‫סיכום נקודות בלוגיקה‬ ‫תזכורות ממתמטיקה בדידה‬ ‫מיו ࣆ – קשר )ܣ ‪ (ߤ݊.‬שמשמעותו ה‪ n-‬הטבעי הראשון שמקיים את ‪.A‬‬ ‫איוטה ࣃ – קשר )ܣ ‪.‬ݔߡ( שמשמעותו ה‪ x-‬היחיד המקיים את ‪.A‬‬ ‫࡮‪) ࡭ઢ‬ההפרש הסימטרי( – כל האיברים שנמצאים בדיוק באחת מהקבוצות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫ניתן להתייחס לפונקציה כיחס המקיים תנאי החד‪-‬ערכיות‪.∀ܽ∀ܾଵ ∀ܾଶ . < ܽ, ܾଵ >∈ ݂ ∧< ܽ, ܾଶ >∈ ݂ → ܾଵ = ܾଶ :‬‬ ‫פונקציה חלקית מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא יחס מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיים את תנאי החד‪-‬ערכיות הנ"ל‪.‬‬ ‫‪ R‬יחס סדר על ‪ .A‬ההגדרות יחסית ל‪.A-‬‬ ‫פונקציה מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא פונקציה חלקית ‪ f‬מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיימת‪:‬‬ ‫רפלקסיבי ܴܽܽ ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫ି‬ ‫݂ ∈> ܾ ‪. < ܽ,‬ܤ ∈ ܾ∃ܣ ∈ ܽ∀‪.‬‬ ‫אי רפלקסיבי )ܴܽܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אם ‪ R‬הוא יחס‪ ,‬אז היחס ההפוך ‪ ܴ ିଵ‬מוגדר ע"י‬ ‫}ܴ ∈> ܾ ‪.ܴ ିଵ = {< ܾ, ܽ > | < ܽ,‬‬ ‫ܵ ∘ ܴ הרכבה של יחסים המוגדרת‬ ‫}ܴ ∈> ܿ ‪. < ܽ, ܾ >∈ ܵ ∧< ܾ,‬ܤ ∈ ܾ∃|ܥݔܣ ∈> ܿ ‪.ܴ ∘ ܵ = {< ܽ,‬‬ ‫יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬נקרא רפלקסיבי אם ݔܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא אי רפלקסיבי אם )ݔܴݔ( ି‪.‬ݔ∀‪.‬‬ ‫אם מתקיים )ݔܴݔ( ି‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪ ,‬היחס נקרא אי רפלקסיבי על ‪.A‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא טרנסיטיבי אם ݖܴݔ → ݖܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݖ∀ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫סימטרי‬ ‫ܴܾܽ → ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אנטי סימטרי‬ ‫ܾ = ܽ → )ܴܾܽ ∧ ܾܴܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אנטי סימטרי חזק‬ ‫)ܴܾܽ( ି→ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫טרנסיטיבי‬ ‫ܴܿܽ → )ܴܾܿ ∧ ܾܴܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܿ ‪∀ܽ, ܾ,‬‬ ‫יחס סדר