7: פרק סטטיסטיקה תיאורית ( מודרכת לקריאה עצמית ) ענפי הסטטיסטיקה

‫‪7‬‬
‫‪-‬‬
‫ענפי הסטטיסטיקה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫ישנן שיטות סטטיסטיות שיכולות לסייע לנו לתאר‬
‫מק ץ נתונים‬
‫הענף סטטיסטיקה המוקדש לאר ון סיכום ותיאור‬
‫‪.‬‬
‫מק ץ נתונים נקרא‬
‫הענף סטטיסטיקה העוסק שימוש נתוני מד ם‬
‫‪.‬‬
‫כדי להסיק על האוכלוסייה נקרא‬
‫שאלה‪ 9‬נניח והיו לנו נתונים על כל יחידות הניסוי‬
‫ש אוכלוסייה איזה ענף של הסטטיסטיקה נוכל‬
‫להסתפק‬
‫מטרות הסטטיסטיקה הינן‪9‬‬
‫לתאר נתונים‬
‫להשתמש נתוני מד ם כדי להסיק על האוכלוסייה‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪78‬‬
‫‪-7‬‬
‫סטטיסטיקה תיאורית‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סידור והצ ת נתונים ט לת התפל ות שכיחויות‪:‬‬
‫תיאור רפי של הנתונים‪:‬‬
‫חישו מדדים שיתנו אינפורמציה על הנתונים‪9‬‬
‫מדדי מרכז מדדי פיזור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫המטרה של תיאור נתונים היא לסכם את המאפיינים‬
‫של אוסף נתונים‬
‫אנחנו רוצים להפוך את הנתונים ל רורים יותר ול עלי‬
‫משמעות‬
‫סטטיסטיקה תיאורית – ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אופן ההצ ה הט לתית תלוי אופי המשתנים אותם‬
‫רוצים לתאר ‪ -‬איכותני או כמותי דיד או רציף‬
‫נפריד לשני אופנים של הצ ה אמצעות ט לה ע ור‪9‬‬
‫‪:‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪77‬‬
‫‪-7‬‬
‫נתונים דידים – ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר יש מעט נתונים ולמיים אין צורך לאר ן‬
‫אותם ט לת השכיחות‬
‫יש רק תצפיות המתארות את יל‬
‫‪7‬‬
‫הנ דקים‪9‬‬
‫לעומת זאת כאשר יש מספר ר של תצפיות וישנן‬
‫חזרות על אותם ערכים מאוד נוח לאר ן את‬
‫הנתונים ט לת שכיחות‬
‫נתונים דידים – ט לאות שכיחות‬
‫כדי ל נות ט לת שכיחות נ צע את השל ים ה אים‪9‬‬
‫‪ ‬מידה והמשתנה הוא איכותני ‪ -‬נמיין את הנתונים‬
‫הק וצות ‪:‬‬
‫ל‬
‫מידה והמשתנה הוא כמותי ‪ -‬נרשום את‬
‫הנתונים לפי סדר עולה כאשר כל ערך מהווה‬
‫ק וצה‬
‫‪ ‬נספור ונמצא כמה תצפיות יש מכל ערך של‬
‫משתנה כך אנו מוצאים את השכיחות של כל‬
‫ערך‬
‫‪ ‬נמצא את השכיחות היחסית‬
‫‪ ‬נחש את השכיחות המצט רת‬
‫‪ ‬נחש את השכיחות המצט רת היחסית‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪78‬‬
‫‪-7‬‬
‫נתונים דידים – ט לאות שכיחות‬
‫מחלקה היא אחת מהקט וריות אליהן ניתן לסוו‬
‫נתונים איכותניים‬
‫השכיחות של מחלקה מסויימת היא מספר‬
‫התצפיות המשתייכות אליה‬
‫שכיחות יחסית ע ור מחלקה מסוימת אחוז‬
‫התצפיות המשויכות למחלקה המחוש מתוך‬
‫סה"כ מספר התצפיות‬
‫שכיחות מצט רת ע ור מחלקה מסוימת סכום‬
‫השכיחויות המצט ר עד למחלקה זו כולל‬
‫שכיחות מצט רת יחסית ע ור מחלקה מסוימת‬
‫האחוז שמהווה השכיחות המצט רת של המחלקה‬
‫המחוש מתוך סה"כ מספר התצפיות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונים דידים – ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫אם נסתכל על המשתנה "מין" משתנה דיד‬
‫איכותני כפי שהוא מופיע נתוני המד ם של סקר‬
‫מסוים נתונים חלקיים – לצורך תר ול והמחשה נק ל‬
‫את ט לת השכיחות ה אה‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫נשים‬
‫‪9‬‬
‫רים‬
‫‪99‬‬
‫סה"כ‬
‫‪‬‬
‫‪8‬‬
‫‪99‬‬
‫‪1‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫‪.‬‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪89‬‬
‫‪-7‬‬
‫ך‬
‫–‬
‫'‬
‫ז‬
‫ז‬
‫‪12‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪20‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪16‬‬
‫‪10‬‬
‫‪14‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪14‬‬
‫‪9‬‬
‫‪14‬‬
‫‪7‬‬
‫‪14‬‬
‫‪9‬‬
‫‪12‬‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪12‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪19‬‬
‫‪18‬‬
‫‪14‬‬
‫‪16‬‬
‫‪61‬‬
‫‪32‬‬
‫‪35‬‬
‫‪26‬‬
‫‪25‬‬
‫‪59‬‬
‫‪46‬‬
‫‪.‬‬
‫‪57‬‬
‫‪64‬‬
‫‪72‬‬
‫‪67‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪59‬‬
‫‪60‬‬
‫‪77‬‬
‫‪52‬‬
‫‪55‬‬
‫‪37‬‬
‫‪45‬‬
‫‪34‬‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪47‬‬
‫‪24‬‬
‫‪28‬‬
‫‪57‬‬
‫‪44‬‬
‫‪75‬‬
‫‪58‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪22‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪28‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫אישה‬
‫ר‬
‫מין‬
‫אחר‬
‫אפרו‪-‬אמריקאי‬
‫ל ן‬
‫מוצא‬
‫מער‬
‫דרום מזרח‬
‫צפון מזרח‬
‫איזור יאו רפי‬
‫לא מאושר‬
‫די מאושר‬
‫מאוד מאושר‬
‫מידת אושר‬
‫נמוכה‬
‫ינונית‬
‫והה‬
‫מידת עניין חיים‬
‫הערה‪ 9‬סימון נקודה " " מקום ערך מצ יע על כך שהערך הוא לא ידוע ולכן חסר‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫נתונים דידים – ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫אם נסתכל על המשתנה "מספר ילדים" משתנה דיד‬
