הקדמה

‫לוגיקה ־ סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים‬
‫תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר‬
‫הקדמה‬
‫הגדרה ‪ 0.1‬טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.2‬נשים לב שלכל שפה יש רובד סינטקטי ורובד סמנטי‪.‬‬
‫הרובד הסינטקטי הוא בעצם ה־א"ב שלנו‪ ,‬סימני הפיסוק והכללים לבניית מילים‬
‫הרובד הסמנטי מתייחס למילים עצמן )מה המשמעות של המילה בשפה(‬
‫הגדרה ‪ 0.3‬בניית קבוצה באינדוקצית מבנה‬
‫תהי קבוצה ‪ Ω‬העולם בו אנחנו נמצאים‪.‬‬
‫נסמן ב־ ‪ B‬להיות קבוצת הבסיס שלנו‪ .‬נשים לב כי‪.B ⊆ Ω‬‬
‫נסמן ב־ ‪ F‬את קבוצת הפונקציות כך שכל ‪ fn,i ∈ F‬היא פונקציה ‪fn,i : Ωn → Ω‬‬
‫נסמן ב־ ‪ XB,F‬את הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"י ‪ B‬ו‪ XB,F .F −‬ההיא הקבוצה המקיימת את הדרישות הבאות‪:‬‬
‫‪B ⊆ XB,F .1‬‬
‫‪ .2‬לכל ‪ fn,i ∈ F‬ולכל ‪ x1 , ..., xn ∈ XB,F‬גם ‪fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ XB,F‬‬
‫‪ XB,F .3‬הינה קבוצה מינימלית‬
‫משפט ‪ 0.4‬קיימת קבוצה ‪ XB,F‬המקיימת את הדרישות ‪.1,2,3‬‬
‫משפט ‪ 0.5‬משפט ההוכחה באינדוקציה‬
‫אם ‪ A‬קבוצה המקיימת את התנאים הבאים‪:‬‬
‫‪B ⊂ A .1‬‬
‫‪ .2‬לכל פונקציה ‪ fn,i ∈ F‬ולכל איבר בקבוצה ‪ x1 , ..., xn ∈ A‬מתקיים ‪fn,i (x1 , .., xn ) ∈ A‬‬
‫אזי ‪.XB,F ⊂ A‬‬
‫הגדרה ‪ 0.6‬סדרת יצירה עבור איבר ‪ a ∈ XB,F‬הינה סדרה סופית ‪ a1 , .., ak‬כך שמתקיים‪:‬‬
‫‪) a = ak .1‬כלומר ‪ a‬הוא האיבר האחרון שמתקבל בסדרה(‬
‫‪ .2‬כל איבר ‪ ai‬בסדרה‪ ,‬מקיים ‪ ai ∈ B‬או התקבל מהפעלת פונקציה ב־ ‪ F‬על איברים קודמים בסדרה‪.‬‬
‫משפט ‪ a ∈ XB,F 0.7‬אם ורק אם יש ל־‪ a‬סדרת יצירה‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.8‬איך נראה שמילה בשפה? נבנה סדרת יצירה עבור המילה‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.9‬איך נראה שמילה אינה בשפה? נרצה להראות כי קיימת תכונה מסויימת כלשהי של שפות‪ .‬השפה שלנו תקיים את התכונה‬
‫אך המילה לא תקיים אותה ולכן המילה שלנו לא שייכת לשפה‪ .‬נראה כי השפה שלנו מקיימת את התכונה ע"י סדרת יצירה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫תחשיב הפסוקים‬
‫‪1‬‬
‫הקדמה‪:‬‬
‫בתחשיב הפסוקים יש לנו אותיות וקשרים מהם נבנה ביטויים מורכבים‪.‬‬
‫אותיות‪P0 , P1 , ... :‬‬
‫קשרים‪∧, ∨, ¬, →, R :‬‬
‫ביטוי‪ :‬ביטוי הוא סדרה סופית של סימנים ‪ Σ = {( , ) , ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔} ∪ {Pi | i ∈ N} :‬וקבוצת הביטויים שלנו תהיה ∗‪.Σ‬‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬קבוצת הביטויים החוקיים ־ ‪W F F‬־ ‪: Well Formed Formulas‬‬
‫נגדיר את קבוצת הביטויים החוקיים בהגדרה אינדוקטיבית‪.‬‬
‫בסיס‪:‬‬
‫פסוקים \ נוסחאות אטומיות ‪B = {Pi | i ∈ N} :‬‬
‫פעולות‪ ,F = {F∧ , F∨ , F¬ , F→ , F↔ } :‬כאשר‪:‬‬
‫)‪(a ∧ b‬‬
‫=‬
‫)‪F∧ (a, b‬‬
‫)‪(a ∨ b‬‬
‫=‬
‫)‪F∨ (a, b‬‬
‫)‪(a → b‬‬
‫=‬
‫)‪F→ (a, b‬‬
‫)‪(a ↔ b‬‬
‫=‬
‫)‪F↔ (a, b‬‬
‫)‪(¬a‬‬
‫=‬
‫)‪F¬ (a‬‬
‫וקבוצת הביטויים החוקיים )‪ (WFF - Well Formed Formulas‬תהיה הסגור של ‪ B‬ביחס ל־ ‪.F‬‬
‫טענה ‪ 1.2‬כל ביטוי חוקי )‪ (WFF‬הוא פסוק אטומי או מתחיל ב־( ונגמר ב־)‪.‬‬
‫טענה ‪ 1.3‬בכל ביטוי חוקי )‪.#( = #‬‬
‫הערה ‪ (P1 ∧ P2 ) 1.4‬ו־) ‪(P2 ∧ P1‬הם ביטויים שונים‪.‬‬
‫משפט הקריאה היחידה‬
‫משפט ‪ 1.5‬משפט הקריאה היחידה‬
‫לכל ביטוי חוקי ‪ α ∈ W F F‬מתקיים בדיוק אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ α .1‬פסוק אטומי‬
‫‪ .2‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ∧ γ‬‬
‫‪ .3‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ∨ γ‬‬
‫‪ .4‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β → γ‬‬
‫‪ .5‬קיימים פסוקים יחידים ‪ β, γ ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (β ↔ γ‬‬
‫‪ .6‬קיים פסוק יחיד ‪ β ∈ W F F‬כך ש־)‪α = (¬β‬‬
‫משפט ‪ 1.6‬ניסוח שקול של משפט הקריאה היחידה‬
‫לכל פסוק ‪ α ∈ W F F‬מתקיים שני הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬אם יש פסוקים ‪ β, γ ∈ W F F‬ופעולה}↔ ‪ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,‬כך ש־)‪ α = (β op γ‬אז‪:‬‬
‫לכל זוג פסוקים ‪ β 0 , γ 0‬ופעולה}↔ ‪ op0 ∈ {∧, ∨, ¬, →,‬אם מתקיים) ‪ α = (β 0 op0 γ 0‬אז בהכרח ‪.γ = γ 0 , op = op0 , β = β 0‬‬
‫‪ .2‬אם יש פסוק ‪ β ∈ W F F‬כך ש־‪ α = ¬β‬אז‪:‬‬
‫אין פסוקים ‪ γ, δ ∈ W F F‬ו־}↔ ‪ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,‬כך ש־)‪ α = (γ op δ‬וגם אם ‪ ϕ ∈ W F F‬מקיים )‪ α = (¬ϕ‬אז ‪.ϕ = β‬‬
‫‪2‬‬
‫אלגוריתם לבדיקה האם ∗‪ α ∈ Σ‬הוא ב־ ‪?W F F‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ α‬פסוק אטומי אז נאמר ‪ .α ∈ W F F‬אם לא‪ ,‬ממשיכים‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ α‬מתחיל ב־( ונגמר ב־) אז נמחק אותם ונמשיך ל־‪ .3‬אחרת נאמר ש־‪ α‬אינו ב־ ‪.W F F‬‬
‫‪ .3‬אם הסימן הראשון הוא ¬נמשיך ל־‪ .4‬אחרת ל־‪.5‬‬
‫‪ .4‬נמחק את ¬ ונחזור ל־‪.1‬‬
‫‪ .5‬נעבור על הפסוק משמאל לימין עד שמספר הסוגריים השמאליים יהיה שווה למספר הימניים )נמצא את "האיבר השמאלי"(‪.‬‬
‫נקודת השוויון היא מיד לאחר הסוגר הימני שמשיג את השוויון‪:‬‬
‫‪...)|·...‬‬
‫אם הגענו לקשר דו מקומי )↔ ‪ (∧, ∨, ¬, →,‬נמחק אותו ונריץ שוב את האלגוריתם עבור סדרת הסימנים משמאל לקשר וסדרת‬
‫הסימנים מימין לקשר‪.‬‬
‫אם לא הגענו לקשר דו מקומי או שאין נקודת שוויון נאמר ש־‪ α‬אינו ב־ ‪ .W F F‬אם הביטוי הימני או השמאלי לא ב־ ‪W F F‬‬
