Kompendium Matematik HF C niveau π Frederiksberg HF Kursus Lars Bronée 2014 Mail: [email protected] Web: www.larsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning Procentregning Rentesregning 1 2 8 11 14 Modeller Lineær sammenhæng Potenssammenhæng Eksponentiel udvikling 17 19 21 Deskriptiv statistik Grupperede observationer Ikke – grupperede observationer 24 29 Geometri Pythagoras læresætning Arealet af en trekant Vinkelsummen i en trekant Trigonometri Ensvinklede trekanter 32 32 32 33 38 Ligefrem og omvendt proportionalitet Indekstal Annuitetslån (supplerende stof) 40 41 42 Supplerende noter Procentregning Lineære sammenhænge Potenssammenhænge Eksponentielle udviklinger Grafen for de 3 sammenhænge Oversigt over de 3 modeller Trigonometri 43 44 45 48 49 50 51 Matematisk bevisførelse Pythagoras læresætning Vinkelsummen i en trekant Areal af en trekant Lineære sammenhænge Potenssammenhænge Eksponentielle udviklinger 52 53 54 55 56 58 Arbejdsspørgsmål Formler Stikordsregistrer Bilag 60 64 74 75 Kære matematik – studerende på Frederiksberg HF – kursus At lære matematik betyder blod sved og tårer, og ikke mindst frustrationer. Det er helt normalt og nødvendigt, uden disse ingen læring. Det er en del af processen. Dette kompendium er skrevet med henblik på at gøre Din rejse ind i matematikkens verden lidt lettere. De forskellige C niveau emner præsenteres på en simpel måde uden for mange dikkedarer. Det er skrevet i et uakademisk sprog der skærer direkte ind til benet af stoffet, uden en masse tangenter til at forplumre overblikket. Kompendiet er løbende blevet opdateret i forhold til konstruktiv feedback fra kursister. C niveau kræver ikke nogen kompliceret lommeregner. Anbefaler TI 30XS. Den er funktionel og simpel at håndtere. Held og lykke med matematiklæringen! Ved du kan hvis du beslutter dig for det. Det er godt at få en god matematikstart på sin uddannelse. Tak til lektor Johan Aage Smith for gode tips under tilblivelsen af kompendiet. Lars Bronée august 2014 Matematiklærer på Frederiksberg HF kursus 1 Det grundlæggende: Når tal ganges med brøk Eksempel 1: 2⋅ 9 2 ⋅ 9 18 = = =3 6 6 6 Tallet 2 skal altså ganges med brøkens tæller. Bemærk at brøkstreg bruges til at symbolisere division i dette kompendium og ikke ÷ som nogen måske er mest vant til. Når brøk ganges med brøk Eksempel 2: 4 12 4 ⋅12 48 ⋅ = = =6 2 4 2⋅4 8 Her skal vi altså gange de 2 tællere sammen og gange de 2 nævnere sammen. At 48 8 = 6 betyder på godt dansk, at hvis 8 mennesker skal dele 48 bananer ligeligt, får de netop 6 hver. Når en brøk divideres med at tal Eksempel 3: ( 303 ) 30 30 = = =5 2 3⋅ 2 6 Her skal vi blot gange tallet 2 der divideres med ind i brøkens nævner som vist i eksemplet. Når en brøk divideres med en brøk Eksempel 4: ( 32 ) 3 10 30 = ⋅ = =3 ( 105 ) 2 5 10 Vi skal altså blot gange brøken i tælleren med nævnerens brøk vendt om. 2 Når et tal divideres med en brøk Eksempel 5: ( 16 ) 6 3 18 6 = = ⋅ = =9 ( 23 ) ( 23 ) 1 2 2 Her har vi altså blot omskrevet tallet 6 til 6 1 og herefter brugt brøk divideret med brøk. Når vi skal ophæve en minusparantes Eksempel 6: 6 − (2 + x − 12) = 6 − 2 − x + 12 = 16 − x Vi ophæver minusparantesen ved at ændre fortegn for alle led i parantesen. Herefter er alle tal i udtrykket slået sammen og det er tradition at skrive 16 − x og ikke − x + 16 selvom det er ligeså korrekt. Når et tal ganges ind i en parantes Eksempel 7: 2 ⋅ (12 − x) = 2 ⋅12 − 2 x = 24 − 2 x Her ophæves parantes ved at gange tallet ind i hvert led i parantesen. Bemærk at 2 ⋅ (− x) = −2 x. Når et tal sættes udenfor en parantes Eksempel 8: 6 ⋅ x − 6 ⋅ y = 6 ⋅ ( x − y) Her har vi udnyttet at tallet 6 optræder i begge led i udtrykket. Herefter er 6 sat udenfor en parantes og vi skriver blot hvad der er tilbage når 6 er fjernet. Vi kan sige at vi gør det omvendte af at gange ind i en parantes. 3 Når vi ganger 2 negative tal med hinanden Eksempel 9: ( − 2) ⋅ (−3) = 6 Vi får altså et positivt tal når 2 negative tal ganges med hinanden. Bemærk at skrivemåden −2 ⋅ −3 er ukorrekt, da vi ikke kan skrive ⋅ − lige efter hinanden uden nogen parantesadskillelse. Når et positivt tal ganges med et negativt tal Eksempel 10: 12 ⋅ ( −3) = −36 Et positivt tal gange et negativt tal giver et negativt tal. Bemærk igen den korrekte parantesadskillelse mellem regnearterne multiplikation (⋅) og subtraktion (−). Opgave: får vi et positivt eller et negativt tal hvis 3 negative tal ganges med hinanden? Når vi sætter på fælles brøkstreg Eksempel 11: 2 3 2+3 5 + = = =1 5 5 5 5 Vi udnytter har at 5 er nævner i begge brøker. Vi skal blot beholde 5 i nævneren og lægge de 2 tal i tælleren sammen. Eksempel 12: 3 1 3 ⋅ 3 2 ⋅1 9 + 2 11 + = + = = 4 6 12 12 12 12 Når der som udgangspunkt ikke står samme tal i de 2 brøkers nævnere er det lidt mere kompliceret. Vi finder det mindste tal som både 4 og 6 går op i (12) og forlænger de 2 tællere. For eksempel skal vi gange 4 med 3 for at få 12. Derfor skal tæller også ganges med 3. 6 skal ganges med 2 for at få 12. Derfor ganges tæller med 2. På den måde har vi fået samme tal i begge brøkers nævnere og herefter gøres som i forrige eksempel. 4 Når vi arbejder med potenser Eksempel 13: Hvis vi multiplicerer 2 tal (ganger ) skrives for eksempel 2 ⋅ 3 = 6. Men hvis nu vi rykker 3 tallet lidt op over 2 tallet til højre ser det sådan her ud: 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8. Så er det blevet en potensudregning. 2 kalder vi grundtallet og 3 kalder vi eksponenten. Vi siger at grundtallet 2 er opløftet til 3. På lommeregner → 2^3 enter = 8. TI − 30 XS er en god simpel lommeregner på C niveau. Når vi arejder med rødder Eksempel 14: Beregningen 3 8 = 2 vil vi kalde for den tredje rod af 8. Her kaldes 3 rodeksponenten. På lommeregner → 3 2nd ^ 8 enter = 2. Bemærk at 23 = 8. I praksis kan vi opfatte rødder som potenser eftersom følgende gælder: n a =a ( 1n ) (∗) (1) Opgave: tjek om ligning (∗) passer ved at lave beregninger 3 64 og 64 3 . Den anden rod af et tal, for eksempel 2 16 er i virkeligheden bare kvadratroden af 16, altså 16 = 4. Der er tradition for at undlade 2 tallet, så 2 16 = 16 underforstået. Opgaver (lommeregner tilladt ) Udregn 23 ⋅ 21 = 55 = 11 10 + 12 − 3 − 1 + 4 = 9 −1 = 3 35 = 12 2176782336 = 3 125 − 2 = 100 − 82 = 5 Når vi arbejder med lommeregner Vores lommeregner har en helt bestemt måde at udføre beregninger på. Eller den gør det i en bestemt rækkefølge. Den følger regnearternes hierarki: 1) Potenser/rødder 2) Multiplikation/division → gange/dividere 3) Addition/subtraktion → lægge sammen/trække fra Eksempel 15: Vi vil gerne udregne 2 + 32 på lommeregner → 2 + 3 ^ 2 enter = 11. I dette tilfælde skal lommeregner udregne en potens (32 ) og en addition (+ ). Da potenser er rangeret højere end addition i hierarkiet vil lommeregne først udregne 32 = 9 og derefter beregne 2 + 9 = 11. Parenteser kan indsættes i et regnestykke for at bede lommeregner om at se bort fra hierarkiet. På den måde bliver udregningen (2 + 3) 2 noget helt andet. Her vil lommeregner udregne parantesen 2 + 3 = 5 og derefter udregne 52 = 25, som jo er et andet resultat end uden parantes. 110 − 20 på lommeregner. Vi vil nu indtaste 35 − 5 regnestykket på lommeregner → 110 − 20 ÷ 35 − 5 enter = 104, 4285714. Men det er forkert. Da division er rangeret højere end subtraktion i hierarkiet har lommeregner først udregnet Eksempel 16: Vi vil gerne beregne brøkken 20 ÷ 35 = 0,571428571 og derefter beregnet 110 − 0,571428571 − 5 = 104, 4285714. Lommeregnerteknisk er det derfor vigtigt at omslutte tæller og nævner med paranteser når der er flere led i tæller og nævner. Korrekt på lommeregner → (110 − 20) ÷ (35 − 5) enter = 3, som er det rigtige resutat. Eksempel 17: Vi vil gerne udregne potensen 26−3 på lommerregner. Da eksponenten har 2 led er det igen vigtigt med en parantes om eksponenten → 2^(6 − 3) enter = 8. For at minimere risikoen for lommeregnerfejl vil det være hensigtmæssigt at opskrive (110 − 20) regnestykker med paranteser → og 2(6−3) og på den måde minde sig selv om (35 − 5) vigtigheden af at indtaste dem på lommeregner når regnestykker udregnes. 