‫כמותי נק ל את ט לת השכיחות ה אה‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪8‬‬
‫‪25%‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪28.1%‬‬
‫‪21.9%‬‬
‫‪17‬‬
‫‪24‬‬
‫‪53.1%‬‬
‫‪75%‬‬
‫‪15.6%‬‬
‫‪29‬‬
‫‪90.6%‬‬
‫‪3.1%‬‬
‫‪30‬‬
‫‪93.7%‬‬
‫‪6.3%‬‬
‫‪100%‬‬
‫‪32‬‬
‫‪100%‬‬
‫סה"כ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫נשים ‪ -‬המשתנה מספר ילדים הוא כמותי – לכן הערכים ט לת השכיחות‬
‫מסודרים סדר עולה‬
‫נתונים כמותיים רציפים ‪ -‬ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר המשתנה הוא כמותי דיד ויש לנו הר ה תצפיות‬
‫והר ה ערכים או כאשר המשתנה רציף אזי‬
‫לשם הצ ת התפל ותו נ נה ט לת שכיחות מתומצתת‬
‫אופן הע ודה‪9‬‬
‫נק ע את אופן החלוקה למחלקות לק וצות ונק ץ אוסף‬
‫של ערכים אפשריים למחלקה אופן כזה שאנו יוצרים‬
‫כלומר כל תצפית משוייכת למחלקה‬
‫ז‬
‫כלומר לא יהיה מצ‬
‫אחת ל ד‬
‫ו חלק מהתצפיות לא יופיעו מחלקה כלשהי‬
‫מע ר לכך צריך לק וע מספר מחלקות אופן שלא נ יע‬
‫למצ של "קי וץ ייתר" ו יהיו לנו מעט מחלקות א ל‬
‫נא ד מידע‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫נתונים כמותיים רציפים ‪ -‬ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫למשל המשתנה יל מק ל הר ה ערכים ט לה‬
‫מתומצתת אפשרית היא‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה‪ 9‬ככל שנק ץ יותר נתונים כל מחלקה נק ל תמונה‬
‫פשוטה יותר שלהם אך מפורטת פחות למשל –‬
‫‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫לא ניתן לדעת כמה הם ני‬
‫מתוך ט לה‬
‫‪ 7‬למשל‬
‫אין טעם להצי כך את התפל ות המשי ים לפי ק וצות יל‬
‫ קי וץ הייתר מעוות את תמונת הנתונים‬‫ט לה זו חילקנו את הנתונים לק וצות דולות מידי כך‬
‫שאי דנו את מר ית המידע‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫וכמה ני‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫נתונים כמותיים רציפים ‪ -‬ט לאות שכיחות‬
‫‪‬‬
‫לסיכום‪ 9‬צריכים למצוא סו של קי וץ ו לא יהיו‬
‫לנו הר ה מאוד מחלקות כי אז נק ל ט לה‬
‫דולה מאוד וקשה יהיה לנו ללמוד על‬
‫ההתנה ות של המשתנה‬
‫מצד שני שלא יהיה קי וץ ייתר ו יש מספר‬
‫קטן מידי של מחלקות כי ם הוא לא מאפשר‬
‫לנו ללמוד על המשתנה‬
‫נתונים רציפים –‬
‫ולות מחלקות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכל מחלקה יש ול עליון ו ול תחתון‬
‫יש רווח ין‬
‫כאשר מדו ר‬
‫המחלקות כלומר ה ול העליון של מחלקה אחת‬
‫עם ה ול התחתון של המחלקה שמעליה‬
‫אין רווח ין‬
‫כאשר מדו ר‬
‫המחלקות כלומר ה ול העליון של מחלקה אחת‬
‫עם ה ול התחתון של המחלקה שמעליה‬
‫כדי לע ור מ ולות מדומים ל ולות אמיתיים נחלק את‬
‫"הרווח" ש ין המחלקות לשניים ‪ -‬מחצית אחת נוספת‬
‫למחלקה התחתונה ומחצית שנייה למחלקה העליונה‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫נתונים רציפים –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ולות מחלקות‬
‫עולה שאלה נו ע‬
‫ולות‬
‫כאשר מדו ר‬
‫לא שייך לאף‬
‫לעיקרון של חלוקה ממצה ‪ -‬הרי‬
‫מחלקה התשו ה היא שאין לנו מד ם ילאים שנתונים‬
‫ש רי שנים אלא ה ילאים הם שנים שלמות לכן‬
‫החלוקה היא ממצה‬
‫עולה שאלה נו ע‬
‫כאשר עו רים ל ולות‬
‫לשמירת העיקרון של ק וצות זרות ‪ -‬הרי ‪ 8‬מופיע‬
‫שתי מחלקות התשו ה היא שמראש נקודות החלוקה‬
‫הערכים שמשותפים לשתי מחלקות הן לא ערכים‬
‫שמופיעים מד ם פועל כך שעדיין הק וצות זרות זו‬
‫לזו‬
‫נתונים רציפים – מחלקות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לעיתים מופיעות מחלקות פתוחות שהן עלות ול אחד ל ד‬
‫למשל‪ 88 9‬ומעלה או מחלקה תחתונה כמו ‪ 8‬ומטה‬
‫משתמשים הן כשאין לנו מידע על הנתונים הקיצוניים‬
‫והחרי ים יותר מד ם או כשהנתון ל יהם לא מעניין‬
‫לדו מא‪ 9‬ט לת מדידות זמני ריצה ‪ -‬יכול להיות שלא נהיה‬
‫מעוניינים זמן הריצה המדויק של אלו שפי רו האחור זמן‬
‫הריצה שלהם ארוך והמדידה של הזמן הופסקה של מסוים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הממוצע ין ה ול העליון של המחלקה ל ול התחתון ‪ -‬לא‬
‫משנה אם החישו נעשה לפי ולות מדומים או לפי ולות‬
‫אמיתיים‬
‫למשל‪ 9‬נקודת האמצע של המחלקה ‪ 30-35‬היא‬
‫‪ (30+35)/2=32.5‬או שנוכל לחש זאת ם לפי ה ולות‬
‫האמיתיים ‪ -(29.5+35.5)/2=32.5‬קי לנו את אותו ערך‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫סטטיסטיקה תיאורית ‪ -‬רפים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ההצ ה החזותית של ההתפל ות יכולה ללוות את‬
‫ט לת השכיחויות ההצ ה ה ראפית מד ישה את‬
‫התכונות המאפיינות את הנתונים וקל לה ין אותן‬
‫ממנה נכיר סו ים של דיא ראמות‪9‬‬
‫דיא ראמת מ זרות ידועה ם שם "פאי" ‪:‬‬
‫דיא ראמת מקלות דיא ראמת עמודות‪:‬‬
‫דיא ראמת עול‪-‬עלה‪:‬‬
‫היסטו רם מצולע שכיחויות פולי ון‬
