לוגיקה למדעי המחשב - אוניברסיטת תל אביב

‫לוגיקה למדעי המחשב‬
‫ניצן פומרנץ‬
‫∗‬
‫‪ 25‬ביוני ‪2015‬‬
‫הרצאה ‪ 1‬־ ‪8.3.15‬‬
‫רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב‪ ,‬סמסטר אביב תשע"ה‪ ,‬אוניברסיטת תל אביב‪.‬‬
‫טעויות קורות ־ אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן‪.‬‬
‫אמיר שפילקה ‪[email protected]‬‬
‫שרייבר ‪118‬‬
‫שעת קבלה‪ :‬יום א' ‪13‬־‪12‬‬
‫מתרגלים‪ :‬לירון כהן‪ ,‬בן לי וולך‪.‬‬
‫תרגילים שבועיים ־ הגשה בזוגות‪ .‬חייבים להגיש לפחות ‪ 9‬תרגילים‪ ,‬והציון יקבע לפי ה־‪ 9‬הטובים ביותר‪.‬‬
‫בוחן אמצע יתבסס על התרגילים‪ ,‬אינו חובה ואם מקבלים מעל ‪ 75‬אז יש בונוס ‪ 4‬נקודות לציון הסופי‪ .‬תאריך‪:‬‬
‫תחילת מאי‪.‬‬
‫מבנה ציון‪ 90% :‬בחינה ו־‪ 10%‬ש"ב )מגן(‪.‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪I‬‬
‫גיאומטריה אוקלידית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫טענות וטיעון תקף ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫אינדוקצית מבנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫בניית קבוצה באינדוקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪0.3.1‬‬
‫סדרת יצירה‪/‬בניה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪0.3.2‬‬
‫תחשיב הפסוקים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫עצי יצירה )גזירה( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫סדר קדימויות על קשרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1‬‬
‫טיעון תקף ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הגדרת ערך האמת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.1‬‬
‫טבלאות האמת של הקשרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.1.1‬‬
‫שלמות פונקציונלית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2‬‬
‫סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מסקנות חשובות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.0.1‬‬
‫הצבות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.1‬‬
‫צורות נורמליות )‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Normal Forms‬‬
‫‪3.2‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הגדרות וסימונים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.1‬‬
‫תכונות פשוטות של מערכת הוכחה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.1.1‬‬
‫מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים )‪. . . . . (Hilbert Propositional Calculus- HPC‬‬
‫‪4.2‬‬
‫משפט הדדוקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.3‬‬
‫משפט הנאותות ל־‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HP C‬‬
‫‪4.4‬‬
‫משפט השלמות ל־‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HP C‬‬
‫‪4.5‬‬
‫קבוצה עקבית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.6‬‬
‫משפט הקומפקטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.7‬‬
‫שימושים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.7.1‬‬
‫גדירות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.8‬‬
‫∗‪www.cs.tau.ac.il/~pomerantz‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪21‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪II‬‬
‫תחשיב היחסים ‪ /‬לוגיקה מסדר ראשון‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫הגדרות ומשפטים בסיסיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫נוסחאות מעל מילון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . σ‬‬
‫‪1.1‬‬
‫משתנים חופשיים וקשורים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.2‬‬
‫מבנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.3‬‬
‫ערך של שם עצם תחת השמה ‪ v‬במבנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . M‬‬
‫‪1.3.1‬‬
‫הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.4‬‬
‫מושגי יסוד סמנטיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הצבה של שם עצם למשתנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.1‬‬
‫צורות קנוניות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.2‬‬
‫גדירות יחסים במבנה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2.3‬‬
‫בדיקת ספיקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תכונות של מבנה הרברנד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪3.1‬‬
‫בדיקת תקפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.1‬‬
‫דוגמה לשימוש במשפט הקומפקטיות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.1.1‬‬
‫לוגיקה מסדר ראשון עם סימן = ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.2‬‬
‫בעיית התקפות אינה כריעה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.3‬‬
‫מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪4.3.1‬‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפטי השלמות והנאותות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.1‬‬
‫משפט הדדוקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.2‬‬
‫משפט הדיכוטומיה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5.3‬‬
‫המבחן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪31‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪35‬‬
‫‪37‬‬
‫‪39‬‬
‫‪39‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪42‬‬
‫‪43‬‬
‫‪44‬‬
‫‪44‬‬
‫‪45‬‬
‫‪46‬‬
‫‪48‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫גיאומטריה אוקלידית‬
‫גיאומטריה אוקלידית‬
‫אקסיומות אוקלידס‬
‫• דרך כל שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד‪.‬‬
‫• ‪ 2‬ישרים נחתכים לכל היותר בנק' אחת‪.‬‬
‫• בהינתן ישר ונק' מחוצה לו‪ ,‬ניתן להעביר מקביל לישר דרך הנק'‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫• ‪.‬‬
‫בעזרת האקסיומות ניתן להוכיח‪ ,‬בין היתר‪:‬‬
‫• סכום הזוויות במשולש ◦‪.180‬‬
‫• במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫• ‪.‬‬
‫אחת השאלות שנשארה פתוחה )ללא תשובה( במשך כ־‪ 2000‬שנה היא‪ :‬האם אקסיומת המקבילים "נחוצה"? והאם‬
‫היא "נכונה"?‬
‫נכונות‪ :‬תלוי‪.‬‬
‫‪0.2‬‬
‫טענות וטיעון תקף‬
‫טענה ‪ .F = m · a‬טענה זו תלויה בעולם‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם לכל ‪ x, y‬מתקיים ‪ x · y = y · x‬אז אם ‪ F = m · a‬אז מתקיים ‪.F = a · m‬‬
‫זו טענה שנכונותה אינה תלויה בעולם‪.‬‬
‫אנחנו נרצה להבין אילו טענות תלויות בעולם ואילו טענות מהוות "טיעונים תקפים"‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.1‬טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫• כל החייזרים בכיתה לובשים שחור‪.‬‬
‫• אם היום יום שני אז מחר יום רביעי‪.‬‬
‫• כל עורב הוא שחור‪ .‬שחור הוא צבע‪ .‬לכן עורב הוא צבע‪ .‬יש כפל משמעות‪.‬‬
‫דוגמה לטיעון לא תקף‪ :‬אין אדם בלי חסרונות‪ .‬לדני למיצי יש חסרונות‪ ,‬לכן דני מיצי בן אדם‪.‬‬
‫בקורס נלמד לזהות טיעונים תקפים ונלמד איך להוכיח תקפות של טיעונים‪.‬‬
‫‪0.3‬‬
‫אינדוקצית מבנה‬
‫דוגמה‪ :‬איך מתארים קבוצה? למשל ע"י רשימת איבריה‪.‬‬
‫איך נתאר את קב' קרובי המשפחה שלנו? תיאור ע"י רשימת איברי הקבוצה‪ ,‬קצת מסובך‪.‬‬
‫שיטה אחרת‪ :‬משפחה גרעינית‪ :‬אני‪ ,‬אחיי‪ ,‬אחיותי‪ ,‬הוריי‪ ,‬ילדיי‪ ,‬אשתי‪.‬‬
‫כלל‪ :‬אם פלוני‪/‬ת הורה‪ ,‬ילד‪ ,‬אח‪ ,‬אחות‪ ,‬בן‪/‬בת זוג של מישהו בקבוצה אז הוא גם בקבוצה‪.‬‬
‫קבוצת קרובי המשפחה שלי היא קבוצת האנשים המינימלית שמכילה את המשפחה הגרעינית )בסיס( וסגורה‬
‫להפעלת הכלל‪.‬‬
‫‪ B‬־ קבוצת בסיס‪ F .‬־ אוסף פונקציות‪ .‬רצינו לבנות קבוצה המכילה את ‪ B‬וסגורה לפעולות ב־ ‪.F‬‬
‫דוגמה‪ F = {+1} ,B = {0} :‬ו־‪ N‬סגורה ל־ ‪ F‬שמכילה את ‪.B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.3‬‬
‫אינדוקצית מבנה‬
‫‪0.3.1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫בניית קבוצה באינדוקציה‬
‫‪ Ω‬קבוצה )עולם(‬
‫‪ B ⊆ Ω‬קבוצת בסיס‬
‫‪ F‬קבוצת פונקציות כך שכל ‪ fn,i ∈ F‬היא פונקציה ‪fn,i : Ωn → Ω‬‬
‫נסמן ב־ ‪ XB,F‬את הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"ׁי ‪ B‬ו ‪ XB,F .F‬ההיא הקבוצה המקיימת את הדרישות‬
‫הבאות‪:‬‬
‫‪B ⊆ XB,F .1‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ fn,i ∈ F‬ולכל ‪ x1 , ..., xn ∈ XB,F‬גם ‪fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ XB,F‬‬
‫‪ XB,F .3‬מינימלית‬
‫משפט ‪ 0.2‬קיימת קבוצה ‪ XB,F‬המקיימת ‪ 1,2‬ו־‪.3‬‬
‫‪ .Y = {A | A ⊆ Ω and satises‬למשל ‪.Ω ∈ Y‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי }‪1,2‬‬
‫‪T‬‬
‫נגדיר כעת‪.X = A∈Y A :‬‬
‫נטען ש־‪ X‬מקיימת את ‪ .1,2‬כיוון שלכל ‪ A ∈ Y‬מתקיים ‪ B ⊆ A‬הרי ‪ B ⊆ X‬לכן ‪ X‬מקיימת את ‪.1‬‬
‫לגבי ‪ :2‬תהי ‪ fn,i ∈ F‬פונקציה כלשהי‪ .‬יהיו ‪ ,x1 , ..., xn ∈ X‬נרצה להוכיח ש־‪.fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ X‬‬
‫‪ A ∈ Y T‬חייב להתקיים ‪ x1 , ..., xn ∈ A‬ו־‪ A‬מקיימת את ‪ .2‬לכן ‪ fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ A‬ואז‬
‫מההגדרה‪ ,‬לכל‬
‫‪.fn,i (x1 , .., xn ) ∈ A∈Y A = X‬‬
‫ראינו כי ‪ X‬מקיימת את ‪ .1,2‬מינימליות‪ :‬נובע מההגדרה כי אם ‪ T‬מקיימת את דרישות ‪ 1,2‬אז ‪.X ⊂ T‬‬
‫)יחידות‪ :‬אותו הדבר(‬
‫אם ‪ X 0‬מקיים ‪ 1,2,3‬אזי מהגדרה ‪ X ⊂ X 0‬ולכן או ‪)X ( X 0‬בסתירה למינימליות ‪ (X 0‬או ‪.X = X 0‬‬
‫הערה ‪ XB,F 0.3‬יקרא הסגור של ‪ B‬תחת הפעולות ב־ ‪.F‬‬
‫משפט ‪ 0.4‬משפט ההוכחה באינדוקציה‬
‫אם ‪ A‬קבוצה המקיימת‪:‬‬
‫‪B ⊂ A .1‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ fn,i ∈ F‬ולכל ‪ x1 , ..., xn ∈ A‬מתקיים ‪fn,i (x1 , .., xn ) ∈ A‬‬
‫אזי ‪.XB,F ⊂ A‬‬
‫הערה ‪ 0.5‬בתיכון‪ ,‬רוצים להראות שאיזושהי טענה מתקיימת למספרים הטבעיים‪.‬‬
‫}‪N ⊂ A = {all elements that the claim is true for‬‬
‫בהוכחה באינדוקציה אנו מראים‪:‬‬
‫‪ 0) 0 ∈ A .1‬מקיים את הטענה(‬
‫‪ .2‬שאם ‪ n‬מקיים את הטענה אז כך גם ‪.n + 1‬‬
‫ומכאן מסיקים שהסגור }‪.A ⊃ X{0},{+1‬‬
‫‪0.3.2‬‬
‫סדרת יצירה‪/‬בניה‬
‫דוגמה‪ .F = {+1} ,B = {0} :‬סדרה יצירה עבור ‪.0, 0 + 1, 0 + 2 :2‬‬
‫הגדרה ‪ 0.6‬סדרת יצירה עבור ‪ a ∈ XB,F‬היא סדרה סופית ‪ a1 , .., ak‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪a = ak .1‬‬
‫‪ .2‬כל ‪ ai‬מקיים ‪ ai ∈ B‬או התקבל מהפעלת פונקציה ב־ ‪ F‬על איברים קודמים בסדרה‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.7‬סדרת יצירה תמיד סופית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫אינדוקצית מבנה‬
‫משפט ‪ a ∈ XB,F 0.8‬אם ורק אם יש ל־‪ a‬סדרת יצירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :⇐ :‬נגדיר‬
‫}‪Y = {a | a has a creation series‬‬
‫נראה כי ‪ XB,F ⊂ Y‬ע"י אינדוקצית מבנה‪.‬‬
‫צ"ל ש־ ‪ .B ⊂ Y‬יהי ‪ ;b ∈ B‬סדרת היצירה של ‪ b‬היא ‪.b‬‬
‫כעת צריך להראות סגירות ‪ Y‬תחת ‪.F‬‬
‫אז צ"ל אם ‪ fn,i ∈ F‬ו־ ‪ x1 , ..., xn ∈ Y‬אזי ‪.fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ Y‬‬
‫אכן‪ ,‬יהיו ‪ x1 , ..., xn ∈ Y‬ו־ ‪ ;fn,i ∈ F‬נבנה את סדרת היצירה‪ .‬כיוון ש־ ‪ ,x1 , .., xn ∈ Y‬יש להם סדרות‬
‫יצירה‪:‬‬
‫) ‪x11 , .., x1m1 , ..., xn1 , .., xnmn , fn,i (x1 , ..., xn‬‬
‫כש־ ‪ x11 , .., x1m1‬סדרת יצירה של ‪ .x1‬קל לוודא שזוהי סדרת יצירה ל־) ‪.fn,i (x1 , ..., xn‬‬
‫ממשפט ההוכחה באינדוקציה נובע כי־ ‪ .XB,F ⊂ Y‬לכן‪ ,‬לכל איבר ב־ ‪ XB,F‬יש סדרת יצירה‪.‬‬
‫⇒‪ :‬נסמן ב־ ‪Xn‬את קבוצת האיברים להם יש סדרת יצירה באורך ‪ .n‬נראה כי‬
‫[‬
‫‪Xn ⊂ XB,F‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫נוכיח זאת באינדוקציה על הטבעיים‪ .‬ואז‪ =X1 :‬קבוצת האיברים להם יש סדרת יצירה באורך ‪ .1‬דהיינו‪,‬‬
‫‪.X1 = B‬‬
‫נניח שהראינו כי ‪ X1 , ..., Xn ⊂ XB,F‬ונראה זאת ל־ ‪.Xn+1‬‬
‫יהי ‪ .a ∈ Xn+1‬ל־‪ a‬סדרת יצירה באורך ‪ . x1 , ..., xn , a :n + 1‬נובע ש־ ‪ xn ∈ Xn‬ובאופן כללי‪.xi ∈ Xi ,‬‬
‫בפרט‪ ,‬מהנחת האינדוקציה‪ .x1 , ..., xn ∈ XB,F ,‬כעת אם ‪ a ∈ B‬אז בוודאי ‪.a ∈ XB,F‬‬
‫אחרת‪ a ,‬התקבל מהפעלת ‪ f ∈ F‬על איברים קודמים בסדרה‪ .‬כיוון שכל איברי הסדרה הקודמים ל־‪a‬‬
‫ב־ ‪ XB,F‬ו־ ‪ XB,F‬סגורה להפעלת ‪ ;f‬נקבל כי ‪ a ∈ XB,F‬כנדרש‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬שפת ה־‪Ω = {a, b}∗ .aba‬‬
‫עבור קבוצה ‪ Σ‬נסמן‬
‫}‪Σ∗ = {Finite words created by Σ‬‬
‫}‪{a, b}∗ = {ε, a, b, aa, ab, ba, bb, ...‬‬
‫∗‬
‫}‪{a} = {ε, a, aa, aaa, ...‬‬
‫אז עבור ‪ Ω‬כנ"ל ו־}‪ B = {ab‬נגדיר פעולות‪:‬‬
‫• ‪f1 (w) = waba‬‬
‫• )‪=f2 (w‬מחיקת רצף ‪ aa‬ימני ביותר וכתיבת ‪ b‬במקומו‪.‬‬
‫‪f2 (aaaa) = aab‬‬
‫אם אין רצף כזה אז ‪.f2 (w) = w‬‬
‫• )‪=f3 (w‬מחיקת רצף ימני ביותר של ‪.bbb‬‬
‫דוגמה‪ :‬נראה כי ‪ abb‬נמצאת בשפה‪:‬‬
‫}‪, |{z‬‬
‫‪abb‬‬
‫‪|abaa‬‬
‫} ‪{z‬‬
‫‪ab, |ababa‬‬
‫‪{z }, |ababaaba‬‬
‫‪{z }, |ababbba‬‬
‫‪{z } ,‬‬
‫)‪f2 (ababaaba) f3 (ababbba) f2 (abaa‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪f1 (ababa‬‬
‫)‪f1 (ab‬‬
‫למשל‬
‫‪0.3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫אינדוקצית מבנה‬
‫דוגמה‪ :‬הראו כי ‪ aba‬לא בשפה‪ .‬איך מראים שאיבר אינו ב־ ‪?XB,F‬‬
‫רעיון‪ :‬מוצאים תכונה שמפרידה את האיבר מאברי ‪.XB,F‬‬
‫תכונה‪ :‬ב־‪ w‬מספר אי זוגי של ‪ .a‬טענה ברורה‪ :‬ל־‪ aba‬אין את התכונה‪.‬‬
‫תהי‬
‫}‪Y = {w | There is an odd number of as in w‬‬
‫∈ ‪.aba‬‬
‫ברור כי ‪/ Y‬‬
‫טענה ‪.XB,F ⊂ Y 0.9‬‬
‫הוכחה‪ B ⊂ Y :‬כי ‪.ab ∈ Y‬‬
‫תהי ‪ .w ∈ Y‬צריך להראות ש־ ‪.f1 (w), f2 (w), f3 (w) ∈ Y‬‬
‫‪ .f1 (w) = waba‬בגלל ש־ אי זוגי‪= 2+‬אי זוגי נקבל ש־ ‪ .f1 (w) ∈ Y‬באופן דומה עבור ‪f2 , f3‬‬
‫לכן לפי משפט האינדוקציה ‪.XB,F ⊂ Y‬‬
‫‪4‬‬
‫חלק‬
‫‪I‬‬
‫תחשיב הפסוקים‬
‫תאור לא פורמלי‪:‬‬
‫אותיות‪:‬‬
‫‪P0 , P1 , ...‬‬
‫קשרים‪:‬‬
‫↔ ‪∧, ∨, ¬, →,‬‬
‫הרצאה‬
‫‪15.3.15‬‬
‫‪2‬‬
‫־‬
‫מהם נבנה ביטויים מורכבים‪.‬‬
‫ביטוי‪ :‬סדרה סופית של סימנים‪ .Σ = {(, ), ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔} ∪ {Pi | i ∈ N} :‬קבוצת הביטויים תהיה‪.Σ∗ :‬‬
‫נגדיר כעת את אוסף הביטויים החוקיים‪ ,‬בהגדרה אידוקטיבית‪.‬‬
‫בסיס‪ :‬פסוקים ‪ /‬נוסחאות אטומיות‪B = {Pi | i ∈ N} :‬‬
‫פעולות‪ ,F = {F∧ , F∨ , F¬ , F⇒ , F⇔ } :‬כאשר‪:‬‬
‫)‪(a ∧ b‬‬
‫=‬
‫)‪F∧ (a, b‬‬
‫)‪(a ∨ b‬‬
‫=‬
‫)‪F∨ (a, b‬‬
‫)‪(¬a‬‬
‫=‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪F¬ (a‬‬
