אלגברה לינארית (ÁÁ) כמו שצריך ־ תקציר הוכחות

‫אלגברה לינארית )‪ (II‬כמו שצריך ־ תקציר הוכחות‬
‫‪ 25‬ביוני ‪2012‬‬
‫תקציר‬
‫בקובץ זה ניתן למצוא תקצירי הוכחות )לא בהכרח הוכחות פורמליות‪ ,‬רק מעביר‬
‫את הרעיון של ההוכחה ויש לפתח אותה בעצמכם( הגדרות‪ ,‬ודוגמאות‬
‫בגדול‪ ,‬כל מה שתרצו בשביל המבחן‪.‬‬
‫הקובץ עדיין לא גמור‪ ,‬ובתקווה אני אסיים אותו לפני המבחן‪.‬‬
‫אור דגמי ־‬
‫אתר אינטרנט‪:‬‬
‫‪ordigmi.org‬‬
‫‪http://digmi.org‬‬
‫‪ 1‬פולינומים‬
‫‪1.1‬‬
‫דרגה‬
‫‪ 1.1.1‬שורש של פולינום‬
‫הגדרה ‪ 1.1‬שורש של פולינום‪ :‬האיבר ‪ λ ∈ F‬יקרא שורש של ]‪ p ∈ F [z‬אם מתקיים‬
‫‪.p (λ) = 0‬‬
‫טענה ‪1.2‬‬
‫בהינתן ]‪ p ∈ F [z‬פולינום מדרגה ‪ m ≥ 1‬ובהינתן ‪ .λ ∈ F‬אזי ‪ λ ∈ F‬הוא שורש של ‪p‬‬
‫אם"ם קיים פולינום ]‪ q ∈ F [z‬כך ש‪ p (z) = (z − λ) · q (z) :‬לכל ‪.z ∈ F‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון ראשון‪:‬‬
‫מניחים כי )‪ p (z) = (z − λ) q (z‬לכל ‪ .z ∈ F‬ובאופן טריוויאלי מקבלים‪:‬‬
‫‪p (λ) = (λ − λ) ·q (λ) = 0‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪=0‬‬
‫כיוון שני‪:‬‬
‫מניחים כי ‪ λ‬הוא שורש של ‪ ,p‬מתבוננים בהצגה‪:‬‬
‫‪p (z) = a0 + a1 z + . . . + am z m‬‬
‫שמים לב כי‪:‬‬
‫‬
‫) ‪z 2 − λ2 + . . . + am (z m − λm‬‬
‫‪p (z) = p (z) − p (λ) = a1 (z − λ) + a2‬‬
‫כמו כן מסמנים את ‪ qk‬בתור‪:‬‬
‫‬
‫‪z k − λk = (z − λ) z k−1 + λz k−2 + . . . + λk−1‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪qk‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫פולינומים‬
‫חלוקה עם שארית‬
‫מסמנים‪:‬‬
‫)‪q (z) = a1 + a2 q1 (z) + . . . + am qm−1 (z‬‬
‫ומקבלים כי‪:‬‬
‫)‪p (z) = (z − λ) q (z‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.3‬נשים לב כי הפולינום בסעיף הקודם הוא בהכרח מדרגה ‪.m − 1‬‬
‫מסקנה ‪1.4‬‬
‫בהינתן ]‪ p ∈ F [z‬פולינום מדרגה ‪ m ≥ 0‬אזי ל ‪ p‬יש לכל היותר ‪ m‬שורשים ב‪.F‬‬
‫הוכחה‪ :‬אינדוקציה על דרגת הפולינום‪ .‬מתחילים מדרגה אפס באופן טריוויאלי‪ ,‬מראים את‬
‫מעלה ‪ 1‬גם כן‪ ,‬צריך להראות כי הפתרון ‪ − aa10‬יחיד בעזרת הנחה שקיימים ‪ λ, λ′ ∈ F‬כך‬
‫ש‪ p (λ) = p (λ′ ) :‬ומקבלים‪:‬‬
‫‪a0 + a1 λ = a0 + a1 λ′ ⇒ λ = λ′‬‬
‫משם משתמשים בטענה‪ ,‬על מנת להוריד את דרגת הפולינום לדרגה ‪ m − 1‬כל פעם‪.‬‬
‫מסקנה ‪1.5‬‬
‫בהינתן פולינום ]‪ p ∈ F [z‬כך שלכל ‪ z ∈ F‬מתקיים‪ p (z) = 0 :‬אזי ‪ p‬הוא פולינום האפס‪.‬‬
‫דוגמה ‪ 1.6‬נתבונן במקרה בו ‪ ,F = Z2‬הפולינום‪ p (x) = x (x − 1) = x2 − x :‬מתאפס על‬
‫כל ‪.Z2‬‬
‫נשים לב שגם הפונקציה ‪ y (x) = x2 (x − 1) = x3 − x2‬מתאפס על כל ‪ .Z2‬לכן חשוב‬
‫שנבדיל בין הפולינומים כביטוי פורמלי לבין פונקציות פולינמאליות‪.‬‬
‫מסקנה ‪1.7‬‬
‫אם ‪ F‬שדה אינסופי ו‪p (z) = q (z) :‬לכל ‪z ∈ F‬אז ‪) p = q‬כפולינומים(‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן ב ‪ p − q‬ובמסקנה ‪.1.5‬‬
‫דוגמה ‪ 1.8‬נסמן ב )‪ F (F‬את כל הפונקציות מ ‪ F‬אל ‪ .F‬אם ‪ F‬שדה אינסופי אז העתקה‬
‫)‪ F [x] → F (F‬ששולחת כל פולינום לפונקציה המתאימה היא שיכון)חח"ע(‪.‬‬
‫‪ 1.2‬חלוקה עם שארית‬
‫טענה ‪1.9‬‬
‫בהינתן ]‪ p, q ∈ F [z‬פולינומים כך ש ‪ p 6= 0‬אזי קיימים ביחידות פולינומים ]‪s, r ∈ F [z‬‬
‫כך ש‪:‬‬
‫‪q =s·p+r‬‬
‫ומתקיים‪deg r < deg p :‬‬
‫‪2‬‬
‫פולינומים מעל ‪C‬‬
‫‪1.3‬‬
‫‪1‬‬
‫פולינומים‬
‫הוכחה‪ :‬קיום‪ :‬נבחר את ‪ s‬כך שלפולינום‪ r = q − s · p :‬יש דרגה מינימלית‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ deg r ≥ deg p‬כלומר‪:‬‬
‫‪r (z) = q (z) − s (z) p (z) = a0 + a1 z + . . . + ap z p + . . . + ar z r‬‬
‫‪p (z) = b0 + b1 z + . . . + bp z p‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪ar‬‬
‫‪bp‬‬
‫‪s˜ (z) = s (z) + z r−p‬‬
‫ונקבל סתירה למינימליות‪.‬‬
‫יחידות‪:‬‬
‫נניח קיום של ]‪ s, r, s˜, r˜ ∈ F [z‬כך ש‪:‬‬
‫˜‪q = sp + r = s˜p + r‬‬
‫נשים לב כי זה גורר‪ .(s − s˜) p = r˜ − r :‬במידה ו˜‪ s 6= s‬אזי אגף שמאל ממעלה גדולה יותר‬
‫מאגף ימין ולכן בהכרח ˜‪ s = s‬וזה גורר ˜‪.r = r‬‬
‫‪1.3‬‬
‫פולינומים מעל ‪C‬‬
‫‪ C‬הוא שדה סגור אלגברית‪ ,‬כלומר לכל פולינום ממעלה ‪ m ≥ 1‬יש שורש בשדה‪.‬‬
‫משפט ‪1.10‬‬
‫אם ‪ F‬סגור אלגברית‪ p ∈ F [z] ,‬מדרגה ‪ m‬אזי לפולינום ‪ p‬קיים פירוק‪:‬‬
‫) ‪p (z) = c (z − λ1 ) · . . . · (z − λm‬‬
‫והפירוק הוא יחיד עד כדי סדר הגורמים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬קיום ויחידות באינדוקציה‪.‬‬
‫עבור ‪ m = 1‬מראים כי ‪ − aa10‬הוא הפתרון היחיד עבור‪ 0 = a0 + a1 z :‬בעזרת הנחה‬
‫שקיימים ‪ λ, λ′ ∈ F‬כך ש‪ p (λ) = p (λ′ ) :‬ומקבלים‪:‬‬
‫‪a0 + a1 λ = a0 + a1 λ′ ⇒ λ = λ′‬‬
