‫על טענות‪ ,‬הנמקות והסקת מסקנות – מדריך למורה‬
‫מבנה כללי של המבוא‬
‫פרק זה הינו פרק מבוא לפרק הגיאומטריה האוקלידית ומטרתו לתת מוטיבציה לעיסוק במבנה הדדוקטיבי של‬
‫גיאומטריה‪ .‬בלימודי הגיאומטריה בכיתה ז וגם בחלק מההוראה בכיתה ח‪ ,‬ניסחנו טענות והצדקנו אותן על‬
‫סמך ח קירה ובדיקה של מקרים פרטיים ועל סמך דדוקציות מקומיות או על ידי הוכחות בעלות שלב אחד‪.‬‬
‫לעתים‪ ,‬הדוגמאות שעסקנו בהן היו דוגמאות גנריות (כמו למשל‪ ,‬בנושא של משפט פיתגורס)‪.‬‬
‫מטרת המבוא היא להעלות את הצורך בהוכחות כלליות על ידי המחשה של הבעייתיות של הסקת מסקנות על‬
‫סמך מקרים פרטיים ויחד עם זאת להראות שבתחומים מתמטיים אחרים (כמו אלגברה) כבר למדנו כלים‬
‫שמאפשרים לקבוע נכונות של טענה מסוימת באופן כללי‪.‬‬
‫אנו ערים לכך שבכיתות ח רבות כבר החלו בהוכחות דדוקטיביות מסודרות‪ ,‬עם זאת‪ ,‬אנו חושבים שפעילות זו‬
‫מתאימה כפעילות לפתיחת השנה‪ ,‬כיוון שהיא מחדדת שנית את הצורך בהוכחות פורמליות‪ ,‬היא פעילות מהנה‬
‫ומעוררת עניין‪ .‬היא מדגישה את המטרה המרכזית של הוראת הגאומטריה בכיתה ט של פיתוח מיומנויות‬
‫ההוכחה בגאומטריה‪ ,‬הכוללות מיומנויות היסק ומיומנויות כתיבה‪.‬‬
‫הפרק נפתח בשתי פעילויות בהן ההכללה ברורה כביכול‪ ,‬אך למעשה ההכללה שמסתמנת על סמך מספר‬
‫מצומצם של מקרים פרטיים במקרה אחד היא שגויה ובמקרה שני היא נכונה‪.‬‬
‫המטרה של שתי הפעילויות יחד היא לעורר אצל התלמידים קונפליקט וצורך ביישובו באמצעות כלים מתמטיים‬
‫חזקים יותר מאשר בחינת מספר דוגמאות‪.‬‬
‫להלן תיאור הפעילויות והדגשים בהן‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 1‬חקירה‪ :‬מספר הנקודות על המעגל ומספר האזורים הנוצרים בעיגול – עמ'‬
‫‪191‬‬
‫הפעילות עוסקת במציאת מספר‬
‫אזורים שנוצרים מחלוקת מעגל‬
‫לאזורים על‪-‬ידי מיתרים‪ .‬למעשה‬
‫מדובר במספר אזורים מקסימאלי‬
‫שמתקבל לאחר העברת ‪n‬‬
‫מיתרים‪ .‬מספר זה מתקבל כאשר‬
‫אין שלושה מיתרים שעוברים דרך‬
‫נקודה אחת‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬אם בסרטוט המעגל עם ‪6‬‬
‫נקודות‪ ,‬המיתר ‪ AD‬היה עובר דרך‬
‫נקודת החיתוך של המיתרים ‪CF‬‬
‫ו‪ EB -‬מספר האזורים היה קטן‬
‫יותר‪.‬‬
‫נקודה זו מתחילה להיות רלוונטית‬
‫רק כאשר מספר הנקודות על היקף‬
‫המעגל הן ‪ 6‬ומעלה‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪1‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫מספר הנקודות על המעגל‬
‫(‪)n‬‬
‫מספר האזורים הנוצרים בעיגול‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫עבור ‪ 5‬נקודות על היקף המעגל או פחות‪ ,‬מסתמנת החוקיות‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪16‬‬
‫‪31‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪ . 2‬אולם חוקיות זו נשברת עבור המקרה של‬
‫‪ .n=6‬עבור ‪ 6‬נקודות על היקף המעגל‪ ,‬המספר המקסימאלי של אזורים הוא ‪ .31‬למעשה החוקיות‬
‫‪n1‬‬
‫‪2‬‬
‫אינה מתקיימת גם בהמשך‪ ,‬אולם קיימת חוקיות אחרת‪ ,‬שהכרתה היא מעבר לחומר לימוד של תכנית‬
‫הלימודים לחט"ב‪.‬‬
‫למעשה בפעילויות ‪ ,1‬בעזרת הדוגמה סותרת‪ ,‬הפרכנו את ההשערה שלנו‪ .‬כשרוצים לקבוע אם תכונה‬
‫מסוימת מתקיימת בכל המקרים‪ ,‬לא די בבדיקה של מקרים פרטיים ‪ -‬יש צורך בהוכחה כללית‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬חקירה‪ :‬מספר אלכסונים במצולע – עמ' ‪192‬‬
‫הפעילות עוסקת בחקירת מספר אלכסונים במצולע‪ .‬בפעילות זו ההכללה שהתלמידים ימצאו בעקבות מספר‬
‫דוגמאות נכונה‪.‬‬
‫להלן הטבלה המתקבלת לאחר הפתרון‪:‬‬
‫‪ - n‬מס'‬
‫הצלעות במצולע‬
‫מס' הקדקודים‬
‫במצולע‬
‫מס' האלכסונים היוצאים‬
‫מכל קדקוד‬
‫סה"כ מספר‬
‫האלכסונים‬
‫סרטוט‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪14‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n-3‬‬
‫)‪n(n- 3‬‬
‫‪2‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪2‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫ב‪ .‬מספר הקדקודים במצולע בעל ‪ n‬צלעות גם הוא ‪n‬‬
‫מספר האלכסונים היוצאים מכל קדקוד הוא ‪.n-3‬‬
‫הסבר לחישוב מספר האלכסונים היוצאים מכל קדקוד‪ :‬מכל קדקוד יוצאים אלכסונים לכל הקדקודים‬
‫האחרים מלבד לשני הקדקודים הסמוכים לו והוא עצמו‪ ,‬לכן מורידים ‪ 3‬מסך כל הקדקודים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הביטוי המתאר את מספר האלכסונים במצולע בעל ‪ n‬צלעות )‪n(n- 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫הסבר לחישוב מספר האלכסונים במצולע בעל ‪ n‬צלעות‪ :‬מכל קדקוד יוצאים ‪ n-3‬אלכסונים וכל אחד‬
‫מהם משותף לשני קדקודים‪ .‬כיוון שספרנו כל אלכסון פעמיים יש לחלק את התוצאה ב‪.2 -‬‬
‫ד‪ .‬הביטוי נכון עבור כל מצולע‪ .‬כדאי לשים לב‪ ,‬כי במשולש )‪ ,(n=3‬התשובה המתקבלת היא אפס ואכן אין‬
‫במשולש אלכסונים‪ .‬במתומן‪ ,‬בדומה למצולעים אחרים שכבר בדקנו‪ ,‬מכל קדקוד יוצאים ‪ 5‬אלכסונים‪ ,‬לכן‬
‫סה"כ ‪ 20‬אלכסונים‪.‬‬
‫בפעילות ‪ 2‬ראינו כי על‪-‬מנת להראות שהשערה מסוימת נכונה בכל המקרים‪ ,‬יש להוכיח זאת באופן כללי‪,‬‬
‫שמכסה את כל המקרים‪ .‬על מנת להפריך השערה‪ ,‬כלומר להראות שהיא אינה נכונה בכל המקרים‪ ,‬מספיק‬
‫לתת דוגמה נגדית אחת‪ ,‬כלומר‪ ,‬דוגמה שמקיימת את תנאי הבעיה אבל לא את המסקנה (כפי שהראיתם‬
‫בפעילות ‪.)1‬‬
‫תרגילים – עמ' ‪192‬‬
‫עמ' ‪192‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ 13‬הוא מספר ראשוני‪ .‬אם נהפוך את סדר הספרות שלו נקבל את המספר ‪ ,31‬שגם הוא מספר ראשוני‪.‬‬
‫באופן דומה‪ :‬גם ‪ 17‬וגם ‪ 71‬שניהם מספרים ראשוניים‪ .‬האם תופעה זו נכונה לכל המספרים הראשוניים?‬
‫הסבירו כיצד קבעתם זאת‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬לא‪ ,‬להלן דוגמה סותרת‪ 23 :‬ראשוני‪ 32 ,‬זוגי‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬נורית הבחינה בתופעה מעניינת‪ :‬אם מציבים מספרים טבעיים בביטוי האלגברי‪ ,n + n + 17 :‬מתקבלים‬
‫מספרים ראשוניים‪ .‬היא העלתה השערה שתופעה זו נכונה לכל מספר‬
‫‪2‬‬
‫‪1 + 1 + 17 = 19‬‬
‫טבעי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬בדקו את נכונות ההשערה של נורית עבור חמישה מספרים טבעיים‪.‬‬
‫‪2 + 2 + 17 = 23‬‬
‫כמה קיבלתם?‬
‫‪n‬‬
‫הראשוני‬
‫‪1‬‬
‫‪19‬‬
‫‪2‬‬
‫‪23‬‬
‫‪3‬‬
‫‪29‬‬
‫‪4‬‬
‫‪37‬‬
‫‪5‬‬
‫‪47‬‬
‫‪6‬‬
‫‪59‬‬
‫‪7‬‬
‫‪73‬‬
‫‪8‬‬
‫‪89‬‬
‫‪9‬‬
‫‪107‬‬
‫‪10‬‬
‫‪127‬‬
‫האם זה מספיק כדי להוכיח את ההשערה? לא‬
‫ב‪ .‬ארז אומר שאם נציב ‪ n = 17‬נקבל מספר שאינו ראשוני (מספר פריק)‪ .‬האם ארז צודק?‬
‫‪2‬‬
‫כן‪ 19*17=)17+1+1(17=17 +17+17 ,‬מספר המתחלק ב‪ 17-‬וב‪19-‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪3‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫ג‪.‬‬
‫האם דבריו של ארז מוכיחים את ההשערה של נורית?‬
‫האם דבריו של ארז מפריכים את ההשערה של נורית? הסבירו‪.‬‬
‫מפריכים את ההשערה של נורית‪ ,‬כי זו דוגמה שמקיימת את התנאים אך לא את המסקנה‪.‬‬
‫באתר הספר‪ ,‬יש דף‬
‫עם תרגילים נוספים‬
‫בנושא‪.‬‬
‫החלטנו לשלב באתר הספר ובמדריך למורה מספר תרגילים מתחום האלגברה הממחישים את הרעיון שהובא‬
‫בפעילויות ‪ 1‬ו‪ 2-‬בתחום הגאומטריה‪ ,‬שמספר דוגמאות לעיתים מעיד על הכללה נכונה‪ ,‬אך לא תמיד‪.‬‬
‫בתרגילים מוצגים מקרים בהם ההכללה נכונה ולתלמידים יש כלים אלגבריים להוכיח זאת ותרגילים בהם‬
‫הכללה איננה נכונה וישנה הכוונה בתרגיל או צפייה שהתלמידים יאתרו דוגמה נגדית מתאימה להפריך את‬
‫ההשערה‪.‬‬
‫תרגילים אלו הם רשות ואינם חלק מתכנית הלימודים‪.‬‬
‫לפניכם שישה תרגילים נוספים‪ ,‬שאינם מופיעים בספר לתלמיד‪ .‬להלן הפתרונות של תרגילים ובעמ' ‪ 7‬יש דף‬
‫לתלמיד לשכפול‪.‬‬
‫תרגילים נוספים שאינם מופיעים בספר לתלמידים‬
‫‪ .1‬התבוננו בסדרת תרגילי הכפל שבמסגרת‪.‬‬
‫‪12 ∙ 11 = 132‬‬
‫‪12 ∙ 11 = 132‬‬
‫‪26 ∙ 11 = 286‬‬
‫‪26 ∙ 11 = 286‬‬
‫התרגילים האחרונים‪ .‬הקיפו בעיפרון צבעוני את‬
‫‪32 ∙ 11 = 352‬‬
‫‪32 ∙ 11 = 352‬‬
‫הספרה הראשונה ואת הספרה האחרונה בכל‬
‫‪45 ∙ 11 = 495‬‬
‫‪45 ∙ 11 = 495‬‬
‫מכפלה‪.‬‬
‫= ‪62 ∙ 11‬‬
‫‪62 ∙ 11 = 682‬‬
‫האם הבחנתם בחוקיות כלשהי? נסחו אותה‬
‫= ‪81 ∙ 11‬‬
‫‪81 ∙ 11 = 891‬‬
‫א‪ .‬העתיקו את התרגילים ורשמו תוצאות לשני‬
‫במילים‪.‬‬
‫התרגיל‬
‫הפתרון‬
‫ב‪ .‬ודאי שמתם לב שהספרות שסימנתם בצבע הן‬
‫הספרות של המספר שכפלתם ב‪ 11 -‬והספרה האמצעית היא סכומן‪.‬‬
‫שערו‪ :‬האם החוקיות הזאת מתקיימת רק עבור התרגילים הרשומים בתוך המסגרת?‬
‫ג‪.‬‬
‫שערו‪ :‬האם החוקיות הזאת מתקיימת לכל מכפלה של מספר דו‪-‬ספרתי ב‪?11-‬‬
‫ד‪ .‬הציעו תרגילי כפל ב‪ 11 -‬של מספרים דו‪-‬ספרתיים נוספים ובדקו את השערותיכם‪.‬‬
‫ה‪ .‬כמה מקרים‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬מספיק לבדוק על מנת לדעת אם השערותיכם נכונות או לא?‬
‫החוקיות שמסתמנת מבדיקת המקרים הפרטיים היא שכאשר כופלים מספר דו‪-‬ספרתי ב‪ ,11 -‬מתקבל מספר‬
‫תלת ספרתי שבו ספרת המאות וספרת האחדות זהות לספרות של המספר‬
‫הדו‪-‬ספרתי והספרה האמצעית היא סכומן‪.‬‬
‫חוקיות זו אינה נכונה לכל מספר דו‪-‬ספרתי‪ .‬בתור דוגמה נגדית מספיק לקחת מספר דו‪-‬ספרתי שסכום ספרותיו‬
‫גדול מ‪ .9-‬למשל‪ ,75 ,38 ,46 ,‬וכדומה‪.‬‬
‫בתרגיל זה מתקבלת חוקיות שנכונה עבור מספר מקרים בודדים‪ ,‬אך היא אינה נכונה בכל המקרים‪ .‬במטרה‬
‫להפריך את ההשערה הראשונית הצגנו דוגמאות נגדיות (דוגמאות סותרות)‪.‬‬
‫המסקנה שעולה מתרגיל זה היא שכאשר רוצים לקבוע אם תכונה מסוימת מתקיימת בכל המקרים‪ ,‬לא די‬
‫בבדיקה של מקרים פרטיים ‪ -‬יש צורך בהוכחה כללית או אם מספר המקרים סופי‪ ,‬יש לבדוק את כולם‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪4‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪.2‬‬
‫התבוננו בתרגילי חיבור של שלושה מספרים עוקבים‪.‬‬
‫א‪ .‬העתיקו למחברת את התרגילים ופתרו אותם‪.‬‬
‫=‪1+2+3‬‬
‫= ‪12 + 13 + 14‬‬
‫מה משותף לכל התוצאות שקיבלתם?‬
‫ב‪ .‬האם שמתם לב שכל התוצאות שהתקבלו שוות למכפלת המספר‬
‫= )‪(-3) + (-2) + (-1‬‬
‫האמצעי ב‪ ?3 -‬האם‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬תכונה זו מתקיימת רק עבור‬
‫ארבעת הסכומים הרשומים בתוך המסגרת?‬
‫ג‪.‬‬
‫=‪1+2+3‬‬
‫= ‪12 + 13 + 14‬‬
‫הציעו שלשות נוספות של מספרים עוקבים ובדקו האם גם עבורן‬
‫מתקיימת התכונה‪.‬‬
‫= )‪(-3) + (-2) + (-1‬‬
‫= ‪39 + 40 + 41‬‬
‫ד‪ .‬שערו‪ :‬האם התכונה שמצאתם מתקיימת לכל שלושה מספרים‬
‫עוקבים? כמה מקרים לד עתכם צריך לבדוק על מנת להסיק האם‬
‫ההשערה נכונה או שגויה? הציעו דרך להצדיק זאת ללא בדיקה של דוגמאות נוספות?‬
‫פתרון‬
‫ההשערה שעולה לאחר בדיקת מספר מקרים פרטיים בפעילות זו היא‬
‫שהסכום המתקבל בכל תרגיל שווה למכפלת המספר האמצעי ב‪.3 -‬‬
‫תכונה זו אכן מתקיימת לכל סכום של שלושה מספרים שלמים עוקבים‪.‬‬
‫‪1+2+3=6‬‬
‫‪12 + 13 + 14 = 39‬‬
‫ניתן להראות זאת באופן אלגברי‪:‬‬
‫ההשערה מתייחסת למספרים עוקבים‪.‬‬
‫‪(-3) + (-2) + (-1) = -6‬‬
‫נסמן את המספר האמצעי ב‪.n -‬‬
‫‪39 + 40 + 41 = 120‬‬
‫המספר העוקב ל‪ n-‬הוא‪.n+1 :‬‬
‫המספר הקודם ל‪ n-‬הוא‪.n-1 :‬‬
‫הביטוי אלגברי לסכום של שלושה מספרים עוקבים הוא‪:‬‬
‫(‪.)n-1) + n + (n+1‬‬
‫נפתח סוגריים ונקבל‪)n-1) + n + (n+1) = n - 1 + n + n + 1 = 3n :‬‬
‫קיבלנו‪ :‬סכום של שלושה מספרים עוקבים כלשהם שווה ל‪ ,3n -‬כלומר‪ ,‬למכפלת המספר האמצעי ב‪.3 -‬‬
‫הוכחנו שתכונה זו אכן נכונה לכל שלושה מספרים עוקבים בעזרת חוקים אלגבריים (כמו חוק החילוף וחוק‬
‫הקיבוץ)‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬על מנת להראות שהשערה מסוימת נכונה בכל המקרים יש להוכיח זאת בצורה לוגית‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .3‬חשבו את ערכי החזקות של ‪ 11‬עד ‪.11‬‬
‫א‪ .‬באיזו חוקיות אתם מבחינים?‬
‫שערו האם החוקיות הזאת מתקיימת גם בחזקות גבוהות יותר‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫ב‪ .‬בדקו את השערתכם עבור ‪ 11‬ו‪ .11 -‬האם החוקיות שמצאתם‬
‫נשמרת? הסבירו מדוע‪ .‬החוקיות איננה נשמרת‪ ,‬ניתן לראות בטבלה‬
‫למטה מה קורה כאשר החזקה שווה ל‪ 5 -‬או ל‪.6-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫פָּ לִ ינ ְְדרֹום‪ ,‬הוא מספר‬
‫שקריאתו מימין לשמאל‬
‫ומשמאל לימין נותנת‬
‫אותו מספר‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪121‬‬
‫‪1331‬‬
‫‪14641‬‬
‫‪161051‬‬
‫‪1771561‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪5‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪.4‬‬
‫עבור כל אחת מהטענות שלפניכם קבעו אם היא נכונה או לא והצדיקו את קביעתכם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫סכום של שני מספרים אי‪-‬זוגיים כלשהם הוא מספר‪-‬זוגי‪.‬‬
‫הטענה נכונה‪ .‬נכתוב שני מספרים אי‪-‬זוגיים כלשהם‪ 2a+1 :‬ו‪ ,2b+1 -‬נחבר ביניהם ונקבל‪:‬‬
‫)‪ (2a+1)+(2b+1)=(2a+2b)+2=2(a+b)+2= 2(a+b+1‬שהוא כפולה של ‪ 2‬ולכן בוודאות‪,‬‬
‫מספר זוגי‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪x  6‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אז ‪ x‬הוא מספר חיובי‪ .‬לא נכון‪ ,‬דוגמה סותרת ‪x=-7, |-7|>6‬‬
‫‪( an  0‬הוא חיובי) עבור ‪ n‬זוגי ו‪-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ . a‬נכון‪ ,‬גם אם ‪ ,a<0‬העלאתו בחזקה זוגית‪ ,‬מבטלת את‬
‫שליליותו‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫בדקו את נכונות החישובים בסדרת התרגילים שלפניכם‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪2  1  1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  1  1 1 ( 3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3  1  1 1 (2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫א‪ .‬הוסיפו שלושה תרגילים הבנויים לפי התבנית שבתרגילים‪ .‬האם הבחנתם בחוקיות כלשהי?‬
‫‪6  1  1 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5  1  1 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7 1  1 1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫ב‪ .‬מצאו ביטוי אל גברי המתאר את החוקיות שמצאתם ובדקו אם היא מתקיימת לכל מספר טבעי המופיע‬
‫במכנה‪.‬‬
‫‪ a  1  1 1‬חוקיות המתקיימת לגבי כל מספר טבעי‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .6‬לפניכם מספר שוויונות שבהם מתקיימת חוקיות מסוימת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 -1 =2+1‬‬
‫א‪ .‬בדקו את נכונות השוויונות במסגרת והוסיפו במחברתכם‬
‫‪3 -2 =3+2‬‬
‫שלוש דוגמאות נוספות‪.‬‬
‫‪4 -3 =4+3‬‬
‫ב‪ .‬סמנו את המספר הראשון ב‪ ,n -‬כמו בשורה האחרונה‬
‫‪….‬‬
‫ברשימה שלפניכם‪ .‬איזה ביטוי מתקבל? הוכיחו שהחוקיות‬
‫‪2‬‬
‫‪n - …. = n + ….‬‬
‫מתקיימת לכל מספר טבעי ‪.n‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם חוקיות זו מתקיימת גם למספרים שאינם טבעיים?‬