חלקי‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא סימטרי אם ݔܴݕ → ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪,‬‬ ‫אנטי סימטרי חזק אם )ݔܴݕ( ି→ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‬ ‫ואנטי סימטרי )חלש( אם ݕ = ݔ → ݔܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס סדר מלא‬ ‫‪ R‬יחס סדר חלקי ובנוסף מתקיים‬ ‫ܴܾܽ ∨ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫יחס סדר חלקי יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים גם כי ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס סדר חלקי חזק‬ ‫‪ R‬אי רפלקסיבי וטרנסיטיבי‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי חזק על ‪ A‬אם הוא טרנסיטיבי ואי רפלקסיבי על ‪.A‬‬ ‫יחס כזה יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים ݕ = ݔ ∨ ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס סדר מלא חזק‬ ‫‪ R‬יחס סדר חלקי חזק ובנוסף מתקיים‬ ‫ܴܾܽ ∨ ܾ = ܽ ∨ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫יחס שקילות‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנסיטיבי‬ ‫מחלקת שקילות &|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬ ‫קבוצת מנה ∈ | ‪./ = {)*+‬‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא שקילות על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי על ‪ ,A‬סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫אם ‪ R‬הוא יחס שקילות‪ ,‬מחלקת השקילות של ‪ x‬לפי ‪ R‬היא }ݕܴݔ|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬ ‫אם ‪ R‬יחס שקילות על ‪ ,A‬קבוצת המנה של ‪ R‬על ‪ A‬היא }ܣ ∈ ݔ| ‪ሿோ‬ݔ‪/ܴ = {ሾ‬ܣ‪.‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫יחס נביעה ⊢ היא יחס בין קבוצות של נוסחאות לנוסחאות המקיים "רפלקסיביות" )ܣ ⊢ ܶ → ܶ ∈ ܣ(‪,‬‬ ‫מונוטוניות )אם ܣ ⊢ ܶ וגם ܵ ⊆ ܶ אז ܣ ⊢ ܵ( ו"טרנסיטיביות" )אם ߮ ⊢ ܶ ו‪ ܶ, ߮ ⊢ ߰-‬אז ߰ ⊢ ܶ(‪.‬‬ ‫תחשיב הפסוקים הקלאסי )‪(CPL‬‬ ‫מוגדר מעל הא"ב‪ :‬פסוקים אטומיים )…‪ ,(p1,p2,p3‬קשרים → ‪ −,∨,∧,‬וסוגריים‪ .‬הקטגוריה הסינטקטית היא נוסחה )או‬ ‫פסוק( כאשר‬ ‫‪ .1‬כל פסוק אטומי הוא נוסחה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ߰ ‪ ߮,‬נוסחאות אז )߰ → ߮( ‪ – ߮, (߮ ∧ ߰), (߮ ∨ ߰),‬נוסחאות‪.