‫נאמר ש־‪ α‬אינו ב־ ‪ .W F F‬לבסוף נודיע ש־ ‪.α ∈ W F F‬‬
‫הגדרה ‪ 1.7‬סדר קדימויות על כמתים‬
‫• ¬‬
‫• ∨ ‪∧,‬‬
‫• ⇔ ‪⇒,‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪W F F{¬,→} 1.8‬‬
‫בסיס‪.B = {Pi | i ∈ N} :‬‬
‫פעולות‪.F = {F¬ , F→ } :‬‬
‫}→‪ W F F{¬,‬הוא הסגור‪.‬‬
‫‪1‬באותו אופן מוגדרות }∧‪ W F F{¬,‬או }∨‪W F F{∧,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫תקפות טיעון‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬טיעון תקף‪ :‬טענה שמסקנתה נכונה בכל פעם שההנחות נכונות‪.‬‬
‫אינטואיציה‪ :‬כדי לדעת האם ביטוי "נכון" או "לא נכון"‪ ,‬נתעניין אך ורק בהאם ה"הנחות" ) ‪" (P1 , ..., Pj‬נכונות" או לא‪ .‬כלומר האם‬
‫‪ Pi‬נכון או לא נכון‪.‬‬
‫מטרתנו תהיה ליצור קשר בין "ערך האמת" של פסוק ‪ α‬לערכי האמת של המשתנים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2‬השמה ‪ 2‬היא פונקציה } ‪v : {Pi | i ∈ N} → {t, f‬‬
‫הגדרה ‪ 2.3‬ערך האמת‪:‬‬
‫בהינתן השמה }‪ ,v : {Pi | i ∈ N} → {f, t‬נגדיר את ערך האמת ‪v̄ : W F F → {t, f } 3‬‬
‫יהי ‪α ∈ W F F‬‬
‫‪:‬‬
‫• אם ‪ α‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר )‪v̄(α) = v(α‬‬
‫• אם )‪ α = (β op γ‬אז ))‪v̄(α) = T Top (v̄(β), v̄(γ‬‬
‫• אם )‪ α = (¬β‬אז ))‪v̄(α) = T T¬ (v̄(β‬‬
‫משפט ‪ 2.4‬משפט הגדרת ערך האמת‪:‬‬
‫ערך האמת )כמו שהגדרנו אותו( מוגדר היטב‪ ,‬ובפרט יחיד‪.‬‬
‫טענה ‪ 2.5‬אם כל המשתנים המופיעים ב־‪ α‬הם מהקבוצה } ‪ {P1 , ..., Pn‬ו־‪ v, z‬הן השמות המסכימות על משתנים אלו )כלומר‪,‬‬
‫) ‪ ,(∀1 ≤ i ≤ n, v(Pi ) = z(Pi‬אז מתקיים )‪v̄(α) = z̄(α‬‬
‫הגדרה ‪ 2.6‬קבוצת קשרים היא שלמה פונקציונלית‬
‫‪4‬‬
‫אם ניתן להביע בעזרתה כל טבלת אמת‪.‬‬
‫טענה ‪ {¬, →} ,{¬, ∧},{¬, ∧, ∨} 2.7‬שלמות פונקציונלית‪.‬‬
‫הערה ‪ 2.8‬איך נראה שקבוצה היא שלמה פונקציונלית? נרצה לתאר בעזרת הקבוצה הזאת קבוצה שלמה פונקציונלית אחרת‪.‬‬
‫איך נראה שקבוצה אינה שלמה פונקציונלית? נחפש תכונה שכל הנוסחאות מעל קשרי הקבוצה מקיימות )נוכיח תכונה זו בעזרת‬
‫אינדוקציית מבנה( ונמצא טבלת אמת כלשהי שלא מקיימת תכונה זו ומכאן נקבל סתירה כי ההגדרה של קבוצה שלמה פונקציונלית‬
‫היא שבעזרתה אנחנו יכולים להביע כל טבלת אמת‪.‬‬
‫‪2‬אלכס )מרצה אחר( קורא להשמה סביבה‬
‫‪3‬אלכס מסמן ‪ [|α|]v‬וארנון מסמן )‪ v(α‬ולא מבדיל בין השמה לערך האמת‬
‫‪4‬קיצור ש"פ‬
‫‪4‬‬
‫סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים‬
‫‪3‬‬
‫הגדרה ‪ 3.1‬תהי השמה ‪:v‬‬
‫• אם ‪ v̄(α) = t‬נסמן ‪ v |= α‬ונאמר כי ‪ v‬מספקת את ‪.α‬‬
‫• נאמר כי ‪ α‬ספיקה‪ ,‬אם קיימת השמה ‪ v‬כך ש־‪.v |= α‬‬
‫• נאמר כי ‪ α‬טאוטולוגיה אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים ‪.v |= α‬‬
‫• פסוק ‪ α‬יקרא סתירה אם לא קיימת השמה ‪ v‬כך ש־‪¬α) v |= α‬תהיה טאוטולוגיה(‬
‫• נאמר כי פסוק ‪ α‬שקול לפסוק ‪ β‬אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים )‪ v̄(α) = v̄(β‬ונסמן ‪.a ≡ β‬‬
‫• קבוצת נוסחאות ‪ Γ‬ספיקה אם קיימת השמה ‪ v‬כך שלכל פסוק ‪ v̄(α) = t ,α ∈ Γ‬ונסמן ‪.v |= Γ‬‬
‫• ‪ α‬נובעת סמנטית מ־‪ Γ‬אם לכל ‪ v‬מתקיים‪ :‬אם ‪ v |= Γ‬אזי ‪ v |= α‬ומסמנים ‪.Γ |= α‬‬
‫מסקנה ‪ 3.2‬מסקנות חשובות‪:‬‬
‫‪ .1‬טאוטולוגיה‪((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))) :‬‬
‫‪ .2‬שקילויות‪:‬‬
‫)‪≡ α ∧ (β ∧ γ‬‬
‫‪(α ∧ β) ∧ γ‬‬
‫)‪≡ (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ‬‬
‫‪(α ∧ β) ∨ γ‬‬
‫)‪(α ∧ β) ≡ (β ∧ α‬‬
‫)‪(α ∨ β) ≡ (β ∨ α‬‬
‫‪¬(¬α) ≡ α‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ Γ ∪ {α} |= β‬וגם ‪ Γ ∪ {¬α} |= β‬אזי ‪.Γ |= β‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ Γ ∪ {¬α} |= β‬וגם ‪ Γ ∪ {¬α} |= ¬β‬אזי ‪)Γ |= α‬מצב זה לא ייתכן ולכן נכון באופן ריק(‪.‬‬
‫‪ .5‬אם ‪ Γ ∪ {¬α} |= α‬אזי ‪.Γ |= α‬‬
‫‪ .6‬אם ‪ α ≡ β‬אזי ‪.{α} |= β‬‬
‫‪ |= (α → β) .7‬אם"ם ‪.{α} |= β‬‬
‫‪ {α1 , . . . , αn } .8‬ספיקה אם"ם ‪ α1 ∧ · · · ∧ αn‬ספיק‪.‬‬
‫‪ .9‬אם ‪ Γ1 ⊆ Γ2‬ו־‪ Γ1 |= α‬אזי ‪.Γ2 |= α‬‬
‫‪3.1‬‬
‫הצבות‬
‫הגדרה ‪ 3.3‬החלפת פסוק אטומי בנוסחה נקרא הצבה‬
‫הגדרה ‪ 3.4‬תהיינה ‪ ϕ, α‬נוסחאות ו־ ‪ P1‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר כעת את ההצבה של נוסחה ‪α‬במקום הפסוק האטומי ‪ P1‬בתור ־‬
‫) ‪.ϕ(α/P1‬‬
‫הגדרה ‪ 3.5‬אם ‪ ϕ‬הוא פסוק אטומי‪ ,‬אז‬
‫(‬
‫‪α ϕ = P1‬‬
‫= ) ‪ϕ(α/P1‬‬
‫=‪ϕ ϕ‬‬
‫‪6 P1‬‬
‫אם )‪ ϕ = (¬ψ‬אז‬
‫)) ‪ϕ(α/P1 ) = (¬ψ(α/P1‬‬
‫‪5‬‬
‫ואם )‪ ϕ = (ψ op γ‬אז‬
‫)) ‪ϕ(α/P1 ) = (ψ(α/P1 ) op γ(α/P1‬‬
‫טענה ‪ 3.6‬לכל זוג נוסחאות מקבוצת הביטויים החוקיים‪ ϕ, α ∈ W F F ,‬מתקיים כי ‪ϕ(α/P1 ) ∈ W F F‬‬
‫הגדרה ‪:ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) 3.7‬‬
‫בסיס‪ :‬אם ‪ ϕ‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר באופן דומה להגדרה הקודמת‬
‫‪‬‬
‫‪α1 ϕ = P1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α2 ϕ = P2‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪αn ϕ = Pn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫אם )‪ ϕ = (¬ψ‬אז‬
‫)) ‪ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = (¬ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn‬‬
‫ואם )‪ ϕ = (ψ op γ‬אז‬
‫)) ‪ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = (ψ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) op γ(α1 /P1 , . . . αn /Pn‬‬
‫הגדרה ‪ 3.8‬הקשר בין ערכי אמת לפני ולאחר הצבה‪:‬‬
‫בהנתן השמה ‪ v‬נגדיר השמה חדשה ‪: v 0‬‬
‫(‬
