הקדמה
לוגיקה ־ סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים
תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר
הקדמה
הגדרה 0.1טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.
הערה 0.2נשים לב שלכל שפה יש רובד סינטקטי ורובד סמנטי.
הרובד הסינטקטי הוא בעצם ה־א"ב שלנו ,סימני הפיסוק והכללים לבניית מילים
הרובד הסמנטי מתייחס למילים עצמן )מה המשמעות של המילה בשפה(
הגדרה 0.3בניית קבוצה באינדוקצית מבנה
תהי קבוצה Ωהעולם בו אנחנו נמצאים.
נסמן ב־ Bלהיות קבוצת הבסיס שלנו .נשים לב כי.B ⊆ Ω
נסמן ב־ Fאת קבוצת הפונקציות כך שכל fn,i ∈ Fהיא פונקציה fn,i : Ωn → Ω
נסמן ב־ XB,Fאת הקבוצה המוגדרת באינדוקציה ע"י Bו XB,F .F −ההיא הקבוצה המקיימת את הדרישות הבאות:
B ⊆ XB,F .1
.2לכל fn,i ∈ Fולכל x1 , ..., xn ∈ XB,Fגם fn,i (x1 , ..., xn ) ∈ XB,F
XB,F .3הינה קבוצה מינימלית
משפט 0.4קיימת קבוצה XB,Fהמקיימת את הדרישות .1,2,3
משפט 0.5משפט ההוכחה באינדוקציה
אם Aקבוצה המקיימת את התנאים הבאים:
B ⊂ A .1
.2לכל פונקציה fn,i ∈ Fולכל איבר בקבוצה x1 , ..., xn ∈ Aמתקיים fn,i (x1 , .., xn ) ∈ A
אזי .XB,F ⊂ A
הגדרה 0.6סדרת יצירה עבור איבר a ∈ XB,Fהינה סדרה סופית a1 , .., akכך שמתקיים:
) a = ak .1כלומר aהוא האיבר האחרון שמתקבל בסדרה(
.2כל איבר aiבסדרה ,מקיים ai ∈ Bאו התקבל מהפעלת פונקציה ב־ Fעל איברים קודמים בסדרה.
משפט a ∈ XB,F 0.7אם ורק אם יש ל־ aסדרת יצירה.
הערה 0.8איך נראה שמילה בשפה? נבנה סדרת יצירה עבור המילה.
הערה 0.9איך נראה שמילה אינה בשפה? נרצה להראות כי קיימת תכונה מסויימת כלשהי של שפות .השפה שלנו תקיים את התכונה
אך המילה לא תקיים אותה ולכן המילה שלנו לא שייכת לשפה .נראה כי השפה שלנו מקיימת את התכונה ע"י סדרת יצירה.
1
תחשיב הפסוקים
1
הקדמה:
בתחשיב הפסוקים יש לנו אותיות וקשרים מהם נבנה ביטויים מורכבים.
אותיותP0 , P1 , ... :
קשרים∧, ∨, ¬, →, R :
ביטוי :ביטוי הוא סדרה סופית של סימנים Σ = {( , ) , ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔} ∪ {Pi | i ∈ N} :וקבוצת הביטויים שלנו תהיה ∗.Σ
הגדרה 1.1קבוצת הביטויים החוקיים ־ W F F־ : Well Formed Formulas
נגדיר את קבוצת הביטויים החוקיים בהגדרה אינדוקטיבית.
בסיס:
פסוקים \ נוסחאות אטומיות B = {Pi | i ∈ N} :
פעולות ,F = {F∧ , F∨ , F¬ , F→ , F↔ } :כאשר:
)(a ∧ b
=
)F∧ (a, b
)(a ∨ b
=
)F∨ (a, b
)(a → b
=
)F→ (a, b
)(a ↔ b
=
)F↔ (a, b
)(¬a
=
)F¬ (a
וקבוצת הביטויים החוקיים ) (WFF - Well Formed Formulasתהיה הסגור של Bביחס ל־ .F
טענה 1.2כל ביטוי חוקי ) (WFFהוא פסוק אטומי או מתחיל ב־( ונגמר ב־).
טענה 1.3בכל ביטוי חוקי ).#( = #
הערה (P1 ∧ P2 ) 1.4ו־) (P2 ∧ P1הם ביטויים שונים.
משפט הקריאה היחידה
משפט 1.5משפט הקריאה היחידה
לכל ביטוי חוקי α ∈ W F Fמתקיים בדיוק אחד מהבאים:
α .1פסוק אטומי
.2קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ∧ γ
.3קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ∨ γ
.4קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β → γ
.5קיימים פסוקים יחידים β, γ ∈ W F Fכך ש־)α = (β ↔ γ
.6קיים פסוק יחיד β ∈ W F Fכך ש־)α = (¬β
משפט 1.6ניסוח שקול של משפט הקריאה היחידה
לכל פסוק α ∈ W F Fמתקיים שני הבאים:
.1אם יש פסוקים β, γ ∈ W F Fופעולה}↔ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,כך ש־) α = (β op γאז:
לכל זוג פסוקים β 0 , γ 0ופעולה}↔ op0 ∈ {∧, ∨, ¬, →,אם מתקיים) α = (β 0 op0 γ 0אז בהכרח .γ = γ 0 , op = op0 , β = β 0
.2אם יש פסוק β ∈ W F Fכך ש־ α = ¬βאז:
אין פסוקים γ, δ ∈ W F Fו־}↔ op ∈ {∧, ∨, ¬, →,כך ש־) α = (γ op δוגם אם ϕ ∈ W F Fמקיים ) α = (¬ϕאז .ϕ = β
2
אלגוריתם לבדיקה האם ∗ α ∈ Σהוא ב־ ?W F F
.1אם αפסוק אטומי אז נאמר .α ∈ W F Fאם לא ,ממשיכים.
.2אם αמתחיל ב־( ונגמר ב־) אז נמחק אותם ונמשיך ל־ .3אחרת נאמר ש־ αאינו ב־ .W F F
.3אם הסימן הראשון הוא ¬נמשיך ל־ .4אחרת ל־.5
.4נמחק את ¬ ונחזור ל־.1
.5נעבור על הפסוק משמאל לימין עד שמספר הסוגריים השמאליים יהיה שווה למספר הימניים )נמצא את "האיבר השמאלי"(.
נקודת השוויון היא מיד לאחר הסוגר הימני שמשיג את השוויון:
...)|·...
אם הגענו לקשר דו מקומי )↔ (∧, ∨, ¬, →,נמחק אותו ונריץ שוב את האלגוריתם עבור סדרת הסימנים משמאל לקשר וסדרת
הסימנים מימין לקשר.
אם לא הגענו לקשר דו מקומי או שאין נקודת שוויון נאמר ש־ αאינו ב־ .W F Fאם הביטוי הימני או השמאלי לא ב־ W F F
נאמר ש־ αאינו ב־ .W F Fלבסוף נודיע ש־ .α ∈ W F F
הגדרה 1.7סדר קדימויות על כמתים
• ¬
• ∨ ∧,
• ⇔ ⇒,
1
הגדרה W F F{¬,→} 1.8
בסיס.B = {Pi | i ∈ N} :
פעולות.F = {F¬ , F→ } :
}→ W F F{¬,הוא הסגור.
