1. No category

‫מד"ח ‪ :1‬סיכום ודף נוסחאות‬
‫גרסה ‪ ,1.5‬פברואר ‪2012‬‬
‫ברק שושני‬
‫‪[email protected] | http://baraksh.co.il/‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫מערכות מסדר ראשון‬
‫‪ 1.1‬סיווג‬
‫משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר ראשון היא משוואה שקושרת בין‬
‫הפונקציה ‪ u‬ונגזרותיה מסדר ראשון לפי כל אחד מהמשתנים‪.‬‬
‫משוואה כמעט־לינארית )‪ (quasilinear‬היא משוואה בה רק הנגזרות‬
‫מופיעות בצורה לינארית‪ ,‬כלומר משוואה מהצורה‪:‬‬
‫)‪A (x, y, u) ux + B (x, y, u) uy = C (x, y, u‬‬
‫משוואה לינארית )מקרה פרטי של כמעט־לינארית( היא משוואה‬
‫מהצורה‪:‬‬
‫)‪A (x, y) ux + B (x, y) uy = C (x, y) u + D (x, y‬‬
‫‪ 1.2‬שיטת הקווים האופייניים‬
‫נתונה משוואה לינארית‪.‬‬
‫המשוואות האופייניות‪:‬‬
‫כדי לפתור אותה‪ ,‬נרשום את מערכת‬
‫‪dx‬‬
‫))‪(t) = A (x (t) , y (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dy‬‬
‫))‪(t) = B (x (t) , y (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪du‬‬
‫))‪(t) = C (x (t) , y (t)) u (t) + D (x (t) , y (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫ואת תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪x (0, s) = x0 (s) ,‬‬
‫‪y (0, s) = y0 (s) ,‬‬
‫)‪u (0, s) = u0 (s‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬אם נתון תנאי ההתחלה )‪ u (x, 0) = f (x‬אז נרשום את תנאי‬
‫ההתחלה בצורה‪:‬‬
‫‪x (0) = s,‬‬
‫‪y (0) = 0,‬‬
‫)‪u (0) = f (s‬‬
‫העקומה ההתחלתית ‪ Γ‬מוגדרת כך‪:‬‬
‫))‪Γ (s) = (x0 (s) , y0 (s) , u0 (s‬‬
‫‪ 2.1‬הצורה הקנונית של משוואה היפרבולית‬
‫הצורה הקנונית של משוואה היפרבולית )‪ (b2 − ac > 0‬היא‪:‬‬
‫)‪wξη + `1 [w] = G (ξ, η‬‬
‫כאשר ‪ `1‬הוא אופרטור לינארי מסדר ראשון ו־‪ G‬היא פונקציה כלשהי‪.‬‬
‫= ‪ a‬בכל נקודה‪ .‬אנו רוצים למצוא‬
‫נניח בלי הגבלת הכלליות כי ‪6 0‬‬
‫פונקציות )‪ ξ (x, y‬ו־)‪ η (x, y‬כך ש‪:‬‬
‫‪A (ξ, η) = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 = 0‬‬
‫‪aηx2‬‬
‫‪cηy2‬‬
‫= )‪C (ξ, η‬‬
‫‪+ 2bηx ηy +‬‬
‫‪=0‬‬
‫)‪ A, B, C, D, E, F, G‬הם המקדמים במשוואה לאחר החלפת‬
‫המשתנים(‪ .‬משוואות אלה שקולות למשוואות‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪aξx + b + b2 − ac ξy = 0‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪aηx + b − b2 − ac ηy = 0‬‬
‫‪ ξ‬ו־‪ η‬הן קבועות על הקווים האופייניים )בהתאמה(‪:‬‬
‫√‬
‫‪b ± b2 − ac‬‬
‫‪dy‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫פותרים את המשוואה )אגף ימין הוא פונקציה של ‪ (x, y‬ומקבלים את‬
‫‪ ξ‬ו־‪ η‬בתור קבועי האינטגרציה של הפתרון‪.‬‬
‫‪ 2.2‬הצורה הקנונית של משוואה פרבולית‬
‫הצורה הקנונית של משוואה פרבולית )‪ (b2 − ac = 0‬היא‪:‬‬
‫)‪wξξ + `1 [w] = G (ξ, η‬‬
‫= ‪ a‬בכל נקודה‪ .‬אנו רוצים למצוא‬
‫נניח בלי הגבלת הכלליות כי ‪6 0‬‬
‫פונקציות )‪ ξ (x, y‬ו־)‪ η (x, y‬כך ש־‪ .B√(ξ, η) = C (ξ, η) = 0‬למעשה‬
‫מספיק לדרוש ‪ ,C = 0‬כי אז בהכרח יתקיים גם ‪ .B = AC = 0‬אז‬
‫עלינו לפתור את המשוואה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C (ξ, η) = aηx + 2bηx ηy + cηy = (aηx + bηy ) = 0‬‬
‫‪a‬‬
‫כלומר ‪ .aηx + bηy = 0‬מכאן‪ η ,‬הוא קבוע על הקווים האופייניים‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪dy‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫את ‪ ξ‬ניתן לבחור באופן שרירותי‪ ,‬כל זמן שהיעקוביאן של החלפת‬
‫המשתנים לא יתאפס באף נקודה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ ξx ξy‬‬
‫‪ 6= 0‬‬
‫‬
‫= ‪J‬‬
‫ ‪ηx ηy‬‬
‫נתונה הבעיה‪:‬‬
‫)בדר"כ בוחרים ‪ ξ = x‬או ‪.(ξ = y‬‬
‫כעת נפתור את מערכת המשוואות ונמצא את ‪ x, y, u‬במונחים של ‪.s, t‬‬
‫לכל ‪ s‬קבוע‪ ,‬הפתרון מייצג קו אופייני‪ ,‬אשר היטלו הוא ))‪ .(x (t) , y (t‬הצורה הקנונית של משוואה אליפטית )‪ (b2 − ac < 0‬היא‪:‬‬
‫)‪wξξ + wηη + `1 [w] = G (ξ, η‬‬
‫לבסוף נחזור למשתנים ‪ ,x, y‬ונמצא את ‪ u‬אשר פותר את המשוואה‪.‬‬
‫)הערה‪ :‬השיטה עובדת גם עבור משוואה כמעט־לינארית‪(.‬‬
‫נניח בלי הגבלת הכלליות כי ‪ a 6= 0‬בכל נקודה‪ .‬אנו רוצים למצוא‬
‫פונקציות )‪ ξ (x, y‬ו־)‪ η (x, y‬כך שיתקיים‪:‬‬
‫‪ 1.3‬קיום ויחידות של הפתרון‬
‫‪A (ξ, η) = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 = C (ξ, η) = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2‬‬
‫נתבונן במשוואה כמעט־לינארית‪:‬‬
‫‪ 1.4‬תנאי רנקין־הוגוניו‬
‫נתון חוק השימור‪:‬‬
‫∂‬
‫‪uy +‬‬
‫‪F (u) = 0‬‬
‫‪∂x‬‬
‫עם תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪x<0‬‬
‫‪x>0‬‬
‫‪B (ξ, η) = aξx ηx + b (ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy = 0‬‬
‫קיבלנו מערכת של משוואות מצומדות‪ .‬נרשום את המשוואה הראשונה‬
‫כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a ξx2 − ηx2 + 2b (ξx ξy − ηx ηy ) + x ξy2 − ηy2 = 0‬‬
‫ונכפיל את המשוואה השנייה ב־‪ .i‬אז המשוואות שקולות למשוואה‬
‫הדיפרנציאלית המרוכבת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪aφx + 2bφx φy + cφy = 0‬‬
‫כאשר ‪ .φ ≡ ξ + i η‬זוהי משוואה זהה למשוואה שקיבלנו במקרה‬
‫ההיפרבולי‪ ,‬אך הפעם אין קווים אופייניים כי הפתרונות לא ממשיים‪.‬‬
‫המשוואה שקולה ל‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪aφx + b ± i ac − b2 φy = 0‬‬
‫הפתרונות ‪ φ‬ו־‪ ψ‬הם קבועים על "הקווים האופייניים המרוכבים"‪:‬‬
‫√‬
‫‪dy‬‬
‫‪b ± i ac − b2‬‬
‫=‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫נחזור למשתנים הממשיים באמצעות ‪ ξ = Re φ‬ו־‪ ,η = Im φ‬ונקבל‬
‫משוואה בצורה הקנונית‪.‬‬
‫נמצא את המסלול של גל־ההלם )‪ x = γ (y‬באמצעות אינטגרציה של‬
‫המשוואה ביחס למשתנה ‪ x‬לאורך הקטע ] ‪ ,[x1 , x2‬כאשר ‪x1 < γ‬‬
‫ו־‪ .x2 > γ‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫∂‬
‫)) ‪(x2 − γ (y)) u+ + (γ (y) − x1 ) u− = F (u (x1 ))−F (u (x2‬‬
‫‪∂y‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫) ‪F (u+ ) − F (u−‬‬
‫] ‪[F‬‬
‫= )‪γy (y‬‬
‫≡‬
‫‪u+ − u−‬‬
‫]‪[u‬‬
‫כאשר ]‪ [v‬מסמן את הקפיצה בפונקציה ‪ v‬בגל־ההלם‪ ,‬שם ‪ v‬אינה‬
‫בהכרח רציפה‪ .‬תנאי זה נקרא תנאי רנקין־הוגוניו )‪Rankine-‬‬
‫‪.(Hugoniot‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫סיווג מערכות מסדר שני‬
‫נתבונן במשוואה‪:‬‬
‫‪auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = g‬‬
‫כאשר המקדמים הם פונקציות של ‪ .x, y‬המשוואה היא היפרבולית‬
‫בנקודה כלשהי אם ‪ b2 − ac > 0‬בנקודה‪ ,‬פרבולית אם ‪b2 − ac = 0‬‬
‫ואליפטית אם ‪ .b2 − ac < 0‬סיווגים אלה הם אינווריאנטיים להחלפת‬
‫משתנים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪utt − c uxx = F (x, t‬‬
‫‪u (x, 0) = f (x) ,‬‬
‫)‪ut (x, 0) = g (x‬‬
‫אם הפונקציות ‪f, g‬‬
‫בתחום ∞ < ‪ −∞ < x‬ו־‪.t > 0‬‬
‫זוגיות‪/‬אי־זוגיות‪/‬מחזוריות‪ ,‬ולכל ‪ t ≥ 0‬הפונקציה )‪ F (·, t‬זוגית‪/‬אי־‬
‫זוגית‪/‬מחזורית אז הפתרון הוא פונקציה זוגית‪/‬אי־זוגית‪/‬מחזורית‬
‫בהתאמה של ‪ .x‬לכן‪ ,‬אם נתונה בעיה עבור ‪) x > 0‬או תחום‬
‫סופי(‪ ,‬ניתן להרחיב אותה לבעיה של מיתר אינסופי באמצעות הרחבה‬
‫זוגית‪/‬אי־זוגית‪/‬מחזורית של הפונקציות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח למשל במקרה הזוגי‪ .‬יהי ‪ u‬פתרון‪ ,‬ונגדיר ≡ )‪v (x, t‬‬