‫‪v(α1 ) i = 1‬‬
‫= ) ‪v 0 (P1‬‬
‫= ‪v(Pi ) i‬‬
‫‪6 1‬‬
‫טענה ‪ 3.9‬עבור השמה ‪ v‬וההשמה שהגדרנו ‪ ,v 0‬מתקיים כי )) ‪.v̄ 0 (ϕ) = v(ϕ(α1 /P1‬‬
‫מסקנה ‪ 3.10‬אם ‪ ϕ‬הוא טאוטולוגיה‪ ,‬אז כך גם ) ‪ ϕ(α1 /P1 , . . . , αn /Pn‬לכל ‪.α1 . . . , αn ∈ W F F‬‬
‫‪3.2‬‬
‫צורות נורמליות‬
‫הגדרה ‪ 3.11‬נגדיר את הצורה הנורמלית ‪ (Negation Normal Form) N N F‬באופן אינדוקטיבי כסגור של‬
‫הבסיס }‪ ,B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ N‬והפעולות } ∨‪.F = {f∧ , f‬‬
‫טענה ‪ 3.12‬לכל ‪ α ∈ W F F‬קיים ‪ α0 ∈ N N F‬כך ש־ ‪.α ≡ α0‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 3.13‬נגדיר את ‪ Conj‬להיות הסגור של הבסיס }‪ B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ N‬עם הפעולה ∧‪.F = f‬‬
‫נגדיר את הצורה הנורמלית ‪ (Disjunctive Normal Form) DNF‬להיות הסגור של הבסיס ‪ Conj‬עם הפעולה } ∨‪.F = {f‬‬
‫טענה ‪ 3.14‬לכל ‪ α ∈ W F F‬קיים ‪ β ∈ DN F‬כך ש־ ‪.α ≡ β‬‬
‫‬
‫הגדרה ‪ 3.15‬נגדיר את ‪ Disj‬להיות הסגור של הבסיס }‪ B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ N‬עם הפעולה } ∨‪.F = {f‬‬
‫הגדרה ‪ 3.16‬נגדיר את הצורה נורמלית ‪ (Conjunctive Normal Form) CNF‬כסגור של הבסיס ‪ Disj‬עם הפעולה } ∧‪.F = {f‬‬
‫טענה ‪ 3.17‬לכל ‪ α ∈ W F F‬קיים ‪ β ∈ CN F‬כך ש־ ‪.α ≡ β‬‬
‫‪6‬‬
‫הוכחה בתחשיב הפסוקים‬
‫‪4‬‬
‫הגדרה ‪ 4.1‬באופן אבסטרקטי מערכת הוכחה מורכבת מהבאים‪:‬‬
‫‬
‫‪ .1‬אלפבית )אצלנו הפסוקים }‪ {Pi i ∈ N‬והפעולות }↔ ‪.({∧ , ∨ , ¬ , → ,‬‬
‫‪ .2‬נוסחאות מעל האלפבית )אצלנו ה־‪.(WFF‬‬
‫‪ .3‬קבוצת נוסחאות הנקראות אקסיומות ‪.A‬‬
‫‪ .4‬כללי היסק ‪.F‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2‬נאמר שפסוק ‪ ϕ‬יכיח מתוך קבוצת ההנחות ‪ ,Γ‬אם הוא שייך לסגור של הקבוצה ‪ Γ ∪ A‬עם הפעולות ב־ ‪.F‬‬
‫הערה ‪ 4.3‬הוכחה של פסוק ‪ ϕ‬מקבוצת ההנחות ‪ Γ‬נעשית ע"י הצגת סדרת יצירה של ‪ ϕ‬וזאת בכדי להראות שהוא בסגור הנ"ל‪.‬‬
‫סימונים‪:‬‬
‫עבור מערכת הוכחה ‪ ,S‬נסמן ‪ Γ ` ϕ‬אם ‪ ϕ‬יכיח )ניתן להוכחה( מ־‪ Γ‬במערכת ‪.S‬‬
‫‪s‬‬
‫כמו כן נאמר כי ‪ ϕ‬משפט של ‪ S‬אם ‪) ` ϕ‬כלומר לא נדרשות הנחות נוספות ‪.(Γ‬‬
‫‪s‬‬
‫הגדרה ‪ 4.4‬תכונות פשוטות של מערכת הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬מונוטוניות‪ :‬אם ‪ ∆ ` ϕ‬ו־‪ ∆ ⊆ Γ‬אזי ‪.Γ ` ϕ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ .2‬קומפקטיות‪ :‬אם ‪ Γ ` ϕ‬אז יש ‪ ∆ ,∆ ⊆ Γ‬סופית כך ש־‪.∆ ` ϕ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ .3‬טרנזיטיביות‪ :‬אם ‪ ∆ ` ϕ‬ולכל ∆ ∈ ‪ α‬מתקיים כי ‪ Γ ` α‬אזי ‪.Γ ` ϕ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪4.1‬‬
‫‪s‬‬
‫מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים‬
‫‪HPC‬‬
‫‪s‬‬
‫)‪Propositional Calculus- HPC‬‬
‫ע"י‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 4.5‬נגדיר את המערכת‬
‫‬
‫‪ .1‬אלפבית‪ :‬הסגור של הבסיס }‪ P = {Pi i ∈ N‬עם הפעולות })‬
‫‪( ,‬‬
‫‪→ ,‬‬
‫‪(Hilbert‬‬
‫‪ֻC = {¬ ,‬‬
‫‪ .2‬נוסחאות }→‪) W F F{¬,‬הסגור של הקבוצה ‪ P‬תחת קבוצת הקשרים ‪(C‬‬
‫‪ .3‬אקסיומות ‪:A‬‬
‫‪α → (β → α) :A1‬‬
‫‪(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2‬‬
‫‪(¬β → ¬α) → (α → β) :A3‬‬
‫‪ .4‬כללי היסק ‪ :F‬כוללים את ‪) Modus Ponens‬כלל הניתוק(‬
‫‪M P ((α → β), α) = β‬‬
‫‪(α → β) , α‬‬
‫‪already proven‬‬
‫‪MP :‬‬
‫‪= formula from MP‬‬
‫‪β‬‬
‫כלומר אם ידוע כי )‪ (α → β‬וגם ‪ α‬נכון‪ ,‬אזי ניתן להסיק כי ‪ β‬נכון‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.6‬משפט ב־‪ :HP C‬כל פסוק ‪ α‬כך ש־ ‪` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫טענה ‪ 4.7‬הוכחנו בכיתה כי )‪ ` (α → α‬כי ))‪` ((¬α) → (α → β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪HP C‬‬
‫מסקנה ‪ 4.8‬אם ‪ ,` ¬α‬אזי לכל ‪{α} ` β :β‬‬
‫משפט ‪ 4.9‬משפט הדדוקציה‪ :‬לכל קבוצת פסוקים }→‪ ,Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל זוג פסוקים }→‪ ,α, β ∈ W F F{¬,‬מתקיים‪:‬‬
‫)‪ Γ ` (α → β‬אם ורק אם ‪Γ ∪ {α} ` β‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪HP C‬‬
‫הערה ‪ 4.10‬עבור קבוצת נוסחאות ‪ ,Σ‬נסמן }‪.Ded (Σ) = {ψ | Σ ` ψ‬‬
‫טענה ‪ 4.11‬הוכחנו בכיתה כי לכל ‪α‬מתקיים‪ ` (¬¬α → α) :‬וכן )‪` (α→¬¬α‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4.2‬‬
‫משפטים חשובים‬
‫משפט ‪ 4.12‬משפט הנאותות ל־‪ :HP C‬לכל קבוצת פסוקים }→‪ Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל }→‪,α ∈ W F F{¬,‬‬
‫אם ‪ Γ ` α‬אז ‪ .Γ α‬כלומר‪ ,‬אם ‪ α‬יכיח מתוך ‪ Γ‬אז ‪ α‬ספיק מתוך ‪.Γ‬‬
‫מסקנה ‪ 4.13‬אם ‪ Γ‬ספיקה‪ ,‬אז לא ניתן להוכיח סתירות מ־‪.Γ‬‬
‫משפט ‪ 4.14‬משפט הדיכוטומיה ‪ :‬לכל קבוצת פסוקים }→‪ Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל }→‪α, β ∈ W F F{¬,‬‬
‫אם מתקיים ‪ Γ ∪ {α} ` β‬וגם ‪ Γ ∪ {¬α} ` β‬אז ‪Γ ` β‬‬
‫למה ‪ 4.15‬לכל ‪ ,x, y, z, Γ‬אם )‪ Γ ` (y → z‬וגם )‪ ,Γ ` (x → y‬אזי )‪Γ ` (x → z‬‬
‫משפט ‪ 4.16‬משפט השלמות ל־‪:HP C‬‬
‫לכל }→‪ Γ ⊂ W F F{¬,‬ולכל }→‪ ,α ∈ W F F{¬,‬אם ‪ Γ α‬אז ‪Γ ` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫משפט ‪ 4.17‬משפט השלמות והנאותות‪ Γ α :‬אם ורק אם ‪.Γ ` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫משפט ‪ 4.18‬ניסוח שקול למשפט השלמות‪:‬‬
‫‪.v‬‬
‫‪ .Γ‬כלומר‪ ,‬אם לא ניתן להוכיח את ‪ α‬מתוך ‪ Γ‬אז יש השמה ‪ v‬כך ש ‪ v Γ‬אבל ‪α‬‬
‫‪ Γ‬אז ‪α‬‬
‫אם ‪`α‬‬
‫‪4.3‬‬
‫קבוצה עקבית‬