‬‬ ‫טענות על נוסחאות ב‪) CPL-‬להוכחה שמשהו אינו נוסחה(‪ :‬מספר הסוגרים הימיניים והשמאליים שווה‪ ,‬בין כל ‪ 2‬פסוקים‬ ‫אטומים מופיע קשר‪ ,‬קשר "וגם" אינו יכול להופיע בצמוד לסוגר‪ ,‬מספר הסוגיים השמאליים שווה למספר הקשרים‬ ‫הבינאריים‪ ,‬מילה ב‪ CPL-‬אינה מתחילה בסוגר ימיני‪.‬‬ ‫הגדרה סמנטית לנביעה– ב‪ CPL-‬ה"מבנה" נקרא "השמה" )פונקציה ‪ v‬מקבוצת הנוסחאות אל }‪ {t,f‬המקיימת‪:‬‬ ‫}→ ‪(߰)൯, ⋄= {∨,∧,‬ݒ ‪(߮),‬ݒ‪(߮ ⋄ ߰) =⋄∗ ൫‬ݒ ‪(߮)൯,‬ݒ‪(−߮) = −∗ ൫‬ݒ כאשר ∗ ܺ היא פונקצית האמת המתאימה ל‪.(X-‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫נוסחה תקרא טאוטולוגיה )סימון ߮ ‪(⊢஼௉௅‬אם כל השמה היא מודל שלה‪.‬‬ ‫למה‪ ૎ :‬ۺ۾‪) ∅ ⊢࡯ࡼࡸ ࣐ ↔⊢۱‬כי כל השמה היא מודל של הקבוצה הריקה(‪.‬‬ ‫תורה ספיקה אם יש לה מודל‪ .‬בהתאם‪ ,‬תורה אי ספיקה היא תורה שאין לה מודל‪ .‬פסוק ללא מודל נקרא סתירה‪.‬‬ ‫פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים ‪ v[A]=t‬אמ"ם ‪.v[B]=t‬‬ ‫נשים לב שטאוטולוגיה נובעת מכל תורה ושכל נוסחה נובעת מנוסחה שהיא סתירה‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אמ"ם )ܣ → ܤ( ∧ )ܤ → ܣ( ‪.⊢஼௉௅‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪ A‬פסוק ו‪ v, v'-‬השמות כלשהן‪ .‬אם לכל ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݐܣ ∈ ݌ מתקיים ]‪ v'[p]=v[p‬אז ]‪) v[A]=v'[A‬אינדוקציה מבנית(‪.‬‬ ‫קבוצת הנוסחאות האטומיות של ߮ מוגדרת כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫}݌{ = ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ݐܣ‪.‬‬ ‫‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ = ‪ሾ−߮ሿ‬ݐܣ‪.‬‬ ‫‪ሾ߰ሿ‬ݐܣ⋃‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ = ‪ሾ(߮ ⋄ ߰)ሿ‬ݐܣ עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫קבוצת תת הנוסחאות של ‪ A‬מוגדרת כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫}݌{ = ‪ሿ‬݌‪.݂ܵሾ‬‬ ‫}ܣ{ ∪ ‪ሿ‬ܣ‪ሿ = ݂ܵሾ‬ܣ‪.