לכל העתקה רציפה ‪ f : B → B‬יש נקודת שבת )‪ x ∈ B‬כך ש־‪.(f (x) = x‬‬
‫הערה ‪ 8.2.37‬לכדור פתוח זה לא נכון ־ למשל‪ ,‬כדור פתוח הומאומורפי ל־ ‪ ,Rn‬ועל ‪ Rn‬יש העתקה שמזיזה ב־‪) 1‬בכיוון כלשהו(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח רק עבור ‪.n = 2‬‬
‫נניח בשלילה כי קיימת ‪ f : B2 → B2‬רציפה שאין לה נקודת שבת‪ .‬נגדיר פונקציה ‪ g : B2 → S 1‬על ידי ״הציור״ הבא )סעמק‪...‬‬
‫אנסה לתאר במילים(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור ‪ ,x ∈ B2‬מתקיים בהכרח ‪ ,f (x) 6= x‬ולכן נחבר ישר שמתחיל ב־)‪ ,f (x‬עובר דרך ‪ ,x‬ומגיע לשפה ‪ .S‬את נקודת החיתוך עם‬
‫השפה נגדיר כ־)‪.g (x‬‬
‫זה מוגדר היטב כי ‪ ,f (x) 6= x‬ומאותה סיבה )ומרציפות ‪ (f‬הפונקציה )‪ x 7→ g (x‬רציפה )לא‪ ,‬זה לא פורמלי אבל הוא גם לא הוכיח‬
‫פורמלית(‪ .‬להוכחה פורמלית כותבים נוסחאות‪:‬‬
‫)‪g (x) = x + t · (f (x) − x‬‬
‫עבור ‪ t ≥ 0‬יחיד שניתן לחשב מתוך המשוואה ‪1 = kg (x)k2 = hx + t (f (x) − x) , x + t (f (x) − x)i = kxk2 +2t hx, f (x) − xi+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,t2 kf (x) − xk‬ואז הפיתרון למשוואה הריבועית שקיבלנו )עבור ‪ (t ≥ 0‬יחיד ורציף ב־‪.t‬‬
‫קיום ‪ g‬סותר את הלמה‪ ,‬כי ‪ g‬רציפה וברור כי עבור ‪ x ∈ S 1‬מתקיים ‪ ,g (x) = x‬ולכן ‪ , g|S 1 = IdS 1‬בסתירה‪.‬‬
‫עבור המקרים ‪ ,n 6= 2‬אם נדע להוכיח את הגרסה המוכללת של הלמה עבור ‪ n‬כללי‪ ,‬נוכל להשתמש באותה הוכחה בדיוק‪ .‬הלמה‬
‫אכן נכונה עבור ‪ n‬כללי‪ ,‬אבל דורשת טופולוגיה אלגברית‪.‬‬
‫למה ‪ 8.2.38‬הלמה של אוריסון‬
‫יהי ‪ X‬מ״ט נורמלי‪ ,‬ותהיינה ‪ A, B‬סגורות וזרות ב־‪ .X‬אזי קיימת פונקציה רציפה ]‪ f : X → [0, 1‬כך ש־‪. f |B ≡ 1, f |A ≡ 0‬‬
‫‪58‬‬
‫‪ .8.2‬הכנות לקראת בניית ‪π1‬‬
‫‬
‫הערה ‪8.2.39‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3, 1‬‬
‫‪, f −1‬‬
‫פרק ‪ .8‬החבורה היסודית‬
‫‬
‫‪0, 13‬‬
‫‬
‫‪ f −1‬הן פתוחות זרות המפרידות את ‪ A‬מ־‪ .B‬הלמה נותנת רצף של קבוצות כאלו‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.2.40‬יכול להיות שזה משפט שסתם נקרא ״למה״‪ .‬הוא לא אמר‪.‬‬