‫)‪ .u (−x, t‬אז‪:‬‬
‫‪vx (x, t) = −ux (−x, t) ,‬‬
‫)‪vt (x, t) = ut (−x, t‬‬
‫‪vxx (x, t) = uxx (−x, t) ,‬‬
‫)‪vtt (x, t) = utt (−x, t‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪vtt (x, t) − c vxx (x, t) = utt (−x, t) − c uxx (−x, t‬‬
‫)‪= F (−x, t) = F (x, t‬‬
‫כלומר‪ v ,‬היא פתרון של המשוואה המקורית‪ .‬בצורה דומה‪ v ,‬גם‬
‫מקיימת את תנאי ההתחלה‪ .‬מיחידות הפתרון נובע כי = )‪v (x, t‬‬
‫)‪ ,u (x, t‬כלומר ‪ u‬זוגית ב־‪.x‬‬
‫‪ 3.4‬שימור אנרגיה‬
‫נכפיל את משוואת הגלים ב־‪ u‬ונבצע אינטגרציה‪ .‬נסמן ‪.c2 = T /ρ‬‬
‫נגדיר את האנרגיה הקינטית ‪ K‬והאנרגיה הפוטנציאלית ‪:P‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫∞‪1 +‬‬
‫‪1 +∞ 2‬‬
‫‪ρut dx,‬‬
‫= ‪P‬‬
‫‪T u2x dx‬‬
‫≡‪K‬‬
‫∞‪2 −‬‬
‫∞‪2 −‬‬
‫ובנוסף את האנרגיה הכוללת‪:‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫= ‪E ≡K +P‬‬
‫‪ρu2t + T u2x dx‬‬
‫∞‪2 −‬‬
‫אז מתקיים‪:‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫‪dK‬‬
‫=‬
‫= ‪ρut utt dx‬‬
‫‪T ut uxx dx‬‬
‫‪dt‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪T uxt ux dx‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‪+‬‬
‫ˆ‬
‫‪T uxt ux dx‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪dP‬‬
‫=‬
‫‪dt‬‬
‫ולכן ‪.dE/dt = 0‬‬
‫‪ 3.5‬יחידות הפתרון‬
‫פרק ‪3‬‬
‫(‬
‫‪u−‬‬
‫= )‪u (x, 0‬‬
‫‪u+‬‬
‫נניח כי לפתרון יש צורה של גל־הלם‪:‬‬
‫(‬
‫)‪u− x < γ (y‬‬
‫= )‪u (x, y‬‬
‫)‪u+ x > γ (y‬‬
‫עבור משוואת גלים לא־הומוגנית )‪ utt − c2 uxx = F (x, t‬עם אותם‬
‫תנאי התחלה יש להוסיף איבר נוסף לנוסחת ד'אלמבר‪:‬‬
‫) ‪ˆ t ˆ x+c(t−τ‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪U (x, t‬‬
‫‪F (ξ, τ ) dξ dτ‬‬
‫) ‪2c 0 x−c(t−τ‬‬
‫הוכחה‪ :‬גוזרים את ‪ U‬לפי כל אחד מהמשתנים ומראים כי הוא פותר‬
‫את משוואת הגלים הלא־הומוגנית עם תנאי ההתחלה = )‪U (x, 0‬‬
‫‪.Ut (x, 0) = 0‬‬
‫‪ 3.3‬מיתר חצי־אינסופי‬
‫‪ 2.3‬הצורה הקנונית של משוואה אליפטית‬
‫)‪A (x, y, u) ux + B (x, y, u) uy = C (x, y, u‬‬
‫עם תנאי התחלה‪:‬‬
‫‪x (0, s) = x0 (s) ,‬‬
‫‪y (0, s) = y0 (s) ,‬‬
‫)‪u (0, s) = u0 (s‬‬
‫נאמר שהמשוואה מקיימת את תנאי החיתוך בנקודה ‪ s‬על העקומה ‪Γ‬‬
‫אם הקו האופייני אשר יוצא מ־)‪ Γ (s‬חותך את ‪ Γ‬בכיוון לא־מקביל‪,‬‬
‫‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪ a‬‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫‪ 6= 0‬‬
‫ = )‪xt (0, s) ys (0, s) − yt (0, s) xs (0, s‬‬
‫ )‪x0 (s) y0 (s‬‬
‫אם המקדמים ‪ A, B, C‬הם פונקציות חלקות בסביבה של העקומה‬
‫ההתחלתית‪ ,‬ותנאי החיתוך מתקיים בכל נקודה ‪ s‬בסביבה של הנקודה‬
‫‪ s0‬על העקומה ההתחלתית‪ ,‬אז לבעיה קיים פתרון יחיד בסביבה של‬
‫) ‪ (0, s0‬על העקומה ההתחלתית‪ .‬אם תנאי החיתוך לא מתקיים‪ ,‬אז או‬
‫שלא קיים בכלל פתרון‪ ,‬או שיש אינסוף פתרונות‪.‬‬
‫)‪ϕ0 (x) − 1c ψ (x‬‬
‫= )‪g (x‬‬
‫‪2‬‬
‫נבצע אינטגרציה ונקבל‪:‬‬
‫‪ˆ s‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ϕ (s‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ψ (z) dz + A‬‬
‫= )‪f (s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c 0‬‬
‫‪ˆ s‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ϕ (s‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ψ (z) dz + B‬‬
‫= )‪g (s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c 0‬‬
‫ומכאן נקבל את נוסחת ד'אלמבר‪:‬‬
‫‪ˆ x+ct‬‬
‫)‪ϕ (x + ct) + ϕ (x − ct‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ψ (z) dz‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c x−ct‬‬
‫‪0‬‬
‫משוואת הגלים‬
‫‪ 3.1‬קווים אופייניים‬
‫משוואת הגלים היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂ u‬‬
‫‪∂ u‬‬
‫‪− c2 2 = 0‬‬
‫‪∂t2‬‬
‫‪∂x‬‬
‫נחליף משתנים‪:‬‬
‫‪η = x − ct‬‬
‫‪ξ ≡ x + ct,‬‬
‫‪0 = utt + c2 uxx = −4c2 uξη‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪u (x, t) = f (ξ) + g (η) = f (x + ct) + g (x − ct‬‬
‫הקווים האופייניים הם ‪.x ± ct = const‬‬
‫‪ 3.2‬נוסחת ד'אלמבר‬
‫נתונה משוואת הגלים בתחום ∞ < ‪ −∞ < x‬עם תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪u (x, 0) = ϕ (x) ,‬‬
‫)‪(x, 0) = ψ (x‬‬
‫‪∂t‬‬
‫אז‪:‬‬
‫)‪ϕ (x) = f (x) + g (x‬‬
‫))‪ψ (x) = c (f 0 (x) − g 0 (x‬‬
‫מכאן‪:‬‬
‫)‪ϕ0 (x) + 1c ψ (x‬‬
‫= )‪f 0 (x‬‬
‫‪2‬‬
‫כדי להוכיח את יחידות הפתרון של משוואת הגלים‪ ,‬נניח כי קיימים שני‬
‫פתרונות שונים ‪ ,u1 , u2‬ונגדיר ‪ .w ≡ u1 −u2‬נשתמש בשימור האנרגיה‬
‫כדי להראות שהאנרגיה שווה תמיד לאפס‪ .‬מכאן‪ ,‬האינטגרנד בתוך‬
‫אינטגרל האנרגיה שווה תמיד לאפס )כי הוא אי־שלילי( ולכן הנגזרות‬
‫של ‪ w‬מתאפסות‪ ,‬כלומר‪ w ,‬קבועה‪ .‬מתנאי ההתחלה )שיהיו הומוגניים‬
‫עבור פונקציית ההפרש( נמצא ש־‪ w‬היא אפס לכל ‪ x‬ו־‪ ,t‬לכן ‪.u1 = u2‬‬
‫‪ 3.6‬תחומי השפעה ותלות‬
‫המידע על הגל מתפשט במהירות סופית ‪ c‬לאורך הקווים האופייניים‬
‫‪ .x ± ct = const‬הערך של ‪ u‬בנקודה כלשהי ) ‪ (x0 , t0‬בזמן ובמרחב‬
‫מושפע מהערכים בתחום התלות במישור ‪) xt‬שצורתו היא משולש‬
‫מתחת ל־) ‪ ,(x0 , t0‬אשר קדקודו בנקודה זו ובסיסו מקביל לציר ‪(x‬‬
‫ומשפיע על הערכים בתחום ההשפעה )שצורתו היא משולש מעל ל־‬
‫) ‪.((x0 , t0‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫משוואות פרבוליות )משוואת החום(‬
‫‪ 4.1‬אינטגרל האנרגיה‬
‫משוואת החום היא‪:‬‬
‫‪k>0‬‬
‫‪∂w‬‬
‫‪∂2w‬‬
‫‪− k 2 = 0,‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂x‬‬
‫עם תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪w (x, 0) = ϕ (x) ,‬‬
‫‪w (0, t) = w (l, t) = 0‬‬
‫נגדיר את האנרגיה‪:‬‬
‫‪ˆ l 2‬‬
‫‪w‬‬
‫≡ )‪E (t‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪0 2‬‬
‫נכפול את משוואת החום ב־‪:w‬‬
‫‪− (kwwx )x + kwx2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪w2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫נבצע אינטגרציה‪:‬‬
‫‬
‫‪− (kwwx )x + kwx2 dx‬‬
‫= ) ‪0 = w (wt − kxx‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪w‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪ˆ l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ˆ l‬‬
‫‬
‫‪w2‬‬
‫‪dx − kwwx +k‬‬
‫‪wx2 dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪l‬‬
‫ˆ‬
‫‪2‬‬
‫=‪0‬‬
‫ˆ‬
‫‪l‬‬
‫‪0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪0‬‬
‫‪d‬‬
‫=‬
‫‪dt‬‬
‫ˆ‬
‫‪d‬‬
‫‪w‬‬
‫‪dx = −k‬‬
‫‪wx2 dx ≤ 0‬‬
‫‪dt 0 2‬‬
‫‪0‬‬
‫ומכאן‪ ,‬האנרגיה היא פונקציה לא־עולה של הזמן‪ ,‬כלומר‪:‬‬
‫)‪0 ≤ E (t) ≤ E (0‬‬
‫כדי להוכיח יחידות נראה כי ‪ ,E (0) = 0‬לכן ‪ E (t) = 0‬ומכאן‬
‫‪.w1 − w2 = 0‬‬
‫‪ 4.2‬עקרון המקסימום‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪∂u X‬‬
‫‪∂2u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪L [u] = − +‬‬
‫)‪aij (x, t‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪bi (x, t‬‬
‫‪+c (x, t) u‬‬
‫‪∂t i,j‬‬
‫‪∂xi ∂xj‬‬
‫‪∂xi‬‬
‫‪i‬‬
‫ונתבונן במשוואה ‪ .L [u] = f‬נניח כי ‪ L [u] ≥ 0‬ו־‪.M = maxD u‬‬
‫בנוסף ‪ u = M‬בנקודה פנימית ב־‪ ,D‬ואחד מהתנאים הבאים נכון‪:‬‬
‫‪ c = 0 .1‬ו־ ‪ M‬שרירותי‬
‫‪ c ≤ 0 .2‬ו־‪M ≥ 0‬‬
‫‪ M = 0 .3‬ו־‪ c‬שרירותי‬
‫אז ‪ u = M‬בכל מקום ב־‪ .D‬זוהי הגרסה החזקה של עקרון המקסימום‪.‬‬