‫עבור כל ‪ m‬גדול יותר‪ ,‬נפרק את ‪ p‬בעזרת טענה‬
‫‪1.2‬‬
‫באופן רקורסיבי ונקבל‪:‬‬
‫) ‪p (z) = c (z − λ1 ) · . . . · (z − λm‬‬
‫על מנת להראות יחידות‪ ,‬נניח‬
‫) ‪c′ (z − µ1 ) · . . . · (z − µm ) = c (z − λ1 ) · . . . · (z − λm‬‬
‫‪ c′ = c‬באופן טריוויאלי )המקדם של המעלה הגדולה( ונרוץ על כל ‪ λi‬כך ש‪. 1 ≤ i ≤ m :‬‬
‫ונראה כי קיים ‪ µk = λi‬כיוון ששניהם צריכים להתאפס‪.‬‬
‫‪ 1.4‬פולינומים מעל ‪R‬‬
‫טענה ‪1.11‬‬
‫¯‬
‫בהניתן ]‪ p ∈ R [x‬פולינום ממשי ו ‪ λ ∈ C‬שורש לא ממשי של ‪ ,p‬אזי גם ‪ λ‬שורש של ‪.p‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫הוכחה‪ :‬מתבוננים ב ‪ a0 + a1 λ + . . . + am λm = 0‬עושים צמוד על שני אגפים ומקבלים‬
‫‪¯ m = ¯0 = 0‬‬
‫‪¯2 + . . . + a¯m λ‬‬
‫‪¯ + a¯2 λ‬‬
‫‪a¯0 + a¯1 λ‬‬
‫אבל ‪ ai‬ממשיים לכן‪:‬‬
‫‪¯m = 0‬‬
‫‪¯ 2 + . . . + am λ‬‬
‫‪¯ + a2 λ‬‬
‫‪a0 + a1 λ‬‬
‫תזכורת ‪ 1.12‬ל ‪ x2 +bx+c‬קיים פירוק ) ‪ (x − λ1 ) (x − λ2‬כאשר ‪ λi ∈ R‬אם"ם ≥ ‪b2 −4c‬‬
‫‪.0‬‬
‫משפט ‪1.13‬‬
‫בהינתן ]‪ p ∈ R [x‬אזי ל ‪ p‬קיים פירוק יחיד עד כדי סדר גורמים כך ש‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p (x) = x (x − λ1 ) · . . . · (x − λm ) x2 + b1 x + c1 · . . . · x2 + bl x + cl‬‬
‫כאשר ‪λi , bi , ci ∈ R‬ו‪.b2i − 4ci < 0 :‬‬
‫הוכחה‪ :‬באינדוקציה על מעל הפולינום‪ .‬בסיס הוא טריויאלי‪ ,‬מתבוננים בפולינום מעל ‪.C‬‬
‫מטענה ‪ 1.11‬וטענה ‪ 1.2‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪¯ q (x) = c x2 − λx − λx‬‬
‫‪¯ + λλ‬‬
‫= )‪¯ q (x‬‬
‫‪p (x) = c (x − λ) x − λ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫)‪c x2 − 2 · Re (x) + |λ| q (x‬‬
‫אבל )‪ q (x‬יכול להיות מרוכב‪ ,‬לכן נתבונן בחלוקה שלו‪:‬‬
‫מעל ‪:R‬‬
‫‬
‫‬
‫)‪p (x) = s (x) x2 − 2 · Re (x) + |λ|2 + r (x‬‬
‫ומעל ‪:C‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p (z) = z 2 − 2 · Re (z) + |λ|2 · c · q (z) + 0‬‬
‫מיחידות של חלוקת פולנומים נקבל כי‪ s (x) = c · q (x) :‬ולכן )‪ q (x‬ממשי כנדרש‪.‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪2.1‬‬
‫תת מרחבים אינווריאנטים‬
‫הגדרה ‪ 2.1‬תת מרחבים אינווריאנטים ־ )‪ :(Invariant vetor subspaes‬בהניתן‬
‫) ‪ T ∈ L (V‬ו ‪ U‬תת מרחב של ‪ .V‬נאמר ש ‪ U‬הוא תת מרחב אינווריאנטי )של ‪ (T‬אם‬
‫מתקיים‪∀u ∈ U ⇒ T u ∈ U :‬‬
‫דוגמה ‪2.2‬‬
‫‪ .1‬עבור מרחב ‪ ,V‬המרחב } ‪ {0V‬וגם המרחב ‪ V‬הוא תת מרחב אינוואריאנטי ביחס לכל‬
‫אופרטור ‪T ∈ L (V ) ,T‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪.2‬‬
‫} ‪{v|v ∈ V, T v = 0V‬‬
‫} ‪{u|u = T v, v ∈ V‬‬
‫=‬
‫‪ker T‬‬
‫=‬
‫‪ImT‬‬
‫‪ T ,R7 [x] .3‬אופרטור הגזירה‪.‬‬
‫‬
‫‪T a7 z 7 + a6 z 6 + . . . + a1 z + a0 = 7a7 z 6 + 6a6 z 5 + . . . + a1‬‬
‫אזי ]‪ R5 [x‬הוא תת מרחב אנווריאנטי ביחס ל ‪.T‬‬
‫טענה ‪2.3‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי ובהינתן ‪ u ∈ V‬כך ש ‪ .u 6= 0‬נסמן‪:‬‬
‫}‪U = {au|a ∈ F‬‬
‫כך ש ‪ U‬הוא תת מרחב חד מימדי‪.‬‬
‫אזי ‪ U‬הוא תת מרחב אינווריאנטי ביחס לאופרטור ) ‪ T ∈ L (V‬אם"ם קיים ‪λ ∈ F‬כך‬
‫שמתקיים ‪.T u = λu‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון ראשון‪.v ∈ U ⇒ v = au T (v) = T (au) = aT u = aλu ∈ U :‬‬
‫כיוון שני‪ T u ∈ U :‬לכן לפי ההגדרה של ‪ U‬קיים ‪ λ ∈ F‬כך ש ‪T u = λu‬‬
‫טענה ‪2.4‬‬
‫בהנתן ‪ U ⊂ V‬תת מרחב אינווריאנטי תחת כל אופרטור ) ‪ .T ∈ L (V‬אזי‪U = {0} :‬‬
‫או } ‪.U = {V‬‬
‫הוכחה‪ :‬מניחים בשלילה כי ‪ U 6= V‬וגם }‪ .U 6= {0‬בוחרים ‪ u ∈ U‬כלשהו‪ ,‬משלימים אותו‬
‫לבסיס ומגדירים העתקה שמעבירה את ‪ u‬ל‪ w‬ואת היתר לוקטורים כלשהם‪ .‬ולכן ‪ u‬לא ‪T‬‬
‫אינווריאנטי עבור העתקה הזאת‪ .‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫הגדרה ‪ 2.5‬וקטורים עצמיים וערכים עצמיים )‪: (Eigenvetors and eigenvalues‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ ,F‬ובהינתן ) ‪.T ∈ L (V‬‬
‫‪ .1‬נאמר שוקטור ‪ ,v 6= 0V‬הוא וקטור עצמי עבור אופרטור ‪ T‬אם קיים ‪ λ ∈ F‬כך‬
‫שמתקיים ‪.T v = λv‬‬
‫‪ .2‬כל ‪ λ‬שעבורו מתקיים התנאי ‪ T v = λV‬נקרא ערך עצמי עבור אופרטור ‪T‬‬
‫דוגמה ‪ T = a · I 2.6‬אזי כל וקטור ‪ v ∈ V‬כך ש ‪ v 6= 0V‬הוא וקטור עצמי עבור האופרטור‬
‫‪ T‬עם ערך עצמי ‪.a‬‬
‫דוגמה ‪ 2.7‬עבור המרחב }‪ V = F2 = {(w, z) |w, z ∈ F‬והאופרטור = )‪T : T (w, z‬‬
‫)‪(−z, w‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪z‬‬
‫◦‪90‬‬
‫‪w‬‬
‫‪-z‬‬
‫‪w‬‬
‫כל וקטור מסובב ב ◦‪ .90‬במידה ו ‪ F = R‬אזי לא קיימים וקטורים עצמיים של ‪.T‬‬
‫במידה ו ‪ F = C‬אזי‪:‬‬
‫לעומת זאת‪( ,‬‬
‫‪−z = λw‬‬
‫⇒⇐ )‪T (w, z) = λ (w, z) ⇐⇒ (−z, w) = λ (w, z‬‬
‫‪w = λz‬‬
‫נניח ש‪ w = 0‬אזי ‪.z = 0‬‬