‫פאי מתאים לתיאור התפל ות של משתנה איכותני‪:‬‬
‫עמודות – להתפל ות של איכותני או כמותי דיד עם‬
‫מעט ערכים‪ :‬שני האחרונים – לרציף‬
‫תיאור רפי של משתנה איכותני‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫" " ו‪-‬‬
‫שתי השיטות השכיחות יותר כדי לתאר‬
‫משתנה איכותני שתיהן מראות כמה תצפיות‬
‫משתייכות לכל אחת מהקט וריות האיכותניות‬
‫דומה להצ ה אמצעות ט לה ‪ -‬המידע‬
‫המסוכם שאנו מעוניינים ו ע ור משתנה‬
‫איכותני הוא מספר התצפיות המשתייכות לכל‬
‫מחלקה שכיחות או השיעור של המחלקה‬
‫מתוך סה"כ התצפיות שכיחות יחסית‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫הן‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫ייצו‬
‫רפי להתפל ות משתנה דיד‪-‬פאי‬
‫מאוד מאושר‬
‫די מאושר‬
‫לא מאושר‬
‫‪12.9%‬‬
‫‪32.26%‬‬
‫‪54.84%‬‬
‫‪1‬‬
‫ייצו‬
‫‪.‬‬
‫רפי להתפל ות משתנה דיד‪-‬פאי‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מסכמים את הנתונים ט לת שכיחות הכוללת את‬
‫השכיחות היחסית ע ור כל מחלקה‬
‫יוצרים מע ל ששטחו מציין את כל ‪ 99‬המקרים‬
‫מחלקים את שטח המע ל ל זרות לפי מספר הקט וריות‬
‫הק וצות של המשתנה – כאשר החלוקה היא‬
‫לשטחים לפי השכיחות היחסית של התצפיות כל‬
‫ק וצה התאם ה זרות נק עות לפי הזווית היחסית‬
‫הס ר כיתה‬
‫מתוך ‪9‬‬
‫נרשום ליד כל "פרוסה" "פאי" ע ור כל מ זרת את‬
‫ערך הקט וריה נוכל ם להוסיף את השכיחות היחסית‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪88‬‬
‫‪-7‬‬
‫ייצו‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫רפי להתפל ות משתנה דיד‪-‬עמודות‬
‫" מתאימה לתיאור התפל ות‬
‫"‬
‫שכיחויות של משתנה איכותני או של משתנה כמותי דיד‬
‫שאין לו הר ה ערכים נד ים אמצעות אותה ט לת‬
‫שכיחות ע ור המשתנה "מידת אושר"‬
‫את אותו המידע שהצ נו ע ור המשתנה "מידת אושר"‬
‫נוכל להצי ם אמצעות דיא ראמת עמודות‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫‪Count‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫לא מאושר‬
‫‪2‬‬
‫ייצו‬
‫די מאושר‬
‫מאוד מאושר‬
‫‪.‬‬
‫רפי להתפל ות משתנה דיד‪-‬עמודות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מסכמים את הנתונים ט לת שכיחות הכוללת את השכיחות‬
‫היחסית ע ור כל מחלקה‬
‫על הציר האופקי ציר ה‪ x -‬נסמן את ערכי המשתנה ה דיד‬
‫מרחקים שווים זה מזה‬
‫אם הערכים איכותניים הסדר אינו משנה אם הם כמותיים‬
‫מסדרים סדר עולה הציר האנכי ציר ה‪ y -‬הוא ציר‬
‫השכיחות או השכיחות היחסית‬
‫מעל הערכים השונים המסומנים על הציר האופקי המחלקות‬
‫משרטטים עמודות ו ה השכיחויות השכיחויות היחסיות‬
‫התאמה ה ו ה של כל עמודה הוא פרופורציונאלי לשכיחות‬
‫לשכיחות היחסית‬
‫אופן זה נוח להשוות ין הק וצות אמצעות השוואה‬
‫ויזואלית ע"פ ו הי העמודות המקושרות לקט וריות השונות‬
‫אפשר ם להפוך את הצירים ציר ה‪ x -‬יהיה ציר השכיחות‬
‫וציר ה‪ y -‬יהיה ציר הקט וריות‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪87‬‬
‫‪-7‬‬
‫ייצו‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫רפי להתפל ות משתנה רציף‬
‫הן שתי שיטות‬
‫" ו‪-‬‬
‫‬‫"‬
‫לתיאור משתנים כמותיים דידים עם ערכים ר ים או‬
‫רציפים דומה לדיא רמת ה"פאי" ודיא רמת ה"עמודות" ‪-‬‬
‫שתיהן מראות כמה תצפיות משתייכות לכל אחת‬
‫מהמחלקות שכיחות או הפרופורציה של המחלקה מתוך‬
‫סה"כ התצפיות שכיחות יחסית‬
‫המחלקות לא מייצ ות קט וריות של משתנה איכותני אלא‬
‫הן ק וצות של ערכים מספריים תחומי ערכים אינטרוולים‬
‫של הנתונים אותם רוצים לתאר‬
‫ע ור ודלי מד ם קטנים יחסית עד ‪ 9‬תצפיות אפשר‬
‫" היסטו רם מתאים יותר‬
‫‬‫ל נות דיא רמת "‬
‫לתיאור של מד מים דולים והוא מאפשר מישות ר ה‬
‫יותר ק יעת המחלקות‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬דיא רמת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עול‪-‬עלה‬
‫"‬
‫‬‫"‬
‫נסדר את הערכים לפי סדר עולה מהנמוך ל וה‬
‫נק ע כיצד נ דיר את ה" עולים" המחלקות‬
‫נרשום עמודה את ה" עולים" מהקטן ל דול או הפוך‬
‫מצד ימין תרשים נמקם את ה"עלה" של כל תצפית‬
‫ל" עול" המתאים כאשר הכנסת ה"עלים" לכל " עול"‬
‫תעשה לפי סדר עולה של ה"עלים" עד שנמצה את כל‬
‫התצפיות מד ם מיקום ה"עלים" נעשה ע"י רישום‬
‫ספרת ספרות ה"עלים" מתוך הערך של התצפית‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪88‬‬
‫‪-7‬‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬דיא רמת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הדו מא שנראה כאן ע ור דיא רמת " עול‪-‬עלה" היא ע ור‬
‫מד ם דול יחסית של ‪ 9‬תצפיות‬
‫שרטוט הדיא רמה נעשה אמצעות תוכנה סטטיסטית‬
‫להלן הציונים של ‪ 9‬סטודנטים קורס לסטטיסטיקה‪9‬‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬דיא רמת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫עול‪-‬עלה‬
‫עול‪-‬עלה‬