݂ܵሾ−‬‬ ‫})ܤ ⋄ ܣ({ ∪ ‪ሿ‬ܤ‪ሿ⋃݂ܵሾ‬ܣ‪)ሿ = ݂ܵሾ‬ܤ ⋄ ܣ(‪ ݂ܵሾ‬עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫‪஺‬‬ ‫הצבה‪ :‬אם ‪ ߮,A‬נוסחאות ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬אז ‪ ߮ ቄ௣ቅ‬הינו הפסוק המתקבל מ‪ ߮-‬ע"י הצבת ‪ A‬במקום ‪ p‬ומוגדר כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪୅‬‬ ‫אם ݌ = ߮ אז ‪.φ ቄ୮ ቅ = A‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪.φ ቄ୮ ቅ‬‬ ‫•‬ ‫אם ݍ = ߮ כאשר ݌ ≠ ݍ אז ‪= q‬‬ ‫•‬ ‫אם ߰‪ ߮ = −‬אז ‪.φ ቄ୮ ቅ = −ψ ቄ୮ ቅ‬‬ ‫•‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫אם ) ‪ ߮ = (ψଵ ⋄ ψଶ‬אז )‪ φ ቄ ቅ = (ψଵ ቄ ቅ ⋄ ψଶ ቄ ቅ‬עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫‪୮‬‬ ‫‪୮‬‬ ‫‪୮‬‬ ‫‪஺ ஻‬‬ ‫הערה‪ ߮ ቄ௣ , ௤ , … ቅ :‬מציין הצבה סימולטנית‪.‬‬ ‫משפט ההצבה‪ :‬יהיו ߮ נוסחה‪ v ,‬השמה‪௡ ,‬ݍ ‪ଵ , … ,‬ݍ נוסחאות אטומיות שונות זו מזו ו‪ A1,…,An-‬נוסחאות )לא בהכרח‬ ‫שונות(‪ .‬תהי '‪ v‬השמה כך שאם ‪ p=qi‬אז )‪ .v'(p)=v(Ai‬אחרת‪ v'(p)=v(p) ,‬אזי )} ‪௡‬݌‪௡ /‬ܣ ‪ଵ , … ,‬݌‪ଵ /‬ܣ{߮(ݒ = )߮( ‪ ᇱ‬ݒ‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם '‪ v, v‬השמות כך ש‪ v'(p)=v(p)-‬לכל ‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ ∈ ݌ אז )߮(‪) v'(߮)=v‬הוכחה באינדוקציה מבנית(‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ܣ ‪ ܶ ⊢஼௉௅‬ו‪ ߪ-‬הצבה אז )ܣ(ߪ ⊢ )ܶ(ߪ‪.‬‬ ‫משפט ההחלפה‪ :‬נניח ‪ v‬השמה‪ A ,‬נוסחה ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר השמה '‪ v‬כך שאם ‪ q=p‬אז ]‪ ,v'[q]=v[A‬אחרת‬ ‫]‪ q) v'[q]=v[q‬פסוק אטומי(‪ .‬אז לכל פסוק ‪ B‬מתקיים ]}‪.v'[B]=v[B{A/p‬‬ ‫רדוקציות לשאלת נביעה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫߮ ‪ ܶ ⊢஼௉௅‬אמ"ם }߮‪ ܶ ∪ {−‬אינה ספיקה‪.‬‬ ‫לתורות סופיות – ߮ ‪ {߰ଵ , ߰ଶ , … , ߰௡ } ⊢஼௉௅‬אמ"ם הפסוק ߮ → ) ‪ (߰ଵ ∧ ߰ଶ ∧ … ∧ ߰௡‬הוא טאוטולוגיה‪.‬‬ ‫משפט הקומפקטיות‬ ‫‪ T .1‬ספיקה אמ"ם כל קבוצה סופית חלקית שלה היא ספיקה‪.‬‬ ‫‪ ܶ ⊢஼௉௅ ߮ .2‬אמ"ם יש ܶ ⊆ ‪ Γ‬סופית כך ש‪.Γ ⊢஼௉௅ ߮-‬‬ ‫הגדרה סינטקטית לנביעה– ߮ ‪ ܶ ⊢ு௉஼‬אם ל‪ φ-‬יש הוכחה מ‪.T-‬‬ ‫הוכחה של פסוק ‪ φ‬מתורה ‪ T‬ב‪ HPC-‬היא סדרה סופית של פסוקים כך שהפסוק האחרון בסדרה הוא ‪ .