‫אם ‪ w 6= 0‬אזי‪:‬‬
‫‪w = −λ2 w ⇒ λ2 = −1 ⇒ λ1 = i, λ2 = −i‬‬
‫)‪λ1 = i ⇒ z = iw → (w, −iw‬‬
‫ולכן וקטור עצמי הוא )‪λ2 = −i → z = iw → (w, iw‬‬
‫אזי כל וקטור מסוג )‪) (w, −iw‬כאשר ‪ (w 6= 0‬הוא וקטור עצמי עבור אופרטור ‪ T‬עם‬
‫ערך עצמי ‪.i‬‬
‫וכל וקטור מסוג )‪) (w, iw‬כאשר ‪ (w 6= 0‬הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪−i‬‬
‫הערה ‪ 2.8‬מרחבים מסוג‬
‫}‪= {(w, −iw) |w ∈ C‬‬
‫}‪= {(w, iw) |w ∈ C‬‬
‫‪W+‬‬
‫‪W−‬‬
‫הם תת מרחבים אינווריאנטים וחד ממדים עבור אופרטור )‪T (w, z) = (−z, w‬‬
‫משפט ‪2.9‬‬
‫יהי ) ‪ .T ∈ L (V‬בהינתן ‪ λ1 , . . . , λm‬ערכים עצמיים של ‪ T‬השונים זה מזה עבור וקטורים‬
‫עצמיים ‪ v1 , . . . , vm‬בהתאמה‪ .‬אזי } ‪ {v1 , . . . , vm‬היא קבוצה בת"ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬מניחים בשלילה כי } ‪ {v1 , . . . , vm‬תלויה לינארית‪ ,‬לכן קיים ‪ 1 ≤ k ≤ m‬כך ש‬
‫} ‪ {v1 , . . . , vk−1‬לא תלויה לינארית ואילו } ‪ {v1 , . . . , vk‬כן תלויה לינארית‪ .‬לכן קיימים‬
‫‪ c1 , . . . , ck−1‬כך ש‪:‬‬
‫‪vk = c1 v1 + . . . + ck−1 vk−1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪T vk = c1 T v1 + . . . + ck−1 T vk−1‬‬
‫‪λk vk = c1 λ1 v1 + . . . + ck−1 λk−1 vk−1‬‬
‫מציבים את ‪ vk‬ומקבלים‪:‬‬
‫= ) ‪0 = c1 λ1 v1 + . . . + ck−1 λk−1 vk−1 − λk (c1 v1 + . . . + ck−1 vk−1‬‬
‫‪c1 (λ1 − λk )v1 + . . . + ck−1 (λk−1 − λk )vk−1‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪6=0‬‬
‫‪6=0‬‬
‫בגלל ש } ‪ {v1 , . . . , vk−1‬בת"ל אזי‪:‬‬
‫‪c1 = . . . = ck−1 = 0‬‬
‫ולכן ‪ vk = 0‬וזוהי סתירה‪.‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫= ‪,v1‬‬
‫= ‪.T‬‬
‫דוגמה ‪ V = C2 2.10‬ו‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫·‪= 1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫·‬
‫=‬
‫· )‪= (−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪v2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫כלומר ערכים עצמיים ‪.1, −1‬‬
‫משפט ‪2.11‬‬
‫יהי ) ‪ T ∈ L (V‬אזי ‪ λ‬הוא ערך עצמי של ‪ T‬אם"ם ‪ T − λI‬היא אינה חח"ע‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון ראשון‪ :‬מניחים ש ‪ λ‬הוא ערך עצמי אזי‪:‬‬
‫‪T v = λv ⇒ (T − λI) v = 0v‬‬
‫‪∃v ∈ V, v 6= 0‬‬
‫אבל גם עבור ‪ v = 0‬נקבל אותה תוצאה‪ ,‬אזי לא חח"ע‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬באותו אופן‪ ,‬אנחנו מניחים שהעתקה היא לא חח"ע לכן =‪ker (T − λI) 6‬‬
‫} ‪ {0V‬ולכן‪:‬‬
‫‪(T − λI) v = 0v ⇒ T v − λI · v = 0 ⇒ T v = λv‬‬
‫‪ 2.2.1‬אלגוריתם למציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫דוגמה ‪ 2.12‬נתבונן במטריצה‬
‫‬
‫‬
‫‪−3 −2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫נרצה למצוא לה וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫=‪A‬‬
‫‪∃v ∈ V‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫אלגוריתם ‪ 1‬מציאת ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה‬
‫‪ .1‬רושמים את המטריצה ‪A − λI‬‬
‫‪ .2‬מחשבים )‪ det (A − λI‬ומשווים לאפס )כאשר ‪ λ‬הוא הנעלם(‬
‫‪ .3‬הפתרונות של המשוואה המתקבלת הם הערכים העצמיים‪.‬‬
‫‪ .4‬עבור כל ערך עצמי ‪ λi‬מחפשים וקטור עצמי )או כמה( ‪ vi‬כאשר ‪ vi‬הוא הפתרון‬
‫למשוואה‪(A − λi I) vi = 0V :‬‬
‫‪.1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪−3 − λ‬‬
‫‪−2‬‬
‫= ‪A − λI‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6−λ‬‬
‫‪.2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪−3 − λ‬‬
‫ ‪−2‬‬
‫‬
‫ = )‪det (A − λI‬‬
‫= ‪= (−3 − λ) (6 − λ) + 8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 − λ‬‬
‫)‪λ2 − 3λ − 10 = (λ − 5) (λ + 2‬‬
‫‪ .3‬הערכים העצמיים הם‪λ2 = −2 :‬‬
‫‪λ1 = 5,‬‬
‫‪ .4‬נמצא וקטורים עצמיים עבור הערך העצמי ‪:λ1 = 5‬‬
‫‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‪−8 −2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫= ‪⇒ 4x + y = 0 ⇒ v1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−4‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫} ‪} | {z‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪A−5I‬‬
‫ויש לנו אינסוף אפשרויות‪.‬‬
‫עבור הערך העצמי ‪:λ2 = −2‬‬
‫ ‬
‫‬
‫ ‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−2‬‬
‫‪−1 −2‬‬
‫=‬
‫= ‪⇒ −x − 2y = 0 ⇒ v2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪{z‬‬
‫} ‪} | {z‬‬
‫|‬
‫‪v2‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫‪A−(−2)I‬‬
‫דוגמאות וטענות מהתרגול‬
‫דוגמה ‪ 2.13‬נרצה לברר האם ‪ λ‬ערך עצמי של ‪ T‬ו‪ µ‬ערך עצמי של ‪ S‬אזי‪ λ + µ :‬ערך עצמי‬