‫קבוצת הביטויים החוקיים )‪ :(WFF - Well Formed Formulas‬הסגור של ‪ B‬ביחס ל־ ‪.F‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫• ) ‪ (P1 ∧ P2‬ביטוי חוקי‪ .‬הסבר ‪ P1 , P2 ∈ B‬ואז הסדרה היא‬
‫) ‪P1 , P2 , F∧ (P1 , P2‬‬
‫• ‪ P1 (⇒ P2‬אינו ביטוי חוקי‬
‫• ‪ P1 ⇒⇒ P2‬אינו ביטוי חוקי‬
‫טענה ‪ 0.10‬כל ביטוי חוקי )‪ (WFF‬הוא פסוק אטומי או מתחיל ב־( ונגמר ב־)‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ∗‪ Y ⊂ Σ‬הקב' המכילה את ‪ B‬ואת כל הביטויים שמתחילים ב־( ונגמרים ב־)‪ .‬נרצה להראות‬
‫ש־ ‪ .XB,F ⊂ Y‬ברור כי ‪) B ⊂ Y‬לפי ההגדרה(‪.‬‬
‫נשאר להראות סגירות תחת ‪ :F‬בודקים כל אחת מהפונקציות ורואים שכן‪.‬‬
‫ממשפט ההוכחה באינדוקציה ‪.W F F = XB,F ⊂ Y‬‬
‫לפי הטענה נוכל להסיק ששתי הדוגמאות הנ"ל אכן אינן ביטויים חוקיים‪ .‬נוכיח טענה פשוטה נוספת שתשמש אותנו‬
‫בהמשך‪:‬‬
‫טענה ‪ 0.11‬בכל ביטוי חוקי )‪.#( = #‬‬
‫הוכחה‪ =Y :‬קבוצת כל הביטויים ‪ e‬כך ש־)‪ .#( (e) = #) (e‬ברור ש־ ‪.B ⊂ Y‬‬
‫סגירות תחת ‪ :F‬יהיו ‪ .α, β ∈ Y‬למשל אם ב־‪ α‬יש ‪ n‬סוגריים מכל סוג וב־‪ β‬יש ‪ k‬סוגריים מכל סוג‪ ,‬אז‬
‫ב־)‪ (α ∧ β‬יש ‪ n + k + 1‬סוגריים מכל סוג‪.‬‬
‫באותו אופן לכל יתר הפונקציות‪.‬‬
‫הערה ‪ (P1 ∧ P2 ) 0.12‬ו־) ‪(P2 ∧ P1‬הם ביטויים שונים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫עצי יצירה )גזירה(‬
‫עצי יצירה )גזירה(‬
‫)) ‪((¬P1 ) ⇒ (P2 ∧ P1‬‬
‫עבור פסוק זה עץ הגזירה יהיה‪:‬‬
‫⇒‬
‫∧‬
‫‪P1‬‬
‫‪¬P1‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪op‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬לפסוק אטומי ‪ Pi‬נתאים את העץ ‪ .Ṗi‬לפסוק )‪ (α op β‬נתאים את העץ‬
‫‪btree‬‬
‫‪atree‬‬
‫¬‬
‫לפסוק )‪ (¬α‬יתאים העץ‬
‫‪atree‬‬
‫משפט ‪ 1.2‬משפט הקריאה היחידה‬
‫לכל ‪ α ∈ W F F‬מתקיים בדיוק אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ α .1‬פסוק אטומי‬
‫‪ .2‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ∧ γ‬‬
‫‪ .3‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ∨ γ‬‬
‫‪ .4‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ⇒ γ‬‬
‫‪ .5‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ⇔ γ‬‬
‫‪ .6‬קיים פסוק יחיד ‪ β ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (¬β‬‬
‫משפט ‪ 1.3‬ניסוח שקול של משפט הקריאה היחידה‬
‫לכל פסוק ‪ α ∈ W F F‬מתקיים שני הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬אם יש פסוקים ‪ β, γ ∈ W F F‬ו־}↔ ‪ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,‬כך ש־)‪α = (β op γ‬אז לכל זוג פסוקים ‪β 0 , γ 0‬‬
‫ו־}↔ ‪ op0 ∈ {∧, ∨, ¬, →,‬אם ) ‪ α = (β 0 op0 γ 0‬אז בהכרח ‪.γ = γ 0 , op = op0 , β = β 0‬‬
‫‪ .2‬אם יש פסוק ‪ β ∈ W F F‬כך ש־‪ α = ¬β‬אין פסוקים ‪ γ, δ ∈ W F F‬ו־}↔ ‪ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,‬כך‬
‫ש־)‪ α = (γ op δ‬וגם אם ‪ ϕ ∈ W F F‬מקיים )‪ α = (¬ϕ‬אז ‪.ϕ = β‬‬
‫אלגוריתם לבדיקה האם ∗‪ α ∈ Σ‬הוא ב־ ‪?W F F‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ α‬פסוק אטומי אז נאמר ‪ .α ∈ W F F‬אם לא‪ ,‬ממשיכים‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ α‬מתחיל ב־( ונגמר ב־) אז נמחק אותם ונמשיך ל־‪ .3‬אחרת נאמר ש־‪ α‬אינו ב־ ‪.W F F‬‬
‫‪ .3‬אם הסימן הראשון הוא ¬נמשיך ל־‪ .4‬אחרת ל־‪.5‬‬
‫‪ .4‬נמחק את ¬ ונחזור ל־‪.1‬‬
‫‪ .5‬נעבור על הפסוק משמאל לימין עד שמספר הסוגריים השמאליים יהיה שווה למספר הימניים )נמצא את‬
‫"האיבר השמאלי"(‪ .‬נקודת השוויון היא מיד לאחר הסוגר הימני שמשיג את השוויון‪:‬‬
‫‪...)|·...‬‬
‫אם הגענו לקשר דו מקומי )↔ ‪ (∧, ∨, ¬, →,‬נמחק אותו ונריץ שוב את האלגוריתם עבור סדרת הסימנים‬
‫משמאל לקשר וסדרת הסימנים מימין לקשר‪.‬‬
‫אם לא הגענו לקשר דו מקומי או שאין נקודת שוויון נאמר ש־‪ α‬אינו ב־ ‪ .W F F‬אם הביטוי הימני או‬
‫השמאלי לא ב־ ‪ W F F‬נאמר ש־‪ α‬אינו ב־ ‪ .W F F‬לבסוף נודיע ש־ ‪.α ∈ W F F‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל‪ .‬אפשר באינדוקציה על מספר הסימנים ולהראות שלפסוק שמתקבל באלגוריתם יש סדרת יצירה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪2‬‬
‫סדר קדימויות על קשרים‬
‫טיעון תקף‬
‫דוגמה‪ :‬הפסוק‪ 1 .(P1 ∧ P2 ) :‬לא מתקיים‪ ,‬עוברים ל־‪ .2‬אז ‪ P1 ∧ P2‬ונעבור ל־‪ .3‬נעבור ישר ל־‪ .5‬שולחים את‬
‫‪ P1 , P2‬ל־‪.1‬‬
‫סדר קדימויות על קשרים‬
‫‪1.1‬‬
‫• ¬‬
‫• ∨ ‪∧,‬‬
‫• ⇔ ‪⇒,‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫הביטוי‬
‫‪¬P1 ⇒ P2 ∧ P3‬‬
‫מתאים לביטוי‬
‫)) ‪((¬P1 ) ⇒ (P2 ∧ P3‬‬
‫הערה ‪ 1.4‬צריך לנהוג בזהירות!‬
‫‪(P1 ⇒ P2 ) ⇒ P3‬‬
‫=‪6‬‬
‫) ‪P1 ⇒ (P2 ⇒ P3‬‬
‫‪P1 ∧ P2 ∧ P3‬‬
‫=‪6‬‬
‫) ‪((P1 ∧ P2 ) ∧ P3‬‬
‫=‪6‬‬
‫)) ‪(P1 ∧ (P2 ∧ P3‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪W F F{¬,⇒} 1.5‬‬
‫בסיס‪B = {Pi | i ∈ N} :‬‬
‫פעולות‪F = {F¬ , F⇒ } :‬‬
‫}⇒‪ W F F{¬,‬הוא הסגור‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫טיעון תקף‬
‫הגדרה ‪) 2.1‬תזכורת( טיעון תקף‪:‬‬
‫טענה שמסקנתה נכונה בכל פעם שההנחות נכונות‪.‬‬
‫דוגמה )אינטואיציה( ) ‪((P1 ∧ P2 ) ⇒ P1‬‬
‫מה שיעניין אותנו כדי לדעת האם ביטוי "נכון" או לא‪ ,‬זה רק האם ה"הנחות" ) ‪" (P1 , ..., Pj‬נכונות" או לא‪ .‬דהיינו‪,‬‬
‫האם ‪ Pi‬נכון או לא נכון‪.‬‬
‫בהגדרת הסמנטיקה בתחשיב הפסוקים נשתמש בסימון הבא‪:‬‬
‫‪t : true‬‬
‫‪f : f alse‬‬
‫נרצה ליצור קשר בין "ערך האמת" של פסוק ‪ α‬לערכי האמת של המשתנים‪.‬‬
‫‪1‬באותו אופן מוגדרות }∧‪ W F F{¬,‬או }∨‪W F F{∧,‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2.1‬‬
‫הגדרת ערך האמת‬
‫‪2.1‬‬
‫‪2‬‬
‫טיעון תקף‬
‫הגדרת ערך האמת‬
‫אינטואיציה‪((¬P1 ) ⇒ (P2 ∧ P1 )) :‬‬
‫)‪⇒ (t‬‬
‫) ‪∧(f‬‬
‫) ‪¬(f‬‬
‫)‪P1 (t) P2 (f ) P3 (t‬‬
‫ערכי האמת יחלחלו במעלה עץ היצירה‪ ,‬בהתאם לאופן בו הקשרים פועלים‪.‬‬
‫‪2.1.1‬‬
‫טבלאות האמת של הקשרים‬
‫) ‪(¬P1‬‬
‫‪t‬‬
‫) ‪α = (¬P1‬‬
‫‪f‬‬
‫) ‪(P1 ∧ P2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ α = (P1 ∧ P2 ) , f‬אז‬
‫‪f‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪t‬‬
‫‪f‬‬
‫‪t‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪... f‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2‬השמה ‪ 2‬היא פונקציה‬
‫} ‪v : {Pi | i ∈ N} → {t, f‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3‬בהינתן השמה }‪ ,v : {Pi | i ∈ N} → {f, t‬נגדיר את ערך האמת‬
‫‪3‬‬
‫} ‪v̄ : W F F → {t, f‬‬
‫יהי ‪α ∈ W F F‬‬
‫• אם ‪ α‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר )‪v̄(α) = v(α‬‬
‫• אם )‪ α = (β op γ‬אז )עבור ‪ T Top‬טבלת האמת של ‪(op‬‬
‫))‪v̄(α) = T Top (v̄(β), v̄(γ‬‬
‫• אם )‪ α = (¬β‬אז ))‪v̄(α) = T T¬ (v̄(β‬‬
‫משפט ‪ 2.4‬משפט הגדרת ערך האמת‪:‬‬
‫ערך האמת )כמו שהגדרנו אותו( מוגדר היטב‪ ,‬ובפרט יחיד‪.‬‬
‫טענה ‪ 2.5‬אם כל המשתנים המופיעים ב־‪ α‬הם מהקבוצה } ‪ {P1 , ..., Pn‬ו־‪ v, z‬השמות המסכימות על משתנים אלו‬
‫)דהיינו‪ ,(∀1 ≤ i ≤ n, v(Pi ) = z(Pi ) ,‬אזי‬
‫)‪v̄(α) = z̄(α‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫עכשיו אפשר להגדיר את טבלת האמת של כל פסוק ‪ .α‬אם ב־‪ α‬מופיעים המשתנים ‪ P1 , ..., Pn‬אז בטבלה יש ‪2‬‬
‫שורות‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪f‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪... Pn‬‬
‫‪... f‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪...‬‬
‫‪t‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪t‬‬
‫אפשר לשאול‪ ,‬האם כל טבלת אמת ניתנת למימוש ע"י פסוק ב־ ‪?W F F‬‬
‫‪2‬אלכס )מרצה אחר( קורא להשמה סביבה‬
‫‪3‬אלכס מסמן ‪ [|α|]v‬וארנון מסמן )‪ v(α‬ולא מבדיל בין השמה לערך האמת‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים‬
‫‪2.2‬‬
‫‪2.2‬‬
‫שלמות פונקציונלית‬
‫שלמות פונקציונלית‬
‫קבוצת קשרים היא שלמה )פונקציונלית( ‪ 4‬אם ניתן להביע בעזרתה כל טבלת אמת‪.‬‬
‫טענה ‪ {¬, ∧, ∨} 2.6‬שלמה פונקציונלית‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬סקיצה( למשל אם בטבלה יש ‪ 3‬עמודות‪ ,‬ובשורה מסוימת מופיע ‪ P1 = t, P2 = t, P3 = f‬ו־‪ α = t‬נתאים‬
‫לשורה את הביטוי‬
‫)) ‪((P1 ∧ P2 ) ∧ (¬P3‬‬
‫לכל שורה בטבלה בה הערך הוא ‪ t‬נגדיר את הפסוק המתאים המקבל את הערך ‪ t‬על השורה הזאת בלבד )הנ"ל(‪.‬‬
‫ניקח ∨ )בסדר כלשהו( על כל הפסוקים האלו‪.‬‬
‫טענה ‪ {¬, ∧} 2.7‬ו־}⇒ ‪ {¬,‬שלמות פונקציונלית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בתרגיל‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫}∨ ‪ {∧,‬לא שלמה פונקציונלית ־ אי אפשר להביע את ¬‪.‬‬
‫סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים‬
‫• אם ‪ v̄(α) = t‬נסמן ‪ v |= α‬ונאמר כי ‪ v‬מספקת את ‪.α‬‬
‫• נאמר כי ‪ α‬ספיקה‪ ,‬אם יש השמה ‪ v‬כך ש־‪.v |= α‬‬
‫• נאמר כי ‪ α‬טאוטולוגיה אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים ‪ .v |= α‬למשל‪:‬‬
‫– ) ‪((P1 ∧ P2 ) ⇒ P1‬‬
‫– )) ‪(P1 ∨ (¬P1‬‬
‫• ‪ α‬יקרא סתירה אם לא קיימת השמה ‪ v‬כך ש־‪ ¬α) v |= α‬טאוטולוגיה(‬
‫• נאמר כי פסוק ‪ α‬שקול לפסוק ‪ β‬אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים‬
‫)‪v̄(α) = v̄(β‬‬
‫ונסמן ‪.a ≡ β‬‬
‫• קבוצת נוסחאות ‪ Γ‬היא ספיקה אם יש השמה ‪ v‬כך שלכל ‪ v̄(α) = t ,α ∈ Γ‬ונסמן ‪.v |= Γ‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬הקבוצה } ‪ Γ = {P1 , P2 , P3‬היא ספיקה אם ‪ v(P1 ) = v(P2 ) = v(P3 ) = t‬ולכן ‪ ,v |= Γ‬מצד שני‬
‫הקבוצה }) ‪ Γ = {P1 , (¬P1‬אינה ספיקה‪ ,‬נוכיח זאת‪:‬‬
‫תהי ‪ v‬השמה כלשהי‪ ,‬מהגדרת ערך האמת ) ‪ v(¬P1 ) = T T¬ (v(P1 )) 6= v(P1‬כאשר אי השיוויון נובע‬
‫מהתבוננות בטבלת האמת של ¬‪ ,‬ולכן לא ייתכן ששני ערכי האמת הם ‪ t‬ולכן ‪.v 6|= Γ‬‬
‫• ‪ α‬נובעת סמנטית מ־‪ Γ‬אם לכל ‪ v‬מתקים‪ :‬אם ‪ v |= Γ‬אזי ‪ v |= α‬ומסמנים ‪.Γ |= α‬‬
‫‪3‬‬
‫הרצאה‬
‫‪22.3.15‬‬
‫כתב נדב קרן‬
‫־‬
‫נשים לב כי ישנן שקילויות שהוכחנו במתמטיקה בדידה אשר יש צורך להוכיח אותם מחדש בעולם מונחים זה‪,‬‬
‫לדוגמא נתבונן במקרה הבינארי של כלל דה־מורגן‪:‬‬
‫)‪¬(α ∧ β) ≡ (¬α) ∨ (¬β‬‬
‫))‪≡ T T¬ (v̄(α ∧ β‬‬
‫))‪v̄(¬(α ∧ β‬‬
‫)))‪v̄(¬(α ∧ β)) ≡ T T¬ (T T∧ (v(α), v(β‬‬
‫‪4‬קיצור ש"פ‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים‬
‫‪3.0.1‬‬
‫‪3.1‬‬
‫הצבות‬
‫מסקנות חשובות‬
‫‪ .1‬טאוטולוגיה‪:‬‬
‫)))‪((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ‬‬
‫‪ .2‬שקילויות‪:‬‬
‫≡‬
‫‪(α ∧ β) ∧ γ‬‬
‫)‪α ∧ (β ∧ γ‬‬
‫)‪≡ (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ‬‬
‫‪(α ∧ β) ∨ γ‬‬
‫)‪(β ∧ α‬‬
‫≡ )‪(α ∧ β‬‬
‫)‪(β ∨ α‬‬
‫≡ )‪(α ∨ β‬‬
‫‪α‬‬
‫≡ )‪¬(¬α‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ Γ ∪ {α} |= β‬וגם ‪ Γ ∪ {¬α} |= β‬אזי ‪.Γ |= β‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ Γ ∪ {¬α) |= β‬וגם ‪ Γ ∪ {¬α) |= ¬β‬אזי ׂ‪ .Γ |= α‬נוכיח‪:‬‬
‫תהי ‪ ,v‬אם ‪ v |= Γ‬אזי לא ייתכן ‪ v |= ¬α‬כי אחרת‪ ,‬מההנחה נקבל כי )‪ ,v |= β, (¬β‬לכן אם ‪ v |= Γ‬אזי‬
‫‪.v |= α‬‬
‫‪ .5‬אם ‪ Γ ∪ {¬α} |= α‬אזי ‪.Γ |= α‬‬
‫‪ .6‬אם ‪ α ≡ β‬אזי ‪.{α} |= β‬‬
‫‪ |= (α → β) .7‬אם"ם ‪.{α} |= β‬‬
‫‪ {α1 , . . . , αn } .8‬ספיקה אם"ם ‪ α1 ∧ · · · ∧ αn‬ספיק‪.‬‬
‫‪ .9‬אם ‪ Γ1 ⊆ Γ2‬ו־‪ Γ1 |= α‬אזי ‪.Γ2 |= α‬‬
‫‪3.1‬‬
‫הצבות‬
‫נשים לב שישנם ביטויים‪ ,‬כגון )‪ (α ∧ β‬ו־) ‪ (P1 ∧ P2‬שיש ביניהם דימיון‪ ,‬בדוגמא זו‪ ,‬אם נחשוב על ‪ α‬כ־ ‪ ,P1‬ו־‪β‬‬
‫כ־ ‪ P2‬אז זהו אותו הביטוי‪ .‬החלפת פסוק אטומי בנוסחא נקראת הצבה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1‬תהיינה ‪ ϕ, α‬נוסחאות ו־ ‪ P1‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר כעת את ) ‪ ϕ(α/P1‬על ידי‪ :‬אם ‪ ϕ‬הוא פסוק אטומי‪,‬‬
‫אזי‬
‫(‬
‫‪α ϕ = P1‬‬
‫= ) ‪ϕ(a/P1‬‬
‫‪ϕ ϕ 6= P1‬‬
‫אם )‪ ϕ = (¬ψ‬אזי‬
‫)) ‪ϕ(α/P1 ) = (¬ψ(α/P1‬‬
‫ואם )‪ ϕ = (ψ op γ‬אזי‬
‫)) ‪ϕ(α/P1 ) = (ψ(α/P1 ) op γ(α/P1‬‬
‫טענה ‪ 3.2‬לכל ‪ ϕ, α ∈ W F F‬מתקיים כי ‪ϕ(α/P1 ) ∈ W F F‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3.1‬‬
‫‪3‬‬
‫הצבות‬
‫סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים‬
‫הגדרה ‪) 3.3‬לא פורמלית( ) ‪ ,ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn‬בסיס‪ :‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר באופן דומה להגדרה הקודמת )‪:(3.1‬‬
‫‪ϕ = P1‬‬
‫‪ϕ = P2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ϕ = Pn‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = ..‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫נשים לב כי נחוצה לנו הגדרה שונה עבור הצבה סימולטנית של מספר פסוקים שונים‪ .‬לדוגמא‪ ,‬אם‬
‫‪ϕ = P1 , α 1 = P2 , α 2 = P3‬‬
‫אז לפי ההצבה ב־‪ 3.3‬נקבל‪:‬‬
‫‪ϕ(α1 /P1 , α2 /P2 ) = α1 = P2‬‬
‫ואילו‬
‫‬
‫‪ϕ(α1 /P1 ) (α2 /P2 ) = α2 = P3‬‬
‫וקיבלנו תוצאות שונות‪ ,‬מכאן שאין שקילות בין ההצבה שהגדרנו ב־‪ 3.3‬להצבות חוזרות כפי שהוגדרו ב־‪!3.1‬‬
‫בהצבות מרובות נשתמש רק בהגדרה ‪3.3‬‬
‫כעת‪ ,‬נשאל את עצמנו מה הקשר בין ערך האמת של ) ‪ ϕ(α1 /P1‬לזה של ‪?ϕ‬‬
‫בהנתן השמה ‪ v‬נגדיר השמה חדשה ‪ v 0‬על ידי‪:‬‬
‫(‬
‫‪v(α1 ) i = 1‬‬
‫‪0‬‬
‫= ) ‪v (P1‬‬
‫‪v(Pi ) i 6= 1‬‬
‫טענה ‪ 3.4‬עבור השמה ‪ v‬וההשמה שהגדרנו ‪ ,v 0‬מתקיים כי )) ‪.v̄ 0 (ϕ) = v(ϕ(α1 /P1‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח באינדוקציית מבנה‪ .‬נגדיר }) ‪;Y = {ψ v 0 (ψ) = v(ψ(α1 /P1‬‬
‫בסיס‪ ψ :‬הוא פסוק אטומי‪ ,‬וישנם שני מקרים אפשריים‪:‬‬
‫אם ‪ ,ψ = P1‬אז‪:‬‬
‫) ‪v 0 (ψ) = v 0 (P1 ) = v 0 (P1 ) = v(α1‬‬
‫כאשר השיוויון הראשון נובע מכך ש־ ‪ ,ψ = P1‬השני מהגדרת ‪ v 0‬והשלישי מהגדרת ‪ .v 0‬ונשים לב כי = )) ‪v(ψ(α1 /P1‬‬
‫) ‪.v(α1‬‬
‫אם ‪ ψ 6= P1‬אז‪:‬‬
‫)‪v 0 (ψ) = v 0 (ψ) = v(ψ‬‬
‫ומכוון ש־)‪.ψ(α1 /P1 ) = ψ ⇒ v(ψ(α1 /P1 )) = v(ψ) = v(ψ‬‬
‫נוכיח סגירות‪:‬‬
‫יהיו ‪ ,γ, δ ∈ Y‬אז נוכיח כי ‪ (¬γ) ∈ Y‬ו־ ‪.(γ op δ) ∈ Y‬‬
‫))‪T Top (v 0 (γ), v 0 (δ‬‬
‫=‬
‫)‪v 0 (γ op δ‬‬
‫)) ‪(γ(α/P1 ) op δ(α/P1‬‬
‫=‬
‫) ‪(γ op δ)(α/P1‬‬
‫⇓‬
‫= )) ‪v(γ(α/P1 ) op δ(α/P1‬‬
‫=‬
‫‬
‫)) ‪T Top v(γ(α/P1 ), v(δ(α/P1‬‬
‫=‬
‫)) ‪v((γ op δ)(α/P1‬‬
‫מסקנה ‪ 3.5‬אם ‪ ϕ‬הוא טאוטולוגיה‪ ,‬אז כך גם ) ‪ ϕ(α1 /P1 , . . . , αn /Pn‬לכל ‪.α1 . . . , αn ∈ W F F‬‬
‫‪11‬‬
‫צורות נורמליות‬
‫‪3.2‬‬
‫‪3.2‬‬
‫)‪Forms‬‬
‫צורות נורמליות‬
‫‪(Normal‬‬
‫)‪Forms‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫‪(Normal‬‬