6 Når vi skal være præcise Eksempel 18: Lad os sige vi skal lave beregningen x = 5 − 2 og derefter beregne y = 2, 24356 + x. På den måde bliver udregningen af x en slags mellemregning inden vi udregner y. Vi udregner x på lommeregner → 5 − 2 = 3,585786438 ( = x). Nu kan y beregnes → 2, 24356 + 3,5 = 5,74356 Problemet her er at vi ikke bruger alle decimaler (x) i vores videre beregning. Vi har bare medtaget den første decimal. Den korrekte beregning af y → 2, 24356 + 3,585786438 = 5,829346438. Ved at forkorte mellemregninger får vi altså et upræcist resultat og jo flere mellemregninger der forkortes i en række af videre beregninger, jo mere upræcist facit kan vi ende op med. I praktis har en konkret matematikopgave en række mellemregninger inden det færdige facit dobbeltunderstreges, så det er en god ide hele tiden at bruge alle decimaler i videre beregninger. De fleste lommeregnere har en "STO" funktion der kan gemme alle decimaler i en beregning, men hvordan det gøres afhænger lidt af lommeregnermodel. Alternativt kan alle decimaler blot nedskrives på papir så de ikke glemmes i videre beregninger. Det endelige "facit" kan godt angives upræcist med en til to decimaler. For eksempel kan y = 5,829346438 facit fra før angives: → med en decimal y = 5,8 → med to decimaler y = 5,83 (fordi tredje decimal er større eller lig 5). 7 Løsning af ligninger: Når vi løser ligninger , f.eks. 3x + 7 = 25, er det med henblik på at isolere x, således at ligningen er sand for netop de fundne x værdier. Nogen gange er der mere end en løsning til en ligning, andre gange er der slet ingen løsning. Der er 2 løsninger til ligningen x 2 = 4, nemlig løsningerne x = 2 og x = −2. Ligningen x 2 = −2 har derimod ingen løsninger (da et tal i anden potens ikke kan blive negativt). Når vi løser en ligning ved at manipulere, er det som at spille et spil med nogle givne regler. Ligningens sandhedsværdi ændres ikke når vi bruger gyldige regler. Det er tilladt at addere (+ ), subtrahere ( −), multiplicere (⋅) og dividere (÷) med et hvilket som helt tal på begge sider af lighedstegnet. Dog er det ikke tilladt at multiplicere eller dividere med 0 på begge sider af et lighedstegn. Lad os løse 3 x + 7 = 25 ved simpel ligningsmanipulation: 3x + 7 = 25 3 x = 18 x=6 ( − 7 på begge sider) (dividere med 3 begge sider) (x er nu isoleret og ligningen er løst ) Denne ligning har altså netop en løsning, nemlig 6. Vi kan altid tjekke bagefter: 3 ⋅ 6 + 7 = 25 (det passer!) Når vi skal manipulere ligninger mere avanceret , kan vi også bruge potenser og logaritmefunktionen, som vi skal se senere. 8 Nogle simple og nyttige ligningsløsningsregler Vi vil gerne løse ligningen 3= x 12 Når et tal er lig en brøk og x er ubekendt i brøkens tæller, skal vi blot gange tallet med brøkkens nævner → x = 3 ⋅12 = 36 Vi vil gerne løse ligningen 10 = 110 x Når et tal er lig en brøk og x er ubekendt i brøkens nævner, skal vi blot bytte om på tallet og x → x = 110 = 11 10 Vi vil gerne løse ligningen 2 x = 3 12 Når en brøk er lig en brøk kan vi altid ophæve brøkstreger ved at bruge "gange over kryds / kors reglen" → 2 ⋅12 = 3x 24 = 3 x (bytte rundt på venstre/højre side) 3 x = 24 (divider med 3 på begge sider) x =8 De ovennævnte regler er især nyttige når vi når til geometri og indekstal. 9 Når er er paranteser i en ligning 3( x − 2) + 7 = 25 Vi vil gerne løse ligningen (gange ind i parantes) 3x − 6 + 7 = 25 (slå tal sammen på venstre side) 3x + 1 = 25 (trække 1 fra på begge sider) 3x = 24 x =8 (dividere med 3 på begge sider) Når der er potenser i en ligning x3 = 27 Vi vil gerne løse ligningen Her har vi en ligning med en potens, hvor den ubekendte variabel x er grundtal og tallet 3 eksponenten i potensen x3 . Nu vil vi udnytte en potensregneregel: Reglen er → (23 ) 4 = 2(3⋅4) = 212 = 4096. x3 = 27 (x3 ) ( 13 ) = 27 (opløfte til ( 13 ) på begge sider) ( 13 ) x = 27 Vi vil gerne løse ligningen ( 13 ) (bruge potensregneregel) = 3 (tjek 33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27) 3x = 28 (x må her være lidt større end 3. Hvorfor?) Her har vi en ligning hvor den ubekendte variabel x er eksponent og 3 grundtallet i beregningen 3x . Nu vil vi udnytte en regneregel for logaritmer: Reglen er → log(23 ) = 3 ⋅ log(2) (vi kan altså trække eksponenten 3 ud foran log) 3x = 28 log(3 ) = log(28) x ⋅ log(3) = log(28) x x= (logaritmen på begge sider) (bruger regneregel for logaritmer) (divider med log(3) på begge sider) log(28) = 3,033103256 (x var lidt større end 3) log(3) 10 Procentregning: Procentregning er slet ikke så vanskeligt, når blot vi lærer visse grundlæggende principper. Vi kan dele procentregningen op i flere tilfælde : Tilfælde 1) hvor mange procent udgør et tal af et andet tal ? f.eks. hvor mange procent udgør 3 af 11? Udregnes således: 3 ⋅100% = 27,3% 11 Tilfælde 2) Hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange et tal B med, så B stiger p%? F.eks. hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange 20 med, så 20 stiger 15%? Her skal vi sige: 20 ⋅ (1 + 15 ) = 20 ⋅ 1,15 = 23 (20 stiger til 23 = ↑ 15%) 100 Altså når vi ganger 20 med en fremskrivningsfaktor a = 1,15 vil tallet 20 stige til 23 og det svarer til en stigning på 15%. Tilfælde 3) Hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange et tal B med, så B falder p %? F.eks. hvilken fremskrivningsfaktor a skal vi gange 20 med, så 20 falder 30%? Her skal vi sige: 20 ⋅ (1 − 30 ) = 20 ⋅ 0,70 = 14 (20 falder til 14 = ↓ 30%) 100 Altså når vi ganger 20 med en fremskrivningsfaktor a = 0,70 vil tallet 20 falde til 14 og det svarer til et fald på 30%. De sidste tilfælde giver en tydelig sammenhæng mellem en fremskrivningsfaktor a og ændringer i procent, som det vil fremgå af næste side. 11 Fremskrivningsfaktor a og ændringer i procent: Fra procentændring → fremskrivningsfaktor a Det fremgår af eksempler på forrige side. Her er endnu et eksempel. Vi ønsker at tallet 40 skal stige 35%. Her er procentændringen givet = 35%. Nu kan vi omregne procentændringen (35%) til fremskrivningsfaktor a ved at benytte formlen: Fremskrivningsfaktor a = 1 + procentændringen 35 = 1+ = 1,35 100 100 (∗) Altså fremskrivningsfaktor a = 1, 35. Vi skal altså blot sige 40 ⋅ 1, 35 = 54. Konklusion: når tallet 40 stiger 35% svarer det til at gange med fremskrivningsfaktoren a = 1, 35. Fra fremskrivningsfaktor a → procentændring Her gør vi det modsatte af fomel (∗) ovenover. I stedet for at lægge 1 til og dividere med 100, trækkes der 1 fra og ganges med 100. Eksempel. Vi ganger tallet 65 med fremskrivningsfaktoren a = 1,45 → 65 ⋅ 1,45 = 94, 25. Tallet 65 stiger altså til 94,25 når vi ganger med fremskrivningsfaktoren a = 1,45. Hvad svarer det til i procentstigning? Her bruger vi formlen: Procentændringen = (fremskrivningsfaktor a − 1) ⋅100% = (1, 45 − 1) ⋅100% = 45% ( ∗∗) Konklusion: når tallet 65 ganges med fremskrivningsfaktoren a = 1,45 svarer det til at 65 stiger 45%. 12 Tilfælde 4) En begyndelsesværdi B falder/stiger til en slutværdi S, hvad svarer det til i relativ vækst ? A) Relativ stigning: tallet 20 stiger til tallet 25, hvad er den relative stigning i procent ? Vi udregner den relative stigning i procent således: S 25 − 1 ⋅100% = − 1 ⋅100% = 25 % B 20 Altså når 20 stiger til 25 svarer det til en relativ stigning på 25 % B) Relativt fald: tallet 30 falder til tallet 20, hvad er det relative fald i procent ? Vi udregner det relative fald efter samme opskrift som før: S 20 − 1 ⋅100% = − 1 ⋅100% = −33,3% B 30 Altså når 30 falder til 20 svarer det til et relativt fald på − 33,3% Absolut og relativ vækst: Tilfælde 4 kaldes relativ vækst i procent, som vi har set er positiv hvis slutværdien S er større end begyndelsesværdien B og negativ hvis slutværdien er mindre. S I begge tilfælde bruges formlen: − 1 ⋅100% B Absolut vækst er blot forskellen mellem slutværdi og begyndelsesværdi (S − B). Tilfælde A) giver absolut stigning på 5 og tilfælde B) giver absolut fald på − 10. 13 Rentesregning: Kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen) ser således ud: K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n K 0 : startkapitalen K n : slutkapitalen r : rentefoden eller vækstraten n : antal terminer Hvis der f.eks. indsættes 10000 kroner på en opsparingskonto med en årlig rente 5 = 0,05 på 5%, vil beløbet vokse i løbet af 7 år. Først findes rentefoden r = 100 Nu bruger vi formlen direkte: K 7 = 10000 ⋅ (1 + 0, 05)7 = 10000 ⋅ (1,05)7 = 14071 kroner på konto efter 7 år. Dette kaldes at fremskrive en kapital. Der fremskrives altid et helt antal terminer n. Lad os se formlen igen (isolere K 0 ): K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n (divider med (1 + r ) n på begge sider) Kn (1 + r )n Hvis f.eks. et beløb på 10 år er vokset til 20000 på en opsparingskonto med en K0 = årlig rente på 5%, så kan vi bruge formlen til at finde startkapitalen K 0 : K0 = 20000 20000 = = 12278,3 10 (1 + 0,05) (1,05)10 Dette kaldes at tilbageskrive en kapital. 