‫נראה מה קורה במצב של דימות עם מטריצת ‪.ABCD‬‬ ‫התנאי שצריך להתקיים במטריצה של דימות הוא‪ , B  0 :‬ז"א מיקום הקרן אינו תלוי בזווית‪ .‬כך נקבל את הדמות עם‬ ‫פקטור מסוים אבל הקרניים לא תשתננה כתלות בזווית‪ .‬המקדם ‪ A‬הוא למעשה ההגדלה ולכן‪. A  M T :‬‬ ‫‪MT‬‬ ‫‪.P ‬‬ ‫‪ .  P‬כאשר‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫' ‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקבל את המטריצה‪ :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ' M T ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נסתכל על המערכת הבאה‪:‬‬ ‫נרשום את המטריצות האלמנטאריות ונראה האם מגיעים למטריצת הדימות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ v‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  1‬‬ ‫‪  f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪u‬‬ ‫אנו צריכים שהאיבר ‪ v‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪v ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ u ‬יתאפס ולכן‪ v  0 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪u‬‬ ‫רואים שאם חוק מלטשי העדשות מתקיים הדימות בסדר כפי שציפינו‪.‬‬ ‫נפתח את הנוסחה למישורים העיקריים‪:‬‬ ‫מישורים עיקריים‪ :‬מישורים שיש בניהם דימות ויחס הגדלה של ‪.1‬‬ ‫אנו רוצים לדעת באיזה מרחק ממערכת שמאופיינת ע"י מטריצת ‪ ABCD‬מקבלים את המישורים‪.‬‬ ‫‪B '‬‬ ‫נקבל‪ :‬‬ ‫‪D '‬‬ ‫' ‪Al  B  l '  C l  D    A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Cl  D‬‬ ‫' ‪ C‬‬ ‫‪l   A  l 'C‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  C‬‬ ‫אנו רוצים לקבל דימות ולכן‪ Al  B  l '  C l  D   0 :‬או‪:‬‬ ‫אנו רוצים גם הגדלה של ‪ 1‬ולכן המטריצה צריכה להיות‪:‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪, A  l 'C  1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫'‪n‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ Al  B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Cl  D ‬‬ ‫'‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪.l '   ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n '‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B '‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D '  C‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪A‬‬ ‫‪.‬‬ ‫' ‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫'‪, l  n‬‬ ‫‪ C l  D ‬ואז‪:‬‬ ‫‪B  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D  0‬‬ ‫‪l '  A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  C‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪B  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1 A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ . l ' ‬המישורים העיקריים שלנו יסומנו‪. h1   l , h2  l ' :‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נמצא מישורים עיקריים בעדשה לא דקה עם רדיוסי עקמומיות ומרחק נתונים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫''‪n‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫'' ‪n‬‬ ‫נקבל‪ :‬‬ ‫‪n ''  1 ‬‬ ‫‪1 d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n '' R 2 ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫'' ‪1  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 d‬‬ ‫‪0  ‬‬ ‫‪nR 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n '' 1 ‬‬ ‫‪n ''     n '' 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n '' R1 R 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R1 R 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫'' ‪ 1  n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n '' R1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n '' 1 ‬‬ ‫‪ P   n '' 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫נחבר משוואה‪ :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪n '' R 2 ‬‬ ‫‪ R1 R 2‬‬ ‫‪n '' 1‬‬ ‫‪n '' 1‬‬ ‫‪ h2   fd‬כאשר‪. R 2  0 , R1  0 :‬‬ ‫‪ h1   l   fd‬וכן‪:‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪n '' R1‬‬ ‫‪n '' R 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪|1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n ''   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫'' ‪. 1  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫נמצא את המישורים העיקריים של העדשה באמצעות הנוסחאות שמצאנו‪.‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫חוק הבהיקות‪:‬‬ ‫' ‪x‬‬ ‫מסתכלים על דמות ‪ x‬ומתמקדים על חתיכת אורך ‪  x‬עם זווית‪.   :‬‬ ‫נראה מה קורה לחתיכה לאחר הדימות‪.‬‬ ‫' ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪ MT‬‬ ‫‪‬‬ ‫נקבל את המטריצה‪ :‬‬ ‫‪ .‬ראינו כי‪ x '  M T x :‬ולכן גזירה תניב‪.  x '  M T  x :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ fn ' M T n ' ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪   ' ‬כאשר ‪ x‬הוא קבוע‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בדומה נקבל‪ :‬‬ ‫‪  '  ‬ואז‪  :‬‬ ‫' ‪fn‬‬ ‫'‪MTn‬‬ ‫'‪MTn‬‬ ‫נכפיל ונקבל‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪n‬‬ ‫‪  x '   ' ‬או‪. n '  x '   '  n  x   :‬‬ ‫כדי להגיע לחוק עבור שטחים נכתוב גם‪. n '  y '   '  n  y   :‬‬ ‫נכפיל את שתי המשוואות ונקבל‪ n 2   x  y         const . :‬או‪. n 2   A      const . :‬‬ ‫‪‬‬ ‫מגדירים את הבהיקות‪:‬‬ ‫‪n   A     co s ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . B ‬אנרגיה ליח' שטח ליח' זווית מרחבית‪.‬‬ ‫מקובל לנרמל גם לפי הזווית ‪ ‬כי האנרגיה שמקבלים בגובה כלשהו מעל למקור שונה מהבהיקות שמתקבלת בזויות אפסית‪.‬‬ ‫מההגדרה רואים כי הבהיקות לא משתנה ללא הפסדי אנרגיה‪ .‬לא ניתן להגדיל אותה אבל במקרה הטוב ניתן לשמור אותה‪.