‫של ‪?T + S‬‬
‫התשובה היא לא‪.‬‬
‫דוגמה נגדית היא‪ T, S : R2 → R2 :‬המיוצגות בבסיס הסטנדרטי ע"י‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪0 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫= ) ‪M (T‬‬
‫= )‪, M (S‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫אם נשתמש באלגוריתם נראה כי ההנחה לא מתקיימת‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ 2.2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫טענה ‪2.14‬‬
‫אם ‪ λ‬ערך עצמי של ‪ T‬עם וקטור עצמי ‪ .v‬אז ‪ λ + µ‬ערך עצמי של ‪ T + µI‬המתאים‬
‫לוקטור עצמי ‪v‬‬
‫הוכחה‪ λ :‬הוא ערך עצמי של ‪ .T‬אזי קיים ‪ 0 6= v ∈ V‬כך ש ‪ .T v = λv‬נשים לב כי‪:‬‬
‫‪(T + µI) v = T v + µv = λv + µv = (λ + µ) v‬‬
‫משפט ‪2.15‬‬
‫בהינתן ) ‪ T ∈ L (V‬אופרטור לינארי כך שכל ‪ 0 6= v ∈ V‬הוא וקטור עצמי שלו‪ .‬אזי‬
‫‪ T = αI‬כאשר ‪.α ∈ F‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר ‪ v, w ∈ V‬כך ש ‪ .T v = λv v, T w = λw w‬נרצה להראות כי‪.λv = λw :‬‬
‫במידה ו ‪ v, w‬תלויים לינארית )דהיינו ‪ w = bv‬כאשר ‪:(b ∈ F‬‬
‫‪λw w = T w = T (bv) = bT v = vλv v = λv bv = λv w‬‬
‫במידה והם בת"ל אזי‪:‬‬
‫⇒‬
‫⇒ ‪λv+w (v + w) = T (v + w) = T v + T w = λv v + λw w‬‬
‫(‬
‫‪λv+w − λv = 0‬‬
‫⇒ ‪(λv+w − λv ) v + (λv+w − λw ) w = 0‬‬
‫‪λv+w − λw = 0‬‬
‫‪λv = λw‬‬
‫‪ 2.2.3‬טענות שימושיות בהקשרים של מטריצות דומות‬
‫הערה ‪ 2.16‬נזכור שאם מטריצות דומות אזי העקבה )‪ (trae‬שלהן נשמרת‪ ,‬וגם הדטרמיננטה‬
‫נשמרת‪ .‬אבל זהו תנאי הכרחי אך אין זה תנאי מספיק‪.‬‬
‫למה ‪2.17‬‬
‫בהינתן )‪ A, B ∈ Mn (F‬אזי‪tr (AB) = tr (BA) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬מסמנים‪:‬‬
‫‪A = (ai,j ) j = 1, . . . , n ,‬‬
‫‪i = 1, . . . , n‬‬
‫‪B = (bi,j ) j = 1, . . . , n‬‬
‫‪i = 1, . . . , n‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪ai,l · bl,i‬‬
‫‪X‬‬
‫‪al,i · bi,l‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪ai,l · bl,i‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪bi,l · al,i‬‬
‫‪i,l‬‬
‫‪i,l‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪l=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪(A · B)i,i‬‬
‫= ‪(B · A)i,i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫‪i=1‬‬
‫מחליפים את האינדקס ‪ i‬ב‪ l‬ולהפך בסכום השני ומקבלים את הנדרש‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫)‪tr (AB‬‬
‫)‪tr (BA‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫מטריצות משולשיות עליונות‬
‫למה ‪2.18‬‬
‫אם ‪ A‬דומה ל ‪ B‬אז‪tr (A) = tr (B) :‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ A = P −1 BP‬אז‪:‬‬
‫לפי למה‬
‫‪2.17‬‬
‫נקבל כי‪:‬‬
‫ ‬
‫‪P −1 B P‬‬
‫)‪= tr (B‬‬
‫כנדרש‬
‫‬
‫‪tr (A) = tr‬‬
‫‪B‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪= tr P P‬‬
‫למה ‪2.19‬‬
‫אם ‪ A‬דומה ל ‪ B‬ו‪ λ‬ערך עצמי של ‪ A‬אז הוא גם ערך עצמי של ‪ B‬ולהפך‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬אם ‪ v 6= 0‬וקטור עצמי של ‪ A‬שמתאים ל‪ λ‬אז נסמן‪ w 6= 0) w = P v :‬כי ‪P‬‬
‫הפיכה( ולכן‪:‬‬
‫‪Bw = BPv = (P A) v = P (λv) = λP v = λw‬‬
‫‪2.3‬‬
‫מטריצות משולשיות עליונות‬
‫משפט ‪2.20‬‬
‫בהינתן‪ V ,‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ C‬כך ש ‪ dim V = n‬ובהינתן אופרטור ) ‪.T ∈ L (V‬‬
‫אז קיים ערך עצמי עבור ‪.T‬‬
‫‬
‫‬
‫ונתבונן ב ‪ v, T v, T 2 v, . . . , T n v‬בקבוצה יש ‪ n + 1‬איברים‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר ‪0 6= v ∈ V‬‬
‫‬
‫לכן היא תלויה לינארית לכן‪ 0 = c0 + c1 T + c2 T 2 + . . . + cn T n v :‬כאשר לפחות ‪ci‬‬
‫אחד שונה מאפס‪.‬‬
‫הפולינום ‪ Pn (z) = c0 + c1 z + . . . + cn z n‬פריק ונקבל‪Pn (z) = d (z − λ1 ) · . . . · :‬‬
‫) ‪ (z − λn‬ועם ‪:T‬‬
‫)‪Pn (T ) = c0 + c1 T + . . . + cn T n = d (T − λ1 I) · . . . · (T − λn I‬‬
‫‪d (T − λ1 I) · . . . · (T − λn I) v = 0v‬‬
‫לכן קיים ‪ i‬כך ש ‪ (T − λi I) v = 0‬ולכן העתקה ‪ T − λi I‬אינה חח"ע ולפי משפט‬
‫‪ λi‬הוא ערך עצמי‪.‬‬
‫‪2.11‬‬
‫טענה ‪2.21‬‬
‫‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ vˇ = {v1 , v2 , . . . , vn } .T ∈ L (V ) .dim V = n‬בסיס למרחב‪.‬‬
‫התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ M (T, vˇ) .1‬משולשית עליונה‬
‫‪ T vj ∈ Span {v1 , . . . , vj } .2‬עבור כל ‪1 ≤ j ≤ n j‬‬
‫‪ Span {v1 , . . . , vj } .3‬הוא תת מרחב אינווריאנטי ביחס ל ‪ T‬עבור כל ‪j‬‬
‫‪1≤j≤n‬‬
‫‪10‬‬
‫ ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬2
T vj =
n
X
‫מטריצות משולשיות עליונות‬