‫הגדרה ‪ 3.6‬נגדיר את הצורה הנורמלית ‪ (Negation Normal Form) NNF‬באופן אינדוקטיבי כסגור של הבסיס‬
‫}‪ ,B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ N‬והפעולות } ∨‪.F = {f∧ , f‬‬
‫טענה ‪ 3.7‬לכל ‪ α ∈ W F F‬קיים ‪ α0 ∈ N N F‬כך ש־ ‪.α ≡ α0‬‬
‫הוכחה‪ :‬את טענה זו הוכחנו כאשר הוכחנו כי }¬ ‪ {∧, ∨,‬היא קבוצת קשרים שלמה‪ ,‬כלומר קיים ‪ β‬המכיל רק את‬
‫‪W2n‬‬
‫הקשרים ∨ ‪ ¬, ∧,‬כך ש־‪ ,β ≡ α‬וראינו שניתן לקחת ‪ β‬מהצורה ‪ i=1 ϕi‬כאשר ‪ ϕi‬מהצורה ‪ p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ...‬־‬
‫בפרט ‪ β‬בצורת ‪.N N F‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 3.8‬נגדיר את ‪ Conj‬להיות הסגור של הבסיס }‪ B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ N‬עם הפעולה ∧‪.F = f‬‬
‫הגדרה ‪ 3.9‬נגדיר את הצורה הנורמלית ‪ (Disjunctive Normal Form) DNF‬להיות הסגור של הבסיס ‪ Conj‬עם‬
‫הפעולה } ∨‪.F = {f‬‬
‫טענה ‪ 3.10‬לכל ‪ α ∈ W F F‬קיים ‪ β ∈ DN F‬כך ש־ ‪.α ≡ β‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 3.11‬נגדיר את ‪ Disj‬להיות הסגור של הבסיס }‪ B = {Pi |i ∈ N}∪{(¬Pi )i ∈ N‬עם הפעולה } ∨‪.F = {f‬‬
‫הגדרה ‪ 3.12‬נגדיר את הצורה נורמלית ‪ (Conjunctive Normal Form) CNF‬כסגור של הבסיס ‪ Disj‬עם הפעולה‬
‫} ∧‪.F = {f‬‬
‫טענה ‪ 3.13‬לכל ‪ α ∈ W F F‬קיים ‪ β ∈ CN F‬כך ש־ ‪.α ≡ β‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי משפט ה־ ‪ ,DN F‬קיים פסוק ‪ γ‬כך ש־ ‪ γ ∈ DN F‬ו־‪ .γ ≡ ¬α‬כיוון ש־ ‪ ,γ ∈ DN F‬יש פסוקים‬
‫‪ ,ϕ1 , ..., ϕk ∈ Conj‬כך ש־‬
‫‪γ ≡ ϕ1 ∨ ... ∨ ϕk‬‬
‫לפי חוקי דה־מורגן ושקילות לוגית‬
‫‪¬γ ≡ ¬ϕ1 ∧ ... ∧ ¬ϕk‬‬
‫וגם ‪ ¬ϕi ∈ Disj‬־ אז נקבל את הדרוש‪.‬‬
‫הערה ‪ 3.14‬ניתן לשאול מספר שאלות אלגוריתמיות על ביטויים אלו‪:‬‬
‫בהנתן פסוק ‪ α‬בעל ‪ n‬משתנים‪ ,‬האם הוא ספיק? ניתן לעבור על ‪ 2n‬ההצבות הקיימות ולבדוק אותן‪ ,‬השאלה‬
‫הנשאלת האם יש אפשרות יותר טובה? ) ‪(?N P = P‬‬
‫כמו כן‪ ,‬בהנתן פסוק ‪ ,α‬איך מוצאים פסוק שקול לו ‪ α0‬ב־ ‪?N N F/DN F/CN F‬‬
‫מה הסיבוכיות של מציאת ‪ DN F‬מינימלי לפסוק ‪?α‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫הגדרות וסימונים‬
‫באופן אבסטרקטי מערכת הוכחה מורכבת מהבאים‪:‬‬
‫‬
‫‪ .1‬אלפבית )אצלנו הפסוקים }‪ {Pi i ∈ N‬והפעולות }↔ ‪.({∧ , ∨ , ¬ , → ,‬‬
‫‪ .2‬נוסחאות מעל האלפבית )אצלנו ה־‪.(WFF‬‬
‫‪ .3‬קבוצת נוסחאות הנקראות אקסיומות ‪.A‬‬
‫‪ .4‬כללי היסק ‪.F‬‬
‫פסוק ‪ ϕ‬הוא יכיח מקבוצת הנחות ‪ ,Γ‬אם הוא שייך לסגור של הקבוצה ‪ Γ ∪ A‬עם הפעולות ב־ ‪.F‬‬
‫הוכחה של פסוק ‪ ϕ‬מהנחות ‪ :Γ‬הצגת סדרת יצירה של ‪ ϕ‬בשביל להראות שהוא בסגור הנ"ל‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים ‪4.2‬‬
‫‪4‬‬
‫מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים‬
‫)‪Propositional Calculus- HPC‬‬
‫‪(Hilbert‬‬
‫סימונים‪ :‬עבור מערכת הוכחה ‪ ,S‬נסמן ‪ Γ ` ϕ‬אם ‪ ϕ‬יכיח )ניתן להוכחה( מ־‪ Γ‬במערכת ‪.S‬‬
‫‪s‬‬
‫כמו כן נאמר כי ‪ ϕ‬משפט של ‪ S‬אם ‪) ` ϕ‬כלומר לא נדרשות הנחות נוספות ‪.(Γ‬‬
‫‪s‬‬
‫תכונות פשוטות של מערכת הוכחה‬
‫‪4.1.1‬‬
‫‪ .1‬מונוטוניות‪ :‬אם ‪ ∆ ` ϕ‬ו־‪ ∆ ⊆ Γ‬אזי ‪.Γ ` ϕ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ .2‬קומפקטיות‪ :‬אם ‪ Γ ` ϕ‬אז יש ‪ ∆ ,∆ ⊆ Γ‬סופית כך ש־‪.∆ ` ϕ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ .3‬טרנזיטיביות‪ :‬אם ‪ ∆ ` ϕ‬ולכל ∆ ∈ ‪ α‬מתקיים כי ‪ Γ ` α‬אזי ‪.Γ ` ϕ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫רעיון ההוכחה‪ :‬בסדרת היצירה של ‪ ϕ‬מ־∆ נחליף כל הנחה מ־∆ בסידרת היצירה שלה מ־‪.Γ‬‬
‫מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים‬
‫‪4.2‬‬
‫)‪Propositional Calculus- HPC‬‬
‫)מערכת זו היא ואריציה על המערכת של מנדלסון־פרגה(‬
‫נגדיר את מערכת זו על ידי‪:‬‬
‫‬
‫‪ .1‬אלפבית‪ :‬הסגור של הבסיס }‪ {Pi i ∈ N‬עם הפעולות }) ‪{¬ , → , ( ,‬‬
‫‪ .2‬נוסחאות }→‪W F F{¬,‬‬
‫‪ .3‬אקסיומות ‪:A‬‬
‫‪α → (β → α) :A1‬‬
‫‪(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2‬‬
‫‪(¬β → ¬α) → (α → β) :A3‬‬
‫‪ .4‬כללי היסק ‪ :F‬כוללים את ‪) Modus Ponens‬כלל הניתוק(‬
‫‪= β‬‬
‫‪(α → β) , α‬‬
‫‪already proven‬‬
‫=‬
‫‪:‬‬
‫‪β‬‬
‫‪formula from MP‬‬
‫)‪M P ((α → β), α‬‬
‫‪MP‬‬
‫כלומר אם ידוע כי )‪ (α → β‬וגם ‪ α‬נכון‪ ,‬אזי ניתן להסיק כי ‪ β‬נכון‪.‬‬
‫הרצאה‬
‫‪29.3.15‬‬
‫‪4‬‬
‫־‬
‫מהי הוכחה? כל נוסחה בהוכחה‪ :‬אקסיומה‪ ,‬הנחה או מתקבלת מאחד מכללי ההיסק‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.1‬משפט ב־‪ :HP C‬כל פסוק ‪ α‬כך ש־‬
‫‪` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫באופן אחר‪ :‬בסיס‪ :‬אקסיומות‪ ,‬פעולה‪ ,M P :‬סגור‪ :‬משפטים של ‪.HP C‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪` (α → α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪A1 :α → ((α → α) → α‬‬
‫)‪(2‬‬
‫))‪A2 : (α → ((α → α) → α)) → ((α → (α → α)) → (α → α‬‬
‫)‪(3‬‬
‫))‪M P (1, 2) : ((α → (α → α)) → (α → α‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪A1 :α → (α → α‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪M P :α → α‬‬
‫‪5‬נסמן )‪ M P (i, j‬ביצוע הפעולה ‪ M P‬על שורות ‪ i‬ו־‪j‬‬
‫‪13‬‬
‫‪(Hilbert‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.3‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫משפט הדדוקציה‬
‫לכל ‪,α, β‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫))‪` ((¬α) → (α → β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪A3 : (¬β → ¬α) → (α → β‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪A1 :E → (¬α → E‬‬
‫‪E‬‬
‫)‪M P (1, 2) : (¬α → E‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫|}‬
‫‪{‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫}‪A2 : |{z‬‬
‫)‪¬α → (¬β → ¬α) → (α → β) → (¬α → (¬β → ¬α)) → (¬α → (α → β)) (4‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪(x→z‬‬
‫)‪(x→y‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪(y→z‬‬
‫)‪(5‬‬
‫))‪M P (3, 4) : (¬α → (¬β → ¬α)) → (¬α → (α → β‬‬
‫)‪(6‬‬
‫)‪A1 :¬α → (¬β → ¬α‬‬
‫)‪(7‬‬
‫)‪M P (5, 6) :¬α → (α → β‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪{¬α} ` (α → β‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחה ‪) 1‬לעצלנים(‪:‬‬
‫ראינו ))‪ . ` (¬α → (α → β‬נכתוב את ההוכחה שוב‪ .‬אז נוסיף ‪) ¬α‬הנחה( ולפי ‪(α → β) M P‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחה ‪:2‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪¬α → (¬β → ¬a‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪¬α‬‬
‫‪assumption‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(¬β → ¬α‬‬
‫‪M P (1, 2) :‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪(¬β → ¬α) → (α → β‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪α→β‬‬
‫‪A1 :‬‬
‫‪A3 :‬‬
‫‪M P (3, 4) :‬‬
‫מסקנה ‪ 4.2‬אם ‪ ,` ¬α‬אזי לכל ‪{α} ` β :β‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו ש־)‪ ` ¬α → (α → β‬ונתון ‪ ,` ¬α‬אז לפי ‪` (α → β) M P‬כלומר ‪.{α} ` β‬‬
‫‪4.3‬‬
‫משפט הדדוקציה‬
‫משפט ‪ 4.3‬לכל קבוצת פסוקים }→‪ ,Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל זוג פסוקים }→‪ ,α, β ∈ W F F{¬,‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪ Γ ` (α → β‬אם ורק אם ‪Γ ∪ {α} ` β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪HP C‬‬
‫הוכחה‪ :⇐ :‬נניח )‪ .Γ ` (α → β‬ממונוטוניות )‪ α .Γ ∪ {α} ` (α → β‬הנחה מתוך }‪ Γ ∪ {α‬ולפי ‪.β :M P‬‬
‫⇒‪ :‬ההוכחה באינדוקצית מבנה‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪Y = ϕ ∈ W F F{¬,→} | Γ ` (α → ϕ‬‬
‫‪6‬נשתמש ב־`‪ ,‬ואם לא נאמר אחרת אז מתכוונים ל־ `‬
‫‪HP C‬‬
‫‪14‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.4‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫משפט הנאותות ל־‪HP C‬‬
‫סימון‪ :‬עבור קבוצת נוסחאות ‪ ,Σ‬נסמן }‪ .Ded (Σ) = {ψ | Σ ` ψ‬נרצה להוכיח ש־ ‪.Ded (Γ ∪ {α}) ⊂ Y‬‬
‫כזכור )‪ Ded (Σ‬היא קבוצה סגורה; בסיס‪ :‬אקסיומות‪ ,‬הנחות‪ .‬פעולה‪ .M P :‬נראה כי האקסיומות וכן }‪Γ ∪ {α‬‬
‫נמצאים ב־ ‪ .Y‬תהי ‪ ψ‬אקסיומה או נוסחה מ־‪ .Γ‬צ"ל‪:Γ ` (α → ψ) :‬‬
‫)‪ψ → (α → ψ‬‬
‫‪ψ‬‬
‫)‪(α → ψ‬‬
‫‪A1 :‬‬
‫‪axiom or assumption‬‬
‫‪MP :‬‬
‫סגירות ל־ ‪ :M P‬נניח ‪ .(γ → δ) , γ ∈ Y‬צ"ל‪.δ ∈ Y :‬‬
‫ידוע ש־)‪ Γ ` α → (γ → δ) ,Γ ` (α → γ‬וצ"ל‪Γ ` (α → δ) :‬‬
‫)‪(1‬‬
‫))‪(α → (γ → δ)) → ((α → γ) → (α → δ‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)‪Γ ` α → (γ → δ‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪(α → γ) → (α → δ‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪Γ ` (α → γ‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪(α → δ‬‬
‫‪A2 :‬‬
‫‪known‬‬
‫‪M P (1, 2) :‬‬
‫‪known‬‬
‫‪M P (3, 4) :‬‬
‫לכן ממשפט האינדוקציה נקבל ‪ Ded (Γ ∪ {α}) ⊂ Y‬כדרוש‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬לכל פסוק }→‪ α ∈ W F F{¬,‬מתקיים )‪` (¬¬α → α‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפי משפט הדדוקציה‪ ,‬די להוכיח ‪ .{¬¬α} ` α‬הראינו כבר שלכל ‪ γ, δ‬מתקיים‬
‫)‪` ¬γ → (γ → δ‬‬
‫ובפרט‪,‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪` ¬ (¬α) → (¬α → ¬¬¬α‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪¬¬α‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪¬α → ¬¬¬α‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪(¬α → ¬¬¬α) → (¬¬α → α‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪¬¬α → α‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪Γ ` ¬¬α → α‬‬
‫‪assumption‬‬
‫‪M P (1, 2) :‬‬
‫‪A3 :‬‬
‫‪M P (3, 4) :‬‬
‫דוגמא‪ ` (β → ¬¬β) :‬לכל ‪.β‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל‪.‬‬
‫משפט הנאותות ל־‪HP C‬‬
‫‪4.4‬‬
‫משפט ‪ 4.4‬משפט הנאותות ל־‪ :HP C‬לכל קבוצת פסוקים }→‪ Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל }→‪ ,α ∈ W F F{¬,‬אם‬
‫‪Γ`α‬‬
‫אז‬
‫‪Γα‬‬
‫מסקנה ‪ 4.5‬אם ‪ Γ‬ספיקה‪ ,‬אז לא ניתן להוכיח סתירות מ־‪.Γ‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.4‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫משפט הנאותות ל־‪HP C‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציית מבנה;‬
‫}‪Y = {ϕ | Γ ϕ‬‬
‫רוצים להראות כי‪:‬‬
‫‪Ded (Γ) ⊂ Y‬‬
‫בסיס‪ :‬תהי ‪ ϕ‬אקסיומה‪ .‬צ"ל‪ ,ϕ ∈ Y :‬דהיינו ‪.Γ ϕ‬‬
‫טענה ‪ 4.6‬כל האקסיומות הן טאוטולוגיות‪) .‬בוודאי(‬
‫נניח ‪ .ϕ → ψ ,ϕ ∈ Y‬נראה ש־ ‪ .ψ ∈ Y‬נתון‪ .Γ ϕ ,Γ (ϕ → ψ) :‬תהי ‪ v‬השמה כך ש־‪ ;v Γ‬מהנתון‬
‫)‪ v (ϕ → ψ‬ו־‪ v ϕ‬אז לפי →‪ T T‬חייב להתקיים ‪.v ψ‬‬
‫משפט ‪ 4.7‬משפט הדיכוטומיה )הוכחה לפי מקרים(‪:‬‬
‫לכל קבוצת פסוקים }→‪ Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל }→‪ , α, β ∈ W F F{¬,‬אם‬
‫‪Γ ∪ {α} ` β‬‬
‫וגם‬
‫‪Γ ∪ {¬α} ` β‬‬
‫אזי‬
‫‪Γ`β‬‬
‫למה ‪ 4.8‬לכל ‪ ,x, y, z, Γ‬אם )‪ Γ ` (y → z‬וגם )‪ ,Γ ` (x → y‬אזי )‪Γ ` (x → z‬‬
‫הוכחה‪) :‬של הלמה( בלי משפט הדדוקציה‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫))‪(x → (y → z)) → ((x → y) → (x → z‬‬
‫‪A2 :‬‬
‫)‪(2‬‬
‫))‪(y → z) → (x → (y → z‬‬
‫‪A1 :‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)‪Γ ` (y → z‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪x → (y → z‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪(x → y) → (x → z‬‬
‫)‪(6‬‬
‫)‪Γ ` (x → y‬‬
‫)‪(7‬‬
‫)‪(x → z‬‬
‫הוכחה נוספת לפי משפט הדדוקציה‪ :‬די להוכיח ‪ , Γ ∪ {x} ` z‬אז‪:‬‬
‫‪x→y‬‬
‫`‬
‫‪Γ‬‬
‫‪assumptions‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y→z‬‬
‫‪z‬‬
‫`‬
‫‪Γ‬‬
‫‪MP :‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחת משפט הדיכוטומיה‪ :‬לפי משפט הדדוקציה הנתון שקול ל־‬
‫)‪Γ ` (α → β‬‬
‫וגם‬
‫)‪Γ ` (¬α → β‬‬
‫‪16‬‬
‫‪MP :‬‬
‫‪MP :‬‬
‫‪MP :‬‬
‫‪4.5‬‬
‫משפט השלמות ל־‪HP C‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫הראינו )כתרגיל‪ ,‬בדוגמה למשפט ‪(4.3‬‬
‫)‪` (β → ¬¬β‬‬
‫לפי הלמה‬
‫)‪Γ ` (¬α → ¬¬β‬‬
‫ולפי ‪ A3‬ו־ ‪ M P‬נקבל‬
‫)‪Γ ` (¬β → α‬‬
‫לפי הלמה עם ‪ x = ¬β, y = α, z = β‬נקבל‬
‫)‪Γ ` (¬β → β‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)))‪` (¬β → (β → ¬ (¬β → β‬‬
‫)‪(2‬‬
‫)))‪(¬β → (β → ¬ (¬β → β))) → ((¬β → β) → (¬β → ¬ (¬β → β‬‬
‫)‪(3‬‬
‫))‪(¬β → β) → (¬β → ¬ (¬β → β‬‬
‫)‪(4‬‬
‫)‪¬β → ¬ (¬β → β‬‬
‫)‪(5‬‬
‫)‪(¬β → ¬ (¬β → β)) → ((¬β → β) → β‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪(¬β → β) → β‬‬
‫‪MP :‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪β‬‬
‫‪MP :‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪ex. above‬‬
‫‪A2 :‬‬
‫‪M P (1, 2) :‬‬
‫‪MP :‬‬
‫‪A3 :‬‬
‫משפט השלמות ל־‪HP C‬‬
‫משפט ‪ 4.9‬לכל }→‪ Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל }→‪ ,α ∈ W F F{¬,‬אם‬
‫‪Γα‬‬
‫אזי‬
‫‪Γ ` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫ניתן לנסח את שני המשפטים יחד‪:‬‬
‫משפט ‪ 4.10‬משפט השלמות והנאותות‪ Γ α :‬אם ורק אם ‪.Γ ` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫משפט ‪ 4.11‬ניסוח שקול למשפט השלמות‪:‬‬
‫אם ‪ Γ`α‬אז ‪Γα‬‬
‫במילים‪ :‬אם לא ניתן להוכיח את ‪ α‬מתוך ‪ Γ‬אז יש השמה ‪ v‬כך ש־‪) v Γ‬מספקת( אבל ‪vα‬‬
‫אסטרטגיית ההוכחה‪ :‬נתחיל מהעובדה ‪ Γ`α‬ונבנה ‪ v‬כנ"ל‪ .‬אנחנו רוצים להגיע למצב בו ל־‪ Γ‬יש "בעיה" על כל‬
‫פסוק אטומי‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪4‬‬
‫קבוצה עקבית‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫קבוצה עקבית‬
‫הגדרה ‪ 4.12‬קבוצת פסוקים ‪ Γ‬נקראת עקבית אם יש פסוק ‪ ϕ‬כך ש־‪Γ`ϕ‬‬
‫טענה ‪ Γ 4.13‬לא עקבית אם ורק אם קיים פסוק ‪ ϕ‬כך ש־‪ Γ ` ϕ‬וגם ‪.Γ ` ¬ϕ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫הרצאה‬
‫‪12.4.15‬‬
‫‪5‬‬
‫־‬
‫)‪` ¬ϕ → (ϕ → β‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪Γ ` ¬ϕ‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪Γ `β‬‬
‫‪ex. above‬‬
‫)‪M P (1, 2‬‬
‫כלומר לכל ‪ β‬מתקיים ‪.Γ ` β‬‬
‫הערה ‪ 4.14‬מה הקשר בין עקביות למשפט השלמות‪:‬‬
‫• נניח כי ‪Γ 6` α‬‬
‫• נקבל כי }‪ Γ ∪ {¬α‬עקבית‪ ,‬כי אם ‪ Γ ∪ {¬α} ` α‬אז כיוון ש־‪ Γ ∪ {α} ` α‬ונקבל מדיכוטומיה ‪.Γ ` α‬‬