14 Lad os se på formlen igen (isolere r ): K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n (divider med K 0 på begge sider) (1 + r ) n = 1+ r = r= Kn K0 (opløfte til ( ) ( − 1 på begge sider) 1 Kn ( n ) K0 ( ) 1 Kn ( n ) K0 1 n på begge sider) −1 Hvis f.eks. en startkapital på 5000 kr er vokset til en slutkapital på 15000 kr i løbet af 4 år på en opsparingskonto, så kan vi finde den årlige rentefod: r = ( 15000 5000 ) ( 14 ) − 1 = ( 155 ) ( 14 ) (1) − 1 = 3 4 − 1 = 0,316..... Denne rentefod svarer så til en årlig rente på 31,6% (gang r med 100%). Ovenover så vi manipulation af ligning ved hjælp af potenser. 15 Lad os endnu engang se på renteformlen (isolere n): K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n (divider med K 0 på begge sider) (1 + r ) n = Kn K0 (logaritmen på begge sider) K log ( (1 + r ) n ) = log n K0 (regneregel for logaritmer) K n ⋅ log (1 + r ) = log n K0 (divider med log ( (1 + r ) ) på begge sider) K log n K0 n= log (1 + r ) (∗) Eksempel : en startkapital på K 0 = 4000,- kr vokser til det dobbelte på en opsparingskonto, med en årlig rente på 5%, altså K n = 8000,- kr. 8000 log log(2) 4000 Vi udregner nu: n = = = 14, 2066.... log (1 + 0, 05 ) log(1,05) Men da n jo kun er defineret for hele positive tal, runder vi op til nærmeste hele tal , dvs. efter n = 15 år er kapitalen fordoblet. 16 Lineær sammenhæng: 2 variable x og y siges at følge en lineær sammenhæng , hvis de 2 variable kan opskrives i ligningen: y = ax + b (a og b kan være alle tal) Når ( x, y ) data hentes fra virkeligheden, f.eks. fra fysik eller biologi, siges ofte at ( x, y ) tilnærmelsesvist ligger på en ret linje i et koordinatsystem, og ikke fuldstændigt præcist på en ret linje som perler på en lige snor. I et koordinatsystem er det normalt at vi har x på den vandrette akse og y på den lodrette akse. Figur 1 skulle netop forestille et forsøg i fysik, y = 0,5 ⋅ x + 2 y hvor ( x, y ) data er plottet i et koordinatsystem (cirklerne). Det betyder at den lineære sammenhæng kan bruges til med tilnærmelse af beskrive fænomener i virkelighedens verden, dvs. som matematisk model. Figur 1 x I matematikkens verden er en lineær sammenhæng præcist en ret linje i et koordinatsystem. a kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og b er linjens skæringspunkt med y aksen. Hældningskoefficienten a siger hvor meget y værdien ændres (dvs. stiger eller falder), når x øges med 1. Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en lineær sammenhæng har vi denne formel: a= ( y2 − y1 ) ( x2 − x1 ) Eksempel) vi kender punkterne ( x1 , y1 ) = (1,3) og ( x2 , y2 ) = (5,6) og finder a : a= ( y2 − y1 ) (6 − 3) 3 = = = 0, 75 ( x2 − x1 ) (5 − 1) 4 Altså den lineære sammenhæng kan nu skrives: y = 0,75 x + b Nu skal vi blot finde b og nu sætter vi bare et af de kendte punker ind i ligningen, f.eks. (1,3) : 3 = 0,75 + b ( − 0,75 på begge sider) b = 3 − 0, 75 = 2, 25 Altså y = 0, 75 x + 2, 25 er den rette linjes ligning gennem punkterne (1,3) og (5,6). 17 Lad os igen se på ligningen for en lineær sammenhæng: y = ax + b ax = y − b x= ( − b på begge sider) (divider med a på begge sider) ( y − b) (formel (∗) til at finde x når y er kendt) a Eksempel) vi har denne lineære sammenhæng: y = −2 x + 10 (her er a = −2 og b = 10) Spørgsmål : hvad er x når y = 50 ? Vi bruger blot formlen (∗) ovenover: x= ( y − b) (50 − 10) 40 = = = −20 a −2 −2 Vi kan altid tjekke om det passer: 50 = −2 ⋅ (−20) + 10 (det passer!) 18 Potenssammenhæng: 2 variable x og y siges at følge en potenssammenhæng hvis de 2 variable kan opskrives i ligningen: y = b ⋅ x a (b > 0, a vilkårlig) En potenssammenhæng er ikke nogen ret linje i et almindeligt koordinatsystem, men en voksende eller aftagende buet graf (se figur 7 side 46). Til gengæld er en potenssammenhæng præcis en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir. Det betyder at data (x, y ) fra den virkelige verden med tilnærmelse er en potenssammenhæng, hvis data med tilnærmelse følger en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir. Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en potenssammenhæng har vi formlen: y log 2 y1 a= x log 2 x1 Eksempel) vi kender punkterne ( x1 , y1 ) = (5,100) og ( x2 , y2 ) = (50,10) og finder a : y log 2 log 10 y1 = 100 = −1 a= x 50 log 2 log 5 x1 Altså potenssammenhængen kan nu skrives: y = b ⋅ x −1 Nu skal vi blot finde b og nu sætter vi bare et af de kendte punker ind i ligningen, f.eks. (5,100) : 100 = b ⋅ 5−1 (divider med 5−1 på begge sider) b= 100 = 500 5−1 Altså y = 500 ⋅ x −1 er ligningen for potenssammenhængen gennem punkterne (5,100) og (50,10). 19 Lad os igen se på ligningen for en potenssammenhæng: y = b ⋅ xa y xa = b y x= b ( 1a ) (divider med b på begge sider) (opløfte til 1 a på begge sider) (formel ( ∗∗) til at finde x når y er kendt) Eksempel) vi har denne potenssammenhæng: y = 5 ⋅ x −2 (her er a = −2 og b = 5) Spørgsmål : hvad er x når y = 20 ? Vi bruger blot formlen ( ∗∗) ovenover: y x= b ( 1a ) 20 = 5 ( −12 ) =4 ( − 12 ) = 0,5 Vi kan altid tjekke om det passer: 20 = 5 ⋅ (0,5) −2 (det passer!) Når x ændres med en faktor k , vil y ændre sig med en faktor k a . Procentregning har lært os, at det at gange med en faktor, svarer til en bestemt procent ændring. Eksempel) se på potenssammenhængen y = 2 ⋅ x3 (b = 2 og a = 3, voksende) Vi lader nu x vokse med en faktor k = 1,10 (hvilket jo betyder at x vokser med 10%). Så vil y ændre sig med en faktor k a = 1,103 = 1,331 (hvilket jo betyder at y vokser med 33,1%). a p Følgende formel gælder: 1 + − 1 ⋅100%, og er det antal procent y ændrer sig hvis 100 x vokser p % (B). I eksemplet ovenover vokser x med p% = 10%, som derefter indsættes i formlen: 3 10 3 y ændrer sig med: 1 + − 1 ⋅100% = (1,10 ) − 1 ⋅100% = 33,1% 100 Opgave: med hvor mange procent skal x vokse, hvis y skal ændre sig med 40%? ( ) 20 Eksponentiel udvikling: 2 variable x og y siges at følge en eksponentiel udvikling , hvis de 2 variable kan opskrives i ligningen: y = b ⋅ a x (a > 0, b > 0) En eksponentiel udvikling er ikke nogen ret linje i et almindeligt koordinatsystem, men en voksende eller aftagende buet graf (se figur 8 side 48). Til gengæld er en eksponentiel udvikling præcis en ret linje på enkeltlogaritmisk papir. Det betyder at data (x, y ) fra den virkelige verden med tilnærmelse er en eksponentiel udvikling, hvis data med tilnærmelse følger en ret linje på enkeltlogaritmisk papir. a kaldes fremskrivningsfaktoren og b er skæringen med y aksen (begyndelsesværdien). Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en eksponentiel udvikling har vi formlen: y a= 2 y1 1 ) 2 − x1 (x Eksempel) vi kender punkterne ( x1 , y1 ) = (2, 4) og ( x2 , y2 ) = (4,16) og finder a : y a= 2 y1 1 ) 2 − x1 (x 16 = 4 ( 4 1− 2 ) =4 ( 12 ) =2 Altså den eksponentielle udvikling kan nu skrives: y = b ⋅ 2 x Nu skal vi blot finde b og nu sætter vi bare et af de kendte punker ind i ligningen, f.eks. (2, 4) : 4 = b ⋅ 22 (divider med 22 på begge sider) 4 b = 2 =1 2 Altså y = 2 x er ligningen for den eksponentielle udvikling gennem punkterne (2, 4) og (4,16). 21 Lad os igen se på ligningen for en eksponentiel udvikling: y = b ⋅ ax y ax = b y log ( a x ) = log b y x ⋅ log(a) = log b (divider med b på begge sider) (logaritmen på begge sider) (brug regneregel for logaritmen) (divider med log(a ) på begge sider) y log b x= log(a ) (formel ( ∗∗∗) til at finde x når y er kendt) Eksempel) vi har denne eksponentielle udvikling: y = 8 ⋅1, 2 x (her er a = 1, 2 og b = 8) Spørgsmål : hvad er x når y = 100 ? Vi bruger blot formlen ( ∗∗∗) ovenover: y 100 log log b 8 x= = = 13,85 log(a) log(1,2) Vi kan altid tjekke om det passer: 100 = 8 ⋅1, 213,85 (det passer!) En eksponentiel udvikling er voksende når a er større end 1 og aftagende når a er mellem 0 og 1. 