‫מעגלים אלקטרונים לינארים‬ ‫טכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ ‫פקולטה להנדסת חשמל‬ ‫תרגיל מס' ‪ - 1‬פתרון מעגלים חשמליים‬ ‫שאלה‪:1‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪io‬‬ ‫‪1K:‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪2 K:‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪3K :‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫‪4 K:‬‬ ‫‪R4‬‬ ‫‪R4‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫‪v2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪Gv1‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪vs‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪G 1mmho‬‬ ‫‪ .1‬יש לרשום את משוואות הצמתים )‪ ( KCL‬עבור צמתים ‪ v1‬ו‪-‬‬ ‫‪ . v 2‬יש להביא את הרישום לצורת מטריצה ובטא את ‪v 2‬‬ ‫כפונקציה של רכיבי המעגל‪.‬‬ ‫‪ .2‬יש לרשום את משוואות החוגים )‪ (KVL‬בחוגים ‪ I‬ו‪ . II -‬יש‬ ‫להביא את הרישום לצורת מטריצה ובטא את ‪ io‬כפונקציה‬ ‫של רכיבי המעגל‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫זרמים יוצאים מצומת מוגדרים חיוביים‪.‬‬ ‫כמו כן נגדיר "מוליכות" כ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Ri‬‬ ‫‪Gi‬‬ ‫‪1. KCL‬‬ ‫‪v1 : (v1 v s )G1 v1G2 (v1 v 2 )G3 0‬‬ ‫‪v 2 : (v1 v 2 )G3 v 2 G4 v1G 0‬‬ ‫‪1‬‬ 2. KVL I : v s i1 R1 i1 R2 i2 R2 II : 0 i2 R2 i2 R3 i1 R2 io R4 io i 2 Gv1 v1 (i1 i 2 ) R2 io i2 GR2 (i1 i2 ) i 2 (1 GR2 ) i1 R2 G :2‫שאלה‬ :‫נתון‬ io C is RS L i ,i re R2 v o R1 . A( s) RS 5 K: R1 1K: R2 2 K: re 25: L 1Hy C 12F , 0.99 vo ( s) :‫ מצא את פונקצית התמסורת של המעגל‬.1 is (s) ‫ חשב את ערך‬,‫ בהנחה שאות הכניסה הוא אות סינוס בתדר בודד‬.2 . Z 0, B, 103 rad :‫ עבור‬A( jZ ) ‫פונקציית התמסורת‬ sec :‫פתרון‬ RS SCRS is 1 1 SC ( RS re ) RS re SC R ( R SL) vo ,i ( R2 || ( R1 SL)) ,i 2 1 R1 R2 SL i is A( s ) vo ( s ) SCR S R2 ( R1 SL) , 1 SC ( RS re ) R1 R2 SL is (s) 2 ‫‪R1 R2‬‬ ‫)‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫)‬ ‫‪L‬‬ ‫ ‪S (S‬‬ ‫ ‪)( S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪C ( RS re‬‬ ‫ ‪(S‬‬ ‫‪,R 2 R S‬‬ ‫ ) ‪A( s‬‬ ‫‪RS re‬‬ ‫אחרי הצבת ערכים נקבל‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫)‬ ‫)‪S ( S 1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪A( s ) 1970‬‬ ‫‪ 3.3‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫)‪( S 199)( S 3000‬‬ ‫ ‪(1‬‬ ‫ ‪)(1‬‬ ‫)‬ ‫‪199‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫ ‪S (1‬‬ ‫נציב ‪ S jZ‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪jZ‬‬ ‫)‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪A( jZ ) 3.3‬‬ ‫‪jZ‬‬ ‫‪jZ‬‬ ‫ ‪(1‬‬ ‫ ‪)(1‬‬ ‫)‬ ‫‪199‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫ ‪S (1‬‬ ‫כעת עבור התדירויות הזוויתיות השונות נקבל‪:‬‬ ‫‪A(0) 0 0‬‬ ‫‪A( j1000) 864 37.80‬‬ ‫‪A(B) 1970 00‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מעגלים אלקטרונים לינארים‬ ‫טכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ ‫פקולטה להנדסת חשמל‬ ‫דף עזר לתרגיל כיתה מס' ‪ - 1‬פונקצית תמסורת‬ ‫ננסה להבין מה משמעות של אמפליטודה וזווית של פונקצית תמסורת כל שהיא‪.