‫משפט ‪ 4.15‬כל קבוצה עקבית היא ספיקה‬
‫בפרט יש השמה ‪ v‬שמקיימת‪) v ¬α ,v Γ :‬או ‪ (v̄(α) = f‬ובפרט ‪Γ 6 α‬‬
‫אנחנו רוצים של־‪ Γ‬תהיה "דעה" על כל פסוק אטומי )האם לתת לו ערך ‪ t‬או ‪ .(?f‬אם לכל פסוק אטומי ‪ P‬היה‬
‫מתקיים ‪ P ∈ Γ‬או ‪ ¬P ∈ Γ‬ואז בוודאי ל־ ‪ P‬הייתה "דעה" עליו‪.‬‬
‫רעיון ההוכחה‪" :‬ננפח" את ‪ Γ‬כך שנישאר עם קבוצה עקבית וגם לכל ‪ ,P‬או ‪ P ∈ Γ‬או ‪.¬P ∈ Γ‬‬
‫הגדרה ‪ 4.16‬קבוצה עקבית מקסימלית היא קבוצת פסוקים ‪ ,X‬עקבית ולא קיימת קבוצה עקבית ‪ Y‬כך ש־ ‪.X ( Y‬‬
‫טענה ‪ Γ 4.17‬עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של ‪ Γ‬גם עקבית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :⇐ :‬ברור‪ .‬אם ‪ Γ 6` α‬אז ‪ α‬אינו יכיח מאף תת קבוצה סופית ‪.Γ‬‬
‫⇒‪ :‬נניח כי ‪ Γ‬אינה עקבית ונראה שיש תת קבוצה סופית ‪ Γ0 ⊂ Γ‬שאינה עקבית‪ .‬כיוון ש־‪ Γ‬אינה עקבית יש‬
‫‪ β‬כך ש־‪ Γ ` β‬וגם ‪.Γ ` ¬β‬‬
‫כיוון שהוכחה היא סופית‪ ,‬בהוכחה של ‪ β‬ובהוכחה של ‪ ¬β‬השתמשנו במספר סופי של הנחות מתוך ‪ .Γ‬תהי‬
‫‪ Γ0 ⊂ Γ‬תת קבוצה סופית המכילה את ההנחות הנ"ל‪ .‬אזי‬
‫‪Γ0 ` β‬‬
‫וגם‬
‫‪Γ0 ` ¬β‬‬
‫)אותה הוכחה כמו ‪ Γ ` ¬β ,Γ ` β‬מקודם(‬
‫לכן‪ ,‬לפי טענה שהוכחנו‪ Γ0 ,‬אינה עקבית‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.18‬אם ‪ X‬עקבית מקסימלית ו־‪ ,X ` ϕ‬אזי ‪.ϕ ∈ X‬‬
‫הוכחה‪ :‬נביט בקבוצה }‪ .Y = X ∪ {ϕ‬בוודאי ‪ .X ⊂ Y‬לכן‪ ,‬אם ‪ Y‬עקבית אז ממקסימליות של ‪ X‬מתקיים‬
‫‪ X = Y‬ובפרט ‪ .ϕ ∈ X‬אכן‪ ,‬נראה כי ‪.Y 6` ¬ϕ‬‬
‫אם‬
‫‪X ∪ {ϕ} = Y ` ¬ϕ‬‬
‫כיוון ש־‬
‫‪X ∪ {¬ϕ} ` ¬ϕ‬‬
‫ממשפט הדיכוטומיה ‪ X ` ¬ϕ‬בגלל שהנחנו ‪ ,X ` ϕ‬לכן ‪ X‬לא עקבית ־ בסתירה‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪4‬‬
‫קבוצה עקבית‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫טענה ‪ 4.19‬לכל קבוצה עקבית מקסימלית ‪ X‬ולכל פסוק ‪ ϕ‬מתקיים ‪ ϕ ∈ X‬או ‪.¬ϕ ∈ X‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם }‪ X ∪ {ϕ‬עקבית אז ממקסימליות ‪ X‬מתקיים ‪) ϕ ∈ X‬כמו שכבר הראינו(‪ .‬אם }‪ X ∪ {ϕ‬לא עקבית‬
‫אז בפרט ‪ X ∪ {ϕ} ` ¬ϕ‬ומכאן נובע )הראינו כבר בעזרת משפט הדיכוטומיה( ש־‪ .X ` ¬ϕ‬מהטענה הקודמת‬
‫נובע ש־‪.¬ϕ ∈ X‬‬
‫טענה ‪ 4.20‬תהי ‪ X‬עקבית מקסימלית‪ .‬אזי לכל ‪ α, β‬פסוקים מתקיים )‪ X ` (α → β‬אם ורק אם ‪ ¬α ∈ X‬או‬
‫‪.β ∈ X‬‬
‫הוכחה‪ :⇐ :‬לפי טענה ‪ 4.19‬קודמת ‪ α ∈ X‬או ‪ .¬α ∈ X‬אם ‪ ¬α ∈ X‬אז סיימנו‪.‬‬
‫אם ‪ α ∈ X‬אזי‬
‫`‬
‫)‪(α → β‬‬
‫‪X‬‬
‫‪assumption‬‬
‫‪α‬‬
‫מ־ ‪ M P‬נקבל‪:‬‬
‫‪X`β‬‬
‫ולפי טענה ‪ 4.18‬קודמת ‪.β ∈ X‬‬
‫⇒‪ :‬מקרה ראשון‪ .¬α ∈ X :‬ראינו‬
‫`‬
‫)‪¬α → (α → β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪assumption‬‬
‫‪¬α‬‬
‫וע"י ‪ M P‬נקבל‬
‫)‪X ` (α → β‬‬
‫מקרה שני‪β ∈ X :‬‬
‫)‪β → (α → β‬‬
‫‪A1 :‬‬
‫‪assumption‬‬
‫‪β‬‬
‫)‪(α → β‬‬
‫‪MP :‬‬
‫וקיבלנו‬
‫)‪X ` (α → β‬‬
‫טענה ‪ 4.21‬כל קבוצה עקבית מוכלת בקבוצה עקבית מקסימלית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון ש־ ‪ W F F‬בת מניה‪ ,‬ניתן למנות את פסוקי ‪:W F F‬‬
‫}‪W F F = {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ...‬‬
‫נניח כי ‪ X‬קבוצה עקבית‪ .‬נסמן ‪ .X0 = X‬נגדיר באופן אינדוקטיבי‪:‬‬
‫} ‪Xn−1 ∪ {ϕn‬‬
‫‪Xn−1 ∪ {ϕn } is consistent‬‬
‫‪Xn−1 ∪ {¬ϕn } else‬‬
‫(‬
‫= ‪Xn‬‬
‫נגדיר כעת‬
‫‪Xn‬‬
‫[‬
‫= ‪Y‬‬
‫‪n∈N‬‬
‫ברור כי ‪ .X = X0 ⊂ Y‬נראה כי ‪ Y‬עקבית מקסימלית‪ .‬אם ‪ Y‬אינה עקבית‪ ,‬אז יש ‪ Y 0 ⊂ Y‬סופית שאינה‬
‫עקבית‪ .‬בפרט יש ‪ Xn‬שאינה עקבית )כי כל ‪ Y 0 ⊂ Y‬סופית מוכלת באיזשהו ‪.(Xn‬‬
‫‪19‬‬
‫‪4.6‬‬
‫‪4‬‬
‫קבוצה עקבית‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫למה ‪ 4.22‬נראה ש־ ‪ Xn‬עקבית לכל ‪ ,n‬באינדוקציה על ‪ n = 0 .n‬נתון‪ ,‬נניח ש־ ‪ Xn−1‬עקבית‪.‬‬
‫הוכחה‪) :‬של הלמה( מקרה ראשון‪ Xn = Xn−1 ∪ {ϕn } :‬מהגדרת ‪ Xn‬נקבל כי ‪ Xn‬עקבית‪.‬‬
‫מקרה שני‪ Xn−1 ∪ {ϕn } :‬אינה עקבית‪ .‬אם גם } ‪ Xn−1 ∪ {¬ϕn‬אינה עקבית אז ממשפט הדיכוטומיה נקבל‬
‫ש־ ‪ Xn−1‬אינה עקבית בסתירה‪ .‬לכן גם במקרה השני ‪ Xn−1 ∪ {¬ϕn } = Xn‬עקבית‪.‬‬
‫הראינו כי ‪ Y‬עקבית ונראה כי היא עקבית מקסימלית‪ .‬מההגדרה ברור שלכל ‪ ϕ‬מתקיים ‪ ϕ ∈ Y‬או ‪ ¬ϕ ∈ Y‬וכפי‬
‫שכבר ראינו זה גורר ש־ ‪ Y‬עקבית מקסימלית‪.‬‬
‫∈ ‪ ϕ‬אז ‪ ¬ϕ ∈ Y‬בפרט ‪¬ϕ ∈ Z‬‬
‫הערה ‪ 4.23‬טיעון שחזר במשך היום‪ :‬אם ‪ Z ,Y ⊂ Z‬עקבית‪ .‬יהי ‪ .ϕ ∈ Z‬אם ‪/ Y‬‬
‫לכן ‪ Z ` ϕ, ¬ϕ‬ואז ‪ Z‬לא עקבית בסתירה‪ .‬לכן ‪ ϕ ∈ Y‬ו־ ‪.Z ⊂ Y‬‬
‫טענה ‪ 4.24‬כל קבוצה עקבית מקסימלית ספיקה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצה עקבית מקסימלית‪ .‬נגדיר השמה ‪ v‬באופן הבא‪:‬‬
‫(‬
‫‪t Pi ∈ X‬‬
‫= ) ‪v (Pi‬‬
‫‪f ¬Pi ∈ X‬‬
‫ונראה כי ‪ v) .v X‬מוגדרת היטב כי ‪ X‬עקבית מקסימלית(‬
‫נגדיר קבוצת פסוקים ‪:T‬‬
‫∈ ‪T = {ϕ | (ϕ ∈ X and v̄(ϕ) = t) or (ϕ‬‬
‫}) ‪/ X and v̄(ϕ) = f‬‬
‫נוכיח באינדוקציית מבנה כי ‪.W F F ⊂ T‬‬
‫∈ ‪Pi‬‬
‫בסיס‪ :‬פסוקים אטומיים ־ יהי ‪ Pi‬כלשהו‪ .‬אם ‪ Pi ∈ X‬אז ‪ v̄(Pi ) = v(Pi ) = t‬ולכן ‪ .Pi ∈ T‬אם ‪/ X‬‬
‫אז ‪ ¬Pi ∈ X‬ונקבל כי ‪ v̄(Pi ) = f‬ולכן‪ ,‬שוב ‪.Pi ∈ T‬‬
‫נראה כי ‪ T‬סגורה‪ .‬יהיו ‪ .α, β ∈ T‬צ"ל‪ ¬α ∈ T :‬וגם ‪ .(α → β) ∈ T‬נראה כי ‪ .¬α ∈ T‬נפריד למקרים‪:‬‬
‫∈ ‪¬α‬‬
‫∈ ‪ X) ¬α‬עקבית(‪ v̄(α) = t .‬ייתן ש־ ‪ .v̄ (¬α) = f‬לכן קיבלנו ש־‪/ X‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ .v̄(α) = t ,α ∈ X‬אז ‪/ X‬‬
‫וגם ‪ v̄ (¬α) = f‬ומהגדרת ‪.¬α ∈ T ,T‬‬
‫∈ ‪ X .v̄(α) = f ,α‬מקסימלית ולכן ‪ ¬α ∈ X‬וגם ‪ .v̄ (¬α) = t‬מהגדרת ‪.¬α ∈ T ,T‬‬
‫‪ .2‬אם ‪/ X‬‬
‫כעת נראה ש־ ‪ .(α → β) ∈ T‬נפריד למקרים‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ‪α ∈ X‬‬
‫)א( אם ‪ . v̄(β) = t ,β ∈ X‬מהטענה שהוכחנו ‪ v̄ (α → β) = t .(α → β) ∈ X‬כי ‪v̄(α) = v̄(β) = t‬‬
‫ולכן ‪.(α → β) ∈ T‬‬
‫∈ )‪ v̄(α → β) = f ,(α → β‬כי = )‪v̄(α‬‬
‫∈ ‪ . v̄(β) = f ,β‬מהטענה שהוכחנו נקבל ‪/ X‬‬
‫)ב( אם ‪/ X‬‬
‫‪ t, v̄(β) = f‬וגם כאן ‪.α → β ∈ T‬‬
‫∈ ‪ .α‬לכן ‪ .¬α ∈ X‬מהטענה שהוכחנו‪ (α → β) ∈ X ,‬ו־‪ v̄ (α → β) = t‬כיוון ש־‪ .v̄(α) = t‬לכן‬
‫‪ .2‬אם ‪/ X‬‬
‫‪.α → β ∈ T‬‬
‫ואז ‪ W F F ⊂ T‬כדרוש‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 4.25‬מטענות ‪ 4.21‬ו־‪ ,4.24‬כל קבוצה עקבית היא ספיקה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬של משפט השלמות )‪(Γ α ⇒ Γ ` α‬‬
‫נניח ‪ Γ 0 α‬אז }‪ Γ ∪ {¬α‬עקבית לכן היא ספיקה‪ .‬בפרט‪ ,‬אם }‪ v Γ ∪ {¬α‬אז ‪ v Γ‬וגם ‪ v 2 α‬ולכן‬
‫‪.Γ 2 α‬‬
‫מסקנה ‪ X 4.26‬עקבית אם ורק אם ‪ X‬ספיקה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :⇐ :‬הראינו‪.‬‬
‫⇒‪ :‬אם ‪ ,v X‬יהי ‪ α‬עם ‪ .v̄(α) = f‬ממשפט השלמות נקבל כי ‪ X 0 α‬ולכן ‪ X‬עקבית‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.27‬השלמות והנאותות‬
‫‪ X ` α‬אם ורק אם ‪.X α‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫‪4.7‬‬
‫‪4.7‬‬
‫משפט הקומפקטיות‬
‫משפט הקומפקטיות‬
‫משפט ‪ 4.28‬הקומפקטיות )תחשיב הפסוקים(‪:‬‬
‫‪ X‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של ‪ X‬ספיקה‪.‬‬
‫הוכחה‪ X :‬ספיקה אם ורק אם ‪ X‬עקבית )הוכחנו( אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של ‪ X‬עקבית )הוכחנו( אם‬
‫ורק אם כל תת קבוצה סופית של ‪ X‬ספיקה‪.‬‬
‫לכל קבוצת פסוקים ‪ X‬נגדיר‬
‫}‪Ass (X) = {v | v X‬‬
‫אלו הקבוצות הסגורות שלנו‪.‬‬
‫\‬
‫)‪Ass(ϕ‬‬
‫= )‪Ass(X‬‬
‫‪ϕ∈X‬‬
‫‪T‬‬
‫אם ‪ X‬אינה ספיקה ∅ = )‪ ,Ass(X‬אז ∅ = )‪ . ϕ∈X Ass(ϕ‬יש תת קבוצה ‪ X 0 ⊂ X‬סופית שאינה עקבית‪.‬‬
‫\‬
‫∅ = )‪Ass(ϕ‬‬
‫‪ϕ∈X 0‬‬
‫‪4.7.1‬‬
‫שימושים‬
‫הגדרה ‪ 4.29‬גרף )‪ G = (V, E‬הוא ‪k‬־צביע אם יש פונקציה }‪ χ : V → {1, ..., k‬כך שאם יש קשת בין ‪ v‬ל־‪ u‬אז‬
‫)‪.χ(v) 6= χ(u‬‬
‫משפט ‪ 4.30‬יהי )‪ G = (V, E‬גרף אינסופי‪ .‬אזי ‪2 G‬־צביע ‪ 7‬אם ורק אם כל תת גרף סופי שלו הוא ‪2‬־צביע‪ .‬נניח‬
‫‪ G‬בן מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתרגם את השאלה לשאלה בתחשיב הפסוקים‪ .‬נתאים פסוק אטומי לכל קודקוד ב־‪.G‬‬
‫}‪V ⇔ {P1 , P2 , ...‬‬
‫נחשוב על הצבעים כעל הערכים ‪ .t, f‬לכל ‪ e ∈ E‬נתאים‪:‬‬
‫) ‪ϕe = (Pi → ¬Pj ) ∧ (¬Pi → Pj‬‬
‫כש־) ‪.e = (Pi , Pj‬‬
‫‪ v ϕe‬רק אם ‪" v‬צובעת היטב" את ‪ Pi‬ו־ ‪ .Pj‬נסמן כעת }‪.X = {ϕe | e ∈ E‬‬
‫נניח שכל תת גרף סופי הוא ‪2‬־צביע ונראה שכל תת קבוצה ‪ X 0 ⊂ X‬סופית היא ספיקה‪.‬‬
‫תהא ‪ X 0 ⊂ X‬סופית; ניקח‬
‫} ‪V 0 = {Pi | Pi appears in some α ∈ X 0‬‬
‫הגרף המושרה על ‪ 8 V 0‬הוא ‪2‬־צביע‪ .‬לכן לכל ‪ ϕ‬ששני קדקודיו ב־ ‪V 0‬מתקיים ש־‪ ϕ‬צבועה היטב‪ .‬נהפוך את הצביעה‬
‫להשמה ) ‪ (1 → t, 2 → f‬ונשים לב שההשמה מספקת כל ‪ ϕe‬כנ"ל ולכן את ‪.X 0‬‬
‫‪Semantics‬‬
‫‪⇔ X satisfyable‬‬
‫‪⇔ Xα‬‬
‫‪⇔ α‬‬
‫‪Syntax‬‬
‫‪X consistent‬‬
‫‪X`α‬‬
‫‪`α‬‬
‫הערה ‪ 4.31‬ראינו כי ‪ X‬עקבית מקסימלית מסתפקת על ידי השמה יחידה‪.‬‬
‫מאידך‪ ,‬בהינתן השמה ‪ v‬נגדיר }‪Xv = {ϕ | v ϕ‬‬
‫הרצאה‬
‫‪19.4.15‬‬
‫‪6‬‬
‫־‬
‫טענה ‪ Xv 4.32‬עקבית מקסימלית‪.‬‬
‫‪7‬הטענה‬
‫נכונה עבור כל ‪k‬‬
‫‪8‬שימו לב לאי ההבדלה בין ‪ V‬ל־} ‪ :{Pi‬העתקה חח"ׂע ועל בין שתי הקבוצות תעביר תת קבוצה ב־ ‪ V‬לתת קבוצה מתאימה ב־} ‪{Pi‬‬
‫‪21‬‬
‫‪4.8‬‬
‫גדירות‬
‫‪4.8‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫גדירות‬
‫נאמר שקבוצת פסוקים ‪ X‬מגדירה את קבוצת ההשמות המספקות אותה‬
‫}‪Ass(X) = {v | v X‬‬
‫נאמר שקבוצת השמות ‪ K‬היא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים ‪ X‬כך ש־‬
‫)‪K = Ass(X‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫הקבוצות הבאות גדירות‬
‫‪∅ .1‬‬
‫‪ .2‬קבוצת כל ההשמות‬
‫‪ .3‬השמות הנותנות ערך ‪ t‬למשתנה אחד לכל היותר‬
‫‪K = {v} .4‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ X = {p ∧ ¬p} .1‬סתירות‬
‫‪ X = {p ∨ ¬p} .2‬טאוטולוגיות‬
‫‪{Pi → ¬Pj | i 6= j} ,{¬ (Pi ∧ Pj ) | i 6= j} .3‬‬
‫‪{Pi or ¬Pi according to v(Pi ) | i} .4‬‬
‫מה עצמת הקבוצות הגדירות? כל ‪ K‬גדירה היא )‪ .X ⊂ W F F ,K = Ass(X‬אז עצמת הקבוצות הגדירות‬
‫≥ ‪ .2ℵ0‬עצמת קבוצת ההשמות היא ‪ .2ℵ0‬עצמת )קבוצת החזקה( קבוצת כל תת הקבוצות של קבוצת ההשמות‬
‫‪ℵ0‬‬
‫היא ‪.22‬‬
‫סימון‪ = Ass :‬קבוצת כל ההשמות; ‪∀Pi , vt (Pi ) = t‬‬
‫טענה ‪ 4.33‬הקבוצה‬
‫}‪Kf in = {v | v sets t for a nite number of Pi s‬‬
‫אינה גדירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ X‬קבוצת פסוקים כך ש־)‪ .Kf in ⊂ Ass(X‬נראה שלכל ‪ X‬כנ"ל ‪.vt X‬‬
‫תהי }‪ ,Σ = {Pi | i ∈ N‬נראה כי ‪ Σ ∪ X‬ספיקה‪ .‬לפי משפט הקומפקטיות‪ Σ ∪ X ,‬ספיקה אם ורק אם כל‬
‫תת קבוצה סופית שלה ספיקה‪.‬‬
‫תהי ‪ Σ0 ∪ X 0‬תת קבוצה סופית‪ .‬נניח } ‪ Σ0 ⊂ {P1 , ..., Pn‬ונגדיר את ‪vn‬באופן הבא‪:‬‬
‫(‬
‫‪t 1≤i≤n‬‬
‫= ) ‪vn (Pi‬‬
‫‪f n<i‬‬
‫נראה כי ‪ vn X 0 ∪Σ0‬נראה אפילו כי ‪ .vn X ∪Σ0‬אכן‪ ;vn ∈ Kf in ,‬מהגדרת ‪ ,X‬מתקיים ש־)‪Kf in ⊂ Ass(X‬‬
‫ובפרט ‪.vn X‬‬
‫מהגדרת ‪ vn‬ברור גם ‪ vn Σ0‬ולכן ‪.vn X ∪ Σ0‬‬
‫הראנו שכל תת קבוצה של ‪ Σ ∪ X‬ספיקה‪ ,‬ולכן היא בעצמה ספיקה‪ .‬ההשמה היחידה המספקת את ‪ Σ‬היא ‪vt‬‬
‫ולכן ‪ vt X‬ובפרט‬
‫)‪Kf in ( Ass(X‬‬
‫לכן ‪ Kf in‬אינה גדירה‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫‪4.8‬‬
‫‪4‬‬
‫גדירות‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫הגדרה ‪ 4.34‬קבוצת השמות ‪ K‬גדירה באופן סופי אם יש ‪ X‬סופית כך ש־)‪K = Ass(X‬‬
‫משפט ‪ 4.35‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ K .1‬גדירה וגם ‪ K c‬גדירה‬
‫‪ K .2‬גדירה באופן סופי‬
‫‪ K .3‬גדירה על ידי פסוק יחיד‬
‫הוכחה‪ :2 ⇐ 1 :‬תהיינה ‪ X, Y‬כך ש־‬
‫)‪= Ass(X‬‬
‫‪K‬‬
‫) ‪= Ass(Y‬‬
‫‪Kc‬‬
‫ותהא‬
‫‪Σ=X ∪Y‬‬
‫∈ ‪(v‬‬
‫∈ ‪ v‬וכנ"ל ‪v ∈ K c‬אז )‪/ Ass(X‬‬
‫‪ Σ‬אינה ספיקה )כי אם ‪ v ∈ K‬אז ) ‪/ Ass(Y‬‬
‫לפי משפט הקומפקטיות קיימת ‪ Σ0 = X 0 ∪ Y 0‬סופית‪ ,‬שאינה ספיקה‪ .‬נראה כי ‪ Ass(X ) = K‬וגם‬
‫‪.Ass(Y 0 ) = K c‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫ברור כי ) ‪ .K ⊂ Ass(X 0‬נראה כי אין ‪ v ∈ K‬כך ש־ ‪ .v X‬כיוון ש־ ‪ .v Y ,v ∈ K‬אם גם ‪ v X‬אזי‬
‫‪0‬‬
‫‪v X 0 ∪ Y 0 = Σ0‬‬
‫בסתירה‪.‬‬
‫לכן ‪ Ass(X 0 ) ⊂ K‬ובפרט ‪ Ass(X 0 ) = K‬לכן ‪ K‬גדירה באופן סופי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :3 ⇐ 2 :‬תהי )‪ K = Ass(X‬כך ש־} ‪X = {ϕ1 , .., ϕn‬ויהי‬
‫‪ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ ... ∧ ϕn‬‬
‫קל לראות ש־‬
‫‪Ass ({ϕ}) = Ass(X) = K‬‬
‫הוכחה‪ K = Ass ({ϕ}) :1 ⇐ 3 :‬אזי )}‪.K c = Ass ({¬ϕ‬‬
‫תחשיב הפסוקים‬
‫• פסוקים אטומים יכולים לקבל ‪ t‬או ‪f‬‬
‫• בנינו נוסחאות מורכבות בעזרת קשרים והפסוקים האטומיים )סינטקס‪(W F F ,‬‬
‫• הגדרנו סמנטיקה )השמות לפסוקים אטומים והרחבה לערך אמת לכל ‪(ϕ ∈ W F F‬‬
‫• מושג ההוכחה‪ :‬מערכת הוכחה )‪ (HP C‬לתחשיב הפסוקים‬
‫• תכונות של מערכת ההוכחה ‪ :HP C‬נאותות‪ ,‬דדוקציה‪ ,‬דיכוטומיה‪ ,‬שלמות‬
‫• אנלוגיה בין סינטקטי לסמנטי ‪X ` α ⇔ X α‬‬
‫• קופמקטיות‬
‫• גדירות‬
‫אבל עדיין תחשיב הפסוקים מאוד מוגבל‪ .‬מה אי אפשר לעשות בתחשיב הפסוקים?‬
‫‪23‬‬
‫‪4.8‬‬
‫‪4‬‬
‫גדירות‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫סוקרטס בן אדם ־ תכונה שסוקרטס מקיים אותה‬
‫כל בן אדם הוא בן תמותה ־ כל מי שמקיים את התכונה מקיים תכונה אחרת‬
‫לכן סוקרטס בן תמותה‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫כל מספר טבעי גדול מ־‪0‬‬
‫הוא עוקב של מספר טבעי אחר‬
‫נרצה לתאר יחסים כאלה‪ ,‬ואנחנו לא יכולים לעשות זאת בתחשיב הפסוקים הרגיל‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫חלק‬
‫‪II‬‬
‫תחשיב היחסים ‪ /‬לוגיקה מסדר ראשון‬
‫באנגלית ‪Predicate Calculus / First Order Logic‬‬
‫הגדרות ומשפטים בסיסיים‬
‫‪1‬‬
‫אלפבית‪ :‬סימנים לוגיים המשותפים לכל השפות‬
‫‪ .1‬משתנים }‪{xi | i ∈ N‬‬
‫‪ .2‬סימני עזר‪ :‬סוגריים (‪),‬‬
‫‪ .3‬קשרים בוליאניים ↔ ‪¬, ∧, ∨, →,‬‬
‫‪ .4‬כמתים ∃ ‪∀,‬‬
‫מילון‪) :‬סיגנטורה ‪(Signature‬‬
‫המילון מכיל פרמטרים המיוחדים לשפה; תת קבוצה של‪:‬‬
‫‪ .1‬סימני קבוע }‪{ci | i ∈ N‬‬
‫‪ .2‬סימני יחס }‪ ,{Rn,i | n, i ∈ N‬כש־ ‪ Rn,i‬הוא סימן יחס ‪n‬־מקומי‬
‫‪ .3‬סימני פונקציה }‪ {fn,i | i, n ∈ N‬ו־ ‪ fn,i‬מסמן פונקציה ‪n‬־מקומית‬
‫נאמר כי מילון הוא סופי‪ ,‬אם יש בו מספר סופי של סימונים‪ .‬נאמר שמילון הוא יחסי אם אם אינו מכיל סימני‬
‫פונקציה‪.‬‬