22 For en eksponentiel udvikling (y = b ⋅ a x ) gælder der: Hvis den er voksende (dvs. fremskrivningsfaktoren a er større end 1), kan vi log(2) tale om fordoblingskonstanten: T2 = log(a ) Eksempel) se på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅1,3x (b = 2 og a = 1,3) Vi udregner fordoblingskonstanten T2 = log(2) log(2) = = 2, 6 log(a ) log(1,3) Det betyder, at hvis x vokser med T2 = 2,6 så vil y fordobles. Hvis den er aftagende (dvs. a er mellem 0 og 1), kan vi tale om halveringskonstanten: T½ = log(½) log(a) Eksempel) se på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅ 0,8x (b = 2 og a = 0,8) Vi udregner halveringskonstanten T½ = log(½) log(½) = = 3,1 log(a ) log(0,8) Det betyder, at hvis x vokser med T½ = 3,1 så vil y halveres. For eksponentielle udviklinger gælder der noget særligt, når x vokser med 1. Der gælder nemlig at y vil ændre sig med samme procentværdi, hver gang x vokser med 1. Denne procentværdi findes således: (a − 1) ⋅100% Eksempel) se igen på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅1,3x (b = 2 og a = 1,3) y ændrer sig altså med (1,3 − 1) ⋅100% = 30% når x vokser med 1. Dette stemmer godt overens med at udviklingen er voksende. Eksempel) se igen på den eksponentielle udvikling y = 2 ⋅ 0,8 x (b = 2 og a = 0,8) y ændrer sig altså med (0,8 − 1) ⋅100% = −20% når x vokser med 1. Dette stemmer godt overens med at udviklingen er aftagende. 23 Deskriptiv statistik, grupperede observationer: vægt (g) ]140,150] ]150,160] ]160,170] ]170,180] ]180,190] ]190, 200] ]200, 210] hyppighed 12 48 102 175 92 57 14 frekvens ( %) 2,4 9,6 20,4 35 18,4 11,4 2,8 kumuleret frekvens (%) 2,4 12 32,4 67,4 85,8 97,2 100 Tabel 1. Statistiske deskriptorer. N = 500 er observationssættets størrelse. 500 = 12 + 48 + 102 + 175 + 92 + 57 + 14 æbler er blevet vejet. Tabel 1 viser hvordan æblernes vægt i gram fordeler sig på forskellige vægtintervaller, hyppigheden, dvs. hvor mange æbler der havde en vægt indenfor det givne interval. Dette er karakteristisk for grupperede observationer, at vi interesserer os for hvor mange observationer, der forekommer i givne intervaller. I dette tilfælde er observationssættets størrelse N = 500, fordi 500 æbler er undersøgt. hyppighed ⋅100% For at udregne frekvensen i % bruges denne formel: N 12 Frekvensen for det første interval: ⋅100% = 2, 4% 500 48 Frekvensen for det andet interval: ⋅100% = 9,6% osv. for de andre intervaller. 500 For at beregne kumuleret frekvens for et interval, skal vi blot summere alle frekvenser for intervaller til og med det givne interval, f.eks. er kumuleret frekvens for intervallet ]170,180] lig med 2,4% + 9, 6% + 20, 4% + 35% = 67, 4% I dette eksempel kender vi observationssættets størrelse og vi kender hyppighederne, så kan vi beregne observationssættets middelværdi M således: M= (12 ⋅145 + 48 ⋅155 + 102 ⋅165 + 175 ⋅175 + 92 ⋅185 + 57 ⋅195 + 14 ⋅ 205) = 175, 3 500 Her har vi brugt alle interval-midtpunkter og hyppigheder. 24 vægt (g) frekvens ( %) ]140,150] ]150,160] ]160,170] ]170,180] ]180,190] ]190, 200] ]200, 210] 2,4 9,6 20,4 35 18,4 11,4 2,8 Tabel 2. Vi kan bruge frekvenserne til at beregne middeltallet. Kan vi beregne middelværdien M hvis vi kun kender intervallerne og frekvenserne som i tabel 2 ? Ja! vi ganger alle frekvenserne med interval-midtpunkter og dividerer til sidst med 100: M= (2, 4 ⋅145 + 9,6 ⋅155 + 20, 4 ⋅165 + 35 ⋅175 + 18, 4 ⋅185 + 11, 4 ⋅195 + 2,8 ⋅ 205) = 175, 3 100 Altså samme resultat som på forrige side. For at beregne middelværdien M, er det altså nok at kende intervallerne og frekvenserne. Typeinterval: når alle intervaller er lige store som i dette tilfælde med æbler, er typeintervallet blot det interval med den største frekvens, altså intervallet ]170,180]. Hvis ikke alle intervaller er lige store, skal typeintervallet findes på anden måde. Dette vil jeg komme ind på i undervisningen. 25 Kumuleret frekvens (%) 100 × × × × Sumkurve (æble undersøgelsen) 50 × × × Figur 2 × 150 160 170 180 190 200 210 observation (vægt i gram) Når vi skal tegne en sumkurve for et grupperet observationssæt, skal vi afsætte en række punkter ( x, y ) i et koordinatsystem, hvor vi på x − aksen har observationerne og på y − aksen kumuleret frekvens. Punkterne afsættes efter opskriften: (1. intervals venstre endepunkt, 0) (1. intervals højre endepunkt, kumuleret frekvens) (2. intervals højre endepunkt, kumuleret frekvens) osv. osv... (sidste intervals højre endepunkt, 100) Ser vi på tabel 1 skal vi altså afsætte punkterne: (140, 0) (150, 2.4) (160, 12) (170, 32.4) (180, 67.4) (190, 85.8) (200, 97.2) (210, 100) 26 Kumuleret frekvens (%) 100 × × × 75 × Sumkurve (æble undersøgelsen) 50 × 25 × × Figur 3 × 150 160 170 180 190 200 210 observation (vægt i gram) Når disse punkter er afsæt i koordinatsystemet, er det vigtigt at bruge en lineal til at tegne en ret linje mellem de afsatte punkter, som vist ovenover. Når først sumkurven er tegnet, er det ligetil at aflæse kvartilsættet, dvs. 25%, 50% og 75% fraktilerne. Her er det også vigtigt at bruge lineal og tegne præcise vandrette og lodrette linjer. 25% fraktilen findes ved at tegne en vandret linje fra 25% på y − aksen, hen til sumkurven og derfra lodret ned til x − aksen. På x − aksen aflæser vi 25% fraktilen til 166, 50% fraktilen til 175 og 75% fraktilen til 184. 75% fraktilen siger altså, at 75% af æblerne havde en vægt der var mindre eller lig med 184 gram (kaldes også øvre kvartil ). 50% fraktilen siger altså, at 50% af æblerne havde en vægt der var mindre eller lig med 175 gram (kaldes også medianen). 25% fraktilen siger altså, at 25% af æblerne havde en vægt der var mindre eller lig med 166 gram (kaldes også nedre kvartil ). 27 Frekvens (%) Typeintervallet findes altid som den højeste kasse på et histogram 40 30 Histogram (æble undersøgelsen) 20 10 Figur 4 150 160 170 180 190 200 210 observation (vægt i gram) Når vi skal tegne et histogram for et grupperet observationssæt, skal vi tegne nogle kasser i et koordinatsystem, hvor vi på x − aksen har observationerne og på y − aksen frekvensen i % (dette gælder kun hvis alle intervaller er lige store. Hvis ikke intervallerne er lige store vil jeg komme ind på i undervisningen, hvordan histogram så laves). For at tegne histogram, har vi tegnet kasser der er ligeså brede som intervallerne og ligeså høje som de enkelte intervallers frekvenser i % (se tabel 1). Opsummering: for grupperede observationer har vi følgende centrale begreber: interval, intervalhyppighed, intervalfrekvens, kumuleret frekvens, middelværdi, typeinterval, histogram, sumkurve og kvartilsættet. Kvartilsættet aflæses på sumkurve. Det er vigtigt selv at aflæse kvartilsættet og ikke bare overlade det til læseren. 28 Deskriptiv statistik, ikke – grupperede observationer: Her er en rodebutik af tal: 7 4 7 7 12 7 7 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 2 7 10 10 4 10 10 2 2 Det er 26 elevers karakterer ved en eksamen. Når statistikken er ikke − grupperet, samler vi ikke observationerne i intervaller; vi tæller blot hvor mange gange den samme observation optræder, altså hyppigheden af observationen. karakterer 2 4 7 10 12 hyppighed 3 6 12 4 1 frekvens (%) 11,5 23,1 46,2 15,4 3,8 Tabel 3. Statistiske deskriptorer. N = 26 er observationssættets størrelse. Middeltallet M kan nu findes: M= (2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 6 + 7 ⋅ 12 + 10 ⋅ 4 + 12 ⋅ 1) = 6,4 26 Her har vi brugt alle hyppighederne. Til sidst divideres med observationssættets størrelse N = 26. Vi kunne også beregne middeltallet, blot ved at bruge frekvenserne og til sidst dividre med 100: M= (2 ⋅ 11,5 + 4 ⋅ 23,1 + 7 ⋅ 46, 2 + 10 ⋅ 15,4 + 12 ⋅ 3,8) = 6, 4 100 Det betyder at middeltallet sagtens kan beregnes, selvom der i en opgave kun er oplyst observationerne, samt deres frekvenser i procent. Typetallet = 7, da karakteren 7 har den største hyppighed. 29 hyppighed Typetallet findes altid som den højeste stolpe på et stolpediagram. 16 12 Stolpediagram 8 4 Figur 5 2 4 6 8 10 12 observation (karakter) Et stolpediagram er velegnet til at danne sig et grafisk overblik over et talmateriale. 30 Vi vil gerne finde kvartilsættet. Oplist de 26 karakterer i en stigende rækkefølge : 2 2 2 4 4 4 4 4 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 12 Efter som antallet af karakterer er lige kan vi ikke pege på et tal præcis i midten, men vi kan dele listen i 2 lige dele som vist med kasser (13 tal i hver). Nu finder vi tallet midt mellem det sidste tal i første kasse (7) og første tal i sidste kasse (7). Tallet mellem 7 og 7 må være 7. Derfor er medianen m = 7. For at finde nedre kvartil finder vi blot første kasses median og eftersom første kasse har et ulige antal tal kan vi pege på et tal i midten: 2 2 2 4 4 4 4 4 4 7 7 7 7 (første kasse). Derfor er Q1 = 4. For at finde øvre kvartil finder vi blot anden kasses median: 7 7 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 12 (anden kasse). Derfor er Q3 = 7 Lad os se et eksempel med ulige antal observationer (7): Stigenede rækkefølge → 2 4 6 10 11 13 18 Tallet præcis i midten er 10, så medianen m = 10. Medianen for første kasse er 4, så Q1 = 4. Medianen for sidste kasse er 13, så Q3 = 13. Bemærk hvordan der ses bort fra tallet præcis i midten når de 2 kasser laves for ulige antal observationer. Lommeregner TI - 30XS kan hurtigt beregne kvartilsættet for ikke − grupperede observationssæt. m = Q3 min max Q1 Boksplot (de 26 karakterer) observation (karakter) Figur 6. Når vi kender øvre/nedre kvartil, medianen, mindste og største observation, kan vi tegne et boksplot. I eksemplet er medianen lig med øvre kvartil. Dette kunne aldrig ske for grupperede observationer. 