‫אנו נוכיח את הגרסה החלשה‪ ,‬במקרה החד־ממדי‪ :‬אם ‪ L [u] ≥ 0‬ו־‬
‫‪ c = 0‬אז המקסימום יכול להתקבל בכל נקודה על השפה‪:‬‬
‫))∞ ‪(x, t) ∈ ([0, l] × {0}) ∪ ({0, l} × [0,‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ |u| < M‬ב־‪ x = 0 ,t = 0‬ו־‪ x = l‬אז ‪ u < M‬בכל מקום‪.‬‬
‫הוכחה )עבור משוואת החום(‪ :‬נתבונן במשוואה‪:‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂2u‬‬
‫‪=k 2‬‬
‫‪∂t‬‬
‫‪∂x‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v (x, t) ≡ u (x, t) + εx‬‬
‫כאשר ‪ .ε > 0‬אז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪v (x, t) < M + εl‬‬
‫עבור ‪ x = 0 ,t = 0‬ו־‪ .x = l‬בנוסף‪:‬‬
‫‬
‫‪vt − kvxx = ut − k u + εx2 xx‬‬
‫‪= ut − kuxx − 2εk‬‬
‫‪= −2εk < 0‬‬
‫בכל נקודה‪ .‬נניח כי המקסימום של ‪ v‬מתקבל בנקודה פנימית‬
‫‪ .(x0 , t0 ) ∈ D‬בנקודה כזאת ‪ vt = 0‬ו־‪ ,vxx ≤ 0‬לכן ‪,vt − kvxx ≥ 0‬‬
‫בסתירה‪ .‬לפיכך‪ v (x, t) < M + εl2 ,‬בכל נקודה ב־‪ .D‬ממשיכים כמו‬
‫בסעיף ‪.6.3‬‬
‫‪ 4.3‬פתרון מדויק בתחום אינסופי‬
‫הפתרון למשוואת החום בתחום אינסופי‪:‬‬
‫‪ut = kuxx ,‬‬
‫)‪u (x, 0) = φ (x‬‬
‫כאשר ∞ < ‪ ,0 < t < ∞ ,−∞ < x‬הוא‪:‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪u (x, t‬‬
‫‪e−(x−y) /4kt φ (y) dy‬‬
‫∞‪4πkt −‬‬
‫הוכחה‪ :‬נשתמש במספר תכונות אינווריאנטיות של משוואת החום‪:‬‬
‫‪ .1‬ההזזה )‪ u (x − y, t‬של הפתרון )‪ u (x, t‬אף היא פתרון‪.‬‬
‫‪ .2‬כל נגזרת של הפתרון ) ‪ uxx ,ut ,ux‬וכו'( אף היא פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬כל צירוף לינארי של פתרונות אף הוא פתרון‪.‬‬
‫‪ .4‬אם )‪ S (x, t‬הוא פתרון אז גם‪:‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫= )‪v (x, t‬‬
‫‪S (x − y, t) g (y) dy‬‬
‫∞‪−‬‬
‫הוא פתרון‪ ,‬לכל פונקציה )‪ ,g (y‬כל עוד האינטגרל מתכנס‪.‬‬
‫√‬
‫‪ .5‬אם )‪ u (x, t‬פתרון‪ ,‬אז גם )‪ u ( ax, at‬הוא פתרון‪ ,‬לכל ‪.a > 0‬‬
‫נחפש כעת פתרון מסוים‪ ,‬אותו נסמן ב־)‪ ,Q (x, t‬אשר מקיים את תנאי‬
‫ההתחלה‪:‬‬
‫(‬
‫‪1 x>0‬‬
‫= )‪Q (x, 0‬‬
‫‪0 x<0‬‬
‫נשים לב כי תנאי ההתחלה לא משתנה תחת מתיחה )תכונה ‪ .(5‬נמצא‬
‫את ‪ Q‬בארבעה שלבים‪ .‬בשלב הראשון‪ ,‬נחפש פתרון מהצורה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Q (x, t) = g (p) ,‬‬
‫√ ≡‪p‬‬
‫‪4kt‬‬
‫בשלב השני‪ ,‬נמיר את הבעיה למד"ר עבור ‪ g‬באמצעות שימוש בכלל‬
‫‬
‫השרשרת‪ :‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪1 00‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪− pg (p) − g (p‬‬
‫= ‪0 = Qt − kQxx‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪g 00 + 2pg 0 = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫נפתור את המשוואה באמצעות גורם אינטגרציה ‪ ep‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ˆ x/√4kt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Q (x, t) = g (p) = C1‬‬
‫‪e−p dp + C2‬‬
‫‪0‬‬
‫בשלב השלישי‪ ,‬ניקח את הגבול ‪ t → 0‬בנוסחה לעיל עבור ‪x > 0‬‬
‫ו־‪ x < 0‬בנפרד‪ ,‬ונציב בתנאי ההתחלה‪ .‬נקבל את המקדמים ‪,C1 , C2‬‬
‫ומכאן‪:‬‬
‫‪ˆ x/√4kt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫√ ‪Q (x, t) = +‬‬
‫‪e−p dp‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π 0‬‬
‫עבור ‪ .t > 0‬בשלב הרביעי‪ ,‬נגדיר ‪ .S ≡ ∂Q/∂x‬בשל תכונה ‪ S ,2‬גם‬
‫היא פתרון של הבעיה‪ .‬בהינתן כל פונקציה ‪ ,φ‬נוכל להגדיר‪:‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫= )‪u (x, t‬‬
‫‪S (x − y, t) φ (y) dy‬‬
‫∞‪−‬‬
‫ולפי תכונה ‪ ,4‬גם זה פתרון של הבעיה‪ .‬נחשב את האינטגרל באמצעות‬
‫אינטגרציה בחלקים‪ ,‬ונניח כי ‪ φ‬מתאפסת ב־∞‪ .±‬אז נקבל‪:‬‬
‫∞‪ˆ +‬‬
‫= )‪u (x, 0‬‬
‫‪Q (x − y, 0) φ0 (y) dy‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ˆ x‬‬
‫=‬
‫)‪φ0 (y) dy = φ (x‬‬
‫∞‪−‬‬
‫בגלל תנאי ההתחלה של ‪ .Q‬לפיכך ‪ u‬מקיימת את תנאי ההתחלה של‬
‫הבעיה‪ ,‬ומכיוון ש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂Q‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪S‬‬
‫√=‬
‫‪e−x /4kt‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪4πkt‬‬
‫נקבל את הנוסחה שרצינו להוכיח‪.‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫‪5.2.4‬‬
‫ערכים עצמיים ממשיים‬
‫הערכים העצמיים בבעיית שטורם־ליוביל רגולרית או מחזורית הם‬
‫ממשיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי ‪ λ ∈ C‬הוא ערך עצמי עם הפונקציה העצמית ‪ .u‬אז‪:‬‬
‫‪L [u] + λru = 0,‬‬
‫‪Ba [u] = Bb [u] = 0‬‬
‫מכיוון שהמקדמים במשוואות אלה הם ממשיים‪ ,‬נוכל לקחת את הצמוד‬
‫המרוכב שלהן ולקבל‪:‬‬
‫‪L [u] + λru = 0,‬‬
‫‪Ba [u] = Bb [u] = 0‬‬
‫לפיכך גם ‪ u‬היא פונקציה עצמית‪ ,‬עם הערך העצמי ‪ .λ‬אם נניח בשלילה‬
‫כי ‪ ,λ 6= λ‬אז נקבל מאורתוגונליות‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|u (x)| r (x) dx > 0‬‬
‫= ‪0 = hu, uir‬‬
‫‪a‬‬
‫בסתירה‪.‬‬
‫תורת שטורם־ליוביל‬
‫‪5.2.5‬‬
‫‪ 5.1‬תיאור הבעיה‬
‫בעיית שטורם־ליוביל רגולרית היא מהצורה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(pu0 ) + qu + λru = 0,‬‬
‫)‪x ∈ (a, b‬‬
‫‪Ba [u] = αu (a) + βu0 (a) = 0‬‬
‫‪Bb [u] = γu (b) + δu0 (b) = 0‬‬
‫כאשר ‪ p, q, r‬הן פונקציות גזירות ברציפות ב־]‪ [a, b‬ומתקיים ‪.p, r > 0‬‬
‫בנוסף ‪ α, β, γ, δ ∈ R‬ומתקיים‪:‬‬
‫‪|α| + |β| > 0,‬‬
‫‪|γ| + |δ| > 0‬‬
‫בהינתן כל משוואה דיפרנציאלית רגילה לינארית מסדר שני‪:‬‬
‫)‪A (x) u00 + B (x) u0 + C (x) u = F (x‬‬
‫האינטגרציה‪:‬‬
‫נגדיר את גורם‬
‫ˆ‬
‫‬
‫)‪B (x‬‬
‫‪p (x) ≡ exp‬‬
‫‪dx‬‬
‫)‪A (x‬‬
‫נכפיל את המשוואה ב־)‪ ,p (x) /A (x‬ונקבל משוואת שטורם־ליוביל‪.‬‬
‫בעיית שטורם־ליוביל מחזורית היא מהצורה‪:‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪(pu ) + qu + λru = 0,‬‬
‫)‪x ∈ (a, b‬‬
‫)‪u0 (a) = u0 (b‬‬
‫כאשר ‪ p, q, r‬הן פונקציות מחזוריות‪.‬‬
‫‪u (a) = u (b) ,‬‬
‫‪ 5.2‬פונקציות עצמיות וערכים עצמיים‬
‫כל התכונות שלהלן תקפות בבעיות שטורם־ליוביל רגולריות או‬
‫מחזוריות‪.‬‬
‫‪5.2.1‬‬
‫נתבונן בבעיית שטורם־ליוביל הרגולרית הבאה‪:‬‬
‫‪L [u] + λru = 0,‬‬
‫)‪x ∈ (a, b‬‬
‫‪Ba [u] = Bb [u] = 0‬‬
‫נניח כי זוג הפונקציות ‪ uλ , vλ‬מהוות בסיס למרחב הפתרונות של‬
‫המשוואה‪ .‬אז ‪ λ‬הוא ערך עצמי של הבעיה אם ורק אם‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ] ‪ Ba [uλ ] Ba [vλ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ Bb [uλ ] Bb [vλ ] = 0‬‬
‫הוכחה‪ :‬הפונקציה ‪ w‬היא פתרון לא־טריוויאלי של המשוואה אם ורק‬
‫אם קיימים ‪ ,c, d ∈ R‬לא שניהם אפס‪ ,‬כך ש‪:‬‬
‫)‪w (x) = cuλ (x) + dvλ (x‬‬
‫‪ w‬תהיה פונקציה עצמית של הבעיה‪ ,‬עם ערך עצמי ‪ ,λ‬אם ורק אם‬
‫היא מקיימת גם את תנאי השפה‪:‬‬
‫‪Ba [w] = cBa [uλ ] + dBa [vλ ] = 0‬‬
‫‪Bb [w] = cBb [uλ ] + dBb [vλ ] = 0‬‬
‫במלים אחרות‪ ,‬הווקטור )‪ (c, d‬הוא פתרון לא־טריוויאלי של מערכת‬
‫לינארית הומוגנית עם מטריצת מקדמים‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫] ‪Ba [uλ ] Ba [vλ‬‬
‫] ‪Bb [uλ ] Bb [vλ‬‬
‫פתרון כזה קיים אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת‪.‬‬
‫‪5.2.2‬‬
‫סימטריה‬
‫יהי ‪ L‬אופרטור שטורם־ליוביל מהצורה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L [u] = (pu0 ) + qu‬‬