‫נוח לק וע את ספרת העשרות נרשום כל " עול"‬
‫ספרת העשרות ציון‬
‫אפשר לק וע שני עולים על סמך כל ספרת עשרות לפי‬
‫החלוקה ה אה לתחומים למשל‪ 9‬ע ור המחלקות ‪8 -89‬‬
‫נרשום ‪ 8‬כ עול פעם אחת וע ור המחלקה ‪88-8‬‬
‫נרשום את ‪ 8‬כ עול פעם שנייה‬
‫ע ור עול ה‪ 8 -‬הראשון העלים יהיו ספרות האחדות ‪8-‬‬
‫זאת כדי לייצ את המחלקה ‪8 -88‬‬
‫וע ור עול ה‪ 8 -‬השני העלים יהיו ספרות האחדות ‪-9‬‬
‫זאת כדי לייצ את המחלקה ‪89-8‬‬
‫עול נרשום את העלים התאם לציונים‬
‫ליד כל‬
‫שמשתייכים לכל מחלקה‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪99‬‬
‫‪-7‬‬
‫עול‪-‬עלה‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬דיא רמת‬
‫‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬היסטו רם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫היסטו רם או היסטו רמה הוא תיאור רפי דומה‬
‫לדיא רמת עמודות אך שונה מ חינה מהותית‬
‫היסטו רם המחלקות מייצ ות אינטרוולים של נתונים‬
‫כמותיים על ציר המספרים מחלקה מיוצ ת על‪-‬ידי אורך‬
‫של קטע ושכיחותה מיוצ ת על‪-‬ידי שטח של מל ן‬
‫הדו מאות הן נעסוק יהיו של מחלקות שוות רוח‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬היסטו רם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לק וע את התחום של הערכים מספריים על ציר המספרים‬
‫זאת נעשה אמצעות איתור התצפיות הנמוכה יותר וה והה‬
‫יותר‬
‫לק וע את רוח המחלקה רוח המחלקה תלוי מספר‬
‫המחלקות ש ו אנו מעוניינים היסטו רם ו המחלקות הן שוות‬
‫רוח רוח כל מחלקה יהיה המנה ין הטווח ל ין מספר‬
‫המחלקות ש ו אנו מעוניינים הטווח הוא ההפרש ין הערך‬
‫המקסימאלי ל ין הערך המינימאלי של המשתנה מד ם‬
‫לרשום את ולות המחלקות כ ולות אמיתיים ולא מדומים‬
‫נסוו את התצפיות למחלקות ונמנה כמה תצפיות יש כל‬
‫מחלקה‬
‫את כל השל ים הנ"ל ניתן לסכם ט לת שכיחות מקו צת‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬היסטו רם‬
‫‪‬‬
‫ולות אמיתיים‬
‫לשרטט את ה רף נסמן את המחלקות‬
‫על הציר האופקי ציר ה‪ x -‬מעל לכל מחלקה נשרטט מל ן‬
‫שיציין ו הו את השכיחות או השכיחות היחסית של כל‬
‫מחלקה‬
‫‪25‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪Mean =68.68‬‬
‫‪Std. Dev. =14.085‬‬
‫‪N =120‬‬
‫‪0‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫‪90‬‬
‫‪80‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪30‬‬
‫‪40‬‬
‫‪.‬‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬היסטו רם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ניתן לח ר את מרכזי הצלעות העליונות של המל נים‬
‫היסטו רם אמצעות קו‬
‫הקו הש ור המתק ל נקרא‬
‫כאשר ונים את המצולע ממשיכים אותו מע ר לשתי‬
‫נקודותיו הקיצוניות ומח רים אותו לציר האופקי טווח רווח‬
‫של חצי ק וצה אחת מכל צד‬
‫ככל שיש לנו מד ם דול יותר ויותר נוכל להקטין יותר ויותר‬
‫את רוח י המחלקות אז נ נה היסטו רם שהוא מפורט‬
‫יותר ויותר מצולעי השכיחויות שיתק לו ילכו ויתקר ו לקו‬
‫חלק מסוים כלומר לעקומה‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬היסטו רם‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נוכל לה חין מספר סו י התפל ויות עקומות למשל‪9‬‬
‫ההתפל ות המסומנת ‪ a -‬נקראת התפל ות א‪-‬סימטרית‬
‫שמאלית שלילית‬
‫ההתפל ות המסומנת ‪ b -‬נקראת התפל ות א‪-‬סימטרית‬
‫ימנית חיו ית‬
‫ההתפל ות המסומנת ‪ c -‬נקראת התפל ות סימטרית‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫רף למ"מ רציף ‪ -‬היסטו רם‬
‫‪‬‬
‫כלל אצ ע לק יעת מספר מחלקות ע ור ט לת שכיחות‬
‫מקו צת או ע ור היסטו רם לפי מספר התצפיות‪9‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫ז‪,‬‬
‫‪7 .2‬‬
‫ז‬
‫‪ ‬כאשר די רנו על ט לת התפל ות שכיחויות ועל דרכי הצ ה רפיות להתפל ות שכיחויות‬
‫הראינו כיצד ניתן לאר ן את הנתונים של ים הראשון של העי וד ההצ ה ה רפית של‬
‫הנתונים מאפשרת התרשמות כללית אך אינה מאפשרת ניתוח מ וסס של התופעה‬
‫הנחקרת‬
‫‪‬‬
‫של ה א של לימוד הנתונים החוקר מעוניין להשי על השאלה שהצי לעצמו נושא‬
‫השאלה יכול להיות‪ 9‬מידת פיזור הנתונים מיקומם המרכזי קשר ין משתנים שונים‬
‫‪‬‬
‫ין מטרות המחקר הכמותי‪ 9‬הסקת מסקנות ל י התופעה ו יטוי מסקנות אלה צורה‬
‫כמותית ע"י מספר אחד או כמה מספרים שיאפיינו את התכונות של התופעה ויאפשרו‬
‫השוואת תופעות שונות מאותו סו לשם הש ת מטרה זו נשתמש‬
‫‪ ‬מדד הוא יטוי כמותי מספר המייצ תכונה מסויימת של הנתונים או מייצ קשר ין משתנים‬
‫שונים‬
‫‪ ‬המדדים העיקריים לאיפיון משתנים נחלקים לק וצות ה אות‪9‬‬
‫ז‪,‬‬
‫ז‬
‫‪ ‬כאשר מעוניינים שאלה – מה המיקום המרכזי של הנתונים אנו מעונינים למעשה מדדי‬
‫מיקום מרכזי אנחנו רוצים לאפיין את המרכז של סדרת מספרים כלומר ס י איזה ערך‬
‫הנתונים ממורכזים המספרים שממלאים תפקיד זה נקראים "‬
‫ז"‬
‫‪ ‬מספרים שמודדים את מידת הפיזור אוסף הנתונים נקראים "‬