‫האלפבית של השפה איתה עובדים מורכב מהסימונים הלוגיים המשותפים לכל השפות ומהסימנים במילון‪ .‬בד"כ‬
‫נסמן מילון באותיות ‪ τ, σ‬וכו'‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬שם עצם )‪ (term‬מעל מילון ‪.σ‬‬
‫ההגדרה ברקורסיה‪ :‬בסיס‪ :‬כל ‪ xi‬הוא שם עצם‪ .‬כל ‪ c ∈ σ‬גם שם עצם‪.‬‬
‫פעולות‪ :‬לכל ‪ f ∈ σ‬אם ‪ f‬פונקציה ‪ n‬מקומית ו־ ‪ t1 , .., tn‬שמות עצם גם ) ‪ f (t1 , ..., tn‬שם עצם‪.‬‬
‫משפט ‪ 1.2‬הקריאה היחידה לשמות עצם‪:‬‬
‫אם ‪ t‬הוא שם עצם מעל מילון ‪ σ‬אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ t = xi .1‬לאיזשהו משתנה ‪xi‬‬
‫‪ t = c .2‬לאיזשהו ‪c ∈ σ‬‬
‫‪ .3‬קיימת פונקציה יחידה ‪ f ∈ σ‬וקיימים ‪ t1 , .., tk‬שמות עצם יחידים כך ש־ ‪ f‬על ‪ k‬משתנים ו־‬
‫) ‪t = f (t1 , ..., tk‬‬
‫‪1.1‬‬
‫נוסחאות מעל מילון ‪σ‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3‬נוסחאות אטומיות‪:‬‬
‫לכל ‪ R ∈ σ‬סימן יחס ‪n‬־מקומי ולכל ‪ t1 , ..., tn‬שמות עצם ) ‪ R(t1 , ..., tn‬הוא נוסחה אטומי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.4‬פעולות‪:‬‬
‫‪ .1‬הפעלת קשרים של תחשיב הפסוקים‪ :‬אם ‪ α, β‬נוסחאות אז גם‬
‫• )‪(¬α‬‬
‫• )‪(α ∨ β) ,(α ∧ β‬‬
‫• )‪(α → β) ,(α ↔ β‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫הגדרות ומשפטים בסיסיים‬
‫‪ .2‬כמתים‪ :‬אם ‪ α‬נוסחה ו־‪ x‬משתנה‪ ,‬אז )‪ (∀x α‬ו־)‪ (∃x α‬נוסחאות‪.‬‬
‫הסגור של הנוסחאות האטומיות תחת הפעולות האלה הוא הנוסחאות מעל ‪.σ‬‬
‫משפט ‪ 1.5‬משפט הקריאה היחידה לנוסחאות מעל ‪:σ‬‬
‫אם ‪ α‬נוסחה אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים‪:‬‬
‫• ‪α‬נוסחה אטומית‪ :‬קיים ‪ R ∈ σ‬יחיד וכו'‬
‫• )‪ β α = (¬β‬יחיד‬
‫• )‪ a = (β op γ‬כש־}↔ ‪ β, γ ,op ∈ {∧, ∨, →,‬יחידים ו־‪ op‬יחיד‪.‬‬
‫• ‪ a = ∃x β‬כש־‪ x, β‬יחידים‬
‫• ‪ α = ∀x β‬כש־‪ x, β‬יחידים‬
‫דוגמאות‬
‫• }) ‪ x, y ,σ = {c, f (), R1 (), R2 (,‬משתנים‪.‬‬
‫• ‪ f (c), f (x), x, c‬שמות עצם‬
‫• ))‪ :R1 (f (x‬נוסחה אטומית‬
‫• ))‪ :R2 (x, f (c‬נוסחה אטומית‬
‫• נוסחה‪:‬‬
‫)))‪((∃y R1 (f (y))) → (∀x R2 (f (x), c‬‬
‫מאידך‪:‬‬
‫• ))‪ (R1 (f (x)) ∧ f (c‬־ לא נוסחה ))‪ f (c‬אינו נוסחה אטומי(‬
‫• )))‪ (∀c R1 (f (c‬־ לא נוסחה כי ‪ c‬אינו משתנה )מכמתים רק משתנים(‬
‫• )‪ ∀x R1 (x‬־ חסרים סוגריים‬
‫הערה ‪ 1.6‬לשם הנוחות נשמיט סוגריים‪ .‬סדר קדימויות‪:‬‬
‫‪ .1‬כמתים‬
‫‪ .2‬קשרים לפי סדר קדימויות בתחשיב הפסוקים‬
‫‪1.2‬‬
‫משתנים חופשיים וקשורים‬
‫נגדיר את המושגים משתנה חופשי )‪ (free‬ומשתנה קשור )‪.(bound‬‬
‫הגדרה ‪ 1.7‬עבור שם עצם ‪ F V (t) ,t‬מוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫• אם ‪ t = c‬אז ∅ = )‪F V (t‬‬
‫• אם ‪ x) t = x‬משתנה( אז }‪F V (t) = {x‬‬
‫• אם ) ‪ t = f (t1 , ..., tn‬אז ) ‪F V (t) = F V (t1 ) ∪ F V (t2 ) ∪ ... ∪ F V (tn‬‬
‫הגדרה ‪ 1.8‬עבור נוסחה ‪ F V (ϕ) ,ϕ‬מוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫• אם ) ‪ ϕ = R(t1 , ..., tn‬אז ) ‪F V (ϕ) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn‬‬
‫• אם )‪ ϕ = (¬α‬אז )‪F V (ϕ) = F V (α‬‬
‫• אם )‪ ϕ = (α op β‬אז )‪F V (ϕ) = F V (α) ∪ F V (β‬‬
‫• אם ‪ ϕ = Qx α‬כש־}∃ ‪F V (ϕ) = F V (α)\ {x} ,Q ∈ {∀,‬‬
‫‪26‬‬
‫משתנים חופשיים וקשורים‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1‬‬
‫מבנה‬
‫הגדרות ומשפטים בסיסיים‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫}‪F V ((∀x R(x)) → R2 (x)) = F V (∀x R(x)) ∪ F V (R2 (x)) = ∅ ∪ {x} = {x‬‬
‫כי‬
‫∅ = }‪F V (∀x R(x)) = F V (R(x)) \ {x} = F V (x) \ {x‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫}‪{x‬‬
‫‪F V (R2 (x)) = F V (x) = x‬‬
‫הערה ‪ 1.9‬כיוון שביטויים מהצורה‬
‫))‪((∀x ϕ(x)) → α(x‬‬
‫"מבלבלים"‪ ,‬נראה שלנוסחה‬
‫))‪((∀y ϕ(y)) → α(x‬‬
‫יש אותה משמעות סמנטית‪ .‬אז נוכל לשנות שם למשתנים קשורים כדי שיהיו שונים משמות המשתנים החופשיים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ x 1.10‬חופשי ב־‪ ϕ‬אם )‪x ∈ F V (ϕ‬‬
‫הגדרה ‪ 1.11‬נוסחה ‪ ϕ‬תיקרא סגורה אם ∅ = )‪F V (ϕ‬‬
‫הגדרה ‪ 1.12‬שם עצם ‪ t‬יקרא סגור אם ∅ = )‪F V (t‬‬
‫‪1.3‬‬
‫מבנה‬
‫הגדרה ‪ 1.13‬מבנה עבור מילון ‪:σ‬‬
‫מבנה ‪ M‬מורכב מהאובייקטים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ‪ DM‬קבוצה לא ריקה‪.‬‬
‫‪ .2‬פירוש של סימנים מ־‪:σ‬‬
‫)א( לכל סימן קבוע ‪ c ∈ σ‬מתאים איבר ‪cM ∈ DM‬‬
‫)ב( לכל סימן יחס ‪n R ∈ σ‬־מקומי מתאים יחס ‪n‬־מקומי מעל‬
‫‪DM‬‬
‫‪RM ⊂ DM × ... × DM‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪n times‬‬
‫)ג( לכל סימן פונקציה ‪n f ∈ σ‬־מקומי מתאימים פונקציה‬
‫‪n‬‬
‫‪: DM → DM‬‬
‫‪fM‬‬
‫‬
‫ומסמנים ‪M = DM , C0M , ..., f0M , ..., Rm , ...‬‬
‫הרצאה‬
‫‪26.4.15‬‬
‫‪7‬‬
‫־‬
‫כדי להגדיר ערכי אמת צריך לדעת את ערכי המשתנים החופשיים‬
‫הגדרה ‪ 1.14‬השמה‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪v : {xi } → D‬‬
‫כדי להגדיר ערכי אמת צריכים‪ :‬מבנה ‪ ,M‬השמה ‪.v‬‬
‫לכל ‪ d ∈ DM‬נסמן‬
‫(‬
‫‪v(xj ) j 6= i‬‬
‫= ) ‪v (d/xi ) (xj‬‬
‫‪d‬‬
‫‪j=i‬‬
‫‪27‬‬
‫‪1.4‬‬
‫הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון‬
‫‪1.3.1‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרות ומשפטים בסיסיים‬
‫ערך של שם עצם תחת השמה ‪ v‬במבנה ‪M‬‬
‫אם ‪ci ∈ σ‬‬
‫‪v̄(s) = cM‬‬
‫• ‪ s = ci‬אז ‪i‬‬
‫• ‪ s = xi‬אז ) ‪v̄(s) = v(xi‬‬
‫אם ) ‪ s = f (s1 , .., sn‬כש־‪ ,f ∈ σ‬אז )) ‪v̄(s) = f M (v̄(s1 ), ..., v̄(sn‬‬
‫דוגמה שנעבוד איתה‪M = (N, 0, 1, +, ×, ≤) ,σ = {c0 , c1 , f1 (, ), f2 (, ), R(, )} :‬‬
‫אז נסמן ) ‪v(x1 ) = 5, v(x2 ) = 7 ,s = f1 (f2 (f1 (c1 , c1 ), x1 ) x2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪= f1M (cM‬‬
‫‪1 , c1 ) = 1 + 1 = 2‬‬
‫‪= f2M (f1 (c1 , c1 ) , v̄(x1 )) = 2 × 5 = 10‬‬
‫‪10 + 7 = 17‬‬
‫‪1.4‬‬
‫=‬
‫)) ‪v̄ (f1 (c1 , c1‬‬
‫)) ‪v̄ (f2 (f1 (c1 , c1 ), x1‬‬
‫)‪v̄(s‬‬
‫הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון‬
‫יהיו ‪ M‬מבנה‪ v ,‬השמה‪.‬‬
‫‪ .1‬נוסחאות אטומיות‪ ϕ = R (s1 , ..., sn ) :‬כש־‪ ;R ∈ σ‬אז ‪ v̄(ϕ) = t‬אם ורק אם ‪(v̄(s1 ), ..., v̄(sn )) ∈ RM‬‬
‫נחזור לדוגמה‪ ϕ = R (f1 (c1 , c1 ), x2 ) :‬במבנה שהגדרנו קודם‪.‬‬
‫• אם ‪ v(x2 ) = 6‬אז ‪v̄(ϕ) = t‬‬
‫• אם ‪ v(x2 ) = 1‬או ‪ v(x2 ) = 0‬אז ‪v̄(ϕ) = f‬‬
‫‪ .2‬קשרים לוגיים‪ :‬אם )‪ ϕ = (α op β‬כש־}↔ ‪ op ∈ {∧, ∨, →,‬או )‪ ϕ = (¬α‬אז ערך האמת של ‪ ϕ‬יקבע לפי‬
‫טבלת האמת של הקשר הרלוונטי‪:‬‬
‫))‪v̄ (ϕ) = T Top (v̄(α), v̄(β‬‬
‫‪ .3‬כמתים‪ ϕ = ∃xi α :‬או ‪ϕ = ∀xi α‬‬
‫• ‪ v̄(∃xi α) = t‬אם ורק אם יש ‪ d ∈ DM‬כך שעבור ) ‪ u = v (d/xi‬מתקיים ‪.ū(α) = t‬‬
‫• ‪ v̄ (∀xi α) = t‬אם ורק אם לכל ‪ d ∈ DM‬עבור ) ‪ u = v (d/xi‬מתקיים ‪ū(α) = t‬‬
‫משפט ‪ 1.15‬אם ‪ u, v‬השמות כך שלכל )‪ v(x) = u(x) ,x ∈ F V (ϕ‬אז )‪v̄(ϕ) = ū(ϕ‬‬
‫הגדרה ‪ 1.16‬פסוק‪ :‬נוסחה ללא משתנים חופשיים‬
‫מסקנה ‪ 1.17‬יהי ‪ ϕ‬פסוק‪ .‬אם קיימת השמה ‪ v‬כך ש־ ‪ v̄(ϕ) = t‬אזי לכל השמה ‪ū(ϕ) = t ,u‬‬
‫מסקנה ‪ 1.18‬ערך האמת של פסוק תלוי רק במבנה‬
‫דוגמה‬
‫)‪ϕ = ∀x ∃y R (f2 (c, y), x‬‬
‫יהי ‪ d ∈ N‬כלשהו‪ .‬צ"ל‪ :‬אם ‪ ,v(x) = d‬אז‬
‫‪v̄ (∃y R (f2 (c1 , y), x)) = t‬‬
‫נביט בהשמה המקיימת‪:‬‬
‫• ‪) v(x) = d‬קבוע כבר(‬
‫‪28‬‬
‫‪2‬‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫• ‪) v(y) = d‬נבחר ערך ל־‪(y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪v̄ R f2 (c1 , y), x = v̄ (R(d, d)) = t‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪d‬‬
‫דוגמה‬
‫)‪α = (∀x R(x, x)) → R (f1 (x, c1 ), x‬‬
‫}‪F V (α) = {x‬‬
‫נשים לב ש־‪ x‬מימין ל־→ אינו מכומת‪ .‬תהא ‪ v‬השמה ונניח ש־‪.v(x) = 7‬‬
‫‪v̄(α) = f‬‬
‫הערה ‪ 1.19‬באותו מילון עם המבנה )< ‪ .v̄(α) = t ,(N, 0, 1, +, ×,‬למה זה נכון?‬
‫מהו ))‪) v̄ (∀x R(x, x‬אצלנו ” < ” = ‪ (R‬צריך להביט לכל ‪ d ∈ N‬על ערך האמת של )‪ R(x, x‬תחת ההשמה‬
‫)‪v (d/x‬‬
‫‪RM (d, d) = f‬‬
‫לכן ‪ v̄ (R(x, x)) = f‬לפי →‪ T T‬ואז ‪.v̄ (∀x R(x, x) → ...) = t‬‬
‫‪2‬‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫נדבר על שני מונחים שונים בהקשר של נביעה‪:‬‬
‫• ‪t‬־נביעה )‪(truth‬‬
‫• ‪v‬־נביעה )‪(valid‬‬
‫הגדרה ‪t 2.1‬־נביעה‪:‬‬
‫• מבנה ‪ M‬והשמה ‪ v‬מספקים את ‪ ϕ‬אם ‪ .v̄(ϕ) = t‬נסמן ‪.M, v ϕ‬‬
‫• ‪ ϕ‬ספיקה במבנה ‪ M‬אם יש השמה ‪ v‬כך ש־‪ .M, v ϕ‬במקרה זה נאמר כי )‪ (M, v‬הוא ‪t‬־מודל של ‪.ϕ‬‬
‫• תהי ‪ Γ‬קבוצת נוסחאות‪ .‬אז‬
‫– ‪ Γ‬מסתפקת במבנה ‪ M‬תחת השמה ‪ v‬אם לכל ‪ ϕ ∈ Γ‬מתקיים ‪ M, v ϕ‬ונסמן ‪.M, v Γ‬‬
‫– ‪ Γ‬ספיקה במבנה ‪ M‬אם יש ‪ v‬כך ש־‪ ,M, v Γ‬ואומרים ש־)‪ (M, v‬הוא ‪t‬־מודל של ‪.Γ‬‬
‫• ‪ (Γ) ϕ‬ספיקה אם יש מבנה ‪ M‬בו ‪ ϕ‬ספיקה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫• נסמן ‪ Γ ϕ‬אם כל ‪t‬־מודל של ‪ Γ‬הוא גם ‪t‬־מודל של ‪ .ϕ‬במילים אחרות‪ Γ ϕ ,‬אם לכל ‪ M, v‬כך‬
‫ש־‪ ,v̄(α) = t‬לכל ‪ ,α ∈ Γ‬מתקיים גם ‪v̄(ϕ) = t‬‬
‫‪M, v Γ ⇒ M, v ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫• ‪ ϕ‬היא ‪t‬־שקולה ל־‪ ψ‬אם ‪ {ϕ} ψ‬וגם ‪{ψ} ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫• נאמר כי ‪ ϕ‬היא ‪t‬־תקפה אם ‪∅ ϕ‬‬
‫הגדרה ‪v 2.2‬־נביעה‪:‬‬
‫• ‪ (Γ) ϕ‬נכונה במבנה ‪ M‬אם לכל השמה ‪ ,M, v ϕ ,v‬ומסמנים ‪ M . M ϕ‬יקרא ‪v‬־מודל של ‪.ϕ‬‬
‫‪29‬‬
‫‪2‬‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫• ‪ (Γ) ϕ‬היא ‪v‬־ספיקה אם יש לה ‪v‬־מודל‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫• ‪ ϕ‬נקראת ‪v‬־תקפה אם ‪ϕ‬נכונה בכל מבנה‪ .‬נסמן ‪ ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫• ‪ Γ ϕ‬אם כל ‪v‬־מודל של ‪ Γ‬הוא גם ‪v‬־מודל של ‪.ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫• ‪ ϕ‬הוא ‪v‬־שקול ל־‪ ψ‬אם ‪ {ϕ} ψ‬וגם ‪{ψ} ϕ‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫• )‪ .ϕ = R(x, x‬ברור כי ל־‪ ϕ‬יש ‪t‬־מודל‪v(x) = 0 ,RM = {(0, 0) , (0, 1)} ,DM = {0, 1} :‬‬
‫ל־‪ ϕ‬יש גם ‪v‬־מודל‪ :‬כל מבנה בו ‪ R‬יחס רפלקסיבי‪) .‬אמ"מ(‬
‫• ) ‪ .ϕ = (∀x3 ∀x4 R(x3 , x4 )) ∨ ¬R(x1 , x2‬בכל מבנה ‪ M‬יש ‪ v‬כך ש־‪.M, v ϕ‬‬
‫אם ∅ = ‪) RM‬או ‪ (RM = DM × DM‬אז ‪ M‬הוא ‪v‬־מודל של ‪.ϕ‬‬
‫•‬
‫))‪∀x, y, z ((R(x, y) ∧ R(y, z)) → R(x, z‬‬
‫=‬
‫‪α‬‬
‫))‪∀x, y, z, w ((R(x, y) ∧ R(y, z) ∧ R(z, w)) → R(x, w‬‬
‫=‬
‫‪β‬‬
‫‪v‬‬
‫מתקיים ‪{α} β‬‬
‫טענה ‪2.3‬‬
‫‪ .1‬אם ‪v ϕ‬־תקפה אז כך גם ‪∀x ϕ ,∃x ϕ‬‬
‫‪ .2‬אם ‪v ∀x ϕ‬־תקפה אז ‪v ϕ‬־תקפה‬
‫‪ ϕ .3‬ו־‪ ψ‬הן ‪t‬־שקולות אם ורק אם לכל ‪ M, v‬מתקיים )‪v̄(ϕ) = v̄(ψ‬‬
‫הוכחה‪ :‬תרגיל )"ההוכחה טריוויאלית"(‬
‫הערה ‪ 2.4‬אם ‪ M, v ϕ‬אז בוודאי ‪ ;M, v 2 ¬ϕ‬מאידך ‪ ϕ‬וגם ‪ ¬ϕ‬יכולות להיות ספיקות ב־ ‪.M‬‬
‫אם ‪ M ϕ‬אז בוודאי ‪ M 2 ¬ϕ‬אבל אם ‪ M 2 ¬ϕ‬לא בהכרח ‪. M ϕ‬‬
‫טענה ‪2.5‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ Γ ϕ‬אז ‪) Γ ϕ‬הכיוון השני לאו דווקא נכון(‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ Γ‬מכילה רק פסוקים אז אם ‪ Γ ϕ‬אז ‪Γ ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ϕ .3‬אם ורק אם ‪ ϕ‬ולכן נדבר רק על תקפות באופן כללי‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .4‬אם ב־‪ Γ‬יש רק פסוקים אז ‪ Γ ϕ‬אם ורק אם ‪Γ ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t Γ ∪ {ϕ} .5‬־ספיקה אם ורק אם ‪Γ¬ϕ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .1‬נניח כי ‪ ,M Γ‬תהי ‪ v‬השמה כלשהי‪ M, v Γ .‬כי ‪ M Γ‬ומהנתון )משתמשים ב־‪ (Γ ϕ‬מתקיים‬
‫‪ .M, v ϕ‬לכן ‪ ϕ‬מסתפקת תחת כל השמה ב־ ‪ M‬ולכן ‪.M ϕ‬‬
‫‪ .2‬נניח ‪ .M, v Γ‬צ"ל‪ .M, v ϕ :‬כיוון שב־‪ Γ‬יש רק פסוקים‪ ,‬מתקיים שערך האמת לא תלוי בהשמה ולכן‬
‫לכל השמה ‪ u‬מתקיים ‪ .M, u Γ‬דהיינו‪ . M Γ ,‬מהנתון ‪ M ϕ‬ובפרט ‪M, v ϕ‬‬
‫‪ .3‬נובע מ־א‪,‬ב )בקבוצה הריקה אין נוסחאות(‬
‫‪ .4‬נובע מ־א‪,‬ב‬
‫‪30‬‬
‫‪2.1‬‬
‫‪2‬‬
‫הצבה של שם עצם למשתנה‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫‪t‬‬
‫‪t Γ ∪ {ϕ} .5‬־ספיקה‪ ,‬אז יש ‪ M, v‬כך ש־}‪ M, v Γ ∪ {ϕ‬בפרט ‪ M, v 2 ¬ϕ‬וגם ‪ M, v Γ‬ולכן ‪Γ¬ϕ‬‬
‫הרצאה ‪ 8‬־ ‪3.5.15‬‬
‫תכנית השיעור‪:‬‬
‫‪ .1‬נדבר בקצרה על מושגים סמנטיים‬
‫‪ .2‬הצבה של שמות עצם במשתנים‬
‫‪ .3‬צורות נורמליות‪Prenax Normal Form :‬‬
‫‪ .4‬גדירות יחסים במבנה‬
‫טענה ‪t ϕ 2.6‬־שקולה ל־‪ ψ‬אם ורק אם )‪ (ϕ ↔ ψ‬תקפה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידית מ־‪ t‬שקילות וטבלת האמת של ↔‪.‬‬
‫מה לגבי ‪v‬־שקילות? נניח ‪ ϕ‬ו־‪v ψ‬־שקילות ־ האם ‪ ϕ ↔ ψ‬תקפה?‬
‫דוגמה‪ ;ψ = ∀x R(x) ,ϕ = R(x) :‬נשים לב ש־‪ ϕ‬ו־‪v ψ‬־שקולות‪ .‬מאידך‪ R(x) ↔ ∀x R(x) ,‬אינה תקפה‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫טענה ‪R(x) ∀x R(x) 2.7‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ M‬מבנה כך ש־)‪ .M R(x‬תהא ‪ v‬השמה‪ v̄ (∀x R(x)) ,v̄ (R(x)) = t .‬אם ורק אם לכל ‪d‬‬
‫‪ v̄ (d/x) (R(x)) = t‬וכו'‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.8‬עבור נוסחה ‪ ϕ‬עם משתנים חופשיים ‪ ,x1 , ..., xn‬הסגור האוניברסלי של ‪ ϕ‬מסומן ∀‪ ϕ‬הוא הפסוק‬
‫‪∀x1 ∀x2 ....∀xn ϕ‬‬
‫טענה ‪ ϕ∀ 2.9‬מסתפק ב־ ‪ M‬אם ורק אם ‪v M‬־מודל של ‪ϕ‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‬
‫‬
‫טענה ‪ Γ ϕ 2.10‬אם ורק אם ∀‪ Γ∀ ϕ‬אם ורק אם ∀‪ ,Γ∀ ϕ‬כש־ ‪Γ∀ = α∀ | α ∈ Γ‬‬
‫‪2.1‬‬
‫הצבה של שם עצם למשתנה‬
‫יהי ‪ x‬משתנה ו־‪ r‬שם עצם‪.‬‬
‫אינטואיציה‪ :‬רוצים להחליף "כל" מופע של ‪ x‬ב־‪ .r‬צריך להגדיר בזהירות בגלל האפשרות ש־‪ x‬קשור‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.11‬החלפת משתנה בשם עצם‪ ,‬עבור שמות עצם‬
‫יהיו ‪ r, s‬שמות עצם‪ .‬שם העצם ]‪ s [r/x‬מוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫)א( אם ‪ s = c‬אז ‪s [r/x] = s‬‬
‫)ב( אם ‪ s = y‬אז אם ‪= s y 6= x‬‬
‫]‪s [r/x‬‬
‫ואם ‪ y = x‬אז ‪= r‬‬
‫]‪s [r/x‬‬
‫‪ .2‬אם ) ‪ s = f (s1 , ..., sn‬אז )]‪s [r/x] = f (s1 [r/x] , ..., sn [r/x‬‬
‫לפי משפט הקריאה היחידה אפשר לראות ש־]‪ s [r/x‬מוגדר היטב‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.12‬הצבת שם עצם למשתנה עבור נוסחאות‬
‫יהי ‪ r‬שם עצם‪ ϕ ,‬נוסחה‪ .‬אז ]‪ ϕ [r/x‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ) ‪ ϕ = R (s1 , ..., sn‬אז )]‪ϕ [r/x] = R(s1 [r/x] , ..., sn [r/x‬‬
‫‪ .2‬אם ‪) ϕ = ϕ1 op ϕ2‬או ‪ (ϕ = ¬ϕ1‬אז ]‪) ϕ [r/x] = ϕ1 [r/x] op ϕ2 [r/x‬או ]‪(¬ϕ1 [r/x‬‬