‫אז עבור פונקציות ‪ u, v‬ניתן לקבל את זהות לגרנג'‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫)) ‪uL [v] − vL [u] = (p (uv 0 − vu0‬‬
‫אם נבצע אינטגרציה לזהות נקבל את נוסחת גרין‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫ ‪0‬‬
‫ ) ‪(uL [v] − vL [u]) dx = p (uv − vu‬‬
‫אם ‪ u‬ו־‪ v‬מקיימות את תנאי השפה‪ ,‬אז הביטוי באגף ימין מתאפס‪,‬‬
‫ונגלה כי ‪ L‬הוא אופרטור סימטרי במרחב הפונקציות‪.‬‬
‫‪5.2.3‬‬
‫אורתוגונליות‬
‫פונקציות עצמיות אשר שייכות לערכים עצמיים שונים של בעיית‬
‫שטורם־ליוביל רגולרית או מחזורית הן אורתוגונליות ביחד למכפלה‬
‫הפנימית‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫≡ ‪hu, vir‬‬
‫‪u (x) v (x) r (x) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ un , um‬פונקציות עצמיות המתאימות לערכים העצמיים‬
‫‪ .λn 6= λm‬אז מתקיים‪:‬‬
‫‪L [un ] = −λn run ,‬‬
‫‪L [um ] = −λm rum‬‬
‫נכפיל את המשוואה השמאלית ב־ ‪ um‬ואת הימנית ב־ ‪ ,un‬נחסר בין‬
‫המשוואות ונבצע אינטגרציה‪ .‬נקבל‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫) ‪(um L [un ] − un L [um ]) dx = (λm − λn‬‬
‫‪um un r dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪5.2.6‬‬
‫ערכים עצמיים פשוטים‬
‫הערכים העצמיים של בעיית שטורם־ליוביל רגולרית )בלבד( הם כולם‬
‫פשוטים‪ ,‬כלומר‪ ,‬המרחב העצמי המתאים להם הוא בעל ממד ‪.1‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו ‪ u1 , u2‬פונקציות עצמיות המתאימות לאותו ערך עצמי ‪.λ‬‬
‫אז מתקיים‪:‬‬
‫‪u2 L [u1 ] − u1 L [u2 ] = −λru2 u1 + λru1 u2 = 0‬‬
‫לכן‪ ,‬מזהות לגרנג'‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Q (x) ≡ p (u2 u1 − u1 u2 ) = const‬‬
‫מצד שני‪ ,‬ראינו כי שתי פונקציות אשר מקיימות את אותם תנאי שפה‬
‫מקיימות גם ‪ .Q (a) = Q (b) = 0‬מכיוון ש־‪ ,p > 0‬הוורונסקיאן‪:‬‬
‫‪W ≡ u2 u01 − u1 u02‬‬
‫מתאפס בכל הקטע‪ ,‬ולכן הפונקציות ‪ u1 , u2‬בהכרח תלויות לינארית‪.‬‬
‫קיום סדרה אינסופית של ערכים עצמיים‬
‫קבוצת הערכים העצמיים של בעיית שטורם־ליוביל רגולרית יוצרת‬
‫סדרה לא־חסומה ומונוטונית־ממש‪:‬‬
‫· · · < ‪λ0 < λ1 < λ2‬‬
‫בפרט‪ ,‬יש אינסוף ערכים עצמיים‪ ,‬ומתקיים ∞ = ‪.lim λn‬‬
‫לפונקציה העצמית ‪ un‬יש בדיוק ‪ n‬שורשים )אפסים( בקטע )‪.(a, b‬‬
‫בפרט‪ ,‬הפונקציה ‪ u0‬לא מחליפה סימן בקטע‪.‬‬
‫‪ 5.3‬שלמות והתכנסות של פיתוח פורייה‬
‫המערכת האורתונורמלית } ‪ {un‬של הפונקציות העצמיות של בעיית‬
‫שטורם־ליוביל רגולרית או מחזורית היא שלמה במרחב המכפלה‬
‫הפנימית של הבעיה‪ .‬ניתן לפתח פונקציה ‪ u‬כטור של הפונקציות‬
‫העצמיות } ‪ ,{un‬והפיתוח מתכנס בנורמה‪.‬‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה גזירה למקוטעין ב־]‪ .[a, b‬אז לכל )‪ ,x ∈ (a, b‬הפיתוח‬
‫של ‪ f‬כטור של } ‪ {un‬מתכנס לממוצע של הגבולות החד־צדדיים של‬
‫‪ f‬ב־‪:x‬‬
‫‪1‬‬
‫)) ‪(f (x+ ) + f (x−‬‬
‫‪2‬‬
‫אם ניקח מספר סופי של איברים בפיתוח לטור נקבל תנודות בסביבת‬
‫נקודות האי־רציפות‪ .‬תנודות אלה נקראות תופעת גיבס‪.‬‬
‫אם ‪ f‬רציפה‪ ,‬גזירה למקוטעין ומקיימת את תנאי השפה של בעיית‬
‫שטורם־ליוביל נתונה‪ ,‬אז הפיתוח של ‪ f‬לפי } ‪ {un‬מתכנס במידה שווה‬
‫ל־ ‪ f‬ב־]‪.[a, b‬‬
‫במקרים רבים‪ ,‬גם אם ‪ f‬לא רציפה‪ ,‬ההתכנסות היא במידה שווה על‬
‫כל קטע חלקי ל־)‪ (a, b‬שאינו כולל את נקודות האי־רציפות‪.‬‬
‫‪ 5.4‬מנת ריילי‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫יהי ‪ λ‬ערך עצמי של בעיית שטורם־ליוביל רגולרית או מחזורית‪ ,‬ויהי‬
‫‪ Vλ‬תת־המרחב הנפרש ע"י הפונקציות העצמיות המתאימות ל־‪ .λ‬אז‬
‫ל־ ‪ Vλ‬יש בסיס אורתונורמלי של פונקציות ממשיות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ .u ∈ Vλ‬הן החלק הממשי והן החלק המדומה של ‪u‬‬
‫פותרים את בעיית שטורם־ליוביל‪ .‬מכיוון שלפחות אחד מהם אינו‬
‫אפס‪ ,‬לפחות אחד מהם הוא פונקציה עצמית‪ .‬אם ‪ λ‬הוא ערך‬
‫עצמי פשוט‪ ,‬פונקציה זו מהווה בסיס‪ .‬אם ל־‪ λ‬ריבוי ‪ ,2‬נתבונן‬
‫בחלקים הממשי והמדומה של שתי פונקציות עצמיות בלתי־תלויות‬
‫ב־ ‪ .Vλ‬משיקולי ממדים‪ ,‬ניתן לבודד לפחות זוג אחד של שתי פונקציות‬
‫בלתי־תלויות מתוך הארבע‪ .‬נפעיל את תהליך גרהם־שמידט ונקבל‬
‫בסיס אורתונורמלי ל־ ‪.Vλ‬‬
‫‪5.2.7‬‬
‫תנאי לערכים העצמיים‬
‫בסיס של פונקציות עצמיות ממשיות‬
‫‪a‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ un , um‬מקיימות את תנאי השפה‪ ,‬נוסחת גרין תקפה‪ ,‬והביטוי‬
‫= ‪ ,λm‬האינטגרל באגף ימין‬
‫באגף שמאל שווה לאפס‪ .‬מכיוון ש־ ‪6 λm‬‬
‫מתאפס‪.‬‬
‫הערך העצמי הקטן ביותר ‪ λ0‬עבור בעיית שטורם־ליוביל מהצורה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L [u] + λru = 0,‬‬
‫‪L [u] ≡ (pu0 ) + qu‬‬
‫עם תנאי שפה בקטע ]‪ [a, b‬מקיים‪:‬‬
‫!‬
‫‪´b‬‬
‫‪uL [u] dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪λ0 = inf R (u) = inf − ´ b‬‬
‫‪u∈U‬‬
‫‪u∈V‬‬
‫‪u2 r dx‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר )‪ R (u‬נקראת מנת ריילי‪ ,‬ו־ ‪ U‬היא הקבוצה של הפונקציות‬
‫הגזירות פעמיים ברציפות בקטע ]‪ [a, b‬אשר מקיימות את תנאי השפה‪.‬‬
‫מאינטגרציה בחלקים ניתן לקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪(u‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫‪qu‬‬
‫‪dx − puu0 a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪λ0 = inf‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪u∈U‬‬
‫‪u2 r dx‬‬
‫‪a‬‬
‫בפרט‪ ,‬עבור בעיית דיריכלה‪ ,‬ניומן‪ ,‬או מחזורית‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‬
‫‪´b‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪(u‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫‪qu‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪a‬‬
‫‪λ0 = inf‬‬
‫‪´b‬‬
‫‪u∈U‬‬
‫‪u2 r dx‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי } ‪ {λn‬הסדרה העולה של הערכים העצמיים בבעיה‪ ,‬ותהי‬
‫} ‪ {un‬הסדרה המתאימה של פונקציות עצמיות‪ .‬אם ‪ ,u ∈ U‬אז ניתן‬
‫לפתח את ‪ u‬בטור של פונקציות עצמיות‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= )‪u (x‬‬
‫)‪an un (x‬‬
‫‪n=0‬‬
‫לפיכך‪:‬‬
‫)‪an λn r (x) un (x‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪an L [un ] = −‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪n=0‬‬
‫= ]‪L [u‬‬
‫כלומר‪ ,‬אנו רוצים למצוא פונקציה הרמונית בעיגול ‪ r < a‬אשר שווה‬
‫ל־)‪ f (θ‬על שפת העיגול‪ .‬הלפלסיאן בקואורדינטות קוטביות הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∇2 u = urr + ur + 2 uθθ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫נפריד משתנים )‪ ,u (r, θ) = R (r) Θ (θ‬נחלק ב־‪ ,RΘ‬נכפיל ב־ ‪r2‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪00‬‬
‫‪0‬‬
‫‪00‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Θ‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪+r‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪=λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪Θ‬‬
‫כאשר ‪ λ‬הוא קבוע הפרדה‪ .‬קיבלנו‪ ,‬אם כן‪ ,‬את שתי המשוואות‪:‬‬
‫(‬
‫‪r2 R00 + rR0 − λR = 0‬‬
‫‪Θ00 + λΘ = 0‬‬
‫=‬
‫פתרון המשוואה ל־‪ Θ‬הוא‪:‬‬
‫ √‬
‫‪λθ + B sin‬‬
‫‪λθ‬‬
‫לכל ‪ .x ∈ D‬המקסימום מתקבל בנקודה כלשהי ‪ ,xM ∈ ∂D‬לכן‬
