‫סיכום נקודות בלוגיקה‬ ‫תזכורות ממתמטיקה בדידה‬ ‫מיו ࣆ – קשר )ܣ ‪ (ߤ݊.‬שמשמעותו ה‪ n-‬הטבעי הראשון שמקיים את ‪.A‬‬ ‫איוטה ࣃ – קשר )ܣ ‪.‬ݔߡ( שמשמעותו ה‪ x-‬היחיד המקיים את ‪.A‬‬ ‫࡮‪) ࡭ઢ‬ההפרש הסימטרי( – כל האיברים שנמצאים בדיוק באחת מהקבוצות ‪ A‬ו‪.B-‬‬ ‫ניתן להתייחס לפונקציה כיחס המקיים תנאי החד‪-‬ערכיות‪.∀ܽ∀ܾଵ ∀ܾଶ . < ܽ, ܾଵ >∈ ݂ ∧< ܽ, ܾଶ >∈ ݂ → ܾଵ = ܾଶ :‬‬ ‫פונקציה חלקית מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא יחס מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיים את תנאי החד‪-‬ערכיות הנ"ל‪.‬‬ ‫‪ R‬יחס סדר על ‪ .A‬ההגדרות יחסית ל‪.A-‬‬ ‫פונקציה מ‪ A-‬ל‪ B-‬היא פונקציה חלקית ‪ f‬מ‪ A-‬ל‪ B-‬המקיימת‪:‬‬ ‫רפלקסיבי ܴܽܽ ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫ି‬ ‫݂ ∈> ܾ ‪. < ܽ,‬ܤ ∈ ܾ∃ܣ ∈ ܽ∀‪.‬‬ ‫אי רפלקסיבי )ܴܽܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אם ‪ R‬הוא יחס‪ ,‬אז היחס ההפוך ‪ ܴ ିଵ‬מוגדר ע"י‬ ‫}ܴ ∈> ܾ ‪.ܴ ିଵ = {< ܾ, ܽ > | < ܽ,‬‬ ‫ܵ ∘ ܴ הרכבה של יחסים המוגדרת‬ ‫}ܴ ∈> ܿ ‪. < ܽ, ܾ >∈ ܵ ∧< ܾ,‬ܤ ∈ ܾ∃|ܥݔܣ ∈> ܿ ‪.ܴ ∘ ܵ = {< ܽ,‬‬ ‫יחס ‪ R‬על קבוצה ‪ A‬נקרא רפלקסיבי אם ݔܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא אי רפלקסיבי אם )ݔܴݔ( ି‪.‬ݔ∀‪.‬‬ ‫אם מתקיים )ݔܴݔ( ି‪.‬ܣ ∈ ݔ∀‪ ,‬היחס נקרא אי רפלקסיבי על ‪.A‬‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא טרנסיטיבי אם ݖܴݔ → ݖܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݖ∀ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫סימטרי‬ ‫ܴܾܽ → ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אנטי סימטרי‬ ‫ܾ = ܽ → )ܴܾܽ ∧ ܾܴܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫אנטי סימטרי חזק‬ ‫)ܴܾܽ( ି→ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫טרנסיטיבי‬ ‫ܴܿܽ → )ܴܾܿ ∧ ܾܴܽ( ‪.‬ܣ ∈ ܿ ‪∀ܽ, ܾ,‬‬ ‫יחס סדר חלקי‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‬ ‫יחס ‪ R‬נקרא סימטרי אם ݔܴݕ → ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪,‬‬ ‫אנטי סימטרי חזק אם )ݔܴݕ( ି→ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‬ ‫ואנטי סימטרי )חלש( אם ݕ = ݔ → ݔܴݕ ∧ ݕܴݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס סדר מלא‬ ‫‪ R‬יחס סדר חלקי ובנוסף מתקיים‬ ‫ܴܾܽ ∨ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי‪ ,‬אנטי סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫יחס סדר חלקי יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים גם כי ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס סדר חלקי חזק‬ ‫‪ R‬אי רפלקסיבי וטרנסיטיבי‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא יחס סדר חלקי חזק על ‪ A‬אם הוא טרנסיטיבי ואי רפלקסיבי על ‪.A‬‬ ‫יחס כזה יקרא מלא על ‪ A‬אם מתקיים ݕ = ݔ ∨ ݔܴݕ ∨ ݕܴݔ ‪.‬ܣ ∈ ݕ∀ܣ ∈ ݔ∀‪.‬‬ ‫יחס סדר מלא חזק‬ ‫‪ R‬יחס סדר חלקי חזק ובנוסף מתקיים‬ ‫ܴܾܽ ∨ ܾ = ܽ ∨ ܾܴܽ ‪.