‫מיון משוואות מסדר שני‬
‫מכללת אורט בראודה ‪ -‬המחלקה למתמטיקה‬
‫משוואות דיפרנציאליות חלקיות וטורי פורייה ‪11122‬‬
‫יעקב לוצקי ולביא קרפ‬
‫דף תרגילים מספר ‪2‬‬
‫מיון משוואות מסדר שני‬
‫‪ .1‬מיין את המשוואות הבאות )אליפטי‪ ,‬הפרבולי או פרבולי(‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪4uyy = 0‬‬
‫‪.uxx + 3uxy‬‬
‫‪12uxy + 9uyy + uy = 0‬‬
‫‪+ uyy + 2uy + 4u = 0‬‬
‫‪.4uxx‬‬
‫‪.uxx‬‬
‫‪uxy‬‬
‫‪.uxx + xuyy = 0‬‬
‫‪sin yuy = 0‬‬
‫‪.uxx‬‬
‫‪xyuyy‬‬
‫‪ .2‬נתונה המשוואה‬
‫‪2uxx + 3uxy + uyy = 0‬‬
‫ונבצע שינוי משתנים‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪s‬‬
‫‪2y‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪t‬‬
‫)‪(1‬‬
‫(‬
‫‪,‬‬
‫) ‪2y‬‬
‫‪y; x‬‬
‫‪v (x‬‬
‫=‬
‫) ‪u(x; y‬‬
‫כאשר )‪.v = v (s; t‬‬
‫א‪ .‬הראה ש )‪ v (s; t‬מקיים את המשוואה ‪.vst = 0‬‬
‫ב‪ .‬הראה שהפתרון הכללי של המשוואה )‪ (1‬הוא מהצורה‬
‫) ‪ ,u(x; y ) = A(x y ) + B (x 2y‬כאשר )‪.A; B 2 C 2 (R‬‬
‫‪ .3‬נתונה המשוואה‬
‫‪+ 5uxy + 4uyy = 0‬‬
‫ונבצע שינוי משתנים‬
‫‪4x + y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫=‬
‫‪s‬‬
‫=‬
‫‪t‬‬
‫(‬
‫‪,‬‬
‫)‪y‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪uxx‬‬
‫‪4x + y; x‬‬
‫(‪v‬‬
‫=‬
‫) ‪u(x; y‬‬
‫כאשר )‪.v = v (s; t‬‬
‫א‪ .‬חשב את המשוואה ש )‪ v (s; t‬מקיימת‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה שהפתרון הכללי של המשוואה )‪ (2‬הוא מהצורה‬
‫) ‪ ,u(x; y ) = A( 4x + y ) + B (x y‬כאשר )‪.A; B 2 C 2 (R‬‬
‫‪ .4‬הראה שהפתרון הכללי של המשוואה‬
‫‪4uxy + 4uyy = 0‬‬
‫‪uxx‬‬
‫הוא מהצורה ) ‪ ,u(x; y ) = xA(2x + y ) + B (2x + y‬כאשר )‪.A; B 2 C 2 (R‬‬
‫רמז‪ :‬בצע שינוי משתנים )‪.(x = s; y = 2s + t‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪1‬‬
‫מיון משוואות מסדר שני‬
‫תשובות‬
‫‪1‬‬
‫א‪ .‬הפרבולי; ב‪ .‬פרבולי; ג‪ .‬אליפטי;‬
‫ד‪ .‬היפרבולי כאשר ‪ ,x < 0‬פרבולי כאשר ‪ x = 0‬ואליפטי כאשר ‪.x > 0‬‬
‫ה‪ .‬היפרבולי כאשר ‪ ,xy < 0‬פרבולי כאשר ‪ xy = 0‬ואליפטי כאשר ‪:xy > 0‬‬
‫‪c‬‬
‫ לוצקי וקרפ‬
‫‪2‬‬