‫) ‪ u (x) ≤ u (xM‬לכל ‪ ,x ∈ D‬כפי שרצינו להוכיח‪ .‬ניתן להוכיח‬
‫בצורה אנלוגית משפט דומה עבור מינימום‪.‬‬
‫גרסה חזקה‪ :‬המקסימום מתקבל רק על השפה ‪ ,∂D‬אלא אם ‪u‬‬
‫פונקציה קבועה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח כי המקסימום מתקבל בנקודה ‪) xM ∈ D‬שאינה על‬
‫השפה(‪ .‬נצייר מעגל מסביב ל־ ‪ ,xM‬אשר מוכל כולו ב־‪ .D‬מתכונת‬
‫הערך הממוצע‪ u (xM ) ≡ M ,‬שווה לממוצע של ‪ u‬על־פני המעגל;‬
‫מצד שני‪ ,‬באף נקודה על המעגל לא יכול להתקבל ערך גדול יותר‬
‫מ־ ‪ .M‬לפיכך ‪ u (x) = M‬על כל המעגל‪ .‬תוצאה זו נכונה למעגל בכל‬
‫רדיוס‪ ,‬לכן נקבל עיגול מלא מסביב ל־ ‪ xM‬בו מתקיים ‪u (x) = M‬‬
‫לכל ‪ .x‬ניתן לחזור על התהליך עבור כל נקודה בתוך העיגול‪ ,‬ומכיוון‬
‫שהנחנו כי ‪ D‬קשירה‪ ,‬נקבל כי ‪ u (x) = M‬לכל נקודה ‪ .x ∈ D‬לפיכך‬
‫‪ u‬קבועה ב־‪.D‬‬
‫≥‬
‫נדרוש‪ ,‬כמובן‪ ,‬תנאי שפה מחזוריים‪:‬‬
‫)‪Θ (θ + 2π) = Θ (θ‬‬
‫√‬
‫מכאן בהכרח ‪ , λ = n ∈ N‬כלומר‪ ,‬הפתרון הוא מהצורה‪:‬‬
‫)‪Θn (θ) = An cos (nθ) + Bn sin (nθ‬‬
‫עבור המשוואה ל־‪ ,R‬נציב ‪ R (r) = rα‬ונקבל‪:‬‬
‫‪α (α − 1) rα + αrα − n2 rα = 0‬‬
‫מכאן ‪ .α = ±n‬לפיכך‪ ,‬עבור ‪ ,n > 0‬הפתרון הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪Rn (r) = Cn rn + Dn r−n‬‬
‫עבור ‪ n = 0‬קל לראות כי הפתרון הוא‪:‬‬
‫‪R0 = C0 + D0 log r‬‬
‫כעת‪ ,‬הפונקציה צריכה להיות סופית ב־‪ ,r = 0‬לכן הביטויים מהצורה‬
‫‪ r−n‬ו־‪ log r‬נופלים‪ .‬לפיכך הפתרון הכללי יהיה‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u (r, θ) = A0 +‬‬
‫‪(An cos (nθ) + Bn sin (nθ)) rn‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪ 6.4‬משוואת לפלס בטבעת‬
‫נציב את ‪ u‬ואת ]‪ L [u‬במנת ריילי ונבצע אינטגרציה איבר־איבר‪.‬‬
‫במכנה‪ ,‬נשתמש בזהות פרסבל‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫= ‪u2 r dx‬‬
‫‪a2n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n=0‬‬
‫במונה נקבל‪:‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪am an λn rum un dx‬‬
‫‪rum un dx‬‬
‫‪−‬‬
‫‪a‬‬
‫‪am an λn‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫= ‪uL [u] dx‬‬
‫‪a m,n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫ˆ‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫=‬
‫‪m,n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪a2n λn‬‬
‫‪n=0‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪a2n λ0‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‬
‫ובסה"כ נקבל ‪ .R (u) ≥ λ0‬קל לראות כי שוויון מתקבל אם ורק אם‬
‫‪ u = Cu0‬כאשר ‪ C‬קבוע כלשהו ) ‪ λ0‬הוא תמיד ערך עצמי פשוט(‪.‬‬
‫‪ 5.5‬הלמה של רימן־לבג‬
‫לפי הלמה של רימן־לבג‪ ,‬התמרת פורייה של פונקציה במרחב ‪L1‬‬
‫מתאפסת באינסוף‪.‬‬
‫התמרת פורייה מוגדרת בסעיף ‪ .8.7‬המרחב ‪ Lp‬מוגדר בתור מרחב‬
‫הפונקציות המקיימות‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1/p‬‬
‫‪p‬‬
‫≡ ‪kf kp‬‬
‫‪|f (x)| dx‬‬
‫∞<‬
‫הלמה של רימן־לבג אומרת כי‪:‬‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫‪f (x) e− i ωx dx = 0‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪ω‬‬
‫∞‪−‬‬
‫הוכחה‪ :‬עבור פונקציה )‪ ,f (x) = χ(a,b) (x‬ששווה ל־‪ 1‬בקטע )‪(a, b‬‬
‫ול־‪ 0‬מחוץ לקטע‪ ,‬נקבל‪:‬‬
‫‪ˆ b‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪e− i ωb − e− i ωa‬‬
‫= ‪e− i ωx dx‬‬
‫= ‪f (x) e− i ωx dx‬‬
‫‪→0‬‬
‫‪−iω‬‬
‫‪a‬‬
‫∞‪−‬‬
‫לפיכך הלמה נכונה גם עבור פונקציות המוגדרות כך‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫)‪cn χ(ai ,bi ) (x‬‬
‫‪i‬‬
‫פונקציות אלה הן צפופות ב־ ‪ .L1‬כעת‪ ,‬תהי ‪ f ∈ L1‬פונקציה כלשהו‪,‬‬
‫יהי ‪ ε > 0‬וניקח פונקציה מהצורה הנ"ל‪ ,‬אותה נסמן ב־ ‪ ,gN‬כך‬
‫שמתקיים‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪|f (x) − gN (x)| dx < ε‬‬
‫אז עבור ‪ N‬גדול מספיק‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪− i ωx‬‬
‫‪f (x) e‬‬
‫‪dx‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪|f (x) − gN (x)| dx +‬‬
‫‪|gN (x)| dx‬‬
‫ˆ‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‬
‫ˆ‬
‫≤‬
‫נציב את תנאי השפה ב־‪:r = a‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A0 +‬‬
‫)‪(An cos (nθ) + Bn sin (nθ)) an = f (θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n=1‬‬
‫זה )כמעט( פיתוח פורייה של )‪ .f (θ‬לפיכך המקדמים הם‪:‬‬
‫‪ˆ 2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (φ) cos (nφ) dφ‬‬
‫= ‪An‬‬
‫‪πan 0‬‬
‫‪ˆ 2π‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪Bn‬‬
‫‪f (φ) sin (nφ) dφ‬‬
‫‪πan 0‬‬
‫‪6.1.2‬‬
‫‪ 5.6‬טורי פורייה )סטנדרטיים(‬
‫כל פונקציה ‪ f (x) : [x0 , x0 + L] → R‬ניתנת לפיתוח בטור פורייה‪:‬‬
‫‬
‫‪ X‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪1‬‬
‫‪an cos‬‬
‫‪nx +‬‬
‫‪bn sin‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪f (x) = a0 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L nx‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫∞‪n=−‬‬
‫באמצעות כללי האורתוגונליות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪ ‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪mx‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪nx‬‬
‫‪ cos 2π‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫‬
‫‪L‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪sin 2π‬‬
‫‪L mx sin L nx  dx =  2 δmn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L‬‬
‫‪cos L mx cos L nx‬‬
‫‪2 δmn‬‬
‫‪ˆ x0 +L‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪ei L mx e− i L nx dx = Lδmn‬‬
‫‪x0 +L‬‬
‫ˆ‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0‬‬
‫נמצא את המקדמים‪:‬‬
‫ ‬
‫‪dx‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L nx‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L nx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪L nx‬‬
‫ˆ‬
‫‪x0 +L‬‬
‫‬
‫)‪f (x‬‬
‫‪f (x) e− i‬‬
‫‪x0‬‬
‫‪x0 +L‬‬
‫ˆ‬
‫‪x0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪an‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪ 5.7‬אי־שוויון בסל וזהות פרסבל‬
‫תהי } ‪ {un‬סדרה אורתונורמלית סופית או אינסופית במרחב מכפלה‬
‫פנימית ‪ ,V‬ותהי ‪ u ∈ V‬פונקציה‪ .‬אז מתקיים אי־שוויון בסל‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪hu, un i ≤ kuk‬‬
‫‪n‬‬
‫בפרט ‪ .limn→∞ hu, un i = 0‬טענה זו שקולה ללמה של רימן־לבג‬
‫)סעיף ‪ .(5.5‬הסדרה } ‪ {un‬נקראת שלמה ב־ ‪ V‬אם לכל ‪u ∈ V‬‬
‫מתקבל שוויון באי־שוויון בסל‪ .‬במקרה זה השוויון נקרא זהות פרסבל‪.‬‬
‫משוואת לפלס‬
‫‪ 6.1‬נוסחת פואסון‬
‫‪6.1.1‬‬
‫פתרון כללי לפונקציה הרמונית בעיגול‬
‫נתונה הבעיה‪:‬‬
‫‪r<a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∇ u = 0,‬‬
‫)‪u (a, θ) = f (θ‬‬
‫נוסחת פואסון‬
‫)‪e− i n(θ−φ‬‬
‫‪∞ n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ei n(θ−φ) +‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪∞ n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‪n=1‬‬
‫)‪r ei(θ−φ‬‬
‫)‪r e− i(θ−φ‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪i(θ−φ‬‬
‫‪a−re‬‬