1באותו אופן מוגדרות }∧ W F F{¬,או }∨W F F{∧,
3
2
תקפות טיעון
הגדרה 2.1טיעון תקף :טענה שמסקנתה נכונה בכל פעם שההנחות נכונות.
אינטואיציה :כדי לדעת האם ביטוי "נכון" או "לא נכון" ,נתעניין אך ורק בהאם ה"הנחות" ) " (P1 , ..., Pjנכונות" או לא .כלומר האם
Piנכון או לא נכון.
מטרתנו תהיה ליצור קשר בין "ערך האמת" של פסוק αלערכי האמת של המשתנים.
הגדרה 2.2השמה 2היא פונקציה } v : {Pi | i ∈ N} → {t, f
הגדרה 2.3ערך האמת:
בהינתן השמה } ,v : {Pi | i ∈ N} → {f, tנגדיר את ערך האמת v̄ : W F F → {t, f } 3
יהי α ∈ W F F
:
• אם αפסוק אטומי ,נגדיר )v̄(α) = v(α
• אם ) α = (β op γאז ))v̄(α) = T Top (v̄(β), v̄(γ
• אם ) α = (¬βאז ))v̄(α) = T T¬ (v̄(β
משפט 2.4משפט הגדרת ערך האמת:
ערך האמת )כמו שהגדרנו אותו( מוגדר היטב ,ובפרט יחיד.
טענה 2.5אם כל המשתנים המופיעים ב־ αהם מהקבוצה } {P1 , ..., Pnו־ v, zהן השמות המסכימות על משתנים אלו )כלומר,
) ,(∀1 ≤ i ≤ n, v(Pi ) = z(Piאז מתקיים )v̄(α) = z̄(α
הגדרה 2.6קבוצת קשרים היא שלמה פונקציונלית
4
אם ניתן להביע בעזרתה כל טבלת אמת.
טענה {¬, →} ,{¬, ∧},{¬, ∧, ∨} 2.7שלמות פונקציונלית.
הערה 2.8איך נראה שקבוצה היא שלמה פונקציונלית? נרצה לתאר בעזרת הקבוצה הזאת קבוצה שלמה פונקציונלית אחרת.
איך נראה שקבוצה אינה שלמה פונקציונלית? נחפש תכונה שכל הנוסחאות מעל קשרי הקבוצה מקיימות )נוכיח תכונה זו בעזרת
אינדוקציית מבנה( ונמצא טבלת אמת כלשהי שלא מקיימת תכונה זו ומכאן נקבל סתירה כי ההגדרה של קבוצה שלמה פונקציונלית
היא שבעזרתה אנחנו יכולים להביע כל טבלת אמת.
2אלכס )מרצה אחר( קורא להשמה סביבה
3אלכס מסמן [|α|]vוארנון מסמן ) v(αולא מבדיל בין השמה לערך האמת
4קיצור ש"פ
4
סימונים ומושגים סמנטיים בסיסיים
3
הגדרה 3.1תהי השמה :v
• אם v̄(α) = tנסמן v |= αונאמר כי vמספקת את .α
• נאמר כי αספיקה ,אם קיימת השמה vכך ש־.v |= α
• נאמר כי αטאוטולוגיה אם לכל השמה vמתקיים .v |= α
• פסוק αיקרא סתירה אם לא קיימת השמה vכך ש־¬α) v |= αתהיה טאוטולוגיה(
• נאמר כי פסוק αשקול לפסוק βאם לכל השמה vמתקיים ) v̄(α) = v̄(βונסמן .a ≡ β
• קבוצת נוסחאות Γספיקה אם קיימת השמה vכך שלכל פסוק v̄(α) = t ,α ∈ Γונסמן .v |= Γ
• αנובעת סמנטית מ־ Γאם לכל vמתקיים :אם v |= Γאזי v |= αומסמנים .Γ |= α
מסקנה 3.2מסקנות חשובות:
.1טאוטולוגיה((α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))) :
.2שקילויות:
)≡ α ∧ (β ∧ γ
(α ∧ β) ∧ γ
)≡ (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ
(α ∧ β) ∨ γ
)(α ∧ β) ≡ (β ∧ α
)(α ∨ β) ≡ (β ∨ α
¬(¬α) ≡ α
.3אם Γ ∪ {α} |= βוגם Γ ∪ {¬α} |= βאזי .Γ |= β
.4אם Γ ∪ {¬α} |= βוגם Γ ∪ {¬α} |= ¬βאזי )Γ |= αמצב זה לא ייתכן ולכן נכון באופן ריק(.
.5אם Γ ∪ {¬α} |= αאזי .Γ |= α
.6אם α ≡ βאזי .{α} |= β
|= (α → β) .7אם"ם .{α} |= β
{α1 , . . . , αn } .8ספיקה אם"ם α1 ∧ · · · ∧ αnספיק.
.9אם Γ1 ⊆ Γ2ו־ Γ1 |= αאזי .Γ2 |= α
3.1
הצבות
הגדרה 3.3החלפת פסוק אטומי בנוסחה נקרא הצבה
הגדרה 3.4תהיינה ϕ, αנוסחאות ו־ P1פסוק אטומי ,נגדיר כעת את ההצבה של נוסחה αבמקום הפסוק האטומי P1בתור ־
) .ϕ(α/P1
הגדרה 3.5אם ϕהוא פסוק אטומי ,אז
(
α ϕ = P1
= ) ϕ(α/P1
=ϕ ϕ
6 P1
אם ) ϕ = (¬ψאז
)) ϕ(α/P1 ) = (¬ψ(α/P1
5
ואם ) ϕ = (ψ op γאז
)) ϕ(α/P1 ) = (ψ(α/P1 ) op γ(α/P1
טענה 3.6לכל זוג נוסחאות מקבוצת הביטויים החוקיים ϕ, α ∈ W F F ,מתקיים כי ϕ(α/P1 ) ∈ W F F
הגדרה :ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) 3.7
בסיס :אם ϕפסוק אטומי ,נגדיר באופן דומה להגדרה הקודמת
α1 ϕ = P1
α2 ϕ = P2
.
..
ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = ..
.