φ‬כל איבר‬ ‫בסדרה הוא אקסיומה של ‪ ,HPC‬איבר של ‪ T‬או פסוק שמתקבל משני פסוקים קודמים בסדרה בעזרת היסק ‪.MP‬‬ ‫טענה‪ ܶ ⊢ு௉஼ ߮ :‬אמ"ם יש ܶ ⊆ ‪ Γ‬סופית כך ש‪.Γ ⊢ு௉஼ ߮-‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫תורה ‪ T‬תקרא קונסיסטנטית ב‪ HPC-‬אם אין פסוק ‪ A‬כך שגם ܣ ‪ ܶ ⊢ு௉஼‬וגם ܣ ‪ .ܶ ⊢ு௉஼ −‬בניסוח אחר‪ ,‬קיים פסוק ‪A‬‬ ‫כך שܣ ‪. ܶ ⊬ு௉஼ −‬‬ ‫משפט הנאותות והשלמות ‪ .⊢େ୔୐ =⊢ୌ୔େ -‬הוכחת נאותות ) ୐୔‪ (⊢ୌ୔େ →⊢େ‬מוכיחים באמצעות אינדוקציה על אורך‬ ‫ההוכחה‪ .‬הוכחת שלמות ) ‪ (⊢େ୔୐ →⊢ୌ୔େ‬היא ארוכה ומציקה )שיעור ‪ 4‬בסיכומים של אברון(‪ .‬נוסח ב' למשפט‬ ‫השלמות‪ T :‬היא תורה ספיקה ב‪ CPL-‬אמ"ם ‪ T‬היא קונסיסטנטית ב‪.HPC-‬‬ ‫טענה‪ :‬אם לכל פסוק ‪ A‬ב‪ T1-‬מתקיים ܣ ‪ ܶଶ ⊢ு௉஼‬אז לכל פסוק ‪ ,B‬אם ܤ ‪ ܶଵ ⊢ு௉஼‬אז ܤ ‪.ܶଶ ⊢ு௉஼‬‬ ‫משפט הדדוקציה הסמנטי ‪ -‬ܤ ‪} ⊢஼௉௅‬ܣ{ ∪ ܶ אמ"ם ܤ → ܣ ‪.ܶ ⊢஼௉௅‬‬ ‫משפט הדדוקציה הסינטקטי ‪ -‬ܤ ‪} ⊢ு௉஼‬ܣ{ ∪ ܶ אמ"ם ܤ → ܣ ‪) ܶ ⊢ு௉஼‬אינדוקציה על ההוכחה(‪ .‬המשפט נכון עבור‬ ‫כל מערכת נוסח הילברט בה קיימות האקסיומות ‪ I1‬ו‪ I2-‬ו‪ MP-‬הוא כלל ההיסק היחיד עבור שפה עם קשר הגרירה‪.‬‬ ‫דדוקציה טבעית – נאמר שܣ ‪ ܶ ⊢ே஽஼‬אם קיימת ܶ ⊆‬ ‫סופית כך שלסקוונט ܣ ⇒ ‪ Γ‬יש הוכחה ב‪.NDC-‬‬ ‫שקלויות לוגיות – )ܣ → ܤ( ∧ )ܤ → ܣ( ‪ =஽ி‬ܤ ↔ ܣ‬ ‫שני פסוקים יקראו שקולים לוגית )ܤ ≡ ܣ( אם ܤ ↔ ܣ ‪. ⊢஼௉௅‬‬ ‫משפט הצבת אקוויוולנטים‪ :‬אם ܤ ↔ ܣ ⊢ ܶ אז לכל נוסחה ߮ ופסוק אטומי ‪ p‬מתקיים }݌‪/‬ܤ{߮ ↔ }݌‪/‬ܣ{߮ ⊢ ܶ‪.‬‬ ‫נוסחה היא בצורת ‪ NNF‬אם קשר השלילה מופיע רק לפני פסוקים אטומיים‪ .‬ליטרל זהו פסוק אטומי או שלילתו‪ .‬פסוק‬ ‫ב‪ DNF‬הוא "'או'ים של 'וגם'ים" ופסוק ב‪ CNF‬הוא "'וגםים' של 'או'ים"‪ .‬כל פסוק אפשר להעביר לפסוק שקול ב‪ ,NNF‬והן‬ ‫להביא לצורות ‪ DNF‬ו‪.CNF-‬‬ ‫‪௣ ,..,௣‬‬ ‫הגדרה נניח ߮ פסוק כך ש‪௡ }-‬݌ ‪ଶ , … ,‬݌ ‪ଵ ,‬݌{ = )߮(ݐܣ‪ .‬נגדיר את ‪ ݃ఝభ ೙‬בתור הפונקציה מ‪, ݂}௡-‬ݐ{ אל }‪ {t,f‬המוגדרת‬ ‫‪௣ ,..,௣‬‬ ‫ע"י )‪ ݃ఝభ ೙ (mଵ , … , m୬ ) = v(φ‬כאשר }݂ ‪,‬ݐ{ ∈ ‪ ݉௜‬לכל ‪ i‬ו‪ v-‬השמה כך ש‪௜ ) = ݉௜ -‬݌(ݒ‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל }݂ ‪,‬ݐ{ → ‪, ݂}௡‬ݐ{ ‪ ݂:‬ניתן למצוא נוסחא ߮ כך ש‪-‬‬ ‫להגדרת כל פונקציה מ‪, ݂}௡-‬ݐ{ אל }‪.