‫∞‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ P‬קבוצת הרציונליים ב־]‪ .[0, 1‬זו קבוצה בת מנייה‪ .‬נסדר אותה בסדר כלשהו ‪ P = {pn }n=0‬כך ש־‪.p0 = 1, p1 = 0‬‬
‫לכל ‪ p ∈ P‬נבחר קבוצה פתוחה ‪ Up‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪ U0 .U1 = X\B‬תיבחר כפתוחה כך ש־ ‪) A ⊂ U0 ⊂ U0 ⊂ X\B = U1‬שקיימת מנורמליות(‪.‬‬
‫הנחת האינדוקציה היא של־‪ n ≥ 2‬בנינו את ‪ Up0 , . . . , Upn−1‬כך ש־ ‪ Upi ⊂ Upj‬אם ‪.pi < pj‬‬
‫שלב האינדוקציה‪ :‬נתבונן ב־ ‪ .pn‬נבחר מתוך } ‪ {p0 , . . . , pn−1‬את שני אלה ש־ ‪ pn‬יושב ביניהם ־ ‪ p‬הוא הגדול ביותר מביניהם שקטן‬
‫ממנו‪ ,‬ו־‪ q‬הוא הקטן ביותר מביניהם שגדול ממנו‪ ,‬כלומר ‪.p < pn < q‬‬
‫אנו יודעים כי ‪ ,Up ⊂ Uq‬ונבחר את ‪ Upn‬כך ש־ ‪) Up ⊂ Upn ⊂ Upn ⊂ Uq‬אפשרי מנורמליות(‪ ,‬וסיימנו את צעד האינדוקציה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∅ t < 0‬‬
‫בנינו את ‪ Up‬לכל ‪ .p ∈ [0, 1] ∩ Q‬נגדיר את ‪ Ut‬לכל ‪ t ∈ Q‬לפי‪.Ut = Ut t ∈ [0, 1] :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪X t≥1‬‬
‫נגדיר את הפונקציה ‪ f : X → R‬ע״י } ‪.f (x) = inf {p ∈ Q | x ∈ Up‬‬
‫מהגדרתה‪ .0 ≤ f (x) ≤ 1 ,‬ברור כי ‪ , f |U0 ≡ 0, f |X\U1 ≡ 1‬ולכן בפרט ‪ . f |A ≡ 0, f |B ≡ 1‬נותר להוכיח כי ‪ f‬רציפה‪.‬‬
‫מספיק כי לכל קטע פתוח )‪ (a, b‬ולכל ))‪ x ∈ f −1 ((a, b‬יש סביבה ‪ V‬של ‪ x‬ב־‪ X‬שתמונתה ) ‪ f (V‬מוכלת ב־)‪) (a, b‬מקור של פתוחה‬
‫בסיסית ב־‪ R‬פתוח ב־‪.(X‬‬
‫נבחר רציונליים ‪ p, q‬כך ש־‪ .a < p < f (x) < q < b‬אזי ‪ Uq \Up‬היא סביבה פתוחה של ‪ x‬כנדרש וקיומה מוכיח את רציפות ‪.f‬‬
‫משפט ‪ 8.2.41‬משפט המטריזציה של אוריסון‬
‫יהי ‪ X‬מ״ט נורמלי עם בסיס בן מניה‪ .‬אזי ‪ X‬מטריזבילי‪ ,‬כלומר קיימת עליו מטריקה המשרה את הטופולוגיה הנתונה‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.2.42‬כמו הלמה של אוריסון‪ ,‬מקבלים פונקציה מעניינת ל־‪.d : X × X → R :R‬‬
‫הוכחה‪ :‬לכל שתי קבוצות בסיסיות ‪) Un , Um‬כך ש־‪ (n, m ∈ N‬כך ש־ ‪ Um ⊂ Un‬נבנה ]‪ fm,n : X → [0, 1‬כמו בלמה של אוריסון‬
‫)כלומר ‪ ,( fm,n |Um ≡ 0, fm,n |X\Un ≡ 1‬ומוכיחים כי אוסף הפונקציות הזה ‪ P‬־ שהוא בן מנייה ־ משכן את ‪ X‬הומאומורפית‬
‫ל״קוביה״‬
‫| ‪|P‬‬
‫]‪ ,[0, 1‬שהוא מרחב מטרי‪.‬‬
‫‪59‬‬