a1,1

 0
M (T, vˇ) = 
 .
 ..
0
ak,j vk
k=1
T vj =
j
X
k=1
∗
...
..
.
.
..
.
...
0
a2,2
..
∗
.
.
.
2.3
:2 ⇐ 1 :‫הוכחה‬





∗ 
an,n
:‫ ולכן‬k > j ⇒ ak,j = 0
ak,j · vk ∈ Span {v1 , . . . , vj }
:1 ⇐ 2
T vj = a1,j v1 + . . . + aj,j vj
:‫ולכן‬
T v1
=
a1,1 v1
T v2
T v3
=
=
a1,2 v1 + a2,2 v2
a1,3 v1 + a2,3 v2 + a3,3 v3
.
.
.
T vn
=
a1,n v1 + a2,n v2 + . . . + an,n vn

a1,1
 0

M (T, vˇ) =  .
 ..
0
a1,2
a2,2
...
...
..
.
..
...
0
.
:‫נבנה את המטריצה ונקבל‬

a1,n
a2,n 

. 
. 
.
an,n
:3 ⇐ 2
v
v
∈
Span {v1 , . . . , vj }
= c1 v1 + . . . + cj vj
T v = c1 T v1 + . . . + cj T vj
T v1
T v2
∈ Span {v1 } ⊂ Span {v1 , . . . , vj }
∈ Span {v1 , v2 } ⊂ Span {v1 , . . . , vj }
.
.
.
T vj
∈ Span {v1 , . . . , vj }
11
‫‪2.3‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫מטריצות משולשיות עליונות‬
‫ולכן‪:‬‬
‫} ‪T v ∈ Span {v1 , . . . , vj‬‬
‫‪) vj ∈ Span {v1 , . . . , vj } ⇒ T vj ∈ Span {v1 , . . . , vj } :2 ⇐ 3‬בגלל שהוא‬
‫אינווריאנטי(‬
‫משפט ‪2.22‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ C‬כך ש ‪ dim V = n‬ובהינתן ) ‪ .T ∈ L (V‬אזי קיים בסיס‬
‫ˇ‪ v‬במרחב ‪ V‬כך שהמטריצה )ˇ‪ M (T, v‬היא משולשית עליונה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחה באינדוקציה מלאה‪.‬‬
‫עבור ‪ n = 1‬באופן טריוויאלי‪ .‬נניח כי זה מתקיים לכל ‪ .1 ≤ m < n‬לפי משפט‬
‫קיים ל ‪ T‬קיים ערך עצמי ‪.λ‬‬
‫מסמנים )‪U = Im (T − λI‬ולכן‬
‫‪T u = (T − λI) u + λu ∈ U‬‬
‫‪2.20‬‬
‫‪u∈U‬‬
‫מתבוננים בצמצום של ‪ T‬ל ‪ U‬מהנחת האינדוקציה קיים בסיס עבורו היא משולשית עליונה‬
‫כיוון ש ‪) dim U < dim V‬כיוון שהעתקה היא אינה חח"ע(‬
‫משלימים את הבסיס המקיים את המשולשית העליונה לבסיס לכל ‪ V‬ושמים לב שעבור‬
‫כל ‪ j‬מתקיים‪:‬‬
‫} ‪T vl = (T − λI) vl +λvl ∈ Span {u1 , . . . , um , vl } ⊂ Span {u1 , . . . , um , v1 , . . . , vl‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈U‬‬
‫ולכן זה מקיים את התנאי של הטענה ‪.2.21‬‬
‫טענה ‪2.23‬‬
‫) ‪ vˇ = {v1 , . . . , vn } dim V = n ,T ∈ L (V‬בסיס עבור‪ .‬אזי ‪det (M (T, vˇ)) 6= 0‬‬
‫אם"ם העתקה ‪ T‬היא הפיכה‬
‫הוכחה‪ :‬העתקה ‪ T‬הופכית ⇒⇐ ל‪ T v = u :‬יש פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪αk vk‬‬
‫‪βm vm‬‬
‫‪am,k vm‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m=1‬‬
‫‪αk‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪m=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪αk T vk‬‬
‫‪k=1‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫= ‪u‬‬
‫=‬
‫‪Tv‬‬
‫‪k=1‬‬
‫‪am,k αk = βm‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k=1‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪α1‬‬
‫‪β1‬‬
‫‪  .. ‬‬
‫‪= . ‬‬
‫‪αn‬‬
‫‪βn‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,n‬‬
‫‪...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. . . an,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪M (T, vˇ) =  .‬‬
‫‪an,1‬‬
‫למשוואה הנ"ל יש פתרון יחיד ולכן מלינארית ‪det M (T, vˇ) 6= 0 :I‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2.3‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫מטריצות משולשיות עליונות‬
‫טענה ‪2.24‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ vˇ = {v1 , . . . , vn } .dim V = n‬בסיס של ‪T ∈ .V‬‬
‫) ‪.L (V‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∗ ‪λ1 ∗ . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 0 λ2 . . . .. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M (T, vˇ) =  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∗‬‬
‫‪0 . . . 0 λn‬‬
‫)משולשית עליונה(‪ T .‬היא העתקה הפיכה אם"ם ‪λ 6= 0, . . . , λn 6= 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬נגזר באופן ישיר ממשפט ‪ .2.23‬צריך רק לזכור שהדטרמיננטה של משולשית עליונה‬
‫הוא כפל איברי האלכסון‪.‬‬
‫מסקנה ‪2.25‬‬
‫בהנתן ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ vˇ = {v1 , . . . , vn } .dim V = n‬בסיס של ‪ V‬כך שהעתקה‬
‫) ‪ T ∈ L (V‬בבסיס זה היא משולשית עליונה‪ ,‬דהיינו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫∗ ‪λ1 ∗ . . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ 0 λ2 . . . .. ‬‬
‫‪‬‬
‫‪M (T, vˇ) = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪∗‬‬
‫‪0 . . . 0 λn‬‬
‫אזי ‪ λ1 , . . . , λn‬הם ערכים עצמיים של ‪.T‬‬
‫הוכחה‪ :‬מגדירים את ‪ T − λI‬ומתבוננים במטריצה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪λ1 − λ‬‬
‫∗‬
‫‪...‬‬
‫∗‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪λ2 − λ . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M (T − λI, vˇ) =  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪∗ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0 λn − λ‬‬
‫‪‬‬
‫העתקה ‪ T − λI‬אינה הפיכה כאשר קיים ‪ 1 ≤ j ≤ n j‬כך ש ‪λ = λj‬ולפי‬
‫תהא הפיכה ולכן ‪ λj‬הוא ערך עצמי‪.‬‬
‫מסקנה ‪2.26‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m1,n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. . . mn,n‬‬
‫‪13‬‬
‫‪m1,1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪mn,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M =‬‬
‫‪2.24‬‬
‫היא לא‬
‫ מטריצות אלכסוניות‬2.4
‫ ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬2

λ1

0
:‫ אזי‬M = C 
.
 ..
0
 
λ1
∗
 
 0

det M = det 
C  .
  ..
0
...
λ2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0

λ1

0
det C · det 
.
 ..
0
∗
...
.
λ2
.
.
.
.
...
∗
.
.
.
.
.
∗
.
.
.

 −1
C
‫ אם‬.mi,j ∈ C ‫כך ש‬

∗
λn
.
.
0





 −1 
C  =



∗
λn

∗ ... ∗
. 
.
.
. 
.
λ2
.
 · det C −1 = λ1 · . . . · λn

.
.
.
.
.
.
∗
. . . 0 λn
‫מטריצות אלכסוניות‬
2.4
2.27 ‫טענה‬
.T ∈ L (V ) .V ‫ בסיס של‬vˇ = {v1 , . . . , vn } .dim V = n ‫ מרחב וקטורי כך ש‬V ‫יהי‬


λ1 0 . . . 0

. 
 0 λ2 . . . .. 


M (T, vˇ) =  .