‫‪.Γ‬‬
‫הגדרה ‪ 4.19‬קבוצת פסוקים ‪ Γ‬נקראת עקבית אם יש פסוק ‪ ϕ‬כך ש־‪`ϕ‬‬
‫טענה ‪ Γ 4.20‬לא עקבית אם ורק אם קיים פסוק ‪ ϕ‬כך ש־‪ Γ ` ϕ‬וגם ‪)Γ ` ¬ϕ‬כאילו ‪ Γ‬נותנת לכולם(‬
‫משפט ‪ 4.21‬כל קבוצה עקבית היא ספיקה‬
‫הגדרה ‪ 4.22‬קבוצה עקבית מקסימלית היא קבוצת פסוקים ‪ ,X‬עקבית ולא קיימת קבוצה עקבית ‪ Y‬כך ש־ ‪.X ( Y‬‬
‫טענה ‪ Γ 4.23‬עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של ‪ Γ‬גם עקבית‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.24‬אם ‪ X‬עקבית מקסימלית ו־‪ ,X ` ϕ‬אז ‪.ϕ ∈ X‬‬
‫טענה ‪ 4.25‬לכל קבוצה עקבית מקסימלית ‪ X‬ולכל פסוק ‪ ϕ‬מתקיים ‪ ϕ ∈ X‬או ‪.¬ϕ ∈ X‬‬
‫טענה ‪ 4.26‬תהי ‪ X‬עקבית מקסימלית‪ .‬אז לכל זוג פסוקים ‪ α, β‬מתקיים )‪ X ` (α → β‬אם ורק אם ‪ ¬α ∈ X‬או ‪.β ∈ X‬‬
‫טענה ‪ 4.27‬כל קבוצה עקבית מוכלת בקבוצה עקבית מקסימלית‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.28‬אם ‪ Z‬עקבית ומתקיים ‪ Y ⊆ Z‬אז ‪.Z ⊆ Y‬‬
‫טענה ‪ 4.29‬כל קבוצה עקבית מקסימלית ספיקה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 4.30‬כל קבוצה עקבית היא ספיקה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ X 4.31‬עקבית אם ורק אם ‪ X‬ספיקה‪.‬‬
‫משפט ‪ 4.32‬השלמות והנאותות ‪ X ` α :‬אם ורק אם ‪.X α‬‬
‫משפט ‪ 4.33‬הקומפקטיות לתחשיב הפסוקים‪ X :‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של ‪ X‬ספיקה‪.‬‬
‫הערה ‪ 4.34‬נבדיל בין הרבדים הסינטקטי והסמנטי‪:‬‬
‫‪Semantics‬‬
‫‪↔ X satisfyable‬‬
‫‪↔ Xα‬‬
‫‪↔ α‬‬
‫‪Syntax‬‬
‫‪X consistent‬‬
‫‪X`α‬‬
‫‪`α‬‬
‫‪4.4‬‬
‫גדירות‬
‫הגדרה ‪ 4.35‬נאמר שקבוצת פסוקים ‪ X‬מגדירה את קבוצת ההשמות המספקות אותה }‪.Ass(X) = {v | v X‬‬
‫הגדרה ‪ 4.36‬נאמר שקבוצת השמות ‪ K‬היא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים ‪ X‬כך ש־ )‪K = Ass(X‬‬
‫הגדרה ‪ = Ass 4.37‬קבוצת כל ההשמות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.38‬קבוצת השמות ‪ K‬גדירה באופן סופי אם יש ‪ X‬סופית כך ש־)‪K = Ass(X‬‬
‫משפט ‪ 4.39‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ K .1‬גדירה וגם ‪ K c‬גדירה‬
‫‪ K .2‬גדירה באופן סופי‬
‫‪ K .3‬גדירה על ידי פסוק יחיד‬
‫‪9‬‬
‫תחשיב היחסים ־ לוגיקה מסדר ראשון‬
‫הקדמה‬
‫‪5‬‬
‫הגדרה ‪ 5.1‬אלפבית‪ :‬סימנים לוגיים המשותפים לכל השפות‬
‫‪ .1‬משתנים }‪{xi | i ∈ N‬‬
‫‪ .2‬סימני עזר‪ :‬סוגריים (‪),‬‬
‫‪ .3‬קשרים בוליאניים ↔ ‪¬, ∧, ∨, →,‬‬
‫‪ .4‬כמתים ∃ ‪∀,‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2‬מילון )סיגנטורה ‪ :(Signature‬המילון מכיל פרמטרים המיוחדים לשפה; תת קבוצה של‪:‬‬
‫‪ .1‬סימני קבוע }‪{ci | i ∈ N‬‬
‫‪ .2‬סימני יחס }‪ ,{Rn,i | n, i ∈ N‬כש־ ‪ Rn,i‬הוא סימן יחס ‪n‬־מקומי‬
‫‪ .3‬סימני פונקציה }‪ {fn,i | i, n ∈ N‬ו־ ‪ fn,i‬מסמן פונקציה ‪n‬־מקומית‬
‫הגדרה ‪ 5.3‬נאמר כי מילון הוא סופי‪ ,‬אם יש בו מספר סופי של סימונים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.4‬נאמר שמילון הוא יחסי אם אם אינו מכיל סימני פונקציה‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.5‬האלפבית של השפה איתה עובדים מורכב מהסימונים הלוגיים המשותפים לכל השפות ומהסימנים במילון‪ .‬בד"כ נסמן מילון‬
‫באותיות ‪ τ, σ‬וכו'‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.6‬שם עצם )‪ (term‬מעל מילון ‪.σ‬‬
‫ההגדרה ברקורסיה‪ :‬בסיס‪ :‬כל ‪ xi‬הוא שם עצם‪ .‬כל ‪ c ∈ σ‬גם שם עצם‪.‬‬
‫פעולות‪ :‬לכל ‪ f ∈ σ‬אם ‪ f‬פונקציה ‪ n‬מקומית ו־ ‪ t1 , .., tn‬שמות עצם גם ) ‪ f (t1 , ..., tn‬שם עצם‪.‬‬
‫משפט ‪ 5.7‬הקריאה היחידה לשמות עצם‪:‬‬
‫אם ‪ t‬הוא שם עצם מעל מילון ‪ σ‬אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪ t = xi .1‬לאיזשהו משתנה ‪xi‬‬
‫‪ t = c .2‬לאיזשהו סימן קבוע ‪c ∈ σ‬‬
‫‪ .3‬קיימת פונקציה יחידה ‪ f ∈ σ‬וקיימים ‪ t1 , .., tk‬שמות עצם יחידים כך ש־ ‪ f‬על ‪ k‬משתנים ו־) ‪t = f (t1 , ..., tk‬‬
‫‪5.1‬‬
‫נוסאות מעל מילון‬
‫הגדרה ‪ 5.8‬נוסחאות אטומיות‪ :‬לכל סימן יחס ‪n‬־מקומי ‪ R ∈ σ‬ולכל שמות עצם ‪ t1 , ..., tn‬מתקיים כי ) ‪ R(t1 , ..., tn‬הוא פסוק אטומי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.9‬פעולות‪:‬‬
‫‪ .1‬הפעלת קשרים של תחשיב הפסוקים‪ :‬אם ‪ α, β‬נוסחאות אז גם‬
‫• )‪(¬α‬‬
‫• )‪(α ∨ β) ,(α ∧ β‬‬
‫• )‪(α → β) ,(α ↔ β‬‬
‫‪ .2‬כמתים‪ :‬אם ‪ α‬נוסחה ו־‪ x‬משתנה‪ ,‬אז )‪ (∀x α‬ו־)‪ (∃x α‬נוסחאות‪.‬‬
‫הסגור תחת הפעולות האלה הוא הנוסחאות מעל ‪.σ‬‬
‫משפט ‪ 5.10‬משפט הקריאה היחידה לנוסחאות מעל ‪ :σ‬אם ‪ α‬נוסחה אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫• ‪ α‬נוסחה אטומית‪ :‬קיים ‪ R ∈ σ‬וקיימים שמות עצם ‪ t1 , ..., tn‬כך ש־) ‪.α = R(t1 , ..., tn‬‬
‫• )‪ β ,α = (¬β‬יחיד‬
‫• )‪ a = (β op γ‬כש־}↔ ‪ β, γ ,op ∈ {∧, ∨, →,‬יחידים ו־‪ op‬יחיד‪.‬‬
‫• ‪ a = ∃x β‬כש־‪ x, β‬יחידים‬
‫• ‪ α = ∀x β‬כש־‪ x, β‬יחידים‬
‫‪5.2‬‬
‫משתנים חופשיים וקשורים‬
‫הגדרה ‪ 5.11‬עבור שם עצם ‪ ,t‬קבוצת המשתנים החופשיים המופיעים בשם העצם‪ ,F V (t) ,‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫• אם ‪ t = c‬אז ∅ = )‪F V (t‬‬
‫• אם ‪ x) t = x‬משתנה( אז }‪F V (t) = {x‬‬
‫• אם ) ‪ t = f (t1 , ..., tn‬אז ) ‪F V (t) = F V (t1 ) ∪ F V (t2 ) ∪ ... ∪ F V (tn‬‬
‫הגדרה ‪ 5.12‬עבור נוסחה ‪ ,ϕ‬קבוצת המשתנים החופשיים של הנוסחה‪ ,F V (ϕ) ,‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫• אם ) ‪ ϕ = R(t1 , ..., tn‬אז ) ‪F V (ϕ) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn‬‬