‫‪) ϕ = Qy ψ .3‬כש־}∃ ‪(Q ∈ {∀,‬‬
‫)א( אם ‪ y = x‬אז ‪ϕ [r/x] = ϕ‬‬
‫)ב( אם ‪ y 6= x‬אז ]‪ϕ [r/x] = Qy ψ [r/x‬‬
‫הערה ‪ 2.13‬בעצם ]‪ ϕ [r/x‬מתקבלת מ־‪ ϕ‬ע"י החלפת כל המופעים החופשיים של ‪ x‬ב־‪.r‬‬
‫‪31‬‬
‫‪2.1‬‬
‫‪2‬‬
‫הצבה של שם עצם למשתנה‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫דוגמה‪ ψ = ∀x3 ϕ ,ϕ = R(x3 ) ,r2 = x3 ,r1 = f (x1 , x2 ) :‬ו־‪α = ∀x1 ϕ‬‬
‫אז‪:‬‬
‫) ‪f (x1 , x2‬‬
‫=‬
‫] ‪r1 [r2/x3‬‬
‫)) ‪R (f (x1 , x2‬‬
‫=‬
‫] ‪ϕ [r1/x3‬‬
‫)) ‪∀x1 R (f (x1 , x2‬‬
‫=‬
‫] ‪α [r1/x3‬‬
‫‪ψ‬‬
‫=‬
‫] ‪ψ [x1/x3‬‬
‫הערה ‪ 2.14‬בדוגמה שראינו ] ‪ α [r1/x3‬נוצר מופע קשור חדש של ‪ .x1‬יש הרבה מקרים בהם היינו רוצים להימנע‬
‫מכך‪.‬‬
‫הגדרה ‪ r 2.15‬חופשי להצבה ב־‪ x‬בנוסחה ‪ ϕ‬אם‪:‬‬
‫‪ ϕ = R (s1 , .., sn ) .1‬אזי ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ϕ‬‬
‫‪ .2‬אם ‪) ϕ = ϕ1 op ϕ2‬או ‪ (ϕ = ¬ϕ1‬אז ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ ϕ‬רק אם ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ϕ1‬‬
‫וגם עבור ‪) ϕ2‬או עבור ‪ ϕ1‬בלבד במקרה של ‪(ϕ = ¬ϕ1‬‬
‫‪ϕ = Qy ψ .3‬‬
‫)א( אם ‪ x‬אינו מופע ב־‪ ϕ‬אז ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬בנוסחה )לא מתבצעות הצבות(‬
‫)ב( אם ‪ x‬אינו חופשי ב־‪ ϕ‬אז ‪ r‬חופשי להצבה )לא מתבצעות הצבות(‬
‫)ג( )‪ x ∈ F V (ϕ‬אז ‪ r‬חופשי להצבה אם‪:‬‬
‫∈‪y‬‬
‫‪/ F V (r) .i‬‬
‫‪ r .ii‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ψ‬‬
‫טענה ‪ r 2.16‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור נוסחה ‪ ϕ‬אם ורק אם לאף משתנה )‪ y ∈ F V (r‬לא נוצר מופע קשור חדש‪.‬‬
‫הערה‪ :‬צריך להגדיר מהם מופע קשור ומופע חופשי )יותר עדין ממשתנה קשור ‪ /‬חופשי(‬
‫טענה ‪ 2.17‬יהיו ‪ r, s‬שמות עצם ו־‪ v‬השמה‪ .‬נגדיר השמה חדשה‪ . u = v [v̄(r)/x] :‬כלומר‪:‬‬
‫(‬
‫‪v(y) y 6= x‬‬
‫= )‪u(y‬‬
‫‪v̄(r) y = x‬‬
‫אז‬
‫)]‪ū(s) = v̄ (s [r/x‬‬
‫∈ ‪ y) y‬לא מופיע ב־‪ (r‬אזי )]‪ v̄(r) = ū (r [y/x‬כאשר ]‪.u = v [v(x)/y‬‬
‫טענה ‪ r 2.18‬שם עצם‪ v ,‬השמה ו־)‪/ F V (r‬‬
‫טענה ‪ 2.19‬שינוי שם משתנה קשור‬
‫תהי ‪ ϕ‬נוסחה כך ש־‪ y‬לא מופיע ב־‪ ϕ‬אז ‪) ∃x ϕ‬באותו אופן ‪t (∀x ϕ‬־שקולה לנוסחה )‪) ∃y ϕ (y/x‬ובאותו אופן‬
‫)‪(∀y ϕ (y/x‬‬
‫הוכחה‪ :‬ההוכחה מיידית מטענה ‪2.18‬‬
‫הטענה מאפשרת להחליף שם למשתנים קשורים ולקבל נוסחאות שקולות‪ .‬בפרט‪ ,‬בהינתן נוסחה ‪ ϕ‬ניתן לקבל )ע"י‬
‫אלגוריתם יעיל( נוסחה ‪ ψ‬השקולה ל־‪ ϕ‬בה לאף משתנה חופשי אין מופע קשור‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2.2‬‬
‫צורות קנוניות‬
‫‪2.2‬‬
‫‪2‬‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫צורות קנוניות‬
‫הגדרה ‪ P N F 2.20‬־ ‪Prenax Normal Form‬‬
‫נוסחאות ב־ ‪ P N F‬הן מהצורה ‪) Q1 x1 ...Qn xn ϕ‬כש־‪ ϕ‬חסרת כמתים(‬
‫הגדרה אינדוקטיבית‪ :‬נוסחה חסרת כמתים‪:‬‬
‫בסיס‪ :‬נוסחאות אטומיות; פעולות‪ :‬קשרים; סגור‪ :‬נוסחאות חסרות כמתים‪.‬‬
‫‪:P N F‬‬
‫בסיס‪ :‬נוסחאות חסרות כמתים; פעולות‪ :‬כמתים; סגור‪.P N F :‬‬
‫משפט ‪ 2.21‬משפט ה־ ‪P N F‬‬
‫לכל נוסחה מעל מילון ‪ σ‬קיימת נוסחת ‪ P N F‬מעל ‪t σ‬־שקולה לה‪.‬‬
‫הוכחת המשפט בהמשך‪ .‬הפעלה של העברת נוסחה לנוסחת ‪ P N F‬נקראת חילוץ כמתים‪.‬‬
‫טענה ‪2.22‬‬
‫‪t ∀x (ϕ ∧ ψ) .1‬־שקולה ל־‪∀x ϕ ∧ ∀x ψ‬‬
‫‪t ∃x (ϕ ∨ ψ) .2‬־שקולה ל־‪∃x ϕ ∨ ∃x ψ‬‬
‫∈ ‪ x‬אזי ‪t (∀x ϕ) ∨ ψ‬־שקולה ל־)‪∀x (ϕ ∨ ψ‬‬
‫‪ .3‬אם )‪/ F V (ψ‬‬
‫∈ ‪ x‬אזי )‪t ∃x (ϕ ∧ ψ‬־שקולה ל־‪(∃x ϕ) ∧ ψ‬‬
‫‪ .4‬אם )‪/ F V (ψ‬‬
‫‪ ≡) ¬∀x ϕ ≡ ∃x ¬ϕ ,¬∃x ϕ ≡ ∀x ¬ϕ .5‬זה ‪t‬־שקילות(‬
‫הערה ‪ ∀x (ϕ ∨ ψ) 2.23‬לאו דווקא שקולה ל־‪∀x ϕ ∨ ∀x ψ‬‬
‫דוגמה‪ x :ϕ :‬זוגי‪ x ψ ,‬אי זוגי‪ ∃x ϕ ∧ ∃x ψ .‬נכון אבל )‪ ∃x (ϕ ∧ ψ‬לא נכון‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחת משפט ה־ ‪:P N F‬‬
‫בתור התחלה נתרגם כל נוסחה לנוסחה מעל הקשרים ∨ ‪ ¬, ∧,‬והכמתים ∀ ‪ .∃,‬אם ‪ ϕ‬נוסחה אטומית‪ ,‬אז היא‬
‫כבר ב־ ‪.P N F‬‬
‫המקרה המעניין‪ ϕ1 , ϕ2 :‬נוסחאות‪ ψ1 , ψ2 ,‬ב־ ‪ P N F‬ו־ ‪ .ϕ2 ≡ ψ2 , ϕ1 ≡ ψ1‬אז‬
‫‪∃∀∃∀α1 ≡ ϕ = ϕ1 op ϕ2 ≡ ∃∀∃∀α2‬‬
‫‪ϕ ≡ ∃∀∃∀α‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ϕ ≡ ψ1 op ψ2‬‬
‫נשנה את שמות המשתנים הקשורים ב־ ‪ ψ1‬למשתנים שלא מופיעים ב־ ‪ ψ2‬ואחר כך נעשה אותו הדבר ל־ ‪.ψ2‬‬
‫כעת לפי הטענה הקודמת על שקילויות ניתן להוציא את כל הכמתים החוצה‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫גדירות יחסים במבנה‬
‫‪σarith = hc0 , c1 , +, ×, <, =i‬‬
‫מבנה‪ :‬הטבעיים‪ϕodd (x) = ¬ϕeven (x) ,ϕeven (x) = ∃y (y · (c1 + c1 ) = x) .‬‬
‫))) ‪divide(y, x) = ∃z (y × z = x) ,ϕprime (x) = ∀x (divide(y, x) → ((y = x) ∨ (y = c1‬‬
‫הגדרה ‪ 2.24‬יהיה ‪ σ‬מילון‪ M ,‬מבנה עבורו‪ .‬תהי ) ‪ ϕ (x1 , .., xn‬נוסחה מעל ‪ σ‬עם } ‪) F V (ϕ) = {x1 , ..., xn‬אולי‬
‫ב־‪ ϕ‬יש משתנים קשורים נוספים( אזי ‪ ϕ‬מגדירה ב־ ‪ M‬את היחס הבא‪:‬‬
‫‪Rϕ ⊂ DM × ... × DM‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪n times‬‬
‫כך ש־ ‪ (d1 , ..., dn ) ∈ Rϕ‬אם ורק אם ההשמה ‪ v‬המקיימת ‪ .v(x1 ) = d1 , ..., v(xn ) = dn‬מקיימת ‪.v̄(ϕ) = t‬‬
‫יחס ‪ R‬יקרא גדיר ב־ ‪ M‬אם קיימת נוסחה ‪ ϕ‬כך ש־ ‪.R = Rϕ‬‬
‫‪33‬‬
‫‪2.3‬‬
‫הרצאה‬
‫‪10.5.15‬‬
‫‪9‬‬
‫־‬
‫‪2‬‬
‫גדירות יחסים במבנה‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫שאלה ממבחן סמסטר א'‪:‬‬
‫נתון המילון‪ 9 Σ = {+, ×, =} :‬עם מבנה ‪ + ,R‬חיבור ו־× כפל‪.‬‬
‫הוכיחו‪:‬‬
‫‪ .1‬המספר ‪ 0‬גדיר )יש נוסחה ‪ ϕ‬שהאיבר היחיד המספק אותה הוא ‪ ;0‬או היחס החד מקומי }‪ {0‬גדיר(‪.‬‬
‫‪ .2‬המספר ‪ a‬גדיר אם ורק אם היחס ‪ x < a‬גדיר‬
‫√‬
‫‪ .3‬המספר ‪ 2‬גדיר )ב־‪(R‬‬
‫‪ .4‬אם יחס חד מקומי סופי ‪ P‬גדיר ב־‪ R‬אז המספר המקסימלי שמקיים את ‪ ,P‬גדיר‪.‬‬
‫‪ .5‬אם יחס חד מקומי סופי ‪ P‬גדיר ב־‪ R‬אזי כל מספר שמקיים את ‪ P‬גדיר‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪.1‬‬
‫)‪ϕ0 (x) : ∀y (x + y = y‬‬
‫‪ 0‬נייטרלי לחיבור‬
‫לפני פתרון ב'‪ ,‬נגדיר את היחס ‪:x ≤ y‬‬
‫)‪ϕ≤ (x, y) : ∃z (x + z × z = y‬‬
‫≤‪ (x, y) ∈ ϕ‬אם ורק אם ‪ x ≤ y‬כי הנוסחה אומרת שיש מספר אי שלילי ) ‪ (z 2‬כך ש־‪ . x + z 2 = y‬אז‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‬
‫‪ϕ< (x, y) : ∃z ¬ϕ0 (z) ∧ x + z 2 = y‬‬
‫או‬
‫)‪ϕ< (x, y) : ϕ≤ (x, y) ∧ ¬(x = y‬‬
‫‪ .2‬נניח ‪ a‬גדיר‪ .‬נניח ‪ ϕa‬נוסחה המגדירה את ‪ .a‬נציג נוסחה המגדירה את ‪:< a‬‬
‫))‪ϕ<a (x) : ∃y (ϕ< (x, y) ∧ ϕa (y‬‬
‫נניח )‪ ϕ<a (x‬גדיר‪.‬‬
‫))))‪ϕa (x) = (¬ϕ<a (x)) ∧ (∀z (¬ϕ0 (z) → ∀y (y + z × z = x → ϕ<a (y‬‬
‫הסבר‪ a :‬הוא המספר היחיד המקיים ‪ a‬לא קטן מ־‪ a‬וגם לכל מספר חיובי ממש ) ‪ a − z 2 ,(z 2‬קטן מ־‪.a‬‬
‫‪ .3‬נגדיר את ‪.1‬‬
‫)‪ϕ1 : ∀y (x × y = y‬‬
‫))‪ϕ2 (y) : ∃z (ϕ1 (z) ∧ (z + z = y‬‬
‫ואז‬
‫))‪ϕ√2 (x) : ∃y (ϕ2 (y) ∧ (x × x = y) ∧ ∃z (x = z × z‬‬
‫‪.4‬‬
‫)))‪ϕmaxP (x) : ϕP (x) ∧ (∀y (ϕP (y) → ϕ≤ (y, x‬‬
‫כאשר ‪ ϕP‬הנוסחה המגדירה את ‪ x .P‬מקיים את ‪ P‬וכל מספר אחר המקיים את ‪ P‬קטן או שווה לו‪.‬‬
‫מהסופיות נקבל שאכן קיים מקסימום‪.‬‬
‫‪9‬כשכותבים = מתכוונים ליחס השוויון ואין צורך לפרש אותו‬
‫‪34‬‬
‫‪3‬‬
‫בדיקת ספיקות‬
‫‪ .5‬נוכיח באינדוקציה על מספר המספרים הממשיים המקיימים את ‪.P‬‬
‫בסיס‪) |P | = 1 :‬נסמן ב־| ‪ |P‬את מספר הממשיים המקיימים את ‪ .(P‬תהא ‪ ϕP‬הנוסחה המגדירה את ‪.P‬‬
‫בגלל שיש רק מספר אחד שמקיים אותה נקבל ש־ ‪ ϕP‬מגדירה אותו‪.‬‬
‫נניח שהוכחנו את הטענה לכל יחס ‪ P 0‬המקיים ‪ .|P 0 | ≤ n‬נוכיח את הטענה ליחס המקיים ‪.|P 0 | = n + 1‬‬
‫יהי ‪ a‬איבר כלשהו ‪ .a ∈ P 0‬אם ‪ ,10 a = maxP 0‬אז ראינו כי ‪ a‬גדיר‪ .‬אם ‪ a‬אינו המקסימלי‪ ,‬אז נגדיר יחס‬
‫חדש ))‪ .R(x) = ϕP 0 (x) ∧ (¬ϕmaxP 0 (x‬נשים לב שביחס ‪ R‬יש בדיוק ‪ n‬איברים‪ ,‬כי פרט ל־ ‪ maxP 0‬כל‬
‫איברי ‪ P 0‬ביחס ואין אחרים‪ .‬נשים לב כי ‪) a ∈ R‬כי הוא לא היה המקסימלי(‪ .‬כיוון ש־‪ R‬גדיר ו־‪,|R| = n‬‬
‫ניתן להגדיר את איבריו לפי הנחת האינדוקציה‪ ,‬ולכן ‪ a‬גדיר‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫בדיקת ספיקות‬
‫בשיעור הזה ננסה להבין איך בודקים האם קבוצת נוסחאות ספיקה‪.‬‬
‫• פסוק‪ :‬נוסחה ללא משתנים חופשיים‪.‬‬
‫• פסוק‪/‬נוסחה אווניברסלי‪ ∀x1 ...∀xn ϕ :‬כש־‪ ϕ‬חסרת כמתים‪.‬‬
‫• פסוק‪/‬נוסחה יישי‪:‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ ∃x1 ...∃xn ϕ‬כש־‪ ϕ‬חסרת כמתים‪.‬‬
‫הצעד הראשון בבדיקה האם נוסחה ‪ ϕ‬ספיקה היא תרגום ‪ ϕ‬לנוסחה אוניברסלית באופן המשמר ספיקות‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.1‬יהי ‪ σ‬מילון‪ ,‬אזי )‪ ∃x ϕ(x‬ספיקה מעל ‪ σ‬אם ורק אם ]‪ ϕ [c/x‬ספיקה מעל המילון }‪ ,σ 0 = σ ∪ {c‬כאשר‬
‫‪ c‬סימן קבוע חדש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :⇐ :‬נניח )‪ ∃x ϕ(x‬ספיקה‪ .‬כלומר‪ ,‬יש )‪ .M, v ∃x ϕ(x‬לפי הגדרת ערך אמת מתקיים שיש ‪ d ∈ DM‬כך‬
‫ש־)‪ M, v [d/x] ϕ(x‬ונראה כעת כי ]‪ ϕ [c/x‬ספיקה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪M0‬‬
‫‪d‬‬
‫∈ ‪ (c‬וניקח ]‪) v = v [ /x‬אפשר‬
‫יהי ‪ M 0‬המבנה הזהה ל־ ‪ M‬פרט לכך ש־‪ c) .c = d‬לא מפורש ב־ ‪ M‬כי ‪/ σ‬‬
‫גם ‪ v 0 = v‬כי ‪ x‬לא מופיע ב־]‪(ϕ [c/x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫לפי הגדרת הסמנטיקה בגלל ש־‪ v (c) = d‬ולפי טענה שהוכחנו‪ ,v̄ (ϕ [ /x]) = v̄ [ /x] ,‬במבנה ‪ .M‬ולכן‬
‫]‪.M 0 , v 0 ϕ [c/x‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c‬‬
‫⇒‪ :‬נניח ‪ M 0‬מבנה עבור ‪ σ‬ו־ ‪ v‬השמה כך ש־]‪ .M , v ϕ [ /x‬יהי ‪ M‬הצמצום של ‪ M‬ל־‪ .σ‬אזי‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪ M, v 0 ∃x ϕ(x‬כי יהי ‪ . DM = DM 3 d = cM‬לפי הגדרת ערך אמת‬
‫)‪M, v [d/x] ϕ(x‬‬
‫טענה ‪ 3.2‬פסוק‬
‫) ‪∀y1 ...∀yn ∃x ϕ(x, y1 , ..., yn‬‬
‫ספיק אם ורק אם הפסוק‬
‫) ‪∀y1 ...∀yn ϕ(f (y1 , ..., yn ), y1 , ..., yn‬‬
‫ספיק מעל מילון } ‪ σ 0 = σ ∪ {f‬כאשר ‪ f‬סימון פונקציה ‪n‬־מקומית חדש‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬בדומה למה שעשינו קודם‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.3‬סקולם ) ‪(Skolem‬‬
‫קיים אלגוריתם שלכל פסוק ‪ ϕ‬בונה פסוק אוניברסלי ‪ ψ‬כך ש־‪ ϕ‬ספיק אם ורק אם ‪ ψ‬ספיק‪.‬‬
‫‪ ψ‬עשוי להיות מעל מילון שונה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫• מוצאים ‪ ϕ‬שקולה ל־‪ ϕ‬בצורת ‪.P N F‬‬
‫• מסלקים כמתים יישיים )∃( אחד אחרי השני‪ ,‬משמאל לימין ע"י הוספת סימני פונקציות חדשים או קבועים‬
‫למילון‪.‬‬
‫‪10‬כתיב מקוצר‪ ,‬ראינו כבר איך להגדיר‬
‫‪11‬מלשון יש‬
‫‪35‬‬
‫‪3‬‬
‫בדיקת ספיקות‬
‫דוגמאות‬
‫‪ϕ(c) .1‬‬
‫)‪ ∃x ϕ(x‬כש־‪ c‬סימן קבוע חדש‬
‫‪∀x ϕ(x, f (x)) .2‬‬
‫)‪∀x∃y ϕ(x, y‬‬
‫‪.3‬‬
‫) ‪∀x1 ∃y1 ∀x2 ∃y2 ϕ(x1 , x2 , y1 , y2‬‬
‫) ‪∀x1 ∀x2 ∃y2 ϕ(x1 , x2 , f1 (x1 ), y2‬‬
‫)) ‪∀x1 ∀x2 ϕ(x1 , x2 , f1 (x1 ), f2 (x1 , x2‬‬
‫הערה ‪ 3.4‬האם ‪ ϕ‬שקולה ל־‪ ?ψ‬לאו דווקא‪ ,‬בהרבה מקרים הן אפילו לא מוגדרות מעל אותו מילון!‬
‫הערה ‪ 3.5‬האם הטרנספורמציה שומרת על תקפות? לאו דווקא‪ .‬ניקח‬
‫)‪ϕ = ∀x∃y (R(x) ∨ ¬R(y)) ≡ ∀x R(x) ∨ ∃y ¬R(y) ≡ ∀x R(x) ∨ ¬∀y R(y‬‬
‫ו־‬
‫)))‪ψ = ∀x (R(x) ∨ ¬R(f (x‬‬
‫הערה ‪ 3.6‬המילה המעניינת והחשובה במשפט היא אלגוריתם‪ .‬בלעדיה הטענה טריוויאלית‪.‬‬
‫חזרה לשאלת הספיקות‪ .‬דבר על פסוקים ללא משתנים וללא כמתים‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪R(a, f (a)) ∧ ¬R(b, c) .1‬‬
‫‪ ¬R(a, f (a)) ∧ ¬R(f (b), c) .2‬ספיק )למשל ∅ = ‪(R‬‬
‫‪ .3‬א∧ב‬
‫נראה כעת תרגום של נוסחה חסרת משתנים )וכמתים( לתחשיב הפסוקים באופן ששומר ספיקות ‪ /‬תקפות‪.‬‬
‫כיוון שעצמת קבוצת הנוסחאות האטומיות בת מניה‪ ,‬ניתן להתאים לכל נוסחה אטומית מעל ‪ σ‬פסוק אטומי‬
‫‪ Pi‬בתחשיב הפסוקים‪.‬‬
‫למשל ‪σ = ha, b, c, f, Ri‬‬
‫‪R(a, a), R(a, b), ...‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪P1‬‬
‫‪P2‬‬
‫‪R(a, f (a)), R(b, f (a)), ...‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪P3‬‬
‫‪P4‬‬
‫)‪R(a, f (a)) ∧ ¬R(b, c‬‬
‫)‪ R(b, c‬אזי ‪P1 ∧ ¬P2‬‬
‫))‪ R(a, f (a‬ו־ ‪P2‬‬
‫למשל אם ‪P1‬‬
‫אם ‪ ϕ‬נוסחה חסרת משתנים וכמתים‪ ,‬נסמן ב־̂‪ ϕ‬את הנוסחה שהתאמנו לה בתחשיב הפסוקים‪) .‬מגדירים‬
‫באינדוקציה כמו שצריך(‪.‬‬
‫טענה ‪3.7‬‬
‫‪ ϕ .1‬ספיקה אם ורק אם ̂‪ ϕ‬ספיקה‪.‬‬
‫‪ ϕ .2‬תקפה אם ורק אם ̂‪ ϕ‬תקפה‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.1‬‬
‫בדיקת ספיקות‬
‫תכונות של מבנה הרברנד‬
‫הוכחה‪ :‬נראה את ‪ :⇐ .1‬יהי ‪ M‬מבנה המספק את ‪ .ϕ‬נגדיר השמה בתחשיב הפסוקים‪ .w ,‬אם לפסוק האטומי‬
‫‪ Pi‬התאמנו נוסחה אטומית ‪ α‬אזי ‪ w(Pi ) = t‬אם ורק אם ‪ .M α‬אם ל־ ‪ Pi‬לא הותאם ‪ α‬נגדיר ‪.w(Pi ) = f‬‬
‫כעת‪ ,‬ניתן להוכיח )למשל באינדוקצית מבנה( כי ‪ .w̄(ϕ̂) = t‬נניח כי }‪ {Pi | i ∈ I‬אלו הפסוקים האטומיים‬
‫שהותאמו לנוסחאות אטומיות‪ .‬נסמן ב־ ‪ T‬את קבוצת כל הנוסחאות מעל ‪ Pi‬הנ"ל שערך האמת שלהם זהה לערך‬
‫האמת של הנוסחה המתאימה בתחשיב היחסים‪ .‬באינדוקציה אפשר להראות שכל הנוסחה ב־}‪ {Pi | i ∈ I‬גם‬
‫ב־ ‪.T‬‬
‫⇒‪ :‬נניח ̂‪ ϕ‬ספיקה ונראה כי ‪ ϕ‬ספיקה‪ .‬תהי ‪ w‬השמה המספקת את ̂‪ϕ‬ו־‪ .w̄(ϕ̂) = t‬נגדיר מבנה ‪ M‬באופן‬
‫הבא‪) DM = T erm :‬קבוצת שמות העצם מעל המילון שלנו(‬
‫‪M‬‬
‫עבור קבוע ‪ c ∈ σ‬נפרש ‪ .cM = c‬איך נגדיר את ‪ ,f M‬יהי ‪ s1 , ..., sn ∈ D‬ונגדיר‬
‫) ‪f M (s1 , ..., sn ) = f (s1 , ..., sn‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪∈T erm=D M‬‬
‫אינטואיטיבית‪ w :‬אומרת אילו נוסחאות אטומיות צריכות להתקיים במבנה ‪ M‬אותו אנו מחפשים‪.‬‬
‫נותר לפרש יחסים‪ .‬יהי ‪ .R ∈ σ‬נגדיר את ‪ .RM‬נגדיר ‪ (s1 , ..., sn ) ∈ RM‬אם ורק אם‪ :‬יהי ‪ Pi‬הפסוק האטומי‬
‫)תחשיב פסוקים( המתאים לנוסחה האטומית ) ‪ .R(s1 , .., sn‬אזי ‪ (s1 , ..., sn ) ∈ RM‬אם ורק אם ‪ w(Pi ) = t‬וכעת‬
‫ניתן להוכיח באינדוקצית מבנה כי ‪.M ϕ‬‬
‫דוגמה‪ .¬R(a, f (a)) ∧ ¬R(f (b), c) :‬סימני קבוע‪ ,a, b, c :‬סימן פונקציה‪ ,f (·) :‬יחס דו מקומי‪.R(·, ·) :‬‬
‫‪P1‬‬
‫))‪R(a, f (a‬‬
‫‪P2‬‬
‫)‪R(f (b), c‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫אז ‪.w(P1 ) = f, w(P2 ) = f .ϕ̂ = ¬P1 ∧ ¬P2‬‬
‫ניקח ‪ =T erm = DM :M‬כל שמות העצם‪ .f M (a) = f (a) ,aM = a ,f M (b) = f (b) ,cM = c .‬אז‬
‫∈ ))‪(a, f (a‬‬
‫‪/ RM‬‬
‫‪P1 , w(P1 ) = f‬‬
‫))‪R(a, f (a‬‬
‫∈ )‪ (f (b), c‬וכו'‪.‬‬
‫ו־ ‪/ RM‬‬
‫‪Herbrand‬‬