‫רמז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(n-1) =(n-1)(n-1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪n – (n-1) = n - n +2n-1=2n-1=n+(n-1‬‬
‫נשים לב‪ ,‬כי בפיתוח האלגברי לא התבססנו על העובדה כי ‪ n‬מספר טבעי‪ ,‬ולכן החוקיות מתקיימת גם‬
‫למספרים שאינם טבעיים‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪6‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫דף עבודה בנושא טענות ומסקנות – תרגילים נוספים‬
‫‪ .1‬התבוננו בסדרת תרגילי הכפל שבמסגרת‪.‬‬
‫א‪ .‬העתיקו את התרגילים ורשמו תוצאות לשני התרגילים האחרונים‪.‬‬
‫הקיפו בעיפרון צבעוני את הספרה הראשונה ואת הספרה האחרונה‬
‫בכל מכפלה‪.‬‬
‫האם הבחנתם בחוקיות כלשהי? נסחו אותה במילים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ודאי שמתם לב שהספרות שסימנתם בצבע הן הספרות של‬
‫המספר שכפלתם ב‪ 11 -‬והספרה האמצעית היא סכומן‪.‬‬
‫‪12 ∙ 11 = 132‬‬
‫‪26 ∙ 11 = 286‬‬
‫‪32 ∙ 11 = 352‬‬
‫‪45 ∙ 11 = 495‬‬
‫= ‪62 ∙ 11‬‬
‫= ‪81 ∙ 11‬‬
‫שערו‪ :‬האם החוקיות הזאת מתקיימת רק עבור התרגילים‬
‫הרשומים בתוך המסגרת?‬
‫ג‪ .‬שערו‪ :‬האם החוקיות הזאת מתקיימת לכל מכפלה של מספר דו‪-‬ספרתי ב‪?11-‬‬
‫ד‪ .‬הציעו תרגילי כפל ב‪ 11 -‬של מספרים דו‪-‬ספרתיים נוספים ובדקו את השערותיכם‪.‬‬
‫ה‪ .‬כמה מקרים‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬מספיק לבדוק על מנת לדעת אם השערותיכם נכונות או לא?‬
‫‪ .2‬התבוננו בתרגילי חיבור של שלושה מספרים עוקבים‪.‬‬
‫א‪ .‬העתיקו למחברת את התרגילים ופתרו אותם‪.‬‬
‫מה משותף לכל התוצאות שקיבלתם?‬
‫ב‪ .‬האם שמתם לב שכל התוצאות שהתקבלו שוות למכפלת‬
‫המספר האמצעי ב‪ ?3 -‬האם‪ ,‬לדעתכם‪ ,‬תכונה זו מתקיימת‬
‫רק עבור ארבעת הסכומים הרשומים בתוך המסגרת?‬
‫=‪1+2+3‬‬
‫= ‪12 + 13 + 14‬‬
‫= )‪(-3) + (-2) + (-1‬‬
‫ג‪ .‬הציעו שלשות נוספות של מספרים עוקבים ובדקו האם גם עבורן מתקיימת התכונה‪.‬‬
‫ד‪ .‬שערו‪ :‬האם התכונה שמצאתם מתקיימת לכל שלושה מספרים עוקבים? כמה מקרים‬
‫לדעתכם צריך לבדוק על מנת להסיק האם ההשערה נכונה או שגויה? הציעו דרך להצדיק‬
‫זאת ללא בדיקה של דוגמאות נוספות?‬
‫‪ .3‬חשבו את ערכי החזקות של ‪ 11‬עד ‪.114‬‬
‫א‪ .‬באיזו חוקיות אתם מבחינים?‬
‫שערו האם החוקיות הזאת מתקיימת גם בחזקות גבוהות יותר‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדקו את השערתכם עבור ‪ 115‬ו‪ .116 -‬האם החוקיות שמצאתם נשמרת? הסבירו מדוע‪.‬‬
‫פָּ לִ ינ ְְדרֹום‪ ,‬הוא מספר‬
‫שקריאתו מימין לשמאל‬
‫ומשמאל לימין נותנת‬
‫אותו מספר‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪7‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪ .4‬עבור כל אחת מהטענות שלפניכם קבעו אם היא נכונה או לא והצדיקו את קביעתכם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫סכום של שני מספרים אי‪-‬זוגיים כלשהם הוא מספר‪-‬זוגי‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ x  6‬אז ‪ x‬הוא מספר חיובי‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪( an  0‬הוא חיובי) עבור ‪ n‬זוגי ו‪. a  0 -‬‬
‫‪ .5‬בדקו את נכונות החישובים בסדרת התרגילים שלפניכם‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪2  1  1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  1  1 1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 )3‬‬
‫‪3  1  1 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫א‪ .‬הוסיפו שלושה תרגילים הבנויים לפי התבנית שבתרגילים‪ .‬האם הבחנתם בחוקיות כלשהי?‬
‫ב‪ .‬מצאו ביטוי אלגברי המתאר את החוקיות שמצאתם ובדקו אם היא מתקיימת לכל מספר‬
‫טבעי המופיע במכנה‪.‬‬
‫‪ .6‬לפניכם מספר שוויונות שבהם מתקיימת חוקיות מסוימת‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 -1 =2+1‬‬
‫א‪ .‬בדקו את נכונות השוויונות במסגרת והוסיפו‬
‫במחברתכם שלוש דוגמאות נוספות‪.‬‬
‫‪3 -2 =3+2‬‬
‫‪4 -3 =4+3‬‬
‫ב‪ .‬סמנו את המספר הראשון ב‪ ,n -‬כמו בשורה האחרונה‬
‫ברשימה שלפניכם‪ .‬איזה ביטוי מתקבל? הוכיחו‬
‫שהחוקיות מתקיימת לכל מספר טבעי ‪.n‬‬
‫ג‪ .‬האם חוקיות זו מתקיימת גם למספרים שאינם טבעיים?‬
‫‪….‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n - …. = n + ….‬‬
‫רמז‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(n-1) =(n-1)(n-1‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪8‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫הגיאומטריה האוקלידית ‪ -‬עמ' ‪193‬‬
‫מטרת חלק זה במבוא היא לתת הסבר כללי לתלמידים מהי אכסיומה ומה ההבדל בינה לבין משפט‪ .‬אבחנה‬
‫זאת נעשת במטרה להציג לתלמידים את הרעיון של "ארגז כלים"‪ ,‬המכיל אכסיומות ומאגר משפטים שנלמדו‬
‫שבהם ניתן להשתמש להנמקת ט ענות נוספות‪ .‬כחלק מפיתוח מיומנויות ההוכחה של התלמידים נעסוק גם‬
‫באבחנה ובזיהוי בכל משפט מה הם הנתונים ומה הן המסקנות‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪9‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫הנחות היסוד (אכסיומות)‬
‫במבוא זה ניתן קצת רקע היסטורי על הנחות היסוד (אכסיומות)‪ .‬הן מוצגות כאוסף של הנחות אותן החליטו‬
‫המתמטיקאים לקבל ללא הוכחה‪ .‬הנחות אלה מהוות בסיס התחלתי בבניית של אוסף הכלים והחוקים‬
‫שבאמצעותם ניתן יהיה להוכיח באופן כללי טענות בגיאומטריה‪ .‬אוסף זה מכוונה בפרק "ארגז הכלים"‪.‬‬
‫בעמוד האחרון של הספר מופיע ארגז כלים ראשו ני והוא כולל את הנחות היסוד והמשפטים שעל פי תכנית‬
‫הלימודים של כיתה ט‪ ,‬עליהם ורק עליהם‪ ,‬אפשר להתבסס בתחילת השנה‪.‬‬
‫להלן הרשימה ‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫כלל המעבר (טרנזיטיביות)‪ :‬שני עצמים גיאומטריים ששווים‪/‬חופפים לעצם שלישי שווים‪/‬חופפים‬
‫ביניהם‪.‬‬
‫ב‪ .‬כלל החיבור‪ :‬שני קטעים (או שתי זוויות)‪ ,‬שכל אחד מהם מחולק לשני קטעים זרים (או שתי זווית‬
‫זרות)‪ ,‬שווים אם הקטעים (או הזוויות) שמרכיבים אותם שווים (שוות) בהתאמה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בין כל שתי נקודות עובר ישר אחד‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סכום זוויות צמודות הוא ‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫ה‪ .‬זוויות קדקודיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫משפטי החפיפה במשולש‪ :‬צ‪.‬ז‪.‬צ‪ ,‬ז‪.‬צ‪.‬ז‪ ,‬צ‪.‬צ‪.‬צ ומשולשים ישרי‪-‬זווית השווים בניצב ויתר‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים התיכון לבסיס‪ ,‬הגובה לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים‪ .‬כמו כן‪ ,‬זוויות‬
‫הבסיס שוות‪.‬‬
‫ח‪ .‬אם שני ישרים הם מקבילים אזי זוויות מתחלפות ביניהם שוות‪.‬‬
‫ט‪ .‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫י‪ .‬סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור‪ ,‬בעל ‪ n‬צלעות‪ ,‬הוא‬
‫‪. 180 n  2‬‬
‫‪0‬‬
‫יא‪ .‬זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪ ,‬ובפרט גדולה מכל זווית‬
‫פנימית שאינה צמודה לה‪.‬‬
‫יב‪ .‬סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית‪.‬‬
‫יג‪ .‬משפט פיתגורס‪.‬‬
‫יד‪ .‬שני משולשים שכל זוויותיהן שוות הם דומים‪.‬‬
‫"ארגז כלים" ‪ -‬הכינו פנקס קטן (או שלושה דפים נפרדים בסוף המחברת) ורכזו בו את האכסיומות‬
‫ואת כל המשפטים שהוכחנו וצרו "ארגז כלים"‪ .‬בכל פעם שנוכיח משפט חדש או תכונה חדשה הוסיפו אותם‬
‫לרשימה שלכם‪ .‬כך יהיה לרשותכם "ארגז הכלים" מעודכן וזמין‪ .‬בעמוד האחרון של הספר מופיעים הנחות‬
‫יסוד ומשפטים שכבר למדנו בכיתות ז ו‪-‬ח וניתן להשתמש בהם מבלי להוכיח אותם‪.‬‬
‫התלמידים מתבקשים להכין פנקס קטן שבו ירכזו את האכסיומות והמשפטים שהם מוכיחים בשיעורי‬
‫גיאומטריה‪ .‬מומלץ לבקש מהתלמידים להביא פנקס זה לכל שיעור גיאומטריה ולהיעזר בו בפתרון תרגילים‪.‬‬
‫אפשרות אחרת היא לרשום את ארגז הכלים בעמודים האחרונים של המחברת‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪10‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫פעילות ‪ – 3‬נתונים ומסקנות ‪ -‬עמ' ‪194‬‬
‫פעילות ‪ 3‬נועדה להדגיש את החשיבות של זיהוי מרכיבי הטענה‪ :‬הנתונים‪ ,‬או תנאיי הטענה והמסקנה שאותה‬
‫מסיקים על סמך הנתונים הללו‪ .‬כאשר הטענה מנוסחת כמשפט תנאי‪" :‬אם___אז___" קל לזהות את מרכיבי‬
‫הטענה‪ ,‬אולם טענות רבות בגיאומטריה אינן נוסחות באופן זה‪ ,‬למשל‪" ,‬אלכסונים של מלבן שווים באורכם"‪.‬‬
‫ניסוח זה מקשה על זיהוי מרכיבי הטענה‪.‬‬
‫פעילות זו מאפשרת לתלמידים להתמקד בזיהוי מרכיבי הטענה ולהתאמן בפעולת הזיהוי בסיטואציה כיתתית‬
‫עם תיווך המורה ובהמשך גם באופן עצמאי בתרגיל ‪ 3‬עמ' ‪ .4‬יהיה תרגול נוסף בנושא גם בפרק הדלתון‪.‬‬
‫להלן פתרונות חלקיים‪:‬‬
‫ב‪ .‬מרובע שבו האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה הוא מלבן‪.‬‬
‫אם במרובע האלכסונים שווים זה לזה וחוצים זה את זה‪ ,‬אז המרובע הוא מלבן‪.‬‬
‫ג‪ .‬האלכסונים במלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה‪.‬‬
‫אם מרובע הוא מלבן ‪ ,‬אז האלכסונים שלו שווים זה לזה וחוצים זה את זה‪.‬‬
‫ד‪ .‬המנה של שני מספרים שמכפלתם חיובית היא מספר חיובי‪.‬‬
‫אם מכפלה של שני מספרים היא מספר חיובי‪ ,‬אז גם המנה שלהם היא מספר חיובי‪.‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪11‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫תרגילים‬
‫עמ' ‪194‬‬
‫‪ .3‬בכל אחת מהטענות שלפניכם זָהו ורשמו במחברת מה נתון ומהי המסקנה שאותה צריך להוכיח‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ספרת היחידות של מספר שלם היא ‪ ,0‬המספר מתחלק ב‪.5 -‬‬
‫נתון‪ :‬שספרת היחידות של מספר שלם היא ‪ 0‬צריך להוכיח כי‪ :‬המספר מתחלק ב‪.5 -‬‬
‫ב‪ .‬מלבן שכל צלעותיו שוות זו לזו הוא ריבוע‪.‬‬
‫נתון‪ :‬מלבן שכל צלעותיו שוות זו לזו צריך להוכיח כי‪ :‬המלבן הוא ריבוע‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם שתי צורות חופפות זו לזו‪ ,‬אז הן שוות בשטחן‪.‬‬
‫נתון‪ :‬שתי צורות חופפות זו לזו צריך להוכיח כי‪ :‬הן שוות בשטחן‪.‬‬
‫ד‪ .‬אם בשני משולשים ישרי‪-‬זווית שווים בהתאמה שני ניצבים‪ ,‬אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫נתון‪ :‬שני משולשים ישרי‪-‬זווית שווים בהתאמה שני ניצבים צריך להוכיח כי‪ :‬המשולשים חופפים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אם סכום הספרות של מספר מתחלק ב‪ , 3 -‬אז המספר מתחלק ב‪.3 -‬‬
‫נתון‪ :‬שסכום הספרות של מספר מתחלק ב‪ 3-‬צריך להוכיח כי‪ :‬המספר מתחלק ב‪.3-‬‬
‫_____________________________________________________________________________________________________‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪12‬‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫על מצולעים וזוויות – מדריך למורה‬
‫מבוא על הפרק‪:‬‬
‫סכום הזוויות במצולע‪ :‬נתון טכני או פלא טבע?‬
‫בחרנו לפתוח את השנה עם נושא שמאפשר שיעורים פעילים‪ ,‬מתחבר לנושאים מציאותיים ומזמן הפתעות‪.‬‬
‫סכום הזוויות הפנימיות של מצולע תלוי אך ורק במספר הצלעות שלו‪.‬‬
‫ואחרי שנחקור ונלמד שסכום הזוויות הפנימיות במצולע גדל ככל שמספר הצלעות גדל‪ ,‬מצפה לנו הפתעה גדולה יותר‪ :‬סכום‬
‫הזוויות החיצוניות של מצולע קבוע בכל המצולעים הקמורים‪ ,‬ללא קשר למספר הצלעות של המצולע‪.‬‬
‫בעמוד הבא מופיעה ערכת מצולעים משוכללים לגזירה שמכילה מצולעים משוכללים שונים שאורך הצלע שלהם זהה‪.‬‬
‫כדאי לתת לתלמידים את הערכות לגזירה בשקית שתאפשר להם לעשות שימוש בערכה‪ ,‬לדוגמה בתרגיל ‪.9‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪13‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪14‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫הצעה לפעילות מקדימה לפעילות ‪ 1‬בספר הלימוד‪:‬‬
‫הפעילות הבאה אינה מופיעה בספר הלימוד‪ .‬פעילות זו היא פעילות רשות המכינה לקראת הפעילויות על סכום זוויות‬
‫במצולע‪ .‬מטרות הפעילות הן לרענן ידע קודם ויצירת הקשר מציאותי לעיסוק בזוויות של מצולעים‪ .‬בעמוד הבא מופיע דף‬
‫הפעילות לשכפול לתלמידים‪.‬‬
‫בוטיק השוקולד המשולש‬
‫בוטיק השוקולד של חומי ידוע בזכות משולשי השוקולד המשובח הנמכרים בו‪.‬‬
‫חומי מסדר את משולשי השוקולד במארזים‪ ,‬בשכבה אחת‪ ,‬כך שהם ממלאים את כל‬
‫המארז מבלי להשאיר רווח‪ .‬הוא יודע שעיצוב האריזה חשוב לקידום המכירות לא פחות‬
‫מאשר טעמו המשובח של השוקולד‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫משולשי השוקולד הם שווי צלעות‪ .‬מה מידת הזווית של משולש‬
‫שווה צלעות? ‪60‬‬
‫ב‪.‬‬
‫התבוננו בסרטוט של אריזת מתנה ריקה ל‪ 6 -‬משולשי שוקולד‪ ,‬וחשבו את סכום‬
‫הזוויות בנקודה ‪360 . A‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הסבירו מדוע סכום הזוויות שקיבלתם מבטיח שניתן להניח את השוקולדים סביב הנקודה‬
‫‪ A‬באופן שלא יעלו זה על זה‪ .‬סכום הזוויות סביב נקודה אחת שווה בדיוק לסכום ‪6‬‬
‫הזוויות של המשולשים שווי‪ -‬הצלעות‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשבו את מידותיהן של זוויות המשושה‪2  60 = 120 .‬‬
‫ה‪ .‬חשבו את סכום הזוויות של משושה משוכלל‪6  120 = 720 .‬‬
‫ו‪.‬‬
‫חומי נוהג למכור שוקולד גם באריזות משולשות‪ ,‬גדולות יותר‪ .‬הסבירו מדוע ניתן לסדר‬
‫את משולשי השוקולד בשורות ישרות (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫רמז‪:‬‬
‫‪ 3‬זוויות של משולש שווה‪-‬צלעות יוצרות זווית שטוחה‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫הציעו מארזים נוספים שניתן לסדר בהם ‪ 6‬משולשי שוקולד‪.‬‬
‫דוגמאות אפשריות‪:‬‬
‫ח‪ .‬הציעו מארז שניתן לסדר בו ‪ 10‬משולשי שוקולד‪.‬‬
‫דוגמאות אפשריות‪:‬‬
‫ט‪ .‬האם ניתן לסדר ‪ 9‬משולשי שוקולד במארז שצורתו משולש שווה צלעות? הסבירו או הדגימו‪.‬‬
‫סידור של ‪ 9‬משולשי שוקולד‪:‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪15‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫בוטיק השוקולד המשולש‬
‫בוטיק השוקולד של חומי ידוע בזכות משולשי השוקולד המשובח הנמכרים בו‪.‬‬
‫חומי מסדר את משולשי השוקולד במארזים‪ ,‬בשכבה אחת‪ ,‬כך שהם ממלאים את‬
‫כל המארז מבלי להשאיר רווח‪ .‬הוא יודע שעיצוב האריזה חשוב לקידום המכירות‬
‫לא פחות מאשר טעמו המשובח של השוקולד‪.‬‬
‫א‪ .‬משולשי השוקולד הם שווי צלעות‪.‬‬
‫מה מידת הזווית של משולש שווה צלעות?‬
‫ב‪ .‬התבוננו בסרטוט של אריזת מתנה ריקה ל‪ 6 -‬משולשי שוקולד‪ ,‬וחשבו את‬
‫סכום הזוויות בנקודה ‪. A‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‪ .‬הסבירו מדוע סכום הזוויות שקיבלתם מבטיח שניתן להניח את השוקולדים סביב‬
‫הנקודה ‪ A‬באופן שלא יעלו זה על זה‪.‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את מידותיהן של זוויות המשושה‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשבו את סכום הזוויות של משושה משוכלל‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫חומי נוהג למכור שוקולד גם באריזות משולשות‪ ,‬גדולות יותר‪ .‬הסבירו מדוע ניתן‬