2 4 6 8 10 12 31 Pythagoras læresætning: ? Pythagoras læresætning gælder kun for retvinklede trekanter, altså hvor en af vinklerne er 900 . Sætningen siger at hypotenusen i anden er lig den ene katete i anden plus den anden katete i anden. Så hvis vi kender 2 af de 3 sider i en retvinklet trekant, kan vi beregne den sidste ved at udnytte Pythagoras læresætning. Hvis vi f.eks. gerne vil beregne kateten b på figuren gør vi således: 32 + b 2 = 52 (Pythagoras læresætning) 9 + b 2 = 25 ( − 9 på begge sider) b = 16 2 (kvadratrod på begge sider) b=4 Vi har altså brugt Pythagoras sætning til at beregne, at kateten b har længden 4. Hypotenuse og katete er kun noget vi kalder siderne i retvinklede trekanter. Den længste side i en retvinklet trekant er altid hypotenusen, men de 2 andre sider altid kaldes kateter. Arealet af en vilkårlig trekant: Arealet af en trekant er en halv højde gange grundlinjen. Hvis vi lader T angive arealet af trekanten ovenover har vi: T = ½ ⋅ h ⋅ AB , hvor AB angiver længden af linjestykket AB (grundlinjen) Hvis trekanten er retvinklet er trekantens areal T = ½ ⋅ katete1 ⋅ katete 2 (hvorfor?) Summen af de 3 vinkler i en trekant er altid 1800 . 32 Trigonometri (retvinklede trekanter) Vinkel B`s hosliggende katete Vinkel A`s modstående katete Vinkel A`s hosliggende katete Vinkel B`s modstående katete Sinus, cosinus og tangensformlerne gælder kun for de 2 spidse vinkler i en retvinklet trekant, altså vinkel A og B på figuren ovenover. For vinkel A ser formlerne således ud: cos A = A`s hosliggende katete hypotenusen sin A = A`s modstående katete hypotenusen tan A = A`s modstående katete A`s hosliggende katete (Disse formler vil vi ikke bevise) For vinkel B ser formlerne ud på samme måde, blot skal alle A`er i formlerne erstattes af B`er. På næste side er der eksempler på anvendelse af formlerne. 33 15 400 3 eksempler : Vinkel A = 400 og hypotenusen c = 15. Beregn vinkel A`s modstående katete a : Her vil det være oplagt at benytte sinusformlen: sin 400 = A`s modstående katete a = , dvs. a = sin 400 ⋅15 = 9,6 hypotenusen 15 Beregn vinkel A`s hosliggende katete b : Her vil det være oplagt at benytte cosinusformlen: cos 400 = A`s hosliggende katete b = , dvs. b = cos 400 ⋅15 = 11,5 hypotenusen 15 Bemærkning: det er vigtigt at lommeregneren er indstillet til "DEG", når sinus, cosinus og tangensformlerne bruges 34 B 5 11 Vinkel B`s modstående katete er 11. Vinkel B`s hosliggende katete er 5. Beregn vinkel B : Her vil det være oplagt at benytte tangensformlen: tan B = B`s modstående katete 11 = B`s hosliggende katete 5 11 Men så er vinklen B = tan −1 = 65,60 5 35 Trigonometri (vilkårlige trekanter) B Sinusrelationen: Trekant 1 49,50 sin A sin B sin C = = a b c a = 6, 4 På trekant 1 kendes to vinkler (A og B) og en side (a). Nu kan sinusrelationen bruges til at beregne siden b : A 63,20 sin A sin B = (herefter indsættes de kendte størrelser) a b sin 63, 20 sin 49,50 = (nu bruges "gange over kryds" reglen) 6, 4 b C b sin 63, 20 ⋅ b = 6, 4 ⋅ sin 49,50 (nu divideres med sin 63, 20 på begge sider) 6, 4 ⋅ sin 49,50 b= = 5, 45 sin 63, 20 På trekant 2 kendes to sider (a og b) og en vinkel (B). Nu kan sinusrelationen bruges til at beregne vinklen A : sin A sin B = (igen indsættes de kendte størrelser) a b sin A sin 96,90 = (igen bruges "gange over kryds" reglen) 3, 2 4,8 sin A ⋅ 4,8 = 3, 2 ⋅ sin 96,90 (nu divideres med 4,8 på begge sider) 3, 2 ⋅ sin 96,90 sin A = = 0,661... (sin −1 på begge sider) 4,8 A = sin −1 (0,661...) = 41, 40 Trekant 2 C a = 3, 2 B 96,90 b = 4,8 A 36 Trigonometri (vilkårlige trekanter) Cosinusrelationen (beregn side): Trekant 3 a 2 = c 2 + b 2 − 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A A På trekant 3 kendes en vinkel (A) og dens to ben (b og c). Nu kan cosinusrelationen bruges til at beregne siden a : B c = 4,6 122,90 b = 2,9 a a = c + b − 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A 2 2 2 a 2 = 4,62 + 2,92 − 2 ⋅ 4,6 ⋅ 2,9 ⋅ cos122,90 C a = 44,061... 2 a = 44,061... = 6,64 Vinklen B → b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B Vinklen C → c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C (c 2 + b 2 − a 2 ) Cosinusrelationen (beregn vinkel): A = cos (2 ⋅ c ⋅ b) På trekant 4 kendes alle tre sider (a, b og c). Nu kan cosinusrelationen bruges til at beregne f.eks. vinklen A : −1 2 2 2 (c 2 + b 2 − a 2 ) −1 (4, 27 + 3,87 − 3,97 ) A = cos = cos (2 ⋅ 4, 27 ⋅ 3,87) (2 ⋅ c ⋅ b) A = cos −1 ( 0,527...) = 58,10 Trekant 4 B −1 (a 2 + c 2 − b 2 ) Vinkel B → B = cos (2 ⋅ a ⋅ c) (a 2 + b 2 − c 2 ) Vinkel C → C = cos −1 (2 ⋅ a ⋅ b) c = 4, 27 a = 3,97 −1 C A b = 3,87 En hvilken som helst vinkel kan derfor beregnes hvis alle sider er kendte. 37 Ensvinklede trekanter: z To trekanter er ensvinklede hvis trekanterne har præcis de samme vinkler. Det gælder for eksempel for de 2 trekanter ovenover. Begge trekanter har vinklen •, vinklen • • og vinklen • • • . Den ene trekant er blot større end den anden. Når vi har 2 ensvinklede trekanter som ovenover, er det meget hensigtsmæssigt at orientere dem på samme måde. De 2 trekanter er ikke orienteret på samme måde, f.eks. peger vinkel • • opad på den store trekant, mens det er vinkel • • • der peger opad på den lille trekant. Så er det ikke så nemt at regne på ensvinklede trekanter. Men vi kan dreje den lille trekant: z Nu er trekanterne orienteret på samme måde. Nu er det meget lettere at spotte ensliggende sider i de 2 trekanter: x og a er ensliggende (ligger mellem • og • •) y og b er ensliggende (ligger mellem • • og • ••) z og c er ensliggende (ligger mellem • og • ••) Når vi skal regne på ensvinklede trekanter, er det nok at kende længden af 2 ensliggende sider (se næste side). 38 5 2,8 10 12 Nu er der kommet sidelængder på nogle af siderne i de 2 trekanter, men vigtigst; 2 ensliggende sider er kendte, nemlig siden 10 på store trekant og siden 5 på 10 5 eller . 5 10 Måske er det mest naturligt med den længste side i tælleren og den korteste side 10 i nævneren, således at skalafaktoren k = = 2. 5 Nu ved vi, at vi blot skal gange alle siderne i den lille trekant med 2, for at finde lille trekant. Nu kan vi finde en skalafaktor på 2 måder: Vi kan sige længden på den tilsvarende / ensliggende side i den store trekant. Derfor er y = 2 ⋅ 2,8 = 5,6 Derfor er 12 = 2 ⋅ c, dvs. c = 6 Opsummering: når vi regner på ensvinklede trekanter er det vigtigt at orientere trekanterne på samme måde, sådan at det er let at spotte ensliggende sider. Hvis en opgave handler om ensvinklede trekanter og trekanterne ikke er orienteret ens i opgaven, så sørg for at tegne trekanterne, så de er orienteret ens på et stykke papir. 39 Ligefrem og omvendt proportionalitet: 2 variable y og x (de behøver ikke hedde y og x) kaldes omvendt proportionale, hvis y kan skrives som en konstant k divideret med x : dvs. y= k x (x må naturligvis ikke være 0) Ganges med x på begge sider af lighedstegnet fås: y ⋅ x = k Eksempel : Per cykler hver dag 5 km til skole. De 2 variable tiden t (timer) Per er om at cykle til skole og gennemsnitshastigheden v (km/t) Per cykler til skole med er omvendt proportionale, fordi: v ⋅ t = 5 km Hvis f.eks. Per cykler med gennemsnitshastigheden v = 20 km/t, vil han være 0,25 timer om turen (dvs. 15 minutter) og v ⋅ t = 5 km = (20 km/t) ⋅ 0,25 t = 5 km. Hvis Per cykler hurtigere vil tiden også være kortere og i alle tilfælde vil v ⋅ t = 5 km. 2 variable y og x (de behøver ikke hedde y og x) kaldes ligefrem proportionale, hvis y kan skrives som en konstant k ganget med x : dvs. y =k⋅x (en lineær sammenhæng med b = 0) Eksempel : Det koster 15 kr pr. kilometer at blive transporteret af en bestemt cykeltaxa. Hvis y er prisen turen koster og x er antal kilometer vi ønsker at blive transporteret, så er y og x ligefrem proportionale, eftersom y = 15 ⋅ x Her skulle der ikke betales noget startgebyr for turen. Hvis cykeltaxa havde krævet et startgebyr på 20 kr, så havde vi haft denne lineære sammenhæng: y = 15 ⋅ x + 20 40 Indekstal: Basisår År 2000 2001 2002 2003 2004 Pris (kr) 9000 9200 9800 10200 10800 Indekstal ? ? 