‫• אם )‪ ϕ = (¬α‬אז )‪F V (ϕ) = F V (α‬‬
‫• אם )‪ ϕ = (α op β‬אז )‪F V (ϕ) = F V (α) ∪ F V (β‬‬
‫• אם ‪ ϕ = Qx α‬כש־}∃ ‪) F V (ϕ) = F V (α)\ {x} ,Q ∈ {∀,‬בעצם ‪ x‬אינו חופשי(‬
‫הערה ‪ 5.13‬כיוון שביטויים מהצורה ))‪((∀x ϕ(x)) → α(x‬מבלבלים‪ ,‬נראה שלנוסחה ))‪((∀y ϕ(y)) → α(x‬יש אותה משמעות סמנטית‪.‬‬
‫אז נוכל לשנות שם למשתנים קשורים כדי שיהיו שונים משמות המשתנים החופשיים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ x 5.14‬חופשי ב־‪ ϕ‬אם )‪x ∈ F V (ϕ‬‬
‫הגדרה ‪ 5.15‬שם עצם ‪ t‬יקרא סגור אם ∅ = )‪) F V (t‬כלומר שם העצם קשור(‬
‫הגדרה ‪ 5.16‬נוסחה ‪ ϕ‬תיקרא סגורה אם ∅ = )‪) F V (ϕ‬כלומר אין לה משתנים חופשיים כלל(‬
‫‪5.3‬‬
‫מבנה‬
‫הגדרה ‪ 5.17‬מבנה עבור מילון ‪:σ‬‬
‫מבנה ‪ M‬מורכב מהאובייקטים הבאים‪:‬‬
‫‪ .1‬תחום ‪ DM‬הינו קבוצה לא ריקה‪.‬‬
‫‪ .2‬פירוש של סימנים מ־‪:σ‬‬
‫)א( לכל סימן קבוע ‪ c ∈ σ‬מתאים איבר ‪cM ∈ DM‬‬
‫)ב( לכל סימן יחס ‪n‬־מקומי ‪ ,R ∈ σ‬מתאימים יחס ‪n‬־מקומי מעל‬
‫‪RM ⊂ DM × ... × DM :DM‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪n times‬‬
‫‪n‬‬
‫)ג( לכל סימן פונקציה ‪n‬־מקומי ‪ f ∈ σ‬מתאימים פונקציה ‪f M : DM → DM‬‬
‫‬
‫ומסמנים ‪M = DM , C0M , ..., f0M , ..., Rm , ...‬‬
‫הגדרה ‪ 5.18‬השמה‪v : {xi } → DM :‬‬
‫הגדרה ‪ 5.19‬ערך של שם עצם תחת השמה ‪ v‬במבנה ‪ M‬מעל מילון ‪:σ‬‬
‫אם ‪)ci ∈ σ‬כלומר קבוע במילון(‬
‫‪v̄(s) = cM‬‬
‫• ‪ s = ci‬אז ‪i‬‬
‫• ‪ s = xi‬אז ) ‪v̄(s) = v(xi‬‬
‫אם ) ‪ s = f (s1 , .., sn‬כש־‪ ,f ∈ σ‬אז )) ‪v̄(s) = f M (v̄(s1 ), ..., v̄(sn‬‬
‫‪11‬‬
‫‪5.4‬‬
‫הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון‬
‫הגדרה ‪ 5.20‬לכל ‪ d ∈ DM‬נסמן השמה של ‪ d‬במקום משתנה ‪xi‬‬
‫(‬
‫‪v(xj ) j 6= i‬‬
‫= ) ‪v (d/xi ) (xj‬‬
‫‪d‬‬
‫‪j=i‬‬
‫הגדרה ‪ 5.21‬יהי מבנה ‪ M‬והשמה ‪ .v‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ .1‬נוסחאות אטומיות‪ ϕ = R (s1 , ..., sn ) :‬כש־‪ .R ∈ σ‬אז ‪ v̄(ϕ) = t‬אם ורק אם ‪(v̄(s1 ), ..., v̄(sn )) ∈ RM‬‬
‫‪ .2‬קשרים לוגיים‪ :‬אם )‪ ϕ = (α op β‬כש־}↔ ‪ op ∈ {∧, ∨, →,‬או )‪ ϕ = (¬α‬אז ערך האמת של ‪ ϕ‬יקבע לפי טבלת האמת של‬
‫הקשר הרלוונטי‪.v̄ (ϕ) = T Top (v̄(α), v̄(β)) :‬‬
‫‪ .3‬כמתים‪ ϕ = ∃xi α :‬או ‪ϕ = ∀xi α‬‬
‫• ‪ v̄(∃xi α) = t‬אם ורק אם קיים ‪ d ∈ DM‬כך שעבור ) ‪ u = v (d/xi‬מתקיים ‪.ū(α) = t‬‬
‫• ‪ v̄ (∀xi α) = t‬אם ורק אם לכל ‪ d ∈ DM‬עבור ) ‪ u = v (d/xi‬מתקיים ‪.ū(α) = t‬‬
‫משפט ‪ 5.22‬אם ‪ u, v‬השמות כך שלכל )‪ v(x) = u(x) ,x ∈ F V (ϕ‬אז )‪v̄(ϕ) = ū(ϕ‬‬
‫הגדרה ‪ 5.23‬פסוק הינו נוסחה ללא משתנים חופשיים‬
‫מסקנה ‪ 5.24‬יהי ‪ ϕ‬פסוק‪ .‬אם קיימת השמה ‪ v‬כך ש־ ‪ v̄(ϕ) = t‬אזי לכל השמה ‪ū(ϕ) = t ,u‬‬
‫מסקנה ‪ 5.25‬ערך האמת של פסוק תלוי רק במבנה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫מושגי יסוד סמנטיים‬
‫הגדרה ‪t 6.1‬־נביעה )‪:(truth‬‬
‫• מבנה ‪ M‬והשמה ‪ v‬מספקים את ‪ ϕ‬אם ‪ .v̄(ϕ) = t‬נסמן ‪.M, v ϕ‬‬
‫• ‪ ϕ‬ספיקה במבנה ‪ M‬אם קיימת השמה ‪ v‬כך ש־‪ .M, v ϕ‬במקרה זה נאמר כי )‪ (M, v‬הוא ‪t‬־מודל של ‪.ϕ‬‬
‫• תהי ‪ Γ‬קבוצת נוסחאות‪ .‬אז‬
‫– ‪ Γ‬מסתפקת במבנה ‪ M‬תחת השמה ‪ v‬אם לכל ‪ ϕ ∈ Γ‬מתקיים ‪ M, v ϕ‬ונסמן ‪.M, v Γ‬‬
‫– ‪ Γ‬ספיקה במבנה ‪ M‬אם קיימת השמה ‪ v‬כך ש־‪ M, v Γ‬ונאמר כי)‪ (M, v‬הוא ‪t‬־מודל של ‪.Γ‬‬
‫• ‪ (Γ) ϕ‬ספיקה אם יש מבנה ‪ M‬בו ‪ (Γ)ϕ‬ספיקה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫• נסמן ‪ Γ ϕ‬אם כל ‪t‬־מודל של ‪ Γ‬הוא גם ‪t‬־מודל של ‪ .ϕ‬במילים אחרות‪ Γ ϕ ,‬אם לכל ‪ M, v‬כך ש־‪ ,v̄(α) = t‬לכל ‪,α ∈ Γ‬‬
‫מתקיים גם ‪ .v̄(ϕ) = t‬כלומר ‪M, v Γ → M, v ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫• ‪ ϕ‬היא ‪t‬־שקולה ל־‪ ψ‬אם ‪ {ϕ} ψ‬וגם ‪){ψ} ϕ‬כלומר כל ‪ M, v‬כך שמתקיים ‪(v̄(ϕ) = t ⇐⇒ v̄(ψ) = t‬‬
‫‪t‬‬
‫• נאמר כי ‪ ϕ‬היא ‪t‬־תקפה אם ‪) ∅ ϕ‬כלומר לא צריך מבנה והשמה כדי לספק אותה(‬
‫הגדרה ‪v 6.2‬־נביעה )‪:(valid‬‬
‫• ‪ (Γ) ϕ‬נכונה במבנה ‪ M‬אם לכל השמה ‪ ,M, v ϕ ,v‬ומסמנים ‪ M . M ϕ‬יקרא ‪v‬־מודל של ‪.ϕ‬‬
‫• ‪ (Γ) ϕ‬היא ‪v‬־ספיקה אם יש לה ‪v‬־מודל‪.‬‬
‫‪v‬‬
‫• ‪ ϕ‬נקראת ‪v‬־תקפה אם ‪ϕ‬נכונה בכל מבנה‪ .‬נסמן ‪. ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫• ‪ Γ ϕ‬אם כל ‪v‬־מודל של ‪ Γ‬הוא גם ‪v‬־מודל של ‪)ϕ‬כלומר בכל מבנה בו ‪ Γ‬נכונה גם ‪ ϕ‬נכונה(‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫• ‪ ϕ‬הוא ‪v‬־שקול ל־‪ ψ‬אם ‪ {ϕ} ψ‬וגם ‪){ψ} ϕ‬כלומר בכל מבנה בו ‪ ψ‬נכונה גם ‪ ϕ‬נכונה‪ ,‬ולהיפך(‬
‫טענה ‪6.3‬‬
‫‪ .1‬אם ‪v ϕ‬־תקפה אז כך גם ‪∀x ϕ ,∃x ϕ‬‬
‫‪ .2‬אם ‪v ∀x ϕ‬־תקפה אז ‪v ϕ‬־תקפה‬
‫‪ ϕ .3‬ו־‪ ψ‬הן ‪t‬־שקולות אם ורק אם לכל ‪ M, v‬מתקיים )‪v̄(ϕ) = v̄(ψ‬‬
‫הערה ‪ 6.4‬אם ‪ M, v ϕ‬אז בוודאי ‪ ;M, v 2 ¬ϕ‬מאידך ‪ ϕ‬וגם ‪ ¬ϕ‬יכולות להיות ספיקות ב־ ‪.M‬‬
‫אם ‪ M ϕ‬אז בוודאי ‪ M 2 ¬ϕ‬אבל אם ‪ M 2 ¬ϕ‬לא בהכרח ‪. M ϕ‬‬
‫טענה ‪6.5‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ Γ ϕ‬אז ‪) Γ ϕ‬הכיוון השני לאו דווקא נכון(‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ Γ‬מכילה רק פסוקים אז אם ‪ Γ ϕ‬אז ‪Γ ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ϕ .3‬אם ורק אם ‪) ϕ‬לכן נדבר רק על תקפות באופן כללי(‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ .4‬אם ב־‪ Γ‬יש רק פסוקים אז ‪ Γ ϕ‬אם ורק אם ‪Γ ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫‬
‫‪Γ¬ϕ‬‬
‫‪t Γ ∪ {ϕ} .5‬־ספיקה אם ורק אם‬