‫ז "‬
‫‪ ‬מדדי מרכז ומדדי פיזור הם אינם המספרים היחידים אמצעותם ניתן לאפיין אוסף של‬
‫נתונים לידיעה כללית ‪ -‬ישנם ם מדדים לסימטריות של ההתפל ות א‪-‬סימטריות לימין א‪-‬‬
‫סימטריות לשמאל למרות שאנו לא נעסוק מדדי הסימטריות לידיעה אם התפל ות היא‬
‫סימטרית או א‪-‬סימטרית יש חשי ות כאשר מתארים את ההתפל ות אמצעות מדדי המרכז‬
‫ומדדי הפיזור‬
‫נתמקד מדדי המרכז ו מדדי הפיזור‬
‫אמצעותם נוכל לדמיין את צורתה של ההתפל ות‬
‫אפילו אם לא נשרטט אותה אופן רפי‬
‫פיזור‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫מרכז‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫ז‬
‫‪7.2.1‬‬
‫כשאנו מעוניינים מרכז התפל ות מדו ר ערך שנמצא "מרכז" של ההתפל ות מספר יחיד‬
‫שנוטה לזהות את הנתונים מדדי המרכז השונים שאותם נכיר מנפקים מספרים שונים ע ור‬
‫אותם הנתונים‪ ,‬א ל כולם יענו על המטרה שלנו‬
‫נכיר‬
‫מדדי מרכז שונים‪9‬‬
‫ממוצע‬
‫חציון‬
‫שכיח‬
‫אופני החישו של מדדי מרכז אלו מותאמים לאופנים ש הם מוצ ות ההתפל ויות של הנתונים‬
‫פירוט ערכי התצפיות או ט לת שכיחות מקו צת ם אם מדו ר אותו המשתנה אופני הצ ה‬
‫שונים יו ילו לתוצאות שונות ע ור מדד מרכז מסויים‬
‫מדד המרכז הנפוץ יותר הוא ה‬
‫‪ D30‬ה‬
‫של מד ם‬
‫ודל ‪ x1 , x 2 , x 3 ,..., x n 9n‬מסומן סימון ‪ x‬נקרא ‪x‬‬
‫‪n‬‬
‫ומחוש‬
‫‪x1  x 2  ...  x n‬‬
‫‪n‬‬
‫אופן ה א‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫ו מילים‪ 9‬המנה ין סכום התצפיות ל ין מספר התצפיות‬
‫הסתמך על נתוני סקר המ זר העסקי ארה"‬
‫נתון‪ 1235125 9‬‬
‫עמוד ‪97‬‬
‫‪ -‬מצאו את ממוצע השכר הנוכחי‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫מדד מרכז אחר הוא ה‬
‫‪ D31‬ע ור נתוני משתנה מסוים ה‬
‫הוא הערך של התצפית כך שמחצית מערכי התצפיות‬
‫הם קטנים ממנו או שוות לו והמחצית האחרת היא מעליו‬
‫ה‬
‫של מד ם‬
‫ודל ‪x , x , x ,..., x n 9n‬‬
‫‪ 1 2 3‬מסומן סימון ‪Md‬‬
‫אם ‪ n‬הוא מספר אי‪-‬זו י‪ 9‬החציון יתק ל ע"י איתור התצפית האמצעית כאשר הנתונים מסודרים‬
‫לפי סדר עולה ערך התצפית שנמצאת מיקום ה‪ (n+1)/2 -‬מסדר כלומר החציון הוא‪9‬‬
‫‪md  x n 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫אם ‪ n‬הוא מספר זו י‪ 9‬הממוצע ין שתי התצפיות האמצעיות כאשר הנתונים מסודרים לפי סדר‬
‫עולה מיקומן של שתי התצפיות האמצעיות מסדר הם המיקום ה‪ n/2 -‬והמיקום ה‪(n/2 + -‬‬
‫כלומר החציון הוא‪9‬‬
‫‪x n   x n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬השטחים של המל נים המשמשים‬
‫‪md ‬‬
‫ניית היסטו רם הם פרופורציונאליים למספרים של‬
‫התצפיות המשתייכות לכל מחלקה מכאן נו ע שהחציון הוא הערך ‪ x‬שמחלק את שטח‬
‫ההיסטו רם לשני חלקים שווים חצי מהשטח יהיה לשמאלו של החציון וחצי השני ימצא‬
‫לימינו‬
‫"‬
‫"‬
‫מצאו את החציון של אוסף נתונים הכולל את התצפיות ה אות‪1, 3, 4, 5, 6, 7 9‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪98‬‬
‫‪-7‬‬
‫הסתמך על נתוני הסקר מ זר העסקי ‪ -‬מצאו את החציון של השכר הנוכחי ראו עמוד ‪97‬‬
‫מדד מרכז נוסף הוא ה‬
‫‪ D32‬ה‬
‫ה‬
‫הוא הערך ‪ x‬ששכיחותו היא ה והה יותר‬
‫הוא הערך שמופיע שכיחות הכי‬
‫ט לת שכיחות הנתונה מחלקות ‪ -‬ה‬
‫והה סימונו ‪Mo‬‬
‫הוא‬
‫של ה‬
‫חש ו את השכיח מתוך הנתונים על השכר מדו מת הסקר מ זר העסקי ארה"‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪97‬‬
‫‪-7‬‬
‫ז‬
‫‪3‬‬
‫‪/‬‬
‫איכותני‬
‫סו המשתנה ע ורו המדד מתאים לשימוש‬
‫ר ישות המדד לערכים קיצוניים‬
‫סדר‬
‫סדר‬
‫כמותי‬
‫כמותי‬
‫כמותי‬
‫מעטה‬
‫מעטה‬
‫ר ה‬
‫‪- 1‬‬
‫אופיו של המדד קו ע מתי ניתן להשתמש ו‬
‫השכיח יעיל למשתנים איכותניים ומעלה לטענה ש"צ ע השיער שחור הוא השכיח אוכלוסייה"‬
‫יש משמעות‬
‫לעומת זאת לא נוכל להשתמש חציון ע ור המשתנה צ ע שיער מכיוון שהחציון מקושר‬
‫לנתונים שיש ע ורם משמעות לסדר – החציון דורש קיום סדר כאשר מדו ר משתנים‬
‫איכותניים אי אפשר לחש חציון כי "מעל" ו"מתחת" אינם מו דרים‬
‫את הממוצע ניתן ליישם רק משתנים שהם כמותיים משום שערכם של הנתונים הוא זה‬
‫שמשפיע עליו ע ור משתנים איכותניים הערכים הם שרירותיים‬
‫‪- 2‬‬
‫נסקור את הדו מה ה אה‪9‬‬
‫מפעל מסוים ישנם‪9‬‬
‫מנהלים שמרוויחים ‪ $ 9 999‬לחודש כל אחד‬
‫מועסקים שמרוויחים ‪999‬‬
‫‪ $‬לחודש כל אחד‬
‫מועסקים שמרוויחים ‪99‬‬
‫‪ $‬לחודש כל אחד‬
‫‪ 7‬מועסקים שמרוויחים ‪99‬‬
‫‪ $‬לחודש כל אחד‬
‫עיתון אחד מדווח כי המשכורת מפעל זה נמוכה מאוד‪9‬‬
‫המשכורת השכיחה היא ‪99‬‬
‫‪:$‬‬
‫עיתון שני וחר להצי שכמחצית המועסקים מק לים פחות מ‪99 -‬‬
‫עיתון שלישי מדווח כי השכר מפעל הוא ‪98‬‬
‫‪:$‬‬
‫‪ $‬ממוצע‬
‫דיווחים שונים אלה מלמדים על תכונת הר ישות לערכים קיצוניים של שלושת המדדים‪9‬‬
‫החציון והשכיח אינם ר ישים לערכים קיצוניים‪ :‬הממוצע ר יש מאוד – משכורתיהם של שני‬