100 ? ? Tabel 5. Prisudvikling og indekstal . Indekstal er bare en "omdøbning" af allerede kendte tal. Tabel 5 viser f.eks. en vares prisudvikling i perioden 2000 − 2004. Først fastsættes et basisår, hvor indekstallet pr. definition er 100. Nu kan vi nemt beregne indekstallet for de øvrige år. For at beregne indekstallet for et år, skal vi bare udregne for mange procent varens pris det år, udgør af varens pris i basisåret: Indekstal år 2000: 9000 ⋅100 = 91,8 9800 Indekstal år 2001: 9200 ⋅100 = 93,9 9800 Indekstal år 2003: 10200 ⋅100 = 104,1 9800 Indekstal år 2004: 10800 ⋅100 = 110, 2 9800 For at beregne absolut ændring af varens pris fra et år til et andet, skal de oprindelige tal benyttes, f.eks. er prisens absolutte ændring fra 2002 − 2003 lig med (10200 − 9800) kr = 400 kr. De relative ændringer i varens pris kan godt findes ud fra indekstal og da indekstallet i 2003 er 104,1 er det nemt at se at den relative stigning i procent må være 4,1% ( ( 104,1 100 − 1) ⋅ 100% = 4,1% ). Vi kunne også beregne den relative ændring 2002 − 2003 ud fra de oprindelige tal: 10200 ( − 1) ⋅100% = 4,1% 9800 Men hvis udgangspunktet er året hvor indekstallet er 100, er det nemmere at aflæse de relative ændringer ud fra indekstallene, som blot trækkes fra hinanden. 41 Annuitetslån (supplerende stof): GRYN - formlen for et annuitetslån (f.eks. boligfinansiering ) ser således ud: G = y⋅ (1 − (1 + r ) − n ) r G : det lånte beløb (hovedstolen) r : rentefoden pr. termin (givne rente divideret med 100) y : ydelsen (det faste afdragsbeløb) n : antal afdrag Eksempel : Hvis renten pr. måned er 1, 2% (dvs. r = 0,012) og vi kan betale y = 1500, −kr hver måned i n = 72 afdrag, giver GRYN − formlen hvor meget vi kan låne G: G = y⋅ (1 − (1 + r ) − n ) (1 − (1 + 0,012) −72 ) (1 − (1,012) −72 ) = 1500 ⋅ = 1500 ⋅ = 72044, − kr r 0,012 0,012 Vi kan altså låne 72044, − kr. Vi skal i 72 måneder betale 1500, − kr, altså skal der i alt tilbagebetales (72 ⋅1500) kr = 108000, − kr. Så har renteudgifter været (108000 − 72044) kr = 35956, − kr Det har altså kostet en del penge at optage annuitetslånet. Den faste tilbagebetalingsydelse y = 1500, −kr skal både dække renteudgifter og afdrag på lånet. 42 Supplerende noter: A ⋅ 100% B p 2) B ⋅ 1 + 100 p 3) B ⋅ 1 − 100 1) S 4) − 1 ⋅ 100% B 5) S − B (så meget udgør tallet A af B i procent) (tallet B stiger p %, p > 0) (tallet B falder p %, p > 0) (B`s relative ændring i procent, når B vokser/falder til S ) (B`s absolutte ændring, når B vokser/falder til S ) 1) (Per er 16 år gammel og Pia er 43 år gammel) 16 ⋅ 100% = 37, 2% (er det antal procent som Pers alder udgør af Pias alder) 43 2) (Vand har en temperatur på 20 C0 . Vandet opvarmes og efter et stykke er vandets temperatur steget 75%) 75 20 ⋅ 1 + (er vandets nye temperatur) = 20 ⋅ 1,75 = 35 100 3) (en computer koster 7000,-kr men nedsættes med 12% under januarudsalg) 12 7000 ⋅ 1 − (er computerens nye pris) = 7000 ⋅ 0,88 = 6160 100 4) (en landsby er på et år vokset fra 500 til 700 indbyggere) 700 − 1 ⋅ 100% = 40% (så mange procent er antallet af indbyggere vokset) 500 5) (vandtemperaturen stiger fra 20 grader til 75 grader) 75 − 20 = 55 (er den absolutte ændring af vandtemperaturen) 43 y = a⋅x+b (ligningen for en lineær sammenhæng, x og y variable) (a og b kan være alle tal ) (a er hældningskoefficienten og b er skæringen med y − aksen) (det er a der afgør om linjen er voksende, aftagende eller vandret i et koordinatsystem) a>0 a<0 a=0 Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er kendte på en lineær sammenhæng, så er: a= Løsninger x til ligningen: ( y2 − y1 ) ( x2 − x1 ) og b = y1 − a ⋅ x1 a1 x + b1 = a2 x + b2 parallelle Hvis a1 = a2 og b1 = b2 er alle x løsninger. Hvis a1 = a2 og b1 ≠ b2 er der ingen løsninger: Hvis a1 ≠ a2 er der netop en løsning: Eksempel (kalorieforbrug under fysisk aktivitet) x I et forsøg antages det at der er en lineær sammenhæng mellem bevægehastighed (x, km/t) og kalorieforbrug (y, kalorier) for hastigheder mellem 5 og 15 km/t. ( x1 , y1 ) = (5,100) og ( x2 , y2 ) = (12.8,600) er kendte målinger: a= ( y2 − y1 ) (600 − 100) 500 = = = 64,1 og b = y1 − a ⋅ x1 = 100 − 64,1 ⋅ 5 = −220,5 ( x2 − x1 ) (12,8 − 5) 7,8 Altså er den lineære model: y = 64,1 ⋅ x − 220,5 44 y = b ⋅ xa (ligningen for en potenssammenhæng, x og y variable) b > 0, a kan være alle tal (præcisering af konstanterne a og b). (a kaldes eksponenten. b har ikke noget særskilt navn. I et koordinatsytem vil en potenssammenhæng foregå i 1. kvadrant, se side 46). Tilfælde 1) a < 0 (aftagende) Tilfælde 2) a = 0 (kontant y = b) Tilfælde 3) 0 < a < 1 (voksende) Tilfælde 4) a = 1 (y = b ⋅ x) Tilfælde 5) a > 1 (voksende) (potenssammenhænge er defineret for x > 0) Hvis 2 punkter ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) er kendte på en potenssammenhæng, så er: y log 2 y1 a= x log 2 x1 og b = y1 x1a a p 1 + − 1 ⋅ 100%, og er det antal procent y ændrer sig hvis x vokser p %. 100 Eksempel) Sammenhørende værdier mellem (se tabel 6 side 47) Saturns måners omløbstid i døgn (x) og afstanden til Saturn i Saturnradier (y ), plottes ind på dobbeltlogaritmisk papir. Det ses at data med god tilnærmelse følger en ret linje. På papiret indtegnes den bedste rette linje gennem punkterne ( x1 , y1 ) = (7,12) og ( x2 , y2 ) = (70,58). Nu kan a og b beregnes: y log 2 log 58 y1 = 12 = 0,684... a= x 70 log 2 log 7 x1 b= y1 12 = 0,684 = 3,169... a x1 7 Derfor er sammenhængen y = b ⋅ x a = 3,169 ⋅ x 0,684 Hvis x (omløbstid) vokser med 20%, vil y (afstand) ændre sig med: a 0,684 p 20 − 1 ⋅ 100% = 13,29% 1 + − 1 ⋅ 100% = 1 + 100 100 45 Grafer for potenssammenhænge: y a >1 a<0 y = b ⋅ xa 0 < a <1 Figur 7 x Hvordan ser grafen ud hvis b = 2 og a = 0? Hvordan ser grafen ud hvis b = 3 og a = 1? Indtegn på millimeterpapir og skitsèr på figur 7. 46 Sammenhørende værdier mellem omløbstiden i døgn ( x ) for Saturns måner og afstanden til Saturn i Saturnradier ( y ) x y 1,37 3,9 1,89 2,74 4,52 15,95 21,28 79,33 4,9 6,2 9,7 20,2 24,5 58,9 Tabel 6 Afsæt disse (x, y ) data på dobbeltlogaritmisk funktionspapir. Hvad ser du? 47 y = b ⋅ ax (ligningen for at eksponentiel udvikling, x og y variable) b > 0, a > 0 (præcisering af konstanterne a og b) (a kaldes fremskrivningsfaktoren og b kaldes begyndelsesværdien) a >1 Tilfældet a = 1: y = b ⋅ 1x = b 0 < a <1 Tilfældet a > 1 (voksende) : Figur 8 Tilfældet 0 < a < 1 (aftagende) : (a − 1) ⋅ 100% (central egenskab: når x vokser med 1 ændres y med den procent) Eksempel) Eksponentiel udvikling som matematisk model. Jordens befolkning: i 1984 var der 4,7 milliarder mennesker på jorden. Befolkningsantallet vokser med ca. 1,8% om året. Så er begyndelsesværdien b = 4,7 milliarder. 1,8 Fremskrivningsfaktoren a = 1,018 (lav udregningen 1 + 100 , se side 12). Modellen er derfor y = 4,7 ⋅ 1,018 x 48 Grafer potenssammenhæng eksponentiel udvikling y = b ⋅ xa y = b ⋅ ax lineær sammenhæng y = a⋅x +b (5,14) (7,10) (−2, 5) (5, 4) (−3,1) (2,1) Figur 9 Figur 1 viser 2 kendte punkter (x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) på en lineær sammenhæng , en eksponentiel udvikling og en potenssammenhæng. (y − y ) Lineær sammenhæng: a = 2 1 og b = y1 − a ⋅ x1 ( x2 − x1 ) y Eksponentiel udvikling: a = 2 y1 1 x2 − x1 y log 2 y1 a= x log 2 x1 Potensammenhæng: og og b= b= y1 x1a y1 a x1 Eksempel: vi vil gerne finde ligningen for den eksponentielle udvikling gennem punkterne (x1 , y1 ) = (−3,1) og (x2 , y2 ) = (5,14) på figur 1. 1 1 y2 x2 − x1 14 5−( −3) (1) Først findes a = = = (14 ) 8 = 1,3908.... 1 y1 y 1 Dernæst findes b = x11 = = 2,6902... altså y = 2, 690 ⋅1,391x ( −3) a 1,3908 49 Oversigt over modeller: Tabel 7. De 3 sammenhænge sammenlignes. Meget centralt kernestof. (x. y ) sammenhænge x y = ax + b absolut stigning på 1 y = b⋅x a relativ stigning på p % y = b ⋅ ax absolut stigning på 1 y absolut ændring på a a p relativ ændring på 1 + − 1 ⋅100% 100 relativ ændring på (a − 1) ⋅100% Tabel 8. Karakteristisk vækstforhold for hver sammenhæng. For grafer, se figur 9 side 49. 