‬‬ ‫הוכחה לשימור הבהיקות במעבר דרך כל מטריצה ‪ ABCD‬כלשהי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫יש לנו אלומת קרניים בגודל ‪  x‬עם פילוג ‪  ‬כלשהו כמתואר‪:‬‬ ‫האלומה עוברת דרך מערכת ‪ ABCD‬כלשהי ומתקבלת הטרנספורמציה הבאה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫השטח נשמר בשני הגרפים‪.‬‬ ‫נעבור למערכת צירים אחרת‪:‬‬ ‫נתון‪:‬‬ ‫‪ x '  A x  B‬‬ ‫‪ ‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪ '  C x  D ‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n  n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x  x  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪     x , y ‬‬ ‫‪ ‬והיעקוביאן הוא‪:‬‬ ‫‪    x , y ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dy ‬‬ ‫‪A B‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  det‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫'‪C D  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dy ‬‬ ‫ראינו מקודם כי‪. n ' d x ' d  '  n d xd  :‬‬ ‫‪dxdy‬‬ ‫‪   , ‬‬ ‫‪   , ‬‬ ‫‪. d  d ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   1   1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   , ‬‬ ‫‪ det ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪  x, y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נבצע אינטגרל ונראה כי השטח נשמר‪ndxd   n  x    const . :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x  x‬‬ ‫' ‪n '‬‬ ‫‪x  x‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪x  x  x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.  n ' dx ' d  ' ‬‬ ‫' ‪A‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נחפש את המרחק שבו מתקבל כתם מינימלי מהעדשה‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ראינו כי לכל קרן יש מאפיין של נקודה במרחב‪ .‬נדבר כעת על אליפסה‪.‬‬ ‫נניח שבתוך כל האליפסה ישנן קרניים עם פילוג אחיד‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫משוואת האליפסה‪:‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪ n i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫נציב במשוואת האליפסה ונקבל‪:‬‬ ‫‪|2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מקדמים את האליפסה במרחק ‪ l‬ב‪ Free Space -‬ומקבלים את המשוואות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n ' ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x ' l ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x '  x  l‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ n '  n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ .‬השטח זהה והיא הצטמקה (בסגול)‪.‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪m‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הגודל המרחבי החדש של האליפסה הוא‪( . x m'  x i2   i2 l 2 :‬מקבלים ע"י גזירה של‪ x ' :‬לפי‪  ' :‬ואיפוס)‪.‬‬ ‫רואים כי הגודל לאחר המעבר תלוי בגודל ההתחלתי‪ ,‬בזווית ובמרחק ההתקדמות במרחב‪.‬‬ ‫אנו יודעים כי שטח האליפסה נשמר‪ .‬השטח המקורי הוא‪( S    x i  n i   :‬שטח אליפסה במידות ‪ a  b‬הוא‪.) S   a b :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המספר ‪ ‬נקרא קבוע לגרנז'‪ .‬נציב ונקבל‪:‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x l ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  nx i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.x ‬‬ ‫‪x  l ‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫'‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כדי למצוא את הכתם הכי קטן יש למצוא את ה‪ Tradeoff-‬שבין הקטנת ‪ x i2‬ובין הגדלת‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n xi ‬‬ ‫התחלנו מההנחה כי בתוך האליפסה יש לנו פילוג אחיד של נקודות‪.‬‬ ‫בפועל אם זה לא נשמר אז יש לנו פילוג מסוים עם צפיפות‪ F  x , n  :‬ואז‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בטבע הפילוג הנפוץ ביותר הוא גאוסי‪:‬‬ ‫‪ F  x , n   dx  d  n ‬‬ ‫‪F  0, 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi    i ‬‬ ‫‪. F  x , n   F  0, 0  e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נציב זאת ונקבל‪ dx  d  n    x i  n i  :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi    i ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dx  d  n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi    i ‬‬ ‫‪F  0, 0  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F  0, 0 ‬‬ ‫האליפסה נכנסת בקטע הזה בתור חתך של ‪. F  x , n ‬‬ ‫כאשר נשאל מהי הצורה הגיאומטרית שבתוכה ההסתברות ההופעה היא גדולה מ‪, F  0, 0  e  1 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ז"א נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ F  0, 0  e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x   ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ xi    i ‬‬ ‫‪ F  x , n   F  0, 0  e‬ואז‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(השוואת חזקות)‪.‬‬ ‫השוונו לגודל הזה כי כך נהוג‪.‬‬ ‫ניתן לראות באיורים הבאים תיאור תלת‪-‬מימדי‬ ‫של פונקצית צפיפות ההסתברות כאשר הצירים‬ ‫הם ‪ . x , n‬ערך הפונקציה מייצג את עוצמת‬ ‫‪1‬‬ ‫האור עבור כל קואורדינאטה של ‪.  x , n ‬‬ ‫באיור הדו‪-‬מימדי ניתן לראות חתכים אליפטיים‬ ‫(קנ"מ) כאשר אנו מדברים על חתך בגובה של‬ ‫‪ . F  0, 0  e  1‬מקובל להתייחס לכתם האור כאל‬ ‫אליפסה ששטחה מייצג את כל קרני האור עם‬ ‫עוצמה הגדולה מ‪( . F  0, 0  e  1 -‬זו הפואנטה‬ ‫במרכזית של כל הפיתוח הנ"ל)‪.‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .9‬תאריך‪27.12.11 :‬‬ ‫‪|3‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪F  0, 0  e‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫בשיעור קודם ראינו כיצד משתנה התפלגות קרניים אליפטית במעבר במרחב חופשי‪.