αn ϕ = Pn
ϕ
otherwise
אם ) ϕ = (¬ψאז
)) ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = (¬ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn
ואם ) ϕ = (ψ op γאז
)) ϕ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) = (ψ(α1 /P1 , . . . αn /Pn ) op γ(α1 /P1 , . . . αn /Pn
הגדרה 3.8הקשר בין ערכי אמת לפני ולאחר הצבה:
בהנתן השמה vנגדיר השמה חדשה : v 0
(
v(α1 ) i = 1
= ) v 0 (P1
= v(Pi ) i
6 1
טענה 3.9עבור השמה vוההשמה שהגדרנו ,v 0מתקיים כי )) .v̄ 0 (ϕ) = v(ϕ(α1 /P1
מסקנה 3.10אם ϕהוא טאוטולוגיה ,אז כך גם ) ϕ(α1 /P1 , . . . , αn /Pnלכל .α1 . . . , αn ∈ W F F
3.2
צורות נורמליות
הגדרה 3.11נגדיר את הצורה הנורמלית (Negation Normal Form) N N Fבאופן אינדוקטיבי כסגור של
הבסיס } ,B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ Nוהפעולות } ∨.F = {f∧ , f
טענה 3.12לכל α ∈ W F Fקיים α0 ∈ N N Fכך ש־ .α ≡ α0
הגדרה 3.13נגדיר את Conjלהיות הסגור של הבסיס } B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ Nעם הפעולה ∧.F = f
נגדיר את הצורה הנורמלית (Disjunctive Normal Form) DNFלהיות הסגור של הבסיס Conjעם הפעולה } ∨.F = {f
טענה 3.14לכל α ∈ W F Fקיים β ∈ DN Fכך ש־ .α ≡ β
הגדרה 3.15נגדיר את Disjלהיות הסגור של הבסיס } B = {Pi |i ∈ N} ∪ {(¬Pi )i ∈ Nעם הפעולה } ∨.F = {f
הגדרה 3.16נגדיר את הצורה נורמלית (Conjunctive Normal Form) CNFכסגור של הבסיס Disjעם הפעולה } ∧.F = {f
טענה 3.17לכל α ∈ W F Fקיים β ∈ CN Fכך ש־ .α ≡ β
6
הוכחה בתחשיב הפסוקים
4
הגדרה 4.1באופן אבסטרקטי מערכת הוכחה מורכבת מהבאים:
.1אלפבית )אצלנו הפסוקים } {Pi i ∈ Nוהפעולות }↔ .({∧ , ∨ , ¬ , → ,
.2נוסחאות מעל האלפבית )אצלנו ה־.(WFF
.3קבוצת נוסחאות הנקראות אקסיומות .A
.4כללי היסק .F
הגדרה 4.2נאמר שפסוק ϕיכיח מתוך קבוצת ההנחות ,Γאם הוא שייך לסגור של הקבוצה Γ ∪ Aעם הפעולות ב־ .F
הערה 4.3הוכחה של פסוק ϕמקבוצת ההנחות Γנעשית ע"י הצגת סדרת יצירה של ϕוזאת בכדי להראות שהוא בסגור הנ"ל.
סימונים:
עבור מערכת הוכחה ,Sנסמן Γ ` ϕאם ϕיכיח )ניתן להוכחה( מ־ Γבמערכת .S
s
כמו כן נאמר כי ϕמשפט של Sאם ) ` ϕכלומר לא נדרשות הנחות נוספות .(Γ
s
הגדרה 4.4תכונות פשוטות של מערכת הוכחה:
.1מונוטוניות :אם ∆ ` ϕו־ ∆ ⊆ Γאזי .Γ ` ϕ
s
s
.2קומפקטיות :אם Γ ` ϕאז יש ∆ ,∆ ⊆ Γסופית כך ש־.∆ ` ϕ
s
s
.3טרנזיטיביות :אם ∆ ` ϕולכל ∆ ∈ αמתקיים כי Γ ` αאזי .Γ ` ϕ
s
4.1
s
מערכת הוכחה לתחשיב הפסוקים
HPC
s
)Propositional Calculus- HPC
ע"י:
הגדרה 4.5נגדיר את המערכת
.1אלפבית :הסגור של הבסיס } P = {Pi i ∈ Nעם הפעולות })
( ,
→ ,
(Hilbert
ֻC = {¬ ,
.2נוסחאות }→) W F F{¬,הסגור של הקבוצה Pתחת קבוצת הקשרים (C
.3אקסיומות :A
α → (β → α) :A1
(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2
(¬β → ¬α) → (α → β) :A3
.4כללי היסק :Fכוללים את ) Modus Ponensכלל הניתוק(
M P ((α → β), α) = β
(α → β) , α
already proven
MP :
= formula from MP
β
כלומר אם ידוע כי ) (α → βוגם αנכון ,אזי ניתן להסיק כי βנכון.
הגדרה 4.6משפט ב־ :HP Cכל פסוק αכך ש־ ` α
HP C
טענה 4.7הוכחנו בכיתה כי ) ` (α → αכי ))` ((¬α) → (α → β
HP C
HP C
מסקנה 4.8אם ,` ¬αאזי לכל {α} ` β :β
משפט 4.9משפט הדדוקציה :לכל קבוצת פסוקים }→ ,Γ ⊂ W F F{¬,ולכל זוג פסוקים }→ ,α, β ∈ W F F{¬,מתקיים:
) Γ ` (α → βאם ורק אם Γ ∪ {α} ` β
HP C
HP C
הערה 4.10עבור קבוצת נוסחאות ,Σנסמן }.Ded (Σ) = {ψ | Σ ` ψ
טענה 4.11הוכחנו בכיתה כי לכל αמתקיים ` (¬¬α → α) :וכן )` (α→¬¬α
7
4.2
משפטים חשובים
משפט 4.12משפט הנאותות ל־ :HP Cלכל קבוצת פסוקים }→ Γ ⊂ W F F{¬,ולכל }→,α ∈ W F F{¬,
אם Γ ` αאז .Γ αכלומר ,אם αיכיח מתוך Γאז αספיק מתוך .Γ
מסקנה 4.13אם Γספיקה ,אז לא ניתן להוכיח סתירות מ־.Γ
משפט 4.14משפט הדיכוטומיה :לכל קבוצת פסוקים }→ Γ ⊂ W F F{¬,ולכל }→α, β ∈ W F F{¬,
אם מתקיים Γ ∪ {α} ` βוגם Γ ∪ {¬α} ` βאז Γ ` β
למה 4.15לכל ,x, y, z, Γאם ) Γ ` (y → zוגם ) ,Γ ` (x → yאזי )Γ ` (x → z
משפט 4.16משפט השלמות ל־:HP C
לכל }→ Γ ⊂ W F F{¬,ולכל }→ ,α ∈ W F F{¬,אם Γ αאז Γ ` α
HP C
משפט 4.17משפט השלמות והנאותות Γ α :אם ורק אם .Γ ` α
HP C
משפט 4.18ניסוח שקול למשפט השלמות:
.v
.Γכלומר ,אם לא ניתן להוכיח את αמתוך Γאז יש השמה vכך ש v Γאבל α
Γאז α
אם `α
4.3
קבוצה עקבית
.Γ
הגדרה 4.19קבוצת פסוקים Γנקראת עקבית אם יש פסוק ϕכך ש־`ϕ
טענה Γ 4.20לא עקבית אם ורק אם קיים פסוק ϕכך ש־ Γ ` ϕוגם )Γ ` ¬ϕכאילו Γנותנת לכולם(
משפט 4.21כל קבוצה עקבית היא ספיקה
הגדרה 4.22קבוצה עקבית מקסימלית היא קבוצת פסוקים ,Xעקבית ולא קיימת קבוצה עקבית Yכך ש־ .X ( Y
טענה Γ 4.23עקבית אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Γגם עקבית.