{t,f‬‬ ‫‪௣ ,..,௣೙‬‬ ‫‪ .݂ = ݃ఝభ‬מהטענה נובע כי }→ ‪ {−,∧,∨,‬מספיקים‬ ‫מציאת נוסחה לפונקציה‪ :‬נסתכל בטבלת האמת של הפונקציה‪ .‬עבור צורת ‪ ,DNF‬עבור כל שורה בה הפונקציה‬ ‫מקבלת ‪ ,t‬נרשום הסגרי "או" )שיחוברו יחד ע"י "וגם"( לפי ערכי האמת של הפסוקים האטומים באותה השורה )אם ‪p‬‬ ‫קיבל ערך ‪ t‬נרשום בהסגר ‪ ,p‬אם קיבל ‪ f‬נרשם ‪ .(–p‬עבור צורת ‪ ,CNF‬נמצא צורת ‪ DNF‬אך עבור השורות שמקבלות ‪f‬‬ ‫ואז נהפוך "או" ל‪"-‬וגם"‪" ,‬וגם" ל‪"-‬או" וליטרל עם שלילתו )תרגול ‪(6‬‬ ‫קבוצת קשרים ‪ S‬תקרא שלמה פונקציונאלית אם לכל פונקצית אמת ‪ f‬ישנה נוסחה ‪ A‬מעל >‪ p=<p1,…pn‬כך ש‪ A-‬מעל ‪S‬‬ ‫‪௣‬‬ ‫ו‪.݃஺ = ݂-‬‬ ‫לוגיקה רב ערכית‬ ‫במקום שני ערכי אמת‪ ,‬יש קבוצה של ערכי אמת ‪ S‬היכולה להיות אינסופית‪ .‬מגדירים גם קבוצת ערכים מצוינים ‪ D‬כך‬ ‫ש‪ D-‬אינה ריקה ומוכלת ממש ב‪ .S-‬לכל קשר ‪-n‬מקומי מגדירים פונקצית אמת מתאימה‪ .‬השמה מוגדרת להיות פונקציה‬ ‫מקבוצת הנוסחאות אל ‪ ,S‬המכבדת את טבלאות האמת החדשות‪ .‬השמה ‪ v‬תהיה מודל של נוסחא ‪ A‬אם ܦ ∈ )ܣ(ݒ‪.‬‬ ‫תחשיב הפרדיקטים‬ ‫סיגנטורה של שפה –מכילה סימני קבועים‪ ,‬סימני פונקציה ולפחות סימן יחס אחד‪.‬‬ ‫שם עצם – יכול להיות קבוע‪ ,‬משתנה‪ ,‬או )‪) f(t1,…,tn‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪.‬‬ ‫נוסחא – יכולה להיות )‪) p(t1,…,tn‬כאשר ‪ p‬סימן יחס ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪) (࡭ ⋄ ࡮), −࡭ ,‬כאשר }→ ‪ ⋄= {∨,∧,‬ו‪A,B-‬‬ ‫נוסחאות( או ࡭ ‪) ∀࢞. ࡭ ,∃࢞.‬כאשר ‪ x‬משתנה ו‪ A-‬נוסחא(‪.‬‬ ‫הצבה )סימון }ݔ‪/‬ݏ{߮‪ s ,‬שם עצם‪ x ,‬משתנה(‬ ‫שמות עצם – עבור ‪ t‬קבוע‪ :‬ݐ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪ ,‬עבור ‪ t‬משתנה השונה מ‪ :x-‬ݐ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪ ,‬עבור ‪ t‬משתנה השווה ל‪:x-‬‬ ‫ݏ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ ועבור ‪ f) t=f‬פונקציה ‪ n‬מקומית(‪}) :‬ݔ‪/‬ݏ{ ‪௡‬ݐ ‪}, … ,‬ݔ‪/‬ݏ{ ‪ଵ‬ݐ(݂ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪.‬‬ ‫נוסחאות – עבור סימני יחס וקשרים‪" ,‬מכניסים" את ההצבה "פנימה"‪ .‬עבור כמתים‪" ,‬מכניסים פנימה" רק אם ‪ x‬אינו‬ ‫קשור ע"י הכמת‪.