‫מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ ‪ 104276‬־ תרגול ‪12‬‬ ‫שלומי גובר‪ ,‬אביב התשע"ה‬ ‫‪ 23‬ביוני ‪2015‬‬ ‫התמרת פוריה על ‪L2‬‬ ‫תזכורת מההרצאה‪:‬‬ ‫‪1/2‬‬ ‫∞‬ ‫‪2‬‬ ‫‪|f‬‬ ‫|)‪(t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫• הגדרנו את המרחב )‪ L2 (R‬בתור ההשלמה של המרחב )‪ P Cc (R‬ביחס לנורמה‬ ‫∞‪−‬‬ ‫´‬ ‫= ‪.||f ||2‬‬ ‫• הרחבנו את התמרת פוריה לאופרטור )‪ F : L2 (R) → L2 (R‬המוגדר על ידי‬ ‫‪ˆ n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f (t) e−iwt dt = L2 − lim‬‬ ‫]‪F1 f χ[−n,n‬‬ ‫‪F2 (f ) = L2 − lim‬‬ ‫‪n→∞ 2π‬‬ ‫‪n→∞ 2π −n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪) (f, g) = 2π‬בפרט ‪||F (f )||2‬‬ ‫אופרטור זה הוא הפיך ומקיים ))‪(F2 (f ) , F2 (g‬‬ ‫´‬ ‫ˆ ‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.f (t) = L2 − limn→∞ 2π‬‬ ‫• משפט ההיפוך‪ :‬עבור )‪ f ∈ L2 (R‬מתקיים ‪f (w) eiwt dw‬‬ ‫‪−n‬‬ ‫= ‪(||f ||2‬‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫)‪ (Hermite‬הן המערכת האורתונורמלית המתקבלת על ידי הפעלת תהליך גרם־שמידט על‬ ‫של‬ ‫הרמיט ‪n‬‬ ‫הפונקציות∞‪o‬‬ ‫‪n −x2 /2‬‬ ‫‪ . x e‬פוקנציות אלה ניתנות על ידי‬ ‫הסדרה‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ √‬ ‫‪√ −1/2 x2 /2 d −x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫)‪= (−1) 2n n! π e−x /2 Hn (x‬‬ ‫‪2n n! π‬‬ ‫‪dxn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪hn (x) = (−1‬‬ ‫כאשר ‪ Hn‬הוא פולינום ממעלה ‪ n‬ונקרא הפולינום של הרמיט ממעלה ‪.n‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחו כי קבוצה זו היא בסיס אורתונורמלי של )‪.L2 (R‬‬ ‫‪ .2‬מהם כל הע"ע של ‪ ?F2‬האם ‪ F2‬אלכסוני? האם ‪ F2‬קומפקטי?‬ ‫‪ .3‬הוכיחו כי )‪.F2 F2 (f ) (t) = f (−t‬‬ ‫פתרון‬ ‫‪ .1‬המערכת היא אורתונורמלית מכיוון שהתקבלה מתהליך גרם־שמידט )ניתן להראות ישירות על ידי אינטגרציה‬ ‫בחלקים(‪ ,‬נראה כי היא שלמה‪ .‬נניח כי קיים )‪ f ∈ L2 (R‬המקיים ‪ (f, hn ) = 0‬לכל ‪ .n ≥ 0‬אז מתקיים גם‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ f, xn e−x /2 = 0‬לכל ‪ .n ≥ 0‬נגדיר את הפונקציה‬ ‫∞‬ ‫∞ ˆ ‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(iz‬‬ ‫‪tn e−t /2 f (t) dt = 0‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫!‬ ‫= ‪f (t) dt‬‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e−t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)‪(itz‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪f (t) dt‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪itz −t2 /2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫= )‪ϕ (z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫)מדוע ניתן להחליף את סדר הסכימה והאינטגרציה?( בפרט ‪ F2 e−t /2 f (t) = 0‬ולכן ‪ F2 ) f ≡ 0‬איזומטריה‬ ‫עד כדי קבוע(‪.