‫לסדר את משולשי השוקולד בשורות ישרות (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫ז‪ .‬הציעו מארזים נוספים שניתן לסדר בהם ‪ 6‬משולשי שוקולד‪.‬‬
‫רמז‪:‬‬
‫ח‪ .‬הציעו מארז שניתן לסדר בו ‪ 10‬משולשי שוקולד‪.‬‬
‫ט‪ .‬האם ניתן לסדר ‪ 9‬משולשי שוקולד במארז שצורתו משולש שווה צלעות? הסבירו או הדגימו‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪16‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫פעילות ‪ – 1‬זוויות במשושה ומתומן משוכלל – עמ' ‪195‬‬
‫מטרתן של השאלות הראשונות של הפעילות היא לעורר סקרנות‪ ,‬ולגרום לתלמידים לייחס משמעות לתוצאות החישוביות‪,‬‬
‫ולא לחלוף עליהן במהירות‪ .‬אפשר‪ ,‬במקום להיצמד להוראות הפעילות‪ ,‬לתת לתלמידים משימה פתוחה לחשב את סכום‬
‫הזוויות במתומן‪.‬‬
‫תשובות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫משולשי השוקולד הם משולשים שווי‪-‬צלעות בהם כל זווית שווה‬
‫ל – ‪ .60‬סכום הזוויות סביב נקודה אחת שווה בדיוק לסכום ‪ 6‬הזוויות של המשולשים שווי‪ -‬הצלעות‪.‬‬
‫לכן ניתן לארגן את משולשי השוקולד במארז משושה‪ .‬באופן דומה‪ ,‬כל שלושה משולשים שווי‪-‬צלעות‬
‫יוצרים זווית שטוחה ולכן ניתן לסדר את משולשי השוקולד במארז משולש כמדוגם בסרטוט‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לא ניתן לסדר את משולשים שווי‪ -‬צלעות בקופסה בצורת מתומן בשכבה אחת בלי להשאיר רווחים‪ .‬התלמידים יכולים‬
‫לנסות לענות על השאלה בעזרת ערכת המצולעים או להעלות השערה‪ .‬אפשר לערוך הצבעה בין התלמידים ובהמשך‬
‫לבדוק אתם האם צדקו בהשערתם‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫השיקול של גיל נכון‪ .‬סידור המשולשים בקופסה כולל גם את "מילוי" הפינות‪ .‬בהמשך‪ ,‬כאשר נדע שמידת הזווית של‬
‫מתומן משוכלל היא ‪ .135‬המספר ‪ 135‬אינו מתחלק ב‪ ,60 -‬ולכן לא ניתן למלא את פינת הקופסה במשולשים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫אם גיל ידע את סכום הזוויות יוכל לחלק את הסכום ב‪ 8 -‬ולדעת מה גודלה של כל זווית‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪17‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫ה‪ .‬כל ההצעות נכונות‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫על פי ההצעה של גיל מתקבלים ‪ 6‬משולשים‪ .‬סכום הזוויות ב‪ 6 -‬משולשים הוא ‪.1080‬‬
‫על פי ההצעה של תמר‪.1440 – 360 = 1080 :‬‬
‫על פי ההצעה של יפעת‪.1260 – 180 = 1080 :‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪.1080 : 8 = 135‬‬
‫ח‪.‬‬
‫כן‪ .‬זווית של מתומן משוכלל גדולה מזווית של משושה משוכלל‪.‬‬
‫ט‪ .‬אי אפשר‪ .‬ההסבר בסעיף ב‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪18‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫מצולע הוא קו שבור סגור (שאינו חותך את עצמו)‪.‬‬
‫מצולע שכל צלעותיו שוות זו לזו וכל זוויותיו שוות זו לזו נקרא מצולע משוכלל‪.‬‬
‫ריבוע הוא מרובע משוכלל‪.‬‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות הוא משולש משוכלל‪.‬‬
‫מארז השוקולד בפעילות ‪ 1‬הוא בצורת משושה משוכלל‪.‬‬
‫מצולע משוכלל בעל ‪ 8‬צלעות נקרא מתומן משוכלל‪.‬‬
‫המצולע ‪ LMNOP‬הוא מחומש (בעל חמש צלעות) לא משוכלל כי למשל‪ ,‬הצלע ‪ PO‬לא שווה באורכה לצלע ‪.ON‬‬
‫‪ ‬היא זווית של המצולע ‪ LMNOP‬כי ‪ MN‬ו‪ ON -‬צלעות של המצולע‪.‬‬
‫‪ ‬אינה זווית של המצולע כי ‪ PM‬אינו צלע של המצולע‪.‬‬
‫מצולע קמור הוא מצולע שכל אלכסוניו פנימיים‬
‫(נמצאים בתוך המצולע)‪.‬‬
‫מצולע קמור ‪-‬‬
‫כל אלכסוניו פנימיים‪.‬‬
‫מצולע קעור הוא מצולע שלפחות אחד‬
‫מהאלכסונים חיצוני (נמצא מחוץ למצולע)‪.‬‬
‫מצולע קעור ‪-‬‬
‫לפחות אחד מהאלכסונים חיצוני‪.‬‬
‫אלכסוניו פנימיים‪.‬‬
‫בהגדרה של מצולע קמור חשוב לשים לב שמצולע הוא קמור‪ ,‬אם כל אלכסוניו פנימיים‪ .‬די באלכסון חיצוני אחד כדי‬
‫שהמצולע לא יהיה קמור‪ ,‬אז מתקבל מצולע קעור‪ .‬קיימות הגדרות נוספות‪ ,‬שקולות למצולע קמור‪ .‬הבחירה בהגדרה‬
‫הנוכחית מבוססת על העובדה שהיא מאפשרת לבדוק בקלות אם המצולע קמור‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬סכום הזוויות הפנימיות במצולע – עמ' ‪196‬‬
‫מטרת סעיפים א ו‪-‬ב היא לתרגל את ההגדרה של מצולע קמור ומצולע קעור‪.‬‬
‫בכל ההצעות לחישוב סכום הזוויות במצולע משוכלל שהוצגו בפעילות ‪ ,1‬לא נעשה שימוש בעובדה שהמצולעים הם‬
‫משוכללים ולכן החישובים תקפים גם במצולעים שאינם משוכללים‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪19‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫סעיף ג מאפשר לתלמידים להבחין בעצמם בכך שדרכי החישוב שהוצגו בפניהם מתאימות לכל מצולע קמור‪.‬‬
‫רעיון זה נאמר במפורש בסעיף ד‪.‬‬
‫סעיף ד ‪ -‬שימוש ברעיון של תמר לחישוב סכום הזוויות במחומש‪:‬‬
‫כשמחברים נקודה פנימית עם כל הקדקודים נוצרים ‪ 5‬משולשים‪.‬‬
‫סכום הזוויות של ‪ 5‬משולשים הוא ‪ .900‬נפחית ‪ 360‬שהן סכום הזוויות סביב הנקודה הפנימית ונקבל שסכום זוויות‬
‫המחומש הוא ‪.540‬‬
‫סעיף ה‪ :‬אם המחומש משוכלל אז מידת כל זווית שלו ‪.108‬‬
‫סעיף ו‪:‬‬
‫מספר הצלעות במצולע‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪n‬‬
‫סכום הזוויות במצולע‬
‫‪180‬‬
‫‪360‬‬
‫‪540‬‬
‫‪720‬‬
‫‪800‬‬
‫‪1440‬‬
‫)‪180n – 360 = 180(n – 2‬‬
‫סעיף ז‪ :‬כאשר מגדילים ב‪ 1 -‬את מספר הצלעות של המצולע סכום הזוויות גדל ב‪ .180 -‬תופעה זו בולטת בטבלה‪,‬‬
‫ואפשר גם להסביר אותה באמצעות הנוסחה שהתקבלה‪ .‬ניתן להסביר את התופעה גם על בסיס כל אחת מדרכי החישוב‬
‫שהוצגו בפעילות ‪ :2‬הוספה של צלע מוסיפה משולש אחד‪ ,‬ולכן סכום הזוויות גדל ב‪.180 -‬‬
‫התשובה לסעיף ח‪ ,‬מופיעה בטבלה‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪20‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫פעילות ‪ – 3‬מידת הזווית של מצולע משוכלל – עמ' ‪197‬‬
‫ספר הצלעות במצולע‬
‫המשוכלל‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪n‬‬
‫סכום הזוויות במצולע‬
‫‪180‬‬
‫‪360‬‬
‫‪540‬‬
‫‪720‬‬
‫‪900‬‬
‫‪1440‬‬
‫)‪180(n – 2‬‬
‫מידת כל זוויות‬
‫‪60‬‬
‫‪90‬‬
‫‪108‬‬
‫‪120‬‬
‫‪128.57‬‬
‫‪144‬‬
‫‪180(n – 2)/n‬‬
‫תרגילים – עמ' ‪198‬‬
‫מטרת תרגילים ‪ 1-3‬הינה לתרגל את הנוסחה במציאת זוויות בהינתן צלעות ולהיפך‪ .‬אחת המסקנות שעולה בתרגיל ‪ 2‬היא‬
‫שלא לכל זווית קיים מצולע משוכלל מתאים‪.‬‬
‫עמ' ‪198‬‬
‫‪ .1‬חשבו את סכום הזוויות במצולע בעל ‪ 12‬צלעות‪ .‬אם המצולע הוא משוכלל ‪ -‬מה מידתה של כל זווית? ‪150º‬‬
‫‪ .2‬האם קיים מצולע משוכלל שמידת הזווית שלו ‪ ?40‬לא‪.‬‬
‫אם כן ‪ -‬כמה צלעות במצולע זה? אם לא ‪ -‬הסבירו כיצד ניתן לדעת זאת‪.‬‬
‫שני הסברים אפשריים‪ :‬אם נציב ‪ 40‬בנוסחה לא נקבל ‪ n‬שלם‪.‬‬
‫הסבר נוסף קשור לטענה הנכונה מתרגיל ‪ 4‬סעיף ד‪:‬‬
‫ככל שמספר הצלעות של מצולע משוכלל גדול יותר‪ ,‬כך זווית המצולע גדולה יותר‪ .‬אנחנו יודעים שבמשולש הזווית היא‬
‫‪ 60º‬ולכן לא תיתכן זווית קטנה יותר‪.‬‬
‫‪ .3‬האם קיים מצולע משוכלל שמידת הזווית שלו ‪?170‬‬
‫‪ n  36‬‬
‫‪1800  n  2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1700 ‬‬
‫אם כן ‪ -‬כמה צלעות במצולע זה? אם לא ‪ -‬הסבירו כיצד ניתן לדעת זאת‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪21‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫שאלה ‪ 4‬מחדדת את ההבנות של תוצאות הטבלה בפעילות ‪.3‬‬
‫עמ' ‪ .4 198‬האם נכון ש‪?...‬‬
‫אם המשפט נכון‪ ,‬נמקו מדוע‪ .‬במידה והמשפט לא נכון‪ ,‬הביאו דוגמה נגדית‪.‬‬
‫א‪ .‬לכל המצולעים עם ‪ 10‬צלעות יש אותו סכום זוויות‪ .‬נכון‪ .‬בהתאם לנוסחה שבעמודה האחרונה בטבלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ככל שמספר הצלעות של מצולע משוכלל יותר גדול‪ ,‬כך סכום הזוויות שלו יותר גדול‪.‬‬
‫נכון‪ .‬התבוננות בנוסחה בטבלה בפעילות ‪ ,3‬מראה שכופלים במספר הצלעות פחות ‪ 2‬ולכן הסכום גדל‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫במצולע משוכלל בעל ‪ 9‬צלעות‪ ,‬זווית המצולע שווה ל‪ .142 -‬לא נכון ‪.‬‬
‫נציב ‪ n = 9‬ונקבל‪180(9 – 2)/9 = 140º :‬‬
‫*ד‪.‬‬
‫ככל שמספר הצלעות של מצולע משוכלל גדול יותר‪ ,‬כך זווית המצולע גדולה יותר‪ .‬נכון‪.‬‬
‫‪1800 n 3600‬‬
‫‪3600‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1800 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1800 n  2‬‬
‫‪n‬‬
‫מהנוסחה נשים לב‪ ,‬כי ככל שמספר הצלעות גדל אנחנו מפחיתים‬
‫מספר קטן יותר ולכן זווית המצולע גדולה יותר‪.‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ .5‬במחומש ‪ PQRST‬כל הזוויות שוות‪ .‬חשבו את מידת הזווית ‪.D‬‬
‫‪P‬‬
‫‪R‬‬
‫מידת הזווית ‪ D‬היא ‪.36º‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ .6‬חשבו את מידתה של הזווית המסומנת ב‪ x -‬על‪-‬פי נתוני הסרטוט‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ X‬שווה ‪.128º‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪22‬‬
‫‪D‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫בתרגיל ‪ 7‬כדאי לבקש כתיבה מקוצרת של הנימוקים‪ ,‬כדי לא להאפיל על יופיו‬
‫של המחומש המשוכלל ושל הכוכב שבו כתיבה מייגעת של נימוקים‪.‬‬
‫עמ' ‪ .7 198‬במחומש המשוכלל ‪ YAROK‬האלכסונים נפגשים בנקודות ‪ ,S ,E ,P ,B‬ו‪.T -‬‬
‫א‪ .‬חשבו את מידת זוויות המשולש ‪.∆ORA‬‬
‫המשולש ‪ ∆ORA‬הוא שווה‪-‬שוקיים‪ .‬מידת זווית הראש היא ‪108‬‬
‫ומכאן שהמידות של הזוויות האחרות הן ‪.36‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את מידת זוויות המשולש ‪.∆SER‬‬
‫נשים לב למשולשים החופפים על פי צ‪.‬ז‪.‬צ‪:‬‬
‫‪ORA  RAY  AYK  YKO  KOR‬‬
‫‪12 3‬‬
‫מהחפיפות נסיק‪:‬‬
‫‪∡O1 = ∡O3 = ∡K1 = ∡K3 = ∡Y1 = ∡Y3 = ∡A1 = ∡A3 = ∡R1 = ∡R3 = 36‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ומכאן נוכל להמשיך ולחשב את כל הזוויות בסרטוט‪ .‬בפרט‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∡R2 = ∡R – ∡R1 – ∡R2 = 108 – 2  36 = 36‬‬
‫‪∡OSR = 180 – ∡O1 – ∡R3 = 180– 2  36 = 108‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪∡S1 = 180 – ∡OSR = 180 – 108 = 72‬‬
‫ג‪ .‬הוכיחו כי אלכסוני המחומש מחלקים את זוויותיו ל‪ 3 -‬זוויות שוות‪.‬‬
‫במהלך פתרון סעיף ב כבר קיבלנו‪.∡R1 = ∡R2 = ∡R3 = 36 :‬‬
‫ד‪ .‬מצאו משולש דומה למשולש ‪ ∆ORA‬שאינו חופף לו‪ .‬כמה משולשים כאלה קיימים בסרטוט?‬
‫חמישה משולשים דומים ל‪ ORA -‬ואינם חופפים לו‪:‬‬
‫‪.OSR ,REA ,APY ,YBK ,KTO‬‬
‫נסיק זאת על מתוך חשבון הזוויות‪.‬‬
‫(אפשר גם להוכיח כי ‪.)OSR  REA  APY  YBK  KTO‬‬
‫ה‪ .‬מצאו משולש דומה למשולש ‪ ∆SER‬שאינו חופף לו‪ .‬כמה משולשים כאלה קיימים בסרטוט? ‪5‬‬
‫משולשים‪ ,‬למשל ‪.KRY‬‬
‫ו‪ .‬הוכיחו שהמחומש ‪ BPEST‬הוא מחומש משוכלל‪.‬‬
‫מחשבון הזוויות מקבלים שהמידות של כל זוויות המחומש ‪ BPEST‬הן ‪ .108‬ניתן להראות באמצעות חפיפת‬
‫משולשים שכל הצלעות המחומש ‪ BPEST‬שוות‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪23‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫הצעה לפעילות הרחבה שאיננה מופיעה בספר לתלמיד‬
‫אתגר‪:‬‬
‫הנוסחה לסכום הזוויות במצולע מתאימה גם למצולע שאינו קמור‪ .‬קראו את‬
‫ההוכחה וענו על השאלות‪.‬‬
‫נתחיל במצולע לא קמור בעל ‪ n‬צלעות‪ .‬נחלק את המצולע למשולשים על ידי‬
‫העברת אלכסונים פנימיים (ראה סרטוט)‪ .‬שימו לב‪ ,‬שאיננו מעבירים את כל‬
‫האלכסונים הפנימיים‪ ,‬אלא רק חלק מהם כדי ליצור משולשים בתוך המצולע‪.‬‬
‫נגרע משולש אחד מתוך המשולשים (לדוגמה את המשולש הכהה המסומן)‪,‬‬
‫קיבלנו מצולע חדש בעל צלע אחת פחות מהמצולע המקורי (‪ ,)n – 1‬מדוע?‬
‫כעת נגרע עוד משולש מהמצולע‪ ,‬איך ניתן לבטא את מספר הצלעות של המרובע החדש?‬
‫כך נמשיך לגרוע עוד ועוד משולשים עד שנשאר עם המשולש האחרון‪.‬‬
‫במשולש סכום הזוויות הוא ‪.180‬‬
‫כעת נחזיר את כל המשולשים שגרענו מהמצולע‪ .‬בכל פעם שנוסיף עוד משולש‪ ,‬אנו מוסיפים עוד ‪ 180‬לסכום זוויות‬
‫המרובע‪ .‬מדוע?‬
‫השאלה היא כמה משולשים גרענו? התחלנו עם מצולע בעל ‪ n‬צלעות‪ ,‬בכל פעם הפחתנו את מספר הצלעות באחת‬
‫ולבסוף נותרנו עם משולש ולכן סה"כ יש להחזיר )‪ (n – 3‬משולשים‪.‬‬
‫החזרה של )‪ (n–3‬משולשים מוסיפה ‪.(n – 3)180‬‬
‫ולכן סכום הזוויות במצולע ‪.180 +(n – 3)180 = (n – 2)180‬‬
‫פתרון לאתגר‪ :‬הוכחה זו מסתמכת על העובדה שבכל מצולע ניתן להעביר‬
‫לפחות אלכסון פנימי אחד‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫בכל פעם שגורעים משולש מהמצולע נגרעות מהמצולע שתי הצלעות של‬
‫המשולש שנגרע‪ ,‬שאינן אלכסון‪ ,‬ובמקביל‪ ,‬האלכסון הופך להיות צלע של‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫המצולע‪.‬‬
‫כך שבסך הכל יש למצולע צלע אחת פחות‪.‬‬
‫אם למשל גורעים את המשולש ‪ ,ABC‬נגרעות הצלעות ‪ AB‬ו‪.BC -‬‬
‫הקטע ‪ ,AC‬שבמצולע המקורי היה אלכסון‪ ,‬הופך להיות צלע במצולע החדש‪.‬‬
‫כשגורעים משולש סכום הזוויות קטן ב‪ 180 -‬כיוון שכל זוויות המשולש שנגרע הן‬
‫זוויות או חלקי זוויות של המצולע המקורי‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪24‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫זוויות חיצוניות במצולעים ‪ -‬עמ' ‪199‬‬
‫זווית הנוצרת בין אחת הצלעות של מצולע קמור לבין המשך הצלע הסמוכה נקראת זווית‬
‫חיצונית למצולע‪ .‬זווית זו צמודה לזווית פנימית במצולע‪ .‬חשוב לשים לב‪ ,‬כי רק במצולעים‬
‫קמורים ניתן לדבר על זווית חיצונית למצולע‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬ליד כל קדקוד יש שתי זוויות חיצוניות‪ .‬מדוע שתי הזוויות החיצוניות שליד אותו‬
‫קדקוד שוות זו לזו?‬
‫חשוב לשים לב‪ ,‬כי רק במצולעים קמורים ניתן לדבר על זווית חיצונית למצולע‪.‬‬
‫כדאי להזכיר עובדה זו כאשר עוברים לעסוק בסכום הזוויות החיצוניות של מצולע‬
‫שאינו משוכלל‪.‬‬
‫נשים לב כי הנושא‪ :‬זווית חיצונית למשולש נלמד בכיתה ז‪ ,‬חלק ג‪ ,‬עמ' ‪.168-170‬‬
‫המשפטים על זווית חיצונית במשולש הם משפטים שימושיים בהמשך לימודי הגיאומטריה‪.‬‬
‫לאחר שעסקנו בסכום הזוויות הפנימיות של מצולעים‪ ,‬ראינו שהוא גדל ככל שגדל‬
‫מספר הצלעות של מצולע‪ ,‬וראינו שסכום הזוויות יכול להיות גדול מאד‪ ,‬מזומנת‬
‫לנו הפתעה‪ :‬סכום הזוויות החיצוניות של מצולע קבוע בכל המצולעים הקמורים‬
‫והוא ‪ .360‬האתנחתא בסוף הפרק ממחישה מדוע סכום הזוויות החיצוניות בכל‬
‫המשולשים שווה לסכום הזוויות סביב נקודה אחת‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 4‬סכום הזוויות החיצוניות במצולע ‪ -‬עמ' ‪199‬‬
‫פעילות זו כדאי לתת לתלמידים כעבודה‬
‫עצמית ואחר כך לסכם את הדיון בכתה‪,‬‬
‫ולהדגיש את המיוחד במשפט‪.‬‬
‫המפגש עם מגוון דוגמאות שבכולן סכום‬
‫הזוויות החיצוניות של המצולע הוא‬
‫‪ 360‬מטרתו לעורר מוטיבציה להבין‬
‫את התופעה ולהוכיח אותה‪.‬‬
‫על ההוכחה‪:‬‬
‫בכל קדקוד סכום הזווית הפנימית‬
‫והזווית החיצונית של המצולע הוא‬