טענה 4.24אם Xעקבית מקסימלית ו־ ,X ` ϕאז .ϕ ∈ X
טענה 4.25לכל קבוצה עקבית מקסימלית Xולכל פסוק ϕמתקיים ϕ ∈ Xאו .¬ϕ ∈ X
טענה 4.26תהי Xעקבית מקסימלית .אז לכל זוג פסוקים α, βמתקיים ) X ` (α → βאם ורק אם ¬α ∈ Xאו .β ∈ X
טענה 4.27כל קבוצה עקבית מוכלת בקבוצה עקבית מקסימלית.
טענה 4.28אם Zעקבית ומתקיים Y ⊆ Zאז .Z ⊆ Y
טענה 4.29כל קבוצה עקבית מקסימלית ספיקה.
מסקנה 4.30כל קבוצה עקבית היא ספיקה.
מסקנה X 4.31עקבית אם ורק אם Xספיקה.
משפט 4.32השלמות והנאותות X ` α :אם ורק אם .X α
משפט 4.33הקומפקטיות לתחשיב הפסוקים X :ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Xספיקה.
הערה 4.34נבדיל בין הרבדים הסינטקטי והסמנטי:
Semantics
↔ X satisfyable
↔ Xα
↔ α
Syntax
X consistent
X`α
`α
4.4
גדירות
הגדרה 4.35נאמר שקבוצת פסוקים Xמגדירה את קבוצת ההשמות המספקות אותה }.Ass(X) = {v | v X
הגדרה 4.36נאמר שקבוצת השמות Kהיא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Xכך ש־ )K = Ass(X
הגדרה = Ass 4.37קבוצת כל ההשמות.
הגדרה 4.38קבוצת השמות Kגדירה באופן סופי אם יש Xסופית כך ש־)K = Ass(X
משפט 4.39התנאים הבאים שקולים:
K .1גדירה וגם K cגדירה
K .2גדירה באופן סופי
K .3גדירה על ידי פסוק יחיד
9
תחשיב היחסים ־ לוגיקה מסדר ראשון
הקדמה
5
הגדרה 5.1אלפבית :סימנים לוגיים המשותפים לכל השפות
.1משתנים }{xi | i ∈ N
.2סימני עזר :סוגריים (),
.3קשרים בוליאניים ↔ ¬, ∧, ∨, →,
.4כמתים ∃ ∀,
הגדרה 5.2מילון )סיגנטורה :(Signatureהמילון מכיל פרמטרים המיוחדים לשפה; תת קבוצה של:
.1סימני קבוע }{ci | i ∈ N
.2סימני יחס } ,{Rn,i | n, i ∈ Nכש־ Rn,iהוא סימן יחס n־מקומי
.3סימני פונקציה } {fn,i | i, n ∈ Nו־ fn,iמסמן פונקציה n־מקומית
הגדרה 5.3נאמר כי מילון הוא סופי ,אם יש בו מספר סופי של סימונים.
הגדרה 5.4נאמר שמילון הוא יחסי אם אם אינו מכיל סימני פונקציה.
הערה 5.5האלפבית של השפה איתה עובדים מורכב מהסימונים הלוגיים המשותפים לכל השפות ומהסימנים במילון .בד"כ נסמן מילון
באותיות τ, σוכו'.
הגדרה 5.6שם עצם ) (termמעל מילון .σ
ההגדרה ברקורסיה :בסיס :כל xiהוא שם עצם .כל c ∈ σגם שם עצם.
פעולות :לכל f ∈ σאם fפונקציה nמקומית ו־ t1 , .., tnשמות עצם גם ) f (t1 , ..., tnשם עצם.
משפט 5.7הקריאה היחידה לשמות עצם:
אם tהוא שם עצם מעל מילון σאז מתקיים בדיוק אחד מהבאים:
t = xi .1לאיזשהו משתנה xi
t = c .2לאיזשהו סימן קבוע c ∈ σ
.3קיימת פונקציה יחידה f ∈ σוקיימים t1 , .., tkשמות עצם יחידים כך ש־ fעל kמשתנים ו־) t = f (t1 , ..., tk
5.1
נוסאות מעל מילון
הגדרה 5.8נוסחאות אטומיות :לכל סימן יחס n־מקומי R ∈ σולכל שמות עצם t1 , ..., tnמתקיים כי ) R(t1 , ..., tnהוא פסוק אטומי.
הגדרה 5.9פעולות:
.1הפעלת קשרים של תחשיב הפסוקים :אם α, βנוסחאות אז גם
• )(¬α
• )(α ∨ β) ,(α ∧ β
• )(α → β) ,(α ↔ β
.2כמתים :אם αנוסחה ו־ xמשתנה ,אז ) (∀x αו־) (∃x αנוסחאות.
הסגור תחת הפעולות האלה הוא הנוסחאות מעל .σ
משפט 5.10משפט הקריאה היחידה לנוסחאות מעל :σאם αנוסחה אז מתקיים בדיוק אחד מהבאים:
10
• αנוסחה אטומית :קיים R ∈ σוקיימים שמות עצם t1 , ..., tnכך ש־) .α = R(t1 , ..., tn
• ) β ,α = (¬βיחיד
• ) a = (β op γכש־}↔ β, γ ,op ∈ {∧, ∨, →,יחידים ו־ opיחיד.
• a = ∃x βכש־ x, βיחידים
• α = ∀x βכש־ x, βיחידים
5.2
משתנים חופשיים וקשורים
הגדרה 5.11עבור שם עצם ,tקבוצת המשתנים החופשיים המופיעים בשם העצם ,F V (t) ,מוגדרת באופן הבא:
• אם t = cאז ∅ = )F V (t
• אם x) t = xמשתנה( אז }F V (t) = {x
• אם ) t = f (t1 , ..., tnאז ) F V (t) = F V (t1 ) ∪ F V (t2 ) ∪ ... ∪ F V (tn
הגדרה 5.12עבור נוסחה ,ϕקבוצת המשתנים החופשיים של הנוסחה ,F V (ϕ) ,מוגדרת באופן הבא:
• אם ) ϕ = R(t1 , ..., tnאז ) F V (ϕ) = F V (t1 ) ∪ ... ∪ F V (tn
• אם ) ϕ = (¬αאז )F V (ϕ) = F V (α
• אם ) ϕ = (α op βאז )F V (ϕ) = F V (α) ∪ F V (β
• אם ϕ = Qx αכש־}∃ ) F V (ϕ) = F V (α)\ {x} ,Q ∈ {∀,בעצם xאינו חופשי(
הערה 5.13כיוון שביטויים מהצורה ))((∀x ϕ(x)) → α(xמבלבלים ,נראה שלנוסחה ))((∀y ϕ(y)) → α(xיש אותה משמעות סמנטית.
אז נוכל לשנות שם למשתנים קשורים כדי שיהיו שונים משמות המשתנים החופשיים.
הגדרה x 5.14חופשי ב־ ϕאם )x ∈ F V (ϕ
הגדרה 5.15שם עצם tיקרא סגור אם ∅ = )) F V (tכלומר שם העצם קשור(
הגדרה 5.16נוסחה ϕתיקרא סגורה אם ∅ = )) F V (ϕכלומר אין לה משתנים חופשיים כלל(
5.3
מבנה
הגדרה 5.17מבנה עבור מילון :σ
מבנה Mמורכב מהאובייקטים הבאים:
.1תחום DMהינו קבוצה לא ריקה.