‫‬
‫טענה ‪t ϕ 6.6‬־שקולה ל־‪ ψ‬אם ורק אם )‪ (ϕ ↔ ψ‬תקפה‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪v‬‬
‫טענה ‪R(x) ∀x R(x) 6.7‬‬
‫הגדרה ‪ 6.8‬עבור נוסחה ‪ ϕ‬עם משתנים חופשיים ‪ ,x1 , ..., xn‬הסגור האוניברסלי של ‪ ϕ‬מסומן ∀‪ ϕ‬הוא הפסוק ‪∀x1 ∀x2 ....∀xn ϕ‬‬
‫טענה ‪ ϕ∀ 6.9‬מסתפק ב־ ‪ M‬אם ורק אם ‪v M‬־מודל של ‪ϕ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‬
‫‬
‫טענה ‪ Γ ϕ 6.10‬אם ורק אם ∀‪ Γ∀ ϕ‬אם ורק אם ∀‪ ,Γ∀ ϕ‬כש־ ‪Γ∀ = α∀ | α ∈ Γ‬‬
‫הצבה של שם עצם למשתנה‬
‫‪6.1‬‬
‫יהי ‪ x‬משתנה ו־‪ r‬שם עצם‪ .‬אינטואיציה‪ :‬רוצים להחליף "כל" מופע של ‪ x‬ב־‪ .r‬צריך להגדיר בזהירות בגלל האפשרות ש־‪ x‬קשור‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.11‬החלפת משתנה בשם עצם‪ ,‬עבור שמות עצם‪ :‬יהיו ‪ r, s‬שמות עצם‪ .‬שם העצם ]‪ s [r/x‬מוגדר באופן הבא‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫)א( אם ‪) s = c‬סימן קבוע( אז ‪s [r/x] = s‬‬
‫)ב( אם ‪ s = y‬אז‬
‫= ‪ y‬מתקיים ‪= s‬‬
‫‪ .i‬אם ‪6 x‬‬
‫‪ .ii‬אם ‪ y = x‬מתקיים ‪s [r/x] = r‬‬
‫]‪s [r/x‬‬
‫‪ .2‬אם ) ‪ s = f (s1 , ..., sn‬אז )]‪s [r/x] = f (s1 [r/x] , ..., sn [r/x‬‬
‫לפי משפט הקריאה היחידה אפשר לראות ש־]‪ s [r/x‬מוגדר היטב‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.12‬הצבת שם עצם למשתנה עבור נוסחאות‪ :‬יהי ‪ r‬שם עצם‪ ϕ ,‬נוסחה‪ .‬אז ]‪ ϕ [r/x‬מוגדרת באופן הבא‪:‬‬
‫‪ .1‬אם ) ‪ ϕ = R (s1 , ..., sn‬אז )]‪)ϕ [r/x] = R(s1 [r/x] , ..., sn [r/x‬כאשר ‪ si‬שמות עצם(‬
‫‪ .2‬אם ‪) ϕ = ϕ1 op ϕ2‬או ‪ (ϕ = ¬ϕ1‬אז ]‪) ϕ [r/x] = ϕ1 [r/x] op ϕ2 [r/x‬או ]‪(¬ϕ1 [r/x‬‬
‫‪) ϕ = Qy ψ .3‬כש־}∃ ‪(Q ∈ {∀,‬‬
‫)א( אם ‪ y = x‬אז ‪ϕ [r/x] = ϕ‬‬
‫)ב( אם ‪ y 6= x‬אז ]‪ϕ [r/x] = Qy ψ [r/x‬‬
‫הערה ‪ 6.13‬בעצם ]‪ ϕ [r/x‬מתקבלת מ־‪ ϕ‬ע"י החלפת כל המופעים החופשיים של ‪ x‬ב־‪.r‬‬
‫הגדרה ‪ r 6.14‬חופשי להצבה ב־‪ x‬בנוסחה ‪ ϕ‬אם‪:‬‬
‫‪ ϕ = R (s1 , .., sn ) .1‬אזי ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ϕ‬‬
‫‪ .2‬אם ‪) ϕ = ϕ1 or ϕ2‬או ‪ (ϕ = ¬ϕ1‬אז ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ ϕ‬רק אם ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ ϕ1‬וגם עבור ‪) ϕ2‬או‬
‫עבור ‪ ϕ1‬בלבד במקרה של ‪(ϕ = ¬ϕ1‬‬
‫‪ϕ = Qy ψ .3‬‬
‫)א( אם ‪ x‬אינו מופע ב־‪ ϕ‬אז ‪ r‬חופשי להצבה ב־‪ x‬בנוסחה )לא מתבצעות הצבות(‬
‫)ב( אם ‪ x‬אינו חופשי ב־‪ ϕ‬אז ‪ r‬חופשי להצבה )לא מתבצעות הצבות(‬
‫)ג( )‪ x ∈ F V (ϕ‬אז ‪ r‬חופשי להצבה אם‪:‬‬
‫∈‪y‬‬
‫‪/ F V (r) .i‬‬
‫‪ r .ii‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור ‪ψ‬‬
‫טענה ‪ r 6.15‬חופשי להצבה ב־‪ x‬עבור נוסחה ‪ ϕ‬אם ורק אם לאף משתנה )‪ y ∈ F V (r‬לא נוצר מופע קשור חדש‪ .‬הערה‪ :‬צריך להגדיר‬
‫מהם מופע קשור ומופע חופשי )יותר עדין ממשתנה קשור ‪ /‬חופשי(‬
‫‪14‬‬
‫טענה ‪ 6.16‬יהיו ‪ r, s‬שמות עצם ו־‪ v‬השמה‪ .‬נגדיר השמה חדשה‪ . u = v [v̄(r)/x] :‬כלומר‪:‬‬
‫(‬
‫‪v(y) y 6= x‬‬
‫= )‪u(y‬‬
‫‪v̄(r) y = x‬‬
‫אז )]‪ū(s) = v̄ (s [r/x‬‬
‫∈ ‪ y) y‬לא מופיע ב־‪ (r‬אזי )]‪ v̄(r) = ū (r [y/x‬כאשר ]‪.u = v [v(x)/y‬‬
‫טענה ‪ r 6.17‬שם עצם‪ v ,‬השמה ו־)‪/ F V (r‬‬
‫טענה ‪ 6.18‬שינוי שם משתנה קשור‬
‫תהי ‪ ϕ‬נוסחה כך ש־‪ y‬לא מופיע ב־‪ .ϕ‬לכן‪) ∃x ϕ ,‬באותו אופן ‪t (∀x ϕ‬־שקולה לנוסחה )‪) ∃y ϕ (y/x‬ובאותו אופן )‪(∀y ϕ (y/x‬‬
‫‪6.2‬‬
‫צורות קנוניות‬
‫הגדרה ‪P N F 6.19‬‬
‫נוסחאות ב־ ‪ P N F‬הן מהצורה ‪) Q1 x1 ...Qn xn ϕ‬כש־‪ ϕ‬חסרת כמתים(‬
‫הגדרה ‪ 6.20‬נוסחה חסרת כמתים )הגדרה אינדוקטיבית(‪:‬‬
‫בסיס‪ :‬נוסחאות אטומיות;‬
‫פעולות‪ :‬קשרים;‬
‫סגור‪ :‬נוסחאות חסרות כמתים‪.‬‬
‫הגדרה ‪:P N F 6.21‬‬
‫בסיס‪ :‬נוסחאות חסרות כמתים;‬
‫פעולות‪ :‬כמתים;‬
‫סגור‪.P N F :‬‬
‫משפט ‪ 6.22‬משפט ה־ ‪ :P N F‬לכל נוסחה מעל מילון ‪ σ‬קיימת נוסחת ‪ P N F‬מעל ‪t σ‬־שקולה לה‪.‬‬
‫הערה ‪ 6.23‬הפעולה של העברת נוסחה לנוסחת ‪ P N F‬נקראת חילוץ כמתים‪.‬‬
‫טענה ‪6.24‬‬
‫‪t ∀x (ϕ ∧ ψ) .1‬־שקולה ל־‪∀x ϕ ∧ ∀x ψ‬‬
‫‪t ∃x (ϕ ∨ ψ) .2‬־שקולה ל־‪∃x ϕ ∨ ∃x ψ‬‬
‫∈ ‪ x‬אזי ‪t (∀x ϕ) ∨ ψ‬־שקולה ל־)‪∀x (ϕ ∨ ψ‬‬
‫‪ .3‬אם )‪/ F V (ψ‬‬
‫∈ ‪ x‬אזי )‪t ∃x (ϕ ∧ ψ‬־שקולה ל־‪(∃x ϕ) ∧ ψ‬‬
‫‪ .4‬אם )‪/ F V (ϕ‬‬
‫‪¬∀x ϕ ≡ ∃x ¬ϕ ,¬∃x ϕ ≡ ∀x ¬ϕ .5‬‬
‫הערה ‪ ∀x (ϕ ∨ ψ) 6.25‬לאו דווקא שקולה ל־‪∀x ϕ ∨ ∀x ψ‬‬
‫‪6.3‬‬
‫גדירות יחסים במבנה‬
‫הגדרה ‪ 6.26‬יהיה ‪ σ‬מילון‪ M ,‬מבנה עבורו‪ .‬תהי ) ‪ ϕ (x1 , .., xn‬נוסחה מעל ‪ σ‬עם } ‪) F V (ϕ) = {x1 , ..., xn‬אולי ב־‪ ϕ‬יש משתנים‬
‫קשורים נוספים( אזי ‪ ϕ‬מגדירה ב־ ‪ M‬את היחס הבא‪:‬‬
‫‪Rϕ ⊂ DM × ... × DM‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪n times‬‬
‫כך ש־ ‪ (d1 , ..., dn ) ∈ Rϕ‬אם ורק אם ההשמה ‪ v‬המקיימת ‪ .v(x1 ) = d1 , ..., v(xn ) = dn‬מקיימת ‪ .v̄(ϕ) = t‬יחס ‪ R‬יקרא גדיר‬
‫ב־ ‪ M‬אם קיימת נוסחה ‪ ϕ‬כך ש־ ‪.R = Rϕ‬‬
‫‪15‬‬
‫בדיקת ספיקות‬
‫‪7‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫• פסוק‪ :‬נוסחה ללא משתנים חופשיים‪.‬‬
‫• פסוק‪/‬נוסחה אווניברסלי‪ ∀x1 ...∀xn ϕ :‬כש־‪ ϕ‬חסרת כמתים‪.‬‬
‫• פסוק‪/‬נוסחה יישי‪ ∃x1 ...∃xn ϕ :‬כש־‪ ϕ‬חסרת כמתים‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.1‬יהי ‪ σ‬מילון‪ ,‬אזי )‪ ∃x ϕ(x‬ספיקה מעל ‪ σ‬אם ורק אם ]‪ ϕ [c/x‬ספיקה מעל המילון }‪ ,σ 0 = σ ∪ {c‬כאשר ‪ c‬סימן קבוע חדש‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.2‬פסוק ) ‪ ∀y1 ...∀yn ∃x ϕ(x, y1 , ..., yn‬ספיק אם ורק אם הפסוק ) ‪ ∀y1 ...∀yn ϕ(f (y1 , ..., yn ), y1 , ..., yn‬ספיק מעל מילון‬