‫‪ .180‬לכן סכום הזוויות הפנימיות‬
‫והחיצוניות ביחד הוא ‪ .180n‬כדי‬
‫לקבל את סכום הזוויות החיצוניות‬
‫נפחית ממספר זה את סכום הזוויות‬
‫הפנימיות ונקבל‪:‬‬
‫‪180  n – 180(n – 2) = 360‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪25‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫יש לשים לב להערה החשובה על פתק התובנות‪ .‬התרגילים מתייחסים למצולעים‬
‫קמורים בלבד‪.‬‬
‫שימו לב‪ ,‬תרגילים אלו‬
‫מתייחסים למצולעים‬
‫קמורים בלבד‪ ,‬גם כשאין‬
‫זה מוזכר בתרגיל‪.‬‬
‫תרגילים – עמ' ‪200‬‬
‫מטרת התרגיל ‪ 8‬לומר שוב‪ ,‬בניסוחים אחדים‪ ,‬כי סכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע קמור הוא ‪ ,360‬ובמילים אחרות ‪-‬‬
‫לא קיים מצולע קמור שסכום הזוויות החיצוניות שלו שונה מ‪ .360 -‬הנתון המוצג בסעיף ג‪ ,‬סכום הזוויות החיצוניות של‬
‫המצולע הוא ‪ ,360‬אינו מוסיף אינפורמציה ואינו מאפשר לדעת מהו מספר הצלעות של המצולע‪.‬‬
‫עמ' ‪200‬‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬מהו סכום הזוויות החיצוניות במצולע בעל ‪ 20‬צלעות?‬
‫ב‪ .‬האם קיים מצולע שסכום הזוויות החיצוניות שלו שונה מ‪ .360 -‬הסבירו‪.‬‬
‫ג‪ .‬במצולע משוכלל נתון כי סכום הזוויות החיצוניות שלו הוא ‪.360‬‬
‫האם ניתן להסיק מהנתון את מספר הצלעות של המצולע?‬
‫תרגיל ‪ 9‬עוסק בריצוף באמצעות אריחים זהים‪ .‬מומלץ להיעזר בערכת המחשה המופיעה בעמוד ‪ 14‬להצגת פתרון תרגיל‬
‫זה‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫האם אפשר לרצף משטח באמצעות אריחים זהים שצורתם‪:‬‬
‫א‪ .‬משולש שווה‪-‬צלעות‬
‫ב‪ .‬ריבוע‬
‫ג‪ .‬מחומש משוכלל‬
‫ד‪ .‬משושה משוכלל ה‪ .‬מתומן משוכלל ?‬
‫הסבירו את תשובותיכם‪.‬‬
‫הראינו כבר שאפשר לרצף עם ריבוע‪ ,‬משולש משוכלל ומשושה משוכלל‪ .‬למעשה אלו הצורות המשוכללות היחידות‬
‫שניתן לרצף בעזרתן משטח‪ .‬מידת הזווית של מחומש משוכלל היא ‪ .180º‬מספר זה אינו מחלק של ‪ 360‬ולכן אם‬
‫נצמיד שני מחומשים יוותר מרווח‪ ,‬ואם נצמיד שלושה מחומשים לקדקוד משותף הם יכסו זה את זה‪ .‬כדאי להמחיש‬
‫זאת באמצעות ערכת המצולעים המופיעה בתחילת המדריך‪.‬‬
‫שיקול דומה אפשר להראות לגבי מתומן משוכלל‪ .‬גם מידת הזווית שלו‪ 135º ,‬איננה מחלק של ‪.360‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪26‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪ .10 200‬מהו סכום הזוויות בכוכב מחומש‪.‬‬
‫נסו לענות על השאלה בדרכים אחדות‪.‬‬
‫רמז היעזרו במשפט‪ :‬זווית‬
‫חיצונית במשולש‪ ,‬שווה‬
‫לסכום שתי הזוויות הפנימיות‬
‫שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫ניתן למצוא את סכום הזוויות של כוכב מחומש בדרכים רבות‪.‬‬
‫הדרך המוצגת כאן מפתיעה בפשטותה ומתבססת על המשפט‪:‬‬
‫זווית חיצונית במשולש שווה לס כום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה‪.‬‬
‫נסמן את זוויות הכוכב במספרים‪.‬‬
‫נתבונן בזוויות המשולש ‪:GFC‬‬
‫‪ .∡G = ∡1 + ∡3‬זווית זו חיצונית למשולש ‪.DEG‬‬
‫‪ .∡F = ∡2 + ∡5‬זווית זו חיצונית למשולש ‪.ABF‬‬
‫‪∡1 + ∡3 + ∡2 + ∡5 + ∡4 = ∡G + ∡F + ∡C = 180‬‬
‫אם אף תלמיד בכתה לא יציג פתרון זה מומלץ לסרטט על הלוח את הסרטוט המצורף לפתרון‪ ,‬עם המשולש המודגש ועם‬
‫סימון הזוויות ולתת לתלמידים לפענח את ההוכחה המסתתרת בסרטוט‪.‬‬
‫אתנחתא – מבט מרחיק לכת – עמ' ‪200‬‬
‫דמיינו שאתם מתבוננים במצולע ממקום רחוק‪ :‬מקצה החדר‪ ,‬מקצה הרחוב‪ ,‬מפסגת הר‪ ,‬ואולי מהירח‪.‬‬
‫ככל שמתרחקים‪ ,‬המצולע נראה יותר ויותר קטן עד אשר סכום הזוויות החיצוניות נראה כמו סכום הזוויות מסביב‬
‫לנקודה‪ .‬מהו סכום הזוויות מסביב לנקודה אחת?‬
‫האתנחתא המופיעה בספר והתבוננות מבעד לעדשת המצלמה‪ ,‬שמופיעה כאן בהמשך‪ ,‬מציגות שתי נקודות מבט שמאירות‬
‫את העובדה המפתיעה‪ :‬הגדלת מספר הצלעות של מצולע קמור לא משפיעה על סכום הזוויות שלו שנשאר תמיד ‪- 360‬‬
‫סכום הזוויות מסביב לנקודה‪.‬‬
‫נשים לב‪ :‬התריסים של צמצם המצלמה לא משתנים כשהצמצם נפתח אלא רק מתרחקים ממרכז החור‪ ,‬ולכן סכום הזוויות‬
‫כשהצמצם פתוח שווה לסכום הזוויות כשהצמצם סגור ‪.360 -‬‬
‫מבעד לעדשת המצלמה‪.‬‬
‫צמצם הוא רכיב בעדשה של מצלמה‪ ,‬שמאפשר בקרה על כמות האור העובר דרכה‪.‬‬
‫הצמצם בנוי ממספר תריסים שיוצרים פתח בצורת מצולע משוכלל‪ .‬התריסים יכולים‬
‫לנוע ולשנות את גודל הפתח וכך ניתן לווסת את כמות האור הנקלט במצלמה‪.‬‬
‫חישב ו על הזוויות של תריסי הצמצם כזוויות חיצוניות לחור הצמצם שנוצר כשהתריסים נפתחים‪.‬‬
‫מהו סכום הזוויות כשהצמצם סגור?‬
‫האם סכום הזוויות משתנה כשהצמצם פתוח?‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪27‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫תרגיל חישוב לבחירה‪ .‬התרגיל איננו מופיע בספר לתלמיד‪.‬‬
‫חשבו את ‪ x‬בסרטוטים שלפניכם‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫_________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪28‬‬
‫___‬
‫מדריך למורה לכיתה ט – ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים – מדריך למורה‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים נלמד בכמה סבבים‪ .‬בכיתה ח מטרות ההוראה היו על פי תכנית הלימודים‪ ,‬ללמד את תכונות משולש‬
‫שווה‪-‬שוקיים ולעסוק במשפט‪ :‬במשולש שווה‪-‬שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו‪ ,‬ולא ללמד ולעסוק במשפט ההפוך או במושג‬
‫"משפט הפוך" בהם נעסוק בהרחבה בהוראה בכיתה ט‪.‬‬
‫עם זאת‪ ,‬במסגרת ספרי "אפשר גם אחרת" לכיתה ח‪ ,‬חלק א‪ ,‬הצענו פעילויות הרחבה והעשרה מעבר לתוכנית הלימודים‬
‫שעוסקת במשפט ההפוך למשפט על זוויות הבסיס במשולש שווה‪-‬שוקיים וכן פעילות אינטגרטיבית העוסקת במשולשים‬
‫חופפים ומשולשים שווי‪-‬שוקיים הנוצרים על ידי ישרים במערכת צירים‪.‬‬
‫מורים שלא הספיקו ללמד פעילויות אלו בכיתה ח‪ ,‬מוזמנים לעיין בפעילויות ‪ 20‬ו‪ 21-‬עמודים ‪ 289-290‬ובתרגילים ‪134-137‬‬
‫ולשלב גם אותם בהוראה בהתאם לצורך‪.‬‬
‫זו אחת הסיבות שאנו קוראים לפרק זה מפגש חוזר והרחבה‪ ,‬כי למעשה משולש שווה‪-‬שוקיים נלמד בכיתה ח‪.‬‬
‫חשוב לציין כי עיקר התרגול בנושא משולש שווה‪-‬שוקיים נמצא בפרק הדלתון ולכן אין צורך להוסיף תרגילים לפרק מעבר‬
‫לתרגילים שכבר שובצו‪.‬‬
‫הפעילות הראשונה עוסקת במשפט ההפוך‪,‬‬
‫מבלי לציין כי זהו משפט הפוך‪ .‬בהמשך‬
‫ההוראה בכיתה ט‪ ,‬נשים דגש רב יותר על‬
‫משפט ישר ומשפט הפוך‪ ,‬אך בפרק זה‬
‫נזרעים הזרעים הראשונים לרעיון ובפעילות‬
‫‪ 3‬אנו מחדדים לתלמידים את ההבדל בין‬
‫שני המשפטים‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 1‬משולש בעל שתי‬
‫זוויות שוות – עמ' ‪201‬‬
‫לפעילות ‪ 1‬שתי מטרות עיקריות‪ :‬מטרה‬
‫ראשונה הוכחת המשפט ההפוך למשפט על‬
‫זוויות הבסיס במשולש שווה‪-‬שוקיים ומטרה‬
‫שנייה היא עיסוק בכתיבת הוכחה פורמלית‬
‫ומסודרת‪ .‬הפעילות היא למעשה דוגמה‬
‫פתורה עם דגשים מרכזים בכתיבת הוכחה‪.‬‬
‫אנו לוקחים בחשבון שגם בכיתות ח עסקנו‬
‫בכתיבת הוכחות והלמידה בכיתה ט‬
‫מתבססת גם על התנסויות אלו‪.‬‬
‫דגשים ביחס להוכחת המשפט ההפוך‪:‬‬
‫השאלה הראשונה בפעילות בעצם מחדדת‬
‫את הרעיון של משפט הפוך‪ .‬כלומר‪ ,‬ידוע‬
‫לנו כי בכל משולש שווה‪-‬שוקיים זוויות‬
‫הבסיס שוות‪ ,‬האם כל משולש שיש לו זוג‬
‫זוויות שוות הוא משולש שווה‪-‬שוקיים?‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪29‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫מורים שמעוניינים‪ ,‬זו הזדמנות ראשונה להתייחס לכמת כל ולמשמעותו במתמטיקה‪ .‬בפרק הדלתון אנו מתייחסים בהרחבה‬
‫לכמת "כל"‪.‬‬
‫הדגשים בכתיבת ההוכחה‪:‬‬
‫הדגש הראשון בפעילות הוא זיהוי מה נתון במשפט ומה צריך להוכיח‪ .‬כאמור‪ ,‬בפרק המבוא על טענות ומסקנות‪ ,‬למדנו‬
‫להבחין בין חלקי המשפט ולהבחין בין מה שנתון לבין מה שצריך להוכיח‪ ,‬כפעילות בפני עצמה (ראו עמ' ‪ .)194‬הפעם זהו‬
‫שלב ראשון בהוכחה‪ .‬השלב הבא בהוכחה הוא בניית עזר פשוטה‪ ,‬סרטוט חוצה הזווית‪ .‬אם טרם התייחסתם בכיתה ח‬
‫לרעיון של בניית עזר‪ ,‬כדאי להסבירו בקצרה‪.‬‬
‫"לקראת ההוכחה" הינו הסבר של רציונל ההוכחה בכללותו‪ ,‬לרוב בהסתכלות מהסוף להתחלה‪ .‬רציונל זה מסביר מה נרצה‬
‫להוכיח בסוף התהליך ומה אנו זקוקים לשם כך‪ ,‬בדרך‪ .‬הסבר זה מסייע לתלמידים לראות את התמונה הכללית ולהבין את‬
‫שלבי הביניים של ההוכחה‪ .‬במקרה זה‪ ,‬את הצורך בהוכחת שוויון בין הזוויות ‪ ∡D1 = ∡D2‬לצורך הוכחת חפיפת משולשים‬
‫וחפיפת משולשים לצורך הסקת שוויון בין צלעות‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬במסגרת הפעילות אנו מציעים דרך לכתיבת הוכחה‪ .‬לאורך הספר בכיתה ט נציג דרכים שונות לכתיבת הוכחה‬
‫פורמלית מדויקת מתמטית ובכך נאפשר לתלמידים לבחור בדרך המתאימה להם מחד ונכונה מתמטית מאידך‪.‬‬
‫בפעילות זו נציג את הטבלה בעלת שלוש עמודות‪ ,‬כדרך לכתיבת הוכחה מורכבת‪ .‬העמודה הראשונה מימין‪ ,‬מטרתה להציג‬
‫את השלב בהוכחה בהתאם למה שתואר ב"לקראת הוכחה"‪ .‬בהוכחות מורכבות‪ ,‬אנחנו מוכיחים משהו אחד במטרה להוכיח‬
‫משהו אחר ולתלמידים קשה לעקוב אחר מהלך המחשבה מהסוף להתחלה‪ .‬כדי לסייע להם‪ ,‬יצרנו את העמודה הימנית בה‬
‫מופיעים כל שלבי ההוכחה‪ .‬העמודה השנייה‪ ,‬מטרתה להציג את הטענה אותה אנו טוענים ועמודה השלישית והאחרונה את‬
‫הנימוק לטענה זו‪.‬‬
‫זוהי ההוכחה הפורמלית הראשונה‬
‫ובמסגרתה אנו מציגים את המושג "מ‪.‬ש‪.‬ל" ‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬האם התבססנו רק על‬
‫הידוע לנו? – עמ' ‪202‬‬
‫המטרה המרכזית של פעילות ‪ 2‬היא לעסוק‬
‫בשגיאות נפוצות אצל תלמידים‪ .‬שגיאה אחת‬
‫היא התבססות על מידע שאינו נתון במהלך‬
‫ההוכחה דבר שעלול ליצור מעגליות בהוכחה‪.‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬התבססות על תכונות משולש‬
‫שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬לפני שהוכח שהמשולש הוא‬
‫משולש שווה‪-‬שוקים‪ .‬שגיאה נוספת היא‬
‫השימוש במושג "זוויות בסיס" השמור לזוויות‬
‫במשולש שווה‪-‬שוקיים בלבד‪ .‬הבהרה זו‬
‫נעשת על ידי סעיף ב בו עדי מציעה ניסוח‬
‫פשוט למשפט שהוכח ועל התלמידים לזהות‬
‫את הבעייתיות בניסוח המוצע‪.‬‬
‫מטרה משנית של הפעילות היא פיתוח‬
‫מיומנות קריאת הוכחה‪ .‬במסגרת פעילות ‪,2‬‬
‫התלמידים צריכים לקרוא הוכחה נתונה‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪30‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫ולזהות בה את השגיאה‪ .‬בפעילות מוצהר כי התלמיד שכתב את ההוכחה התבסס על מידע שאינו נתון ועל התלמידים לאתר‬
‫מהו המידע שלא ניתן היה להתבסס עליו‪.‬‬
‫פעילות ‪ 2‬היא הזדמנות לחדד ידע מתמטי על ידי דיון עם תלמידים בשגיאות נפוצות שלהם – שימוש במידע שאינו נתון‬
‫במסגרת ההוכחה ושימוש במושגים שמורים‪ ,‬שלא במקומם‪.‬‬
‫בנוסף‪ ,‬פעילות ‪ 2‬מאפשרת לדון בדרך שבה הגענו להוכחה ובשפה המתמטית‪ .‬כדי להוכיח את שוויון הצלעות (עדין איננו‬
‫קוראים להן שוקיים‪ ,‬כי לא הוכחנו כי זהו משולש שווה‪-‬שוקיים ) אנחנו בוחנים מספר אפשרויות לחפיפת משולשים ופוסלים‬
‫את האפשרות ל העביר תיכון‪ .‬כן יכולנו‪ ,‬במקום לבנות גובה במקום חוצה זווית אך זה היה מעורר דיון בשאלה מדוע הגובה‬
‫חייב להיות פנימי שאיננו רוצים להיכנס אליו בשלב זה‪.‬‬
‫סעיף ב‪ ,‬כאמור שוב מתייחס לדיוק בשפה המתמטית‪ ,‬לא נקרא לזוויות‪ ,‬זוויות בסיס‪ ,‬אם לא ידוע לנו כי המשולש הינו‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 3‬באיזה משפט השתמשנו בכל‬
‫שלב של ההוכחה? – עמ' ‪203‬‬
‫המטרה המרכזית של פעילות ‪ 3‬היא התייחסות‬
‫לאבחנה בין משפט למשפט הפוך מבלי לציין זאת‬
‫בצורה מפורשת‪ .‬בפעילות התלמידים מתנסים‬
‫בהוכחה שיש בה שימוש במשפט ובמשפט ההפוך‪.‬‬
‫שימוש בשני המשפטים במסגרת הוכחה אחת‪,‬‬
‫מחדדת את ההבדל ביניהם‪ .‬בשלב הראשון נתון‬
‫שמשולש הוא שווה‪-‬שוקיים ולכן מותר לנו להסיק כי‬
‫זוויות הבסיס שוות‪ .‬מאוחר יותר בגלל שהוכחנו שוויון‬
‫בין זוויות‪ ,‬נוכל להסיק שוויון בין הצלעות שמולן‪.‬‬
‫ההוכחה המלאה‪:‬‬
‫טענה‬
‫נימוק‬
‫‪∡A = ∡L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A1 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫אם משולש הוא שווה‪-‬שוקיים אז זוויות הבסיס שלו שוות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L1 ‬‬
‫נתון ש‪ AG -‬חוצה את הזווית ‪.∡A‬‬
‫נתון ש‪ LG -‬חוצה את הזווית ‪.∡L‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫חצאי זוויות שוות שווים‪.‬‬
‫‪AG = LG‬‬
‫אם במשולש יש שתי זוויות שוות אז הצלעות מולן שוות‪.‬‬
‫‪ GAL‬שווה‪-‬שוקיים‬
‫משולש בעל שתי צלעות שוות הוא שווה‪ -‬שוקיים‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪31‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫פעילות ‪ – 4‬דרכים נוספות לזהות משולש שווה‪-‬שוקיים – עמ' ‪204‬‬
‫מטרת פעילות ‪ 4‬היא הוכחה‬
‫פורמלית של תכונות נוספות של‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים‪ .‬כמו כן‪,‬‬
‫כחלק מן הפעילות אנו חוזרים‬
‫ומתרגלים ניסוח משפטים‬
‫מתמטיים בצורת אם‪ ...‬אז‪,...‬‬
‫המקלה על התלמידים בזיהוי‬
‫הנתון במשפט ומה צריך להוכיח‪,‬‬
‫כפי שעשינו בפעילות הפתיחה‪,‬‬
‫פעילות ‪ – 3‬נתונים ומסקנות‪,‬‬
‫עמ' ‪.194‬‬
‫תרגילים – עמ' ‪206 - 204‬‬
‫תרגיל ‪ 1‬הינו תרגול יכולת ההנמקה וזיהוי תכונות משולש שווה‪-‬שוקיים עליהן ניתן להתבסס‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬התרגיל מאפשר שימוש במושגים ותכונות שנלמדו בכיתות ז‪-‬ח כמו‪ ,‬המעגל וזווית חיצונית במשולש‪.‬‬
‫עמ' ‪204‬‬
‫‪ .1‬הראו שהמשולשים הבאים הם שווי‪-‬שוקיים ורשמו מי הן שוקי המשולש‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪45‬‬
‫‪130‬‬
‫‪30‬‬
‫‪50‬‬
‫‪G 80‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪45‬‬
‫‪30‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪F‬‬
‫זיהוי מידת הזווית‬
‫השלישית מתוך סכום‬
‫זוויות במשולש‪.‬‬
‫‪FM=SM‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪A‬‬
‫על סמך זווית חיצונית‬
‫נחשב את זוויות‬
‫המשולש ונגלה כי‬
‫השוקיים הן‪:‬‬
‫‪GP=GK‬‬
‫חישוב זווית על‬
‫סמך זווית‬
‫חיצונית‪.‬‬
‫‪NA=ND‬‬
‫‪A‬‬
‫שתיים מצלעות‬
‫המשולש הן רדיוסים‬
‫של המעגל ולכן‬
‫הצלעות שוות באורכן‪.‬‬
‫‪MB=AM‬‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪32‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫בתרגילים ‪ 3 -2‬מידת הזווית ידועה‪ .‬בתרגיל ‪ 2‬כי נתון משולש שווה‪-‬צלעות ובתרגיל ‪ 3‬כי נתון זוויות מלבן‪ .‬עובדה זו‪ ,‬מפשטת‬
‫את ההוכחה‪ .‬תרגיל ‪ 2‬דומה מאד לפעילות ‪ .3‬העובדה שנתון משולש שווה‪-‬צלעות מקצרת את השרשרת ההיסקית‪.‬‬
‫עמ' ‪ .2 205‬המשולש ‪ NOF‬הוא שווה‪-‬צלעות‪ .‬הקטע ‪ SF‬חוצה את הזווית ‪∡F‬‬
‫והקטע ‪ SO‬חוצה את הזווית ‪.∡O‬‬
‫בתרגילים הבאים רשמו תחילה‬
‫מה נתון ומה צריך להוכיח‪.‬‬