.2פירוש של סימנים מ־:σ
)א( לכל סימן קבוע c ∈ σמתאים איבר cM ∈ DM
)ב( לכל סימן יחס n־מקומי ,R ∈ σמתאימים יחס n־מקומי מעל
RM ⊂ DM × ... × DM :DM
|
{z
}
n times
n
)ג( לכל סימן פונקציה n־מקומי f ∈ σמתאימים פונקציה f M : DM → DM
ומסמנים M = DM , C0M , ..., f0M , ..., Rm , ...
הגדרה 5.18השמהv : {xi } → DM :
הגדרה 5.19ערך של שם עצם תחת השמה vבמבנה Mמעל מילון :σ
אם )ci ∈ σכלומר קבוע במילון(
v̄(s) = cM
• s = ciאז i
• s = xiאז ) v̄(s) = v(xi
אם ) s = f (s1 , .., snכש־ ,f ∈ σאז )) v̄(s) = f M (v̄(s1 ), ..., v̄(sn
11
5.4
הגדרת ערך האמת בלוגיקה מסדר ראשון
הגדרה 5.20לכל d ∈ DMנסמן השמה של dבמקום משתנה xi
(
v(xj ) j 6= i
= ) v (d/xi ) (xj
d
j=i
הגדרה 5.21יהי מבנה Mוהשמה .vנגדיר:
.1נוסחאות אטומיות ϕ = R (s1 , ..., sn ) :כש־ .R ∈ σאז v̄(ϕ) = tאם ורק אם (v̄(s1 ), ..., v̄(sn )) ∈ RM
.2קשרים לוגיים :אם ) ϕ = (α op βכש־}↔ op ∈ {∧, ∨, →,או ) ϕ = (¬αאז ערך האמת של ϕיקבע לפי טבלת האמת של
הקשר הרלוונטי.v̄ (ϕ) = T Top (v̄(α), v̄(β)) :
.3כמתים ϕ = ∃xi α :או ϕ = ∀xi α
• v̄(∃xi α) = tאם ורק אם קיים d ∈ DMכך שעבור ) u = v (d/xiמתקיים .ū(α) = t
• v̄ (∀xi α) = tאם ורק אם לכל d ∈ DMעבור ) u = v (d/xiמתקיים .ū(α) = t
משפט 5.22אם u, vהשמות כך שלכל ) v(x) = u(x) ,x ∈ F V (ϕאז )v̄(ϕ) = ū(ϕ
הגדרה 5.23פסוק הינו נוסחה ללא משתנים חופשיים
מסקנה 5.24יהי ϕפסוק .אם קיימת השמה vכך ש־ v̄(ϕ) = tאזי לכל השמה ū(ϕ) = t ,u
מסקנה 5.25ערך האמת של פסוק תלוי רק במבנה.
6
מושגי יסוד סמנטיים
הגדרה t 6.1־נביעה ):(truth
• מבנה Mוהשמה vמספקים את ϕאם .v̄(ϕ) = tנסמן .M, v ϕ
• ϕספיקה במבנה Mאם קיימת השמה vכך ש־ .M, v ϕבמקרה זה נאמר כי ) (M, vהוא t־מודל של .ϕ
• תהי Γקבוצת נוסחאות .אז
– Γמסתפקת במבנה Mתחת השמה vאם לכל ϕ ∈ Γמתקיים M, v ϕונסמן .M, v Γ
– Γספיקה במבנה Mאם קיימת השמה vכך ש־ M, v Γונאמר כי) (M, vהוא t־מודל של .Γ
• (Γ) ϕספיקה אם יש מבנה Mבו (Γ)ϕספיקה.
t
t
• נסמן Γ ϕאם כל t־מודל של Γהוא גם t־מודל של .ϕבמילים אחרות Γ ϕ ,אם לכל M, vכך ש־ ,v̄(α) = tלכל ,α ∈ Γ
מתקיים גם .v̄(ϕ) = tכלומר M, v Γ → M, v ϕ
t
t
• ϕהיא t־שקולה ל־ ψאם {ϕ} ψוגם ){ψ} ϕכלומר כל M, vכך שמתקיים (v̄(ϕ) = t ⇐⇒ v̄(ψ) = t
t
• נאמר כי ϕהיא t־תקפה אם ) ∅ ϕכלומר לא צריך מבנה והשמה כדי לספק אותה(
הגדרה v 6.2־נביעה ):(valid
• (Γ) ϕנכונה במבנה Mאם לכל השמה ,M, v ϕ ,vומסמנים M . M ϕיקרא v־מודל של .ϕ
• (Γ) ϕהיא v־ספיקה אם יש לה v־מודל.
v
• ϕנקראת v־תקפה אם ϕנכונה בכל מבנה .נסמן . ϕ
v
• Γ ϕאם כל v־מודל של Γהוא גם v־מודל של )ϕכלומר בכל מבנה בו Γנכונה גם ϕנכונה(
v
v
• ϕהוא v־שקול ל־ ψאם {ϕ} ψוגם ){ψ} ϕכלומר בכל מבנה בו ψנכונה גם ϕנכונה ,ולהיפך(
טענה 6.3
.1אם v ϕ־תקפה אז כך גם ∀x ϕ ,∃x ϕ
.2אם v ∀x ϕ־תקפה אז v ϕ־תקפה
ϕ .3ו־ ψהן t־שקולות אם ורק אם לכל M, vמתקיים )v̄(ϕ) = v̄(ψ
הערה 6.4אם M, v ϕאז בוודאי ;M, v 2 ¬ϕמאידך ϕוגם ¬ϕיכולות להיות ספיקות ב־ .M
אם M ϕאז בוודאי M 2 ¬ϕאבל אם M 2 ¬ϕלא בהכרח . M ϕ
טענה 6.5
t
v
.1אם Γ ϕאז ) Γ ϕהכיוון השני לאו דווקא נכון(
v
t
.2אם Γמכילה רק פסוקים אז אם Γ ϕאז Γ ϕ
v
t
ϕ .3אם ורק אם ) ϕלכן נדבר רק על תקפות באופן כללי(
t
v
.4אם ב־ Γיש רק פסוקים אז Γ ϕאם ורק אם Γ ϕ
t
Γ¬ϕ
t Γ ∪ {ϕ} .5־ספיקה אם ורק אם
טענה t ϕ 6.6־שקולה ל־ ψאם ורק אם ) (ϕ ↔ ψתקפה.
13
v
טענה R(x) ∀x R(x) 6.7
הגדרה 6.8עבור נוסחה ϕעם משתנים חופשיים ,x1 , ..., xnהסגור האוניברסלי של ϕמסומן ∀ ϕהוא הפסוק ∀x1 ∀x2 ....∀xn ϕ
טענה ϕ∀ 6.9מסתפק ב־ Mאם ורק אם v M־מודל של ϕ
t
v
v
טענה Γ ϕ 6.10אם ורק אם ∀ Γ∀ ϕאם ורק אם ∀ ,Γ∀ ϕכש־ Γ∀ = α∀ | α ∈ Γ
הצבה של שם עצם למשתנה
6.1
יהי xמשתנה ו־ rשם עצם .אינטואיציה :רוצים להחליף "כל" מופע של xב־ .rצריך להגדיר בזהירות בגלל האפשרות ש־ xקשור.