‫)‪a − r e− i(θ−φ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a −r‬‬
‫‪= 2‬‬
‫‪a − 2ar cos (θ − φ) + r2‬‬
‫מכאן נקבל את נוסחת פואסון‪:‬‬
‫‪ˆ 2π‬‬
‫‬
‫)‪f (φ‬‬
‫‪dφ‬‬
‫‪u (r, θ) = a2 − r2‬‬
‫‪2 − 2ar cos (θ − φ) + r 2 2π‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫אם נסמן )‪ x = (r, θ‬ו־)‪ x0 = (a, φ‬נוכל לרשום את הנוסחה בצורה‬
‫וקטורית‪:‬‬
‫ˆ ‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪u (x‬‬
‫|‪a − |x‬‬
‫‪ds0‬‬
‫= )‪u (x‬‬
‫‪0 2‬‬
‫‪2πa‬‬
‫| ‪|x0 |=a |x − x‬‬
‫כאשר ‪.ds0 = a dφ‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‪ 6.2‬תכונת הערך הממוצע‬
‫תהי ‪ u‬פונקציה הרמונית בעיגול ‪ D‬ורציפה בסגור ‪ .D‬אז הערך של ‪u‬‬
‫במרכז העיגול שווה לממוצע של ‪ u‬על השפה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר קואורדינטות בהן מרכז המעגל נמצא בראשית הצירים‪.‬‬
‫נציב ‪ x = 0‬בנוסחת פואסון הווקטורית ונקבל‪:‬‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫= )‪u (0‬‬
‫‪u (x0 ) ds0‬‬
‫‪2πa |x0 |=a‬‬
‫‪ 6.3‬עקרון המקסימום‬
‫נתונה הבעיה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪∇ u (r, θ) = 0 0 < a < r < b, 0 ≤ θ ≤ 2π‬‬
‫)‪u (a, θ) = g (θ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪u (b, θ) = h (θ‬‬
‫בצורה דומה לפיתוח בסעיף ‪ ,6.1.1‬נגיע לפתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u (r, θ) = (C0 + D0 log r) +‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫)‪Cn rn + Dn r−n cos (nθ) + Fn rn + Gn r−n sin (nθ‬‬
‫כאשר הפעם הנקודה ‪ r = 0‬לא כלולה בתחום‪ ,‬ולכן ‪ log r‬ו־‬
‫נופלים‪.‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫‪+‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪−n‬‬
‫‪ r‬לא‬
‫‪ 6.5‬בעיית הערכים העצמיים על עיגול‬
‫יהי ‪ Ω‬העיגול }‪ .{0 ≤ r < a, 0 ≤ θ ≤ 2π‬אנו רוצים לחשב את‬
‫הערכים העצמיים והפונקציות העצמיות של משוואת לפלס בעיגול‪.‬‬
‫בקואורדינטות קוטביות‪ ,‬המשוואה היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪u (a, θ) = 0‬‬
‫‪urr + ur + 2 uθθ = −λu,‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫כרגיל‪ ,‬נבצע הפרדת משתנים )‪ u (r, θ) = R (r) Θ (θ‬ונקבל שתי בעיות‬
‫שטורם־ליוביל‪ .‬הראשונה‪ ,‬עבור ‪:Θ‬‬
‫‪Θ00 (θ) + µΘ (θ) = 0‬‬
‫)‪Θ (0) = Θ (2π‬‬
‫)‪Θ0 (0) = Θ0 (2π‬‬
‫והשנייה‪ ,‬עבור ‪:R‬‬
‫‬
‫‪1 0‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪R (r) + R (r) + λ − 2 R (r) = 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪|R (0)| < ∞,‬‬
‫‪R (a) = 0‬‬
‫הפתרון עבור ‪ Θ‬הוא‪ ,‬כידוע‪:‬‬
‫)‪Θn (θ) = An cos (nθ) + Bn sin (nθ‬‬
‫עם הערכים העצמיים ‪ .µn = n2‬לפיכך המשוואה עבור ‪ R‬תהיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪R00 (r) + R0 (r) + λ − 2 R (r) = 0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫√‬
‫נבצע החלפת משתנים ‪ s = λr‬ונעביר את המשוואה לצורה הקנונית‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪ψ 00 (s) = ψ 0 (s) + 1 − 2 ψ (s) = 0‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s‬‬
‫ √‬
‫‪ .R (r) = ψ‬קיבלנו בעיית שטורם־ליוביל סינגולרית‪,‬‬
‫כאשר ‪λr‬‬
‫אותה אפשר לרשום גם כך‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ψ=0‬‬
‫‪(sψ 0 ) + s −‬‬
‫‪s‬‬
‫משוואה זו היא משוואת בסל מסדר ‪ .n‬אחד מהפתרונות שלה הוא‬
‫סינגולרי ב־‪ ,s = 0‬לכן נעסוק רק בפתרון הסופי בראשית‪ ,‬אשר נקרא‬
‫פונקציית בסל מהסוג הראשון ומסומן ‪ .Jn‬להלן מספר תכונות של‬
‫פונקציות אלה‪.‬‬
‫‪ .1‬לכל מספר טבעי אי־שלילי ‪ ,n‬האפסים של ‪ Jn‬יוצרים סדרה של‬
‫מספרים ממשיים חיוביים ‪ αn,m‬אשר מתבדרת ל־∞ כאשר ∞ → ‪.m‬‬
‫ההפרש בין שני אפסים עוקבים שואף ל־‪ π‬בגבול ∞ → ‪.m‬‬
‫‪ .2‬לפונקציות בסל הייצוג האינטגרלי הבא‪:‬‬
‫‪ˆ 2π‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Jn (x‬‬
‫‪ei x sin θ e− i nθ dθ‬‬
‫‪2π 0‬‬
‫‪ .3‬פונקציות בסל מקיימות את נוסחת הרקורסיה‪:‬‬
‫)‪sJn+1 (s) = nJn (s) − sJn0 (s‬‬
‫‪ .4‬יהי ‪ n‬מספר טבעי אי־שלילי‪ .‬אז לכל ‪ m = 1, 2, . . .‬מתקיים‪:‬‬
‫‪ˆ a‬‬
‫‬
‫‪α‬‬
‫‪a2 2‬‬
‫‪n,m‬‬
‫‪rJn2‬‬
‫‪r dr = Jn+1‬‬
‫) ‪(αn,m‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫בחזרה לבעיית הערכים העצמיים‪ ,‬הפונקציות העצמיות הן‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‬
‫‪n,m‬‬
‫))‪r (An,m cos (nθ) + Bn,m sin (nθ‬‬
‫‪un,m = Jn‬‬
‫‪a‬‬
‫והערכים העצמיים הם‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n,m‬‬
‫= ‪λn,m‬‬
‫‪a‬‬
‫כאשר ‪ n = 0, 1, 2, . . .‬ו־‪ .m = 1, 2, . . .‬הפונקציות העצמיות יוצרות‬
‫מערכת אורתוגונלית שלמה ביחס למכפלה הפנימית‪:‬‬
‫‪ˆ 2π ˆ a‬‬
‫≡ ‪hf, gi‬‬
‫‪f (r, θ) g (r, θ) r dr dθ‬‬
‫‪00‬‬
‫‬
‫= ‪cn‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫= )‪u (a, θ‬‬
‫את הטור בסוגריים ניתן לסכום באמצעות כתיבתו כטור גאומטרי של‬
‫מספרים מרוכבים‪:‬‬
‫‪∞ n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1+2‬‬
‫= ))‪cos (n (θ − φ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪n=1‬‬
‫‪≤ε+ε→0‬‬
‫‪cn ei‬‬
‫‪Θ (θ) = A cos‬‬
‫ניתן להמשיך ולמצוא ביטוי מפורש לפתרון‪ .‬נציב את ‪ An , Bn‬בביטוי‬
‫ל־‪ u‬ונקבל‪:‬‬
‫!‬
‫‪ˆ 2π‬‬
‫∞‬
‫‬
‫‬
‫‪X r n‬‬
‫‪dφ‬‬
‫= )‪u (r, θ‬‬
‫‪f (φ) 1 + 2‬‬
‫))‪cos (n (θ − φ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n=1‬‬
‫∞‪−‬‬
‫∞‬
‫‪X‬‬
‫√‬
‫גרסה חלשה‪ :‬תהי ‪ D‬קבוצה פתוחה‪ ,‬חסומה וקשירה‪ ,‬ותהי ‪ u‬פונקציה‬
‫הרמונית ב־‪ D‬ורציפה בסגור ‪ .D‬אז המקסימום של ‪ u‬ב־‪ D‬מתקבל‬
‫על השפה ‪.∂D‬‬
‫‪2‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ ε > 0‬ונסמן |‪ .v (x) = u (x) + ε |x‬אז‪:‬‬
‫‬
‫‪∇2 v = ∇2 u + ε∇2 x2 + y 2 = 0 + 4ε > 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ב־‪ .D‬אבל בנקודת מקסימום פנימית מתקיים ‪,∇2 v = vxx +vyy ≤ 0‬‬
‫וניתן לפתח כל פונקציה )‪ h (r, θ‬בטור פורייה־בסל‪:‬‬
‫ולכן אין ל־‪ v‬נקודת מקסימום פנימית ב־‪ .D‬עם זאת‪ ,‬מכיוון ש־‪v‬‬
‫‪∞ X‬‬
‫∞‬
‫‪α‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫רציפה‪ ,‬חייב להיות לה מקסימום במקום כלשהו בסגור ‪ ,D‬ולכן הוא‬
‫‪n,m‬‬
‫= )‪h (r, θ‬‬
‫‪Jn‬‬
‫))‪r (An,m cos (nθ) + Bn,m sin (nθ‬‬
‫יהיה על השפה‪ .‬נניח כי המקסימום מתקבל בנקודה ‪ .x0 ∈ ∂D‬אז‬
‫‪a‬‬
‫‪n=0 m=1‬‬
‫לכל ‪:x ∈ D‬‬
‫כאשר המקדמים נקבעים לפי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪u (x) ≤ v (x) ≤ v (x0 ) = u (x0 ) + ε |x0 | ≤ max u + εL2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂D‬‬
‫= ‪An,m‬‬
‫·‬
‫) ‪πa2 Jn+1 (αn,m‬‬
‫כאשר ‪ L‬הוא המרחק הגדול ביותר מ־‪ ∂D‬לראשית הצירים‪ .‬מכיוון‬
‫‪ˆ 2π ˆ a‬‬
‫‪α‬‬
‫‬
‫שזה נכון לכל ‪ ,ε > 0‬נקבל‪:‬‬
‫‪n,m‬‬
‫·‬
‫‪h (r, θ) Jn‬‬
‫‪r cos (nθ) r dr dθ‬‬
‫‪u (x) ≤ max u‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∂D‬‬
‫‪2‬‬
‫·‬
‫) ‪πa2 Jn+1 (αn,m‬‬
‫‪ˆ 2π ˆ a‬‬
‫‪α‬‬
‫‬
‫‪n,m‬‬
‫·‬
‫‪h (r, θ) Jn‬‬
‫‪r sin (nθ) r dr dθ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫נעיר כי כל ערך עצמי )פרט למקרה ‪ (n = 0‬הוא בעל ריבוי ‪.2‬‬
‫= ‪Bn,m‬‬
‫‪ 6.6‬הרמוניות כדוריות‬
‫נרשום )ללא פיתוח( את הפתרון למשוואת לפלס בקואורדינטות‬