50 sin A = a c cos A = b c tan A = a b a A = sin −1 c a = sin A ⋅ c c= a sin A Eksempel) flagstang på skrånende terræn BC 13,9 BC = sin 8,5 ⋅ 13,9 = 2,05 DB 13,9 DB = cos 8,5 ⋅ 13,9 = 13,75 AB 13,75 AB = tan 36 ⋅ 13,75 = 9,99 sin 8,5 = cos 8,5 = tan 36 = A Altså AC = AB + BC = 9,99 + 2,05 = 12,04 D 360 8,50 13,9 m B C 51 Matematisk bevisførelse: a Sætning: i en retvinklet trekant er c 2 = a 2 + b 2 Bevis : c b v1 v2 c b v2 a c v1 b a kvadret med sidelængder a − b v1 a b v2 a b c c v2 v1 Da v1 + v2 = 900 har vi et stort kvadret med sidelængder c. Arealet af store kvadrat må være c 2 . Arealet af det store kvadratet kan også findes som arealet af det lille kvadrat i midten med sidelængder a − b plus arealet af de 4 retvinklede trekanter. Arealet af de 4 retvinklede trekanter må være 4 ⋅ (½ ⋅ a ⋅ b) = 2 ⋅ a ⋅ b Arealet af lille kvadrat i midten må være (a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b Derfor er c 2 = 2 ⋅ a ⋅ b + a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = a 2 + b 2 52 Sætning om trekanter: i en trekant er vinkelsummen 1800 Bevis: Topvinkler (hvorfor?) og ensliggende vinkler er lige store. v v w w v v C B A B A C Af nederste tegning fremgår, at A + B + C = 1800 53 Sætning om trekanter: Arealet af en trekant, T, er en halv højde gange grundlinje, dvs. med figurens betegnelser T = ½ ⋅ h ⋅ G B T1 A Bevis: h T2 b a C G (grundlinje) der må gælde, at T = T1 + T2 , altså summen af de 2 retvinklede trekanter på figuren. Da arealet af en retvinklet trekant er en halv gange produktet af de 2 kateter fås: T = T1 + T2 = ½ ⋅ a ⋅ h + ½ ⋅ b ⋅ h (kommer ½ ⋅ h udenfor en parantes) T = ½ ⋅ h ⋅ ( a + b) (udnytter at G = a + b) T =½⋅h⋅G 54 Sætning om lineære sammenhænge y = a ⋅ x + b : Hvis punkterne ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en lineær sammenhæng, så er: a= ( y2 − y1 ) ( x2 − x1 ) Bevis: Vi har, at y2 = a ⋅ x2 + b og y1 = a ⋅ x1 + b. Vi ser på en differens: y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − (a ⋅ x1 + b) (ophæver minusparantesen) y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − a ⋅ x1 − b (kan fjerne b) y2 − y1 = a ⋅ x2 − a ⋅ x1 (kommer a udenfor en parantes) y2 − y1 = a ⋅ ( x2 − x1 ) (dividerer med (x2 − x1 ) på begge sider) a= ( y2 − y1 ) ( x2 − x1 ) 55 Sætning om potenssammenhænge y = b ⋅ x a : Hvis punkterne ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en potenssammenhæng, så er: y log 2 y1 a= x log 2 x1 Bevis: Vi har, at y2 = b ⋅ x2 a og y1 = b ⋅ x1a . Vi ser på en brøk: y2 b ⋅ x2 a = y1 b ⋅ x1a (kan forkorte b væk) y2 x2 a = y1 x1a (bruger en potensregneregel) y2 x2 = y1 x1 a (logaritmen på begge sider) x a y2 log = log 2 x1 y1 (bruger en logaritme regneregel) y x log 2 = a ⋅ log 2 y1 x1 (dividerer med log( xx12 ) på begge sider) y log 2 y1 a= x log 2 x1 56 Sætning om potenssammenhænge y = b ⋅ x a : a p 1 + − 1 ⋅ 100% 100 (så mange procent ændres y, hvis x vokser p %) Bevis: Lad k være et tal større end 0 (k > 0). Nu ganger vi k med x, altså k ⋅ x, som indsættes i ligningen for potenssammenhængen: y′ = b ⋅ ( k ⋅ x ) a (bruger potensregneregel) y′ = b ⋅ k a ⋅ x a (faktorernes orden er ligegyldig) y′ = k a ⋅ b ⋅ x a (udnytter at y = b ⋅ x a ) y′ = k a ⋅ y Hvis x ganges med en faktor k , vil y ganges med en faktor k a . Antag, at x vokser p %.Vi ved fra procentregning, at det svarer til p at gange x med en faktor k = 1 + (se side 2). 100 a p Men så vil y blive ganget med en faktor k = 1 + . 100 Omregnes den faktor til procent (se side 4 ), har vi at y ændres med: a a p − 1 1 + ⋅ 100% 100 57 Sætning om eksponentielle udviklinger y = b ⋅ a x : Hvis punkterne ( x1 , y1 ) og ( x2 , y2 ) ligger på en eksponentiel udvikling, så er: y a= 2 y1 1 ) 2 − x1 (x Bevis: Vi har, at y2 = b ⋅ a x2 og y1 = b ⋅ a x1 . Vi ser på en brøk: y 2 b ⋅ a x2 = y1 b ⋅ a x1 (kan forkorte b væk) y2 a x2 = y1 a x1 (bruger en potensregneregel) y2 = a ( x2 − x1 ) y1 (opløfte til y a= 2 y1 1 ( x2 − x1 ) på begge sider) 1 ) 2 − x1 (x 58 Sætning om eksponentielle udviklinger y = b ⋅ a x : en voksende eksponentiel udvikling (dvs. a > 1) har fordoblingskonstanten T2 = log ( 2 ) log ( a ) Bevis: b ⋅ a ( x +T2 ) = 2 ⋅ b ⋅ a x a ( x+T2 ) = 2 ⋅ a x log ( a ( x+T2 ) ) = log ( 2 ⋅ a x ) ( x + T2 ) ⋅ log ( a ) = log ( 2 ) + log ( a x ) x ⋅ log ( a ) + T2 ⋅ log ( a ) = log ( 2 ) + x ⋅ log ( a ) T2 ⋅ log ( a ) = log ( 2 ) T2 = (divider med b) (log på begge sider) (log regler) (gange ind og log regel) ( − x ⋅ log(a )) (divider med log(a )) log ( 2 ) log ( a ) Bemærkning: for at bevise, at halveringskonstanten for en aftagende eksponentiel udvikling (dvs. 0 < a < 1) er T½ = log (½ ) log ( a ) skulle vi blot starte med ligningen b ⋅ a ( x +T½ ) = ½ ⋅ b ⋅ a x 59 Arbejdsspørgsmål: Tænk på et tal mellem 1 og 9 (1 og 9 er med). Husk tallet. Det tal du tænker på fordobler du nu. Så skal du lægge 6 til. Nu skal du halvere. Endeligt skal du trække det tal fra du tænkte på i begyndelsen. Hvilket tal giver det? 3 forhåbentligt! Hvofor er det sådan? 1. Ligningsløsning a ) Redegør for metoden der anvendes, når vi løser ligninger, dvs. når vi isolerer en variabel i en ligning. b) Hvad sker der med ligningens sandhedsværdi, når vi ændrer ligningen v.hj.a gyldige operationer på hver side af lighedstegnet? c) Hvorfor er det ikke en tilladt operation at gange med 0 på hver side af et lighedstegn? 2. Procentregning a ) Redegør for grundlæggende procentregningsprincipper. b) Hvilken enhed har relativ vækst altid? c) Hvilken enhed har absolut vækst? d ) Opstil 2 forskellige tilfælde, hvor et tal stiger til et andet tal, således at den absolutte vækst er den samme i de 2 tilfælde, men sådan, at den relative vækst ikke er ens. e) Vi skal lægge 25% til en pris uden moms for at få prisen med moms. Hvilken faktor svarer det til at gange pris uden moms med? Hvor mange procent skal vi trække fra prisen med moms, for at få prisen uden moms? 60 3. Rentesregning a ) Opskriv renteformlen og redegør for hvad de forskellige variable betyder. b) Hvad er sammenhængen mellem en rente i procent på f.eks. en opsparingskonto og den tilhørende rentefod? c) Hvad er forskellen på at fremskrive og tilbageskrive en kapital? d ) n er antal terminer i renteformlen. Hvilke værdier (tal) kan n være? e) Hvis den årlige rente på en opsparingskonto er 12% og vi ønsker at overflytte til en konto med månedlig rente, således at pengeudbyttet bliver det samme, tror du så at den månedlige rente skal være netop 1 procent, over en procent eller under 1 procent? 4. Lineær sammenhæng a ) Gå på opdagelse på nettet og find en sammenhæng mellem 2 variable fra virkeligheden, der med tilnærmelse kan beskrives v.hj.a. en lineær sammenhæng. Forklar hvad det handler om. b) Diskutèr betydningen af konstanterne a og b i en lineær sammenhæng. c) y ændrer sig med a, når x vokser med 1. Hvor meget ændrer y sig, hvis x vokser med hhv. 5, 7 og 21? 5. Potenssammenhæng a ) Gå på opdagelse på nettet og find en sammenhæng mellem 2 variable fra virkeligheden, der med tilnærmelse kan beskrives v.hj.a. en potenssammenhæng. Forklar hvad det handler om. b) Bevis, at en potenssammenhæng altid går gennem puntet (1, b). c) På hvilken måde hænger potenssammenhænge sammen med dobbeltlogaritmisk papir? d ) På hvilken måde hænger procentregning sammen med potenssammenhænge? e) Diskuter betydningen af a for grafens forløb. 61 6. Eksponentiel udvikling a ) Gå på opdagelse på nettet og find en sammenhæng mellem 2 variable fra virkeligheden, der med tilnærmelse kan beskrives v.hj.a. en eksponentiel udvikling. Forklar hvad det handler om. b) Diskutèr betydningen af konstanterne a og b i en eksponentiel udvikling. c) På hvilken måde hænger eksponentielle udviklinger sammen med enkeltlogaritmisk papir? d ) På hvilken måde hænger procentregning sammen med eksponentielle udviklinger? e) Hvad ville der ske med formel (∗) side 8, hvis K n er det dobbelte af K 0 og a = 1 + r ? Kender du formlen? f ) Hvad er fremskrivningsfaktoren? 7. Statistik a ) Hvad er forskellen på grupperet og ikke − grupperet deskriptiv statistik? b) Hvad er forskellen på middeltallet og medianen? c) Giv et eksempel på et talmateriale, hvor medianen og middeltal er ens. c) Redegør for histogram og sumkurve for grupperede observationer. d ) Redegør for stolpediagram og boksplot for ikke - grupperede observationer. e) Hvad er statistiske deskriptorer? f ) Hvad er kvartilsættet? g ) Hvordan ville du finde kvartilsættet for grupperede observationer? h) Hvordan ville du finde kvartilsættet for ikke - grupperede observationer? i ) Hvad dækker betegnelserne Q1 , m og Q3 over? 62 8. Geometri a ) Redegør for Pythagoras læresætning for retvinklede trekanter. b) Hvordan beregnes arealet af en trekant? c) Redegør for trigonometriske formler i retvinklede trekanter. d ) Hvad er en skalafaktor for 2 ensvinklede trekanter? e) En skalafaktor kan både være en forstørrelsesfaktor og en formindskelsesfaktor. Forklar? f ) 2 envinklede trekanter har forstørrelsesfaktor 3. Hvor mange procent er siderne i den store trekant større end de tilsvarende sider i den lille trekant? g ) Hvor mange spidse vinkler er der i en retvinklet trekant? For hvilke vinkler i en retvinklet trekant gælder cosinus, sinus og tangensformlerne? 