‬‬ ‫כעת נראה מה קורה לאחר מעבר בעדשה עם עוצמה ‪. P‬‬ ‫‪x '  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ '  ‬‬ ‫'‪n‬‬ ‫'‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫בעדשה מתקיים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n '  ' P x ' ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪n i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כשנציב במשוואת האליפסה נקבל‪:‬‬ ‫כעת ההיסט הוא בזווית‪ ,‬ז"א‪ x ' :‬קבוע ו‪  ' -‬משתנה‪.‬‬ ‫האליפסה מוטת באלכסון ימינה כאשר‪ P  0 :‬ושמאלה (לא מצויר) כאשר‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x '‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪.P‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫נשאל את אותה השאלה כפי ששאלנו בשיעור הקודם‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x‬‬ ‫בהינתן מרחק המוקד של העדשה‪ ,‬מה צריך להיות המרחק שיש להתרחק מעדשה במרחב חופשי‬ ‫כדי לקבל כתם מינימלי? במילים אחרות‪ ,‬מהו ‪ l‬המינימלי?‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪x '  x‬‬ ‫‪ ‬עבור העדשה המרכזת ו‪-‬‬ ‫' ‪ x ''  x ' l‬‬ ‫‪ ‬במרחב החופשי‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נרצה למצוא את '' ‪ x '', ‬כתלות ב‪ . x ,  -‬משוואת האליפסה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נקבל לאחר ההצבות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪'' P x '' P l '' ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n '‬‬ ‫‪ n i ‬‬ ‫‪ x ', '   x '', '' ‬‬ ‫' ‪  ''  ‬‬ ‫‪ '   P x  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x '' l '' ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪ x,  ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כדי שהאליפסה תהיה הכי צרה שניתן היא צריכה להיות על הצירים הראשיים שלה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫המשמעות היא שעלינו להגיע לתבנית‬ ‫המרכזית‪ 1 :‬‬ ‫‪  '' ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x '' ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪.‬‬ ‫לכן נפתח את כל הביטויים ונאפס את כל אלו שאינם ‪ .  x ''  ,   '' ‬נקבל כי‪ n ' f :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x   nf  i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ' P xi‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.l ‬‬ ‫‪x P   n i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם‪  i  0 :‬המיקום המינימלי מתקבל במוקד ישירות לפי האינטואיציה שלנו‪.‬‬ ‫אחרת‪ :‬המיקום סוטה ממיקום המוקד‪.‬‬ ‫גלים כדוריים וגאוסים‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫גל כדורי הוא גל בעל מישורים שווי פאזה שהם קליפות כדוריות‪.‬‬ ‫נרצה למצוא מטריצת ‪ ABCD‬לגלים כדוריים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ x'  A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ '  C‬‬ ‫‪B  x ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ R ‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור זוויות קטנות ניתן לקרב‪:‬‬ ‫‪ . sin  ‬נמצא את‪   :‬‬ ‫‪D  ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪AR  B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪A x  B‬‬ ‫‪,R'‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.R'‬‬ ‫‪ . R ‬ניתן לחשב את ' ‪ R‬לפי‪:‬‬ ‫אנו יודעים‪:‬‬ ‫‪CR  D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ' C x  D‬‬ ‫‪ .1‬במישור חופשי במרחק‬ ‫‪ .2‬בעדשה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪|4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪ Rl‬‬ ‫‪1 R  0‬‬ ‫‪R 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 R  l‬‬ ‫‪0R 1‬‬ ‫‪.R'‬‬ ‫‪ R ' ‬אשר ממנה מקבלים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫'‪R‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נראה מספר דוגמאות לקיום הקשר‪:‬‬ ‫‪i t  i k r‬‬ ‫במקרה של גל כדורי נקבל‪:‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ E  E 0‬כאשר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . r ‬יש לנו את אותה הפאזה על פני כל קליפה‪.‬‬ ‫‪x  y  z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 x  y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ z 1 ‬‬ ‫ניתן לקרב לפי‪ z  x  y :‬ולומר‪ :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  y  z  z 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נבצע החלפה‪ z  q :‬כאשר‪ q  q 0  z :‬ואז גם‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪.r ‬‬ ‫‪i t  i k r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫ונקבל את המשוואה‪:‬‬ ‫‪i t  ikq  ik‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪dq‬‬ ‫‪E0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪.E  E0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫(סימנו בקצרה‪( .) k  k :‬קירבנו מסדר אפס את המכנה ומסדר ראשון ‪ -‬כפי שכתבנו לפני ‪ 2‬שורות – את המעריך)‪.‬‬ ‫לפי הסימון של ‪ q‬נסמן גם‪. q 0  iz 0 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נסדר את החלק‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪ ik‬‬ ‫‪ i‬‬ ‫נוסיף אותו חזרה לשאר המעריך‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kz 0 x  y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 z 2  z 02‬‬ ‫‪ e‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k x y‬‬ ‫‪2 z 2  z 02‬‬ ‫‪ iz‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪x y‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ik‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪.e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k x y‬‬ ‫‪2 Rz‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z  ‬‬ ‫כאשר‪, R  z   z  1   0   :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k x y‬‬ ‫‪2 z 2  z 02‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z0 ‬‬ ‫‪w0‬‬ ‫‪i t  ikq‬‬ ‫‪e e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ e ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ z  iz 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪wz‬‬ ‫‪, w  z   w0‬‬ ‫‪.E  E0‬‬ ‫‪ z0‬‬ ‫‪z ‬‬ ‫‪.   