‫} ‪ σ 0 = σ ∪ {f‬כאשר ‪ f‬סימון פונקציה ‪n‬־מקומית חדש‪.‬‬
‫‪Skolem‬‬
‫(‪:‬‬
‫משפט ‪ 7.3‬סקולם )‬
‫קיים אלגוריתם שלכל פסוק ‪ ϕ‬בונה פסוק אוניברסלי ‪ ψ‬כך ש־‪ ϕ‬ספיק אם ורק אם ‪ ψ‬ספיק‪.‬‬
‫‪ ψ‬עשוי להיות מעל מילון שונה‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.4‬האם ‪ ϕ‬שקולה ל־‪ ?ψ‬לאו דווקא‪ ,‬בהרבה מקרים הן אפילו לא מוגדרות מעל אותו מילון!‬
‫הערה ‪ 7.5‬האם הטרנספורמציה שומרת על תקפות? לאו דווקא‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.6‬אם ‪ ϕ‬נוסחה חסרת משתנים וכמתים‪ ,‬נסמן ב־̂‪ ϕ‬את הנוסחה שהתאמנו לה בתחשיב הפסוקים‪) .‬מגדירים באינדוקציה‬
‫כמו שצריך(‪.‬‬
‫טענה ‪7.7‬‬
‫‪ ϕ .1‬ספיקה אם ורק אם ̂‪ ϕ‬ספיקה‪.‬‬
‫‪ ϕ .2‬תקפה אם ורק אם ̂‪ ϕ‬תקפה‪.‬‬
‫‪Herbrand‬‬
‫הגדרה ‪ 7.8‬מבנה הרברנד‬
‫‪ M‬הוא מבנה הרברנד מעל מילון ‪ σ‬אם‪:‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪ a ∈ DM‬יש שם עצם ‪ s‬ללא משתנים כך ש־‪sM = a‬‬
‫‪M‬‬
‫‪sM‬‬
‫‪ .2‬לכל שני שמות עצם שונים ‪1 6= s2 ,s1 6= s2‬‬
‫במבנה הרברנד איברים מהתחום מתאימים לשמות עצם באופן חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪7.1‬‬
‫תכונות של מבנה הרברנד‬
‫יהי ‪ σ‬מילון‪ H ,‬מבנה הרברנד עבורו‪.‬‬
‫‪ .1‬יש שם עצם ‪ r‬מעל משתנים ‪ .x1 , ..., xn‬נניח כי‪:‬‬
‫‪= d1 ⇔ s1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪v(x1‬‬
‫‪= dn ⇔ sn‬‬
‫) ‪v(xn‬‬
‫אז לכל השמה ‪ v‬מתקיים‬
‫‪M‬‬
‫] ‪v̄(r) = r [s1/x1 , ..., sn/xn‬‬
‫) ‪ si‬הם שמות העצם המתאימים ל־) ‪(v(xi‬‬
‫‪ ϕ .2‬נוסחה‪ .F V (ϕ) = {x1 , ..., xn } ,‬אז ‪ H, v ϕ‬אם ורק אם‬
‫] ‪H ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn‬‬
‫כש־‬
‫‪d1 ⇔ s1‬‬
‫=‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫) ‪v(x1‬‬
‫‪dn ⇔ sn‬‬
‫=‬
‫) ‪v(xn‬‬
‫‪ ∃x ϕ(x) .3‬נכון ב־‪ H‬אם ורק אם יש שם עצם ‪ r‬כך ש־]‪ ϕ [r/x‬נכון ב־‪.H‬‬
‫‪ ∀x ϕ(x) .4‬נכון ב־‪ H‬אם ורק אם לכל שם עצם ‪ ϕ [r/x] ,r‬נכון ב־‪.H‬‬
‫תזכורת בהינתן השמה ‪ ,v‬שם עצם ‪ s‬ומשתנה ‪ x‬הגדרנו‪ v 0 = v [v̄(s)/x]:‬והוכחנו ש־)‪ v̄ (r [s/x]) = v¯0 (r‬וכנ"ל לנוסחאות‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.9‬משפט הרברנד‬
‫יהי ‪ σ‬מילון ללא סימן =‪ .‬פסוק אוניברסלי ‪ ϕ‬מעל ‪ σ‬ספיק אם ורק אם הוא ספיק במבנה הרברנד‪.‬‬
‫‪Ground Instance‬‬
‫‪ :‬יהי ) ‪ α = ∀x1 ...∀xn ϕ(x1 , ..., xn‬פסוק אוניברסלי‪ .‬נוסחה המתקבלת על ידי הצבת‬
‫הגדרה ‪ 7.10‬נגדיר‬
‫שמות עצם סגורים )כאלו שעבורם מתקיים ∅ = )‪ (F V (t‬למשתנים ‪ x1 , ..., xn‬נקראת ‪ ground instance‬של ‪.α‬‬
‫‬
‫‬
‫‪GrIns(α) = ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn ] | s1 , ..., sn ∈ T erm‬‬
‫כש־‪ T erm‬־ קבוצת שמות העצם הסגורים‪.‬‬
‫משפט ‪ σ 7.11‬מילון ללא =‪ Γ .‬קבוצת פסוקים אוניברסלית מעל ‪ .σ‬הטענות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ Γ .1‬ספיקה‬
‫‪ Γ .2‬ספיקה במבנה הרברנד‬
‫‪ GrIns(Γ) .3‬ספיקה )‪GrIns(ϕ‬‬
‫‪ϕ∈Γ‬‬
‫‪S‬‬
‫= )‪)GrIns(Γ‬הרחבה של המשפט(‬
‫‪ GrIns(Γ) .4‬ספיקה במבנה הרברנד‬
‫טענה ‪) 7.12‬נניח שב־‪ σ‬אין שוויון( אם ‪ Λ‬קבוצת פסוקים ללא משתנים וללא כמתים‪ ,‬אז ‪ Λ‬ספיקה אם ורק אם היא ספיקה במבנה‬
‫הרברנד‪.‬‬
‫בדיקת תקפות‬
‫‪8‬‬
‫בהינתן פסוק ‪ ϕ‬נראה תהליך שעוצר אם ‪ ϕ‬תקף )ואומר ‪ ϕ‬תקף(‪ ,‬אחרת עשוי לרוץ לעד‪ .‬נשים לב כי ‪ ϕ‬תקף ⇔ ‪ ¬ϕ‬לא ספיק‪.‬‬
‫נרצה להעביר את ‪ ¬ϕ‬לצורה אוניברסלית )נעשה זאת בעזרת סקולמיזציה(‪.‬‬
‫נקבל פסוק אוניברסלי ‪ .ψ‬לפי המשפט שראינו‪ ψ ,‬אינו ספיק אם ורק אם )‪ GrIns(ψ‬אינה ספיקה במבנה הרברנד‪.‬‬
‫ראינו שניתן לתרגם נוסחאות ללא משתנים וללא כמתים לתחשיב הפסוקים באופן משמר ספיקות‪ .‬נקרא לקבוצה ‪.Γ‬‬
‫לפי משפט הקומפקטיות בתחשיב הפסוקים‪ Γ ,‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה‪.‬‬
‫הפרוצדורה תעבור על כל תתי הקבוצות הסופיות עד שתמצא אחת שאינה ספיקה ואז תכריז ש־‪ ϕ‬תקף‪.‬‬
‫‪8.1‬‬
‫משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים‬
‫משפט ‪ 8.1‬משפט הקומפקטיות עבור נוסחאות מעל מילון ללא =‪:‬‬
‫‪ Γ .1‬ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה‪.‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ Γ ϕ .2‬אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ‪ ,∆ ⊆ Γ‬כך ש־‪.∆ ϕ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪ Γ ϕ .3‬אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ‪ ,∆ ⊆ Γ‬כך ש־‪.∆ ϕ‬‬
‫משפט ‪" 8.2‬היורד" )‪ LöwenheimSkolem‬־ ‪(Downward‬‬
‫‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ ϕ‬ספיקה במבנה סופי או בן מניה‪.‬‬
‫משפט ‪" 8.3‬העולה" )‪ LöwenheimSkolem‬־ ֹ‪(Upward‬‬
‫אם ‪ ϕ‬ספיקה במבנה אינסופי‪ ,‬אז לכל עוצמה אינסופית ‪ λ‬יש מבנה מעוצמה ‪ λ‬המספק את ‪.ϕ‬‬
‫‪8.2‬‬
‫לוגיקה מסדר ראשון עם סימן =‬
‫הערה ‪ 8.4‬נזכר כי ‪σ = hc0 , c1 , ..., f1 , ..., R1 , ...i‬והאלפבית שלנו הוא ↔ ‪ .(, ), ∃, ∀, →, ¬, ∧, ∨,‬כעת נוסיף סימן חדש‪= :‬‬
‫יש הרבה ספרים בהם סימן = הוא חלק מהשפה ־ נמצא בכל מילון ותמיד מפורש כשיוויון‪ .‬בפרט כשיש שוויון‪ ,‬גם ) ‪ (t1 = t2‬פסוק‬
‫אטומי‪.‬‬
‫רעיון לטיפול ב־=‪ :‬להגדיר מבנה בו האיברים הם מחלקות שקילות של שמות עצם סגורים בהתאם למבנה ‪ ,M‬כך ש־) ‪ (t1 ∼ t2‬אם‬
‫‪.(t1 = t2 )M = t‬‬