‬ܣ ∈ ܾ∀ܣ ∈ ܽ∀‬ ‫יחס שקילות‬ ‫‪ R‬רפלקסיבי‪ ,‬סימטרי וטרנסיטיבי‬ ‫מחלקת שקילות &|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬ ‫קבוצת מנה ∈ | ‪./ = {)*+‬‬ ‫יחס ‪ R‬יקרא שקילות על ‪ A‬אם הוא רפלקסיבי על ‪ ,A‬סימטרי וטרנזיטיבי‪.‬‬ ‫אם ‪ R‬הוא יחס שקילות‪ ,‬מחלקת השקילות של ‪ x‬לפי ‪ R‬היא }ݕܴݔ|ܣ ∈ ݕ{ = ‪ሿோ‬ݔ‪.ሾ‬‬ ‫אם ‪ R‬יחס שקילות על ‪ ,A‬קבוצת המנה של ‪ R‬על ‪ A‬היא }ܣ ∈ ݔ| ‪ሿோ‬ݔ‪/ܴ = {ሾ‬ܣ‪.‬‬ ‫לוגיקה‬ ‫יחס נביעה ⊢ היא יחס בין קבוצות של נוסחאות לנוסחאות המקיים "רפלקסיביות" )ܣ ⊢ ܶ → ܶ ∈ ܣ(‪,‬‬ ‫מונוטוניות )אם ܣ ⊢ ܶ וגם ܵ ⊆ ܶ אז ܣ ⊢ ܵ( ו"טרנסיטיביות" )אם ߮ ⊢ ܶ ו‪ ܶ, ߮ ⊢ ߰-‬אז ߰ ⊢ ܶ(‪.‬‬ ‫תחשיב הפסוקים הקלאסי )‪(CPL‬‬ ‫מוגדר מעל הא"ב‪ :‬פסוקים אטומיים )…‪ ,(p1,p2,p3‬קשרים → ‪ −,∨,∧,‬וסוגריים‪ .‬הקטגוריה הסינטקטית היא נוסחה )או‬ ‫פסוק( כאשר‬ ‫‪ .1‬כל פסוק אטומי הוא נוסחה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אם ߰ ‪ ߮,‬נוסחאות אז )߰ → ߮( ‪ – ߮, (߮ ∧ ߰), (߮ ∨ ߰),‬נוסחאות‪.‬‬ ‫טענות על נוסחאות ב‪) CPL-‬להוכחה שמשהו אינו נוסחה(‪ :‬מספר הסוגרים הימיניים והשמאליים שווה‪ ,‬בין כל ‪ 2‬פסוקים‬ ‫אטומים מופיע קשר‪ ,‬קשר "וגם" אינו יכול להופיע בצמוד לסוגר‪ ,‬מספר הסוגיים השמאליים שווה למספר הקשרים‬ ‫הבינאריים‪ ,‬מילה ב‪ CPL-‬אינה מתחילה בסוגר ימיני‪.‬‬ ‫הגדרה סמנטית לנביעה– ב‪ CPL-‬ה"מבנה" נקרא "השמה" )פונקציה ‪ v‬מקבוצת הנוסחאות אל }‪ {t,f‬המקיימת‪:‬‬ ‫}→ ‪(߰)൯, ⋄= {∨,∧,‬ݒ ‪(߮),‬ݒ‪(߮ ⋄ ߰) =⋄∗ ൫‬ݒ ‪(߮)൯,‬ݒ‪(−߮) = −∗ ൫‬ݒ כאשר ∗ ܺ היא פונקצית האמת המתאימה ל‪.(X-‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫נוסחה תקרא טאוטולוגיה )סימון ߮ ‪(⊢஼௉௅‬אם כל השמה היא מודל שלה‪.‬‬ ‫למה‪ ૎ :‬ۺ۾‪) ∅ ⊢࡯ࡼࡸ ࣐ ↔⊢۱‬כי כל השמה היא מודל של הקבוצה הריקה(‪.‬‬ ‫תורה ספיקה אם יש לה מודל‪ .‬בהתאם‪ ,‬תורה אי ספיקה היא תורה שאין לה מודל‪ .‬פסוק ללא מודל נקרא סתירה‪.‬‬ ‫פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אם לכל השמה ‪ v‬מתקיים ‪ v[A]=t‬אמ"ם ‪.v[B]=t‬‬ ‫נשים לב שטאוטולוגיה נובעת מכל תורה ושכל נוסחה נובעת מנוסחה שהיא סתירה‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬פסוקים ‪ A, B‬שקולים לוגית אמ"ם )ܣ → ܤ( ∧ )ܤ → ܣ( ‪.⊢஼௉௅‬‬ ‫טענה‪ :‬יהי ‪ A‬פסוק ו‪ v, v'-‬השמות כלשהן‪ .‬אם לכל ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݐܣ ∈ ݌ מתקיים ]‪ v'[p]=v[p‬אז ]‪) v[A]=v'[A‬אינדוקציה מבנית(‪.‬‬ ‫קבוצת הנוסחאות האטומיות של ߮ מוגדרת כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫}݌{ = ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ݐܣ‪.‬‬ ‫‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ = ‪ሾ−߮ሿ‬ݐܣ‪.‬‬ ‫‪ሾ߰ሿ‬ݐܣ⋃‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ = ‪ሾ(߮ ⋄ ߰)ሿ‬ݐܣ עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫קבוצת תת הנוסחאות של ‪ A‬מוגדרת כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫}݌{ = ‪ሿ‬݌‪.