‫כדוריות‪ .‬פולינומי לג'נדר המוכללים )‪associated Legendre poly-‬‬
‫‪ (nomials‬מוגדרים באמצעות נוסחת רודריגז‪:‬‬
‫‪ `+m‬‬
‫‪m‬‬
‫‬
‫`‬
‫)‪(−1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2 m/2‬‬
‫≡ )‪P` (x‬‬
‫‪1−x‬‬
‫‪x2 − 1‬‬
‫`‬
‫!` ‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫כאשר ‪ m ∈ Z ,` ∈ N0‬ומתקיים ` ≤ ‪ .−` ≤ m‬היחס בין )‪P`m (x‬‬
‫ו־)‪ P`−m (x‬הוא‪:‬‬
‫‪m (` − m)! m‬‬
‫)‪P (x‬‬
‫)‪P`−m (x) = (−1‬‬
‫` !)‪(` + m‬‬
‫וכלל האורתוגונליות הוא‪:‬‬
‫‪ˆ +1‬‬
‫!)‪2 (` + m‬‬
‫‪P`m (x) P`m‬‬
‫` ‪δ `0‬‬
‫= ‪0 (x) dx‬‬
‫`‪2‬‬
‫!)‪+ 1 (` − m‬‬
‫‪−1‬‬
‫נגדיר את ההרמוניות הכדוריות )‪:(spherical harmonics‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2` + 1 (` − m)! m‬‬
‫≡ )‪Y`m (θ, φ‬‬
‫‪P (cos θ) ei mφ‬‬
‫` !)‪4π (` + m‬‬
‫אז מתקיים כלל האורתוגונליות‪:‬‬
‫∗‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪(θ, φ) dΩ‬‬
‫‪Y`m (θ, φ) Y`m‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ˆ π‬‬
‫‪ˆ 2π‬‬
‫∗‪i‬‬
‫‪h‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(θ, φ) sin θ dθ‬‬
‫‪Y`m (θ, φ) Y`m‬‬
‫‪dφ‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫¨‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= δ`0 ` δm0 m‬‬
‫וכמו־כן‪:‬‬
‫‪ −m‬‬
‫∗‬
‫‪m m‬‬
‫)‪Y` (θ, φ) = (−1) Y` (θ, φ‬‬
‫מספר הרמוניות כדוריות לדוגמה הן‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪±1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪Y0‬‬
‫= ‪, Y1‬‬
‫‪cos θ, Y1 = ∓‬‬
‫‪sin θ e±iφ‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪4π‬‬
‫‪8π‬‬
‫כאשר ‪ ,m = 0‬ניתן להגדיר את ההרמוניות הכדוריות באמצעות‬
‫פולינומי לג'נדר הרגילים‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫`‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪Y`0 (θ, φ‬‬
‫)‪P` (cos θ‬‬
‫‪4π‬‬
‫כמו כן מתקיים משפט החיבור‪:‬‬
‫`‬
‫‪X‬‬
‫‪4π‬‬
‫∗‬
‫= )‪P` (cos γ‬‬
‫]) ‪Y`m (θ, φ) [Y`m (θ0 , φ0‬‬
‫‪2` + 1‬‬
‫`‪m=−‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫) ‪cos γ ≡ cos θ cos θ + sin θ sin θ cos (φ − φ‬‬
‫ניתן לפתח כל פונקציה )‪ f (θ, φ‬באמצעות ההרמוניות הכדוריות‪:‬‬
‫)‪C`m Y`m (θ, φ‬‬
‫‪∞ X‬‬
‫`‬
‫‪X‬‬
‫כאשר המקדמים הם‪:‬‬
‫הפתרון לבעיית דיריכלה )משוואת לפלס( נתון ע"י הנוסחה‪:‬‬
‫¨‬
‫) ‪∂G (x, x0‬‬
‫= ) ‪u (x0‬‬
‫)‪u (x‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂D‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן כמקודם‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v (x) ≡ −‬‬
‫| ‪4π |x − x0‬‬
‫אז מתקיים מנוסחת הייצוג‪:‬‬
‫‬
‫ ‹‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂v‬‬
‫= ) ‪u (x0‬‬
‫‪−v‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪u‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂D‬‬
‫נגדיר פונקציה ‪ H‬כך‪:‬‬
‫)‪G (x, x0 ) ≡ v (x) + H (x‬‬
‫אז ‪ H‬היא פונקציה הרמונית ב־‪ .D‬נשתמש בזהות גרין השנייה עבור‬
‫הפונקציות ‪ u‬ו־‪:H‬‬
‫‬
‫ ‹‬
‫‪∂H‬‬
‫‪∂u‬‬
‫=‪0‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−H‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂D‬‬
‫נחבר את המשוואה הזו עם המשוואה ל־) ‪ u (x0‬ונקבל‪:‬‬
‫‬
‫ ‹‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂G‬‬
‫‪−G‬‬
‫‪dS‬‬
‫= ) ‪u (x0‬‬
‫‪u‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂D‬‬
‫אבל ‪ G‬מתאפסת על ‪ ,∂D‬לכן הביטוי השני מתאפס‪ ,‬וניוותר עם‬
‫המשוואה שרצינו להוכיח‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הפתרון למשוואת פואסון‪ ∇ u = f :‬ב־‪ D‬ו־‪ u = h‬על ‪ ∂D‬נתון ע"י‪:‬‬
‫¨‬
‫˚‬
‫) ‪∂G (x, x0‬‬
‫= ) ‪u (x0‬‬
‫)‪h (x‬‬
‫‪dS +‬‬
‫‪f (x) G (x, x0 ) d3 x‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂D‬‬
‫‪D‬‬
‫נספחים‬
‫`‪`=0 m=−‬‬
‫במשוואות דיפרנציאליות רגילות מהצורה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪y (x) + P (x) y (x) = Q (x‬‬
‫אינטגרציה‪:‬‬
‫נכפיל את המשוואהבגורם‬
‫ˆ‬
‫‪M (x) ≡ exp‬‬
‫‪P (x) dx‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 7.1‬זהויות גרין‬
‫זהויות גרין הן‪:‬‬
‫˚‬
‫‹‬
‫‪φ (∇ψ) · da‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‹‬
‫˚‬
‫‬
‫= ‪φ∇2 ψ − ψ∇2 φ dV‬‬
‫‪(φ∇ψ − ψ∇φ) · da‬‬
‫‪V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪∂ϕ‬‬
‫≡ ‪∇ϕ · da‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪∂n‬‬
‫)‪(M (x) y (x)) = M (x) Q (x‬‬
‫לפיכך הפתרון יהיה‪:‬‬
‫´‬
‫‪M (x) Q (x) dx‬‬
‫= )‪y (x‬‬
‫)‪M (x‬‬
‫ ‪ ∇2 u‬ב־‪ D‬אז‪:‬‬
‫אם ‪= 0‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪∂u (x‬‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫‪dS‬‬
‫= ) ‪u (x0‬‬
‫)‪− u (x‬‬
‫‪|x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫|‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪|x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫|‬
‫‪4π‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪∂D‬‬
‫הוכחה‪ :‬מנוסחת גרין השנייה‪:‬‬
‫‬
‫˚‬
‫ ‹‬
‫‬
‫‪∂v‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪u∇ v − v∇ u dV‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−v‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪D‬‬
‫‪∂D‬‬
‫ניקח‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪v (x) ≡ −‬‬
‫| ‪4π |x − x0‬‬
‫אז ‪ ,∇2 v = 0‬למעט ב־ ‪ ,x = x0‬ולכן אגף שמאל של זהות גרין‬
‫מתאפס‪ .‬יהי ‪ Dε‬התחום ‪ D‬בלי כדור ברדיוס ‪ ε‬סביב ‪ .x0‬לתחום‬
‫זה יש שתי שפות‪ :‬השפה ‪ ∂D‬ושפת הכדור הקטן‪ .‬נניח בלי הגבלת‬
‫הכלליות כי ‪ .x0 = 0‬על הכדור מתקיים ‪ ,∂/∂n = −∂/∂r‬ולכן נקבל‪:‬‬
‫ ‬
‫‬
‫ ‹‬
‫‪∂ 1‬‬
‫‪1 ∂u‬‬
‫‪−‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−‬‬
‫= ‪dS‬‬
‫‪∂n r‬‬
‫‪r ∂n‬‬
‫‪∂D‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‹‬
‫‪∂ 1‬‬
‫‪1 ∂u‬‬
‫‪−‬‬
‫‪u‬‬
‫‪−‬‬
‫‪dS‬‬
‫‪∂r r‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‪r=ε‬‬
‫‬
‫¨‬
‫‪1‬‬
‫‪∂2f‬‬
‫‪r2 sin2 θ ∂φ2‬‬
‫‪1 ∂2‬‬
‫‪r ∂r 2‬‬
‫‪or‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ 8.6‬פונקציית דלתא‬
‫פונקציית דלתא של דיראק )‪ ,(Dirac delta function‬המסומנת‬
‫)‪ ,δ (x‬מתאפסת בכל מקום פרט ל־‪ ,x = 0‬ומקיימת‪:‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪δ (x) dx = 1‬‬
‫∞‪−‬‬
‫כמו כן‪:‬‬
‫ˆ‬
‫∞‬
‫‪f (x) e− i ωx dx‬‬
‫‪ 8.2‬סוגים של תנאי התחלה‬
‫תנאי דיריכלה‪ :‬הערך של הפונקציה עצמה מוגדר על השפה‪.‬‬
‫תנאי ניומן‪ :‬הערך של הנגזרת מוגדר על השפה‪ .‬בבעיה רב־ממדית‪,‬‬
‫‪.∂f /∂n = n‬‬
‫הנגזרת היא הנגזרת המאונכת לשפה‪ˆ · ∇f ,‬‬
‫תנאי רובין‪ :‬הערך של הסכום של הפונקציה ונגזרתה‪ ,af + bf 0 ,‬מוגדר‬
‫על השפה‪.‬‬
‫)‪1 − cos (2x‬‬
‫= ‪sin x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪1 + cos (2x‬‬
‫= ‪cos x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪3 cos x + cos (3x‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪3 sin x − sin (3x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪cos3 x‬‬
‫‪ 8.4‬אינטגרלים שימושיים‬