 .. . . . . . . 0 
0 . . . 0 λn
:‫ דהיינו‬T ‫ הם וקטורים עצמיים עבור‬v1 , . . . , vn ‫אם"ם‬
T v1
=
λ1 v1
.
.
.
T vn
=
λn vn
:⇐= :‫הוכחה‬
T v1
T v2
=
=
a1,1 v1 + a2,1 v2 + . . . + an,1 vn
a1,2 v1 + a2,2 v2 + . . . + an,2 vn
.
.
.
T vn
=
a1,n v1 + a2,n v2 + . . . + an,n vn
14
‫‪ 2.4‬מטריצות אלכסוניות‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,n‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪. . . an,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M (T, vˇ) = ‬‬
‫אבל כיוון ש ‪ T v1 = λ1 v1‬ו‪ {v1 , . . . , vn } :‬בסיס נקבל כי‪:‬‬
‫‪T v1 = a1,1 v1 + a2,1 v2 + . . . + an,1 vn = a1,1 v1 = λ1 v1 ⇒ a1,1 = λ1‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪0‬‬
‫באופן דומה עבור כל ‪ .vi‬לבסוף מקבלים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ... 0‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪..‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪λ2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. . . 0 λn‬‬
‫⇒=‪ :‬טריוויאלי מהמטריצה‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪λ1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪M (T, vˇ) = ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪0‬‬
‫משפט ‪2.28‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ dim V = n‬ובהינתן אופרטור ) ‪ T ∈ L (V‬בעל ערכים‬
‫ˇשבו המטריצה‬
‫עצמיים ‪ λ1 , . . . , λn‬שונים זה מזה‪ .‬אזי קיים בסיס } ‪v = {v1 , . . . , vn‬‬
‫)ˇ‪ M (T, v‬היא אלכסונית‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬קיימים וקטורים ‪ v1 , . . . , vn‬שהם וקטורים עצמיים עבור ‪ .T‬ומתקיים‬
‫‪λ1 v1‬‬
‫=‬
‫‪T v1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪λn vn‬‬
‫=‬
‫‪T vn‬‬
‫אבל ‪ λ1 , . . . , λn‬שונים זה מזה לכן לפי משפט ‪ {v1 , . . . , vn } 2.9‬קבוצה בת"ל בגודל ‪n‬‬
‫ולכן בסיס‪ .‬ולכן לפי טענה ‪ 2.27‬המטריצה היא אלכסונית‪.‬‬
‫דוגמה ‪V = C4 2.29‬‬
‫) ‪T (z1 , z2 , z3 , z4 ) = (z1 , z2 , z4 , 5z4‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫)‪(1, 0, 0, 0‬‬
‫)‪(0, 1, 0, 0‬‬
‫= )‪T (1, 0, 0, 0‬‬
‫= )‪T (0, 1, 0, 0‬‬
‫)‪(0, 0, 1, 0‬‬
‫)‪5 (0, 0, 0, 1‬‬
‫= )‪T (0, 0, 1, 0‬‬
‫= )‪T (0, 0, 0, 1‬‬
‫ולכן המטריצה ) ‪ M (T‬היא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪M (T ) = ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ 2.5‬סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫דוגמה ‪ T (ω, z) = (z, 0) , V = C2 , F = C 2.30‬נחשב ערכים עצמיים של ‪T‬‬
‫‪T (w, z) = λ (w, z) = (z, 0) ⇒ λw = z, λz = 0‬‬
‫כאשר ‪ ω = 0‬אז ‪ .z = 0‬כאשר ‪ ω 6= 0‬אז‪:‬‬
‫‪λ2 w = 0 ⇒ λ2 = 0 ⇒ λ = 0‬‬
‫ערך עצמי‪ .‬כל וקטור )‪ w 6= 0, (w, 0‬הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.0‬‬
‫מכיוום ש ‪ dim V = n‬הבסיס שבנוי מוקטורים עצמיים של ‪ T‬אינו קיים‪.‬‬
‫הבסיס שבו מטריצה ) ‪M (T‬היא אלכסונית אינו קיים אם הוא היה קיים הוא היה בנוי‬
‫מוקטורים עצמיים של ‪ T‬וזה אינו אפשרי כיוון שהם תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪2.5‬‬
‫סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‬
‫‪ V = U1 + . . . + Um .1‬כאשר‬
‫הגדרה ‪ 2.31‬סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‪:‬‬
‫‪ U1 , . . . , Um‬תת מרחבים של ‪ ⇐⇒ V‬כל וקטור ‪ v ∈ V‬ניתן להצגה ע"י‪v = :‬‬
‫‪ u1 + . . . + um‬כאשר ‪ ui ∈ Ui‬לכל ‪) .1 ≤ i ≤ m‬סכום(‬
‫‪ V = U1 ⊕ . . .⊕ Um .2‬כאשר ‪ U1 , . . . , Um‬תת מרחבים של ‪ ⇐⇒ V‬כל וקטור ‪v ∈ V‬‬
‫ניתן להצגה באופן יחיד ע"י‪ v = u1 + . . . + um :‬כאשר ‪ ui ∈ Ui‬לכל ‪1 ≤ i ≤ m‬‬
‫)סכום ישר(‬
‫נשים לב כי ההבדל בין סכום לסכום ישר הוא בהצגה יחידה‪.‬‬
‫דוגמה ‪2.32‬‬
‫‪V = C3 .1‬‬
‫}‪{(x, 0, 0) |x ∈ C‬‬
‫}‪{(0, y, 0) |y ∈ C‬‬
‫}‪{(0, 0, z) |z ∈ C‬‬
‫=‬
‫‪W1‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪W2‬‬
‫‪W3‬‬
‫‪V = W1 ⊕ W2 ⊕ W3‬‬
‫‪V = C3 .2‬‬
‫}‪= {(x, 0, 0) |x ∈ C‬‬
‫}‪= {(x, y, 0) |x, y ∈ C‬‬
‫}‪= {(0, 0, z) |z ∈ C‬‬
‫‪W1‬‬
‫‪W2‬‬
‫‪W3‬‬
‫היצוג הנ"ל אינו יחיד‪ ,‬לדוגמה‬
‫)‪(0, 0, 0) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0‬‬
‫} ‪| {z } | {z } | {z } | {z‬‬
‫‪∈W3‬‬
‫‪∈W2‬‬
‫‪∈W1‬‬
‫‪∈V‬‬
‫אבל גם ניתן להצגה ע"י‪:‬‬
‫)‪(0, 0, 0) = (1, 0, 0) + (−1, 0, 0) + (0, 0, 0‬‬
‫} ‪| {z } | {z } | {z } | {z‬‬
‫‪∈W3‬‬
‫‪∈W2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪∈W1‬‬
‫‪∈V‬‬
‫‪ 2.5‬סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫‪V‬‬
‫‪6= W1 ⊕ W2 ⊕ W3‬‬
‫‪V‬‬
‫‪= W1 + W2 + W3‬‬
‫‪V = C5 [z] .3‬‬
‫אזי במקרה זה‪:‬‬
‫‪ 5‬‬
‫‬
‫‪a5 z + a3 z 3 + a1 z|a5 , a3 , a1 ∈ C‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‬
‫‪a4 z + a2 z 2 + a0 |a4 , a2 , a0 ∈ C‬‬
‫=‬
‫‪W1‬‬
‫=‬
‫‪W2‬‬
‫‪V = W1 ⊕ W2‬‬
‫טענה ‪2.33‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ U1 , . . . , Um ,dim V = n‬תתי מרחבים של ‪ V‬כך ש‪:‬‬
‫‪V = U1 ⊕ . . . ⊕ Um‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪u 1 , . . . , u l1‬‬
‫בסיס של ‪− U1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בסיס של ‪− Um‬‬
‫‪o‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫אזי‪:‬‬
‫‪u 1 , . . . , u l1 , . . . , u 1 , . . . , u lm‬‬
‫‪.dim U1 + . . . + dim Um‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫‪u 1 , . . . , u lm‬‬
‫‪n‬‬
‫בסיס של ‪ .V‬ולכן גם מתקיים‪dim V = :‬‬
‫‪ o‬להציגו באופן‪n‬יחיד ע"י‪ v = u1 + u2 + . . . + um :‬כאשר ‪ui ∈ Ui‬‬
‫הוכחה‪ v ∈ V :‬ניתן‬
‫)‪(i‬‬
‫)‪(i‬‬
‫לכל ‪.1 ≤ i ≤ m‬‬
‫‪ u1 , . . . , uli‬בסיס ל ‪ ,Ui‬ולכן ‪ ui‬ניתן להצגה באופן יחיד כצירוף‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(i‬‬
‫)‪(i‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫לינארי של‬
‫‪ . u1 , . . . , uli‬ולכן‬
‫‪ u1 , . . . , ul1 , . . . , u1 , . . . , ulm‬פורש את ‪.V‬‬
‫מתבוננים ב‪:‬‬
‫)‪(m) (m‬‬
‫‪ui‬‬
‫‪ci‬‬
‫‪lm‬‬
‫‪X‬‬
‫‪+ ...+‬‬
‫)‪(1) (1‬‬
‫‪ci u i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫‪um ∈Um‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪0‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫‪u1 ∈U1‬‬
‫|‬
‫ומראים שראשית כל ‪ ui‬חייב להיות אפס מיחידות הסכום הישר‪ ,‬ואח"כ כי כל‬
‫להיות אפס כיוון שזהו בסיס‪.‬‬
‫)‪(k‬‬
‫‪ ci‬חייב‬
‫טענה ‪2.34‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ U1 , . . . , Um .dim V = n‬תת מרחבים של ‪ V‬אזי = ‪V‬‬