‫הוכיחו כי המשולש ‪ SOF‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪( ∡F1 = ∡F2‬הקטע ‪ SF‬חוצה את הזווית ‪)∡F‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪O‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪( ∡O1 = ∡O2‬הקטע ‪ SO‬חוצה את הזווית ‪)∡O‬‬
‫צריך להוכיח‪SF = SO :‬‬
‫‪N‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫טענה‬
‫נימוק‬
‫‪∡F = ∡O = 60º‬‬
‫נתון כי ‪ NOF‬הוא שווה‪-‬צלעות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F‬‬
‫‪O  300‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הקטעים ‪ SF‬ו‪ SO -‬חוצי זווית‪.‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪F1 ‬‬
‫אם במשולש יש שתי זוויות שוות אז הצלעות מולן שוות‪.‬‬
‫‪SF =SO‬‬
‫המשולש ‪SOF‬‬
‫שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪ .3‬במלבן ‪ FARM‬הקטע ‪ MO‬חוצה את הזווית ‪ ∡M‬והקטע ‪ RO‬חוצה את הזווית ‪.∡R‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי המשולש ‪ MOR‬שווה‪-‬שוקיים (‪.)OM = OR‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי המשולש ‪ MOR‬ישר‪-‬זווית‪.‬‬
‫א‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪R‬‬
‫‪O‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪( ∡M1 = ∡M2‬הקטע ‪ MO‬חוצה את הזווית ‪)∡M‬‬
‫‪( ∡R1 = ∡R2‬הקטע ‪ RO‬חוצה את הזווית ‪)∡R‬‬
‫צריך להוכיח‪OM = OR :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫טענה‬
‫נימוק‬
‫‪∡M = ∡R = 90º‬‬
‫נתון כי ‪ FARM‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪R  45o‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הקטעים ‪ MO‬ו‪ RO -‬חוצי‬
‫‪R2‬‬
‫‪M2 ‬‬
‫זויות‪.‬‬
‫זוויות השוות ל ‪.45º‬‬
‫‪OM = OR‬‬
‫אם במשולש יש שתי זוויות שוות אז הצלעות מולן שוות‪.‬‬
‫המשולש ‪ MOR‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל (א)‬
‫‪∡O = 90º‬‬
‫חשבון זוויות במשולש ‪ .∡O = 180-45-45º :MOR‬מ‪.‬ש‪.‬ל (ב)‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪33‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪205‬‬
‫‪ .4‬א‪ ABC .‬משולש שווה‪-‬שוקיים )‪ AD .)AB=AC‬חוצה זווית הראש‪ T .‬נקודה מחוץ למשולש‪ ,‬על הישר החוצה את‬
‫הזווית ‪ ,∡A‬מעבר לקדקוד ‪ .A‬הוכיחו שהמשולש ‪ TBC‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ ABC .‬משולש שווה‪-‬שוקיים )‪ AD .)AB=AC‬חוצה זווית הראש‪ S .‬נקודה מחוץ למשולש‪ ,‬על הישר החוצה את‬
‫הזווית ‪ ,∡A‬מעבר לקדקוד ‪ .D‬הוכיחו שהמשולש ‪ SBC‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4‬ניתן ללא סרטוט‪ ,‬כדי לפתח את המיומנות של קריאת טקסט והבנתו ללא הסרטוט‪ ,‬והתנסות בסרטוט סקיצה‪.‬‬
‫סעיף א וסעיף ב מציגים למעשה‪ ,‬שני מקרים אפשריים למיקום הנקודה מחוץ למשולש ועל הישר החוצה את זווית‬
‫הראש‪ .‬מומלץ לדון עם התלמידים‪ ,‬האם יש הבדל בין ההוכחה בסעיף א לבין ההוכחה בסעיף ב‪.‬‬
‫כדאי לקשר בין תרגיל ‪ 5‬לתרגיל ‪ . 6‬השימוש באותו סרטוט אינו מקרי ונועד לחדד את ההבדל בין הנתונים שבשני התרגילים‪.‬‬
‫בתרגיל זה התנאים מ אפשרים חפיפת משולשים על פי צ‪.‬ז‪.‬צ‪ ,‬ובתרגיל הבא הנתונים אינם מאפשרים זאת ולכן יש צורך‬
‫להיעזר במשפט "אם במשולש שוות שתי זוויות אז הצלעות מולן שוות"‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ .5‬המשולש ‪ ZER‬שווה‪-‬שוקיים‪ .‬הקטע ‪ RM‬חוצה את ‪ ∡R . ∡ZRE‬זווית ראש‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫הנקודה ‪ T‬נמצאת על ‪ .RM‬הוכיחו שהמשולש ‪ ZET‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪Z‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬חפיפה של המשולשים ‪ RTE‬ו‪ RTZ -‬לפי משפט צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪E‬‬
‫באמצעות הפרש בין זוויות הבסיס של משולש ‪ ZER‬וזוויות שוות בין משולשים חופפים‪,‬‬
‫נוכל להראות כי זוויות במשולש ‪ ZET‬שוות זו לזו ולכן הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ .6‬המשולש ‪ ROM‬שווה‪-‬שוקיים‪ .‬נתון ש‪ ∡R .∡ROT = ∡RMT -‬זווית ראש‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫הוכיחו שהמשולש ‪ TOM‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬באמצעות הפרש זוויות‪ .‬נתון ש‪ ROM -‬שווה‪-‬שוקיים ולכן זוויות הבסיס שוות‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫נתון גם ש‪ ∡ROT = ∡RMT -‬מהפרש זוויות נקבל כי שתי הזוויות של המשולש ‪ TOM‬שוות‪,‬‬
‫ולכן הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫צפוי שחלק מהתלמידים יוסיפו את הקטע ‪( RT‬ראו סרטוט) וינסו להוכיח את הטענה על ידי חפיפה‬
‫‪R‬‬
‫של המשולשים ‪ RMT‬ו‪ .ROT -‬פעולה זו אינה נכונה כיוון שהזוויות השוות נמצאות מול הצלע‬
‫המשותפת‪ ,‬ולא ניתן להיעזר בחפיפת משולשים להוכחת הטענה‪.‬‬
‫מהלך ההוכחה דומה להוכחה שבפעילות ‪ ,3‬אלא שבמקום להתבסס על שוויון של חצאי זוויות שוות‬
‫‪T‬‬
‫‪O‬‬
‫אנחנו מתבססים כאן על הפרש של זוויות שוות‪.‬‬
‫התרגיל נועד לחזור ולדון בשאלה מתי אנו מתבססים על המשפט "אם משולש הוא שווה‪-‬שוקיים אז‬
‫‪M‬‬
‫זוויות הבסיס שלו שוות" ומתי על המשפט "אם במשולש שתי זוויות שוות אז הצלעות מולן שוות"‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬כדאי לדון בהבדל שבין תרגיל זה לתרגיל הקודם‪.‬‬
‫בתרגיל הקודם היה נתון ש‪ RM -‬חוצה זווית‪ ,‬ולכן הנתונים סיפקו את התנאים לחפיפת משולשים על פי צ‪.‬ז‪.‬צ‪.‬‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪34‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪R‬‬
‫עמ' ‪206‬‬
‫‪ .7‬במשולש שווה‪-‬שוקיים ‪ QE PQR‬תיכון לשוק ‪ PR‬ו‪ PD -‬תיכון לשוק ‪.RQ‬‬
‫‪ QE‬ו‪ PD -‬נפגשים בנקודה ‪ .M‬הוכיחו כי המשולש ‪ QMP‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪M‬‬
‫מטרת תרגיל ‪ 7‬היא לזמן לתלמידים תרגום של שאלה מילולית לסרטוט‪ .‬אחרי שלב זה‪,‬‬
‫באמצעות משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ מוכיחים כי המשולשים ‪ PDQ‬ו‪ QEP -‬חופפים‬
‫‪Q‬‬
‫‪P‬‬
‫ומתוך החפיפה מסיקים שוויון זוויות במשולש ‪.QMP‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .8‬המשולש ‪ DAF‬שווה‪-‬שוקיים (‪.)DA = DF‬‬
‫הנקודה ‪ K‬נמצאת על ‪ ,DM‬הגובה לבסיס‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪F‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪ .AM = MF‬גובה במשולש שווה‪-‬שוקיים הוא גם תיכון‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו שהמשולש ‪ KAF‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫רעיון לפתרון‪ :‬באמצעות משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ מוכיחים כי המשולשים ‪ KFM‬ו‪ KAM -‬חופפים‪.‬‬
‫‪ .9‬חשבו את השטח ואת ההיקף של כל המשולשים השווי‪-‬שוקיים שלפניכם‪ .‬הסבירו את החישובים‪.‬‬
‫היעזרו במשפט‬
‫פיתגורס‬
‫הסרטוטים מוקטנים והמידות המופיעות הן בסנטימטרים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2.7‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪2.2‬‬
‫‪30‬‬
‫‪N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫במידת הצורך דייקו‬
‫עד שתי ספרות אחרי‬
‫הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‪AB = BC  18.027‬‬
‫שטח‪ 150 :‬סמ"ר‬
‫היקף‪ 66.054 :‬ס"מ‬
‫‪TN = TE  2.2 ; h  1.96‬‬
‫שטח‪ 1.96 :‬סמ"ר‬
‫היקף‪ 6.4 :‬ס"מ‬
‫‪ZN = ZE = 2.7 ; h  2.54‬‬
‫שטח‪ 2.29 :‬סמ"ר‬
‫היקף‪ 7.2 :‬ס"מ‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪35‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫בשאלה ‪ 10‬יש אינפורמציה עודפת‪ :‬אין חשיבות לכך שהנקודה ‪ M‬היא אמצע התיכון לבסיס‪.‬‬
‫לאחר הפתרון כדאי לעורר דיון‪:‬‬
‫עמ' ‪206‬‬
‫‪‬‬
‫האם השתמשנו בכך ש‪ M -‬אמצע התיכון? ‪ -‬לא השתמשנו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מה נוכל להסיק מכך? ‪ -‬שגם אם ‪ M‬נקודה אחרת על התיכון לבסיס המשולש הוא שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪ .10‬המשולש ‪ DAG‬שווה‪-‬שוקיים (‪ .)AD =AG‬הנקודה ‪ M‬היא אמצע התיכון לבסיס‪.‬‬
‫הוכיחו שהמשולש ‪ DMG‬שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫הצעה לפתרון‪ :‬ניעזר במשפט שבמשולש שווה‪-‬שוקיים התיכון לבסיס הוא גם חוצה זווית‬
‫הראש ונוכיח את חפיפת המשולשים ‪ AMG‬ו‪ .AMD -‬לחילופין נוכל לסמן את אמצע‬
‫‪M‬‬
‫הבסיס‪ ,‬להיעזר במשפט שבמשולש שווה‪-‬שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה ובסיס‬
‫ולהתבסס על חפיפת המשולשים ‪ PMG‬ו‪.PMD -‬‬
‫‪G‬‬
‫‪P‬‬
‫‪D‬‬
‫____________________ ________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪36‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫דלתון – מדריך למורה‬
‫הדלתון נבחר כמרובע הראשון שנלמד במסגרת שיעורי הגאומטריה בכיתה ט‪ ,‬כי הוראת הדלתון פשוטה מבחינה היסקית‪,‬‬
‫מאפשרת שימוש וחיזוק של ידע שנלמד בכיתות ז ו‪ -‬ח ונושא הדלתון חדש יחסית לתלמידים‪ .‬הרעיון בהוראת הגאומטריה‬
‫בכיתה ט‪ ,‬הוא לפתח בצורה הדרגתית את מיומנויות ההיסק וכתיבת ההוכחה‪ .‬לכן‪ ,‬בפרק זה נמנע מהוכחות מורכבות‬
‫ומרובות שלבים או הוכחות בדרך השלילה שאליהן נגיע בשלב מאוחר יותר של ההוראה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬יעשה שימוש רב בידע‬
‫שנרכש בכיתה ח בנושא חפיפת משולשים‪ ,‬משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬שוויון קטעים‪ ,‬שוויון זוויות‪ ,‬זוויות קדקודיות‪ ,‬זוויות צמודות‬
‫וכן תוצאות הנובעות מתכונות הדלתון‪ .‬סדר ההוראה מכתיב שימוש רב בחפיפת משולשים ובשאר הנושאים שהוזכרו קודם‬
‫לכן ‪ ,‬כיוון שהתלמידים טרם למדו את תכונות המרובעים האחרים כדוגמת הריבוע ואינם יכולים לעשות שימוש בתכונות אלו‬
‫בהוכחות‪.‬‬
‫מרבית ההוכחות מבוססות על חפיפת משולשים‪ ,‬ולכן במדריך למורה נציין את רעיון ההוכחה ולא נפרט את הדרך בה אנו‬
‫מצפים מהתלמידים לכתוב את ההוכחה ‪ .‬פרק זה הוא הזדמנות מצוינת לתרגול דרכי כתיבת הוכחה‪ ,‬כי ההוכחות עצמן הן‬
‫מיידיות‪.‬‬
‫בפרק הדלתון נעסוק גם בקישוריות בין אלגברה לבין גאומטריה על ידי שילוב תרגילים בנושא הדלתון ומערכת צירים‪.‬‬
‫תרגילים אלו יתבססו על נושאים שנלמדו בכיתה ח כמו שימוש במערכת צירים ופונקציה קווית‪ .‬כמו כן‪ ,‬קישוריות זו תתרום‬
‫לזריעת זרעים ראשונים להוראת גאומטריה אנליטית בעתיד‪ .‬בדרך הוראה מדורגת זו‪ ,‬אנו מאמינים כי יותר תלמידים יצליחו‬
‫וייהנו מלימודי הגאומטריה בהמשך‪.‬‬
‫שיקול נוסף לפתיחה עם הוראת הדלתון קשור לפרק העוקב‪ ,‬פרק בניות באמצעות סרגל ומחוגה‪ .‬בפרק זה חלק גדול‬
‫מהשיקולים וההצדקות קשור בתכונות הדלתון‪.‬‬
‫פרק הדלתון נפתח בהגדרה של דלתון‪ .‬ההגדרה שנבחרה היא‪ :‬דלתון הוא מרובע שלו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות‬
‫השוות זו לזו‪ .‬ההגדרה מתייחסת רק לצלעות הדלתון‪ .‬זאת בהבדל מהגדרות שהיו נהוגות בעבר‪ ,‬כגון‪ :‬דלתון הוא מרובע‬
‫המורכב משני משולשים שווה‪-‬שוקיים בעלי בסיס משותף‪ .‬ההגדרה האחרונה‪ ,‬כוללת בתוכה את האלכסון המשני של הדלתון‬
‫שאיננו צלע של המרובע ולכן אנו נמנעים מלהשתמש בהגדרה זו‪.‬‬
‫כדאי להתעכב על מרכיבי הגדרת הדלתון‪ .‬למשל‪ ,‬מדוע נדרשים שני זוגות צלעות סמוכות שוות זו לזו‪ .‬כדאי לבקש‬
‫מהתלמידים לתת דוגמה למרובע שבו יש זוג אחד של צלעות סמוכות שוות ואיננו דלתון‪.‬‬
‫נקודה נוספת חשובה להתייחסות בהקשר להגדרת הדלתון הוא המושג "זרים" הכלול בהגדרה‪ ,‬ודורש הבהרה לתלמידים‪.‬‬
‫מה המשמעות זרים ומדוע יש לציין שני זוגות זרים?‬
‫הדוגמה הבאה יכולה לחדד נקודה זו‪:‬‬
‫בדוגמה יש שני זוגות של צלעות סמוכות השוות זו לזו ובכל זאת המרובע איננו דלתון‪.‬‬
‫תרגילים מתאימים לעורר דיון על ההגדרה של הדלתון ולשרש תפיסות שגויות הינם תרגילים ‪ .2 -1‬תרגיל ‪ 1‬מכיל דוגמאות‬
‫ואי דוגמאות לדלתון ומציף נקודות חשובות להתייחסות‪ ,‬כגון המקרה של ריבוע‪ .‬תרגיל ‪ ,2‬עושה שימוש במשפט הפוך‬
‫למשולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫לפני פעילות ‪ 1‬וכחלק מהחזרה על הגדרות מוכרות לתלמידים מלימודים קודמים‪ ,‬ישנה גם התייחסות לדלתון קמור ודלתון‬
‫קעור‪ .‬בדומה להגדרת מצולע קמור ומצולע קעור‪ ,‬גם כאן אנו בוחרים בהגדרה המתבססת על האלכסונים‪ ,‬האומרת כי דלתון‬
‫קמור הינו מרובע שכל אלכסוניו הם פנימיים‪ .‬הגדרה זו מאפשרת בדיקה קלה מאוד‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪37‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫לפתיחת נושא הדלתון ישנן שתי אפשרויות‪:‬‬
‫אפשרות ראשונה היא ללמד לפי סדר הפעילויות המופיעות בספר בהתאם לשיקולים וההנחיות שיוצגו מיד לכל פעילות‪.‬‬
‫אפשרות שנייה‪ ,‬מתאימה להוראה בכיתות חזקות‪ ,‬היא לפתוח בפעילות בה נתון מרובע בעל שני זוגות זרים של צלעות‬
‫סמוכות שוות‪ ,‬והתלמידים צריכים לנסות ולגלות כמה שיותר תכונות של המרובע‪.‬‬
‫דלתון הוא מרובע שלו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות השוות זו לזו‪.‬‬
‫קדקוד ראש‬
‫אלכסון ראשי‬
‫קדקוד הנמצא בין שתי צלעות שוות נקרא קדקוד ראש‪.‬‬
‫הזווית שנוצרת בין שתי צלעות שוות נקראת זווית הראש‪.‬‬
‫הזוויות בשני הקדקודים האחרים נקראות זוויות צד‪.‬‬
‫אלכסון משני‬
‫האלכסון המחבר את קדקודי הראש נקרא אלכסון ראשי‪.‬‬
‫האלכסון האחר נקרא אלכסון משני‪.‬‬
‫קדקוד ראש‬
‫כשמעבירים את האלכסון המשני נוצרים שני משולשים שווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫כל זוג צלעות שוות הן שוקיים באחד המשולשים‪ ,‬והאלכסון המשני הוא בסיס משותף‬
‫של שני המשולשים‪.‬‬
‫דלתון שהוא מרובע קמור (כל אלכסוניו פנימיים) נקרא דלתון קמור‪.‬‬
‫בדלתון קמור האלכסונים הם פנימיים‪ .‬לכן שני המשולשים השווי‪-‬שוקיים נמצאים‬
‫משני צדי האלכסון המשני‪.‬‬
‫דלתון שאינו קמור נקרא דלתון קעור‪ .‬בדלתון קעור האלכסון המשני חיצוני‪.‬‬
‫בדלתון קעור המשולשים השווי‪-‬שוקיים נמצאים בצד אחד‬
‫דלתון קעור‬
‫דלתון קמור‬
‫של האלכסון המשני‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪38‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫פעילות ‪ – 1‬נחקור את תכונות הדלתון – עמ' ‪208 – 207‬‬
‫מטרת פעילות ‪ 1‬היא לחקור את תכונות הדלתון ולהשתמש בידע שנרכש בכיתה ח בנושא חפיפת משולשים‪ .‬ההוכחות‬
‫בפעילות ‪ 1‬הן בסיסיות‪ ,‬מובנות ומדורגות ולכן מהוות חזרה ותרגול‪ .‬השאלות המנחות מחדדות מה נתון ומה צריך להוכיח‪.‬‬
‫בפעילות ‪ 1‬ישנה הזדמנות להוכיח את המשפט בדלתון זוויות הצד שוות זו לזו‪ ,‬בשתי דרכים שונות‪.‬‬
‫הערה חשובה שמתווספת לפעילות ‪ ,1‬שתכונות של דלתון קמור‪ ,‬שזוויות הצד שוות זו לזו ושהאלכסון הראשי חוצה את‬
‫זוויות הרא ש‪ ,‬נכונות גם לדלתון קעור‪ .‬אנו מאפשרים לתלמידים להוכיח זאת בתרגיל ‪.9‬‬
‫בתרגיל ‪ 10‬אנו‬
‫מאפשרים לתלמידים‬
‫להוכיח כי הישר שעליו‬
‫מונח האלכסון הראשי‬
‫חוצה את האלכסון‬
‫המשני וגם מאונך לו‪.‬‬
‫תכונה הדומה לתכונה‬