arctan  0  , w 0 ‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר‪ – 1 :‬גל מישורי כפי שראינו‪ -2 .‬גל כדורי עם עקמומיות ‪ -3 . R  z ‬גל גאוסי הדועך עם ‪. w  z ‬‬ ‫הביטוי‪ w  z  :‬מייצג את רוחב הגל והביטוי‪ R  z  :‬מגדיר את רדיוס העקמומיות בכל נקודה‪.‬‬ ‫‪ w0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הפרמטר‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z0 ‬‬ ‫‪ z0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ w 0 ‬נקרא מרחק ריילי‪.‬‬ ‫המשמעות היא המרחק שעד אליו ההתרחבות היא לא גדולה מ‪2 -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר נציב זאת נקבל‪:‬‬ ‫מרוחבה המקורי‪.‬‬ ‫ˆ‪x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪  w0 ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2w z‬‬ ‫‪w  z   w0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בדומה למה שקיבלנו בשיעור קודם‪:‬‬ ‫ˆ‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‪z‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x l ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  nx i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪.x ‬‬ ‫'‬ ‫‪m‬‬ ‫‪z=0‬‬ ‫ככל שנתרחק נקבל במישור ‪xy‬‬ ‫מעגל מפולג עם פילוג גאוסי‬ ‫לכן ניתן להסיק כי ההתנהגות דומה‪.‬‬ ‫עבור ‪ z‬גדול הזווית המירבית ‪ ‬של ההתרחבות (האסימפטוטה באיור) היא‪:‬‬ ‫נזכור כי הביטוי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 2 w0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ w0‬‬ ‫‪ 2 B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ w0‬‬ ‫הוא הדיפרקציה (השבירה) של הקרניים‪.‬‬ ‫‪2 w0‬‬ ‫נפתח את ההשפעה של ‪ ABCD‬על גל גאוסי‪:‬‬ ‫פרמטר שמאפיין בצורה מלאה את הגל הגאוסי הוא ‪ , q  z ‬נקבל‪:‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪qz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪|5‬‬ ‫‪Aq  B‬‬ ‫‪Cq  D‬‬ ‫‪ q ' ‬עבור גל גאוסי‪.‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z  iz 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z  iz 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪qz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪wz‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪. tan  B ‬‬ ‫נבדוק זאת במרחב חופשי‪ . q '  q  l :‬וגם‪. R '  R  l :‬‬ ‫מעבר בין תווכים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n / n '‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬נקבל‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫בסוף‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 2 q1‬‬ ‫וכאשר נציב את‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 2 R1‬‬ ‫נכפיל בקבוע כדי להגיע לתבנית של ‪: q  z ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C R1  n1 / n 2‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪n1 i  v / n1‬‬ ‫‪n2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪w1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n / n '‬‬ ‫‪R1  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i  / n2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪ R 2 ‬וכן‪. x  x '  w  w ' :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪Aq  B‬‬ ‫‪ ‬בביטוי‬ ‫‪Cq  D‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ q ' ‬נקבל זאת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  q1  0‬‬ ‫‪Aq  B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ q 2 ‬קיבלנו‪.  q 2 q1 f :‬‬ ‫בעדשה נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Cq  D‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫‪w  w‬‬ ‫‪ q1  1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫דוגמא קטנה להמחשה מספרית‪:‬‬ ‫נתון לייזר הליום‪-‬ניאון באורך גל‪.   0.63  m :‬‬ ‫האלומה יוצאת מהמותניים בקוטר של ‪ 2‬מ"מ ולכן‪ . 2 w 0  2 m m :‬יש למצוא את האלומה במרחק ‪ 1‬ק"מ‪ ,‬ז"א‪. z  1km :‬‬ ‫‪ w0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר נציב את ‪ w 0‬נקבל‪ 3 m :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z 0 ‬ולכן‪ . z  z 0 :‬ניתן להשתמש בקירובים‪:‬‬ ‫‪ 1km  40 cm‬‬ ‫‪0.63  m‬‬ ‫‪  1m m‬‬ ‫‪z  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ w0‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z0‬‬ ‫‪. 2 w  z   2 w0‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .10‬תאריך‪3.1.12 :‬‬ ‫אופטיקת פורייה‪:‬‬ ‫ראינו כי‪:‬‬ ‫‪y  ik z z‬‬ ‫‪x x  ik y‬‬ ‫‪ 0 e i t  ik‬‬ ‫‪ E  r , t   E‬כאשר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ k x2  k y2  k z2  k 2 ‬או‪:‬‬ ‫ניקח הרבה גלים ונחבר אותם יחד‪ 0 k , k ,  e i t  ik x x  ik y y  ik z z dk dk d  :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ x y ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ kx  ky‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. kz ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. E  x, y, z, t  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫כאשר‪ E 0  k x , k y ,   :‬הוא האמפליטודה של כל הגלים יחד התלויה ב‪ k x , k y ,  -‬שזה בסדר כי ‪ k z‬גם תלוי בהם‪.‬‬ ‫נפתח את נוסחת העקיפה‪:‬‬ ‫המקדם‪ E 0  k x , k y ,   :‬תלוי בתנאי השפה‪.‬‬ ‫נציב ‪ z  0‬במשוואה‪ 0 k , k ,  e i t  ik x x  ik y y dk dk d  :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ x y ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪. E  x, y, 0 , t  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫רואים כי הקשר של ‪ E  x , y , 0, t ‬ב‪ E 0  k x , k y ,   -‬הוא בדיוק התמרת פורייה‪ .