‫המנהלים "הקפיצו" את הממוצע כלפי מעלה השכיח והחציון לעומת זאת כלל לא הושפעו‬
‫מהמשכורת ה והה של המנהלים ם אם כל אחד מהמנהלים ירוויח ‪999‬‬
‫כלשהי‬
‫והה יותר השכיח והחציון לא ישתנו א ל הממוצע יהיה כמו ן‬
‫‪ $‬או משכורת‬
‫וה יותר‬
‫השכיח והחציון "נשענים" על השכיחות הממוצע "נשען" על הערכים עצמם‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪98‬‬
‫‪-7‬‬
‫לכן יש לנהו‬
‫ז‬
‫!! ע ור נתונים שיש הם ערכים קיצוניים ושהם א‪-‬סימטריים צריך‬
‫להיזהר מלהישען על הממוצע‬
‫מצ כזה מדד מרכז על משמעות יהיה החציון שהוא חסין‬
‫יותר להשפעה של ערכים קיצוניים‬
‫ז‬
‫התרשים לקוח מתוך‪ 9‬דיקי טרי ‪888‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫שימוש סטטיסטיקה עסקים הוצאת אור‪-‬עם‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪9‬‬
‫‪-7‬‬
‫‪‬‬
‫ז‬
‫?‬
‫היכן ממוקמים מדדי המרכז אותם חיש נו על ההיסטו רם המתאר את התפל ות השכר‬
‫‪14‬‬
‫‪12‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪80000 90000 100000‬‬
‫‪50000 60000 70000‬‬
‫‪30000 40000‬‬
‫‪20000‬‬
‫שכר נוכחי בדולרים‬
‫מכאן נוכל לנסח‪9‬‬
‫‪‬‬
‫התפל ות א‪-‬סימטרית ימנית כמו ההתפל ות הנ"ל של שכר נוכחי מתקיים כי‪9‬‬
‫‪‬‬
‫התפל ות א‪-‬סימטרית שמאלית מתקיים כי‪9‬‬
‫‪‬‬
‫התפל ות סימטרית מתקיים כי‪9‬‬
‫פרט התפל ות הנורמלית מתקיים‪9‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫שכיחות‬
‫‪8‬‬
‫‪-7‬‬
‫ז‬
‫‪7.2.2‬‬
‫כפי שמדדי המרכז מאתרים את ה"מרכז" של ההתפל ות מדדי הפיזור מאתרים עד כמה‬
‫ההתפל ות "מפוזרת"‬
‫המונח פיזור מתפרש אינטואיטי ית כמידת השוני או ה יוון של הנתונים ק וצה‪ 9‬ודל הה דלים‬
‫ין הנתונים ל ין עצמם מרחקיהם ההדדיים או ל ין ערך מרכזי מסוים‬
‫נכיר‬
‫מדדי פיזור שונים‪9‬‬
‫טווח‬
‫אחוזונים וטווח ין‪-‬ר עוני‬
‫שונות מד מית סטיית תקן מד מית‬
‫‪ D33‬ה‬
‫סימונו ‪ R‬הוא ההפרש ין הערך ה דול יותר מקסימום ל ין הערך‬
‫הקטן יותר המינימום ‪R  X ( n) - X (1) 9‬‬
‫חש ו את הטווח ע ור המשתנה ו ה השכר מנתוני הסקר‬
‫‪R  X ( n ) - X (1) ‬‬
‫הטווח הוא מדד קל לחישו אך הוא אינו ר יש ולא הכי אינפורמטי י‬
‫למשל נסתכל על שתי ההתפל ויות ה אות‪9‬‬
‫לשתי ההתפל ויות אותו הטווח אך רור כי התפל ות המסומנת ‪ b‬יש פחות השתנות‬
‫היא פחות הטרו נית רו התצפיות התפל ות זו נמצאות קרו לממוצע‬
‫ני וד לכך רו התצפיות התפל ות המסומנת ‪ a‬רחוקות אופן משמעותי מהמרכז של‬
‫ההתפל ות מכיוון שהטווחים שתי ההתפל ויות הם שווים רור כי הטווח לא הצליח לאתר‬
‫את השוני פיזור ין שתי ההתפל ויות כלומר הוא מדד שאינו ר יש להשתנות‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪-7‬‬
‫ז‬
‫ישה אחרת לפיזור המת רת על החיסרון ש טווח היא מדידה של פיזור אמצעות אחוזונים‬
‫‪ D34‬האחוזון ה ‪ p‬הוא הערך אשר מחלק את המד ם אופן כזה ש‪ p*100% -‬מהתצפיות‬
‫נמצאות מתחתיו או שוות לו‬
‫למשל‪ 9‬החציון הוא האחוזון ה‪9-‬‬
‫סימון לאחוזונים ה‪-‬‬
‫‪p=0.5‬‬
‫‪ 9‬ו‪ 8 -‬ר עונים הוא ‪ Q1, Q2‬ו‪Q3 -‬‬
‫‪ D35‬ההפרש ין האחוזון ה ‪ 8‬לאחוזון ה‬
‫מדד פיזור שהוא יעיל יותר הוא‬
‫נקרא ה‬
‫התאמה‬
‫‪-‬‬
‫‪Q3 - Q1 9‬‬
‫‪IQR‬‬
‫השונות היא מדד המ וסס על המידה ש ה‬
‫התצפיות "סוטות" מהממוצע שלהן‬
‫הסטייה ש ין כל אחת מתצפיות ל ין הממוצע של המד ם היא ההפרש‪x  x 9‬‬
‫אם מד ם כולל ‪ n‬תצפיות השונות של המד ם שווה ל"ממוצע" של הסטיות המרו עות‬
‫של כל ‪ n‬התצפיות‬
‫‪ D36‬ה‬
‫ודל ‪ x1 , x 2 , x 3 ,..., x n 9n‬מסומנת ‪s 2 -‬‬
‫של מד ם‬
‫והיא שווה למנה ין הסכום של רי ועי הסטיות של התצפיות מהממוצע שלהן ל ין ‪9 n  1‬‬
‫‪ x)2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪(x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪s2 ‬‬
‫נוסחה מקוצרת נוסחת ע ודה לחישו השונות היא‪9‬‬
‫‪ nx 2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫ככל שהערך של ‪ s 2‬הוא‬
‫וה יותר כך ההתפל ות עלת השתנות‬
‫החלוקה היא ל ‪ n-1‬ולא ל‪ n -‬כפי שניתן לחשו‬
‫‪s2 ‬‬
‫והה יותר‬
‫אופן אינטואיטי י‬
‫מכיוון שהוכח מתמטית כי האמד הנ"ל לשונות הוא טו יותר מ חינה זו שהוא חסר הטייה‬
‫כלומר התוחלת של השונות המד מית שווה לשונות אוכלוסייה מדד פחות טו יתק ל אם‬
‫נחלק‬
‫‪n‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪-7‬‬
‫"‬
‫ואת‬
‫" חש ו את‬
‫של המדידות ה אות‪3, 7, 2, 1, 8 9‬‬
‫נחש את הטווח‪9‬‬
‫‪R  X ( n ) - X (1) ‬‬
‫נחש את השונות‪9‬‬
‫כדי לחש את השונות אנו צריכים קודם לחש את הממוצע‪9‬‬
‫‪n‬‬
‫‪3  7  2  1  8 21‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4.2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪i‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫מכאן ניתן נפתור אחת משתי הדרכים ה אות‪9‬‬
‫"‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬נשתמש ט לת העזר ה אה‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫"‬