הגדרה 6.11החלפת משתנה בשם עצם ,עבור שמות עצם :יהיו r, sשמות עצם .שם העצם ] s [r/xמוגדר באופן הבא:
.1
)א( אם ) s = cסימן קבוע( אז s [r/x] = s
)ב( אם s = yאז
= yמתקיים = s
.iאם 6 x
.iiאם y = xמתקיים s [r/x] = r
]s [r/x
.2אם ) s = f (s1 , ..., snאז )]s [r/x] = f (s1 [r/x] , ..., sn [r/x
לפי משפט הקריאה היחידה אפשר לראות ש־] s [r/xמוגדר היטב.
הגדרה 6.12הצבת שם עצם למשתנה עבור נוסחאות :יהי rשם עצם ϕ ,נוסחה .אז ] ϕ [r/xמוגדרת באופן הבא:
.1אם ) ϕ = R (s1 , ..., snאז )])ϕ [r/x] = R(s1 [r/x] , ..., sn [r/xכאשר siשמות עצם(
.2אם ) ϕ = ϕ1 op ϕ2או (ϕ = ¬ϕ1אז ]) ϕ [r/x] = ϕ1 [r/x] op ϕ2 [r/xאו ](¬ϕ1 [r/x
) ϕ = Qy ψ .3כש־}∃ (Q ∈ {∀,
)א( אם y = xאז ϕ [r/x] = ϕ
)ב( אם y 6= xאז ]ϕ [r/x] = Qy ψ [r/x
הערה 6.13בעצם ] ϕ [r/xמתקבלת מ־ ϕע"י החלפת כל המופעים החופשיים של xב־.r
הגדרה r 6.14חופשי להצבה ב־ xבנוסחה ϕאם:
ϕ = R (s1 , .., sn ) .1אזי rחופשי להצבה ב־ xעבור ϕ
.2אם ) ϕ = ϕ1 or ϕ2או (ϕ = ¬ϕ1אז rחופשי להצבה ב־ xעבור ϕרק אם rחופשי להצבה ב־ xעבור ϕ1וגם עבור ) ϕ2או
עבור ϕ1בלבד במקרה של (ϕ = ¬ϕ1
ϕ = Qy ψ .3
)א( אם xאינו מופע ב־ ϕאז rחופשי להצבה ב־ xבנוסחה )לא מתבצעות הצבות(
)ב( אם xאינו חופשי ב־ ϕאז rחופשי להצבה )לא מתבצעות הצבות(
)ג( ) x ∈ F V (ϕאז rחופשי להצבה אם:
∈y
/ F V (r) .i
r .iiחופשי להצבה ב־ xעבור ψ
טענה r 6.15חופשי להצבה ב־ xעבור נוסחה ϕאם ורק אם לאף משתנה ) y ∈ F V (rלא נוצר מופע קשור חדש .הערה :צריך להגדיר
מהם מופע קשור ומופע חופשי )יותר עדין ממשתנה קשור /חופשי(
14
טענה 6.16יהיו r, sשמות עצם ו־ vהשמה .נגדיר השמה חדשה . u = v [v̄(r)/x] :כלומר:
(
v(y) y 6= x
= )u(y
v̄(r) y = x
אז )]ū(s) = v̄ (s [r/x
∈ y) yלא מופיע ב־ (rאזי )] v̄(r) = ū (r [y/xכאשר ].u = v [v(x)/y
טענה r 6.17שם עצם v ,השמה ו־)/ F V (r
טענה 6.18שינוי שם משתנה קשור
תהי ϕנוסחה כך ש־ yלא מופיע ב־ .ϕלכן) ∃x ϕ ,באותו אופן t (∀x ϕ־שקולה לנוסחה )) ∃y ϕ (y/xובאותו אופן )(∀y ϕ (y/x
6.2
צורות קנוניות
הגדרה P N F 6.19
נוסחאות ב־ P N Fהן מהצורה ) Q1 x1 ...Qn xn ϕכש־ ϕחסרת כמתים(
הגדרה 6.20נוסחה חסרת כמתים )הגדרה אינדוקטיבית(:
בסיס :נוסחאות אטומיות;
פעולות :קשרים;
סגור :נוסחאות חסרות כמתים.
הגדרה :P N F 6.21
בסיס :נוסחאות חסרות כמתים;
פעולות :כמתים;
סגור.P N F :
משפט 6.22משפט ה־ :P N Fלכל נוסחה מעל מילון σקיימת נוסחת P N Fמעל t σ־שקולה לה.
הערה 6.23הפעולה של העברת נוסחה לנוסחת P N Fנקראת חילוץ כמתים.
טענה 6.24
t ∀x (ϕ ∧ ψ) .1־שקולה ל־∀x ϕ ∧ ∀x ψ
t ∃x (ϕ ∨ ψ) .2־שקולה ל־∃x ϕ ∨ ∃x ψ
∈ xאזי t (∀x ϕ) ∨ ψ־שקולה ל־)∀x (ϕ ∨ ψ
.3אם )/ F V (ψ
∈ xאזי )t ∃x (ϕ ∧ ψ־שקולה ל־(∃x ϕ) ∧ ψ
.4אם )/ F V (ϕ
¬∀x ϕ ≡ ∃x ¬ϕ ,¬∃x ϕ ≡ ∀x ¬ϕ .5
הערה ∀x (ϕ ∨ ψ) 6.25לאו דווקא שקולה ל־∀x ϕ ∨ ∀x ψ
6.3
גדירות יחסים במבנה
הגדרה 6.26יהיה σמילון M ,מבנה עבורו .תהי ) ϕ (x1 , .., xnנוסחה מעל σעם } ) F V (ϕ) = {x1 , ..., xnאולי ב־ ϕיש משתנים
קשורים נוספים( אזי ϕמגדירה ב־ Mאת היחס הבא:
Rϕ ⊂ DM × ... × DM
|
{z
}
n times
כך ש־ (d1 , ..., dn ) ∈ Rϕאם ורק אם ההשמה vהמקיימת .v(x1 ) = d1 , ..., v(xn ) = dnמקיימת .v̄(ϕ) = tיחס Rיקרא גדיר
ב־ Mאם קיימת נוסחה ϕכך ש־ .R = Rϕ
15
בדיקת ספיקות
7
תזכורת:
• פסוק :נוסחה ללא משתנים חופשיים.
• פסוק/נוסחה אווניברסלי ∀x1 ...∀xn ϕ :כש־ ϕחסרת כמתים.
• פסוק/נוסחה יישי ∃x1 ...∃xn ϕ :כש־ ϕחסרת כמתים.
טענה 7.1יהי σמילון ,אזי ) ∃x ϕ(xספיקה מעל σאם ורק אם ] ϕ [c/xספיקה מעל המילון } ,σ 0 = σ ∪ {cכאשר cסימן קבוע חדש.