‬ליתר דיוק כאשר נפצל את האקספוננטים נבחין‬ ‫כי יש כאן התמרת פורייה ישרה לפי ‪ x , y‬והתמרה הפוכה לפי ‪. ‬‬ ‫ההתמרת פורייה ההפוכה יוצאת‪ 0 x , y , 0  , t e  i t  ik x x  ik y y dxdydt :‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪|6‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪. E  kx , k y ,   ‬‬ :‫נציב זאת בביטוי הראשון ונקבל‬     1  . E  x , y , z , t      dk x dk y d     2     3       dx ' dy ' dtE  x ', y ', 0  ,t e  i  t  t '   ik x  x  x '   ik y  y  y '   ik z z    . 0  -‫ במרחב כתלות בשדה ב‬ x , y , z , t  ‫מה שקיבלנו מבטא את התלות של השדה החשמלי בכל מקום‬ . E in  x , y , z , t   E 0 e  i t  i k 0 0 r :‫ כאשר‬. E  x , y , 0  , t   T  x , y  F  t  E in  x , y , 0  , t  :‫אנו יודעים את השדה ההתחלתי‬ :‫נפשט את האינטגרל‬  . E  x, y, z, t        h  x  x ', y  y ', t  t '  E  x ', y ', 0  , t  dx ' dy ' dt ' :‫נעזר בתגובה להלם של המערכת‬     1    2  3  . h  x, y, z, t        e   i t  ik x x  ik y y  ik z  , k x , k y z dk x dk y d  :‫כאשר‬    n .‫ ולכן האינטגרל אינו מניב את הדלתא הפשוטה שלנו‬k z   , k x , k y   2     2 c 2  k x  k y :‫נזכור כי‬ 2 2 .‫ ותנאי השפה‬h ‫נרצה לפשט את האינטגרל הזה ואז נפתור פשוט קונבולוציה בין‬  1    2  2  . h  x  x ', y  y ', z      e  ik x  x  x '   ik y  y  y '   ik z z dk x dk y :‫נתחיל במקרה שבו התדר קבוע ונתעלם מאיבר הזמן‬       h  x  x ', y  y ', z  E  x ', y ', 0  dx ' dy ' . E  x, y, z    :‫נציב ונקבל‬    1  .   2  2     e  ik x  x  x '   ik y  y  y '  e iz 2 2 2 k0  k x  k y k0  k x  k y 2   2 2 dk x dk y  e  ik 0 r :‫נעזר באינטגרל המיידי‬ r .‫ כי האינטגרל אינו תלוי בו ולכן נוכל לגזור את הביטוי בפנים‬z ‫ נגזור לפי‬. r 2   x  x '    y  y '   z 2 :‫נסמן‬ :‫התוצאה היא שנקבל אינטגרל הזהה לשלנו‬ 2 2   1    .  d z   2   d .    e  ik x  x  x '   ik y  y  y '   ik z z dz 2  iz 2 2 2 k0  k x  k y k k k 2 0   d r e  d r 2 dr  dr dz 2 x 2 y 2   1   dk x dk y       2   :‫ לפי כלל השרשרת מתקיים‬.    e 2  ik x  x  x '   ik y  y  y '   ik z z dk x dk y    ik r  ik r d e 0   1  e 0 dr :‫בצד ימין נקבל‬  ik     0  dz  r   r  r dz  ik r 1e 0 z  1  ik  :‫התוצאה הסופית היא‬  0  r r r  2   . h  x  x ', y  y ', z      1    2  . E  kx , k y ,    3        0T  x , y  F  t  e  i     0  t  i  k x  k x0  x  i  k y  k y0  y dxdydt :‫ראינו‬ E    . E  x , y , 0 , t   T  x , y  F  t  E in  T  x , y  F  t  E 0 e  i t  ik x x  ik y y 0 0 :‫ הוא‬0  -‫ראינו כי השדה ב‬ . E  k x , k y ,    E 0 F     0    k x  k x , k y  k y  :‫נציב ונקבל‬ 0 . F     1    2  .  k x , k y    1 2  F t  e  i t d t :‫בזמן‬ 0 ‫יש לנו כאן התמרת פורייה‬ 2   T  x, y  e ik x x  ik y y dxdy :‫והתמרת פורייה דו מימדית במרחב‬ .‫ היא זו שמכפילה את השדה בתוך האינטגרל הראשון‬, E  k x , k y ,   ‫ פונקצית המשקל‬,‫למעשה‬ ‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫מבוא לאלקטרואופטיקה‬ |7 ‫כדוגמא‪ ,‬נניח למשל כי קיים מלבן במידות‪  x ,  y :‬הנמצא במרכז מערכת צירים‪.‬‬ ‫המלבן קבוע בזמן‪ .‬במקרה זה‪. F  t   1  F     0        0  :‬‬ ‫במרחב נקבל התמרה של גל ריבועי‬ ‫כשנתבונן על‬ ‫‪‬‬ ‫ה‪ k x0  -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  y  sinc ‬‬ ‫‪k x  k x 0   sinc ‬‬ ‫דו‪-‬מימדי‪k y  k y 0  :‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫‪ sinc ‬נסמן את רוחב האונה המרכזית ב‪-‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  k x  x  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.   k x -k x , k y -k y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. kx ‬‬ ‫נפתח‪ k x  k cos  x :‬ולכן‪  k x   k sin  x    x :‬לפי גזירה‪ .‬אנו מדברים על קירוב‪  x  90  :‬ולכן‪.  k x  k    x :‬‬ ‫נבטא‪:‬‬ ‫‪  x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  k x ‬ונציב‪ .  x   x   :‬הוכחנו כאן את עקרון אי‪-‬הוודאות‪.‬‬ ‫בדומה אפשר להראות גם כי‪.  t     :‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .11‬תאריך‪10.1.12 :‬‬ ‫בפעם קודמת ראינו כי‪T  x , y  :‬‬ ‫ראינו גם‪dk x dk y :‬‬ ‫‪ ik x x  ik y y  ik z z‬‬ ‫‪i 0 t  ik x x  ik y y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪, k y e‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ E0e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪  G  k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נרשום את הביטוי אחרת‪dk x dk y :‬‬ ‫‪ ik x x  ik y y‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ik z z‬‬ ‫‪i t  ik x x  ik y y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪E  x, y, 0 , t   E  x, y  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ , E  x , y , z   ‬כאשר‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪,ky e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪  G  k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ G   k x , k y ‬היא פונקצית עבירות כלשהי‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪. E  x, y, z   ‬‬ ‫נגדיר‪ . G   k x , k y  e  ik z  G   k x , k y , z  :‬התפשטות השדה במרחב היא התמרה הפוכה של הביטוי הזה‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כפי שאנו יודעים‪ ,‬התמרה הפוכה מתבצעת על פילטר‪ ,‬ולכן עלינו להבין את משמעותו של הביטוי‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נגדיר תחילה‪:‬‬ ‫‪ n 0 ‬‬ ‫‪k k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(   ik z ‬נשים לב כי ‪ ‬הוא ממשי כי ‪ k z‬בהגדרה זו מדומה)‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n 0 ‬‬ ‫‪k k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נשים לב כי יש שני תחומים לפונקציה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ n 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kx  ky  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ik z z‬‬ ‫‪G0  k x , k y  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪kx, ky , z   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z‬‬ ‫‪G0  k x , k y  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. G‬‬ ‫מכאן רואים כי התקדמות במרחב חופשי מתקיימת רק במצב הראשון‪ .