‫ˆ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪x − sin (2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪sin2 x dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪x + sin (2x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪cos2 x dx‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪an+1‬‬
‫∞‬
‫= ‪xn e−ax dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫ˆ‬
‫‪e−p dp = erf x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫‪π‬‬
‫= ‪sin3 x‬‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪fˆ (ω‬‬
‫‪2π‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪1‬‬
‫√ = )‪f (x‬‬
‫‪f (ω) ei ωx dω‬‬
‫∞‪2π −‬‬
‫וניתן להראות )באמצעות אינטגרציה בחלקים( כי התמרת פורייה של‬
‫הנגזרת )‪ f 0 (x‬היא )‪ ,i ω fˆ (ω‬ולכן זו של )‪ f 00 (x‬היא )‪.−ω 2 fˆ (ω‬‬
‫התמרת לפלס מוגדרת כך‪:‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪f (t) e−st dt‬‬
‫≡ )‪L [f (t)] (s‬‬
‫‪0‬‬
‫אם )‪) f (t) 7→ F (s‬כלומר‪ (L [f (t)] (s) = F (s) ,‬אז‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪tf (t) 7→ −F 0 (s) , tn f (t) 7→ (−1) F (n) (s‬‬
‫)‪f 0 (t) 7→ sF (s) − f (0) , f 00 (t) 7→ s2 F (s) − sf (0) − f 0 (0‬‬
‫∞ ˆ‬
‫‪1 s‬‬
‫)‪f (t‬‬
‫→‪7‬‬
‫→‪F (σ) dσ, f (at) 7‬‬
‫‪F‬‬
‫‪t‬‬
‫|‪|a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪s‬‬
‫‪at‬‬
‫)‪e f (t) 7→ F (s − a) , f (t − a) Θ (t − a) 7→ e−as F (s‬‬
‫כאשר )‪ Θ (x‬היא פונקציית מדרגה )שווה ל־‪ 1‬כאשר ‪ x > 0‬ו־‪0‬‬
‫אחרת(‪ .‬כמו־כן‪ ,‬אם )‪ g (t) 7→ G (s‬אז‪:‬‬
‫‪ˆ t‬‬
‫≡ )‪f (t) ∗ g (t‬‬
‫)‪f (τ ) g (t − τ ) dτ 7→ F (s) G (s‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ∗ מסמן קונבולוציה‪.‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫∞‪−‬‬
‫‪ 8.3‬זהויות טריגונומטריות‬
‫‪ 7.2‬נוסחת הייצוג‬
‫) ‪(rf‬‬
‫התמרת פורייה מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫= ‪φ∇ ψ + (∇φ) · (∇ψ) dV‬‬
‫‪V‬‬
‫‪1 ∂ 2‬‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫‪1‬‬
‫‪(r Ar ) +‬‬
‫‪(sin θAθ ) +‬‬
‫‪Aφ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‪r sin θ ∂θ‬‬
‫‪r sin θ ∂φ‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫‪∂Aθ‬‬
‫=‪∇×A‬‬
‫‪(sin θAφ ) −‬‬
‫ˆ‬
‫‪r+‬‬
‫‪r sin θ ∂θ‬‬
‫‪∂φ‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ∂Ar‬‬
‫∂‬
‫‪ˆ + 1 ∂ (rAθ ) − ∂Ar φ‬‬
‫ˆ‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(rAφ ) θ‬‬
‫‪r sin θ ∂φ‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‪∂θ‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫∂‬
‫‪∂f‬‬
‫∂ ‪1‬‬
‫‪2 ∂f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪+ 2‬‬
‫‪sin θ‬‬
‫‪+‬‬
‫‪∇ f= 2‬‬
‫‪r ∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r sin θ ∂θ‬‬
‫‪∂θ‬‬
‫=‪∇·A‬‬
‫‪ 8.7‬התמרת לפלס ופורייה‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫פונקציות גרין‬
‫ˆ ‪1 ∂f‬‬
‫‪∂f‬‬
‫ˆ ‪1 ∂f‬‬
‫‪θ+‬‬
‫‪φ‬‬
‫= ‪∇f‬‬
‫ˆ‬
‫‪r+‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r ∂θ‬‬
‫‪r sin θ ∂φ‬‬
‫כל עוד תחום האינטגרציה מכיל את הנקודה ‪.x0‬‬
‫קרטזיות בשלושה ממדים היא מוגדרת כך‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪δ (x, y, z) = δ (x) δ (y) δ (z‬‬
‫בקואורדינטות כדוריות נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪δ 3 (r − r0 ) = 2‬‬
‫) ‪δ (r − r0 ) δ (θ − θ0 ) δ (φ − φ0‬‬
‫‪r sin θ‬‬
‫באופן כללי‪ ,‬יש לחלק את הביטוי ביעקוביאן במעבר קואורדינטות‬
‫)מפני שהביטוי המלא אותו צריך לשנות הוא ‪.(δ 3 (r) d3 r‬‬
‫‪ 8.1‬גורם אינטגרציה‬
‫פרק ‪7‬‬
‫‪ˆ + r dr dθ φ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ ‪da = r2 sin θ dθ dφ‬‬
‫‪r + r sin θ dr dφ θ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪|˙r| = r˙ 2 + r2 θ˙2 + r2 sin2 θ φ˙ 2‬‬
‫בקואורדינטות‬
‫≡ ‪C`m‬‬
‫הפתרון הכללי למשוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות‪ ,‬כאשר יש תלות‬
‫ב־‪ ,φ‬יהיה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫∞‬
‫`‬
‫‪m‬‬
‫‪X X‬‬
‫`‪B‬‬
‫`‬
‫)‪Y`m (θ, φ‬‬
‫= )‪Φ (r, θ, φ‬‬
‫‪Am‬‬
‫‪` r + `+1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪dV = r2 sin θ dr dθ dφ‬‬
‫‪ˆ + r sin θ dφ φ‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ ‪dl = dr‬‬
‫‪r + r dθ θ‬‬
‫) ‪f (x) δ (x − x0 ) dx = f (x0‬‬
‫¨‬
‫∗‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫)‪r = x2 + y 2+ z 2 (distance from origin‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫)‪∈ [0, π] (angle down from z axis‬‬
‫‪θ = cos−1‬‬
‫ ‪ry‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪φ = tan−1‬‬
‫)‪∈ [0, 2π] (angle from x axis‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r = sin θ cos φ x‬‬
‫‪ˆ + sin θ sin φ y‬‬
‫ˆ ‪ˆ + cos θ‬‬
‫‪z‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪θ = cos θ cos φ x‬‬
‫‪ˆ + cos θ sin φ y‬‬
‫ˆ ‪ˆ − sin θ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪φ = − sin φ x‬‬
‫‪ˆ + cos φ y‬‬
‫ˆ‬
‫פונקציית גרין )‪ G (x‬עבור האופרטור ∇‪ −‬והתחום ‪ D‬בנקודה‬
‫‪ x0 ∈ D‬היא פונקציה אשר מוגדרת לכל ‪ x ∈ D‬ומקיימת‪:‬‬
‫‪ G (x) .1‬גזירה פעמיים ברציפות ו־‪ ∇2 G = 0‬ב־‪ ,D‬למעט בנקודה‬
‫‪.x0‬‬
‫‪ G (x) = 0 .2‬עבור ‪.x ∈ ∂D‬‬
‫‪ .3‬הפונקציה | ‪ G (x) + 1/4π |x − x0‬סופית ב־ ‪ ,x0‬גזירה ברציפות‬
‫פעמיים בכל מקום והרמונית ב־ ‪.x0‬‬
‫ניתן להראות כי פונקציית גרין קיימת ויחידה‪ .‬נסמן אותה ב־‬
‫) ‪ .G (x, x0‬מתקיים‪:‬‬
‫‪G (x, x0 ) = G (x0 , x) ,‬‬
‫‪x 6= x0‬‬
‫= )‪f (θ, φ‬‬
‫‪f (θ, φ) [Y`m (θ, φ)] dΩ‬‬
‫‪x = r sin θ cos φ,‬‬
‫‪y = r sin θ sin φ,‬‬
‫‪z = r cos θ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆ − sin φ φ‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫ˆ ‪ˆ = sin θ cos φ‬‬
‫‪r + cos θ cos φ θ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ˆ + cos φ φ‬‬
‫ˆ‬
‫‪y‬‬
‫ˆ ‪ˆ = sin θ sin φ‬‬
‫‪r + cos θ sin φ θ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ ‪z = cos θ‬‬
‫‪r − sin θ θ‬‬
‫‪ 7.3‬פונקציות גרין‬
‫פרק ‪8‬‬
‫`‪`=0 m=−‬‬
‫‪ 8.5‬קואורדינטות כדוריות‬
‫‪2‬‬
‫‪ 7.4‬משוואת פואסון‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫באגף ימין נקבל‪:‬‬
‫‹‬
‫‹‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪∂u‬‬
‫‪u dS −‬‬
‫‪dS = 4πu + 4πε‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪ε r=ε ∂r‬‬
‫‪∂r‬‬
‫‪r=ε‬‬
‫כאשר ‪ u‬מסמל את הממוצע של )‪ u (x‬על הכדור ‪.|x| = r = ε‬‬
‫כאשר ‪ ,ε → 0‬ביטוי זה שואף ל־)‪ 4πu (0‬מכיוון ש־‪ u‬רציפה ו־‪∂u/∂r‬‬
‫חסומה‪ .‬מכאן נקבל את נוסחת הייצוג‪.‬‬
‫בשני ממדים‪ ,‬הנוסחה היא‪:‬‬
‫‬
‫ ˆ‬
‫∂‬
‫‪∂u‬‬
‫‪dS‬‬
‫= ) ‪u (x0‬‬
‫‪u‬‬
‫‪(log |x − x0 |) −‬‬
‫| ‪log |x − x0‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪∂n‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪∂D‬‬
‫‪ 8.8‬גזירת גבולות באינטגרל‬
‫כאשר גוזרים אינטגרל עם גבולות משתנים‪ ,‬יש להשתמש בנוסחה‪:‬‬
‫ˆ‬
‫)‪d b(t‬‬
‫= ‪f (x, t) dx‬‬
‫)‪dt a(t‬‬
‫)‪ˆ b(t‬‬
‫∂‬
‫‪f (b (t) , t) b0 (t) − f (a (t) , t) a0 (t) +‬‬
‫‪f (x, t) dx‬‬
‫‪a(t) ∂t‬‬