‫הגדרה ‪ 3.8‬מבנה הרברנד‬
‫‪ M‬הוא מבנה הרברנד מעל מילון ‪ σ‬אם‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ a ∈ DM‬יש שם עצם ‪ s‬ללא משתנים כך ש־‪sM = a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪sM‬‬
‫‪ .2‬לכל שני שמות עצם שונים ) ‪1 6= s2 ,(s1 6= s2‬‬
‫במבנה הרברנד איברים מהתחום מתאימים לשמות עצם באופן חח"ע ועל‪.‬‬
‫דוגמה ‪ M .M = hN, 0, +1i ,σ = hc0 , succi‬הוא מבנה הרברנד עבור ‪ succ) .σ‬היא פונקציה חד מקומית(‬
‫הרצאה‬
‫‪17.5.15‬‬
‫‪10‬‬
‫־‬
‫דוגמה‪pred(succ(c0 )) = 0 + 1 − 1 = 0 .M = hN, 0, +1, −1i ,σ = hc0 , succ, predi :‬‬
‫טענה ‪ 3.9‬אם במילון ‪ σ‬יש סימן קבוע‪ ,‬אז קיים מבנה הרברנד ל־‪.σ‬‬
‫‪3.1‬‬
‫תכונות של מבנה הרברנד‬
‫יהי ‪ σ‬מילון‪ H ,‬מבנה הרברנד עבורו‪.‬‬
‫‪ .1‬יש שם עצם ‪ r‬מעל משתנים ‪ .x1 , ..., xn‬נניח כי‪:‬‬
‫‪d1 ⇔ s1‬‬
‫=‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪v(x1‬‬
‫‪dn ⇔ sn‬‬
‫=‬
‫) ‪v(xn‬‬
‫אז לכל השמה ‪ v‬מתקיים‬
‫‪M‬‬
‫] ‪v̄(r) = r [s1/x1 , ..., sn/xn‬‬
‫) ‪ si‬הם שמות העצם המתאימים ל־) ‪(v(xi‬‬
‫‪37‬‬
‫‪3.1‬‬
‫‪3‬‬
‫תכונות של מבנה הרברנד‬
‫בדיקת ספיקות‬
‫‪ ϕ .2‬נוסחה‪ .F V (ϕ) = {x1 , ..., xn } ,‬אז ‪ H, v ϕ‬אם ורק אם‬
‫] ‪H ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn‬‬
‫כש־‬
‫‪d1 ⇔ s1‬‬
‫=‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪v(x1‬‬
‫‪dn ⇔ sn‬‬
‫=‬
‫) ‪v(xn‬‬
‫‪ ∃x ϕ(x) .3‬נכון ב־‪ H‬אם ורק אם יש שם עצם ‪ r‬כך ש־]‪ ϕ [r/x‬נכון ב־‪.H‬‬
‫‪ ∀x ϕ(x) .4‬נכון ב־‪ H‬אם ורק אם לכל שם עצם ‪ ϕ [r/x] ,r‬נכון ב־‪.H‬‬
‫תזכורת בהינתן השמה ‪ ,v‬שם עצם ‪ s‬ומשתנה ‪ x‬הגדרנו‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫]‪v = v [v̄(s)/x‬‬
‫והוכחנו ש־‬
‫)‪v̄ (r [s/x]) = v¯0 (r‬‬
‫וכנ"ל לנוסחאות‪ .‬הוכחה‪ :‬תרגיל‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.10‬משפט הרברנד‬
‫יהי ‪ σ‬מילון ללא סימן =‪ .‬פסוק אוניברסלי ‪ ϕ‬מעל ‪ σ‬ספיק אם ורק אם הוא ספיק במבנה הרברנד‪.‬‬
‫הגדרה ‪ (Ground Instance) 3.11‬יהי ) ‪ α = ∀x1 ...∀xn ϕ(x1 , ..., xn‬פסוק אוניברסלי‪ .‬נוסחה המתקבלת על ידי‬
‫הצבת שמות עצם סגורים למשתנים ‪ x1 , ..., xn‬נקראת ‪ ground instance‬של ‪.α‬‬
‫‬
‫‬
‫‪GrIns(α) = ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn ] | s1 , ..., sn ∈ T erm‬‬
‫כש־‪ T erm‬־ קבוצת שמות העצם הסגורים‪.‬‬
‫משפט ‪ σ 3.12‬מילון ללא =‪ Γ .‬קבוצת פסוקים אוניברסלית מעל ‪ .σ‬הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ Γ .1‬ספיקה‬
‫‪ Γ .2‬ספיקה במבנה הרברנד‬
‫‪ GrIns(Γ) .3‬ספיקה‬
‫)‪GrIns(ϕ‬‬
‫[‬
‫= )‪GrIns(Γ‬‬
‫‪ϕ∈Γ‬‬
‫‪ GrIns(Γ) .4‬ספיקה במבנה הרברנד‬
‫הוכחה‪ 4⇔1 :‬לפי תכונה ‪ 4‬של מבנה הרברנד‪ 1⇐2 .‬ו־‪ 3⇐4‬מיידי לפי הגדרה‪ 3⇐1 .‬פשוט‪.‬‬
‫נשאר להראות את ‪.4⇐3‬‬
‫טענה ‪) 3.13‬נניח שב־‪ σ‬אין שוויון( אם ‪ Λ‬קבוצת פסוקים ללא משתנים וללא כמתים‪ ,‬אז ‪ Λ‬ספיקה אם ורק אם‬
‫היא ספיקה במבנה הרברנד‪.‬‬
‫הוכחה‪ :⇒ :‬ברור‪.‬‬
‫⇐‪ :‬יהי ‪ M‬מבנה ל־‪ .Λ‬נגדיר ‪ H‬כמו בשבוע שעבר‪:‬‬
‫‪DH = T erm‬‬
‫פירוש פונקציות וקבועים באופן הטבעי‪ .‬נותר לפרש סימני יחס‪ .‬עבור ‪R ∈ σ‬‬
‫‬
‫‪H‬‬
‫‪H‬‬
‫‪M‬‬
‫‪tH‬‬
‫‪=t‬‬
‫) ‪1 , ..., tn ∈ R ⇔ R(t1 , ..., tn‬‬
‫מכאן נובע )באינדוקציה( שלכל נוסחה ללא משתנים וללא כמתים ‪.ϕM = ϕH ,ϕ‬‬
‫טענה זו מוכיחה מיידית את ‪ .4⇐3‬המשפט שהוכחנו עכשיו הוא הכללה של משפט הרברנד‪ ,‬ולכן בפרט הוכחנו את‬
‫משפט הרברנד‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫בדיקת תקפות‬
‫‪4‬‬
‫בדיקת תקפות‬
‫‪4‬‬
‫בהינתן פסוק ‪ ϕ‬נראה תהליך שעוצר אם ‪ ϕ‬תקף )ואומר ‪ ϕ‬תקף(‪ ,‬אחרת עשוי לרוץ לעד‪.‬‬
‫‪ ϕ‬תקף ⇔ ‪ ¬ϕ‬לא ספיק‪.‬‬
‫נעביר את ‪ ¬ϕ‬לצורה אוניברסלית )סקולמיזציה(‪ .‬נקבל פסוק אוניברסלי ‪ .ψ‬לפי המשפט שראינו‪ ψ ,‬אינו ספיק‬
‫אם ורק אם )‪ GrIns(ψ‬אינה ספיקה במבנה הרברנד‪.‬‬
‫בשבוע שעבר ראינו דרך לתרגם נוסחאות ללא משתנים וללא כמתים לתחשיב הפסוקים באופן משמר ספיקות‪.‬‬
‫נקרא לקבוצה ‪.Γ‬‬
‫לפי משפט הקומפקטיות בתחשיב הפסוקים‪ Γ ,‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה‪.‬‬
‫הפרוצדורה תעבור על כל תתי הקבוצות הסופיות עד שתמצא אחת שאינה ספיקה ואז תכריז ש־‪ ϕ‬תקף‪.‬‬
‫משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים‬
‫‪4.1‬‬
‫משפט ‪ 4.1‬משפט הקומפקטיות עבור נוסחאות מעל מילון ללא =‪:‬‬
‫‪ Γ .1‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ Γ ϕ .2‬אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ‪ ,∆ ⊆ Γ‬כך ש־‪.∆ ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ Γ ϕ .3‬אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ‪ ,∆ ⊆ Γ‬כך ש־‪.∆ ϕ‬‬
‫הוכחה‪ :1 :‬נוכיח תחילה למקרה ש־‪ Γ‬ללא משתנים וללא כמתים‪ .‬נניח שכל תת קבוצה סופית של ‪ Γ‬ספיקה‪ .‬ראינו‬
‫דרך לתרגם פסוק ‪ ϕ‬לפסוק ̂‪ ϕ‬בתחשיב הפסוקים‪ ,‬באופן המשמר ספיקות‪:‬‬
‫}‪Γ 7→ Γ̂ = {ϕ̂ | ϕ ∈ Γ‬‬
‫̂‪ Γ‬ספיקה אם ורק אם ‪ Γ‬ספיקה‪.‬‬
‫̂‪ Γ‬אם ורק אם כל תת קבוצה סופית ̂‪ˆ ⊆ Γ‬‬
‫∆ ספיקה‪.‬‬
‫̂‪ˆ ⊆ Γ‬‬
‫∆ ספיקה אם ורק אם ‪ ∆ ⊆ Γ‬ספיקה‪.‬‬
‫ˆ‬
‫כיוון שהוכחנו שכל תת קבוצה סופית של ‪ Γ‬ספיקה‪ ,‬כל ̂‪ ∆ ⊆ Γ‬ספיקה‪.‬‬
‫כעת נעבור למקרה של ‪ Γ‬כללית של פסוקים‪.‬‬
‫• ‪ Γ‬ספיקה אם ורק אם ‪ Γskolem‬המתקבלת מ־‪ Γ‬אחרי תהליך סקולם )לכל פסוק ב־‪ ,(Γ‬ספיקה‪.‬‬
‫• ‪ Γskolem‬קבוצת פסוקים אוניברסלית והוא ספיקה אם ורק אם ) ‪ GrIns(Γskolem‬ספיקה‪.‬‬
‫• ) ‪ GrIns(Γskolem‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה‪.‬‬
‫נראה כעת שאם כל תת קבוצה סופית של ‪ Γ‬ספיקה אזי גם כל תת קבוצה סופית של ) ‪ GrIns(Γskolem‬ספיקה‪.‬‬
‫תהא ) ‪ ∆ ⊆ GrIns(Γskolem‬סופית ונראה שהיא ספיקה‪ .‬יש ‪ Σ ⊆ Γskolem‬סופית כך ש־)‪.∆ ⊆ GrIns(Σ‬‬
‫יש ‪ Λ ⊆ Γ‬סופית כך ש־ ‪ Λ ;Σ = Λskolem‬ספיקה ולכן ‪ Σ‬ספיקה‪.‬‬
‫לפי משפט הרברנד )‪ GrIns(Σ‬ספיקה‪ ,‬וכיוון ש־)‪ ∆ ⊆ GrIns(Σ‬נקבל ש־∆ ספיקה‪.‬‬
‫כעת עבור ‪ Γ‬כללית של נוסחאות‪:‬‬
‫נרצה לתרגם קבוצת נוסחאות לקבוצת פסוקים באופן ששומר ספיקות‪ .‬נציג מספר בן מניה של קבועים חדשים‬
‫וכל מופע חופשי של ‪ xi‬נחליף ב־ ‪ .ci‬ברור שהתהליך שומר ספיקות‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫הוכחה‪ :⇒ :2 :‬ברור‪ :⇐ .‬נניח ‪ .Γ ϕ‬אזי }‪ Γ ∪ {¬ϕ‬לא ספיקה‪ .‬לפי סעיף א' יש תת קבוצה סופית‬
‫‪t‬‬
‫}‪ ∆ ∪ {¬ϕ‬שאינה ספיקה‪ .‬כלומר ‪.∆ ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫הוכחה‪ :⇒ :2 :3 :‬ברור‪ :⇐ .‬נניח ‪) ⇔ Γ ϕ‬ראינו בעבר( ∀‪ Γ∀ ) ⇔ Γ∀ ϕ‬פסוקים( ∀‪) ⇔ Γ∀ ϕ‬סעיף ב'(‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫∀‪) ⇔ ∆∀ ϕ‬ראינו בעבר( ‪. ∆ ϕ‬‬
‫הרצאה‬
‫‪31.5.15‬‬
‫‪11‬‬
‫־‬
‫‪4.1.1‬‬
‫דוגמה לשימוש במשפט הקומפקטיות‬
‫‪ E ;σ = hE(·, ·)i‬יחס דו מקומי‪ .‬נשים לב שמבנה הוא פשוט גרף‪ V = DM .‬ומופיעה קשת )‪ (i, j‬אם ורק אם‬
‫)‪.E(i, j‬‬
‫טענה ‪ 4.2‬לא ניתן בלוגיקה מסדר ראשון להגדיר את אוסף הגרפים הקשירים‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫‪4.2‬‬
‫לוגיקה מסדר ראשון עם סימן =‬
‫‪4‬‬
‫בדיקת תקפות‬
‫טענה ‪ 4.3‬לא קיימת נוסחה )‪ ϕ(x, y‬מעל ‪ σ‬המסתפקת אם יש מסלול בין ‪ x‬ל־‪.y‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שיש ‪ ϕ‬כנ"ל‪ .‬תהי ‪ ψk‬נוסחה האומרת שאין מסלול באורך ‪ k‬בין ‪ x‬ל־‪.y‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫)‪¬E (x, y‬‬
‫=‬
‫‪ψ1‬‬
‫))‪¬∃z (E(x, z) ∧ E(z, y‬‬
‫=‬
‫‪ψ2‬‬
‫נראה כי‬
‫}‪Γ = {ϕ} ∪ {ψ | k = 0, 1, ...‬‬
‫ספיקה ומכאן נקבל סתירה כי מבנה המספק את ‪ ϕ‬מכיל מסלול בין ‪ x‬ל־‪ ,y‬מאיד לפי }‪ {ψ | k = 0, 1, ...‬המסלול‬
‫אינו סופי‪ ,‬בסתירה‪.‬‬
‫לפי משפט הקומפקטיות‪ Γ ,‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית ספיקה‪ .‬תהי ‪ Γ0 ⊂ Γ‬סופית‪.‬‬
‫בה"כ‪,‬‬
‫} ‪Γ0 ⊂ {ϕ} ∪ {ψ1 , .., ψn‬‬
‫ניקח מבנה שייצג גרף שרשרת באורך מעל ‪ ,n‬ואז בין שני הקצוות לא קיים מסלול באורכים ‪ 1, ..., n‬אבל קיים‬
‫מסלול כלשהו‪ .‬זוהי השמה שמספקת את } ‪ ,{ϕ} ∪ {ψ1 , .., ψn‬לכן גם את ‪ Γ0‬ולכן ‪ Γ‬ספיקה‪.‬‬
‫בש"ב‪ ∃x ϕ :‬תקף אם ורק אם לאיזשהו ‪ n‬יש ‪ t1 , ..., tn‬שמות עצם סגורים כך ש־‬
‫]‪ϕ [t1/x] ∨ ... ∨ ϕ [tn/x‬‬
‫תקף‪ .‬תרגיל זה משתמש במשפט הקומפקטיות‪.‬‬
‫משפט ‪" 4.4‬היורד" )‪ LöwenheimSkolem‬־ ‪(Downward‬‬
‫‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ ϕ‬ספיקה במבנה סופי או בן מניה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מיידי ממשפט הרברנד‪.‬‬
‫משפט ‪" 4.5‬העולה" )‪ LöwenheimSkolem‬־ ֹ‪(Upward‬‬
‫אם ‪ ϕ‬ספיקה במבנה אינסופי‪ ,‬אז לכל עוצמה אינסופית ‪ λ‬יש מבנה מעוצמה ‪ λ‬המספק את ‪.ϕ‬‬
‫הוכחה‪ :‬רעיון ההוכחה )אינטואיציה(‪ :‬נגדיר מספר קבועים בעוצמה ‪ ,λ‬וזה יכריח את המבנה שלנו להיות גדול‪ .‬ואז‬
‫משתמשים במשפט הקומפקטיות‪...‬‬
‫‪4.2‬‬
‫לוגיקה מסדר ראשון עם סימן =‬
‫‪σ = hc0 , c1 , ..., f1 , ..., R1 , ...i‬‬
‫↔ ‪(, ), ∃, ∀, →, ¬, ∧, ∨,‬‬
‫סימן נוסף‪= :‬‬
‫יש הרבה ספרים בהם סימן = הוא חלק מהשפה ־ נמצא בכל מילון ותמיד מפורש כשיוויון‪ .‬בפרט כשיש שוויון‪,‬‬
‫גם ) ‪ (t1 = t2‬פסוק אטומי‪.‬‬
‫רעיון לטיפול ב־=‪ :‬להגדיר מבנה בו האיברים הם מחלקות שקילות של שמות עצם סגורים בהתאם למבנה ‪,M‬‬
‫כך ש־) ‪ (t1 ∼ t2‬אם ‪.(t1 = t2 )M = t‬‬
‫משפט ‪ 4.6‬קיים אלגוריתם שעבור נוסחה ‪ ϕ‬בונה נוסחה ‪ ψ‬ללא שיוויון כך ש־‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ ψ‬ספיקה‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.2‬‬
‫בדיקת תקפות‬
‫לוגיקה מסדר ראשון עם סימן =‬
‫תכונות השוויון‪:‬‬
‫• שוויון הוא יחס שקילות‬
‫• שוויון הוא יחס קונגרואציה )‪ :(Congruent‬כלומר נשמר תחת כל נוסחה; למשל אם ‪ R‬הוא יחס דו מקומי‬
‫אז‬
‫‪x1 = x2‬‬
‫) ‪⇒ R(x1 , y1 ) ↔ R(x2 , y2‬‬
‫‪y1 = y2‬‬
‫אסטרטגיה‪ :‬נגדיר יחס חדש ‪ E‬שיהיה יחס שקילות ויחס קונגרואציה )ניתן אוסף נוסחאות שמסתפק רק ל־‪E‬‬
‫כנ"ל(‪.‬‬
‫אחרי כן‪ ,‬נחליף כל פסוק אטומי מהצורה )‪ (x = y‬ב־)‪ .E(x, y‬לבסוף נראה שהנוסחה שמתקבלת ספיקה אם‬
‫ורק אם הנוסחה המקורית ספיקה‪.‬‬
‫נרצה שלא יהיו סימני פונקציה כדי שיהיה נוח לעבוד‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.7‬יש אלגוריתם שבהינתן נוסחה ‪ ϕ‬בונה נוסחה ‪ ϕ0‬ללא סימני פונקציה כך ש־‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ϕ0‬‬
‫ספיקה‪.‬‬
‫רעיון‪ :‬פונקציה היא בעצם יחס‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪n f‬־מקומית אפשר להגדיר יחס ‪ n + 1‬מקומי מתאים‬
‫)‪f (x1 , .., .xn ) = y ⇐⇒ Rf (x1 , ..., xn , y‬‬
‫רעיון האלגוריתם‪ :‬נניח שיש לנו "הרבה" סימני קבוע חדשים‪ .‬כל פעם שיש מופע ) ‪ f (t1 , ..., tn‬בתוך יחס ‪.R‬‬
‫‪12‬‬
‫נחליף את ) ‪ f (t1 , ..., tn‬במשתנה חדש ‪ y‬ונוסיף )‪.∧ (f (t1 , ..., tn ) = y‬‬
‫הגדרה ‪ 4.8‬יחס ‪ E‬נקרא יחס קונגרואנציה אם‪:‬‬
‫‪ E .1‬יחס שקילות‪:‬‬
‫))‪Equivalence(E) : (∀x E(x, x))∧(∀x, y E(x, y) → E(y, x))∧∀x, y, z (E(x, y) ∧ E(y, z) → E(x, z‬‬
‫‪ .2‬לכל יחס ‪ R‬מתקיימת הנוסחה )‪ ;Cong(E, R‬אם ‪ R‬יחס ‪k‬־מקומי אז‬
‫))) ‪Cong(E, R) : ∀x1 , ..., xk ∀y1 , ..., yk (E(x1 , y1 ) ∧ ... ∧ E(xk , yk ) ∧ (R(x1 , ..., xk ) → R(y1 , ..., yk‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחת המשפט ־ סילוק =‪:‬‬
‫אלגוריתם‪ :‬בהינתן ‪ ϕ‬נחליף כל מופע של פסוק אטומי )‪ (x = y‬ב־)‪) E(x, y‬ובאופן כללי ) ‪ (t1 = t2‬ב־‬
‫) ‪ .(E(t1 , t2‬נניח שקיבלנו נוסחה ‪.ϕ0‬‬
‫בשלב שני נגדיר‬
‫^‬
‫)‪ψ = ϕ0 ∧ Equivalence(E) ∧ Cong(E, R‬‬
‫‪R‬‬
‫נטען ש־‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ ψ‬ספיקה‪.‬‬
‫⇐‪ :‬נניח ‪ ϕ‬מסתפקת במבנה ‪ .M‬נפרש ב־ ‪ M‬את ‪ E‬כיחס שוויון )נקבל מבנה ̂‪ .(M‬קל לוודא כי ‪ ϕ‬מסתפקת‬
‫ב־ ̂‪.M‬‬
‫⇒‪ :‬נניח שיש מבנה ̂‪ M‬בו ‪ ψ‬מסתפקת‪ .‬נגדיר מבנה חדש עבור ‪.ϕ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫̂‪DM = [a] | a ∈ DM‬‬
‫אלה הן מחלקות השקילות של ‪ E‬ב־ ̂‪.DM‬‬
‫‪h‬‬
‫‪i‬‬
‫) ‪= f M̂ (a1 , ..., an‬‬
‫‪12‬הבהרה במודל‬
‫‪41‬‬
‫‪M‬‬
‫)] ‪f ([a1 ], ..., [an‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.3‬‬
‫בדיקת תקפות‬
‫בעיית התקפות אינה כריעה‬
‫ונאמר כי‬
‫̂‪([a1 ], ..., [an ]) ∈ RM ⇐⇒ (a1 , ..., an ) ∈ RM‬‬
‫עבור בחירה כלשהי של נציגים‪.‬‬
‫כיוון ש־‪ E‬יחס קונגרואנציה ההגדרה טובה‪.‬‬
‫לכל השמה ̂‪ v‬ב־ ̂‪ DM‬נגדיר השמה ‪ v‬ב־ ‪ DM‬ע"י‬
‫])‪v(x) = [v̂(x‬‬
‫ולהפך‪ ,‬לכל השמה ‪ v‬מעל ‪ DM‬נגדיר ̂‪ v‬שתקים )‪v̂(x) ∈ v(x‬‬
‫כעת נטען שלכל נוסחה ‪ α‬מתקיים שאם ̂‪ α‬זה התרגום של ‪ α‬ללא שוויון‪ ,‬אז ‪ M, v α‬אם ורק אם ̂‪.M̂ , v̂ α‬‬
‫נוכיח באינדוקצית מבנה‪ :‬בסיס‪ :‬עבור נוסחה מהצורה )‪α = (x = y‬‬
‫)‪α̂ = Equivalence(E) ∧ E(x, y‬‬
‫אז̂‪ M̂ , v̂ α‬אם ורק אם ̂‪ (v̂(x), v̂(y)) ∈ E M‬אם ורק אם ])‪ [v̂(x)] = [v̂(y‬אם ורק אם )‪.M, v (x = y‬‬
‫ונוסחה מהצורה‪α = R(x1 , ..., xn ) :‬‬
‫)) ‪α̂ = (Cong(E, R) ∧ Equivalence(E) ∧ R(x1 , .., xn‬‬
‫הנוסחה )‪ Cong(E, R‬אומרת שהגדרת ‪ RM‬טובה וקונסיסטנטית‪.‬‬
‫מעבר האינדוקציה‪:‬‬
‫• קשרים‪ :‬סטנדרטי לגמרי‪.‬‬
‫• כמתים‪ :‬נניח ‪ .α = ∀x β‬אז ‪ M, v α‬אם ורק אם לכל ]‪[a‬‬
‫‪M, v [[a]/x] β‬‬
‫אם ורק אם‬
‫̂‪M̂ , v̂ [a/x] β‬‬
‫אם ורק אם ̂‪.M̂ , v̂ ∀x β‬‬
‫מסקנה ‪ 4.9‬משפט הקומפקטיות למילון עם שוויון‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.10‬לא קיים אלגוריתם לבעיית התקפות )משפט ‪) (Church‬מאידך‪ ,‬ראינו פרוצדורה שאומרת "כן"‬
‫לנוסחאות תקפות‪ ,‬ולא ועצרת כשהנוסחה אינה תקפה(‪.‬‬
‫‪4.3‬‬
‫בעיית התקפות אינה כריעה‬
‫הגדרה ‪ 4.11‬בעיית העצירה‪ :‬בהינתן מכונת טיורינג‪ ,‬צריך להכריע האם המכונה עוצרת על הקלט הריק‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.12‬לא קיים אלגוריתם לבעיית העצירה ]מודלים חישוביים[‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.13‬בעיית הריצוף‪ :‬קלט‪" :‬לבנים" ‪ 1 × 1‬עם צדדים צבועים )מספר סופי של סוגי לבנים(‪.‬‬
‫מטרה‪ :‬לרצף את הרביע הראשון; צלעות משיקות צבועות באותו הצבע‪.‬‬
‫השאלה ־ האם קיים ריצוף כזה?‬
‫משפט ‪ 4.14‬אין אלגוריתם לבעיית הריצוף )ע"י רדוקציה לבעיית העצירה(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחת משפט ‪) Church‬ע"י רדוקציה לבעיית הריצוף(‪:‬‬
‫בהינתן קלט לבעיית הריצוף‪ ,T1 , T2 , ..., Tk :‬נגדיר מילון ‪:σ‬‬
‫‪σ = hc, Succ, R1 (·, ·), ...., Rk (·, ·)i‬‬
‫‪" Ri‬יקודד" את המקומות בהם ריצפנו ב־ ‪.Ti‬‬