‬כל מצב המאופיין ע"י המקרה השני מייצג גל דועך‪.‬‬ ‫ראינו בתחילת הקורס כי גל הדועך‪ ,‬נעלם מהר מאוד (כמה עשרות ננו‪-‬מטרים‪.)..‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪ .  k x ‬מהתנאי של מקרה הראשון‪. k  k   0   k x2  k y2  n 2 k v2 :‬‬ ‫ראינו‪  x  k x  2  :‬לכן‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ c ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪. x ‬‬ ‫‪ ‬ולכן‪:‬‬ ‫מכאן שכל הפרש בנפרד צריך לקיים‪ ,  k 2  n 2 k v2 :‬נציב‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  n kv ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫כאשר תנאי זה מתקיים יהיו לנו גלים הרמוניים במרחב (המקרה הראשון)‪ .‬כאשר מתקיים‪  x  v :‬יהיו גלים דועכים‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪v‬‬ ‫נוסחת ריילי ומשוואת הויגנס‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫בשיעור קודם התחלנו בפיתוח של‪  h  x  x ', y  y ', t  t '  E  x ', y ', 0  dx ' dy ' :‬‬ ‫‪. E  x, y, z  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ik r‬‬ ‫‪1e 0 z‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫ראינו את הפיתוח‪:‬‬ ‫‪ , h  x  x ', y  y ', z    ‬כאשר‪ z :‬‬ ‫‪  ik 0  ‬‬ ‫‪r r r‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪|8‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. r   x  x '   y  y '‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נבצע מספר פישוטים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתחיל מ‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ k 0  n‬אשר מייצג הנחה שאנו מתרחקים למרחק ‪ z‬של כמה וכמה אורכי גל‪.‬‬ ‫נציב זאת בנוסחת ריילי ונקבל את משוואות הויגנס‪ dx ' dy ' :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  x ', y ', 0‬‬ ‫‪ ik 0 r‬‬ ‫‪z e‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪in‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. E  x, y, z   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫למעשה יש לנו כאן סכימה של גלים כדוריים עם משקל המשתנה על פני המעטפת של מישור הכניסה‬ ‫‪‬‬ ‫‪. E  x ', y ', 0‬‬ ‫זה הוא עיקרון הויגנס האומר כי ניתן להתייחס לכל קרן אור בכל נקודה על פני המעטפת כאל גל כדורי עצמאי‪.‬‬ ‫שאלת דוגמא יכולה להיות כאשר נתון‪ E  x ', y ', 0      x ' x 0 , y ' y 0  :‬אשר מניבה תוצאה של גל כדורי אחד בודד בנקודה‬ ‫‪ ik 0 r‬‬ ‫‪ .  x 0 , y 0 ‬התוצאה של האינטגרל היא פשוט הביטוי הכדורי‪:‬‬ ‫‪in z e‬‬ ‫‪ ‬עם התקדמות‪. r   x  x 0    y  y 0   z 2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0 r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אינטגרל פרנל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  x '   y  y '‬‬ ‫ָּר ְקסִיָאלי‪:‬‬ ‫נרשום לפי קירוב פ ָּ‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2z‬‬ ‫‪‬‬ ‫נציב זאת באינטגרל ריילי תוך מספר קירובים‪ dx ' dy ' :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  x  x '   y  y '‬‬ ‫‪ z 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  x ', y ', 0‬‬ ‫‪ik 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  x '    y  y '  ‬‬ ‫‪2 z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  y  y '‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪ ik 0 z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נשים לב כי האינטגרל הוא קונבולוציה‪:‬‬ ‫‪ik 0‬‬ ‫‪ x2  y2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ dx ' dy '  E  x , y , 0  * e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  x ', y ', 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  x '‬‬ ‫‪r  z 1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪. E  x, y, z   ‬‬ ‫‪ik 0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x  x '    y  y '  ‬‬ ‫‪2 z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נפתח את האיברים בסוגריים‪dx ' dy ' :‬‬ ‫‪ xx '  yy '‬‬ ‫‪2 i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x '    y '  ‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  x ', y ', 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2  zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נגדיר‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪, fy ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ f x ‬ונקבל התמרת פורייה של מכפלה‪dx ' dy ' :‬‬ ‫נכתוב‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪, fy ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E  x ', y ', 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x '    y '  ‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x'  y' ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪      ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F .T .  E  x ', y ', 0  e  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ fx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e‬ולבצע התמרת פורייה‪.‬‬ ‫‪2  zi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ez‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i z‬‬ ‫‪ - E  x , y , z  ‬זו הנוסחה שנעבוד איתה במבחן!