݂ܵሾ‬‬ ‫}ܣ{ ∪ ‪ሿ‬ܣ‪ሿ = ݂ܵሾ‬ܣ‪.݂ܵሾ−‬‬ ‫})ܤ ⋄ ܣ({ ∪ ‪ሿ‬ܤ‪ሿ⋃݂ܵሾ‬ܣ‪)ሿ = ݂ܵሾ‬ܤ ⋄ ܣ(‪ ݂ܵሾ‬עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫‪஺‬‬ ‫הצבה‪ :‬אם ‪ ߮,A‬נוסחאות ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬אז ‪ ߮ ቄ௣ቅ‬הינו הפסוק המתקבל מ‪ ߮-‬ע"י הצבת ‪ A‬במקום ‪ p‬ומוגדר כך‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪୅‬‬ ‫אם ݌ = ߮ אז ‪.φ ቄ୮ ቅ = A‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪.φ ቄ୮ ቅ‬‬ ‫•‬ ‫אם ݍ = ߮ כאשר ݌ ≠ ݍ אז ‪= q‬‬ ‫•‬ ‫אם ߰‪ ߮ = −‬אז ‪.φ ቄ୮ ቅ = −ψ ቄ୮ ቅ‬‬ ‫•‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫‪୅‬‬ ‫אם ) ‪ ߮ = (ψଵ ⋄ ψଶ‬אז )‪ φ ቄ ቅ = (ψଵ ቄ ቅ ⋄ ψଶ ቄ ቅ‬עבור }→ ‪.⋄= {∨,∧,‬‬ ‫‪୮‬‬ ‫‪୮‬‬ ‫‪୮‬‬ ‫‪஺ ஻‬‬ ‫הערה‪ ߮ ቄ௣ , ௤ , … ቅ :‬מציין הצבה סימולטנית‪.‬‬ ‫משפט ההצבה‪ :‬יהיו ߮ נוסחה‪ v ,‬השמה‪௡ ,‬ݍ ‪ଵ , … ,‬ݍ נוסחאות אטומיות שונות זו מזו ו‪ A1,…,An-‬נוסחאות )לא בהכרח‬ ‫שונות(‪ .‬תהי '‪ v‬השמה כך שאם ‪ p=qi‬אז )‪ .v'(p)=v(Ai‬אחרת‪ v'(p)=v(p) ,‬אזי )} ‪௡‬݌‪௡ /‬ܣ ‪ଵ , … ,‬݌‪ଵ /‬ܣ{߮(ݒ = )߮( ‪ ᇱ‬ݒ‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם '‪ v, v‬השמות כך ש‪ v'(p)=v(p)-‬לכל ‪ሾ߮ሿ‬ݐܣ ∈ ݌ אז )߮(‪) v'(߮)=v‬הוכחה באינדוקציה מבנית(‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ܣ ‪ ܶ ⊢஼௉௅‬ו‪ ߪ-‬הצבה אז )ܣ(ߪ ⊢ )ܶ(ߪ‪.‬‬ ‫משפט ההחלפה‪ :‬נניח ‪ v‬השמה‪ A ,‬נוסחה ו‪ p-‬פסוק אטומי‪ ,‬נגדיר השמה '‪ v‬כך שאם ‪ q=p‬אז ]‪ ,v'[q]=v[A‬אחרת‬ ‫]‪ q) v'[q]=v[q‬פסוק אטומי(‪ .‬אז לכל פסוק ‪ B‬מתקיים ]}‪.v'[B]=v[B{A/p‬‬ ‫רדוקציות לשאלת נביעה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫߮ ‪ ܶ ⊢஼௉௅‬אמ"ם }߮‪ ܶ ∪ {−‬אינה ספיקה‪.‬‬ ‫לתורות סופיות – ߮ ‪ {߰ଵ , ߰ଶ , … , ߰௡ } ⊢஼௉௅‬אמ"ם הפסוק ߮ → ) ‪ (߰ଵ ∧ ߰ଶ ∧ … ∧ ߰௡‬הוא טאוטולוגיה‪.‬‬ ‫משפט הקומפקטיות‬ ‫‪ T .1‬ספיקה אמ"ם כל קבוצה סופית חלקית שלה היא ספיקה‪.‬‬ ‫‪ ܶ ⊢஼௉௅ ߮ .2‬אמ"ם יש ܶ ⊆ ‪ Γ‬סופית כך ש‪.Γ ⊢஼௉௅ ߮-‬‬ ‫הגדרה סינטקטית לנביעה– ߮ ‪ ܶ ⊢ு௉஼‬אם ל‪ φ-‬יש הוכחה מ‪.T-‬‬ ‫הוכחה של פסוק ‪ φ‬מתורה ‪ T‬ב‪ HPC-‬היא סדרה סופית של פסוקים כך שהפסוק האחרון בסדרה הוא ‪ .φ‬כל איבר‬ ‫בסדרה הוא אקסיומה של ‪ ,HPC‬איבר של ‪ T‬או פסוק שמתקבל משני פסוקים קודמים בסדרה בעזרת היסק ‪.MP‬‬ ‫טענה‪ ܶ ⊢ு௉஼ ߮ :‬אמ"ם יש ܶ ⊆ ‪ Γ‬סופית כך ש‪.Γ ⊢ு௉஼ ߮-‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫תורה ‪ T‬תקרא קונסיסטנטית ב‪ HPC-‬אם אין פסוק ‪ A‬כך שגם ܣ ‪ ܶ ⊢ு௉஼‬וגם ܣ ‪ .ܶ ⊢ு௉஼ −‬בניסוח אחר‪ ,‬קיים פסוק ‪A‬‬ ‫כך שܣ ‪. ܶ ⊬ு௉஼ −‬‬ ‫משפט הנאותות והשלמות ‪ .⊢େ୔୐ =⊢ୌ୔େ -‬הוכחת נאותות ) ୐୔‪ (⊢ୌ୔େ →⊢େ‬מוכיחים באמצעות אינדוקציה על אורך‬ ‫ההוכחה‪ .‬הוכחת שלמות ) ‪ (⊢େ୔୐ →⊢ୌ୔େ‬היא ארוכה ומציקה )שיעור ‪ 4‬בסיכומים של אברון(‪ .‬נוסח ב' למשפט‬ ‫השלמות‪ T :‬היא תורה ספיקה ב‪ CPL-‬אמ"ם ‪ T‬היא קונסיסטנטית ב‪.HPC-‬‬ ‫טענה‪ :‬אם לכל פסוק ‪ A‬ב‪ T1-‬מתקיים ܣ ‪ ܶଶ ⊢ு௉஼‬אז לכל פסוק ‪ ,B‬אם ܤ ‪ ܶଵ ⊢ு௉஼‬אז ܤ ‪.