‫שמצאנו בדלתון קמור‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪39‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עבור כל מרובע נבנה "תעודת זה ות" שתכיל את הגדרת המרובע הספציפי ואת תכונותיו‪ .‬כך התלמידים יוכלו בכל פעם לחזור‬
‫אל "תעודת הזהות" ולהיזכר בתכונות המרובע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫תכונות של דלתון‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪P‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.1‬‬
‫אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫האלכסון הראשי של דלתון חוצה את זוויות הראש‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫האלכסון הראשי של דלתון חוצה את האלכסון המשני‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫בדלתון זוויות הצד שוות זו לזו‪.‬‬
‫דלתון הוא מרובע שלו שני זוגות זרים של צלעות‬
‫סמוכות השוות זו לזו‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬סימטריה בדלתון – עמ' ‪209‬‬
‫בפעילות ‪ ,2‬זו הפעם הראשונה שאנו עושים שימוש במושג הסימטריה בכיתה ט‪ .‬נחזור ונדגים אותו גם בפרק המקבילית‪,‬‬
‫טרפז שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬מלבן וריבוע‪ .‬הסימטריה הינה דרך המאפשרת לא לזנוח את השיקולים הבלתי פורמאליים ולאפשר‬
‫לתלמידים להסתייע בהם כחלק מהחשיבה הראשונית בבניית הוכחות לוגיות או כחלק מתהליך הפנמה של תכונות‬
‫המרובעים‪ .‬הסימטריה שאנו מזהים בסרטוט כולו או בחלקים בתוכו מהווים רמז קדם‪-‬היסקי‪ ,‬לדרך שבה כדאי לבחור‬
‫להוכיח באופן פורמלי‪ .‬נשים לב‪ ,‬שכמעט כל הוכחה במסגרת פרק הדלתון נשענת על הסימטריה שבו‪ .‬כיוון שלא הגדרנו‬
‫סימטריה בדרך פורמלית לא נשתמש בסימטריה ככלי להוכחת טענות‪ ,‬אלא רק להסבר לא פורמלי כמו בשלב הקדם‬
‫דדוקטיבי‪ .‬למשל‪ ,‬להוכחת תכונות שנוח לנו להצדיק מטעמי סימטריה‪ ,‬נחפש חפיפת משולשים או תכונות של משולשים‬
‫שווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫לאור נקודה זו‪ ,‬חשוב מאוד לדון עם התלמידים על ההבדל בין המחשה באמצעות קיפולי נייר לבין הוכחות של תכונות‬
‫הדלתון כפי שנעשה בפעילות ‪.1‬‬
‫המושג סימטריה מוצג בהקשר לאלכסון הראשי של הדלתון המחלק אותו לשני משולשים חופפים‪ .‬המובן הבסיסי של ציר‬
‫סימטריה שיקופית הוא קו קיפול‪ :‬אם נקפל את הדלתון לאורך קו זה יכסה החלק האחד את החלק השני במדויק‪ .‬זוהי גם‬
‫המשמעות של חפיפה‪ .‬כדאי להזכיר ולקשר לתלמידים משמעות זו של חפיפה‪ ,‬כפי שהכירו אותה בכיתה ז‪.‬‬
‫מתוך הבנת התלמידים את משמעות החפיפה נרצה כי יסיקו תכונות נוספות המודגמות על ידי ציר הסימטריה והן‪ :‬חציית‬
‫זוויות הראש של הדלתון‪ ,‬חציית האלכסון המשני‪.‬‬
‫בפעילות אנו מתייחסים גם לקיפול לאורך האלכסון המשני‪ ,‬במטרה להמחיש שלא תמיד נקבל ציר סימטריה בעת הקיפול‬
‫לאורך האלכסונים‪ ,‬כפי שקיבלנו בקיפול לאורך האלכסון הראשי‪ .‬העדר החפיפה בין המשולשים בולט מאוד בקיפולי נייר‪.‬‬
‫מטרת סעיף ז היא להראות כי האלכסונים מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫ניתן להדגים את הסימטריה באמצעות שני יישומונים‪ .‬בישומון הראשון רואים איך לכל נקודה על צלע של הדלתון יש נקודה‬
‫סימטרית על צלע אחרת‪ .‬היישומון השני מדגיש בדרך אחרת את הסימטריה בדלתון‪ ,‬על ידי שיקוף משולש בצלעו וקבלת‬
‫דלתון‪ .‬בישומון ניתן לשנות את המשולש ולראות שבכל המקרים מתקבל דלתון‪ .‬אפשר גם לשקף את המשולש בצלע אחרת‪.‬‬
‫חשוב לשקף את הדלתון בצלע אחת בכל פעם‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪40‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪‬‬
‫פעילות ‪ – 2‬סימטריה בדלתון‬
‫לפעילות זו‬
‫שני יישומונים באתר‬
‫בפעילות זו נחקור את הסימטריה בדלתון‪ .‬עקבו אחר ההנחיות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬סרטטו משולש על דף נייר לבן‪.‬‬
‫ב‪ .‬קפלו את המשולש לאורך אחת הצלעות‪ ,‬כך שהסרטוט יהיה בצד החיצוני של הקיפול‪.‬‬
‫ג‪ .‬גזרו את הדף המקופל על‪-‬פי שתי הצלעות של המשולש שאינן מקופלות‪ .‬פתחו את הקיפול‪.‬‬
‫הסבירו מדוע קיבלתם דלתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬קו הקיפול הוא האלכסון הראשי של הדלתון‪ .‬כיצד מדגים הקיפול את תכונות האלכסון הראשי?‬
‫‪‬‬
‫א‬
‫ג‬
‫ב‬
‫ד‬
‫דלתון הוא צורה סימטרית‪.‬‬
‫האלכסון הראשי הוא ציר סימטריה של הדלתון‪.‬‬
‫כל אחד מ המשולשים משני צדי האלכסון הראשי הוא תמונת ראי של המשולש השני‪.‬‬
‫האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אילו תכונות נוספות של הדלתון מודגמות על‪-‬ידי הקיפול?‬
‫נזכור‪ ,‬כי מעוין הוא מרובע שצלעותיו‬
‫שוות זו לזו ולכן הוא סוג של דלתון‪.‬‬
‫ו‪ .‬קפלו את הדלתון לאורך האלכסון המשני‪.‬‬
‫בדלתון שאיננו מעוין האלכסון המשני איננו ציר סימטריה ‪-‬‬
‫המשולשים שנוצרים משני צדי האלכסון המשני אינם חופפים ואינם מכסים זה את זה בעת‬
‫הקיפול‪.‬‬
‫ז‪ .‬נקפל את הדלתון גם לאורך האלכסון הראשי‪.‬‬
‫אילו תכונות של הדלתון ניתן לראות היטב באמצעות קיפול זה?‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪41‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫פעילות ‪ – 3‬הוכחה מול המחשה – עמ' ‪210‬‬
‫מטרת פעילות ‪ 3‬היא לעסוק בניסוחים‬
‫מתמטיים שקולים ומשמעותם‪ .‬זוהי‬
‫התשתית הראשונית של מיומנויות ההיסק‬
‫בגאומטריה של התלמידים‪ .‬עליהם לדעת‬
‫שטענה מתייחסת לכמת "כל" גם‬
‫במקרים שהמילה "כל" איננה מופיע‬
‫בטענה‪ .‬להלן דוגמאות שניתן לרשום אותן‬
‫ללא הכמת "כל" והמשמעות זהה (אם‬
‫נמחוק את המילה כל‪ ,‬המשמעות תשמר)‪:‬‬
‫בכל דלתון האלכסון הראשי חוצה את‬
‫זוויות הראש‪.‬‬
‫האלכסון הראשי מחלק כל דלתון לשני‬
‫משולשים חופפים‪.‬‬
‫האלכסון המשני מחלק כל דלתון לשני‬
‫משולשים שווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫באופן דומה נלמד את התלמידים כי גם‬
‫הניסוח אם‪ ...‬אז‪ ...‬שקול לניסוח קודם‪:‬‬
‫אם מרובע הוא דלתון קמור אז האלכסון‬
‫הראשי חוצה את זוויות הראש‪.‬‬
‫הניסוח האחרון מאפשר לנו לזהות בקלות‪ ,‬מה נתון ומה צריך להוכיח‪ ,‬כפי שדנו בפעם הראשונה בנושא בפעילות ‪ – 3‬נתונים‬
‫ומסקנות‪ ,‬עמ' ‪ .194‬נחזור לדוגמה שהופיעה בפעילות ‪ 3‬וממחישה זאת‪:‬‬
‫כל משפט בגאומטריה מכיל אוסף של נתונים (או הנחות) ומסקנה שנובעת מהנתונים‪ .‬בדוגמה שלנו‪:‬‬
‫אם שני משולשים שווים בהתאמה בשתי צלעות ובזווית שביניהן אז המשולשים חופפים‪.‬‬
‫מסקנה‬
‫נתונים‬
‫בכל פעם שנרצה להוכיח משפט או טענה נרשום תחילה את הנתונים ואת המסקנות אותן רוצים להוכיח‪.‬‬
‫כדי להוכיח משפט יש להראות באופן לוגי שהמסקנה נובעת מהנתונים‪.‬‬
‫מטרת סעיף ג של הפעילות היא לחדד שנית את ההבנה שגם כאשר המילה "לכל" איננה נכללת בניסוח הטענה‪ ,‬משמעותה‬
‫של הטענה זהה‪ .‬המשמעות של הטענה "אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה" היא שלא קיים דלתון שאלכסוניו אינם מאונכים‬
‫זה לזה‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪42‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫תרגילים – עמ' ‪214 - 210‬‬
‫מטרת תרגיל ‪ 1‬היא לחדד את ההגדרה ותכונות הדלתון וליצור אבחנה בין דלתון קעור לדלתון קמור באמצעות האלכסונים‪.‬‬
‫נשים לב‪ ,‬כי לכל דוגמה יש מטרה לחדד היבט אחר של הגדרת הדלתון‪.‬‬
‫עמ' ‪ .1 210‬קבעו לגבי כל אחד מן המרובעים הבאים‪ ,‬האם ניתן להסיק מהנתונים שהוא דלתון ונמקו את קביעתכם‪.‬‬
‫אם המרובע הוא דלתון ציינו‪ ,‬אם הוא דלתון קמור או דלתון קעור‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪45 45‬‬
‫‪27 27‬‬
‫דלתון קעור ‪-‬‬
‫ישנם שני זוגות‬
‫זרים של צלעות‬
‫סמוכות שוות‪.‬‬
‫יש אלכסון‬
‫חיצוני‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫דלתון קמור ‪-‬‬
‫מעוין הוא דלתון‬
‫כי יש לו שני‬
‫זוגות זרים של‬
‫צלעות סמוכות‬
‫שוות‪ .‬הוא קמור‬
‫כי האלכסונים בו‬
‫פנימיים‪.‬‬
‫דלתון קעור ‪-‬‬
‫לא ניתן להסיק‬
‫שהמרובע הוא‬
‫דלתון ‪-‬‬
‫ישנם שני זוגות‬
‫זרים של צלעות‬
‫סמוכות שוות‪.‬‬
‫יש אלכסון‬
‫חיצוני‪.‬‬
‫יש רק זוג אחד של‬
‫צלעות סמוכות‬
‫שוות‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫דלתון קמור ‪-‬‬
‫ניתן להוכיח לפי ז‪.‬צ‪.‬ז‬
‫שהאלכסון מחלק את‬
‫המרובע לשני‬
‫משולשים חופפים‪.‬‬
‫מהחפיפה נסיק שני‬
‫זוגות זרים של צלעות‬
‫סמוכות שוות‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫ט‪.‬‬
‫‪45 45‬‬
‫דלתון קמור ‪-‬‬
‫חשוב להתעכב‬
‫עם התלמידים‬
‫על ההסבר מדוע‬
‫ריבוע הוא גם‬
‫דלתון‪.‬‬
‫לא ניתן להסיק‬
‫שהמרובע הוא‬
‫דלתון‪.‬‬
‫לא ניתן להסיק‬
‫שהמרובע הוא‬
‫דלתון ‪-‬‬
‫שני הזוגות של‬
‫הצלעות השוות אינן‬
‫סמוכות‪.‬‬
‫קיבלנו מקבילית‪.‬‬
‫ישנם שני זוגות של‬
‫צלעות סמוכות‬
‫שוות‪ ,‬אך הם אינם‬
‫זרים‪.‬‬
‫דלתון קעור ‪-‬‬
‫ניתן להוכיח לפי צ‪.‬ז‪.‬צ‬
‫שהאלכסון מחלק את המרובע‬
‫לשני משולשים חופפים ולהסיק‬
‫שקיימים שני זוגות זרים של‬
‫צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪43‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫מטרת תרגיל ‪ 2‬דומה למטרת תרגיל ‪ 1‬והיא לחדד את הגדרת הדלתון ותכונותיו‪ .‬ההתייחסות בתרגיל זה היא לעובדה שכאשר מעבירים‬
‫את האלכסון המשני בדלתון ‪ ,‬נוצרים שני משולשים שווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 2‬נעשה שימוש במשפט ההפוך שנלמד בפרק משולש שווה‪-‬שוקיים‪ :‬אם למשולש יש שתי זוויות שוות‪ ,‬אז הצלעות מולן שוות זו‬
‫לזו‪ ,‬ולכן הוא משולש שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫עמ' ‪211‬‬
‫‪ .2‬בכל אחד מהסעיפים הבאים‪ ,‬קבעו אם המרובע ‪ ABCD‬דלתון‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫א‬
‫‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ב‬
‫‪.‬‬
‫ד‬
‫‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪55‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪D‬‬
‫‪60‬‬
‫‪60‬‬
‫‪55‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪55 B‬‬
‫‪40‬‬
‫‪B‬‬
‫‪40‬‬
‫‪A‬‬
‫‪60‬‬
‫‪55‬‬
‫‪C‬‬
‫דלתון – בעזרת המשפט‬
‫ההפוך נוכיח כי יש שני‬
‫משולשים שווי‪-‬שוקיים‬
‫שהאלכסון המשני הוא בסיס‬
‫משותף לשניהם‪.‬‬
‫‪60‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫דלתון – בעזרת חישוב זוויות‬
‫במשולש ישר‪-‬זווית ומשפט הפוך‪,‬‬
‫נוכיח כי יש שני משולשים שווי‪-‬‬
‫שוקיים שהאלכסון המשני הוא בסיס‬
‫משותף לשניהם‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫דלתון – לפי הזוויות‬
‫הנתונות נסיק כי יש לנו‬
‫שני משולשים שווי‪-‬צלעות‪,‬‬
‫שהאלכסון המשני משותף‬
‫להן‪.‬‬
‫לא דלתון – מחישוב זוויות‪,‬‬
‫נראה כי אין זוג זוויות נגדיות‬
‫שוות‪.‬‬
‫‪ ∡B = 110º‬ו‪. ∡D =125º -‬‬
‫‪ ∡A = 60º‬ו‪.∡C =55º -‬‬
‫בדלתון זוויות הצד שוות זו לזו‪.‬‬
‫ניתן גם להראות שאין שני זוגות‬
‫זרים של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫מקרה זה מובא כדי להדגיש‬
‫שלא כל מרובע שניתן לחלק לשני‬
‫משולשים שווי‪-‬שוקיים הוא דלתון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .3‬המרובע ‪ ABCD‬הוא דלתון (‪.)BC = DC ,AB = AD‬‬
‫‪K‬‬
‫נתון‪.AG = AK :‬‬
‫‪G‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫צ"ל‪ :‬המרובע ‪ AGCK‬הוא דלתון‪.‬‬
‫לתרגיל זה ניתן להציג יותר מדרך פתרון אחת‪ .‬נציג כאן פתרון ללא בניית עזר ועם בניית עזר‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫רעיון הפתרון ללא בניית עזר‪ ∆KDC  ∆GBC :‬לפי משפט חפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬זוג צלעות הדלתון ‪ ,BC = DC‬זוויות הצד של‬
‫הדלתון וחיסור קטעים שווים נתונים (זוג צלעות הדלתון והנתון) נקבל ‪.KD = GB‬‬
‫רעיון הפתרון עם בניית עזר‪:‬‬
‫נעביר את האלכסון הראשי של הדלתון ונוכיח ‪ ∆GAC  ∆KAC‬לפי משפט צ‪.‬ז‪.‬צ ‪.‬‬
‫מתוך החפיפה נסיק כי ‪ .GC = KC‬קיבלנו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות במרובע ‪ AGCK‬ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪44‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫מטרת תרגיל ‪ ,4‬להבחין בין שאלות עם הכמת "כל" לבין שאלות עם הכמת "קיים"‪ .‬כדי להצדיק טענה עם הכמת "כל"‬
‫נדרשת הוכחה כללית ואילו לשם הפרכה מספיקה דוגמה יחידה‪ .‬בטענות עם הכמת "קיים" המצב הפוך‪ .‬כדי להוכיחן נדרשת‬
‫דוגמת קיום יחידה ואילו כדי להפריכן יש צורך בהוכחה כללית‪ .‬בשלב זה של הלמידה‪ ,‬אנחנו מתרכזים בכמת "כל"‪.‬‬
‫אנחנו מציגים טענות עם הכמת "כל" לצד טענות עם הכמת "קיים" כדי לחדד את ההבדל בסוג ההצדקה הנדרש‪.‬‬
‫עמ' ‪211‬‬
‫‪ .4‬לפניכם זוגות של טענות‪ .‬הוכיחו או הפריכו את הטענות‪.‬‬
‫‪)1‬‬
‫א‪ .‬האם בכל דלתון יש זוג צלעות שהן שוות זו לזו ומאונכות זו לזו?‬
‫לא‪ .‬בדלתון משמאל אין זוג צלעות שהן שוות זו לזו ומאונכות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים דלתון עם זוג צלעות שהן שוות זו לזו ומאונכות זו לזו?‬
‫כן‪ ,‬בדלתון משמאל יש זוג צלעות שהן שוות זו לזו ומאונכות זו לזו‪.‬‬
‫‪)2‬‬
‫א‪ .‬האם בכל דלתון כל הצלעות שוות זו לזו?‬
‫לא‪ .‬בשתי הדוגמאות בשאלה הראשונה‪ ,‬למשל‪ ,‬לא כל הצלעות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים דלתון שבו כל הצלעות שוות זו לזו?‬
‫כן‪ ,‬כל מעוין הוא דלתון שכל צלעותיו שוות זו לזו‪ .‬נדגיש שכדי לענות על השאלה מספיק להראות מעוין אחד‪.‬‬
‫‪)3‬‬
‫א‪ .‬האם בכל דלתון כל הזוויות שוות זו לזו?‬
‫לא‪ .‬בשתי הדוגמאות בשאלה הראשונה‪ ,‬למשל‪ ,‬לא כל הזוויות שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים דלתון שבו כל הזוויות שוות זו לזו?‬
‫כן‪ ,‬כל מלבן הוא דלתון שכל זוויותיו שוות זו לזו‪ .‬חשוב לציין שבשביל לענות על השאלה די להראות דוגמה אחת‪.‬‬
‫‪)4‬‬
‫א‪ .‬האם בכל משולש שווה‪-‬שוקיים זוויות הבסיס חדות?‬
‫כן‪ .‬אילו זוויות הבסיס היו ישרות או קהות אז סכום הזוויות היה עולה על ‪ 180‬מעלות‬
‫ב‪ .‬האם קיים משולש שווה‪-‬שוקיים עם זוויות בסיס חדות?‬
‫כן‪ .‬המשולש משמאל הוא דוגמה למשולש שווה‪-‬שוקיים עם זווית בסיס חדות‪.‬‬
‫סעיף ‪ )3‬הובא במיוחד כדי לאפשר דיון עם התלמידים שאם התשובה לסעיף א היא כן‪ ,‬התשובה לסעיף ב חייבת אף‬
‫היא להיות כן‪ ,‬שהרי זו המשמעות של הכמת "כל"‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪45‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪211‬‬
‫‪)5‬‬
‫א‪ .‬האם בכל דלתון זוויות הצד ישרות?‬
‫לא‪ .‬בדלתונים בשאלה הראשונה זוויות הצד אינן ישרות‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם קיים דלתון שבו זוויות הצד ישרות?‬
‫כן‪ .‬בדלתון משמאל זוויות הצד ישרות‪.‬‬
‫‪)6‬‬
‫א‪ .‬מה משותף לכל הטענות בסעיפי א‪ ,‬בכל זוג טענות?‬
‫בכל הטענות המופיעות בסעיף הראשון של כל שאלה מופיע הכמת "כל"‪ .‬הטענות מתייחסות לכל האיברים של‬
‫קבוצה אינסופית (כל הדלתונים‪ ,‬כל המשולשים השווי‪-‬שוקיים)‪ .‬כיוון שאי אפשר לבדוק את כל הדוגמאות של קבוצה‬