‬ ‫הדיוק של פרנל הוא מספיק טוב‪ ,‬לא נִדָּרש ללכת אחורה מבחינת הפיתוח‪ .‬הוא מספיק טוב ביחס לשגיאה היחסית‪.‬‬ ‫התמרת פרנופר‪:‬‬ ‫אנו רוצים להביא את האקספוננט למצב שניתן להזניח אותו‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מהתבוננות בהתמרה רואים כי עלינו לדרוש‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪  y '‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x '‬‬ ‫‪z‬‬ ‫אשר אומר כי אנו מגבילים את רדיוס הכניסה שלנו‬ ‫‪2‬‬ ‫(כאשר אנו מגבילים את מישור הכניסה שלנו לעיגול)‪ ,‬נכתוב‪ R 2   z :‬או‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪, fy ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪fx ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F .T . E  x ', y ', 0‬‬ ‫זו היא התמרת פרנופר והיא נכונה רק אם התנאי מתקיים‪.‬‬ ‫‪|9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ז"א‪ ,‬יש לקחת את ‪ , E  x ', y ', 0  ‬להכפיל אותו בפונקציה‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫' ‪2 i f x x ' f y y‬‬ ‫‪i ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x '   y ' ‬‬ ‫‪ z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪. E  x, y, z   ‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ik‬‬ ‫‪2z‬‬ ‫‪ik z ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ . z ‬עבור תנאי זה נקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪i z‬‬ ‫‪E  x, y, z  ‬‬ :)‫דיספרציה (נפיצה‬ E  x, y, 0 , t   E0e  i 0 t  ik x x  ik y y 0  1  E kx , k y ,      2  2  0 T  x, y  f t     E  x, y  e  i t  ik x x  ik y y dxdy     T  x, y   1  E  x, y, z, t     1  f t  e 2  i   0 t dt  :‫ראינו את כל הפיתוחים הנ"ל‬  0 e  ik x0 x  ik y0 y F      e i t  ik z    z d  E 0   n    0  2 2    k x0  k y 0 c   2 k z     . k z    c n   :‫ לכן‬. k x  k y  0 :‫ ז"א‬, z ‫ניקח מקרה מפושט שבו ההתקדמות היא רק לכיוון‬ 0 0 :‫נציב זאת ונקבל‬ 0 E  x, y, z, t   E   F    0  e i t  i  z c  0e d  E z    i 0  t    c/n  z   i   0  t    c/n   F     e 0    0 e i 0 t  ik 0 z f  t  z  d    0   E   c/n  .‫ במקרה זה יש לנו פשוט הזזה בזמן‬.‫ והיות והוא קבוע לא היינו צריכים לבצע אליו אינטגרל‬, n     n -‫כתבנו את האינטגרל ל‬ :  0 ‫ מקבלים אינטגרל לא אנליטי ולכן נעזרים בטור טיילור סביב תדר‬n    -‫במקרה ש‬ k z    k z  0   dk z 2 1 d kz    0   d 2 d  0 2 d kz .D  d , vg  2 0    0  2  ...  0 d  dk z 2 0 1 , k z   0   k z 0 :‫נגדיר מספר סימונים‬ d dk z 0 :‫ נציב ונקבל‬.‫ אין דיספרציה‬0 ‫ במצב שהוא‬,‫ יש לנו דיספרציה‬0-‫ כל עוד הוא שונה מ‬,‫ מייצג דיספרציה‬D -‫ה‬ 1 k z    k z0  vg    0   1 2 D     0   ... 2 :‫ מקבלים‬D  0 :‫במקרה הפרטי‬   0 e  ik x0 x  ik y 0 y E  x, y, z, t   E  F     e i t  ik z 0 z  i 1 vg   0  z 0   0 e  ik x0 x  ik y 0 y  ik z 0 z  i 0 t d  E   F     e  z i   0  t   v g      0 d    0       0 e  ik x0 x  ik y 0 y  ik z 0 z  i 0 t f  t  z   E  v g   . z vg . F    0   :‫ קיבלנו את אותה הצורה בהשהיה של פרק זמן מסוים‬,‫רואים כי המידע נשמר‬  2   e .  e ax .  z    2  2 D z  2 2 1  D z  ,   tan   2    1 :‫כאשר‬ 2 2 2   0  2 2  ipx  2 iqx :‫ כי ההתמרה נוחה‬f  t   e  dx  4 a  p 2 0 e E  x, y, z, t   E e 1 1  p   i tan   2 a  t 2 2  e :‫ ונניח‬D  0 :‫כעת נחשב‬ 2 aq 2 2 a p 2 i pq 2 2 a p 2 :‫נעזר באינטגרל‬ 2  i t  ik  r  0 e 1  iD 1 t  z / vg  2 2  2  D 2 z 2 / 2  e  z t 2   D z /   v g D z / i 2 2 2 2 2 2    i   :‫נקבל‬ z  ‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- ‫מבוא לאלקטרואופטיקה‬ | 10 ‫‪2‬‬ ‫הביטוי הסופי‪:‬‬ ‫‪Dz ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1  i 2   i‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t  z / vg ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2  z ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ z‬‬ ‫‪ 0 e  i 0 t  ik  r‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪. E  x, y, z, t  ‬‬ ‫נכנסנו עם גאוס‪ ,‬ויצאנו עם גל גאוסי אחר המוזז בזמן באותה הזזה כמו מקודם (שזה הגיוני כי זה מתאר הזמן שלוקח לגל להגיע‬ ‫לנקודת המדידה)‪ .‬יחד עם זאת‪ ,‬הרוחב ההתחלתי היה ‪ ‬וכעת הוא‪   z  :‬אשר תלוי במרחק ובנפיצה וגדל איתם‪.‬‬ ‫סיכום כללי‪:‬‬ ‫המשמעות של הנפיצה היא אופן הפיזור של חבילת תדרים אשר יוצאת ממקור בזמן‪.‬‬ ‫נניח ומשדרים פולס בזמן המכיל טווח תדרים גדול‪ ,‬לכל תדר מהירות אחרת ‪ v ‬אשר יותר גדולה או קטנה ביחס למהירות החבורה‬ ‫של חבילת הגלים‪ .‬כאשר יש דיפרקציה‪ ,‬שהיא הנגזרת השנייה‪ ,‬משמעה זהה לשל תאוצה של המהירויות של כל תדר‪.‬‬ ‫כתוצאה מדיפרקציה‪ ,‬ככל שהמכפלה ‪ D z‬אשר נמצאת בביטוי ‪   z ‬גדולה יותר כך עלינו לחכות יותר זמן כדי לאסוף את המידע‬ ‫בגלאי הממוקם במרחק ‪ z‬מכיוון שלכל תדר לוקח זמן מסוים להגיע התלוי במהירות החבורה‪ ,‬המהירות הספציפית של התדר‬ ‫והדיפרקציה המתפקדת כתאוצה‪/‬תאוטה של התקדמות התדר במרחב‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .12‬תאריך‪17.1.12 :‬‬ ‫פיתחנו את התמרת פרנל במקרה פרקסיאלי‪ .‬כאשר לקחנו את פרנל ונדבר על שדה רחוק קיבלנו את התמרת פורייה הנקראת התמרת‬ ‫פרנופר‪ .‬כעת נדון בשקופית עם סימטריה זוויתית‪ . g  x , y   g  r ,    g  r  :‬דוגמא לאִפיון של פונקציה כזו היא חריר‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r  ‬‬ ‫‪. T  x , y   circ    ‬‬ ‫‪R ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫מרכזי (ברדיוס ‪ ) R‬הנמצא בתוך משטח כלשהו‪ .