ܶଶ ⊢ு௉஼‬‬ ‫משפט הדדוקציה הסמנטי ‪ -‬ܤ ‪} ⊢஼௉௅‬ܣ{ ∪ ܶ אמ"ם ܤ → ܣ ‪.ܶ ⊢஼௉௅‬‬ ‫משפט הדדוקציה הסינטקטי ‪ -‬ܤ ‪} ⊢ு௉஼‬ܣ{ ∪ ܶ אמ"ם ܤ → ܣ ‪) ܶ ⊢ு௉஼‬אינדוקציה על ההוכחה(‪ .‬המשפט נכון עבור‬ ‫כל מערכת נוסח הילברט בה קיימות האקסיומות ‪ I1‬ו‪ I2-‬ו‪ MP-‬הוא כלל ההיסק היחיד עבור שפה עם קשר הגרירה‪.‬‬ ‫דדוקציה טבעית – נאמר שܣ ‪ ܶ ⊢ே஽஼‬אם קיימת ܶ ⊆‬ ‫סופית כך שלסקוונט ܣ ⇒ ‪ Γ‬יש הוכחה ב‪.NDC-‬‬ ‫שקלויות לוגיות – )ܣ → ܤ( ∧ )ܤ → ܣ( ‪ =஽ி‬ܤ ↔ ܣ‬ ‫שני פסוקים יקראו שקולים לוגית )ܤ ≡ ܣ( אם ܤ ↔ ܣ ‪. ⊢஼௉௅‬‬ ‫משפט הצבת אקוויוולנטים‪ :‬אם ܤ ↔ ܣ ⊢ ܶ אז לכל נוסחה ߮ ופסוק אטומי ‪ p‬מתקיים }݌‪/‬ܤ{߮ ↔ }݌‪/‬ܣ{߮ ⊢ ܶ‪.‬‬ ‫נוסחה היא בצורת ‪ NNF‬אם קשר השלילה מופיע רק לפני פסוקים אטומיים‪ .‬ליטרל זהו פסוק אטומי או שלילתו‪ .‬פסוק‬ ‫ב‪ DNF‬הוא "'או'ים של 'וגם'ים" ופסוק ב‪ CNF‬הוא "'וגםים' של 'או'ים"‪ .‬כל פסוק אפשר להעביר לפסוק שקול ב‪ ,NNF‬והן‬ ‫להביא לצורות ‪ DNF‬ו‪.CNF-‬‬ ‫‪௣ ,..,௣‬‬ ‫הגדרה נניח ߮ פסוק כך ש‪௡ }-‬݌ ‪ଶ , … ,‬݌ ‪ଵ ,‬݌{ = )߮(ݐܣ‪ .‬נגדיר את ‪ ݃ఝభ ೙‬בתור הפונקציה מ‪, ݂}௡-‬ݐ{ אל }‪ {t,f‬המוגדרת‬ ‫‪௣ ,..,௣‬‬ ‫ע"י )‪ ݃ఝభ ೙ (mଵ , … , m୬ ) = v(φ‬כאשר }݂ ‪,‬ݐ{ ∈ ‪ ݉௜‬לכל ‪ i‬ו‪ v-‬השמה כך ש‪௜ ) = ݉௜ -‬݌(ݒ‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל }݂ ‪,‬ݐ{ → ‪, ݂}௡‬ݐ{ ‪ ݂:‬ניתן למצוא נוסחא ߮ כך ש‪-‬‬ ‫להגדרת כל פונקציה מ‪, ݂}௡-‬ݐ{ אל }‪.{t,f‬‬ ‫‪௣ ,..,௣೙‬‬ ‫‪ .݂ = ݃ఝభ‬מהטענה נובע כי }→ ‪ {−,∧,∨,‬מספיקים‬ ‫מציאת נוסחה לפונקציה‪ :‬נסתכל בטבלת האמת של הפונקציה‪ .‬עבור צורת ‪ ,DNF‬עבור כל שורה בה הפונקציה‬ ‫מקבלת ‪ ,t‬נרשום הסגרי "או" )שיחוברו יחד ע"י "וגם"( לפי ערכי האמת של הפסוקים האטומים באותה השורה )אם ‪p‬‬ ‫קיבל ערך ‪ t‬נרשום בהסגר ‪ ,p‬אם קיבל ‪ f‬נרשם ‪ .(–p‬עבור צורת ‪ ,CNF‬נמצא צורת ‪ DNF‬אך עבור השורות שמקבלות ‪f‬‬ ‫ואז נהפוך "או" ל‪"-‬וגם"‪" ,‬וגם" ל‪"-‬או" וליטרל עם שלילתו )תרגול ‪(6‬‬ ‫קבוצת קשרים ‪ S‬תקרא שלמה פונקציונאלית אם לכל פונקצית אמת ‪ f‬ישנה נוסחה ‪ A‬מעל >‪ p=<p1,…pn‬כך ש‪ A-‬מעל ‪S‬‬ ‫‪௣‬‬ ‫ו‪.݃஺ = ݂-‬‬ ‫לוגיקה רב ערכית‬ ‫במקום שני ערכי אמת‪ ,‬יש קבוצה של ערכי אמת ‪ S‬היכולה להיות אינסופית‪ .‬מגדירים גם קבוצת ערכים מצוינים ‪ D‬כך‬ ‫ש‪ D-‬אינה ריקה ומוכלת ממש ב‪ .S-‬לכל קשר ‪-n‬מקומי מגדירים פונקצית אמת מתאימה‪ .‬השמה מוגדרת להיות פונקציה‬ ‫מקבוצת הנוסחאות אל ‪ ,S‬המכבדת את טבלאות האמת החדשות‪ .‬השמה ‪ v‬תהיה מודל של נוסחא ‪ A‬אם ܦ ∈ )ܣ(ݒ‪.‬‬ ‫תחשיב הפרדיקטים‬ ‫סיגנטורה של שפה –מכילה סימני קבועים‪ ,‬סימני פונקציה ולפחות סימן יחס אחד‪.‬‬ ‫שם עצם – יכול להיות קבוע‪ ,‬משתנה‪ ,‬או )‪) f(t1,…,tn‬כאשר ‪ f‬סימן פונקציה ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪.‬‬ ‫נוסחא – יכולה להיות )‪) p(t1,…,tn‬כאשר ‪ p‬סימן יחס ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪) (࡭ ⋄ ࡮), −࡭ ,‬כאשר }→ ‪ ⋄= {∨,∧,‬ו‪A,B-‬‬ ‫נוסחאות( או ࡭ ‪) ∀࢞. ࡭ ,∃࢞.