אוסף תרגילים במשוואות דיפרנציאליות חלקיות 391001 לביא קרפ מכללת אורט בראודה ,המחלקה למתמטיקה ערכים עצמיים ,פונקציות עצמיות ותורת שטורם-ליוביל הגדרות וסימונים • מכפלה פנימית עבור פונקציות רציפות למקוטעין בקטע ]f (x)g(x)dx :[0, L תרגילים .1מצא ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות. א. 00 Y + λY = 0 Y 0 (0) = 0, Y 0 (1) = 0 ב. 00 Y + λY = 0 Y (0) = 0, Y 0 (1) = 0 ג. (Y 00 − 2Y 0 + Y ) + λY = 0 Y (0) = 0, Y (1) = 0 1 RL 0 = hf, gi ערכים עצמיים ,פונקציות עצמיות ותורת שטורם−ליוביל ד. 2 00 (x Y + xY 0 ) + λY = 0, 1≤x≤e Y (1) = 0, Y 0 (e) = 0 רמז :השתמש בשינוי המשתנה .t = ln x .2נתונה בעיית ערכים עצמיים )שטורם-ליוביל( 00 Y + λY = 0 Y (0) + 2Y 0 (0) = 0, Y 0 (1) = 0 א .הראה שקיים ערך עצמי שלילי אחד בלבד. ב .האם λ = 0ערך עצמי? ג .מצא את הנוסחה עבור הערכים העצמיים החיובים והסבר מדוע בכל קטע ) (nπ, (n + 1)πיש שורש של ערך עצמי אחד .n = 0, 1, 2, ... ,מה הן הפונקציות העצמיות? .3נתונה בעיית ערכים עצמיים )שטורם-ליוביל( 00 Y + λY = 0 . 0 Y (0) + Y (0) = 0, Y (1) = 0 א .האם קיימים ערכים עצמיים שליליים? ב .האם λ = 0ערך עצמי? אם כן ,מה היא הפונקציה העצמית? ג .הראה שקיימים אינסוף ערכים עצמיים חיובים .מצא את הנוסחה עבור הערכים העצמיים החיובים .מה הן הפונקציות העצמיות? .4הראה שלבעיית ערכים עצמיים )שטורם-ליוביל( 00 Y + λY = 0 Y 0 (0) + Y (0) = 0, Y 0 (1) − Y (1) = 0 יש בדיוק ערך עצמי שלילי אחד. .5הראה שלבעיית בעיית ערכים עצמיים 00 Y + λY = 0 )Y (0) = Y (1), Y 0 (0) = Y 0 (1 2 ערכים עצמיים ,פונקציות עצמיות ותורת שטורם−ליוביל יש ערכים עצמיים n = 1, 2, 3, ... λ0 = 0 , λn = (2nπ)2 , ופונקציות עצמיות Y0 = a0 .Yn (x) = an cos(2nπx) + bn sin(2nπx), n = 1, 2, 3, ... האם יש סתירה לתורת שטורם-ליוביל? תנאי שפה רובין תנאי השפה 0 Y (0) − a0 Y (0) = 0 Y 0 (L) + aL Y (L) = 0 )(1 נקראים תנאי שפה רובין .בסעיף זה נדון בהיבטים של התנאי הזה עבור המשוואה Y 00 + λY = 0. .6הראה ש λ = 0ערך עצמי אם ורק אם a0 + aL = −a0 aL Lומצא את הפונקציה העצמית. .7הראה שהערכים השליליים נקבעים על ידי המשוואה (a0 + aL )β , β 2 + a0 aL tanh(βL) = − )(2 כאשר .λ = −β 2 .8השתמש במשוואה ) (2בכדי לחקור את הערכים העצמיים השליליים של תנאי רובין: א .שרטט את הגרף של ) tanh(xעבור .x ≥ 0 ב .הראה שאם ,a0 , al ≥ 0אז אין ערכים עצמיים שליליים. ג .אם (a0 + aL ) > 0 ,a0 aL < 0ו ,a0 + aL < −a0 al Lאז יש ערך עצמי אחד בלבד. .9תהי pגזירה וחיובית בקטע ] [0, 1ו qרציפה .הראה שאם a0 , a1 ≥ 0ו q(x) ≥ 0 בקטע ] ,[0, 1אז לבעיית ערכים עצמיים 0 − (pY 0 ) + qY = λY עם תנאי שפה רובין ) (1אין ערכים עצמיים שליליים. רמז :יהי Yפונקציה עצמית עם ערך עצמי ,λהראה 1 (Y 0 )2 + q(x)Y 2 dx Z 2 2 λhY, Y i = (a1 Y (1) + a0 Y (0) + 0 והסק מ ) (3ש .λ ≥ 0 3 )(3 ערכים עצמיים ,פונקציות עצמיות ותורת שטורם−ליוביל תשובות 1 א .ערכים עצמיים ,n = 0, 1, 2, ... ,λn = (nπ)2 :פונקציות עצמיות ,Y0 ≡ 1 ).n = 1, 2, ... ,Yn (x) = cos((nπ)x π ב .ערכים עצמיים ,λn = ( π2 + nπ)2פונקציות עצמיות,Yn (x) = sin(( 2 + nπ)x) : .n = 0, 1, 2, ... ג .ערכים עצמיים ,λn = (nπ)2 :פונקציות עצמיות,Yn (x) = ex sin((nπ)x) : .n = 1, 2, ... π π 2 ד .ערכים עצמיים ,λn = ( 2 + nπ) :פונקציות עצמיות,Yn (x) = sin(( 2 + nπ) ln x) : .n = 0, 1, 2, ... 2 א .ערך עצמי שלילי ,λ0 = −β02כאשר β0פתרון של המשוואה cosh β − 2β sinh β = 0 ב .לא! √ √ √ √ √ ג√ λn . n = 1, 2, ... ,Yn (x) = −2 λn cos( λn x) + sin( λn x) , λn = − 12 cos sin λn 3 לא ,ב .כן! 1 − xפונקציה עצמית, א. √ √ √ √ √ גn = 0, 1, 2, ... ,Yn (x) = − λn cos( λn x) + sin( λn x) , λn = tan λn . 4
© Copyright 2024