‫משפט ‪ 8.5‬קיים אלגוריתם שעבור נוסחה ‪ ϕ‬בונה נוסחה ‪ ψ‬ללא שיוויון כך ש־‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ ψ‬ספיקה‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.6‬יש אלגוריתם שבהינתן נוסחה ‪ ϕ‬בונה נוסחה ‪ ϕ0‬ללא סימני פונקציה כך ש־‪ ϕ‬ספיקה אם ורק אם ‪ ϕ0‬ספיקה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.7‬יחס ‪ E‬נקרא יחס קונגרואנציה אם‪:‬‬
‫‪ E .1‬יחס שקילות‪:‬‬
‫))‪Equivalence(E) : (∀x E(x, x)) ∧ (∀x, y E(x, y) → E(y, x)) ∧ ∀x, y, z (E(x, y) ∧ E(y, z) → E(x, z‬‬
‫‪ .2‬לכל יחס ‪ R‬מתקיימת הנוסחה )‪ ;Cong(E, R‬אם ‪ R‬יחס ‪k‬־מקומי אז‬
‫))) ‪Cong(E, R) : ∀x1 , ..., xk ∀y1 , ..., yk (E(x1 , y1 ) ∧ ... ∧ E(xk , yk ) ∧ (R(x1 , ..., xk ) → R(y1 , ..., yk‬‬
‫מסקנה ‪ 8.8‬משפט הקומפקטיות למילון עם שוויון‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.9‬לא קיים אלגוריתם לבעיית התקפות )משפט ‪) (Church‬מאידך‪ ,‬ראינו פרוצדורה שאומרת "כן" לנוסחאות תקפות‪ ,‬ולא‬
‫עוצרת כשהנוסחה אינה תקפה(‪.‬‬
‫‪8.3‬‬
‫בעיית התקפות אינה כריעה‬
‫הגדרה ‪ 8.10‬בעיית העצירה‪ :‬בהינתן מכונת טיורינג‪ ,‬צריך להכריע האם המכונה עוצרת על הקלט הריק‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.11‬לא קיים אלגוריתם לבעיית העצירה ]מודלים חישוביים[‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.12‬בעיית הריצוף‪ :‬קלט‪" :‬לבנים" ‪ 1 × 1‬עם צדדים צבועים )מספר סופי של סוגי לבנים(‪.‬‬
‫מטרה‪ :‬לרצף את הרביע הראשון; צלעות משיקות צבועות באותו הצבע‪.‬‬
‫השאלה ־ האם קיים ריצוף כזה?‬
‫משפט ‪ 8.13‬אין אלגוריתם לבעיית הריצוף )ע"י רדוקציה לבעיית העצירה(‪.‬‬
‫‪8.3.1‬‬
‫מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות‬
‫מילון ‪ σ‬יקרא מונאדי אם במילון יש רק יחסים חד מקומיים )בלי פונקציות ובלי שוויון(‪.‬‬
‫משפט ‪ 8.14‬משפט המבנה הקטן‬
‫אם נוסחה ‪ ϕ‬המוגדרת מעל מילון מונאדי ספיקה‪ ,‬אז היא ספיקה במבנה סופי )אם יש בה ‪ k‬יחסים היא ספיקה במבנה בגודל‬
‫‪ k ,2k‬יכול להיות עצמה אינסופית(‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון‬
‫‪9‬‬
‫תזכורת )תחשיב הפסוקים(‪ 3 :‬אקסיומות‪ ,‬כלל היסק‬
‫הגדרה ‪ 9.1‬אקסיומות למערכת הוכחה‬
‫‪α,α→β‬‬
‫‪β‬‬
‫= ‪MP‬‬
‫‪α → (β → α) :A1‬‬
‫‪(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2‬‬
‫‪(¬β → ¬α) → (α → β) :A3‬‬
‫‪ ∀x α(x) → α [t/x] :A4‬לכל שם עצם ‪ t‬החופשי להצבה ב־‪ x‬ב־‪α‬‬
‫‪ ∀x (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀x ψ) :A5‬כאשר ‪ x‬אינו חופשי ב־‪ϕ‬‬
‫הגדרה ‪ 9.2‬כללי היסק‬
‫•‬
‫‪(α → β) , α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪:‬‬
‫‪MP‬‬
‫•‬
‫)‪ϕ(x‬‬
‫)‪∀x ϕ(x‬‬
‫‪Gen :‬‬
‫הערה ‪9.3‬‬
‫• לא נבדיל בין נוסחאות שהתקבלו משינוי שם משתנה‬
‫• נאמר כי ‪ Γ ` α‬אם ‪ α‬יכיח במערכת ההוכחה הנ"ל‪ ,‬מקבוצת נוסחאות ‪.Γ‬‬
‫‪HC‬‬
‫• ‪ HC‬היא מערכת הוכחה מעל }∀ ‪{¬, →,‬‬
‫• לא מטפלים בשוויון; לא ניתן להוכיח במערכת ההוכחה הזאת ‪ .x = x‬אם רוצים לטפל בשוויון מוסיפים אקסיומות שמבטאות‬
‫את העובדה ש־= הוא יחס שקילות וקונגרואנציה‪.‬‬
‫‪9.1‬‬
‫משפטי השלמות והנאותות‬
‫‪v‬‬
‫משפט ‪ 9.4‬הנאותות‪ :‬אם ` ‪ Γ‬אז ‪Γ α‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪v‬‬
‫משפט ‪ 9.5‬השלמות‪ :‬אם ‪ Γ α‬אז ‪Γ ` α‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט ‪ 9.6‬ניסוח שקול למשפט השלמות‪ :‬אם ‪ Γ‬עקבית )יש פסוק שלא יכיח מ־‪ (Γ‬אז יש מבנה בו היא נכונה‪.‬‬
‫טענה ‪ 9.7‬נניח ש־‪ . ` α‬לכל הצבה של נוסחאות ב־‪ F OL‬למשתנים האטומים ב־‪) α‬נקרא לנוסחה החדשה ̂‪ (α‬מתקיים ̂‪` α‬‬
‫‪HP C‬‬
‫‪9.2‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט הדדוקציה‬
‫משפט ‪ 9.8‬משפט הדדוקציה ל־‪ :HC‬אם ‪ Γ, α ` β‬ויש הוכחה של ‪ β‬מ־‪ Γ, α‬שבה לא הפעלנו את ‪ Gen‬על אף משתנה חופשי ב־‪,α‬‬
‫‪HC‬‬
‫אז )‪.Γ ` (α → β‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪20‬‬
‫‪9.3‬‬
‫משפט הדיכוטומיה‬
‫משפט ‪ 9.9‬משפט הדיכוטומיה ב־‪ :HC‬אם ‪ Γ, α ` β‬וגם ‪ Γ, ¬α ` β‬וניתן לכתוב כל אחת מההוכחות ללא הפעלת כלל ‪ Gen‬על‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫אף משתנה חופשי ב־‪ ,α‬אז ‪.Γ ` β‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט ‪ 9.10‬יהי ‪ c‬סימן קבוע שלא מופיע ב־‪ Γ‬או ב־‪ .α‬אז אם ]‪ Γ ` α [c/x‬אז )‪.Γ ` ∀x α(x‬‬
‫‪HC‬‬
‫‪HC‬‬
‫הגדרה ‪ 9.11‬קבוצת נוסחאות ‪) Γ‬אולי מעל ‪ (σ ⊂ Σ‬היא שלמה עבור מילון ‪ σ‬אם לכל פסוק ‪ ϕ‬מעל ‪ σ‬מתקיים ‪ ϕ ∈ Γ‬או ‪.¬ϕ ∈ Γ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫הערה ‪ 9.12‬כשמוכיחים את משפט השלמות די לדבר על קבוצת פסוקים ‪ Γ‬כי ‪ Γ α‬אם ורק אם ‪ Γ∀ α‬וברור שאם ‪ Γ∀ ` α‬אז‬
‫‪HC‬‬
‫‪.Γ ` α‬‬
‫‪HC‬‬
‫משפט ‪ 9.13‬אם ‪ Γ‬עקבית מעל ‪ σ‬אז יש ‪ Γ ⊂ Γ0‬עקבית ושלמה מעל ‪.σ‬‬
‫ל־‪ Γ‬יש את תכונת הנקין )‪Henkin‬‬
‫הגדרה ‪9.14‬‬
‫‪ Σ‬כך ש־‪.¬ψ [c/x] ∈ Γ‬‬
‫( עבור מילון ‪ σ‬אם לכל פסוק ‪ ϕ ∈ Γ‬מעל ‪ σ‬מהצורה )‪ ϕ = ¬∀x ψ(x‬יש ‪ c‬במילון‬
‫‪5‬‬
‫משפט ‪ 9.15‬משפט הנקין‪ :‬אם ‪ Γ‬עקבית מעל מילון ‪ σ‬אז יש ∆ עקבית‪ ,‬בעלת תכונת הנקין ל־‪ ,σ‬מעל מילון ‪ σ ⊂ Σ‬כך ש־∆ ⊂ ‪.Γ‬‬
‫למה ‪ 9.16‬אם ‪ Γ‬עקבית‪ ¬∀x ψ ∈ Γ ,‬פסוק ו־‪ c‬קבוע חדש אז }]‪ Γ ∪ {¬ψ [c/x‬עקבית‪.‬‬
‫מסקנה ‪) 9.17‬הרחבה של המשפט( אם ‪ Γ‬עקבית מעל ‪ σ‬אז יש ∆ ⊂ ‪ Γ‬מעל ‪ σ ⊂ Σ‬ועקבית‪ ,‬בעלת תכונת הנקין ביחס ל־‪.Σ‬‬
‫משפט ‪ 9.18‬כל קבוצה עקבית ‪ Γ‬מעל ‪ σ‬מוכלת בקבוצה עקבית ∆ מעל ‪ σ ⊂ Σ‬שהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין ביחס ל־‪.Σ‬‬
‫‪5‬מותר ש־‪ Γ‬מעל ‪σ ⊆ Σ‬‬
‫‪21‬‬