‬כאשר ‪ x‬משתנה ו‪ A-‬נוסחא(‪.‬‬ ‫הצבה )סימון }ݔ‪/‬ݏ{߮‪ s ,‬שם עצם‪ x ,‬משתנה(‬ ‫שמות עצם – עבור ‪ t‬קבוע‪ :‬ݐ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪ ,‬עבור ‪ t‬משתנה השונה מ‪ :x-‬ݐ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪ ,‬עבור ‪ t‬משתנה השווה ל‪:x-‬‬ ‫ݏ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ ועבור ‪ f) t=f‬פונקציה ‪ n‬מקומית(‪}) :‬ݔ‪/‬ݏ{ ‪௡‬ݐ ‪}, … ,‬ݔ‪/‬ݏ{ ‪ଵ‬ݐ(݂ = }ݔ‪/‬ݏ{ݐ‪.‬‬ ‫נוסחאות – עבור סימני יחס וקשרים‪" ,‬מכניסים" את ההצבה "פנימה"‪ .‬עבור כמתים‪" ,‬מכניסים פנימה" רק אם ‪ x‬אינו‬ ‫קשור ע"י הכמת‪.‬‬ ‫אם ‪ x, y‬משתנים שונים‪ s ,‬ו‪ t-‬ש"ע‪ A ,‬נוסחה ו‪ t-‬חופשי להצבה עבור ‪ x‬ב‪ A-‬אז ‪}.‬ݕ‪/‬ݏ ‪,‬ݔ‪}ሿ/‬ݕ‪/‬ݏ{ݐ‪{ሾ‬ܣ = }ݕ‪/‬ݏ{}ݔ‪/‬ݐ{ܣ‪.‬‬ ‫קבוצת המשתנים החופשיים‬ ‫שמות עצם – ∅ = ‪ሾܿሿ‬ݒܨ )‪ c‬קבוע(‪ ,‬ݔ = ‪ሿ‬ݔ‪ሾ‬ݒܨ )‪ x‬משתנה(‪௡ ሿ ,‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ ∪ … ∪ ‪ଵ ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂‪ሾ‬ݒܨ )‪ f‬סימן‬ ‫פונקציה ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪.‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫נוסחאות ‪௡ ሿ -‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ ∪ … ∪ ‪ଵ ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݌‪ሾ‬ݒܨ )‪ p‬סימן יחס ו‪ t1,…,tn-‬שמות עצם(‪ሿ ,‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ−‬ݒܨ‬ ‫‪ሿ‬ܤ‪ሾ‬ݒܨ ∪ ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪)ሿ‬ܤ ⋄ ܣ(‪ሾ‬ݒܨ )‪ A, B‬נוסחאות‪ ,(⋄∈ {∧,∨, →} ,‬ݔ‪ሿ/‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ ‪.‬ݔ∃‪ሾ‬ݒܨ = ‪ሿ‬ܣ ‪.‬ݔ∀‪ሾ‬ݒܨ )‪ x‬משתנה‪A ,‬‬ ‫נוסחא(‪.‬‬ ‫שם עצם ‪ t‬יקרא שם עצם סגור אם ∅ = ‪ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒܨ‪ .‬נוסחא ‪ A‬תקרא פסוק אם ∅ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ‪.‬‬ ‫סמנטיקה בשפות מסדר ראשון‬ ‫מבנה הוא זוג סדור >‪ <D,I‬בו ‪ D‬הוא קבוצה לא ריקה שנקראת התחום ו‪ I-‬היא פונקציה שהתחום שלה הוא הסיגנטורה‬ ‫ומקיימת את הדרישות‪ :‬ܦ ∈ ‪ሾܿሿ‬ܫ )‪ c‬קבוע(‪ ,‬ܦ → ‪ ௡‬ܦ ‪ሾ݂ሿ:‬ܫ )݂ סימן פונקציה( ו‪ ௡-‬ܦ ⊆ ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ܫ )‪ p‬סימן יחס ‪-n‬מקומי(‪.‬‬ ‫פונקציה מקבוצת המשתנים של השפה אל ‪ D‬נקראת השמה במבנה >‪ .<D,I‬מרחיבים את מושג ההשמה בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪ሾܿሿ‬ܫ = ‪ሾܿሿ‬ݒ )‪ c‬קבוע(‪௡ ሿ) ,‬ݐ‪ሾ‬ݒ ‪ଵ ሿ, … ,‬ݐ‪ሾ‬ݒ(‪ሾ݂ሿ‬ܫ = ‪௡ )ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂‪ሾ‬ݒ )‪ f‬סימן פונקציה ו‪ t1,…,tn‬שמות עצם(‪.‬‬ ‫זוג ‪ M,v‬בו ‪ M‬הוא מבנה ו‪ v-‬היא השמה יקרא ‪-t‬מודל של נוסחה ‪ A‬אם ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ‪.‬‬ ‫נוסחה ‪ A‬תקרא תקפה במבנה ‪) M‬ܣ ⊨ ܯ( אם ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ לכל השמה ‪ M .v‬יקרא ‪-v‬מודל של ‪.A‬‬ ‫נוסחה ‪ A‬תקרא תקפה לוגיקת אם היא תקפה בכל מבנה‪ .