‬‬ ‫‪ hn .2‬היא מהצורה‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ pn (x) e−x‬כאשר ‪ pn‬הוא פולינום מדרגה ‪ .n‬ראינו שהתמרת פוריה מקיימת‬ ‫‪n‬‬ ‫\‬ ‫)‪fˆ(n) (w) = (−it‬‬ ‫)‪f (t) (w‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dn −w2 /2‬‬ ‫= ‪−t2 /2‬‬ ‫‪ .F2 xn e−x /2 = dw‬ולכן גם = ) ‪F2 (hn‬‬ ‫\‪) e‬תרגול ‪ (11‬ולכן‬ ‫)תרגול ‪ (10‬וגם ‪2πe−w /2‬‬ ‫‪ne‬‬ ‫√‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ qn (w) e−w /2‬כאשר ‪ qn‬הוא פולינום מדרגה ‪ ,n‬עם מקדם מוביל ‪ an in 2π‬כאשר ‪ an‬הוא המקדם המוביל‬ ‫של ‪.pn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫טענה‪ :‬בהינתן קבוצה בת"ל ‪ {vn }n∈N‬וקבוצה אורתונורמלית ‪ {en }n∈N‬המקיימת ש־ = ‪Span {ei }i=1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ Span {vi }i=1‬לכל ‪ .N ∈ N‬אז } ‪ {en‬היא הקבוצה המתקבלת על ידי תהליך גרם־שמידט עד כדי‬ ‫כפל בסקלרים } ‪ {λn‬המקיימים ‪) |λn | = 1‬הוכיחו(‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫} ‪ {hn‬אורתונורמלית‪ ,‬ולכן גם ) ‪ √12π F2 (hn‬אורתונורמלית ולכן מהטענה נובע כי ‪ F2 (hn ) = λn hn‬כאשר‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪ .|λn | = 2π‬קיבלנו כי ‪ hn‬פ"ע של ‪ .F2‬מהם ‪ ?λn‬אמרנו כבר כי יחס המקדמים המובילים הינו ‪ in 2π‬ולכן‬ ‫ √‬ ‫√‬ ‫√ ‬ ‫‪ .λn = in 2π‬קיבלנו ‪ 4‬ע"ע ‪ ± 2π, ±i 2π‬עם בסיס של פ"ע ‪ .hn‬מכיוון ש־ ‪ hn‬בסיס אורתונורמלי אלו‬ ‫הם כל הע"ע‪ .‬קיבלנו כי ‪ F2‬אלכסוני‪:‬‬ ‫‪in (f, hn ) hn‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫√‬ ‫= ) ‪F2 (f‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫בתרגיל בית ‪ 9‬שאלה ‪ 3‬הראינו כי אופרטור מסוג זה הוא קומפקטי אם"ם } ‪ {λn‬מתכנסת לאפס‪ .‬במקרה שלנו‬ ‫} ‪ {λn‬אינה מתכנסת לאפס )לא להתבלבל ־ קבוצה זו אינה סופית מכיוון שלכל ע"ע יש ריבוי אינסופי!( ולכן‬ ‫האופרטור אינו קומפקטי )ניתן להוכיח כי האופרטור אינו קומפקטי מכיוון שהוא איזומטריה עד כד כפל בקבוע(‪.‬‬ ‫‪ .3‬לפי סעיף קודם והגדרת ‪ hn‬מתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪F2 F2 (hn ) (t) = 2π (−1) hn (t) = 2πhn (−t‬‬ ‫ומכיוון שזהו בסיס מתקיים )‪ F2 F2 (f ) (t) = 2πf (−t‬לכל )‪.f ∈ L2 (R‬‬ ‫דוגמאות לשימוש בהתמרת פוריה למשוואות דיפרנציאליות חלקיות‬ ‫‪ .1‬משוואת החום בחצי מישור‪ :‬בהינתן )‪ f ∈ G (R‬כלשהי‪ ,‬נחפש פונקציה המקיימת את הבעיה‬ ‫‪x ∈ R, t > 0‬‬ ‫‪ut − kuxx = 0‬‬ ‫‪x∈R‬‬ ‫)‪u (x, 0) = f (x‬‬ ‫נגדיר את התמרת פוריה של ‪:u‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫‪u (x, t) e−iwx dx‬‬ ‫= )‪U (w, t‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫מתקיים‬ ‫∞´‬ ‫‪ut (x, t) e−iwx dx‬‬ ‫∞‪´ ∞−‬‬ ‫=‬ ‫‪kuxx (x, t) e−iwx dx‬‬ ‫´∞‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪= −w2 −∞ ku (x, t) e−iwx dx‬‬ ‫)‪−w2 kU (x, t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪Ut (w, t‬‬ ‫קיבלנו מד"ר פשוטה עבור ‪ U‬שפתרונה הוא‬ ‫‪kt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .U (w, t) = A (w) e−w‬כדי לקבוע את ‪ A‬נציב את תנאי‬ ‫ההתחלה‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫)‪f (x) e−iwx dx = F (w‬‬ ‫∞‬ ‫= ‪u (x, 0) e−iwx dx‬‬ ‫= )‪A (w) = U (w, 0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪kt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪ .U (w, t) = F (w) e−w‬מצאנו את התמרת פוריה של ‪ ,u‬נמצא את ‪ u‬באמצעות ההתמרה ההפוכה‪.