מבוא לאנליזה פונקציונלית ־ 104276־ תרגול 3 שלומי גובר ,אביב התשע"ה 14באפריל 2015 מערכות אורתונורמליות תזכורת מההרצאה: יהי Vמרחב מכפלה פנימית )לא בהכרח שלם(. • מערכת אורתונורמלית היא קבוצה {ei }i∈I ⊂ Vהמקיימת .(ei , ej ) = δij P 2 2 • עבור מערכת אורתונורמלית {ei }i∈Iמתקיים || i∈I |(x, ei )| ≤ ||xלכל x ∈ V )אי שוויון בסל( .בסכום זה רק מספר בן מניה של מספרים שונה מאפס. ⊥ • מערכת אורתונורמלית שלמה היא מערכת אורתונורמלית המקיימת }.{ei }i∈I = {0 מערכת זו היא מקסימלית ביחס להכלה ונקראת בסיס אורתונורמלי .לכל מרחב מכפלה פנימית קיים בסיס אורתונורמלי. • כל הבסיסים האורתונורמלים של מרחב הילברט הם בעלי אותה עוצמה .עוצמה זו נקראת מימד הילברט )או בקיצור המימד( של המרחב. • מערכת אורתונורמלית נקראת סגורה אם היא מקיימת (x, ei ) ei P 2 2 ,x ∈ Vאו לחלופין |) i∈I |(x, ei P i∈I = || ||xלכל ) x ∈ Vשוויון פרסבל(. • במרחב הילברט מערכת שלמה היא אם"ם היא סגורה. Marc-Antoine Parseval Friedrich Wilhelm Bessel 1755 - 1836 1784 - 1846 1 = xלכל תרגיל 1 הוכיחו כי שני מרחבים הילברט מעל אותו שדה הם איזומורפים )כלומר קיימת העתקה ליניארית T : H → Gחח"ע ועל השומרת על המכפלה הפנימית( אם ורק אם הם בעלי אותו מימד. פתרון: יהיו G, Hשני מרחבי הילברט מעל אותו שדה בעלי מימד שווה עם בסיסים א"נ {fi }i∈I , {ei }i∈I P P נגדיר את ההעתקה T : H → Gע"י T i∈I ai ei = i∈I ai fiזו העתקה ליניארית חח"ע ועל )מכיוון שהמרחבים מעל אותו שדה( אשר שומרת על המכפלה הפנימית: ! ! ! X X X X X X X T ai ei , T bi e i = ai fi , bi fi = = ai bi ai ei , bi e i H i∈I i∈I i∈I G i∈I i∈I G i∈I i∈I ולכן המרחבים איזומורפים. יהיו G, Hמרחבים איזומורפים כלומר קיימת איזומטריה .T : H → Gיהי {ei }i∈Iבסיס א"נ של Hנראה כי {T ei }i∈Iהוא בסיס א"נ של {T ei }i∈I .Gהיא א"נ כי Tשומרת על ⊥ ⊥ המ"פ ,והיא שלמה כי } .{T ei }i∈I = T {ei }i∈I = {0כלומר ל־ G, Hיש בסיס א"נ עם אותה עוצמה ולכן הם בעלי אותו מימד. תרגיל 2 הוכיחו כי מרחב הילברט אינסוף מימדי הוא ספרבילי אם ורק אם הוא ממימד .ℵ0 פתרון: ־ כיוון ראשון ־ יהי Hמרחב הילברט ספרבילי ,קיימת בו קבוצה צפופה בת מניה } .Z = {zn נגדיר } X = {xnעל ידי • x1איבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zששונה מ־.0 • x2איבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zשאינו נפרש על ידי } .{x1 • x3איבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zשאינו נפרש על ידי } .{x1 , x2 • xnאיבר עם אינדקס מינימלי ב־ Zשאינו נפרש על ידי } .{x1 , x2 , . . . , xn−1 נפעיל את תהליך גרם־שמידט על Xונקבל סדרה א"נ } .{eiסדרה זו היא שלמה כי Span {ei } = SpanX = SpanZ = Hולכן איבר הניצב לכל eiנציב לכל איבר במרחב ולכן הוא איבר האפס. 2 ־ כיוון שני ־ אם Hמרחב הילברט ממימד ,ℵ0אז מתרגיל קודם הוא איזומורפי למרחב `2שהוא ספרבילי ־ {en }n∈Nהיא קבוצה צפופה בו .בהינתן איזומטריה ,T : `2 → H {T en }n∈Nצפופה ב־ Hמכיוון ש־ Tשומרת על המכפלה הפנימית ולכן 2 2 ||x − en || → 0 ⇒ ||T x − T en || → 0 תרגיל 3 n o P 2 `2 (I) = x : I → C :עם המכפלה |x | < ∞ תהי Iקבוצה כלשהי ונגדיר i i∈I P הפנימית .(x, y) = i∈I xi yiמהו המימד של מרחב זה? עבור אילו קבוצות Iהמרחב ספרבילי? פתרון: נגדיר ei (j) = δijמתקיים ei (k) ej (k) = δij k∈I P = ) (ei , ejולכן זו קבוצה א"נ .אם (x, ei ) = xi = 0לכל iאז x = 0ולכן המערכת שלמה .עוצמת המערכת היא | |Iוזה המימד של ) .`2 (Iהמרחב ספרבילי כאשר Iבת מניה .בפרט .`2 ([n]) = Cn תרגיל 4 תהי {ei }i∈Iמערכת אורתונורמלית בממ"פ .Vהראו כי אם קיימת תת קבוצה S ⊆ Hכך P 2 2 ש־ } S ⊥ = {0ולכל x ∈ Sמתקיים |) ||x|| = i∈I |(x, eiאז המערכת שלמה )כלומר מספיק שהמערכת תהיה "סגורה על קבוצה שלמה" כדי שתהיה שלמה(. פתרון: o n ⊥ y יהי ,y ∈ {ei }i∈Iנניח בשלילה כי ,y 6= 0אז || ei , ||yהיא מערכת א"נ ולכן לפי אי שוויון בסל לכל x ∈ Sמתקיים 2 y 1 2 |(x, ei )| + x, = ||x|| + |)2 |(x, y ||||y ||||y 2 X 2 ≥ ||||x i∈I ולכן |(x, y)| = 0לכל .x ∈ Sומכאן y ∈ S ⊥ = {0} ⇒ y = 0בסתירה. 3
© Copyright 2024