‬נוסחה ‪ A‬תקרא ‪-t‬תקפה לוגית אם ܣ ‪ ∅ ⊢௧ிை௅‬ו‪-v-‬תקפה‬ ‫לוגית אם ܣ ‪) ∅ ⊢௩ிை௅‬בעצם אין לכך משמעות כי ∅‪.‬מורכבת מפסוקים(‪.‬‬ ‫זהירות בולען‪ :‬לא מתקיים ܣ‪ ⊨ −‬ܯ אמ"ם ܣ ⊭ ܯ!‬ ‫סגור של נוסחא ‪ A‬הוא כל פסוק מהצורה ܣ ‪௡‬ݔ∀ … ‪ଵ‬ݔ∀ כאשר } ‪௡‬ݔ ‪ଵ , … ,‬ݔ{ = ‪ሿ‬ܣ‪ሾ‬ݒܨ‪ .‬נשים לב שסגור ‪ 'A‬של נוסחה ‪A‬‬ ‫תמיד יהיה פסוק‪ .‬בנוסף‪-v 'A ,‬שקול לוגית ל‪) A-‬ܣ ‪ᇱ ⊢௩‬ܣ ו‪′ -‬ܣ ‪ ⊢௩‬ܣ(‪.‬‬ ‫תכונות נביעה‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫ܞ⊢⊆ ܜ⊢‬ ‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים אז ܣ ‪ → ܶ ⊢௧‬ܣ ‪.T ⊢௩‬‬ ‫כלל ההכללה וכלל ההצבה נכונים עבור ‪-v‬נביעה‪ :‬לפי כלל הכללה מתקיים ‪ A ⊢୴ ∀x. A‬אבל בדר"כ‬ ‫‪ .A ⊬୲ ∀x. A‬לפי עקרון ההצבה מתקיים }‪) A ⊢୴ A{t/x‬עבור ‪ t‬חופשי להצבה במקום ‪ (x‬אבל בדר"כ‬ ‫}‪.A ⊬୲ A{t/x‬‬ ‫תכונת הדדוקציה נכונה עבר ‪-t‬נביעה )ועבור ‪-v‬נביעה כש‪ T-‬מורכבת מפסוקים(‪.‬‬ ‫יהיו …‪ x1,x2,‬המשתנים החופשיים המופיעים ב‪ T-‬ויהיו ‪ d1,d2,...‬קבועים חדשים שאינם מופיעים ב‪}-‬ܣ{ ∪ ܶ‬ ‫השונים זה מזה‪ .‬אז ܣ ‪ ܶ ⊢௧‬אמ"ם } … ‪2,‬ݔ‪1, ݀2/‬ݔ‪{݀1/‬ܣ ⊢ } … ‪2,‬ݔ‪1, ݀2/‬ݔ‪) ܶ{݀1/‬זו תורה של פסוקים(‪.‬‬ ‫עבור ‪ A‬נוסחה‪ T ,‬תורה בה המשתנים החופשיים ‪ x1,…,xn‬ו‪ d1,…,dn-‬קבועים חדשים שאינם ב‪}-‬ܣ{ ∪ ܶ‬ ‫מתקיים } ࢔࢞‪) ࢀ ⊢࢚ ࡭ ↔ ࢀ{ࢊ૚ /࢞૚ , … , ࢊ࢔ /࢞࢔ } ⊢࢚ ࡭{ࢊ૚ /࢞૚ , … , ࢊ࢔ /‬מעבר לנביעה של פסוקים(‪.‬‬ ‫עבור ‪ A‬נוסחה ו‪ T-‬תורה מתקיים ࡭∀ ࢜⊢ ࢀ∀ ↔ ࡭ ࢜⊢ ࢀ )מעבר לנביעה של פסוקים(‪.‬‬ ‫תכנות ספיקות‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫אם ‪-v T‬ספיקה אז ‪ T‬גם ‪-t‬ספיקה‪.‬‬ ‫אם ‪ T‬מורכבת מפסוקים אז ‪ T‬היא ‪-t‬ספיקה אמ"ם היא ‪-v‬ספיקה‪.‬‬ ‫‪-v T‬ספיקה אמ"ם ܶ∀ היא ספיקה‪.‬‬ ‫}ܣ{ ∪ ‪ T‬היא ‪-t‬ספיקה אמ"ם ܣ ‪.ܶ ⊬௧ −‬‬ ‫יהיו …‪ x1,x2,‬המשתנים החופשיים המופיעים ב‪ T-‬ויהיו ‪ d1,d2,...‬קבועים חדשים שאינם מופיעים ב‪ ܶ-‬השונים‬ ‫זה מזה‪ .‬אז ܶ הי א ‪-t‬ספיקה אמ"ם } … ‪2,‬ݔ‪1, ݀2/‬ݔ‪ ܶ{݀1/‬היא ספיקה )זו תורה של פסוקים(‪.‬‬ ‫למה‪ :‬אם ܣ ‪ T, A) ܶ ⊢ு௉஼‬מורכבות מפסוקים בתחשיב הפסוקים( אזי ∗ ܣ ‪ ܶ ∗⊢ுிை௅‬כאשר *‪ T*, A‬נוסחאות בתחשיב‬ ‫הפרדיקטים המתקבלות מ‪ T, A -‬ע"י החלפת משתנים בנוסחאות מתחשיב הפרדיקטים‪.‬‬ ‫משפט החלפת שקולים – ב‪-v-‬נביעה‪ :‬אם ‪′‬ܣ ↔ ܣ ‪ ܶ ⊢௩‬ו‪ B'-‬התקבלה מ‪ B-‬ע"י החלפת מופע אחד או יותר של ‪A‬‬ ‫ב‪ A'-‬אז ‪′‬ܤ ↔ ܤ ‪.ܶ ⊢௩‬‬ ‫משפטי השלמות בתחשיב הפרדיקטים‬ ‫‪ .1‬ܣ ‪ ↔ ܶ ⊢ுிை௅‬ܣ ‪T ⊣௩‬‬ ‫‪ .2‬ܣ ‪ ↔ ܶ ⊢ே஽ிை௅‬ܣ ‪T ⊣௧‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫הרברנד‬ ‫מבנה הרברנד עבור שפה ‪ L‬עם קבוע הוא מבנה שבו‪ c) I[c]=c ,D=H(L) :‬קבוע(‪ ,‬אם ‪ f‬הינו סימן פונקציה אז‬ ‫) ‪௡‬ݔ ‪ଵ , … ,‬ݔ(݂ ‪).‬ܮ(ܪ ∈ ‪௡‬ݔ ‪), … ,‬ܮ(ܪ ∈ ‪ଵ‬ݔߣ = ‪ሾ݂ሿ‬ܫ )כלומר ) ‪௡‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ(݂ = ‪௡ ሿ‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ‪௡ ) ݂ ூ ሾ‬ݐ … ‪ଵ ,‬ݐ ש"סים(‪.