9. Ligefrem og omvendt proportionalitet a ) Redegør for at ligefrem proportionalitet er et specialtilfælde af lineære sammenhænge. b) Redegør for at omvendt proportionalitet er et specialtilfælde af potenssammenhænge. 10. Indekstal a ) Hvad er indekstallet altid i basisåret? b) På hvilken måde hænger procentregning sammen med indekstal? c) På hvilken måde hænger ensvinklede trekanter sammen med indekstal? 11. Modeller a ) Diskuter forskelle og ligheder mellem de 3 modeller. 2 sønner og 2 fædre er på fisketur. De fanger 3 laks. De får alle en fisk med hjem. Hvordan lader det sig gøre? 63 Procentregning Formel Forklaring A ⋅100% B Så mange procent udgør tallet A af tallet B. p S = B ⋅ 1 + 100 p S = B ⋅ 1 − 100 S − 1 ⋅100% B S−B Resultatet S svarer til at tallet B er vokset med p %. Resultatet S svarer til at tallet B er faldet med p %. B`s relative ændring i procent når B vokser/falder til S . B`s absolutte ændring når B vokser/falder til S . 64 Lineære sammenhænge Formel y = a⋅x+b (y − y ) a= 2 1 ( x2 − x1 ) b = y1 − a ⋅ x1 eller b = y2 − a ⋅ x2 x= ( y − b) a Forklaring Ligningen for en lineær sammenhæng. a er hældningskoefficienten og b er skæringspunktet på y − aksen. Sådan kan a beregnes når 2 par sammenhørende værdier (x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) er kendte. Sådan kan b beregnes, når a er beregnet. Sådan kan x beregnes, når y er en kendt værdi. 65 Potenssammenhænge Formel Ligningen for en potenssammenhæng. y = b ⋅ xa a og b har ikke fået særlige navne. ( x større end 0) y log 2 y1 a= x log 2 x1 b= y1 y2 eller b = x1a x2 a y x= b Forklaring 1 a a p 1 + − 1 ⋅ 100% 100 a kan være alle tal og b er større end 0. Sådan kan a beregnes når 2 par sammenhørende værdier (x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) er kendte. Sådan kan b beregnes, når a er beregnet. Sådan kan x beregnes, når y er en kendt værdi. Så mange procent vil y værdien ændre sig når en hvilken som helst x værdi vokser p %. 66 Eksponentielle udviklinger Formel Forklaring Ligningen for en eksponentiel udvikling. y = b ⋅ ax a er fremskrivningsfaktoren b er begyndelsesværdien. a og b er begge større end 0. y a= 2 y1 1 ( x2 − x1 ) y y b = x11 eller b = x22 a a y log( ) b x= log(a ) log 2 T2 = log a Sådan kan a beregnes når 2 par sammenhørende værdier (x1 , y1 ) og (x2 , y2 ) er kendte. Sådan kan b beregnes, når a er beregnet. Sådan kan x beregnes, når y er en kendt værdi. Sådan beregnes fordoblingskonstanten for voksende eksponentielle udviklinger (dvs. fremskrivningsfaktor a er større end 1). 67 Eksponentielle udviklinger (fortsat...) Formel Forklaring log½ T½ = log a Sådan beregnes halveringskonstanten for aftagende eksponentielle udviklinger (dvs. fremskrivningsfaktor a er mellem 0 og 1). Så mange procent vil y værdien (a − 1) ⋅ 100% a =1+ p 100 ændre sig når en hvilken som helst x værdi vokser med 1 enhed. Sådan beregnes fremskrivningsfaktoren a hvis det om en variabel y gælder at den ændrer sig med p % når en variabel x vokser med 1 enhed. 68 Rentesregning Formel Forklaring K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n K0 = Kn (1 + r ) n K r = n K0 1 n Sådan beregnes slutkapital hvis startkapital, rentefod og antal terminer er kendte. Husk renten i % at r = . 100 Sådan beregnes startkapital hvis slutkapital, rentefod og antal terminer er kendte. Husk renten i % at r = . 100 Sådan beregnes rentefod −1 hvis startkapital, slutkapital og antal terminer er kendte (r gange 100% = renten i procent). Sådan beregnes antal terminer K log n K0 n= log ( (1 + r ) ) hvis startkapital, slutkapital og rentefod er kendte. Husk at renten i % 100 (rund n op til nærmeste hele tal). r= 69 Geometri (retvinklede trekanter) Formel Forklaring Dette er Pythagoras læresætning. c2 = a 2 + b2 Hvis 2 af de 3 sider er kendte kan den sidste beregnes. Sådan beregnes arealet. T = ½ ⋅b ⋅ a En halv gange den ene katete gange den anden katete. Cosinusformlen : b cos A = c Giver sammenhængen mellem cosinus til en vinkel, hosliggende katete og hypotenusen. Sinusformlen : sin A = a c Giver sammenhængen mellem sinus til en vinkel, modstående katete og hypotenusen. Tangensformlen : a tan A = b Giver sammenhængen mellem tangens til en vinkel, modstående og hosliggende katete. Hvis 2 af de 3 vinkler i trekanten A + B + C = 1800 er kendte kan den sidste beregnes da vinkelsummen er 180 grader. 70 Geometri (vilkårlige trekanter) Formel Forklaring Hvis 2 af de 3 vinkler i trekanten A + B + C = 1800 er kendte kan den sidste beregnes da vinkelsummen er 180 grader. Sådan kan arealet beregnes når T = ½ ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A en vinkel og vinklens 2 ben er kendte. "en halv appelsin formlen" T = ½ ⋅ h ⋅ grundlinje sin A sin B sin C = = a b c Arealet kan beregnes hvis en højde og højdens grundlinje kendes. Sinusrelationen : Forholdet mellem sinus til en vinkel og siden overfor er ens for alle 3 vinkler. Cosinusrelationen : a = (c 2 + b 2 − 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos A) (c 2 + b 2 − a 2 ) A = cos (2 ⋅ c ⋅ b) −1 Sådan beregnes en side hvis vinklen overfor og dens 2 ben er kendte. Cosinusrelationen : Sådan beregnes en vinkel hvis vinklens 2 ben (b, c) og siden overfor (a ) er kendte. 71 Ligefrem proportionalitet Formel Forklaring y = k⋅x Her er 2 variable (x og y ) ligefrem proportionale (eller bare proportionale) fordi y blot er en konstant gange x. Omvendt proportionalitet Formel y= k eller y ⋅ x = k x Forklaring Her er 2 variable (x og y ) omvendt proportionale fordi y gange x er en konstant. 72 Ensvinklede trekanter 2 trekanter er ensvinklede hvis de har samme vinkler og den ene blot er større end den anden. Hvis den store trekant har siderne a2 , b2 , c2 og de tilsvarende sider i den lille trekant er a1 , b1 , c1 (Tilsvarende sider vil sige at de ligger mellem de samme vinkler), så findes en faktor k således at: k= c2 b2 a2 = = c1 b1 a1 Forholdet mellem alle ensliggende sider i de 2 trekanter er derfor en konstant. her er 2 variable (x og y ) ligefrem proportionale (eller bare proportionale) fordi y blot erÅrstal en konstant gange x År 1 Indekstal År 2 Originale tal Tår 1 Tår 2 Indekstal Iår 1 Iår 2 Der er følgende sammenhæng mellem originale tal og de tilsvarende indekstal: Tår 2 Iår 2 = Tår 1 Iår 1 Sagt med ord: originale tal og tilsvarende indekstal står i samme forhold til hinanden. Hvis 3 af de 4 størrelser i formlen er kendte, kan den sidste beregnes ved at manipulere lidt med ligningen (gange over kryds reglen). Indekstallet i basisåret er altid 100. 73 Stikordsregister Areal vilkårlig trekant 32 Absolut vækst 13 Basisår 41 Brøk − regneregler 2 Boksplot 31 Cosinusrelationen 37 Decimaler 7 Deskriptorer 24 Dobbeltlogaritmisk papir 19 Eksponent 5 Ensliggende vinkler 53 Enkeltlogaritmisk papir 21 Fremskrivningsfaktor generelt 11, 12 Fremskrivningsfaktor eksponentielle udviklinger 21 Fælles brøkstreg 4 Fordoblingskonstant 23 Gange over kryds/kors reglen 9 Grupperede middelværdi 24 Grundtal 5 GRYN − formlen 42 Histogram 28 Hældningskoefficient 17 Halveringskonstant 23 Hypotenuse 32 Ikke − grupperede middelværdi 29 Katete 32 Kumuleret frekvens 24 Kvartilsæt grupperede observationer 27 Kvartilsæt ikke − grupperede observationer 31 Matematiske modeller 17, 48, 50 Mellemregninger 7 Potenser 5 Paranteser 6 Pythagoras læresætning 32 Regnearternes hierarki 6 Relativ vækst 13 Rodeksponent 5 Rødder 5 Regneregel logaritmen 10 Rentefod 14 Skalafaktor 39 Sinusrelationen 36 Stolpediagram 30 Sumkurve 27 Trigonometriske formler 33 Topvinkler 53 Typetal 30 Typeinterval 28 Vækstrate 14 74 Bilag: ( K n = K 0 ⋅ (1 + r ) n ) ( y = b ⋅ ax ) Renteformlen Eksponentiel udvikling Statistik Indekstal Procentregning Ensvinklede trekanter Potenssammenhæng ( y = b ⋅ xa ) ( y ⋅ x = k) ( y = a ⋅ x + b) Lineær sammenhæng Omvendt proportionalitet ( y = k ⋅ x) Ligefrem proportionalitet Tegningen illustrerer forbindelser imellem de forskellige kernestofområder. 75
© Copyright 2024