‬‬ ‫פונקצית תמסורת היא התמרת פורייה של התגובה להלם של מערכת ליניארית‬ ‫וקבועה בזמן‪ ,‬כאשר התמרת פורייה של הפונקציה הזמנית ) ‪ x(t‬מוגדרת כך‪:‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪ jZ t‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪³ x(t )e‬‬ ‫ ) ‪X (Z‬‬ ‫‪ B‬‬ ‫כאשר הפרמטר ‪ Z‬הנו תדירות זוויתית ביחידות של ‪.rad/sec‬‬ ‫כמו כן התמרת פורייה ההפוכה מוגדרת באופו הבא‪:‬‬ ‫‪dZ‬‬ ‫‪jZ t‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪³ X (Z )e‬‬ ‫‪ B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2S‬‬ ‫ ) ‪x(t‬‬ ‫נתונה מערכת ליניארית קבועה בזמן עם פונקצית תמסורת ) ‪. H (Z‬‬ ‫) ‪y (t‬‬ ‫) ‪h(t‬‬ ‫) ‪x(t‬‬ ‫) ‪Y (Z‬‬ ‫) ‪H (Z‬‬ ‫) ‪X (Z‬‬ ‫נבדוק מהו אות המוצא במערכת כאשר בכניסתה מוכנס אות סינוסואידלי ‪.‬‬ ‫אות הכניסה הנו באמפליטודה ‪ , A‬בתדירות ‪ Z o‬ועם פאזה התחלתית ‪: 1 o‬‬ ‫) ‪x(t ) A cos(Z o t Io‬‬ ‫התמרת פורייה של אות הכניסה היא‪:‬‬ ‫‪Io‬‬ ‫‪Zo‬‬ ‫‪jZ‬‬ ‫‪X (Z ) S [G (Z Z o ) G (Z Z o )]e‬‬ ‫התמרת פורייה של האות במוצא ניתן לכתיבה באופן הבא‪:‬‬ ‫) ‪Y (Z ) X (Z ) H (Z‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נתאר את פונקצית התמסורת של המערכת ע"י גודל האמפליטודה והזווית שלה‪:‬‬ ‫) ‪H (Z‬‬ ‫‪H (Z ) H (Z ) e‬‬ ‫כעת נוכל לרשום‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫) ‪H (Z o‬‬ ‫‪H (Z o ) e‬‬ ‫) ‪H (Z o‬‬ ‫‪Io‬‬ ‫‪Zo‬‬ ‫‪jZ o‬‬ ‫) ‪H (Z‬‬ ‫‪H (Z ) e‬‬ ‫‪Io‬‬ ‫‪Zo‬‬ ‫‪jZ‬‬ ‫‪ ASG (Z Z o )e‬‬ ‫‪Y (Z ) AS [G (Z Z o ) G (Z Z o )]e‬‬ ‫) ‪H ( Z o‬‬ ‫ ‪ A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬ ‫‪H (Z o ) e‬‬ ‫) ‪H ( Z o‬‬ ‫‪Io‬‬ ‫‪Zo‬‬ ‫‪ jZ o‬‬ ‫‪ASG (Z Z o )e‬‬ ‫ ‪A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬ ‫בהנחה כי תגובת ההלם של המערכת היא ממשית אזי מתקיימים הקשרים הבאים‪:‬‬ ‫) ‪H (Z ) H ( Z‬‬ ‫) ‪H ( Z ) H (Z‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫) ‪H (Z o‬‬ ‫ ‪ A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬ ‫) ‪H (Z o‬‬ ‫ ‪Y (Z ) A H (Z o ) SG (Z Z o )e jIo‬‬ ‫נבצע התמרת פורייה הפוכה לאות הנ"ל‪:‬‬ ‫ ‪e jZ ot‬‬ ‫) ‪H (Z o‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪A H (Z o ) e jIo H (Zo ) e jZ ot A H (Z o ) e jIo‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫]) ‪A H (Z o ) cos[Z o t I o H (Z o‬‬ ‫ ) ‪y (t‬‬ ‫]) ‪y (t ) A H (Z o ) cos[Z o t I o H (Z o‬‬ ‫סיכום‪:‬‬ ‫רואים כי אות המוצא הוא אות סינוסואידלי בעל תדירות זוויתית ‪Z o‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫אשר זהה לזו של אות הכניסה‪.‬‬ ‫זאת תכונה בסיסית מאד חשובה של מערכת ליניארית‪ .‬מערכת שבה אות המוצא‬ ‫הוא בעל תדירות שונה מאות הכניסה‪ ,‬איננה מערכת ליניארית!‬ ‫‪.2‬‬ ‫אמפליטודת אות המוצא גדולה פי ) ‪ H (Z o‬מזו של הכניסה‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫לכן ערך האמפליטודה של פונקצית התמסורת בתדירות ‪ Z o‬נותנת אינדיקציה‬ ‫לפי כמה גדולה אמפליטודת אות המוצא יחסית לכניסה‪ ,‬כאשר אות הכניסה הוא‬ ‫בתדירות של ‪. Z o‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫פאזת אות המוצא גדולה ב‪ H (Z o ) -‬מזו של הכניסה‪.‬‬ ‫לכן ערך הפאזה של פונקצית התמסורת בתדירות ‪ Z o‬נותנת אינדיקציה לכמה‬ ‫גדולה פאזת אות המוצא יחסית לכניסה‪ ,‬כאשר אות הכניסה הוא בתדירות של‬ ‫‪.Zo‬‬ ‫דיברנו על כך שאות הוא סינוסואידלי בתדירות מסוימת‪ .‬חשבו כיצד ניתן‬ ‫‪.4‬‬ ‫לנתח את המערכת עבור אות כללי כל שהוא‪.‬‬ ‫דייויד גדעוני‬ ‫‪6‬‬