‫אינסופית יש לספק הוכחה כללית‪ .‬כדי להראות שהטענה לא מתקיימת לכל איברי הקבוצה‪ ,‬מספיק להביא דוגמה‬
‫נגדית אחת‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה משותף לכל הטענות בסעיפי ב‪ ,‬בכל זוג טענות?‬
‫כל הטענות בסעיף השני של כל שאלה הן טענות קיום‪ .‬כדי להוכיחן עלינו לספק דוגמת קיום‪ ,‬וכדי להפריכן עלינו‬
‫לספק הוכחה שלא ניתן להביא דוגמה מתאימה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫עמ' ‪ .5 212‬נתון‪ - GCKL :‬ריבוע‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪.LB = LF‬‬
‫הוכיחו‪ - BCFL :‬דלתון‪.‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫נוכיח ‪ ∆GBL  ∆KFL‬לפי המשפט על משולשים ישרי‪-‬זווית השווים בניצב ויתר‪.‬‬
‫מתוך החפיפה נסיק כי ‪ .GB = FK‬נתון גם ‪ - GC = CK‬צלעות הריבוע ומחיסור קטעים שווים נקבל ‪.CF = BC‬‬
‫קיבלנו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות במרובע ‪ BCFL‬ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫ניתן לתת שאלה נוספת‪ ,‬על אותו סרטוט אלא שהפעם נתון כי ‪ CF = BC‬וצריך להוכיח כי ‪ BCFL‬הוא דלתון‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪46‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪.6 212‬‬
‫אייל בנה עפיפון שצורתו דלתון ) ‪ .) AD=CD ,BC =AB‬כדי לקשט את העפיפון שלו אייל‬
‫‪B‬‬
‫מדד מקצות האלכסון ‪ AC‬שני קטעים שווים באורך ‪ 5‬ס"מ = ‪.AL = MC‬‬
‫אייל חיבר את הנקודות ‪ L‬ו‪ M -‬עם קודקודי הדלתון ‪ B‬ו‪( D -‬ראו סרטוט)‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪C‬‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪A‬‬
‫אייל צבע את המרובע החדש ב‪ BMDL -‬בצבע וטען שגם הוא דלתון‪.‬‬
‫האם אייל צודק? הוכיחו את תשובתכם‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫אייל צודק‪ .‬רעיון ההוכחה‪:‬‬
‫דרך א‪ :‬הוכחה על ידי חפיפה של שני משולשים ישרי‪-‬זווית ‪ ∆BLO  ∆BMO‬ו‪ ∆DLO  ∆DMO -‬השווים בשני ניצביהם‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני‪ .‬שמרנו על תכונה זו כאשר הורדנו קטעים שווים באורכם‬
‫מקטעים שווים‪ .‬שמרנו גם על תכונות המאונכות של האלכסונים‪.‬‬
‫לפי המשפט אם במשולש גובה הוא תיכון ‪ ,‬אז המשולש הוא שווה‪-‬שוקיים‪ .‬נקבל שני משולשים שווה‪-‬שוקיים ולכן גם נקבל‬
‫שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪L‬‬
‫איילת בנתה עפיפון שצורתו דלתון ) ‪ .) BL=UL ,BE =UE‬כדי לקשט את העפיפון שלה‬
‫היא מדדה מקצוות שני האלכסונים בדלתון קטעים שווים של ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪U‬‬
‫‪.LT = AU = RE = BS = 8‬‬
‫‪S‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫איילת חיברה בין ארבעת הנקודות ‪ S, T, A, R‬שסימנה (ראו סרטוט)‪.‬‬
‫א‪ .‬איילת טוענת שהצורה החדשה‪ STAR :‬היא דלתון‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫האם איילת צודקת? הוכיחו את תשובתכם‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫איילת צודקת‪ .‬רעיון ההוכחה‪ :‬כמו בתרגיל ‪.6‬‬
‫בתשובה לסעיף א יש כבר רמז לסעיף ב‪.‬‬
‫ב‪ .‬בועז טוען שכדי לסרטט דלתון מספיק לסמן ארבע נקודות‪ A .‬ו‪ S -‬במרחקים שווים מקודקודי ‪ B‬ו‪ U -‬של הדלתון‪,‬‬
‫כפי שסימנה איילת‪ ,‬אבל הנקודות ‪ R‬ו‪ T -‬יכולות להיות במרחקים שונים מהקדקודים ‪ L‬ו‪ E -‬של הדלתון‪.‬‬
‫האם בועז צודק? הוכיחו את תשובתכם‪.‬‬
‫בועז צודק‪ .‬ניתן לבקש מהתלמידים לנסות לסרטט‪ ,‬למשל‪ ,‬את המרובע‪ LSEA :‬ולבחון האם הוא דלתון?‬
‫בדרך הבנייה אותה מציע בועז‪ ,‬אנו כל הזמן שומרים על קיום המשפט‪ :‬אם במשולש גובה הוא תיכון ‪ ,‬אז המשולש הוא‬
‫שווה‪-‬שוקיים‪ .‬ולכן תמיד נקבל שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪47‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪E‬‬
‫עמ' ‪.8 212‬‬
‫‪ NET‬הוא משולש שווה‪-‬שוקיים (‪.)NE = ET‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪ - EA‬חוצה זווית ראש‪ AR .‬ו‪ AC -‬מאונכים לשוקי המשולש ‪.ΔNET‬‬
‫הוכיחו כי‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪.ΔNAR ≅ ΔTAC .‬‬
‫‪R‬‬
‫‪T‬‬
‫ב‪ .‬המרובע ‪ RACE‬הוא דלתון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪N‬‬
‫הרעיון לפתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נוכיח ‪ ΔNAR ≅ ΔTAC‬לפי משפט ז‪.‬צ‪.‬ז ‪ .‬התלמידים צריכים לזכור את תכונות משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬שחוצה‬
‫זווית הראש הוא גם תיכון‪ .‬כמו כן‪ ,‬כדאי להסב את תשומת לב התלמידים כי מהקיום של שני זוגות של זוויות שוות‬
‫בהתאמה נוכל להוכיח שגם הזוויות הנותרות שוות זו לזו‪ .‬לכן נוכל להוכיח חפיפת משולשים לפי ז‪.‬צ‪.‬ז‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מתוך החפיפה נסיק כי ‪ - EN = ET .RA = AC‬נתון ומחיסור קטעים שווים נקבל ‪ .ER = EC‬קיבלנו שני זוגות‬
‫זרים של צלעות סמוכות שוות במרובע ‪ RACE‬ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫מטרתם של תרגילים ‪ 9‬ו‪ 10 -‬היא לבחון את תכונות הדלתון הקמור בדלתון קעור‪ .‬בשני התרגילים מתבססים על אותו‬
‫סרטוט‪ .‬בתרגיל ‪ 9‬מוכיחים כי שתי תכונות שמתקיימות בדלתון קמור‪ ,‬ומתקיימות גם בדלתון קעור‪:‬‬
‫האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש וזוויות הצד שוות זו לזו‬
‫בתרגיל ‪ 10‬מוכיחים כי בדלתון קעור‪ ,‬הישר‪ ,‬עליו מונח האלכסון הראשי‪ ,‬חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו‪ ,‬בדומה‬
‫לתכונות של דלתון קמור‪ .‬כדאי לסייע לתלמידים לזהות את האלכסון המשני שחיצוני לדלתון בהיותו דלתון קעור‪.‬‬
‫עמ' ‪.9 213‬‬
‫‪ - OREN‬דלתון קעור ( ‪.) ER = NE ,ON = OR‬‬
‫‪1 2‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו כי ‪.∡ONE = ∡ORE‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי ‪.∡O1 = ∡O2‬‬
‫קטעים שנמצאים על ישרים מאונכים‪,‬‬
‫נחשבים מאונכים זה לזה‪ ,‬גם אם אין‬
‫להם נקודה משותפת‪.‬‬
‫הרעיון להוכחת סעיפי א ו‪-‬ב יחד‪ :‬נוכיח ‪ ∆ONE  ∆ORE‬לפי משפט צ‪.‬צ‪.‬צ ‪ .‬נתון שני זוגות זרים של צלעות סמוכות‬
‫שוות בדלתון וצלע משותפת‪ .‬מתוך החפיפה נסיק כי ‪ ∡ONE = ∡ORE‬וגם‬
‫‪ ,∡O1 = ∡O2‬זוויות מתאימות במשולשים‬
‫חופפים‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ ,9‬הוכחנו שתי תכונות שמתקיימות בדלתון קמור‪ ,‬ומתקיימות גם בדלתון קעור‪:‬‬
‫האלכסון הראשי חוצה את זוויות הראש וזוויות הצד שוות זו לזו‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪48‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪.10 213‬‬
‫תרגיל זה הוא המשך של תרגיל ‪ .9‬תוכלו להתייחס להוכחות שנעשו בתרגיל ‪9‬‬
‫כנתונים של תרגיל זה‪.‬‬
‫נאריך את האלכסון ‪ OE‬מעבר ל‪ E -‬ונסמן ב‪ T -‬את נקודת המפגש של המשך‬
‫האלכסון הראשי עם האלכסון המשני‪.‬‬
‫הוכיחו‪:‬‬
‫א‪.NT = TR .‬‬
‫ב‪.OT  NR .‬‬
‫הרעיון לפתרון‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪( ON =OR‬צלעות סמוכות שוות בדלתון ‪ .)OREN‬לכן המשולש ‪ NOR‬שווה‪-‬שוקיים‪ .‬הוכחנו בתרגיל ‪ 9‬סעיף ב‬
‫‪ OE‬חוצה זווית הראש ולכן גם תיכון‪ .‬מכאן ‪.TR = NT‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מאותם נימוקים שבסעיף א‪ ,‬חוצה זווית הראש במשולש שווה‪ -‬שוקיים הינו גם גובה במשולש‪.‬‬
‫נשים לב‪ ,‬כי בתרגיל ‪ 10‬הוכחנו כי בדלתון קעור‪ ,‬הישר עליו מונח האלכסון הראשי‪ ,‬חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו‪,‬‬
‫בדומה לתכונות של דלתון קמור‪.‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪ - LAMP‬ריבוע‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.∡P1 = ∡P2‬‬
‫‪AP‬‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪.RC‬‬
‫הוכיחו‪ LRCP :‬דלתון‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫הרעיון לפתרון‪ :‬נוכיח ‪ ∆LRP  ∆CRP‬לפי משפט ז‪.‬צ‪.‬ז‪ .‬מתוך החפיפה נסיק כי ‪ LR = RC‬וכן‬
‫‪P‬‬
‫‪.CP = LP‬‬
‫קיבלנו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות במרובע ‪ LRCP‬ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪49‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪ .12 214‬לפניכם רשימת טענות‪ .‬קבעו לגבי כל טענה אם היא נכונה ונמקו‪.‬‬
‫א‪ .‬אלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה‪ .‬נכון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה הוא דלתון‪ .‬לא נכון‪ .‬להלן דוגמה נגדית אפשרית‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ריבוע הוא דלתון‪ .‬נכון‪.‬‬
‫ד‪ .‬דלתון הוא ריבוע‪ .‬לא נכון‪ .‬ריבוע הוא דלתון מיוחד‪ .‬קיימים דלתונים רבים שאינם ריבוע‪.‬‬
‫ה‪ .‬אין דלתון שהוא ריבוע‪ .‬לא נכון‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫אם במרובע יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות‪ ,‬אזי‬
‫המרובע הוא דלתון‪ .‬לא נכון‪ .‬הזוגות צריכים להיות זרים‪.‬‬
‫להלן‪ ,‬דוגמה נגדית בה יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות‪,‬‬
‫אך לא שני זוגות זרים ולכן לא המרובע איננו דלתון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 13‬הינו תרגיל בו הסרטוט אינו שלם ועל התלמידים להשלימו ולהיזכר במשמעות המושג אנך אמצעי לקטע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לתרגיל זה‬
‫יישומון באתר‬
‫‪B‬‬
‫‪ P .13‬אמצע הקטע ‪ .AB‬הישר ‪ m‬הוא אנך אמצעי לקטע ‪.AB‬‬
‫‪G‬‬
‫הנקודות ‪ G‬ו‪ F -‬נמצאות על הישר ‪.m‬‬
‫‪P‬‬
‫הוכיחו כי ‪ AFBG‬דלתון‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫הרעיון לפתרון‪:‬‬
‫התלמידים צריכים להכיר את מושג אנך אמצעי שטומן בתוכו שתי תכונות‪ :‬היותו אנך והיותו חוצה קטע‪ .‬קיבלנו מרובע בו‬
‫האלכסונים מאונכים זה לזה ואחד האלכסונים חוצה את האלכסון האחר ולכן הוא דלתון‪ .‬גם במשולש ‪ AGB‬וגם במשולש‬
‫‪ AFB‬יש תיכון שהוא גם גובה ולכן שני המשולשים שווי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪50‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪214‬‬
‫‪ .14‬נתון‪ - ABCD :‬ריבוע‪.‬‬
‫‪.DK = DL‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫הוכיחו‪:‬‬
‫א‪.AL = KC .‬‬
‫ב‪ - KMLD .‬דלתון‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫ג‪ - ABCM .‬דלתון‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫הרעיון לפתרון‪:‬‬
‫א‪ .‬נוכיח ‪ ∆ADL  ∆CDK‬לפי משפט צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬מתוך החפיפה נסיק כי ‪.AL = KC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫ב‪ .‬נוכיח ‪ ∆LMC  ∆KMA‬לפי משפט ז‪.‬צ‪.‬ז לצורך ההוכחה נעזר בשוויון זוויות הנובע מהחפיפה‬
‫מסעיף א (ראו סימון בסרטוט) וגם בשוויון הזוויות הצמודות‪ .‬מתוך החפיפה נסיק כי ‪KM = ML‬‬
‫‪ .‬קיבלנו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות במרובע ‪ KMLD‬ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נתון ‪ – ABCD‬ריבוע‪ ,‬לכן ‪ .CB =AB‬מחפיפת המשולשים ‪ ∆LMC  ∆KMA‬ניתן להסיק כי‬
‫‪ .MC = AM‬קיבלנו שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות במרובע ‪ ABCM‬ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪K‬‬
‫‪L‬‬
‫‪D‬‬
‫יש לשים לב‪ ,‬כי התלמידים עדיין לא למדו את תכונות אלכסוני הריבוע ולכן לא יכולים להשתמש בתכונות אלו בהוכחה‪.‬‬
‫כיצד נזהה שמרובע הוא דלתון?‬
‫כדי להוכיח שמרובע הוא דלתון‪ ,‬נשתמש במשפטי חפיפת משולשים שלמדנו‪.‬‬
‫בעזרתם נוכל להוכיח‪ ,‬שיש למרובע שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות‪ ,‬או לזהות במרובע שני משולשים‬
‫שווי‪-‬שוקיים שהאלכסון המשני הוא בסיס משותף לשניהם‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪51‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫פעילות ‪ – 4‬שטח דלתון – עמ' ‪215‬‬
‫‪‬‬
‫מטרת פעילות ‪ 4‬להציג דרכים שונות‬
‫לחישוב שטח דלתון על סמך ידע קודם‬
‫של התלמידים או להוכיח אותן‪.‬‬
‫בפעילות זו‪ ,‬בעת ההוכחה נדרשת‬
‫טכניקה אלגברית‪.‬‬
‫לפעילות זו יש יישומון מתאים באתר‪.‬‬
‫במשולש ‪ NAP‬הגובה לצלע ‪ NP‬הוא ‪ ,KA‬מדוע? בדלתון‪ ,‬האלכסונים מאונכים זה לזה‬
‫לכן נוכל לחשב‪:‬‬
‫‪SPINA = 2  SNAP = 2  ½  NP  KA = 2  ½  NP  a = ½  NP  2a = ½  NP  IA‬‬
‫האלכסון הראשי‬
‫חוצה את‬
‫האלכסון המשני‬
‫חוקי החילוף‬
‫והקיבוץ בכפל‬
‫ראינו כי בדלתון השטח שווה למחצית מכפלת האלכסונים‪ .‬הדלתון והמעוין שניהם מרובעים שאלכסוניהם‬
‫מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪52‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫מטרת פעילות ‪ 5‬היא להכליל ולהוכיח את המשפט של שטח מרובע שווה למחצית מכפלת אלכסוניו‪.‬‬
‫פעילות ‪ – 5‬הקשר בין אלכסונים מאונכים לשטח מרובע – עמ' ‪216‬‬
‫נוכיח משפט‪:‬‬
‫שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למחצית המכפלה של אלכסוני המרובע‬
‫‪C‬‬
‫נתון‪ :‬אלכסוניו של המרובע ‪ CTLD‬מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫צ"ל‪SCTLD = ½  TD  CL :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫האלכסון ‪ TD‬מחלק את האלכסון ‪ CL‬לשני חלקים שאחד מהם‪,‬‬
‫המסומן ב‪ ,x -‬הוא הגובה לצלע ‪ TD‬במשולש ‪ TLD‬והשני‪,‬‬
‫המסומן ב‪ ,y -‬הוא הגובה לצלע ‪ TD‬במשולש ‪.CTD‬‬
‫‪D‬‬
‫‪T‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫נחשב את שטח המרובע ‪ CTLD‬כסכום שני המשולשים ‪ LTD‬ו‪: CTD -‬‬
‫‪SCTLD = SLTD + SCTD = ½  TD  x + ½  TD  y = ½  TD(x + y) = ½  TD  CL‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪x + y = CL‬‬
‫תרגילים – עמ' ‪220 - 216‬‬
‫עמ' ‪216‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ .15‬במרובע ‪ MNOP‬האלכסונים מאונכים זה לזה ונפגשים בנקודה ‪.T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪P‬‬
‫נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 3 ,∡MNT = 45 ,PT‬ס"מ = ‪ 10.4 ,MT‬ס"מ = ‪.PO‬‬
‫חשבו את שטח המרובע ואת היקפו‪.‬‬
‫במידת הצורך דייקו עד ‪ 2‬ספרות‬
‫אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫מטרת תרגיל ‪ 15‬להדגים חישוב שטח באמצעות המשפט‪ :‬שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה שווה למחצית‬
‫המכפלה של אלכסוני המרובע‪ .‬בנוסף‪ ,‬התרגיל משלב תזכורת למשפט פיתגורס שנלמד בכיתה ח‪.‬‬
‫יש לשים לב‪ ,‬כי אין מדובר פה בדלתון‪.‬‬
‫משולש ‪ MTN‬הינו משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬לכן ‪ 3‬ס"מ = ‪ .NT = MT‬ולכן‪ 7 ,‬ס"מ = ‪NP‬‬
‫בעזרת משפט פיתגורס נמצא את אורך הקטע‪:‬‬
‫‪ 9.6‬ס"מ = ‪ . OT‬ולכן‪ 12.6 ,‬ס"מ = ‪MO‬‬
‫שטח המרובע הוא‪ 44.1 :‬סמ"ר;‬
‫היקף המרובע‪ 29.69 :‬ס"מ‪.‬‬
‫בעזרת משפט פיתגורס נמצא את אורכי הצלעות החסרות‪:‬‬