‬‬ ‫באינדוקציה נקבל שלכל ש"ס ‪ t‬מתקיים ‪.I[t]=t‬‬ ‫מבנה הרברנד נקבע לחלוטין ע"י קבוצת הפסוקים האטומיים הנכונים בו )נסמן )‪ HB(M) .(HB(M‬נקרא בסיס הרברנד‪.‬‬ ‫טענה‪ M=<H(L),I> :‬מבנה הרברנד עבור השפה ‪ L‬ונניח ש‪ p-‬סימן יחס ‪ n‬מקומי ב‪,L-‬‬ ‫אז ‪)௡ |H$I , … , I[ % ∈ $y%‬ܮ(ܪ ∈> ‪௡‬ݐ ‪ଵ , … ,‬ݐ <{ = ‪ሿ‬݌‪ሾ‬ܫ‪.‬‬ ‫‪y ⊨ H$I , … , I[ % ↔< x)I *, … , x)I[ * >∈ x)H* ↔ H$I , … , I[ % ∈ $y% ↔ y ⊨ H$I , … , I[ %‬‬ ‫טענה אם ‪ M‬מבנה הרברנד וܣ ‪.‬ݔ∀‪ ,‬ܣ ‪.‬ݔ∃ הם פסוקים אז‬ ‫א‪ .‬ܣ ‪.‬ݔ∀ ⊨ ܯ אמ"ם }ݔ‪/‬ݏ{ܣ ⊨ ܯ לכל ש"ס ‪.s‬‬ ‫ב‪ .‬ܣ ‪.‬ݔ∃ ⊨ ܯ אמ"ם }ݔ‪/‬ݏ{ܣ ⊨ ܯ עבור איזשהו ש"ס ‪.s‬‬ ‫למה נניח ‪ M‬מבנה הרברנד‪ A ,‬נוסחה‪ x ,‬משתנה‪ v ,‬השמה ו‪ t-‬שם עצם )לא בהכרח סגור( אז‪:‬‬ ‫א‪}ሿ .‬ݔ‪ሿ/‬ݔ‪ሾ‬ݒ{ݐ‪ሾ‬ݒ = ‪ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒ )הכתיבה חוקית כיוון שבמבנה הרברנד ]‪ v[x‬הוא גם שם עצם(‪.‬‬ ‫ב‪} .‬ݔ‪ሿ/‬ݔ‪ሾ‬ݒ{ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ ↔ ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ‪.‬‬ ‫מסקנות‬ ‫א‪ .‬אם } ‪௡‬ݔ ‪ଵ , … ,‬ݔ{ = )ݐ(ݒܨ אז ‪}ሿ‬ݔ‪௡ ሿ/‬ݔ‪ሾ‬ݒ ‪, … ,‬ݔ‪ଵ ሿ/‬ݔ‪ሾ‬ݒ{ݐ‪ሾ‬ܫ = ‪ሿ‬ݐ‪ሾ‬ݒ )בתוך ‪ I‬מופיע ש"ס ולכן כתיבה חוקית(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם } ‪௡‬ݔ ‪ଵ , … ,‬ݔ{ = )ܣ(ݒܨ אז } ‪௡‬ݔ‪௡ ሿ/‬ݔ‪ሾ‬ݒ ‪ଵ , … ,‬ݔ‪ଵ ሿ/‬ݔ‪ሾ‬ݒ{ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ ↔ ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ )לאחר ההצבה ‪ A‬פסוק(‪.‬‬ ‫תנאי הנקין לתורה ‪ :T‬אם ܣݔ∃ פסוק כך ש‪-‬ܣݔ∃ ‪ ܶ ⊢ுிை௅‬אז קיים ש"ס ‪ t‬כך ש‪}-‬ݔ‪/‬ݐ{ܣ ‪.ܶ ⊢ுிை௅‬‬ ‫תהליך סילוק כמתים ישיים נקרא סקולמיזציה‪.‬הפסוק המתקבל מ‪ A-‬בתהליך זה מסומן על ידי )‪ Sk(A‬והתורה‬ ‫המתקבלת מ‪ T-‬מסומנת )‪ Sk(A) .Sk(T‬לא נקבע באופן יחיד )תלוי בסימני הפונקציות שנבחרו(‪ Sk(A) .‬אינו שקול ל‪A-‬‬ ‫)הם אפילו לא באותה שפה(‪ .‬כל מודל של תורה ‪ T‬ניתן להרחיב למודל של )‪) Sk(T‬ולהפך(‪ .‬סימני הפונקציה שמוסיפים‬ ‫בתהליך נקראים פונקציות סקולם )למרות שבפועל הם רק סימני פונקציות(‪.‬‬ ‫משפט הרברנד – תהי ‪ T‬תורה אונברסלית בשפה ‪ L‬שיש בה קבוע אחד לפחות‪ .‬אז ‪ T‬ספיקה כתורה ב‪ FOL-‬אמ"ם *‪,T‬‬ ‫קבוצת האינסטנציות הסגורות של המטריצות של איברי ‪ ,T‬ספיקה כתורה ב‪) CPL-‬אם אין ב‪ L-‬סימן קבוע אז נגדיר את‬ ‫*‪ T‬בשפה }ܿ{ ∪ ܮ ואז ‪ T‬ספיקה כתורה ב‪ L-‬אמ"ם *‪ T‬ספיקה כתורה ב‪.(L*-‬‬ ‫אם לתורה של פסוקים אוניברסאליים ‪ T‬בשפה ‪ L‬שיש בה לפחות קבוע אחד‪ ,‬יש מודל אז יש לה מודל הרברנד‪.‬‬ ‫משפט לוונהיים סקולם הפשוט – אם לתורה ‪ T‬יש מודל‪ ,‬אז יש לה מודל בן מניה‪.‬‬ ‫משפט סקולם – קיים אלגוריתם הבונה לכל פסוק ‪ A‬פסוק אוניברסאלי ‪ 'A‬כך ש‪ A-‬ספיק אמ"ם ‪ 'A‬ספיק‪.