‫‪ U1 ⊕ . . . ⊕ Um‬אם"ם ‪ V = U1 + . . . + Um‬וגם ‪ 0 = u1 + . . . + um‬מתקיים רק‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∈Um‬‬
‫אם‪u1 = 0, . . . , um = 0 :‬‬
‫‪17‬‬
‫‪∈U1‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‬
‫הוכחה‪ :⇐= :‬באופן ישיר מיחידות ההצגה של סכום ישר‪.‬‬
‫⇒=‪ :‬מתבוננים בוקטור ‪ v ∈ V‬מניחים כי יש לו שני הצגות שונות‪:‬‬
‫‪u1 + . . . + um‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∈Um‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫‪∈U1‬‬
‫‪u˜1 + . . . + u˜m‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∈Um‬‬
‫מחסרים אותן זו מזו ומקבילם‪:‬‬
‫=‬
‫‪v‬‬
‫‪∈U1‬‬
‫) ‪0 = (u1 − u˜1 ) + . . . + (um − u˜m‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈U1‬‬
‫‪∈Um‬‬
‫אבל לפי התנאי הנוסף נקבל‪:‬‬
‫‪0 ⇒ u1 = u˜1‬‬
‫=‬
‫‪u1 − u˜1‬‬
‫=‬
‫‪um − u˜m‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 ⇒ um = u˜m‬‬
‫ולכן סתירה לכך שהן שונות‪.‬‬
‫משפט ‪2.35‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪{λ1 , . . . , λm } .T ∈ L (V ) .dim V = n‬הם ערכים‬
‫עצמיים שונים של ‪.T‬‬
‫אזי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪ .1‬קיים בסיס } ‪{v1 , . . . , vn‬הם וקטורים עצמיים של ‪.T‬‬
‫‪ V = U1 ⊕ . . . ⊕ Un .2‬כאשר ‪ U1 , . . . , Un‬הם תת מרחבים חד מימדים‬
‫אינווריאנטים )ביחס ל ‪(T‬‬
‫‪V = ker (T − λ1 I) ⊕ . . . ⊕ ker (T − λm I) .3‬‬
‫‪dim V = dim ker (T − λ1 I) + . . . + dim ker (T − λm I) .4‬‬
‫הוכחה‪:2 ⇐= 1 :‬‬
‫מגדירים‬
‫}‪= {c1 v1 |c1 ∈ F‬‬
‫‪U1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫}‪= {cn vn |cn ∈ F‬‬
‫‪Un‬‬
‫בהינתן ‪ v ∈ V‬אזי ‪ v‬ניתן להצגה ע"י‪:‬‬
‫‪v = α1 v1 + . . . + αn vn‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈U1‬‬
‫‪∈Un‬‬
‫כלומר זהו סכום‪ ,‬נרצה להראות כי זהו סכום ישר‪:‬‬
‫‪0 = u˜1 + . . . + u˜n‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪∈Un‬‬
‫‪∈U1‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ 2.5‬סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫לפי הגדרה‪:‬‬
‫‪0 = c˜1 v1 + . . . + c˜n vn‬‬
‫אבל מכיוון ש } ‪ {v1 , . . . , vn‬בסיס אזי ‪ c˜1 = 0, . . . , c˜n = 0‬ולכן ‪.u˜1 = 0, . . . , u˜n = 0‬‬
‫ולפי משפט ‪ 2.34‬מקבלים את הנדרש‪.‬‬
‫‪:1 ⇐= 2‬‬
‫נבחר‬
‫‪v1 ∈ U1‬‬
‫‪v1 6= 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪vn 6= 0‬‬
‫‪vn ∈ Un‬‬
‫‪ v1 , . . . , vn‬הם וקטורים עצמיים של ‪ U1 ) .T‬תת מרחב ‪T‬־ אינווריאנטי חד ממדי ולכן‬
‫‪ ,V = U1 ⊕ . . . ⊕ Un . (T v1 = γv1 ⇐ T v1 ∈ U1 ⇐ v1 ∈ U1‬ולכן‬
‫בסיס של ‪U1‬‬
‫‪{v1 } −‬‬
‫בסיס של ‪Un‬‬
‫‪{vn } −‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫נקבל כי } ‪ {v1 . . . , vn‬בסיס של ‪.V‬‬
‫ולכן לפי טענה‬
‫‪:3 ⇐= 1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪v1 , . . . , vl1‬־ וקטורים עצמיים בת"ל עם אותו ערך עצמי ‪.λ1‬‬
‫‪2.33‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫‪ ,v1 , . . . , vlm‬וקטורים עצמיים בת"ל עם‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(1‬‬
‫ולכן‬
‫‪v1 , . . . , vlm , . . . , v1 , . . . , vl1‬‬
‫)‪(m) (m‬‬
‫‪vi‬‬
‫‪ci‬‬
‫‪lm‬‬
‫‪X‬‬
‫אותו ערך עצמי ‪.λm‬‬
‫בסיס של ‪.V‬‬
‫)‪(1) (1‬‬
‫‪ci vi‬‬
‫‪+ ...+‬‬
‫}‬
‫|‬
‫}‬
‫)‪um ∈ker(T −λm I‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪{z‬‬
‫|‬
‫)‪u1 ∈ker(T −λ1 I‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ci (T − λ1 I) vi = 0‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪i=1‬‬
‫‪0‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫=‪v‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪{z‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫)‪(1) (1‬‬
‫‪ci vi‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫)‪(T − λ1 I‬‬
‫)‪V = ker (T − λ1 I) + . . . + ker (T − λm I‬‬
‫בוחנים את‪:‬‬
‫‪u˜m‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪+ ... +‬‬
‫)‪∈ker(T −λm I‬‬
‫‪u˜1‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫=‪0‬‬
‫)‪∈ker(T −λ1 I‬‬
‫‪ u˜1 , . . . , u˜m‬הם וקטורים עצמיים עם ערכים עצמיים שונים‪ ,‬לכן הם בת"ל ולכן בהכרח‬
‫השיוויון מתקיים רק עם הם אפסים ולכן זהו סכום ישר כנדרש‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪ 2‬ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫סכומים וסכומים ישרים של תתי מרחבים‬
‫‪ :4 ⇐= 3‬מעבר טריוויאלי מטענה ‪.2.33‬‬
‫‪ :1 ⇐= 4‬בוחרים‬
‫בסיס של )‪ker (T − λ1 I‬‬
‫‪o‬‬
‫‪−‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫בסיס של )‪ker (T − λm I‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪v1 , . . . , vl1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪o .‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫‪−‬‬
‫‪v1 , . . . , vlm‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫מספיק להראות שהקבוצה‬
‫‪ v1 , . . . , vl1 , . . . , v1 , . . . , vlm‬בת"ל )כיוון שהגודל שלה‬
‫נתון לנו ע"י התנאי(‪.‬‬
‫‪v ∈ ker (T − λI) , (T − λI) = 0 ⇒ T v = λv‬‬
‫)‪(m) (m‬‬
‫‪vi‬‬
‫‪ci‬‬
‫‪lm‬‬
‫‪X‬‬
‫)‪(1) (i‬‬
‫‪ci vi . . . +‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫‪um‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪u1‬‬
‫‪0 = u1 + . . . + um‬‬
‫נרצה להראות שמתקיים‪:‬‬
‫‪u1 = . . . = um = 0‬‬
‫נניח בשלילה כי השיוויון הנ"ל אינו נכון‪ .‬אזי קיימים ‪ s1 . . . , sk‬כך ש < ‪1 ≤ s1 < . . .‬‬
‫‪ sk ≤ m‬כך שמתקיים ‪.us1 6= 0, . . . , usk 6= 0‬‬
‫הקבוצה } ‪ {us1 , . . . , usk‬היא בלתי תלויה לינארית כיוון שהוקטורים שלה הם וקטורים‬
‫עצמיים של ‪ T‬עם ערכים עצמיים שונים‪ .‬לכן התנאי‪:‬‬
‫‪us1 + . . . + usk = 0‬‬
‫אינו מתקיים‪ .‬ולכן כל הוקטורים ‪ u1 , . . . , um‬הם אפס‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪⇒ ci‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪=0‬‬
‫)‪(m‬‬
‫‪⇒ ci‬‬
‫)‪(1) (1‬‬
‫‪ci vi‬‬
‫‪l1‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫}‬
‫‪{z‬‬
‫‪basis‬‬
‫)‪(m) (m‬‬
‫‪vi‬‬
‫‪ci‬‬
‫|‬
‫‪lm‬‬
‫‪X‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪o‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(m‬‬
‫)‪(1‬‬
‫)‪(1‬‬
‫קיבלנו כי‬
‫‪v1 , . . . , vl1 , . . . , v1 , . . . , vlm‬‬
‫בת"ל ולכן בסיס כנדרש‪.‬‬
‫משפט ‪2.36‬‬
‫בהנתן ‪ V‬מרחב וקטורי כך ש ‪ .dim V = n‬יהי ‪ U ⊂ V‬תת מרחב של ‪ .V‬אזי קיים תת‬
‫‪20‬‬
‫‪2.6‬‬
‫‪ 3‬מרחבי מכפלה פנימית‬
‫תת מרחבים אינווריאנטים במרחבי וקטורים ממשיים‬