‫"‬
‫‪xi  x  xi  4.2‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1.44‬‬
‫‪-1.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪49‬‬
‫‪7.84‬‬
‫‪2.8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.84‬‬
‫‪-2.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10.24‬‬
‫‪-3.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪64‬‬
‫‪14.44‬‬
‫‪3.8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xi‬‬
‫"‬
‫‪127‬‬
‫‪( xi  x ) 2  ( xi  4.2) 2‬‬
‫"‬
‫"‬
‫‪38.80‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪ x)2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ (x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪s2 ‬‬
‫הערה‪ :‬חישו המרחק רי וע של כל תצפית מהממוצע וחישו הסכום של כלל‬
‫המרחקים המרו עים הנ"ל נתונים עמודה המסומנת‬
‫"‬
‫ט לת העזר הנ"ל‬
‫אופן החישו הוא קצר יותר ‪9‬‬
‫‪ nx 2‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‪ :‬חישו סכום הרי ועים של התצפיות נתון עמודה המסומנת‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪x‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪s2 ‬‬
‫ט לת העזר הנ"ל‬
‫‪x‬‬
‫‪-7‬‬
‫סטיית התקן מתק לת על‪-‬ידי לקיחת שורש רי ועי של השונות‬
‫התוצאה המתק לת היא מספר יחידות המקוריות של הנתונים מטר ק" שקל וכו'‬
‫כמו השונות ם סטיית התקן מודדת את מידת הפיזור של נתונים כמותיים‬
‫מסומנת ‪ s -‬היא השורש הרי ועי של השונות‪9‬‬
‫‪D37‬‬
‫‪s  s2‬‬
‫חש ו את סטיית התקן דו מא הקודמת‬
‫‪s  s2 ‬‬
‫ז‬
‫‪/‬‬
‫סו המשתנה ע ורו המדד מתאים‬
‫‪/‬‬
‫כמותי‬
‫כמותי‬
‫לשימוש‬
‫והה ר יש להם‬
‫ר ישות המדד לערכים קיצוניים‬
‫ר ה‬
‫ל ד‬
‫הוספת ק וע ‪ a‬למשתנה‬
‫לא תשנה את הטווח‬
‫הכפלת המשתנה ק וע ‪b‬‬
‫תשנה את הטווח‬
‫תשנה‬
‫הוא יוכפל פי |‪|b‬‬
‫היא‬
‫פי הערך המוחלט של‬
‫‪b‬‬
‫לא תשנה את השונות‬
‫את‬
‫תוכפל‬
‫השונות‬
‫פי‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫סטיית התקן תוכפל פי‬
‫|‪|b‬‬
‫‪- 1‬‬
‫אופיו של המדד קו ע מתי מותר להשתמש ו‬
‫המדדים של טווח שונות וסטיית תקן מתאימים רק למשתנים כמותיים זאת משום שמדדי פיזור‬
‫אלו מסתמכים על הפרשים ולמדדים תהיה משמעות רק כאשר יש משמעות להפרש‬
‫‪- 2‬‬
‫הטווח מושפע מערכים קיצוניים ל ד‬
‫השונות מתחש ת ערכים קיצוניים כ שאר הערכים א ל מושפעת מיוחד מהסטיות הקיצוניות‬
‫‪– 3+4‬‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪-7‬‬
‫ז‬
‫המקרים פחות‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫התרשים לקוח מתוך‪ 9‬דיקי טרי ‪888‬‬
‫שימוש סטטיסטיקה עסקים הוצאת אור‪-‬עם‬
‫כדי לחש את השונות ניתן להשתמש נוסחא הע ודה המקוצרת‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪-7‬‬
‫"‬
‫ז‬
‫ך‬
‫‪1‬‬
‫‪124‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$9,000‬‬
‫‪$16,950‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪34‬‬
‫‪1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪83‬‬
‫‪$20,400 $10,950‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪09/13/1968‬‬
‫‪f‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪171‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$9,000‬‬
‫‪$21,150‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪07/01/1942‬‬
‫‪f‬‬
‫‪35‬‬
‫‪0‬‬
‫‪381‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$21,450 $12,000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪13‬‬
‫‪1‬‬
‫‪315‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$21,750 $12,750‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪09/24/1940‬‬
‫‪m‬‬
‫‪32‬‬
‫‪0‬‬
‫‪156‬‬
‫‪86‬‬
‫‪$9,750‬‬
‫‪$21,900‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪07/12/1942‬‬
‫‪f‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪190‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$21,900 $13,200‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪04/15/1947‬‬
‫‪f‬‬
‫‪14‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$9,750‬‬
‫‪$21,900‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪05/06/1966‬‬
‫‪f‬‬
‫‪18‬‬
‫‪0‬‬
‫‪244‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$24,000 $13,500‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪02/13/1946‬‬
‫‪f‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪75‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$24,000 $11,100‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪03/15/1965‬‬
‫‪f‬‬
‫‪33‬‬
‫‪0‬‬