‬‬ ‫ראינו בשבוע שעבר כי‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2πe−w‬‬ ‫נשתמש בנוסחת ההזזה שהוכחנו‬ ‫‪w‬‬ ‫ˆ ‪1 iw b‬‬ ‫‪e af‬‬ ‫|‪|a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫√‬ ‫= )‪(w‬‬ ‫‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪F e−x‬‬ ‫= )‪g (t) = f (ax + b) ⇒ ĝ (w‬‬ ‫ונקבל כי‬ ‫‪kt‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= e−w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2kt) /2‬‬ ‫√‬ ‫‪(w) = e−(w‬‬ ‫‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪√x‬‬ ‫‪2kt‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫√‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2π 2kt‬‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪F‬‬ ‫ולכן לפי משפט הקונבולוציה‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪f ∗ 2√1πkt e− 4kt‬‬ ‫‪´ ∞ − (x−s)2‬‬ ‫‪kt‬‬ ‫‪√1‬‬ ‫‪f (s) ds‬‬ ‫‪e‬‬ ‫∞‪2 πkt −‬‬ ‫=‬ ‫)‪u (x, t‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫הפונקציה‬ ‫)‪(x−y‬‬ ‫‪√1‬‬ ‫‪e− kt‬‬ ‫‪2 πkt‬‬ ‫= )‪ K (x, y, t‬נקראת גרעין החום‪.‬‬ ‫‪ .2‬משוואת לפלס בחצי מישור‪ :‬בהינתן )‪ f ∈ G (R‬כלשהי‪ ,‬נחפש פונקציה המקיימת את הבעיה‬ ‫‪x ∈ R, y > 0‬‬ ‫‪uxx + uyy = 0‬‬ ‫‪x∈R‬‬ ‫)‪u (x, 0) = f (x‬‬ ‫נגדיר את התמרת פוריה של ‪:u‬‬ ‫∞‬ ‫ˆ‬ ‫‪u (x, y) e−iwx dx‬‬ ‫= )‪U (w, y‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫מתקיים‬ ‫∞´‬ ‫‪uyy (x, y) e−iwx dx‬‬ ‫∞‪´−‬‬ ‫∞‬ ‫‪= − −∞ uxx (x, y) e−iwx dx‬‬ ‫∞´‬ ‫‪= w2 −∞ u (x, y) e−iwx dx‬‬ ‫=‬ ‫)‪w2 U (x, y‬‬ ‫)‪Uyy (w, y‬‬ ‫=‬ ‫קיבלנו מד"ר עבור ‪ U‬שפתרונה הוא ‪ .U (w, y) = A (w) ewy + B (w) e−wy‬נציב את תנאי ההתחלה ונקבל‬ ‫)‪ .A (w) + B (w) = F (w‬מכיוון שנרצה ש־ ‪ U‬תשאף ל־‪ 0‬כש־ ∞ → |‪ ,|x‬נדרוש שיתקיים‬ ‫⇒‬ ‫‪w>0‬‬ ‫‪⇒ B (w) = 0‬‬ ‫‪w<0‬‬ ‫‪A (w) = 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪F (w) w > 0‬‬ ‫‪w>0‬‬ ‫= )‪A (w‬‬ ‫= )‪B (w‬‬ ‫‪F (w) w < 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪w<0‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪U (w, y) = F (w) e−|w|y‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ F 1+x‬ולכן ‪(w) = e−|w|y‬‬ ‫ראינו בשבוע שעבר כי |‪(w) = πe−|w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π x2 +y 2‬‬ ‫)‪f (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪−∞ (x−t)2 +y 2‬‬ ‫∗‪f‬‬ ‫∞´‬ ‫פתרון זה נקרא נוסחת פואסון בחצי מישור‪ ,‬והפונקציה‬ ‫המישור‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪πy 1+( x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‬ ‫‪ F‬ולפע משפט הקונבולוציה‬ ‫)‪u (x, y‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪π (x−t)2 +y 2‬‬ ‫= )‪ G (x − t, y‬נקראת פונקציית גרין בחצי‬