‫מרחב ‪ W‬של ‪ V‬כך שמתקיים ‪.V = W ⊕ U‬‬
‫הוכחה‪{u1 , . . . , um } :‬־ בסיס ל ‪ .U‬ניתן להשלים בסיס זה לבסיס } ‪{u1 , . . . , um , w1 , . . . , wk‬של‬
‫‪ .V‬נגדיר‪.W = Span {w1 , . . . , wk } :‬‬
‫‪dj wj ⇒ V = U + W‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ci u i +‬‬
‫‪j=1‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈W‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‪v∈V ⇒v‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪∈U‬‬
‫וכיוון ש } ‪ {u1 , . . . , um , w1 , . . . , wk‬בסיס אזי ההצגה הנ"ל היא יחידה ולכן‪.V = U ⊕ W :‬‬
‫‪2.6‬‬
‫תת מרחבים אינווריאנטים במרחבי וקטורים ממשיים‬
‫משפט ‪2.37‬‬
‫בהנתן ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ R‬כך ש ‪ dim V = n‬ו ) ‪ .T ∈ L (V‬אז קיים תת מרחב‬
‫אינווריאנטי של ‪V‬ממימד ‪ 1‬או ממימד ‪.2‬‬
‫הוכחה‪ :‬ירד במיקוד‬
‫הגדרה ‪ 2.38‬אופרטור הטלה )‪v = u + w ,V = U ⊕ W :(Projetion Operator‬‬
‫אופרטור הטלה הוא אופרטור המקיים‪ PU v = u :‬כמו כן מתקיימים‪:‬‬
‫‪PU + PW = I .1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪PU2 = PU , PW‬‬
‫‪= PW .2‬‬
‫משפט ‪2.39‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי מעל ‪ R‬כך ש‪ .T ∈ L (V ) ,dim V = 2n + 1 :‬קיים ערך עצמי‬
‫עבור ‪.T‬‬
‫הוכחה‪ :‬ירד במיקוד‬
‫‪3‬‬
‫מרחבי מכפלה פנימית‬
‫הגדרה ‪ 3.1‬מכפלה פנימית )‪ V :(inner produt‬מרחב וקטורי מעל ‪ R‬או ‪ C‬נניח‬
‫שמוגדרת פונקציה ‪ h., .iV‬שמעבירה כל זוג סדור )‪ (u, v‬כאשר ‪ u, v ∈ V‬לסקאלר‬
‫‪h.,.i‬‬
‫‪(u, v) −→V hu, viV ∈ F‬‬
‫מתקיימים התנאים הבאים‪:‬‬
‫• ‪hv, viV ≥ 0, ∀v ∈ V‬‬
‫• ‪hv, viV = 0 ⇐⇒ v = 0V‬‬
‫• ‪∀v, u, w ∈ V‬‬
‫‪hv, u + wiV = hv, uiV + hv, wiV ,‬‬
‫• ‪ hαu, viV = α hu, viV‬עבור כל ‪ α ∈ F‬ועבור כל ‪v, u ∈ V‬‬
‫• ‪) hu, viV = hv, uiV‬הצמוד הרוכב ־‬
‫‪onjugation‬‬
‫‪21‬‬
‫‪(omplex‬‬
‫ מרחבי מכפלה פנימית‬3
‫ נורמה‬3.1
‫נורמה‬
3.1
:v ∈ V ‫ לכל‬.h., .iV ‫ מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‬V ‫ יהי‬:‫ נורמה של וקטור‬p
3.2 ‫הגדרה‬
kvk = hv, viV
3.3 ‫דוגמה‬
V = R2 .1
v
=
v1 e1 + v2 e2
u =
u1 e1 + u2 e2
.2
hv, uiV = v1 u1 + v2 u2
hv, viV = v12 + v22
q
√
he1 , e1 iV = 1 = 1
ke1 k
=
ke2 k
= 1
‫ שיוויונות ואי שיוויונות‬3.1.1
‫ משפט פיתגורס‬3.4 ‫משפט‬
hu, viV = :‫ כך ש‬u, v ∈ V ‫ יהיו‬.h., .iV ‫ מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‬V ‫בהינתן‬
.kv + uk2 = kvk2 + kuk2 :‫ אזי‬0
:‫הוכחה‬
kv + uk2 = hv + u, v + uiV = hv, v + uiV + hu, v + uiV =
hv + u, viV + hv + u, uiV = hv, viV + hu, viV + hv, uiV + hu, uiV =
| {z } | {z }
0
0
2
2
2
2
kvk + kuk = kvk + kuk
(z1 , z2 , . . . , zn ) , (w1 , w2 , . . . , wn ) V = Cn 3.5 ‫דוגמה‬
h(z1 , z2 , . . . , zn ) , (w1 , w2 , . . . , wn )iC = z1 w1 + . . . + zn wn
(The Cauhy-Shwarz Inequality) ‫ אי־שיוויון קושי־שוורץ‬3.6 ‫משפט‬
22
‫ מרחבי מכפלה פנימית‬3
‫ כאשר‬kvk =
p
‫ נורמה‬3.1
p
hu, ui :‫ מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‬V ‫בהינתן‬
|hv, ui| ≤ kvk · kuk :‫ אזי‬.v, u ∈ V
hv, vi, kuk =
‫ על הישר‬u ‫ נטיל את‬,(v ‫ אל הישר הנפרש ע"י‬u‫ הוא האנך היורד מ‬w) hw, vi = 0 :‫הוכחה‬
.av ‫ ונקבל וקטור‬v ‫הנפרש ע"י‬
u = av + (u − av)
| {z }
w
hu − av, vi = hw, vi = 0
hu, vi = a hv, vi = a kvk2
.v = 0 ‫נשים לב שהמשפט מתקיים כאשר‬
:‫ ולכן‬kvk 6= 0 :‫ אזי‬v 6= 0 ‫נניח ש‬
a=
hu, vi
kvk
w =u−
2
hu, vi
kvk2
v
:‫ולכן‬hv, wi = 0 ‫אבל‬
u = av + w
kuk2 = kavk2 + kwk2 ≥ kavk2 = hav, avi = a hv, avi =
2
2
2
2
kuk ≥ |a| kvk =
|hu, vi|
kvk
4
2
2
2
2
ahav, vi = aahv, vi = a2 kvk
2
kvk ⇒ kuk kvk ≥ |hu, vi| ⇒ |hu, vi| ≤ kuk kvk
(The triangle inequality) ‫ אי־שיוויון המשולש ־‬3.7 ‫משפט‬
kv + wk ≤ ‫ אזי‬.v, w ∈ V ‫ מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ובהינתן‬V ‫בהינתן‬
kvk + kwk
:‫הוכחה‬
2
kv + wk = hv + w, v + wi = hv, vi + hw, vi + hv, wi + hw, wi =
2
2
2
2
kvk + kwk + hw, vi + hw, vi = kvk + kwk + 2 Re (hw, vi)
Re (hw, vi) ≤ |hw, vi|
2
2
2
kv + wk ≤ kvk + kwk + 2 |hw, vi|
:‫ונקבל‬
2
2
Cauhy-Shwarz‫ב‬
2
≤ kvk + kwk + 2 kvk · kwk = (kvk + kwk)
23
‫נשתמש‬
‫‪3.2‬‬
‫‪ 3‬מרחבי מכפלה פנימית‬
‫בסיס אורתונורמלי‬
‫‪ 3.2‬בסיס אורתונורמלי‬
‫‪V‬‬
‫הגדרה ‪ 3.8‬קבוצה אורתונורמלית‪ :‬בהינתן‬
‫‪.{e1 , . . . , em } ⊂ V‬‬
‫‪i=j‬‬
‫‪i 6= j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫מרחב‬
‫וקטורי‬
‫עם‬
‫מכפלה‬
‫פנימית‪.‬‬
‫= ‪hei , ej i‬‬
‫אזי הקבוצה } ‪{e1 , . . . , em‬נקראת אורתונורמלית‪.‬‬
‫הערה ‪3.9‬‬
‫‪v = c1 e 1 + . . . + cm e m‬‬
‫} ‪{e1 , . . . , em‬קבוצה אורתונורמלית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪kvk = |c1 | + . . . + |cm‬‬
‫?‬
‫‪kvk2 = hv, vi = hc1 e1 + . . . + cm em , c1 e1 + . . . + cm em i = |c1 |2 + . . . + |cm |2‬‬
‫טענה ‪3.10‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית‪ .‬תהי } ‪ {e1 , . . . , em‬קבוצה אורתונורמלית‪ .‬אזי‬
‫} ‪ {e1 , . . . , em‬בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪0 = c1 e 1 + . . . + cm e m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫| ‪0 = hc1 e1 + . . . + cm em , c1 e1 + . . . + cm em i = |c1 | + . . . + |cm‬‬
‫ולכן ‪ c1 = 0, . . . , cm = 0‬ולכן הקבוצה בת"ל‪.‬‬
‫משפט ‪ 3.11‬הליך גרם־שמידט )‪(The Gram-Shmidt Proedure‬‬
‫בהינתן ‪ V‬מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ובהינתן } ‪{v1 , . . . , vm‬קבוצה בת"ל ב ‪.V‬‬
‫אזי ניתן לבנות קבוצה אורתונורמלית } ‪ {e1 , . . . , em‬מהקבוצה } ‪ {v1 , . . . , vm‬כך ש‪:‬‬
‫} ‪∀j = 1, . . . , m Span {e1 , . . . , ej } = Span {v1 , . . . , vj‬‬
‫הוכחה‪ :‬מגדירים‪:‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪, he1 , e1 i = 1‬‬
‫‪kv1 k‬‬
‫= ‪e1‬‬
‫‪v2 − hv2 , e1 i e1‬‬
‫‪kv2 − hv2 , e1 i e1 k‬‬
‫= ‪e2‬‬
‫‪24‬‬
‫ מרחבי מכפלה פנימית‬3
‫בסיס אורתונורמלי‬
3.2
v2 ∈
/ Span {v1 } ⇒ v2 ∈
/ Span {e1 } ⇒ v2 −hv2 , e1 i e1 6= 0 ⇒ kv2 − hv2 , e1 i e1 k =
6 0
he2 , e2 i
= 1
1
· hv2 − hv2 , e1 i e1 , e1 i =
kv2 − hv2 , e1 i e1 k


1
hv2 , e1 i − hv2 , e1 i he1 , e1 i = 0
| {z }
kv2 − hv2 , e1 i e1 k
1
:‫{ נשים לב כי‬e1 , e2 } ‫לכן בנתיים יש לנו את הקבוצה‬
v1
v2
∈ Span {e1 , e2 }
∈ Span {e1 , e2 }
Span {v1 , v2 } ⊆ Span {e1 , e2 }
:‫וכל יתר האיברים באופן הבא‬
ej =
vj − hvj , e1 i e1 − . . . − hvj , ej−1 i ej−1
kvj − hvj , e1 i e1 − . . . − hvj , ej−1 i ej−1 k
25