‬‬ ‫אם ‪ x, y‬משתנים שונים‪ s ,‬ו‪ t-‬ש"ע‪ A ,‬נוסחה ו‪ t-‬חופשי להצבה עבור ‪ x‬ב‪ A-‬אז ‪}.‬ݕ‪/‬ݏ ‪,‬ݔ‪}ሿ/‬ݕ‪/‬ݏ{ݐ‪{ሾ‬ܣ = }ݕ‪/‬ݏ{}ݔ‪/‬ݐ{ܣ‪.‬‬ ‫קבוצת המשתנים החופשיים‬ ‫שמות עצם – ∅ = ‪ሾܿሿ‬ݒܨ )‪ c‬קבוע(‪ ,‬ݔ = ‪ሿ‬ݔ‪ሾ‬ݒܨ )‪ x‬משתנה(‪௡ ሿ ,‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ ∪ … ∪ ‪ଵ ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂‪ሾ‬ݒܨ )‪ f‬סימן‬ ‫פונקציה ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪.‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫נוסחאות ‪௡ ሿ -‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ ∪ … ∪ ‪ଵ ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݌‪ሾ‬ݒܨ )‪ p‬סימן יחס ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪ሿ ,‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ−‬ݒܨ‬ ‫‪ሿ‬ܤ‪ሾ‬ݒܨ ∪ ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪)ሿ‬ܤ ⋄ ܣ(‪ሾ‬ݒܨ )‪ A, B‬נוסחאות‪ ,(⋄∈ {∧,∨, →} ,‬ݔ‪ሿ/‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ ‪.‬ݔ∃‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ ‪.‬ݔ∀‪ሾ‬ݒܨ )‪ x‬משתנה‪A ,‬‬ ‫נוסחא(‪.‬‬ ‫שם עצם ‪ t‬יקרא שם עצם סגור אם ∅ = ‪ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ‪ .‬נוסחא ‪ A‬תקרא פסוק אם ∅ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ‪.‬‬ ‫סמנטיקה בשפות מסדר ראשון‬ ‫מבנה הוא זוג סדור >‪ <D,I‬בו ‪ D‬הוא קבוצה לא ריקה שנקראת התחום ו‪ I-‬היא פונקציה שהתחום שלה הוא הסיגנטורה‬ ‫ומקיימת את הדרישות‪ :‬ܦ ∈ ‪ሾܿሿ‬ܫ )‪ c‬קבוע(‪ ,‬ܦ → ‪ ௡‬ܦ ‪ሾ݂ሿ:‬ܫ )݂ סימן פונקציה( ו‪ ௡-‬ܦ ⊆ ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ܫ )‪ p‬סימן יחס ‪-n‬מקומי(‪.‬‬ ‫פונקציה מקבוצת המשתנים של השפה אל ‪ D‬נקראת השמה במבנה >‪ .<D,I‬מרחיבים את מושג ההשמה בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪ሾܿሿ‬ܫ = ‪ሾܿሿ‬ݒ )‪ c‬קבוע(‪௡ ሿ) ,‬ݐ‪ሾ‬ݒ ‪ଵ ሿ, … ,‬ݐ‪ሾ‬ݒ(‪ሾ݂ሿ‬ܫ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂‪ሾ‬ݒ )‪ f‬סימן פונקציה ו‪ t1,…,tn‬שמות עצם(‪.‬‬ ‫זוג ‪ M,v‬בו ‪ M‬הוא מבנה ו‪ v-‬היא השמה יקרא ‪-t‬מודל של נוסחה ‪ A‬אם ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ‪.