טענה 7.2פסוק ) ∀y1 ...∀yn ∃x ϕ(x, y1 , ..., ynספיק אם ורק אם הפסוק ) ∀y1 ...∀yn ϕ(f (y1 , ..., yn ), y1 , ..., ynספיק מעל מילון
} σ 0 = σ ∪ {fכאשר fסימון פונקציה n־מקומית חדש.
Skolem
(:
משפט 7.3סקולם )
קיים אלגוריתם שלכל פסוק ϕבונה פסוק אוניברסלי ψכך ש־ ϕספיק אם ורק אם ψספיק.
ψעשוי להיות מעל מילון שונה.
הערה 7.4האם ϕשקולה ל־ ?ψלאו דווקא ,בהרבה מקרים הן אפילו לא מוגדרות מעל אותו מילון!
הערה 7.5האם הטרנספורמציה שומרת על תקפות? לאו דווקא.
הערה 7.6אם ϕנוסחה חסרת משתנים וכמתים ,נסמן ב־̂ ϕאת הנוסחה שהתאמנו לה בתחשיב הפסוקים) .מגדירים באינדוקציה
כמו שצריך(.
טענה 7.7
ϕ .1ספיקה אם ורק אם ̂ ϕספיקה.
ϕ .2תקפה אם ורק אם ̂ ϕתקפה.
Herbrand
הגדרה 7.8מבנה הרברנד
Mהוא מבנה הרברנד מעל מילון σאם:
.1לכל a ∈ DMיש שם עצם sללא משתנים כך ש־sM = a
M
sM
.2לכל שני שמות עצם שונים 1 6= s2 ,s1 6= s2
במבנה הרברנד איברים מהתחום מתאימים לשמות עצם באופן חח"ע ועל.
7.1
תכונות של מבנה הרברנד
יהי σמילון H ,מבנה הרברנד עבורו.
.1יש שם עצם rמעל משתנים .x1 , ..., xnנניח כי:
= d1 ⇔ s1
..
.
) v(x1
= dn ⇔ sn
) v(xn
אז לכל השמה vמתקיים
M
] v̄(r) = r [s1/x1 , ..., sn/xn
) siהם שמות העצם המתאימים ל־) (v(xi
ϕ .2נוסחה .F V (ϕ) = {x1 , ..., xn } ,אז H, v ϕאם ורק אם
] H ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn
כש־
d1 ⇔ s1
=
..
.
) v(x1
dn ⇔ sn
=
) v(xn
∃x ϕ(x) .3נכון ב־ Hאם ורק אם יש שם עצם rכך ש־] ϕ [r/xנכון ב־.H
∀x ϕ(x) .4נכון ב־ Hאם ורק אם לכל שם עצם ϕ [r/x] ,rנכון ב־.H
תזכורת בהינתן השמה ,vשם עצם sומשתנה xהגדרנו v 0 = v [v̄(s)/x]:והוכחנו ש־) v̄ (r [s/x]) = v¯0 (rוכנ"ל לנוסחאות.
משפט 7.9משפט הרברנד
יהי σמילון ללא סימן = .פסוק אוניברסלי ϕמעל σספיק אם ורק אם הוא ספיק במבנה הרברנד.
Ground Instance
:יהי ) α = ∀x1 ...∀xn ϕ(x1 , ..., xnפסוק אוניברסלי .נוסחה המתקבלת על ידי הצבת
הגדרה 7.10נגדיר
שמות עצם סגורים )כאלו שעבורם מתקיים ∅ = ) (F V (tלמשתנים x1 , ..., xnנקראת ground instanceשל .α
GrIns(α) = ϕ [s1/x1 , ..., sn/xn ] | s1 , ..., sn ∈ T erm
כש־ T erm־ קבוצת שמות העצם הסגורים.
משפט σ 7.11מילון ללא = Γ .קבוצת פסוקים אוניברסלית מעל .σהטענות הבאות שקולות:
Γ .1ספיקה
Γ .2ספיקה במבנה הרברנד
GrIns(Γ) .3ספיקה )GrIns(ϕ
ϕ∈Γ
S
= ))GrIns(Γהרחבה של המשפט(
GrIns(Γ) .4ספיקה במבנה הרברנד
טענה ) 7.12נניח שב־ σאין שוויון( אם Λקבוצת פסוקים ללא משתנים וללא כמתים ,אז Λספיקה אם ורק אם היא ספיקה במבנה
הרברנד.
בדיקת תקפות
8
בהינתן פסוק ϕנראה תהליך שעוצר אם ϕתקף )ואומר ϕתקף( ,אחרת עשוי לרוץ לעד .נשים לב כי ϕתקף ⇔ ¬ϕלא ספיק.
נרצה להעביר את ¬ϕלצורה אוניברסלית )נעשה זאת בעזרת סקולמיזציה(.
נקבל פסוק אוניברסלי .ψלפי המשפט שראינו ψ ,אינו ספיק אם ורק אם ) GrIns(ψאינה ספיקה במבנה הרברנד.
ראינו שניתן לתרגם נוסחאות ללא משתנים וללא כמתים לתחשיב הפסוקים באופן משמר ספיקות .נקרא לקבוצה .Γ
לפי משפט הקומפקטיות בתחשיב הפסוקים Γ ,ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה.
הפרוצדורה תעבור על כל תתי הקבוצות הסופיות עד שתמצא אחת שאינה ספיקה ואז תכריז ש־ ϕתקף.
8.1
משפט הקומפקטיות בתחשיב היחסים
משפט 8.1משפט הקומפקטיות עבור נוסחאות מעל מילון ללא =:
Γ .1ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית שלה ספיקה.
t
t
Γ ϕ .2אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ,∆ ⊆ Γכך ש־.∆ ϕ
v
v
Γ ϕ .3אם ורק אם קיימת תת קבוצה סופית ,∆ ⊆ Γכך ש־.∆ ϕ
משפט " 8.2היורד" ) LöwenheimSkolem־ (Downward
ϕספיקה אם ורק אם ϕספיקה במבנה סופי או בן מניה.
משפט " 8.3העולה" ) LöwenheimSkolem־ ֹ(Upward
אם ϕספיקה במבנה אינסופי ,אז לכל עוצמה אינסופית λיש מבנה מעוצמה λהמספק את .ϕ
8.2
לוגיקה מסדר ראשון עם סימן =
הערה 8.4נזכר כי σ = hc0 , c1 , ..., f1 , ..., R1 , ...iוהאלפבית שלנו הוא ↔ .(, ), ∃, ∀, →, ¬, ∧, ∨,כעת נוסיף סימן חדש= :
יש הרבה ספרים בהם סימן = הוא חלק מהשפה ־ נמצא בכל מילון ותמיד מפורש כשיוויון .בפרט כשיש שוויון ,גם ) (t1 = t2פסוק
אטומי.
רעיון לטיפול ב־= :להגדיר מבנה בו האיברים הם מחלקות שקילות של שמות עצם סגורים בהתאם למבנה ,Mכך ש־) (t1 ∼ t2אם
.(t1 = t2 )M = t
משפט 8.5קיים אלגוריתם שעבור נוסחה ϕבונה נוסחה ψללא שיוויון כך ש־ ϕספיקה אם ורק אם ψספיקה.