‫‪48‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$26,250 $11,550‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪01/23/1940‬‬
‫‪f‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0‬‬
‫‪66‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$27,300 $13,500‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪08/29/1962‬‬
‫‪m‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪34‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$27,750 $14,250‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪07/17/1960‬‬
‫‪m‬‬
‫‪23‬‬
‫‪0‬‬
‫‪115‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$27,900 $12,750‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪01/23/1946‬‬
‫‪f‬‬
‫‪19‬‬
‫‪1‬‬
‫‪26‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$28,350 $12,000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪01/11/1966‬‬
‫‪m‬‬
‫‪22‬‬
‫‪0‬‬
‫‪143‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$30,300 $16,500‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪02/07/1950‬‬
‫‪f‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪143‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$30,300 $16,500‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪02/07/1950‬‬
‫‪f‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪216‬‬
‫‪83‬‬
‫‪$30,600 $16,500‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪05/04/1949‬‬
‫‪m‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪102‬‬
‫‪94‬‬
‫‪$30,900 $15,000‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪02/16/1959‬‬
‫‪m‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪52‬‬
‫‪96‬‬
‫‪$31,350 $11,250‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪08/07/1963‬‬
‫‪f‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪67‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$32,100 $13,500‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪08/22/1958‬‬
‫‪m‬‬
‫‪16‬‬
‫‪0‬‬
‫‪284‬‬
‫‪83‬‬
‫‪$33,750 $15,000‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫‪05/22/1943‬‬
‫‪m‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪137‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$35,100 $16,800‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪02/26/1949‬‬
‫‪f‬‬
‫‪24‬‬
‫‪0‬‬
‫‪114‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$36,000 $18,750‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪04/26/1956‬‬
‫‪m‬‬
‫‪17‬‬
‫‪0‬‬
‫‪17‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$38,850 $15,000‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪02/19/1963‬‬
‫‪f‬‬
‫‪31‬‬
‫‪0‬‬
‫‪36‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$40,200 $18,750‬‬
‫‪1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪05/23/1958‬‬
‫‪m‬‬
‫‪12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪24‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$40,800 $15,000‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪11/17/1964‬‬
‫‪m‬‬
‫‪26‬‬
‫‪0‬‬
‫‪103‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$42,300 $14,250‬‬
‫‪7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪08/19/1962‬‬
‫‪m‬‬
‫‪29‬‬
‫‪0‬‬
‫‪138‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$45,000 $21,000‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪02/09/1955‬‬
‫‪m‬‬
‫‪15‬‬
‫‪0‬‬
‫‪48‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$46,000 $14,250‬‬
‫‪9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪15‬‬
‫‪07/181962‬‬
‫‪m‬‬
‫‪27‬‬
‫‪0‬‬
‫‪61‬‬
‫‪76‬‬
‫‪$48,750 $21,990‬‬
‫‪3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪02/19/1961‬‬
‫‪m‬‬
‫‪6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪144‬‬
‫‪98‬‬
‫‪$57,000 $27,000‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪02/03/1952‬‬
‫‪m‬‬
‫‪11‬‬
‫‪0‬‬
‫‪96‬‬
‫‪96‬‬
‫‪$60,375 $27,480‬‬
‫‪3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪03/19/1954‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪8‬‬
‫‪92‬‬
‫‪$68,750 $27,480‬‬
‫‪3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪06/24/1961‬‬
‫‪m‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪70‬‬
‫‪97‬‬
‫‪$103,750 $27,510‬‬
‫‪3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪03/20/1956‬‬
‫‪m‬‬
‫‪28‬‬
‫הערה‪ 9‬מיון הנתונים לפי המשתנה "שכר נוכחי" נעשה לצורך חישו החציון‬
‫נערך ע"י‪ 9‬רוחמה אלעד‪-‬ירום‬
‫סטטיסטיקה למשפטנים‬
‫‪8‬‬