‬‬ ‫נוסחה ‪ A‬תקרא תקפה במבנה ‪) M‬ܣ ⊨ ܯ( אם ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ לכל השמה ‪ M .v‬יקרא ‪-v‬מודל של ‪.A‬‬ ‫נוסחה ‪ A‬תקרא תקפה לוגיקת אם היא תקפה בכל מבנה‪ .‬נוסחה ‪ A‬תקרא ‪-t‬תקפה לוגית אם ܣ ‪ ∅ ⊢௧ிை௅‬ו‪-v-‬תקפה‬ ‫לוגית אם ܣ ‪) ∅ ⊢௩ிை௅‬בעצם אין לכך משמעות כי ∅‪.‬מורכבת מפסוקים(‪.‬‬ ‫זהירות בולען‪ :‬לא מתקיים ܣ‪ ⊨ −‬ܯ אמ"ם ܣ ⊭ ܯ!‬ ‫סגור של נוסחא ‪ A‬הוא כל פסוק מהצורה ܣ ‪௡‬ݔ∀ … ‪ଵ‬ݔ∀ כאשר } ‪௡‬ݔ ‪ଵ , … ,‬ݔ{ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ‪ .‬נשים לב שסגור ‪ 'A‬של נוסחה ‪A‬‬ ‫תמיד יהיה פסוק‪ .‬בנוסף‪-v 'A ,‬שקול לוגית ל‪) A-‬ܣ ‪ᇱ ⊢௩‬ܣ ו‪′ -‬ܣ ‪ ⊢௩‬ܣ(‪.‬‬ ‫תכונות נביעה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫ܞ⊢⊆ ܜ⊢‬ ‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים אז ܣ ‪ → ܶ ⊢௧‬ܣ ‪.T ⊢௩‬‬ ‫כלל ההכללה וכלל ההצבה נכונים עבור ‪-v‬נביעה‪ :‬לפי כלל הכללה מתקיים ‪ A ⊢୴ ∀x. A‬אבל בדר"כ‬ ‫‪ .A ⊬୲ ∀x. A‬לפי עקרון ההצבה מתקיים }‪) A ⊢୴ A{t/x‬עבור ‪ t‬חופשי להצבה במקום ‪ (x‬אבל בדר"כ‬ ‫}‪.A ⊬୲ A{t/x‬‬ ‫תכונת הדדוקציה נכונה עבר ‪-t‬נביעה )ועבור ‪-v‬נביעה כש‪ T-‬מורכבת מפסוקים(‪.‬‬ ‫להשלים‬ ‫תכנות ספיקות‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫אם ‪-v T‬ספיקה אז ‪ T‬גם ‪-t‬ספיקה‪.‬‬ ‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים אז ‪ T‬היא ‪-t‬ספיקה אמ"ם היא ‪-v‬ספיקה‪.‬‬ ‫‪-v T‬ספיקה אמ"ם ܶ∀ היא ספיקה‪.‬‬ ‫}ܣ{ ∪ ‪ T‬היא ‪-t‬ספיקה אמ"ם ܣ ‪.ܶ ⊬௧ −‬‬ ‫להשלים‬ ‫בנק דוגמאות‬ ‫‪" .1‬אם ܣ ו‪-‬ܤ → ܣ ספיקות אז ‪ B‬ספיקה" )‪ –(CPL‬דוגמה נגדית‪ A=p :‬ו‪)-‬ݍ‪ ∧ −‬ݍ( = ܤ‪.‬‬ ‫‪ .2‬דוגמה נגדית המוכיחה ୴⊢⊉ ୲⊢‪) :‬ݔ(݌ ‪.‬ݔ∀ ‪) ⊢௩‬ݔ(݌ אבל )ݔ(݌ ‪.‬ݔ∀ ‪) ⊬௧‬ݔ(݌ ‪.‬‬ ‫‪ .3‬דוגמה נגדית המוכיחה שאם תורה היא ‪-t‬ספיקה היא לא בהכרח ‪-v‬ספיקה‪)} :‬ݕ(݌‪) ∧ −‬ݔ(݌{ = ܶ‪.‬‬ ‫‪ .4‬דוגמה נגדית המראה שאם ܣ‪ ⊭ −‬ܯ זה לא אומר ש‪) :M ⊨ A-‬ݔ ‪,‬ݔ(݌‪. −‬ݔ∃ ∧ )ݕ ‪,‬ݔ(݌ = ܣ‪.‬‬ ‫בדוגמה זו מוכיחים כי ‪ ⊬௩ A‬אבל גם ‪ A‬לא ‪-v‬ספיקה‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