‬‬ ‫לוגיקה מסדר ראשון עם שוויון‬ ‫מבנה נורמאלי עבור שפה מסדר ראשון עם שוויון הוא מבנה שבו הפירוש של סימן היחס ‪ =2‬הוא יחס הזהות על ‪.D‬‬ ‫הגדרה‪ :‬ܣ ‪ ܶ ⊢௧ிை௅ୀ‬אם כל ‪-t‬מודל נורמאלי של ‪ T‬הוא ‪-t‬מודל של ‪ .A‬בצורה דומה גם עבור ‪-v‬נביעה‪.‬‬ ‫משפטים בסיסיים‪ :‬ܣ ‪ ↔ ܶ ⊢௧ிை௅ୀ‬ܣ ‪) ⊢௧ிை௅‬ܮ(ݍܧ ∪ ܶ‪ ,‬ܣ ‪ ↔ ܶ ⊢௩ிை௅ୀ‬ܣ ‪) ⊢௩ிை௅‬ܮ(ݍܧ ∪ ܶ‪.‬‬ ‫משפט אם ‪ M‬מבנה עבור שפה ‪ L‬כף ש‪)-‬ܮ(ݍܧ ⊨ ܯ אז קיים מבנה נורמלי *‪ M‬ופונקציה ‪ F‬מ‪ D-‬על *‪ D‬כך שלכל‬ ‫השמה ‪ v‬ולכל ‪ A‬ב‪ M-‬מתקיים ܣ ⊨ ݒ ∘ ܨ ‪∗ ,‬ܯ ↔ ܣ ⊨ ݒ ‪,‬ܯ‪.‬‬ ‫)‪ Eq(z‬כולל הצרנה של רפלקסיביות ) ݔ = ݔ ‪.‬ݔ∀(‪ ,‬סימטריות )ݔ = ݕ → ݕ = ݔ ‪.‬ݕ∀ݔ∀( וטרנזיטיביות‬ ‫)ݖ = ݔ → ݖ = ݕ ∧ ݕ = ݔ ‪.‬ݖ∀ݕ∀ݔ∀( ובנוסף פונקציות המחייבות זהות של פונקציות וסימני יחס כאשר הפרמטרים‬ ‫זהים )) ‪௡‬ݕ ‪ଵ , … ,‬ݕ(݂ = ) ‪௡‬ݔ ‪1, … ,‬ݔ(݂ → ‪௡‬ݕ = ‪௡‬ݔ ∧ … ∧ ‪ଵ‬ݕ = ‪ଵ‬ݔ ‪௡ .‬ݕ∀ ‪ଵ , … ,‬ݕ∀ ‪௡‬ݔ∀ ‪ଵ , … ,‬ݔ∀( עבור סימני פונקציות‬ ‫ועבור סימני יחס ))) ‪௡‬ݕ ‪ଵ , … ,‬ݕ(݌ → ) ‪௡‬ݔ ‪1, … ,‬ݔ(݌( → ‪௡‬ݕ = ‪௡‬ݔ ∧ … ∧ ‪ଵ‬ݕ = ‪ଵ‬ݔ ‪௡ .‬ݕ∀ ‪ଵ , … ,‬ݕ∀ ‪௡‬ݔ∀ ‪ଵ , … ,‬ݔ∀((‪.‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫בנק דוגמאות‬ ‫‪" .1‬אם ܣ ו‪-‬ܤ → ܣ ספיקות אז ‪ B‬ספיקה" )‪ –(CPL‬דוגמה נגדית‪ A=p :‬ו‪)-‬ݍ‪ ∧ −‬ݍ( = ܤ‪.‬‬ ‫‪ .2‬דוגמה נגדית המוכיחה ୴⊢⊉ ୲⊢‪) :‬ݔ(݌ ‪.‬ݔ∀ ‪) ⊢௩‬ݔ(݌ אבל )ݔ(݌ ‪.‬ݔ∀ ‪) ⊬௧‬ݔ(݌ ‪.‬‬ ‫‪ .3‬דוגמה נגדית המוכיחה שאם תורה היא ‪-t‬ספיקה היא לא בהכרח ‪-v‬ספיקה‪)} :‬ݕ(݌‪) ∧ −‬ݔ(݌{ = ܶ‪.‬‬ ‫‪ .4‬דוגמה נגדית המראה שאם ܣ‪ ⊭ −‬ܯ זה לא אומר ש‪) :M ⊨ A-‬ݔ ‪,‬ݔ(݌‪. −‬ݔ∃ ∧ )ݕ ‪,‬ݔ(݌ = ܣ‪.‬‬ ‫בדוגמה זו מוכיחים כי ‪ ⊬௩ A‬אבל גם ‪ A‬לא ‪-v‬ספיקה‪.‬‬ ‫‪ .5‬דוגמה נגדית המראה שעבור ‪-v‬נביעה משפט הדדוקציה לא נכון‪) :‬ݔ(݌ݔ∀ ‪) ⊢௩‬ݔ(݌ אך )ݔ(݌ݔ∀ → )ݔ(݌ ‪.⊬௩‬‬ ‫‪ .6‬דוגמה נגדית המראה ש‪ T-‬יכולה להיות ספיקה למרות שהסגור שלה לא‪)} :‬ݕ(݌ ‪.‬ݕ∀‪), −‬ݔ(݌{ = ܶ‪.‬‬ ‫‪ .7‬דוגמה נגדית לאי קיום משפט החלפת שקולים ב‪-t‬נביעה‪ = 1) :‬ݔ( ⟷ )ݔ = ݔ( ‪ = 1) ⊢௧‬ݔ( ⟷ )ݔ = ݔ(‬ ‫אבל )‪ = 1‬ݔ(ݔ∀ ⟷ )ݔ = ݔ(ݔ∀ ‪ = 1) ⊬௧‬ݔ( ⟷ )ݔ = ݔ(‪.‬‬ ‫‪ .8‬דוגמה נגדית לכך ש‪ A-‬ו‪ Sk(A)-‬לא שקולים )כי )ܣ(݇ܵ → ܣ ‪)) :(⊬ிை௅‬ݔ(݂ < ݔ(ݔ∀ → )ݕ < ݔ(ݕ∃ݔ∀ ‪.⊬ிை௅‬‬ ‫‪" .9‬אם פסוק ספיק ב‪) FOL-‬בשפה עם לפחות סימן קבוע אחד(‪ ,‬אז יש לו מודל הרברנד" – דוגמה נגדית‪ :‬נגדיר‬ ‫את הפסוק ))ݔ(ݎ ∧ )ݔ(ݎ(ݔ∃‪ .‬יש לפסוק זה מודל )עם ‪ D‬שמכיל יותר מ‪ 2-‬איברים( אבל במבנה הרברנד )בו‬ ‫‪ D‬מכיל רק איבר אחד – ‪ ,(c‬הפסוק אינו נכון‪.‬‬ ‫‪ .10‬פסוק הנכון בכל מבנה הרברנד אבל לא תקף לוגית )לא נכון בכל מבנה(‪ :‬סכמה של אינדוקציה‬ ‫)ݔ(ܴݔ∀ → ‪)൯ቁሿ‬ݔ(݂‪) → ܴ൫‬ݔ(ܴ‪ ቀ‬ݔ∀ ∧ )ܿ(݌‪ .ሾ‬במבנה כללי יש לפרש את ‪ c‬כ‪ f ,5-‬כעוקב ו‪ R-‬כ‪.<-‬‬ ‫‪ .11‬לפסוק שהוא ספיק אך אינו ספיק בכל מבנה סופי‪)) :‬ݖ = )ݕ(݂(‪(−‬ݕ∀ݖ∃ ∧ )ݕ = ݔ → )ݕ(݂ = )ݔ(݂(ݕ∀ݔ∀‪.‬‬ ‫הדוגמה מצרינה בעצם פונקציה שהיא חח"ע אבל לא על‪ .‬זה לא מתקיים במודל סופי‪.‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬ ‫‪u.multinet.co.il‬‬