‫‪ 4.24‬ס"מ = ‪ 5 ; MN‬ס"מ = ‪ 10.05 ; MP‬ס"מ = ‪NO‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪53‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫תרגיל ‪ 16‬הוא ללא סרטוט‪ .‬התלמידים צריכים להסיק מן הכתוב מיהו האלכסון הראשי‪ ,‬מיהו האלכסון המשני‪.‬‬
‫סעיף ב‪ ,‬מחדד את הנקודה כי מהנתונים לא ניתן להסיק מיהו האלכסון המשני ומיהו האלכסון הראשי ולכן קיימות כמה‬
‫אפשרויות רבות כפי שמודגם בהמשך‪ .‬הנתונים מכתיבים שהדלתון הינו דלתון קמור בלבד‪ ,‬בשל הדרישה שהאלכסונים‬
‫יפגשו בנקודה ‪.F‬‬
‫עמ' ‪216‬‬
‫‪ .16‬בדלתון ‪ PONG‬האלכסונים נפגשים בנקודה ‪.F‬‬
‫נתון‪ .PN  OG :‬שטח המרובע ‪ 30‬סמ"ר‪ 20 .‬ס"מ = ‪.PN‬‬
‫א‪ .‬חשבו את אורך האלכסון ‪ 3 .OG‬ס"מ = ‪OG‬‬
‫ב‪ .‬הסבירו מדוע הנתונים אינם מאפשרים לדעת מהו אורך הקטע ‪.PF‬‬
‫(הראו שקיימת יותר מאפשרות אחת)‪.‬‬
‫נתוני השאלה מאפשרים לסרטט אינסוף דלתונים‪ ,‬כאן מודגמים ארבעה מהם‪ .‬בפרק הבניות נתעמק יותר במצבים בהם‬
‫הנתונים מאפשרים לסרטט יותר מאשר דלתון אחד‪ .‬כאן מוצגות שתי דוגמאות בהן ‪ PN‬הוא האלכסון הראשי ושתי‬
‫דוגמאות בהן ‪ OG‬האלכסון הראשי‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪N‬‬
‫‪O‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪N‬‬
‫‪G‬‬
‫‪P‬‬
‫‪G‬‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫‪F‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N P‬‬
‫‪F‬‬
‫‪P‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G‬‬
‫אם ‪ PN‬אלכסון ראשי אז הנקודה ‪ F‬יכולה להיות כל נקודה על האלכסון ולכן אי אפשר למצוא את אורך הקטע ‪.PF‬‬
‫אם ‪ PN‬אלכסון משני אז הנקודה ‪ F‬היא אמצע האלכסון ‪ PN‬ומכאן ‪10‬ס"מ = ‪.PF‬‬
‫כדאי לשים לב שהנתונים המספריים מאפשרים לסרטט גם דלתון קעור‪ ,‬אך הנתון "האלכסונים נפגשים בנקודה ‪"F‬‬
‫מבטיח שכאן מדובר בדלתון קמור‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪54‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫עמ' ‪ PQRT .17 217‬דלתון‪ M .PQ = PT .‬נקודת מפגש האלכסונים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪45‬‬
‫‪M 60‬‬
‫‪T‬‬
‫נתון‪ 3 ,∡MQR = 60 ,∡PQM = 45 :‬ס"מ = ‪.TM‬‬
‫חשבו את שטח הדלתון ואת היקפו‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ולכן‪ 3 ,‬ס"מ = ‪.MQ = TM‬‬
‫המשולש ‪ MQP‬הינו משולש שווה‪-‬שוקיים‪ ,‬לכן ‪ 3‬ס"מ = ‪ .PM = MQ‬לפי משפט פיתגורס‪ 4.24 ,‬ס"מ ‪.PQ= PT ‬‬
‫המשולש ‪ TQR‬שווה‪-‬צלעות‬
‫בעזרת משפט פיתגורס במשולש ‪ MQR‬נמצא את אורך הקטע ‪ 5.196 :MR‬ס"מ ‪ .MR ‬ומכאן‪ 9.7 ,‬ס"מ ‪. PR ‬‬
‫שטח הדלתון‪ 24.59 :‬סמ"ר‬
‫היקף הדלתון‪ 20.48 :‬ס"מ = ‪.2PQ + 2RQ‬‬
‫‪ EFGH .18‬דלתון‪ P .FG = EF .‬נקודת מפגש האלכסונים‪ 10 .‬ס"מ = ‪ .EG‬שטח הדלתון ‪ 40‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪ .‬מה אורך האלכסון ‪ 8 ? FH‬ס"מ = ‪; FH‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן לדעת על פי הנתונים מהו אורך הקטע ‪ ? FP‬במידה וכן ‪ -‬חשבו‪.‬‬
‫במידה ולא ‪ -‬נמקו‪ .‬אין לנו מספיק מידע על האלכסון הראשי‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם ניתן לדעת על פי הנתונים מהו אורך הקטע ‪ .EP‬במידה וכן ‪ -‬חשבו‪.‬‬
‫כן‪ ,‬כי האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ולכן‪ 5 ,‬ס"מ = ‪; EP‬‬
‫במידה ולא ‪ -‬נמקו‪.‬‬
‫סרטוט מוקטן למקרה א‪:‬‬
‫‪ RKLM .19‬דלתון‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪12‬‬
‫נתון‪ 13 :‬ס"מ = ‪ 20 ;RK = RM‬ס"מ = ‪ 24 ;LK = LM‬ס"מ = ‪.KM‬‬
‫‪16‬‬
‫חשבו את שטח הדלתון‪:‬‬
‫א‪ .‬במקרה שהדלתון קמור‪ .‬בעזרת משפט פיתגורס נמצא כי ‪ 12‬ס"מ = ‪ 16 ; KO‬ס"מ = ‪; OL‬‬
‫‪12‬‬
‫‪5‬‬
‫‪13‬‬
‫שטח הדלתון‪ 252 :‬סמ"ר‬
‫ב‪ .‬במקרה שהדלתון קעור‪ .‬ניתן לחשב בכמה דרכים שונות‪ ,‬לאחר שיש לנו את הנתונים מסעיף א‪.‬‬
‫דרך א‪ :‬נפחית פעמיים את שטח המשולש הקטן משטח הדלתון הקמור ונקבל ‪ 132‬סמ"ר‪.‬‬
‫דרך ב‪ :‬נמצא את אורך האלכסון הראשי (‪ 11‬ס"מ) על‪-‬ידי הפחתה פעמים של גובה המשולש הקטן ונחשב את‬
‫שטח הדלתון‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪55‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪217‬‬
‫‪ FROG .20‬דלתון‪ N .GF = GO .‬נקודת מפגש האלכסונים‪.‬‬
‫נתון‪ 20 :‬ס"מ = ‪ 8 ,NR‬ס"מ = ‪ 17 ,GN‬ס"מ = ‪.GF‬‬
‫חשבו את שטח הדלתון ואת היקפו‪.‬‬
‫בעזרת משפט פיתגורס נמצא כי ‪ 15‬ס"מ = ‪ ; NF‬ולכן‪ 30 ,‬ס"מ = ‪; OF‬‬
‫שטח הדלתון‪ 420 :‬סמ"ר;‬
‫בעזרת משפט פיתגורס נמצא כי ‪ 25‬ס"מ = ‪; FR‬‬
‫היקף הדלתון‪ 84 :‬ס"מ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫עמ' ‪218‬‬
‫‪ ABCD .21‬דלתון קמור ששטחו ‪ 84‬סמ"ר‪.CB = CD .‬‬
‫‪ P‬נקודת מפגש האלכסונים‪ 10 .‬ס"מ = ‪ 12 ,BC‬ס"מ = ‪.BD‬‬
‫‪D‬‬
‫הוכיחו כי ‪.AD  AB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪P‬‬
‫‪AC  12‬‬
‫נחשב תחילה את אורך האלכסון ‪ 84  AC  14 : AC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫ממשפט פיתגורס במשולש ‪ DPC‬נקבל ‪ 8‬ס"מ = ‪ PC‬ולכן ‪ 6‬ס"מ = ‪.AP‬‬
‫המשולש ‪ ADP‬ישר‪-‬זווית ושווה‪-‬שוקיים ולכן‪.∡DAP = 45 ,‬‬
‫האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זווית הראש ומכאן ‪.∡DAB = 90‬‬
‫במילים אחרות‪.AD  AB :‬‬
‫‪ .22‬בדלתון ‪ )EH = EL ,OH = OL( OHEL‬האלכסונים נפגשים בנקודה ‪.T‬‬
‫נתון‪ 10 ,OH  HE :‬ס"מ = ‪.∡E = 60 ,HE‬‬
‫א‪ .‬חשבו את מידות הזוויות‪.∡OEL ,∡LOE ,∡OLT :‬‬
‫‪;∡OLT = 30‬‬
‫‪;∡LOE = 60‬‬
‫‪∡OEL = 30‬‬
‫ב‪ .‬הוכיחו כי ‪ .OTL  LTE‬למשולשים ‪ 3‬זוגות של זוויות מתאימות שוות‪.90 º ,60º ,30º :‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את אורכי הקטעים‪ HLE .TE ,OE ,OT :‬משולש שווה‪-‬צלעות‪ .‬מכאן‪ 10 = HL = LE ,‬ס"מ = ‪.HE‬‬
‫‪O‬‬
‫ד‪ .‬חשבו את שטח הדלתון (במידת הצורך דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית)‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫שטח הדלתון הוא‪ 68.3 :‬סמ"ר‬
‫‪T‬‬
‫‪H‬‬
‫ה‪ .‬חשבו את היקף הדלתון (במידת הצורך דייקו עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית)‪.‬‬
‫היקף הדלתון הוא‪34.14 :‬ס"מ ‪.2HE + 2HO ‬‬
‫‪E‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪56‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫תרגילים ‪ 23‬ו‪ 24 -‬יוצרים קישור לתלמידים בין לימודי האלגברה ללימודי הגאומטריה והכנה ללימודי גאומטריה אנליטית‪.‬‬
‫עמ' ‪218‬‬
‫‪ .23‬הנקודות )‪ (0,4‬ו‪ (2,0) -‬הן קדקודים סמוכים של דלתון‪.‬‬
‫א‪ .‬מצאו שיעורים של עוד שתי נקודות שיכולות להיות שני הקדקודים‬
‫האחרים‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫)‪(2,8); (3,4‬‬
‫או )‪(2,5); (4, 4‬‬
‫כמה דלתונים שונים אפשר למצוא? נמקו‪.‬‬
‫קיימים אינסוף דלתונים אפשריים‪.‬‬
‫נתבונן למשל בדוגמה הימנית‪ .‬במקום הנקודה )‪ (0,-2‬אפשר לבחור כקדקוד‬
‫כל נקודה אחרת על ציר ה‪ ,y -‬למעט ראשית הצירים (כדי שלא ייוצר‬
‫משולש)‪ .‬באופן דומה נוכל ליצור אינסוף דלתונים גם מכל אחת הדוגמאות‬
‫האחרות‪.‬‬
‫יכול להיות שאחד התלמידים יציע לסרטט אלכסון ראשי שאינו מקביל לאף אחד מהצירים‪ .‬זו אפשרות נכונה‪ ,‬למרות‬
‫שאין לתלמידים כלים למצו א את הקדקודים האחרים בדרך זו‪ ,‬כל עוד אינם מכירים תכונות של ישרים מאונכים‪.‬‬
‫לפעילות זו יש דף להקרנה והדגמה בשני נוסחים‪:‬‬
‫שקף להקרנת השאלה‪ ,‬עם דלתון שאפשר לשנות את שיעורי קדקודיו באמצעות הוורד (באמצעות כלי לעריכת נקודות)‪.‬‬
‫לשם כך נדרשת מיומנות בעבודה עם כלי הסרטוט של הוורד‪ .‬שקף זה מופיע באתר הקורס בשם "הזיזו את הנקודות כך‬
‫שהצורה תישאר דלתון"‪.‬‬
‫שקף (מופיע בעמוד הבא) עם הגדלה של השאלה‪ .‬ניתן להקרינו על לוח לבן ולאפשר לתלמידים להשלים את הדלתון‬
‫במערכת הצירים‬
‫ב‪ .‬האם תיתכנה שתי נקודות כאלה שאינן על הצירים? הסבירו‪.‬‬
‫כן‪ ,‬לדוגמה‪(2,8); (3,4) :‬‬
‫ג‪ .‬מורן הציעה את הנקודות )‪ (0,-4‬ו‪ .(-2,0) -‬האם המרובע של מורן הוא דלתון?‬
‫כן‪ ,‬הוא דלתון מיוחד שנקרא מעוין‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪57‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫סרטטו דלתון שהנקודות המסומנות הן קדקודים סמוכים שלו‬
‫שקף לשאלה ‪ , 23‬עמ' ‪218‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪58‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪219‬‬
‫‪ .24‬הנקודות )‪ (0,3‬ו‪ (4,4) -‬הן קדקודים סמוכים של דלתון‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצאו שיעורים של עוד שתי נקודות שיכולות להיות שני הקדקודים האחרים‬
‫של הדלתון אם ידוע שהאלכסון הראשי הוא על ציר ה‪ y -‬וסרטטו את הדלתון‬
‫במחברת‪.‬‬
‫אם האלכסון הראשי על ציר ‪ y‬נדאג שהוא יחצה את האלכסון המשני ולכן‪,‬‬
‫הקדקוד השני של האלכסון המשני יהיה )‪ . (-4,4‬הקדקוד הרביעי יכול להיות‬
‫בנקודות שונות‪ ,‬לדוגמה‪(0,18) :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו אורך האלכסון המשני בדלתון שלכם? אורך האלכסון המשני ‪ 8‬יחידות‬
‫אורך‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו שטח הדלתון שלכם? מטרת סעיף ג‪ ,‬לחדד את ההבדל בין התשובה לסעיף ג לתשובה לסעיף ב‪ .‬בסעיף‬
‫ב לכל בחירה של התלמידים‪ ,‬אורך האלכסון המשני יהיה זהה‪ ,‬אבל תלמידים שונים יסרטטו דלתונים שונים‪,‬‬
‫בה תאם לבחירה של אורך האלכסון הראשי‪ ,‬שאין עליו מגבלה ולכן השטחים יהיו שונים‪ .‬במקרה של הדוגמה‬
‫שנבחרה לתרגיל זה בסעיף א שטח הדלתון יהיה ‪ 60‬יחידות שטח‪.‬‬
‫אם נבחר נקודה אחרת כמו )‪ (0,6‬השטח ישתנה ל‪ 12 -‬יחידות שטח‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מה היקף הדלתון שלכם? ההיקף תלוי אף הוא בב חירה של התלמידים באורך האלכסון הראשי‪ .‬לכן גם לסעיף זה‬
‫נקבל תשובות שונות‪ .‬נעזר במשפט פיתגורס לחישוב הצלעות של הדלתון‪ .‬לפי נתוני סעיף א ‪ 43.16 -‬יחידות‬
‫אורך‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 25‬נדגיש את סדרת ההיסקים המתקבלת‪ :‬מרובע הוא דלתון‪ ,‬בכל מרובע סכום הזוויות הפנימיות הוא ‪  360‬סכום‬
‫הזוויות הפנימיות בדלתון הוא ‪.360º‬‬
‫ישנה דרך נוספת והיא כמובן לחלק את הדלתון לשני משולשים‪ ,‬אך חשוב שהתלמידים יבינו שאין בכך צורך‪.‬‬
‫‪ .25‬מהו סכום הזוויות של דלתון? הוכיחו‪.‬‬
‫התשובה של אור‪:‬‬
‫למדנו שסכום הזוויות במרובע הוא ‪ .360‬דלתון הוא מרובע ולכן סכום הזוויות שלו הוא ‪.360‬‬
‫התשובה של עמית‪ :‬סכום הזוויות בדלתון הוא בדיוק סכום הזוויות של שני‬
‫משולשים ולכן הוא שווה ל‪.360 -‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪59‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫נסו להוכיח ללא חישוב‬
‫מידת הזוויות‪.‬‬
‫בתרגיל ‪ 26‬אנו משתמשים בידע שלמדנו בפרק על מצולעים‪.‬‬
‫עמ' ‪219‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ SHARON .26‬משושה משוכלל‪ .‬הוכיחו כי ‪ SAON‬דלתון‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫נתון‪ :‬משושה משוכלל‪.‬‬
‫‪;NO = SN‬‬
‫צ"ל‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪AO = SA‬‬
‫‪N‬‬
‫‪R‬‬
‫‪O‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫טענה‬
‫נימוק‬
‫‪NS = NO‬‬
‫נתון משושה משוכלל‪.‬‬
‫‪∡SHA = ∡ARO‬‬
‫זוויות פנימיות במשושה משוכלל שוות זו‬
‫‪OR = AR = SH = HA‬‬
‫נתון משושה משוכלל‪.‬‬
‫‪∆SHA  ∆ARO‬‬
‫לפי צ‪.‬ז‪.‬צ‬
‫‪AO = SA‬‬
‫צלעות מתאימות בין משולשים חופפים‪.‬‬
‫‪ SAON‬דלתון‬
‫שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫לזו‪.‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫תרגיל ‪ 27‬דורש שלבי היסק אחדים ולכן מתאים בשלב זה רק לתלמידים מצטיינים‪ .‬כדאי לזהות את הדלתונים משיקולי‬
‫סימטריה ורק אחר כך לחפש שוויונות בדרך לחפיפת משולשים‬
‫‪A‬‬
‫עמ' ‪ .27 220‬בדלתון ‪)BC = DC ,AB = AD( ABCD‬‬
‫‪ BE‬ו‪ DF -‬חוצים בהתאמה את ‪ ∡B‬ו‪∡D -‬‬
‫‪E‬‬
‫ונחתכים בנקודה ‪.G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪D‬‬
‫צ"ל‪:‬‬
‫א‪ .ABE  ADF .‬ז‪.‬צ‪.‬ז (‪ ∡A‬משותפת‪ ∡ABE  ∡ADF ,AB=AD ,‬חצאי זוויות שוות)‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .DGE  BGF .‬ז‪.‬צ‪.‬ז ( ‪ ∡GED =∡GFB‬צמודות לזוויות שוות‪ ED=FD ,‬הפרשי קטעים שווים‪,‬‬
‫‪ ∡ADF = ∡ABE‬חצאי זוויות שוות)‬
‫ג‪ .‬המרובע ‪ AFGE‬הוא דלתון‪ .‬מחפיפה ב נובע שוויון הצלעות הדרושות‪.‬‬
‫ד‪ .‬מצאו בסרטוט שני דלתונים נוספים והוכיחו לגבי כל אחד מהם שהוא דלתון‪ BGDC .‬ו‪BADG -‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪60‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬
‫עמ' ‪ .28 220‬הוכיחו או הפריכו‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬מרובע שאחד מאלכסוניו מחלק אותו לשני משולשים שווי‪-‬שוקיים הוא דלתון‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪55‬‬
‫לא נכון‪ .‬אפשר לסרטט מרובע שמורכב משני זוגות של משולשים שווי‪-‬שוקיים‬
‫‪55‬‬
‫דומים כמו בסרטוט‪ .‬מקרה זה מובא כאן ובתרגיל ‪ 2‬עמ' ‪ ,211‬כדי להדגיש שלא‬
‫כל מרובע שניתן לחלק לשני משולשים שווי‪-‬שוקיים הוא דלתון‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪55‬‬
‫‪55‬‬
‫‪C‬‬
‫ב‪ .‬מרובע שאחד מאלכסוניו מאונך לאלכסון השני הוא דלתון‪.‬‬
‫לא נכון‪ .‬יש דוגמאות נגדיות רבות‪ .‬לדוגמה‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מרובע שאחד מאלכסוניו הוא אנך אמצעי לאלכסון השני הוא דלתון‪.‬‬
‫נכון‪ .‬במקרה זה האלכסון מחלק את הדלתון לשני משולשים‪ ,‬שבכל אחד מהם התיכון הוא גם גובה‪ .‬מכאן‬
‫שלמרובע שני זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות ולכן הוא דלתון‪.‬‬
‫ד‪ .‬מרובע שמורכב משני זוגות של משולשים חופפים הוא דלתון‪.‬‬
‫לא נכון‪ .‬כל מקבילית מהווה דוגמה נגדית לטענה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מרובע שאלכסון שלו חוצה שתיים מזוויותיו הוא דלתון‪.‬‬
‫נכון‪ .‬במקרה זה האלכסון הראשי מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים‪ ,‬ומהחפיפה נסיק את קיומם של שני‬
‫זוגות זרים של צלעות סמוכות שוות‪.‬‬
‫‪ .29‬האם קיים?‬
‫א‪.‬‬
‫דלתון שהזווית בין אלכסוניו היא בת ‪? 45‬‬
‫לא קיים‪ .‬למדנו שאלכסוני הדלתון מאונכים זה לזה‪.‬‬
‫למרות שהשאלה לכאורה פשוטה‪ ,‬חשוב לעסוק בה כדי להדגיש שוב ושוב שלא תיתכן דוגמה נגדית לטענה‬
‫תקפה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫דלתון עם שלוש זוויות חדות?‬
‫כן‪ ,‬לדוגמה‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דלתון עם ארבע זוויות חדות? לא‪ .‬לא קיים אף מרובע עם ארבע זוויות חדות‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫דלתון עם ארבע זוויות ישרות? כן‪ ,‬ריבוע הוא דלתון‪.‬‬
‫____________________________________________________________________________________________________________‬
‫© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"‬
‫‪61‬‬
‫מדריך למורה לכיתה ט ‪ -‬ספר אפור‪ ,‬חלק א‬