‫‪42‬‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫‪5‬‬
‫‪.1‬‬
‫)‪Ri (x, y‬‬
‫‪k‬‬
‫_‬
‫‪∀x, y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪i 6= j‬‬
‫)‪∀x, y Ri (x, y) → ¬Rj (x, y‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪ Ti‬נגדיר ‪:T opi ,Righti‬‬
‫} ‪{j | Tj can be placed above Ti‬‬
‫=‬
‫‪T opi‬‬
‫} ‪{j | Tj can be placed to the right of Ti‬‬
‫=‬
‫‪Righti‬‬
‫‪ .4‬אז לכל ‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Rj (Succ(u), v)‬‬
‫_‬
‫∧ ))‪Rj (u, Succ(v‬‬
‫_‬
‫‪∀u, v Ri (u, v) → ‬‬
‫‪j∈T opi‬‬
‫‪j∈Righti‬‬
‫נגדיר את ‪ ϕ‬להיות ה־∧ של כל הנוסחאות הנ"ל‪ .‬נשים לב‪ ϕ :‬שקולה לפסוק אוניברסלי‪.‬‬
‫נטען ש־‪ ϕ‬ספיק אם ורק אם יש ריצוף‪.‬‬
‫אם יש ריצוף‪:‬‬
‫
‬
‫‬
‫‪M = N, 0, +1, .., RiM , ..‬‬
‫כש־ ‪ RiM‬כל המקומות בהם ריצפנו ב־ ‪ ;Ti‬קל לוודא ש־‪ ϕ‬מסתפקת‪.‬‬
‫אם ‪ ϕ‬ספיקה‪ :‬לפי משפט הרברנד היא מסתפקת במבנה הרברנד‪ .‬מבנה הרברנד כשיש קבוע ופונקציה חד‬
‫מקומית יחידה הוא ‪ ,N‬וניתן לראות שהמבנה מגדיר ריצוף‪.‬‬
‫‪4.3.1‬‬
‫מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות‬
‫מילון ‪ σ‬יקרא מונאדי אם במילון יש רק יחסים חד מקומיים )בלי פונקציות ובלי שוויון(‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.15‬משפט המבנה הקטן‬
‫אם נוסחה ‪ ϕ‬המוגדרת מעל מילון מונאדי ספיקה‪ ,‬אז היא ספיקה במבנה סופי )אם יש בה ‪ k‬יחסים היא ספיקה‬
‫במבנה בגודל ‪ k ,2k‬יכול להיות עצמה אינסופית(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח ‪ σ = hP1 , .., Pk i‬יחסים חד מקומיים‪.‬‬
‫נניח ‪ M‬מבנה בו ‪ ϕ‬מסתפקת‪ .‬נגדיר יחס שקילות על ‪:M‬‬
‫‪13‬‬
‫) ‪a ∼ b ⇐⇒ (∀Pi a ∈ Pi ⇔ b ∈ Pi‬‬
‫יש לכל היותר ‪ 2k‬מחלקות שקילות ונגדיר מבנה חדש ̂‪ M‬שאיבריו הם מחלקות השקילות הנ"ל ונפרש את ‪ Pi‬באופן‬
‫הטבעי‪.‬‬
‫̂‪ [a] ∈ PiM‬אם ורק אם ‪ ;a ∈ PiM‬ומוכיחים באינדוקצית מבנה ש־‪ ϕ‬מסתפקת ב־ ̂‪.M‬‬
‫‪43‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫הרצאה‬
‫‪7.6.15‬‬
‫‪12‬‬
‫־‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫תזכורת )תחשיב הפסוקים(‪ 3 :‬אקסיומות‪ ,‬כלל היסק‬
‫הגדרה ‪ 5.1‬אקסיומות למערכת הוכחה‬
‫‪α,α→β‬‬
‫‪β‬‬
‫= ‪.M P‬‬
‫‪14‬‬
‫‪α → (β → α) :A1‬‬
‫‪(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2‬‬
‫‪(¬β → ¬α) → (α → β) :A3‬‬
‫‪ ∀x α(x) → α [t/x] :A4‬לכל שם עצם ‪ t‬החופשי להצבה ב־‪ x‬ב־‪α‬‬
‫‪ ∀x (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀x ψ) :A5‬כאשר ‪ x‬אינו חופשי ב־‪ϕ‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫• ‪∀x (ϕ ∨ ψ) → ϕ ∨ ∀x ψ‬כאשר ‪ x‬אינו חופשי ב־‪ϕ‬‬
‫• )‪∀x (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀x ψ‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2‬כללי היסק‬
‫•‬
‫‪(α → β) , α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪:‬‬
‫‪MP‬‬
‫•‬
‫)‪ϕ(x‬‬
‫)‪∀x ϕ(x‬‬
‫‪Gen :‬‬
‫הערה ‪5.3‬‬
‫• לא נבדיל בין נוסחאות שהתקבלו משינוי שם משתנה‬
‫• נאמר כי ‪ Γ ` α‬אם ‪ α‬יכיח במערכת ההוכחה הנ"ל‪ ,‬מקבוצת נוסחאות ‪.Γ‬‬
‫‪HC‬‬
‫• ‪ HC‬היא מערכת הוכחה מעל }∀ ‪{¬, →,‬‬
‫• לא מטפלים בשוויון; לא ניתן להוכיח במערכת ההוכחה הזאת ‪ .x = x‬אם רוצים לטפל בשוויון מוסיפים‬
‫אקסיומות שמבטאות את העובדה ש־= הוא יחס שקילות וקונגרואנציה‪.‬‬
‫‪5.1‬‬
‫משפטי השלמות והנאותות‬
‫משפט ‪ 5.4‬הנאותות‬
‫‪v‬‬
‫אם ` ‪ Γ‬אז ‪Γ α‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט ‪ 5.5‬השלמות‬
‫‪v‬‬
‫אם ‪ Γ α‬אז ‪Γ ` α‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט ‪ 5.6‬ניסוח שקול למשפט השלמות‬
‫אם ‪ Γ‬עקבית )יש פסוק שלא יכיח מ־‪ (Γ‬אז יש מבנה בו היא נכונה‪.‬‬
‫‪13‬שימו לב זו הגדרה ולא נוסחה במילון‬
‫‪14‬תזכורת‪ :‬זו סכמה לאקסיומות; כלומר האקסיומות הן כל ההצבות האפשריות של נוסחאות במקומות המתאימים‬
‫‪44‬‬
‫‪5.2‬‬
‫‪5‬‬
‫משפט הדדוקציה‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫הוכחה‪ :‬של משפט הנאותות‬
‫באינדוקצית מבנה מראים‬
‫‬
‫‬
‫‪v‬‬
‫‪β |Γβ‬‬
‫‬
‫⊂‬
‫‬
‫‪α|Γ ` α‬‬
‫‪HC‬‬
‫• בסיס‪:‬‬
‫– אקסיומות ־ תקפות‬
‫– הנחות ־ ברור‬
‫• פעולות‪:‬‬
‫– ‪ :M P‬ברור‬
‫‪v‬‬
‫∀‬
‫‪v‬‬
‫– ‪ :Gen‬ברור‪ .‬אם ‪ Γ β‬אז גם ‪.Γ β‬‬
‫טענה ‪ 5.7‬נניח ש־‪ . ` α‬לכל הצבה של נוסחאות ב־‪ F OL‬למשתנים האטומים ב־‪) α‬נקרא לנוסחה החדשה ̂‪(α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫מתקיים ̂‪` α‬‬
‫‪HC‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ α1 , ..., αn = α‬סדרת ההוכחה של ‪ .α‬אזי " ‪ "α̂1 , ..., α̂n‬הוכחה של ̂‪ α‬ב־‪.HC‬‬
‫‪5.2‬‬
‫משפט הדדוקציה‬
‫בתחשיב הפסוקים‪ :‬אם ‪ Γ, α ` β‬אז )‪Γ ` (α → β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪HP C‬‬
‫מה קורה בלוגיקה מסדר ראשון? נניח )‪ ;R(x) ` ∀x R(x‬מאידך )‪ .R(x) → ∀x R(x‬אם ‪ α‬פסוק הכל בסדר‪.‬‬
‫משפט ‪ 5.8‬משפט הדדוקציה ל־‪HC‬‬
‫אם ‪ Γ, α ` β‬ויש הוכחה של ‪ β‬מ־‪ Γ, α‬שבה לא הפעלנו את ‪ Gen‬על אף משתנה חופשי ב־‪ ,α‬אז ` ‪Γ‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫)‪.(α → β‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על אורך ההוכחה )"הטובה"( של ‪ β‬מ־‪ .Γ, α‬כלומר‪ ,‬נראה שאם ‪ β1 , ..., βn = β‬הוכחה של ‪β‬‬
‫מ־‪ Γ, α‬בו לא הופעל כלל ‪ Gen‬על אף משתנה חופשי של ‪.α‬‬
‫אזי לכל ‪Γ ` (α → βi ) ,i‬‬
‫)‪M P : ϕ,ϕ→(α→ϕ‬‬
‫ואז‬
‫‪ϕ‬‬
‫→‬
‫‪(α‬‬
‫→‬
‫)‪ϕ‬‬
‫‪A‬‬
‫לפי‬
‫‪.α‬‬
‫או‬
‫מ־‪Γ‬‬
‫‪ :ϕ‬אקסיומה או הנחה‬
‫‪1‬‬
‫‪α→ϕ‬‬
‫נניח ‪ βi‬התקבל מהפעלת ‪ βj → βi ;M P‬ו־ ‪ βj‬הופיעו קודם בהוכחה‪.‬‬
‫לפי הנחת האינדוקציה ) ‪ α → (βj → βi‬ואז ‪.α → βj‬‬
‫לפי ‪ A2‬ופעמיים ‪ M P‬נקבל ‪.α → βi‬‬
‫כעת נניח ש־ ‪ βi‬התקבל מהפעלת ‪ Gen‬על ‪ .βj‬נאמר ‪ βi = ∀y βj‬כאשר ‪ y‬אינו חופשי ב־‪ .α‬לפי הנחת‬
‫האינדוקציה‪ ,‬הוכחנו ) ‪ .Γ ` (α → βj‬לפי ‪ Gen‬נקבל ) ‪∀y (α → βj‬‬
‫‪HC‬‬
‫לפי ‪A5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪∀y (α → βj ) → α → ∀y βj ‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪βi‬‬
‫כי ‪ y‬לא חופשי ב־‪ M P .α‬וסיימנו‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5‬‬
‫משפט הדיכוטומיה‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫משפט הדיכוטומיה‬
‫בתחשיב הפסוקים‪ :‬אם ‪ Γ, α ` β‬וגם ` ‪ Γ, ¬α‬אז ‪.Γ ` β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪HP C‬‬
‫מה קורה בלוגיקה מסדר ראשון?‬
‫משפט ‪ 5.9‬משפט הדיכוטומיה ב־‪HC‬‬
‫אם ‪ Γ, α ` β‬וגם ‪ Γ, ¬α ` β‬וניתן לכתוב כל אחת מההוכחות ללא הפעלת כלל ‪ Gen‬על אף משתנה חופשי‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫ב־‪ ,α‬אז ‪.Γ ` β‬‬
‫‪HC‬‬
‫הוכחה‪ :‬אנו עומדים בתנאי משפט הדדוקציה ולכן ‪Γ ` ¬α → β ,Γ ` α → β‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫כעת‪ .(α → β) → ((¬α → β) → β) ,‬מתקבל מהצבה לטאוטולוגיה פסוקית‬
‫))‪((p → q) → ((¬p → q) → q‬‬
‫יכיח ב־‪) HC‬לפי טענה שהוכחנו(‪ .‬כעת נשתמש ב־ ‪ M P‬פעמיים ונקבל הוכחה של ‪ β‬מ־‪.Γ‬‬
‫משפט ‪ 5.10‬יהי ‪ c‬סימן קבוע שלא מופיע ב־‪ Γ‬או ב־‪ .α‬אז אם ]‪ Γ ` α [c/x‬אז )‪.Γ ` ∀x α(x‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על אורך ההוכחה של ]‪ α [c/x‬מ־‪ .Γ‬יהי ‪ y‬משתנה שלא מופיע בהוכחה של ]‪ α [c/x‬מ־‪) Γ‬ולא‬
‫מופיע ב־‪(α‬‬
‫תהא ‪ α1 , ..., αn‬סדרת ההוכחה של ]‪ α [c/x‬מ־‪ .Γ‬תהא ‪ α̂1 , ..., α̂n‬סדרת הנוסחאות המתקבלת ע"י החלפת‬
‫כל מופע של ‪ c‬ב־‪.y‬‬
‫נראה באינדוקצית מבנה כי ‪ α̂1 , ..., α̂n‬הוכחה של ]‪.α [y/x‬‬
‫• אם זו אקסיומה‪ :‬מיידי‪.‬‬
‫• הנחה מ־‪ :G‬לא מכילה את ‪ c‬ולכן לא השתנתה‬
‫• ‪ :M P‬פשוט‬
‫• ‪ .αi = ∀z αj :Gen‬אז ‪α̂i = (∀z αj ) [y/c] = ∀z (αj [y/c]) = ∀z α̂j‬‬
‫הראינו ]‪ .Γ ` α [y/x‬לפי ‪ Γ ` ∀y α [y/x] Gen‬שקול )החלפת שם( ל־)‪.∀x α(x‬‬
‫‪HC‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫הוכחת משפט השלמות ב־‪ :HP C‬בתחשיב הפסוקים הוכחנו שאם ‪ Γ‬עקבית אז ‪ Γ‬ספיקה‪.‬‬
‫• שלב ‪ :1‬כל ‪ Γ‬עקבית מוכלת ב־ ‪ Γ0‬עקבית מקסימלית )לכל ‪ ϕ ∈ Γ0 ,ϕ‬או ‪(¬ϕ ∈ Γ0‬‬
‫• שלב ‪ :2‬כל קבוצה עקבית מקסימלית‪ ,‬ספיקה‪ .‬וההשמה מתקבלת ע"י בחירת הפסוקים המתאימים‪.‬‬
‫ב־‪ HC‬האסטרטגיה דומה‪ ,‬אבל ההגדרות קצת שונות‪.‬‬
‫• נראה שאם ‪ Γ‬עקבית מעל ‪ σ‬אז היא מוכלת ב־ ‪) Γ0‬עקבית( מעל ‪ Σ ⊃ σ‬שהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין‪.‬‬
‫• נראה שכל קבוצה עקבית שלמה בעלת תכונת הנקין‪ ,‬ספיקה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.11‬קבוצת נוסחאות ‪) Γ‬אולי מעל ‪ (σ ⊂ Σ‬היא שלמה עבור מילון ‪ σ‬אם לכל פסוק ‪ ϕ‬מעל ‪ σ‬מתקיים‬
‫‪ ϕ ∈ Γ‬או ‪.¬ϕ ∈ Γ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫הערה ‪ 5.12‬כשמוכיחים את משפט השלמות די לדבר על קבוצת פסוקים ‪ Γ‬כי ‪ Γ α‬אם ורק אם ‪ Γ∀ α‬וברור‬
‫שאם ‪ Γ∀ ` α‬אז ‪.Γ ` α‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט ‪ 5.13‬אם ‪ Γ‬עקבית מעל ‪ σ‬אז יש ‪ Γ ⊂ Γ0‬עקבית ושלמה מעל ‪.σ‬‬
‫‪46‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5.3‬‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫משפט הדיכוטומיה‬
‫נוכיח למקרה ‪ σ‬סופי או בן מניה‪ .‬הוכחה‪ :‬יש מספר בן מניה של פסוקים מעל ‪{ϕ1 , ϕ2 , ...} :σ‬‬
‫נגדיר באינדוקציה‪Γ0 = Γ :‬‬
‫אם } ‪SΓ ∪ {ϕn‬עקבית אז } ‪ ;Γn = Γn−1 ∪ {ϕn‬אחרת } ‪Γn = Γn−1 ∪ {¬ϕn‬‬
‫לבסוף ‪Γ0 = m Γm‬‬
‫‪0‬‬
‫ברור כי ‪ Γ0‬שלמה‪ ,‬נראה כי היא עקבית )יש ‪ β‬שלא יכיח ממנה(‪ .‬אם ‪ Γ‬אינה עקבית‪ ,‬אז יש ‪ n‬כך ש־ ‪ Γn‬אינה‬
‫אינה עקבית‪.‬‬
‫נראה באינדוקציה על ‪ i‬שכל ‪ Γi‬עקבית‪ .‬עבור ‪ .Γ0 = Γ ,i = 0‬נניח כי ‪ Γi‬עקבית‪ .‬אם } ‪ Γ ∪ {ϕi+1‬עקבית‬
‫אז ‪ Γi+1‬עקבית‪ .‬נראה שלא יתכן שגם } ‪ Γi ∪ {ϕi+1‬וגם } ‪ Γi ∪ {¬ϕi+1‬לא עקביות‪.‬‬
‫יהי ‪β‬כלשהו‪ .‬אם שתי הקבוצות אינן עקביות אז ‪ Γi ∪ {ϕi+1 } ` β‬וגם ‪.Γi ∪ {¬ϕi+1 } ` β‬‬
‫כיוון ש־ ‪ ϕi+1‬פסוק‪ ,‬נקבל לפי משפט הדיכוטומיה‪ Γi ` β ,‬בסתירה לעקביות ‪.Γi‬‬
‫‪HC‬‬
‫הגדרה ‪ 5.14‬ל־‪ Γ‬יש את תכונת הנקין ) ‪ (Henkin‬עבור מילון ‪ σ‬אם לכל פסוק ‪ ϕ ∈ Γ‬מעל ‪ σ‬מהצורה = ‪ϕ‬‬
‫‪15‬‬
‫)‪ ¬∀x ψ(x‬יש ‪ c‬במילון ‪ Σ‬כך ש־‪.¬ψ [c/x] ∈ Γ‬‬
‫הרצאה‬
‫‪12.6.15‬‬
‫‪13‬‬
‫־‬
‫משפט ‪ 5.15‬משפט הנקין‪ :‬אם ‪ Γ‬עקבית מעל מילון ‪ σ‬אז יש ∆ עקבית‪ ,‬בעלת תכונת הנקין ל־‪ ,σ‬מעל מילון ‪σ ⊂ Σ‬‬
‫כך ש־∆ ⊂ ‪.Γ‬‬
‫רעיון ההוכחה‪ :‬לכל נוסחה ‪ ϕ‬כנ"ל נוסיף למילון קבוע חדש ול־‪ Γ‬את הפסוק ]‪.¬ψ [c/x‬‬
‫למה ‪ 5.16‬אם ‪ Γ‬עקבית‪ ¬∀x ψ ∈ Γ ,‬פסוק ו־‪ c‬קבוע חדש אז }]‪ Γ ∪ {¬ψ [c/x‬עקבית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬של הלמה‪ :‬אם הקבוצה אינה עקבית אז ‪ Γ ∪ {¬ψ [c/x]} ` α, ¬α‬לכל פסוק ‪ .α‬כיוון ש־]‪ ¬ψ [c/x‬פסוק‬
‫)אין לו משתנים חופשיים(‪ ,‬נוכל להשתמש במשפט הדדוקציה ונקבל‪:‬‬
‫‪¬ψ [c/x] → α‬‬
‫` ‪Γ‬‬
‫‪¬ψ [c/x] → ¬α‬‬
‫` ‪Γ‬‬
‫לכל ‪,γ, δ‬‬
‫)‪` (γ → δ) → ((γ → ¬δ) → ¬γ‬‬
‫‪HC‬‬
‫זו טאוטולוגיה בתחשיב הפסוקים‪ ,‬ולכן קל לראות שזה יכיח ב־‪ .HC‬אז נקבל‪:‬‬
‫)]‪` (¬ψ [c/x] → α) → ((¬ψ [c/x] → ¬α) → ¬¬ψ [c/x‬‬
‫נפעיל ‪ M P‬פעמיים ונקבל ]‪ ,Γ ` ¬¬ψ [c/x‬ולפי ההוכחה בתחשיב הפסוקים‪.Γ ` ψ [c/x] :‬‬
‫‪HC‬‬
‫לבסוף לפי משפט שהוכחנו‪ ,‬כיוון ש־‪ c‬קבוע חדש‪.Γ ` ∀x ψ(x) :‬‬
‫הבנו שיש פסוק ‪ ϕ‬כך ש־‪(ϕ = ∀x ψ(x)) Γ ` ϕ, ¬ϕ‬‬
‫)‪` ϕ → (¬ϕ → α‬‬
‫לכל ‪ α‬ומכאן ‪ Γ ` α‬לכל ‪ ,α‬כלומר ‪ Γ‬אינה עקבית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬של משפט הנקין‪ :‬תהי ‪ Γ‬עקבית‪ ,‬לכל פסוק ‪ϕ ∈ Γ‬מהצורה ‪ ϕ = ¬∀x ψ‬נוסיף למילון קבוע חדש ‪c‬‬
‫ול־‪ Γ‬את הפסוק ]‪.¬ψ [c/x‬‬
‫לפי הלמה‪ ,‬הקבוצה החדשה עדיין עקבית‪ .‬ברור שבסוף התהליך נקבל קבוצה בעלת תכונת הנקין ביחס ל־‪.σ‬‬
‫הערה ‪ 5.17‬אם נחזור על התהליך מספר בן מניה של פעמים נקבל ∆ ⊂ ‪ Γ‬מעל ‪ Σ‬בעלת תכונת הנקין ביחס ל־‪.Σ‬‬
‫מסקנה ‪) 5.18‬הרחבה של המשפט( אם ‪ Γ‬עקבית מעל ‪ σ‬אז יש ∆ ⊂ ‪ Γ‬מעל ‪ σ ⊂ Σ‬ועקבית‪ ,‬בעלת תכונת הנקין‬
‫ביחס ל־‪.Σ‬‬
‫משפט ‪ 5.19‬כל קבוצה עקבית ‪ Γ‬מעל ‪ σ‬מוכלת בקבוצה עקבית ∆ מעל ‪ σ ⊂ Σ‬שהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין‬
‫ביחס ל־‪.Σ‬‬
‫‪15‬מותר ש־‪ Γ‬מעל ‪σ ⊆ Σ‬‬
‫‪47‬‬
‫‪6‬‬
‫המבחן‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪ ∆0 = Γ0 = Γ‬ו־‪ .σ0 = σ‬כעת ‪ Γi‬תהיה קבוצה עקבית ושלמה מעל ‪ σi−1‬המכילה את ‪ .∆i−1‬תהי‬
‫‪ ∆i‬קבוצה עקבית בעלת תכונת הנקין המכילה את ‪ .Γi‬נקרא למילון שלה ‪ .σi‬ניקח‬
‫‪Γn‬‬
‫‪σn‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫=‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫[‬
‫=‬
‫∆‬
‫‪Σ‬‬
‫‪n=0‬‬
‫אז ∆ עקבית‪ ,‬שלמה ובעלת תכונת הנקין ביחס ל־‪ .σ‬מ־"סופיות" התכונות )כל פסוק סופי‪ ,‬ובכל שלב מספר כמתי‬
‫∀ קטן( קל לוודא ש־∆ אכן כזאת‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחת משפט השלמות‪:‬‬
‫תהי ‪ Γ‬קבוצת פסוקים עקבית מעל ‪ .σ‬לפי המשפט‪ ,‬יש ∆ ⊂ ‪ Γ‬עקבית‪ ,‬שלמה‪ ,‬ובעלת תכונת הנקין ביחס‬
‫ל־‪.σ ⊂ Σ‬‬
‫‬
‫‪M‬‬
‫‪M n‬‬
‫‪(sM‬‬
‫ניקח מבנה הרברנד ל־∆‪ ,‬נקרא לו ‪ .M‬נראה כיצד לפרש יחסים‪ .‬יהי ‪ ;R ∈ Σ‬תהא‬
‫‪1 , ..., sn ) ∈ D‬‬
‫‪M‬‬
‫ב־ ‪ DM‬המתאים לשם עצם סגור ‪(s1‬‬
‫) ‪ s1‬הוא האיבר ‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M n‬‬
‫‪ (s1 , ..., sn ) ∈ D‬אם ורק אם ∆ ∈ ) ‪.R(s1 , .., sn‬‬
‫אז נאמר ש־‬
‫כעת באינדוקצית מבנה מראים כי־∆ ∈ ‪ ϕ‬אם ורק אם ‪ .M ϕ‬משתמשים בתכונות מבנה הרברנד )במבנה‬
‫הרברנד ‪ M ∀x ϕ‬אם ורק אם לכל שם עצם סגור ‪ s‬מתקיים ]‪.(M ϕ [s/x‬‬
‫הראינו שאם ‪ Γ‬עקבית אז ‪ Γ‬ספיקה‪ .‬נשים לב שאם ‪ Γ‬עקבית אז ∀‪ Γ‬עקבית‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫‬
‫‬
‫די להוכיח שלמות עבור ‪ Γ‬קבוצת פסוק ו־‪ α‬פסוק‪ .Γ∀ α∀ ⇐ Γ α .‬נביט ב־ ∀‪ ,Γ∀ ∪ ¬α‬שהיא לא‬
‫ספיקה ולכן לא עקבית‪ .‬אז‬
‫‬
‫‬
‫∀‪Γ∀ ∪ ¬α∀ ` ¬α∀ , α‬‬
‫אז כמו בתחשיב הפסוקים נקבל ∀‪ ,Γ∀ ` α‬אז ∀‪ Γ ` α‬ואז ‪) Γ ` α‬בעזרת אקסיומה שנפטרת מכמתים(‪.‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪6‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫המבחן‬
‫במבחן יש ‪ 4‬שאלות‪ ,‬ללא בחירה‪ .‬שאלה אחת של הוכח ‪ /‬הפרך‪.‬‬
‫אפשר ללמוד ממבחנים של אלכס וארנון ־ להתעלם משאלות עם ‪ ,N DF OL‬לוגיקה טמפורלית או מושגים‬
‫אחרים שאיננו מכירים‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫אצל אלכס ‪ [|ϕ|]ρ‬־ ערך אמת של ‪ϕ‬ב־ ‪ M‬תחת השמה ‪.ρ‬‬
‫‪48‬‬