‬הפונקציה שמתארת את החריר היא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫המעברים ממערכת קרטזית לפולרית‪:‬‬ ‫‪x  r cos ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y  r sin ‬‬ ‫‪x  y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נגדיר מעבר ממערכת צירים קרטזית לפולרית‪:‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬‬ ‫נכתוב את התמרת פרנופר‪:‬‬ ‫‪rdrd ‬‬ ‫‪  arctan ‬‬ ‫‪f y   sin ‬‬ ‫‪  arctan ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ fy ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ fx ‬‬ ‫‪f x   cos ‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ 2  ir   cos  cos   sin  sin ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪  ‬הקואורדינטה‬ ‫הרדיאלית במישור פורייה‬ ‫‪f‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ G   ,   ‬כאשר במעריך יש‪ f x x  f y y :‬והחלפנו‬ ‫‪  g r e‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אותו לפי המעברים‪ .‬נקבל לפי זהות טריגונומטרית‪. G   ,     g R  r  rdr  e  2  ir  cos    d  :‬‬ ‫הפונקציות שמוגדרות לפי אינטגרל זה הן פונקציות בסל )‪ (Bessel‬שהגדרתן‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ia cos    ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. J0 a ‬‬ ‫נוכל לכתוב‪. G   ,     g R  r  rdr  e  2  ir  cos    d   2  g R  r  rJ 0  2 r   dr    g R  r   :‬‬ ‫נחזור ל‪-‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪r a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪ g  x , y   circ    ‬ונמצא את התמרת הבסל שלו‪.‬‬ ‫‪ a  0‬‬ ‫‪r a‬‬ ‫‪J 1  2 a  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪. F  g  x , y      g R  r    2  rJ 0  2 r   dr ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פונקצית הבסל ‪ J 1‬מקבלת את האפס ראשון בנקודה‪:‬‬ ‫ראינו כי‪:‬‬ ‫‪| 11‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪J1 / ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 .6 1‬‬ ‫‪D/2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0 .6 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ולכן רדיוס הכתם הוא‪ X  1.22  F# :‬והוא הרזולוציה שלנו כי אי‪-‬אפשר לצמצם את מרחק זה‪.‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫שאלה‪:‬‬ ‫נתונה שקופית המכילה פסים סינוסואידלים במחזוריות ‪ . L‬מאירים אותה עם שדה‬ ‫המתקדם באמפליטודה ‪ 1‬ויש למצוא את תבנית העקיפה‪( .‬לחשב התמרת פורייה)‪.‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪L‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪1 m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫‪, T  x, y    ‬‬ ‫הפונקציה היא‪cos  2  f 0 x   rec   rec   :‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ l ‬‬ ‫‪ l ‬‬ ‫נשים לב כי עבור ‪( m  1‬ימני) ו‪( m  1 -‬שמאלי) נקבל את הצורות הבאות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. f0 ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ y‬‬ ‫נכתוב עם אקספוננטים לפישוט ההתמרה בהמשך‪ rec   rec   :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ l ‬‬ ‫‪ l ‬‬ ‫'‪y‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪,f ‬‬ ‫‪ f y ‬נזכור‬ ‫נעשה התמרת פורייה‪ , F T  x , y  :‬כאשר‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ 2  if 0 x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪l sin c   f x  f 0  l  sin c  f y l ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l sin c   f x  f 0  l  sin c  f y l  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  if 0 x‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. T  x , y   ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כי התמרת פורייה ‪ rec‬היא ‪ sinc‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪4‬‬ ‫נראה חתך של הפונקציה בציר ‪: x‬‬ ‫(כי בציר ‪ y‬היא נראית כמו ‪ Sinc‬רגיל)‪.‬‬ ‫‪l sin c  f x l  sin c  f y l  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ zf 0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F T  x , y  ‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪4‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪ z /l‬‬ ‫נשים לב כי דריכה תתרחש אם‪:‬‬ ‫לכן נקבל כי כאשר‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ ,  zf 0 ‬או‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ f 0 ‬יהיה באותו סדר גודל של ‪.‬‬ ‫הגרפים יתרחקו יותר‪ ,‬המשמעות היא שיהיו יותר מחזורים בשקופית‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תנאי לשימוש בעיקרון הזה הוא‪:‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ l‬‬ ‫‪.L‬‬ ‫‪.z ‬‬ ‫שאלה‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪R‬‬ ‫נתונה השקופית הבאה‪:‬‬ ‫השקופית מעבירים אור בפסים ברוחב‬ ‫יש למצוא את תבנית העקיפה‪.‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ורוחב המחזור עצמו הוא ‪. ‬‬ ‫‪‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫כשנעשה חתך נראה ריבועים עם רוחב‪:‬‬ ‫לכן הפונקציה היא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ fy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ fy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫‪ r ‬‬ ‫‪ *    x  n    circ  ‬‬ ‫‪ k  n‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ fx  n /  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ . T  x , y    rect ‬ההתמרה היא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R  J 1 2 R‬‬ ‫‪ fx  n /  ‬‬ ‫‪sinc  kn ‬‬ ‫התיאור הגרפי הוא‪:‬‬ ‫התנאי על ‪ k‬עבורו לא נקבל שיכפולים‪:‬‬ ‫‪| 12‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪fx  fy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R  J 1 2 R‬‬ ‫‪fx  fy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫* ‪k  sinc  k  f x     f x  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ z/‬‬ ‫‪.k  1‬‬ ‫מבוא לאלקטרואופטיקה ‪ -‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫' ‪y‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫‪n  0‬‬ ‫‪n  1‬‬