1. No category

Et andengradspolynomium er en funktion med regneforskriften:
p(x) = ax² + bx + c , hvor a0.
Eks.
p(x) = 2x² - 12x + 10 er et andengradspolynomium
Parablens udseende
Hvis a > 0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en glad graf):
Hvis a <0 ser grafen for et andengradspolynomium sådan ud (en trist graf):
Disse grafer kaldes parabler
Jo tættere a er på nul, jo mindre stejl er parablen.
c er parablens skæring med y-aksen. Det ses ved at indsætte x=0 i: y=ax² +bx+ c
b’s geometriske betydning
Vi differentierer p(x)=ax²+bx+c, og får p’(x) =2ax+b
Ved at sætte x=0, ser vi at b er parablens hældning ved 2.aksen.
b’s fortegn kan således direkte aflæses af parablen
Parablens toppunkt
Det højeste eller laveste punkt på en parabel kaldes toppunkt.
Grafen for x² ser således ud:
(0,0) er toppunkt
Grafen for 2(x-3)² ser ud som den sorte
graf. (3,0) er toppunkt.
Den røde graf svarer til -2(x-3)²
Grafen for 2(x-3)² + 2 ser ud som den
sorte graf. (3,2) er toppunkt.
Den røde graf svarer til -2(x-3)² + 2
Generelt gælder at ethvert andengradspolynomie kan skrives a(x-x0)²+y0
hvor (x0 , y0) er toppunktet.
Det vil vi ikke bevise, men nøjes med ovenstående anskueliggørelse.
Bevis for toppunktsformlen:
( xo , yo ) =
(
,
Først vil vi indføre d = b² - 4ac
d kaldes diskriminanten.
Vi vil nu betragte et vilkårligt andengradspolynomium ax² + bx + c.
Toppumnktet kan karakteriseres ved at differentialkvotienten er nul.
Vi kan således finde x-værdien for toppunktet ved at løse lignignen:
)
(ax² + bx + c)’ = 0
2ax+b = 0
x=
y-værdien for toppunktet findes ved i polynomiet at erstatte x med
y = a·( )2 + b ·
og vi får:
+c
I lektion 20 indførte vi betegnelsen d for: b² - 4ac
- b² + 4ac bliver derfor lig -d og vi får
.
Koordinatsættet for toppunktet bliver således:
( xo , yo ) =
hvilket skulle bevises.
(
,
)
Bevis for løsningsformlen for andengradsligningen
Det handler om at løse en ligning, der kan skrives på formen:
hvor a0
Men det er meget lettere at løse ligningen, når vi omskriver den ved hjælp af toppunktets
koordinater til formen:
ax² + bx + c = 0
a(x - xo )² + yo = 0
a(x - xo )² = - yo
(x - xo )² =
Venstresiden kan ikke være negativ.
Hvis højresiden er negativ, er der således ingen løsninger.
Vi vil derfor vurdere højresiden og indsætter
Højresiden bliver
i stedet for yo . (Se toppunktsformlen)
=
er ikke negativ, så højresiden er kun negativ hvis d er negativ.
Der er således ingen løsninger, hvis d er negativ.
Hvis d ≥ 0 fås
(x - xo )² =
(x - xo ) =
x - xo =
x = xo +
Vi indsætter
i stedet for xo og får x =
x=
Vi har hermed bevist løsningsformlen.
Hvis d=0 bliver der kun én løsning.