טענה 8.6יש אלגוריתם שבהינתן נוסחה ϕבונה נוסחה ϕ0ללא סימני פונקציה כך ש־ ϕספיקה אם ורק אם ϕ0ספיקה.
הגדרה 8.7יחס Eנקרא יחס קונגרואנציה אם:
E .1יחס שקילות:
))Equivalence(E) : (∀x E(x, x)) ∧ (∀x, y E(x, y) → E(y, x)) ∧ ∀x, y, z (E(x, y) ∧ E(y, z) → E(x, z
.2לכל יחס Rמתקיימת הנוסחה ) ;Cong(E, Rאם Rיחס k־מקומי אז
))) Cong(E, R) : ∀x1 , ..., xk ∀y1 , ..., yk (E(x1 , y1 ) ∧ ... ∧ E(xk , yk ) ∧ (R(x1 , ..., xk ) → R(y1 , ..., yk
מסקנה 8.8משפט הקומפקטיות למילון עם שוויון.
משפט 8.9לא קיים אלגוריתם לבעיית התקפות )משפט ) (Churchמאידך ,ראינו פרוצדורה שאומרת "כן" לנוסחאות תקפות ,ולא
עוצרת כשהנוסחה אינה תקפה(.
8.3
בעיית התקפות אינה כריעה
הגדרה 8.10בעיית העצירה :בהינתן מכונת טיורינג ,צריך להכריע האם המכונה עוצרת על הקלט הריק.
משפט 8.11לא קיים אלגוריתם לבעיית העצירה ]מודלים חישוביים[.
הגדרה 8.12בעיית הריצוף :קלט" :לבנים" 1 × 1עם צדדים צבועים )מספר סופי של סוגי לבנים(.
מטרה :לרצף את הרביע הראשון; צלעות משיקות צבועות באותו הצבע.
השאלה ־ האם קיים ריצוף כזה?
משפט 8.13אין אלגוריתם לבעיית הריצוף )ע"י רדוקציה לבעיית העצירה(.
8.3.1
מילון עבורו ניתן להכריע את בעיית התקפות
מילון σיקרא מונאדי אם במילון יש רק יחסים חד מקומיים )בלי פונקציות ובלי שוויון(.
משפט 8.14משפט המבנה הקטן
אם נוסחה ϕהמוגדרת מעל מילון מונאדי ספיקה ,אז היא ספיקה במבנה סופי )אם יש בה kיחסים היא ספיקה במבנה בגודל
k ,2kיכול להיות עצמה אינסופית(.
19
מערכת הוכחה ללוגיקה מסדר ראשון
9
תזכורת )תחשיב הפסוקים( 3 :אקסיומות ,כלל היסק
הגדרה 9.1אקסיומות למערכת הוכחה
α,α→β
β
= MP
α → (β → α) :A1
(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) :A2
(¬β → ¬α) → (α → β) :A3
∀x α(x) → α [t/x] :A4לכל שם עצם tהחופשי להצבה ב־ xב־α
∀x (ϕ → ψ) → (ϕ → ∀x ψ) :A5כאשר xאינו חופשי ב־ϕ
הגדרה 9.2כללי היסק
•
(α → β) , α
β
:
MP
•
)ϕ(x
)∀x ϕ(x
Gen :
הערה 9.3
• לא נבדיל בין נוסחאות שהתקבלו משינוי שם משתנה
• נאמר כי Γ ` αאם αיכיח במערכת ההוכחה הנ"ל ,מקבוצת נוסחאות .Γ
HC
• HCהיא מערכת הוכחה מעל }∀ {¬, →,
• לא מטפלים בשוויון; לא ניתן להוכיח במערכת ההוכחה הזאת .x = xאם רוצים לטפל בשוויון מוסיפים אקסיומות שמבטאות
את העובדה ש־= הוא יחס שקילות וקונגרואנציה.
9.1
משפטי השלמות והנאותות
v
משפט 9.4הנאותות :אם ` Γאז Γ α
HC
v
משפט 9.5השלמות :אם Γ αאז Γ ` α
HC
משפט 9.6ניסוח שקול למשפט השלמות :אם Γעקבית )יש פסוק שלא יכיח מ־ (Γאז יש מבנה בו היא נכונה.
טענה 9.7נניח ש־ . ` αלכל הצבה של נוסחאות ב־ F OLלמשתנים האטומים ב־) αנקרא לנוסחה החדשה ̂ (αמתקיים ̂` α
HP C
9.2
HC
משפט הדדוקציה
משפט 9.8משפט הדדוקציה ל־ :HCאם Γ, α ` βויש הוכחה של βמ־ Γ, αשבה לא הפעלנו את Genעל אף משתנה חופשי ב־,α
HC
אז ).Γ ` (α → β
HC
20
9.3
משפט הדיכוטומיה
משפט 9.9משפט הדיכוטומיה ב־ :HCאם Γ, α ` βוגם Γ, ¬α ` βוניתן לכתוב כל אחת מההוכחות ללא הפעלת כלל Genעל
HC
HC
אף משתנה חופשי ב־ ,αאז .Γ ` β
HC
משפט 9.10יהי cסימן קבוע שלא מופיע ב־ Γאו ב־ .αאז אם ] Γ ` α [c/xאז ).Γ ` ∀x α(x
HC
HC
הגדרה 9.11קבוצת נוסחאות ) Γאולי מעל (σ ⊂ Σהיא שלמה עבור מילון σאם לכל פסוק ϕמעל σמתקיים ϕ ∈ Γאו .¬ϕ ∈ Γ
v
v
הערה 9.12כשמוכיחים את משפט השלמות די לדבר על קבוצת פסוקים Γכי Γ αאם ורק אם Γ∀ αוברור שאם Γ∀ ` αאז
HC
.Γ ` α
HC
משפט 9.13אם Γעקבית מעל σאז יש Γ ⊂ Γ0עקבית ושלמה מעל .σ
ל־ Γיש את תכונת הנקין )Henkin
הגדרה 9.14
Σכך ש־.¬ψ [c/x] ∈ Γ
( עבור מילון σאם לכל פסוק ϕ ∈ Γמעל σמהצורה ) ϕ = ¬∀x ψ(xיש cבמילון
5
משפט 9.15משפט הנקין :אם Γעקבית מעל מילון σאז יש ∆ עקבית ,בעלת תכונת הנקין ל־ ,σמעל מילון σ ⊂ Σכך ש־∆ ⊂ .Γ
למה 9.16אם Γעקבית ¬∀x ψ ∈ Γ ,פסוק ו־ cקבוע חדש אז }] Γ ∪ {¬ψ [c/xעקבית.
מסקנה ) 9.17הרחבה של המשפט( אם Γעקבית מעל σאז יש ∆ ⊂ Γמעל σ ⊂ Σועקבית ,בעלת תכונת הנקין ביחס ל־.Σ
משפט 9.18כל קבוצה עקבית Γמעל σמוכלת בקבוצה עקבית ∆ מעל σ ⊂ Σשהיא שלמה ובעלת תכונת הנקין ביחס ל־.Σ
5מותר ש־ Γמעל σ ⊆ Σ
21
© Copyright 2024